常用放缩方法技巧

常用放缩方法技巧

证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下几种： ⑴添加或舍去一些项，如：

a a >+12；n n n >+)1(

⑵将分子或分母放大（或缩小） ⑶利用基本不等式，如：4lg 16lg 15lg )2

5lg 3lg (5lg 3lg 2=<=+

1()1(++<+n n n n ⑷二项式放缩: n n n n n n C C C +++=+= 10)11(2,1210+=+≥n C C n n n ,

2

222210++=++≥n n C C C n n n n )2)(1(2≥->n n n n (5)利用常用结论：

Ⅰ.

的放缩 Ⅱ. 21k 的放缩(1) ：

2111(1)(1)

k k k k k <<+-（程度大） Ⅲ. 21k 的放缩(2)：22111111()1(1)(1)211k

k k k k k <==+-+--+（程度小） Ⅳ. 2

1k 的放缩(3)：221

4112()412121k k k k <=+--+（程度更小） Ⅴ. 分式放缩还可利用真（假）分数的性质:)0,0(>>>++>m a b m a m b a b 和)0,0(>>>++

a m

b a b

记忆口诀“小者小,大者大”。 解释:看b ,若b 小,则不等号是小于号,反之亦然.

Ⅵ.构造函数法 构造单调函数实现放缩。例：()(0)1x f x x x

=≥+，从而实现利用函数单调性质的放缩：()()f a b f a b +≤+。

一． 先求和再放缩

例1.)

1(1+?=

n n a n ,前n 项和为S n ，求证：1

例2.n n a )31(= , 前n 项和为S n ，求证：2

1<

n s

二． 先放缩再求和

（一）放缩后裂项相消

例3．数列{}n a ，

11(1)n n a n +=-，其前n 项和为n s

，求证：22n s <

（二）放缩后转化为等比数列。 例4. {}n b 满足：

2111,(2)3n n n b b b n b +≥=--+ （1） 用数学归纳法证明：

n b n ≥

（2） 1231111...3333n n T b b b b =++++++++，求证：12n T <

三、裂项放缩

例5.(1)求∑=-n k k 12142的值; (2)求证:3

5112<∑=n k k .

例6.(1)求证:)2()12(2167)

12(151311222≥+->-++++n n n

(2)求证:n

n 412141361161412-≤++++ (3)求证：)112(2131211)11(2-+<++++<-+n n

n

例7.求证:3

5191411)12)(1(62<++++≤++n n n n

例8.已知n n n a 24-=,n n n

a a a T +++= 212,求证:2

3321<++++n T T T T .

四、分式放缩

姐妹不等式:)0,0(>>>++>m a b m a m b a b 和)0,0(>>>++

a m

b a b

记忆口诀”小者小,大者大”

解释:看b ,若b 小,则不等号是小于号,反之亦然. 例9. 姐妹不等式:12)1

211()511)(311)(11(+>-++++n n 和

1

21)211()611)(411)(211(+<+---n n 也可以表示成为 12)

12(5312642+>-???????n n n 和121

2642)12(531+

例10.证明:.13)2

311()711)(411)(11(3+>-++++n n

五、均值不等式放缩

例11.设.)1(3221+++?+?=n n S n 求证.2)1(2)1(2

+<<+n S n n n

例12.已知函数bx a x f 211)(?+=

，a>0,b>0,若54)1(=f ，且)(x f 在[0，1]上的最大值为21， 求证：.2

121

)()2()1(1-+>++++n n n f f f

六、二项式放缩

n n n n n n C C C +++=+= 10)11(2,1210+=+≥n C C n n n , 2

222210++=++≥n n C C C n n n n )2)(1(2≥->n n n n 例13.设N n n ∈>,1，求证)

2)(1(8)32(++

例14. n n a 32?= , 试证明：.121111424

n n n a a a +++<+≤

七、部分放缩(尾式放缩)

例15.求证: 7

41231

1231

1311<+?+++?++-n

例16. 设++=a n a 211.2,13

1≥++a n a a 求证：.2

八、函数放缩

例17.求证：)(665333ln 44ln 33ln 22ln *N n n n n n

∈+-<++++ .

