4.6.3 余角和补角

4.6.3 余角和补角

教学目标：

1、知识与技能：

⑴、在具体的现实情境中，理解一个角的余角和补角，掌握余角和补角的性质。

⑵、了解方位角，能确定具体物体的方位。

2、过程与方法：

进一步提升学生的抽象概括水平，发展空间观点和知识使用水平，学会简单的逻辑推理，并能对问题的结论实行合理的猜想。

3、情感态度与价值观：

体会观察、归纳、推理对数学知识中获取数学猜想和论证的重要作用，初步体会数学中推理的严谨性和结论的确定性，能在独立思考和小组交流中获益。重、难点及关键：

1、重点：理解角的互余、互补关系及其性质，确定方位是本节课的重点。

2、难点：通过简单的推理，归纳出余角、补角的性质，并能用规范的语言描述性质是难点。

3、关键：了解推理的意义和推理过程是掌握性质的关键。

教学过程：

一、引入新课：

让学生观察意大利著名建筑比萨斜塔。

比萨斜塔建于1173年，工程曾间断了两次很长的时间，历经约二百年才完工。设计为垂直建造，但是在工程开始后不久便因为地基不均匀和土层松软而倾斜。

二、新课讲解：

1、探究互为余角的定义：

如果两个角的和是90°(直角)，那么这两个角叫做互为余角，其中一个角是另一个角的余角。即：∠1是∠2的余角或∠2是∠1的余角。

2、练习⑴：

80?

65?

46?44?

25?

10?

170?

120?

100?

150?

80?

10?

30?

60?

图中给出的各角，那些互为余角？

3、探究互为补角的定义：

如果两个角的和是180°(平角)，那么这两个角叫做互为补角，其中一个角是另一个角的补角。即：∠3是∠4的补角或∠4是∠3的补角。

4、练习⑵：

（1）图中给出的各角，那些互为补角？

（2）填下列表：

结论：同一个锐角的补角比它的余角大90°。 （3）填空：

①70°的余角是 ，补角是 。

②∠α（∠α <90°）的它的余角是 ，它的补角是 。

4

3

2

1

重要提醒：ⅰ(如何表示一个角的余角和补角) 锐角∠α的余角是（90 °—∠ α ）

∠α的补角是（180 °—∠ α ）

ⅱ互余和互补是两个角的数量关系，与它们的位置无关。 5、讲解例题：

例1：若一个角的补角等于它的余角4倍，求这个角的度数。

解： 设这个角是x °，则它的补角是（ 180°－x °）,余角是(90°－x °) 。

根据题意得：

（180－x °）= 4 (90－x °) 解之得： x =60 答：这个角的度数是60 °。 6、练习⑶：

一个角的补角是它的3倍,这个角是多少度? 7、探究补角的性质：

如图∠1 与∠2互补，∠３ 与∠４互补 ，如果∠1＝∠３,那么∠2与∠４相等吗？为什么？

教师活动：操作多媒体演示。

学生活动：观察图形的运动，得出结果：∠2=∠４ 补角性质：同角或等角的补角相等

教师活动：向学生说明，以上从观察图形得到的结论，还能够从理论上说明其理由。

∵ ∠1 +∠2=180°， ∠3 +∠4=180° ∴ ∠2=180°－∠1 ， ∠4=180°－ ∠3 ∵ ∠1 =∠3

∴ 180°－∠1 =180°－ ∠3 即：∠2 =∠4 8、探究余角的性质：

2

1

4

3

O D

C

B

A

2

1如图∠1 与∠2互余，∠３ 与∠４互余 ，如果∠1＝∠３，那么∠2与∠４相等吗？为什么？

教师活动：操作多媒体演示。

学生活动：观察图形的运动，得出结果：∠2=∠４ 余角性质：同角或等角的余角相等

教师活动：向学生说明，以上从观察图形得到的结论，还能够从理论上说明其理由。

∵ ∠1 +∠2=90°， ∠3 +∠4=90° ∴ ∠2=90°－∠1 ， ∠4=90°－ ∠3 ∵ ∠1 =∠3

∴ 90°－∠1 =90°－ ∠3 即：∠2 =∠4 9、讲解例题：

例2：如图,∠AOB=90°,∠COD=∠EOD=90°,C,O,E 在一条直线上,且∠2=∠4,请说出∠1与∠3之间的关系？并试着说明理由？

解：∠1=∠3

∵ ∠1+∠2= ∠COD=90° ∠3+∠2= ∠AOB=90° ∴ ∠1=∠3 (等角的余角相等) 10、练习⑷：

如图∠AOB = 90 °,∠COD = 90 °则∠1与∠2是什么关系？

三、课堂小结：

本节课学习了余角和补角，并通过简单的推理，得到出了余角和补角的性质。

4.3.3-余角与补角导学案

课题 余角和补角 【学习目标】： 1、理解余角与补角的定义，理解一个角的余角与补角。 2、能熟练求出一个角的余角和补角。 【学习过程】： 一、知识链接（预习课本137面） 1、在一副三角板中同一块三角板的两个锐角和等于 度。 2、若∠1=65°,∠2=25°，则∠1+∠2= 。 3、如图，已知点A 、O 、B 在一直线上 ，∠COD=90°，那么∠1+∠2= 。 4、若∠1=115°，∠2=65°,则∠1+∠2= 5、如图，已知点A 、O 、B 在一直线上 ，∠AOC=150°，那么∠BOC= . 二、探究新知 归纳： 1、余角的定义 如果 个角的和等于 ，就说这 个角 余角，简称 。其中一个角是另一个角的 。即 如果∠α+∠β= ，那么∠α和∠β互为 。 反之：如果∠α与∠β互为 角，那么∠α+∠β= . 想一想：互余的两角一定是锐角吗？ 2、补角的定义 如果 个角的和等于 ，就说这 个角 补角，简称 。其中一个角是另一个角的 。即 如果∠α+∠β= ，那么∠α和∠β互为 。 反之：如果∠α与∠β互为 角，那么∠α+∠β= . 三、预习反馈 90D C O A B 1 2 B O A C

1、图中给出的各角，那些互为余角？ 2、图中给出的各角，那些互为补角？ 3、完成下表： ∠α45°64°25′x (0°﹤x﹤90°) ∠α的余角53°15.6° ∠α的补角96°17′72° 想一想：同一个角的补角与它的余角之间有怎样的数量关系？ 四、典例讲解

