成都中考数学压轴题专项讲解
1．解：（1）延长AC 至点E ，使CE ＝CA ，连接BE
∵C 为OB 中点，∴△BCE ≌△OCA ∴BE ＝OA ，∠E ＝∠OAC ∴BE ∥OA ，∴△APD ∽△EPB
∴EP AP ＝EB AD 又∵D 为OA 中点，OA ＝OB ，∴EP AP ＝AO
AD ＝21
∴
EP AP ＝AP
PC AP +2＝21，∴PC AP
＝2 ·
·················· 3分 （2）延长AC 至点H ，使CH ＝CA ，连结BH
∵C 为OB 中点，∴△BCH ≌△OCA
∴∠CBH ＝∠O ＝90?，BH ＝OA
由AO AD ＝41，设AD ＝t ，OD ＝3t ，则BH ＝OA ＝OB ＝4t
在Rt △BOD 中，BD ＝2243)()(t t +＝5t
∵OA ∥BH ，∴△HBP ∽△ADP ∴DP BP
＝AD BH ＝t
t 4＝4 ∴BP ＝4PD ＝5
4
BD ＝4t ，∴BH ＝BP ···················· 6分 ∴tan ∠BPC ＝tan ∠H ＝BH BC ＝t
t 42＝21
············································ 7分
（3）tan ∠BPC ＝
n
n
········································································ 10分 2．解：（1）∵抛物线y 1＝ax
2－2ax ＋b 经过A （－1，0），C （0，2
3
）两点
∴?????a ＋2a ＋b ＝0b ＝2
3
∴?
????a ＝－21b ＝2
3 ······················· 2分 ∴抛物线的解析式为y 1＝－2
1x
2＋x ＋23 ·············· 3分
（2）作MN ⊥AB ，垂足为N
由y 1＝－2
1x
2＋x ＋23
易得M （1，2），N （1，0），A （－1，0），B （3，0）
∴AB ＝4，MN ＝BN ＝2，MB ＝22，∠MBN ＝45? 根据勾股定理有BM 2－BN 2＝PM 2－PN
2
∴(22)2－2
2＝PM 2－(1－x )2 ① ··········· 5分 又∠MPQ ＝45?＝∠MBP ，∴△MPQ ∽△MBP
∴PM 2
＝MQ ·MB ＝22
y 2·22 ② ··········· 6分
由①②得y 2＝21x
2－x ＋2
5
∵0≤x ＜3，∴y 2与x 的函数关系式为y 2＝21x
2－x ＋2
5
（0≤x ＜3） ······· 7分
（3）四边形EFHG 可以为平行四边形，m 、n 之间的数量关系是m ＋n ＝2（0≤m ≤2，且m ≠1）
A B
C
D P O
E
D
C O
P
H
A
B
∵点E 、G 是抛物线y 1＝－
2
1x
2＋x ＋23
分别与直线x ＝m ，x ＝n 的交点
∴点E 、G 坐标为E （m ，－21m
2＋m ＋23），G （m ，－2
1n
2＋n ＋23
）
同理，点F 、H 坐标为（m ，21m
2－m ＋25），H （n ，21n
2－n ＋2
5
）
∴EF ＝21m
2－m ＋25－(－21m
2＋m ＋23
)＝m
2－2m ＋1 ······················ 9分
GH ＝
21n
2－n ＋25－(－2
1n
2＋n ＋23
)＝n
2－2n ＋1 ···························· 10分
∵四边形EFHG 是平行四边形，∴EF ＝GH
∴m
2－2m ＋1＝n
2－2n ＋1，∴(m ＋n －2)(m －n )＝0 ························ 11分
由题意知m ≠n ，∴m ＋n ＝2（0≤m ≤2，且m ≠1）
因此，四边形EFHG 可以为平行四边形，m 、n 之间的数量关系是m ＋n ＝2（0≤m ≤2，且m ≠1）
3．解：（1）∵四边形ABCD 为正方形，∴AB ＝BC
∵BG ⊥AP ，AG ＝GE ，∴AB ＝BE
∴BE ＝BC ·················································································· 3分 （2）过点D 作DH ⊥AE 于H
∵BN 平分∠CBE ，∴∠EBN ＝∠CBN ∵AB ＝BE ，∴∠BEN ＝∠BAP
∵BG ⊥AP ，∠ABP ＝90°，∴∠BAP ＝∠PBG ∴∠BEN ＝∠PBG
∵∠BNG ＝∠BEN ＋∠EBN ，∴∠BNG ＝∠GBN ∴BG ＝NG
∴BN ＝2NG ·············································································· 5分 ∵DH ⊥AE ，∠DAB ＝90°，∴∠BAG ＝∠ADH 又AB ＝DA ，∴△BAG ≌△ADH ∴DH ＝AG ，BG ＝AH ＝GN ，∴DH ＝HN ∴DN ＝2DH ＝2AG
∴BN ＋DN ＝2AN ········································································ 8分 （3）CE ＝
10
2 ················································································· 10分 P A
B G
N
E
H
图1
∴此时点M 的坐标为（
3＋22
3
，3－223） ······························ 7分 M 1（5，－2），M 2（3＋2，－2），M 3（4，－1） ························· 12分
图3 图4
5．解：（1）由题意知：
当0≤t ＜10时，v ＝
2
1
t 当10≤t ＜130时，v ＝5
当130≤t ≤135时，设BC 段的函数关系式为y ＝kt ＋b （k ≠0） ············ 2分
则?????5＝130k ＋b 0＝135k ＋b ∴?
????k ＝－1b ＝135 ∴BC ：v ＝－t ＋135
∴v ＝?????21t （0≤t ＜10）5 （10≤t ＜130）－t ＋135 （130≤t ≤135） ··················································· 4分
（2）在0≤t ＜10时，该同学离家路程：
2
5
0+×10＝25（米） 在10≤t ＜130时，所走路程：(130－10)×5＝600（米） 在130≤t ≤135时，所走路程：
2
5+×5＝12.5（米） ∴该同学从家到学校的路程：25＋600＋12.5＝637.5（米） ················ 7分 （3）如图（1），当0≤t ＜10时，P 点的纵坐标：
21t ，∴P （t ，2
1
t ） ∴S ＝
21OQ ·PQ ＝4
1
t
2 ······························································· 8分 如图（2），当10≤t ＜130时，∵S ＝2
1
×10×5＋5×(t －10) ∴S ＝5t －25 ············································································· 9分 如图（3），当130≤t ≤135时，∵S ＝21×(135＋120)×5－2
1×(135－t )2
∴S ＝－
21(t －135)2＋21275即S ＝－21t
2＋135t －8475 ∴S ＝???
4
1t
2
（0≤t ＜10）5t －
25 （10≤t ＜130）－
21
t
2
＋135t －
8475 （130≤t ≤135）
··································· 10分
（4）数值相等 ··········
······················
················································ 11分
6．解：（1）∵抛物线的顶点为C （1，1），∴设其解析式为y ＝a (x －1)2＋1
∵抛物线过原点O ，∴0＝a (0－1)2＋1，∴a ＝－1
图（1）
图（2）
图（3）
∴y ＝－(x －1)2＋1，即y ＝－x
2＋2x ∴a ＝－1，b ＝2，c ＝0 ················ 4分
（2）等腰三角形PFM 以PM 为底边时，则F 在PM 的中垂线上，如图（1）
∵F （1，
43），M 在y ＝45上，∴MH ＝45－43＝2
1
∴MP ＝1，∴P y ＝4
1
∴
4
1＝－x
2＋2x ，∴4x
2
－8x ＋1＝0 ∴x 1＝1＋23，x 2＝1－2
3 ∴P 1（1＋
23，41），P 2（1－23，4
1） ········································ 8分 在Rt △MNF 中，FM 2＝FN 2＋MN 2，∴FM ＝22 12
3
1 21 )()(-±+＝1 ∴FM ＝MP ＝FP ，∴△PFM 为正三角形 ······································· 10分 （3）当t ＝
4
3
时，即点N 与点F 重合时，PM ＝PN 恒成立 ······················· 11分 理由：过P 作PH 与直线x ＝1的垂线，垂足为H ，如图（2） 在Rt △PNH 中，
PN 2＝(x －1)2＋(t －y )2＝x
2－2x ＋1＋t
2－2t y ＋y
2
PM 2＝(
45－y )2＝y
2
－25y ＋16
25 ··························· 13分 ∵点P 在抛物线上，∴y ＝－x
2＋2x ∴PN 2＝1－y ＋t
2－2t y ＋y
2＝y
2－
25y ＋16
25
∴－
23y ＋2t y ＋169－t
2＝0，y (2t －23)＋(16
9
－t
2)＝0对任意y 恒成立 ∴2t －
23＝0且16
9
－t
2＝0，∴t ＝43 故当t ＝
4
3
时，PM ＝PN 恒成立 ··················································· 15分 7．（1）证明：∵AB 为⊙O 1的直径，∴∠ADB ＝90°
同理∠BDC ＝90° ∴∠ADC ＝180°
∴点D 在AC 上 ····································································· 3分 （2）如图甲，△ABC 是以∠B 为直角的直角三角形
连结O 1D ，O 1O 2，∵DO 2是⊙O 1的切线 ∴∠O 1DO 2＝90°
∵O 1D ＝O 1B ，O 2D ＝O 2B ，O 1O 2为公共边 ∴△O 1BO 2≌△O 1DO 2
∴∠O 1BO 2＝∠O 1DO 2＝90°
∴△ABC 为直角三角形 ··························· 5分
F
M 图（1）
N P (x ,y )
H y ＝4
5
O
F M
x
y
P
H N
O 2 （甲图）O 1
A
B C
D
又∵BD ⊥AC
∴∠O 2DB ＝∠O 2BD ＝∠A ∴tan ∠O 2DB ＝tan A ＝
AB
BC
＝43 ················· 6分 （3）如图乙，连结O 1O 2，则AC ＝2O 1O 2＝AB
令∠O 2BD ＝x ，则∠O 2DB ＝∠O 2BD ＝x ∵BE ＝BD ，∴∠E ＝x
∴∠ABD ＝∠E ＋∠BDE ＝2x ，∠ACB ＝∠ABC ＝3x ∵BC 为⊙O 2的直径，∴∠DBC ＋∠C ＝4x ＝90°
∴∠A ＝180°－6x ＝45° ···························································· 9分
8．解：（1）由x
2＋bx ＋c ＝x ＋1得x
2＋(b －1)x ＋c －1＝0 ①
设交点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2） （x 1＜x 2） 由题意x 1，x 2是方程①的两个不同的实根，且x 1＋x 2＝0
故?????b －1＝0
△＝(b －1)2
－4(c －1)＞0
∴c ＜1 ···················································································· 3分 （2）∵AB ＝22，如图可知|
x 1－x 2|＝2，即(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝4
由（1）可知x 1＋x 2＝－(b －1)，x 1x 2＝c －1 代入上式得：(b －1)2－4(c －1)＝4 ∴c ＝
4
1
(b －1)2≥0，∴c 的最小值为0 此时b ＝1，c ＝0，抛物线为y ＝x
2＋x ············································ 6分 （3）①∵AB ＝22，由（2）知c ＝
4
1
