固体物理晶格振动与晶体的热力学函数

固体物理晶格振动与晶体的热力学函数

Company number：【0089WT-8898YT-W8CCB-BUUT-202108】

第三章晶格振动与晶体的热力学函数

一、填空体

1. 若在三维空间中，晶体由N个原胞组成,每个原胞有一个原子,则共有_ 3 N_个独立的振动,_ N__个波矢, 3N_支格波。

2. 体积为V的ZnS晶体，如果晶胞的体积为Ω，则晶格振动的模式书为24N/Ω。

3. 三维绝缘体晶体的低温比热Cv与温度T的关系为Cv~T3。

4. 某三维晶体由N个原胞组成，每个原胞内有3个原子。考虑晶体的晶格振动，其色散关系共有 9N 支，其中 3N 支声学波，包括 2N 支横声学波， 1N 支纵声学波；另有 6N 支光学波。

5. 二维绝缘体晶体的低温比热Cv与温度T的关系为Cv~T2。

6. 一维绝缘体晶体的低温比热Cv与温度T的关系为Cv~T。

7. 三维绝缘体晶体的低温平均内能与温度T的关系为U~T4。

8.二维绝缘体晶体的低温平均内能与温度T的关系为U~T3。

9. 一维绝缘体晶体的低温平均内能温度T的关系为U~T2。

10.绝缘体中与温度有关的内能来源于晶格振动能。

11.导体中与温度有关的内能来源于晶格振动能和价电子热运动动能。

12. 某二维晶体由N个原胞组成，每个原胞内有2个原子。考虑晶体的晶格振动，其色散关系共有 4N 支，其中 2N 支声学波，包括 N 支横声学波， N 支纵声学波；另有 2N 支光学波。

13. 某一维晶体由N个原胞组成，每个原胞内有3个原子。考虑晶体的晶格振动，其色散关系共有 3N 支，其中 N 支声学波，包括 N 支横声学波， 0 支纵声学波；另有 2N 支光学波。

14.晶格振动的元激发为 声子 ，其能量为 ω ，准动量为 q

。

15德拜模型的基本假设为：格波作为弹性波、 介质是各向同性介质。 16.对三维体积为V 的晶体，波矢空间中的波矢密度为：

3

)

2(V

π ；对二维面积为S 的晶体，波矢空间中的波矢密度为：

2

)2(S π ；对一维长度为L 的晶体，波矢空间中的波矢密

度为：

π

2L 。 二、基本概念 1. 声子

晶格振动的能量量子。 2.波恩-卡门条件

即周期性边界条件，设想在实际晶体外，仍然有无限多个相同的晶体相连接，各晶体中相对应的原子的运动情况都一样。 3.波矢密度

波矢空间单位体积内的波矢数目，三维时为3

c

)2(V π，Vc 为晶体体积。 4. 模式密度

单位频率间隔内模式数目。 5.晶格振动。

答：由于晶体内原子间存在着相互作用，原子的振动就不是孤立的，而要以波的形式在晶体中传播，形成所谓格波，因此晶体可视为一个互相耦合的振动系统，这个系统的运动就叫晶格振动。 6.简谐近似

答：当原子在平衡位置附近作微小振动时，原子间的相互作用可以视为与位移成正比的虎克力，由此得出原子在其平衡位置附近做简谐振动。这个近似即称为简谐近似。

7.格波

答：晶格中的原子振动是以角频率为ω的平面波形式存在的，这种波就叫格波。

三、简答题

1.试分析爱因斯坦模型和德拜模型的特点及局限性.

特点：

1）爱因斯坦模型假设晶体中所有原子都以相同的频率作振动；

2）德拜模型的基本思想是把格波作为弹性波来处理。

局限性：

1）在爱因斯坦的假设下，解释了在甚低温时温度的变化趋势，但是不能解释为什么晶体热熔随温度T3的速度变化，这是因为，爱因斯坦模型只考虑了光学支格波，忽略了声学支格波，而在甚低温决定晶体热容的主要是长声学波。爱因斯坦模型过于简化。

2）德拜模型不仅能够很好解释在甚低温时晶体热容随温度的变化趋势，同时得出了在甚低温下，热容与T3成正比的规律。但是德拜模型忽略了晶体的各向异性，即光学波和高频声学波对热容的贡献。

2. 长光学支格波与长声学支格波本质上有何差别

答：长光学支格波的特征是每个原胞内的不同原子做相对振动, 振动频率较高, 它包含了晶格振动频率最高的振动模式. 长声学支格波的特征是原胞内的不同原子没有相对位移, 原胞做整体运动, 振动频率较低, 它包含了晶格振动频率最低的振动模式, 波速是一常数. 任何晶体都存在声学支格波, 但简单晶格(非复式格子)晶体不存在光学支格波.

3. 晶体中声子数目是否守恒

答：频率为的格波的(平均) 声子数为

,

即每一个格波的声子数都与温度有关, 因此, 晶体中声子数目不守恒, 它是温度的变量. 4. 温度一定，一个光学波的声子数目多呢, 还是声学波的声子数目多

答：频率为的格波的(平均) 声子数为

.

因为光学波的频率比声学波的频率高, ( )大于( ), 所以在温度一定情况下, 一个光学波的声子数目少于一个声学波的声子数目.

5. 对同一个振动模式, 温度高时的声子数目多呢, 还是温度低时的声子数目多

答：设温度TH>TL, 由于( )小于( ), 所以温度高时的声子数目多于温度低时的声子数目.

6. 高温时, 频率为的格波的声子数目与温度有何关系

答：温度很高时, , 频率为的格波的(平均) 声子数为

.

可见高温时, 格波的声子数目与温度近似成正比.

7. 长声学格波能否导致离子晶体的宏观极化

答：长光学格波所以能导致离子晶体的宏观极化, 其根源是长光学格波使得原胞内不同的原子(正负离子)产生了相对位移. 长声学格波的特点是, 原胞内所有的原子没有相对位移. 因此, 长声学格波不能导致离子晶体的宏观极化.

8.试定性给出一维单原子链中振动格波的相速度和群速度。

答：由一维单原子链的色散关系2

sin

2

qa

m

β

ω= 可求得一维单原子链中振动格波的相速度为2

/2sin

qa

qa m

a

q

p β

ω

υ== 群速度为

9. 周期性边界条件的物理含义是什么引入这个条件后导致什么结果如果晶体是无限大，

q 的取值将会怎样

答：由于实际晶体的大小总是有限的，总存在边界，而显然边界上原子所处的环境与体内原子的不同，从而造成边界处原子的振动状态应该和内部原子有所差别。考虑到边界对内部原子振动状态的影响，波恩和卡门引入了周期性边界条件。其具体含义是设想在一长为Na 的有限晶体边界之外，仍然有无穷多个相同的晶体，并且各块晶体内相对应的原子的运动情况一样，即第j 个原子和第Nt+j 个原子的运动情况一样，其中t ＝1，2，3…。

引入这个条件后，导致描写晶格振动状态的波矢q 只能取一些分立的不同值。如果晶体是无限大，波矢q 的取值将趋于连续。

10. 下图表示一维双原子复式晶格振动的两支格波的色散关系。请简要分析并判断：在长波极限下，图中哪一条曲线反映了初基元胞内两个原子的质心振动图中哪一条曲线反映了初基元胞内两个原子的相对振动 答:

上半部分曲线表示光学支，光学支格波反映了晶体中分子内两个原子的相对振动；下半部分曲线表示声学支，声学支格波反映了晶体中分子的质心振动。

由N 个原胞所组成的复式三维晶格，每个原胞内有r 个原子，试问晶格振动时能得到多少支色散关系其波矢的取值数和模式的取值数各为多少

答：共有3r支色散关系，波矢取值数=原胞数N，模式取值数=晶体的总自由度数。11.对于初基晶胞数为N的二维晶体，基元含有四个原子，声学支震动模式和光学支震动模式的数目各为多少

答：2N，6N。

12.在三维晶体中，格波独立的点数N，格波个数，格波总支数，声学波支数分别等于多少

答：在三维晶格中，格波独立的点数是，格波个数有3Nn，格波总支数是3nN，对每个波矢q，有3支声学波，（3n-3）支光学波。

13.试述长光学波与长声学波的本质区别

答：长光学支格波的特征是每个原胞内的不同原子做相对振动, 振动频率较高, 它包含了晶格振动频率最高的振动模式。长声学支格波的特征是原胞内的不同原子没有相对位移, 原胞做整体运动, 振动频率较低, 它包含了晶格振动频率最低的振动模式, 波速是一常数。任何晶体都存在声学支格波, 但简单晶格(非复式格子)晶体不存在光学支格波。14. 长声学格波能否导致离子晶体的宏观极化

答：长光学格波所以能导致离子晶体的宏观极化，其根源是长光学格波使得原胞内不同的原子(正负离子)产生了相对位移。长声学格波的特点是, 原胞内所有的原子没有相对位移. 因此，长声学格波不能导致离子晶体的宏观极化。

15.爱因斯坦模型在低温下与实验存在偏差的根源是什么

1013, 属于光学支答:按照爱因斯坦温度的定义, 爱因斯坦模型的格波的频率大约为Hz 频率. 但光学格波在低温时对热容的贡献非常小, 低温下对热容贡献大的主要是长声学格波. 也就是说爱因斯坦没考虑声学波对热容的贡献是爱因斯坦模型在低温下与实验存在偏差的根源。

16.在甚低温下, 德拜模型为什么与实验相符

答：在甚低温下, 不仅光学波得不到激发, 而且声子能量较大的短声学格波也未被激发,得到激发的只是声子能量较小的长声学格波. 长声学格波即弹性波. 德拜模型只考虑弹性波对热容的贡献. 因此, 在甚低温下, 德拜模型与事实相符, 自然与实验相符。 四、证明计算

1. 证明一维单原子链的运动方程，在长波近似下，可以化成弹性波方程， 证明：

第n 个原子的运动方程为 因为

所以第n 个原子的运动方程化为 在长波近似下， 运动方程又化为

在长波近似下，当l 为有限整数时，

上式说明，在长波近似下，邻近（在半波长范围内）的若干原子以相同的振幅、相同的位相做集体运动．因此（ l ）式可统一写成

观上的质点位移u ，从宏观上看，原子的位置可视为准连续的，原子的分离a l n )(+可视为准连续坐标x ，即 于是（2）化成 其中

2. 在一维双原子链中，如1>>m M ，求证 证明：双一维原子链声学支

m M >> ，

14<<∴

mM mM

由近似式()nx x n

-≈-11，）当1(<

得

()

}]sin )(4211[1{2/122

21qa M m mM

mM

M m +-

-+=

βω

qa M qa M m 22sin 2sin 2β

β≈+=

，

对22ω，由于m M >>，M m M ≈+

220=-=M m A B ββ 故B ＝0， 重原子静止。

3.在一维无限长的简单晶格中，原子质量为M ，若只考虑近邻原子之间的相互作用，恢复力系数为β，试求格波的色散关系。

衡位置的位移分别为un+1与 un-1，则第n+m 和n-m 个原子对第n 个原子的作用力为 因此第 n 个原子的运动方程为 将格波的试解 代入运动方程，得 由此得格波的色散关系为

4. 证明：在温度T 时，一个量子谐振子的能量为

讨论当温度很高时，结果又会怎样

证明：按照量子理论，一个谐振子的能级是

式中，ω为谐振子的角频率；n 取正整数。在热平衡条件下，谐振子的平均

能量为 ∑=n

n

n P εε

式中

n

P 为谐振子处于能级

n ε的几率。若按玻耳兹曼统计计算，上式写成

因为 故从上式得

在高温下，12<

，有 故得 T k B ≈ε

可见，在高温下，一个量子谐振子的平均能量与经典理论的结论相同。 5.在一维无限长的简单晶格中，若考虑原子间的长程作用力，第 n 个与第 n +m 或 n-m 个原子间的恢复力系数为

m β，试求格波的色散关系。

衡位置的位移分别为un+m 与 un-m ，则第n+m 和n-m 个原子对第n 个原子的作用力为 第 n 个原子受力的总合为 因此第 n 个原子的运动方程为 将格波的试解 代入运动方程，得 由此得格波的色散关系为

7.已知三维晶体在0=q 附近一支光学波的色散关系为

()()

2

220z y x Cq Bq Aq q ++-=ωω ， 试求格波的模式密度()ωρ 解：2220z y x Cq Bq Aq ++=-ωω

则 102

0202=-+-+-C

q B q A q z

y x ωωωωωω

这是q 空间的一个椭球面，其体积为abc π3

4

，而

2

/10A

a ω

ω-=

，2

/10B

b ω

ω-=

，2

/10C

c ω

ω-=

q 空间内的波矢密度()33

)2(2ππρV

L q =

??

? ??= ，故椭球内的总状态数N 为 故 ()2

/10

22

/102

/12414ABC

V ABC V d dN ωωπω

ωπωωρ-=-?

?

?

??==

8.计算一维单原子链的模式密度)(ωD 解：设单原子链长度L Na = 一维单原子链的色散关系为： 其中M

m β

ω2

=

模式密度为ω

πωq L D ?=

2

2)(

对一维单原子链而言 因为

既有 dq qa qa a d m )21cos()21sin(22

ωωω=

所以 模式密度为

7. 已知一个频率为i ω的简谐振动在温度T 下的平均能量

试用爱因斯坦模型求出由N 个原子组成的单原子晶体晶格振动的总能量，并求其在高温和低温极限情况下的表达式。

解:由N 个原子组成的单原子晶体共有3N 个自由度，独立晶格振动方式数也等于3N ，晶体振动的总能量便等于晶体振动的总能量便等于这3N 个谐振动的能量之和，即 依照爱因斯坦模型，ωωωω====N 321 ，于是上式变为 设T

T k x E B Θ==

ω

，E Θ为爱因斯坦温度 )121(3-+=x B e x

x T Nk E (1)

在高温极限下，x<<1，x e x ≈-1，(1)式化作

上式中的第二项是3N 个经典谐振子的平均能量之和；第一项与温度无关，是爱因斯坦模型下的零点振动能。

在低温极限下，x>>1，x x e e ≈-1，从(1)式得

8. 设晶格中每个振子的零点振动能为2ω

，试用德拜模型求三维晶格的零点振动能

解：状态密度

()()3

2

223v V V g ωπωωρ==

则

()ωωπωωωρεωωd v V d E D

D 32

20

002321 ?

?==

9.设有三维间立方晶格，在德拜近似下计算比热，并论述在低温极限声子数目与T 3。 解：按照德拜模型, 晶体中的声子数目N’为

.

作变量代换

，

.

其中

是德拜温度. 高温时,

,

即高温时, 晶体中的声子数目与温度成正比. 低温时,

,

,

即低温时, 晶体中的声子数目与T 3成正比.

