高三数列专题训练

2013届高三数列专题训练

1、设数列{}n a 与}{n b 满足：对任意*∈N n ，都有()21n n n ba b S -=-，12-?-=n n n n a b ．其中n S 为数列{}n a

的前n 项和． （1）当2b =时，求数列{}n a 与}{n b 的通项公式；（2）当2≠b 时，求数列{}n a 的前n 项和n S ．

由题意知12a =，

且()21n n n ba b S -=-，()11121n n n ba b S +++-=-，两式相减得()()1121n

n n n b a a b a ++--=- 即1

2n n n a ba +=+ ①，

（1）当2b =时，由①知122n

n n a a +=+ 于是()()1122212n n n n n a n a n +-+?=+-+?()122n n a n -=-?，又111210n a --?=≠，所以{}12n n a n --?是

首项为1，公比为2的等比数列．故知，12-=n n b ， 再由1

2-?-=n n n n a b ，得()112n n a n -=+．

另解：

111222n n n n a a ++=+，2n n a ??∴????

是首项为1112a =，公差为12的等差数列，111222n n

a n n -+∴=+=， ()112n n a n -∴=+?，()1111222n n n n

b n n ---=+?-?=；

（2）当2b

≠时，由①得1111122222n n n n n a ba b b +++-

?=+-?--122n n b a b ??=-? ?-??

若0=b ，n n S 2=，若1=b ，n n a 2=，221

-=+n n S ，若10、≠b ，数列?

??????--n n b a 221是以

b b --2)1(2为首项，以b 为公比的等比数列，故12)1(2221-?--=?--n n n b b b b a ，()[]

122221

--+-=n n n b b b

a

()()

1

213212)1(2222221-+???+++--++???+++-=n n n b

b b b

b b S 、2(2)2n n n b S b -=- 1b =时，122n n S +=-符合上式，所以，当0≠b 时，2(2)2n n n b S b -=-，当0=b 时，n

n S 2=

另解： 当1n =时，112S a == ，当2n ≥时，()21n n n ba b S -=-Q ，()()121n

n n n b S S b S -∴--=-，

12n n n S bS -∴=+ ，若0=b ，n n S 2=，若0≠b ，两边同除以2n 得

1

1

1222n n n n S S b --=?+， 令111222n n n n S S b m m --+=?++，即1122()222n n n n S S b m m b --++=?+，由22m m b +=得22m b =-，2

{}22

n n S b ∴+

-是以2b b -为首项，2b 为公比的等比数列，12()2222

n n n S b b

b b -∴+

=?--， 所以，当0≠b 时，2(2)2n n n b S b

-=-．

2、已知定义域为R 的二次函数f x ()的最小值为0，且有f x f x ()()

11+=-，直线g x x ()()=-41被f x ()的图像截得的弦长为417，数列{}a n 满足a 12=，()()()()

aa g af a n N n n n n

+-+=∈10*

． （1）求函数

f x ()的解析式； （2）求数列{}a n 的通项公式；

（3）设()()b f a g a n n n =-+31

，求数列{}b n 的最值及相应的n ．

（1）设()()01)(2

>-=a x a x f ，则直线()4(1)g x x =-与

)(x f y =图像的两个交点为(1,0)，4

116a a +?? ??

?，，

()01741642

2>=??

?

??+??? ??a a a Θ，()∴==-a fx x 112，()； （2）

()()()()f a a g a a n n n n

=-=-1412

，，()()()Θa a a a n n n n +--+-=12

4110·， ()()

∴---=+a a a n n n 143101，Θa a a a n n n 11214310=∴≠--=+，，， ()∴-=--=+a a a n n 1

1134111，，数列{}a n -1是首项为1，公比为3

4

的等比数列，

∴-=?? ???=?? ?

??+--a a n n n

n 13434

111

，； （3）()()b a a n n n =---+314121

21333444n n -??????

=-?? ? ?????????2

1133344n n --??????????=-???? ? ?????????????

令b y u n

n ==?? ?

?

?-，341

， 则y u u =-?? ???-?????????

?=-?? ???-312143123

422

， Θn N ∈*

，∴u

的值分别为1349162764，，，……，经比较916距12最近，

∴当n =3时，b n 有最小值是-189

256

， 当n =1

时，b n 有最大值是0 3、若数列{}n b 满足：对于*∈N n ，都有d b b n n =-+2（常数），则称数列{}n b 是公差为d 的准等差数列．如：若

??

?+-=.

9414为偶数时，当为奇数时；

，当n n n n c n 则{}n c 是公差为8的准等差数列． （1）求上述准等差数列{}n c 的第8项8c 、第9项9c 以及前9项的和9T ；

（2）设数列

{}n a 满足：a a =1，对于*∈N n ，都有n a a n n 21=++．求证：{}n a 为准等差数列，并求其通项公式；

（3）设（2）中的数列{}n a 的前n 项和为n S ，若201263>S ，求a 的取值范围．

（1）418=c ，359=c ，.2112

4

)4117(25)353(9=?++?+=

T

（2）n a a n n 21=++Θ

①

)1(221+=+++n a a n n ②，②-①得22=-+n n a a ． 所以{}n a 为公差为2的准等差数列．

当n 为奇数时，12121-+=???? ??-++=a n n a a n

；当n 为偶数时，a n n a a n -=???

? ??-+-=2122，

??

?--+=∴为偶数）

　（为奇数）（n a n n a n a n ,,1

（3）解一：在632163

a a a S +???++=中，有32各奇数项，31各偶数项，所以，

.198422

30

31)2(312231323263+=??+-+??+

=a a a S 2012

63>S Θ，.20121984>+∴a 28>∴a

．

解二：当n 为偶数时，1221

?=+a a ，3243?=+a a ，… …)1(21-?=+-n a a n n

将上面各式相加得22

1n S n

=．198********

2636263+=-++?=+=a a a S S Θ

2012

63>S Θ，.20121984>+∴a 28>∴a ．

4、在平面直角坐标系xOy 中，点n A 满足)1,0(1=OA ，且)1,1(1=+n n A A ；点n B 满足)0,3(1=OB ，且

)0,)3

2

(3(1n n n B B ?=+，其中*n N ∈．

（1）求2OA u u u u r

的坐标，并证明．．

点n A 在直线1y x =+上； （2）记四边形

11n n n n A B B A ++的面积为n a ，求n a 的表达式；

（3）对于（2）中的n a ，是否存在最小的正整数P ，使得对任意*

n N ∈都有P a n <成立？若存在，求P 的值；若不

存在，请说明理由．

（1）由已知条件得，(1,1)21=A A ,=21A A 2OA u u u u r

1OA -,所以(1,2)2=OA ，(1,1)1=+n n A A ，则

)1,1(1=-+n n OA OA ，设),(n n n y x OA =，则11=-+n n x x ，11=-+n n y y ，所以11)1(0-=?-+=n n x n ；

n n y n =?-+=1)1(1即),1(n n A n -=满足方程1y x =+，所以点n A 在直线1y x =+上

（证明

n A 在直线1y x =+上也可以用数学归纳法证明.）

（2）由（1）得),1(n n A n -，)0,)3

2

(3(11

n n n n n OB OB B B ?=-=++，设),(n n n v u B ，则31=u ，01=v

01=-+n n v v ，所以0=n v ，n n n u u )32(31?=-+， 逐差累和得))32(1(9n n u -=，所以)0),)3

2

(1(9(n n B -

设直线

1y x =+与x 轴的交点()1,0P -，则

()111

121210911092323n n n n

n n

n PA B PA B a S S n n +++??????????=-=-+--???? ? ??????????

???

n a 1)3

2

)(2(5--+=n n ，*N n ∈；

（3）由（2）n a 1)3

2)(2(5--+=n n ，*

N n ∈

()()11

1224251523333n n n n n n a a n n --+????-??????

-=+--+-=???? ? ? ???????????????

，于是，54321a a a a a =<<<，

Λ

>>>765a a a ，数列

{}n a 中项的最大值为4516527a a ==+

，则27

16

5>P ,即最小的正整数p 的值为6，所以，存在最小的自然数

6=p ，对一切*n N ∈都有p a n <成立

5、设数列{}n a 的各项均为正数，前n 项和为n S ，已知2

*421()n n

n S a a n N =++∈． (1)证明数列{}n a 是等差数列，并求其通项公式；

(2)证明：对任意*

2m k p N m p k

∈+=、、

，，都有

112m p k

S S S +≥；

(3)对于(2)中的命题，对一般的各项均为正数的等差数列还成立吗？如果成立，请证明你的结论，如果不成立，请说明理由． (1)∵2421n

n n S a a =++，∴当2n ≥时，2

111421n n n S a a ---=++．

两式相减得22

11422n n n n n a a a a a --=-+-，∴11()(2)0n n n n a a a a --+--=

∵0n a >，∴12n n a a --=，又2111421S a a =++，∴11a =，∴{}n a 是以11a =为首项，2d =为公差的等差数列． ∴21n

a n =-；

(2)由(1)知2

(121)2

n

n n S n +-=

=，∴222 m k p S m S k S p ===，，，

于是22222

222222

112112()2m p k k p m m p S S S m p k m p k +-+-=+-=

22

222222

(

)()22m p p m m p m p k ++-=22

222220mp pm m p m p k ?-≥=，∴

112m p k S S S +≥

(3)结论成立，证明如下：设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，则11()(1)

22

n n

n a a n n S na d +-=+

= 于是111(1)(1)

2[2(1)]22

m p k m m p p S S S ma d pa d ka k k d --+-=+

++-+- 222

11()(2)2m p m p m p a d ka k d kd +--=++-+-，将2m p k +=代入得2()204

m p k m p S S S d -+-=≥，

∴2m

p k S S S +≥，又21111()()

[()]

4

4

m p m p m p m p mp a a a a mp a a a a a a S S +++++=

=

22

211()[2()]224

m p k a a m p a a a ++++≤

22222

2111(2)()44k k k k k a a a a k a a S +++=== ∴

22112

m p k m p m p k k

S S S S S S S S S ++=≥=．

6、设等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，且34135=+a a ，93=S ．数列}{n b 的前n 项和为n T ，满足n n b T -=1．

（1）求数列}{n a 的通项公式； （2）写出一个正整数m ，使得

9

1

+m a 是数列}{n b 的项；

（3）设数列}{n c 的通项公式为t

a a c n n

n

+=

，问：是否存在正整数t 和k （3≥k ），使得1c ，2c ，k c 成等差数列？

若存在，请求出所有符合条件的有序整数对),(k t

；若不存在，请说明理由．

（1）设数列}{n a 的首项为1a ，公差为d ，由已知，有???=+=+93334

1621

1d a d a ，解得11=a ，2=d ，

所以}{n a 的通项公式为12-=n a n （*N ∈n ）．

（2）当1=n

时，1111b T b -==，所以2

11=

b ．由n n b T -=1，得111++-=n n b T ，两式相减，得11++-=n n n b b b ， 故n n b b 211

=+，所以，}{n b 是首项为21，公比为21的等比数列，所以n

n b ?

