放缩法技巧及经典例题讲解

放缩法技巧及经典例题讲解 一．放缩技巧

所谓放缩的技巧：即欲证A B ≤，欲寻找一个（或多个）中间变量C ，使A C B ≤≤，

由A 到C 叫做“放”，由B 到C 叫做“缩”.常用的放缩技巧 （1）若0,,t a t a a t a >+>-< （2

）

<

>

11>

n >=

（3）

21111111(1)1(1)(1)1n n n n n n n n n n

-=<<=->++-- （

4

）=

<=<=

（5）若,,a b m R +

∈，则

,a a a a m

b b m b b

+><

+ （6）21111111

112!3!!222

n n -+

++???+<+++???+

（7）22211111111

11(1)()()

232231n n n

+

++???+<+-+-+???+--（因为211(1)n n n <-） （7）

1111111112321111

n

n n n n n n n n +++???+≤++???+=<+++++++

或

11111111

123222222

n n n n n n n n n +++???+≥++???+==+++ （8

）1+???+>???+== （9）

)1(11)1(12-<<+k k k k k ，??

????--≤！！（！k k k 1)11211

（10） 1

211

2-+<

<++k k k k k

【经典回放】

例1、设数列{}n a 的前n 项和为n S .已知11a =,

21212

33

n n S a n n n +=---,*n ∈N . (Ⅰ) 求2a 的值；

(Ⅱ) 求数列{}n a 的通项公式；

(Ⅲ) 证明:对一切正整数n ,有

12

11174

n a a a +++

<. 【解析】(Ⅰ) 依题意,1212

213

3S a =-

--,又111S a ==,所以24a =； (Ⅱ) 当2n ≥时,3211223

3

n n S na n n n +=---

, ()()()()32

1122111133n n S n a n n n -=--

----- 两式相减得()()()2

112213312133

n n n a na n a n n n +=---

-+--- 整理得()()111n n n a na n n ++=-+,即

111n n a a n n

+-=+,又21121a a

-=

故数列n a n ??

?

???

是首项为111a =,公差为1的等差数列,

所以

()111n

a n n n

=+-?=,所以2n a n =. (Ⅲ) 当1n =时,

11714a =<；当2n =时,12111571444

a a +=+=<； 当3n ≥时,

()21111111n a n n n n n =<=---,此时 22212

111111

1111111

111434

423341n a a a n n n ????

??+++

=+++++

<++-+-++- ? ? ?-????

??

11171714244

n n =+

+-=-< 综上,对一切正整数n ,有12

11174

n a a a +++<. 例2：

【经典例题】

例1、设数列{}n a 满足12,311+-==+n a a a n n

（1） 求{}n a 的通项公式； （2） 若11111,1,1++-=-=

-==n n n n n n n c c d n a c c b c 求证：数列{}n n d b ?的前n 项和3

1

(2)1(1B An a B n A a n n ++=++++

即

B

A An a a n n +-+=+21与已知条件式比较系数得.0,1=-=

B A )(2)1(1n a n a n n -=--∴+又}

{,211n a a n -∴=-是首项为2，公比为2的等比数列。

n

a n a n n n n +==-∴2,2即.

（3） 由（1）知

n n n n b n a 21

,2=

∴+=. 当2≥n 时,

.2122

1121

121...21211......1)(...)()(1

12121123121-----=--

=++++=++++=-++-+-+=n n n n n n n b b b c c c c c c c c

当n=1时，1

c =1也适合上式，所以

1

212--

=n n c ，故

)12)(22(1)21212121(211

11--=---=

++-n n n

n n n n d b

方法一：n

n 2221≥-+ ，3121

≥-+n (这步难度较大,也较关键,后一式缩至常数不易想到.必须要

有执果索因的分析才可推测出.)

3

1)211(31211)21(161231...231231,2312<-?=--?=?++?+?≤∴?≤∴n n

n n n n n S d b .

方法二 :在数列中,简单尝试的方法也相当重要.很多学生做此题时想用裂项相消法但是发现此种处理达不到目的.但是当n ≥3时,我们看:

121)]221121(...)301151()14171[(31121

221 (1511417161617)

1

31)12()22(1 (151417613211)

11111-----++-+--=---++-+-+=--?-++?+?+?=

++++++n n n n n n n n n n S S S 我们可重新加括号得

这样由前二项会得到 .

..31

0121

,02211211

1也易让学生接受步想法这样也实现了我们的初得证故显然

<>->---++n n n n s 易验证当n=1，2时 31<

n s . 综上31

<

n s

例2、已知正项数列{}n a 满足()

()

*2

1111

,1N n a n a a a n n n ∈?++

==+ （1） 判断数列{}n a 的单调性； （2） 求证：

()

2

111

112111+<-<+-++n a a n n n n 分析：（1）n

n n n a a n a a >>+=

-++12

10)1(1

故 ，即n n a a >+1

故数列{

n

a }为递增数列.

(2) 不妨先证

21)

1(1

11+<-+n a a n n

.)

1(1

)1(1)1(1

12

121

21

11

+

+=

-=-+++++n a a n a a n a a a a a a a n n n n n

n n n

n n n

再证：1

1

12111+-<+-+n n a a n n

原解答中放缩技巧太强，下面给出另一种证法

1

11111...3121211).)

1(1

)1(1()1(1...321211)1(1...3121)11(...)11()11(1122

221

322111+-

=+-++-+-=+<++++?+?<++++<-++-+-=-++n n n n n n n n n a a a a a a a a n n n 这种常用的放缩手段用到了累差迭加法及

1

11

21

2

21111)1(1])

1(1[)1(1

1++++++-=-∴

++=∴++=++=+<∴n n n

n n n n n n n n n n n n a a a a a a n a a a n a a a n a a n a

])1(1[)1(1

)1(1)1(2

21

2

1

2++

+=

+=

+=

++n a n a a n a a n a n

n

n n n n

.

,)1

1)(1(1

也易让学生接受的这种证法还是比较自然++

++=

n a n n n

.

当2≥n 时，11<<+n a n a n n 2

1

11)2)(1(1111+-+=++>-∴

+n n n n a a n n .

易验证当n=1时,上式也成立.

综上,故有2

1)

1(1

112111+<-<+-++n a a n n n n 成立.