例题1、若一个角的补角等于它的余角的4 倍，求这个角的度数。 例题2、如图，A，O，B在同一直线上,射线OD和射线OE分别平分∠AOC和∠BOC，图中哪些角互为余角？ 三、巩固测评 1、52°24′的余角是，补角是． 2、若一个角的余角等于它本身，则这个角的度数为； 3、一个角的补角是0 130，则这个角的余角是度． 4、一个角的余角比这个角的补角的1/3还小10°，求这个角的余角及这个角的补角的度数. 四、总结反思 谈谈你在本节课中的收获与体会。

初一数学上册《 余角和补角》

余角和补角 尊敬的各位领导、各位评委： 大家好！ 我今天说课的课题是人教版义务教育课程标准实验教科书七年级数学上册第四章第三节《余角和补角》第一课时。下面我从：教材分析、教法与学法及教学手段、教学书设计四部分来说这一节课，其中，教学过程分为：设置问题，以趣激情；以旧探新，引出课题；初步应用，巩固新知；范例教学，练习反馈；知识整理，归纳小结和作业布置六部分。 1、说教材的地位和作用 《图形的初步知识》这一章节是学生进入平面几何大厦的“门槛”。《余角和补角》是《图形的初步知识》的重要组成部分，从线段的概念引出射线的概念进而引入角的概念，在认识了直角、平角，比较角的大小后，就引进了余角、补角的概念及性质;是实验几何逐渐向证明几何的过渡，为以后证明角的相等作铺垫，也是为培养和发展学生的逻辑思维能力、观察分析能力、演绎归纳能力打基础。 2、说教学目标 （1）教学目标 根据上述教学内容的地位和作用以及初一学生现有认知水平确定，我制定如下教学目标： 知识目标：在具体情境中了解余角与补角，理解余角与补角的性质，通过练习掌握其概念及性质，并能运用他们解决一些简单实际问题。 能力目标：经历、观察、操作，探究等过程，发展学生几何概念，培养学生推理能力和表达能力。 情感目标：培养学生乐于探究、合作的习惯，体验探索成功，感受到成功的乐趣，进一步体会“数学就在我的身边”，增强学生用数学解决实际问题的意识。

（2）教学重点和难点 重点：余角和补角的概念教学时可运用文字语言、图形语言、符号语言三结合的训练方法强调概念的本质特征，突出教学重点。难点：关于余角和补角应用常常需要说理，或综合运用代数知识，特别是用代数的方法来计算角的度数，由于学生缺乏经验，是教学中的难点。可通过由浅入深、讨论比较、归纳小结等方法及变化训练突破上述难点。3、说教法 （1）教法分析建构主义教学理论认为：“知识是不能为教师所传授的，而只能为学习者所构建．”也就是说，教学过程不只是知识的（传）授——（接）受过程，也不是机械的告诉与被告诉的过程，而是一个学习者主动学习的过程．因而，考虑到学生的认知水平，本节通过师生之间的相互探讨和交流进行教学，即以探究研讨法为主，结合讲练结合法、谈话法等展开教学．为让学生体验概念产生的过程；以及概念的形成和同化相结合，促进学生对概念的理解；同时让学生主动暴露思维过程，及时得到信息的反馈。我采用对比、类比、尝试教学，让学生始终处于主动学习的状态，课堂上教师起主导作用，让学生有充分的思考机会，使课堂气氛活泼，有新鲜感。 （2）学法指导 根据新课程标准理念，学生是学习的主体，教师只是学习的帮助者，引导者．考虑到这节课主要通过老师的引导让学生自己发现规律，在自己的发现中学到知识，提高能力，我主要引导学生自己观察、归纳，采用自主探究的方法进行学习，并使学生从中体会学习的乐趣。 （3）教学手段 采用多媒体辅助教学，增加课堂容量，提高教学效果。 4.、说设计： 一、导入设计 由数字入手向学生提问：90°和180°在几何中表示哪两个角的度数?然后请学生画出这两个角。并与书上合作学习作比较得出课题。

新人教版七年级上学期数学4.3.3余角和补角学案

新人教版七年级上学期数学4.3.3余角和补角学案 学习目标 1、在具体的现实情境中，认识一个角的余角和补角，掌握余角和补角的性质。 2、了解方位角，能确定具体物体的方位。 学习内容 基本要求 1.体现学习的主要内容（重视基础）； 2.设计典型例题； 3.精选配套练习； 4.高质课堂达标检测。 学习的主要内容学习笔记一、自主预习 阅读教材第137页内容，思考并回答下面的问题 1、_________________________________，____________互为余角 _________________________________，____________互为补角。 2、（1）认识方位：请在括号内填上方位（正东、正南、正西、正北、东南、 西南、西北、东北）。 （2）找方位角： 在下图中画出北偏东78°，北偏西32°，南偏东50°，南偏西25°。 二、探究学习 【探究一】 1、探究互为余角的定义： 如果两个角的和是________或_______，那么这两个角叫做___________，其 中一个角是另一个角的________。即:∠1是∠2的余角或∠2是∠1的余角。 2、探究互为补角的定义： 如果两个角的和是________或_________，那么这两个角叫做___________， 其中一个角是另一个角的______。即:∠3是∠4的补角或∠4是∠3的补角。 【探究二】探究余角和补角的性质：． 1、如图∠1 与∠2互补，∠３与∠４互补，如果∠1＝∠３,那么∠2与∠

４相等吗？为什么？ 补角性质：_________________________________________________。 2、如图∠1 与∠2互余，∠３与∠４互余，如果∠1＝∠３，那么∠2与 ∠４相等吗？为什么？ 余角性质：___________________________________________________ 三、巩固练习： 70°的余角是，补角是。 锐角的余角是____________, 补角是_____________. 四、本课小结 本课，我们学习了余角、补角定义，以及余角、补角的性质。 课堂达标检测 1．如果∠α＝n°,而∠α既有余角,也有补角,那么n的取值范围是（）A．90°＜n＜180° B．0°＜n＜90° C．n＝90° D．n＝180°2．一个角的余角与它的补角互为补角，这个角是（） A．60o B．45o C．90o D．75o 3．A看B的方向是北偏东21°，那么B看A的方向（）A:南偏东69° B:南偏西69° C:南偏东21° D:南偏西21°4．在点O 北偏西60°的某处有一点A，在点O南偏西20°的某处有一点B，则∠AOB的度数是（） A:100° B:70° C:180° D:140° 5．互为余角的两个角的度数比是1:2，则这两个角分别是____________. 6．一个角的余角比它的补角的2 9 多1o，则这个角是________