?

? ??=21．

)

4(21

82191+=+=+m m a m ，

要使

9

1+m a 是}{n b 中的项，只要n m 24=+即可，可取4=m ．（只要写出一个m 的值就给分，写出42-=n

m ，

*N ∈n ，3≥n 也给分）

（1）∵{}n a 是递增的等差数列，设公差为d (0)d > ，1a Q 、2a 、4a 成等比数列，∴2214=a a a ?

由

2(1)1(13)d d +=?+ 及0d >得1d =，∴(*)n a n n N =∈

（2）∵1

1n a n +=+，

1221222n n c c c n +++=+L 对*

n N ∈都成立，当1

n =时，122c =得14c =，当2n ≥时，由1221222n n c c c n +++=+L ①，及112

21

222n n c c c n --+++=L ……② ①－②得

12n n

c =，得2n

n c = ，∴4(1)2(2)

n n n c n =?=?≥?，∴

22011232012

20131220122(12)4222

4212

c c c -+++=++++=+=-L L

（3）由（1）知，t

n n c n +--=

1212，要使1c ，2c ，k c 成等差数列，必须k c c c +=12

2，即

t

k k t t +--+

+=+121

21136， 化简得1

4

3-+

=t k ．因为k 与t 都是正整数，所以t 只能取2，3，5． 当2=t 时，7=k ；当3=t 时，5=k ；当5=t

时，4=k ．

综上可知，存在符合条件的正整数t 和k ，所有符合条件的有序整数对),(k t

为：)7,2(，)5,3(，)4,5(．

7、设数列}{n a 的前n 项和为n S ，已知q pS S n n +=+1（*

N ∈n ，p 、q 为常数），21=a ，12=a ，p q a 33-=．

（1）求

p 、q 的值； （2）求数列}{n a 的通项公式；

（3）是否存在正整数m ，n ，使得1

221+<--+m

m n n m S m S 成立？若存在，请求出所有符合条件的有序整数对),(n m ；若不存在，请说明理由．

（1）由题意得???+=+=q pS S q pa S 2312，即???+=-++=q p p q q p 33323 ，解得?????

==

2

21q p ．

（2）由（1）知，22

1

1+=

+n n S S ① 当2≥n

时，22

11+=

-n n S S ② ，

①－②得n n a a 211=+（2≥n ），又1221

a a =，所以数列}{n a 是首项为2，公比为21的等比数列．所以}{n a 的通项公式为2

21-?

?

?

??=n n a （*

N ∈n ）．

（3）由（2），得??? ??-=n n S 2114，由1221

+<--+m

m n n m S m S ，得122211421141+<-??

? ??--??? ??

-+m m n n m m ，即 1

2222)4(42)4(+<-?--?-m

m n n m m ，即12122)4(2+>-?-m n m ．因为012>+m

，所以22)4(>?-n m ， 所以4

，因为*

N ∈m ，所以1=m 或2或3． 当1=m

时，由（*）得8232

当3=m 时，由（*）得2022

<

综上可知，存在符合条件的正整数m 、n ，所有符合条件的有序整数对),(n m 为：)1,1(，)1,2(，)2,2(，)2,3(，

)3,3(，)4,3(．

（1）由题意，得???+=+=q pS S q pa S 2312，即???+=-++=q p p q q p 33323 ，解得?????

==

2

21q p ．

（2）由（1）知，2211+=

+n n S S ①，当2≥n 时，22

1

1+=-n n S S ② ①－②得n n a a 211

=+（2≥n ）

，又122

1a a =，所以数列}{n a 是首项为2，公比为21

的等比数列．所以}{n a 的通项公式为2

21-?

?

?

??=n n a （*

N ∈n ）．

（3）由（2），得??

? ??-=n n S 2114，由1221+<--+m

m n n m S m S ，得122211421141+<-??

? ??--??? ??

-+m m n n m m ，即 1

2222)4(42)4(+<-?--?-m

m n n m m ，即12122)4(2+>-?-m n m ．因为012>+m

，所以22)4(>?-n m ， 所以4<

m 且422)4(21+

因为*

N ∈m ，所以1=m 或2或3．

当1=m

时，由（*）得8232

m 时，由（*）得12222

当3=m 时，由（*）得2022

<

综上可知，存在符合条件的正整数m 、n ，所有符合条件的有序整数对),(n m

为：

)1,1(，)1,2(，)2,2(，)2,3(，)3,3(，)4,3(．

（1）∵{}n a 是递增的等差数列，设公差为d (0)d > ，1a Q 、2a 、4a 成等比数列，∴2214=a a a ?

由

2(1)1(13)d d +=?+ 及0d >得1d =，∴(*)n a n n N =∈

（2）∵1

1n a n +=+，

1221222n n

c c c n +++=+L 对*

n N ∈都成立，当1n =时，122

c =得14c =，当2n ≥时，由

1221222n n c c c n +++=+L ①，及112

21

222n n c c c n --+++=L ……②

①－②得

12n n

c =，得2n

n c = ，∴4(1)2(2)

n n n c n =?=?≥?，∴ 220112

3

2012

20131220122(12)

4222

4212

c c c -+++=++++=+=-L L

（3）对于给定的*

n N ∈，若存在*,,,k t

n k t N ≠∈，使得n k t b b b =?，∵1n n b n +=

，只需111

n k t n k t

+++=?， 即1111(1)(1)n k t +

=+?+，即1111n k t kt =++，即kt nt nk n =++，(1)n k t k n

+=

-，取1k n =+，则(2)t n n =+， ∴对数列{}n b 中的任意一项1n n b n +=，都存在12

1

n n b n ++=+和2222212n n

n n b n n +++=+使得212n n n n b b b ++=? 8、定义数列}{n x ，如果存在常数p ，使对任意正整数n ，总有1()()0n n x p x p +--<成立，那么我们称数列}{n x

为“

-p 摆动数列”

． （1）设12-=n a n

，n n b )2

1

(-=，*∈N n ，判断}{n a 、}{n b 是否为“-p 摆动数列”，并说明理由；

（2）设数列}{n c 为“

-p 摆动数列”

，p c >1，求证：对任意正整数*

,m n N ∈，总有122-

取值范围；若不是，说明理由． （1）假设数列}{n a 是“

-p 摆动数列”

，即存在常数p ，总有1212+<<-n p n 对任意n 成立，不妨取1=n 时，则31<

0=p ，由n n b )21(-=，于是0)2

1

(121<-=++n n n b b 对任意n 成立，所以数列}{n b 是“-p 摆动数列”

． （2）由数列}{n c 为“-p 摆动数列”

，p c >1，即存在常数p ，使对任意正整数n ，总有0))((1<--+p c p c n n 成立. 即有0))((12<--++p c p c n n 成立.则0))((2>--+p c p c n n ，所以p c p c p c m >??>>?>-1231Λ，

同理p c p c p c p c p c n

0))((Λ，所以122-<

*,N n m ∈，都有122-

（3）当1=n 时，11

-=d ，当*∈≥N n n ,2时，)12()1(1--=-=-n S S d n n n n ，综上，)12()1(--=n d n n …

即存在

0=p ，使对任意正整数n ，总有0)12)(12()1(121<+--=++n n d d n n n 成立，所以数列}{n d 是“-p 摆动

数列”；当n 为奇数时12+-=n d n 递减，所以11-=≤d d n ，只要1->p 即可，当n 为偶数时12-=n d n 递增，

32=≥d d n ，只要3

综上31<<

-p .所以数列}{n d 是“-p 摆动数列”

，p 的取值范围是)3,1(-． 9、数列满足7

61-

=a ，12110n n a a a a +++++-λ=L (其中0λ≠且1λ≠-，n N *

∈)，n S 为数列{}n a 的前n 项和． (1) 若312

2a a a ?=，求λ的值； (2) 求数列{}n a 的通项公式n a ；

(3) 当1

3

λ

=

时，数列{}n a 中是否存在三项构成等差数列，若存在，请求出此三项；若不存在，请说明理由． (1) 令1=n ，得到λ712=a ，令2=n ，得到237171λλ+=a ，由312

2

a a a ?=，计算得6

7-=λ． (2) 由题意01121

=-+???++++n n a a a a λ，可得)2(01121≥=-+???+++-n a a a a n n λ，所以有

0)1(1=-++n n a a λλ)2(≥n ，又1,0-≠≠λλ，得到)2(11≥+=

+n a a n n λ

λ

，故数列}{n a 从第二项起是等

比数列，又因为λ712=a ，所以n ≥2时，2)1(71-+=n n a λλλ，所以数列{}n a 的通项26

(1)7

11()(2)7n n n a n λλλ-?-=??=?

+?≥?? (3) 因为31=λ，所以26

(1)7

34(2)7

n n n a n -?-=??=???≥?? ，假设数列{}n a 中存在三项m a 、k a 、p a 成等差数列．

①不妨设m>k>p ≥2，因为当n ≥2时，数列{a n }单调递增，所以2a k =a m +a p ，即：2?(37)?4k –2 = 3

7

?4m –2 +

37

?4p –2，

化简得2?4k - p = 4m –p +1，即22k –2p+1=22m –2p +1，若此式成立，必有：2m –2p=0且2k –2p+1=1，故有m=p=k ，和题设矛盾； ②假设存在成等差数列的三项中包含a 1时，不妨设m=1，k>p ≥2且a k >a p ，所以2a p = a 1+a k ， 2?(

37)?4p –2 = –67

+ (

37

)?4k –2

，所以2?4p –2= –2+4k –2，即22p –4 = 22k –5 – 1，因为k > p ≥ 2，所以当且仅当k=3且p=2时成立， 因此，数列{a n }中存在a 1、a 2、a 3或a 3、a 2、a 1成等差数列． 10、

已知数列}{n a 的前n 项和为n S ，且21=a ，3

)

1(1++=+n n S na n n ．从}{n a 中抽出部分项ΛΛ,,,,21n k k k a a a

)(21ΛΛ<<<

（1）求2a 的值； （2）当q 取最小时，求}{n k 的通项公式； （3）求n k k k +++Λ21的值．

（1）令1=n

得321112

?+

=?a a ，即3212=-a a ；又21=a 3

8

2=?a ； （2）由3212=-a a 和???

