立体几何知识点总结完整版
【2013考纲解读】
1、平面的概念及平面的表示法,理解三个公理及三个推论的内容及作用,初步掌握性质与推论的简单应用。
2、空间两条直线的三种位置关系,并会判定。
3、平行公理、等角定理及其推论,了解它们的作用,会用它们来证明简单的几何问题,掌握证明空间两直线平行及角相等的方法。
4、异面直线所成角的定义,异面直线垂直的概念,会用图形来表示两条异面直线,掌握异面直线所成角的范围,会求异面直线的所成角。
5.理解空间向量的概念,掌握空间向量的加法、减法和数乘;了解空间向量的基本定理,理解空间向量坐标的概念,掌握空间向量的坐标运算;掌握空间向量的数量积的定义及其性质,掌握用直角坐标计算空间向量数量积公式.
6.了解多面体、凸多面体、正多面体、棱柱、棱锥、球的概念.掌握棱柱,棱锥的性质,并会灵活应用,掌握球的表面积、体积公式;能画出简单空间图形的三视图,能识别上述的三视图所表示的立体模型,会用斜二测法画出它们的直观图.
7.空间平行与垂直关系的论证.
8. 掌握直线与平面所成角、二面角的计算方法,掌握三垂线定理及其逆定理,并能熟练解决有关问题,进一步掌握异面直线所成角的求解方法,熟练解决有关问题.
9.理解点到平面、直线和直线、直线和平面、平面和平面距离的概念会用求距离的常用方法(如:直接法、转化法、向量法).对异面直线的距离只要求学生掌握作出公垂线段或用向量表示的情况)和距离公式计算距离。
【知识络构建】
【重点知识整合】 1.空间几何体的三视图
(1)正视图:光线从几何体的前面向后面正投影得到的投影图; (2)侧视图:光线从几何体的左面向右面正投影得到的投影图; (3)俯视图:光线从几何体的上面向下面正投影得到的投影图. 几何体的正视图、侧视图和俯视图统称为几何体的三视图. 2.斜二测画水平放置的平面图形的基本步骤
(1)建立直角坐标系,在已知水平放置的平面图形中取互相垂直的Ox ,Oy ,建立直角坐标系;
(2)画出斜坐标系,在画直观图的纸上(平面上)画出对应的Ox ′,Oy ′,使∠x ′Oy ′=45°(或135°),它们确定的平面表示水平平面;
(3)画对应图形,在已知图形中平行于x 轴的线段,在直观图中画成平行于x ′轴,且长度保持不变;在已知图形中平行于y 轴的线段,在直观图中画成平行于y ′轴,且长度变为原来的一半;
(4)擦去辅助线,图画好后,要擦去x 轴、y 轴及为画图添加的辅助线(虚线). 3.体积与表面积公式:
(1)柱体的体积公式:V =柱Sh ;锥体的体积公式: V =锥1
3
Sh ; 台体的体积公式: V =
棱台1()3h S SS S ''+;球的体积公式: V =球34
3
r π. (2)球的表面积公式: 2
4S R π=球. 【高频考点突破】
考点一空间几何体与三视图
1.一个物体的三视图的排列规则是:俯视图放在正视图的
下面,长度与正视图的长度一样,侧视图放在正视图的右面,高度与正视图的高度一样,宽度与俯视图的宽度一样.即“长对正、高平齐、宽相等”.
2.画直观图时,与坐标轴平行的线段仍平行,与x轴、z轴平行的线段长度不变,与y轴平行的线段长度减半.
例1、将长方体截去一个四棱锥,得到的几何体如图所示,则该几何体的侧视图为()
解析:如图所示,点D1的投影为点C1,点D的投影为点C,点A的投影为点B.
答案:D
【方法技巧】该类问题主要有两种类型:一是由几何体确定三视图;二是由三视图还原成几何体.解决该类问题的关键是找准投影面及三个视图之间的关系.抓住“正侧一样高,正俯一样长,俯侧一样宽”的特点作出判断.
考点二空间几何体的表面积和体积
常见的一些简单几何体的表面积和体积公式:
圆柱的表面积公式:S=2πr2+2πrl=2πr(r+l)(其中r为底面半径,l为圆柱的高);
圆锥的表面积公式:S=πr2+πrl=πr(r+l)(其中r为底面半径,l为母线长);
圆台的表面积公式:S=π(r′2+r2+r′l+rl)(其中r和r′分别为圆台的上、下底面半径,l 为母线长);
柱体的体积公式:V =Sh (S 为底面面积,h 为高); 锥体的体积公式:V =1
3
Sh (S 为底面面积,h 为高);
台体的体积公式:V =1
3(S ′+S ′S +S )h (S ′、S 分别为上、下底面面积,h 为高);
球的表面积和体积公式:S =4πR 2,V =4
3
πR 3(R 为球的半径).
例 2、如图所示,某几何体的正视图是平行四边形,侧视图和俯视图都是矩形,则该几何体的体积为
( )
A .6 3
B .9 3
C .12 3
D .18 3
解析:由三视图可还原几何体的直观图如图所示.此几何体可通过分割和补形的方法拼凑成一个长和宽均为3,高为3的长方体,所求体积V =3×3×3=9 3.
答案:B 【方法技巧】
1.求三棱锥体积时,可多角度地选择方法.如体积分割、体积差、等积转化法是常用的方法.
2.与三视图相结合考查面积或体积的计算时,解决时先还原几何体,计算时要结合平面图形,不要弄错相关数量.
3.求不规则几何体的体积常用分割或补形的思想将不规则几何体转化为规则几何体以易于求解.
4.对于组合体的表面积要注意其衔接部分的处理.
考点三球与空间几何体的“切”“接”问题
1.长方体、正方体的外接球其体对角线长为该球的直径.
2.正方体的内切球其棱长为球的直径.
3.正三棱锥的外接球中要注意正三棱锥的顶点、球心及底面正三角形中心共线.
4.正四面体的外接球与内切球的半径之比为3∶1.
例3、一个棱锥的三视图如图,则该棱锥的外接球的表面积为________.
【方法技巧】1.涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时,一般过球心及多面体中的特殊点或线作截面,把空间问题化归为平面问题.
2.若球面上四点P、A、B、C构成的线段P A、PB、PC两两垂直,且P A=a,PB=b,PC=c,则4R2=a2+b2+c2(R为球半径).可采用“补形”法,构造长方体或正方体的外接球去处理.
考点四空间线线、线面位置关系
(1)线面平行的判定定理:a?α,b?α,a∥b?a∥α.
(2)线面平行的性质定理:a∥α,a?β,α∩β=b?a∥b.
(3)线面垂直的判定定理:
m?α,n?α,m∩n=P,l⊥m,l⊥n?l⊥α.
(4)线面垂直的性质定理:a⊥α,b⊥α?a∥b.
例4、如图,在四面体P ABC中,PC⊥AB,P A⊥BC,点D,E,F,G分别是棱AP,AC,BC,PB的中点.
(1)求证:DE∥平面BCP;
(2)求证:四边形DEFG为矩形;
(3)是否存在点Q,到四面体P ABC六条棱的中点的距离相等?说明理由.解:(1)证明:因为D,E分别为AP,AC的中点,
所以DE∥PC.
又因为DE?平面BCP,
所以DE∥平面BCP.
(2)证明:因为D,E,F,G分别为AP,AC,BC,PB的中点,
所以DE∥PC∥FG,DG∥AB∥EF.
所以四边形DEFG为平行四边形.
又因为PC⊥AB,
所以DE⊥DG.
所以四边形DEFG为矩形.
(3)存在点Q满足条件,理由如下:
连接DF,EG,设Q为EG的中点.
由(2)知,DF ∩EG =Q ,且QD =QE =QF =QG =1
2
EG .
分别取PC ,AB 的中点M ,N ,连接ME ,EN ,NG ,MG ,MN .
与(2)同理,可证四边形MENG 为矩形,其对角线交点为EG 的中点Q ,且QM =QN =
1
2EG ,
所以Q 为满足条件的点. 【方法技巧】
1.证明线线平行常用的两种方法: (1)构造平行四边形; (2)构造三角形的中位线. 2.证明线面平行常用的两种方法: (1)转化为线线平行; (2)转化为面面平行.