经典方法归纳：

一．先求和后放缩

例1．正数数列{}n a 的前n 项的和n S ，满足12+=n n a s ，试求： （1）数列{}n a 的通项公式； （2）设11+=

n n n a a b ，数列{}n b 的前n 项的和为,n B ，求证：2

1

2

)1(4+=n n a S ，2≥n 时，211)1(4+=--n n a S ，作差得：

1

2

12224----+=n n n n n a a a a a ，所以

)2)((11=--+--n n n n a a a a ，又因为

{}n a 为正数数列，所

以

2

1=--n n a a ，即

{}n a 是公差为2的等差数列，由12

11+=a S ，得11=a ，所以12-=n a n

（2）

)

121

121(21)12)(12(111+--=+-==

+n n n n a a b n n n ，所以

21)12(2121)1211215131311(21<+-=+---+-=

n n n B n

注：一般先分析数列的通项公式．如果此数列的前n 项和能直接求和或者通过变形后求和，则采用先求和再放缩的方法来证明不等式．求和的方式一般要用到等差、等比、差比数列（这里所谓的差比数列，即指数列{}

n a 满足条件

()

n f a a n n =-+1）求和或者利用分组、裂项、倒序相加等方法来

求和．

例2、已知*

21().n n a n N =-∈求证：

*12

231

1...().23n n a a a n n N a a a +-<+++∈ 证明：

111211111111

.,1,2,...,,2122(21)2 3.222232

k k k k k k

k k a k n a +++-==-=-≥-=--+-

1222311111111

...(...)(1),2322223223

n n n n a a a n n n a a a +∴

+++≥-+++=-->-

*122311...().232

n n a a a n n

n N a a a +∴-<+++<∈ 若多项式中加上一些正的值，多项式的值变大，多项式中加上一些负的值，多项式的值变小。

由于证明不等式的需要，有时需要舍去或添加一些项，使不等式一边放大或缩小，利用不等式的传

递性，达到证明的目的。本题在放缩时就舍去了22k -，从而是使和式得到化

二．先放缩再求和 1．放缩后成等差数列，再求和

例1．已知各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ,且n n n as a a 22

=+.

(1) 求证：4

2

21

++<

n a a S n n ；

(2) 求证：

2

1

21

321-<+???+++<+n n n s s s s s s 解：（1）在条件中，令1=n ，得1112

122a S a a ==+，1011=∴>a a ，又由条件n n n S a a 22=+有1

12

12+++=+n n n S a a ，上述两式相减，注意到

n

n n S S a -=++11得

0)1)((11=--+++n n n n a a a a

01>+∴>+n n n a a a ∴

11

n n a a +-=

所以，

n

n a n =-?+=)1(11，

(1)

2n n n S +=

所以42)1(212)1(2

1

2

22++=

++?<+=n n n a a n n n n S

（2）因为

1)1(+<+

2)1(2

+<+<

n n n n

，所以

2)

1(23222121++

+?+?=

++n n S S S n 212322++++

12

2312-=

+=

+n S n n ；

22

2)1(2222121n n S n n n S S S =+=+

++>

++

例2．已知数列{}n a 满足：()???=??? ??

+

==+3,2,121,111n a n a a n n n ．求证:1

121

3-++-≥≥n n

n n a a . 证明：因为

n

n n a n

a )21(1+

=+，所以1+n a 与n a 同号，又因为011>=a ，所以0>n a ，

即

021>=

-+n n n n a n

a a ，即n n a a >+1．所以数列{}n a 为递增数列，所以11=≥a a n ，

即

n n n n n n a n a a 221≥=

-+，累加得：121

212221--+++≥-n n n a a ．

令

12212221--+++=

n n n S ，所以n n n S 21

22212132-+++= ，两式相减得：

n

n n n S 212121212121132--++++=- ，所以

1212-+-=n n n S ，所以121

3-+-≥n n n a ， 故得1121

3-++-

≥>n n n n a a ．

2．放缩后成等比数列，再求和

例2．（1）设a ，n ∈N *

，a ≥2，证明：()()n n

n

a a a a

12+≥--；

（2）等比数列{a n }中，211-=a ，前n 项的和为A n ，且A 7，A 9，A 8成等差数列．设n

n

n a a b -=12

，

数列{b n }前n 项的和为B n ，证明：3

1

<

n B ． 解：（1）当n 为奇数时，a n

≥a ，于是，n n n n n a a a a a a ?+≥+=--)1()1()(2．

当n 为偶数时，a －1≥1，且a n ≥a 2

，于是

n n n n n n n a a a a a a a a a a a ?+≥?-+=?-≥-=--)1()1)(1()1()1()(22．

（2）∵9789A A a a -=+，899A A a -=-，899a a a +=-，∴公比

981

2

a q a =

=-．

∴

n

n a )21

(-=． n

n n n

n n b 231

)2(41)2

1(141

?≤

--=

--=

．

∴n

n b b b B ++=2131)211(31211)

211(213123123123122<-=--?

=?++?+?≤n n ．

3．放缩后为裂项相消，再求和

例5．在m （m ≥2）个不同数的排列P 1P 2…P n 中，若1≤i ＜j ≤m 时P i ＞P j （即前面某数大于后面某 数），则称P i 与P j 构成一个逆序. 一个排列的全部逆序的总数称为该排列的逆序数. 记排列()()32111???-+n n n 的逆序数为a n ，如排列21的逆序数11=a ，排列321的逆序数

.63=a ．

（1）求a 4、a 5，并写出a n 的表达式； （2）令,1

1n

n n n n a a a a b +++=

，证明,32221+<+???++

,1054==a a ，

2)1(12)1(+=

+++-+=n n n n a n .

（2）因为 ,2,1,22

222211==+?+>+++=+=

++n n n n n n n n n a a a a b n n n n n ，

所以

n

b b b n 221>+++ .

又因为

,2,1,222222=+-+=+++=

n n n n n n n b n ，

所以

)]

21

1()4121()3111[(2221+-++-+-+=+++n n n b b b n =3222

1232+<+-+-

+n n n n .

综上，

,2,1,32221=+<++

注：常用放缩的结论：（1）)

2(1

11)1(11)1(11112≥--=-<<+=+-k k k k k k k k k k

（2）．)

2)(11

1(

21

211

2)1

11(

2≥-

-=-+<

<

++=

+-

k k

k k k k

k k k k

三. 裂项放缩

1、若欲证不等式含有与自然数n 有关的n 项和，可采用数列中裂项求和等方法来解题。 例1. 已知n ∈N*，求n n

2131211<+???++

。 证明：因为122

121n n n n n n n =++-=--＜（）

，则11213+++ …＜（）（）…（）＜+

+-+-++--=-1122123221212n

n n n n

，证毕。

例2、已知a n =n ，求证：∑n

k=1

k a 2

k

＜3．

证明：∑

n

k=1

2

k

a

=∑n

k=1

＜1＋∑n

k=2

1

(k －1)k (k ＋1)

＜１＋∑n

k=2

2

(

k －1)(k ＋

1) ( k ＋1

＋k －1 ) =1n

k =+

=1＋ ∑n

k=2

(

1(k

－1)

－

1(k ＋

1)

)

=1＋1＋

2

－1(n ＋1) ＜2＋2＜3．

本题先采用减小分母的两次放缩，再裂项，最后又放缩，有的放矢，直达目标.