10. 有N 个相同原子组成的面积为S 的二维晶格，在德拜近似下计算比热，并论述在低

温极限比热正比与2

T 。

证明：在k 到k dk +间的独立振动模式对应于平面中半径n 到n dn +间圆环的面积2ndn π，且

()22

532222L s ndn kdk kdk d v ρ

ω

πρωωπππ===即则

11.有三维简单晶格，在德拜近似下计算比热，并论述在低温极限声子数目与T 3。 按照德拜模型, 晶体中的声子数目N '为

.

作变量代换

，

.

其中

是德拜温度. 高温时,

,

即高温时, 晶体中的声子数目与温度成正比. 低温时,

,

,

即低温时, 晶体中的声子数目与T 3成正比.

12.有N 个相同原子组成的体积为L 的一维晶格，在德拜近似下计算比热，并论述在低温极限比热正比与T 。.

13. 在一维无限长的简单晶格中，原子质量为M ，若只考虑近邻原子之间的相互作用，恢复力系数为β，试求格波的色散关系。

解：设原子的质量为 M ，第n 个原子对平衡位置的位移为un 第n+1和n-1个原子对平衡位置的位移分别为un+1与 un-1，则第n+m 和n-m 个原子对第n 个原子的作用力为 因此第 n 个原子的运动方程为 将格波的试解 代入运动方程，得 由此得格波的色散关系为

14. 计算色散关系为2cq =ω的模式密度二维的模式密度。

解：q 空间也约化为二维空间，其等频面实际为一个圆，圆半径为：

二维情况下的q 空间中的密度为：A/(2π)2，（这里A 为二维晶格的面积），而且有： 所以对于ω=c 2q ，二维情况的模式密度为：

计算色散关系为2cq =ω的模式密度一维的模式密度。

解：一维情况下的q 空间中的等频面退化为两个等频的点，因此有 q 空间有两个等频点+q 和-q 。仿上面的方法可以得到： 15 对三维单原子点阵，计算德拜模型下的模式密度。 解：（ 解法一）

设横波和纵波具有相间波速v ，有

()()

()()()

()

323

22323

23

2D

D

D

D K K K K

K K dK

g vK d dKK vK dKK vK ωδωπδωπδωπ<<<'=-=Ω-=

-???? (1)

令,z vK dz vdK ==，上式化为 其中简正模式的最高频率是D ω，如果晶体中原子密度为n ，则

相应的德拜截止波矢为 （解法二）

对于长声学波的色散关系

波矢空间中的频率等值面()K ωω

≡是一球面，如该球面内所包围的模式数为

式中3

V L =是晶体体积．利用色散关系式将和模式数化为对频率ω的函数

于是得到

以上是就色散关系的一支求得的，考虑到一个波矢K 有三种偏振态，单原子点阵的色散关系有三支，纵波和横波有不同波速，总的模式密度应对各支求和，于是

式中l v 是纵波的波速，i v

是两个横波的波速．如果用v 表示纵波和横波的平均波速 德拜模式密度又可写为

固体物理题库 第一章 晶体的结构

第一章晶体的结构 一、填空体（每空1分） 1. 晶体具有的共同性质为长程有序、自限性、各向异性。 2. 对于简立方晶体，如果晶格常数为a，它的最近邻原子间距为 a ，次近邻原子间 ，原胞与晶胞的体积比1：1 ，配位数为 6 。 3. 对于体心立方晶体，如果晶格常数为a a2/，次近邻原子间距为 a ，原胞与晶胞的体积比1：2 ，配位数为8 。 4. 对于面心立方晶体，如果晶格常数为a 邻原子间距为 a ，原胞与晶胞的体积比1：4 ，配位数为12 。 5. 面指数(h1h2h3)所标志的晶面把原胞基矢a1,a2,a3分割,其中最靠近原点的平面在a1,a2,a3上的截距分别为__1/h1_,_1/h2__,__1/h3_。 6. 根据组成粒子在空间排列的有序度和对称性，固体可分为晶体、准晶体和非晶体。 7. 根据晶体内晶粒排列的特点，晶体可分为单晶和多晶。 8. 常见的晶体堆积结构有简立方（结构）、体心立方（结构）、面心立方（结构）和六角密排（结构）等，例如金属钠（Na）是体心立方（结构），铜（Cu）晶体属于面心立方结构，镁（Mg）晶体属于六角密排结构。 9. 对点阵而言，考虑其宏观对称性，他们可以分为7个晶系，如果还考虑其平移对称性，则共有14种布喇菲格子。 10.晶体结构的宏观对称只可能有下列10种元素：1 ，2 ，3 ，4 ，6 ，i ，m ，3，4，6，其中3和6不是独立对称素，由这10种对称素对应的对称操作只能组成32 个点群。 11. 晶体按照其基元中原子数的多少可分为复式晶格和简单晶格，其中简单晶格基元中有 1 个原子。 12. 晶体原胞中含有 1 个格点。 13. 魏格纳-塞茨原胞中含有 1 个格点。 二、基本概念 1. 原胞 原胞：晶格最小的周期性单元。 2. 晶胞 结晶学中把晶格中能反映晶体对称特征的周期性单元成为晶胞。 3. 散射因子 原子内所有电子在某一方向上引起的散射波的振幅的几何和，与某一电子在该方向上引起的散射波的振幅之比。 4. 几何结构因子 原胞内所有原子在某一方向上引起的散射波的总振幅与某一电子在该方向上所引起的散射

固体物理基础课后1到10题答案

一．本章习题 P272习题 1.试证理想六方密堆结构中c/a=. 一． 说明： C 是上下底面距离，a 是六边形边长。 二． 分析： 首先看是怎样密堆的。 如图(书图(a)，P8)，六方密堆结构每个格点有12个近邻。 （同一面上有6个，上下各有3个） 上下底面中间各有一个球，共有六个球与之相切，每个球直径为a 。 中间层的三个球相切，又分别与上下底面的各七个球相切。球心之间距离为a 。 所以球心之间即格点之间距离均为a （不管是同层还是上下层之间）。 三． 证明： 如图OA=a ，OO ’=C/2（中间层是上下面层的一半），AB=a O ’是ΔABC 的三垂线交点 3 3 'a AB AO = = ∴ （由余弦定理 ) 330cos 2,30cos 230cos 2222a a x x a ax x a x ===-+=οο ο 633.13 22384132)2()2()3 ()2(2 22 222 22 2 2' '≈===∴+=+=+ =a c c a a c a a c OA AO OO

2．若晶胞基矢c b a ρ ρρ,,互相垂直，试求晶面族（hkl ）的面间距。 一、分析： 我们想到倒格矢与面间距的关系G d ρπ 2=。 倒格矢与晶面族 （hkl ）的关系321b l b k b h G ρρρρ ++= 写出)(321b b b ρρρ与正格子基矢 )(c b a ρ ρρ的关系。即可得与晶面族（hkl ） 垂直的倒格矢G ρ。进而求 得此面间距d 。 二、解： c b a ρρρΘ,,互相垂直，可令k c c j b b i a a ρρρρρρ ===,, 晶胞体积abc c b a v =??=)(ρ ρρ 倒格子基矢： k c j b i a abc b a v b j b i a k c abc a c v b i a k c j b ab c c b v b ρρρρρρρρρρρρρρρρρρπππππππππ2)(2)(22)(2)(22)(2)(2321=?=?==?=?==?=?= 而与 （hkl ）晶面族垂直的倒格矢 2 22321)()()(2) (2c l b k a h G k c l j b k i a h b l b k b h G ++=∴++=++=ππρρρρρρρρ 故（hkl ） 晶面族的面间距 2222 22)()()(1)()()(222c l b k a h c l b k a h G d ++= ++= =ππ π ρ

