复数与复变函数-难题解答

第一章 复数与复变函数

§习题

2．设12,,...,n z z z 是任意n 个复数，证明：1

1

||||n n

k

k

k k z z ==≤∑∑，并给出不等式中等号成立

的条件.

（提示：可以用数学归纳法证明.等号成立的条件是12,,...,n z z z 线性相关）. 3(Re Im )Re Im .

z z z z z +≤≤+

证明：设z a ib =+，则Re z a =，Im z b =，||z =

.由题2知，

z a bi a b ≤+=+

故22

22

2222

2

22||2

2

22

a a

b b

a b a b a b ab z +++++=

=

+≤+=，

(Re Im )Re Im .

z z z z z +≤≤+

4．若12||,0z z λλ=>，证明：21212||z z z z λλ-=-. 证明：不妨设2

2

2

21210.z z z z λ≠=

则2

2

2

2212122

121

112z z z z z z z z z z z z λλ-=-=-=-

即有21212||z z z z λλ-=-成立.

5．设|a |<1，证明：若|z|=1，则

11z a

az

-=-.

证明：由1z =得1zz =

故11z a z azz z az az -=-=-=-

即证之.

6．设|a |<1，|z|<1.证明：

11z a

az

-<-.

证明：提示：（

11z a

az

-<-?2222||2Re ||12Re ||||;z az a az a z -+<-+

而2

2

2

2

2

2

1||||||||(1||)(1||)0;a z a z a z --+=-->）

7．设12,,...,n z z z ，12,,...,n ωωω是任意2n 个复数，证明复数形式的Lagrange 等式：

22

2

2

1

1

1

1()(),n

n

n

k j j j

j j j k j j j j k n

z z z z ω

ωωω===≤<≤=-

-∑∑∑∑

并由此推出Cauchy 不等式：

22

2

1

11

n

n

n

j j

j j j j j z z ω

ω===????

= ??? ????

???

∑∑∑. 证明：提示（记1212......n n z z z A ωωω??

= ???

，

1112'

2212...det det()0.........n n n n z z z z z AA z ωωωωωω??

?

?? ?=≥ ? ??? ?

???

， 2

det det ||j

k j

j j k k j j k k

k z z z z z z ωωωωωω??

??=- ?

? ? ?????

，则原式=2

10k j j k j k n z z ωω≤<≤-≥∑.(1) 另外，2

111

112

22212

11...det det .........n n

j

j j j j n n

n

n j j j n j j n z z z z z z z z z ωωωωωωωωω====????

? ??? ? ?

=

? ? ??? ? ? ?

?

??

??∑∑∑∑ 2

2

2

1

1

1

()()0n

n

n

j

j

j j

j j j z

z ωω

====-

≥∑

∑∑.（2）

由（1）=（2）可得证.

§习题

1． 把复数1cos sin z i θθ=++写成三角形式. 解：1111112

2

2

2

2

2

1()2Re (2cos )2

i i i i i i i z e e e

e

e

e

e

θθθθθθθ

θ

-=+=+==.

2． 问取何值时有(1)(1)n

n

i i +=-. 解：提示（41,1,1k i

i i k N i

+==∈-）

3． 证明：

1

sin

sin()22cos ,2sin

2n

k n k θ

θθθ

=++=

∑ 0

1

cos

cos()22sin ,2sin

2

n

k n k θ

θθθ

=-+=

∑ 证明：由于

(1)201

sin

121sin 2

in i n n

ik i k n e e

e e θθ

θ

θ

θθ+=+-=

=

-∑，则即可得0

cos Re n

n

ik

k k k e θ

θ===∑∑，

sin n

n

ik

k k k im e θθ===∑∑.

4． 证明：123z z z ?和123ωωω?同向相似的充分必要条件为1

12

23

31

11

z z z ωωω=0. 证明：提示（123z z z ?和123z z z ?同向相似,a b C ??∈，使得(1,2,3)k k az b k ω=+=

111122223333111,,111w z w z w a z b w z w z w z ????????????

? ? ? ? ? ?

?=+? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?????????????

线性相关112

2331det 10.1

z w z w z w ?=）

5． 设12z z ≠，证明：z 位于以1z 和2z 为端点的开线段上，当且仅当存在(0,1)λ∈，使得

12(1)z z z λλ=+-；

证明：z 位于以1z 和 2z 为端点的开线段上

?210,()k z z k z z ?>-=-210,11z z k z k k

??>=

+++ 12(0,1),(1),()1k

z z z k

λλλλ??∈=++=

+. 6． 图是三个边长为1的正方形，证明：2

AOD BOD COD π

∠+∠+∠=.

E A B C

解：以O 为原点，OD 为X 轴，OE 为Y 轴，建立坐标系.设123,,OA z OB z OC z →

→

→

=== 则1231,2,3z i z i z i =+=+=+，

从而123arg()arg(1)(2)(3)arg(10)z z z i i i i =+++=

. 因为i 是单位向量，它的辐角为2

π

，即2AOD BOD COD π∠+∠+∠=.

10．证明：2

2

2

21212

122(||),z z z z z z ++-=+并说明等式的几何意义.

证明：222222

121211221122||||||2Re ||||2Re ||z z z z z z z z z z z z ++-=+++-+ 22

122(||||)z z =+

几何意义是：平行四边形两对角线长的平方和等于它的各边长的平方和.

11．设1,...,n z z 是单位圆周（以原点为中心、半径为1的圆周）上的n 个点，如果1,...,n z z 是正n 边形的n 个顶点，证明：

1

n

k

k z

=∑=0.

证明：记12...n z z z C ω=+++∈，设该正n 边形的一个圆心角为θ，0θπ<<.由复数乘法几何意义及正n 边形对称性，0i e θ

ωωω=?=，即证之.

13.设1z ，2z ，3z ，4z 是单位圆周上的四个点，证明：这四个点是一矩形顶点的充要条件

为12340z z z z +++=.

证明：提示（先为菱形，连线为直径对点则是矩形）

14.设L 是由方程0azz z z d ββ+++=所确定的点的轨迹，其中a ，d 是实数，β是复数.

证明：（i ）当a =0，β≠0时，L 是一直线；（ii ）当a ≠0，2

0ad β->时，L 是一圆周.

并求出该圆周的圆心和半径.

证明：（i ）令2

2d λβ=，则2d λββ=，故原方程为()()0z z βλββλβ+++=，即

Re ()0z βλβ+=，即z λβ+与β垂直，从而轨迹是一条通过点λβ-，与β垂直的直线.

（ii ）记2

2

0ad λβ=->，则

2ad ββλ=-，

原式2

22

20()()a zz a z a z ad az az az ββββλβλ?+++=?++=?+=

即证之.