例 3. 已知*

N n ∈且)1(3221++???+?+?=n n a n ，求证：

()()2

1212

+<<+n a n n n 对所有正整数

n 都成立。

证明：因为

n n n n =>+2

)1(，所以

2)

1n (n n 21a n +=

+++> ，

又

2)1()1(+<

+n n n n ，

所以2)1n (21n 225232)1n (n 232221a 2

n +=

++++=++++++< ，综合知结论成立。

2、固定一部分项，放缩另外的项； 例4、求证：

2

222111

17123

4

n ++++

< 证明：

21111

(1)1n n n n n

<=--- 222

221111*********

1()().123223

1424

n n n n ∴

++++

<++-++

-=+-<- 此题采用了从第三项开始拆项放缩的技巧，放缩拆项时，不一定从第一项开始，须根据具体题型分别对待，即不能放的太宽，也不能缩的太窄，真正做到恰倒好处。

例5、设++

=a

n a 2

1

1.2,131≥++a n a a 求证：.2

n a a ++++≤++ 又2),1(2≥->?=k k k k k k （只将其中一个k 变成1-k ，进行部分放缩），k k k k k 1

11)1(112--=-<∴，

于是)111()3121()211(11312112

22n n n a n --++-+-+<++++≤ .21

2<-=n

例10 设数列{}n a 满足()++∈+-=N n na a a n n n 12

1，当31≥a 时证明对所有,1≥n 有

2)(+≥n a i n ；2

1

111111)

(21≤++++++n a a a ii （02年全国高考题） 解析 )(i 用数学归纳法：当1=n 时显然成立，假设当k n ≥时成立即2+≥k a k ，则当

1+=k n 时312)2(1)2(1)(1+>+?+≥+-+≥+-=+k k k k a k a a a k k k k ，成立。

)(ii 利用上述部分放缩的结论121+≥+k k a a 来放缩通项，可得

?+≥++)1(211k k a a .2

1

11242)1(2111111++--≤+?

=?≥+≥≥+k k k k k k a a a .212

11)21(14

12111

11

1

≤--?

=≤++==∑∑

n

i n

i i n

i a 注：上述证明)(i 用到部分放缩，当然根据不等式的性质也可以整体放缩：

31)2)(2(1+>+-++≥+k k k k a k ；证明)(ii 就直接使用了部分放缩的结论121+≥+k k a a 。

3. 添减项放缩

例11 设N n n ∈>,1，求证)

2)(1(8

)32(++

简析 观察n

)3

2

(的结构，注意到n

n

)2

11()2

3(+=，展开得

86)2)(1(8)1(212

121211)211(33

221+++=

-++≥+?+?+?+=+n n n n n C C C n n n n ， 即8

)2)(1()2

11(++>+n n n ，得证.

四. 公式放缩

利用已知的公式或恒不等式，把欲证不等式变形后再放缩，可获简解。

例6. 已知函数(),1212+-=x x x f 证明：对于*N n ∈且3≥n 都有()1

+>n n

n f 。 证明：由题意知

)12)(1()

12(212211)111()1

221(112121)(+++-=

+-+=+--+-=+-+-=+-n n n n n n n n n n n n n n n f 又因为*N n ∈且3≥n ，所以只须证122+>n n ，又因为

1n 21n 2

)

1n (n n 1C C C C C )11(2n

n 1

n n

2

n 1

n 0

n n n +>+++-+

+=+++++=+=- 所以

1)(+>

n n n f 。

巩固练习： 1．设1n b n =

（n N *∈），数列2{}n n b b +的前n 项和为n T ，求证：34n T <

1．证：1

n b n

= 21111

()(2)22

n b b b n n n n +=

=-++

1324352n n n T b b b b b b b b +=+++

11111111111[()()()()()]2132435462

n n =-+-+-+-+

+-+ 11113(1)22124n n =+--<++

2．设2

22111123

n S n

=+

+++

（1）求证：当2n ≥时，

21

n n

S n <<+； （2）试探究：当2n ≥时，是否有

65

(1)(21)3

n n S n n <<++说明理由.

2．解：（1）∵当2n ≥时，

21111(1)1n n n n n

<=--- ∴22

21111111111[(1)()(

)]23223

11

n n n ++++

<+-+-++--+＝1

21n -+2<

又∵

21111

(1)1

n n n n n >=-++ ∴11111(1)()()2

231

n S n n >-+-++-+1111n

n n =-=++ ∴当2n ≥时，

21

n n

S n <<+. （2）∵

22144112()4(21)(21)2121

n n n n n n =<=--+-+ ∴2

22111111111

112[()()(

)]23

3557

2121

n n n +

+++

<+-+-++--+

＝

52321n -

+5

3

< 当2n ≥时,要6(1)(21)n n S n n >

++只需61(1)(21)

n n

n n n >+++

即需216n +>，显然这在3n ≥时成立 而215144

S =+

=,当2n ≥时

6624(1)(21)(21)(41)5n n n ?==++++ 显然54

45> 即当2n ≥时6(1)(21)

n n

S n n >

++也成立

综上所述：当2n ≥时，有65

(1)(21)3

n n S n n <<++.

3．设135

21

246

2n n b n

-=????

，求证：

（1）

n b <

（2）1231n b b b b ++++<

3．证法一：∵2

2

414,n n -<∴2

2

2

(21)(21)4(21)(21)4(21).n n n n n n n -+

∴

21

2n n -< ∴

1352135

21246

2357

2121

n n n n n --????

=

++………………10分

证法二：

212n n -<=，下同证法一. …………10分

证法三：（利用对偶式）设135

21246

2n n A n -=??，246235721

n n

B n =??+， 则121n n A B n =+.又22414n n -<，也即212221n n n n -<+，所以n n A B <，也即2

121

n n n A A B n <=+，

又因为0

n A >，所以n A <

.即

13521246

2n n -????

<

………………10分 证法四：（数学归纳法）①当1n =时, 112x =

<,命题成立

; ②假设n k =时,命题成立,即

135

21246

2k k -??<

则当1n k =

+时,

13521212124622(1)2(1)k k k k k k -++???<=

++ 2

2

22

2

22211(21)(23)4(1)4(1)234(23)(1)(483)(484)1

4(23)(1)4(23)(1)k k k k k k k k k k k k k k k k +++-

+-=++++

++-++-=

=<++++

22114(1)23k k k +

∴

<++ 即22k <

+ 即

1352121246

2

2(1)k k k k -+

???<+

故当1n k =+时，命题成立.

综上可知，对一切非零自然数n ，不等式②成立. ………………10分

②由于

<< 所以

k b <

<， 从而12(31)(53)(2121)1n b b b n n ++<-+-+

++--=.