????-+=-++=-+3)1()1(,3

)1(11n n S a n n n S na n n n n 32)1(1n a a n na n n n +=--?+3

21=-?+n n a a ，

所以数列}{n a 是以2为首项，

32为公差的等差数列，所以)2(3

2

+=n a n ． 解法一：数列}{n a 是正项递增等差数列，故数列}{n k a 的公比1>q ，若22=k ，则由3

8

2=

a 得

3412==a a q ，此时932)34(223=?=k a ，由)2(32932+=n 解得*3

10

N n ?=，所以22>k ，同理32>k ；若42=k ，则由4

4=a 得2=q ，此时122-?=n k n

a 组成等比数列，所以)2(3

2221

+=?-m n ，2231+=?-m n ，对任何正整数n ，只要取

2231-?=-n m ，即n k a 是数列}{n a 的第2231-?-n 项．最小的公比2=q ．所以2231

-?=-n n k ．

解法二: 数列}{n a 是正项递增等差数列，故数列}{n k a 的公比1>q ，设存在Λ

Λ,,,,21n k k k a a a

)(21ΛΛ<<<

2

k k k a a a ?=，即

()()232)2(322)2(3232

232

2+=+?+?=??

????+k k k k ，因为1*232>∈k N k k 且、所以22+k 必有因数3，即可设N

t t t k ∈≥=+,2,322

，当数列}{n k a 的公比q 最小时，即42

=k ，2=?q 最小的公比2=q ．所以

2231-?=-n n k ．

（3）由（2）可得从}{n a 中抽出部分项ΛΛ

,,,,21n k k k a a a )(21ΛΛ<<<

其中11

=k ，那么}{n k a 的公比是3

2

2+=

k q ，其中由解法二可得N t t t k ∈≥-=,2,232． )2(32)32(

312+=+?=-n n k k k a n 2)3

2(31

2-+?=?-n n k k 2)3223(

31-+-?=?-n n t k 231-?=?-n n t k ， N t t ∈≥,2，所以3232)1(31221--?=-++++=+++-n t n t t t k k k n n n ΛΛ．

11、数列{}n a 的前n 项和记为n S ，且满足21n n S a =-．

（1）求数列

{}n a 的通项公式； （2）求和：0121231n

n n n n n S C S C S C S C +++++L

；

（3）设有m 项的数列

{}n b 是连续的正整数数列，并且满足：

()212111lg 2lg 1lg 1lg 1lg log m m a b b b ??

????+++++++= ? ? ??????

?L ，试问数列{}n b 最多有几项？并求这些项的和．

（1）由12-=n n

a S 得1211-=++n n a S ，相减得n n n a a a 2211-=++，即n n a a 21=+．又1211-=a S ，得011≠=a ，

∴数列{}n a 是以1为首项2为公比的等比数列，∴12-=n n a ．

（2）由（1）知12-=n n

S ．

∴n n n n n n n n n n n

n C C C C C S C S C S C S ?-+?-+?-+?-=?++?+?+?++)12()12()12()12(12312011231201ΛΛ n n n n n n n n n n n n n n n C C C C C C C C 2322)21(2)()222(221

02210-?=-+=++++-++++=ΛΛ

（3）由已知得11

1122211-=+??+?+?

m b b b b b b m

m Λ．又{}n b 是连续的正整数数列，∴11+=-n n b b ．∴上式化为1)1(21-=+m b b m ．又)1(1-+=m b b m ，消m b 得02311=--m b mb ．26323111-+=-=b b b m ，由于*

∈N m ，

∴21>b ，∴31=b 时，m 的最大值为9，此时数列的所有项的和为6311543=++++Λ．

12、过坐标原点O 作倾斜角为60o 的直线交抛物线2:y x Γ=于1P 点，过1P 点作倾斜角为120o 的直线交x 轴于1Q 点，

交Γ于2P 点；过2P 点作倾斜角为60o

的直线交x 轴于2Q 点，交Γ于3P 点；过3P 点作倾斜角为120o

的直线，交x 轴

于

3

Q 点，交

Γ

于

4

P 点；如此下去……．又设线段

112231n n OQ Q Q Q Q Q Q -，，，，，L L

的长分别为

123,,,,,n a a a a L L

，数列

{}n a 的前n 项的和为n S ．

（1）求12,a a ； （2）求n a ，n S ； （3）设n a n

b a =（0a >且1a ≠），数列{}n b 的前n 项和为n T ，若正整数,,,p q r s 成等差数列，且p q r s <<<，试比较p s T T ?与q r T T ?的大小．

（1）如图，由11OQ P ?是边长为1a 的等边三角形，

得点1P

的坐标为11(,)22a ，又1

P 11(,)22a 在抛物线2

y x =上，所以211342a a =，得1

2

3

a =

，同理 2

P 222(,)322a +-

在抛物线2y x =上，得243

a =； （2）如图，法1：点1n Q -的坐标为12

31(,0)n a a a a -+++???+，即点1(,0)n S -（点0Q 与原点重合，00S =），所以直

线1n n Q P -

的方程为1)n y x S --

或1)n y x S -=-，因此，点n P

的坐标满足2

1)

n y x y x S -?=?

?

=-?? 消去x

210n y --= ，

所以y =

sin 60n n y a =?=

o ，故

31n a =21324n n n a a S --= ……①，由①有211324n n n a a S ++-= ……②，②-①得

22

113()2()4n n n n n a a a a a ++---=，

即11()(332)0n n n n a a a a +++--=，又0n a >，于是12

3

n n a a +-=，所以{}n a 是以

23为首项、23为公差的等差数，12

(1)3n a a n d n =+-=，1()1(1)23

n n a a n S n n +==+ 法2：点1n Q -的坐标为12

31(,0)n a a a a -+++???+，即点1(,0)n S -（点0Q 与原点重合，00S =），所以直线1n n Q P -的

方程为1)n y x S --

或1)n y x S -=-，因此，点(,)n P x y

的坐标满足21)

n y x y x S -?=??

=-??消去y 得213()n x S x --=，又12n n a x S -=+，所以213()22

n n n a a S -=+，从而2

1324n n n a a S --= …①

以下各步同法1

法3：点1n Q -的坐标为12

31(,0)n a a a a -+++???+，即即点1(,0)n S -（点0Q 与原点重合，00S =），所以

1(,)22n n n n a P S -+

，又1(,)22n n n n a P S -+在抛物线2y x =上，得2

1342

n n n a a S -=+即2

1324n

n n a a S --=

以下各步同法1

（3）因为2(1)23

13

23

n n n n

b a a

b a

++==，所以数列{}n b 是正项等比数列，且公比2301q a =≠，首项23

10b a q ==，

因正整数

,,,p q r s 成等差数列，且p q r s <<<，设其公差为d ，则d 为正整数，所以q p d =+，2r p d =+，

3s p d =+，则100

(1)

1p p b q T q -=

-，100

(1)1p d q b q T q +-=

-，2100(1)1p d r b q T q +-=-，3100

(1)1p d s b q T q +-=-

p s T T ?q r T T -?=2321000020(1)(1)(1)(1)(1)

p p d p d p d

b q q q q q +++???-----??- 2231000020()()(1)

p d p d p p d

b q q q q q +++??=?+-+??-，而23200000000()()(1)(1)p d p d p p d p d p d d q q q q q q q q +++++-+=--- 2000(1)()d p p d q q q +=--22000000(1)(1)(1)(1)d p d p d d

q q q q q q =--=--- ，因为0a >且1a ≠，

所以2

3

00q a =>且01q ≠，又d 为正整数，所以0(1)d q -与20(1)d q -同号，故2000(1)(1)0---

q q q ，所以，

p s T T ?q r T T

13、已知数列}{n a 对任意的,2≥n *N n ∈满足：n n n a a a 211<+-+，则称}{n a 为“Z 数列”．

（1）求证：任何的等差数列不可能是“Z 数列”； （2）若正数列

{}n b ，数列{}n b lg 是“Z 数列”，数列{}n b 是否可能是等比数列，说明理由，构造一个数列{}n c ，使

得

{}n c 是“Z 数列”；

（3）若数列}{n a 是“Z 数列”，设s 、t 、m N *

∈且s t <，求证.s t m s m t a a a a -<-++．

（1）设等差数列

{}n a 的首项1a ，公差d ，d n a a n

)1(1-+=，

0)1(22)2(211111=----+++=-+-+d n a d n a nd a a a a n n n ，所以任何的等差数列不可能是“Z 数列”

或者根据等差数列的性质：n n n a a a 211=+-+，所以任何的等差数列不可能是“Z 数列”；

（2）假设

{}n a lg 是等比数列，则n a Θ是“Z 数列”，所以n n n a a a lg 2lg lg 11<+-+ ，2

11n n n a a a

所以{}n a 不可能是等比数列，等比数列()1,011

1≠

112111122---+?-?+?=-+n n n n n n q c q c q c c c c ()()0112221221<-??=+-?=--q q c q q q c n n 恒成立，

01<∴c ．

补充说明：分析：11-+-<-n n n n a a a a ，

)

1()1(1

1---<-+--+n n a a n n a a n n n n ，根据几何意义只要()n f c n =的一阶导函数单

调递减就可以 （3）因为s s s

a a

b -=+1，121+++-=s s s a a b ，232+++-=s s s a a b ，……，11---=t t t a a b

4443

44421ΛΛ项

一共1211211+---+---+++=-++-+-=-s t s

t t s s t t t t s t b b b a a a a a a a a

同理：44443

444421ΛΛ项

一共1211211+-+-+-++++-+-+-+++++++=-++-+-=-s t m s m t m t m s m s t m t m m t m t m s m

t b b b a a a a a a a a

因为数列}{n b 满足对任意的n N *

∈均有1

n n b b +<，所以,,,,2211s m s m t t m t t b b b b b b >>>+-+--+-Λ

m s m

t s t a a a a ++->- ，则k p y y 210=+，∴012y k

p

y -=

14、已知复数i b a z n n n ?+=，其中R a n ∈，R b n ∈，*∈N n ，i 是虚数单位，

且i z z z n n n 221++=+，i z +=11． （1）求数列

{}n a 、{}n b 的通项公式；

（2）求和：①13221++++n n a a a a a a Λ； ②1154433221)1(++-++-+-n n n b b b b b b b b b b Λ．

（1）Θ

i i b a z +=?+=1111，∴11=a ，11=b ．由i z z z n n n 221++=+得

i b a i i b a i b a i b a n n n n n n n n ?++=+?-+?+=?+++)2(32)()(211，∴???+==++231

1n n n

n b b a a ，∴数列{}n a 是以1为首

项公比为3的等比数列，数列

{}n b 是以1为首项公差为2的等差数列，∴13-=n n

a ，12-=n

b n ．

（2）①由（1）知

1

3-=n n a ，Θ

211

3=-+k

k k k a a a a ,∴数列{}1+n n a a 是以3为首项，公比为

2

3的等比数

列． Θ

8

38391)31(31221

3221-=--=+++++n n n n a a a a a a Λ．

②当k n 2=，*∈N k

时，

)

()()()1(122212544332211154433221+-++-++-+-=-++-+-k k k k n n n b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b ΛΛn n k k b b k b b b b b b k k k 22482

)

(4)(44442222242242--=--=+?