§习题

1. 证明：在复数的球面表示下，z 和

1

z

的球面像关于复平面对称. 证明：设z x iy =+其球面对应的坐标为2

1232

2

2

1,,1(1)

1

z z z z z x x x z

i z z -+-===

+++.

而

1

z

球面像对应的坐标为 1122

211'1111z z z z

z z x x z z z

+

++====+++, 22222

11'1(1)(1)

(1)z z z z

z z x x i z i z i z

-

--====+++, 2

22

33222

1

111'1111z z z

x x z z z

---====-+++, 从而有'''

112233,,x x x x x x ===-，故z 和

1

z

的球面像关于复平面对称.

2. 证明：在复数的球面表示下，z 和ω的球面像是直径对点当且仅当z ω=-1. 证明：?设z x iy =+，由1z ω=-得11,z z

ωω=-=-， 由于z 对应的球面像为2

1232

2

2

1,,1(1)

1

z z z z z x x x z

i z z -+-=

=

=

+++，

ω对应的球面像为123',','x x x ，计算可得：11,2233'','x x x x x x =-=-=-，

故z 和ω的球面像是直径对点.

?由球面表示的几何意义知，,z ω位于通过竖坐标轴的平面与xoy 平面交点上，从而,z ω

必与原点共线，则,0z ωλλ=->，由33'x x =，易知1λ=.

3. 证明：在复数的球面表示下, ∞C 中的点z 和ω的球面像间的距离为

.

证明：设z 和w 的球面像的坐标为()123,,x x x 和()123',','x x x ， 则()()()()2

2

2

112233112233'''22'''x x x x x x x x x x x x -+-+-=-++，

112233'''x x x x x x ++(

)(

)()(

)

()(

)()()

2

2

2

2

11

11z z z z z z ωωωωωω

++--++-+=

++

()(

)

()()

2

2

2

2

2

11211z

z z ω

ω

ω++--=

++

故

(),

d z ω

==

4. 证明：在复数的球面表示下，若a b c d ?? ?

??

是二阶酉方阵，则∞C 的变换w= az b

cz d +

+诱导了球面绕球心的一个旋转. 证明：先证

(),,,z w c d z w ?∈=

，一定有(),,az b aw b d d z w cz d cw d ++??

=

?++??

. 而

()()

2

2

2

2

2

2

2

2

()det 11a b az b aw b

z w cz d cw d

c d az b

cz d

aw b

cw d

az b aw b cz d cw d ??

++-

- ?

++??

=

????

++++++++++

??? ???++????

，

由a b c d ??

???

是二阶酉方阵知，

()()

222

det 1,11||1,11a b a c a b z z az b cz d z z z c d c d b d ??????????=+++===+ ? ? ??? ? ???????

???? 类似的有22

2||1,aw b cw d

w +++=+故

原式=

()()

()()()()

2

2

2

2

2

2

1111ad bc z w z w

z w z z ---=

++++，

故(),,az b aw b d d z w cz d cw d ++??

=

?++??

成立，从而诱导变换是一个等距.

又等距变换的行列式是a b c d ??

???

的连续函数且只取1±两个值，而二阶酉方阵全体是连通的，

从而行列式为常数. 取a b c d ??

???=1001??

???

，此时诱导变换是恒等变换，行列式为1，故此常数为1，从而此等距

变换为旋转.

1. 设0(,0]z ?-∞，0n z ≠，n N ?∈.证明：复数列{}n z 收敛到0z 的充要条件是

0lim n n z z →∞

=和0limarg arg n n z z →∞

=.

证明：因为00(,0],0,..

arg z s t z δπδπδ?-∞?>->>-+， 由不等式 0000||||||||arg arg n n z z z z z z z -≤-+-即得充分性 由不等式00||||||n z z z z -≥- 及 0

000arg arg ||||||2||sin 2

n n z z z z z z z --+-≥

并注意0arg arg 2

22

n z z δ

δ

ππ--+

<

<-，可得必要性.

2. 设z x iy =+∈C ,证明：()lim 1cos sin n

x n z e x i y n →∞

??

+=+ ???

.

（提示：分开证明实部与虚部收敛即可.）

2． 设E ?C 是非空点集，,z w ∈C .证明：()(),,d z E d E z ωω-≤-成立，而

()()(),,,d z E d E d z E ωω-≤-不成立.

证明：,E ξ?∈

有 (,)inf ||||||||E

d z E z z z z ξξξωω∈=-≤-≤-+-||(,)||d z E z ωξω?-≥--，

取下确界得

(,)inf ||(,)||E

d E d z E z ξωωξω∈=-≥--，即(,)(,)||d z E d E z ωω-≤-（1）

同样可得(,)(,)||d E d z E z ωω-≤-（2） 因此由（1）（2）可得结论成立.

反例：令{1},2,1E z ω===.则(,)d z E =1，(,)d E ω=0，(,)d z E ω-=0

3. 指出下列点集的内部、边界、闭包和导集： (i) N ={k: k 为自然数}；

解：内部：空集；边界：N ；闭包：N ={k: k 为自然数}；导集：空集. (ii) E={

1

k

: k 为自然数}： 解：内部：空集；边界：E ?{}0；闭包：E = E ?{}0；导集：{0}. (iii) D=B(1,1) (1,1)B ?-;

解：内部：D=B(1,1) (1,1)B ?-; 边界：{:|1|1D z z ?=∈-=C 或|1|1}z +=；

闭包：{:|1|1D z z =∈-≤C 或|1|1}z +≤；导集：'

{:|1|1D z z =∈-≤C 或|1|1}z +≤； (iv) G={z ∈C : 12z <≤};

解：内部：{:1||2}o

G z z =∈<

闭包：{:1||2}G z z =∈≤≤C ；导集：'

{:1||2}G z z =∈≤≤C ；

(v) C .

解：内部：C ；边界：空集；闭包：C ；导集：C .

4.指出下列点集中哪些是开集，哪些是闭集，哪些是紧集：

(i) Z={k: k 为自然数}； 解：闭集，非开集，非紧集；

(ii) E 为有限集； 解：紧集；

(iii) D={}:Im 0\k k z z F ∞=-∞??

∈>? ???

C ， {}:,01k z z k iy y F =∈=+≤≤C ；

解：开集； (iv) G=B(0,1)\ 1:1k k ???

?+??

为自然数; 解：非开，非闭，非紧； (v) C \B ()R ∞，; 解：紧集.

8. 设D 是开集，F D ?是非空紧集，证明： （i ）(),0;d F D ?>

(ii) ()()1210,,,,...,,,n

n k k d F D F z z z F B z D δδ=????对任意<<存在中的点使得并且

()()1,,,n k k d B z D d F D δδ=??

?≥?- ???