3.证明直线与平面垂直往往转化为证明直线与直线垂直.而证明直线与直线垂直又需要转化为证明直线与平面垂直.
考点五 空间面面位置关系
1.面面垂直的判定定理:a ?β,a ⊥α?α⊥β. 2.面面垂直的性质定理: α⊥β,α∩β=l ,a ?α,a ⊥l ?a ⊥β. 3.面面平行的判定定理:
a ?β,
b ?β,a ∩b =A ,a ∥α,b ∥α?α∥β. 4.面面平行的性质定理: α∥β,α∩γ=a ,β∩γ=b ?a ∥b . 5.面面平行的证明还有其它方法:
?
???
?
1
a 、
b ?α且a ∩b =A
c 、
d ?β且c ∩d =B a ∥c ,b ∥d
?α∥β, (2)a ⊥α、a ⊥β ?α∥β.
例5、如图,在四棱锥P -ABCD 中,平面P AD ⊥平面ABCD ,AB =AD ,∠BAD =60°,E ,F 分别是AP ,AD 的中点.求证:
(1)直线EF∥平面PCD;
(2)平面BEF⊥平面P AD.
【证明】(1)如图,在△P AD中,因为E,F分别为AP,AD的中点,
【方法技巧】
1.垂直问题的转化方向
面面垂直?线面垂直?线线垂直.主要依据有关定义及判定定理和性质定理证明.具体
如下:
(1)证明线线垂直:①线线垂直的定义;②线面垂直的定义;③勾股定理等平面几何中的有关定理.
(2)证明线面垂直:①线面垂直的判定定理;②线面垂直的性质定理;③面面垂直的性质定理.
(3)证明面面垂直:①面面垂直的定义;②面面垂直的判定定理.
2.证明面面平行的常用的方法是利用判定定理,其关键是结合图形与条件在平面内寻找两相交直线分别平行于另一平面.
例6、如图,平面P AC⊥平面ABC,△ABC是以AC为斜边的等腰直角三角形,E,F,O 分别为P A,PB,AC的中点,AC=16,P A=PC=10.
(1)设G是OC的中点,证明:FG∥平面BOE;
(2)证明:在△ABO内存在一点M,使FM⊥平面BOE.
【证明】
(1)如图,连接OP,以点O为坐标原点,OB,OC,OP所在直线为x轴,y轴,z轴,
建立空间直角坐标系O-xyz,则O(0,0,0),A(0,-8,0),B(8,0,0),C(0,8,0),P(0,0,6),E(0,-4,3),F(4,0,3).
【方法技巧】
1.用向量法来证明平行与垂直,避免了繁杂的推理论证而直接计算就行了.把几何问题代数化.尤其是正方体、长方体、直四棱柱中相关问题证明用向量法更简捷.但是向量法要求计算必须准确无误.
2.利用向量法的关键是正确求平面的法向量.赋值时注意其灵活性.注意(0,0,0)不能作为法向量.
考点七利用空间向量求角
1.向量法求异面直线所成的角:
若异面直线a,b的方向向量分别为a,b,异面直线所成的角为θ,则cosθ=|cos〈a,b〉
|=|a·b|
|a||b|.
2.向量法求线面所成的角:
求出平面的法向量n,直线的方向向量a,设线面所成的角为θ,则sinθ=|cos〈n,a〉
|=|n·a|
|n||a|.
3.向量法求二面角:
求出二面角α-l-β的两个半平面α与β的法向量n1,n2,若二面角α-l-β所成的角θ为锐角,
则cosθ=|cos〈n1,n2〉|=|n1·n2| |n1||n2|;
若二面角α-l-β所成的角θ为钝角,
则cosθ=-|cos〈n1,n2〉|=-|n1·n2|
|n1||n2|.
例7、如图,在四棱锥P-ABCD中,P A⊥平面ABCD,底面ABCD是菱形,AB=2,∠BAD=60°.
(1)求证:BD⊥平面P AC;
(2)若P A=AB,求PB与AC所成角的余弦值;
(3)当平面PBC与平面PDC垂直时,求P A的长.
(3)由(2)知=(-1,3,0)
设P(0,-3,t)(t>0),
则=(-1,-3,t),
设平面PBC的一个法向量m=(x,y,z),
考点八利用空间向量解决探索性问题
利用空间向量解决探索性问题,它无需进行复杂繁难的作图、论证、推理,只须通过坐标运算进行判断,在解题过程中,往往把“是否存在”问题,转化为“点的坐标是否有解,是否有规定范围的解”等,可以使问题的解决更简单、有效,应善于运用这一方法.例8、如图,在三棱锥P-ABC中,AB=AC,D为BC的中点,PO⊥平面ABC,垂足O落在线段AD上.
已知BC=8,PO=4,AO=3,OD=2.
(1)证明:AP⊥BC;
(2)在线段AP上是否存在点M,使得二面角A-MC-B为直二面角?若存在,求出AM 的长;若不存在,请说明理由.
解:(1)证明:如图,以O为原点,以射线OP为z轴的正半轴,建立空间直角坐标系O -xyz.
即?
????
x 1=0,z 1=2+3λ
4-4λy 1,可取n 1=(0,1,2+3λ4-4λ). 由?
???
?
·n 2=0,
·n 2=0,即?????
3y 2+4z 2=0,
-4x 2+5y 2
=0, 得???
x 2
=5
4y 2
,
z 2
=-3
4
y 2
,可取n 2=(5,4,-3).
由n 1·n 2=0,得4-3·2+3λ4-4λ
=0,
解得λ=2
5
,故AM =3.
综上所述,存在点M 符合题意,AM =3. 【难点探究】
难点一 空间几何体的表面积和体积
例1、(1)一个空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为( )
A .48
B .32+817
C .48+817
D .80
(2)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )
A .92π+12
B .9
2π+18
C .9π+42
D .36π+18 【答案】(1)C (2)B
【解析】 (1)由三视图可知本题所给的是一个底面为等腰梯形的放倒的直四棱柱(如图所示),所以该直四棱柱的表面积为S =2×1
2
×(2+4)×4+4×4+2×4+2×1+16×4=48+817.
(2)由三视图可得这个几何体是由上面是一个直径为3的球,下面是一个长、宽都为3、高为2的长方体所构成的几何体,则其体积为:V =V 1+V 2=43×π×????323+3×3×2=9
2π+18,故选B.
难点二 球与多面体
例 2、已知球的直径SC =4,A ,B 是该球球面上的两点,AB =3,∠ASC =∠BSC =30°,则棱锥S -ABC 的体积为( )
A .3 3
B .2 3 C. 3 D .1
【解题规律与技巧】
1.真实图形中和两坐标轴平行的线段在直观图中仍然和两坐标轴平行,在真实图形中与x 轴平行的线段在直观图中长度不变,在真实图形中和y 轴平行的线段在直观图中变为原来的一半.这种画法蕴含着一个一般的规律,在斜二测画法中,真实图形的面积和直观图的面积之比是2 2.
2.空间几何体的面积有侧面积和表面积之分,表面积就是全面积,是一个空间几何体中“暴露”在外的所有面的面积,在计算时要注意区分“是侧面积还是表面积”.多面体的表面积就是其所有面的面积之和,旋转体的表面积除了球之外,都是其侧面积和底面面积之和.
3.实际问题中的几何体往往不是单纯的柱、锥、台、球,往往是由柱、锥、台、球或其一部分组成的组合体,解决这类组合体体积的基本方法就是“分解”,将组合体“分解成若干部分,每部分是柱、锥、台、球或其一个部分,分别计算其体积”,然后根据组合体的结构,将整个的体积转化为这些“部分体积”的和或差.
【历届高考真题】
【2012年高考试题】
一、选择题
1.【2012高考真题新课标理7】如图,格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的
是某几何体的三视图,则此几何体的体积为()
()A6()B9()C12()D18
2.【2012高考真题浙江理10】已知矩形ABCD,AB=1,BC=2。将△沿矩形的对角线BD 所在的直线进行翻折,在翻折过程中。
A.存在某个位置,使得直线AC与直线BD垂直.
B.存在某个位置,使得直线AB与直线CD垂直.