例18.求证:)2()

1(212ln 33ln 22ln ,22≥+--<+++≥n n n n n n ααααααα

例19. 求证:n n n 1211)1ln(113121+++<+<++++

九、借助数列递推关系 例20. 若1,111+=?=+n a a a n n ,求证:)11(211121-+≥+++n a a a n

例21.求证:1222642)12(531642531423121-+

十、分类放缩 例22.求证:212131211n n

>-++++

常用放缩方法技巧

常用放缩方法技巧 证明数列型不等式,因其思维跨度大、构造性强,需要有较高得放缩技巧而充满思考性与挑战性,能全面而综合地考查学生得潜能与后继学习能力,因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题得极好素材。这类问题得求解策略往往就是:通过多角度观察所给数列通项得结构,深入剖析其特征,抓住其规律进行恰当地放缩;其放缩技巧主要有以下几种: ⑴添加或舍去一些项,如:; ⑵将分子或分母放大(或缩小) ⑶利用基本不等式,如:; ⑷二项式放缩:,, (5)利用常用结论: Ⅰ、得放缩 : Ⅱ、得放缩(1) : (程度大) Ⅲ、得放缩(2):(程度小) Ⅳ、得放缩(3):(程度更小) Ⅴ、分式放缩还可利用真(假)分数得性质:与 记忆口诀“小者小,大者大”。解释:瞧b,若b小,则不等号就是小于号,反之亦然、 Ⅵ、构造函数法构造单调函数实现放缩。例:,从而实现利用函数单调性质得放缩:。 一．先求与再放缩 例1、,前n项与为S n ,求证: 例2、 , 前n项与为S n ,求证: 二．先放缩再求与 (一)放缩后裂项相消 例3.数列,,其前项与为 ,求证: (二)放缩后转化为等比数列。 例4、满足: （1）用数学归纳法证明: （2）,求证: 三、裂项放缩 例5、(1)求得值; (2)求证:、 例6、(1)求证: (2)求证: (3)求证: 例7、求证: 例8、已知,,求证:、 四、分式放缩 姐妹不等式:与 记忆口诀”小者小,大者大” 解释:瞧b,若b小,则不等号就是小于号,反之亦然、 例9、姐妹不等式:与 也可以表示成为 与 例10、证明: 五、均值不等式放缩 例11、设求证 例12、已知函数,a>0,b>0,若,且在[0,1]上得最大值为, 求证: 六、二项式放缩 ,, 例13、设,求证、 例14、 , 试证明:、

数列不等式(放缩法)

用放缩法证明不等式的方法与技巧 一．常用公式 1． )1(11)1(12-<<+k k k k k 2． 1 21 12-+<<++k k k k k 3．22 k k ≥()4≥k 4．1232k k ???????≥(2≥k ) 5． ?? ????--≤！！（！k k k 1)11211 6．b a b a +≤+ 二．放缩技巧 所谓放缩的技巧：即欲证A B ≤，欲寻找一个（或多个）中间变量C ，使A C B ≤≤， 由A 到C 叫做“放”，由B 到C 叫做“缩”. 常用的放缩技巧 （1）若0,,t a t a a t a >+>-< （2） < > 11> n >= （3）21111111 (1)1(1)(1)1n n n n n n n n n n - =<<=->++-- （4 ）= <=<= （5）若,,a b m R + ∈，则,a a a a m b b m b b +>< + （6）21111111 112!3!!222 n n -+++???+<+++???+ （7）22211111111 11(1)()()232231n n n +++???+<+-+-+???+--（因为211(1)n n n < -） （7）1111111112321111 n n n n n n n n n +++???+≤++???+=<+++++++ 或11111111 123222222n n n n n n n n n +++???+≥++???+==+++ （8 ）1???+>???+== 三．常见题型 （一）．先求和再放缩: 1．设1111 2612 (1) n S n n = ++++ +，求证：1n S < 2．设1n b n = （n N *∈），数列2{}n n b b +的前n 项和为n T ，求证：34 n T <

