相似三角形的性质及判定方法

相似三角形的性质及判定方法相似三角形是指具有相同形状但可能不同大小的两个或多个三角形。在几何学中，相似三角形具有一些特定的性质和判定方法。本文将探

讨相似三角形的性质以及如何判定两个三角形是否相似。

一、相似三角形的性质

1. 对应角相等性质：如果两个三角形的对应角相等，那么它们是相

似的。具体而言，如果两个三角形的对应角分别相等，则它们是相似的。记为AA相似性质。

2. 对应边的比例性质：如果两个三角形的两对对应边的比例相等，

那么它们是相似的。具体而言，如果两个三角形的对应边所对应的长

度比例相等，则它们是相似的。记为SSS相似性质。

3. 角和对边的比例性质：如果两个三角形的对应角相等且对应边的

长度比例相等，那么它们是相似的。具体而言，如果两个三角形的对

应角相等且对应边的长度比例相等，则它们是相似的。记为SAS相似

性质。

二、相似三角形的判定方法

1. AA判定法：如果两个三角形的两个角分别相等，则它们一定是

相似的。即，如果两个三角形的两个角分别相等，则它们的第三个角

也必然相等，从而满足AA相似性质。

2. SSS判定法：如果两个三角形的三对对应边的长度比例相等，则它们一定是相似的。即，如果两个三角形的三对对应边的长度比例相等，则它们满足SSS相似性质。

3. SAS判定法：如果两个三角形的一个对应角相等，且对应边的长度比例相等，则它们一定是相似的。即，如果两个三角形的一个对应角相等，且对应边的长度比例相等，则它们满足SAS相似性质。

三、实例分析

为了更好地理解相似三角形的判定方法，我们来看一个实例。

已知三角形ABC和三角形DEF，已知∠A=∠D，∠B=∠E，且

AB/DE = BC/EF = CA/FD，我们需要判定这两个三角形是否相似。

根据给定条件可知，∠A=∠D，∠B=∠E，且BC/EF = CA/FD。

根据SAS判定法，如果对应角相等且对应边的长度比例相等，则两个三角形相似。

由此得出结论，三角形ABC和三角形DEF是相似的。

四、应用案例

相似三角形的性质及判定方法在很多几何问题中有广泛的应用。例如，在实际测量中，当我们只能测量到三角形的一些角度和边长时，可以通过相似三角形的性质来计算其他未知部分的长度。此外，在建筑、地理、工程等领域，相似三角形也有着重要的应用。

结语：

相似三角形是几何学中重要的概念，它们具有一些特定的性质和判定方法。在解决几何问题时，我们可以根据相似三角形的性质来判断两个三角形是否相似，并利用相似三角形的比例关系来计算未知部分的长度。相似三角形的研究不仅帮助我们理解几何学的基本概念，也为实际问题的解决提供了便利。

相似三角形的性质及判定方法

相似三角形的性质及判定方法相似三角形是指具有相同形状但可能不同大小的两个或多个三角形。在几何学中，相似三角形具有一些特定的性质和判定方法。本文将探 讨相似三角形的性质以及如何判定两个三角形是否相似。 一、相似三角形的性质 1. 对应角相等性质：如果两个三角形的对应角相等，那么它们是相 似的。具体而言，如果两个三角形的对应角分别相等，则它们是相似的。记为AA相似性质。 2. 对应边的比例性质：如果两个三角形的两对对应边的比例相等， 那么它们是相似的。具体而言，如果两个三角形的对应边所对应的长 度比例相等，则它们是相似的。记为SSS相似性质。 3. 角和对边的比例性质：如果两个三角形的对应角相等且对应边的 长度比例相等，那么它们是相似的。具体而言，如果两个三角形的对 应角相等且对应边的长度比例相等，则它们是相似的。记为SAS相似 性质。 二、相似三角形的判定方法 1. AA判定法：如果两个三角形的两个角分别相等，则它们一定是 相似的。即，如果两个三角形的两个角分别相等，则它们的第三个角 也必然相等，从而满足AA相似性质。