?. 证明：（1）由定理1.5.6可得

（2）(,),k B z ζδ?∈成立(,)(,)(,)(,)||k k d F D d D d z D d D z ζζζδ?-?≤?-?≤-< 即(,)(,)d D d F D ζδ?>?-，即n

1((,),)inf (,)(,)k k d B z D d D d F D δζδ=??=?≥?-

1.满足下列条件的点z 所组成的点集是什么？如果是域，说明它是单连通域还是多连通域？ （i ）Re 1;z =

实部是1的直线， 不是域

(ii) Im 5z <-;

虚部小于-5的开平面， 单连通域 (iii) 5;z i z i -++= 椭圆曲线 不是域 (iv) 2;z i i -≤- 闭圆盘 单连通域 (v) ()arg 1;6

z π

-=

半射线 不是域 (vi) 11,Im ;2

z z <>

开弓形 单连通域 (vii)

1

2;1

z z -≤+ 圆盘外无界闭区域 (viii) 0arg

.4

z i z i π

-<<+

左半平面（不含虚轴）与以（-1，0为半径的闭圆盘外部之交 多连通域

3.证明紧集的连续像为紧集.

证明：任取()f E 的开覆盖{}U u =，则1

1(){()}f

U f u --=是E 的一个开覆盖，因为E 为

紧集，存在有限个开集1

1

111

121(),(),...,()(),..()n n k k f u f

u f u f U s t E f

u -----=∈??，故1

()k k f E u ∞

=??，从而()f E 是紧集..

将紧集换成闭集，结论不一定成立. 反例：取[1,),E =∞令1

().f x x

=则()(0,1]f E =不闭.

5. 证明：若f 在域D 上一致连续，则对任意()0

0,lim .z z z D f z →∈?存在

证明：因为f 在域D 上一致连续，故0,ε?>?0δ>， 对D 上任意的1,2z z ，只要122,z z δ-<有()12f z z ε-<.

因此120,(,)z z D B z δ?∈?，有()12f z z ε-<，由Cauchy 收敛原理，极限存在.

复变函数测试题及答案

第一章 复数与复变函数 一、 选择题 1．当i i z -+= 11时，50 75100z z z ++的值等于（ ） （A ）i （B ）i - （C ）1 （D ）1- 2．设复数z 满足3 )2(π = +z arc ，6 5)2(π = -z arc ，那么=z （ ） （A ）i 31+- （B ）i +-3 （C ）i 2321+- （D ）i 2 123+- 3．复数)2 (tan πθπ θ<<-=i z 的三角表示式是（ ） （A ）)]2sin()2[cos( sec θπθπ θ+++i （B ）)]2 3sin()23[cos(sec θπ θπθ+++i （C ）)]23sin()23[cos( sec θπθπθ+++-i （D ）)]2 sin()2[cos(sec θπ θπθ+++-i 4．若z 为非零复数，则22z z -与z z 2的关系是（ ） （A ）z z z z 222≥- （B ）z z z z 222=- （C ）z z z z 222≤- （D ）不能比较大小 ５．设y x ,为实数，yi x z yi x z +-=++=11,1121且有1221=+z z ，则动点),(y x 的轨迹是（ ） （A ）圆 （B ）椭圆 （C ）双曲线 （D ）抛物线 ６．一个向量顺时针旋转 3 π ，向右平移３个单位，再向下平移１个单位后对应的复数为i 31-，则原向量对应的复数是（ ） （A ）2 （B ）i 31+ （C ）i -3 （D ）i +3

７．使得2 2 z z =成立的复数z 是（ ） （A ）不存在的 （B ）唯一的 （C ）纯虚数 （D ）实数 ８．设z 为复数，则方程i z z +=+2的解是（ ） （A ）i +- 43 （B ）i +43 （C ）i -43 （D ）i --4 3 ９．满足不等式 2≤+-i z i z 的所有点z 构成的集合是（ ） （A ）有界区域 （B ）无界区域 （C ）有界闭区域 （D ）无界闭区域 10．方程232= -+i z 所代表的曲线是（ ） （A ）中心为i 32-，半径为2的圆周 （B ）中心为i 32+-，半径为２的圆周 （C ）中心为i 32+-，半径为2的圆周 （D ）中心为i 32-，半径为２的圆周 11．下列方程所表示的曲线中，不是圆周的为（ ） （A ） 22 1 =+-z z （B ）433=--+z z （C ） )1(11<=--a az a z （D ）)0(0>=-+++c c a a z a z a z z 12．设,5,32,1)(21i z i z z z f -=+=-=，则=-)(21z z f （ ） （A ）i 44-- （B ）i 44+ （C ）i 44- （D ）i 44+- 13．0 0) Im()Im(lim 0z z z z x x --→（ ） （A ）等于i （B ）等于i - （C ）等于0 （D ）不存在 14．函数),(),()(y x iv y x u z f +=在点000iy x z +=处连续的充要条件是（ ） （A ）),(y x u 在),(00y x 处连续 （B ）),(y x v 在),(00y x 处连续 （C ）),(y x u 和),(y x v 在),(00y x 处连续（D ）),(),(y x v y x u +在),(00y x 处连续

复数与复变函数

第一章 复数与复变函数 一、 选择题 1．当i i z -+= 11时，5075100 z z z ++的值等于（ ） （A ）i （B ）i - （C ）1 （D ）1- 2．设复数z 满足3 )2(π = +z arc ，6 5)2(π= -z arc ，那么=z （ ） （A ）i 31+- （B ）i +-3 （C ）i 2 321+- （D ）i 2 1 23+- 3．复数)2 ( tan πθπ θ<<-=i z 的三角表示式是（ ） （A ）)]2 sin()2[cos( sec θπ θπ θ+++i （B ）)]2 3sin()23[cos( sec θπ θπθ+++i （C ）)]23sin()23[cos( sec θπθπθ+++-i （D ）)]2 sin()2[cos(sec θπ θπθ+++-i 4．若z 为非零复数，则2 2z z -与z z 2的关系是（ ） （A ）z z z z 222≥- （B ） z z z z 222=- （C ） z z z z 222≤- （D ）不能比较大小 ５．设 y x ,为实数，yi x z yi x z +-=++=11,1121且有1221=+z z ，则动点),(y x 的 轨迹是（ ） （A ）圆 （B ）椭圆 （C ）双曲线 （D ）抛物线 ６．一个向量顺时针旋转 3 π，向右平移３个单位，再向下平移１个单位后对应的复数为i 31-，则原向 量对应的复数是（ ） （A ）2 （B ）i 31+ （C ） i -3 （D ） i +3 ７．使得2 2 z z =成立的复数z 是（ ） （A ）不存在的 （B ）唯一的 （C ）纯虚数 （D ）实数