固体物理基础解答吴代鸣

固体物理基础解答吴代鸣

————————————————————————————————作者: ————————————————————————————————日期：

１.试证理想六方密堆结构中c/a ＝1．633. 证明： 如图所示,六方密堆结构的两个晶格常数为a 和c 。右边为底面的俯视图。而三个正三角形构成的立体结构,其高度为 2.若晶胞基矢c b a ,,互相垂直，试求晶面族（hkl ）的面间距。 解： c b a ,,互相垂直，可令k c c j b b i a a ===,, 晶胞体积abc c b a v =??=)( 倒格子基矢: k c j b i a abc b a v b j b i a k c abc a c v b i a k c j b ab c c b v b πππππππππ2)(2)(22)(2)(22)(2)(2321=?=?==?=?==?=?= 而与 (h ｋl ）晶面族垂直的倒格矢 2 22321)()()(2) (2c l b k a h G k c l j b k i a h b l b k b h G ++=∴++=++=ππ 故（hkl ） 晶面族的面间距 2222 22)()()(1)()()(222c l b k a h c l b k a h G d ++= ++= =ππ π

３.若在体心立方晶胞的每个面中心处加一个同类原子，试说明这种晶体的原胞应如何选择?每个原胞含有几个原子? 答: 通过分析我们知道，原胞可选为简单立方，每个原胞中含有5个原子。 体心,八个顶点中取一个,对面面心各取一个原子(即三个)作为基元。布拉菲晶格是简单立方格子。 4．试求面心立方结构的(111)和（11０)面的原子面密度。 解: (１11)面 平均每个（１11)面有22 1 3613=?+?个原子。 （１11)面面积 ()222232 322)2 2( )2(22 1 a a a a a a =?= -? 所以原子面密度2 2)111(34 2 32a a = = σ (1１０)面 平均每个(110）面有22 1 2414=?+? 个原子。 (１10）面面积2 22a a a =? 所以（11０)面原子面密度22 )110(2 22a a ==σ 5.设二维矩形格子的基矢为j a a i a a 2,21==，试画出第一、二、三、布里渊区。 解： 倒格子基矢: j b j a j a j ax x a a a a v b k x a i a x i a x a a a a v b 113233212 12212222)(2) (2222)(2===??=?===??=?=πππππππ 所以倒格子也是二维矩形格子。2b 方向短一半。 最近邻;,22b b - 次近邻;2,2,,2211b b b b -- 再次近邻;,,,12122121b b b b b b b b ---+- 再再次近邻;3,322b b - 做所有这些点与原点间连线的垂直平分线,围成布里渊区。再按各布里渊区的判断原则进行判断，得: 第一布里渊区是一个扁长方形; 第二布里渊区是2块梯形和２块三角形组成； 第三布里渊区是２对对角三角和４个小三角以及2个等腰梯形组成。

晶格振动与声子

2.4 晶格振动与声子 绝热近似下，固体的运动近似地简化为两个相对较小的子系统：电子和核（或原子实）的运动问题。前面对电子体系的运动状态作了讨论，现在对第二个问题，即核（或原子实）子系统的运动作一简要回顾。如2.1中所述，对给定的电子系 状态n ，原子实系统 感受到的 有效势场 ()()() N LL n V V E =+R R R ， 原子实间的库伦相互作用() LL V R + 依赖于核构型的电子能() n E R 描述原子实系统运动的哈密顿方程为： ()()()()() 2 2 12I n LL S I I X E V X E X M ??-?++=??∑R R R R R （2.4-1） 2.4.1 简谐近似和正则振动模 上述方程涉及大量粒子的运动，数学上很难求解。需要一个好的近似作为讨论的出发点。我们感兴趣的是：有效势有极小值（即具有稳定平衡构形），原子偏离平衡位置不太远的情形。 设晶体包含N 个原胞，每个原胞有υ个原子，采用周期性边界条件。 第n 个原胞中，第α个原子的平衡位置为 n n R R R αα=+， n R 和R α分别为原胞（代表点）位置和原子α在原胞中相对代表点的位置。 原子相对平衡位置的瞬时位移的直角坐标分量为()n i s t α （1,2,3i =）。 将有效势场() N V R 在平衡核构形{}0n R α=R 处作泰勒展开： ()() 201......2N N N n i n i n in i n i n i V V V s s S S αααααα''''''''' ?=++??∑R R （2.4-2） 取常数项为零，一次项在平衡构型下恒等于零，展开式中第一个不为零的项就是二次项。考虑原子实围绕平衡位置作小振动的情形，高次项可忽略，这就是所谓的 简谐近似。可以证明，由这样的简谐势联系在一起的N υ个粒子构成

固体物理基础答案解析吴代鸣

1.试证理想六方密堆结构中c/a=1.633. 证明： 如图所示，六方密堆结构的两个晶格常数为a 和c 。右边为底面的俯视图。而三个正三角形构成的立体结构，其高度为 2．若晶胞基矢c b a ,,互相垂直，试求晶面族（hkl ）的面间距。 解： c b a ,,互相垂直，可令k c c j b b i a a ,, 晶胞体积abc c b a v )( 倒格子基矢： k c j b i a abc b a v b j b i a k c abc a c v b i a k c j b ab c c b v b 2)(2)(22)(2)(22)(2)(2321 而与 （hkl ）晶面族垂直的倒格矢 2 22321)()()(2) (2c l b k a h G k c l j b k i a h b l b k b h G 故（hkl ） 晶面族的面间距 2222 22)()()(1)()()(222c l b k a h c l b k a h G d 3．若在体心立方晶胞的每个面中心处加一个同类原子，试说明这种晶体的原胞应如何选择？每个原胞含有几个原子？ 答： 通过分析我们知道，原胞可选为简单立方，每个原胞中含有5个原子。 体心，八个顶点中取一个，对面面心各取一个原子（即三个）作为基元。布拉菲晶格是简单立

方格子。 4．试求面心立方结构的（111）和（110）面的原子面密度。 解： （111）面 平均每个（111）面有22 1 3613 个原子。 （111）面面积 222232 322)2 2( )2(22 1 a a a a a a 所以原子面密度2 2)111(34 2 32a a （110）面 平均每个（110）面有22 1 2414 个原子。 （110）面面积2 22a a a 所以（110）面原子面密度22 )110(2 22a a 5．设二维矩形格子的基矢为j a a i a a 2,21 ，试画出第一、二、三、布里渊区。 解： 倒格子基矢： j b j a j a j ax x a a a a v b k x a i a x i a x a a a a v b 113233212 12212222)(2) (2222)(2 所以倒格子也是二维矩形格子。2b 方向短一半。 最近邻;,22b b 次近邻;2,2,,2211b b b b 再次近邻;,,,12122121b b b b b b b b 再再次近邻;3,322b b 做所有这些点与原点间连线的垂直平分线，围成布里渊区。再按各布里渊区的判断原则进行判断，得： 第一布里渊区是一个扁长方形； 第二布里渊区是2块梯形和2块三角形组成； 第三布里渊区是2对对角三角和4个小三角以及2个等腰梯形组成。 6．六方密堆结构的原胞基矢为：

东南大学固体物理基础课后习题解答

《电子工程物理基础》课后习题参考答案 第一章 微观粒子的状态 1-一维运动的粒子处在下面状态 (0,0)() (0) x Axe x x x λλψ-?≥>=? =??==?

