当前位置：搜档网 › 《对数及其运算》教学设计

《对数及其运算》教学设计

【教学目标】

一、知识与能力：

1．理解对数的概念及对数的性质。

2．熟练的掌握对数式与指数式的相互转化。

二、过程和方法：

1．由学生自主探索解题途径，在此过程中，通过观察、类比等手段，寻求对数式和指数式之间的关系。

2．培养学生自主、合作、探究的能力，通过讲练结合法与多媒体辅助教学法向学生渗透对比、类比的数学思想方法。

三、情感态度与价值观：

1．培养学生积极主动参与的意识，使学生形成自主学习、合作学习的良好的学习习惯。

2．体会事物之间互相转化的辨证思想。

【教学重点、难点】

1.重点：对数的概念及对数式与指数式的相互转化。

2.难点：对数概念的理解。

【学情分析】

由于前面几堂课我们学习了指数函数的相关性质，今天的内容通过相关的引导与练习，可以以找规律的形式带动学生的积极性，掌握本堂课的知识。

【教学手段】

多媒体教学辅助法

【教学时数】

一课时

【教学过程】

一、发散思维，导入新课

1、提出问题：

2000年我国国民经济生产总值为a亿元，如果按平均每年增长8.2%估算，那么经过多少年国民经济生产总值是2000年的2倍。

假设经过x年，国民经济生产总值是2000年的2倍，依题意，有

2.8

1(=

a x2

即2

.1=

082

指数x取何值时满足这个等式呢？

2、对数起源：

约翰·纳皮尔John Napier（1550～1617），苏格兰数学家、神学家，对数的发明者。Napier出身贵族，于1550年在苏格兰爱丁堡附近的小镇梅奇斯顿（MerchistonCastle,Edinburgh,Scotland）出生，是Merchiston城堡的第八代地主，未曾有过正式的职业。

年轻时正值欧洲掀起宗教革命，他行旅其间，颇有感触。苏格兰转向新教，他也成了写文章攻击旧教（天主教）的急先锋（主要文章于1593年写成）。其时传出天主教的西班牙要派无敌舰队来攻打，Napier就研究兵器（包括拏炮、装甲马车、潜水艇等）准备与其拚命。虽然Napier的兵器还没制成，英国已把无敌舰队击垮，他还是成了英雄人物。

他一生研究数学，以发明对数运算而著称。那时候天文学家Tycho Brahe （第谷，1546～1601）等人做了很多的观察，需要很多的计算，而且要算几个数的连乘，因此苦不堪言。1594年，他为了寻求一种球面三角计算的简便方法，运用了独特的方法构造出对数方法。这让他在数学史上被重重地记上一笔，然而完成此对数却整整花了他20年的工夫。1614年6月在爱丁堡出版的第一本对数专著《奇妙的对数表的描述》（"Mirificilogarithmorum canonis descriptio"）中阐明了对数原理，后人称为纳皮尔对数：Nap logX。1616年Briggs（亨利·布里格斯，1561 - 1630）去拜访纳皮尔，建议将对数改良一下以十为基底的对数表最为方便，这也就是后来常用的对数了。可惜纳皮尔隔年于1617年春天去世，后来就由Briggs以毕生精力继承纳皮尔的未竟事业，以10为底列出一个很详细的对数表。并且于1619年发表了《奇妙对数规则的结构》，于书中详细阐述了对数计算和造对表的方法。

说明：通过介绍对数产生的历史背景与概念的形成过程，体会引入对数的必要性。激发学生学习对数的兴趣，培养对数学习的科学研究精神。

二、激发兴趣，自主学习

1．对数的概念:

一般地，如果N a x =)1,0(≠>a a ，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作：

N x a log =

a —底数，N —真数，N a log —对数式。

记一记：①注意底数的限制0>a ，且1≠a 。

②x N N a a x =?=log 。

③注意对数的书写格式，即 N a log 。

想一想：①为什么对数的定义中要求底数0>a ，且1≠a 。

②是否是所有的实数都有对数呢？

③N a N a =log ，为什么？

两个重要对数：①常用对数：以10为底的对数N 10log 。

②自然对数：以e 为底的对数N ln （e 是无理数，近似值为

2.71828）。

三、集思广益，合作学习

1、对数式与指数式的互化:

x N a =log

? N a x = 对数式

? 指数式对数底数 ←

a → 幂底数对数 ←

x → 指数真数 ← N

→ 幂 2、将下列指数式化为对数式：

① 27133=

-； ② 155=a 。解：① 327

1log 3-=； ② a =15log 5。说明：老师引领学生运用知识去解题。

3、讲下列对数式化为指数式：

① 5243log 3=；（2）11.0lg -=。

说明：类似于上题的解法，让同学之间互相提问，合作解答。

四、灵活思维，探究学习

1、求下列各式的值：

① 25log 5； ② 32log 2

1。

解：① 因为2552=，所以225log 5=。

② 因为32)21(5=-，所以532log 2

1-=。 2、对数的性质：

如果,0,0,1,0>>≠>N M a a 则

①N M MN a a a log log )(log +=；

②)(log log R n M n M a n a ∈=； ③N M N

M a a a log log log -=。 3、计算)39(log 523?。

解：)39(log 523?=53233log 9log +

=3log 53log 343+

=4+5=9

五、整体感知，课堂小结

①引入对数的必要性；

②对数的概念；

③指数与对数的关系；

④对数的基本性质。

六、巩固知识，作业布置

1.求下列各式的值：

① 2ln -e ； ② 216log 6；

③ 4log 36log 33-； ④20lg 5lg +。

2.作业：

教材P80练习一第2、3题，P83 练习二第1、3题。

板书设计：

对数的概念：

一般地，如果N a x =)1,0(≠>a a ，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作：

N x a log =

a —底数，N —真数，N a log —对数式。

对数的运算性质：

如果,0,0,1,0>>≠>N M a a 则

①N M MN a a a log log )(log +=；

②)(log log R n M n M a n a ∈=；

③N M N M a a a

log log log -=。

指数对数概念及运算公式

指数函数及对数函数重难点根式的概念： ①定义：若一个数的n 次方等于),1(* ∈>N n n a 且，则这个数称a 的n 次方根.即，若 a x n =，则x 称a 的n 次方根)1*∈>N n n 且， 1）当n 为奇数时，n a 的次方根记作n a ； 2）当n 为偶数时，负数a 没有n 次方根，而正数a 有两个n 次方根且互为相反数，记作 )0(>±a a n . ②性质：1）a a n n =)(； 2）当n 为奇数时，a a n n =； 3）当n 为偶数时，???<-≥==) 0() 0(||a a a a a a n 幂的有关概念： ①规定：1）∈???=n a a a a n (ΛN * ， 2）)0(10 ≠=a a ， n 个 3）∈=-p a a p p (1 Q ，4）m a a a n m n m ,0(>=、∈n N * 且)1>n ②性质：1）r a a a a s r s r ,0(>=?+、∈s Q ）， 2）r a a a s r s r ,0()(>=?、∈s Q ）， 3）∈>>?=?r b a b a b a r r r ,0,0()( Q ）（注）上述性质对r 、∈s R 均适用. 例求值（1） 3 28 （2）2 125 - （3）()5 21- （4）() 43 8116- 例.用分数指数幂表示下列分式(其中各式字母均为正数) (1)43a a ? （２）a a a （３）32 )(b a - （４）43 )(b a + （５）32 2b a ab + （6）42 33 )(b a + 例.化简求值

（1）0 121 32322510002.08 27）（）（）（）（-+--+---- （2）2 11 5 3125.05 25 .231 1.0)32(256) 027.0(?? ????+-+-????? ?-- （3）=?÷ ?--3133 73 32 9a a a a （4）21 1511336622263a b a b a b ??????-÷- ??? ??????? = （5 ）= 指数函数的定义： ①定义：函数)1,0(≠>=a a a y x 且称指数函数， 1）函数的定义域为R ， 2）函数的值域为),0(+∞， 3）当10<a 时函数为增函数. 提问：在下列的关系式中，哪些不是指数函数，为什么？（1）2 2 x y += （2）(2)x y =- （3）2x y =- （4）x y π= （5）2y x = （6）2 4y x = （7）x y x = （8）(1)x y a =- （a ＞1，且2a ≠）例：比较下列各题中的个值的大小（1）1.72.5 与 1.7 3 ( 2 )0.1 0.8 -与0.2 0.8 - ( 3 ) 1.70.3 与 0.93.1 例：已知指数函数()x f x a =（a ＞0且a ≠1）的图象过点（3，π），求 (0),(1),(3)f f f -的值. 思考：已知0.7 0.9 0.8 0.8,0.8, 1.2,a b c ===按大小顺序排列,,a b c . 例如图为指数函数x x x x d y c y b y a y ====)4(,)3(,)2(,)1(，则 d c b a ,,,与1的大小关系为