2. SSS判定法：如果两个三角形的三对对应边的长度比例相等，则它们一定是相似的。即，如果两个三角形的三对对应边的长度比例相等，则它们满足SSS相似性质。 3. SAS判定法：如果两个三角形的一个对应角相等，且对应边的长度比例相等，则它们一定是相似的。即，如果两个三角形的一个对应角相等，且对应边的长度比例相等，则它们满足SAS相似性质。 三、实例分析 为了更好地理解相似三角形的判定方法，我们来看一个实例。 已知三角形ABC和三角形DEF，已知∠A=∠D，∠B=∠E，且 AB/DE = BC/EF = CA/FD，我们需要判定这两个三角形是否相似。 根据给定条件可知，∠A=∠D，∠B=∠E，且BC/EF = CA/FD。 根据SAS判定法，如果对应角相等且对应边的长度比例相等，则两个三角形相似。 由此得出结论，三角形ABC和三角形DEF是相似的。 四、应用案例 相似三角形的性质及判定方法在很多几何问题中有广泛的应用。例如，在实际测量中，当我们只能测量到三角形的一些角度和边长时，可以通过相似三角形的性质来计算其他未知部分的长度。此外，在建筑、地理、工程等领域，相似三角形也有着重要的应用。 结语：

相似的性质和判定

三角形相似的判定和性质1 一、知识梳理： 1、相似的判定： ①如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。（两角对应相等，两个三角形相似。） ②如果两个三角形的两组对应边成比例，并且对应的夹角相等，那么这两个三角形相似。（两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似。） ③如果两个三角形的三组对应边成比例，那么这两个三角形相似。（三边对应成比例，两个三角形相似。） ④如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。（斜边与直角边对应成比例，两个直角三角形相似。） ⑤两个三角形三边对应平行，则两个三角形相似。（三边对应平行，两个三角形相似。） ⑥如果两个三角形全等，那么这两个三角形相似（相似比为1：1）（全等三角形相似）。 2、相似的性质： ①相似三角形的对应角相等；相似三角形的对应边成比例。 ②相似三角形的周长比，对应高线的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比。 ③相似三角形的面积比等于相似比的平方，相似比等于面积比的算术平方根。 3、推论： 推论一：顶角或底角相等的两个等腰三角形相似。 推论二：腰和底对应成比例的两个等腰三角形相似。 推论三：有一个锐角相等的两个直角三角形相似。 推论四：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形都相似。 推论五：如果一个三角形的两边和三角形任意一边上的中线与另一个三角形的对应部分成比例，那么这两个三角形相似。 4、射影定理： 射影定理：直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上 射影的比例中项。每一条直角边是这条直角边在斜边上的射 影和斜边的比例中项。①CD2＝AD·BD；②AC2＝AD·AB； ③BC2＝BD·AB 二、相似的基本图形： （一）平行线型 如图，若DE∥BC,则△ADE∽△ABC,形象地说图为“A”型或“X”型,故称之为平行线型的基本图形. 例1、如图,在平行四边形ABCD中,E是AB延长线上一点,连结DE交AC于G，交BC于F,则

相似三角形的判定和性质

相似三角形的判定与性质 一、知识回顾 1、相似三角形的判定： （1）如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。 （2）平行于三角形一边的直线与其它两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。 （3）如果两个三角形的两组对应边的比相等，且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似（4）如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似。 2、相似三角形的性质 （1）对应边的比相等，对应角相等。 （2）相似三角形的周长比等于相似比。 （3）相似三角形的面积比等于相似比的平方。 （4）相似三角形的对应边上的高、中线、角平分线的比等于相似比。 二、典型例题 例1：如图，已知直线AB：y=4/3 x+b交x轴于点A（-3，0），交y轴于点B，过点B作 BC⊥AB交x轴于点C． （1）试证明：△ABC∽△AOB； （2）求△ABC的周长． 例2：如图，一次函数y=kx+b的图象经过点A（-1，0）和点（1，4）交y轴于点B． （1）求一次函数解析式和B点坐标． （2）过B点的另一直线1与直线AB垂直，且交X轴正半轴于点P，求点P的坐标． （3）点M（0，a）为y轴正半轴上的动点，点N（b，O）为X轴正半轴上的动点，当直线MN⊥直线AB时，求a：b的值．

例3：（2000·陕西）如图，在矩形ABCD 中，EF 是BD 的垂直平分线，已知BD=20，EF=15，求矩形ABCD 的周长． 例4：（2010·攀枝花）如图所示，在△ABC 中，BC ＞AC ，点D 在BC 上，且DC=AC ，∠ACB 的平分线CF 交AD 于点F ．点E 是AB 的中点，连接EF ． （1）求证：EF∥BC； （2）若△ABD 的面积是6，求四边形BDFE 的面积． 例题 (1)两个相似三角形的面积比为21:s s ，与它们对应高之比21:h h 之间的关系为_______ (2)如图，已知DE ∥BC ，CD 和BE 相交于O ，若16:9:=??COB ABC S S ，则AD:DB=_________ B C D E A O (2)题图 (4)题图 B G F E D A C (5)题图 C A ’ D D ’ C ’ B ’ B A

