第三章 一元函数积分学及其应用
第三章 一元函数积分学及其应用
知识点拔：
3.1 不定积分的概念及其性质
一、不定积分的概念
1、原函数的定义 设函数)(x f 在区间I 上有定义，如果存在可导函数)(x F ，在区间I 上对任意的x 都有有)()(x f x F ='，则称函数)(x F 为)(x f 在I 上的一个原函数.
注释：（1）只有对I x ∈?都有)()(x f x F ='成立，)(x F 才是)(x f 在I 上的一个原函数，若有一点不满足都不能称为)(x F 是)(x f 的原函数.
如x x F =)()11(≤≤-x 就不是?
??≤≤<≤--=10,1,01,1)(x x x f 的一个原函数
（2）原函数存在定理：若)(x f 在区间I 上连续，则)(x f 在I 上必存在原函数.
①)(x f 在I 上连续只是存在原函数的充分条件，而不是必须条件.
如?????=≠-=0,0,0,1cos 1sin 2)(x x x x x x f 在0=x 不连续，但它有原函数???
?
?=≠=0,
0,0,1sin )(2
x x x x x F ② 若)(x f 在区间I 存在原函数且)(x f 存在间断点，则其间断点必是第二类间断点. （3）如果)(x f 在区间I 上存在原函数)(x F ，则)(x f 的原函数有无穷多个. （4）)(x f 在I 上的任意两个原函数之间，只相差一个常数.
（5）若)(x F 是)(x f 的一个原函数，则C x F +)(是)(x f 的全体原函数，而C 为任意常数. 2、不定积分的概念
定义 函数)(x f 在区间I 上的全体原函数C x F +)(，称为函数)(x f 在I 上的不定积分，记作：
?dx x f )(，即?+=C x F dx x f )()(（C 为任意常数）.
注意：
?+=C x dx x ln 1
二、不定积分的性质 设
?+=C x F dx x f )()(，其中)(x F 为)(x f 的一个原函数，C 为任意常数，则
（1）
[])()(x f dx x f ='?，或[]dx x f dx x f d )()(=?；
（2）?
+='C x F dx x F )()(，或?
+=C x F x dF )()(； （3）
[]???±=±dx x g dx x f dx x g x f )()()()(（必须在和都可积的前提下，也可以推广到有限个可积函数的情形）；
（4）)0()()(≠=?
?
k dx x f k dx x kf . 三、不定积分的基本公式
1、?=C dx 0；
2、k C kx kdx ,?
+=为常数；
3、0,1,1
1
>-≠++=
+?x C x dx x αααα
； 4、?+=C x dx x ln 1； 5、C e dx e x
x
+=?； 6、C a
a dx a x
x
+=?ln ，0>a ，1≠a ； 7、C x xdx +=?sin cos ； 8、C x xdx +-=?
cos sin ；
9、C x xdx +=?tan sec 2； 10、C x xdx ?
+-=cot csc 2
；
11、C x xdx x ?+=sec tan sec ； 12、C x xdx x +-=?
csc cot csc ； 13、C x xdx +=?cos ln tan ； 14、C x xdx +=?
sin ln cot ； 15、C x x xdx ++=?tan sec ln sec ； 16、C x x xdx +-=?
cot csc ln csc ； 17、C x dx x +=+?arctan 11
2； 18、C a
x a dx x a +=+?arctan 112
2； 19、
C x dx x +=-?arcsin 112
； 20、C a x
dx x a +=-?arcsin 1
2
2；
21、
C a x x dx a x +±+=±?
222
2ln 1
； 22、C a
x a
x a dx a x ++-=-?
ln 21122；
23、
C a x x a a x x dx a x +±±±±=±?2222
22
2
ln 2
2，0>a ；
24、
0,arcsin 2222
22
2
>++-=-?a C a
x a x a x dx x a ；
25、[]C x x x x xdx +++=
?
tan sec ln tan sec 2
1
sec 3
； 3.2 不定积分的积分法
一、直接积分法：即利用不定积分的基本公式和不定积分的性质直接积分. 二、第一换元积分法（也叫凑微分法） 设)(u f 有原函数)(u F ，)(x u ?=可导，则有
[][][]??=')()()()(x d x f dx x x f ????=[]?+=+=C x F C u F du u f )()()(?.
积分思路：首先在被积函数中分解一个“因式”出来，再把这个因式与dx 结合凑成一个函数的微分，然后将这个函数作为新的积分变量，求出不定积分.
积分过程：首先在被积函数中分解一个“因式” )(x ?'出来，即
[]?'dx x x f )()(??凑微分
[][]?)()(x d x f ???=du u f u x )()(?变量替换C u F +)(积分 []C x F x u +=)()(??还原.
常见的几种凑微分形式： ①
?
?≠++=
+)0(),()(1
)(a b ax d b ax f a
dx b ax f ； ②
0,1,)()()1(1)(1
11≠-≠+++=
+??+++a m b ax d b ax f a
m dx x b ax f m m m m ； ③x x x x de e f dx e e f ?
?=)()(； ④??=)(ln )(ln 1
)(ln x d x f dx x
x f ；
⑤
??=x d x f xdx x f sin )(sin cos )(sin ； ⑥??-=x d x f xdx x f cos )(cos sin )(cos ；
⑦
?
?=)(tan )(tan cos 1)
(tan 2x d x f dx x x f ； ⑧x d x f dx x
x f ??=)(21
)(； ⑨
??
=-x d x f dx x x f arcsin )(arcsin 11)
(arcsin 2
；⑩0)(,)(ln )
()
(≠+='?
x f C x f dx x f x f ； ○
11?
?=+)(arctan )(arctan 11
)
(arctan 2
x d x f dx x x f ；
○
12)0)(1
()1(11)1(
1≠-=??
+n x d x f n dx x x f n
n n n . 三、第二类换元积分法
设函数)(t x ?=具有连续导数，且0)(≠'t ?，又设[])()(t t f ??'具有原函数)(t F ，则有
[]??'=dt t t f dx x f )()()(??=[]
C x F C t F +=+-)()(1
?
.
积分思路：主要是选择适当的变换)(x u ?=，来消除被积函数中的根号，然后求出不定积分. 积分过程：
[]??'=dt t t f t x dx x f )()()()(???选择适当的变换求积分C t F +)(
[]
C x F x t +=--)()(11??变量还原.
1、无理代换
（1）若被积函数中含有根式n b ax +（n 为正整数，b a ,为常数，且0≠a ），一般令
n b ax t +=；
（2）若被积函数中含有根式n d
cx b ax ++的积分)0,1(≠->bc ad n ，一般令n d cx b
ax t ++=，
即可转化为有理函数的不定积分；
（3）若被积函数中含有两种或两种以上的根式l k x x ,, 时，可令n x t =（其中n 为各根式指数l k ,, 的最小公倍数）.
2、三角代换
若被积函数中含有22x a -，设t a x sin =； 若被积函数中含有22x a +，设t a x tan =； 若被积函数中含有22a x -，设t a x sec =.
3、倒代换
如果被积函数的分子和分母关于积分变量x 的最高次幂分别为m 和n ，1>-m n ，且分子分母中均为“因式”时，可作倒代换t
x 1
=
来消去在被积函数的分母中的变量因子x . 如??+=+24222421x x x dx x
x x dx
t x 12
=令 C x x t dt ++-=+-?11212，
又如：
?-dx x x
7
)3(，可作代换t x
=-31. 4、万能代换
万能代换常用于三角有理式的积分，设2tan x t =，212sin t t x +=，22
11cos t t x +-=，
212tan t t x -=
，
dt t dx 2
12
+=. 5、三角函数有理式的积分
（1）如果被积函数)cos ,(sin x x R 是关于x sin 和x cos 的一次分式时，可试用万能替换法； （2）若)cos ,(sin x x R 是关于x cos 的奇函数，即)cos ,(sin )cos ,(sin x x R x x R -=-，可设
x t sin =；
（3）如果)cos ,(sin x x R 是关于x sin 的奇函数，即)cos ,(sin )cos ,sin (x x R x x R -=-，可作变换x t cos =；
（4）如果)cos ,(sin )cos ,sin (x x R x x R =--，可设t x =tan ；
（5）若被积函数是x x m
n cos sin ，且n 和m 中至少有一个数为奇数（不妨设12+=k m ， ++∈∈Z n Z k ,）
，可设x t sin =； （6）若被积函数是x x m n cos sin ，且n 和m 都是偶数，可由三角公式)2cos 1(2
1
sin 2
x x -=
，)2cos 1(21
cos 2x x +=
，x x x 2sin 2
1cos sin =，代入被积函数化简，一种情况是含有x 2sin 或x 2cos 的奇数次幂，则用方法（5）求之；另一种情况是仍含有x 2sin 和x 2cos 的偶数次幂，则
继续使用上述方法化简，转化为以x 4sin 和x 4cos 为变数的幂函数相乘，以此类推.
