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九年级数学正弦和余弦人教版知识精讲

初三数学正弦和余弦人教版

【同步教育信息】

一. 本周教学内容：

正弦和余弦

二. 重点、难点：

1. 正弦和余弦的概念。

2. 正弦、余弦之间的关系。

【典型例题】

例1. 填空题。

（1）如图，△ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝3，AC ＝5，则

sinA ＝_________，cosA ＝_________；

sinB ＝_________，cosB ＝_________。

C 5 A （）如图，在△中，∠°，，，则，2A B C C 90BC ====sin A AB 45

cosB ＝_________。

B C

（3）如上题图，若AC ：BC ＝1：2，则sinB ＝_________。

（）是锐角，且，则度。432

∠=∠=B B B cos （5）sin30°＝_______，cos45°＝_______，sin60°＝_______。

（6）比较下列各组值的大小。

①sin15°_________ sin20°；

②cos40°_________ cos50°；

③cos32°_________ sin58°；

④sin10°_________ cos10°。（7）sin 210°＋cos 210°＝_________，sin 220°＋sin 270°＝_________。（）∠为锐角，若，则。843

A sin cos sin cos A A A A +=?= （）是锐角，且，则。9513

∠==A A A sin cos （）化简：。10121010-??=

sin cos 解：

（1）此题主要考察对正弦、余弦概念的理解。

在△中，∠＝°，则的对边斜边，的邻边斜边

。ABC C 90sinA =∠=∠A A A cos 因此运用勾股定理求出斜边AB 是此题的关键。

由勾股定理可得：AB BC AC =+=2234

故，s i n c o s A BC AB A AC AB =

=====33433434534

53434 又由，因此，∠+∠=?====A B B A B A 903343453434

cos sin sin cos （）由正弦定义可知，，而245

10sin A BC AB AB === 故，而BC B A ===845cos sin （3）由AC ：BC ＝1：2，则可设AC ＝x ，BC ＝2x

则由勾股定理：，故AB AC BC x B AC AB x x =+==

==225555sin （）是锐角，而，故。43032

30∠?=∠=?B B cos （5）对于特殊角的正、余弦值，同学们一定要熟记。

s i n c o s s i n 301245226032

?=?=?=，，（6）本题主要是考察正弦、余弦在锐角范围内的变化规律，在∠A 为锐角时，sinA 随∠A 增大而增大，cosA 随∠A 增大而减小，因此：

①sin15°＜sin20° ②cos40°＞cos50°

而对于③、④我们可以由互余角的正弦、余弦关系可以统一成正弦，或余弦再进行比较，故：

③cos32°＝sin58° ④sin10°＜cos10°

（7）由正弦、余弦定义可知，∠A 为锐角时，sin 2A ＋cos 2A ＝1，且0

sin 210°＋cos 210°＝1，而sin 220°＋cos 220°＝sin 220°＋sin 270°＝1。

（）已知，要求，显然可以通过平方得到乘积式。843

sin cos sin cos A A A A +=? 由，得：sin cos A A +=43

()s i n c o s A A +=?? ??

?2243 ∴++=sin sin cos cos 222169

A A A A 又 s i n

c o s 221A A += ∴=279

s i n c o s A A ∴=s i n c o s A A 718

（9）由上题中的平方关系可得：（∠A 是锐角）

c o s s i n 221A A =-

01<

∴=-=-?? ???=?=c o s s i n A A 11513813181312132

2 （10）由平方关系可知：1＝sin 210°＋cos 210°

∴-??121010sin cos

=?-??+?sin sin cos cos 22102101010

()=?-?sin cos 10102 =?-?sin cos 1010

c o s s i n 1080?=?

∴?

∴=?-?原式cos sin 1010

［小结］通过以上的练习，同学们应掌握以下几点：

1. 正弦、余弦的概念；

2. 正弦、余弦之间的关系：

()()∠=?-=?-+=?????A A A A A A A 为锐角时，（）（）（）19029031

22sin cos cos sin sin cos

3. ∠A 为锐角时，正弦、余弦的增减性。

例2. 如图，已知△ABC 中，∠BAC ＝90°，AD ⊥BC 于D 点，若BD ＝6，CD ＝2，求sinB ，sinC 。

B D C

分析：从图中可知，∠B 可以看作是Rt △ABC 或Rt △ABD 的锐角，因此要求sinB ，我们可以在这两个三角形中来寻找条件，显然运用射影定理的结论，在两个三角形中都比较容易求。