常用放缩方法技巧

常用放缩方法技巧 证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下几种： ⑴添加或舍去一些项，如： a a >+12；n n n >+)1( ⑵将分子或分母放大（或缩小） ⑶利用基本不等式，如：4lg 16lg 15lg )2 5lg 3lg (5lg 3lg 2=<=+n n n n (5)利用常用结论： Ⅰ. 的放缩 Ⅱ. 21k 的放缩(1) ： 2111(1)(1) k k k k k <<+-（程度大） Ⅲ. 21k 的放缩(2)：22111111()1(1)(1)211k k k k k k <==+-+--+（程度小） Ⅳ. 2 1k 的放缩(3)：221 4112()412121k k k k <=+--+（程度更小） Ⅴ. 分式放缩还可利用真（假）分数的性质:)0,0(>>>++>m a b m a m b a b 和)0,0(>>>++

高中数学放缩法技巧全总结材料

2010高考数学备考之放缩技巧 证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下几种： 一、裂项放缩 例1.(1)求 ∑=-n k k 1 2 142 的值; (2)求证: 3 51 1 2 < ∑=n k k . 解析:(1)因为121121)12)(12(21 422+--=+-= -n n n n n ,所以12212111 4212 +=+-=-∑=n n n k n k (2)因为??? ??+--=-=- <1211212144 4 11 1 222n n n n n ,所以35321121121513121112=+-?>-?>?-=?=+ (14) ! )2(1!)1(1)!2()!1(!2+- +=+++++k k k k k k (15) )2(1)1(1 ≥--<+n n n n n (15) 11 1) 11)((1122222 222<++++= ++ +--= -+-+j i j i j i j i j i j i j i 例2.(1)求证:)2()12(2167) 12(1513112 22≥-->-++++n n n (2)求证:n n 412141361161412 -<++++ (3)求证:1122642)12(531642531423121-+< ????-????++????+??+n n n (4) 求证：)112(213 12 11)11(2-+<++++<-+n n n

放缩法的应用技巧

放缩法的应用技巧 放缩法证明数列不等式是高考数学命题的热点和难点。 所谓放缩法就是利用不等式的传递性， 对不等 式的局部进行合理的放大和缩小从而向结论转化，其难度在于放缩的合理和适度。证明数列型不等式，因 其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧从而充满思考性和挑战性。为了帮助更多的学生突破这 一难点，我们从以下几个方面对放缩法证明数列不等式的基本策略进行分析。 一、 常见的放缩方法 证题中经常用到的放缩方法法有： 1?“添舍”放缩：对不等式一边添项或舍项以达到放大和缩小的效果； 2.分式放缩：分别放缩分式的分子、分母或者同时放缩分子分母以达到放缩的效果； 3?利用重要的不等式或结论放缩： 把欲证不等式变形构造，然后利用已知的公式或恒不等式进行放缩， 例如均值不等式、柯西不等式、绝对值不等式、二项式定理、贝努力公式、真分数性质定理等。 4.单调性放缩：挖掘不等式的结构特征和函数内涵来构造单调数列或单调函数，禾U 用单调性、值域产 生的不等关系进行放缩。 二、 常见的放缩控制 分析3:分析1中从第二项开始放缩，放的最终有点大。可以调整放缩的项数，从第三项开始放缩。 由此可见，调整成功。显然从第三项开始放缩所得的结果比从第二项开始放缩所得的结果又更小 些。以此类推，当放缩的项数越少，放缩后的结果就会越来越精细，越来越逼近目标。 除此之外，还可以调整放缩的次数，通过多次放缩的调整来达到效果；有时也可以根据欲证式子 的结构特点，把相邻的项分组捆绑后进行放缩，也可以达到控制放缩合理和尺度的效果。 当我们选择了正确的放缩方法后， 却往往会在放缩的过程中不知不觉间失控, 达不到欲证的目标。那么如何控制好放缩的尺度呢？ 豹 … 1 1 1 1 7 例1 ?求证： 2 2 2 1 2 3 n 4 1：不等式左边不能直接求和，我们希望通过合适的放缩后可以求和。 “ 1 导致放缩的过大或过小, 分析 若采取 则左边 n(n 1) 1 1 【1】 分析 证明 【2】 很明显, 1 12 2 3 放得有点大了, 调整放缩的“量” 2:分析1中“放” 通过调整放大的 1 减少1,即二 n 1 1 1 ：左边 <1 -(' (n 1) 1 1 (n n 2) ”的方法向右端放大, (n 1) n 导致传递性失败, 1 1 1 1 (一—)( ) 1 2 2 3 不等式链中断，放缩失败。 1 1 ( ) n 1 n 那怎么办呢？ 的大小 的有点过大，因为右 “量”来控制放缩的效果。 1 1 1 1 、/ ( (n n 1 2 n 1 n 1 、1 ) (1 1 ) (j J ) + 2 1 3 2 4 3 5 2) 调整放缩的“项”的起点 —,放大了 2 丄 -2 n ( n 1 32 1 厂，放大了 分母减少了 n(n 1) 这样放的量就少了。 1 -?)=1+2(1 1 n 1 2 1 18 所以可以 n ，我们可以把分母只 ?)<1 + ；(1 ■)=； n 1 2 2 4 证明2:左边 1 1 — 4 2 3 亠1丄(丄丄) (n 1) n 4 2 3