(b －1)2成立 又抛物线与直线的交点在y 轴时这一交点为（0，1），即c
∴41
(b －1)2＝1，∴b ＝－1或3 若b ＝－1，则抛物线为y ＝x
2－x ＋1
方程①为x
2－2x ＝0，∴x 1＝0，x 2＝2，∴0＜t ＜2
过P 作PQ ∥y 轴，交AB 于Q
则△APQ 与△BPQ 公共边PQ 上的高之和为|
x 1－x 2|＝2
而PQ ＝y Q －y P ＝(t ＋1)－(t
2－t ＋1)＝2t －t
2
S （t ）＝S △APQ ＋S △BPQ
＝
2
1
PQ ·|
x 1－x 2|＝PQ ＝2t －t
2＝1－(t －1)2 而0＜t ＜2，∴当t ＝1时，S （t ）max ＝1，此时P （1，1） 若b ＝3，则抛物线为y ＝x
2＋3x ＋1
方程①为x
2＋2x ＝0，∴x 1＝－2，x 2＝0，∴－2＜t ＜0
同理可得：S （t ）＝PQ ＝(t ＋1)－(t
2＋3t ＋1)＝－2t －t
2＝1－(t ＋1)2
而－2＜t ＜0，∴当t ＝－1时，S （t ）max ＝1，此时P （－1，－1） ········· 8分
②∵当AB ＝m 时，|
x 1－x 2|＝
2
2m 由①可知△APQ 与△BPQ 公共边PQ 上的高之和为|
x 1－x 2|＝2
2m ∴2
2m ＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝(b －1)2－4(c －1) ②
∴S （t ）＝S △APQ ＋S △BPQ
＝
21PQ ·|
x 1－x 2|＝2
1
·22m ·PQ
＝42m ·(y Q －y P )＝4
2
m [(t ＋1)－(t
2＋bt ＋c )] ＝
42m [－t
2＋(1－b )t ＋1－c ]＝42m [(21b -)2＋1－c －(t －2
1b -)2
] ≤42m ·4
1412)()(---c b ＝
162m ·22m ＝322m
3（将②代入） ∴当t ＝
2
1b
-时，S （t ）max ＝322m
3
此时(b －1)2＝4t
2 由②得4(c －1)＝(b －1)2－
21m
3＝4t
2－2
1m
2 ∴c ＝t
2－8
1
m 2＋1，b ＝1－2t
∴T ＝t
2＋bt ＋c
＝t
2＋(1－2t )＝t
2＋(1－2t )t ＋t
2－81m 2＋1＝t ＋1－8
1
m 2
∴P （t ，T －1）
满足T ＝t ＋1－8
1
m 2 ·································································· 10分
9．解：（1）D 点的坐标是（
223，22
3
） ·
······················································ 2分 （2）连结OD ，如图（1），由结论（1）知：D 在∠COA 的平分线上
则∠DOE ＝∠COD ＝45°
又在梯形DOAB 中，∠BAO ＝45°，∴OD ＝AB ＝3 由三角形外角定理得：∠1＝∠DEA －45° 又∠2＝∠DEA －45°
∴∠1＝∠2，∴△ODE ∽△AEF ·····················
∴AF OE ＝
AE OD
，即y x ＝x -243 ∴y 与x 之间的函数关系式为：y ＝－3
1
x
2＋324x ···························· 6分
（3）当△AEF 为等腰三角形时，存在EF ＝AF 或EF ＝AE 或AF ＝AE 共3种情况
①当EF ＝AF 时，如图（2），则∠F AE ＝∠FEA ＝∠DEF ＝45°
∴△AEF 为等腰直角三角形，D 在A ′E 上（A ′E ⊥OA ），B 在A ′F 上（A ′F ⊥EF ） ∴△A ′EF 与五边形OEFBC 重叠部分的面积为四边形BDEF 的面积 ∵AE ＝OA －OE ＝OA －CD ＝24－
223＝22
5 图（1）
图（2）
∴AF ＝AE ·sin45°＝
22
5
×22＝25 ∴S △AEF
＝21EF ·AF ＝21×(25)2＝8
25
S 梯形AEDB
＝
21(BD ＋AE )·DE ＝21×(2＋225)×223＝4
21 ∴S 四边形BDEF
＝S 梯形AEDB
－S △AEF
＝
421－825＝8
17
······························ (8分 （注：也可用S 阴影＝S △A ′EF
－S △A ′BD ）
②当EF ＝AE 时，如图（3），此时△A ′EF 与五边形OEFBC 重叠部分的面积为△A ′EF 面积 ∵∠DEF ＝∠EF A ＝45°，∴DE ∥AB ，又DB ∥EA ∴四边形DEAB 是平行四边形，∴AE ＝DB ＝2 ∴S △A ′EF
＝S △AEF
＝
21AE ·EF ＝2
1
×(2)2＝1 ································· 10分 ③当AF ＝AE 时，如图（4），四边形AEA ′F 为菱形且△A ′EF 在五边形OEFBC 内 ∴此时△A ′EF 与五边形OEFBC 重叠部分的面积为△A ′EF 面积 由（2）知△ODE ∽△AEF ，则OD ＝OE ＝3 ∴AE ＝AF ＝OA －OE ＝24－3
过F 作FH ⊥AE 于H ，则FH ＝AF ·sin45°＝(24－3)×22＝4－2
2
3 ∴S △A ′EF
＝S △AEF
＝
21AE ·FH ＝2
1
×(24－3)×(4－223)＝448241-
综上所述，△A ′EF 与五边形OEFBC 重叠部分的面积为
8
17
或1或448241-
··············································································· 12分
10．解：（1）∵AB 为直径，∴∠ACB ＝90°
又∵PC ⊥CD ，∴∠PCD ＝90°
而∠CAB ＝∠CPD ，∴△ABC ∽△PDC
，∴
PC AC ＝
CD
BC
∴AC ·CD ＝PC ·BC ···
································ 3分 （2）当点P 运动到AB 弧中点时，过点B 作BE ⊥PC 于点E
∵P 是AB 中点，∴∠PCB ＝45°，CE ＝BE ＝
22
BC ＝22 又∠CAB ＝∠CPB ，∴tan ∠CPB ＝tan ∠CAB ＝3
4
∴PE ＝
CPB
BE
∠tan ＝43(22BC )＝223
图（3）
图（4）
从而PC ＝PE ＋EC ＝2
2
7 由（1）得CD ＝
3
4
PC ＝3214 ····················· 7分
（3）当点P 在AB 上运动时，S △PCD
＝2
1
PC ·CD
由（1）可知，CD ＝
34PC ，∴S △PCD
＝3
2
PC 2 故PC 最大时，S △PCD 取得最大值；而PC 为直径时最大 ∴S △PCD 的最大值S ＝
32×5
2＝3
50 ················································ 10分 11．解：（1）将B （0，1），D （1，0）的坐标代入y ＝
2
1x
2
＋bx ＋c 得 ?????c ＝121＋b ＋c ＝0 解得???
??b ＝－23c ＝1 ∴二次函数的解析式为y ＝
21x
2－2
3
x ＋1 (3)
（2）设C （x 0，y 0），则有
?
????y 0＝21x 0＋1
y 0＝21x 02－23x 0＋1
解得 ?????x 0＝4
y 0＝3 ∴C （4，3） ············································································· 6分
由图可知：S ＝
S △ACE －
S △ABD ，又由对称轴为x ＝
2
3
可知E （2，0） ∴S ＝
21AE ·y 0－21AD ·OB ＝21×4×3－21×3×1＝2
9 ························ 8分 （3）设符合条件的点P 存在，令P （a ，0）：
当P 为直角顶点时，如图：过C 作CF ⊥x 轴于F ∵Rt △BOP ∽Rt △PFC ，∴
PF BO ＝CF OP ，即a
-41
＝3a
整理得a
2－4a ＋3＝0，解得a ＝1或a ＝3 ∴所求的点P 的坐标为（1，0）或（3，0）
综上所述：满足条件的点P 共有二个 ············································ 12分
12．（1）据题意，∵a ＋h ＝－
m n ，a ·h ＝m
k
∴所求正方形与矩形的面积之比： h
a h a · 2
)
(+＝m
k m n 2
)
(-
＝
mk n 2 ·························································· 1分 ∵n
2－4mk ≥0，∴n
2≥4mk ，由a ·h ＝
m
k
知m ，k 同号 ∴mk ＞0 ·················································································· 2分 （说明：此处未得出mk ＞0只扣1分，不再影响下面评分）
∴mk n 2≥mk
mk 4＝4 ······································································ 3分 即正方形与矩形的面积之比不小于4 （2）∵∠FED ＝90o，∴DF 为⊙O 的直径
∴⊙O 的面积为：S ⊙O ＝π(2DF )2＝π42DF ＝4
π(EF 2＋DE 2) ················ 4分
矩形PDEF 的面积：S 矩形PDEF ＝EF ·DE
∴面积之比：
PDEF
O S S 矩形⊙＝
4π(DE EF
＋EF DE )，设DE
EF ＝f 则
PDEF
O S S 矩形⊙＝
4π( f ＋f 1)＝4π
(f －f
1)2＋2π ····························· 5分
∵(f －
f 1)2≥0，∴
4π
(f －f
1)2＋2π≥2π ·························· 6分 ∴
f ＝
f
1，即f ＝1时（EF ＝DE ），
PDEF
O S S 矩形⊙的最小值为2
π ············ 7分
（3）当
PDEF
O S S 矩形⊙的值最小时，矩形PDEF 的四边相等为正方形
过B 点过BM ⊥AQ ，M 为垂足，BM 交直线PF 于N 点，设FP ＝e ∵BN ∥FE ，NF ∥BE ，∴BN ＝EF ，∴BN ＝FP ＝e 由BC ∥MQ 得：BM ＝AG ＝h ∵AQ ∥BC ，PF ∥BC ，∴AQ ∥FP
∴△FBP ∽△ABQ ····································································· 8分 （说明：此处有多种相似关系可用，要同等分步骤评分） ∴AQ FP ＝BM
BN ····························· 9分 ∴AQ e ＝h
e ，∴AQ ＝h ················ 10分 ∴AQ ＝m
mk
n n 242-±- ·············· 11分
∴线段AQ 的长与m ，n ，k 的取值有关
13．解：（1）∵直线y ＝hx ＋d 过点A （－1，0），B （0，1）
∴0＝－h ＋d 和1＝d ，∴h ＝d ＝1
∴y ＝x ＋1 ················································································ 1分 ∵双曲线y ＝
x
t
经过点C （x 1，y 1），∴x 1y 1＝t 以AC 为斜边，∠CAO 为内角的直角三角形的面积为2
1
×y 1×(1＋x 1) 以CO 为对角线的矩形面积为x 1y 1 由题意得：
2
1
×y 1×(1＋x 1)＝x 1y 1 ⊙
A O
P
F
M
N
∵x 1，y 1都不等于0，∴x 1＝1，∴y 1＝2
∴2＝1
t
，即t ＝2 ······································································· 2分
（2）∵B （0，1）是抛物线y ＝mx
2＋nx ＋k 的顶点
∴m
n
2＝0，－m mk n 442-＝1
∴n ＝0，k ＝1 ··········································································· 3分 ∵点C （1，2）在抛物线y ＝mx
2＋nx ＋k
∴2＝m ＋1，即m ＝1 ································································· 4分 （3）设点P 的横坐标为p ，则纵坐标为p
2＋1
联立???
?
?y ＝x ＋1
y ＝
x
1 求得D 点坐标为（－2，－1） ·
····························· 5分 ∵抛物线y ＝ax
2＋bx ＋c 经过两个不同的点C ，D
解法一：
∴?