解：

在△ABC 中，∠BAC ＝90°，AD ⊥BC ，故由射影定理可得：

AB BD BC AC CD BC

22=?=? 又∵BD ＝6，CD ＝2，BC ＝BD ＋CD ＝8

∴=?==?=AB AC 2268482816

∴==AB AC 434，

在Rt △ABC 中，

s i n s i n B AC BC C AB BC ======481243832

［小结］运用定义来求锐角的正弦、余弦，往往需求出所需的边长，这就要运用勾股定理或相似三角形的性质来求出所需的边长。

例3. 已知：如图中，，，，求的长。?ABC B C AB AC BC ∠=?∠=?-=-304522

B D

分析：从已知条件可知△ABC 不是直角三角形，而BC 也不能直接求出。但结合∠B ＝30°，∠C ＝45°，我们可以过A 点作高，然后构造两个直角三角形，通过这两个直角三角形的公共边AD ，我们可以找到AB 、AC 的关系，结合已知，可求BD 、CD 。解：

过点A 作AD ⊥BC 于D

在Rt △ABD 中，

s i n c o s B AD AB B BD AB

==， ∴==?==?=??==AB AD B AD AD BD AB B AB AB AD sin sin cos cos 3023032

3 同理在Rt △ADC 中，

s i n c o s C AD AC C CD AC

==， ∴==?==?==AC AD C AD AD CD AC C AC AD sin sin cos 45222

又 AB AC -=-22

∴-=-2222AD AD

∴=AD 1 ∴====BD AD CD AD 331，

∴=+=+BC BD CD 31

例4. 已知：如图，△ABC 中，AC ＝2，BC ＝4，AB ＝3。

（1）求sinB ；

（2）过C 作CD ⊥BA 于D ，求CD 的长。

B E C

（1）分析：△ABC 不是Rt △，且∠B 的度数也不知，因此要求sinB 只能根据正弦的定义构造Rt △来解决。显然过A 作BC 的高线较为简单。因为在题目中可知BC>AB>AC ，则∠A 最大，因此过A 作BC 的高一定在△ABC 内部，而如果过C 作AB 边上的高，则AB 边上的高在△ABC 内部或是外部取决于∠A 是锐角、直角或钝角。

解：

过A 作AE ⊥BC 于E ，则∠AEB ＝∠AEC ＝90°

在Rt △ABE 和Rt △ACE 中，

由勾股定理可得：

AB BE AE AC CE AE

222

222-=-= 即AB BE AC CE 2222-=-

设BE ＝x ，则CE ＝4－x ，故可列方程：

()3242222-=--x x

解此方程得：x =218

在Rt △ABE 中，由AE 2＝AB 2－BE 2得：

AE AB BE =-=-?? ???=222

232183158

∴===s i n B AE AB 38153158

（2）分析：CD 的求法比较多，由于22＋32＜42，因此可知∠BAC ＞90°，故D 点在BA 的延长线上，我们可以依照上面求高AE 的方法。由BC 2－BD 2＝AC 2－AD 2＝CD 2，求得AD ，进一步求得CD 。另一方面由于AE 、CD 是三角形的高，故我们还可运用面积相等而得到式子AE ·BC ＝AB ·CD ，从而求出CD ；第三种方法，我们可以由

△∽△得到比例式而求出。第四种方法，由于已求出，ABE CBD AE CD AB BC CD B ==sin 158

在△中，。因此，可求出。显然这种方法充分运用了用角来转移比值关系，较简捷地求出了。Rt DBC sin sin B CD BC CD BC B CD CD ==?

解：

∵CD ⊥BA

∴∠CDB ＝90°

在中，Rt BCD B CD BC ?sin =

∴=?=?

=CD BC B sin 4158152 ∴=CD 152

［小结］（1）在△ABC 中，c 为最长边；

若，则；

，则；，则。

a b c C a b c C a b c C 222222222909090+>∠?