-=+++-=----=ΛΛ，当

12+=k n ，*∈N k 时，1154433221)1(++-++-+-n n n b b b b b b b b b b Λ

1

22)34)(14(48)()()(2

2

221212221254433221-+=+++--=+-++-+-=+++-n n k k k k b b b b b b b b b b b b b b k k k k k k Λ

又1=n 也满足上式

∴?????---+=-++-+-++为偶数时

当为奇数时当n n n n n n b b b b b b b b b b n n n 22122)

1(22

1

1

54433221Λ 15、已知数列{}n a 中，21a =，前n 项和为n S ，且1()

2

n n n a a S -=

． （1）求1a 、3a ； （2）求证：数列

{}n a 为等差数列，并写出其通项公式；

（3）设1

lg 3n n n

a b +=

，试问是否存在正整数p 、q (其中1p q <<)，使1b 、p b 、q b 成等比数列？若存在，求出所有满足条件的数组(,)P q ；若不存在，说明理由．

(1)令1n =，则1

1a S ==

111()

02

a a -=． 32a =； （2）由1()2n n n a a S -=，即2n n na S =， ①，得1

1(1)2

n n n a S +++=． ②

②－①，得1(1)n n n a na +-=．③，于是21(1)n n na n a ++=+．④，③+④，得212n n n na na na +++=，即

212n n n a a a +++=．又10a =、21a =，211a a -=， 所以，数列{}n a 是以0为首项，1为公差的等差数列，所以，

1n a n =-．

法二②－①得1(1)n n n a na +-=．③，于是

1

21,1211a

n a n a n a n a n n n n ==-=-∴-=-+Λ，11

=-∴

n a n

，所以， 1n a n =-．

(3)假设存在正整数数组(,)P q ，使1b 、p b 、q b 成等比数列，则1lg b 、lg p b 、lg q b 成等差数列， 于是21333p q

p q

=+．

所以213(

)33

q p

p q =-(☆)．易知(,)(2,3)p q =为方程(☆)的一组解．当3p ≥，且p N *

∈时，11

2(1)2240333p p p p p p +++--=<，故数列23p p ??????

（3p ≥）为递减数列，于是2133p p -≤3231

033?-<，所以此时方程(☆)无正整数解．

综上，存在唯一正整数数对(,)(2,3)p q = ，使1b 、p b 、q b 成等比数列．

16、设数列{}{}n n a b 、的各项都是正数，n S 为数列{}n a 的前n 项和，且对任意*n N ∈，都有2421n n n a S a =--、1b e =、

1n n b b λ+=、1ln n n n c a b +=?(常数0λ>，ln n b 是以为底数的自然对数， 2.71828e =K )．

（1）求数列{}n a 、{}n b 的通项公式； （2）用反证法证明：当4λ=时，数列{}n c 中的任何三项都不可能成等比数列； （3）设数列{}n c 的前n 项和为n T ，试问：是否存在常数M ，对一切*

n N ∈，

(1)n n T c M λλ-+≥恒成立？若存在，求出M 的取值范围；若不存在，请证明你的结论．

（1）、（2）的评分标准同理科．

（3）21

2122357(21)35(21)(21)(1)32(1)(21)n n n n

n

n n

n T n T n n T n λλλλλλλλλλλλλλ---=+++++=

+++-++-=+++++-+L L L L L L 所以

①当1λ

=时，(1)(21)n n T c n λλ-+=+()n N *∈在N *上为单调递增函数，所以对于任意常数(,3]M ∈-∞，

(1)(21)n n T c n M

λλ-+=+≥恒成立；

②当1λ≠时，1122(1)323111n n

n n T c λλλλλλλλλ

---+=+?=+-

---。 记()g n =1122(1)323111n n

n n T c λλλλλλλλλ---+=+?=+----，(1)()20n g n g n λ+-=>，

所以数列()g n 为增函数，所以当1λ≠时，()g n =1

1(1)321n n n T c λλλλλ

---+=+?-(1) 3.g ≥=

所以，所以对于任意常数(,3]M

∈-∞，(1)n n T c M

λλ-+≥恒成立，

即：存在常数M ，对一切*

n N ∈，(1)n n T c M λλ-+≥恒成立，常数M 的取值范围是

17、已知三个互不相等的正数a ，b ，c 成等比数列，公比为q ．在a ，b 之间和b ，c 之间共插入n 个数，使这

3+n 个数构成等差数列．

（1）若1=a ，在b ，c 之间插入一个数，求q 的值；

（2）设c b a

<<，4=n ，问在a ，b 之间和b ，c 之间各插入几个数，请说明理由；

（3）若插入的n 个数中，有s 个位于a ，b 之间，个位于b ，c 之间，试比较s 与的大小． （1）因为a ，b ，c 是互不相等的正数，所以0>q 且1≠q ．由已知，a ，b ，c 是首项为，

公比为q 的等比数列，则q b =，2

q c =，当插入的一个数位于b ，c 之间， 设由4个数构成的等差数列的公差为d ，则?

??+=+=d q d q 3112

，消去d 得02322=+-q q ，因为1≠q ，所以2=q ．

（2）设所构成的等差数列的公差为d ，由题意，0>d ，共插入4个数．若在a ，b 之间插入个数，在b ，c 之间插入3

个数，则??

?+=+=d

b c d a b 42，于是42b c a b -=

-，b c a b -=-22，0232

=+-q q ，解得2=q ． 若在a ，b 之间插入3个数，在b ，c 之间插入个数，则???+=+=d

b c d a b 24，于是24b c a b -=

-，a b b c -=-22解得21

=q （不合题意，舍去）．

若a ，b 之间和b ，c 之间各插入2个数，则?

??+=+=d b c d

a b 33，b c a b -=-，解得1=q （不合题意，舍去）

综上，a ，b 之间插入个数，在b ，c 之间插入3个数．

（3）设所构成的等差数列的公差为d ，由题意，d s a b )1(++=，1+-=s a b d ，又d t b c )1(++=，1

+-=t c

b d ，

所以11+-=+-t b c s a b ，即1)1(11+-=+-t q q s q ，因为1≠q ，所以q s t =++1

1．

所以，当1>q ，即c b a <<时，t s <；当10<>时，t s >． （文）（1）当1=n 时，由已知)1(211-=a a ，得21=a ．当2≥n 时，由)1(2-=n n a S ，)1(211-=--n n a S ，

两式相减得122--=n n n

a a a ，即12-=n n a a ，所以}{n a 是首项为2，公比为2的等比数列．所以，n n a 2=（*N ∈n ）

． （2）由题意，d n a a n n )1(1

++=+，故11

+-=+n a a d n

n ，即12+=n d n ，因为43<

23<+

，即

44233+<<+n n n ，解得4=n ，所以516=

d ．所以所得等差数列首项为16，公差为3

16

，共有6项．所以这个等差数列所有项的和T 1442

)

3216(6=+?=

．所以，4=n ，144=T ．

（3）由（1）知

n n f 2)(=，所以)log

(2

m n f n c n ??=2

22

log log

22

m

n m

n n n ???=?=

n n m m n m n n n 22log log 2)2(222?=?=?=?． 由题意，n n c c <+1，即n n m n m n 222)1(?

所以12

+<

n n m

111+-

=n 对任意*N ∈n 成立．因为1

11)(+-=n n g 在*

N ∈n 上是单调递增的，所以)(n g 的最

小值为21)1(=

g ．所以2

12

m 得m

的取值范围是

，所以，当m ∈时，数列}{n c 是单调

递减数列．

18、已知数列{}*()n a n N ∈的前n 项和为n S ，数列n S n ??

????

是首项为0，公差为12的等差数列．

（1）求数列{}n a 的通项公式；

（2）设()*42()15

n a

n

b n N =

?-∈，对任意的正整数k ，将集合{}21221,,k k k b b b -+中的三个元素排成一个递增的等差数列，其公差为k d ，求证：数列{}k d 为等比数列；

（3）对（2）题中的k d ，求集合{}1,k

k x d x d x Z +<<∈的元素个数．

(1)由条件得

10(1)2n S n n =+-，即(1)2

n n

S n =-，所以，*1()n a n n N =-∈； (2) 由（1）可知1*4(2)()15n n b n N -=?-∈，所以，22222144

(2)21515

k k k b ---=-=?，

2121244(2)21515k k k b --=-=-?，222144

(2)21515

k k k b +=-=?，由212212k k k b b b -+=+及22121k k k b b b -+<<

得22121,,k k k b b b -+依次成递增的等差数列，所以22221214442215155

k

k k k k k d b b -+-=-=?-?=，满足

1

4k k

d d +=为常数，所以数列

{}k d 为等比数列；

（3）①当k 为奇数时，

11

22112

23101555(1)4(51)555

15555(1)5

k k k k k k k

k k k k k k k k k k C C d C C C --------+-+--===

=-+-+--

L L ，

同样，可得111122011114(51)15555(1)555

k k k k k k k

k k k k d C C C ++--++++-===-+-+-+L 所以，集合{}1,k k x d x d x Z +<<∈的元素个数为111

()()155k k d d +--++133(41)55k k k d d ++=-+=；

②当k 为偶数时，同理可得集合{}1,k k x d x d x Z +<<∈的元素个数为3(41)

5

k ?-

19、对于任意的*N n ∈，若数列}{n a 同时满足下列两个条件，则称数列}{n a 具有“性质m ”：

①

12

2

++<+n n n a a a ； ②存在实数M ，使得M

a n

≤成立

（1）数列}{n a 、}{n b 中，n a n

=、6

sin

2πn b n =（5,4,3,2,1=n

）

，判断}{n a 、}{n b 是否具有“性质m ”； （2）若各项为正数的等比数列}{n c 的前n 项和为n S ，且413

=

c ，4

7

3=S ，证明：数列}{n S 具有“性质m ”，并指出M 的取值范围；

（3）若数列}{n d 的通项公式n

n n n t d 2

1)23(+-?=（*N n ∈）.对于任意的3≥n （*

N n ∈），数列}{n d 具有“性质m ”，且对满足条件的M 的最小值90

=M ，求整数的值.