河南省项城一中七年级数学 2.1《余角与补角》学案(无答案) 北师大版

课题：2.1余角与补角 学习目标： 1．在具体情境中了解余角与补角，知道余角和补角的性质，通过练习掌握 余角和补角的概念及性质，并能运用它们解决一些简单的实际问题。 2．经历观察、操作、推理、交流等活动，进一步发展空间观念、推理能力和有条理地表达的能力；经历探索余角、补角、对顶角的性质的过程。 3．通过学生动手操作、观察、合作、交流，进一步感受学习数学的意义，培养其主动探索、合作以及解决问题的能力。 学习重点：了解补角、余角、对顶角的概念及其性质并能够进行简单的应用。 学习难点：掌握余角和补角的概念及性质，并能运用它们解决一些简单的实际问题。并进行简单地说理。 一、参照教材p59光的反射实验提出下列问题： （1）、 说出图中各角与∠3的关系。 （2）、图中还有哪些角互补？哪些角互余？ （3）、 图中都有哪些角相等？由此你能够得到什么样的结论？ 二、 合作交流 1、剪子的实验 （1）用剪子剪东西时，哪对角同时变大或变小？你能说明理由吗？ （2）你能发现这样的两个角有怎样的位置关系吗？ （3）在图2中，还有相等的角吗？这几组相等的角在位置上有什么样的关系， 你能试着描述一下吗？ 2.填表 想一想：同一个角的补角与它的余角之间有怎样的数量关系？ 3.已知3组角： ∠α的 度数 ∠α的 余角 ∠α的 补角 0500450 120(0＜n ＜90) 0n 010035010

A 组 B 组 C 组 （1）对A 组中的每一个角，在B 组中找出它的补角，并用线连接； （2）B 组中有哪些角的余角在C 组中？分别找出这些角，并用线连接。 4.判断： （1）90°的角叫余角，180°的角叫补角。 （ ） （2）如果∠1+ ∠ 2 +∠3=180 ° ，那么∠1、 ∠ 2与∠3互补。（ ） （4）∠1+∠2=90°，则∠1是余角 （ ） （5）∠1+∠2+∠3=90°，则∠1、∠2、∠3互为余角。（ ） （6）如果一个角有补角，那么这个角一定是钝角。 （ ） （7）钝角没有余角，但一定有补角。 （ ） 5、如果∠1、∠2互余可得 。∠3与∠2互余，可得到 。 如果∠1与∠3都是∠2的余角，那么∠1与∠3有什么关系？ 如果∠4与∠5互补，可得 。∠6与∠5互补可得 。 如果∠4与∠6都是∠5的补角，那么∠4与∠6有什么关系？ 6、通过问题1，你能总结概括出同角的余角、同角的补角的关系吗？并试着举例说明等角的余角、等角的补角的关系。 6、已知∠α=50017'，求∠α的余角和补角。（注意做题格式） 三、学以致用 回答下列问题 1．你能举出生活中包含对顶角的例子吗？ 2．下图中有对顶角吗？若有，请指出，若没有，请说明理由。 3．议一议：如上图所示，有一个破损的扇形零件，利用图中的量角器可以量出这个形零件的圆心角的度数吗？你能说出所量角是多少度吗？你的根据是 什么？ 四、当堂小测 1.如果一个角是30?，那么它的余角是_____度． 2.已知∠1=200,∠2=300,∠3=600,∠4=1500,则∠2是___ 的余角,___ _是∠4的补角. 3.如果∠α=39°31′,∠α的余角∠β =__ __,∠α的补角=__ __,∠α-∠β=___ . 4.若∠1+∠2=90°,∠3+∠2=90°,∠1=40°,则∠3=_ _°,依据是_______ __. 5.一个角的补角是130?，则这个角的余角是_____度． 0550750100014508001050125 01700150350550115

(完整版)余角、补角、对顶角的概念和习题答案

余角和补角和对顶角 余角： 如果两个角的和是一个直角,那么称这两个角互为余角,简称互余,也可以说其中一个角是另一个角的余角。 ∠A +∠C=90°,∠A= 90°-∠C ,∠C的余角=90°-∠C 即:∠A的余角=90°-∠A 补角： 如果两个角的和是一个平角，那么这两个角叫互为补角．其中一个角叫做另一个角的补角 ∠A +∠C=180°,∠A= 180°-∠C ,∠C的补角=180°-∠C 即:∠A的补角=180°-∠A 对顶角： 一个角的两边分别是另一个角的反向延长线，这两个角是对顶角。两条直线相交后所得的只有一个公共顶点且两个角的两边互为反向延长线，这样的两个角叫做互为对顶角。 两条直线相交,构成两对对顶角。对顶角相等.对顶角与对顶角相等. 对顶角是对两个具有特殊位置的角的名称; 对顶角相等反映的是两个角间的大小关系。 补角的性质： 同角的补角相等。比如：∠A+∠B=180°,∠A+∠C=180°,则：∠C=∠B。 等角的补角相等。比如：∠A+∠B=180°,∠D+∠C=180°,∠A=∠D则：∠C=∠B。 余角的性质： 同角的余角相等。比如：∠A+∠B=90°,∠A+∠C=90°,则：∠C=∠B。 等角的余角相等。比如：∠A+∠B=90°,∠D+∠C=90°,∠A=∠D则：∠C=∠B。 注意： ①钝角没有余角； ②互为余角、补角是两个角之间的关系。如∠A+∠B+∠C=90°，不能说∠A、∠B、∠C互余；同样：如∠A+∠B+∠C=180°，不能说∠A、∠B、∠C互为补角； ③互为余角、补角只与角的度数相关，与角的位置无关。只要它们的度数之和等于90°或180°，就一定互为余角或补角。 余角与补角概念认识提示： （1）定义中的“互为”一词如何理解？ 如果∠1与∠2互余，那么∠1的余角是∠2 ，同样∠2的余角是∠1 ；如果∠1与∠2互补，那么∠1的补角是∠2 ，同样∠2的补角是∠1。 （2）互余、互补的两角是否一定有公共顶点或公共边？ 两角互余或互补，只与角的度数有关，与位置无关。 （3）∠1 + ∠2 + ∠3 = 90°（180°）,能说∠1 、∠2、∠3 互余（互补）吗？ 不能，互余或互补是两个角之间的数量关系。