（7）如果被积函数是nx mx sin sin ，或nx mx cos sin ，或n mx cos cos ，则利用积化和差公式，然后再求不定积分.
四、分部积分法
若)(x u ，)(x v 是可微函数，且不定积分?'dx x v x u )()(存在，则?
'dx x v x u )()(也存在，且有
??'-='dx x v x u x v x u dx x v x u )()()()()()(.
注释：（1）分部积分法，主要是解决被积函数是两类或两类以上不同函数乘积的不定积分，
在使用分部积分法时，要恰当地选择u 和dv ，即求?udv 比较困难，而求?
vdu 比较容易. 一般可依次选取u 的顺序为：反三角函数、对数函数、幂函数、指数函数、三角函数，一般只要被积函数中含有对数函数或反三角函数时，常使用分部积分法.
（2）在求指数函数和三角函数乘积的积分时，需使用两次分部积分，且每次选取u 和dv 需是同类型的函数，否则两次积分后将出现恒等式. 当两次积分后等式右端将会出现原来的不定积分，此时移项解方程，可求得原来的不定积分，当等式右端不出现积分号时，必须加上任意常数C . 3.3 定积分的概念及性质
一、定积分的概念 1、定积分的定义
设)(x f 是定义在[]b a ,上的有界函数，在[]b a ,内任意插入1-n 个分点，10x x a <=2x < b x x n n =<<<-1 ，将区间[]b a ,分为n 个小区间[]i i x x ,1-（n i ,,2,1 =）
，在每个小区间[]i i x x ,1-上任一取点i ξ，且[]i i x x ,1-的长度记为1--=?i i i x x x ，作和式∑=?n
i i i x f 1
)(ξ，若当
{}0max 1→?=≤≤i n
i x λ时，上述和式的极限存在且与区间的分法无关，也与i ξ的取法无关，则称该
极限值是函数)(x f 在区间[]b a ,上的定积分，记作
?
b
a
dx x f )(，
即∑?=→?=n
i i i b
a
x f dx x f 1
)(lim )(ξλ.
其中)(x f 称为被积函数，dx x f )(称为积分表达式，x 称为积分变量，[]b a ,称为积分区间，a ，
b 分别称为积分下限和积分上限.
注释：（1）定积分表示一个数，它的值只取决于被积函数和积分上、下限，而与积分变量使用什么字母无关，即
??=b
a
b
a
du u f dx x f )()(.
（2）定积分定义中曾假设b a <，事实上，由定义知当b a =时，有?
=a
a
dx x f 0)(.
而对于任意的b a ,，有
?
?-=b
a
a
b
dx x f dx x f )()(.
（3）0)(='??
?????b a dx x f ，0)(=???????b a dx x f d .
2、可积的必要条件
若函数)(x f 在[]b a ,上可积，则)(x f 在[]b a ,上必有界. 3、可积的充分条件
（1）若函数)(x f 在[]b a ,上连续，则)(x f 在[]b a ,上可积.
（2）若函数)(x f 在区间[]b a ,上有界，且只有有限个间断点，则)(x f 在[]b a ,上可积；或函数)(x f 在[]b a ,上只有有限个第一类间断点，则)(x f 在[]b a ,上可积.
（3）分段连续函数是可积的.
（4）若)(x f 是[]b a ,上的单调有界函数，则)(x f 在[]b a ,上可积. 也就是说，单调有界函数，即使有无穷多个间断点，但这些不连续的点若存在一个极限点，则)(x f 在[]b a ,上可积.
（5）初等函数在其定义区间内的任一子区间上都是可积的. 注释：①这几个条件都是充分条件，不是必要条件；
②原函数的存在与可积之间没有必然的关系，函数存在原函数但不一定可积.
如：?????
=≠+=0,
0,
0,1sin 21cos 2)(22x x x
x x x x f 在[]1,1-上存在原函数，但它在[]1,1-上不可积，；若函数可积，但不一定存在原函数. 如???≤<≤≤--=10,
10
1,1)(x x x f 在[]1,1-上可积，但在区间[]1,1-上
不存在原函数.
二、定积分的几何意义
函数)(x f 在区间[]b a ,上的定积分是曲线)(x f y =与直线b x a x ==,，以及x 轴所围成的曲边梯形面积的代数和，曲线在x 轴的上方取正号，在x 轴下取负号.
1、若0)(≥x f ，则定积分
?b
a
dx x f )(表示由曲线)(x f y =与直线b x a x ==,，以及x 轴所
围成的曲边梯形面积A ，即A ?=
b
a dx x f )(；
2、若0)(≤x f ，则定积分
?
b a
dx x f )(表示由曲线)(x f y =与直线b x a x ==,，以及x 轴所
围成的曲边梯形面积A 的负值，即?-
=b
a dx x f A )(；
3、若)(x f 在区间[]b a ,内有正有负，则定积分
?
b
a
dx x f )(表示由曲线)(x f y =与直线
b x a x ==,，以及x 轴所围成的各部分图形面积的代数和，即?=b a
dx x f A |)(|.
三、定积分的性质
性质1 两个可积函数和或差的定积分等于它们定积分的和或差，即
[]???±=±b a b
a
b
a
dx x g dx x f dx x g x f )()()()(
一般地，若)(,),(),(21x f x f x f k （k 为有限数）都是可积函数，则
[]????+++=+++b
a k b
a b a b a k dx x f dx x f dx x f dx x f x f x f )()()()()()(2121 ；
性质2 被积函数中的非零常数因子可以提到积分号的外边，即?
?=b
a
b
a
dx x f k dx x kf )()(；
性质 3 如果在[]b a ,上有k x f =)(，则
)(?-=b
a a
b k kdx ，特别地，当1)(=x f 时，有?
-=b
a
a b dx ；
性质4（区间可加性） 对任意的常数c ，有
?
??+=b
a
c a
b
c
dx x f dx x f dx x f )()()(；
性质5（单调性） 若在[]b a ,上有)()(x g x f ≤，则
?
?<≤b
a
b
a
b a dx x g dx x f )()()(，
特别地，若在[]b a ,上有0)(≥x f ，则
)(0
)(b a dx x f b
a <≥?；
性质6（绝对可积性） 若)(x f 在区间[]b a ,上可积，则|)(|x f 在区间[]b a ,上也可积，且有
??
<≤b
a
b
a
b a dx x f dx x f )()()(，一般的有
???<≤≤b
a
b
a b a b a dx x f dx x f dx x f )()()()(；
特别地，若|)(|x f 在区间[]b a ,上可积，则)(x f 在区间[]b a ,上不一定可积，如
?
??-=为无理数，为有理数
x x x f 1,1)(；
性质7（估值不等式） 设M m ,分别是)(x f 在区间[]b a ,上的最小值与最大值，则
)()()(a b M dx x f a b m b
a
<≤≤-?；
性质8（积分中值定理） 设)(x f 在[]b a ,上连续，则至少存在一点[]b a ,∈ξ，使得
?
-'=b
a
a b f dx x f ))(()(ξ，
而称
?-b
a
dx x f a b )(1为)(x f 在区间[]b a ,上的平均值； 3.4 定积分的计算
一、几个重要结果 1、奇偶函数的积分性质
若)(x f 在[]a a ,-上是奇函数，则?
-=a
a dx x f 0)(；
若)(x f 在[]a a ,-上是偶函数，则?
?-=a
a
a
dx x f dx x f 0)(2)(；
2、周期函数的积分性质
设)(x f 是以T 为周期的函数，a 为常数，则有
?
?+=T
a a
T
dx x f dx x f 0
)()(，
?
?
?+==nT
a a
nT
T
dx x f n dx x f dx x f 0
)()()(，其中n 为正整数.
3、若)(x f 在[]a a ,-上连续，则
[]?
?-+=-a a
a
dx x f x f dx x f 0
)()()(，常用于计算形如
?-±+44
1cos π
πdx e x x
或?-±+441sin π
πdx e x x x 的定积分； 4、几个常用的定积分变换公式 设)(x f 在[]1,1-上连续，则
??
