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北师大版九年级数学下册第一章1 锐角三角函数 1.2正弦和余弦练习题

北师大版九年级数学下第一章1 锐角三角函数 1.2正弦和余弦练习题（含答案）

一、选择题

1．在△ABC 中，∠C ＝90°，则下列等式成立的是( ) A ．sinA ＝AC

B ．sinA ＝

BC AB

C ．sinA ＝AC

D ．sinA ＝BC

2．如图1，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝10，AC ＝8，则sinA 等于链接听P2例1归纳总结( )

图1

A.35

B.45

C.34

D.43

3．如图2，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝6，cosB ＝2

，则BC 的长为( )

图2

A ．4

B ．2 5

C.181313

D.121313

4．如图3，A 为∠α边上任意一点，作AC ⊥BC 于点C ，CD ⊥AB 于点D ，下列用线段比表示cosα的值，错误的是( )

图3

A.CD AC

B.BC AB

C.BD BC

D.AD AC

5．如图4，梯子与地面的夹角为∠α，则下列关于∠α的三角函数值与梯子的倾斜程度之间的叙述正确的是( )

图4

A ．sinα的值越小，梯子越陡

B ．cosα的值越小，梯子越陡

C ．tanα的值越小，梯子越陡

D ．梯子的倾斜程度与∠α的三角函数值无关

6．如图5，在5×4的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，△ABC 的顶点都在这些小正方形的顶点上，则sin ∠BAC 的值为( )

图5

A.43

B.34

C.35

D.45

7．如果等腰三角形的底边长为10 cm ，周长为36 cm ，那么底角的余弦值是( ) A.513 B.1213

C.1013

D.512

二、填空题

8．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝5，AC ＝12，则cosB ＝________．

9．如图6，点A(t ，4)在第一象限，OA 与x 轴所夹的锐角为α，sinα＝2

，则t 的值为________．

图6

10．在△ABC 中，∠C ＝90°，若tanA ＝1

，则sinB ＝________.

11．已知正方形ABCD 的边长为2，P 是直线CD 上的一点．若DP ＝1，则sin ∠BPC 的值是____________． 12．如图7，在Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，BD ⊥AC ，垂足为D ，如果BC ＝4，sin ∠DBC ＝2

，那么线段

AB 的长是________．

图7

三、解答题

13．如图8，在Rt △ABC 中，斜边BC 上的高AD ＝4，cosB ＝4

5，求∠BAD 的正弦值和余弦值及AC 的长

度.链接听P2例2归纳总结

图8

14．如图9，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，点N 的坐标为(20，0)，点M 在第一象限内，且OM ＝10，sin ∠MON ＝3

求：(1)点M 的坐标； (2)cos ∠MNO 的值．

图9

15．如图10，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，D 是AB 的中点，BE ⊥CD ，交CD 的延长线于点E.已知AC ＝15，cosA ＝3

(1)求线段CD 的长； (2)求sin ∠DBE 的值．

图10

16．如图11，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，a ，b ，c 分别为∠A ，∠B ，∠C 所对的边． (1)求sinA ，cosB. (2)求tanA ，tanB.

(3)观察(1)(2)中的计算结果，你发现sinA 与cosB ，tanA 与tanB 之间有什么关系？ (4)应用：

①在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若sinA ＝2

3，则cosB ＝________；

②在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若tanA ＝2，则tanB ＝________．

图

附加题

如图12，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝12，BC ＝5. (1)求sin 2A ＋cos 2A 的值； (2)比较sinA 和cosB 的大小；

(3)想一想，对于任意直角三角形中的锐角，是否都有与上述两小题相同的结果？若有，请说明理由．

图12

参考答案

1．[解析] B 如图所示，sin A ＝BC

.故选B.

2．[解析] A 在Rt △ABC 中， ∵AB ＝10，AC ＝8，

∴BC ＝AB 2－AC 2＝102－82＝6， ∴sin A ＝BC AB ＝610＝3

故选A.

3．[解析] A 由余弦的定义可得cos B ＝BC AB ＝2

3.又∵AB ＝6，∴BC ＝

4.故选A.

4．[解析] D cos α＝BD BC ＝BC AB ＝CD

.故选D.

5．[解析] B sin α的值越小，∠α越小，梯子越平缓； cos α的值越小，∠α越大，梯子越陡；

tan α的值越小，∠α越小，梯子越平缓，所以B 正确．故选B.

6．[解析] D 如图，过点C 作CD ⊥AB 于点D ，则∠ADC ＝90°， ∴AC ＝AD 2＋CD 2＝32＋42＝5， ∴sin ∠BAC ＝CD AC ＝4

故选D.

7．[解析] A 等腰三角形的腰长为12×(36－10)＝13(cm)，所以易得底角的余弦值是5

13.

8．[答案]

9．[答案] 2 5

[解析] 如图，过点A 作AB ⊥x 轴于点B ， ∴sin α＝AB

∵sin α＝23，∴AB OA ＝2

∵A (t ，4)，∴AB ＝4，∴OA ＝6，∴t ＝2 5.