数学：4.3.3《余角和补角(1)》学案(人教版七年级上)

数学：4.3.3《余角和补角（1）》学案（人教版七年级上） 【学习目标】在具体的现实情境中，认识一个角的余角和补角；文档设计者： 设计时间 ： 文档类型： 文库精品文档，欢迎下载使用。Word 精品文档，可以编辑修改，放心下载 【重点难点】正确求出一个角的余角和补角。 【导学指导】 一、知识链接 思考： （1） 在一副三角板中同一块三角板的两个锐角和等于多少度？ （2） 如图1，已知∠1=61°，∠2=29°，那么∠1+∠2= 。 （3） 如 图 2，已知点A 、O 、B 在一直线上 ，∠COD=90°，那么∠1+∠2= 。 二、自主探究 1.互为余角的定义： 思考： （1） 如图3，已知∠1=62°,∠2=118°,那么 ∠1+∠2＝ （2） 如图4，A 、O 、B 在同一直线上，∠1+∠2= 2 图 1 90° 1 2 图 2 1 2 1 2 C O D

O E D C B A 2.互为补角的定义： 问题1：以上定义中的“互为”是什么意思？ 问题2：若 ∠1+∠2 +∠3 =180° ，那么∠1、∠2、∠3互为补角吗？ 3.新知应用： 例1:若一个角的补角等于它的余角4倍，求这个角的度数。 例2：如图，∠AOC ＝∠COB ＝90°，∠DOE ＝90°，A 、O 、B 三点在一直线上 （1）写出∠COE 的余角，∠AOE 的补角； （2）找出图中一对相等的角，并说明理由； 【课堂练习】： 课本141页练习1、2、3； 【要点归纳】： 【拓展训练】：

1、一个角的余角比它的补角的 3 1还少?20，求这个角的度数。 2、若α∠和β∠互余，且α∠：β∠=7：2，求α∠、β∠的度数。 【总结反思】： 可以编辑的试卷（可以删除）

数学-初一-《余角和补角——方位角》教案.doc

数学-初一-《余角和补角——方位角》教案.doc

余角和补角（2）-----方位角教学设计 广州市番禺区南村中学董海燕课题 名称 余角和补角（2）-----方位角 科 目 数学年级七年级 教学 时间 1课时（40分钟） 教学目标： 认知 目标： 能理解方位角的意义及其在生 活中的作用。 能力 目标： （1）通过现实情境，充分利用 学生的生活经验去体会方位角 的意义； （2）在与其他人交流的过程 中，能合理清晰地表达自己的思 维过程； 情感 目标： （1）通过创设问题情境，让学 生主动参与，激发学生学习的热 情和兴趣，激活学生思维。 （2）在与他人的合作过程中， 增强互相帮助、团结协作的精 神。 教学用方位角来表示方向及利用方位角解

重点、决相关实际问题 教学 难点 利用量角器、直尺画图表示方向 教学准备教学设计、学案、多媒体课件、量角器（两把）、直尺 教学过程设计理 念 环节一：新课引入问题1：南村的七星岗公园大家去过吗？ 问题1：南村侨联中学在七星岗公园的哪个方向？ （学生答：西北） 问题2：南村小学在七星岗公园的哪个方向？ （学生答：西北） 问题3：大家都是西北方向，怎样才能准确地确定 他们的方向呢？我们今天学习的内容会帮我们解 决这个问题。 联系生活实 际，结合数学 知识特点，挖 掘学生身边 的课程资源， 组合适合学 生特点的学 习材料，有效 地激发学生 的求知欲。通 过学生生活 相关的问题， 侨联中学和 南村小学在 七星岗公园 的哪个方向 来引入，使学 生感觉到有 趣。通过此问 题情境引出 本节课题，激 发学生的探 究欲望。 环节二：新课讲授 回顾旧知： 1、认识方位坐标 在黑板上画好一 个没有标出 1、在黑板上 画好一个没 有标出“东南 西北”的方位 坐标，让学生 回顾旧知“上

九年级数学上册-解直角三角形及其应用第3课时方位角与方向角坡度与坡角2坡度与斜率问题教案沪科版

23.2 解直角三角形及其应用 第3课时方位角与方向角、坡度与坡角 2.坡度与斜率问题 【知识与技能】 1.了解测量中坡度、坡角的概念； 2.掌握坡度与坡角的关系,能利用解直角三角形的知识,解决与坡度有关的实际问题. 【过程与方法】 通过对例题的学习,使学生能够利用所学知识解决实际问题. 【情感态度】 进一步培养学生把实际问题转化为数学问题的能力. 【教学重点】 能利用解直角三角形的知识,解决与坡度、与弧长有关的实际问题. 【教学难点】 能利用解直角三角形的知识,解决与坡度的有关的实际问题. 一、情景导入,初步认知 在本章第一节的内容中,我们对坡度的有关知识有了一定的了解.本节课我们继续学习与坡度有关的计算. 【教学说明】 引入新课,告诉学生本节课所学习的内容. 二、思考探究,获取新知 如图:铁路路基的横断面是四边形ABCD,AD∥BC,路基顶宽BC=9.8m,路基高BE=5.8m,斜坡AB的坡度i=1∶1.6,斜坡CD的坡度i=1∶2.5,求铁路路基下底宽AD的值（精确到0.1m)与斜坡的坡角α和β（精确到1°）的值. 解:过点C作CF⊥AD于点F,得 CF=BE,EF=BC,∠A=α,∠D=β