=202
)(cos )(sin π
π
dx x f dx x f ；
?
?=
π
π
π
)(sin 2)(sin dx x f dx x xf ；
??
=20
)(sin )(sin π
π
πdx x f dx x xf ；
??
=20
)(sin 2)(sin ππ
dx x f dx x f .
注释：常用于计算形如
?+π
02cos 1sin dx x x
x 的定积分；
二、牛顿—莱布尼兹公式
设函数)(x f 在[]b a ,上连续，)(x F 是)(x f 的任一个原函数，则
)()()()(a F b F x F dx x f a
b b
a
-==?
. 注释：)(x F 必须是在[]b a ,上的连续函数)(x f 的一个原函数，否则将会导致解题错误，如
?
??????
-+=+3
3
211arctan
1x x x dx =3
24
3
131arctan
π
π
-
=-
-+是错误的，因为虽然
211)11(a r c t a n x x x +='-+，但x x -+11arctan 不是函数2
11)(x
x f +=在[]
30，上的一个原函数，x x F arctan )(=才是2
11
)(x
x f +=在[]
30，上的一个原函数，故正确解法是3
0arctan 3arctan arctan 113
0302
π=-==+?x dx x . 三、定积分的换元积分法与分部分法 1、定积分的换元积分法
设)(x f 在[]b a ,上连续，若变量替换)(t x ?=满足 （1）)(t ?'在[]βα,（或[]αβ,上连续； （2）,)(,)(b a ==β?α?且当βα≤≤t 时，b t a ≤≤)(?. 则
[]?
?'=b
a
dt t t f dx x f β
α
??)()()(.
2、定积分的分部积分法
设)(x u '，)(x v '在[]b a ,上连续，则?
?'-='b
a
b
a
b a dx x v x u x v x u dx x v x u )()()()()()(
或
?
?-=b
a
b
a
b a x du x v x v x u x dv x u )()()()()()(.
3.5 积分上限函数
一、变限积分的概念
若)(x f 在[]b a ,上可积，x 是[]b a ,上的任意一点，则称?
=x
a
dt t f x f )()(为积分上限函数
（或变上限积分）；而称?
=
b
x
dt t f x G )()(为积分下限函数.
二、变限函数的性质
若)(x f 在[]b a ,上可积，则变限函数?=x
a dt t f x F )()(在[]
b a ,上连续.
三、微积分基本定理（原函数存在定理） 若)(x f 在[]b a ,上连续，则?
=x
a
dt t f x F )()(在[]b a ,上可导，
且?=='x
a
x f dt t f dx d x F )()()( 即)(x F 是)(x f 的一个原函数.
四、变限函数的导数公式
若)(x f 是连续函数，)(),(x v x u 是可导函数，则
（1）[])()()()
(x u x u f dt t f dx d x u a '?=?； （2）[])()()()(x v x v f dt t f dx d b
x v '?-=?； （3）
[][])()()()()()
()
(x v x v f x u x u f dt t f dx d x u x v '?-'?=?. 3.6 广义积分
一、无穷区间上的广义积分 1、概念
设函数)(x f 在],[+∞a 上有定义，且在任何有限区间],[A a 上可积，如果极限?
+∞→b
a
b dx
x f )(lim 存在，则称此极限值是函数)(x f 在],[+∞a 上的无穷广义积分，也称广义积分?
+∞
a
dx x f )(是收敛
的记作：
?
+∞
a
dx x f )(；
如果上述极限不存在，则称广义积分?
+∞
a
dx x f )(是发散的.
类似地可以定义广义积分
??-∞→∞-=b
a
a b
dx x f dx x f )(lim )(，若右式的极限存在，称广义积分?
∞
-b
dx x f )(是收敛的，否则是发散的.
当
?
+∞
c
dx x f )(和?∞
-c dx x f )(都收敛时，称广义积分dx x f ?+∞
∞
-)(是收敛的，且与c 的值无关，
否则称广义积分
dx x f ?
+∞
∞
-)(是发散的.
注释：判断
dx x f ?
+∞
∞
-)(的收敛性不能用?-+∞→c
c
c dx x f )(lim 的极限存在性；
但如果已知?+∞
∞
-dx x f )(是收敛的，而求它的值，可以通过计算?
-+∞→c
c
c dx x f )(lim
是可以的.
2、无穷广义积分的性质 （1）若dx x f a ?+∞
)(收敛，则?
?+∞
+∞=a
a
dx x f k dx x kf )()(，k 为常数.
（2）若
dx x f a
?
+∞
)(，?+∞a
dx x g )(都收敛，则[]dx x g x f a
?
+∞
±)()(也收敛，且有
[]???+∞
+∞+∞
±=±a
a
a dx x g dx x f dx x g x f )()()()(.
（3）设)(),(x v x u ''在[]+∞,a 上连续，如果下面等式中有两项存在，则第三项也存在，且有
?
?
+∞
∞
++∞
-=a
a a
vdu uv udv . （4）若)(x f 在任何有限区间[]A a ,上可积，且
?
+∞
a
dx x f )(收敛，则?
+∞
a
dx x f )(也收敛，
且有
dx x f dx x f a
a
?
?
+∞
+∞
≤)()(.
3、常用的几个特殊广义积分的敛散性
?
∞
+??
??
?≤∞+>-=1
1,,1,11
1。p p p dx x p
时发散时收敛
??
?
??≤∞+>-==??∞+∞+时发散时收敛11,1
1
1ln )(ln 1P ，p p du u x u x x dx p e p 二、无界函数的广义积分（也称瑕积分） 1、概念
定义1 设)(x f 在),[b a 上有定义，而∞=-
→)(lim x f b
x ，称b 为)(x f 的瑕点. 定义2 设)(x f 在),[b a 上有定义，b x =为瑕点，且对任意的0>ε，)(x f 在[]ε-b a ,上可积，即极限?
-→ε
εb a
dx x f )(lim 0存在，则称该极限值为无界函数)(x f 在),[b a 上的广义积分或叫瑕
积分，记作：
?
?
-→=ε
εb a
b
a
dx x f dx x f )(lim )(0或??-→=B
a
b a
b B dx x f dx x f )(lim )(，此时也称广义积分
?
b
a
dx x f )(是收敛的；若上式的极限不存在，则称广义积分?b
a
dx x f )(发散.
类似地可以定义瑕点为a x =时的广义积分
??
+→=b
A
a
A b
a
dx x f dx x f )(lim )(，其中)(x f 在
],(b a 上有定义，a 为瑕点，且在任何[](]b a b A ,,?上可积.
定义3 如果)(x f 在[]b a ,内部有瑕点c x =，则定义瑕积分
??
=c a
b
a
dx x f dx x f )()( ?+b c
dx x f )(?
?+-→→+=b
v
u a
c
v c
u dx x f dx x f )(lim )(lim 当且仅当右边的两个瑕积分都收敛时
?
b
a
dx x f )(收敛，否则?b
a
dx x f )(发散.
2、瑕积分的性质
（1）若a x =为瑕点且积分
?
b
a
dx x f )(收敛，则?b
a
dx x kf )(也收敛，且有
?
?=b
a
b a dx x f k dx x kf )()(，其中k 为常数.
（2）若)(x f 与)(x g 的瑕点同为a x =，且瑕积分
?
b
a
dx x f )(与
?
b
a
dx x g )(都收敛，则
[]?±b
a dx x g x f )()(也收敛，且有[]???±=±b
a b
a
b a
dx x g dx x f dx x g x f )()()()(.
（3）定积分的分部积分法与换元积分法对瑕积分也成立.
（4）设a x =是)(x f 的瑕点，)(x f 在],(b a 内的任一闭区间上可积，若积分?
b
a
dx x f )(收
敛，则
?
b
a
dx x f )(也收敛，且有??≤b
a
b a
dx x f dx x f )()(.