10．[答案] 2 5

11．[答案]

2 55或2 13

12．[答案] 2 5

13．解：∵AD ⊥BC ，∴∠ADB ＝∠BAC ＝90°，

∴∠B ＋∠BAD ＝90°，∠B ＋∠C ＝90°，∠BAD ＋∠CAD ＝90°， ∴∠BAD ＝∠C ，∠B ＝∠CAD . ∵cos B ＝45，∴cos ∠CAD ＝AD AC ＝4

又∵AD ＝4，∴AC ＝5， ∴CD ＝AC 2－AD 2＝3， ∴sin ∠BAD ＝sin C ＝AD AC ＝4

5，

cos ∠BAD ＝cos C ＝CD AC ＝3

14．解：(1)如图，过点M 作MP ⊥ON ，垂足为P .

在Rt △MOP 中，由sin ∠MON ＝35，OM ＝10，得MP 10＝3

5，∴MP ＝6.

由勾股定理，得OP ＝102－62＝8， ∴点M 的坐标是(8，6)．

(2)由(1)知MP ＝6，PN ＝20－8＝12， ∴MN ＝62＋122＝6 5， ∴cos ∠MNO ＝PN MN ＝126 5＝2 5

15．解：(1)因为AC ＝15，cos A ＝35，∠ACB ＝90°，所以AC AB ＝3

5，所以AB ＝25.

又因为D 是AB 的中点，所以CD ＝25

(2)由D 是AB 的中点，得CD ＝BD ＝25

2，

所以∠ECB ＝∠ABC ，所以sin ∠ECB ＝sin ∠ABC ＝AC AB ＝35

. 又BC ＝AB 2－AC 2＝20，所以BE ＝BC ·sin ∠ECB ＝12. 由勾股定理得CE ＝16，所以DE ＝16－252＝7

2，

所以sin ∠DBE ＝DE BD ＝72×225＝7

16．解：(1)在Rt △ABC 中，∵∠C ＝90°， ∴sin A ＝BC AB ＝a c ，cos B ＝BC AB ＝a

c .

(2)在Rt △ABC 中，∵∠C ＝90°， ∴tan A ＝BC AC ＝a b ，tan B ＝AC BC ＝b

(3)在Rt △ABC 中，若∠C ＝90°，则sin A ＝cos B ，tan A ·tan B ＝1. (4)①23 ②1

附加题

解：∵∠C ＝90°，AC ＝12，BC ＝5， ∴AB ＝AC 2＋BC 2＝122＋52＝13， ∴sin A ＝BC AB ＝513，cos A ＝AC AB ＝1213，

cos B ＝BC AB ＝5

13.

(1)∵sin 2A ＝????5132

＝25169

， cos 2A ＝

????12132

＝144169

， ∴sin 2A ＋cos 2A ＝25169＋144

169＝1.

(2)sin A ＝cos B .

(3)由这个特例的解答过程可猜想，对于任意直角三角形中的锐角，都有与上述两小题相同的结果，即：对于任意直角三角形中的锐角A ，都有sin 2A ＋cos 2A ＝1；在Rt △ABC 中，若∠C 为直角，则必有sin A ＝cos B .

理由如下：设在任意Rt △ABC 中，∠C ＝90°，则sin 2A ＝????BC AB 2，cos 2A ＝????AC AB 2

，BC 2＋AC 2＝AB 2

，

∴sin 2

A ＋cos 2

A ＝????BC A

B 2＋????A

C AB 2

＝BC 2＋AC 2

AB 2＝AB

2＝1. ∵sin A ＝BC AB ，cos B ＝BC AB ，

∴sin A ＝cos B .

九年级数学正弦和余弦人教版知识精讲

初三数学正弦和余弦人教版【同步教育信息】一. 本周教学内容：正弦和余弦二. 重点、难点： 1. 正弦和余弦的概念。 2. 正弦、余弦之间的关系。【典型例题】例1. 填空题。（1）如图，△ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝3，AC ＝5，则 sinA ＝_________，cosA ＝_________； sinB ＝_________，cosB ＝_________。 B 3 C 5 A （）如图，在△中，∠°，，，则，2A B C C 90BC ====sin A AB 45 10 cosB ＝_________。 A B C （3）如上题图，若AC ：BC ＝1：2，则sinB ＝_________。（）是锐角，且，则度。432 ∠=∠=B B B cos （5）sin30°＝_______，cos45°＝_______，sin60°＝_______。（6）比较下列各组值的大小。 ①sin15°_________ sin20°； ②cos40°_________ cos50°； ③cos32°_________ sin58°； ④sin10°_________ cos10°。（7）sin 210°＋cos 210°＝_________，sin 220°＋sin 270°＝_________。（）∠为锐角，若，则。843 A sin cos sin cos A A A A +=?= （）是锐角，且，则。9513 ∠==A A A sin cos （）化简：。10121010-??= sin cos 解：（1）此题主要考察对正弦、余弦概念的理解。