（1）在数列}{n a 中，取1=n

，则

23

122

a a a ==+，不满足条件①，所以数列}{n a 不具有“m 性质”；在数列}{n

b 中，11=b ，32=b ，23=b ，34=b ，15=b ，则2312323b b b =<=+，3422432b b b =<=+，4532323b b b =<=+，所以满足条件①；26

sin

2≤=π

n b n （5,4,3,2,1=n ）满足条件②，所以数列}{n b 具有“性质m ”；

（2）因为数列}{n c 是各项为正数的等比数列，则公比0>q

，将41

3=

c 代入=3S 473323=++c q c q

c 得0162

=--q q

，解得21=

q 或31-=q （舍去），所以11=c ，12

1

-=n n c ，1

212--

=n n

S ，对于任意的*

N n ∈，

1222

1

2212122+++=-<--=+n n n n n n S S S ，且2

（3）由于n

d n tn t 213--

=，则1121)1(3++-+-=n n n t t d ，2

22

1

)2(3++-+-=n n n t t d ，由于任意],3[∞+∈n 且 *N n ∈，数列}{n d 具有“性质m ”，所以122++<+n n n d d d 即+-n tn 21221)2(+-+n n t 1

2

1

)1(2+-+?>n n t ，化简得1)2(>-n t 即2

1->

n t 对于任意),3[∞+∈n 且*

N n ∈恒成立，所以1>t ……① 1121)1(21++-+-

-=-n n n n n t tn d d =1

21

)1(+--n n t 由于3≥n 及①，所以n n d d >+1，即3≥n 时，数列}{n d 是单调递增数列，且t tn t d n n n n 3)2

1

3(lim lim =--=→∞→∞，只需93≤t ，解得3≤t ……②，由① ②得31≤

20、已知数列{}n a 具有性质：①1a 为整数；②对于任意的正整数n ，当n a 为偶数时，12

n n a a +=

；当n a 为奇数时，

11

2

n n a a +-=

（1）若1a 为偶数，且1a 、2a 、3a 成等差数列，求1a 的值； （2）设1

23m a =+(3m >且m ∈N)，数列{}n a 的前n 项和为n S ，求证：123m n S +≤+；

（3）若1a 为正整数，求证：当211log n a >+(n ∈N)时，都有0n a =.

⑴设1

2a k =，2a k =，则：322k a k +=，30a =

分两种情况：

k 是奇数，则2311

022

a k a --=

==，1k =，1232,1,0a a a ===， 若k 是偶数，则23022

a k

a =

==，0k =，1230,0,0a a a ===； ⑵当3m >时，1231

23423,21,2,2,m m m m a a a a ---=+=+==

45122,,2,1,0m m m m n a a a a a ++-======L L ，∴1124223n m m m S S +≤=++++=+L

⑶∵211log n a >+，∴211log n a ->，∴1

12n a ->，由定义可知：1,212

,2

n

n n

n n n

a a a a a a +???=≤?-???是偶数是奇数

∴

112n n a a +≤，∴1211112112n n n n n n a a a a a a a a a ----=???≤?L ，∴111

212

n n n a --

综上可知：当211log n a >+()n N ∈时，都有0n a =

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高三文科数学数列专题 高三文科数学复习资料 ——《数列》专题 1. 等差数列{ a n}的前n项和记为S n，已知a1030, a2050 . （ 1）求通项a n； （ 2）若S n242 ，求 n ； （ 3）若b n a n20 ，求数列 { b n } 的前 n 项和 T n的最小值. 2. 等差数列{ a n}中，S n为前n项和，已知S77, S1575 . （ 1）求数列{ a n}的通项公式； （ 2）若b n S n，求数列 {b n } 的前 n 项和 T n. n 3. 已知数列{ a n}满足a1 1 a n 1 ( n 1) ，记 b n 1 ， a n . 1 2a n 1 a n （1）求证 : 数列{ b n}为等差数列； （2）求数列{ a n}的通项公式 . 4. 在数列a n 中， a n 0 ， a1 1 ，且当 n 2 时，a n 2S n S n 1 0 . 2 （ 1）求证数列1 为等差数列；S n （ 2）求数列a n的通项 a n； （ 3）当n 2时，设b n n 1 a n，求证： 1 2 (b2 b3 b n ) 1 . n 2(n 1) n 1 n 5. 等差数列{ a n}中，a18, a4 2 . （ 1）求数列{ a n}的通项公式； （ 2）设S n| a1 | | a2 || a n |，求 S n；

1 (n N *) ， T n b1 b2 b n (n N *) ，是否存在最大的整数m 使得对任（ 3）设b n n(12 a n ) 意 n N * ，均有T n m m 的值，若不存在，请说明理由. 成立，若存在，求出 32 6. 已知数列{log2(a n1)} 为等差数列，且a13, a39 . （ 1）求{ a n}的通项公式； （ 2）证明： 1 1 ... 1 1. a2 a1 a3 a2 a n 1 a n 7. 数列{ a n}满足a129, a n a n 12n 1(n 2, n N * ) . （ 1）求数列{ a n}的通项公式； （ 2）设b n a n，则 n 为何值时， { b n } 的项取得最小值，最小值为多少？n 8. 已知等差数列{ a n}的公差d大于0 , 且a2,a5是方程x2 12 x 27 0 的两根,数列 { b n } 的前 n 项和 为 T n,且 T n 1 1 b n. 2 （ 1）求数列{ a n} , { b n}的通项公式； （ 2）记c n a n b n，求证:对一切 n N 2 , 有c n. 3 9. 数列{ a n}的前n项和S n满足S n2a n 3n . （1）求数列{ a n}的通项公式a n； （2）数列{ a n}中是否存在三项，它们可以构成等差数列？若存在，请求出一组适合条件的项；若不存在，请说明理由 . 10. 已知数列{ a n}的前n项和为S n，设a n是S n与 2 的等差中项，数列{ b n} 中， b1 1，点 P(b n , b n 1 ) 在 直线 y x 2 上. （ 1）求数列{ a n} , { b n}的通项公式

求数列通项专题高三数学复习教学设计

假如单以金钱来算,我在香港第六、七名还排不上,我这样说是有事实根据的.但我认为,富有的人要看他是怎么做.照我现在的做法我为自己内心感到富足,这是肯定的. 求数列通项专题高三数学复习教学设计 海南华侨中学邓建书 课题名称 求数列通项（高三数学第二阶段复习总第1课时） 科目 高三数学 年级 高三（5）班 教学时间 2009年4月10日 学习者分析 数列通项是高考的重点内容 必须调动学生的积极让他们掌握！ 教学目标 一、情感态度与价值观 1. 培养化归思想、应用意识. 2.通过对数列通项公式的研究 体会从特殊到一般 又到特殊的认识事物规律 培养学生主动探索 勇于发现的求知精神 二、过程与方法 1. 问题教学法------用递推关系法求数列通项公式 2. 讲练结合-----从函数、方程的观点看通项公式 三、知识与技能 1. 培养学生观察分析、猜想归纳、应用公式的能力； 2. 在领会函数与数列关系的前提下 渗透函数、方程的思想 教学重点、难点 1.重点：用递推关系法求数列通项公式 2.难点：（１）递推关系法求数列通项公式（２）由前n项和求数列通项公式时注意检验第一项（首项）是否满足 若不满足必须写成分段函数形式；若满足

则应统一成一个式子. 教学资源 多媒体幻灯 教学过程 教学活动1 复习导入 第一组问题： 数列满足下列条件 求数列的通项公式 （1）；（2） 由递推关系知道已知数列是等差或等比数列即可用公式求出通项 第二组问题：[学生讨论变式] 数列满足下列条件 求数列的通项公式 （1）；（2）； 解题方法：观察递推关系的结构特征 可以利用"累加法"或"累乘法"求出通项 （3） 解题方法：观察递推关系的结构特征 联想到"？=？)" 可以构造一个新的等比数列 从而间接求出通项 教学活动2 变式探究 变式1：数列中 求 思路：设 由待定系数法解出常数

高考数学数列题型专题汇总

高考数学数列题型专题 汇总 公司内部档案编码：[OPPTR-OPPT28-OPPTL98-OPPNN08]

高考数学数列题型专题汇总 一、选择题 1、已知无穷等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和为n S ，且S S n n =∞ →lim .下列 条件中，使得()*∈q a （B ）6.07.0,01-<<-q a （D ）7.08.0,01-<<-

A ．{}n S 是等差数列 B ．2{}n S 是等差数列 C ．{}n d 是等差数列 D ．2{}n d 是等差数列 【答案】A 二、填空题 1、已知{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，若16a =，350a a +=，则 6=S _______.. 【答案】6 2、无穷数列{}n a 由k 个不同的数组成，n S 为{}n a 的前n 项和.若对任意 *∈N n ，{}3,2∈n S ，则k 的最大值为________. 【答案】4 3、设等比数列{}n a 满足a 1+a 3=10，a 2+a 4=5，则a 1a 2a n 的最大值 为 . 【答案】64 4、设数列{a n }的前n 项和为S n .若S 2=4，a n +1=2S n +1，n ∈N *，则 a 1= ，S 5= . 【答案】1 121