3、几个特殊积分的敛散性 1°当1 ? 1 1 收敛；当1≥q 时发散； 2°当1 ?-1 0)1(q x dx 收敛；当1≥q 时发散； 3°当1 ?-1 1q x dx 收敛；当1≥q 时发散； 3.7 定积分在几何上的应用 一、定积分的元素法 用元素法解决应用问题的步骤： （1）根据问题的具体情况，选取一个变量（如：x ）为积分变量，并确定其变化区间； （2）分割[]b a ,为n 个小区间，在其中任一小区间[]dx x x +,上求出该小区间的部分分量U ?的近似值dx x f dU )(=； （3）以所求量U 的元素dx x f )(为被积表达式，在区间[]b a ,上作定积分求? =b a dx x f U )(. 1、平面图形的面积计算 （1）直角坐标系下的情形 X 型的平面图形面积：?-=b a dx x g x f A )()(（图（1）），其中A 是由连续曲线 )(),(x g y x f y ==和直线)(,b a b x a x <==所围成图形的面积. Y 型的平面图形面积：由连续曲线 )(),(g x g x ψ?==和直线)(,d c d y c y <== 所围成的平面图形的面积. ?-=d c dy g g A )()(ψ?（图（2） ）. 注释：较为复杂图形的面积计算，可将图形分割 为若干小图形，使其符合X 型或Y 型，然后求面积和 （2）极坐标系的情形 由连续曲线)(θr r =和射线)(,βαβθαθ<== 围成的平面图形面积θθβα d r A )(212 ?=，（图（3）） 由连续曲线))(()()((),(1221θθθθr r r r r r ≤== 和射线)(,βαβθαθ<==所围成图形的面 积[] θθθβα d r r A ?-= )()(212 2 21（图（4））. （3）曲线方程是参数方程形式的情况 设曲线C 的参数方程为b a t t y t x ==≤≤?? ?==)(,)(,) () (β?α?βαψ?， )(t ?在[]βα,上具有连续导数，且)(t ?'不变号，0)(≥t ?且连续， 则由曲线C 和直线b x a x ==,，x 轴围成的平面图形的 面积dt t t dx y A b a )()(?ψβ α '== ?? 2、特殊的空间立体的体积计算 （1）已知平行截面面积的立体体积 设在空间直角坐标系中，有一个立体夹在垂直于x 轴的两个平行平面a x =与)(b a b x <=之间，它被垂直x 轴的平面截得的截面面积为)(x A ，且)(x A 在[]b a ,上连续，则立体的体积 ?=b a dx x A V )(. )(θr r = )(1θr r = )(2θr r = β α ) () (g x g x ??== （2）绕坐标轴旋转的旋转的体积 ①平面图形由曲线)0)()((≥=x f x f y 与直线a x =，)(b x b x <=，x 轴所围成. 烧x 轴旋转一周而成的旋转体的体积为dx x f V b a x ? =)(2π ； 绕y 轴旋转一周而成的旋转体的体积为? =b a y dx x xf V )(2π ； ②由连续曲线)(y x ?=及直线c y =，)(d c d y <=，y 轴所围成的平面图形 绕y 轴旋转一周而成的旋转体的体积dy y V b a y )(2 ?=? π ； 烧x 轴旋转一周而成的旋转体的体积? =d c x dy y y V )(2?π. 3、平面曲线的弧长计算 （1）曲线为参数形式的平面曲线的弧长公式 设曲线C 是由参数方程βα≤≤==t t y y t x x )((),(给出的光滑曲线，即)(),(t y t x 在[]βα,上具有连续的导数，则曲线段弧长为[][]dt t y t x S ?'+'= β α 22)()(. （2）曲线方程为直角坐标方程的弧长公式 设曲)(x f y =在[]b a ,上是光滑曲线，则曲线段的弧长为[]dx x f S b a ? '+=2 )(1. （3）曲线方程为极坐标方程的弧长公式 设曲线段是由极坐标方程)(θr r =，βθα≤≤给出的光滑曲线，则曲线段的弧长为 [][]θθθβ α d r r S ? +'=22)()(. ? =AB C x dx x + 第二章 一元函数微分学 一、 导数 （一）、导数概念 1、导数的定义： 设函数)(x f y =在点0x 的某个邻域内有定义，当自变量在点0x 处取得改变量x ?时，函数)(x f 取得相应的改变量，)()(00x f x x f y -?+=?，如果当0→?x 时，x y ??的极限存在，即x y x ??→?0lim x x f x x f x ?-?+=→?)()(lim 000存在，则此极限值为函数)(x f 在点0x 的导数，可记作)(0x f '或|0x x y ='或|0x x dx dy =或|0 )(x x dx x df = 2、根据定义求导数的步骤（即三步曲） ①求改变量)()(x f x x f y -?+=? ②算比值 x y ??x x f x x f ?-?+=)()( ③取极限x y x f y x ??='='→?0lim )(x x f x x f x ?-?+=→?)()(lim 0 例1：根据定义求2 x y =在点3=x 处的导数。 解：223)3(-?+=?x y 2)(6x x ?+?= x x y ?+=??6 6)6(lim lim 0 0=?+=??→?→?x x y x x 3、导数定义的几种不同表达形式 ①x x x x x f x x f x f x ?+=??-?+='→?00000) ()(lim )(令 ②000)()(lim )(0x x x f x f x f x x --='→ 时 ＝当0)()(lim )(0000x x x f x f x f x ??-='→? ③x f x f f x )0()(lim )0(0-='→ 4、左右导数的定义： 如果当)0(0-+→?→?x x 时，x y ??的极限存在，则称此极限为)(x f 在点0x 为右导数（左 第三章 一元函数积分学 一．不定积分 例1：设2 ln )1(22 2 -=-x x x f ，且x x f ln )]([=?，求?dx x )(?（答案： C x x +-+1ln 2） 例2：已知 x x sin 是)(x f 的一个原函数，求?dx x f x )('3（答案： C x x x x x +--cos 6sin 4cos 2） 例3：设???>≤=0 ,sin ,)(2x x x x x f ，求?dx x f )( 例4：设)(x F 是)(x f 的一个原函数，π4 2 )1(= F ，若当0>x 时，有) 1(arctan )()(x x x x F x f += ，求)(x f 。（答案：) 1(21)(x x x f += ） 例5：求? dx x x )1,,max(23 例6：求?dx e e x x 2arctan 二．定积分 例1：求极限?? ? ??+++++∞→n n n n 212111lim 例 2：设)(x f 在]1,0[上连续，且 )(1 =?dx x f ，试证明存在 0)1()()1,0(=-+∈ξξξf f 使。 例3：已知)0()1ln()(1 >+= ?x dt t t x f x ，求??? ??+x f x f 1)(（答案：x 2ln 21） 例4：设函数)(x f 连续，且,arctan 21)2(2 0x dt t x tf x =-?已知1)1(=f ，求?2 1 )(dx x f 的 值。（答案： 4 3 ） 例5：已知22110,1,ln ,sin )(>≤<≤≤?? ? ??=x x x x x x x f 求?=x dt t f x I 0)()( 例6：求积分?≥-= x x dt t x g t f x I 0 )0()()()(，其中当0≥x 时x x f =)(，而 ?? ?? ? ≥ <≤=220,0,sin )(π πx x x x g 例7：设)(x f 在],[b a 上连续，且0)(>x f ，证明 ? b a dx x f )(2)() (1 a b dx x f b a -≥? 例8：设)('x f 在]1,0[上连续，求证 ? ??? ?? ? ??≤1 1 010)(,)('max )(dx x f dx x f dx x f 例9：设)(x f 在]1,0[上连续，且0)(≥x f ，0)1(=f ，求证： 存在?= ∈ξ ξξ0 )()()1,0(dx x f f 使 例10：设)(x f 是在),(+∞-∞内的周期函数，周期为T ，并满足 )),,(,()()()1(为常数其中L y x y x L y f x f +∞-∞∈?-≤-； 0)()2(0 =?T dx x f 求证：LT x f T x 2 1 )(max ] ,0[≤ ∈ 例11：设函数)(x f 在],[b a 上具有连续的二阶导数，证明在),(b a 内存在一点ξ，使得 )('')(24 12)()(3 ξf a b b a f a b dx x f b a -+??? ??+-=? 