????2＝a ＋b ＋c －1＝4a －2b ＋c 解得?
????b ＝a ＋1c ＝1－2a ·········································································· 6分
（说明：如用b 表示a ，c ，或用c 表示a ，b ，均可，后续参照得分） ∴y ＝ax
2＋(a ＋1)x ＋(1－2a )
于是：p
2＋1≠ap
2＋(a ＋1)p ＋(1－2a ) ··········································· 7分
∴无论a 取何值都有p
2－p ≠(p
2＋p －2)a ······································· 8分
（或者，令p
2－p ＝(p
2＋p －2)a ··················································· 7分
∵抛物线y ＝ax
2＋bx ＋c 不经过P 点
∴此方程无解，或有解但不合题意） ·············································· 8分
∵a ≠0，∴①???p 2
－p ＝0p
2＋p －2≠0
解得p ＝0，p ＝1，且p ≠1，p ≠－2，得p ＝0 ·································· 9分 ∴符合题意的P 点为（0，1） ······················································ 10分
②???p 2
－p ≠0p
2＋p －2＝0
解得p ＝1，p ＝－2，且p ≠0，p ≠1 得p ＝－2 ················································································· 11分 符合题意的P 点为（－2，5） ······················································ 12分 ∴符合题意的P 点有两个：（0，1）和（－2，5）
14．解：（1）连结OB ，∵BC ∥OP
∴∠BCO ＝∠POA ，∠CBO ＝∠POB ············· 1分 又∵OC ＝OB ，∴∠BCO ＝∠CBO
∴∠POB ＝∠POA ····································· 2分
O
A
C
B
D
P
又∵PO ＝PO ，OB ＝OA
∴△POB ≌△POA ··········································································· 3分 ∴∠PBO ＝∠P AO ＝90°
∴PB 是⊙O 的切线 ········································································· 4分 （2）2PO ＝3BC （写PO ＝
2
3
BC 亦可） 证明：∵△POB ≌△POA ，∴PB ＝P A ·················································· 5分 ∵BD ＝2P A ，∴BD ＝2PB ，∵BC ∥PO ，∴△DBC ∽△DPO ······················ 6分 ∴
PO BC ＝PD
BD
＝32，∴2PO ＝3BC ·
······················································ 7分 注：开始没有写出判断结论，证明正确也给满分 （3）∵△DBC ∽△DPO ，∴
DO DC ＝PD
BD
＝32，即DC ＝32DO ，∴DC ＝2OC ·
······ 8分 设OA ＝x ，P A ＝y ，则DO ＝3x ，OB ＝x ，BD ＝2y
在Rt △OBD 中，由勾股定理，得(3x )2＝x
2＋(2y )2，即2x
2＝y
2
∵x ＞0，y ＞0，∴y ＝2x ，OP ＝22y x
＋＝3x ································ 9分
∴sin ∠OP A ＝
OP OA
＝x
x 3＝33 ························································ 10分
15．解：（1）∵四边形ABCO 是平行四边形，∴OC ＝AB ＝4
∴A （4，2），B （0，2），C （－4，0） ············································ 1分 ∵抛物线y ＝ax
2＋bx ＋c 过点B ，∴c ＝2 ········································ 2分
由题意，有?
????16a －4b ＋2＝0
16a ＋4b ＋2＝2 解得?
????a ＝－
161b ＝
4
1 ······························· 3分
∴所求抛物线的解析式为y ＝－
16
1x
2＋41
x ＋2 ································· 4分
（2）将抛物线的解析式配方，得y ＝－
16
1
(x －2)2＋49
∴抛物线的对称轴为x ＝2 ··························································· 5分 ∴D （8，0），E （2，2），F （2，0）
欲使四边形POQE 为等腰梯形，则有OP ＝QE ，即BP ＝FQ ∴t ＝6－3t ，即t ＝2
3
·································································· 7分
（3）欲使以P 、B 、O 为顶点的三角形与以点Q 、B 、O 为顶点的三角形相似
∵∠PBO ＝∠BOQ ＝90°，∴
OB BP ＝BO OQ 或OB
BP
＝
OQ BO 即PB ＝OQ 或OB 2＝PB ·OQ
①若P 、Q 在y 轴的同侧，当PB ＝OQ 时，t ＝8－3t ，∴t ＝2 ·············· 8分 当OB 2＝PB ·OQ 时，t (8－3t )＝4，即3t
2－8t ＋4＝0
解得t 1＝2，t 2＝
3
2
····································································· 9分 ②若P 、Q 在y 轴的异侧，当PB ＝OQ 时，t ＝3t －8，∴t ＝4 ············· 10分 当OB 2＝PB ·OQ 时，t (3t －8)＝4，即3t
2－8t －4＝0，解得t ＝
3
7
24± ∵t ＝
3724-＜0，故舍去，∴t ＝3
7
24+ ··································· 11分 综上所述，当t ＝2或t ＝
3
2
或t ＝4或t ＝3724+秒时，以P 、B 、O 为顶点的三角形与以点Q 、B 、O
为顶点的三角形相似 ································································· 12分
16．解：（1）120，a ＝2 ················································································· 2分
（2）由点（3，90）求得，y 2＝30x
当x ＞0.5时，由点（0.5，0），（2，90）求得，y 1＝60x －30 ·············· 3分 当y 1＝y 2时，60x －30＝30x ，解得x ＝1
此时y 1＝y 2＝30，所以点P 的坐标为（1，30） ······························· 5分 该点坐标的意义为：两船出发1 h 后，甲船追上乙船，此时两船离B 港的距离为30 km
················································································ 6分
求点P 的坐标的另一种方法：
由图可得，甲的速度为5030.＝60（km/h ），乙的速度为3
90
＝30（km/h ）
则甲追上乙所用的时间为306030
-＝1（h ）
，此时乙船行驶的路程为30×1＝30（km ） 所以点P 的坐标为（1，30）
（3）①当x ≤0.5时，由点（0，30），（0.5，0），求得y 1＝－60x ＋30
依题意，(－60x ＋30)＋30x ≤10． 解得，x ≥
3
2
，不合题意 ·············· 7分 ②当0.5＜x ≤1时，依题意，30x －(60x －30)≤10
解得x ≥32，所以3
2
≤x ≤1 ··························································· 8分
③当x ＞1时，依题意，(60x －30)－30x ≤10 解得x ≤34，所以1＜x ≤34
··························································· 9分
综上所述，当
32≤x ≤3
4
时，甲、乙两船可以相互望见 ····················· 10分 17．解：（1）过点C 作CF ⊥AB 于F ，则四边形AFCD 为矩形
∴CF ＝4，AF ＝2
此时，Rt △AQM ∽Rt △ACF ························· 2分 ∴
AM QM ＝
AF
CF D A B
C
E P Q M l
F
即
5
0.QM
＝24，∴QM ＝1
······························ 3分 （2）∵∠DCA 为锐角，故有两种情况：
①当∠CPQ ＝90°时，点P 与点E 重合
此时DE ＋CP ＝CD ，即t ＋t ＝2，∴t ＝1 ········································· 5分 ②当∠PQC ＝90°时，如备用图1
此时Rt △PEQ ∽Rt △QMA ，∴PE EQ
＝
QM MA 由（1）知，EQ ＝EM －QM ＝4－2t
而PE ＝PC －EC ＝PC －(DC －DE )＝t －(2－t )＝2t －2
∴2224--t t
＝21，∴t ＝35
综上所述，t ＝1或
3
5 ·································································· 8分 （说明：未综述，不扣分） （3）RQ
CQ 为定值 ·············································································· 9分
当t ＞2时，如备用图2
P A ＝DA －DP ＝4－(t －2)＝6－t
由（1）得，BF ＝AB －AF ＝4 ∴CF ＝BF ，∴∠CBF ＝45° ∴QM ＝MB ＝6－t ，∴QM ＝P A
∴四边形AMQP 为矩形，∴PQ ∥AB ··························
∴△CRQ ∽
△CAB
∴RQ CQ ＝AB
BC
＝AB CF BF 22
＋＝624＝
322 ································· 12分 18．解：（1）∵AO 1是⊙O 2的切线，∴O 1A ⊥AO 2，∴∠O 2AB ＋∠BAO 1＝90°
又O 2A ＝O 2C ，O 1A ＝O 1B ，∴∠O 2CB ＝∠O 2AB ，∠O 2BC ＝∠ABO 1＝∠BAO 1 ∴∠O 2CB ＋∠O 2BC ＝∠O 2AB ＋∠BAO 1＝90°，∴O 2C ⊥O 2B ，即O 2C ⊥O 1O 2
·············································································· 3分
（2）延长O 2O 1交⊙O 1于点D ，连结AD
∵BD 是⊙O 1直径，∴∠BAD ＝90° 又由（1）可知∠BO 2C ＝90°
∴∠BAD ＝∠BO 2C ，又∠ABD ＝∠O 2BC ∴△O 2BC ∽△ABD ∴
AB B O 2＝
BD
BC ∴AB ·BC ＝O 2B ·BD ，又BD ＝2BO 1
∴AB ·BC ＝2O 2B ·BO 1 ······························································· 6分 （3）由（2）证可知∠D ＝∠C ＝∠O 2AB ，即∠D ＝∠O 2AB ，又∠AO 2B ＝∠DO 2A
∴△AO 2B ∽△DO 2A
∴
22DO AO ＝
A
O B
O 22 ∴AO 22＝O 2B ·O 2D ∵O 2C ＝O 2A
∴O 2C 2＝O 2B ·O 2D ① 又由（2）AB ·BC ＝O 2B ·BD ②
由①－②得O 2C 2－AB ·BC ＝O 2B 2，即4
2－12
＝O 2B 2
∴O 2B ＝2，又O 2B ·BD ＝AB ·BC ＝12
∴BD ＝6，∴2AO 1＝BD ＝6，∴AO 1＝3 ·········································· 9分
19．解：（1）分两种情况讨论：
①当m ＝0时，方程为x －2＝0，∴x ＝2，方程有实数根 ②当m ≠0时，则一元二次方程的根的判别式
△＝[－(3m －1)]2－4m (2m －2)＝m
2＋2m ＋1＝(m +1)2≥0
不论m 为何实数，△≥0成立，∴方程恒有实数根
综合①②，可知m 取任何实数，方程mx
2－(3m －1)x ＋2m －2＝0恒有实数根
················································································ 3分
（2）设x 1，x 2为抛物线y ＝mx
2－(3m －1)x ＋2m －2与x 轴交点的横坐标.
则有x 1＋x 2＝
m m 13-，x 1·x 2＝m
m 2
2- 由|x 1－x 2|＝212214 x x x x -+)(
＝m
m m m )
()(22413
2--- ＝2
2
1
m m )(+ ＝|
m
m 1
+| 由|x 1－x 2|＝2得|
m m 1 +|＝2，∴m m 1 +＝2或m
m 1
+＝－2 ∴m ＝1或m ＝－3
1
∴所求抛物线的解析式为y 1＝x
2－2x ，y 2＝－31x
2＋2x －3
8
即y 1＝x (x －2)，y 2＝－31
(x －2)(x －4)，其图象如图所示 ··················· 6分
方法2：由mx
2－(3m －1)x ＋2m －2＝0得(x －2)[mx －(m －1)]＝0
可知抛物线y ＝mx
2－(3m －1)x ＋2m －2不论m 为任何不为0的实数时恒过定点（2，0）
∵|x 1－x 2|＝2，可得|2－x 2|＝2，∴x 2＝0或x 2＝4，对应的m 的值为m ＝1或m ＝－31
即所求抛物线的解析式为y 1＝x
2－2x ＝x (x －2)，y 2＝－31x
2＋2x －38＝－3
1
(x －2)(x －4)
················································································ 6分
2＝－3
(－)(x －4)
（3）在（2）的条件下，直线y ＝x ＋b 与抛物线y 1，y 2组成的图象只有两个交点，结合图象，求b 的取值范
围
???y 1＝x
2
－2x y ＝x ＋b
当y 1＝y 时，得x
2－3x －b ＝0，由△＝9＋4b ＝0，得b ＝－49
同理???