最全高考复习数列专题及练习答案详解

高考复习数列专题： 数 列(参考答案附后) 第一节 数列的概念与数列的简单表示 一、选择题 1．已知数列{}a n 对任意的p ，q ∈N * 满足a p ＋q ＝a p ＋a q ，且a 2＝－ 6，那么a 10＝( ) A ．－165 B ．－33 C ．－30 D ．－21 2．在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋ln(1＋1 n )，则a n ＝( ) A ．2＋ln n B ．2＋(n －1)ln n C ．2＋n ln n D ．1＋n ＋ln n 3．若数列{a n }的前n 项积为n 2 ，那么当n ≥2时，{a n }的通项公式为( ) A ．a n ＝2n －1 B ．a n ＝n 2 C ．a n ＝ n ＋12 n 2 D ．a n ＝ n 2n －1 2 4．在数列{a n }中，a n ＋1＝a n ＋2＋a n ，a 1＝2，a 2＝5，则a 6的值是( ) A ．－3 B ．－11 C ．－5 D ．19 5．已知数列{a n }中，a n ＝n －79n －80 (n ∈N *)，则在数列{a n }的前50 项中最小项和最大项分别是( ) A ．a 1，a 50 B ．a 1，a 8 C ．a 8，a 9 D ．a 9， a 50 二、填空题 6．若数列{}a n 的前n 项和S n ＝n 2 －10n (n ＝1,2,3，…)，则此数

列的通项公式为________；数列{}na n 中数值最小的项是第__________项． 7．数列35，12，511，37，7 17，…的一个通项公式是 ___________________________． 8．设数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋n ＋1，则通项a n ＝__________. 三、解答题 9．如果数列{}a n 的前n 项和为S n ＝3 2a n －3，求这个数列的通项 公式． 10．已知{a n }是正数组成的数列，a 1＝1，且点(a n ，a n ＋1)(n ∈N ＋ )在函数y ＝x 2 ＋1的图象上． (1)求数列{a n }的通项公式； (2)若列数{b n }满足b 1＝1，b n ＋1＝b n ＋2a n ，求证：b n ·b n ＋2＜b 2 n ＋1.

高三数学数列专题复习题含答案

高三数学数列专题复习题含答案 一、选择题 1.等比数列{}n a 中，12a =，8a =4，函数 ()128()()()f x x x a x a x a =---L ，则()'0f =（ ） A ．62 B. 92 C. 122 D. 152 【答案】C 【解析】考查多项式函数的导数公式，重点考查学生创新意识，综合与灵活地应用所学的数学知识、思想和方法。考虑到求导中，含有x 项均取0，则()' 0f 只与函数()f x 的一次项 有关；得：412 123818()2a a a a a a ??==L 。 2、在等比数列{}n a 中，11a =，公比1q ≠.若12345m a a a a a a =，则m= （A ）9 （B ）10 （C ）11 （D ）12 【答案】C 3、已知{}n a 是首项为1的等比数列，n s 是{}n a 的前n 项和，且369s s =，则数列1n a ?? ???? 的前5项和为 （A ） 158或5 （B ）3116或5 （C ）3116 （D ）15 8 【答案】C 【解析】本题主要考查等比数列前n 项和公式及等比数列的性质，属于中等题。 显然q ≠1，所以3639(1q )1-=121-q 1q q q q -?+?=-，所以1{}n a 是首项为1，公比为1 2 的等比数列， 前5项和5 51 1()31211612 T -= =-. 4、已知各项均为正数的等比数列{n a }，123a a a =5，789a a a =10，则456a a a = (A) 【答案】A

【解析】由等比数列的性质知31231322()5a a a a a a a ===g ，3 7897988()a a a a a a a ===g 10,所以 13 2850a a =, 所以13 3 3 64564655 28()()(50)52a a a a a a a a a =====g 5.已知等比数列{m a }中，各项都是正数，且1a ， 321 ,22 a a 成等差数列，则91078a a a a +=+ A.12+ B. 12- C. 322+ D 322- 6、设{}n a 是任意等比数列，它的前n 项和，前2n 项和与前3n 项和分别为,,X Y Z ，则下列等式中恒成立的是 A 、2X Z Y += B 、()()Y Y X Z Z X -=- C 、2 Y XZ = D 、()()Y Y X X Z X -=- 【答案】 D 【分析】取等比数列1,2,4,令1n =得1,3,7X Y Z ===代入验算，只有选项D 满足。 8、设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若111a =-,466a a +=-,则当n S 取最小值时,n 等于 A ．6 B ．7 C ．8 D ．9 【答案】A 【解析】设该数列的公差为d ，则461282(11)86a a a d d +=+=?-+=-，解得2d =， 所以22(1) 11212(6)362 n n n S n n n n -=-+ ?=-=--，所以当6n =时，n S 取最小值。 9、已知等比数列{}n a 满足0,1,2,n a n >=L ，且25252(3)n n a a n -?=≥，则当1n ≥时， 2123221log log log n a a a -+++=L A. (21)n n - B. 2 (1)n + C. 2n D. 2 (1)n -

高三数学数列专题训练(含解析)

数列 20．（本小题满分12分） 已知等差数列{}n a 满足：22,5642=+=a a a ，数列{}n b 满足n n n na b b b =+++-12122 ，设数列{}n b 的前n 项和为n S 。 （Ⅰ）求数列{}{}n n b a ,的通项公式； （Ⅱ）求满足1413<

（1）求这7条鱼中至少有6条被QQ 先生吃掉的概率； （2）以ξ表示这7条鱼中被QQ 先生吃掉的鱼的条数，求ξ的分布列及其数学期望E ξ． 18．解：（1）设QQ 先生能吃到的鱼的条数为ξ QQ 先生要想吃到7条鱼就必须在第一天吃掉黑鱼，()177 P ξ== ……………2分 QQ 先生要想吃到6条鱼就必须在第二天吃掉黑鱼，()61667535 P ξ==?= ……4分 故QQ 先生至少吃掉6条鱼的概率是()()()1166735P P P ξξξ≥==+== ……6分 （2）QQ 先生能吃到的鱼的条数ξ可取4,5,6,7,最坏的情况是只能吃到4条鱼:前3天各吃掉1条青鱼,其余3条青鱼被黑鱼吃掉,第4天QQ 先生吃掉黑鱼,其概率为 64216(4)75335P ξ==??= ………8分 ()6418575335 P ξ==??=………10分 所以ξ的分布列为（必须写出分布列, 否则扣1分） ……………………11分 故416586675535353535 E ξ????= +++=，所求期望值为5． (12) 20.∵a 2=5，a 4+a 6=22，∴a 1+d=5，（a 1+3d ）+（a 1+5d ）=22， 解得：a 1=3，d=2． ∴12+=n a n …………2分 在n n n na b b b =+++-1212 2 中令n=1得：b 1=a 1=3， 又b 1+2b 2+…+2n b n+1=（n+1）a n+1， ∴2n b n+1=（n+1）a n+1一na n ． ∴2n b n+1=（n+1）（2n+3）－n （2n+1）=4n+3，

(完整版)高考数列专题复习

专题数列知识网络

专题训练 一．选择题 1.设数列{}n a的前n项和 2 n S n =，则 8 a的值为 （A） 15 (B) 16 (C) 49 （D）64 2.设等差数列 {} n a 的前n项和为n S,若111 a=-, 46 6 a a +=-,则当 n S取最小值时,n 等于 A.6 B.7 C.8 D.9 3.如果等差数列 {} n a 中，34512 a a a ++=，那么 127 ... a a a +++= （A）14 （B）21 （C）28 （D）35 4.已知等比数列{m a}中，各项都是正数，且1a，32 1 ,2 2 a a 成等差数列，则 910 78 a a a a + = + A.12 + B. 12 - C. 322 +D322 - 5.在等比数列 {} n a 中，11 a=，公比1 q≠ .若12345 m a a a a a a =，则m= （A）9 （B）10 （C）11 （D）12

6.等比数列 {} n a 中，15252||1,8,, a a a a a ==->则 n a = A ．1 (2)n -- B ．1 (2)n --- C ．(2)n - D ．(2)n -- 7.设{n a }是由正数组成的等比数列，n S 为其前n 项和，已知24a a =1, 37 S =, 则 5S = （A ）152 (B)314 (C)33 4 (D)172 8.设 n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，已知3432S a =-，2332 S a =-，则公比q = （A ）3 （B ）4 （C ）5 （D ）6 9.（文）设{}n a 是等比数列，则“123a a a <<”是数列{}n a 是递增数列的 （A ）充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件、 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件 （理）设{}n a 是首项大于零的等比数列，则“12 a a <”是“数列{}n a 是递增数列”的 （A ）充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件 (C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件 10.已知{ n a }是首项为1的等比数列，n S 是{n a }的前n 项和，且36 9S S =。则数列 n 1a ?? ?? ??的前5项和为 （A ）158或5 （B ）3116或5 （C ）3116 （D ）15 8 11.设n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，2580a a +=，则5 2S S = （A ）11 （B ）5 （C ）8- （D ）11- 12.设{}n a 是任意等比数列，它的前n 项和，前2n 项和与前3n 项和分别为,,X Y Z ，则下列等式中恒成立的是

高考数列专题总结(全是精华)

数列专题复习（0929） 一、证明等差等比数列 1． 等差数列的证明方法： （1）定义法：1n n a a d +-=(常数) （2）等差中项法：112(2)n n n a a a n +-+=≥ 2．等比数列的证明方法： （1）定义法： 1 n n a q a +=(常数) （2）等比中项法：211(2)n n n a a a n +-=≥ 例1.设｛a n ｝为等差数列，S n 为数列｛a n ｝的前n 项和，已知S 7＝7，S 15＝75， T n 为数列｛n S n ｝的前n 项和，求T n ． 解：设等差数列｛a n ｝的公差为d ，则 S n =na 1＋21 n （n －1）d ．∴S 7＝7，S 15＝75，∴???=+=+,7510515,721711d a d a 即???=+=+,57,1311d a d a 解得a 1＝－2，d ＝1．∴n S n ＝a 1＋21（n －1）d ＝－2＋21 （n －1）． ∵ 2111=-++n S n S n n ，∴数列｛n S n ｝是等差数列，其首项为－2，公差为2 1 ， ∴T n ＝ 41n 2－4 9n ． 例2．设数列{a n }的首项a 1=1，前n 项和S n 满足关系式： 3tS n －（2t +3）S n －1=3t （t >0，n =2，3，4，…） 求证：数列{a n }是等比数列； 解：（1）由a 1=S 1=1，S 2=1+a 2，得a 2=t t a a t t 323,32312+= + 又3tS n －（2t +3）S n －1=3t ① 3tS n －1－（2t +3）S n －2=3t ② ①－②得3ta n －（2t +3）a n －1=0 ∴t t a a n n 33 21+= -，（n =2，3，…） 所以{a n }是一个首项为1，公比为 t t 33 2+的等比数列. 练习：已知a 1=2，点(a n ,a n+1)在函数f (x )=x 2+2x 的图象上，其中=1，2，3，… （1） 证明数列｛lg(1+a n )｝是等比数列； （2） 设T n =(1+a 1) (1+a 2) …(1+a n )，求T n 及数列｛a n ｝的通项； 答案 .(2) 21 3 n n T -=,21 3 1n n a -=-; 二．通项的求法 （1）利用等差等比的通项公式 (2)累加法：1()n n a a f n +-= 例3．已知数列{}n a 满足211=a ，n n a a n n ++=+211，求n a 。 解：由条件知：1 1 1)1(112 1+-=+=+= -+n n n n n n a a n n 分别令)1(,,3,2,1-??????=n n ，代入上式得)1(-n 个等式累加之，即 )()()()(1342312--+??????+-+-+-n n a a a a a a a a )111()4131()3121()211(n n --+??????+-+-+-=所以n a a n 1 11-=- 211=a ，n n a n 1231121-=-+=∴ （3）构造等差或等比 1n n a pa q +=+或1()n n a pa f n +=+ 例4．已知数列{}n a 满足* 111,21().n n a a a n N +==+∈ 求数列{}n a 的通项公式； 解：*121(),n n a a n N +=+∈ 112(1),n n a a +∴+=+ {}1n a ∴+是以112a +=为首项，2为公比的等比数列。 12.n n a ∴+= 即 *21().n n a n N =-∈