∴AE=1.6×5.8=9.28m, DF=2.5×5.8=14.5m, ∴AD=AE+EF+DF=9.28+9.8+14.5≈33.6m. 由tanα=1/1.6, tanβ=1/2.5,得 α≈32°,β=22° 答:铁路路基下底宽33.6m,斜坡的坡角分别为32°和22°. 【教学说明】 教师引导学生分析题目中的已知条件分别代表的是什么,将图形中的信息转化为图形中的已知条件,再分析图形求出问题. 三、运用新知,深化理解 1.教材P130例7. 2.如图,在山坡上种树,要求株距(相邻两树间的水平距离)是5.5m,测得斜坡的倾斜角是24°,求斜坡上相邻两树的坡面距离(精确到0.1m). 【分析】 引导学生将实际问题转化为数学问题画出图形.已知:在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=5.5米,∠A=24°,求AB. 答:斜坡上相邻两树间的坡面距离约是6.0米. 3.同学们,如果你是修建三峡大坝的工程师,现在有这样一个问题请你解决:如图水库大坝的横断面是梯形,坝顶宽6m,坝高23m,斜坡AB的坡度i=1∶3,斜坡CD的坡度i=1∶2.5,求斜坡AB的坡面角α,坝底宽AD和斜坡AB的长(精确到0.1m).

余角,补角概念

余角与补角教学设计 教学目标 1、通过现实情境，掌握余角和补角的概念； 2、使学生能用简单的代数思想——方程思想来处理图形的数量关系； 3、培养学生的识图能力、发展空间观念和知识运用能力，进一步感受学习数学的意义。 教学重点 认识角的互余、互补关系 教学难点认识角的互余、互补关系 学情分析 本节内容是《4.3角》这一节中的第三节，在前面知识的学习过程中，学生已经经历了一些探索、发现的数学活动，积累了初步的数学活动经验。具备了一定的图形认识能力和借助图形分析和解决问题的能力，同时在以前的数学学习中学生已经经历了很多合作学习的过程，具有了一定的合作学习的经验，具备了一定的合作与交流的能力。我校学生学习基础比较薄弱，识图能力较差，基于以上原因，为更好的使学生理解余角和补角的概念，并为下一节性质作铺垫，特制定此教学内容。 学法指导 通过学生动脑想，勤钻研，主动地学习，增加学生主动参与的机会，增加学生的参与意识，教给学生获取知识的途径，思考问题的方法。 教学过程 教学内容教师活动学生活动效果预测（可能出现的问题）补救措施w 修改意见 一、创设情境，引入新课： 二、新课： 三、巩固练习 四、课堂小结 五、作业布置 1、让学生观察意大利著名建筑比萨斜塔。 比萨斜塔建于1173年，工程曾间断了两次很长的时间，历经约二百年才完工。设计为垂直建造，但是在工程开始后不久便由于地基不均匀和土层松软而倾斜。提出问题：图中∠1与∠2、∠3与∠4有什么关系？ 2、引出课题并板书：余角与补角 （一）、探究互余的定义： 1、操作多媒体演示。

引导观察图形的运动，得出结果：∠1+∠2=90° 2、定义：如果两个角的和等于90°（直角），就说这两个角互为余角. 简称互余。 其中一个角是另一个角的余角。 （二）、探究互为补角的定义： 1、操作多媒体演示。 引导观察图形的运动，得出结果：∠3+∠４=180°。 2、定义：如果两个角的和等于180°（平角），就说这两个角互为补角. 简称互补。 其中一个角是另一个角的补角。 （三）、练习（课件出示） 1、帮∠α找朋友。 小结1：互为余角、互为补角主要反映两个角之间的数量关系，与角的位置无关。 2、一个角的补角是它的余角的4倍，求这个角的余角是多少度？ 3、如图两堵墙围一个角∠AOB ，但人不能进入围墙，我们如何去测量这个角的大小呢？ (四)、延伸（课件演示） 1 、等角的余角之间的关系 2、等角的补角之间的关系 课件出示巩固练习3小题，引导学生完成。 学生完成后引导评议 1、这节课我们主要学习了什么？（课件展示，引导小结） P139习题第6题学生观察意大利著名建筑比萨斜塔。 思考提出的问题。 观察图形的运动，得出结果：∠1+∠2=90° 引导观察图形的运动，得出结果：∠3+∠４=180° 完成老师课件出示的练习题：先独立思考后小组交流 引导观察图形，得出： 1、等角的余角相等 2、等角的补角之间的关系相等 完成老师课件出示巩固练习3小题。 后交流评价

新人教版初中数学七年级上册《第四章几何图形初步：4.3.3余角和补角(方位角)》赛课教案_2

80? 65? 46?44? 25? 10? 170? 120? 100? 150? 80? 10? 30? 60? 4.3.3余角和补角 学习目标 1、在具体的现实情境中，认识一个角的余角和补角，掌握余角和补角的性质。 2、进一步提高抽象概括能力，发展空间观念和知识运用能力，学会简单的逻辑推理，并能对问题的结论进行合理的猜想。 3、体会观察、归纳、推理对数学知识中获取数学猜想和论证的重要作用，初步体会数学中推理的严谨性和结论的确定性，能在独立思考和小组交流中获益。 学习重点：认识角的互余、互补关系及其性质，确定方位是本节课的重点。 学习难点：通过简单的推理，归纳出余角、补角的性质，并能用规范的语言描述性质是难点。 学习方法：探究、归纳与练习相结合 学习过程： 一、探索新知： 1、结合教材理解互为余角的定义： 如果两个角的和是90°(直角)，那么这两个角叫做互为余角，其中一个角是另一个角的余角。即:∠1是∠2的余角或∠2是∠1的余角。 2、理解应用⑴： 图中给出的各角，那些互为余角？ 3、结合教材理解互为补角的定义： 如果两个角的和是180°(平角)，那么这两个角叫做互为补角，其中一个角是另一个角的补角。即:∠3是∠4的补角或∠4是∠3的补角。 4、理解应用⑵： （1）图中给出的各角，那些互为补角？ （2）填下列表：