??y 2＝－31x
2＋2x －
38y ＝x ＋b
可得△＝9－4(8＋3b )＝0，得b ＝－1223 观察函数图象可知当b ＜－
49或b ＞－12
23
时，直线y ＝x ＋b 与（2）中的图象只有两个交点 由?????y 1＝
x
2
－2x y 2＝－3
1
(x －2)(x －4) 当y 1＝y 2时，有x ＝2或x ＝1；当x ＝1时，y ＝－1 所以过两抛物线交点（1，－1），（2，0）的直线为y ＝x －2 综上所述可知：当b ＜－49或b ＞－12
23
或b ＝－2时，直线y ＝x ＋b 与（2）中的图象只有两个交点 10分
20．（1）解：y ＝
41x
2－x ＋1（y ＝4
1
(x －2)2） ······················································ 3分 （2）证明：设点（―m ，2m ―1）在二次函数y ＝4
1x
2
－x ＋1的图象上 则有：2m ―1＝
4
1m
2
＋m ＋1 整理得m
2―4m ＋8＝0∵△＝(－4)2－4×8＝－16＜0 ∴原方程无解 5分 ∴点（―m ，2m ―1）不在二次函数y ＝
4
1x
2
－x ＋1的图象上 ··································· 6分 （3）解：①K （0，5）或（0，－3） ·························································· 8分
②二次函数的图象上存在点P ，使得S △POE
＝2S △ABD
如图，过点B 作BF ⊥x 轴于F ，则BF ∥CE ∥AO ，又C 为AB 中点 ∴OE ＝EF ，由y ＝
4
1x
2
－x ＋1和y ＝x ＋1可求得点B （8，9） ∴E （4，0），D （4，1），C （4，5），∴AD ∥x 轴 ∴S △ABD
＝2S △ACD
＝2×
2
1
×4×4＝16 ············································ 9分 设P （x ，
4
1x
2
－x ＋1），由题意有： S △POE
＝21×4(41x
2－x ＋1)＝2
1
x
2－2x ＋2 ········· 10分
∵S △POE
＝2S △ABD ，∴
2
1x
2
－2x ＋2＝32 解得x ＝－6或x ＝10 ··································· 11分 当x ＝－6时，y ＝4
1×(－6)2
－(－6)＋1＝16 当x ＝10时，y ＝
4
1×10
2
－10＋1＝16 ∴存在点P （－6，16）和P （10，16），使得S △POE
＝2S △ABD ············ 12分
21．（湖北省鄂州市）春节期间，某客运站旅客流量不断增大，旅客往往需要长时间排队等候购票。经过调查发现，每天开始售票时，约有400人排队购票，同时又有新的旅客不断进入售票厅排队等候购票。售票时售票厅每分钟新增购票人数4人，每分钟每个售票窗口出售的票数3张。某一天售票厅排队等候购票的人数y (人)与售票时间x (分钟)的关系如图所示，已知售票的前a 分钟只开放了两个售票窗口（规定每人只购一张票）。 （1）求a 的值。
（2）求售票到第60分钟时，售票厅排队等候购票的旅客人数。
（3）若要在开始售票后半小时内让所有的排队的旅客都能购到票，以便后来到站的旅客随到随购，至少需要同时开放几个售票窗口？
21．解：（1）由题意得：400＋4a －2×3a ＝320 ···················································· 1分
解这个方程，得a ＝40
即a 的值为40 ·········································································· 2分 （2）设第40~78分钟时，售票厅排队等候购票的旅客人数y 与售票时间x 的函数关系式为
y ＝kx ＋b ，则
?
????40k ＋b ＝320
104k ＋b ＝0 ··········································································· 3分 解得?
????k ＝－5b ＝520 ∴y ＝－5x ＋520 ··················································· 4分
当x ＝60时，y ＝－5×60＋520＝220
因此，售票到第60分钟时，售票厅排队等候购票的旅客有220人 ······· 5分 （3）设同时开放n 个售票窗口，依题意得：
400＋30×4≤30×3×n ································································ 6分 解这个不等式，得n ≥
9
52
··························································· 7分 因为n 为整数，所以n ＝6
即至少需要同时开放6个售票窗口 ················································ 8分
22．（湖北省鄂州市）工程师有一块长AD 为12分米，宽AB 为8分米的铁板，截去了长AE ＝2分米，AF ＝4分米的直角三角形，在余下的五边形中截得矩形MGCH ，M 必须在线段EF 上。 （1）若截得矩形MGCH 的面积为70平方分米，求矩形MGCH 的长和宽。 （2）当EM 为多少时，矩形MGCH 的面积最大？并求此时矩形的周长。
) y (A E
M H D
F
22．解：（1）延长GM 交AD 于N ，则△NMF ∽△AEF
∴
AE
NM
＝AF NF 设AN ＝x ，则2NM ＝
4
x
4- ∴NM ＝2－
2
x ∴MG ＝8－(2－2x )＝6＋2x
，MH ＝12－x 依题意得：(6＋
2
x
)(12－x )＝70 即(12＋x )(12－x )＝140，∴144－x
2＝140 ∴x ＝2
∴MH ＝12－2＝10，MG ＝6＋1＝7
即矩形MGCH 的长为10分米，宽为7分米 ···································· 6分 （2）∵S 矩形MGCH ＝(6＋
2
x
)(12－x )＝72－21x
2
∴当x ＝0，矩形MGCH 的面积最大
此时M 点与E 点重合，即EM 为0，矩形MGCH 的长为12，宽为8－2＝6 周长为：2(12＋6)＝36（分米） ··················································· 10分
23．（湖北省鄂州市）如图，一面利用墙，用篱笆围成一个外形为矩形的花圃，花圃的面积为S 平方米，平行于院墙的一边长为x 米。
（1）若院墙可利用最大长度为10米，篱笆长为24米，花圃中间用一道篱笆间隔成两个小矩形，求S 与x 之间函数关系。
（2）在（1）的条件下，围成的花圃面积为45平方米时，求AB 的长。能否围成面积比45平方米更大的花圃？如果能，应该怎样围？如果不能，请说明理由。
（3）当院墙可利用最大长度为40米，篱笆长为77米，中间建n 道篱笆间隔成小矩形，当这些小矩形为正方形，且x 为正整数时，请直接写出一组满足条件的x 、n 的值。
23．解：（1）由题意知花圃的长为x 米，则花圃的宽为
3
x
24-米 ∴S 与x 之间函数关系为：S ＝x (
3
x 24-)＝－31
x
2＋8x （0＜x ≤10） ····· 3分
（2）依题意得：－3
1
x
2＋8x ＝45
A D
B
C x （1）题图
…… （2）题图
A D
B
C A E
M H
G
C
B
D F N
整理得：x
2－24x ＋135＝0，解得x ＝15（舍去）或x ＝9 ···················· 4分
∴AB ＝
3
9
24-＝5（米） ····························································· 5分 若－3
1
x
2＋8x ＞45，则9＜x ＜15
又0＜x ≤10，∴9＜x ≤10 ··························································· 6分
∵S ＝－31x
2＋8x ＝－31(x
2－24x )＝－3
1
(x －12)2＋48
当9＜x ≤10时，S 随x 的增大而增大
∴平行于院墙的一边长大于9米时，就能围成面积比45平方米更大的花圃
················································································ 8分
（3）x ＝33，n ＝2（或x ＝35，n ＝4或x ＝38，n ＝37） ···························· 10分
x 、n 的值的求解过程如下（原题不作要求，本人添加，仅供参考） ∵中间有n 道篱笆，∴花圃的宽为2
n x
77+-米 ∵间隔成的小矩形为正方形，∴有2
n x 77+-＝
1n x
+ ∴2nx ＋3x ＝77(n ＋1)，∴x ＝
3
n 2 1n 77++)(
∵n 、x 均为正整数且0＜x ≤40 ∴2n ＋3＝7或2n ＋3＝11或2n ＋3＝77
∴?????n ＝2x ＝33 或 ?????n ＝4x ＝35 或 ?
????n ＝37x ＝38
24．（湖北省鄂州市）如图，在直角坐标系中，A (－1，0)、B (0，2)，一动点P 沿过B 点且垂直于AB 的射线BM 运
动，P 点的运动速度为每秒1个单位长度，射线BM 与x 轴交于点C 。 （1）求点C 的坐标．
（2）求过A 、B 、C 三点的抛物线的解析式。
（3）若P 点开始运动时，Q 点也同时从C 点出发，以P 点相同的速度沿x 轴负方向向点A 运动，t 秒后，以P 、Q 、C 为顶点的三角形为等腰三角形（点P 到点C 时停止运动，点Q 也同时停止运动），求t 的值。 （4）在（2）（3）的条件下，当CQ ＝CP 时，求直线OP 与抛物线的交点坐标。
24．解：（1）易知△AOB ∽△BOC ，则
OA
＝
OB
∴OB 2＝OA ·OC ，即2
2＝1×OC ，∴OC ＝4
∴点C 的坐标为（4，0） ····························································· 2分 （2）设过A 、B 、C 三点的抛物线的解析式为y ＝ax
2＋bx ＋c （a ≠0），则有：
????