复变函数_期末试卷及答案

一、单项选择题(本大题共15小题，每小题2分，共30分) 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括 号内。错选、多选或未选均无分。 1．下列复数中，位于第三象限的复数是（ ） A. 12i + B. 12i -- C. 12i - D. 12i -+ 2．下列等式中，不成立的等式是（ ） 3．下列命题中，正确．．的是（ ） A. 1z >表示圆的内部 B. Re()0z >表示上半平面 C. 0arg 4 z π << 表示角形区域 D. Im()0z <表示上半平面 4．关于0 lim z z z z ω→=+下列命题正确的是（ ） A.0ω= B. ω不存在 C.1ω=- D. 1ω= 5．下列函数中，在整个复平面上解析的函数是（ ） 6．在复平面上，下列命题中，正确．．的是（ ） A. cos z 是有界函数 B. 2 2Lnz Lnz = 7 ．在下列复数中，使得z e i =成立的是（ ） 8．已知3 1z i =+，则下列正确的是（ ） 9．积分 ||342z dz z =-??的值为（ ） A. 8i π B.2 C. 2i π D. 4i π 10．设C 为正向圆周||4z =, 则10()z C e dz z i π-??等于（ ） A. 1 10! B. 210! i π C. 29! i π D. 29! i π- 11．以下关于级数的命题不正确的是（ ） A.级数0327n n i ∞ =+?? ?? ?∑是绝对收敛的 B.级数 212 (1)n n i n n ∞ =??+ ?-??∑是收敛的 C. 在收敛圆内，幂级数绝对收敛 D.在收敛圆周上，条件收敛 12．0=z 是函数(1cos ) z e z z -的（ ） A. 可去奇点 B.一级极点 C.二级极点 D. 三级极点

复变函数试题及答案

1、复数i 212--的指数形式是 2、函数w = z 1将Z S 上的曲线()1122 =+-y x 变成W S (iv u w +=)上 的曲线是 3.若01=+z e ,则z ＝ 4、()i i +1= 5、积分()?+--+i dz z 22 22= 6、积分 ?==1sin 21z dz z z i π 7、幂级数()∑∞ =+0 1n n n z i 的收敛半径R= 8、0=z 是函数 z e z 1 11--的 奇点 9、=??? ? ??-=1Re 21z e s z z 10、将点∞,i,0分别变成0,i,∞的分式线性变换=w 二、单选题（每小题2分） 1、设α为任意实数，则α1=（ ） A 无意义 B 等于1 C 是复数其实部等于1 D 是复数其模等于1 2、下列命题正确的是（ ） A i i 2< B 零的辐角是零 C 仅存在一个数z,使得 z z -=1 D iz z i =1 3、下列命题正确的是（ ） A 函数()z z f =在z 平面上处处连续 B 如果()a f '存在,那么()z f '在a 解析 C 每一个幂级数在它的收敛圆周上处处收敛 D 如果v 是u 的共轭调和函数,则u 也是v 的共轭调和函数

4、根式31-的值之一是（ ） A i 2321- B 2 23i - C 223i +- D i 2321+- 5、下列函数在0=z 的去心邻域内可展成洛朗级数的是（ ） A z 1sin 1 B z 1cos C z ctg e 1 D Lnz 6、下列积分之值不等于0的是( ) A ? =-12 3z z dz B ? =-1 2 1z z dz C ?=++1242z z z dz D ?=1 cos z z dz 7、函数()z z f arctan =在0=z 处的泰勒展式为（ ） A ()∑∞ =+-02121n n n n z （z <1） B ()∑∞ =+-0 1221n n n n z （z <1） C ()∑∞ =++-012121n n n n z （z <1） D ()∑∞=-0 221n n n n z （z <1） 8、幂级数n n n z 20 1)1(∑∞ =+-在1w 的分式线性变换是（ ） A )1(1>--=a z a a z e w i β B )1(1<--=a z a a z e w i β C )1(>--=a a z a z e w i β D )1(<--=a a z a z e w i β 三、判断题（每小题2分）

《复变函数》-期末试卷及答案(A卷)

《复变函数》试卷 第1页（共4页） 《复变函数》试卷 第2页（共4页） XXXX 学院2016—2017学年度第一学期期末考试 复变函数 试卷 一、单项选择题（本大题共10小题，每题3分，共30分，请从每题备选项中选出唯一符合题干要求的选项，并将其前面的字母填在题中括号内。） 1. =)i Re(z ( ) A.)i Re(z - B.)i Im(z C.z Im - D.z Im 2. 函数2 ) (z z f =在复平面上 ( ) A.处处不连续 B. 处处连续，处处不可导 C.处处连续，仅在点0= z 处可导 D.处处连续，仅在点0=z 处解析 3.设复数a 与b 有且仅有一个模为1，则b a b a --1的值 ( ) A.大于1 B.等于1 C.小于1 D.无穷大 4. 设x y z f y x z i )(i +-=+=，，则=')(z f ( ) A.i 1+ B.i C.1- D.0 5.设C 是正向圆周 1=z ，i 2sin π=?dz z z C n ，则整数n 等于 ( ) A.1- B.0 C.1 D.2 6.0=z 是2 1 )( z e z f z -=的 ( ) A.1阶极点 B.2阶极点 C. 可去奇点 D.本性奇点 7.幂级数!2)1(0 n z n n n n ∑∞ =-的和函数是 ( ) A.z e - B.2 z e C.2 z e - D.z sin 8.设C 是正向圆周 2=z ，则 =?C z dz 2 ( ) A.0 B.i 2π- C.i π D.i 2π 9.设函数)(z f 在)0( 00+∞≤<<-

复变函数经典习题及答案

练习题 一、选择、填空题 1、下列正确的是（ A ）； A 1212()Arg z z Argz Argz =+； B 1212()arg z z argz argz =+； C 1212()ln z z lnz lnz =+； D 10z Ln Ln Lnz Lnz z ==-=. 2、下列说法不正确的是（ B ）； A 0()w f z z =函数在处连续是0()f z z 在可导的必要非充分条件； B lim 0n n z →∞=是级数1 n n z ∞=∑收敛的充分非必要条件； C 函数()f z 在点0z 处解析是函数()f z 在点0z 处可导的充分非必要条件； D 函数()f z 在区域D 内处处解析是函数()f z 在D 内可导的充要条件. 3、(34)Ln i -+=（ 45[(21)arctan ],0,1,2,3ln i k k π++-=±± ）， 主值为（ 4 5(arctan )3 ln i π+- ）. 4、2|2|1 cos z i z dz z -=? =（ 0 ）. 5、若幂级数0n n n c z ∞=∑ 在1(1)2z = +处收敛，那么该级数在45 z i =处的敛散性为（ 绝对收敛 ）. 6、 311z -的幂级数展开式为（ 30n n z ∞=∑ ），收敛域为（ 1z < ）； 7、 sin z z -在0z =处是（ 3 ）阶的零点； 8、函数221 (1)z z e -在0z =处是（ 4 ）阶的极点； 二、计算下列各值 1．3i e π+； 2．tan()4i π -； 3．(23)Ln i -+； 4 ． 5．1i 。 解：（略）见教科书中45页例2.11 - 2.13