高考数学数列不等式证明题放缩法十种方法技巧总结(供参考)

1. 均值不等式法 例1 设.)1(3221+++?+?=n n S n 求证.2 )1(2)1(2 +<<+n S n n n 例2 已知函数bx a x f 211 )(?+=，若54)1(=f ，且)(x f 在[0，1]上的最小值为21，求证：.2121 )()2()1(1-+ >++++n n n f f f 例3 求证),1(2 21321 N n n n C C C C n n n n n n ∈>?>++++- . 例4 已知222121n a a a +++=，222121n x x x +++=，求证：n n x a x a x a +++ 2211≤1. 2．利用有用结论 例5 求证.12)1 211()511)(311)(11(+>-++++n n 例6 已知函数 .2,,10,)1(321lg )(≥∈≤x x f x f 对任意*∈N n 且2≥n 恒成立。 例7 已知1 12111,(1).2n n n a a a n n +==+++ )(I 用数学归纳法证明2(2)n a n ≥≥； )(II 对ln(1)x x +<对0x >都成立，证明2n a e <（无理数 2.71828 e ≈） 例8 已知不等式21111[log ],,2232 n n N n n *+++>∈>。2[log ]n 表示不超过n 2log 的最大整数。设正数数列}{n a 满足：.2,),0(111≥+≤ >=--n a n na a b b a n n n 求证.3,][log 222≥+

不等式证明的常用基本方法

证明不等式的基本方法 导学目标：1.了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法.2.会用比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法证明比较简单的不等式． [自主梳理] 1.三个正数的算术—几何平均不等式：如果a ，b ，c>0，那么_________________________，当且仅当a ＝b ＝c 时等号成立． 2.基本不等式(基本不等式的推广)：对于n 个正数a 1，a 2，…，a n ，它们的算术平均不小于它们的几何平均，即a 1＋a 2＋…＋a n n ≥n a 1·a 2·…·a n ，当且仅当__________________时等号成立． 3.证明不等式的常用五种方法 (1)比较法：比较法是证明不等式最基本的方法，具体有作差比较和作商比较两种，其基本思想是______与0比较大小或______与1比较大小． (2)综合法：从已知条件出发，利用定义、______、______、性质等，经过一系列的推理、论证而得出命题成立，这种证明方法叫综合法．也叫顺推证法或由因导果法． (3)分析法：从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的________条件，直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实(定义 、公理或已证明的定理、性质等)，从而得出要证的命题成立为止，这种证明方法叫分析法．也叫逆推证法或执果索因法． (4)反证法 ①反证法的定义 先假设要证的命题不成立，以此为出发点，结合已知条件，应用公理、定义、定理、性质等，进行正确的推理，得到和命题的条件(或已证明的定理、性质、明显成立的事实等)矛盾的结论，以说明假设不正确，从而证明原命题成立，我们把它称为反证法． ②反证法的特点 先假设原命题不成立，再在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以是与已知条件矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、事实等矛盾． (5)放缩法 ①定义：证明不等式时，通过把不等式中的某些部分的值________或________，简化不等式，从而达到证明的目的，我们把这种方法称为放缩法． ②思路：分析观察证明式的特点，适当放大或缩小是证题关键． 题型一 用比差法与比商法证明不等式 1.设t ＝a ＋2b ，s ＝a ＋b 2＋1，则s 与t 的大小关系是( A ) ≥t >t ≤t 0;②a 2+b 2≥2(a -b-1);③a 2+3ab>2b 2;④,其中所 有恒成立的不等式序号是 ② . ②【解析】①a=0时不成立;②∵a 2+b 2-2(a-b-1)=(a-1)2+(b+1)2≥0,成立;③a=b=0时不成立;④a=2,b=1时不成立,故恒成立的只有②.