高等数学教案—一元函数微分学的应用 课 时 授 课 计 划 第一课时 教学过程及授课内容 教学过程 一、柯西中值定理 定理1（柯西中值定理）如果函数)(x f 与 )(x F 满足下列条件：(1)闭区间 ],[b a 上连续； (2)在开区间),(b a 内可导； (3))('x F 在),(b a 内的每一点均不为零，那么，在),(b a 内至少有一点ξ，使得 二、洛必达法则 把两个无穷小量之比或两个无穷大量之比的极限称为00型或 ∞ ∞ 型不定式(也称为 0型或∞∞ 型未定型)的极限,洛必达法则就是以导数为工具求不定式的 极限方法． 定理2 (洛必达法则)若(1)0)(lim 0 =→x f x x ，0)(lim 0 =→x g x x ； (2))(x f 与)(x g 在0x 的某邻域内（点0x 可除外）可导，且0)('≠x g ； (3)A x g x f x x =''→) () (lim 0(A 为有限数，也可为∞+或∞-)，则 A x g x f x g x f x x x x =''=→→) () (lim )()(lim 00 证 由于我们要讨论的是函数在点0x 的极限，而极限与函数在点0x 的值无关，所以我们可补充)(x f 与)(x g 在0x 的定义，而对问题的讨论不会发生任何影响。令0)()(00==x g x f ，则)(x f 与)(x g 在点0x 就连续了．在0x 附近任取一点x ，并应用柯西中值定理，得 .f(b)f(a)f ( )F(b)F(a)F () ξξ'-='- ) () ()()()()()()(00ξξg f x g x g x f x f x g x f ''=--= (ξ在x 与0x 之间) . 由于0x x →时，0x ξ→，所以，对上式取极限便得要证的结果，证毕． 注：上述定理对∞→x 时的0 未定型同样适用，对于0x x →或∞→x 时的未定型 ∞ ∞ ，也有相应的法则． 例1 求1 2 3lim 2331+--+-→x x x x x x ． 解 123lim 2331+--+-→x x x x x x =12333lim 221---→x x x x =266lim 1-→x x x =46=2 3． 例2求x x x tan cos 1lim π+→． 解 x x x tan cos 1lim π+→=x x x 2πcos 1sin lim -→=0． 例3 求 x x x 1arctan 2 lim -+∞ →π 解 x x x 1arctan 2 lim -+∞ →π =221 11 lim x x x -+- +∞ →=22 1lim x x x ++∞→=1． 除未定型 00与∞ ∞ 之外，还有00,1,0,,0∞∞-∞∞?∞等未定型，这里不一一介绍，有兴趣的同学可参阅相应的书籍，下面就∞-∞未定型再举一例． 例5 求??? ? ?--→x x x x ln 11lim 1． 解 这是∞-∞未定型，通过“通分”将其化为 未定型． x x x x x x x x x x ln )1()1(ln lim ln 11lim 11---=??? ??--→→x x x x x x x 1ln 1 ln 1 lim 1-+ -+=→ 第二部分 一元函数微分学 [选择题] 容易题 1—39，中等题40—106，难题107—135。 1．设函数)(x f y =在点0x 处可导，)()(00x f h x f y -+=?，则当0→h 时，必有( ) (A) y d 是h 的同价无穷小量. (B) y y d -?是h 的同阶无穷小量。 (C) y d 是比h 高阶的无穷小量. (D) y y d -?是比h 高阶的无穷小量. 答D 2．已知)(x f 是定义在),(+∞-∞上的一个偶函数，且当0 )(x f 的（ ） （A ）间断点。 （B ）连续而不可导的点。 （C ）可导的点，且0)0(='f 。 （D ）可导的点，但0)0(≠'f 。 答C 6．设函数f(x)定义在[a ，b]上，判断何者正确？（ ） （A ）f （x ）可导，则f （x ）连续 （B ）f （x ）不可导，则f （x ）不连续 （C ）f （x ）连续，则f （x ）可导 （D ）f （x ）不连续，则f （x ）可导 答A 7．设可微函数f(x)定义在[a ，b]上，],[0b a x ∈点的导数的几何意义是：（ ） （A ）0x 点的切向量 （B ）0x 点的法向量 （C ）0x 点的切线的斜率 （D ）0x 点的法线的斜率 答C 8．设可微函数f(x)定义在[a ，b]上，],[0b a x ∈点的函数微分的几何意义是：（ ） （A ）0x 点的自向量的增量 （B ）0x 点的函数值的增量 （C ）0x 点上割线值与函数值的差的极限 （D ）没意义 答C 9．x x f = )(，其定义域是0≥x ，其导数的定义域是（ ） （A ）0≥x 第四章 一元函数积分学 不定积分部分 一．原函数的概念 例1.下列等式成立色是（ ） ()()().;A f x dx f x '=? ()()().;B df x dx f x =? ()()(). ;d C f x dx f x dx =? ()()()..D d f x dx f x =? 例2．下列写法是否有误，为什么？ ()1 .ln c dx e e x x +=?（c 为任意正常数） ()2 ).0(1 3 3 2 ≠+=?c c dx x x ()3 .arccos arcsin 12 c x c x dx dx x +-=+=-? 例3.下列积分结果正确吗？ ()211sin .cos sin ;2x xdx x C =+?√ ()21 2sin .cos cos ;2x xdx x C =-+?√ ()1 3sin .cos cos 2.2 x xdx x C =-+?√ 例3说明不定积分的结果具有形式上的多样性。 二.直接积分法 利用不定积分的性质及基本积分表，我们就可以计算较简单的函数的积分，这种方法称做直接积分法. 例4．求().arctan 3 1111113 2 2 24 2 4 c x x dx dx dx dx x x x x x x x ++-= + +-= ++-= +???? 例5．求.sin 21 2cos 212cos 12sin 2 c x x xdx dx dx x dx x +-=-=-=???? 例6．求.tan 44422csc sin cos sin 2 222c x c xdx x dx x x dx +-===??? 例7．已知某个函数的导数是x x cos sin +，又知当2 π=x 时，这函数值为2，求 此函数. 解：因为() .sin cos cos sin c x x dx x x ++-=+?， 所以，可设().sin cos c x x x f ++-= 第四部分 一元函数微积分 第11章 函数极限与连续[内容提要] 一、函数：(138-141页） 1、函数的定义：对应法则、定义域的确定、函数值计算、简单函数图形描绘。 2、函数分类：基本初等函数（幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反 三角函数的统称）；复合函数（[()]y f x ?=）；初等函数（由常数和基本初等函数构成的，且只能用一个式子表达的函数）；分段函数；隐函数；幂指函数（()()g x y f x =）；反函数。 3、函数的特性：奇偶性；单调性；周期性；有界性. 二、极限： 1、极限的概念：(141-142页) 定义1：（数列极限）给定数列{}n x ，如果当n 无限增大时，其通项n x 无限趋向 于某一个常数a ，即a x n -无限趋近于零，则称数列{}n x 以a 的极限，或称数列{}n x 收敛于a ，记为a x n n =∞ →lim ，若{}n x 没有极限，则称数列{} n x 发散。 定义2：（0x x →时函数)(x f 的极限）设函数)(x f 在点0x 的某一去心邻域0(,) U x δo 内有定义，当x 无限趋向于0x （0x x ≠）时，函数)(x f 的值无限趋向于 A ，则称0x x →时， )(x f 以A 为极限，记作A x f x x =→)(lim 0 。 左极限：设函数)(x f 在点0x 的左邻域00(,)x x δ-内有定义，当0x x <且无限趋向 于0x 时，函数)(x f 的值无限趋向于常数A ，则称0x x →时，)(x f 的左极限为A ，记作0 0(0)lim ()x x f x f x A -→-==。 右极限：设函数)(x f 在点0x 的右邻域00(,)x x δ+内有定义，当0x x >且无限趋向 于0x 时，函数)(x f 的值无限趋向于常数A ，则称0x x →时，)(x f 的右极限为A ，记作0 0(0)lim ()x x f x f x A +→+==。 定义3：（x 趋于无穷大时函数)(x f 的极限）设)(x f 在区间)0(>>a a x 时有定义， 若x 无限增大时，函数)(x f 的值无限趋向于常数A ，则称当∞→x 时， 一元函数积分学的应用 一元函数积分学研究的是研究函数的整体性态，一元函数积分的本质是计算函数中分划的参数趋于零时的极限。 