复变函数与积分变换期末考试题

哈尔滨工程大学本科生考试试卷 （ 2010-2011 年 第一 学期） 2011-01-04 得分评卷人 选择题（每小题2分，共10分） 一、 1、00 Im Im lim z z z z z z →-=- （ ）. Ａ．i Ｂ．i - Ｃ．0 Ｄ．不存在 2、若0(1)n n n a z ∞ =-∑在3z =发散，则它在 （ ）. A . 1z =-收敛 Ｂ．2z =收敛 C . 2z i =发散 D . 均不正确 3、已知函数212 ()1cos f z z z = --，则0z =，z =∞分别是()f z 的 （ ）. Ａ．二阶极点、孤立奇点 Ｂ．二阶极点、非孤立奇点 Ｃ．可去奇点、孤立奇点 Ｄ．可去奇点、非孤立奇点 4、映射3z i w z i -= +在02z i =处的旋转角为 （ ）. Ａ．/2π- Ｂ．0 C ./2π D . π 5、下列命题或论断中，正确的个数是 （ ）. I ：Ln z Ln z = Ⅱ：设()(,)(,)f z u x y iv x y =+解析，则u -是v 的共轭调和函数 III ：()(,)(,)f z u x y iv x y =+的导数()f z '存在的充要条件是,u v 的偏导数分别

存在 Ⅳ：()tan(1/)f z z =在任意圆环域0z R <<不能展开为洛朗级数 Ａ．0 Ｂ．1 Ｃ．2 Ｄ．3 得分评卷人 填空题（每小题2分，共10分） 二、 6、设z i e i =，则Re z = . 7、若函数32(,)v x y x axy =+为某一解析函数的虚部，则常数=a . 8、设函数cos z e z 的泰勒展开式为∑∞ =0 n n n z c ，则它的收敛半径为 . 9、设信号()(1)f t t δ=-，则通过Fourier 变换得到的频谱函数()F ω= . 10、设1 ()(1) F s s s = -，则通过Laplace 逆变换得到()f t = . 得分评卷人 计算题Ⅰ（每小题5分，共25分） 三、 11、函数33()23f z x i y =+在何处可导？何处解析？

复变函数试题及答案

成绩 西安交通大学考试题 课程复变函数（A） 系别考试日期 2007 年 7 月 5 日专业班号 姓名学号期中期末 1. 填空（每题3分， 2. 共30分） 1．＝ 2．＝0是函数的 （说出类型，如果是极点，则要说明阶数） 3. ,则＝ 4. 5. 函数在处的转动角为 6. 幂级数的收敛半径为 =____________ 7. 8．设C为包围原点在内的任一条简单正向封闭曲线，则 9．函数在复平面上的所有有限奇点处留数的和为___________ 10． 二．判断题（每题3分，共30分） 1．在解析。【】 2．在点可微，则在解析。【】 3．是周期函数。【】 4．每一个幂函数在它的收敛圆周上处处收敛。【】 5．设级数收敛，而发散，则的收敛半径为1。【】 6．能在圆环域展开成洛朗级数。【】 7．为大于1的正整数, 成立。【】 8．如果函数在解析，那末映射在具有保角性。【】 9．如果是内的调和函数,则是内的解析函数。【】10．。【】三．（8分）为调和函数，求的值，并求出解析函数。 四．（8分）求在圆环域和内的洛朗展开式。 五．（8分）计算积分。 六．（8分）设，其中C为圆周的正向，求。 七．（8分）求将带形区域映射成单位圆的共形映射。

复变函数与积分变换(A)的参考答案与评分标准 (2007.7.5) 一.填空(各3分) 1. ； 2. 三级极点； 3. ； 4. 0 ； 5. 0 ； 6. ； 7. ； 8. 0； 9. 0 ；10. 。 二.判断1.错；2.错；3.正确； 4. 错；5.正确；6.错； 7.错；8. 错；9. 正确；10. 错。 三(8分) 解: 1)在 -----4分 2) 在 --4分 四.(8分) 解:被积函数分母最高次数比分子最高次数高二次,且在实轴上无奇点,在上半平面有一个一级极点 -2+i, 故 --------3分 --------6分 故 ---------8分 五.(8分) 解: -------3分 由于1+i在所围的圆域内, 故 -------8分 六. (8分) 解:利用指数函数映射的特点以及上半平面到单位圆的分式线性映射,可以得到 (映射不唯一,写出任何一个都算对) 七.(8分) 解:对方程两端做拉氏变换: 代入初始条件,得 --------4分 故, ---------8分(用留数做也可以) 复变函数 (A)的参考答案与评分标准 (2007.7.5) 一.填空(各3分)1. ；2. 三级极点；3. ； 4. 0 ；5. 0 ；6. ；7. ；8. 0 ； 9. 0 ； 10. 0。 二.判断1.错；2.错；3.正确；4. 错；5.正确；6.错；7.错；8. 错；9. 正确；10. 错。 三.(8分) 解:因为是调和函数,则有 ,即故 ---------2分 1) 当时, , 由C-R方程, , 则 , 又由 ，故 , 所以。 则 ----------3分 2) 当时, , 由C-R方程, , 则 , 又由 ，故 , 所以。 则

第一章复数复变函数

第一章复数与复变函数 (Complex number and function of the complex variable) 第一讲 授课题目：§1.1复数 §1.2 复数的三角表示 教学内容：复数的概念、复数的四则运算、复平面、复数的模和辐角、复数的三角不等式、复数的表示、复数的乘方与开方. 学时安排：2学时 教学目标：1、掌握复数的乘方、开方运算及它们的几何意义 2、切实理解掌握复数的辐角 3、掌握复数的表示 教学重点：复数的乘方、开方运算及它们的几何意义 教学难点：复数的辐角 教学方式：多媒体与板书相结合. P思考题：1、2、3.习题一：1-9 作业布置： 27 板书设计：一、复数的模和辐角 二、复数的表示 三、复数的乘方与开方 参考资料：1、《复变函数》，西交大高等数学教研室，高等教育出版社. 2、《复变函数与积分变换学习辅导与习题全解》，高 等教育出版. 课后记事：1、基本掌握复数的乘方、开方运算 2、不能灵活掌握复数的辐角（要辅导） 3、能灵活运用复数的三角表示进行复数的运算