新北师大九年级数学下册知识点总结

新北师大九年级数学下册知识点总结 Document number【SA80SAB-SAA9SYT-SAATC-SA6UT-SA18】

新北师大版九年级数学下册知识点总结第一章直角三角形边的关系一．锐角三角函数 1.正切：定义：在Rt△ABC 中，锐角∠A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切．．，记作tanA ，即的邻边的对边A A A ∠∠=tan ; ①tanA 是一个完整的符号，它表示∠A 的正切，记号里习惯省去角的符号“∠”； ②tanA 没有单位，它表示一个比值，即直角三角形中∠A 的对边与邻边的比； ③tanA 不表示“tan”乘以“A”； ④初中阶段，我们只学习直角三角形中，∠A 是锐角的正切； ⑤tanA 的值越大，梯子越陡，∠A 越大；∠A 越大，梯子越陡，tanA 的值越大。 2.正弦．．：定义：在Rt△ABC 中，锐角∠A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记作sinA ，即斜边的对边A A ∠=sin ; 3.余弦：定义：在Rt△ABC 中，锐角∠A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦，记作cosA ，即斜边的邻边 A A ∠=cos ;

图1 锐角A 的正弦、余弦和正切都是∠A 的三角函数当锐角A 变化时，相应的正弦、余弦和正切之也随之变化。二．特殊角的三角函数值三．三角函数的计算 1. 仰角:当从低处观测高处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为仰角．． 2. 俯角：当从高处观测低处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为俯角．． 3.规律：利用特殊角的三角函数值表，可以看出，(1)当角度在0°～90°间变化时，正弦值、正切值随着角度的增大(或减小)而增大(或减小)；余弦值随着角度的增大(或减小)而减小(或增大)。(2)0≤sin α≤1，0≤cos α≤1。 4.坡度：如图2，坡面与水平面的夹角叫做坡角坡角的正切称为坡度．．．．．．．．．．． (或坡比．． )。用字母i 表示，即A l h i tan == 5.方位角：从某点的指北方向按顺时针转到目标方向的水平角，叫做方位角．．．。如图3，OA 、OB 、OC 的方位角分别为45°、135°、225°。 6.方向角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，叫做方向角．．．。如图4，OA 、OB 、OC 、OD 的方向角分别是；北偏东30°，南偏东45°(东南方向)、南偏西为60°，北偏西60°。 7.同角的三角函数间的关系： 30 o 45 o 60 o sin α cos α tan α 1 图2 h i=h:l l B

九年级数学上册：4.1.3《正弦和余弦》教案

4.1.3正弦和余弦教学目标【知识与技能】 1.进一步认识正弦和余弦； 2.正弦和余弦的综合应用. 【过程与方法】通过合作交流，能够根据直角三角形中边角关系，进行简单的计算. 【情感态度】经过探索，引导、培养学生观察，分析、发现问题的能力. 【教学重点】直角三角形中锐角的正弦、余弦的综合应用. 【教学难点】直角三角形中锐角的正弦、余弦的综合应用. 教学过程一、情景导入，初步认知 1.正弦和余弦的定义是什么？ 2.正弦和余弦之间有什么关系？【教学说明】复习有关知识，为本节课的教学作准备. 二、思考探究，获取新知一个小孩荡秋千，秋千链子的长度为2.5 m，当秋千向两边摆动时，摆角恰好为60°，且两边的摆动角度相同，求它摆至最高位置时与其摆至最低位置时的高度之差.(结果精确到0.01 m) 分析：引导学生自己根据题意画出示意图，培养学生把实际问题转化为数学问题的能力. 解：根据题意(如图) 可知，∠BOD=60°， OB=OA＝OD=2.5 m， ∠AOD＝1/2×60°＝30°， ∴OC=OD·cos30° =2.5≈2.165(m).

∴AC＝2.5-2.165≈0.34(m). 所以，最高位置与最低位置的高度约为0.34 m. 【教学说明】通过例题的教学，使学生掌握正弦、余弦在具体问题中的应用. 三、运用新知，深化理解 1.求下列式子的值. 2.在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6，sinA=3/5，求cosA. 3.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，cosA＝12/13，AC＝10，AB等于多少?sinB呢? 4.已知：如图，CD是Rt△ABC的斜边AB上的高，求证：BC2＝AB·BD.(用正弦、余弦函数的定义证明) 单靠“死”记还不行，还得“活”用，姑且称之为“先死后活”吧。让学生把一周看到或听到的新鲜事记下来，摒弃那些假话套话空话，写出自己的真情实感，篇幅可长可短，并要求运用积累的成语、名言警句等，定期检查点评，选择优秀篇目在班里朗读或展出。这样，即巩固了所学的材料，又锻炼了学生的写作能力，同时还培养了学生的观察能力、思维能力等等，达到“一石多鸟”的效果。解：在Rt△ABC中， sinA=BC/AB，在Rt△BCD中， cosB=BD/BC 根据上题中的结论，可知：在Rt△ABC中，sinA=cosB， BC/AB=BD/BC 即：BC2＝AB·BD. 【教学说明】使学生掌握正弦、余弦的综合应用. 四、师生互动、课堂小结先小组内交流收获和感想，而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充. 其实，任何一门学科都离不开死记硬背，关键是记忆有技巧，“死记”之后会“活用”。不记住那些基础知识，怎么会向高层次进军?尤其是语文学科涉猎的范围很广，要真正提高学生的写作水平，单靠分析文章的写作技巧是远远不够的，必须从基础知识抓起，每天挤一点时间让学生“死记”名篇佳句、名言警句，以及丰富的词语、新颖的材料等。这样，就会在有限的时间、空间里给学生的脑海里注入无限的内容。日积月累，积少成多，从而收到水滴