相似三角形的性质与判定

相似三角形的性质与判定 相似三角形是初中数学中一个重要的概念，理解相似三角形的性质 和判定方法对于解题和应用数学非常有帮助。本文将介绍相似三角形 的性质，并讨论如何判定两个三角形是否相似。 一、相似三角形的性质 1. 边长比例：两个三角形相似的充分必要条件是它们对应边长之比 相等。设两个三角形分别为ABC和DEF，若满足以下条件，则可判断 它们为相似三角形： AB/DE = BC/EF = AC/DF 2. 角度相等：两个三角形相似的另一个重要性质是它们对应角度相等。即若三角形ABC和DEF满足以下条件，则可以判断它们为相似三角形： ∠A = ∠D, ∠B = ∠E, ∠C = ∠F 3. 高度比例：相似三角形的高度之比等于对应边长之比。假设ABC 和DEF为相似三角形，且BC和EF为对应边，h1和h2为它们的高度，则有以下关系： h1/h2 = BC/EF 二、相似三角形的判定方法

1. AA（角-角）判定法：若两个三角形的两个角相等，则这两个三 角形相似。即若∠A = ∠D，∠B = ∠E，可判断三角形ABC与DEF相似。 2. SAS（边-角-边）判定法：若两个三角形的两个对应边的比例相等，并且这两个边夹角相等，则这两个三角形相似。假设AB/DE = BC/EF，∠B = ∠E，可判断三角形ABC与DEF相似。 3. SSS（边-边-边）判定法：若两个三角形的三个对应边的比例相等，则这两个三角形相似。即若AB/DE = BC/EF = AC/DF，可判断三角形ABC与DEF相似。 三、相似三角形的应用 1. 测量高度：利用相似三角形的性质，可以测量高度。例如，根据 两个相似三角形的高度比例，可以利用已知的高度和对应的边长，求 解未知高度的长度。 2. 图形放缩：相似三角形的性质使得我们能够进行图形的缩放。通 过改变相似三角形的边长比例，可以将图形按照一定的比例进行放大 或缩小。 3. 建模与设计：相似三角形的应用还可以用于建模和设计。例如， 在设计模型中，可以利用相似三角形的概念，按照一定的比例来缩放 和调整图形的形状。 在数学学习和实际应用中，相似三角形是一个基础而重要的概念。 通过理解相似三角形的性质和掌握判定方法，我们能够更好地解决与

相似三角形的性质

相似三角形的性质 相似三角形是指两个三角形的对应角度相等，并且对应 边的比例相等的三角形。在几何学中，相似三角形具有一些重要的性质和特点，本文将对相似三角形的性质进行详细解析。在讨论相似三角形的性质之前，首先需要明确相似三角形的定义和判定条件。 一、相似三角形的定义 相似三角形的定义是指两个三角形的对应角度相等，并且对应边的比例相等。对于两个三角形ABC和DEF来说，若满足以下条件，则称两个三角形相似： 1. ∠A = ∠D，∠B = ∠E，∠C = ∠F； 2. |\frac{AB}{DE}| = |\frac{BC}{EF}| = |\frac{AC}{DF}|。 二、相似三角形的判定条件 判定两个三角形是否相似有以下几种方法： 1. AA相似判定法：如果两个三角形的两个角分别相等，则两 个三角形相似。即若∠A = ∠D，∠B = ∠E 或∠A = ∠E， ∠B = ∠D，或者∠B = ∠D，∠C = ∠E 或∠B = ∠E，∠C = ∠D，则两个三角形相似。 2. AAA相似判定法：如果两个三角形的三个角分别相等，则 两个三角形相似。即若∠A = ∠D，∠B = ∠E，∠C = ∠F， 则两个三角形相似。 3. 相似比例判定法：如果两个三角形的对应边的比例相等， 则两个三角形相似。即|\frac{AB}{DE}| = |\frac{BC}{EF}| = |\frac{AC}{DF}|。