C.存在某个位置,使得直线AD与直线BC垂直.
D.对任意位置,三对直线“AC与BD”,“AB与CD”,“AD与BC”均不垂直
【答案】C
【解析】最简单的方法是取一长方形动手按照其要求进行翻着,观察在翻着过程,即可知选项C是正确的.
3.【2012高考真题新课标理11】已知三棱锥S ABC
-的所有顶点都在球O的求面上,ABC
?是边长为1的正三角形,SC为球O的直径,且2
SC=;则此棱锥的体积为()
()
A
2
6
()B
3
6
()
C
2
3
()
D
2
2
4.【2012高考真题四川理6】下列命题正确的是()
A、若两条直线和同一个平面所成的角相等,则这两条直线平行
B、若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等,则这两个平面平行
C、若一条直线平行于两个相交平面,则这条直线与这两个平面的交线平行
D、若两个平面都垂直于第三个平面,则这两个平面平行
5.【2012高考真题四川理10】如图,半径为R的半球O的底面圆O在平面α内,过点O作平面α的垂线交半球面于点A,过圆O的直径CD作平面α成45o角的平面与半球面相交,所得交线上到平面α的距离最大的点为B,该交线上的一点P满足60
BOP
∠=o,则A、P 两点间的球面距离为()
αC
A
O
D
B
P
A、
2
arccos
4
R B、
4
R
π
C、
3
arccos
3
R D、
3
R
π
6.【2012高考真题陕西理5】如图,在空间直角坐标系中有直三棱柱111ABC A B C -,
12CA CC CB ==,则直线1BC 与直线1AB 夹角的余弦值为( )
A.
55 B.53 C. 25
5
D. 35
【答案】A. 【
解
析
】
设
a
CB =||,则
a
CC CA 2||||1==,
),2,0(),0,2,0(),,0,0(),0,0,2(11a a B a C a B a A ,
),2,0(),,2,2(11a a BC a a a AB -=-=∴,5
5
|
|||,cos 111111=
>=
<∴BC AB BC AB BC AB ,故选A.
7.【2012高考真题湖南理3】某几何体的正视图和侧视图均如图1所示,则该几何体的俯视图不可能是 ( )
9.【2012高考真题广东理6】某几何体的三视图如图所示,它的体积为
A .12π B.45π C.57π D.81π 【答案】C
【解析】该几何体的上部是一个圆锥,下部是一个圆柱,根据三视图中的数量关系,可得πππ57533-533
1
2222=??+???=
+=圆柱圆锥V V V .故选C .
10.【2012高考真题福建理4】一个几何体的三视图形状都相同、大小均相等,那么这个几何体不可以是 ( )
A.球
B.三棱柱
C.正方形
D.圆柱
11.【2012高考真题重庆理9】设四面体的六条棱的长分别为1,1,1,1,2和a ,且长为a 的棱与长为2的棱异面,则a 的取值范围是
(A )(0,2) (B )(0,3) (C )(1,2) (D )(1,3) 【答案】A 【
解
析
】
因
为
2
2211)22(
12=-=-=BE 则
BE BF <,
222=<=BE BF AB ,选A ,
12.【2012高考真题北京理7】某三棱锥的三视图如图所示,该三梭锥的表面积是( )
A. 28+65
B. 30+65
C. 56+ 125
D. 60+125 【答案】B
【解析】从所给的三视图可以得到该几何体为三棱锥,如图所示,图中蓝色数字所表示的为直接从题目所给三视图中读出的长度,黑色数字代表通过勾股定理的计算得到的边长。本题所求表面积应为三棱锥四个面的面积之和,利用垂直关系和三角形面积公式,可得:
立体几何知识点总结
立体几何知识点总结 1、 多面体(棱柱、棱锥)的结构特征 (1)棱柱: ①定义:有两个面互相平行,其余各面都是 四边形,并且每相邻两个四边形的 公共边都互相平行,由这些面所围 成的几何体叫做棱柱。 棱柱斜棱柱直棱柱正棱柱; 四棱柱平行六面体直平行六面体 长方体正底面是正方形 底面是矩形 侧棱垂直于底面 底面是平行四边形 底面是正多边形 侧棱垂直于底面 侧棱不垂直于底面
棱长都相等 四棱柱正方体。 ②性质:Ⅰ、侧面都是平行四边形;Ⅱ、两底面是全等多边形; Ⅲ、平行于底面的截面和底面全等;对角面是平行四边形; Ⅳ、长方体一条对角线长的平方等于一个顶点上三条棱的长的平方和。 (2)棱锥: ①定义:有一个面是多边形,其余各面是有 一个公共顶点的三角形,由这些面 围成的几何体叫做棱锥; 正棱锥:底面是正多边形,并且顶点在底面内的射影是底面中心,这样的棱锥叫做正棱锥; ②性质: Ⅰ、平行于底面的截面和底面相似, 截面的边长和底面的对应边边长的比 等于截得的棱锥的高与原棱锥的高的 比; 它们面积的比等于截得的棱锥的高与 原棱锥的高的平方比;
截得的棱锥的体积与原棱锥的体积的 比等于截得的棱锥的高与原棱锥的高 的立方比; Ⅱ、正棱锥性质:各侧面都是全等的等腰三 角形;通过四个直角三角形POH Rt ?,POB Rt ?, PBH Rt ?,BOH Rt ?实现边,高,斜高间的换算 2、 旋转体(圆柱、圆锥、球)的结构特征 A B C D O H P
(2)性质: ①任意截面是圆面(经过球心的平面,截得 的圆叫大圆,不经 过球心的平面截得 的圆叫 小圆) ②球心和截面圆心的连线垂直于截面,并且 2d 2 =,其中R为球半径,r为截 r- R 面半径,d为球心的到截面的距离。 3、柱体、锥体、球体的表面积与体积 (1)几何体的表面积为几何体各个面的面积的和。
立体几何知识点汇总(全) 1.平面 平面的基本性质:掌握三个公理及推论,会说明共点、共线、共面问题。 (1).证明点共线的问题,一般转化为证明这些点是某两个平面的公共点(依据:由点在线上,线在面内,推出点在面内),这样可根据公理2证明这些点都在这两个平面的公共直线上。 (2).证明共点问题,一般是先证明两条直线交于一点,再证明这点在第三条直线上,而这一点是两个平面的公共点,这第三条直线是这两个平面的交线。 (3).证共面问题一般先根据一部分条件确定一个平面,然后再证明其余的也在这个平面内,或者用同一法证明两平面重合 2. 空间直线. (1). 空间直线位置关系三种:相交、平行、异面. 相交直线:共面有且仅有一个公共点;平行直线:共面没有公共点;异面直线:不同在任一平面内,无公共点 [注]:①两条异面直线在同一平面内射影一定是相交的两条直线.(×)(也可能两条直线平行,也可能是点和直线等) ②直线在平面外,指的位置关系是平行或相交 ③若直线a、b异面,a平行于平面α,b与α的关系是相交、平行、在平面α内. ④两条平行线在同一平面内的射影图形是一条直线或两条平行线或两点. ⑤在平面内射影是直线的图形一定是直线.(×)(射影不一定只有直线,也可以是其他图形) ⑥在同一平面内的射影长相等,则斜线长相等.(×)(并非是从平面外一.点.向这个平面所引的垂线段和斜线段) ⑦b a,是夹在两平行平面间的线段,若 a,的位置关系为相交或平行或异面. a=,则b b ⑧异面直线判定定理:过平面外一点与平 面内一点的直线和平面内不经过该点的直线是
异面直线.(不在任何一个平面内的两条直线) (2). 平行公理:平行于同一条直线的两条直线互相平行. 等角定理:如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同,那么这两个角相等。 (直线与直线所成角]90,0[??∈θ)(向量与向量所成角])180,0[οο∈θ 推论:如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行,那么这两组直线所成锐角(或直角)相等. (3). 两异面直线的距离:公垂线段的长度. 空间两条直线垂直的情况:相交(共面)垂直和异面垂直. [注]:21,l l 是异面直线,则过21,l l 外一点P ,过点P 且与21,l l 都平行平面有一个或没有,但与21,l l 距离相等的点在同一平面内. (1L 或2L 在这个做出的平面内不能 叫1L 与2L 平行的平面) 3. 直线与平面平行、直线与平面垂直. (1). 空间直线与平面位置分三种:相交、平行、在平面内. (2). 直线与平面平行判定定理:如果平面外一条直线和这个平面内一条直线平行,那么这条直线和这个平面平行.(“线线平行?线面平行”) [注]:①直线a 与平面α内一条直线平行,则a ∥α. (×)(平面外一条直线) ②直线a 与平面α内一条直线相交,则a 与平面α相交. (×)(平面外一条直线) ③若直线a 与平面α平行,则α内必存在无数条直线与a 平行. (√)(不是任意一条直线,可利用平行的传递性证之) ④两条平行线中一条平行于一个平面,那么另一条也平行于这个平面. (×)(可能在此平面内) ⑤平行于同一个平面的两直线平行.(×)(两直线可能相交或者异面) ⑥直线l 与平面α、β所成角相等,则α∥β.(×)(α、β可能相交) (3). 直线和平面平行性质定理:如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交,那么这条直线和交线平行.(“线面平行?线线
知识点-立体几何知识点常见结论汇总