晶格振动与声子

晶格振动与声子 2010-04-24 16:38:01| 分类：微电子物理| 标签：|字号大中小订阅 （什么是声学波？什么是光学波？什么是声子？） 作者：Xie M. X. (UESTC，成都市) （1）格波： 晶格振动(Crystal lattice vibration) 就是晶体原子在格点附近的热振动，这是个力学中的小振动问题, 可用简正振动和振动模来描述。由于晶格具有周期性，则晶格的振动模具有波的形式，称为格波。一个格波就表示晶体所有原子都参与的一种振动模式。格波可区分为声学波和光学波两类——两种模式。 声学波是晶格振动中频率比较低的、而且频率随波矢变化较大的那一支格波；对于波矢比较小的长声学波，与弹性波一致，它表示着原胞中所有原子的一致运动[相位和振幅都相同]；声学波的能量虽然较低，但是其动量却可能很大，因此在对于载流子的散射与复合中，声学波声子往往起着交换动量的作用。 光学波是复式晶格振动中频率比较高的、而且频率随波矢变化较小的那一支格波；对于长光学波，它表示着相位相反的两种原子的振动，即表示着两种格子的相对振动[但质心不变]。光学波声子具有较高的能量，而高能量声子的动量往往很小，所以光学波声子在与载流子的相互作用中往往起着交换能量的作用。 （2）声子： 格波的能量是量子化的: 频率ω的格波具有谐振子一样的分离能量：E = ( n + 1/2 ) ?ω, n = 0,1,2,2,…。则当格波与载流子相互作用时, 格波能量的改变只能是?ω的整数倍; 该晶格振动能量?ω的量子即称为声子（Phonon ）。当格波能量减少?ω时, 就说晶格放出一个声子; 如格波能量增加?ω时, 就说晶格吸收一个声子. 因此晶格与载流子的相互作用可看成是格波对载流子的散射(碰撞)。 由于晶格振动有声学波和光学波两种模式，所以相应的就有两种声子——声学波声子和光学波声子。一个格波,即一种振动模,就称为一种声子；当这种振动模处于(nq+1/2) ?ωq 本征态时，就说有nq个声子, nq是声子数。晶格中共有3Nr个格波,即有3Nr种声子;共有3支声学波声子和(3r－3)支光学波声子；又可有纵向声子和横向声子。 声子本身不导电，但是它能够传热，并且还对载流子产生散射作用——声子散射。晶体的比热、热导、电导等都与声子有关。 用声子可以简明地描述晶格振动,它反映的是晶体原子集体运动状态的激发单元（元激发），因此声子是固体中的一种典型的元激发。声子是Bose子, 则每一个晶格振动的状态可被很多声子所占据；而声子的数目仅与晶格振动的能量有关(决定于温度)，一个晶格振动模式平均的声子占据数目为nj(q) = {exp[?ωj(q) /kT]－1}-1 . 因此,系统中声子的数目随着温度的上升而增加。由于声子的动量q不确定（q和q+ Gn表示相同的晶格振动状态，Gn是倒格子矢量），而且系统中的声子数不守恒(与温度有关), 因此,声子并不是真实的粒子, 而是所谓“准粒子”。 光学波的能量较高（最高能量的格波量子——声子，称为拉曼声子），但是较高能量光学波的动量却很小，因此在载流子的散射和复合过程中往往起着交换能量的作用。晶体中声子的相互作用，有一种过程是两个声子碰撞而产生第三个声子的过程，但声子的动量没有发生变化，即有? q1 + ? q2 = ? q3 （q1、q2和q3分别是第一、第二和第三个声子的动量），这种碰撞就常常简称为正规过程（Normal process）或者N过程。因为正规碰撞过程只改变动量的分布，而不影响热流的方向，故对热阻没有贡献。

固体物理概念答案

1． 基元，点阵，原胞，晶胞，布拉菲格子，简单格子，复式格子。 基元：在具体的晶体中，每个粒子都是在空间重复排列的最小单元； 点阵：晶体结构的显著特征就是粒子排列的周期性，这种周期性的阵列称为点阵； 原胞：只考虑点阵周期性的最小重复性单元； 晶胞：同时计及周期性与对称性的尽可能小的重复单元； 布拉菲格子：是矢量Rn=mA1+nA2+lA3全部端点的集合，A1，A2，A3分别为格点到邻近三个不共面格点的矢量； 简单格子：每个基元中只有一个原子或离子的晶体； 复式格子：每个基元中包含一个以上的原子或离子的晶体； 2． 晶体的宏观基本对称操作，点群，螺旋轴，滑移面，空间群。 宏观基本对称操作：1、2、3、4、6、i 、m 、4， 点群：元素为宏观对称操作的群 螺旋轴：n 度螺旋轴是绕轴旋转2/n π与沿转轴方向平移T t j n =的复合操作 滑移面：对某一平面作镜像反映后再沿平行于镜面的某方向平移该方向周期的一半的复合操作 空间群：保持晶体不变的所有对称操作 3． 晶向指数，晶面指数，密勒指数，面间距，配位数，密堆积。 晶向（列）指数：布拉菲格子中所有格点均可看作分列在一系列平行直线族上，取一个格点沿晶向到邻近格点的位移基失由互质的（l1/l2/l3）表示； 晶面指数：布拉菲格子中所有格点均可看作分列在一系列平行平面族上，取原胞基失为坐标轴取离原点最近晶面与三个基失上的截距的倒数由互质的（h1/h2/h3）表示； 密勒指数：晶胞基失的坐标系下的晶面指数； 配位数：晶体中每个原子（离子）周围的最近邻离子数称之为该晶体的配位数； 面间距：晶面族中相邻平面的间距； 密堆积：空间内最大密度将原子球堆砌起来仍有周期性的堆砌结构； 4． 倒易点阵，倒格子原胞，布里渊区。 倒易点阵：有一系列在倒空间周期性排列的点-倒格点构成。倒格点的位置可由倒格子基矢表示，倒格子基矢由…确定 倒格子原胞：倒空间的周期性重复单元（区域），每个单元包含一个倒格点 布里渊区：在倒格子中如以某个倒格点作为原点，画出所有倒格矢的垂直平分面，可得到倒格子的魏格纳塞茨原胞，即第一布里渊区 5． 布拉格方程，劳厄方程，几何结构因子。 劳厄方程0(s s )m m R S λ?-= 布拉格方程2sin hkl d m θλ=