（2）知三角形三边，求三角形的高或面积。

（3）利用角来转移比值关系。

例5. 已知：∠、∠均为锐角，并且是方程的根，是方程A B sinA 611302x x B -+=cos 6202x x A B --=+的根，求的值。sin cos

解：

由方程得：611302x x -+=

()()31230x x --=

∴==x x 121332

，又∠为锐角， A A ∴<<01sin

∴=sin A 13

同理，由方程得：6202x x --=

x x 122312

==-， ∠为锐角，B B ∴<<01cos

∴=c o s B 23

∴+=+=s i n c o s A B 1323

例6. 求sin15°的值：

设△ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝15°，求sinB 的值。

解：

作AB 的中垂线DE ，垂足为D ，交BC 于E ，连结AE （如图）

∵ED 是AB 的中垂线

∴BE ＝AE

∴∠B ＝∠DAE

又∵∠AEC ＝∠B ＋∠DAE

∴∠AEC ＝2∠B ＝30°

在Rt △AEC 中，设AC ＝a

则AE AC a BE ===22

由勾股定理可得：

()EC AE AC a a a =-=-=222223

()∴=+BC a 23

在△ABC 中，∠C ＝90°，由勾股定理可得：

()()()AB AC BC a a a a 2222222222384362=+=++=+=

+ ()∴=+AB a 62

在Rt △ABC 中， ()

s i n B AC AB a a ==+=-62624 ∴?=

-s i n 15624

例7. 已知：关于x 的方程x 2＋mx ＋n ＝0的两根为一直角三角形两锐角的正弦，且2m ＋4n ＋1＝０，求m 、n 的值。

解：

在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，则∠A ＋∠B ＝90°，设sinA ，sinB 是原方程x 2＋mx ＋n ＝0的两根，则由根与系数关系可得：

s i n s i n s i n s i n A B m A B n +=-<>

?=<>???12

又 ∠+∠=?A B 90

∴sinA ＝cosB

∴+=+=s i n s i n c o s s i n 22221A B B B

即s i n s i n 221A B +=

()∴+-=<>s i n s i n s i n s i n A B A B 2213

把<1>、<2>代入<3>得：

m n 2214-=<>

又 24105m n ++=<>

<4>、<5>联立方程组得：

m n m n 2

21424105-=<>

++=<>???

解得：，m n m n 11221323413

=-+=-???????=--

=??

????

s i n s i n A B >>00，

∴+=->=>s i n s i n s i n s i n A B m A B n 0

∴<>m n 00，

∴=--=m n 1323

4，

【模拟试题】

一. 选择题。

1. 在△ABC 中，∠=?==C AC AB 90321，，，则cosB 的值为（

） A. 21

7 B. 277 C. 233 D. 7

2. △ABC 中，∠=?⊥ACB CD AB 90，于D ，下面结论中正确的是（

） A. cos B AC AB = B. cos B BD

BC =

C. cos B CD

BC = D. cos B AD

AC =

3. 当αβαβ+=?≠90，且时，下列各式中正确的是（）

A. sin cos αβ=

B. sin sin αβ=

C. cos cos αβ=

D. sin cos αβ=-

4. 已知045?<

A. sin cos αα>

B. sin cos αα≥

C. sin cos αα<

D. sin cos αα≤

5. 若x 为锐角，且()sin cos x m x =?-，则90的值是（）

A. m

B. -m

C. ±m

D. 1-m

6. 在直角三角形中，两锐角之比为1：2，则相应的这两个锐角的正弦值之比为（）

A. 31：

B. 33：

C. 32：

D. 2：1

7. 在直角三角形中，若两直角边的比为7：24，则此三角形中最小角的余弦值为（）

A. 725

B. 724

C. 2425

D. 2524

8. 在中，，，?ABC C A AB ∠=?==9035

10sin ，则BC 的长为（） A. 3 B. 4 C. 6 D. 8

9. 若09037?<

A. 37°

B. 63°

C. 53°

D. 143°

10. 化简：()cos sin 66?-?等于（）

A. 0

B. cos sin 66?-?

C. sin cos 66?-?

D. ()±?-?sin cos 66

11. 已知∠α为锐角，且sin .α=071，那么∠α的取值范围是（）

A. 030?<

B. 3045?<

C. 4560?<

D. 6090?<

12. 已知sinA 和sinB 是方程x x a 220-+=的两个根，∠A 和∠B 互为余角，则a 等于（）

A. -12

B. 32

C. 12

D. 22

二. 填空题。 1. 已知：α是锐角，且sin α=12

，则cos α=_______，()cos 90?-=α_______。 2. 若()23090sin ααα=?<

3. cos α≤12

，则锐角α的取值范围是__________。 4. sin cos 4545?-?=__________。

5. 若sin cos 22151?+=α，则锐角α=________度。

6. 若锐角∠A 的正弦等于35

，则cosA ＝_________。 7. 在Rt △ABC 中，∠=?==C AC A 90213

，，sin ，则AB ＝______，BC ＝______。 8. 比较大小：sin sin cos cos 25268687?