数列型不等式放缩技巧

数列型不等式放缩技巧 证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下几种： 一 利用重要不等式放缩 1． 均值不等式法 例1 设.)1(3221+++?+?=n n S n Λ求证.2 )1(2)1(2 +<<+n S n n n 解析 此数列的通项为.,,2,1,)1(n k k k a k Λ=+= 2121)1(+ =++<+ ++= +<∑=n n n k S n k n ，就放过“度”了！ ②根据所证不等式的结构特征来选取所需要的重要不等式，这里 n a a n a a a a a a n n n n n n 2 2111111++≤ ++≤≤++ΛΛΛΛ 其中，3,2=n 等的各式及其变式公式均可供选用。 例 2 已知函数bx a x f 211)(?+= ，若5 4)1(= f ，且)(x f 在[0，1]上的最小值为21，求证：.21 2 1)()2()1(1-+>++++n n n f f f Λ（02年全国联赛山东预赛题） 简析 )221 1()()1()0(2 2114111414)(?->++?≠?->+-=+=n f f x x f x x x x Λ .21 2 1)21211(41)2211()2211(1 12-+=+++-=?-++?-++-n n n n n ΛΛ 例3 已知b a ,为正数，且11 1=+b a ，试证：对每一个*∈N n ，1222)(+-≥--+n n n n n b a b a .（88年全国联赛题） 简析 由 111=+b a 得b a ab +=，又42)11)((≥++=++a b b a b a b a ，故4≥+=b a ab ，而n n n r r n r n n n n n n b C b a C b a C a C b a +++++=+--ΛΛ110)(， 令n n n b a b a n f --+=)()(，则)(n f =111 1 ----++++n n n r r n r n n n ab C b a C b a C ΛΛ，因为i n n i n C C -=，倒序相加得 )(2n f =)()()(111 111b a ab C b a b a C ab b a C n n n n r n r r r n r n n n n -------+++++++ΛΛ， 而12 1 1 1 1 2422+------=?≥≥+==+==+n n n n n n r n r r r n n n b a b a ab b a b a ab b a ΛΛ，则 )(2n f =))(22())((1 1r r n r n r n r r n r n r n n r n n b a b a b a b a C C C -----+-=+++++ΛΛ?-≥)22(n 12+n ，所以 )(n f ?-≥)22(n n 2，即对每一个*∈N n ，1222)(+-≥--+n n n n n b a b a . 例4 求证),1(2 2 1321N n n n C C C C n n n n n n ∈>?>++++-Λ. 简析 不等式左边=++++n n n n n C C C C Λ32112222112-++++=-n n Λ n n n 122221-?????>Λ=2 1 2 -?n n ，原结论成立. 2．利用有用结论 例5 求证.12)1 211()511)(311)(11(+>-++++n n Λ 简析 本题可以利用的有用结论主要有： 法1 利用假分数的一个性质)0,0(>>>++>m a b m a m b a b 可得 >-??122563412n n Λ=+??n n 212674523Λ)12(212654321+?-??n n n Λ

大学中常用不等式 放缩技巧

大学中常用不等式,放缩技巧 一：一些重要恒等式 ⅰ：12+22+…+n2=n(n+1)(2n+1)／6 ⅱ: 13+23+…+n3=(1+2+…+n)2 Ⅲ：cosa+cos2a+…+cos2n a=sin2n+1a／2n+1sina ⅳ:e=2+1／2！+1/3！+…+1/n！+a/(n！n) (0