?0＝a －b ＋c 2＝c 0＝16a ＋4b ＋c
解得
???
a ＝－
2
1b ＝
23c ＝2
∴抛物线的解析式为y ＝－
21x
2＋2
3
＋2 ········································· 4分 （3）∵OB ＝2，OC ＝4，∴BC ＝2242
＋＝52
设P 、Q 的运动时间为t 秒，则BP ＝t ，CQ ＝t ．以P 、Q 、C 为顶点的三角形为等腰三角形，有以下三种情况：
①若CQ ＝PC ，如图1所示，则PC ＝CQ ＝BP ＝t
∴2t ＝BC ＝52，∴t ＝5 ························································ 6分 ②若CQ ＝PQ ，如图2所示，过点Q 作QD ⊥BC ，垂足为D ，则有CD ＝PD 由△ABC ∽△QDC ，可得PD ＝CD ＝5
5
2t ∴5
54t ＝52－t ，解得t ＝
11
5
10 40 － ········································· 7分 ③若PQ ＝PC ，如图3所示，过点P 作PE ⊥A C ，垂足为E ，则EC ＝QE ＝5
5
2PC ∴
2
1t ＝552(52－t )，解得t ＝1140 532 － ··································· 8分
综上所述，当t ＝5或
11510 40 －或11
40
532 －时，以P 、Q 、C 为顶点的三角形是等腰三角形 （4）当CQ ＝PC 时，由（3）知t ＝5，∴点P 的坐标为（2，1）·············· 9分
∴直线OP 的解析式为y ＝
2
1
x ···················································· 10分 由 ?????y ＝21x y ＝－21x
2
＋23＋2
解得 ???x 1
＝1＋5y 1＝251+ ???x 2
＝1－5y 2
＝
25 1 － ∴直线OP 与抛物线的交点坐标为（1＋5，
251+）和（1－5，2
5
1 －） ··············································································· 12分
25．（湖北省随州市）如图①，在△ABC 中，点D 在AC 上，点E 在BC 上，且DE ∥AB ，将△CDE 绕点C 按顺时针方向旋转得到△CD ′E ′（使∠BCE ′＜180°），连接AD ′、BE ′，设直线BE ′ 与AC 交于点F ． （1）当AC ＝BC 时，AD ′ :
BE ′ 的值为___________；
（2）如图②，当AC ＝5，BC ＝4时，求AD ′ :
BE ′ 的值； （3）在（2）的条件下，若∠ACB ＝60°，且E 为BC 的中点，求△ABF 面积的最小值． A
D D ′
E ′
A D
E ′
A B
C O
Q P M x
y 图1 A B
C O
Q P
M x
y
图2
D A B
C
O
Q P
M x
y
图3
E
2020-2021备战中考数学压轴题专题初中数学 旋转的经典综合题附详细答案
2020-2021备战中考数学压轴题专题初中数学旋转的经典综合题附详细答案 一、旋转 1．操作与证明：如图1，把一个含45°角的直角三角板ECF和一个正方形ABCD摆放在一起，使三角板的直角顶点和正方形的顶点C重合，点E、F分别在正方形的边CB、CD上，连接AF．取AF中点M，EF的中点N，连接MD、MN． （1）连接AE，求证：△AEF是等腰三角形； 猜想与发现： （2）在（1）的条件下，请判断MD、MN的数量关系和位置关系，得出结论． 结论1：DM、MN的数量关系是； 结论2：DM、MN的位置关系是； 拓展与探究： （3）如图2，将图1中的直角三角板ECF绕点C顺时针旋转180°，其他条件不变，则（2）中的两个结论还成立吗？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由． 【答案】（1）证明参见解析；（2）相等，垂直；（3）成立，理由参见解析. 【解析】 试题分析：（1）根据正方形的性质以及等腰直角三角形的知识证明出CE=CF，继而证明出△ABE≌△ADF，得到AE=AF，从而证明出△AEF是等腰三角形；（2）DM、MN的数量关系是相等，利用直角三角形斜边中线等于斜边一半和三角形中位线定理即可得出结论.位置关系是垂直，利用三角形外角性质和等腰三角形两个底角相等性质，及全等三角形对应角相等即可得出结论；（3）成立，连接AE，交MD于点G，标记出各个角，首先证明出 MN∥AE，MN=AE，利用三角形全等证出AE=AF，而DM=AF，从而得到DM，MN数量相等的结论，再利用三角形外角性质和三角形全等，等腰三角形性质以及角角之间的数量关系得到∠DMN=∠DGE=90°．从而得到DM、MN的位置关系是垂直. 试题解析：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD=BC=CD，∠B=∠ADF=90°，∵△CEF 是等腰直角三角形，∠C=90°，∴CE=CF，∴BC﹣CE=CD﹣CF，即BE=DF， ∴△ABE≌△ADF，∴AE=AF，∴△AEF是等腰三角形；（2）DM、MN的数量关系是相等，DM、MN的位置关系是垂直；∵在Rt△ADF中DM是斜边AF的中线，∴AF=2DM，∵MN 是△AEF的中位线，∴AE=2MN，∵AE=AF，∴DM=MN；∵∠DMF=∠DAF+∠ADM， AM=MD，∵∠FMN=∠FAE，∠DAF=∠BAE，∴∠ADM=∠DAF=∠BAE，
中考数学压轴题专题
中考数学压轴题专题 一、函数与几何综合的压轴题 1.如图①，在平面直角坐标系中，AB 、CD 都垂直于x 轴，垂足分别为B 、D 且AD 与B 相交于E 点.已知：A (-2,-6),C (1,-3) (1) 求证：E 点在y 轴上； (2) 如果有一抛物线经过A ，E ，C 三点，求此抛物线方程. (3) 如果AB 位置不变，再将DC 水平向右移动k (k >0)个单位，此时AD 与BC 相交于E ′点， 如图②，求△AE ′C 的面积S 关于k 的函数解析式. [解] （1）（本小题介绍二种方法，供参考） 方法一：过E 作EO ′⊥x 轴，垂足O ′∴AB ∥EO ′∥DC ∴ ,EO DO EO BO AB DB CD DB '''' == 又∵DO ′+BO ′=DB ∴ 1EO EO AB DC '' += ∵AB =6，DC =3，∴EO ′=2 又∵DO EO DB AB ''=，∴2 316 EO DO DB AB ''=?=?= ∴DO ′=DO ，即O ′与O 重合，E 在y 轴上 方法二：由D （1，0），A （-2，-6），得DA 直线方程：y =2x -2① 再由B （-2，0），C （1，-3），得BC 直线方程：y =-x -2 ② 联立①②得02x y =??=-? ∴E 点坐标（0，-2），即E 点在y 轴上 （2）设抛物线的方程y =ax 2 +bx +c (a ≠0)过A （-2，-6），C （1，-3） 图① 图②
E （0，-2）三点，得方程组42632a b c a b c c -+=-?? ++=-??=-? 解得a =-1,b =0,c =-2 ∴抛物线方程y =-x 2 -2 （3）（本小题给出三种方法，供参考） 由（1）当DC 水平向右平移k 后，过AD 与BC 的交点E ′作E ′F ⊥x 轴垂足为F 。 同（1）可得： 1E F E F AB DC ''+= 得：E ′F =2 方法一：又∵E ′F ∥AB E F DF AB DB '?= ，∴1 3DF DB = S △AE ′C = S △ADC - S △E ′DC =1112 2223 DC DB DC DF DC DB ?-?=? =1 3 DC DB ?=DB=3+k S=3+k 为所求函数解析式 方法二：∵ BA ∥DC ，∴S △BCA =S △BDA ∴S △AE ′C = S △BDE ′()11 32322 BD E F k k '= ?=+?=+ ∴S =3+k 为所求函数解析式. 证法三：S △DE ′C ∶S △AE ′C =DE ′∶AE ′=DC ∶AB =1∶2 同理：S △DE ′C ∶S △DE ′B =1∶2,又∵S △DE ′C ∶S △ABE ′=DC 2∶AB 2 =1∶4 ∴()221 3992 AE C ABCD S S AB CD BD k '?= =?+?=+梯形 ∴S =3+k 为所求函数解析式. 2.已知：如图，在直线坐标系中，以点M （1，0）为圆心、直径AC 为22的圆与y 轴交于A 、D 两点. （1）求点A 的坐标； （2）设过点A 的直线y ＝x ＋b 与x 轴交于点B.探究：直线AB 是否⊙M 的切线？并对你的结论加以证明； （3）连接BC ，记△ABC 的外接圆面积为S 1、⊙M 面积为S 2，若 4 21h S S =，抛物线 y ＝ax 2 ＋bx ＋c 经过B 、M 两点，且它的顶点到x 轴的距离为h .求这条抛物线的解析式. [解]（1）解：由已知AM ＝2，OM ＝1， 在Rt△AOM 中，AO ＝ 122=-OM AM ， ∴点A 的坐标为A （0，1） （2）证：∵直线y ＝x ＋b 过点A （0，1）∴1＝0＋b 即b ＝1 ∴y＝x ＋1 令y ＝0则x ＝－1 ∴B（—1，0），
2016年中考数学压轴题精选及详解
2020年中考数学压轴题精选解析 中考压轴题分类专题三——抛物线中的等腰三角形 基本题型：已知AB ，抛物线()02≠++=a c bx ax y ，点P 在抛物线上（或坐标轴上，或 抛物线的对称轴上），若ABP ?为等腰三角形，求点P 坐标。 分两大类进行讨论： （1）AB 为底时（即PA PB =）：点P 在AB 的垂直平分线上。 利用中点公式求出AB 的中点M ； 利用两点的斜率公式求出AB k ，因为两直线垂直斜率乘积为1-，进而求出AB 的垂直平分线的斜率k ； 利用中点M 与斜率k 求出AB 的垂直平分线的解析式； 将AB 的垂直平分线的解析式与抛物线（或坐标轴，或抛物线的对称轴）的解析式联立即可求出点P 坐标。 （2）AB 为腰时，分两类讨论： ①以A ∠为顶角时（即AP AB =）：点P 在以A 为圆心以AB 为半径的圆上。 ②以B ∠为顶角时（即BP BA =）：点P 在以B 为圆心以 AB 为半径的圆上。 利用圆的一般方程列出A e (或B e )的方程，与抛物线（或坐标轴，或抛物线的对称轴）的解析式联立即可求出点P 坐标。 中考压轴题分类专题四——抛物线中的直角三角形 基本题型：已知AB ，抛物线()02≠++=a c bx ax y ，点P 在抛物线上（或坐标轴上，或 抛物线的对称轴上），若ABP ?为直角三角形，求点P 坐标。 分两大类进行讨论： （1）AB 为斜边时（即PA PB ⊥）：点P 在以AB 为直径的圆周上。 利用中点公式求出AB 的中点M ； 利用圆的一般方程列出M e 的方程，与抛物线（或坐标轴，或抛物线的对称轴）的解析式联立即可求出点P 坐标。 （2）AB 为直角边时，分两类讨论： ①以A ∠为直角时（即AP AB ⊥）： ②以B ∠为直角时（即BP BA ⊥）： 利用两点的斜率公式求出AB k ，因为两直线垂直斜率乘积为1-，进而求出PA （或PB ）的斜率 k ；进而求出PA （或PB ）的解析式； 将PA （或PB ）的解析式与抛物线（或坐标轴，或抛物线的对称轴）的解析式联立即可求出点P 坐标。 所需知识点： 一、 两点之间距离公式： 已知两点()()2211y ,x Q ,y ,x P ， 则由勾股定理可得：()()2 21221y y x x PQ -+-= 。 二、 圆的方程： 点()y ,x P 在⊙M 上，⊙M 中的圆心M 为()b ,a ，半径为R 。 则()()R b y a x PM =-+-= 22，得到方程☆：()()22 2 R b y a x =-+-。 ∴P 在☆的图象上，即☆为⊙M 的方程。 三、 中点公式： 四、 已知两点()()2211y ,x Q ,y ,x P ，则线段PQ 的中点M 为??? ??++22 2121y y ,x x 。 五、 任意两点的斜率公式： 已知两点()()2211y ,x Q ,y ,x P ，则直线PQ 的斜率： 2 12 1x x y y k PQ --= 。 中考压轴题分类专题五——抛物线中的四边形 基本题型：一、已知AB ，抛物线()02≠++=a c bx ax y ，点P 在抛物线上（或坐标轴上， 或抛物线的对称轴上），若四边形ABPQ 为平行四边形，求点P 坐标。 分两大类进行讨论： （1）AB 为边时 （2）AB 为对角线时 二、已知AB ，抛物线()02 ≠++=a c bx ax y ，点P 在抛物线上（或坐标轴上，或抛物线的对 称轴上），若四边形ABPQ 为距形，求点P 坐标。 在四边形ABPQ 为平行四边形的基础上，运用以下两种方法进行讨论： （1）邻边互相垂直 （2）对角线相等 三、已知AB ，抛物线()02 ≠++=a c bx ax y ，点P 在抛物线上（或坐标轴上，或抛物线的对 称轴上），若四边形ABPQ 为菱形，求点P 坐标。 在四边形ABPQ 为平行四边形的基础上，运用以下两种方法进行讨论： （1）邻边相等 （2）对角线互相垂直