???， 9. △ABC 中，AC ＝1，BC ＝3，AB =10，则∠C ＝______度，sinB ＝_______。

10. 若α、β为锐角，且sin cos αβ-?? ???+-=321202

，则α＝_____度，β＝_____度。

三. 求下列各式的值。

（1）sin cos 454522

???+

（2）()()1304514530-?+?-?-?cos sin sin cos

（3）()sin sin cos 1516030?-?+??? （4）sin cos cos 222524525?+????

（5）cos cos cos cos 222212389?+?+?++?……

四. 解答题。

1. 锐角α在范围内时，关于x 的方程()x x 222120sin sin sin ααα-+++=有实数根。

2. 已知：如图，在△ABC 中，∠=?C 90，D 是BC 的中点，DE ⊥AB 于E ，sin B =13，AE =52，求DE 的长。

B D C

3. 已知：sinA 、sinB 是关于x 的方程42102x mx m -+-=的两个实数根，且∠A 、∠B 是一直角三角形中的两个锐角。

求：（1）m 的值；

（2）∠A 与∠B 的度数。

【试题答案】

一. 选择题。

1. B

2. B

3. A

4. C

5. A

6. B

7. C

8. C

9. C 10. B 11. BDC 二. 填空题。

1. 3212

； 2. 60° 3. 6090?≤

6. 45

7. 3212，

8. ＜，＞

9. 90°，1010

10. 60°，60° 三. 求下列各式的值。

（1）122

+ （2）5434- （3）74 （4）1 （5）892

四. 解答题。

1. 解：∵α是锐角

∴0＜sin α＜1

∴原方程()x x 222120sin sin sin ααα-+++=是关于x 的一元二次方程 ∴只有当()()?=+-+≥4241202sin sin sin ααα时，原方程有实根即()()sin sin sin ααα+-+≥21202

44120sin sin αα+-≥

∴≤s i n α12

又 01

012

030<<∴<≤∴?<≤?

sin sin ααα ∴?<≤?当时，原方程有实数根030α

2. 解：∵DE ⊥AB

∴∠BDE ＝90°

在Rt △BDE 中，

sin B DE BD ==13

故可设DE ＝x ，BD ＝3x

在Rt △BDE 中，由勾股定理可得：

()BE BD DE x x x =-=-=2222322

在?ABC 中，BC BD x ==26 在和中，，????DEB ACB DEB C B B

BDE BAC BD AB BE BC ∠=∠=?∠=∠∴∴

=90~

∴=3226x AB x x

∴==∴=-=

-==∴

=∴=AB x x AE AB BE x x x AE x x DE 1822

9229222252252

522

5222又即的长为

B D C

3. 解：∵∠A 、∠B 是直角三角形的两锐角

()∴+=?∴=?-=∠∠A B B A A

9090sin sin cos 故由根与系数关系可得：

s i n s i n s i n s i n A B m A B m +=?=-???????214

()即又s i n c o s s i n c o s s i n c o s s i n c o s s i n c o s A A m A A m A A A A A A +=<>?=-<>???????+=∴+-=<>2114

2121

3222

把<1><2>代入<3>式得：

m m 2214

12?? ???-?-= 即m m 2220--=

解得：m =±13 当m =+13时，原方程为()4213302x x -++=

∴=

=x x 121232

，即sin sin sin sin A B A B ====32121232

，或， ∴∠=?∠=?∠=?∠=?A B A B 60303060，或，当m =-13时，sin sin A B m +=<0，不符合题意 ∴=-m 13舍去

∴=+∠=?∠=?∠=?∠=?m A B A B 1360303060，，或，

九年级数学正弦和余弦人教版知识精讲

初三数学正弦和余弦人教版【同步教育信息】一. 本周教学内容：正弦和余弦二. 重点、难点： 1. 正弦和余弦的概念。 2. 正弦、余弦之间的关系。【典型例题】例1. 填空题。（1）如图，△ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝3，AC ＝5，则 sinA ＝_________，cosA ＝_________； sinB ＝_________，cosB ＝_________。 B 3 C 5 A （）如图，在△中，∠°，，，则，2A B C C 90BC ====sin A AB 45 10 cosB ＝_________。 A B C （3）如上题图，若AC ：BC ＝1：2，则sinB ＝_________。（）是锐角，且，则度。432 ∠=∠=B B B cos （5）sin30°＝_______，cos45°＝_______，sin60°＝_______。（6）比较下列各组值的大小。 ①sin15°_________ sin20°； ②cos40°_________ cos50°； ③cos32°_________ sin58°； ④sin10°_________ cos10°。（7）sin 210°＋cos 210°＝_________，sin 220°＋sin 270°＝_________。（）∠为锐角，若，则。843 A sin cos sin cos A A A A +=?= （）是锐角，且，则。9513 ∠==A A A sin cos （）化简：。10121010-??= sin cos 解：（1）此题主要考察对正弦、余弦概念的理解。