2020新版北师大版数学九年级下册教案(全)

2020新版北师大版数学九年级下册教案(全) 第1课时 §1.1.1 锐角三角函数教学目标 1、经历探索直角三角形中边角关系的过程 2、理解锐角三角函数（正切、正弦、余弦）的意义;并能够举例说明 3、能够运用三角函数表示直角三角形中两边的比 4、能够根据直角三角形中的边角关系;进行简单的计算教学重点和难点重点：理解正切函数的定义难点：理解正切函数的定义教学过程设计 ? 从学生原有的认知结构提出问题直角三角形是特殊的三角形;无论是边;还是角;它都有其它三角形所没有的性质。这一章;我们继续学习直角三角形的边角关系。 ? 师生共同研究形成概念 1、梯子的倾斜程度在很多建筑物里;为了达到美观等目的;往往都有部分设计成倾斜的。这就涉及到倾斜角的问题。用倾斜角刻画倾斜程度是非常自然的。但在很多实现问题中;人们无法测得倾斜角;这时通常采用一个比值来刻画倾斜程度;这个比值就是我们这节课所要学习的——倾斜角的正切。 1）（重点讲解）如果梯子的长度不变;那么墙高与地面的比值越大;则梯子越陡； 2）如果墙的高度不变;那么底边与梯子的长度的比值越小;则梯子越陡； 3）如果底边的长度相同;那么墙的高与梯子的高的比值越大;则梯子越陡；通过对以上问题的讨论;引导学生总结刻画梯子倾斜程度的几种方法;以便为后面引入正切、正弦、余弦的概念奠定基础。 2、想一想（比值不变） ☆ 想一想书本P 2 想一想通过对前面的问题的讨论;学生已经知道可以用倾斜角的对边与邻边之比来刻画梯子的倾斜程度。当倾斜角确定时;其对边与邻边的比值随之确定。这一比值只与倾斜角的大小有关;而与直角三角形的大小无关。 3、正切函数（1）明确各边的名称（2）的邻边的对边 A A A ∠∠=tan （3）明确要求：1）必须是直角三角形；2）是∠A 的对边与 ∠A 的邻边的比值。 ☆ 巩固练习 a 、如图;在△ACB 中;∠C = 90°; 1） tanA = ；tanB = ； 2）若AC = 4;BC = 3;则tanA = ；tanB = ； 3）若AC = 8;AB = 10;则tanA = ；tanB = ； b 、如图;在△ACB 中;tanA = 。（不是直角三角形）（4） tanA 的值越大;梯子越陡 4、讲解例题 A B C A B C ∠A 的对边 ∠A 的邻边斜边 A B C

正弦与余弦定理和公式高中数学知识点梳理

正弦与余弦定理和公式高中数学知识点梳理首先，我们要了解下正弦定理的应用领域在解三角形中，有以下的应用领域： (1)已知三角形的两角与一边，解三角形 (2)已知三角形的两边和其中一边所对的角，解三角形 (3)运用a：b：c=sinA：sinB：sinC解决角之间的转换关系直角三角形的一个锐角的对边与斜边的比叫做这个角的正弦正弦定理在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，则有a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R(其中R为三角形外接圆的半径) 其次，余弦的应用领域余弦定理余弦定理是揭示三角形边角关系的重要定理，直接运用它可解决一类已知三角形两边及夹角求第三边或者是已知三个边求角的问题，若对余弦定理加以变形并适当移于其它知识，则使用起来更为方便、灵活。正弦定理的变形公式 (1) a=2RsinA, b=2RsinB, c=2RsinC; (2) sinA : sinB : sinC = a : b : c; 在一个三角形

中，各边与其所对角的正弦的比相等，且该比值都等于该三角形外接圆的直径已知三角形是确定的，利用正弦定理解三角形时，其解是唯一的;已知三角形的两边和其中一边的对角，由于该三角形具有不稳定性，所以其解不确定，可结合平面几何作图的方法及大边对大角，大角对大边定理和三角形内角和定理去考虑解决问题 (3)相关结论：a/sinA=b/sinB=c/sinC=(a+b)/(sinA+sinB)=(a+b+c)/(sin A+sinB+sinC) c/sinC=c/sinD=BD=2R(R为外接圆半径) (4)设R为三角外接圆半径，公式可扩展为：a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R,即当一内角为90时，所对的边为外接圆的直径。灵活运用正弦定理，还需要知道它的几个变形sinA=a/2R,sinB=b/2R,sinC=c/2R asinB=bsinA,bsinC=csinB,asinC=csinA (5)a=bsinA/sinB sinB=bsinA/a 正弦、余弦典型例题 1.在△ABC中，C=90，a=1，c=4，则sinA 的值为 2.已知为锐角，且，则的度数是( ) 3.在△ABC中，若，A，B为锐角，则C的度数是() 4.若A为锐角，且，则A=() 5.在△ABC中，AB=AC=2，ADBC，垂足为D，且AD= ，E 是AC中点， EFBC，垂足为F，求sinEBF的值。

