高考数列放缩法技巧全总结

高考数学备考之放缩技巧

证数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察通项的结构，剖析特征，抓住其规律放缩；其放缩技巧主要有以下几种： 一、裂项放缩 例1.(1)求

∑=-n

k k

1

2

142

的值; (2)求证:

3

51

1

2

<

∑=n

k k

. 解析:(1)因为121121)12)(12(21

422+--=+-=

-n n n n n ,所以12212111

4212

+=+-=-∑=n n n k n k (2)因为??? ??+--=-=-

<1211212144

4

11

1

222n n n n n ,所以35321121121513121112=+

k 注意术语，如求和，奇数 技巧积累:(1)??? ??+--=-<

=1211212144

4412

2

2n n n n

n

(2))

1(1)1(1)1()1(212

11+--=-+=+n n n n n n n C C n n (3))2(1

11)1(1!11)!(!!11

≥--=-<

=+r r r r r r n r n r n n

C T

r r

r

n r (4)2

5

)1(12311

2111)11(<-++?+

?++<+n n n n (5)

n

n n

n 2

1121)12(21--=- (6)

n n n -+<+22

1

(7))1(21)1(2--<<-+n n n n n (8) n

n n n n n n 2)32(12)12(12

13211221?+-?+=???? ??+-+- (9)

?

?

? ??++-+=+++??? ??+-+=-+k n n k k n n n k k n k n k 11111)1(1,11111)1(1

(10) !)1(1!1!)1(+-=+n n n n (11)

2

1

2121

21222)1212(21

-++

=

-++=

--+

(11)

)2(1

21121)12)(12(2)22)(12(2)12)(12(2)12(211

12≥---=--=--<--=----n n n n n n n n n n n n n n

(12) 1

11)1(1)1(1)1)(1(111

2

3

--+????? ??+-

-=+-<

?=

n n n n n n n n n n n n

1

1112111111

+--<-++?

??? ??+--=n n n n n n n

(13) 3

212132122)12(332)13(2221n n n

n n n n n n <-?

>-?>-?>?-=?=+

(14)

!

)2(1!)1(1)!2()!1(!2+-

+=+++++k k k k k k (15) )2(1)1(1

≥--<+n n n n n

(15)

11

1)

11)((112

2

2

22

222<++

++=

++

+--=

-+-+j i j

i j i j i j i j i j i

例2.(1)求证:)2()12(2167)

12(1513112

22≥-->-++++n n n (2)求证:n

n 412141361161412

-<++++ (3)求证:1122642)12(531642531423121-+<

????-????++????+??+n n

n

(4) 求证：)112(213

12

11)11(2-+<++++<-+n n

n

解析:(1)因为

??? ??+--=+->-12112121)12)(12(1)

12(12

n n n n n ,所以 )

1

2131(211)12131(211)

12(1

1

2

--+>+-+>-∑=n n i n

i

(2))111(41)1211(4141361161412

22n

n n -+<+++=++++

(3)先运用分式放缩法证明出1

212642)12(531+<

????-????n n

n ,再结合

n

n n -+<+22

1进行裂项,最后就可以得到答案

(4)首先n

n n n n

++=

-+>12)1(21

,所以容易经过裂项得到

n

n 13

12

11)11(2+

++

+

<-+

再证

2

12121

21222)1212(21-++

=

-++=

--+

而由均值不等式知道这是显然成立的，所以

)112(213

12

11-+<+

++

+

n n

例3.求证:

3

5

191411)12)(1(62<++++≤++n n n n

解析:一方面:因为??? ??+--=-=

-

<

121121

2144

41

11

2

22

n n n n n ,所以

353211211215

1

31211

1

2

=

+

n

k 另一方面:1

111)1(143132111914112

+=+-=+++?+?+>++++n n n n n n 当3≥n 时,)

12)(1(61

++>

+n n n n n

,当1=n 时,2191411)12)(1(6n n n n ++++=++ ,

当2=n 时,

21

91411)12)(1(6n

n n n ++++<++ ,所以综上有

3

5191411)12)(1(62<++++≤++n n n n

例 4.(2008年全国一卷) 设函数()ln f x x x x =-.数列{}n a 满足101a <<.1()n n a f a +=.设1(1)b a ∈，，整数11ln a b k a b

-≥.证

明:1k a b +>.

解析:由数学归纳法可以证明{}n a 是递增数列,故存在正整数k m ≤,使b a m ≥,则

b a a k k ≥>+1,否则若)(k m b a m ≤<,则由101<<≤

0ln ln ln 11<<≤b a a a a a m m m ,∑=+-=-=k m m m k k k k a a a a a a a

1

11

ln ln ,因为)ln (ln 11

b a k a a k

m m m <∑=,

于是b a b a b a k a a k =-+≥+>+)(|ln |11111

例5.已知m m m m m n S x N m n ++++=->∈+ 321,1,,,求证: 1)1()1(11-+<+<++m n m n S m n .