固体物理第三章晶格振动与晶体的热力学函数

第三章 晶格振动与晶体的热力学函数 一、 填空体 1. 若在三维空间中，晶体由N 个原胞组成,每个原胞有一个原子,则共有_ 3 N_个独立的 振动,_ N__个波矢, 3N_支格波。 2. 体积为V 的ZnS 晶体，如果晶胞的体积为Ω，则晶格振动的模式书为24N/Ω 。 3. 三维绝缘体晶体的低温比热Cv 与温度T 的关系为Cv~T 3。 4. 某三维晶体由N 个原胞组成，每个原胞内有3个原子。考虑晶体的晶格振动，其色散关系共有 9N 支，其中 3N 支声学波，包括 2N 支横声学波， 1N 支纵声学波；另有 6N 支光学波。 5. 二维绝缘体晶体的低温比热Cv 与温度T 的关系为Cv~T 2。 6. 一维绝缘体晶体的低温比热Cv 与温度T 的关系为Cv~T 。 7. 三维绝缘体晶体的低温平均内能与温度T 的关系为U~T 4。 8.二维绝缘体晶体的低温平均内能与温度T 的关系为U~T 3。 9. 一维绝缘体晶体的低温平均内能温度T 的关系为U~T 2。 10.绝缘体中与温度有关的内能来源于 晶格振动能 。 11.导体中与温度有关的内能来源于 晶格振动能 和 价电子热运动动能 。 12. 某二维晶体由N 个原胞组成，每个原胞内有2个原子。考虑晶体的晶格振动，其色散关系共有 4N 支，其中 2N 支声学波，包括 N 支横声学波， N 支纵声学波；另有 2N 支光学波。 13. 某一维晶体由N 个原胞组成，每个原胞内有3个原子。考虑晶体的晶格振动，其色散关系共有 3N 支，其中 N 支声学波，包括 N 支横声学波， 0 支纵声学波；另有 2N 支光学波。 14.晶格振动的元激发为 声子 ，其能量为 ω ，准动量为 q 。 15德拜模型的基本假设为：格波作为弹性波、 介质是各向同性介质。 16.对三维体积为V 的晶体，波矢空间中的波矢密度为： 3 ) 2(V π ；对二维面积为S 的晶体，波矢空间中的波矢密度为：2 )2(S π ；对一维长度为L 的晶体，波矢空间中的波矢密度为： π 2L 。 二、基本概念 1. 声子 晶格振动的能量量子。 2.波恩-卡门条件 即周期性边界条件，设想在实际晶体外，仍然有无限多个相同的晶体相连接，各晶体中相对应的原子的运动情况都一样。 3.波矢密度 波矢空间单位体积内的波矢数目，三维时为3 c )2(V π，Vc 为晶体体积。 4. 模式密度 单位频率间隔内模式数目。 5.晶格振动。 答：由于晶体内原子间存在着相互作用，原子的振动就不是孤立的，而要以波的形式在晶体中传播，形成所谓格波，因此晶体可视为一个互相耦合的振动系统，这个系统的运动就叫晶格振动。

第五章晶格振动习题和答案

第五章 晶格振动习题和答案 1．什么叫简正振动模式？简正振动数目、格波数目或格波振动模式数目是否是一回事？ [解答] 为了使问题既简化又能抓住主要矛盾，在分析讨论晶格振动时，将原子间互作用力的泰勒级数中的非线性项忽略掉的近似称为间谐近似。在间谐近似下，由N 个原子构成的晶体的晶格振动，可等效成3N 个独立的谐振子的振动。每个谐振子的振动模式称为间正振动模式，它对应着所有的原子都以该模式的频率做振动，它是晶格振动模式中最简单最基本的振动方式。原子的振动，或者说格波振动通常是这3N 个简正振动模式的线性迭加。 简正振动数目、格波数目或格波振动模式数目是一回事，这个数目等于晶体中所有原子的自由度数之和，即等3N 。 2．长光学支格波与长声学支格波本质上有何差别？ [解答] 长光学支格波的特征是每个原胞内的不同原子做相对振动，振动频略较高，它包含了晶格振动频率最高的振动模式。长声学支格波的特征原胞内的不同原子没有相对位移，原胞做整体运动，振动频率较低，它包含了晶格振动频率最低的振动模式，波速是一常数。任何晶体都存在声学支格波，但简单晶格（非复式格子）晶体不存在光学支格波。 3． 温度一定，一个光学波的声子数目多呢，还是声学波的声子数目多？ [解答] 频率为ω的格波的（平均）声子数为 1 1)(/-= T k B e n ωω 因为光学波的频率0ω比声学波的频率A ω高，（1/0-T k B e ω ）大于（1/-T k B A e ω ），所以在温度一定情况下， 一个光学波的声子数目少于一个声学波的声子数目。 4． 对同一个振动模式，温度高时的声子数目多呢，还是温度低时的声子数目多呢？ [解答] 设温度H T 〉L T ，由于（1/-H B T k e ω ）大于（1/-L B T k e ω ），所以对同一个振动模式，温度 高时的声子数目多于温度低时的声子数目。 5． 高温时，频率为ω的格波的声子数目与温度有何关系？ [解答] 温度很高时，T k e B T k B /1/ωω +≈ ，频率为ω的格波的（平均）声子数为 ω ωω T k e n B T k B ≈-= 1 1)(/ 可见高温时，格波的声子数目与温度近似成正比。 6． 喇曼散射方法中，光子会不会产生倒逆散射？ [解答] 晶格振动谱的测定中，光波的波长与格波的波长越接近，光波与声波的相互作用才越显著。喇曼散射中所用的红外光，对晶格振动谱来说，该波长属于长波长范围。因此，喇曼散射是光子与长光学波声子的相互作用。长光学波声子的波矢很小，相应的动量q 不大。而能产生倒逆散射的条件是光的入射

(完整版)固体物理答案2

固体物理部分题目答案 注：这些题目可能与课本上有出入，大家抄题时以课本为主。还有其它题目请大家自己解决。 （本题可能与5.3题有关）6.3若将银看成具有球形费米面的单价金属，计算以下各量 1)费密能量和费密温度 2）费米球半径 3）费米速度 4） 费米球面的横截面积 5） 在室温以及低温时电子的平均自由程 解 1）费密能量2 022/3(3)2F E n m π=h 210/3(3)F k n π= 6293 313410.5100.58610/107.87 9.11101.0510A n N m m kg J s --=??=?=?=??h 0198.8210 5.5F E J eV -=?= 费密温度046.410F F B E T K k ==? 2) 费密球半径 020()2F F k E m =h 0F k =0198.8210F E J -=? 01011.210F k m -=? 3) 费密速度0F F k v m =h 61.3810F v m s =? 4) 费密球面的横截面积02022(sin )sin F F S k k πθπθ== ――θ是F k u u r 与z 轴间夹角 21/3(3)F k n π= 2223 (3)sin S n ππθ= 5) 在室温以及低温时电子的平均自由程 电导率1σρ = 20()1 F nq E m τρ= 驰豫时间02()F m E nq τρ=平均自由程0()F F l v E τ= 2F mv l nq ρ=2F k nq ρ =h 0 K 到室温之间的费密半径变化很小01011.210F F k k m -==? 平均自由程02F k l nq ρ=h 将 19293 34010162956201.6100.58610/1.05101.2101.61100.03810F T K T K q C n m J s k m cm cm ρρ----=-==?=?=??=?=?Ω?=?Ω?h 代入 8295 5.241052.4T K l m nm -==?= 6320 2.210 2.210T K l m nm -==?=? 6.2已知一维晶体的电子能带可写成)2cos cos ()(818722 ka ka ma k E +-=η式中a 为晶格常数， 试求：(i)能带宽度 )2cos cos ()(818722 ka ka ma k E +-=η (ii)电子在波矢k 时的速度 (iii)能带底和顶的有效质量 解：(i) 0=dk dE 可解得：

《固体物理学答案》第一章晶体的结构

第一章、晶体的结构 习题 1．以刚性原子球堆积模型，计算以下各结构的致密度分别为： （1）简立方， 6 π ; （2）体心立方, ; 8 3 π （3）面心立方，; 6 2 π（4）六角密积，; 6 2 π （5）金刚石结构，; 16 3 π [解答] 设想晶体是由刚性原子球堆积而成，一个晶胞中刚性原子球占据的体积与晶胞体积的比值称为结构的致密度， 设n为一个晶胞中的刚性原子球数,r表示刚性原子球半径，V表示晶胞体 积，则致密度ρ= V r n3 3 4 π （1）对简立方晶体，任一个原子有6个最近邻，若原子以刚性球堆积，如图 1.2所示，中心在1，2，3，4处的原子球将依次相 切，因为, , 4 33a V r a= = 面1.2 简立方晶胞 晶胞内包含1个原子，所以 ρ= 6 ) ( 3 3 2 3 4π π = a a （2）对体心立方晶体，任一个原子有8个最近邻，若原子刚性球堆积，如图1.3所示，体心位置O的原子8个角顶位置的原子球相切，因为晶胞空间对角线的长度为, , 4 33a V r a= =晶胞内包含2个原子，所以 ρ=π π 8 3 ) ( * 2 3 3 4 3 3 4 = a a