正弦与余弦教学设计

第一章直角三角形的边角关系《正弦与余弦（第2课时）》教学设计说明砚山县蚌峨中学韦贵宏 1、学生已经知道的：学生在前一节课学习了有关正切的知识，学会了用直角三角形中两条直角边的关系来描述梯子的倾斜度（即倾斜角的正切） 2、学生想知道的：直角三角形中边与角之间是否还存在着其他的关系呢？是否也能用来刻画梯子的倾斜度呢？ 3、学生能自己解决的：探索出直角三角形中，一个锐角的对边与斜边的的比、邻边与斜边的比是随锐角的大小变化而变化的. 二、教学任务分析本课是九年级下册第一章第一节的第二课时，是让学生在理解了正切的基础上，进一步通过探究发现直角三角形中直角边与斜边之间存在的关系.同时发现，可以用其它的方式来刻画梯子的倾斜程度，从而拓展了学生的思维和视野.在导学探究过程中，不同学生对问题的理解是不一样的，教师应尊重学生间的差异，不要急于否定学生的答案，而要鼓励学生发表自己的看法，培养学生的逻辑思维能力，培养学生学习数学的自信心. 知识与技能 1、能利用相似的直角三角形，探索并认识锐角三角函数——正弦、余弦，理解锐角的正弦与余弦和梯子倾斜程度的关系. 2、能够用sinA,cosA表示直角三角形中直角边与斜边的比，能够用正弦、余弦进行简单的计算. 过程与方法 1、经历类比、猜想等过程.发展合情推理能力，能有条理地、清晰地阐述自己的观点. 2、体会解决问题的策略的多样性，发展实践能力和创新精神. 情感与价值观

1、积极参与数学活动，对数学产生好奇心和求知欲，学有用的数学. 2、形成实事求是的态度以及交流分享的习惯. 教学重点：理解正弦、余弦的数学定义，感受数学与生活的联系. 教学难点：体会正弦、余弦的数学意义，并用它来解决生活中的实际问题. 三、教学过程分析本节课设计了六个教学环节：第一环节：复习引入；第二环节：探求新知；第三环节：及时检测；第四环节：归类提升；第五环节：总结延伸；第六环节：随堂小测；第一环节复习引入 1、如图，Rt △ABC 中，tanA = ，tanB= . 2、在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，tanA ＝4 3 ，AC ＝10，求BC,AB 的长. 3、若梯子与水平面相交的锐角（倾斜角）为∠A ，∠A 越大，梯子越；tanA 的值越大，梯子越 . 4、当Rt △ABC 中的一个锐角A 确定时,其它边之间的比值也确定吗? 可以用其它的方式来表示梯子的倾斜程度吗？设计意图：以练代讲，让学生在练习中回顾正切的含义，避免死记硬背带来的负面作用（大脑负担重，而不会实际运用），第4题的问题引发学生的疑问，激起学生的探究欲望. 第二环节探求新知探究活动1：如图，请思考：（1）Rt △AB 1C 1和Rt △AB 2C 2的关系是；（2）的关系是和2 2 2111AB C B AB C B ； B 1 B 2 A C 1 C 2

九年级数学上册 4.1 正弦和余弦教案1 湘教版

九年级数学上册 4.1 正弦和余弦教案1 湘教版教学目标 1、知识与技能：能根据正弦概念正确进行计算，通过探究使学生知道当直角三角形的锐角固定时，它的对边与斜边的比值都固定（即正弦值不变）这一事实。 2、过程与方法：经历当直角三角形的锐角固定时，它的对边与斜边的比值是固定值这一事实 3、态度、情感、价值观：发展学生的形象思维，培养学生由特殊到一般的演绎推理能力。教学重点：理解认识正弦（sinA ）概念，通过探究使学生知道当锐角固定时，它的对边与斜边的比值是固定值这一事实．教学难点：引导学生比较、分析并得出：对任意锐角，它的对边与斜边的比值是固定值的事实。教具：课件、多媒体展台、小黑板教学方法：讲练结合、点拨与讨论结合学具：教学过程及教学内容设计：（一）复习引入操场里有一个旗杆，老师让小明去测量旗杆高度。（演示学校操场上的国旗图片）小明站在离旗杆底部10米远处，目测旗杆的顶部，视线与水平线的夹角为34度，并已知目高为1米．然后他很快就算出旗杆的高度了。你想知道小明怎样算出的吗？师：通过前面的学习我们知道，利用相似三角形的方法可以测算出旗杆的大致高度；实际上我们还可以象小明那样通过测量一些角的度数和一些线段的长度，来测算出旗杆的高度。这就是我们本章即将探讨和学习的利用锐角三角函数来测算物体长度或高度的方法。下面我们大家一起来学习锐角三角函数中的第一种：锐角的正弦（二）实践探索为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管，在山坡上修建一座扬水站，对坡面的绿地进行灌溉。现测得斜坡与水平面所成角的度数是30o,为使出水口的高度为35m ，那么需要准备多长的水管？分析：问题转化为，在Rt△ABC 中，∠C=90o ，∠A=30o ，BC=35m,求AB 根据“再直角三角形中，30o 角所对的边等于斜边的一半”，即可得AB=2BC=70m.即需要准备70m 长的水管结论：在一个直角三角形中，如果一个锐角等于30o ，那么不管三角形的大小如何，这个角的对边与斜边的比值都等于如图，任意画一个Rt △ABC ，使∠C=90o ，∠A=45o ，计算∠A 的对边与斜边的比，能得到什么结论？ 341米 10米 ?