关于正弦函数和余弦函数的计算公式

同角三角函数的基本关系式倒数关系: 商的关系：平方关系： tanα·cotα＝1 sinα·cscα＝1 cosα·secα＝1 sinα/cosα＝tanα＝secα/cscαcosα/sinα＝cotα＝cscα/secα sin2α＋cos2α＝1 1＋tan2α＝sec2α 1＋cot2α＝csc2α 诱导公式 sin（－α）＝－sinα cos（－α）＝cosα tan（－α）＝－tanα cot（－α）＝－cotα sin（π/2－α）＝cosα cos（π/2－α）＝sinα tan（π/2－α）＝cotα cot（π/2－α）＝tanα sin（π/2＋α）＝cosα cos（π/2＋α）＝－sinα tan（π/2＋α）＝－cotα cot（π/2＋α）＝－tanα sin（π－α）＝sinα cos（π－α）＝－cosα tan（π－α）＝－tanα

cot（π－α）＝－cotα sin（π＋α）＝－sinαcos（π＋α）＝－cosαtan（π＋α）＝tanα cot（π＋α）＝cotα sin（3π/2－α）＝－cosαcos（3π/2－α）＝－sinαtan（3π/2－α）＝cotαcot（3π/2－α）＝tanα sin（3π/2＋α）＝－cosαcos（3π/2＋α）＝sinαtan（3π/2＋α）＝－cotαcot（3π/2＋α）＝－tanα sin（2π－α）＝－sinαcos（2π－α）＝cosα tan（2π－α）＝－tanαcot（2π－α）＝－cotα sin（2kπ＋α）＝sinαcos（2kπ＋α）＝cosαtan（2kπ＋α）＝tanαcot（2kπ＋α）＝cotα(其中k∈Z)

正弦定理和余弦定理

正弦定理和余弦定理高考风向 1.考查正弦定理、余弦定理的推导；2.利用正、余弦定理判断三角形的形状和解三角形；3.在解答题中对正弦定理、余弦定理、面积公式以及三角函数中恒等变换、诱导公式等知识点进行综合考查．学习要领 1.理解正弦定理、余弦定理的意义和作用；2.通过正弦、余弦定理实现三角形中的边角转换，和三角函数性质相结合． 1．正弦定理：a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝2R ，其中R 是三角形外接圆的半径．由正弦定理可以变形：(1)a ∶b ∶c ＝sin_A ∶sin_B ∶sin_C ；(2)a ＝2R sin_A ，b ＝2R sin_B ，c ＝2R sin_C ；(3)sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝ c 2R 等形式，解决不同的三角形问题． 2．余弦定理：a 2＝b 2＋c 2－2bc cos_A ，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos_B ，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos_C ．余弦定理可以变形： cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，cos C ＝a 2＋b 2－c 2 2ab . 3． S △ABC ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ac sin B ＝abc 4R ＝1 2 (a ＋b ＋c )·r (r 是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R 、 r . 4．在△ABC 中，已知a 、b 和A 时，解的情况如下： [1．在三角形中，大角对大边，大边对大角；大角的正弦值也较大，正弦值较大的角也较大，即在△ABC 中，A >B ?a >b ?sin A >sin B ；tanA+tanB+tanC=tanA·tanB·tanC ；在锐角三角形中，cos A