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O A B C D E F 垂 立体几何高考知识点和解题思想汇总 补充:三角形内心、外心、重心、垂心知识 四心的概念介绍: (1)重心——中线的交点:重心将中线长度分成2:1; (2)垂心——高线的交点:高线与对应边垂直; (3)内心——角平分线的交点(内切圆的圆心):角平分线上的任意点到角两边的距离相等; (4)外心——中垂线的交点(外接圆的圆心):外心到三角形各顶点的距离相等。 若P 为ABC ?所在平面外一点, O 是点P 在 ABC ?内的射影,则: ①若PA PB PC ==或PA 、PB 、PC 与 所成角均相等, 则O 为ABC ?的外心; ②若P 到ABC ?的三边的距离相等, 则O 为△ABC 的内心; ③若PA 、PB 、PC 两两互相垂直, 或,PA BC PB AC ⊥⊥则O 为ABC ?的垂心. 常见空间几何体定义: 1 .棱柱:有两个面互相平行,其余各面都是四边形,并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行,由这些面所围成的几何体叫做棱柱,这两个面为底面,其他面为侧面。 棱柱具有下列性质: 1)棱柱的各个侧面都是平行四边形,所有的侧棱都平行且相等; 2)棱柱的两个底面与平行于底面的截面是对应边互相平行的全等多边形。 3)直棱柱的侧棱长与高相等;直棱柱的侧面及经过不相邻的两条侧棱的截面都是矩形。 棱柱的分类: 斜棱柱:侧棱不垂直于底面的棱柱叫做斜棱柱。 直棱柱:侧棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱。直棱柱的各个侧面都是矩形; 正棱柱:底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱。正棱柱的各个侧面都是全等的矩形。 平行六面体:底面是平行四边形的棱柱。 直平行六面体:侧棱垂直于底面的平行六面体叫直平行六面体。 长方体:底面是矩形的直棱柱叫做长方体 2 .棱锥:有一个面是多边形 ,其余各面都是有一个公共顶点的三角形,由这些面所围成的几何体叫做棱锥.(1) 如果一个棱锥的底面是正多边形,且顶点与底面中心的连线垂直于底面,这样的棱锥称为正棱锥.正棱锥具有性质:①正棱锥的顶点和底面中心的连线即为高线;②正棱锥的侧面是全等的等腰三角形,这些等腰三角形底边上的高都相等,叫做这个正棱锥的斜高. (2) 底边长和侧棱长都相等的三棱锥叫做正四面体. A B C O 外 I K H E F D A B C M 内 A B C D E F G 重
立体几何知识点整理(文科) 一. 直线和平面的三种位置关系: 1. 线面平行 l 符号表示: 2. 线面相交 符号表示: 3. 线在面内 符号表示: 二.平行关系: 1.线线平行: 方法一:用线面平行实现。 m l m l l // // ? ? ? ? ? ? = ? ? β α β α 方法二:用面面平行实现。 m l m l// // ? ? ? ? ? ? = ? = ? β γ α γ β α 方法三:用线面垂直实现。 若α α⊥ ⊥m l,,则m l//。 方法四:用向量方法: 若向量l和向量m共线且l、 m不重合,则m l//。 2.线面平行: 方法一:用线线平行实现。 α α α// // l l m m l ? ? ? ? ? ? ? ? 方法二:用面面平行实现。 α β β α // // l l ? ? ? ? ? 方法三:用平面法向量实现。 若n为平面α的一个法向量,l n⊥且α ? l,则 α // l。 3.面面平行: 方法一:用线线平行实现。 β α α β // ' ,' , ' // ' // ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 且相交 且相交 m l m l m m l l l
方法二:用线面平行实现。 βαβαα //,////??? ? ???且相交m l m l 三.垂直关系: 1. 线面垂直: 方法一:用线线垂直实现。 αα⊥???? ? ??? ?=?⊥⊥l AB AC A AB AC AB l AC l , 方法二:用面面垂直实现。 αββαβα⊥??? ? ?? ?⊥=?⊥l l m l m , 2. 面面垂直: 方法一:用线面垂直实现。 βαβα⊥?? ?? ?⊥l l 方法二:计算所成二面角为直角。 3. 线线垂直: 方法一:用线面垂直实现。 m l m l ⊥?? ?? ?⊥αα 方法二:三垂线定理及其逆定理。 PO l OA l PA l αα⊥? ? ⊥?⊥???? 方法三:用向量方法: 若向量l 和向量m 的数量积为0,则m l ⊥。 三. 夹角问题。 (一) 异面直线所成的角: (1) 范围:]90,0(?? (2)求法: 方法一:定义法。 步骤1:平移,使它们相交,找到夹角。
必修2 第一章 空间几何体知识点总结 一.空间几何体的三视图 正视图:光线从几何体的前面向后面正投影得到的投影图;反映了物体的高度和长度 侧视图:光线从几何体的左面向右面正投影得到的投影图;反映了物体的高度和宽度 俯视图:光线从几何体的上面向下面正投影得到的投影图。反映了物体的长度和宽度 三视图中反应的长、宽、高的特点:“长对正”,“高平齐”,“宽相等” 二.空间几何体的直观图 斜二测画法的基本步骤:①建立适当直角坐标系xOy (尽可能使更多的点在坐标轴上) ②建立斜坐标系'''x O y ∠,使'''x O y ∠=450 (或1350 ) ③画对应图形 在已知图形平行于X 轴的线段,在直观图中画成平行于X ‘ 轴,且长度保持不变; 在已知图形平行于Y 轴的线段,在直观图中画成平行于Y ‘ 轴,且长度变为原来的一半; 直观图与原图形的面积关系:4 2S ?=原图形直观图S 三.空间几何体的表面积与体积 ⑴圆柱侧面积;l r S ??=π2侧面 ⑵圆锥侧面积:l r S ??=π侧面 ⑶圆台侧面积:l R l r S ??+??=ππ侧面 h S V ?=柱体h S V ?= 3 1锥体() 1 3 V h S S S S =+?+下下 台体上上 球的表面积和体积 32 3 44R V R S ππ= =球球,. 正三棱锥是底面是等边三角形,三个侧面是全等的等腰三角形的三棱锥。 正四面体是每个面都是全等的等边三角形的三棱锥。 第二章 点、直线、平面之间的位置关系知识点总结 一. 平面基本性质即三条公理 公理1 公理2 公理3 图形语言 文字 语言 如果一条直线上的两点在 一个平面内,那么这条直线 在此平面内. 过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面. 如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线. 符号 语言 ,,A l B l l A B ααα∈∈????∈∈? ,,,,A B C A B C α ?不共线确定平面 ,l P P P l αβαβ=?∈∈??∈? 作用 判断线在面内 确定一个平面 证明多点共线 公理2的三条推论: 推论1 经过一条直线和这条直线外的一点,有且只有一个平面; 推论2 经过两条相交直线,有且只有一个平面; 推论3 经过两条平行直线,有且只有一个平面. 二.直线与直线的位置关系 共面直线: 相交直线:同一平面内,有且只有一个公共点; 平行直线:同一平面内,没有公共点; 异面直线:不同在任何一个平面内,没有公共点。(既不平行,也不相交) 三.直线与平面的位置关系有三种情况: 在平面内——有无数个公共点 . 符号 a α 相交——有且只有一个公共点 符号 a ∩α= A 平行——没有公共点 符号 a ∥α 说明:直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外,可用a α来表示 1.直线和平面平行的判定 (1)定义:直线和平面没有公共点,则称直线平行于平面; (2)判定定理:平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线与此平面平行。 简记为:线线平行,则线面平行。 符号: ////a b a a b ααα ?? ?????? 2.直线和平面平行的性质定理: 一条直线与一个平面平行,则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。 简记为:线面平行,则线线平行. 符号: a a a b b α βαβ??=? ???? 3.直线与平面垂直 ⑴定义:如果一条直线垂直于一个平面内的任意一条直线,那么就说这条直线和这个平面垂直。 ⑵判定定理:一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线与此平面垂直。
立体几何空间向量知识点总结 知识网络: 知识点拨: 1、空间向量的概念及其运算与平面向量类似,向量加、减法的平行四边形法则,三角形法则以及相关的运算律仍然成立.空间向量的数量积运算、共线向量定理、共面向量定理都是平面向量在空间中的推广,空间向量基本定理则是向量由二维到三维的推广. 2、当a 、b 为非零向量时.0a b a b ?=?⊥是数形结合的纽带之一,这是运用空间向量研究线线、线面、面面垂直的关键,通常可以与向量的运算法则、有关运算律联系来解决垂直的论证问题. 3、公式cos ,a b a b a b ?<>= ?是应用空间向量求空间中各种角的基础,用这个公式可以求两异面直线所成的角(但要注意两异面直线所成角与两向量的夹角在取值围上的区别),再结合平面的法向量,可以求直线与平面所成的角和二面角等. 4、直线的方向向量与平面的法向量是用来描述空间中直线和平面的相对位置的重要概念,通过研究方向向量与法向量之间的关系,可以确定直线与直线、直线与平面、平面与平面等的位置关系以及有关的计算问题. 5、用空间向量判断空间中的位置关系的常用方法 (1)线线平行 证明两条直线平行,只需证明两条直线的方向向量是共线向量. (2)线线垂直 证明两条直线垂直,只需证明两条直线的方向向量垂直,即0a b a b ?=?⊥.