图1.3 体心立方晶胞 （3）对面心立方晶体，任一个原子有12个最近邻，若原子以刚性球堆积，如图1.4所示，中心位于角顶的原子与相邻的3个面心原子球相切，因为 3,42a V r a ==，1个晶胞内包含4个原子，所以 ρ= 6 2) ( *43 3 4 234ππ= a a . 图1.4面心立方晶胞 （4）对六角密积结构，任一个原子有12个最近邻，若原子以刚性球堆积，如图1。5所示，中心在1的原子与中心在2，3，4的原子相切，中心在5的原子与中心在6，7，8的原子相切， 图 1.5 六角晶胞 图 1.6 正四面体 晶胞内的原子O 与中心在1，3，4，5，7，8处的原子相切，即O 点与中心在5，7，8处的原子分布在正四面体的四个顶上，因为四面体的高 h =2 23 2 32c r a == 晶胞体积 V = 2 22 360sin ca ca = , 一个晶胞内包含两个原子，所以 ρ= ππ62)(*22 2 3 3 234= ca a .

固体物理基础答案解析吴代鸣复习课程

固体物理基础答案解 析吴代鸣

1.试证理想六方密堆结构中c/a=1.633. 证明： 如图所示，六方密堆结构的两个晶格常数为a 和c 。右边为底面的俯视图。而三个正三角形构成的立体结构，其高度为 2．若晶胞基矢c b a ,,互相垂直，试求晶面族（hkl ）的面间距。 解： c b a ,,互相垂直，可令k c c j b b i a a ===,, 晶胞体积abc c b a v =??=)( 倒格子基矢： k c j b i a abc b a v b j b i a k c abc a c v b i a k c j b ab c c b v b πππππππππ2)(2)(22)(2)(22)(2)(2321=?=?==?=?==?=?= 而与 （hkl ）晶面族垂直的倒格矢 2 22321)()()(2) (2c l b k a h G k c l j b k i a h b l b k b h G ++=∴++=++=ππ 故（hkl ） 晶面族的面间距

2222 22)()()(1)()()(222c l b k a h c l b k a h G d ++= ++= =ππ π 3．若在体心立方晶胞的每个面中心处加一个同类原子，试说明这种晶体的原胞应如何选择？每个原胞含有几个原子？ 答： 通过分析我们知道，原胞可选为简单立方，每个原胞中含有5个原子。 体心，八个顶点中取一个，对面面心各取一个原子（即三个）作为基元。布拉菲晶格是简单立方格子。 4．试求面心立方结构的（111）和（110）面的原子面密度。 解： （111）面 平均每个（111）面有22 1 3613=?+?个原子。 （111）面面积( )222232 322)2 2( )2(221 a a a a a a =?= -? 所以原子面密度2 2)111(34 2 32a a = = σ （110）面 平均每个（110）面有22 1 2414=?+? 个原子。 （110）面面积222a a a =? 所以（110）面原子面密度2 2 )110(222a a = = σ 5．设二维矩形格子的基矢为j a a i a a 2,21==，试画出第一、二、三、布里渊区。 解： 倒格子基矢： j b j a j a j ax x a a a a v b k x a i a x i a x a a a a v b 113233212 12212222)(2) (2222)(2===??=?===??=?=πππ ππππ 所以倒格子也是二维矩形格子。2b 方向短一半。

3.6晶格振动的实验观测

3.6 晶格振动的实验观测 一. 一般描述 二. 非弹性X-射线散射 三. Raman 散射和Brilouin 散射 四. 远红外和红外吸收光谱 参考黄昆36Kitt l 845五. 非弹性中子散射 六. 隧道谱 参考：黄昆书3.6 节, Kittel 8 版4.5 节 P .Bruesch Phonons: Theory and Experiments Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ其中第2卷是测量方法。 由于多种原因我国晶格振动的实验观测相对落后由于多种原因，我国晶格振动的实验观测相对落后，各种固体教材中介绍该内容相对较少，应该予以弥补。

一.一般描述： 从上面讨论中我们已经看到晶格振动是影响固体很多从上面讨论中我们已经看到：晶格振动是影响固体很多性质的重要因素，而且只要T ≠0K ，原子的热运动就是理解。所以从实验上观测晶格振动的固体性质时不可忽视的因素所以从实验观测晶格振动的规律是固体微观结构研究的重要内容，是固体物理实验方法的核心内容之一。（晶体结构测定；晶格振动谱测定；费米面测定缺陷观测等）面测定；缺陷观测；等。） ： 晶格振动规律主要通过晶格振动谱反映 1.晶格振动色散关系： ()j q ωω=f 2.态密度：()() g ωω= 实验观测就围绕着这两条曲线的测 定进行,包括各种因素对它们的影响以及 声子的寿命等。主要通过辐射波和晶格 振动的相互作用来完成。

其中最重要、最普遍的方法是： Far-Infrared and (FIR)Infrared Spectroscope (IR) 远红外和红外光谱Raman Spectroscope (R) 电磁波Raman Spectroscope (R) 喇曼光谱Brillouin Spectroscope (B) 布里渊散射谱Diffuse X-Ray Scattering X 射线漫散射Inelastic neutron Scattering (INS) e ast c eut o Scatte g (S) 非弹性中子散射Ultrasonic methods (US) 超声技术 （IETS)非弹性电子隧道谱

固体物理答案 第2章

2.1证明两种一价离子组成的一维晶格的马德隆常数为2ln 2α=。 证：考虑到由两种一价离子组成的一维晶格的内能（相互作用能）仅与库仑势有关，可写作： 2 20 000 (1)44(1)1112(1)2ln 2234n n n n q q U nr r n α πεπεα≠≠-= =--∴=-=-?-+-+-=∑∑ 注：234 111ln(1)234 x x x x x +=- +-+。2是考虑左右离子对称。 2.2讨论使离子电荷加倍所引起的对NaCl 晶格常数及结合能的影响（排斥势看作不变）。 解：（1）晶格常数 电荷加倍前： 206()()4n n e b A B U N N r r r r απε=-+=-+ 由平衡条件：0 () 0r r U r r =?=?，可得 110()n nB r A -= 。 电荷加倍后： 2' 0464()()4n n e b A B U N N r r r r απε=-+=-+ 同样由平衡条件： ' '()0r r U r r =?=?，可得 1' 10()4n nB r A -= 所以 001 1 '04r r r n ≈=-- ，即1>>n 时，晶格常数可认为不变。 （2）结合能 电荷加倍前： 20001 ()(1)4N e W U r r n απε=-=- 电荷加倍后： 22' '' 1 1' 001 0041 4()(1)4444 n n n N e N e W U r W r n r ααπεπε---=-=-== 当1>>n 时，有W 'W 4=，结合能增加为原来的4倍。 2.3若一晶体两个离子间的相互作用能可表示为 ，晶体体积为3NAr V =(A 为常数，N 为原胞数目），试求：（1）平衡间距；（2）结合能W （单个离子的）；（3）体弹性模量的表达式；（4）若取02,10,3m n r ===?,4W =eV,求,αβ值。 解： （1）平衡间距 ()=-+m n αβ U r r r