北师大九年级数学下册知识点汇总

图 1 北师大版初中数学定理知识点汇总[九年级(下册) 第一章直角三角形边的关系 ※一. 正切：定义：在Rt △ABC 中，锐角∠A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切．．，记作tanA ，即的邻边的对边 A A A ∠∠=tan ; ①tanA 是一个完整的符号，它表示∠A 的正切，记号里习惯省去角的符号“∠”； ②tanA 没有单位，它表示一个比值，即直角三角形中∠A 的对边与邻边的比； ③tanA 不表示“tan”乘以“A”； ④初中阶段，我们只学习直角三角形中，∠A 是锐角的正切； ⑤tanA 的值越大，梯子越陡，∠A 越大； ∠A 越大，梯子越陡，tanA 的值越大。 ※二. 正弦．．：定义：在Rt △ABC 中，锐角∠A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记作sinA ，即斜边的对边 A A ∠=sin ; ※三. 余弦：定义：在Rt △ABC 中，锐角∠A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦，记作cosA ，即斜边的邻边 A A ∠=cos ; ※余切：定义：在Rt △ABC 中，锐角∠A 的邻边与对边的比叫做∠A 的余切，记作cotA ，即的对边的邻边 A A A ∠∠= cot ; ※一个锐角的正弦、余弦、正切、余切分别等于它的余角的余弦、正弦、余切、正切。（通常我们称正弦、余弦互为余函数。同样，也称正切、余切互为余函数，可以概括为：一个锐角的三角函数等于它的余角的余函数）用等式表达：若∠A 为锐角，则 ①)90cos(sin A A ∠-?=； )90sin(cos A A ∠-?= ②)90cot( tan A A ∠-?=； )90tan(cot A A ∠-?= ※当从低处观测高处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为仰角．． ※当从高处观测低处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为俯角．． ※利用特殊角的三角函数值表，可以看出，(1)当角度在0°～90°间变化时，正弦值、正切值随着角度的增大(或减小)而增大(或减小)；余弦值、余切值随着角度的增大(或减小)而减小(或增大)。(2)0≤sin α≤1，0≤cos α≤1。 ※同角的三角函数间的关系：倒数关系：tg α·ctg α=1。 ※在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和二个锐角。由直角三角形中除直角外的已知元素，求出 0o 30 o 45 o 60 o 90 o sin α 0 2 1 22 2 3 1 cos α 1 23 2 2 2 1 0 tan α 0 3 3 1 3 — cot α — 3 1 3 3 0

沪教版数学九年级上册【学案】锐角的三角函数正弦与余弦

23.1.2 锐角的三角函数——正弦与余弦教学思路（纠错栏）学习目标： 1.理解并掌握正弦、余弦的含义，会在直角三角形中求出某个锐角的正弦和余弦值。 2.能用函数的观点理解正弦和余弦学习重点：正弦、余弦的概念. 学习难点：准确运用正弦、余弦表示直角三角形中两条边的比. ☆预习导航☆ 一、链接：如图，在Rt△ABC中， tanA = （）, tanB=（）. 二、导读：（用边的比表示）请同学们仔细阅读课本第115页内容后，再思考下列问题： 1.如图，在Rt△ABC中，_______________________________叫做∠A的正弦，记作sinA,即sinA = a BC A = = ∠ 斜边的对边 2、如上图，在Rt△ABC中，_________________________叫做∠A 的余弦. 记作cosA,即 cosA = b AC A = = ∠ 斜边的邻边 ☆合作探究☆ 1.已知：如图，∠ACB=90°,CD⊥AB,垂足为D. （1）sinA= BC AC = （）（）（2） AB CD) ( ) ( B sin = = （3） BC BCD CD ACD ) ( cos , ) ( cos = ∠ = ∠ （4） ) ( ) ( tan , ) ( ) ( tan AC BD B AC CD A= = = =

教学思路（纠错栏）2. 在△ABC中，∠C = 90°，sinA = 5 3 ,求则cosA= 3.请你分别求出图中∠A和∠B的各个三角函数值。 ☆归纳反思☆ ☆达标检测☆ 1.ABC Rt?中，∠C=90°，AC=4，BC=3，B cos的值为（）. A、 5 1 B、 5 3 C、 3 4 D、 4 3 2.如果把ABC Rt?的三边同时扩大到原来的n倍，则A sin的值（） A、不变 B、扩大到原来的n倍 C、缩小到原来的 n 1 D、不确定 3.在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝1，则sinA＝_____，cosB=_______,cosA=________,sinB=_______. 4．在Rt△ABC中，∠C＝90°，tanA＝ 4 3 ，AB＝10，求BC和cosB。 5.在平面直角坐标系内有一点P（2，5），连接OP，求OP与x轴正方向所夹锐角a 的各个三角函数值.