九年级数学上册：4.1.3《正弦和余弦》教案

4.1.3正弦和余弦教学目标【知识与技能】 1.进一步认识正弦和余弦； 2.正弦和余弦的综合应用. 【过程与方法】通过合作交流，能够根据直角三角形中边角关系，进行简单的计算. 【情感态度】经过探索，引导、培养学生观察，分析、发现问题的能力. 【教学重点】直角三角形中锐角的正弦、余弦的综合应用. 【教学难点】直角三角形中锐角的正弦、余弦的综合应用. 教学过程一、情景导入，初步认知 1.正弦和余弦的定义是什么？ 2.正弦和余弦之间有什么关系？【教学说明】复习有关知识，为本节课的教学作准备. 二、思考探究，获取新知一个小孩荡秋千，秋千链子的长度为2.5 m，当秋千向两边摆动时，摆角恰好为60°，且两边的摆动角度相同，求它摆至最高位置时与其摆至最低位置时的高度之差.(结果精确到0.01 m) 分析：引导学生自己根据题意画出示意图，培养学生把实际问题转化为数学问题的能力. 解：根据题意(如图) 可知，∠BOD=60°， OB=OA＝OD=2.5 m， ∠AOD＝1/2×60°＝30°， ∴OC=OD·cos30° =2.5≈2.165(m).

∴AC＝2.5-2.165≈0.34(m). 所以，最高位置与最低位置的高度约为0.34 m. 【教学说明】通过例题的教学，使学生掌握正弦、余弦在具体问题中的应用. 三、运用新知，深化理解 1.求下列式子的值. 2.在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6，sinA=3/5，求cosA. 3.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，cosA＝12/13，AC＝10，AB等于多少?sinB呢? 4.已知：如图，CD是Rt△ABC的斜边AB上的高，求证：BC2＝AB·BD.(用正弦、余弦函数的定义证明) 单靠“死”记还不行，还得“活”用，姑且称之为“先死后活”吧。让学生把一周看到或听到的新鲜事记下来，摒弃那些假话套话空话，写出自己的真情实感，篇幅可长可短，并要求运用积累的成语、名言警句等，定期检查点评，选择优秀篇目在班里朗读或展出。这样，即巩固了所学的材料，又锻炼了学生的写作能力，同时还培养了学生的观察能力、思维能力等等，达到“一石多鸟”的效果。解：在Rt△ABC中， sinA=BC/AB，在Rt△BCD中， cosB=BD/BC 根据上题中的结论，可知：在Rt△ABC中，sinA=cosB， BC/AB=BD/BC 即：BC2＝AB·BD. 【教学说明】使学生掌握正弦、余弦的综合应用. 四、师生互动、课堂小结先小组内交流收获和感想，而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充. 其实，任何一门学科都离不开死记硬背，关键是记忆有技巧，“死记”之后会“活用”。不记住那些基础知识，怎么会向高层次进军?尤其是语文学科涉猎的范围很广，要真正提高学生的写作水平，单靠分析文章的写作技巧是远远不够的，必须从基础知识抓起，每天挤一点时间让学生“死记”名篇佳句、名言警句，以及丰富的词语、新颖的材料等。这样，就会在有限的时间、空间里给学生的脑海里注入无限的内容。日积月累，积少成多，从而收到水滴

正弦函数余弦函数的图像(附答案)

正弦函数、余弦函数的图象 [学习目标] 1.了解利用单位圆中的正弦线画正弦曲线的方法.2.掌握“五点法”画正弦曲线和余弦曲线的步骤和方法，能用“五点法”作出简单的正弦、余弦曲线.3.理解正弦曲线与余弦曲线之间的联系．知识点一正弦曲线正弦函数y ＝sin x (x ∈R )的图象叫正弦曲线．利用几何法作正弦函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象的过程如下： ①作直角坐标系，并在直角坐标系y 轴的左侧画单位圆，如图所示． ②把单位圆分成12等份(等份越多，画出的图象越精确)．过单位圆上的各分点作x 轴的垂线，可以得到对应于0，π6，π3，π 2，…，2π等角的正弦线． ③找横坐标：把x 轴上从0到2π(2π≈6.28)这一段分成12等份． ④平移：把角x 的正弦线向右平移，使它的起点与x 轴上的点x 重合． ⑤连线：用光滑的曲线将这些正弦线的终点依次从左到右连接起来，即得y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象．在精度要求不太高时，y ＝sin x ，x ∈[0,2π]可以通过找出(0,0)，(π2，1)，(π，0)，(3π 2，－1)， (2π，0)五个关键点，再用光滑曲线将它们连接起来，就可得正弦函数的简图．思考在所给的坐标系中如何画出y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象？如何得到y ＝sin x ，x ∈R 的图象？答案 y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象(借助五点法得)如下：只要将函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π)的图象向左、向右平行移动(每次2π个单位长度)，就可以得到正弦函数y ＝sin x ，x ∈R 的图象．知识点二余弦曲线余弦函数y ＝cos x (x ∈R )的图象叫余弦曲线．

