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放缩法

放缩法的主要理论依据

（1）不等式的传递性；

（2）等量加不等量为不等量；

（3）同分子（母）异分母（子）的两个分式大小的比较。

放缩法是贯穿证明不等式始终的指导变形方向的一种思考方法。

放缩法的常见技巧

（1）舍掉（或加进）一些项。

（2）在分式中放大或缩小分子或分母。

（3）应用基本不等式放缩(例如均值不等式）。

（4）应用函数的单调性进行放缩。

（5）根据题目条件进行放缩。

（6）构造等比数列进行放缩。

（7）构造裂项条件进行放缩。

（8）利用函数切线、割线逼近进行放缩。

不等式是高考数学中的难点，而用放缩法证明不等式学生更加难以掌握。不等式是衡量学生数学素质的有效工具，在高考试题中不等式的考查是热点难点。本难点着重培养考生数学式的变形能力，逻辑思维能力以及分析问题和解决问题的能力。放缩法的理论依据是不等式性质的传递性，难在找中间量，难在怎样放缩、怎样展开。证明不等式时，要依据题设、题目的特点和内在联系，选择适当的放缩方法。

⒈利用三角形的三边关系

［例1］已知a，b，c是△ABC的三边，求证：

证明：﹥∵=为增函数，又∵

∴。

点评：学生知道要利用三角形的三边关系，但无法找到放缩的方法，难在构造函数。

⒉利用函数的单调性

［例2］求证：对于一切大于1的自然数n，恒有

。

证明：原不等式变形为，

令则

，所

以。

即是单调增函数（n=2，3，…），所以。故原不等式成立。

点评：一开始学生就用数学归纳法进行尝试，结果失败，就放弃了。若使不等式的右边变为常数，再用单调性放缩就好了。

⒊利用基本不等式

［例3］已知f（x）=x+(x﹥0) 求证：－

证明：,

设（1）

（2）

（1）+（2）得

点评：用数学归纳法证明，思路简单，但是难度很大，可以通过二项式定理展开，倒序法与基本不等式相结合进行放缩。

⒋利用绝对值不等式

［例4］设=，当时，总有，求证：。证明：∵，∴，，，

又∵∴

所以，∴

=7。

点评：本题是一道函数与绝对值不等式综合题，学生不能找到解题的突破口，关键在于找到a，b，c与f（0），f（1），f（-1）的联系，再利用绝对值内三角形不等式适当放缩。

⒌利用不等式和等比数列求和

［例5］求证：。

证明：=，利用不等式

∴﹤=﹤。

点评：有些学生两次用错位相减进行放缩，但是没有找到恰当的变形放缩，对利用不等式进行放缩不熟悉。若经过“凑”与不等式相结合，再利用等比数列求和放缩就到了。

⒍ 利用错位相减法求和

［例6］已知a1, a2, a3, ……, a n, ……构成一等差数列，其前n项和为S n＝n2, 设b n＝,

记{b n}的前n项和为T n, (1) 求数列{a n}的通项公式；(2) 证明：T n<1。

解：(1) a1＝S1＝1, 当n≥2时, a n＝S n－S n－1＝2n－1; 由于n＝1时符合公式，∴ a n＝2n－1 (n≥1). (2) T n＝, ∴ T n＝

两式相减得T n＝＋＝＋(1－)－

∴ T n＝＋(1－)－<1。

⒎ 利用裂项法求和

［例7］已知函数在上有定义，且满足①对任意的

②当时，.证明不等式

证明：令，则.令，则，故在上为奇函数.

设，且由可得

，则由题有

，故，即

，所以为上减函数.从而函数在时，.

所以，即

点评：本题将数列与不等式、函数综合考查数学逻辑推理能力，分析问题能力，变形能力，可以用数学归纳法证明不等式，但学生解题的过程不过完善。若用裂项法进行数列求和放缩就简单

⒏利用二项式定理展开

［例8］已知数列满足(n∈N*),是的前n项的和，并且．（1）求数列的前项的和；（2）证明：≤．（3）求证：

解： (1)由题意得

两式相减得

所以再相加

所以数列是等差数列．又又

所以数列的前项的和为．

而≤.