二重要不等式 1:绝对值不等式 ︱︱x︱-︱y︱︱≤∣x±y∣≤︱x︱+︱y︱(别看简单，常用) 2：伯努利不等式 （1+x1）（1+x2）…（1+x n）≥1+x1+x2+…+x n(x i符号相同且大于-1) 3：柯西不等式 (∑ a i b i)2≤∑a i2∑b i2 4:︱sin nx︱≤n︱sin x︱ 5; (a+b)p≤2p max(︱a p︱,︱b p︱) (a+b)p≤a p+ b p (01) 6:(1+x)n≥1+nx (x>-1) 7:切比雪夫不等式 若a1≤a2≤…≤a n, b1≤b2≤…≤b n ∑a i b i≥(1/n)∑a i∑b i 若a1≤a2≤…≤a n, b1≥b2≥…≥b n ∑a i b i≤(1/n)∑a i∑b i 三：常见的放缩(√是根号)(均用数学归纳法证) 1：1/2×3/4×…×(2n-1)/2n<1/√(2n+1)； 2：1+1/√2+1/√3+…+1/√n>√n; 3：n！<【(n+1/2)】n

第一轮复习放缩法技巧全总结

放缩法在数列不等式中的应用 数列不等式是高考大纲在知识点交汇处命题精神的重要体现，在高考试题中占有重要地位，在近几年的高考试题中，多个省份都有所考查，甚至作为压轴题。而数列不等式的求解常常用到放缩法，笔者在教学过程中发现学生在用放缩法处理此类问题时，普遍感到困难，找不到解题思路。现就放缩法在数列不等式求解过程中常见的几种应用类型总结如下。 1. 直接放缩，消项求解 例1在数列{}{},n n a b 中,112,4a b ==,且1,,n n n a b a +成等差数列,11,,n n n b a b ++成等比数列. *N n ∈, （Ⅰ）求234,,a a a 及234,,b b b ,由此猜测{}{},n n a b 的通项公式,并证明你的结论; （Ⅱ）证明:1122111512 n n a b a b a b +++<+++L . 分析：（Ⅰ）数学归纳法。 （Ⅱ）本小题的分母可化为不相同的两因式的乘积，可将其放缩为等差型两项之积，通过裂项求和。 （Ⅰ）略解2(1)(1)n n a n n b n =+=+，． （Ⅱ）11115612 a b =<+．n ≥2时，由（Ⅰ）知(1)(21)2(1)n n a b n n n n +=++>+． 故112211111111622334(1)n n a b a b a b n n ??+++<++++ ?+++??+?? (111111562216412) n ??=+-<+= ?+??，综上，原不等式成立． 点评： 数列和式不等式中，若数列的通项为分式型，可考虑对其分母进行放缩，构造等差型因式之积。再用裂项的方法求解。 另外，熟悉一些常用的放缩方法， 如：),,2,1(1 1121n k n k n n Λ=+≤+≤,n n n n n n n n n 111)1(11)1(11112--=-≤<+=+- 例2设数列{}n a 满足*,1,1311N c c ca a a n n ∈-+==+其中c 为实数 （Ⅰ）证明：[0,1]n a ∈对任意*n N ∈成立的充分必要条件是[0,1]c ∈； （Ⅱ）设103 c <<，证明：1*1(3),n n a c n N -≥-∈; 分析：（Ⅰ）数学归纳法证明（Ⅱ）结论可变形为1)3(1-≤-n n c a ，即不等式右边为一等比数列通项形式，化归思路为对 n a -1用放缩法构造等比型递推数列， 即)1(3)1)(1(112 111-----≤++-=-n n n n n a c a a a c a

证明数列不等式之放缩技巧及缩放在数列中的应用大全

证明数列不等式之放缩技巧以及不等式缩放在数列中应用 大全 证明数列型不等式,其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧，充满思考性和挑战性。这类问题的求解策略往往是:通过多角度观察所给数列通项的结构,深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩. 一、利用数列的单调性 例１．证明：当Z n n ∈≥,6时, (2) 12 n n n +<. 证法一:令)6(2) 2(≥+=n n n c n n ，则0232)2(2)3)(1(1211<-=+-++= -+++n n n n n n n n n n c c ， 所以当6n ≥时，1n n c c +<．因此当6n ≥时，6683 1.644 n c c ?≤==< 于是当6n ≥时， 2 (2) 1.2n n +< 证法二：可用数学归纳法证．(1)当ｎ = 6时， 66(62)483 12644 ?+==<成立. （2）假设当(6)n k k =≥时不等式成立,即(2) 1.2 k k k +< 则当n =k +１时, 1(1)(3)(2)(1)(3)(1)(3) 1.222(2)(2)2k k k k k k k k k k k k k k ++++++++=?<<++ 由(1)、（２)所述,当ｎ≥６时，2 (1) 12 n n +<. 二、借助数列递推关系 例2．已知12-=n n a .证明: ()23 11112 3 n n N a a a *++++ <∈. 证明:n n n n n a a 121121************?=-?=-<-=+++ , ∴3 2])21(1[321)21(...12111112122132<-?=?++?+<+++= -+n n n a a a a a a S ． 例３. 已知函数f(ｘ)＝52168x x +-,设正项数列{}n a 满足1a =l,()1n n a f a +=. (1) 试比较n a 与 5 4 的大小，并说明理由； (2) 设数列{}n b 满足n b =54-n a ，记S ｎ=1 n i i b =∑.证明：当ｎ≥2时,Ｓn ＜14(2n -１）. 分析：比较大小常用的办法是作差法,而求和式的不等式常用的办法是放缩法。 解：（1） 因为10,0,n n a a +>>所以1680,0 2.n n a a -><<