2 14 3 （3）填空： ①70°的余角是，补角是。 ②∠α（∠α <90°）的它的余角是，它的补角是。 重要提醒：ⅰ如何表示一个角的余角和补角 锐角∠α的余角是（90 °—∠α） ∠α的补角是（180 °—∠α） ⅱ互余和互补是两个角的数量关系，与它们的位置无关。 5、探究补角(余角)的性质： 如图∠1 与∠2互补，∠３与∠４互补，如果∠1＝∠３,那么∠2与∠４相等吗？为什么？归纳结论。 补角性质： 根据补角的性质你能否归纳余角的性质？ 二、尝试应用 （一）、判断题：1、90度的角叫余角，180度的角叫补角。（） 2.如果一个角有补角，那么这个角一定是钝角。（） 3、互补的两个角不可能相等。（） 4、钝角没有余角，但一定有补角。（） 5、互余的两个角一定都是锐角，两个锐角一定互余.（）

坡度和方位角问题(第课时)

第2课时坡度和方位角问题 【知识与技能】 1.了解测量中坡度、坡角的概念； 2.掌握坡度与坡角的关系，能利用解直角三角形的知识，解决与坡度、与弧长的有关实际问题. 【过程与方法】 通过对例题的学习，使学生能够利用所学知识解决实际问题. 【情感态度】 进一步培养学生把实际问题转化为数学问题的能力. 【教学重点】 能利用解直角三角形的知识，解决与坡度、与弧长有关的实际问题. 【教学难点】 能利用解直角三角形的知识，解决与坡度、与弧长的有关实际问题. 一、情景导入，初步认知 如图所示，斜坡AB和斜坡A1B1，哪一个倾斜程度比较大?显然，斜坡A1B1 ＞∠A. 的倾斜程度比较大，说明∠A 1

＞tanA. 即tanA 1 【教学说明】通过实际问题的引入，提高学生学习的兴趣. 二、思考探究，获取新知 1．坡度的概念，坡度与坡角的关系. 如上图，这是一张水库拦水坝的横断面的设计图，坡面的铅垂高度与水平前进的距离的比叫作坡度(或坡比)，记作i，即i＝AC/BC，坡度通常用l∶m的形式，例如上图中的1∶2的形式.坡面与水平面的夹角叫作坡角，记作α.从三角函数的概念可以知道，坡度与坡角的关系是i＝tanB，显然，坡度越大，坡角越大，坡面就越陡. 2.如图，一山坡的坡度为i＝1∶2,小刚从山脚A出发，沿山坡向上走了240米到达点C，这座山坡的坡角是多少度？小刚上升了多少米？（角度精确到0.01°，长度精确到0.1米）

3.如图，一艘船以40km/h的速度向正东航行，在A处测得灯塔C在北偏东60°方向上，继续航行1h到达B处，这时测得灯塔C在北偏东30°方向上，已知在灯塔C的四周30km内有暗礁.问这艘船继续向东航行是否安全？ 【教学说明】教师引导学生分析题目中的已知条件分别代表的是什么，将图形中的信息转化为图形中的已知条件，再分析图形求出问题.学生独立完成. 三、运用新知，深化理解 1.如图，在山坡上种树，要求株距(相邻两树间的水平距离)是5.5m，测得斜坡的倾斜角是24°，求斜坡上相邻两树的坡面距离是多少(精确到0.1m)． 分析：引导学生将实际问题转化为数学问题画出图形． 解：已知：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=5.5，∠A=24°，求AB． 在Rt△ABC中，cosA=AC/AB, ∴AB=AC/cosA=5.5/0.9135≈6.0（米） 答：斜坡上相邻两树间的坡面距离约是6.0米．

2[1][1].1余角与补角导学案

七年级（下）数学导学案 课题：2、1 《余角与补角》制作人：审核：时间： 一、学习目标： 1、学会余角、补角的定义 2、三种角的性质： 1、等角（同角）的余角相等。2、等角（同角）的补角相等。 3、会用上述知识解决相关问题。 重难点： 重点：互余、互补定义及它们的性质。 难点：用上述知识解决相关问题。 二、前置准备： 自学课本p59的内容： ①如果两个角的和等于（），就说这两个角互为余角。符号语言：如果∠α+ ∠β= ，那么∠α和∠β互为。反之：如果∠α与∠β互为余角，那么∠α+∠β= 。 ②如果两个角的和等于（），就说这两个角互为补角。 符号语言：如果∠α+∠β= ，那么∠α和∠β互为。 反之：如果∠α与∠β互为补角，那么∠α+∠β= 。 自主探究：独立完成后小组内交流 1.填表： 想一想：同一个角的补角与它的余角之间有怎样的数量关系？ 2.已知3组角： A 组 B组 C组 （1）对A组中的每一个角，在B组中找出它的补角，并用线连接； （2）B组中有哪些角的余角在C组中？分别找出这些角，并用线连接。 3.判断： （1）90°的角叫余角，180°的角叫补角。（） （2）如果∠1+ ∠ 2 +∠3=180 °，那么∠1、∠ 2与∠3互补。（） （4）∠1+∠2=90°，则∠1是余角（） （5）∠1+∠2+∠3=90°，则∠1、∠2、∠3互为余角。（） （6）如果一个角有补角，那么这个角一定是钝角。（） （7）钝角没有余角，但一定有补角。（） 4、如果∠1、∠2互余可得。∠3与∠2互余，可得到。 如果∠1与∠3都是∠2的余角，那么∠1与∠3有什么关系？。 如果∠4与∠5互补，可得。∠6与∠5互补可得。 如果∠4与∠6都是∠5的补角，那么∠4与∠6有什么关系？。 5、通过问题1，你能总结概括出同角的余角、同角的补角的关系吗？并试着举例说明等角的余角、等角的补角的关系。 6、已知∠α=50017'，求∠α的余角和补角。（注意做题格式） 三、拓展提高能力提升 1.如果一个角是30?，那么它的余角是_____度． 2.已知∠1=200,∠2=300,∠3=600,∠4=1500,则∠2是___ 的余角,___ _是∠4的补角. 3.如果∠α=39°31′,∠α的余角∠β =__ __,∠α的补角=__ __,∠α-∠β=___ . 4.若∠1+∠2=90°,∠3+∠2=90°,∠1=40°,则∠3=_ _°,依据是_______ __. 5.一个角的补角是130?，则这个角的余角是_____度． 6.下列说法中错误的是（） A．两个互余的角都是锐角 B．钝角的平分线把钝角分为两个锐角 C．互为补角的两个角不可能都是钝角 D．两个锐角的和必定是直角或钝角 7.如果90 αβ ∠+∠=?，而β ∠与γ ∠互余，那么α ∠与γ ∠的关系是（）A．互余 B．互补 C．相等 D．不能确定 8、一个锐角和它的余角之比是5∶4，那么这个锐角的补角的度数是：（） A．100?B．120?C．130?D．140? 9．一个角的余角比它的补角的少40°,求这个角的度数. 10.互为余角的两个角的比是1：2，则这两个角分别是多少？ ∠α的度数∠α的余角∠α的补角 50 45 120 (0＜n＜90) n 0 10 0 55 0 75 0 100 0 145 35 80 105 125 170 10 15 35 55 115