2020上海中考数学压轴题专项训练
1文档来源为:从网络收集整理.word 版本可编辑. 24.（本题满分12分，第（1）小题满分3分，第（2）小题满分4分，第（3）小题满分5分） 如图，已知抛物线2y x bx c =++经过()01A -， 、()43B -，两点. （1）求抛物线的解析式； （2 求tan ABO ∠的值； （3）过点B 作BC ⊥x 轴，垂足为点C ，点M 是抛物线上一点，直线MN 平行于y 轴交直线AB 于点N ，如果M 、N 、B 、C 为顶点的四边形是平行四边形，求点N 的坐标. 24.解：（1）将A （0，-1）、B （4，-3）分别代入2 y x bx c =++ 得 1, 1643 c b c =-?? ++=-?， ………………………………………………………………（1分） 解，得9 ,12b c =-=- …………………………………………………………………(1分) 所以抛物线的解析式为29 12y x x =- - …………………………………………… （1分） （2）过点B 作BC ⊥x 轴，垂足为C ，过点A 作AH ⊥OB ，垂足为点H ………（1分） 在Rt AOH ?中，OA =1，4 sin sin ,5AOH OBC ∠=∠= ……………………………（1分） ∴4sin 5AH OA AOH =∠= ，∴322,55 OH BH OB OH ==-=， ………………（1分） 在Rt ABH ?中，4222 tan 5511AH ABO BH ∠==÷= ………………………………（1分） (3)直线AB 的解析式为1 12y x =--， ……………………………………………（1分） 设点M 的坐标为29(,1)2m m m --，点N 坐标为1 (,1)2 m m -- 那么MN =2291 (1)(1)422 m m m m m - ----=-； …………………………（1分） ∵M 、N 、B 、C 为顶点的四边形是平行四边形，∴MN =BC =3 解方程2 4m m -=3 得2m =± ……………………………………………（1分） 解方程2 43m m -+=得1m =或3m =； ………………………………………（1分） 所以符合题意的点N 有4 个35 (22),(22),(1,),(3,)22 --+--- ……………………………………………………………………………………（1分） 25.（本题满分14分，第（1）小题满分4分，第（2）小题满分5分，第（3）小题满分5
成都市中考近十年中考数学圆压轴题
成都市中考近十年中考 数学圆压轴题 Company number：【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】
圆 【2017成都中考】如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径作圆O，分别交BC 于点D，交CA的延长线于点E，过点D作DH⊥AC于点H，连接DE交线段OA于点F． （1）求证：DH是圆O的切线； （2）若A为EH的中点，求的值； （3）若EA=EF=1，求圆O的半径． 【2016成都中考】如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，以CB为半径作⊙C，交AC 于点D，交AC的延长线于点E，连接ED，BE． （1）求证：△ABD∽△AEB； （2）当=时，求tanE； （3）在（2）的条件下，作∠BAC的平分线，与BE交于点F，若AF=2，求⊙C的半径． 【2015成都中考】如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AC的垂直平分线分别与AC，BC及AB的延长线相较于点D，E，F，且BF=BC，⊙O是△BEF的外接圆，∠EBF的平分线交EF于点G，交⊙O于点H，连接BD，FH． （1）求证：△ABC≌△EBF； （2）试判断BD与⊙O的位置关系，并说明理由； （3）若AB=1，求HGHB的值． 【2014成都中考】如图，在⊙O的内接△ABC中，∠ACB=90°，AC=2BC，过C 作AB的垂线l交⊙O于另一点D，垂足为E.设P是⌒AC上异于A,C的一个动点，射线AP交l于点F，连接PC与PD，PD交AB于点G. （1）求证：△PAC∽△PDF； （2）若AB=5，⌒ AP =⌒ BP，求PD的长；
（3）在点P 运动过程中，设x BG AG =，y AFD =∠tan ，求y 与x 之间的函数关系式.（不要求写出x 的取值范围） 【2013成都中考】如图，⊙O 的半径25r =，四边形ABCD 内接圆⊙O ，AC BD ⊥于点H ，P 为CA 延长线上的一点，且PDA ABD ∠=∠. （1）试判断PD 与⊙O 的位置关系，并说明理由： （2）若3tan 4 ADB ∠= ，4333PA AH -=，求BD 的长； （3）在（2）的条件下，求四边形ABCD 的面积. 【2012成都中考】如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于H ，过CD 延长线上一点E 作⊙O 的切线交AB 的延长线于F ．切点为G ，连接AG 交CD 于K ． （1）求证：KE=GE ； （2）若=KD ·GE ，试判断AC 与EF 的位置关系，并说明理由； （3） 在（2）的条件下，若sinE=，AK=，求FG 的长． 【2011成都中考】已知：如图，以矩形ABCD 的对角线AC 的中点O 为圆心，OA 长为半径作⊙O ，⊙O 经过B 、D 两点，过点B 作BK ⊥ A C ，垂足为K 。过D 作DH ∥KB ，DH 分别与AC 、AB 、⊙O 及CB 的延长线相交于点E 、F 、G 、H ． (1)求证：AE=CK ； (2)如果AB=a ，AD=13 a (a 为大于零的常数)，求BK 的长： (3)若F 是EG 的中点，且DE=6，求⊙O 的半 径和GH 的长． 【2010成都中考】已知：如图，ABC ?内接于 O ，AB 为直径，弦CE AB ⊥于F ，C 是AD 的中点，连结BD 并延长交EC 的延长线于点G ，连结AD ，分别交CE 、BC 于点P 、Q ． （1）求证：P 是ACQ ?的外心； （2）若3tan ,84 ABC CF ∠==,求CQ 的长； 2KG 3523
中考数学压轴题解题方法大全及技巧
专业资料整理分享 中考数学压轴题解题技巧 湖北竹溪城关中学明道银 解中考数学压轴题秘诀（一） 数学综合题关键是第24题和25题，我们不妨把它分为函数型综合题和几何型综合题。 （一）函数型综合题：是先给定直角坐标系和几何图形，求（已知）函数的解析式（即在求解前已知函数的类型），然后进行图形的研究，求点的坐标或研究图形的某些性质。初中已知函数有：①一次函数（包括正比例函数）和常值函数，它们所对应的图像是直线；②反比例函数，它所对应的图像是双曲线； ③二次函数，它所对应的图像是抛物线。求已知函数的解析式主要方法是待定系数法，关键是求点的坐标，而求点的坐标基本方法是几何法（图形法）和代数法（解析法）。此类题基本在第24题，满分12分，基本分2－3小题来呈现。 （二）几何型综合题：是先给定几何图形，根据已知条件进行计算，然后有动点（或动线段）运动，对应产生线段、面积等的变化，求对应的（未知）函数的解析式(即在没有求出之前不知道函数解析式的形式是什么)和求函数的定义域，最后根据所求的函数关系进行探索研究，一般有：在什么条件下图形是等腰三角形、直角三角形、四边形是菱形、梯形等或探索两个三角形满足什么条件相似等或探究线段之间的位置关系等或探索面积之间满足一定关系求x的值等和直线（圆）与圆的相切时求自变量的值等。求未知函数解析式的关键是
列出包含自变量和因变量之间的等量关系（即列出含有x、y的方程），变形写成y＝f（x）的形式。一般有直接法（直接列出含有x和y的方程）和复合法（列出含有x和y和第三个变量的方程，然后求出第三个变量和x之间的函数关系式，代入消去第三个变量，得到y＝f（x）的形式），当然还有参数法，这个已超出初中数学教学要求。找等量关系的途径在初中主要有利用勾股定理、平行线截得比例线段、三角形相似、面积相等方法。求定义域主要是寻找图形的特殊位置（极限位置）和根据解析式求解。而最后的探索问题千变万化，但少不了对图形的分析和研究，用几何和代数的方法求出x的值。几何型综合题基本在第25题做为压轴题出现，满分14分，一般分三小题呈现。 在解数学综合题时我们要做到：数形结合记心头，大题小作来转化，潜在条件不能忘，化动为静多画图，分类讨论要严密，方程函数是工具，计算推理要严谨，创新品质得提高。 解中考数学压轴题秘诀（二） 具有选拔功能的中考压轴题是为考察考生综合运用知识的能力而设计的题目，其特点是知识点多，覆盖面广，条件隐蔽，关系复杂，思路难觅，解法灵活。解数学压轴题，一要树立必胜的信心，二要具备扎实的基础知识和熟练的基本技能，三要掌握常用的解题策略。现介绍几种常用的解题策略，供初三同学参考。 1、以坐标系为桥梁，运用数形结合思想：
2017上海历年中考数学压轴题专项训练
24.（本题满分12分，第（1）小题满分3分，第（2）小题满分4分，第（3）小题满分5分） 如图，已知抛物线2y x bx c =++经过()01A -， 、()43B -，两点. （1）求抛物线的解析式； （2 求tan ABO ∠的值； （3）过点B 作BC ⊥x 轴，垂足为点C ，点M 是抛物线上一点，直线MN 平行于y 轴交直线AB 于点N ，如果M 、N 、B 、C 为顶点的四边形是平行四边形，求点N 的坐标. 24.解：（1）将A （0，-1）、B （4，-3）分别代入2 y x bx c =++ 得1, 1643c b c =-?? ++=-? ， ………………………………………………………………（1分） 解，得9 ,12 b c =-=-…………………………………………………………………(1分) 所以抛物线的解析式为29 12 y x x =- -……………………………………………（1分） （2）过点B 作BC ⊥x 轴，垂足为C ，过点A 作AH ⊥OB ，垂足为点H ………（1分） 在Rt AOH ?中，OA =1，4 sin sin ,5 AOH OBC ∠=∠=……………………………（1分） ∴4sin 5AH OA AOH =∠= g ，∴322,55 OH BH OB OH ==-=， ………………（1分） 在Rt ABH ?中，4222 tan 5511 AH ABO BH ∠==÷=………………………………（1分） (3)直线AB 的解析式为1 12y x =- -， ……………………………………………（1分） 设点M 的坐标为29(,1)2m m m --，点N 坐标为1 (,1)2 m m -- 那么MN =2 291 (1)(1)422 m m m m m - ----=-； …………………………（1分） ∵M 、N 、B 、C 为顶点的四边形是平行四边形，∴MN =BC =3 解方程2 4m m -=3 得2m =± ……………………………………………（1分） 解方程2 43m m -+=得1m =或3m =； ………………………………………（1分）