一元积分主要分为不定积分 ?dx x f )(和定积分? b a dx x f )(。化为函数 图像具体来说，不定积分是已知导数求原函数，也就是说，把f(x)积分，不一定能得到F(x)，因为F(x)+C 的导数也是f(x)（C 是任意常数）。所以f(x)积分的结果有无数个，是不确定的。而定积分就是求函数f(X)在区间[a,b]中图线下包围的面积，可以说是不定积分在给定区间的具体数值化。因为积分在其它方面应用时一般都有明确的区间，所以本文主要研究定积分的各种应用。 积分的应用十分巧妙便捷，能解决许多不直观、不规则的或是变化类型的问题。故其主要应用在数学上的几何问题和物理上的各种变量问题和公式的证明以及解决一些实际生活问题。 微元法建立积分表达式 在应用微积分于实际问题时，首先要建立积分表达式，一般情况下，只要具备都是给定区间上的非均匀连续分布的量和都具有对区间的可加性这两个条件就都可以用定积分来描述（以下的讨论都是建立在这两个条件下，因此不再提示此条件）。 而建立积分表达式的方法我们一般用微元法。其分为两个步骤：（1）任意分割区间[]b a ,为若干子区间，任取一个子区间[]dx x x +,，求Q 在该区间上局部量的Q ?的近似值dx x f dQ )(=；（2）以dx x f )(为被积式，在],[b a 上作积分即得总量Q 的精确值 ??==b a b a dx x f dQ Q )(。（分割，近似，求和，取极限） 在实际应用中，通过在子区间],[dx x x +上以“匀”代“非匀”或者把子区间],[dx x x +近似看成一点，用乘法所求得的近似值就可以作为Q ?所需要的近似值，即为所寻求的积分微元dx x f dQ )(= 。 定积分在几何中的应用 在几何中，定积分主要应用于平面图形的面积、平面曲线的弧长、已知平行截面面积函数的立体体积、旋转体的侧面积。下面我们来分类讨论： 一、 平面图形的面积 求图形面积是定积分最基本的应用，因为定积分的几何意义就是在给定区间内函数曲线与x 轴所围成图形的面积。而求面积时会出现两种情况：直角坐标情形和极坐标情形。 1、直角坐标情形 在求简单曲边图形（能让函数图像与之重合）的面时只要建立合适的直角坐标系，再使用微元法建立积分表达式，运用微积分基本公式计算定积分，便可求出平面图形的面积。如设曲 y O 一元函数微分学练习题答案 一、计算下列极限： 1．93 25 235lim 222-=-+=-+→x x x 2．01)3(3)3(13lim 2 2223=+-=+-→x x x 3．x x x 11lim --→) 11(lim )11()11)(11(lim 00+--=+-+---=→→x x x x x x x x x 21 1 011 1 11lim -=+--= +--=→x x 4．0111 111lim )1)(1()1(lim 112lim 1212 21=--+-=-+=-++=-++-→-→-→x x x x x x x x x x x 5．21 )23()124(lim 2324lim 202230=++-=++-→→x x x x x x x x x x x x 6．x t x t x t x x t x t x t x t t t 2)2(lim ) )((lim )(lim 00220-=--=--+-=--→→→ 7．0001001311 1lim 13lim 4 2322 42=+-+=+-+ =+-+∞ →∞→x x x x x x x x x x 8．943)3(2) 13()31()12(lim )13()31()12(lim 10 82108 210 108822=-?=---=---=∞→∞→x x x x x x x x x x x 原式 9．2)211(lim 22 11)211(1lim )21...41211(lim =-=-- =++++∞→∞→∞→n n n n n n 10．21 2lim 02tan lim 3sin lim )2tan 3sin (lim 0000=+=+=+ →→→→x x x x x x x x x x x x x x 11．01 sin lim 20=→x x x （无穷小的性质） 一元函数积分相关问题 前言： 考虑到学习的效率问题，我在本文献中常常会让一个知识点在分隔比较远的地方出现两次。这种方法可以让你在第二次遇到同样的知识点时顺便复习下这个知识点，同时第二次出现这个知识点时问题会稍微升华点，不做无用的重复。 一．考查原函数与不定积分的概念和基本性质 讲解：需要掌握原函数与不定积分的定义、原函数与不定积分的关系，知道求不定积分与求微分是互逆的关系，理解不定积分的线性性质。 问题1： 若)(x f 的导函数是x sin ，则所有可能成为)(x f 的原函数的函数是_______。 二．考查定积分的概念和基本性质 讲解：需要掌握定积分的定义与几何意义，了解可积的充分条件和必要条件，掌握定积分的基本性质。 定积分的基本性质有如下七点： 1、线性性质 2、对区间的可加性 3、改变有限个点的函数值不会改变定积分的可积性与积分值 4、比较定理（及其三个推论） 5、积分中值定理 6、连续非负函数的积分性质 7、设)(x f 在],[b a 上连续，若在],[b a 的任意子区间],[d c 上总是有 ? =d c dx x f 0)(，则当 ],[b a x ∈时，0)(≡x f 问题2： 设? = 2 )sin(sin π dx x M ，?=20 )cos(cos π dx x N ，则有（） （A ）N M <<1 （B ）1< 分的关系，了解初等函数在定义域内一定存在原函数但不一定能积出来，需要重点掌握牛顿—莱布尼兹公式及其推广。 其中变限积分的求导方法为： 设)(x f 在],[b a 上连续，)(x ?和)(x ψ在],[βα上可导，当],[βα∈x 时， b x x a ≤≤)(),(ψ?，则? =) () ()(x x dt t f y ?ψ在],[βα上可以对x 求导，且 )('))(()('))((x x f x x f dx dy ψψ??-= 牛顿—莱布尼兹定理为： 设)(x f 在],[b a 上连续，)(x F 是)(x f 在],[b a 上的一个原函数，则 )()()(a F b F dx x f b a -=? 问题3： 已知 ? +=) 1ln(2)(x x t dt e t x f ，求)('x f )0(≥x 四．考查奇偶函数和周期函数的积分性质 讲解：需要掌握对称区间上奇偶函数的定积分性质、周期函数的积分性质，学会用性质化简积分。 问题4： 设)(x f 在]1,0[上连续， A dx x f =? 2 )cos (π ，则==? π 20 )cos (dx x f I _______。 五．利用定积分的定义求某些数列极限 讲解：需要掌握把某些和项数列和积项数列求极限的问题转化为求解定积分的方法。关键是确定被积函数、积分区间及区间的分点。 常见的情形有： ∑? =∞ →--+ =n i n b a n a b n a b i a f dx x f 1))((lim )( ∑? =∞ →---+ =n i n b a n a b n a b i a f dx x f 1 )))(1((lim )( 问题5： 求∑ =∞ →+=n i n i n n i n w 1 2tan lim 六．考察基本积分表 讲解：需要掌握基本初等函数的积分公式。 七．考察分项积分方法 第三章 一元函数积分学 §3-1 不定积分 不定积分是计算定积分、重积分、线面积分和解微分方程的基础，要求在掌握基本积分法的基础上，更要注重和提高计算的技巧。 一、基本概念与公式 1. 原函数与不定积分的概念 2. 不定积分与微分的关系（互为逆运算） 3. 不定积分的性质 4．基本积分表 2222 22 312 22 3 2max{1}d .,1 max{1,}1,11, , 111max{1,}d d 3 11max{1,}d 1d 11 max{1,}d d . 3x x x x x x x x x x x x x x C x x x x x C x x x x x x C ?<-? =-≤≤??>?<-==+-≤≤==+>==+???????1求，因 当时 ；当时 ； 当时 例解 ()()3111321 11232 31lim lim 3,1lim lim 323 ,232 133 max{1,}d 1 1.2 1 33 x x x x x C x C x C x C C C C C x C x x x x C x x C x -+ - +→-→-→→??? +=+ ????? ? ???+=+ ?????? =-+??? ?=+?? ?-+<-???=+-≤≤???++>?? ? 由原函数的连续性,有 得 故 ，，， 二、不定积分的基本方法 1. 第一类换元法（凑微分法） ()d ()[()]d []d [].f u u F u C f x x x f x x F x C ?????=+'()=()()=()+???若，则 2. 第二类换元法 ()10[]()()d []d ()[]. x t t x x t t f t t G t f x x f t t t G t C G x C ?????????