(3)线面平行 用向量证明线面平行的方法主要有: ①证明直线的方向向量与平面的法向量垂直; ②证明可在平面找到一个向量与直线方向向量是共线向量; ③利用共面向量定理,即证明可在平面找到两不共线向量来线性表示直线的方向向量.(4)线面垂直 用向量证明线面垂直的方法主要有: ①证明直线方向向量与平面法向量平行; ②利用线面垂直的判定定理转化为线线垂直问题. (5)面面平行 ①证明两个平面的法向量平行(即是共线向量); ②转化为线面平行、线线平行问题. (6)面面垂直 ①证明两个平面的法向量互相垂直; ②转化为线面垂直、线线垂直问题. 6、运用空间向量求空间角 (1)求两异面直线所成角 利用公式cos, a b a b a b ? <>= ? , 但务必注意两异面直线所成角θ的围是 0, 2 π ?? ???, 故实质上应有:cos cos,a b θ=<> . (2)求线面角 求直线与平面所成角时,一种方法是先求出直线及射影直线的方向向量,通过数量积求出直线与平面所成角;另一种方法是借助平面的法向量,先求出直线方向向量与平面法向量的夹角φ,即可求出直线与平面所成的角θ,其关系是sinθ=| cosφ|. (3)求二面角 用向量法求二面角也有两种方法:一种方法是利用平面角的定义,在两个面先求出与棱垂直的两条直线对应的方向向量,然后求出这两个方向向量的夹角,由此可求出二面角的大小;另一种方法是转化为求二面角的两个面的法向量的夹角,它与二面角的大小相等或互补.7、运用空间向量求空间距离 空间中的各种距离一般都可以转化为求点与点、点与线、点与面的距离. (1)点与点的距离 点与点之间的距离就是这两点间线段的长度,因此也就是这两点对应向量的模. (2)点与面的距离 点面距离的求解步骤是: ①求出该平面的一个法向量; ②求出从该点出发的平面的任一条斜线段对应的向量; ③求出法向量与斜线段向量的数量积的绝对值再除以法向量的模,即得要求的点面距离. 备考建议:
收集整理:宋氏资料 2016-1-1 2016 高考立体几何知识点总结 一、空间几何体 (一)空间几何体的类型 1 多面体:由若干个平面多边形围成的几何体。围成多面体的各个多边形叫做多面体的面,相邻两个 面的公共边叫做多面体的棱,棱与棱的公共点叫做多面体的顶点。 2 旋转体:把一个平面图形绕它所在的平面内的一条定直线旋转形成了封闭几何体。其中,这条直线 称为旋转体的轴。 (二)几种空间几何体的结构特征 1 、棱柱的结构特征 1.1 棱柱的定义:有两个面互相平行,其余各面都是四边形,并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行,由这些面所围成的几何体叫做棱柱。 1.2棱柱的分类 图1-1 棱柱 底面是四边形 棱柱四棱柱底面是平行四边形侧棱垂直于底面底面是矩形底面是正方形平行六面体直平行六面体长方体 棱长都相等 正四棱柱正方体 性质: Ⅰ、侧面都是平行四边形,且各侧棱互相平行且相等; Ⅱ、两底面是全等多边形且互相平行; Ⅲ、平行于底面的截面和底面全等; 1.3棱柱的面积和体积公式 S直棱柱侧(c 是底周长,h 是 ch 高) S 直棱柱表面= c·h+ 2S 底 V 棱柱= S 底·h 2 、棱锥的结构特征 2.1 棱锥的定义 (1)棱锥:有一个面是多边形,其余各面是有一个公共顶点的三角形,由这些面所围成 的几何体叫做棱锥。 (2)正棱锥:如果有一个棱锥的底面是正多边形,并且顶点在底面的投影是底面的中心, 这样的棱锥叫做正棱锥。 2.2 正棱锥的结构特征 Ⅰ、平行于底面的截面是与底面相似的正多边形,相似比等于顶点到截面的距离与顶点到
底面的距离之比;它们面积的比等于截得的棱锥的高与原棱锥的高的平方比;截得的棱锥的体积与原棱锥的体积的比等于截得的棱锥的高与原棱锥的高的立方比; Ⅱ、正棱锥的各侧棱相等,各侧面是全等的等腰三角形; 正棱锥侧面积: 1 S正棱椎ch (c为底周长,h'为斜高) ' 2 P 体积: 1 V棱椎Sh(S为底面积,h 为高) 3 D C O H 正四面体: A B 2 对于棱长为a正四面体的问题可将它补成一个边长为 a 的正方体问题。 2 2 对棱间的距离为 a 2 (正方体的边长) 6 正四面体的高 a 3 ( 2 3 l 正方体体对角线 ) 正四面体的体积为 2 12 a 3 ( 1 V正方体4V V ) 小三棱锥正方体 3 正四面体的中心到底面与顶点的距离之比为1:3( 1 6 l 1 正方体体对角线:l 2 正方体体对角线 ) 3 、棱台的结构特征 1.4棱台的定义:用一个平行于底面的平面去截棱锥,我们把截面和底面之间的部分称为棱台。 1.5正棱台的结构特征 (1)各侧棱相等,各侧面都是全等的等腰梯形; (2)正棱台的两个底面和平行于底面的截面都是正多边形; (3)正棱台的对角面也是等腰梯形; (4)各侧棱的延长线交于一点。 4 、圆柱的结构特征 2.3圆柱的定义:以矩形的一边所在的直线为旋转轴,其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫圆柱。 2.4圆柱的性质 (1)上、下底及平行于底面的截面都是等圆; (2)过轴的截面(轴截面)是全等的矩形。 2.5圆柱的侧面展开图:圆柱的侧面展开图是以底面周长和母线长为邻边的矩形。 2.6圆柱的面积和体积公式 S 圆柱侧面= 2π·r·h (r 为底面半径,h 为圆柱的高) S 2
高中数学立体几何知识点总结 一 、空间几何体 (一) 空间几何体的类型 1 多面体:由若干个平面多边形围成的几何体。围成多面体的各 个多边形叫做多面体的面,相邻两个面的公共边叫做多面体的棱,棱与棱的公共点叫做多面体的顶点。 2 旋转体:把一个平面图形绕它所在的平面内的一条定直线旋转形成了封闭几何体。其中,这条直线称为旋转体的轴。 (二) 几种空间几何体的结构特征 1 、棱柱的结构特征 1.1 棱柱的定义:有两个面互相平行,其余各面都是四边形,并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行,由这些面所围成的几何体叫做棱柱。 棱柱的分类 棱柱 四棱柱 平行六面体直平行六面体 长方体正四棱柱 正方体 性质: Ⅰ、侧面都是平行四边形,且各侧棱互相平行且相等; Ⅱ、两底面是全等多边形且互相平行; Ⅲ、平行于底面的截面和底面全等; 棱长都相等 底面是正方形 底面是矩形 侧棱垂直于底面 底面是平行四边形 底面是四边形
1.3 棱柱的面积和体积公式 ch S =直棱柱侧(c 是底周长,h 是高) S 直棱柱表面 = c ·h+ 2S 底 V 棱柱 = S 底 ·h 2 、棱锥的结构特征 2.1 棱锥的定义 (1) 棱锥:有一个面是多边形,其余各面是有一个公共顶点的三角形,由这些面所围成的几何体叫做棱锥。 (2)正棱锥:如果有一个棱锥的底面是正多边形,并且顶点在底面的投影是底面的中心,这样的棱锥叫做正棱锥。 2.2 正棱锥的结构特征 Ⅰ、 平行于底面的截面是与底面相似的正多边形,相似比等于顶点到截面的距离与顶点到底面的距离之比;它们面积的比等于截得的棱锥的高与原棱锥的高的平方比;截得的棱锥的体积与原棱锥的体积的比等于截得的棱锥的高与原棱锥的高的立方比; Ⅱ、 正棱锥的各侧棱相等,各侧面是全等的等腰三角形; 正棱锥侧面积: 1 '2 S ch = 正棱椎(c 为底周长,'h 为斜高) 体积:1 3 V Sh = 棱椎(S 为底面积,h 为高) 正四面体: 对于棱长为a 正四面体的问题可将它补成一个边长为 a 2 2 的正方体问题。 A B C D P O H