正弦与余弦定理和公式高中数学知识点梳理

正弦与余弦定理和公式高中数学知识点梳理首先，我们要了解下正弦定理的应用领域在解三角形中，有以下的应用领域： (1)已知三角形的两角与一边，解三角形 (2)已知三角形的两边和其中一边所对的角，解三角形 (3)运用a：b：c=sinA：sinB：sinC解决角之间的转换关系直角三角形的一个锐角的对边与斜边的比叫做这个角的正弦正弦定理在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，则有a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R(其中R为三角形外接圆的半径) 其次，余弦的应用领域余弦定理余弦定理是揭示三角形边角关系的重要定理，直接运用它可解决一类已知三角形两边及夹角求第三边或者是已知三个边求角的问题，若对余弦定理加以变形并适当移于其它知识，则使用起来更为方便、灵活。正弦定理的变形公式 (1) a=2RsinA, b=2RsinB, c=2RsinC; (2) sinA : sinB : sinC = a : b : c; 在一个三角形

中，各边与其所对角的正弦的比相等，且该比值都等于该三角形外接圆的直径已知三角形是确定的，利用正弦定理解三角形时，其解是唯一的;已知三角形的两边和其中一边的对角，由于该三角形具有不稳定性，所以其解不确定，可结合平面几何作图的方法及大边对大角，大角对大边定理和三角形内角和定理去考虑解决问题 (3)相关结论：a/sinA=b/sinB=c/sinC=(a+b)/(sinA+sinB)=(a+b+c)/(sin A+sinB+sinC) c/sinC=c/sinD=BD=2R(R为外接圆半径) (4)设R为三角外接圆半径，公式可扩展为：a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R,即当一内角为90时，所对的边为外接圆的直径。灵活运用正弦定理，还需要知道它的几个变形sinA=a/2R,sinB=b/2R,sinC=c/2R asinB=bsinA,bsinC=csinB,asinC=csinA (5)a=bsinA/sinB sinB=bsinA/a 正弦、余弦典型例题 1.在△ABC中，C=90，a=1，c=4，则sinA 的值为 2.已知为锐角，且，则的度数是( ) 3.在△ABC中，若，A，B为锐角，则C的度数是() 4.若A为锐角，且，则A=() 5.在△ABC中，AB=AC=2，ADBC，垂足为D，且AD= ，E 是AC中点， EFBC，垂足为F，求sinEBF的值。

正弦与余弦教学设计

第一章直角三角形的边角关系《正弦与余弦（第2课时）》教学设计说明砚山县蚌峨中学韦贵宏 1、学生已经知道的：学生在前一节课学习了有关正切的知识，学会了用直角三角形中两条直角边的关系来描述梯子的倾斜度（即倾斜角的正切） 2、学生想知道的：直角三角形中边与角之间是否还存在着其他的关系呢？是否也能用来刻画梯子的倾斜度呢？ 3、学生能自己解决的：探索出直角三角形中，一个锐角的对边与斜边的的比、邻边与斜边的比是随锐角的大小变化而变化的. 二、教学任务分析本课是九年级下册第一章第一节的第二课时，是让学生在理解了正切的基础上，进一步通过探究发现直角三角形中直角边与斜边之间存在的关系.同时发现，可以用其它的方式来刻画梯子的倾斜程度，从而拓展了学生的思维和视野.在导学探究过程中，不同学生对问题的理解是不一样的，教师应尊重学生间的差异，不要急于否定学生的答案，而要鼓励学生发表自己的看法，培养学生的逻辑思维能力，培养学生学习数学的自信心. 知识与技能 1、能利用相似的直角三角形，探索并认识锐角三角函数——正弦、余弦，理解锐角的正弦与余弦和梯子倾斜程度的关系. 2、能够用sinA,cosA表示直角三角形中直角边与斜边的比，能够用正弦、余弦进行简单的计算. 过程与方法 1、经历类比、猜想等过程.发展合情推理能力，能有条理地、清晰地阐述自己的观点. 2、体会解决问题的策略的多样性，发展实践能力和创新精神. 情感与价值观