北师大版九年级下册数学期末试卷

北师大版九年级下册数学期末试卷一．选择题（共10小题） 1．下列式子错误的是（） A．cos40°=sin50°B．tan15°?tan75°=1C．sin225°+cos225°=1 D．sin60°=2sin30° 2．一个公共房门前的台阶高出地面1.2米，台阶拆除后，换成供轮椅行走的斜坡，数据如图所示，则下列关系或说法正确的是（） A．斜坡AB的坡度是10°B．斜坡AB的坡度是tan10° B．C．AC=1.2tan10°米D．AB=米 3．已知，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=，AC=1，那么∠A的正切tanA等于（）A．B．2 C． D． 4．函数y=k（x﹣k）与y=kx2，y=（k≠0），在同一坐标系上的图象正确的是（） A．B．C．D． 5．若抛物线y=x2﹣2x+3不动，将平面直角坐标系xOy先沿水平方向向右平移一个单位，再沿铅直方向向上平移三个单位，则原抛物线图象的解析式应变为（） A．y=（x﹣2）2+3 B．y=（x﹣2）2+5 C．y=x2﹣1 D．y=x2+4 6．若二次函数y=ax2﹣2ax+c的图象经过点（﹣1，0），则方程ax2﹣2ax+c=0的解为（） A．x 1=﹣3，x 2 =﹣1 B．x 1 =1，x 2 =3 C．x 1 =﹣1，x 2 =3 D．x 1 =﹣3，x 2 =1 7．如图所示，⊙O的半径为13，弦AB的长度是24，ON⊥AB，垂足为N，则ON=（）

A ．5 B ．7 C ．9 D ．11 8．如图，线段AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，∠CAB=40°，则∠ABD 与∠AOD 分别等于（） A ．40°，80° B ．50°，100° C ．50°，80° D ．40°，100° 9．已知⊙O 的半径OD 垂直于弦AB ，交AB 于点C ，连接AO 并延长交⊙O 于点E ，若AB=8，CD=2，则△BCE 的面积为（） A ．12 B ．15 C ．16 D ．18 10．二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）的图象如图所示，下列结论：①b ＜0；②c ＞0；③a+c ＜b ；④b 2﹣4ac ＞0，其中正确的个数是（） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 二．填空题（共10小题） 11．在△ABC 中，∠C=90°，AB=13，BC=5，则sinA 的值是． 12．在将Rt △ABC 中，∠A=90°，∠C ：∠B=1：2，则sinB= ． 13．已知cos α=，则的值等于． 14．已知抛物线y=ax 2﹣3x+c （a ≠0）经过点（﹣2，4），则4a+c ﹣1= ． 15．若二次函数y=2x 2﹣4x ﹣1的图象与x 轴交于A （x 1，0）、B （x 2，0）两点，则+ 的值为． 16．已知M 、N 两点关于y 轴对称，且点M 在双曲线上，点N 在直线y=﹣x+3上，设点M 坐标为（a ，b ），则y=﹣abx 2+（a+b ）x 的顶点坐标为． 17．若⊙O 的直径为2，OP=2，则点P 与⊙O 的位置关系是：点P 在⊙O ．

北师大九年级数学下册知识点总结

图1 图3 图4 九年级数学下册知识点归纳第一章直角三角形边的关系一．锐角三角函数 1.正切：定义：在Rt△ABC 中，锐角∠A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切．．，记作tanA ，即的邻边的对边A A A ∠∠=tan ; ①tanA 是一个完整的符号，它表示∠A 的正切，记号里习惯省去角的符号“∠”； ②tanA 没有单位，它表示一个比值，即直角三角形中∠A 的对边与邻边的比； ③tanA 不表示“tan”乘以“A”； ④初中阶段，我们只学习直角三角形中，∠A 是锐角的正切； ⑤tanA 的值越大，梯子越陡，∠A 越大；∠A 越大，梯子越陡，tanA 的值越大。 2.正弦．．：定义：在Rt△ABC 中，锐角∠A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记作sinA ，即斜边的对边A A ∠=sin ; 3.余弦：定义：在Rt△ABC 中，锐角∠A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦，记作cosA ，即斜边的邻边A A ∠=cos ; 锐角A 的正弦、余弦和正切都是∠A 的三角函数当锐角A 变化时，相应的正弦、余弦和正切之也随之变化。二．特殊角的三角函数值三．三角函数的计算 1. 仰角:当从低处观测高处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为仰角．． 2. 俯角：当从高处观测低处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为俯角．． 3.规律：利用特殊角的三角函数值表，可以看出，(1)当角度在0°～90°间变化时，正弦值、正切值随着角度的增大(或减小)而增大(或减小)；余弦值随着角度的增大(或减小)而减小(或增大)。(2)0≤sin α≤1，0≤cos α≤1。 4.坡度：如图2，坡面与水平面的夹角叫做坡角坡角的正切称为坡度．．．．．．．．．．． (或坡比．． )。用字母i 表示，即A l h i tan == 5.方位角：从某点的指北方向按顺时针转到目标方向的水平角，叫做方位角．．．。如图3，OA 、OB 、OC 的方位角分别为45°、135°、225°。 6.方向角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，叫做方向角．．．。如图4，OA 、OB 、OC 、OD 的方向角分别是；北偏东30°，南偏东45°(东南方向)、南偏西为60°，北偏西60°。 7.同角的三角函数间的关系： ①互余关系sinA=cos(90°－A)、cosA=sin(90°－A ) 30 o 45 o 60 o sin α 2 1 2 2 2 3 cos α 23 2 2 2 1 tan α 3 3 1 3 图2 h i=h:l B C