余角和补角 优秀教案

80? 65? 46? 44? 25? 10? 余角和补角 【教学目标】 1．知识与技能： （1）在具体的现实情境中，认识一个角的余角和补角，掌握余角和补角的性质。 （2）了解方位角，能确定具体物体的方位。 2．过程与方法： 进一步提高学生的抽象概括能力，发展空间观念和知识运用能力，学会简单的逻辑推理，并能对问题的结论进行合理的猜想。 3．情感态度与价值观： 体会观察、归纳、推理对数学知识中获取数学猜想和论证的重要作用，初步数学中推理的严谨性和结论的确定性，能在独立思考和小组交流中获益。 【教学重难点】 1．重点：认识角的互余、互补关系及其性质，确定方位是本节课的重点。 2．难点：通过简单的推理，归纳出余角、补角的性质，并能用规范的语言描述性质是难点。 【教学过程】 一、引入新课： 让学生观察意大利著名建筑比萨斜塔。 比萨斜塔建于1173年，工程曾间断了两次很长的时间，历经约二百年才完工。设计为垂直建造，但是在工程开始后不久便由于地基不均匀和土层松软而倾斜。 二、新课讲解： 1．探究互为余角的定义： 如果两个角的和是90°(直角)，那么这两个角叫做互为余角，其中一个角是另一个角的余角。即：∠1是∠2的余角或∠2是∠1的余角。 2．练习（1）： 图中给出的各角，那些互为余角？

170? 120? 100? 150? 80? 10? 30? 60? 3．探究互为补角的定义： 如果两个角的和是180°(平角)，那么这两个角叫做互为补角，其中一个角是另一个角的补角。即：∠3是∠4的补角或∠4是∠3的补角。 4．练习（2）： （1）图中给出的各角，那些互为补角？ 结论：同一个锐角的补角比它的余角大90°。 （3）填空： ①70°的余角是 ，补角是 。 ②∠α（∠α <90°）的它的余角是 ，它的补角是 。 重要提醒： ⅰ(如何表示一个角的余角和补角) 锐角∠α的余角是（90°—∠ α ） ∠α的补角是（180°—∠ α ） ⅱ互余和互补是两个角的数量关系，与它们的位置无关。 5．讲解例题： 例1：若一个角的补角等于它的余角4倍，求这个角的度数。 解：设这个角是x °，则它的补角是（ 180°－x °），余角是(90°－x °) 。

华师大版-数学-七年级上册-学案：余角和补角

余角与补角 学习目标： 1、学会余角、补角的定义。 2、两种角的性质： 等角（同角）的余角相等 等角（同角）的补角相等 3、会用上述知识解决相关问题。 重点：互余、互补的定义及性质。 难点：余角、补角的性质及运用。 课堂预习 探究一、互余和互补 如果两个角的和等于 （ ），就说这两个角互为余角。 符号语言：如果∠α+∠β= _________ ，那么∠α和∠β互为 ________ 。 反之：如果∠α与∠β互为余角，那么∠α+∠β= _________。 如果两个角的和等于 （ ），就说这两个角互为补角。 符号语言：如果∠α+∠β= _________，那么∠α和∠β互为 _________ 。 反之：如果∠α与∠β互为补角，那么∠α+∠β= _____________。 练习： 1.课本P153习题7. ； 2.在一副三角板中同一块三角板的两个锐角和等于 _________度 探究二、同角（或等角）的余角相等，同角（或等角）的补角相等 填写上表，想一想：同一个角的余角和它的补角有什么关系：

探究三、例题 已知'1750?=∠α，求α∠的余角和补角。 二、课堂检测 1、如果9031,9021=∠+∠?=∠+∠，则32∠∠与的关系是 ， 理由是 ____________________； 2、A 看B 的方向是北偏东21°，那么B 看A 的方向（ ） A.南偏东69° B.南偏西69° C.南偏东21° D.南偏西21° 如图，∠AOB ＝∠COD ＝90o，那么∠AOC ＝∠BOD ，其理由是（ ） A.互为余角的两个角相等 B.直角相等 C.同角的余角相等 D.同角的补角相等 4、下列说法中错误的是（ ） A.两个互余的角都是锐角 B.钝角的平分线把钝角分为两个锐角 C.互为补角的两个角不可能都是钝角 D.两个锐角的和必定是直角或钝角 5、如果90αβ∠+∠=?，而β∠与γ∠互余，那么α∠与γ∠的关系是（ ） A.互余 B.互补 C.相等 D.不能确定 6、一个锐角和它的余角之比是5∶4，那么这个锐角的补角的度数是：（ ） A.100? B.120? C.130? D.140? 7、如图，∠AOB=90°，∠COD=∠EOD=90°，C.O 、E 在一条直线上，且∠2=∠4， 请说出∠1与∠3之间的关系？并试着说明理由？ 解： 4 321D B A C

人教版七年级上册数学学案：4.3.3 余角和补角

100?150?80? 10? 30? 60? 4．3．3余角和补角 执笔人：审核人： 一、学习目标 1、余角和补角的定义； 2、掌握余角和补角的性质，并能够运用余角补角 3、了解方位角，能确定具体物体的方位 二、重点：认识角的互余、互补关系及其性质，确定方位是本节课的重点 难点：通过简单的推理，归纳出余角、补角的性质，并能用规范的语言描述性质 三、学法指导： 了解推理的意义和推理过程 四、教学过程 1、了解概念原理 （1）什么是余角？ （2）什么是补角？ （3）余角的性质 （4）补角的性质 2、探究原理 （1）、探究互为余角的定义： 如果两个角的和是90°(直角)，那么这两个角叫做互为余角，其中一个角是另一个角的余角。即:∠1是∠2的余角或∠2是∠1的余角。 练习：图中给出的各角，那些互为余角？ （2）、探究互为补角的定义： 如果两个角的和是180°(平角)，那么这两个角叫做互为补角，其中一个角是另一个角的补角。即:∠3是∠4的补角或∠4是∠3的补角。 练习：1）图中给出的各角，那些互为补角？ 170? 120?