教学过程：

引言 复数的产生和复变函数理论的建立 1、1545年，意大利数学家Cardan在解三次方程时，首先产生了负数开平方的思想.后来，数学家引进了虚数，这在当时是不可接受的.这种状况随着17、18世纪微积分的发明和给出了虚数的几何解析而逐渐好转. 2、1777年，瑞士数学家Euler建立了系统的复数理论，发现了复指数函数和三角函数之间的关系，创立了复变函数论的一些基本定理，并开始把它们应用到水力学和地图制图学上.用符号i表示虚数单位，也是Euler首创的. 3、19世纪，法国数学家Cauchy、德国数学家 Riemann 和Weierstrass经过努力，建立了系统的复变函数理论，这些理论知直到今天都是比较完善的. 4、20世纪以来，复变函数理论形成了很多分支，如整函数与亚纯函数理论、解析函数的边值问题、复变函数逼近论、黎曼曲面、单叶解析函数论等等，并广泛用于理论物理、弹性物理和天体力学、流体力学、电学等领域. 5、复变函数课程主要任务为研究复变数之间的相互依赖关系.其中许多概念、理论和方法是实变函数在复变函数领域内的推广和发展，在学习过程中要注意它们相似之处和不同之处的比较.

复变函数测试题及答案

第一章 复 数与复变函数 一、 选择题 1．当i i z -+= 11时，5075100z z z ++的值等于（ ） （A ）z z z z 222≥- （B ）z z z z 222=- （C ）z z z z 222≤- （D ）不能比较大小 ５．设y x ,为实数，yi x z yi x z +-=++=11,1121且有1221=+z z ，则动点),(y x 的轨迹是（ ）

（A ）圆 （B ）椭圆 （C ）双曲线 （D ）抛物线 ６．一个向量顺时针旋转 3 π ，向右平移３个单位，再向下平移１个单位后对应的复数为i 31-，则原向量对应的复数是（ ） （A ）2 （B ）i 31+ （C ）i -3 （D ）i +3 i （A ）中心为i 32-，半径为2的圆周 （B ）中心为i 32+-，半径为２的圆周 （C ）中心为i 32+-，半径为2的圆周 （D ）中心为i 32-，半径为２的圆周 11．下列方程所表示的曲线中，不是圆周的为（ ） （A ） 22 1 =+-z z （B ）433=--+z z

（C ） )1(11<=--a az a z （D ）)0(0>=-+++c c a a z a z a z z 12．设,5,32,1)(21i z i z z z f -=+=-=，则=-)(21z z f （ ） （A ）i 44-- （B ）i 44+ （C ）i 44- （D ）i 44+- 0) Im()Im(z z -） 1 1．设) 2)(3() 3)(2)(1(i i i i i z ++--+= ，则=z 2．设)2)(32(i i z +--=，则=z arg 3．设4 3)arg(,5π = -=i z z ，则=z

复数与复变函数

第一讲 复数及复变函数 1.复数的基本概念 R ∈+=y x y i x z , , ． 其中：x 称为复数z 的实部，y 称为复数z 的虚部．分别记为： Im , Re z y z x ==． 设两个复数222111 , y i x z y i x z +=+=，我们规定 212121 , y y x x z z ==?=． 当00 , 0i y x +==时称为复数零，仍用0表示． a ．复数的运算 设222111 , y i x z y i x z +=+=，则 b ．复数的模与幅角 复数集C 与平面点集R ，和平面中从原点发出的向量一一对应．所以我们将不加区别地使用． 容易证明，复数的加减法(1.1)与向量的加减法(平行四边形)法则相吻合． 复数与平面上的点一一对应，所以我们可用平面坐标表示复数．y i x z +=的坐标为()y x , ．这样，平面上的点可以表示复数了．这个复化后的平面我们称之为复平面，仍用C 表示．x 轴称为实轴，y 轴称为虚轴． 设y i x z +=，称 为z 的模，而复向量z 与x 轴正向的夹角称为复数z 的幅角，记为 π2 Arg k z +=θ， 其中θ为z 的主幅角，ππ≤<-θ，记为z arg ． 由此 Z ∈+=k k z z ,2arg Arg π． (1.2) c ．复数的三角表示 设非零复数z 的模r z = ，幅角πk z 2 Arg +=θ，其中θ为主幅角．则 θθsin ,cos r y r x ==． 若记θθθsin cos e i i +=，则 θθθi r i r y i x z e )sin (cos =+=+=． (1.3)

复变函数测试题及答案-精品

第一章 复变函数测试题及答案-精品 2020-12-12 【关键字】条件、充分、关系、满足、方向、中心 一、 选择题 1．当i i z -+= 11时，5075100z z z ++的值等于（ ） （A ）i （B ）i - （C ）1 （D ）1- 2．设复数z 满足3 )2(π = +z arc ，6 5)2(π = -z arc ，那么=z （ ） （A ）i 31+- （B ）i +-3 （C ）i 2321+- （D ）i 2 123+- 3．复数)2 (tan πθπ θ<<-=i z 的三角表示式是（ ） （A ）)]2sin()2[cos( sec θπθπ θ+++i （B ）)]2 3sin()23[cos(sec θπ θπθ+++i （C ）)]23sin()23[cos( sec θπθπθ+++-i （D ）)]2 sin()2[cos(sec θπ θπθ+++-i 4．若z 为非零复数，则22z z -与z z 2的关系是（ ） （A ）z z z z 222≥- （B ）z z z z 222=- （C ）z z z z 222≤- （D ）不能比较大小 ５．设y x ,为实数，yi x z yi x z +-=++=11,1121且有1221=+z z ，则动点) ,(y x 的轨迹是（ ） （A ）圆 （B ）椭圆 （C ）双曲线 （D ）抛物线 ６．一个向量顺时针旋转 3 π ，向右平移３个单位，再向下平移１个单位后对应的复数为

i 31-，则原向量对应的复数是（ ） （A ）2 （B ）i 31+ （C ）i -3 （D ）i +3 ７．使得2 2 z z =成立的复数z 是（ ） （A ）不存在的 （B ）唯一的 （C ）纯虚数 （D ）实数 ８．设z 为复数，则方程i z z +=+2的解是（ ） （A ）i +- 43 （B ）i +43 （C ）i -43 （D ）i --4 3 ９．满足不等式 2≤+-i z i z 的所有点z 构成的集合是（ ） （A ）有界区域 （B ）无界区域 （C ）有界闭区域 （D ）无界闭区域 10．方程232= -+i z 所代表的曲线是（ ） （A ）中心为i 32-，半径为2的圆周 （B ）中心为i 32+-，半径为２的圆周 （C ）中心为i 32+-，半径为2的圆周 （D ）中心为i 32-，半径为２的圆周 11．下列方程所表示的曲线中，不是圆周的为（ ） （A ） 22 1 =+-z z （B ）433=--+z z （C ） )1(11<=--a az a z （D ）)0(0>=-+++c c a a z a z a z z 12．设,5,32,1)(21i z i z z z f -=+=-=，则=-)(21z z f （ ） （A ）i 44-- （B ）i 44+ （C ）i 44- （D ）i 44+- 13．0 0) Im()Im(lim 0z z z z x x --→（ ） （A ）等于i （B ）等于i - （C ）等于0 （D ）不存在 14．函数),(),()(y x iv y x u z f +=在点000iy x z +=处连续的充要条件是（ ）