也即1221n b b b a +

+<………………14分

4．设n a n =，21

2

(

)n n n b a a +=+

求证（1）

12n n a a +<

+

（2）*123()1

n n

b b b b n N n ++++<

∈+

4． 证明：（法一）

111211232

2(1)211

(

),9(1)(1)

111

1223(1)

n n n n n n n n

n n n n a a a a a a a a n n b a a n n n n b b b n n +++++>?∴<=

+?+∴<<

+++∴+++

+<

+++??+即分

b

11111111223111

n

n n n n =-+-++-=-=

+++ ………………12分 （法二）（1）当21241

1,(),21192

n b =====?+时右右，显然成立 …………5分

（2）假设n k =时，

2

1212()123

k k b b b k k +++

+<

+++ ………………7分 22222222221()1232

(2)(23)4(1)(2)(1)(23)(1)(23)(2)

(23)[(2)(1)]4(32)(1)(23)(2)

k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k ++-++++++++-++=++?+++-++++=

++?+

221211

(1)(23)(2)21()1232

11

112(1)1k k k k k k k k k k k b b b k k +-=

<++?++∴+<+++++∴+++<=

+++分

即当1n k =+时，不等式成立，由（1）（2）可得原不等成立。…………12分

5． 设2

(1)n b n =+，(1)n a n n =+， 求证:

11221115

12n n a b a b a b +++<+++…

5．证明: 当1n =时，11115

612

a b =<+．

当2n ≥时.

(1)(21)2(1)n n a b n n n n +=++>+．

11111

()2(1)21

n n a b n n n n <=-+++

故

112211111111622334(1)n n a b a b a b n n ??

+++<++++ ?+++??+??

…… 111111116223341n n ??=

+-+-++- ?+?? (111111562216412)

n ??=+-<+= ?+?? 综上，原不等式成立．

6．设n S 为数列}{

n a 的前n 项和，对任意的∈n N *

，都有()1n n S m ma =+-m (为常数，且0)m >．

（1）求证：数列}{

n a 是等比数列；

（2）设数列}{

n a 的公比()m f q =，数列{}n b 满足()1112,n n b a b f b -== (2n ≥，∈n N *

)，

求数列{}n b 的通项公式；

（3）在满足（2）的条件下，求证：数列{}

2n b 的前n 项和89

18

n T <

． 6．（1）证明：当1=n 时，()1111a S m ma ==+-，解得11=a ． 当2n ≥时，11n n n n n a S S ma ma --=-=-． 即()11n n m a ma -+=． ∵m 为常数，且0m >，∴

11n n a m

a m

-=+()2n ≥． ∴数列}{

n a 是首项为1，公比为

1m

m

+的等比数列． （2）解：由（1）得，()m f q =1m

m

=+，1122b a ==．

∵()1

11

1n n n n b b f b b ---==

+，

∴

1111n n b b -=+，即1111

=--n n b b ()2n ≥．

∴?

?

???

?n b 1是首项为1

2，公差为1的等差数列． ∴

()11211122n n n b -=+-?=，即221

n b n =-（∈n N *

）． （3）证明：由（2）知221n b n =

-，则()

22

421n b n =-．…所以222

2123n n T b b b b =++++

()

2

44

4

4925

21n =+++

+-，

当2n ≥时，

()

()2

4

411

222121n n n n n <

=----，

所以()

2

444

4925

21n T n =+

+++

-

411111

14923341n n ??????<++-+-++- ? ? ?-??????

4011899218

n =+-<．

7.在单调递增数列{}n a 中，11a =，22a =，且21221,,n n n a a a -+成等差数列，22122,,n n n a a a ++成等比数列，

1,2,3,

n =．

（1）分别计算3a ，5a 和4a ，6a 的值； （2）求数列{}n a 的通项公式（将n a 用n 表示）；

（3）设数列1{}n a 的前n 项和为n S ，证明：42n n S n <+，n *∈N ．

解：（1）由已知，得33a =，56a =，49

2

a =

，68a = . （2）（证法1）121222a ?==，362322a ?==，51234

22a ?==，……；

2222a =，2432a =，2

642

a =，…….

∴猜想21

(1)

2

n n n a -+=

,22(1)2n n a +=，*n N ∈， 以下用数学归纳法证明之． ①当1=n 时，21111a a ?-==，221

222

a ?==，猜想成立； ②假设(1,*)n k k k N =≥∈时，猜想成立，即21(1)

2

k k k a -+=

,22(1)2k k a +=， 那么

[]22(1)121221

(1)(1)1(1)(1)22222

k k k k k k k k k a a a a +-+-+++++==-=?-=,

[]

[]2

2

2

22

12(1)22

2

2(1)(2)(1)1(2)222

(1)2

k k k k

k k k a k a a a k ++++++++=====+. ∴1+=k n 时，猜想也成立．

由①②，根据数学归纳法原理，对任意的*n N ∈，猜想成立．

∴当n 为奇数时，8

)

3)(1(212121++=???

??+++=n n n n a n ；

当n 为偶数时，8

)2(21222

+=

?

?? ??+=n n a n ． 即数列}{n a 的通项公式为???????+++=为偶数为奇数n n n n n a n ,8

)2(,8

)

3)(1(2

． （注：通项公式也可以写成16

)1(721

812n n n n a -+++=）

（证法2）令1

21

2-+=

n n n a a b ，*n N ∈，则

高中数列放缩法技巧大全

高中数列放缩法技巧大全 证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下几种： 一、裂项放缩 例1.(1)求∑ =-n k k 121 42的值; (2)求证:2 1153n k k =<∑ . 解析:(1)因为 1 21 121)12)(12(21422+- -=+-= -n n n n n ,所以1 2212111 42 1 2 += +- =-∑=n n n k n k (2)因为22211411214121214 n n n n n ??<==- ?--+??- , 所以35321121121513121112 =+

(完整版)高二数学归纳法经典例题

例1．用数学归纳法证明： ()()12121217 51531311+=+-++?+?+?n n n n Λ． 请读者分析下面的证法： 证明：①n =1时，左边31311=?=，右边3 1121=+=，左边=右边，等式成立． ②假设n =k 时，等式成立，即： ()()12121217 51531311+=+-++?+?+?k k k k Λ． 那么当n =k +1时，有： ()()()()32121121217 51531311++++-++?+?+?k k k k Λ ????????? ??+-++??? ??+--++??? ??-+??? ??-+??? ? ?-=3211211211217151513131121k k k k Λ 322221321121++?=??? ??+-= k k k ()1 121321+++=++=k k k k 这就是说，当n =k +1时，等式亦成立． 由①、②可知，对一切自然数n 等式成立． 评述：上面用数学归纳法进行证明的方法是错误的，这是一种假证，假就假在没有利用归纳假设n =k 这一步，当n =k +1时，而是用拆项法推出来的，这样归纳假设起到作用，不符合数学归纳法的要求． 正确方法是：当n =k +1时． ()()()()32121121217 51531311++++-++?+?+?k k k k Λ ()() 3212112++++=k k k k ()()()()()() 321211232121322++++=++++=k k k k k k k k