高考数学压轴专题最新备战高考《数列》难题汇编附答案

新数学《数列》期末复习知识要点 一、选择题 1．在数列{}n a 中，若10a =，12n n a a n +-=，则23111 n a a a +++L 的值 A ． 1 n n - B ． 1 n n + C ． 1 1n n -+ D ． 1 n n + 【答案】A 【解析】 分析：由叠加法求得数列的通项公式(1)n a n n =-，进而即可求解23111 n a a a +++L 的和. 详解：由题意，数列{}n a 中，110,2n n a a a n +=-=， 则112211()()()2[12(1)](1)n n n n n a a a a a a a a n n n ---=-+-++-+=+++-=-L L ， 所以 1111 (1)1n a n n n n ==--- 所以 231111111111(1)()()12231n n a a a n n n n -+++=-+-++-=-=-L L ，故选A. 点睛：本题主要考查了数列的综合问题，其中解答中涉及到利用叠加法求解数列的通项公式和利用裂项法求解数列的和，正确选择方法和准确运算是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力. 2．已知等比数列{}n a 满足13a =，13521a a a ++=，则357a a a ++=（ ） A ．21 B ．42 C ．63 D ．84 【答案】B 【解析】 由a 1+a 3+a 5=21得24242 1(1)21172a q q q q q ++=∴++=∴=∴ a 3+a 5+a 7=2 135()22142q a a a ++=?=，选B. 3．设数列{}n a 是等差数列，1356a a a ++=，76a =.则这个数列的前7项和等于（ ） A ．12 B ．21 C ．24 D ．36 【答案】B 【解析】 【分析】 根据等差数列的性质可得3a ，由等差数列求和公式可得结果. 【详解】 因为数列{}n a 是等差数列，1356a a a ++=，

高考数列专题总结(全是精华)

数列专题复习（0929） 一、证明等差等比数列 1． 等差数列的证明方法： （1）定义法：1n n a a d +-=(常数) （2）等差中项法：112(2)n n n a a a n +-+=≥ 2．等比数列的证明方法： （1）定义法： 1 n n a q a +=(常数) （2）等比中项法：211(2)n n n a a a n +-=≥ 例1.设｛a n ｝为等差数列，S n 为数列｛a n ｝的前n 项和，已知S 7＝7，S 15＝75， T n 为数列｛ n S n ｝的前n 项和，求T n ． 解：设等差数列｛a n ｝的公差为d ，则 S n =na 1＋21 n （n －1）d ．∴S 7＝7，S 15＝75，∴???=+=+,7510515,721711d a d a 即???=+=+,57,131 1d a d a 解得a 1＝－2，d ＝1．∴ n S n ＝a 1＋21（n －1）d ＝－2＋21 （n －1）． ∵ 2111=-++n S n S n n ，∴数列｛n S n ｝是等差数列，其首项为－2，公差为21 ， ∴T n ＝ 41n 2－4 9 n ． 例2．设数列{a n }的首项a 1=1，前n 项和S n 满足关系式： 3tS n －（2t +3）S n －1=3t （t >0，n =2，3，4，…） 求证：数列{a n }是等比数列； 解：（1）由a 1=S 1=1，S 2=1+a 2，得a 2=t t a a t t 323,32312+= + 又3tS n －（2t +3）S n －1=3t ① 3tS n －1－（2t +3）S n －2=3t ② ①－②得3ta n －（2t +3）a n －1=0 ∴ t t a a n n 33 21+= -，（n =2，3，…） 所以{a n }是一个首项为1，公比为t t 33 2+的等比数列. 练习：已知a 1=2，点(a n ,a n+1)在函数f (x )=x 2+2x 的图象上，其中=1，2，3，… （1） 证明数列｛lg(1+a n )｝是等比数列； （2） 设T n =(1+a 1) (1+a 2) …(1+a n )，求T n 及数列｛a n ｝的通项； 答案 .(2) 2 1 3n n T -=,2 1 31n n a -=-; 二．通项的求法 （1）利用等差等比的通项公式 (2)累加法：1()n n a a f n +-= 例3．已知数列{}n a 满足211=a ，n n a a n n ++=+211，求n a 。 解：由条件知：1 1 1)1(112 1+-=+=+= -+n n n n n n a a n n 分别令)1(,,3,2,1-??????=n n ，代入上式得)1(-n 个等式累加之，即 )()()()(1342312--+??????+-+-+-n n a a a a a a a a )111()4131()3121()211(n n --+??????+-+-+-=所以n a a n 1 11-=- 211=a ，n n a n 1231121-=-+=∴ （3）构造等差或等比 1n n a pa q +=+或1()n n a pa f n +=+ 例4．已知数列{}n a 满足*111,21().n n a a a n N +==+∈ 求数列{}n a 的通项公式； 解：* 121(),n n a a n N +=+∈ 112(1),n n a a +∴+=+ {}1n a ∴+是以112a +=为首项，2为公比的等比数列。 12.n n a ∴+= 即 *21().n n a n N =-∈ 例5．已知数列{}n a 中，11a =,1111 ()22 n n n a a ++=+，求n a . 解：在1111 ()22 n n n a a ++= +两边乘以12+n 得：112(2)1n n n n a a ++?=?+ 令2n n n b a =?，则11n n b b +-=,解之得：111n b b n n =+-=-,所以1 22 n n n n b n a -= =.

高考数列专题讲解(含答案)

数列 题型一、数列的综合问题 【例1】已知首项为32的等比数列{a n }不是递减数列，其前n 项和为S n (n ∈N *)，且 S 3＋a 3，S 5＋a 5，S 4＋a 4成等差数列. (1)求数列{a n }的通项公式； (2)设T n ＝S n －1S n (n ∈N *)，求数列{T n }的最大项的值与最小项的值. 解 (1)设等比数列{a n }的公比为q ， 因为S 3＋a 3，S 5＋a 5，S 4＋a 4成等差数列， 所以S 5＋a 5－S 3－a 3＝S 4＋a 4－S 5－a 5，即4a 5＝a 3， 于是q 2＝a 5a 3 ＝14. 又{a n }不是递减数列且a 1＝32，所以q ＝－12. 故等比数列{a n }的通项公式为a n ＝32×? ?? ??－12n －1 ＝(－1)n －1·32n . (2)由(1)得S n ＝1－? ????－12n ＝?????1＋12n ，n 为奇数，1－12n ，n 为偶数， 当n 为奇数时，S n 随n 的增大而减小， 所以1S n －1S n ≥S 2－1S 2 ＝34－43＝－712.

综上，对于n ∈N *，总有－712≤S n －1S n ≤56. 所以数列{T n }最大项的值为56，最小项的值为－712. 【分析】解决等差数列与等比数列的综合问题，既要善于综合运用等差数列与等比数列的相关知识求解，更要善于根据具体问题情境具体分析，寻找解题的突破口. 【即时应用】已知数列{a n }是公差不为零的等差数列，其前n 项和为S n ，满足S 5－2a 2＝25，且a 1，a 4，a 13恰为等比数列{b n }的前三项. (1)求数列{a n }，{b n }的通项公式； (2)设T n 是数列??????????1a n a n ＋1的前n 项和，是否存在k ∈N *，使得等式1－2T k ＝1b k 成立？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由. 解 (1)设等差数列{a n }的公差为d (d ≠0)， ∴?????? ????5a 1＋5×42d －2（a 1＋d ）＝25，（a 1＋3d ）2＝a 1（a 1＋12d ）， 解得a 1＝3，d ＝2，∴a n ＝2n ＋1. ∵b 1＝a 1＝3，b 2＝a 4＝9， ∴等比数列{b n }的公比q ＝3，∴b n ＝3n . (2)不存在.理由如下： ∵1a n a n ＋1＝1（2n ＋1）（2n ＋3）＝12? ?? ??12n ＋1－12n ＋3， ∴T n ＝12???? ??? ????13－15＋? ????15－17＋…＋? ????12n ＋1－12n ＋3 ＝12? ?? ??13－12n ＋3， ∴1－2T k ＝23＋12k ＋3 (k ∈N *)， 易知数列?????? ????12k ＋3为单调递减数列， ∴23<1－2T k ≤1315，又1b k ＝13k ∈? ????0，13，

高考数列大题专题精选

高考数列大题专题 （内部资料勿外 传） 1．已知数列{a n}、{b n}、{c n}满足． （1）设c n=3n+6，{a n}是公差为3的等差数列．当b1=1时，求b2、b3的值； （2）设，．求正整数k，使得对一切n∈N*，均有b n≥b k； （3）设，．当b1=1时，求数列{b n}的通项公式． 2．设{a n}是公比为正数的等比数列a1=2，a3=a2+4． （Ⅰ）求{a n}的通项公式； （Ⅱ）设{b n}是首项为1，公差为2的等差数列，求数列{a n+b n}的前n项和S n． 3．已知公差不为0的等差数列{a n}的首项a1为a（a∈R）设数列的前n项和为S n，且，，成等比数列． （Ⅰ）求数列{a n}的通项公式及S n； （Ⅱ）记A n=+++…+，B n=++…+，当a≥2时，试比较A n与B n的大小． 4．已知等差数列{a n}满足a2=0，a6+a8=﹣10