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高中数学立体几何知识点归纳总结一、立体几何知识点归纳 第一章空间几何体 (一)空间几何体的结构特征 (1)多面体——由若干个平面多边形围成的几何体. 围成多面体的各个多边形叫叫做多面体的面,相邻两个面的公共边叫做多面体的棱,棱与棱的公共点叫做顶点。 旋转体——把一个平面图形绕它所在平面内的一条定直线旋转形成的封闭几何体。其中,这条定直线称为旋转体的轴。 (2)柱,锥,台,球的结构特征 1.棱柱 棱柱——有两个面互相平行,其余各面都是四边 形,并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行, 由这些面所围成的几何体叫做棱柱。 相关棱柱几何体系列(棱柱、斜棱柱、直棱柱、正 棱柱)的关系: ① ? ? ??????→ ?? ?????→? ? ?? ? 底面是正多形 棱垂直于底面 斜棱柱 棱柱正棱柱 直棱柱 其他棱柱
底面为平行四边形 侧棱垂直于底面 底面为矩形 底面为正方形 棱柱的性质: ①侧棱都相等,侧面是平行四边形; ②两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形; ③过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形; ④直棱柱的侧棱长与高相等,侧面与对角面是矩形。 长方体的性质: ①长方体一条对角线长的平方等于一个顶点上三条棱的平方和;【如图】 222211AC AB AD AA =++ ②(了解)长方体的一条对角线1AC 与过顶点A 的三条棱所成的角分别是 αβγ,,,那么222cos cos cos 1αβγ++=,222sin sin sin 2αβγ++=; ③(了解)长方体的一条对角线1AC 与过顶点A 的相邻三个面所成的角分别是αβγ,,,则222cos cos cos 2αβγ++=,222sin sin sin 1αβγ++=. 侧面展开图:正n 棱柱的侧面展开图是由n 个全等矩形组成的以底面周长和侧棱长为邻边的矩形.
高考立体几何知识点总结 一 、空间几何体 (一) 空间几何体的类型 1 多面体:由若干个平面多边形围成的几何体。围成多面体的各个多边形叫做多面体的面,相邻两个面的公共边叫做多面体的棱,棱与棱的公共点叫做多面体的顶点。 2 旋转体:把一个平面图形绕它所在的平面内的一条定直线旋转形成了封闭几何体。其中,这条直线称为旋转体的轴。 (二) 几种空间几何体的结构特征 1 、棱柱的结构特征 1.1 棱柱的定义:有两个面互相平行,其余各面都是四 边形,并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行,由这些面所围成 的几何体叫 做棱柱。 1.2 棱柱的分类 棱柱 四棱柱平行六面体直平行六面体长方体正四棱柱正方体 性质: Ⅰ、侧面都是平行四边形,且各侧棱互相平行且相等; Ⅱ、两底面是全等多边形且互相平行; Ⅲ、平行于底面的截面和底面全等; 1.3 棱柱的面积和体积公式 ch S 直棱柱侧(c 是底周长,h 是 高) S 直棱柱表面 = c ·h+ 2S 底 V 棱柱 = S 底 ·h 2 、棱锥的结构特征 2.1 棱锥的定义 (1) 棱锥:有一个面是多边形,其余各面是有一个公共顶点的三角形,由这些面所围成的几何体叫做棱锥。 (2)正棱锥:如果有一个棱锥的底面是正多边形,并且顶点在底面的投影是底面的中心,这样的棱锥叫做正棱锥。 2.2 正棱锥的结构特征 Ⅰ、 平行于底面的截面是与底面相似的正多边形,相似比等于顶点到截面的距离与顶点到底面的距离之比;它们面积的比等于截得的棱锥的高与原棱锥的高的平方比;截得的棱锥的底面是四边形 底面是平行四边形 侧棱垂直于底面 底面是矩形 底面是正方形 棱长都相等 图1-1 棱柱
收集整理:宋氏资料 2016-1-1 2016高考立体几何知识点总结 一 、空间几何体 (一) 空间几何体的类型 1 多面体:由若干个平面多边形围成的几何体。围成多面体的各个多边形叫做多面体的 面,相邻两个面的公共边叫做多面体的棱,棱与棱的公共点叫做多面体的顶点。 2 旋转体:把一个平面图形绕它所在的平面内的一条定直线旋转形成了封闭几何体。其中,这条直线称为旋转体的轴。 (二) 几种空间几何体的结构特征 1 、棱柱的结构特征 1.1 棱柱的定义:有两个面互相平行,其余各面都是四边形,并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行,由这些面所围成的几何体叫做棱柱。 1.2 棱柱的分类 棱柱 四棱柱平行六面体 直平行 六面体长方体 正四棱柱正方体 性质: Ⅰ、侧面都是平行四边形,且各侧棱互相平行且相等; Ⅱ、两底面是全等多边形且互相平行; Ⅲ、平行于底面的截面和底面全等; 1.3 棱柱的面积和体积公式 ch S 直棱柱侧(c 是底周长,h 是高) S 直棱柱表面 = c·h+ 2S 底 V 棱柱 = S 底 ·h? 2 、棱锥的结构特征 2.1 棱锥的定义 (1) 棱锥:有一个面是多边形,其余各面是有一个公共顶点的三角形,由这些面 棱长都相等 底面是正方形 底面是矩形 侧棱垂直于底面 底面是平行四边形 底面是四边形 图1-1 棱柱
所围成的几何体叫做棱锥。 (2)正棱锥:如果有一个棱锥的底面是正多边形,并且顶点在底面的投影是底面的中心,这样的棱锥叫做正棱锥。 2.2 正棱锥的结构特征 Ⅰ、 平行于底面的截面是与底面相似的正多边形,相似比等于顶点到截面的距离与顶点到底面的距离之比;它们面积的比等于截得的棱锥的高与原棱锥的高的平方比;截得的棱锥的体积与原棱锥的体积的比等于截得的棱锥的高与原棱锥的高的立方比; Ⅱ、 正棱锥的各侧棱相等,各侧面是全等的等腰三角形; 正棱锥侧面积:1 '2 S ch = 正棱椎(c 为底周长,'h 为斜高) 体积:1 3 V Sh = 棱椎(S 为底面积,h 为高) 正四面体: 对于棱长为a 正四面体的问题可将它补成一个边长为 a 2 2 的正方体问题。 对棱间的距离为 a 2 (正方体的边长) 正四面体的高 a 6(正方体体对角线l 3 2 =) 正四面体的体积为 32a (正方体小三棱锥正方体V V V 3 1 4=-) 正四面体的中心到底面与顶点的距离之比为3:1(正方体体对角线正方体体对角线:l l 2 1 61= ) 3 、棱台的结构特征 3.1 棱台的定义:用一个平行于底面的平面去截棱锥,我们把截面和底面之间的部分称为棱台。 3.2 正棱台的结构特征 (1)各侧棱相等,各侧面都是全等的等腰梯形; (2)正棱台的两个底面和平行于底面的截面都是正多边形; (3)正棱台的对角面也是等腰梯形; (4)各侧棱的延长线交于一点。 4 、圆柱的结构特征 A B C D P O H