()1 121321+++=++=k k k k 这就说明，当n =k +1时，等式亦成立， 例2．是否存在一个等差数列{a n }，使得对任何自然数n ，等式： a 1+2a 2+3a 3+…+na n =n (n +1)(n +2) 都成立，并证明你的结论． 分析：采用由特殊到一般的思维方法，先令n =1，2，3时找出来{a n }，然后再证明一般性． 解：将n =1，2，3分别代入等式得方程组． ?????=++=+=603224 26321 211a a a a a a ， 解得a 1=6，a 2=9，a 3=12，则d =3． 故存在一个等差数列a n =3n +3，当n =1，2，3时，已知等式成立． 下面用数学归纳法证明存在一个等差数列a n =3n +3，对大于3的自然数，等式 a 1+2a 2+3a 3+…+na n =n (n +1)(n +2)都成立． 因为起始值已证，可证第二步骤． 假设n =k 时，等式成立，即 a 1+2a 2+3a 3+…+ka k =k (k +1)(k +2) 那么当n =k +1时， a 1+2a 2+3a 3+…+ka k +(k +1)a k +1 = k (k +1)(k +2)+ (k +1)[3(k +1)+3] =(k +1)(k 2+2k +3k +6) =(k +1)(k +2)(k +3) =(k +1)[(k +1)+1][(k +1)+2] 这就是说，当n =k +1时，也存在一个等差数列a n =3n +3使a 1+2a 2+3a 3+…+na n =n (n +1)(n +2)成立． 综合上述，可知存在一个等差数列a n =3n +3，对任何自然数n ，等式a 1+2a 2+3a 3+…+na n =n (n +1)(n +2)都成立． 例3．证明不等式n n 21 31 21 1<++++Λ (n ∈N)． 证明：①当n =1时，左边=1，右边=2．

常用放缩方法技巧

常用放缩方法技巧 证明数列型不等式,因其思维跨度大、构造性强,需要有较高得放缩技巧而充满思考性与挑战性,能全面而综合地考查学生得潜能与后继学习能力,因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题得极好素材。这类问题得求解策略往往就是:通过多角度观察所给数列通项得结构,深入剖析其特征,抓住其规律进行恰当地放缩;其放缩技巧主要有以下几种: ⑴添加或舍去一些项,如:; ⑵将分子或分母放大(或缩小) ⑶利用基本不等式,如:; ⑷二项式放缩:,, (5)利用常用结论: Ⅰ、得放缩 : Ⅱ、得放缩(1) : (程度大) Ⅲ、得放缩(2):(程度小) Ⅳ、得放缩(3):(程度更小) Ⅴ、分式放缩还可利用真(假)分数得性质:与 记忆口诀“小者小,大者大”。解释:瞧b,若b小,则不等号就是小于号,反之亦然、 Ⅵ、构造函数法构造单调函数实现放缩。例:,从而实现利用函数单调性质得放缩:。 一．先求与再放缩 例1、,前n项与为S n ,求证: 例2、 , 前n项与为S n ,求证: 二．先放缩再求与 (一)放缩后裂项相消 例3.数列,,其前项与为 ,求证: (二)放缩后转化为等比数列。 例4、满足: （1）用数学归纳法证明: （2）,求证: 三、裂项放缩 例5、(1)求得值; (2)求证:、 例6、(1)求证: (2)求证: (3)求证: 例7、求证: 例8、已知,,求证:、 四、分式放缩 姐妹不等式:与 记忆口诀”小者小,大者大” 解释:瞧b,若b小,则不等号就是小于号,反之亦然、 例9、姐妹不等式:与 也可以表示成为 与 例10、证明: 五、均值不等式放缩 例11、设求证 例12、已知函数,a>0,b>0,若,且在[0,1]上得最大值为, 求证: 六、二项式放缩 ,, 例13、设,求证、 例14、 , 试证明:、

高中数学数列放缩专题：用放缩法处理数列和不等问题

用放缩法处理数列和不等问题（教师版） 一．先求和后放缩（主要是先裂项求和，再放缩处理） 例1．正数数列{}n a 的前n 项的和n S ，满足12+=n n a S ，试求： （1）数列{}n a 的通项公式； （2）设11+= n n n a a b ，数列{}n b 的前n 项的和为n B ，求证：2 1

高中数学放缩法技巧全总结材料

2010高考数学备考之放缩技巧 证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下几种： 一、裂项放缩 例1.(1)求 ∑=-n k k 1 2 142 的值; (2)求证: 3 51 1 2 < ∑=n k k . 解析:(1)因为121121)12)(12(21 422+--=+-= -n n n n n ,所以12212111 4212 +=+-=-∑=n n n k n k (2)因为??? ??+--=-=- <1211212144 4 11 1 222n n n n n ,所以35321121121513121112=+-?>-?>?-=?=+ (14) ! )2(1!)1(1)!2()!1(!2+- +=+++++k k k k k k (15) )2(1)1(1 ≥--<+n n n n n (15) 11 1) 11)((1122222 222<++++= ++ +--= -+-+j i j i j i j i j i j i j i 例2.(1)求证:)2()12(2167) 12(1513112 22≥-->-++++n n n (2)求证:n n 412141361161412 -<++++ (3)求证:1122642)12(531642531423121-+< ????-????++????+??+n n n (4) 求证：)112(213 12 11)11(2-+<++++<-+n n n

数学归纳法典型例习题

欢迎阅读数学归纳法典型例题 一. 教学内容： 高三复习专题：数学归纳法 二. 教学目的 掌握数学归纳法的原理及应用 三. 教学重点、难点 四. ??? ??? （1 ??? （2（）时命题成立，证明当时命题也成立。??? 开始的所有正整数 ??? 即只 称为数学归纳法，这两步各司其职，缺一不可，特别指出的是，第二步不是判断命题的真伪，而是证明命题是否具有传递性，如果没有第一步，而仅有第二步成立，命题也可能是假命题。 【要点解析】 ? 1、用数学归纳法证明有关问题的关键在第二步，即n＝k＋1时为什么成立，n＝k＋1时成立是利用假设n＝k时成立，根据有关的定理、定义、公式、性质等数学结论推证出n＝k＋1时成立，而不是直接代入，否则n＝k＋1时也成假设了，命题并没有得到证明。 ??? 用数学归纳法可证明有关的正整数问题，但并不是所有的正整数问题都是用数学归纳法证明的，学习时要具体问题具体分析。