固体物理填空简答有答案版

第一章 晶体结构 1、填空题 1.1理论证明由10种对称素只能组成（ 32 ）种不同的点群即晶体的宏观对称只有32个不同类型 1.2 根据晶胞基矢之间的夹角、长度关系可将晶体分为（ 7大晶系 ）对应的只有（14种布拉伐格子 ） 1.3面心立方晶体在（100）方向上表面二维布拉伐格子是（ 正方格子 ）在（111）方向上表面二维布拉伐格子是( 密排结构 ) 1.4晶体表面二维晶格的点群表示，由于晶格周期性在Z 轴方向的限制，二维晶格的对称素只有( 6 )个，即垂直于表面的n 重转轴( 1、2、3、4、6 )，垂直于表面的镜面反演( 1 ) 个。由( 6 )种对称素可以组成( 10 )种二维点群，按照点群对基矢的要求划分，二维格子有( 4 )个晶系，( 5 )种布拉伐格子 1.5在结晶学中, 晶胞选取的原则是既要考虑晶体结构的（ 周期性 ）又要考虑晶体的（ 宏观对称性 ） 1.6六角密积属（ 六角晶系 ）, 一个晶胞( 平行六面体 )包含（ 两个 ）原子. 1.7对晶格常数为a 的SC 晶体,与正格矢R =ai +2aj +2ak 正交的倒格子晶面族的面指数为 ( 122 ), 其面间距为(a 32π ). 1.8典型离子晶体的体积为V , 最近邻两离子的距离为R , 晶体的格波数目为(343R V π), 长光学波的( 纵 )波会引起离子晶体宏观上的极化. 1.9金刚石晶体的结合类型是典型的( 共价结合 )晶体, 它有( 6 )支格波 1.10按照惯例，面心立方原胞的基矢为（ )(2),(2),(2321i k a a k j a a j i a a ??????+=+=+= ），体心立方原胞基矢为（ )(2),(2),(2321i k j a a k j i a a k j i a a ?????????++-=++-=-+= ）。 2、简答题 1.10简述基本术语基元、格点、布拉菲格子。 基元：组成晶体的最小基本单元，整个晶体可以看成是基元的周期性重复排列构成。 格点：将基元抽象成一个代表点，该代表点位于各基元中等价的位置。 布拉菲格子：格点在空间周期性重复排列所构成的阵列。 1.11 在结晶学中, 晶胞是按晶体的什么特性选取的? 答：在结晶学中，晶胞选取的原则是既要考虑晶体结构的周期性又要考虑晶体的宏观对称性。 1.12六角密积属何种晶系? 一个晶胞包含几个原子? 解答 六角密积属六角晶系 一个晶胞平行六面体包含两个原子. 1.13 解理面是面指数低的晶面还是指数高的晶面？为什么？ 解答]晶体容易沿解理面劈裂，说明平行于解理面的原子层之间的结合力弱，即平行解理面的原子层的间距大. 因为面间距大的晶面族的指数低, 所以解理面是面指数低的晶面. 1.14 与晶列[l 1l 2l 3]垂直的倒格面的面指数是什么?

第二章 晶格振动和晶格缺陷

第二章 晶格振动和晶格缺陷 上一章里，把组成晶体的原子或离子看成是固定不动的，都处在其平衡位置上。实际晶体中的原子却是不停地在其平衡位置附近做热振动的，并且随着温度的升高，振动会不断加剧。这种热振动也称晶格振动，它会破坏晶格的周期性，在晶格中造成缺陷，从而对半导体的性质产生重要影响。实际三维晶体中原子的振动现象很复杂，我们只分析一维晶体（单原子和双原子链）的振动，然后将所得到的规律和结论推广到三维晶体中。 §2-1 一维均匀线的振动 为研究一维原子链的振动，首先复习一下一维均匀线中弹性波（纵波）的传播现象。设均匀线的质量密度为ρ，弹性模量为K ，又设线上每一点只能沿线本身的方向运动，如图2-1所示。 若在线段x ?上施加一作用力，它将引起x 点的纵向位移u （x ）。此时在x 处的 相对伸长，即形变为x u x e ??=)(，在x x ?+处的形变则为x x u x e x x e ???+=?+22)()(。 因此在线元x ?上的作用力 []x x u K x e x x e K F x ???=-?+=?22)()( （2-1） 此作用力还可表示为线元质量x ?ρ乘上加速度22t u ??，即 22t u x F x ???=?ρ （2-2） 从而有 22t u ??=22 222x u x u K ??=??υρ （2-3） 式中，ρ υK = 是弹性波的传播速度（声波速度），与振动频率无关。（2-3）式 称线性振动方程，其解为具有如下形式的简谐波 [ ])(e x p ),(t qx i A t x u ω-= （2-4） 式中，A 为振幅，πνω2=为角频率，ν为振动频率，λ π 2=q 为波矢（波数 λ 1 π2?）， λνυ=为波速，从而有 q υλπυπνω===/22 （2-5）

固体物理基础答案

1.试证理想六方密堆结构中c/a=1.633. 证明： 如图所示，六方密堆结构的两个晶格常数为a 和c 。右边为底面的俯视图。而三个正三角形构成的立体结构，其高度为 2．若晶胞基矢c b a , ,互相垂直，试求晶面族（hkl）的面间距。 解： c b a ,,互相垂直，可令k c c j b b i a a , , 晶胞体积abc c b a v ) ( 倒格子基矢： k c j b i a abc b a v b j b i a k c abc a c v b i a k c j b abc c b v b 2 ) ( 2 ) ( 2 2 ) ( 2 ) ( 2 2 ) ( 2 ) ( 2 3 2 1 而与（hkl）晶面族垂直的倒格矢 2 2 2 3 2 1 ) ( ) ( ) ( 2 ) ( 2 c l b k a h G k c l j b k i a h b l b k b h G 故（hkl）晶面族的面间距 2 2 2 2 2 2 ) ( ) ( ) ( 1 ) ( ) ( ) ( 2 2 2 c l b k a h c l b k a h G d

3．若在体心立方晶胞的每个面中心处加一个同类原子，试说明这种晶体的原胞应如何选择？每个原胞含有几个原子？ 答： 通过分析我们知道，原胞可选为简单立方，每个原胞中含有5个原子。 体心，八个顶点中取一个，对面面心各取一个原子（即三个）作为基元。布拉菲晶格是简单立方格子。 4．试求面心立方结构的（111）和（110）面的原子面密度。 解： （111）面 平均每个（111）面有22 1 3613 个原子。 （111）面面积 222232 322)2 2( )2(22 1 a a a a a a 所以原子面密度2 2)111(34 2 32a a （110）面 平均每个（110）面有22 1 2414 个原子。 （110）面面积2 22a a a 所以（110）面原子面密度22 )110(2 22a a 5．设二维矩形格子的基矢为j a a i a a 2,21 ，试画出第一、二、三、布里渊区。 解： 倒格子基矢： j b j a j a j ax x a a a a v b k x a i a x i a x a a a a v b 113233212 12212222)(2) (2222)(2 所以倒格子也是二维矩形格子。2b 方向短一半。 最近邻;,22b b 次近邻;2,2,,2211b b b b 再次近邻;,,,12122121b b b b b b b b 再再次近邻;3,322b b 做所有这些点与原点间连线的垂直平分线，围成布里渊区。再按各布里渊区的判断原则进行判断，得： 第一布里渊区是一个扁长方形； 第二布里渊区是2块梯形和2块三角形组成； 第三布里渊区是2对对角三角和4个小三角以及2个等腰梯形组成。