2 1 4 3 2 1 4 3 （3）探究补角的性质： 如图∠1 与∠2互补，∠３ 与∠４互补 ，如果∠1＝∠３,那么∠2与∠４相等吗？为什么？ 总结：补角性质： （4）探究余角的性质： 如图∠1 与∠2互余，∠３ 与∠４互余 ，如果∠1＝∠３，那么∠2与∠４相等吗？为什么？ 总结：余角性质： １、例题分析 例1:若一个角的补角等于它的余角4倍，求这个角的度数。 解： 设这个角是x °，则它的补角是（ 180°－x °）,余角是(90°－x °) 。 根据题意得： （180－x °）= 4 (90－x °) 解之得： x =60 答：这个角的度数是60 °。 例2：如图,∠AOB=90°,∠COD=∠EOD=90°,C,O,E 在一条直线上,且∠2=∠4,请说出∠1与∠3之间的关系？并试着说明理由？ 解:∠1=∠3 ∵ ∠1+∠2= ∠COD=90° ∠3+∠2= ∠AOB=90°

余角、补角的概念和 性质

余角、补角的概念和性质 教学目标 1、通过现实情境，掌握余角和补角的概念； 2、使学生能用简单的代数思想——方程思想来处理图形的数量关系； 3、培养学生的识图能力、发展空间观念和知识运用能力，进一步感受学习数学的意义。教学重点 认识角的互余、互补关系 教学难点认识角的互余、互补关系 学情分析 本节内容是《4.3角》这一节中的第三节，在前面知识的学习过程中，学生已经经历了一些探索、发现的数学活动，积累了初步的数学活动经验。具备了一定的图形认识能力和借助图形分析和解决问题的能力，同时在以前的数学学习中学生已经经历了很多合作学习的过程，具有了一定的合作学习的经验，具备了一定的合作与交流的能力。我校学生学习基础比较薄弱，识图能力较差，基于以上原因，为更好的使学生理解余角和补角的概念，并为下一节性质作铺垫，特制定此教学内容。 学法指导 通过学生动脑想，勤钻研，主动地学习，增加学生主动参与的机会，增加学生的参与意识，教给学生获取知识的途径，思考问题的方法。 教学过程 教学内容教师活动学生活动效果预测（可能出现的问题）补救措施w 修改意见 一、创设情境，引入新课： 二、新课： 三、巩固练习 四、课堂小结 五、作业布置 1、让学生观察意大利著名建筑比萨斜塔。 比萨斜塔建于1173年，工程曾间断了两次很长的时间，历经约二百年才完工。设计为垂直建造，但是在工程开始后不久便由于地基不均匀和土层松软而倾斜。 提出问题：图中∠1与∠2、∠3与∠4有什么关系？ 2、引出课题并板书：余角与补角 （一）、探究互余的定义： 1、操作多媒体演示。 引导观察图形的运动，得出结果：∠1+∠2=90° 2、定义：如果两个角的和等于90°（直角），就说这两个角互为余角. 简称互余。 其中一个角是另一个角的余角。 （二）、探究互为补角的定义： 1、操作多媒体演示。 引导观察图形的运动，得出结果：∠3+∠４=180°。

方向角与方位角问题

年级：九年级下册科目：数学主备: 审核： 课题：28.2 方位角与方向角问题 学习目标： 能综合运用直角三角形的勾股定理与边角关系解决简单的实际问题． 重点与难点 1．重点：直角三角形的解法． 2．难点：三角函数在解直角三角形中的灵活运用。 一、用一用 用解直角三角形知识解决测量中的方位角问题． 方位角与方向角 1．方向角 指北或指南方向线与目标方向所成的小于90°的角叫做方向角．如图（1）中的目标方向线OA，OB，OC分别表示北偏东60°，南偏东30°，北偏西70°．特别地，若目标方向线与指北或指南的方向线成45°的角，如图（1）的目标方向线OD与正南方向成45°角，通常称为西南方向． （1）（2） 2．方位角 从某点的指北方向线按顺时针转到目标方向的水平角，叫做方位角．?如图（2）中，目标方向线PA，PB，PC的方位角分别是40°，135°，225°． 用解直角三角形的方法解决实际问题方法要点 在解决实际问题时，我们要学会将千变万化的实际问题转化为数学问题，要善于将某些实际问题中的数量关系归结为直角三角形中的元素（边、角）?之间的关系，这样才能很好地运用解直角三角形的方法求解．

解题时一般有以下三个步骤： 1．审题．按题意画出正确的平面或截面示意图，并通过图形弄清已知和未知． 2．将已知条件转化为示意图中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形的问题．如果没有现成是直角三角形可供使用，可通过作辅助线产生直角三角形，再把条件和问题转化到这个直角三角形． 3．根据直角三角形（或通过作垂线构造直角三角形）元素（边、?角）之间关系解有关的直角三角形． 例1、如图所示，一艘海轮位于灯塔P的北偏东65°方向，?距离灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，?到达位于灯塔P的南偏东34°方向上的B处．这时，海轮所在的B处距离灯塔P有多远？（精确到0.01海里） 分析：因为△APB不是一个直角三角形，所以我们把一个三角形分解为两个直角三角形，△ACP与△PCB．PC?是东西走向的一条直线．AB是南北走向的一直线，所以AB与PC是相互垂直的，即∠ACP与∠BDP?均为直角．再通过65度角与∠APC互余的关系求∠APC；通过34度角与∠BPC?互余的关系求∠BPC． 解：如图，在Rt△APC中， ∵ cos（90°-65°）=___________________ ∴ PC=_____________________________ = 在Rt△BPC中，∠B=34°， ∵sinB=__________________， ∴PB=____________________________________≈_______ 因此，当海轮到达位于灯塔P的南偏东34°方向时，它距离灯塔P大约130.23海里．