{免费}成都市中考数学试题及答案(word版)(2020年整理).doc
成都市二0 0九年高中阶段教育学校统一招生考试试卷 (含成都市初三毕业会考) 数 学 全卷分A 卷和B 卷，A 卷满分100分，8卷满分50分；考试时间l20分钟。A 卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷，第Ⅰ卷为选择题，第Ⅱ卷为其他类型的题。 A 卷(共100分) 第Ⅰ卷(选择题，共30分) 注意事项： 1．第Ⅰ卷共2页。答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在试卷和答题卡上。考试结束，监考人员将试卷和答题卡一并收回。 2．第Ⅰ卷全是选择题，各题均有四个选项，只有一项符合题目要求。每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，选择题的答案不能答在试卷上。请注意机读答题卡的横竖格式。 一、选择题：(每小题3分，共30分) 1． 计算2×(1 2 － )的结果是 (A)－1 (B) l (C)一2 (D) 2 2． 在函数1 31y x = -中，自变量x 的取值范围是 (A)13x < (B) 13x ≠- (C) 13x ≠ (D) 1 3 x > 3． 如图所示的是某几何体的三视图，则该几何体的形状是 左视图 俯视图主视图 (A)长方体 (B)三棱柱 (C)圆锥 (D)正方体 4． 下列说法正确的是 (A)某市“明天降雨的概率是75％”表示明天有75％的时间会降雨 (B)随机抛掷一枚均匀的硬币，落地后正面一定朝上 (C)在一次抽奖活动中，“中奖的概率是 1 100 ”表示抽奖l00次就一定会中奖 (D)在平面内，平行四边形的两条对角线一定相交 5． 已知△ABC∽△DEF，且AB ：DE=1：2，则△ABC 的面积与△DEF 的面积之比为 (A)1：2 (B)1：4 (C)2：1 (D)4：1 6． 在平面直角坐标系xOy 中，已知点A(2，3)，若将OA 绕原点O 逆时针旋转180°得到0A′， 则点A ′在平面直角坐标系中的位置是在 (A)第一象限 (B)第二象限 (c)第三象限 (D)第四象限 7． 若关于x 的一元二次方程2 210kx x --=有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是 (A)1k >- (B) 1k >-且0k ≠ (c)1k < (D) 1k <且0k ≠ 8． 若一个圆锥的底面圆的周长是4πcm ，母线长是6cm ，则该圆锥的侧面展开图的圆心角的度数是 (A)40° (B)80° (C)120° (D)150°
2020中考数学压轴题100题精选(附答案解析)
2020中考数学压轴题100题精选 （附答案解析） 【001 】如图，已知抛物线2(1)y a x =-+（a ≠0）经过点 (2)A -，0，抛物线的顶点为D ，过O 作射线OM AD ∥．过顶点D 平行于x 轴的直线交射线OM 于点C ，B 在x 轴正半轴上，连结 BC ． （1）求该抛物线的解析式； （2）若动点P 从点O 出发，以每秒1个长度单位的速度沿射线OM 运动，设点P 运动的时间为()t s ．问当t 为何值时，四边形DAOP 分别为平行四边形？直角梯形？等腰梯形？ （3）若OC OB =，动点P 和动点Q 分别从点O 和点B 同时出发，分别以每秒1个长度单位和2个长度单位的速度沿OC 和BO 运动，当其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动．设它们的运动的时间为t ()s ，连接PQ ，当t 为何值时，四边形BCPQ 的面积最小？并求出最小值及此时PQ 的长．
【002】如图16，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC = 3，AB = 5．点P从点C出发沿CA以每秒1个单位长的速度向点A匀速运动，到达点A后立刻以原来的速度沿AC返回；点Q从点A 出发沿AB以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动．伴随着P、Q的运动，DE保持垂直平分PQ，且交PQ于点D，交折线QB-BC-CP于点E．点P、Q同时出发，当点Q到达点B 时停止运动，点P也随之停止．设点P、Q运动的时间是t 秒（t＞0）． （1）当t = 2时，AP = ，点Q到AC的距离是； （2）在点P从C向A运动的过程中，求△APQ的面积S 与 t的函数关系式；（不必写出t的取值范围）（3）在点E从B向C 成 为直角梯形？若能，求t （4）当DE经过点C 时，请直接 图16 【003】如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的三个顶点B（4，0）、C（8，0）、D（8，8）.抛物线y=ax2+bx过A、C两点. (1)直接写出点A的坐标，并求出抛物线的解析式；
中考数学压轴题专题
中考数学压轴题专题 Document serial number【NL89WT-NY98YT-NC8CB-NNUUT-NUT108】
专题1：抛物线中的等腰三角形 基本题型：已知AB，抛物线()0 2≠ bx y，点P在抛物线上（或坐 c ax =a + + 标轴上，或抛物线的对称轴上），若ABP ?为等腰三角形，求点P坐标。 分两大类进行讨论： =）：点P在AB的垂直平分线上。 （1）AB为底时（即PA PB 利用中点公式求出AB的中点M； k，因为两直线垂直斜率乘积为1-，进利用两点的斜率公式求出AB 而求出AB的垂直平分线的斜率k； 利用中点M与斜率k求出AB的垂直平分线的解析式； 将AB的垂直平分线的解析式与抛物线（或坐标轴，或抛物线的对 称轴）的解析式联立即可求出点P坐标。 （2）AB为腰时，分两类讨论： =）：点P在以A为圆心以AB为半径的圆 ①以A ∠为顶角时（即AP AB 上。 =）：点P在以B为圆心以AB为半径的圆 ②以B ∠为顶角时（即BP BA 上。 利用圆的一般方程列出A(或B)的方程，与抛物线（或坐标轴，或抛物线的对称轴）的解析式联立即可求出点P坐标。 专题2：抛物线中的直角三角形
基本题型：已知AB ，抛物线()02≠++=a c bx ax y ，点P 在抛物线上（或坐标 轴上，或抛物线的对称轴上），若ABP ?为直角三角形，求点P 坐 标。 分两大类进行讨论： （1）AB 为斜边时（即PA PB ⊥）：点P 在以AB 为直径的圆周上。 利用中点公式求出AB 的中点M ； 利用圆的一般方程列出M 的方程，与抛物线（或坐标轴，或抛物线的对 称 轴）的解析式联立即可求出点P 坐标。 （2）AB 为直角边时，分两类讨论： ①以A ∠为直角时（即AP AB ⊥）： ②以B ∠为直角时（即BP BA ⊥）： 利用两点的斜率公式求出AB k ，因为两直线垂直斜率乘积为1-，进而求出 PA （或PB ）的斜率k ；进而求出PA （或PB ）的解析式； 将PA （或PB ）的解析式与抛物线（或坐标轴，或抛物线的对称轴）的解 析式联立即可求出点P 坐标。 所需知识点： 一、 两点之间距离公式： 已知两点()()2211y ,x Q ,y ,x P ， 则由勾股定理可得：()()221221y y x x PQ -+-= 。 二、 圆的方程： 点()y ,x P 在⊙M 上，⊙M 中的圆心M 为()b ,a ，半径为R 。 则()()R b y a x PM =-+-=22，得到方程☆：()()22 2R b y a x =-+-。 ∴P 在☆的图象上，即☆为⊙M 的方程。
中考数学压轴题专项培优训练：一次函数综合题(附解析)
中考数学压轴题专项培优训练：一次函数综合题 1．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的边AB在x轴上，点B坐标（﹣6，0），点C 在y轴正半轴上，且cos B＝，动点P从点C出发，以每秒一个单位长度的速度向D点移动（P点到达D点时停止运动），移动时间为t秒，过点P作平行于y轴的直线l与菱形的其它边交于点Q． （1）求点D坐标； （2）求△OPQ的面积S关于t的函数关系式，并求出S的最大值； （3）在直线l移动过程中，是否存在t值，使S＝？若存在，求出t的值； 若不存在，请说明理由．
2．如图，平面直角坐标系中直线l1：y＝x与直线l2：y＝﹣x+8相交于点A，直线l2与x轴相交于点B，与y轴相交于点C，点D（﹣6，0），点F（0，6），连接DF．（1）如图1，求点A的坐标； （2）如图1，若将△ODF向x轴的正方向平移a个单位，得到△O′D′F′，点D与点B 重合时停止移动，设△O′D′F′与△OAB重叠部分的面积为S，请求出S与a的关系式，并写出a的取值范围； （3）如图2，现将△ODF向x轴的正方向平移12个单位得到△O1D1F1，直线O1F1与直线l2交于点G，再将△O1GB绕点G旋转，旋转角度为α（0°≤α≤360°），记旋转后的三角形为△O1′GB′，直线O1′G与直线l1的交点为M，直线GB′与直线l1的交点为N，是否存在△GMN为等腰三角形？若存在请直接写出MN的值；若不存在，请说明理由．
3．如图，在平面直角坐标系中，OA＝OB，△OAB的面积是2． （1）求线段OB的中点C的坐标． （2）连结AC，过点O作OE⊥AC于E，交AB于点D． ①直接写出点E的坐标． ②连结CD，求证：∠ECO＝∠DCB； （3）点P为x轴上一动点，点Q为平面内一点，以点A、C、P、Q为顶点作菱形，直接写出点Q的坐标． 4．如图，已知?ABCD边BC在x轴上，顶点A在y轴上，对角线AC所在的直线为y＝+6，且AC＝AB，若点P从点A出发以1cm/s的速度向终点O运动，同时点Q从点C出发以2cm/s 的速度沿射线CB运动，当点P到达终点O时，点Q也随之停止运动．设点P的运动时间为t（s）． （1）直接写出顶点D的坐标（，），对角线的交点E的坐标（，）； （2）求对角线BD的长； （3）是否存在t，使S△POQ＝S?ABCD，若存在，请求出的t值；不存在说明理由． （4）在整个运动过程中，PQ的中点到原点O的最短距离是cm，（直接写出答案）
四川省成都市2018年中考数学试题(含答案)
成都市2018年中考数学试题及答案 A 卷（共100分） 第Ⅰ卷（共30分） 一、选择题：本大题共10个小题,每小题3分,共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.实数,,,a b c d 在数轴上对应的点的位置如图所示，这四个数中最大的是（ ） A ．a B ．b C ．c D ．d 年5月21日，西昌卫星发射中心成功发射探月工程嫦娥四号任务“鹊桥号”中继星，卫星进入近地点高度为200公里、远地点高度为40万公里的预定轨道.将数据40万用科学记数法表示为（ ） A ．6 0.410? B ．5 410? C ．6 410? D ．6 0.410? 3.如图所示的正六棱柱的主视图是（ ） [ A ． B ． C ． D ． 4.在平面直角坐标系中，点()3,5P --关于原点对称的点的坐标是（ ） A ．()3,5- B ．()3,5- C.()3,5 D ．()3,5-- 5.下列计算正确的是（ ） A ．2 2 4 x x x += B ．()2 22 x y x y -=- C.( ) 3 2 6x y x y = D ．()235x x x -?= 6.如图，已知ABC DCB ∠=∠，添加以下条件，不能判定ABC DCB ??≌的是（ ） A ．A D ∠=∠ B ．ACB DB C ∠=∠ C.AC DB = D ．AB DC = 7.如图是成都市某周内日最高气温的折线统计图，关于这7天的日最高气温的说法正确的是（ ） A ．极差是8℃ B ．众数是28℃ C.中位数是24℃ D ．平均数是26℃ !