解析:首先可以证明:nx x n +≥+1)1(

∑

=++++++++--=-++---+--=n

k m m m m m m m m k k n n n n n 111111111])1([01)2()1()1( 所以要证

1)1()1(11-+<+<++m n m n S m n 只要证:

∑∑∑=+++++++++==++-+=-++--+-+=-+<+<--n

k m m m m m m m m m n k m n k m m k k n n n n n k m k k 1

11111111111

1

11])1[(2)1()1(1)1()1(])1([ 故只

要证

∑∑∑=++==++-+<+<--n

k m m n k m n k m m k k k m k k 1

111

1

11])1[()1(])1([,即等价于

m m m m m k k k m k k -+<+<--+++111)1()1()1(,即等价于11)11(11,)11(11++-<+-+<++m m k

k m k k m

而正是成立的,所以原命题成立. 例6.已知n n n a 24-=,n

n n

a a a T +++=

212,求证:23321<++++n

T T T T .

解析:)21(2)14(3

421)21(241)41(4)222(444421321n n n

n n n n

T -+-=-----=+++-++++=

所以

123)2(222322342323

23422234342)21(2)14(3422111111+?-??

=+?-?=-+=-+-=-+-=++++++n n n

n n n n n n n n n n n n

n T

??

? ??---=--??=

+12112123)12)(122(2231n n n

n n 从而2

31211217131311231321

T T T T 例7.已知11=x ,???∈=-∈-==)

,2(1),12(Z k k n n Z k k n n x n

,求证:

*))(11(21

1

1

4

1

224

544

3

2N n n x x x x x x n n ∈-+>++?+

?+

证明:

n

n

n

n n n x x n n 222141

141

)

12)(12(1

1

4

2

4

2

4

4

1

22=

?=>

-=

+-=

+,因为 12++

1(21

2

221

4

1

22n n n n n

x x n n -+=++>

>

+

所以

*)

)(11(21

1

14

1

224

5

44

3

2N n n x x x x x x n n ∈-+>+

+?+

?+

二、函数放缩

例8.求证：)(6

65333ln 44ln 33ln 22ln *N n n n n n

∈+-<++++ .

解析:先构造函数有x

x

x x x 11ln 1ln -≤?-≤,从而)3

13121(1333ln 44ln 33ln 22ln n

n n n +++--<++++

因为??? ??++++++??? ??++++++??? ??+=+

++n n n n 311212

1

9181716151413121313

1

21 6

53332327918993636511

1n n n n n =???? ??+?++??? ??++??? ??++>---

所以6653651333ln 44ln 33ln 22ln +-=--<++++n n n n n

n

例9.求证:(1))2()

1(212ln 33ln 22ln ,22

≥+--<+++≥n n n n n n α

αααααα

解析:构造函数

x

x x f ln )(=,得到22ln ln n n n n

≤α

α

,再进行裂项)1(1111ln 2

22

+-<-≤n n n n n ,求和后可以得到答案

函数构造形式: 1ln -≤x x ,)2(1ln ≥-≤αααn n

例10.求证:n

n n 1

211)1ln(1

1

3121+++

<+<++++

解析:构造函数后即可证明

例12.求证:32)]1(1[)321()211(->++???+??+n e n n

解析:

1

)1(3

2]1)1(ln[++-

>++n n n n ,叠加之后就可以得到答案 例13.证明:)1*,(4

)1(1ln 54ln 43ln 3

2

ln >∈-<+++++

n N n n n n n 解析:构造函数)1(1)1()1ln()(>+---=x x x x f ,求导,可以得到:

1

2111)('--=--=

x x x x f ,令0)('>x f 有21<x ,

所以0)2()(=≤f x f ,所以2)1ln(-≤-x x ,令12+=n x 有,1ln 22-≤n n 所以2

11

ln -≤

+n n n

,所以)1*,(4

)1(1ln 54ln 43ln 32

ln >∈-<+++++

n N n n n n n

例14. 已知112111,(1).2

n n n

a a a n n

+==+++证明2n a e <.

解析:

n

n n n n a n n a n n a )21)1(11(2

1))1(11(1+++<+++

=+, 然后两边取自然对数,可以得到

n

n n a n n a ln )2

1

)1(11ln(ln 1++++

<+ 然后运用x x <+)1ln(和裂项可以得到答案) 放缩思路：

?+++

≤+n n

n a n n a )21

11(2

1?++++

≤+n n n a n n a ln )2

1

11ln(ln 2

1 n

n n n a 2

1

1ln 2

+++

≤。于是

n

n n n n a a 21

1ln ln 2

1++≤

-+，

.

221122

11)21

(111ln ln )211()ln (ln 1

1211

11

1

<--=--+

-≤-?++≤---=+-=∑

∑

n n n i

n i i i n i n n a a i i a a

即.2ln ln 21e a a a n n

注：题目所给条件ln(1)x x +<（0x >）为一有用结论，可以起到提醒思路与探索放缩方向的作用；当然，本题还可用结论

)2)(1(2≥->n n n n 来放缩：

?-+-+

≤+)

1(1

))1(11(1n n a n n a n n ?