（3）证明：

点评：这是一道很有研究价值的用放缩法证明不等式的典例。考查了与a n 的关系，有些学生没有对a n中的n进行讨论，也没有合并，虽用了二项式展开，但无法构造不等式进行放缩。对第3小题的放缩也可裂项法求和进行放缩。

（浙江宁波市鄞州区同济中学徐峰）

更多的不等式问题，可以到这里讨论：不等式论坛

在这里您可以进一步学习更多的不等式相关知识：不等式

放缩法证明“数列+不等式”问题的两条途径

数列与不等式的综合问题常常出现在高考的压轴题中，是历年命题的热点，解决这类问

题常常用到放缩法。用放缩法解决“数列+不等式”问题通常有两条途径：一是先放缩再求和，二是先求和再放缩。 1、先放缩再求和

例1 （05年湖北理）已知不等式

],[log 2

131212n n >+++ 其中n 为不大于2的整数，][log 2n 表示不超过n 2log 的最大整数。设数列{}n a 的各项为正且满足111),0(--+≤

>=n n n a n na a b b a )4,3,2( =n ，证明：][log 222n b b

a n +<

， 5,4,3=n 分析：由条件11--+≤

n n n a n na a 得：

a a n n 1

111+≥- n a a n n 1

111≥-∴

- )2(≥n

1112

-≥---n a a n n ……

11112≥-a a 以上各式两边分别相加得：

21111111++-+≥- n n a a n 2

11111++-++≥∴

n n b a n ][log 2

12n b +>

)3(≥n =

n b 2]

[log 22+

∴ ]

[log 222n b b

a n +<

)3(≥n

本题由题设条件直接进行放缩，然后求和，命题即得以证明。

例2 （04全国三）已知数列}{n a 的前n 项和n S 满足：n

n n a S )1(2-+=， 1≥n

（1）写出数列}{n a 的前三项1a ，2a ，3a ；（2）求数列}{n a 的通项公式；（3）证明：对任意的整数4>m ，有

711154<+++m a a a 分析：⑴由递推公式易求：a 1=1,a 2=0,a 3=2；

⑵由已知得：1

112(1)2(1)n n n n n n n a S S a a ---=-=+----（n>1）化简得：1

122(1)n n n a a --=+-

2)1(2)1(11---=---n n n n a a ,]32

)

1([232)1(1

1+--=+---n n n n a a 故数列{

32)1(+-n n a }是以3

+-a 为首项, 公比为2-的等比数列. 故

1)2)(31(32)1(---=+-n n

n a ∴22[2(1)]3

n n n a -=-- ∴数列{n a }的通项公式为：2

2[2(1)]3

n n n a -=

--. ⑶观察要证的不等式，左边很复杂，先要设法对左边的项进行适当的放缩，使之能

够求和。而左边=

23245

1113111

[]22121

2(1)

m m

m a a a -+++

=+++

-+--，如果我们把上式中的分母中的1±去掉，就可利用等比数列的前n 项公式求和，由于-1与1交错出现，容易想到将式中两项两项地合并起来一起进行放缩，尝试知：

2322

21121121+>++-， 43432121121121+

<-++，因此，可将1

2-保留，再将后面的项两两组合后放缩，即可求和。这里需要对m 进行分类讨论，（1）当m 为偶数)4(>m 时，

m a a a 11154+++ )1

1()11(11654m

m a a a a a +++++=- )21

2121(2321243-++++<

m )2

1(4123214--?+=m

8321+<

7= （2）当m 是奇数)4(>m 时，1+m 为偶数，

711111111165454<+++++<++++m m m a a a a a a a a 所以对任意整数4>m ，有

m a a a 11154+++ 8

<。本题的关键是并项后进行适当的放缩。 2、先求和再放缩

例3（武汉市模拟）定义数列如下：*+∈+-==N n a a a a n n n ,1,22

证明：（1）对于*

∈N n 恒有n n a a >+1成立。

（2）当*

∈>N n n 且2，有11211+=-+a a a a a n n n 成立。

（3）11112112006

212006

<+++<

a a a 。分析：（1）用数学归纳法易证。（2）由12

1+-=+n n n a a a 得：

)1(11-=-+n n n a a a

)1(111-=-∴--n n n a a a … …

)1(1112-=-a a a 以上各式两边分别相乘得：

)1(111211-=--+a a a a a a n n n ，又21=a 11211+=∴-+a a a a a n n n （3）要证不等式11

112112006

212006

<+++<

a a a ，

可先设法求和：

2006

21111a a a +++ ，再进行适当的放缩。 )1(11-=-+n n n a a a

n n a a a 1111

11--=

-∴

+ 111111---=∴

+n n n a a a 2006

21111a a a +++∴

11()1111()1111(

200720063221---++---+---=a a a a a a 11

1120071---=

a a 2006

211

1a a a -

=1<

又20062006

2006212=>a a a a

20062006212

111->-

∴a a a

∴原不等式得证。

本题的关键是根据题设条件裂项求和。

高中数列放缩法技巧大全

高中数列放缩法技巧大全证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下几种：一、裂项放缩例1.(1)求∑ =-n k k 121 42的值; (2)求证:2 1153n k k =<∑ . 解析:(1)因为 1 21 121)12)(12(21422+- -=+-= -n n n n n ,所以1 2212111 42 1 2 += +- =-∑=n n n k n k (2)因为22211411214121214 n n n n n ??<==- ?--+??- , 所以35321121121513121112 =+