? 2、运用数学归纳法时易犯的错误 ??? （1）对项数估算的错误，特别是寻找n＝k与n＝k＋1的关系时，项数发生什么变化被弄错。 ??? （2）没有利用归纳假设：归纳假设是必须要用的，假设是起桥梁作用的，桥梁断了就通不过去了。 ??? （3）关键步骤含糊不清，“假设n＝k时结论成立，利用此假设证明n＝k＋1时结论也成立”，是数学归纳法的关键一步，也是证明问题最重要的环节，对推导的过程要把步骤写完整，注意证明过程的严谨性、规范性。 ? 例1. 时，。 ，右边，左边 时等式成立，即有，则当时， 由①，②可知，对一切等式都成立。 的取值是否有关，由到时 （2 到 本题证明时若利用数列求和中的拆项相消法，即 ，则这不是归纳假设，这是套用数学归纳法的一种伪证。 （3）在步骤②的证明过程中，突出了两个凑字，一“凑”假设，二“凑”结论，关键是明确 时证明的目标，充分考虑由到时，命题形式之间的区别和联系。

数学归纳法经典例题及答案精品

【关键字】认识、问题、要点 数学归纳法（ 一、用数学归纳法证明与正整数有关命题的步骤是： （1）证明当n 取第一个值0n （如01n =或2等）时结论正确； （2）假设当0(N ,)n k k k n *=∈≥ 时结论正确，证明1n k =+时结论也正确． 综合（1）、（2），…… 注意：数学归纳法使用要点： 两步骤,一结论。 二、题型归纳： 题型1.证明代数恒等式 例1．用数学归纳法证明： 证明：①n =1时，左边31311=?=，右边3 1121=+=，左边=右边，等式成立． ②假设n =k 时，等式成立，即： ()()12121217 51531311+=+-++?+?+?k k k k ． 当n =k +1时． 这就说明，当n =k +1时，等式亦成立， 由①、②可知，对一切自然数n 等式成立． 题型2.证明不等式 例2．证明不等式n n 21 31 21 1<++++ (n ∈N)． 证明：①当n =1时，左边=1，右边=2． 左边<右边，不等式成立． ②假设n =k 时，不等式成立，即k k 2131211<++++ ． 那么当n =k +1时， 这就是说，当n =k +1时，不等式成立． 由①、②可知，原不等式对任意自然数n 都成立． 说明：这里要注意，当n =k +1时，要证的目标是 1211 1 31 21 1+<++++++k k k ，当代入归纳假设后，就是要证明：

1211 2+<++k k k ． 认识了这个目标，于是就可朝这个目标证下去，并进行有关的变形，达到这个目标． 题型3.证明数列问题 例3 (x ＋1)n ＝a 0＋a 1(x －1)＋a 2(x －1)2＋a 3(x －1)3＋…＋a n (x －1)n (n ≥2，n ∈N *)． (1)当n ＝5时，求a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5的值． (2)设b n ＝ a 22n －3，T n ＝ b 2＋b 3＋b 4＋…＋b n .试用数学归纳法证明：当n ≥2时，T n ＝n (n ＋1)(n －1)3 . 解： (1)当n ＝5时， 原等式变为(x ＋1)5＝a 0＋a 1(x －1)＋a 2(x －1)2＋a 3(x －1)3＋a 4(x －1)4＋a 5(x －1)5 令x ＝2得a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝35＝243. (2)因为(x ＋1)n ＝[2＋(x －1)]n ，所以a 2＝C n 2·2n －2 b n ＝a 22 n －3＝2C n 2＝n (n －1)(n ≥2) ①当n ＝2时．左边＝T 2＝b 2＝2， 右边＝2(2＋1)(2－1)3 ＝2，左边＝右边，等式成立． ②假设当n ＝k (k ≥2，k ∈N *)时，等式成立， 即T k ＝k (k ＋1)(k －1)3 成立 那么，当n ＝k ＋1时， 左边＝T k ＋b k ＋1＝k (k ＋1)(k －1)3＋(k ＋1)[(k ＋1)－1]＝k (k ＋1)(k －1)3 ＋k (k ＋1) ＝k (k ＋1)?? ??k －13＋1＝k (k ＋1)(k ＋2)3 ＝(k ＋1)[(k ＋1)＋1][(k ＋1)－1]3 ＝右边． 故当n ＝k ＋1时，等式成立． 综上①②，当n ≥2时，T n ＝n (n ＋1)(n －1)3 .

常用放缩方法技巧

常用放缩方法技巧 证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下几种： ⑴添加或舍去一些项，如： a a >+12；n n n >+)1( ⑵将分子或分母放大（或缩小） ⑶利用基本不等式，如：4lg 16lg 15lg )2 5lg 3lg (5lg 3lg 2=<=+n n n n (5)利用常用结论： Ⅰ. 的放缩 Ⅱ. 21k 的放缩(1) ： 2111(1)(1) k k k k k <<+-（程度大） Ⅲ. 21k 的放缩(2)：22111111()1(1)(1)211k k k k k k <==+-+--+（程度小） Ⅳ. 2 1k 的放缩(3)：221 4112()412121k k k k <=+--+（程度更小） Ⅴ. 分式放缩还可利用真（假）分数的性质:)0,0(>>>++>m a b m a m b a b 和)0,0(>>>++

高考数学数列不等式证明题放缩法十种方法技巧总结(供参考)

1. 均值不等式法 例1 设.)1(3221+++?+?=n n S n 求证.2 )1(2)1(2 +<<+n S n n n 例2 已知函数bx a x f 211 )(?+=，若54)1(=f ，且)(x f 在[0，1]上的最小值为21，求证：.2121 )()2()1(1-+ >++++n n n f f f 例3 求证),1(2 21321 N n n n C C C C n n n n n n ∈>?>++++- . 例4 已知222121n a a a +++=，222121n x x x +++=，求证：n n x a x a x a +++ 2211≤1. 2．利用有用结论 例5 求证.12)1 211()511)(311)(11(+>-++++n n 例6 已知函数 .2,,10,)1(321lg )(≥∈≤x x f x f 对任意*∈N n 且2≥n 恒成立。 例7 已知1 12111,(1).2n n n a a a n n +==+++ )(I 用数学归纳法证明2(2)n a n ≥≥； )(II 对ln(1)x x +<对0x >都成立，证明2n a e <（无理数 2.71828 e ≈） 例8 已知不等式21111[log ],,2232 n n N n n *+++>∈>。2[log ]n 表示不超过n 2log 的最大整数。设正数数列}{n a 满足：.2,),0(111≥+≤ >=--n a n na a b b a n n n 求证.3,][log 222≥+

导数典型例题(含答案)