常用放缩方法技巧

常用放缩方法技巧 Prepared on 22 November 2020

常用放缩方法技巧 证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下几种： ⑴添加或舍去一些项，如： a a >+12；n n n >+)1( ⑵将分子或分母放大（或缩小） ⑶利用基本不等式，如：4lg 16lg 15lg )2 5lg 3lg ( 5lg 3lg 2=<=+n n n n (5)利用常用结论： Ⅰ. 的放缩 <Ⅱ. 21k 的放缩(1) ： 2111(1)(1)k k k k k <<+-（程度大） Ⅲ. 21k 的放缩(2)：22111111()1(1)(1)211k k k k k k <==+-+--+（程度小） Ⅳ. 21 k 的放缩(3)：2214112()412121 k k k k <=+--+（程度更小） Ⅴ. 分式放缩还可利用真（假）分数的性质:)0,0(>>>++>m a b m a m b a b 和)0,0(>>>++

常用不等式-放缩技巧

一：一些重要恒等式 ⅰ：12+22+…+n2=n(n+1)(2n+1)／6 ⅱ: 13+23+…+n3=(1+2+…+n)2 Ⅲ：cosa+cos2a+…+cos2n a=sin2n+1a／2n+1sina ⅳ:e=2+1／2！+1/3！+…+1/n！+a/(n！n) (0

1:绝对值不等式 ︱︱x︱-︱y︱︱≤∣x±y∣≤︱x︱+︱y︱(别看简单，常用) 2：伯努利不等式 （1+x1）（1+x2）…（1+x n）≥1+x1+x2+…+x n(x i符号相同且大于-1) 3：柯西不等式 (∑ a i b i)2≤∑a i2∑b i2 4:︱sin nx︱≤n︱sin x︱ 5; (a+b)p≤2p max(︱a p︱,︱b p︱) (a+b)p≤a p+ b p (01) 6:(1+x)n≥1+nx (x>-1) 7:切比雪夫不等式 若a1≤a2≤…≤a n, b1≤b2≤…≤b n ∑a i b i≥(1/n)∑a i∑b i 若a1≤a2≤…≤a n, b1≥b2≥…≥b n ∑a i b i≤(1/n)∑a i∑b i 三：常见的放缩(√是根号)(均用数学归纳法证) 1：1/2×3/4×…×(2n-1)/2n<1/√(2n+1)； 2：1+1/√2+1/√3+…+1/√n>√n; 3：n！<【(n+1/2)】n

放缩法技巧全总结

放缩技巧 证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下几种： 一、裂项放缩 例1.(1)求∑ =-n k k 121 42的值; (2)求证:3511 2 <∑ =n k k . 解析:(1)因为121121)12)(12(2142 2+--=+-=-n n n n n ,所以12212111 4212 +=+-=-∑=n n n k n k (2)因为 ??? ??+--=-=- <1211212144 4 111 222 n n n n n ,所以35321121121513121112=+-?>-?>?-=?=+ (14) ! )2(1!)1(1)!2()!1(!2+- +=+++++k k k k k k (15) )2(1) 1(1 ≥--<+n n n n n