（I）求数列{a n}的通项公式； （II）求数列{}的前n项和． 5．成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上2、5、13后成为等比数列{b n}中的b3、b4、b5． （I）求数列{b n}的通项公式； （II）数列{b n}的前n项和为S n，求证：数列{S n+}是等比数列． 6．在数1 和100之间插入n个实数，使得这n+2个数构成递增的等比数列，将这n+2个数的乘积计作T n，再令a n=lgT n ，n≥1． （I）求数列{a n}的通项公式； （Ⅱ）设b n=tana n?tana n+1，求数列{b n}的前n项和S n． 7.设a1，d为实数，首项为a1，公差为d的等差数列{a n}的前n项和为S n，满足S5S6+15=0． （Ⅰ）若S5=5，求S6及a1； （Ⅱ）求d的取值范围． 8．已知等差数列{a n}的前3项和为6，前8项和为﹣4． （Ⅰ）求数列{a n}的通项公式； （Ⅱ）设b n=（4﹣a n）q n﹣1（q≠0，n∈N*），求数列{b n}的前n项和S n．

天津市高三数学总复习 综合专题 数列 理 (学生版)

数列（理） 考查内容：本小题主要考查等差数列与等比数列的通项公式及其前n 项和公式、 不等式证明等基础知识，考查分类讨论的思想方法，考查运算能力、 推理论证能力及综合分析、解决问题的能力。 1、在数列{}n a 中，11a =，122n n n a a +=+。 （1）设1 2 n n n a b -= 。证明：数列{}n b 是等差数列； （2）求数列{}n a 的前n 项和n S 。 2、设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知()21n n n ba b S -=- （1）证明：当2b =时，{} 12n n a n --?是等比数列； （2）求{}n a 的通项公式 3、已知数列{}n a 的首项12 3 a = ，121n n n a a a +=+，1,2,3,n =…。 （1）证明：数列? ?? ?? ?-11n a 是等比数列； （2）数列? ?? ?? ?n a n 的前n 项和n S 。 4、已知数列{}n a 满足：1±≠n a ，2 11=a ，()() 2211213n n a a -=-+，记数列21n n a b -=，221n n n c a a +=-， n N *∈。 （1）证明数列 {}n b 是等比数列； （2）求数列{}n c 的通项公式； （3）是否存在数列{}n c 的不同项k j i c c c ,,，k j i <<，使之成为等差数列？若存在请求出这样的不同项 k j i c c c ,,，k j i <<；若不存在，请说明理由。 5、已知数列{}n a 、{}n b 中，对任何正整数n 都有：

11213212122n n n n n n a b a b a b a b a b n +---+++++=--L 。 （1）若数列{}n a 是首项和公差都是1的等差数列，求证：数列{}n b 是等比数列； （2）若数列{}n b 是等比数列，数列{}n a 是否是等差数列，若是请求出通项公式，若不是请说明理由； （3）若数列{}n a 是等差数列，数列{}n b 是等比数列，求证：1132 n i i i a b =<∑ 。 6、设数列{}n a 满足11a =，22a =，121 (2)3 n n n a a a --= +，(3,4,)n =L 。数列{}n b 满足11,(2,3,)n b b n ==L 是非零整数，且对任意的正整数m 和自然数k ，都有 111m m m k b b b ++-≤+++≤L 。 （1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； （2）记(1,2,)n n n c na b n ==L ，求数列{}n c 的前n 项和n S 。 7、有n 个首项都是1的等差数列，设第m 个数列的第k 项为mk a ， (,1,2,3,,, 3)m k n n =L ≥，公差为m d ，并且123,,,,n n n nn a a a a L 成等差数列。 （1）证明1122m d p d p d =+，n m ≤≤3，12,p p 是m 的多项式，并求12p p +的值； （2）当121, 3d d ==时，将数列{}m d 分组如下：123456789(), (,,), (,,,,),d d d d d d d d d L （每组数的个数构成等差数列），设前m 组中所有数之和为4()(0)m m c c >，求数列{2}m c m d 的前n 项和n S 。 （3）设N 是不超过20的正整数，当n N >时，对于（2）中的n S ，求使得不等式1 (6)50 n n S d ->成立的所有N 的值。 8、数列}{n a 的通项公式为?? ? ? ?-=3sin 3cos 22 2 ππn n n a n ，其前n 项和为n S 。 （1）求n S ； （2）设n n n n S b 4 3?= ，求数列}{n b 的前n 项和n T 。 9、数列}{n a 满足}221221,2,(1cos )sin ,1,2,3,.22 n n n n n a a a a a n ππ+===++=L 满足。

高三理科数列专题训练

高三数列专题复习 题型一:等差等比的基本计算、裂项相消与错位相减求和 例1. 已知等差数列}{n a 满足：}.{26,7753n a a a a =+=的前n 项和为.n S （Ⅰ）求4a 及n S ; （Ⅱ）令1 1 2 -=n n a b )(*N n ∈，求数列}{n b 的前n 项和.n T 能力训练: 1.已知数列{}n a 满足111,3n n a a a +==,数列{}n b 的前n 项和2 21n S n n =++. (1)求数列{}n a ,{}n b 的通项公式; (2)设n n n c a b =?,求数列{}n c 的前n 项和n T . 题型二:已知n a 与n S 的递推关系,求n a (或n S ) 例2.已知数列{}n a 的各项均为正数,其前n 项和为n S ,满足4n n a S += (1)求数列{}n a 的通项公式; (2)设221()2log n n b a =-,数列{}n b 的前n 项和为n T ,求证:当2n ≥时,21 n n T n -<. 能力训练: 1.已知数列{}n a 各项均为正数,其前n 项和为n S ,点(,)n n a S 在曲线2 (1)4x y +=上. (1)求{}n a 的通项公式; (2)设数列{}n b 满足11112 3,,11 n n n n b n n n b b b b a c b b +++-=== +--,求数列{}n c 的前n 项和n T . 题型三:可转换为等差或等比的递推关系 例3.已知各项均为正数的数列{}n a 满足22 112320n n n n a a a a +++?-=,n 为正整数, 且31 32 a +是24,a a 的等差中项. (1)求数列{}n a 的通项公式; (2)若12 log n n n a c a =-,12n n T c c c =+++,求使12125n n T n ++?>成立的正整数n 的最小值. 能力训练: 1.设数列{}n a 的前n 项和为n S ,已知11a =,142n n S a +=+. (1)若12n n n b a a +=-,证明数列{}n b 是等比数列; (2)求数列{}n a 的通项公式; (3)若2(32) n n n c a n =+,n T 为数列{}n c 的前n 项和,求证:23n T < 题型四:分组求和,分奇偶项的讨论. 例4等比数列{}n a 中，123,,a a a 分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且123,,a a a 中

高三数列专题练习30道带答案

高三数列专题训练二 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、解答题 1．在公差不为零的等差数列{}n a 中，已知23a =，且137a a a 、、成等比数列． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，记，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 2．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差,50,053=+≠S S d 且1341,,a a a 成等比数列. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； 1，公比为3的等比数列，求数列{}n b 的前n 项和n T . 3．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，，2S ，3S 成等差数列，数列{}n b 满足2n b n =． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设n n n c a b =?，若对任意*n N ∈，求λ的取值范围． 4．已知等差数列{n a }的公差2d =，其前n 项和为n S ，且等比数列{n b }满足11b a =， 24b a =，313b a =． （Ⅰ）求数列{n a }的通项公式和数列{n b }的前n 项和n B ； （Ⅱ）记数列的前n 项和为n T ，求n T ． 5．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足()21,2,3,n n S a n =-=． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若数列{}n b 满足11b =，且1n n n b b a +=+，求数列{}n b 的通项公式； （3）设()3n n c n b =-，求数列{}n c 的前n 项和n T ．

2019年高考数学真题分类汇编专题18：数列

2019年高考数学真题分类汇编 专题18：数列（综合题） 1.（2019?江苏）定义首项为1且公比为正数的等比数列为“M－数列”. （1）已知等比数列{a n }()* n N ∈满足：245324,440a a a a a a =-+=，求证:数列{a n }为 “M－数列”； （2）已知数列{b n }满足: 111221,n n n b S b b +==- ，其中S n 为数列{b n }的前n 项和． ①求数列{b n }的通项公式； ②设m 为正整数，若存在“M－数列”{c n }()* n N ∈ ，对任意正整数k ， 当k ≤m 时，都有1k k k c b c +≤≤成立，求m 的最大值． 【答案】 （1）解：设等比数列{a n }的公比为q ， 所以a 1≠0，q ≠0. 由 ，得 ，解得 ． 因此数列 为“M—数列”. （2）解：①因为 ，所以 ． 由 得 ，则 . 由 ，得 ， 当 时，由 ，得 ， 整理得 ． 所以数列{b n }是首项和公差均为1的等差数列. 因此，数列{b n }的通项公式为b n =n . ②由①知，b k =k ， . 因为数列{c n }为“M–数列”，设公比为q ， 所以c 1=1，q >0. 因为c k ≤b k ≤c k +1 ， 所以 ，其中k =1，2，3，…，m .

当k=1时，有q≥1； 当k=2，3，…，m时，有． 设f（x）= ，则． 令，得x=e.列表如下： x e(e，+∞) +0– f（x）极大值 因为，所以． 取，当k=1，2，3，4，5时，，即， 经检验知也成立． 因此所求m的最大值不小于5． 若m≥6，分别取k=3，6，得3≤q3，且q5≤6，从而q15≥243，且q15≤216，所以q不存在.因此所求m的最大值小于6. 综上，所求m的最大值为5． 【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用，等比数列的通项公式，等差关系的确定 【解析】【分析】（1）利用已知条件结合等比数列的通项公式，用“M－数列”的定义证出数列{a n}为“M－数列”。（2）①利用与的关系式结合已知条件得出数列为等差数列，并利用等差数列通项公式求出数列的通项公式。②由①知，b k=k， .因为数列{c n}为“M–数列”，设公比为q，所以c1=1，q>0，因为c k≤b k≤c k+1，所以，其中k=1，2，3，…，m ，再利用分类讨论的方法结合求导的方法判断函数的单调性，从而求出函数的极值，进而求出函数的最值，从而求出m的最大值。