导数典型例题 导数作为考试内容的考查力度逐年增大.考点涉及到了导数的所有内容，如导数的定义，导数的几何意义、物理意义，用导数研究函数的单调性，求函数的最（极）值等等，考查的题型有客观题（选择题、填空题）、主观题（解答题）、考查的形式具有综合性和多样性的特点.并且，导数与传统内容如二次函数、二次方程、三角函数、不等式等的综合考查成为新的热点. 一、与导数概念有关的问题 【例1】函数f (x )=x (x -1) (x -2)…(x -100)在x=0处的导数值为 .1002 C ！ 解法一 f ＇(0)=x f x f x ?-?+→?) 0()0(lim = x x x x x ?--?-?-??→?0 )100()2)(1(lim 0 Λ =lim 0 →?x (Δx -1)(Δx -2)…(Δx -100)=（-1）（-2）…（-100）=100！ ∴选D. 解法二 设f (x )=a 101x 101+ a 100x 100+…+ a 1x +a 0，则f ＇(0)= a 1，而a 1=（-1）（-2）…（-100）=100！. ∴选D. 点评 解法一是应用导数的定义直接求解，函数在某点的导数就是函数在这点平均变化率的极限.解法二是根据导数的四则运算求导法则使问题获解. 【例2】 已知函数f (x )=n n n k k n n n n x c n x c k x c x c c 11212210 ++++++ΛΛ，n ∈N *，则 x x f x f x ??--?+→?) 2()22(lim 0 = . 解 ∵ x x f x f x ??--?+→?) 2()22(lim 0 =2x f x f x ?-?+→?2) 2()22(lim + []x f x f x ?--?-+→?-) 2()(2lim 0 =2f ＇(2)+ f ＇(2)=3 f ＇(2)， 又∵f ＇(x )=1 1 2 1 --+++++n n n k k n n n x c x c x c c ΛΛ， ∴f ＇(2)= 21（2n n n k n k n n c c c c 222221+++++ΛΛ）=21[(1+2)n -1]= 2 1(3n -1). 点评 导数定义中的“增量Δx ”有多种形式，可以为正也可以为负，如 x m x f x m x f x ?--?-→?-)()(000 lim ，且其定义形式可以是 x m x f x m x f x ?--?-→?) ()(000 lim ，也可以是 00 ) ()(lim x x x f x f x --→?（令Δx =x -x 0得到），本题是导数的定义与多项式函数求导及二项式定理有关 知识的综合题，连接交汇、自然，背景新颖. 【例3】 如圆的半径以2 cm/s 的等速度增加，则圆半径R =10 cm 时，圆面积增加的速度是 .

第一轮复习 放缩法技巧全总结

放缩法在数列不等式中的应用 数列不等式是高考大纲在知识点交汇处命题精神的重要体现，在高考试题中占有重要地位，在近几年的高考试题中，多个省份都有所考查，甚至作为压轴题。而数列不等式的求解常常用到放缩法，笔者在教学过程中发现学生在用放缩法处理此类问题时，普遍感到困难，找不到解题思路。现就放缩法在数列不等式求解过程中常见的几种应用类型总结如下。 1. 直接放缩，消项求解 例1在数列{}{},n n a b 中,112,4a b ==,且1,,n n n a b a +成等差数列,11,,n n n b a b ++成等比数列. *N n ∈, （Ⅰ）求234,,a a a 及234,,b b b ,由此猜测{}{},n n a b 的通项公式,并证明你的结论; （Ⅱ）证明:1122111512 n n a b a b a b +++<+++L . 分析：（Ⅰ）数学归纳法。 （Ⅱ）本小题的分母可化为不相同的两因式的乘积，可将其放缩为等差型两项之积，通过裂项求和。 （Ⅰ）略解2(1)(1)n n a n n b n =+=+，． （Ⅱ）11115612 a b =<+．n ≥2时，由（Ⅰ）知(1)(21)2(1)n n a b n n n n +=++>+． 故112211111111622334(1)n n a b a b a b n n ??+++<++++ ?+++??+?? …… 111111116223341n n ??=+-+-++- ?+?? … 111111562216412n ??= +-<+= ?+??，综上，原不等式成立． 点评： 数列和式不等式中，若数列的通项为分式型，可考虑对其分母进行放缩，构造等差型因式之积。再用裂项的方法求解。 另外，熟悉一些常用的放缩方法， 如： ),,2,1(1 1121n k n k n n Λ=+≤+≤,n n n n n n n n n 111)1(11)1(11112--=-≤<+=+- 例2设数列{}n a 满足*,1,1311N c c ca a a n n ∈-+==+其中c 为实数

高中数学放缩法公式

“放缩法”证明不等式的基本策略 1、添加或舍弃一些正项（或负项） 例1、已知* 21().n n a n N =-∈求证： *12 231 1...().23n n a a a n n N a a a +-<+++∈ 证明： 111211111111 .,1,2,...,,2122(21)2 3.222232 k k k k k k k k a k n a +++-==-=-≥-=--+-Q 1222311111111 ...(...)(1),2322223223 n n n n a a a n n n a a a +∴ +++≥-+++=-->- *122311...().232 n n a a a n n n N a a a +∴-<+++<∈ 若多项式中加上一些正的值，多项式的值变大，多项式中加上一些负的值，多项式的 值变小。由于证明不等式的需要，有时需要舍去或添加一些项，使不等式一边放大或缩小，利用不等式的传递性，达到证明的目的。本题在放缩时就舍去了22k -，从而是使和式得到化简. 2、先放缩再求和（或先求和再放缩） 例2、函数f （x ）= x x 414+，求证：f （1）+f （2）+…+f （n ）>n + )(2 1 21*1 N n n ∈-+. 证明：由f (n )= n n 414+=1- 11 11422n n >-+? 得f （1）+f （2）+…+f （n ）>n 2211221122112 1 ?- ++?- +?-Λ )(21 2 1)2141211(41*11N n n n n n ∈-+=++++-=+-Λ. 此题不等式左边不易求和,此时根据不等式右边特征, 先将分子变为常数，再对分母进行放缩，从而对左边可以进行求和. 若分子, 分母如果同时存在变量时, 要设法使其中之一变为常量，分式的放缩对于分子分母均取正值的分式。如需放大，则只要把分子放大或分母缩小即可；如需缩小，则只要把分子缩小或分母放大即可。 3、逐项放大或缩小

最新高考数学数列放缩法技巧全总结

高考数学备考之 放缩技巧 证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下几种： 一、裂项放缩 例1.(1)求∑=-n k k 1 2 142 的值; (2)求证: 351 1 2 < ∑=n k k . 解析:(1)因为121121)12)(12(21 42 2 +--=+-= -n n n n n ,所以122121114212 +=+-=-∑=n n n k n k (2)因为? ? ? ??+--=-= - <121121 2144 4 111 2 22 n n n n n ,所以 353211211215 1 31211 1 2 = +-?>-?>?-=?=+ (14) ! )2(1 !)1(1)!2()!1(!2+- +=+++++k k k k k k (15) ) 2(1) 1(1 ≥--<+n n n n n