复变函数测试试题库

复变函数试题库

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《复变函数论》试题库 梅一A111 《复变函数》考试试题（一） 1、 =-?=-1||0 0)(z z n z z dz __________.（n 为自然数） 2. =+z z 22cos sin _________. 3.函数z sin 的周期为___________. 4.设 11 )(2+= z z f ，则)(z f 的孤立奇点有__________. 5.幂级数 n n nz ∞ =∑的收敛半径为__________. 6.若函数f(z)在整个平面上处处解析，则称它是__________. 7.若ξ =∞ →n n z lim ，则= +++∞→n z z z n n (i) 21______________. 8.= )0,(Re n z z e s ________，其中n 为自然数. 9. z z sin 的孤立奇点为________ . 10.若0z 是)(z f 的极点，则___ )(lim 0 =→z f z z . 三.计算题（40分）： 1. 设 )2)(1(1 )(--= z z z f ，求)(z f 在}1||0:{<<=z z D 内的罗朗展式. 2. .cos 1 1||?=z dz z 3. 设 ? -++=C d z z f λ λλλ1 73)(2，其中 }3|:|{==z z C ，试求).1('i f + 4. 求复数 11 +-= z z w 的实部与虚部. 四. 证明题.(20分) 1. 函数 )(z f 在区域D 内解析. 证明：如果|)(|z f 在D 内为常数，那么它在D 内

复变函数考试试题与答案各种总结

《复变函数》考试试题（一） 一、 判断题（20分）： 1.若f(z)在z 0的某个邻域内可导，则函数f(z)在z 0解析. ( ) 2.有界整函数必在整个复平面为常数. ( ) 3.若 } {n z 收敛，则 } {Re n z 与 } {Im n z 都收敛. ( ) 4.若f(z)在区域D 内解析，且 0)('≡z f ，则C z f ≡)(（常数）. ( ) 5.若函数f(z)在z 0处解析，则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数. ( ) 6.若z 0是)(z f 的m 阶零点，则z 0是1/)(z f 的m 阶极点. ( ) 7.若 ) (lim 0 z f z z →存在且有限，则z 0是函数f(z)的可去奇点. ( ) 8.若函数f(z)在是区域D 内的单叶函数，则)(0)('D z z f ∈?≠. ( ) 9. 若f (z )在区域D 内解析, 则对D 内任一简单闭曲线C 0)(=? C dz z f . ( ) 10.若函数f(z)在区域D 内的某个圆内恒等于常数，则f(z)在区域D 内恒等于常数.（ ） 二.填空题（20分） 1、 =-?=-1||0 0)(z z n z z dz __________.（n 为自然数） 2. =+z z 22cos sin _________. 3.函数z sin 的周期为___________. 4.设 11 )(2+= z z f ，则)(z f 的孤立奇点有__________. 5.幂级数 n n nz ∞ =∑的收敛半径为__________. 6.若函数f(z)在整个平面上处处解析，则称它是__________. 7.若ξ =∞ →n n z lim ，则= +++∞→n z z z n n (i) 21______________. = )0,(Re n z z e s ，其中n 为自然数.

第1章 复数与复变函数-难题解答

第一章 复数与复变函数 §习题 2．设12,,...,n z z z 是任意n 个复数，证明：1 1 ||||n n k k k k z z ==≤∑∑，并给出不等式中等号成立 的条件. （提示：可以用数学归纳法证明.等号成立的条件是12,,...,n z z z 线性相关）. 3(Re Im )Re Im . z z z z z +≤≤+ 证明：设z a ib =+，则Re z a =，Im z b =，||z = .由题2知， z a bi a b ≤+=+ 故22 22 2222 2 22||2 2 22 a a b b a b a b a b ab z +++++= = +≤+=， (Re Im )Re Im . z z z z z +≤≤+ 4．若12||,0z z λλ=>，证明：21212||z z z z λλ-=-. 证明：不妨设2 2 2 21210.z z z z λ≠= 则2 2 2 2212122 121 112z z z z z z z z z z z z λλ-=-=-=- 即有21212||z z z z λλ-=-成立. 5．设|a |<1，证明：若|z|=1，则 11z a az -=-. 证明：由1z =得1zz = 故11z a z azz z az az -=-=-=-

即证之. 6．设|a |<1，|z|<1.证明： 11z a az -<-. 证明：提示：（ 11z a az -<-?2222||2Re ||12Re ||||;z az a az a z -+<-+ 而2 2 2 2 2 2 1||||||||(1||)(1||)0;a z a z a z --+=-->） 7．设12,,...,n z z z ，12,,...,n ωωω是任意2n 个复数，证明复数形式的Lagrange 等式： 2 2 2 2 1 1 1 1()(),n n n k j j j j j j k j j j j k n z z z z ωωωω===≤<≤=- -∑∑∑∑ 并由此推出Cauchy 不等式： 22 2 1 11 n n n j j j j j j j z z ω ω===???? = ??? ???? ??? ∑∑∑. 证明：提示（记1212......n n z z z A ωωω?? = ??? ， 1112'2212...det det()0.........n n n n z z z z z AA z ωωωωωω?? ? ?? ? =≥ ? ??? ? ??? ， 2 det det ||j k j j j k k j j k k k z z z z z z ωωωωωω?? ??=- ? ? ? ????? ，则原式=2 10k j j k j k n z z ωω≤<≤-≥∑.(1) 另外，2111 112 22212 11...det det .........n n j j j j j n n n n j j j n j j n z z z z z z z z z ωωωωωωωωω====???? ? ??? ? ? = ? ? ??? ? ? ? ? ?? ??∑∑∑∑ 2 2 2 1 1 1 ()()0n n n j j j j j j j z z ωω ====- ≥∑ ∑∑.（2） 由（1）=（2）可得证.