常用放缩方法技巧

常用放缩方法技巧证明数列型不等式,因其思维跨度大、构造性强,需要有较高得放缩技巧而充满思考性与挑战性,能全面而综合地考查学生得潜能与后继学习能力,因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题得极好素材。这类问题得求解策略往往就是:通过多角度观察所给数列通项得结构,深入剖析其特征,抓住其规律进行恰当地放缩;其放缩技巧主要有以下几种: ⑴添加或舍去一些项,如:; ⑵将分子或分母放大(或缩小) ⑶利用基本不等式,如:; ⑷二项式放缩:,, (5)利用常用结论: Ⅰ、得放缩 : Ⅱ、得放缩(1) : (程度大) Ⅲ、得放缩(2):(程度小) Ⅳ、得放缩(3):(程度更小) Ⅴ、分式放缩还可利用真(假)分数得性质:与记忆口诀“小者小,大者大”。解释:瞧b,若b小,则不等号就是小于号,反之亦然、 Ⅵ、构造函数法构造单调函数实现放缩。例:,从而实现利用函数单调性质得放缩:。一．先求与再放缩例1、,前n项与为S n ,求证: 例2、 , 前n项与为S n ,求证: 二．先放缩再求与 (一)放缩后裂项相消例3.数列,,其前项与为 ,求证: (二)放缩后转化为等比数列。例4、满足: （1）用数学归纳法证明: （2）,求证: 三、裂项放缩例5、(1)求得值; (2)求证:、例6、(1)求证: (2)求证: (3)求证: 例7、求证: 例8、已知,,求证:、四、分式放缩姐妹不等式:与记忆口诀”小者小,大者大” 解释:瞧b,若b小,则不等号就是小于号,反之亦然、例9、姐妹不等式:与也可以表示成为与例10、证明: 五、均值不等式放缩例11、设求证例12、已知函数,a>0,b>0,若,且在[0,1]上得最大值为, 求证: 六、二项式放缩 ,, 例13、设,求证、例14、 , 试证明:、

高中数学数列放缩专题：用放缩法处理数列和不等问题

用放缩法处理数列和不等问题（教师版）一．先求和后放缩（主要是先裂项求和，再放缩处理）例1．正数数列{}n a 的前n 项的和n S ，满足12+=n n a S ，试求：（1）数列{}n a 的通项公式；（2）设11+= n n n a a b ，数列{}n b 的前n 项的和为n B ，求证：2 1

高中数学放缩法技巧全总结材料

2010高考数学备考之放缩技巧证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下几种：一、裂项放缩例1.(1)求 ∑=-n k k 1 2 142 的值; (2)求证: 3 51 1 2 < ∑=n k k . 解析:(1)因为121121)12)(12(21 422+--=+-= -n n n n n ,所以12212111 4212 +=+-=-∑=n n n k n k (2)因为??? ??+--=-=- <1211212144 4 11 1 222n n n n n ,所以35321121121513121112=+-?>-?>?-=?=+ (14) ! )2(1!)1(1)!2()!1(!2+- +=+++++k k k k k k (15) )2(1)1(1 ≥--<+n n n n n (15) 11 1) 11)((1122222 222<++++= ++ +--= -+-+j i j i j i j i j i j i j i 例2.(1)求证:)2()12(2167) 12(1513112 22≥-->-++++n n n (2)求证:n n 412141361161412 -<++++ (3)求证:1122642)12(531642531423121-+< ????-????++????+??+n n n (4) 求证：)112(213 12 11)11(2-+<++++<-+n n n

第一轮复习放缩法技巧全总结

放缩法在数列不等式中的应用数列不等式是高考大纲在知识点交汇处命题精神的重要体现，在高考试题中占有重要地位，在近几年的高考试题中，多个省份都有所考查，甚至作为压轴题。而数列不等式的求解常常用到放缩法，笔者在教学过程中发现学生在用放缩法处理此类问题时，普遍感到困难，找不到解题思路。现就放缩法在数列不等式求解过程中常见的几种应用类型总结如下。 1. 直接放缩，消项求解例1在数列{}{},n n a b 中,112,4a b ==,且1,,n n n a b a +成等差数列,11,,n n n b a b ++成等比数列. *N n ∈, （Ⅰ）求234,,a a a 及234,,b b b ,由此猜测{}{},n n a b 的通项公式,并证明你的结论; （Ⅱ）证明:1122111512 n n a b a b a b +++<+++L . 分析：（Ⅰ）数学归纳法。（Ⅱ）本小题的分母可化为不相同的两因式的乘积，可将其放缩为等差型两项之积，通过裂项求和。（Ⅰ）略解2(1)(1)n n a n n b n =+=+，．（Ⅱ）11115612 a b =<+．n ≥2时，由（Ⅰ）知(1)(21)2(1)n n a b n n n n +=++>+．故112211111111622334(1)n n a b a b a b n n ??+++<++++ ?+++??+?? …… 111111116223341n n ??=+-+-++- ?+?? … 111111562216412n ??= +-<+= ?+??，综上，原不等式成立．点评：数列和式不等式中，若数列的通项为分式型，可考虑对其分母进行放缩，构造等差型因式之积。再用裂项的方法求解。另外，熟悉一些常用的放缩方法，如： ),,2,1(1 1121n k n k n n Λ=+≤+≤,n n n n n n n n n 111)1(11)1(11112--=-≤<+=+- 例2设数列{}n a 满足*,1,1311N c c ca a a n n ∈-+==+其中c 为实数