立体几何知识点整理(文科) 一.直线和平面的三种位置关系: 1. 线面平行 l 符号表示: 2. 线面相交 符号表示: 3. 线在面内 符号表示: 二.平行关系: 1.线线平行: 方法一:用线面平行实现。 方法二:用面面平行实现。 方法 用线 直实 现。 若α α⊥ ⊥m l,,则m l//。 方法四:用向量方法: 若向量和向量共线且l、m不重合,则m l//。 2.线面平行: 方法一:用线线平行实现。 方法二:用面面平行实现。 方法三:用平面法向量实现。 若n为平面α的一个法向量,l n⊥且α ? l,则 α // l。 3.面面平行: 方法一:用线线平行实现。 β α α β // ' ,' , ' // ' // ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 且相交 且相交 m l m l m m l l 方法二:用线面平行实现。 三.垂直关系: 1. 线面垂直: 方法一:用线线垂直实现。 方法二:用面面垂直实现。 2. 面面垂直: 方法一:用线面垂直实现。 方法二:计算所成二面角为直角。 3.线线垂直: 方法一:用线面垂直 实现。 方法二:三垂线定理及其逆定理。 方法三:用向量方法: 若向量和向量的数量积为0,则m l⊥。 三.夹角问题。 (一)异面直线所成的角: (1) 范围:] 90 , 0(? ? (2)求法: 方法一:定义法。 步骤1:平移,使它们相交,找到夹角。 步骤2:解三角形求出角。(常用到余弦定理) 余弦定理: (计算结果可能是其补角 ) θ c b a l
方法二:向量法。转化为向量的夹角 (计算结果可能是其补角): (二) 线面角 (1)定义:直线l 上任取一点P (交点除外),作PO ⊥α于O,连结AO ,则AO 为斜线PA 在面α内的射影,PAO ∠(图中θ)为直线l 与面α所成的角。 (2)范围:]90,0[?? 当?=0θ时,α?l 或α//l 当?=90θ时,α⊥l (3)求法: 方法一:定义法。 步骤1:作出线面角,并证明。 步骤2:解三角形,求出线面角。 (三) 二面角及其平面角 (1)定义:在棱l 上取一点P ,两个半平面内分别作l 的垂线(射线)m 、n ,则射线m 和n 的夹角θ为二面角α—l —β的平面角。 (2)范围:]180,0[?? (3)求法: 方法一:定义法。 步骤1:作出二面角的平面角(三垂线定理),并证明。 步骤2:解三角形,求出二面角的平面角。 方法二:截面法。 步骤1:如图,若平面POA 同时垂直于平面βα和,则交线(射线)AP 和AO 的夹角就是二面角。 步骤2:解三角形,求出二面角。 方法三:坐标法(计算结果可能与二面角互补)。 步骤一:计算121212 cos n n n n n n ?>= ? 步骤二:判断θ与12n n >的关系,可能相等或者互补。 四.距离问题。 1.点面距。 方法一:几何法。 步骤1:过点P 作PO ⊥α于O ,线段PO 即为所求。 步骤2:计算线段PO 的长度。(直接解三角形;等体积法和等面积法;换点法) 2.线面距、面面距均可转化为点面距。 3.异面直线之间的距离 方法一:转化为线面距离。 如图,m 和n 为两条异面直线,α?n 且α//m , 则异面直线m 和n 之间的距离可转化为直线m 与平面α之间的距离。 方法二:直接计算公垂线段的长度。 方法三:公式法。 如图,AD 是异面直线m 和n 的公垂线段, '//m m ,则异面直线m 和n 之间的距离为: 高考题典例 考点1 点到平面的距离例1如图,正三棱柱111ABC A B C -的所有棱长都为2,D 为1CC 中点.(Ⅰ)求证:1AB ⊥平面1A BD ;(Ⅱ)求二面角1A A D B --的大小; (Ⅲ)求点C 到平面1A BD 的距离.考点2 异面直线的距离 A B C D O F
一、立体几何知识点归纳 第一章 空间几何体 (一)空间几何体的结构特征 (1)多面体——由若干个平面多边形围成的几何体. 围成多面体的各个多边形叫叫做多面体的面,相邻两个面的公共边叫做多面体的棱,棱 与棱的公共点叫做顶点。 旋转体——把一个平面图形绕它所在平面内的一条定直线旋转形成的封闭几何体。其 中,这条定直线称为旋转体的轴。 (2)柱,锥,台,球的结构特征 1.棱柱 1.1棱柱——有两个面互相平行,其余各面都是四边形,并且每相邻两个四边形的公共边都 互相平行,由这些面所围成的几何体叫做棱柱。 1.2相关棱柱几何体系列(棱柱、斜棱柱、直棱柱、正棱柱)的关系: ①???????? →???????→?? ?? 底面是正多形 棱垂直于底面 斜棱柱棱柱正棱柱直棱柱其他棱柱 底面为矩形 侧棱与底面边长相等 1.3①侧棱都相等,侧面是平行四边形; ②两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形; ③过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形; ④直棱柱的侧棱长与高相等,侧面与对角面是矩形。 1.4长方体的性质: ①长方体一条对角线长的平方等于一个顶点上三条棱的
平方和;【如图】2222 11AC AB AD AA =++ ②(了解)长方体的一条对角线1AC 与过顶点A 的三条棱所成的角分别是αβγ,,,那么 222cos cos cos 1αβγ++=,222sin sin sin 2αβγ++=; ③(了解)长方体的一条对角线1AC 与过顶点A 的相邻三个面所成的角分别是αβγ,,,则2 2 2 cos cos cos 2αβγ++=,2 2 2 sin sin sin 1αβγ++=. 1.5侧面展开图:正n 棱柱的侧面展开图是由n 个全等矩形组成的以底面周长和侧棱长为邻边的矩形. 1.6面积、体积公式: 2S c h S c h S S h =?=?+=?直棱柱侧直棱柱全底棱柱底,V (其中c 为底面周长,h 为棱柱的高) 2.圆柱 2.1圆柱——以矩形的一边所在的直线为旋转轴,其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫圆柱. 2.2圆柱的性质:上、下底及平行于底面的截面都是等圆;过轴的截面(轴截面)是全等的矩形. 2.3侧面展开图:圆柱的侧面展开图是以底面周长和母线长为邻边的矩形. 2.4面积、体积公式: S 圆柱侧=2rh π;S 圆柱全=2 22rh r ππ+,V 圆柱=S 底h=2 r h π(其中r 为底面半径,h 为圆柱高) 3.棱锥 3.1棱锥——有一个面是多边形,其余各 面是有一个公共顶点的三角形,由这些面所围成的几何体叫做棱锥。 正棱锥——如果有一个棱锥的底面是正多边形,并且顶点在底面的射影是底面的中心,这样的棱锥叫做正棱锥。 3.2棱锥的性质: ①平行于底面的截面是与底面相似的正多边形,相似比等于顶点到截面的距离与顶点到底面的距离之比; ②正棱锥各侧棱相等,各侧面是全等的等腰三角形; ③正棱锥中六个元素,即侧棱、高、斜高、侧棱在底面内的射影、斜高在底面的射影、底面边长一半,构成四个直角三角形。)(如上图:,,,SOB SOH SBH OBH 为直角三角形) 3.3侧面展开图:正n 棱锥的侧面展开图是有n 个全等的等腰三角形组成的。 侧面 母线 B