矩阵典型习题解析

2 矩阵 矩阵是学好线性代数这门课程的基础，而对于初学者来讲，对于矩阵的理解是尤为的重要；许多学生在最初的学习过程中感觉矩阵很难，这也是因为对矩阵所表示的内涵模糊的缘故。其实当我们把矩阵与我们的实际生产经济活动相联系的时候，我们才会发现，原来用矩阵来表示这些“繁琐”的事物来是多么的奇妙！于是当我们对矩阵产生无比的兴奋时，那么一切问题都会变得那么的简单! 2.1 知识要点解析 2.1.1 矩阵的概念 1．矩阵的定义 由m×n个数a ij（i 1,2, ,m; j 1,2, , n）组成的m行n 列的矩形数表 a11 a12 a1n a2n a m1 a m2 a mn 称为m×n矩阵，记为 A （a ij ）m n 2．特殊矩阵 （1）方阵：行数与列数相等的矩阵； （2）上（下）三角阵：主对角线以下（上）的元素全为零的方阵称为上（下）三角阵； （3）对角阵：主对角线以外的元素全为零的方阵； （4）数量矩阵：主对角线上元素相同的对角阵； （5）单位矩阵：主对角线上元素全是 1 的对角阵，记为E； （6）零矩阵：元素全为零的矩阵。 3．矩阵的相等 设 A (a ij )mn; B (b ij )mn 若a ij b ij(i 1,2, ,m; j 1,2, ,n)，则称 A 与B相等，记为A=B 2.1.2 矩阵的运算

1．加法 (1)定义：设 A (A ij )mn ,B (b ij ) mn ，则 C A B (a ij b ij )mn (2) 运算规律 ① A+B=B+A ； ②( A+B )+C=A+(B+C ) ③ A+O=A ④ A+(-A ) =0， –A 是 A 的负矩阵 2．数与矩阵的乘法 (1)定义：设 A (a ij ) mn , k 为常数，则 kA (ka ij )mn (2)运算规律 ①K (A+B) =KA+KB , ② (K+L )A=KA+LA , ③ (KL) A= K (LA) 3．矩阵的乘法 (1)定义：设 A (a ij )mn ,B (b ij )np .则 n AB C (C ij )mp ,其中 C ij a ik b kj k1 (2) 运算规律 ① (AB)C A (BC) ；② A(B C) AB AC ③ (B C)A BA CA 3)方阵的幂 ①定义：A (a ij ) n ，则 A k A K A ②运算规律： A m A n A m n (A m )n A (4)矩阵乘法与幂运算与数的运算不同之处。 ① AB BA ② AB 0, 不能推出 A 0或B 0; ③ (AB)k A k B k 4．矩阵的转置 (1) 定义：设矩阵 A=(a ij )mn ，将 A 的行与列的元素位置交换，称为矩阵 A 的转置，记为 A T (a ji )nm ， (2) 运算规律 ①(A T )T A; ②(A B)T A T B T ； ③(kA)T KA T ; ④ (AB)T B T A T 。

高考数学_压轴题_放缩法技巧全总结(最强大)

放缩技巧 （高考数学备考资料） 证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下几种： 一、裂项放缩 例1.(1)求∑ =-n k k 1 2142的值; (2)求证:3 511 2 <∑=n k k . 解析:(1)因为 121121)12)(12(21 422+--=+-= -n n n n n ,所以12212111 4212 +=+-=-∑=n n n k n k (2)因为 ??? ??+--=-=- <1211212144 4 11 1222 n n n n n ,所以35321121121513121112=+-?>-?>?-=?=+ (14) ! )2(1!)1(1)!2()!1(!2+- +=+++++k k k k k k (15) )2(1) 1(1 ≥--<+n n n n n (15) 112 22 2+-+-+j i j i j i

数学归纳法典型例题

实用文档 文案大全数学归纳法典型例题 一. 教学内容： 高三复习专题：数学归纳法 二. 教学目的 掌握数学归纳法的原理及应用 三. 教学重点、难点 数学归纳法的原理及应用 四. 知识分析 【知识梳理】 数学归纳法是证明关于正整数n的命题的一种方法，在高等数学中有着重要的用途，因而成为高考的热点之一。近几年的高考试题，不但要求能用数学归纳法去证明现代的结论，而且加强了对于不完全归纳法应用的考查，既要求归纳发现结论，又要求能证明结论的正确性，因此，初步形成“观察—－归纳—－猜想—－证明”的思维模式，就显得特别重要。 一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行： （1）（归纳奠基）证明当n取第一个值n = n0时命题成立； （2）（归纳递推）假设n= k（）时命题成立，

证明当时命题也成立。 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从开始的所有正整数n 都成立。上述证明方法叫做数学归纳法。 数学归纳法是推理逻辑，它的第一步称为奠基步骤，是论证的基础保证，即通过验证落实传递的起点，这个基础必须真实可靠；它的第二步称为递推步骤，是命题具有后继传递性的保证，即只要命题对某个正整数成立，就能保证该命题对后继正整数都成立，两步合在一起为完全归纳步骤，称为数学归纳法，这两步 实用文档 文案大全各司其职，缺一不可，特别指出的是，第二步不是判断命题的真伪，而是证明命题是否具有传递性，如果没有第一步，而仅有第二步成立，命题也可能是假命题。 【要点解析】 1、用数学归纳法证明有关问题的关键在第二步，即n＝k＋1时为什么成立，n＝k＋1时成立是利用假设n＝k时成立，根据有关的定理、定义、公式、性质等数学结论推证出n＝k＋1时成立，而不是直接代入，否则n ＝k＋1时也成假设了，命题并没有得到证明。 用数学归纳法可证明有关的正整数问题，但并不是所有的正整数问题都是用数学归纳法证明的，学习时要具体问题具体分析。 2、运用数学归纳法时易犯的错误 （1）对项数估算的错误，特别是寻找n＝k与n＝k＋1的关系时，项数发生什么变化被弄错。

高考数学数列放缩法技巧全汇总

高考数学数列放缩法技巧全汇总

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高考数学备考之 放缩技巧 证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下几种： 一、裂项放缩 例1.(1)求∑=-n k k 1 2 142 的值; (2)求证: 351 1 2 < ∑=n k k . 解析:(1)因为121121)12)(12(21 42 2 +--=+-= -n n n n n ,所以122121114212 +=+-=-∑=n n n k n k (2)因为? ? ? ??+--=-= - <121121 2144 4 111 2 22 n n n n n ,所以 353211211215 1 31211 1 2 = + -?>-?>?-=?=+ (14) ! )2(1 !)1(1)!2()!1(!2+- +=+++++k k k k k k (15) ) 2(1) 1(1 ≥--<+n n n n n