1、积极参与数学活动，对数学产生好奇心和求知欲，学有用的数学. 2、形成实事求是的态度以及交流分享的习惯. 教学重点：理解正弦、余弦的数学定义，感受数学与生活的联系. 教学难点：体会正弦、余弦的数学意义，并用它来解决生活中的实际问题. 三、教学过程分析本节课设计了六个教学环节：第一环节：复习引入；第二环节：探求新知；第三环节：及时检测；第四环节：归类提升；第五环节：总结延伸；第六环节：随堂小测；第一环节复习引入 1、如图，Rt △ABC 中，tanA = ，tanB= . 2、在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，tanA ＝4 3 ，AC ＝10，求BC,AB 的长. 3、若梯子与水平面相交的锐角（倾斜角）为∠A ，∠A 越大，梯子越；tanA 的值越大，梯子越 . 4、当Rt △ABC 中的一个锐角A 确定时,其它边之间的比值也确定吗? 可以用其它的方式来表示梯子的倾斜程度吗？设计意图：以练代讲，让学生在练习中回顾正切的含义，避免死记硬背带来的负面作用（大脑负担重，而不会实际运用），第4题的问题引发学生的疑问，激起学生的探究欲望. 第二环节探求新知探究活动1：如图，请思考：（1）Rt △AB 1C 1和Rt △AB 2C 2的关系是；（2）的关系是和2 2 2111AB C B AB C B ； B 1 B 2 A C 1 C 2

正弦定理与余弦定理地综合应用

正弦定理与余弦定理的综合应用 (本课时对应学生用书第页 ) 自主学习回归教材 1.(必修5P16练习1改编)在△ABC中，若sin A∶sin B∶sin C=7∶8∶13，则cos C=. 【答案】-1 2 【解析】由正弦定理知a∶b∶c=7∶8∶13，再由余弦定理得cos C= 222 78-13 278 + ??=- 1 2. 2.(必修5P24复习题1改编)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a2-b23bc，sin C3B，则角A=. 【答案】π6 【解析】由sin C 3B得c3b，代入a2-b23得a2-b2=6b2，所以a2=7b2，a7b，所以cos A= 222 - 2 b c a bc + = 3 ，所以角A= π 6.

3.(必修5P20练习3改编)如图，一船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P的南偏西75°方向、距塔68 n mile的M处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N处，则这只船的航行速度为n mile/h. (第3题) 【答案】 176 4.(必修5P26本章测试7改编)设△ABC的角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a sin A+c sin C2sin C=b sin B，则角B=. 【答案】45° 【解析】由正弦定理得a2+c22ac=b2，再由余弦定理得b2=a2+c2-2ac cos B，故cos B=2 ，因此B=45°. 5.(必修5P19例4改编)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a，b，c成等比数列，则角B的取值围为. 【答案】 π0 3?? ???，

正弦定理和余弦定理详细讲解

高考风向 1.考查正弦定理、余弦定理的推导； 2.利用正、余弦定理判断三角形的形状和解三角形； 3.在解答题中对正弦定理、余弦定理、面积公式以及三角函数中恒等变换、诱导公式等知识点进行综合考查．

学习要领 1.理解正弦定理、余弦定理的意义和作用； 2.通过正弦、余弦定理实现三角形中的边角转换，和三角函数性质相结合．基础知识梳理 1．正弦定理：a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝2R ，其中R 是三角形外接圆的半径．由正弦定理可以变形：(1)a ∶b ∶c ＝sin_A ∶sin _B ∶sin _C ；(2)a ＝2R sin_A ，b ＝2R sin_B ，c ＝2R sin_C ；(3)sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c 2R 等形式，解决不同的三角形问题． 2．余弦定理：a 2 ＝b 2 ＋c 2 －2bc cos_A ，b 2 ＝a 2 ＋c 2 －2ac cos_B ，c 2 ＝a 2 ＋b 2 －2ab cos_C ．余弦定理可以变形：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，cos C ＝a 2＋b 2－c 2 2ab .

3． S △ABC ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ac sin B ＝abc 4R ＝1 2 (a ＋b ＋c )·r (r 是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R 、r . 4．在△ABC 中，已知a 、b 和A 时，解的情况如下： A 为锐角 A 为钝角或直角图形关系式 a ＝b sin A b sin A b 解的个数一解两解一解一解 [难点正本疑点清源] 1．在三角形中，大角对大边，大边对大角；大角的正弦值也较大，正弦值较大的角也较大，即在△ABC 中，A >B ?a >b ?sin A >sin B ；tanA+tanB+tanC=tanA ·tanB ·tanC ；在锐角三角形中，cos A