γm βα l l α β立体几何知识点整理(文科) 一. 直线和平面的三种位置关 系: 1. 线面平行 α l 符号表示: 2. 线面相交 α A l 符号表示: 3. 线在面内 α l 符号表示: 二. 平行关系: 1. 线线平行: 方法一:用线面平行实 现。 m l m l l ////??? ? ??=??βαβ α 方法二:用面面平行实现。 m l m l ////??? ? ?? =?=?βγαγβα 方法三:用线面垂直实现。 若αα⊥⊥m l ,,则m l //。 方法四:用向量方法: 若向量l 和向量m 共线且l 、m 不重合,则 m l //。 2. 线面平行: 方法一:用线线平行实现。 ααα////l l m m l ??? ? ?? ?? 方 法二:用面面平行实现。 αββα////l l ?? ?? ? 方法三:用平面法向量实现。 若n 为平面α的一个法向量, l n ⊥且α?l ,则α//l 。 3. 面面平行: 方法一:用线线平行实现。 β ααβ//',',' //'//????? ??? ??且相交且相交m l m l m m l l 方法二:用线面平行实现。 βαβαα //,////??? ? ?? ?且相交m l m l m l α n α l m'l'l α βm m β α l l m β α
三.垂直关系: 1. 线面垂直: 方法一:用线线垂直实现。 αα⊥???? ? ??? ?=?⊥⊥l AB AC A AB AC AB l AC l , 方法二:用面面垂直实现。 αββαβα⊥??? ? ?? ?⊥=?⊥l l m l m , 2. 面面垂直: 方法一:用线面垂直实现。 βαβα⊥?? ?? ?⊥l l 方法二:计算所成二面角为直角。 3. 线线垂直: 方法一:用线面垂直实现。 m l m l ⊥?? ?? ?⊥αα 方法二:三垂线定理及其逆定理。 PO l OA l PA l αα⊥? ? ⊥?⊥???? 方法三:用向量方法: 若向量l 和向量m 的数量积为0,则m l ⊥。 三. 夹角问题。 (一) 异面直线所成的角: (1) 范围:]90,0(?? (2)求法: 方法一:定义法。 步骤1:平移,使它们相交,找到夹角。 步骤2:解三角形求出角。(常用到余弦定理) 余弦定理: ab c b a 2cos 2 22-+=θ (计算结果可能是其补角) 方法二:向量法。转化为向量的夹角 (计算结果可能是其补角): AC AB AC AB ??= θcos (二) 线面角 (1)定义:直线l 上任取一点P (交点除外),作PO ⊥α于O,连结AO ,则AO 为斜线PA 在面α内的射影,PAO ∠(图中θ)为直线l 与面α所成的角。 A B C αl l β α m l β α m α l θ c b a A B C θn A O θ P αl A O P α
高中数学之立体几何 平面的基本性质 公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上所有的点都在这个平面内. 公理2 如果两个平面有一个公共点,那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线. 公理3 经过不在同一直线上的三个点,有且只有一个平面. 根据上面的公理,可得以下推论. 推论1 经过一条直线和这条直线外一点,有且只有一个平面. 推论2 经过两条相交直线,有且只有一个平面. 推论3 经过两条平行直线,有且只有一个平面. 空间线面的位置关系 共面平行—没有公共点 (1)直线与直线相交—有且只有一个公共点 异面(既不平行,又不相交) 直线在平面内—有无数个公共点 (2)直线和平面直线不在平面内平行—没有公共点 (直线在平面外) 相交—有且只有一公共点 (3)平面与平面相交—有一条公共直线(无数个公共点) 平行—没有公共点 异面直线的判定 证明两条直线是异面直线通常采用反证法. 有时也可用定理“平面内一点与平面外一点的连线,与平面内不经过该点的直线是异面直线”. 线面平行与垂直的判定 (1)两直线平行的判定 ①定义:在同一个平面内,且没有公共点的两条直线平行. ②如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交,那么这条直线和交线平行,即若a∥α,aβ,α∩β=b,则a∥b. ③平行于同一直线的两直线平行,即若a∥b,b∥c,则a∥c. ④垂直于同一平面的两直线平行,即若a⊥α,b⊥α,则a∥b ⑤两平行平面与同一个平面相交,那么两条交线平行,即若α∥β,α∩γ,β∩γ=b,则a∥b ⑥如果一条直线和两个相交平面都平行,那么这条直线与这两个平面的交线平行,即若α∩β=b,a∥α,a∥β,则a∥b. (2)两直线垂直的判定
高考立体几何知识点总结 一、空间几何体(一)空间几何体的类型 1多面体:由若干个平面多边形围成的几何体。围成多面体的各个多边形叫做多面体的 面,相邻两个面的公共边叫做多面体的棱,棱与棱的公共点叫做多面体的顶点。 2旋转体:把一个平面图形绕它所在的平面内的一条定直线旋转形成了封闭几何体。其 中,这条直线称为旋转体的轴。 (二)几种空间几何体的结构特征1、棱柱的结构特征 1.1棱柱的定义:有两个面互相平行,其余各面都是四边形,并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行,由这些面所围成的几何体叫做棱柱。 1.2棱柱的分类 棱柱 底面是四边形四棱柱 底面是平行四边形平行六面体 侧棱垂直于底面 直平行 六面体 底面是矩形 长方体底面是正方形 正四棱柱棱长都相等 正方体 性质: Ⅰ、侧面都是平行四边形,且各侧棱互相平行且相等;Ⅱ、两底面是全等多边形且互相平行;Ⅲ、平行于底面的截面和底面全等; 1.3棱柱的面积和体积公式 ch S 直棱柱侧(c 是底周长,h 是高) S 直棱柱表面=c ·h+2S 底V 棱柱=S 底·h 2、棱锥的结构特征2.1棱锥的定义 (1)棱锥:有一个面是多边形,其余各面是有一个公共顶点的三角形,由这些面所围成的几何体叫做棱锥。 (2)正棱锥:如果有一个棱锥的底面是正多边形, 并且顶点在底面的投影是底 图1-1 棱柱
面的中心,这样的棱锥叫做正棱锥。 2.2正棱锥的结构特征 Ⅰ、平行于底面的截面是与底面相似的正多边形,相似比等于顶点到截面的距离与顶点到底面的距离之比;它们面积的比等于截得的棱锥的高与原棱锥的高的平方比;截得的棱锥的体积与原棱锥的体积的比等于截得的棱锥的高与原棱锥的高的立方比; Ⅱ、正棱锥的各侧棱相等,各侧面是全等的等腰三角形;正棱锥侧面积:1 '2 S ch = 正棱椎(c 为底周长,'h 为斜高)体积:1 3 V Sh = 棱椎(S 为底面积,h 为高)正四面体: 对于棱长为a 正四面体的问题可将它补成一个边长为 a 2 2 的正方体问题。对棱间的距离为 a 2 2 (正方体的边长)正四面体的高 a 36(正方体体对角线l 3 2 =)正四面体的体积为 3122a (正方体小三棱锥正方体V V V 3 1 4=-)正四面体的中心到底面与顶点的距离之比为3:1(正方体体对角线正方体体对角线:l l 2 1 61= )3、棱台的结构特征 3.1棱台的定义:用一个平行于底面的平面去截棱锥,我们把截面和底面之间的部分称为棱台。3.2正棱台的结构特征 (1)各侧棱相等,各侧面都是全等的等腰梯形; (2)正棱台的两个底面和平行于底面的截面都是正多边形;(3)正棱台的对角面也是等腰梯形;(4)各侧棱的延长线交于一点。4、圆柱的结构特征 4.1圆柱的定义:以矩形的一边所在的直线为旋转轴,其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫圆柱。 A B C D P O H