三、相似三角形性质 1. 对应角度相等：相似三角形的对应角度相等，即∠A = ∠D，∠B = ∠E，∠C = ∠F。这是相似三角形的基本性质，也是相似三角形的判定条件之一。 2. 对应边比例相等：相似三角形的对应边的比例相等，即 |\frac{AB}{DE}| = |\frac{BC}{EF}| = |\frac{AC}{DF}|。 这是相似三角形的另一个基本性质，也是相似三角形的判定条件之一。 3. 边对边既比例又平行：相似三角形的对应边不仅比例相等，还平行。即AB ∥ DE，BC ∥ EF，AC ∥ DF。这是相似三角 形的重要性质之一，也是相似三角形的判定条件之一。 4. 高度对边的比例相等：相似三角形的高度与对应边的比例 相等。若有ABC ∼ DEF，且AD和DF分别为它们的高度，则 有|\frac{AD}{DF}| = |\frac{BC}{EF}|。这个性质对于计算 相似三角形的边长很有用。 5. 面积比例等于边长比例的平方：相似三角形的面积之间的 比例等于边长之间比例的平方。如果有ABC ∼ DEF，且S1和 S2分别为它们的面积，则有|\frac{S1}{S2}| = (\frac{AB}{DE})^2 = (\frac{BC}{EF})^2 = (\frac{AC}{DF})^2。这个性质对于计算相似三角形的面积很 有用。 6. 相似三角形的比例定理：在相似三角形ABC和DEF中，有 以下比例成立： a. AB/DE = BC/EF = CA/FD：即三角形ABC的三条边与三 角形DEF的对应边之间的比例相等。 b. AB/AC = DE/DF，BC/AC = EF/DF：即三角形ABC的两条边与三角形DEF的对应边之间的比例相等。

相似三角形的性质和计算方法

相似三角形的性质和计算方法相似三角形是指具有相同形状但大小不同的两个三角形。在几何学中，相似性质是研究三角形和其他多边形的重要概念之一。本文将介绍相似三角形的性质以及计算方法。 一、相似三角形的性质 1. 对应角相等：若两个三角形的三个角对应相等，则它们是相似三角形。 2. 对应边成比例：若两个三角形的对应边的长度成比例，则它们是相似三角形。 基于这两个性质，我们可以得出以下结论： 1. AAA相似定理：若两个三角形的三个角分别相等，则它们是相似三角形。 2. AA相似定理：若两个三角形的两个角分别相等（不一定是对应角），则它们是相似三角形。 3. SSS相似定理：若两个三角形的三个边分别成比例，则它们是相似三角形。 二、相似三角形的计算方法 1. 比例计算法：已知两个相似三角形的一组对应边的长度，可以通过比例计算方法求出未知边的长度。

假设∆ABC和∆XYZ是相似三角形，已知∆ABC中AB和BC两边的长度，以及∆XYZ中XY的长度，求出YZ的长度。我们可以利用比例 计算法如下： AB/XY = BC/YZ （根据对应边成比例的性质） 则 YZ = (BC * XY) / AB 2. 定角计算法：已知两个相似三角形的一组对应角的度数，可以通 过定角计算方法求出未知角的度数。 假设∆ABC和∆XYZ是相似三角形，已知∆ABC中∠B和∠C的度数，以及∆XYZ中∠X的度数，求出∠Y的度数。我们可以利用定角计算法 如下： ∠B/∠X = ∠C/∠Y （根据对应角相等的性质） 则∠Y = (∠C * ∠X) / ∠B 三、相似三角形的应用 相似三角形的性质和计算方法在实际问题中有广泛应用，例如地图 比例尺的计算、日晷的设计等。 以地图比例尺为例，当我们需要根据实际距离绘制地图时，可以利 用相似三角形的比例计算方法。假设实际距离为d1，地图上对应的距 离为d2，已知实际距离和地图上的距离之比为1:K，可以建立以下相 似三角形的比例方程： d1/d2 = 1/K

相似三角形的判定总结+题型分析(带答案)