8.分式方程 11 1 2 x x x + += - 的解是（ ）A．y B．1 x=- C.3 x=D．3 x=- 9.如图，在ABCD中，60 B ∠=?，C ⊙的半径为3，则图中阴影部分的面积是（） A．πB．2π C.3πD．6π 10.关于二次函数2 241 y x x =+-，下列说法正确的是（） A．图像与y轴的交点坐标为() 0,1B．图像的对称轴在y轴的右侧 C.当0 x<时，y的值随x值的增大而减小D．y的最小值为-3 第Ⅱ卷（共70分） < 二、填空题（每题4分，满分16分，将答案填在答题纸上） 11.等腰三角形的一个底角为50?，则它的顶角的度数为． 12.在一个不透明的盒子中，装有除颜色外完全相同的乒乓球共16个，从中随机摸出一个乒乓球，若摸到黄色乒乓球的概率为 3 8 ，则该盒子中装有黄色兵乓球的个数是． 13.已知 54 a b c b ==，且26 a b c +-=，则a的值为． 14.如图，在矩形ABCD中，按以下步骤作图：①分别以点A和C为圆心，以大于 1 2 AC的长为半径作弧，两弧相交于点M和N；②作直线MN交CD于点E.若2 DE=，3 CE=，则矩形的对角线AC的长为． 三、解答题（本大题共6小题，共54分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. （1）23 282sin603 +-?+-. （2）化简 2 1 1 11 x x x ?? -÷ ? +- ?? . 16. 若关于x的一元二次方程() 22 210 x a x a -++=有两个不相等的实数根，求a的取值范围. 17.为了给游客提供更好的服务，某景区随机对部分游客进行了关于“景区服务工作满意度”的调查，并根据调查结果绘制成如下不完整的统计图表. — 根据图标信息，解答下列问题： 14题图
中考数学压轴题专题 动点问题
2012年全国中考数学（续61套）压轴题分类解析汇编 专题01：动点问题 25. （2012吉林长春10分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8cm，BC=4cm，D、E分别为边AB、BC的中点，连结DE，点P从点A出发，沿折线AD－DE－EB运动，到 点B停止．点P在AD的速度运动，在折线DE－EB上以1cm/s的速度运动．当点P与点A不重合时，过点P作 PQ⊥AC于点Q，以PQ为边作正方形PQMN，使点M落在线段AC上．设点P的运动时间为t(s). （1）当点P在线段DE上运动时，线段DP的长为______cm,（用含t的代数式表示）．（2）当点N落在AB边上时，求t的值． （3）当正方形PQMN与△ABC重叠部分图形为五边形时，设五边形的面积为S（cm2），求S与t的函数关系式． （4）连结CD．当点N于点D重合时，有一点H从点M出发，在线段MN上以2.5cm/s 的速度沿M-N-M连续做往返运动，直至点P与点E重合时，点H停止往返运动；当点P 在线段EB上运动时，点H始终在线段MN的中心处．直接写出在点P的整个运动过程中，点H落在线段CD上时t的取值范围． 【答案】解：（1）t－2。 （2）当点N落在AB边上时，有两种情况： ①如图（2）a，当点N与点D重合时，此时点P在DE上，DP=2=EC，即t－2=2，t=4。 ②如图（2）b，此时点P位于线段EB上． ∵DE=1 2 AC=4，∴点P在DE段的运动时间为4s， ∴PE=t-6，∴PB=BE-PE=8-t，PC=PE+CE=t-4。 ∵PN∥AC，∴△BNP∽△BAC。∴PN：AC = PB：BC=2，∴PN=2PB=16-2t。 由PN=PC，得16-2t=t-4，解得t=20 3 。 综上所述，当点N落在AB边上时，t=4或t=20 3 。 （3）当正方形PQMN与△ABC重叠部分图形为五边形时，有两种情况：
数学数学中考数学压轴题的专项培优易错试卷练习题及解析
一、中考数学压轴题 1．如图，射线AM 上有一点B ，AB ＝6．点C 是射线AM 上异于B 的一点，过C 作CD ⊥AM ，且CD ＝ 4 3 AC ．过D 点作DE ⊥AD ，交射线AM 于E . 在射线CD 取点F ，使得CF ＝CB ，连接AF 并延长，交DE 于点G ．设AC ＝3x ． （1） 当C 在B 点右侧时，求AD 、DF 的长．(用关于x 的代数式表示) （2）当x 为何值时，△AFD 是等腰三角形． （3）若将△DFG 沿FG 翻折，恰使点D 对应点'D 落在射线AM 上，连接'FD ，'GD ．此时x 的值为 （直接写出答案） 2．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线239 334 y x x = --x 轴交于A B 、两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点 C ． （1）过点C 的直线5 334 y x =-x 轴于点H ，若点P 是第四象限内抛物线上的一个动 点，且在对称轴的右侧，过点P 作//PQ y 轴交直线CH 于点Q ，作//PN x 轴交对称轴 于点N ，以PQ PN 、为邻边作矩形PQMN ，当矩形PQMN 的周长最大时，在y 轴上有一动点K ，x 轴上有一动点T ，一动点G 从线段CP 的中点R 出发以每秒1个单位的速度沿R K T →→的路径运动到点T ，再沿线段TB 以每秒2个单位的速度运动到B 点处停止运动，求动点G 运动时间的最小值： （2）如图2， 将ABC ?绕点B 顺时针旋转至A BC ''?的位置， 点A C 、的对应点分别为A C ''、，且点C '恰好落在抛物线的对称轴上，连接AC '．点E 是y 轴上的一个动点，连 接AE C E '、， 将AC E ?'沿直线C E '翻折为A C E ?''， 是否存在点E ， 使得BAA ?'为等腰三角形?若存在，请求出点E 的坐标；若不存在，请说明理由．
2019成都中考数学压轴题的9种出题形式
2019成都中考数学压轴题的9种出题形式 初中数学知识当中，学生掌握情况比较欠缺的主要是列方程组解应用题，函数特别是二次函数，四边形以及相似，还有圆。这些知识点如 果分块学习学生还易接受，关键在于知识的综合。 中考知识的综合主要有以下几种形式 （1）线段、角的计算与证明问题 中考的解答题一般是分两到三部分的。第一部分基本上都是一些 简单题或者中档题，目的在于考察基础。第二部分往往就是开始拉分 的中难题了。对这些题轻松掌握的意义不但仅在于获得分数，更重要 的是对于整个做题过程中士气，军心的影响。 （2）图形位置关系 中学数学当中，图形位置关系主要包括点、线、三角形、矩形/ 正方形以及圆这么几类图形之间的关系。在中考中会包含在函数，坐 标系以及几何问题当中，但主要还是通过圆与其他图形的关系来考察，这其中最重要的就是圆与三角形的各种问题。 （3）动态几何 从历年中考来看，动态问题经常作为压轴题目出现，得分率也是 最低的。动态问题一般分两类，一类是代数综合方面，在坐标系中有 动点，动直线，一般是利用多种函数交叉求解。另一类就是几何综合题，在梯形，矩形，三角形中设立动点、线以及整体平移翻转，对考 生的综合分析水平实行考察。所以说，动态问题是中考数学当中的重 中之重，只有完全掌握，才有机会拼高分。 （4）一元二次方程与二次函数 在这个类问题当中，尤以涉及的动态几何问题最为艰难。几何问 题的难点在于想象，构造，往往有时候一条辅助线没有想到，整个一
道题就卡壳了。相比几何综合题来说，代数综合题倒不需要太多巧妙 的方法，但是对考生的计算水平以及代数功底有了比较高的要求。中 考数学当中，代数问题往往是以一元二次方程与二次函数为主体，多 种其他知识点辅助的形式出现的。一元二次方程与二次函数问题当中，纯粹的一元二次方程解法通常会以简单解答题的方式考察。但是在后 面的中难档大题当中，通常会和根的判别式，整数根和抛物线等知识 点结合 （5）多种函数交叉综合问题 初中数学所涉及的函数就一次函数，反比例函数以及二次函数。 这类题目本身并不会太难，很少作为压轴题出现，一般都是作为一道 中档次题目来考察考生对于一次函数以及反比例函数的掌握。所以在 中考中面对这类问题，一定要做到避免失分。 （6）列方程（组）解应用题 在中考中，有一类题目说难不难，说不难又难，有的时候三两下 就有了思路，有的时候苦思冥想很久也没有想法，这就是列方程或方 程组解应用题。方程能够说是初中数学当中最重要的部分，所以也是 中考中必考内容。从近年来的中考来看，结合时事热点考的比较多， 所以还需要考生有一些生活经验。实际考试中，这类题目几乎要么得 全分，要么一分不得，但是也就那么几种题型，所以考生只需多练多 掌握各个题类，总结出一些定式，就能够从容应对了。 （7）动态几何与函数问题 整体说来，代几综合题大概有两个侧重，第一个是侧重几何方面，利用几何图形的性质结合代数知识来考察。而另一个则是侧重代数方面，几何性质仅仅一个引入点，更多的考察了考生的计算功夫。但是 这两种侧重也没有很严格的分野，很多题型都很类似。其中通过图中 已给几何图形构建函数是重点考察对象。做这类题时一定要有“减少 复杂性”“增大灵活性”的主体思想。
中考数学压轴题专题
中考数学压轴题专题Prepared on 21 November 2021
专题1：抛物线中的等腰三角形 基本题型：已知AB，抛物线()0 2≠ bx y，点P在抛物线上（或坐 c ax =a + + 标轴上，或抛物线的对称轴上），若ABP ?为等腰三角形，求点P坐标。 分两大类进行讨论： =）：点P在AB的垂直平分线上。 （1）AB为底时（即PA PB 利用中点公式求出AB的中点M； k，因为两直线垂直斜率乘积为1-，进利用两点的斜率公式求出AB 而求出AB的垂直平分线的斜率k； 利用中点M与斜率k求出AB的垂直平分线的解析式； 将AB的垂直平分线的解析式与抛物线（或坐标轴，或抛物线的对 称轴）的解析式联立即可求出点P坐标。 （2）AB为腰时，分两类讨论： =）：点P在以A为圆心以AB为半径的圆 ①以A ∠为顶角时（即AP AB 上。 =）：点P在以B为圆心以AB为半径的圆 ②以B ∠为顶角时（即BP BA 上。 利用圆的一般方程列出A(或B)的方程，与抛物线（或坐标轴，或抛物线的对称轴）的解析式联立即可求出点P坐标。 专题2：抛物线中的直角三角形
基本题型：已知AB ，抛物线()02≠++=a c bx ax y ，点P 在抛物线上（或坐标 轴上，或抛物线的对称轴上），若ABP ?为直角三角形，求点P 坐标。 分两大类进行讨论： （1）AB 为斜边时（即PA PB ⊥）：点P 在以AB 为直径的圆周上。 利用中点公式求出AB 的中点M ； 利用圆的一般方程列出M 的方程，与抛物线（或坐标轴，或抛物线的对称 轴）的解析式联立即可求出点P 坐标。 （2）AB 为直角边时，分两类讨论： ①以A ∠为直角时（即AP AB ⊥）： ②以B ∠为直角时（即BP BA ⊥）： 利用两点的斜率公式求出AB k ，因为两直线垂直斜率乘积为1-，进而求出 PA （或PB ）的斜率k ；进而求出PA （或PB ）的解析式； 将PA （或PB ）的解析式与抛物线（或坐标轴，或抛物线的对称轴）的解析式联立即可求出点P 坐标。 所需知识点： 一、 两点之间距离公式： 已知两点()()2211y ,x Q ,y ,x P ， 则由勾股定理可得：()()2 21221y y x x PQ -+-=。 二、 圆的方程： 点()y ,x P 在⊙M 上，⊙M 中的圆心M 为()b ,a ，半径为R 。 则()()R b y a x PM =-+-= 22，得到方程☆：()()22 2 R b y a x =-+-。 ∴P 在☆的图象上，即☆为⊙M 的方程。
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