-1=() =-''=()()≠()()'()()=+()+? ? 令代回 若是单调可导函数，且，又具有原函数，则有换元公式 3. 分部积分法 ()()d ()()()()d d d . u x v x x u x v x u x v x x u v uv v u ''=-=-????或 4. 有理函数的积分法 化有理真分式为部分分式. 5. 三角函数有理式的积分 (sin cos )d ()tan 2 R x x x R u v u v x t =?对于，(其中，表示关于，的有理函数)，可用“万能代换”化为有理函数的积分. 三、题解示例 一、极限题 1、求.)(cos lim 2 1 0x x x → 2、6 sin )1(lim 2 2 x dt e x t x ?-→求极限。 3、、)(arctan sin arctan lim 20x x x x x -→ 4、2 1 0sin lim x x x x ?? ? ??→ 5、? ?+∞ →x t x t x dt e dt e 0 20 2 2 2)(lim 6、 ) 1ln(1 lim -→+x e x x 7、x x x e x cos 11 20 ) 1(lim -→+ 8、 x x x x x x ln 1lim 1+--→ 9、) 1ln()2(sin ) 1)((tan lim 2 30 2 x x e x x x +-→ 10、1 0lim( )3 x x x x x a b c →++ ， (,,0,1)a b c >≠ 11、)1)(12(lim 1--+∞ →x x e x 12、 )cot 1(lim 2 20x x x -→ 13、[] )1(3sin 1 lim 11x e x x ---→ 14、() ?? ???=≠+=0 021)(3 x A x x x f x 在0=x 点连续，则A =___________ 二、导数题 1、.sin 2 y x x y ''=，求设 2、.),(0y x y y e e xy y x '==+-求确定了隐函数已知方程 3、.)5()(2 3 的单调区间与极值求函数-=x x x f 4、要造一圆柱形油罐，体积为V ，问底半径r 和高h 等于多少时，才能使表面积最小， 这时底直径与高的比是多少？ 第一章 函数与极限 1. 函数 会求函数的定义域，对应法则； 几种特殊的函数（复合函数、初等函数等）； 函数的几种特性（有界性、单调性、周期性、奇偶性） 2. 极限 （1）概念 无穷小与无穷大的概念及性质； 无穷小的比较方法；（高阶、低阶、同阶、等价） 函数的连续与间断点的判断 （2）计算 函数的极限计算方法（对照极限计算例题，熟悉每个方法的应用条件） 极限的四则运算法则 利用无穷小与无穷大互为倒数的关系； 利用无穷小与有界函数的乘积仍为无穷小的性质； 消去零因子法； 无穷小因子分出法； 根式转移法； 利用左右极限求分段函数极限； 利用等价无穷小代换（熟记常用的等价无穷小）； 利用连续函数的性质； 洛必达法则（掌握洛必达法则的应用条件及方法）； ∞ ∞或00型，)()(lim )()(lim x g x f x g x f ''= 两个重要极限（理解两个重要极限的特点）；1sin lim 0=→x x x ，1)()(sin lim 0)(=??→?x x x e x x x =+→10)1(lim ，e x x x =+∞→)11(lim ， 一般地，0)(lim =?x ，∞=ψ)(lim x ，)()(lim )())(1lim(x x x e x ψ?ψ=?+ 3 函数的连续 连续性的判断、间断点及其分类 第二章 导数与微分 1 导数 （1）导数的概念：增量比的极限；导数定义式的多样性，会据此求一些函数的极限。 导数的几何意义：曲线上某点的切线的斜率 （2）导数的计算： 基本初等函数求导公式； 导数的四则运算法则；（注意函数积、商的求导法则） 复合函数求导法则（注意复合函数一层层的复合结构，不能漏层） 隐函数求导法则（a ：两边对x 求导，注意y 是x 的函数；b ：两边同时求微分；） 高阶导数 2 微分 函数微分的定义，dx x f dy x x )(00'== 第三章 导数的应用 洛必达法则（函数极限的计算） 函数的单调性与极值，最值、凹凸性与拐点的求法 一元函数积分学 【知识要点】 1、理解原函数与不定积分的概念及其关系,掌握不定积分的性质。 2、熟练掌握不定积分的基本公式。 3、熟练掌握不定积分第一换元法,掌握第二换元法(仅限三角代换与简单的根式代换。 4、熟练掌握不定积分的分部积分法。 5、掌握简单有理函数不定积分的计算。 6、理解定积分的概念及其几何意义,了解函数可积的条件 7、掌握定积分的基本性质 8、理解变上限积分是变上限的函数,掌握对变上限积分求导数的方法。 9、熟练掌握牛顿—莱布尼茨公式。 10、掌握定积分的换元积分法与分部积分法。 11、 . 理解无穷区间的广义积分的概念,掌握其计算方法。 12、掌握直角坐标系下用定积分计算平面图形的面积以及平面图形绕坐标轴旋转所生成的旋转体的体积。 1不定积分 定义函数 (x f 的全体原函数称为函数 (x f 的不定积分 , 记作?dx x f (, 并称?微积分号, 函数 (x f 为被积函数, dx x f (为被积表达式, x 为积分变量。因此 ? +=C x F dx x f ( (, 其中 (x F 是 (x f 的一个原函数, C 为任意常数(积分常数。基本积分公式(要求熟练记忆 (1 ?=C dx 0 (2 1(1 11 -≠++=+?a C x a dx x a a . (3 C x dx x +=? ln 1. (4 C a a dx a x x += ?ln 1 1, 0(≠>a a (5 C e dx e x x +=? (6 ?+-=C x xdx cos sin (7 ?+=C x xdx sin cos (8 C x x +=?tan cos 1 2 . (9 C x x +-=?cot sin 1 《高等数学》（上）“一元函数微分学”复习题 1.设x x f +=1)(ln ，求)(x f '. 2.设函数)(x f 二阶可导，且0)0(=f ，1)0(='f ，2)0(=''f ，求20)(lim x x x f x -→. 3.设)(x f 在2=x 处连续，且22)(lim 2=-→x x f x ，求)2(f '. 4.若)(sin x f y =，求dy . 5.若函数)(x f 可导，)(sin 2x f y =则 dx dy 为多少？ 6.设函数)1ln()(2x x f -=，求)(x f ''. 7.求等边曲线x y 1=在点2) ,2 1(的切线方程. 8.设函数???≥+<=0 ),1ln(0,sin )(x x x x x f ，求)0(-'f 、)0(+'f ，并判断)0(f '是否存在. 9.确定常数a ，b 使函数? ??>-≤+=0,0,13sin )(x b ae x x x f x 在0=x 处可导. 10.求曲线???==t y t x sin 2cos 在3π=t 处的切线方程和法线方程. 11.求由方程0=-+e xy e y 所确定的隐函数的微分dy . 12.设函数x x x y ?? ? ??+=1，求其导数y '. 13.设曲线的参数方程为?????==-t t e y e x 23，求22dx y d . 14.求由方程12 2=-y x 所确立的隐函数)(x y y =的二阶导数22dx y d . 15.设函数)(x f y =由方程4ln 2y x xy =+确定，求() 1,1dx dy . 16.求椭圆442 2=+y x 在点()2,0处的二阶导数22dx y d . 17.设()3,1是曲线2 3bx ax y +=的拐点，求b a ,. 一元函数积分学在经济中的应用 一、导数在经济分析中的应用 （一）边际成本 总成本函数的导数称为边际成本。 边际成本是指在一定产量水平下，增加或减少一个单位产量所引起成本总额的变动数，用以判断增减产量在经济上是否合算。它是在管理会计和经营决策中常用的名词。当产量未达到一定限度时，边际成本随产量的扩大而递减，但当产量超越一定限度时，就转而递增。因此，当增加一个单位产量所增加的收入高于边际成本时，是合算的；反之，是不合算的。因此计算边际成本等于边际收入时，为企业获得其最大利润的产量。通过确定边际成本来提供经营决策所需资料的成本决策，称为边际成本计算。在实际工作中，边际成本计算常只按变动成本计算。 （二）边际收益 总收益函数的导数称为边际收益。 它表示销售一个单位产品后，再销售一个单位的产品所增加的收益。它可以是正值或负值。边际收益是厂商分析中的重要概念。利润最大化的一个必要条件是边际收益等于边际成本。在完全竞争条件下，任何厂商的产量变化都不会影响价格水平，需求弹性对个别厂商来说是无限的，总收益随销售量增加同比例增加，边际收益等于平均收益，等于价格。在非完全竞争）条件下，厂商的销售量同价格成反比。如果需求弹性大于1，即售量的增加的百分比，快于价格降低的百分比，总收益随销售量增加而增加，尽管不是同比例增加，平均收益下降，边际收益为零；如果需求弹性小于1，这时总收益随销售量增加而减少，平均收益更快下降，边际收益为负数。 （三）边际利润 总利润函数的导数称为边际利润。它表示：若已经生产了x个单位的产品，再生产多一个单位的产品总利润的增加量。 边际利润是反映增加产品的销售量能为企业增加的收益。销售单价扣除边际成本即为边际利润，边际利润是指增加单位产量所增加的利润。企业的经营收益减去会计成本，所得到的就是会计利润。按照我国的财会制度，有销售利润、利润总额及税后利润等概念。销售利润是销售收入扣除成本、费用和各种流转税及附加费后的余额；利润总额是企业在一定时期内实现盈亏的总额；税后利润是企业利润总额扣除应缴所得税后的利润。 一般情况下，总利润函数等于总收益函数与总成本函数之差，则边际利润是边际收益与边际成本之差。 二、函数在经济学中的应用。 需求函数。在经济管理中，需求函数是用来表示一种商品的需求数量和影响该需求数量的各种因素之间的相互关系的。也就是说，影响需求数量的各种因素是自变量，需求数量是因变量。需求函数是单调减少函数。 供给函数。供给函数表示一种商品的供给量和该商品的价格之间存在着一一对应的关系。 均衡价格。均衡价格是指一种商品的需求价格和供给价格相一致时的价格，也就是这种商品的市场需求曲线与市场供给曲线相交时的价格。 第四章 不定积分 一、是非题： １．已知()211 arcsin x x -='π+，则?π+=-x dx x arcsin 112． 错 2. 连续函数的原函数一定存在． 对 3. ()()?? =dx x f d dx x f dx d ． 错 4. ax y ln =和x y ln =是同一函数的原函数． 对 ()2x x e e y -+=和()2x x e e y --=是同一函数的原函数． 对 5. ()()??=dx x f k dx x kf （k 是常数） 错 二、填空题： １．()()? ='dx x f x f （C x f +)(ln ）． ２．()?=''dx x f x （()C x f x f x x f xd +-'='? )()( ）． ３．知()()?+=C x F dx x f ，则()?=+dx b ax f （C b ax F a ++)(1），b a ,为常数． ４．已知 ()?+=C e dx x f x ，则()=??dx x x f sin cos （ C e x +-cos ）． ５．已知()[]x dx x f sin ='?，则()=x f （x sin ）． 6. 设()x f 、()x f '连续，则() ()[]=+'?dx x f x f 21（[]C x f +)(arctan ）． 7. 设()x f 的一个原函数为x e -，则()ln f x dx x =?（ 1C x + ）． 8. 函数（21ln(1)2x C ++）是2 1x x +的原函数． 9. 设()x f x e =，则()ln f x dx x '=?（x C +）． 三、选择填空： 1．已知()x F 是()x f 的一个原函数，C 为任意常数，下列等式能成立的是（ a ） a ．()()?+=C x F x dF b ．()()? ='x F dx x F 第三章 一元函数微分学的应用学习指导 一元函数微分学在经济等领域有着广泛的应用，微分中值定理给出了函数及其导数之间的联系，是微分学的基本定理．本章以导数为工具，以微分中值定理为理论基础，研究函数的单调性、极值、最值，函数的凹向及拐点，并应用导数解决经济中的边际、弹性及最优经济量等问题． 一、教学要求 1． 了解罗尔中值定理、拉格朗日中值定理，并会应用拉格朗日中值定理证明不等式． 2． 熟练掌握洛必达法则求“00”、“∞∞ ”、“0?∞”、“∞-∞”、“1∞”、“0 0”、“0∞”七种未定式的极限方法． 3．掌握利用导数判定函数的单调性及函数单调区间的方法，会利用函数的增减性证明简单的不等式． 4．理解函数极值的概念，掌握求函数的极值和最值的方法，并会求简单的几何应用问题． 5．会判定曲线的凹向，会求曲线的拐点及渐进线． 6．了解常用经济函数，掌握导数在经济分析中的应用(边际分析、弹性分析最优经济量的求法)． 重点: 利用洛必达法则求未定式的极限；利用导数判定函数的单调性与极值、凹向及拐点；导数的经济应用． 难点: 应用拉格朗日中值定理证明不等式；经济应用中的边际分析、弹性分析． 二、学习要求 1． 牢记中值定理成立的条件，并恰当引入辅助函数． 2．应用洛必达法则求极限时应注意使用的条件，每次运用洛必达法则之前一定要检验是否是未定式的极限，然后转化为 00或∞ ∞ 型再计算． 3．深刻理解驻点只是可导函数取得极值的必要条件，极值点可能是驻点也可能是导数不存在的点． 4．边际函数即经济函数的导数()f x '，反映的是当x 产生一个单位的改变时，()f x 改变()f x '个单位；弹性函数 Ey Ex 表示当x 产生1%的改变时，y 改变Ey Ex ％．在解决实际问题时，应注重结合经济实例，理解所求值的正负的含义． 三、典型例题分析 例1 设523)(2 ++=x x x f ，求)(x f 在],[b a 上满足拉格朗日中值定理的ξ值． 解 )(x f 为多项式函数，在],[b a 上满足拉格朗日中值定理的条件，故有 ))((')()(a b f a f b f -=-ξ 第四章 微分学的应用 一、本章学习要求与内容提要 （一）学习要求 1.了解罗尔中值定理、拉格朗日中值定理与柯西中值定理. 2.会用洛必达法则求未定式的极限. 3.掌握利用一阶导数判断函数的单调性的方法. 4.理解函数的极值概念，掌握利用导数求函数的极值的方法，会解简单一元函数的最大值与最小值的应用题. 5.会用二阶导数判断函数图形的凹性及拐点，能描绘简单函数的图形. 重点 用洛必达法则求未定式的极限，利用导数判断函数的单调性与图形凹性及拐点，利用导数求函数的极值的方法以及求简单一元函数的最大值与最小值的应用题. （二）内容提要 1. 三个微分中值定理 ⑴ 罗尔（Rolle ）定理 如果函数)(x f y =满足下列三个条件： ①在闭区间],[b a 上连续; ②在开区间),(b a 内可导; ③)()(b f a f =, 则至少存在一点),,(b a ∈ξ使0)(='ξf . ⑵ 拉格朗日（Lagrange ）中值定理 如果函数)(x f y =满足下列两个条件： ①在闭区间],[b a 上连续； ②在开区间),(b a 内可导, 则至少存在一点),(b a ∈ξ，使得,) ()()(a b a f b f f --= 'ξ或))(()()(a b f a f b f -'=-ξ. ⑶ 柯西（Cauchy ）中值定理 如果函数)(x f 与)(x g 满足下列两个条件： ①在闭区间],[b a 上连续； ②在开区间),(b a 内可导，且),(,0)(b a x x g ∈≠', 则在),(b a 内至少存在一点ξ，使得 ) () ()()()()(ξξg f a g b g a f b f ''=--. 2.洛必达法则 如果 ①,0)(lim 0 =→x f x x 0)(lim 0 =→x g x x ; ② 函数)(x f 与)(x g 在0x 某个邻域内（点0x 可除外）可导，且0)(≠'x g ； ③ ),,()() (lim 0 ∞-+∞∞=''→或也可为为有限数A A x g x f x x ,则 A x g x f x g x f x x x x =''=→→)() (lim ) ()(lim 00 . 注意 上述定理对于∞→x 时的00型未定式同样适用,对于0x x →或∞→x 时的∞ ∞型未定式也有相应的法则. 3. 函数的单调性定理 设函数)(x f 在闭区间],[b a 上连续，在开区间),(b a 内可导，则有 ①若在),(b a 内0)(>'x f ，则函数)(x f 在],[b a 上单调增加； ②若在),(b a 内0)(<'x f ，则函数)(x f 在],[b a 上单调减少. 4 . 函数的极值、极值点与驻点 ⑴ 极值的定义 设函数)(x f 在点0x 的某邻域内有定义，如果对于该邻域内任一点 )(0x x x ≠，都有)()(0x f x f <，则称)(0x f 是函数)(x f 的极大值；如果对于该邻域内任 一点)(0x x x ≠，都有)()(0x f x f >，则称)(0x f 是函数)(x f 的极小值. 函数的极大值与极小值统称为函数的极值，使函数取得极值的点0x 称为函数)(x f 的极值点. ⑵ 驻点 使0)(='x f 的点x 称为函数)(x f 的驻点. ⑶ 极值的必要条件 设函数)(x f 在0x 处可导，且在点0x 处取得极值，那么 0)(0='x f . ⑷ 极值第一充分条件 设函数)(x f 在点0x 连续，在点0x 的某一去心邻域内的任一点x 处可导,当x 在该邻域一元函数微分学教案
第三章 一元函数积分学
高等数学教案--一元函数微分学的应用
一元函数微分学习题
专升本-一元函数积分学
一元函数微积分学内容提要
一元函数积分学的应用
一元函数微分学练习题(答案)
一元函数积分知识点完整版
第三章-一元函数积分学
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