常用放缩方法技巧

常用放缩方法技巧证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下几种： ⑴添加或舍去一些项，如： a a >+12；n n n >+)1( ⑵将分子或分母放大（或缩小） ⑶利用基本不等式，如：4lg 16lg 15lg )2 5lg 3lg (5lg 3lg 2=<=+n n n n (5)利用常用结论： Ⅰ. 的放缩 Ⅱ. 21k 的放缩(1) ： 2111(1)(1) k k k k k <<+-（程度大） Ⅲ. 21k 的放缩(2)：22111111()1(1)(1)211k k k k k k <==+-+--+（程度小） Ⅳ. 2 1k 的放缩(3)：221 4112()412121k k k k <=+--+（程度更小） Ⅴ. 分式放缩还可利用真（假）分数的性质:)0,0(>>>++>m a b m a m b a b 和)0,0(>>>++

高考数学数列不等式证明题放缩法十种方法技巧总结(供参考)

1. 均值不等式法例1 设.)1(3221+++?+?=n n S n 求证.2 )1(2)1(2 +<<+n S n n n 例2 已知函数bx a x f 211 )(?+=，若54)1(=f ，且)(x f 在[0，1]上的最小值为21，求证：.2121 )()2()1(1-+ >++++n n n f f f 例3 求证),1(2 21321 N n n n C C C C n n n n n n ∈>?>++++- . 例4 已知222121n a a a +++=，222121n x x x +++=，求证：n n x a x a x a +++ 2211≤1. 2．利用有用结论例5 求证.12)1 211()511)(311)(11(+>-++++n n 例6 已知函数 .2,,10,)1(321lg )(≥∈≤x x f x f 对任意*∈N n 且2≥n 恒成立。例7 已知1 12111,(1).2n n n a a a n n +==+++ )(I 用数学归纳法证明2(2)n a n ≥≥； )(II 对ln(1)x x +<对0x >都成立，证明2n a e <（无理数 2.71828 e ≈）例8 已知不等式21111[log ],,2232 n n N n n *+++>∈>。2[log ]n 表示不超过n 2log 的最大整数。设正数数列}{n a 满足：.2,),0(111≥+≤ >=--n a n na a b b a n n n 求证.3,][log 222≥+

用放缩法证明不等式的方法与技巧答案

用放缩法证明不等式的方法与技巧一.常用公式 k(k +1) k(k -1) 2. _____________ w ___ ￡ ________ ____ k 2 2 >k (k > 4) k 4. 1 x 2x 3x”…X k >2 (k > 2) 丄凸丄 k ! 2 ( k _1)! b （待学）二?放缩技巧 (1) 所谓放缩的技巧：即欲证 A < B ，欲寻找一个（或多个）中间变量 C ，使A < C < B , 由A 到C 叫做“放”，由B 到C 叫做“缩”. 常用的放缩技巧若 t 〉0, a+t >"a,a — t ■7^^ = n 1 1 1 —— --- = -------- n n +1 n(n +1) (4) 2( J n +1 - >/n)= 1 1 11,^

----- ,一 < ---- b b+m b b 1 “1 + 1 . . 1 n! 2 22 2n 」 1 1 1 1 + …c 1 +(1 —一) +(— 一一) n 2 2 3 + 1 3! 1 (7) (8) =2(V n - J n -1) J 2! 1 + — + — 22 32 1 1 1 --)(因为—< -------------- ) n n (n-1) n 丄+丄+丄1 n +1 n +2 n +3 或丄十丄十丄 n +1 n +2 n +3 1 +丄+丄+…+丄 …亠丄 2n n +1 ，丄」 2n A 丄+丄+… 需T n +丄 n +1 十丄+ 2n 2n ?+丄 T n "丄 n +1 2n —<1 n +1 _ n _ 1 —2n — 2 -n = V n 等等。 v n 三?常见题型（一）.先求和再放缩： 1?设 s, =! + 1+ 丄+■- + 2 6 12 n(n+1) 1 ，求证：Si <1 1 M 2 .设0=— ( n 匸N ),数列｛b n b n^｝的前n 项和为T n ,求证: n