数学北师大版九年级下册练习题

2.3确定二次函数的表达式(1) 一、选择题： 1．已知抛物线过A(－1，0)，B(3，0)两点，与y轴交于C点，且BC=32，则这条抛物线的解析式为 ( ) A．y=－x2+2x+3 B．y＝x2－2x－3 C．y=x2+2x―3或y＝－x2+2x+3 D．y=－x2+2x+3或y＝x2－2x－3 2．如果点(－2，－3)和(5，－3)都是抛物线y=ax2+bx+c上的点，那么抛物线的对称轴是 ( ) A．x=3 B．x=－3 C．x=3 2 D．x=－ 3 2 3．二次函数y=ax2+bx+c，b2=ac，且x=0时y=-4则（） A．y 最大=-4 B．y 最小 =-4 C．y 最大 =-3 D．y 最小 =3 4．（2014?舟山，第10题3分）当﹣2≤x≤1时，二次函数y=﹣（x﹣m）2+m2+1有最大值4，则实数m的值为（） A ﹣2 B 或 C 2或 D 2或﹣或 5．平时我们在跳绳时，绳摇到最高点处的形状可近似地看做抛物线，如图2 - 78所示．正在摇绳的甲、乙两名同学拿绳的手间距为4 m，距地高均为1 m，学生丙、丁分别站在距甲拿绳的手水平距离1 m，2．5 m处．绳子在摇到最高处时刚好通过他们的头顶．已知学生丙的身高是1．5 m，则学生丁的身高为 ( ) A．1.5 m B．1.625 m C．1.66 m D．1.67 m 二、填空题： 6．将抛物线y=x2向左平移4个单位后，再向下平移2个单位，?则此时抛物线的解析式是________． 7．（锦州市）已知二次函数的图象开口向上，且顶点在y轴的负半轴上，请你

写出一个满足条件的二次函数的表达式________． 8．（长春市）函数y=x2+bx-c的图象经过点（1，2），则b-c的值为______．9.如图2 - 79所示，已知二次函数y＝ax2+bx+c(a≠0)的图象的顶点p的横坐标是4，图象与x轴交于点A(m，0)和点B，且点A在点B的左侧，那么线段AB的长是．(用含字母m的代数式表示) 5．已知抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为x=2，且经过点(1，4)和点(5，0)，则该抛物线的解析式为．三、解答题： 10．用配方法把二次函数y＝l+2x－x2化为y＝a(x－h)2+k的形式，作出它的草图，回答下列问题． (1)求抛物线的顶点坐标和它与x轴的交点坐标； (2)当x取何值时，y随x的增大而增大? (3)当x取何值时，y的值大于0? 11．已知抛物线y=ax2+bx+c经过A，B，C三点，当x≥0时，?其图象如图所示．（1）求抛物线的解析式，写出抛物线的顶点坐标；（2）画出抛物线y=ax2+bx+c当x<0时的图象；（3）利用抛物线y=ax2+bx+c，写出x为何值时，y>0．

九年级数学下册正弦与余弦的习题(无答案) 苏科版

7.2正弦与余弦的习题课一、复习练习 1、在Rt△ABC 中，∠C＝90°，分别写出∠A 的三角函数关系式：sinA ＝_____，cosA=_____， tanA ＝_____。 ∠B 的三角函数关系式。 2、①在Rt△ABC 中，∠C=90°,BC=6,AC=8, 则sinA=_____,cosA=_____,tanA=_____。 ②在Rt△ABC 中，∠C=90°,BC=2,AC=4, 则sinB=_____,cosB=_____,tanB=_____。 ③在Rt△ABC 中，∠B=90°，AC=2BC,则sinC=_____。 ④在Rt△ABC 中，∠C=90°，AB=10,sinA= 5 3，则BC=_____。 ⑤在Rt△ABC 中，∠C=90°,AB=10,sinB=5 4,则AC=_____。 ⑥在Rt△ABC 中，∠B=90°，AC=15,sinC=5 3，则AB=_____。 ⑦在Rt△ABC 中，∠C=90°，cosA=32，AC=12，则AB=_____,BC=_____。二、例题例.1 在△ABC 中，∠C＝90°，cos B=13 12, AC ＝10，求△ABC 的周长和斜边AB 边上的高例2. （2011四川雅安）已知△ABC 的外接圆O 的半径为3，AC=4，则sinB= 例3.（2011甘肃兰州）通过学习三角函数，我们知道在直角三角形中，一个锐角的大小与两条边长的比值相互唯一确定，因此边长与角的大小之间可以相互转化。类似的，可以在等腰三角形中建立边角之间的联系。我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对（sad ）.如图①在△ABC 中，AB =AC ，顶角A 的正对记作sadA ，这时sadA BC AB ==底边腰.容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的.根据上述角的正对定义，解下列问题：（1）sad 60°= . （2）对于0°