+-+

≤++)1)()

1(1

1(11n n a n n a

.)1(1

))1(11ln()1ln()1ln(1-<-+

≤+-++n n n n a a n n 111)1ln()1ln()1(1)]1ln()1ln([21

2

112<-<+-+?-<+-+?∑∑-=+-=n a a i i a a n n i i i n i ， 即.133ln 1)1ln(2e e a a n n <-

例15.(2008年厦门市质检) 已知函数)(x f 是在),0(+∞上处处可导的函数,若)()('x f x f x >?在0>x 上恒成立. (I)求证：函数

),0()

()(+∞=

在x

x f x g 上是增函数；

(II)当)()()(:,0,0212121x x f x f x f x x +<+>>证明时； (III)已知不等式01)1ln(≠-><+x x x x 且在时恒成立， 求证：).

()2)(1(2)1ln()

1(14ln 413ln 312ln 2

1

*22

222222

N n n n n n n ∈++>++++++

解析:(I)0)()(')('2

>-=

x x f x x f x g ,所以函数),0()()(+∞=在x

x f x g 上是增函数 (II)因为

),0()

()(+∞=

在x

x f x g 上是增函数,所以 )()()()(212

111

2

1211

1x x f x x x x f x x x x f x x f +?+<

?++< )()()()(212

122212122x x f x x x x f x x x x f x x f +?+

两式相加后可以得到)()()(2121x x f x f x f +<+ (3) )

()()()

(21211

121211

1n n

n n x x x f x x x x x f x x x x x x f x x f +++?+++

)()()()(212122212122n n

n n x x x f x x x x x f x x x x x x f x x f +++?+++

n n n n n n x x x f x x x x x f x x x x x x f x x f +++?+++

相加后可以得到:

)()()()(2121n n x x x f x f x f x f +++<+++

所以)

l n ()(ln ln ln ln 2121332211n n n n x x x x x x x x x x x x x x ++++++<++++ 令2

)1(1

n x n +=

,有

???? ??++++????? ??+++++22

22222)1(13121ln )1(1413121n n ???? ??+++?+?????? ??++++

31121ln )1(1312122

2 )2)(1(2212111++-

=??

? ??+-??? ??+-

()2)(1(2)1ln()

1(14ln 413ln 312ln 2

1

*22

222222

N n n n n

n n ∈++>++++++

(方法二)?

?

? ??+-+=++≥+++>

++2111

4ln )2)(1(4ln )2)(1()1ln()1()1ln(22

2

n n n n n n n n n 所以)

2(24ln 21214ln )1ln()1(14ln 413ln 312ln 2

1

22222222

+=??? ??+->++++++

n n n n n

又1

114ln +>>n ,所以

).

()2)(1(2)1ln()1(14ln 413ln 312ln 21*22

222222N n n n n n n ∈++>

++++++

例16.(2008年福州市质检)已知函数.ln )(x x x f =若).()(2ln )()(:,0,0b f b a f b a a f b a -+≥

++>>证明

解析:设函数()()(),(0)g x f x f k x k =

+->

.

2

021,0)(,ln

1)ln(1ln )(.

0),ln()(ln )(,

ln )(k x k

x k k x x k x x g x

k x x k x x g k x x k x k x x x g x x x f <--?>->'-=---+='<<∴--+=∴=则有令

∴函数k

k

x g ,2

[)(在）上单调递增，在

]2

,0(k 上单调递减. ∴)(x g 的最小值为

)2(k g ，即总有).2

()(k g x g ≥

而,2ln )()2ln (ln 2

ln )2

()2

()2

(k k f k k k k k k f k f k g -=-==-+=

,2ln )()(k k f x g -≥∴ 即.2ln )()()(k k f x k f x f -≥-+ 令,,b x k a x =-=则.b a k +=

.2ln )()()()(b a b a f b f a f +-+≥+∴

).()(2ln )()(b f b a f b a a f -+≥++∴

三、分式放缩

姐妹不等式:)0,0(>>>++>m a b m a m b a b 和)0,0(>>>++

记忆口诀”小者小,大者大”

解释:看b ,若b 小,则不等号是小于号,反之. 例19. 姐妹不等式:12)1

21

1()5

11)(3

11)(11(+>-+

+++n n 和 1

21)21

1()611)(411)(211(+<

+---n n

也可以表示成为

1

2)

12(5312642+>-???????n n n

和1

212642)12(531+

解析: 利用假分数的一个性质)0,0(>>>++>m a b m

a m

b a

b 可得

>-??1

22563412n n

=+??n

n 2126

74523 )12(2126

54321+?-??n n

n

?12)122563412(2+>-??n n n 即.12)1

21

1()5

11)(311)(11(+>-+

+++n n 例20.证明:.13)2

311()711)(411)(11(3+>-+++

+n n 解析: 运用两次次分式放缩:

1

338956.232313784512-????>--????n n n n (加1)

n

n n n 3139

1067.342

3137

84512+????>--???? (加2)

相乘,可以得到:

)13(1323875421131381057.2423137

845122

+?--????=-+?

???>??? ??--????n n n n n n n