几大放缩方法

高等（泰勒、定积分）放缩 这种放缩其实是不难的，题目出来出去也就这么几种，这种放缩类型的题在高考中尤其受欢迎，近几年也频频出现，它有着浓厚的高等数学背景，大多跟泰勒展开和定积分有关，下面我们先简单介绍一下泰勒公式和定积分的知识。 一 在初等数学中，我们可直接认为泰勒公式是： (2)()2 0000000()()()()()()()...()1!2!! n n f x f x f x f x f x x x x x x x n '=+-+-++- 特别的，取00x =，我们有 (2)()2(0)(0)(0)()(0)...1!2!! n n f f f f x f x x x n '=++++ 下面列举常见的泰勒展开式： () ()()() 212135 21...1!2!! 1sin ...3!5!21! n x n n n n x x x e o x n x x x x x o x n --=+++++-=-++++- ()()()22 4 211cos 1...2!4!2! n n n x x x x o x n +-=-++++ () ()()() 35 5123 12tan 315 11ln 1...123n n n x x x x o x x x x x x o x n +=++++=-+++-+ ()21 1...1n n x x x o x x =+++++- 上述泰勒展开式是用于函数放缩的有力工具，可以将一切难看的函数（sin,cos,ln 等）转化为一元多项式，便于导数求解。 定积分其实从几何图形上理解就是求面积，比如求函数2 ()f x x =的图像与x 轴从1到3围成的图形的面积（如下图）

证明数列不等式的常用放缩方法技巧精减版

证明数列不等式的常用放缩方法技巧 证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下几种： ⑴添加或舍去一些项，如：a a >+12；n n n >+)1( ⑵将分子或分母放大（或缩小） ⑶利用基本不等式，如：4lg 16lg 15lg )25lg 3lg (5lg 3lg 2=<=+n n n n (5)利用常用结论： Ⅰ. 的放缩 Ⅱ. 21k 的放缩(1) ： 2111(1)(1)k k k k k <<+-（程度大） Ⅲ. 21k 的放缩(2)：22111111()1(1)(1)211k k k k k k <==+-+--+（程度小） Ⅳ. 2 1k 的放缩(3)：221 4112()412121k k k k <=+--+（程度更小） Ⅴ. 分式放缩还可利用真（假）分数的性质:)0,0(>>>++>m a b m a m b a b 和)0,0(>>>++

浅谈用放缩法证明不等式的方法与技巧

浅谈用放缩法证明不等式的方法与技巧 黄荟宇 放缩法：为放宽或缩小不等式的范围的方法。常用在多项式中“舍掉一些正（负）项”而使不等式各项之和变小（大），或“在分式中放大或缩小分式的分子分母”，或“在乘积式中用较大（较小）因式代替”等效法，而达到其证题目的。 所谓放缩的技巧：即欲证B A ≤，欲寻找一个（或多个）中间变量C ，使B C A ≤≤，由A 到C 叫做“放”，由B 到C 叫做“缩”。 常用的放缩技巧还有：（1）若,A t A ,A t A ,0t <->+>（2） ,n 1n <-n n 2>,1n 11n ,1n ->-+-+), 0n (n n )1n (n 2>=>+<<+=+-2n 1)1n (n 11n 1n 1 ).1n n (2n 1n n 21n n 2)n 1n (2),1n (n 11n 1)1n (n 1--<=+<++=-+>--=-（3）若,R m b a +∈、、则.b m a b a ,m b a b a +<+>（4） +++<++++221211!n 1!31!211 .211n -+ （5）.n 12)n 11n 1()3121()211(1n 131211222-=--++-+-+<++++ （6）11n n 1n 11n 11n 1n 212n 11n 1<+=++++++≤+++++ 或≥+++++n 212n 11n 1 .21n 2n n 21n 21n 21==++ （7）n n n n 1n 1n 1n 131211==+++>++++ 等等。 用放缩法证明下列各题。 例1 求证：.133lg 3lg ∈求证：.1)1n (log )1n (log n n ≤+?- 证明：因为,11n ,2n >->所以,0)1n (log ,0)1n (log n n >+>-因为 4)]1n ([log ]2)1n (log )1n (log [)1n (log )1n (log 2 2n 2n n n n -=++-≤+?-［因为22n 1n <-（放 大），所以,n log )1n (log 2n 2n <-又,2n >所以x log n 是增函数］，所以 14)n (log 4)]1n ([log 2 2n 22n =<-，所以.1)1n (log )1n (log n n <+?-