复变函数练习题及答案

复变函数卷答案与评分标准 一、填空题： 1．叙述区域内解析函数的四个等价定理。 定理1 函数()(,)(,)f z u x y iv x y =+在区域D 内解析的充要条件： （1）(,)u x y ，(,)v x y 在D 内可微， （2）(,)u x y ，(,)v x y 满足C R -条件。（3分） 定理2 函数()(,)(,)f z u x y iv x y =+在区域D 内解析的充要条件： （1）,,,x y x y u u v v 在D 内连续， （2）(,)u x y ，(,)v x y 满足C R -条件。（3分） 定理3 函数()f z 在区域D 内解析的充要条件：()f z 在区域D 内连续，若闭曲线C 及内部包含于D ，则()0C f z dz =? 。 （3分） 定理4 函数()f z 在区域D 内解析的充要条件：()f z 在区域D 内每一点a ，都能展成x a -的幂级数。（3分） 2．叙述刘维尔定理：复平面上的有界整函数必为常数。（3分） 3、方程2z e i =+的解为：11ln 5arctan 222 i k i π++，其中k 为整数。（3分） 4、设()2010sin z f z z +=，则()0Re z s f z ==2010。（3分） 二、验证计算题（共16分）。 1、验证()22,2u x y x y x =-+为复平面上的调和函数，并求一满足条件()12f i i =-+的解析函数()()(),,f z u x y iv x y =+。（8分） 解：（1）22u x x ?=+?，222u x ?=?；2u y y ?=-?，222u y ?=-?。 由于22220u u y x ??+=??，所以(,)u x y 为复平面上的调和函数。（4分） （2）因为()f z 为解析函数，则(),u x y 与(),v x y 满足C.-R.方程，则有 22v u x y x ??==+??，所以(,)2222()v x y x dy xy y C x =+=++? 2,v u y x y ??=-=??又2()v y C x x ?'=+? ，所以 ()0C x '=，即()C x 为常数。

复变函数题库(包含好多试卷,后面都有答案)

《复变函数论》试题库 《复变函数》考试试题（一） 一、 判断题（20分）： 1.若f(z)在z 0的某个邻域内可导，则函数f(z)在z 0解析. ( ) 2.有界整函数必在整个复平面为常数. ( ) 3.若 } {n z 收敛，则 } {Re n z 与 } {Im n z 都收敛. ( ) 4.若f(z)在区域D 内解析，且 0)('≡z f ，则C z f ≡)(（常数）. ( ) 5.若函数f(z)在z 0处解析，则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数. ( ) 6.若z 0是)(z f 的m 阶零点，则z 0是1/)(z f 的m 阶极点. ( ) 7.若 ) (lim 0 z f z z →存在且有限，则z 0是函数f(z)的可去奇点. ( ) 8.若函数f(z)在是区域D 内的单叶函数，则)(0)('D z z f ∈?≠. ( ) 9. 若f (z )在区域D 内解析, 则对D 内任一简单闭曲线C 0)(=? C dz z f . ( ) 10.若函数f(z)在区域D 内的某个圆内恒等于常数，则f(z)在区域D 内恒等于常数.（ ） 二.填空题（20分） 1、 =-?=-1||0 0)(z z n z z dz __________.（n 为自然数） 2. =+z z 2 2cos sin _________. 3.函数z sin 的周期为___________. 4.设 11 )(2+= z z f ，则)(z f 的孤立奇点有__________. 5.幂级数 n n nz ∞ =∑的收敛半径为__________. 6.若函数f(z)在整个平面上处处解析，则称它是__________. 7.若ξ=∞→n n z lim ，则=+++∞→n z z z n n (i) 21______________. 8.= )0,(Re n z z e s ________，其中n 为自然数.

复变函数与积分变换试题及答案(2)

复变函数与积分变换试题与答案 1.（5）复数z与点(,) x y对应,请依次写出z的代数、几何、三角、指数表达式和z的3次方根。 2.（6）请指出指数函数z e w=、对数函数z w ln =、正切函数=的解析域，并说明它们的解析域是哪类点集。 z w tan 3.（9）讨论函数2 2i =的可导性，并求出函数)(z z f+ ) (y x f在可导点的导数。另外，函数) f在可导点解析吗？是或否请说明 (z

理由。 4.（7）已知解析函数v u z f i )(+=的实部y x y u 233-=，求函数 v u z f i )(+=的表达式，并使0)0(=f 。 5.（6×2）计算积分： （1）?+-C n z z z 1 0) (d ,

其中C 为以0z 为圆心,r 为半径的正向圆周, n 为正整数； （2）?=+-3||2d ) 2()1(e z z z z z 。 6.（5×2）分别在圆环 （1）1||0<

7.（12）求下列各函数在其孤立奇点的留数。 (1) 3 sin )(z z z z f -=; (2) z z z f sin 1)(2=; (3) 11 e )(-=z z z f . 8.（7）分式线性函数、指数函数、幂函数的映照特点各是什么。

9.（6分）求将上半平面 0)Im( z 保形映照成单位圆 1|| w 的分式线性函数。 10.（5×2）（1）己知 F )()]([ωF t f =，求函数)52(-t f 的傅里叶变换； （2）求函数) i 5)(i 3(2 )(ωωω++= F 的傅里叶逆变换。

复变函数期末考试复习题及答案详解

《复变函数》考试试题（一） 1、 =-?=-1||0 0)(z z n z z dz __________.（n 为自然数） 2.=+z z 2 2 cos sin _________. 3.函数z sin 的周期为___________. 4.设 11 )(2+= z z f ，则)(z f 的孤立奇点有__________. 5.幂级数 n n nz ∞ =∑的收敛半径为__________. 6.若函数f(z)在整个平面上处处解析，则称它是__________. 7.若ξ =∞ →n n z lim ，则= +++∞→n z z z n n (i) 21______________. 8. =)0,( Re n z z e s ________，其中n 为自然数. 9. z z sin 的孤立奇点为________ . 10.若0z 是)(z f 的极点，则___ )(lim 0 =→z f z z . 三.计算题（40分）： 1. 设 )2)(1(1 )(--= z z z f ，求)(z f 在} 1||0:{<<=z z D 内的罗朗展式. 2. .cos 1 1||?=z dz z 3. 设 ? -++=C d z z f λ λλλ1 73)(2，其中 }3|:|{==z z C ，试求).1('i f + 4. 求复数 11 +-= z z w 的实部与虚部. 四. 证明题.(20分) 1. 函数 )(z f 在区域D 内解析. 证明：如果|)(|z f 在D 内为常数， 那么它在 D 内为常数. 2. 试证 : ()f z = 在割去线段0Re 1z ≤≤的z 平面内能分出两 个单值解析分支, 并求出支割线0Re 1z ≤≤上岸取正值的那支在1 z =-的值. 《复变函数》考试试题（二） 二. 填空题. (20分)