相似三角形 定义：如果两个三角形中，三角对应相等，三边对应成比例，那么这两个三角形叫做相似三角形。 几种特殊三角形的相似关系：两个全等三角形一定相似。 两个等腰直角三角形一定相似。 两个等边三角形一定相似。 两个直角三角形和两个等腰三角形不一定相似。 补充：对于多边形而言，所有圆相似；所有正多边形相似(如正四边形、正五边形等等)； 性质：两个相似三角形中，对应角相等、对应边成比例。 相似比：两个相似三角形的对应边的比，叫做这两个三角形的相似比。 如△ABC与△DEF相似，记作△ABC∽△DEF。相似比为k。 判定： ①定义法：对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似。 ②相似的预备定理：平行于三角形一边的直线和其它两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。 三角形相似的判定定理： 判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．简述为：两角对应相等，两三角形相似．(此定理用的最多) 判定定理2：如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似． 判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似．简述为：三边对应成比例，两三角形相似． 直角三角形相似判定定理: 1)斜边与一条直角边对应成比例的两直角三角形相似。 2)直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原直角三角形相似，并且分成的两个直角三角形也相似。 补充一：直角三角形中的相似问题： 斜边的高分直角三角形所成的两个直角三角形与原直角三角形相似. 射影定理：CD2=AD·BD，AC2=AD·AB，BC2=BD·BA (在直角三角形的计算和证明中有广泛的应用). 补充二：三角形相似的判定定理推论 推论一：顶角或底角相等的两个等腰三角形相似。

相似三角形的性质与判定讲义

相似三角形的性质与判定讲义 【知识点拨】 一、相似三角形性质 (1)相似三角形对应角相等，对应边成比例. ⑵ 相似三角形对应高的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比. (3)相似三角形周长的比等于相似比. ⑷ 相似三角形面积的比等于相似比的平方. (5)相似三角形性质可用来证明线段成比例、角相等，也可用来计算周长、边长等 二、相似三角形的等价关系 (1)反身性：对于任一ABC有ABC s ABC . (3)传递性：若ABC s A'B'C，且A'B'C s ABC，则ABC s ABC ⑵ 对称性：若ABC s A'B'C'，贝V A'B'C's ABC . 三、三角形相似的判定方法 1、定义法：对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似. 2、平行法：平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似. 3、判定定理1:如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似•简述为：两角对应相等，两三角形相似. 4、判定定理2:如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似•简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似. 5、判定定理3:如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似•简述为：三边对应成比例，两三角形相似. 6、判定直角三角形相似的方法: (1)以上各种判定均适用. (2)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，

那么这两个直角三角形相似. (3)直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似. 直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。 公式Rt △KBC中，/ BAC=90°,AD是斜边BC上的高，则有射影定理如下： 2 2 2 (1)( AD) =BDDC, ( 2)( AB) =BD BC ,( 3)( AC) =CDBC。 【例题精讲】： 1、如图DE//BC, AB=5 , AC=10 , DB=AE，求AE 的长。 2、已知，如图，在ABC中，G为重心，GE//AB，求匹的值 CD A 3、如图，已知四边形ABCD是平行四边形，FC 54cm, CE 27cm，

相似三角形的判定与性质

相似三角形的判定与性质 相似三角形是几何学中的重要概念，它们在很多问题的解决中起着关键作用。本文将介绍相似三角形的判定方法以及相似三角形的一些性质。 一、相似三角形的判定方法 1. AA相似定理 AA相似定理是相似三角形的判定方法之一。当两个三角形的对应角度相等时，这两个三角形是相似的。具体而言，如果三角形ABC和三角形DEF满足∠A = ∠D，且∠B = ∠E，那么这两个三角形是相似的。 2. SSS相似定理 SSS相似定理是相似三角形的判定方法之二。当两个三角形的对应边长成比例时，这两个三角形是相似的。具体而言，如果三角形ABC 和三角形DEF满足AB/DE = BC/EF = AC/DF，那么这两个三角形是相似的。 3. SAS相似定理 SAS相似定理是相似三角形的判定方法之三。当两个三角形的一个对应边成比例，且两个对应边夹角相等时，这两个三角形是相似的。具体而言，如果三角形ABC和三角形DEF满足AB/DE = AC/DF和 ∠A = ∠D，那么这两个三角形是相似的。

二、相似三角形的性质 1. 对应角相等性质 相似三角形的对应角是相等的。如果三角形ABC与三角形DEF是相似的，那么∠A = ∠D，∠B = ∠E，∠C = ∠F。 2. 对应边成比例性质 相似三角形的对应边成比例。如果三角形ABC与三角形DEF是相似的，那么AB/DE = BC/EF = AC/DF。 3. 高度与边成比例性质 相似三角形的对应边上的高度成比例。如果三角形ABC与三角形DEF是相似的，那么AD/DF = BE/EF = CF/DE。 4. 面积与边长平方的比例性质 相似三角形的面积与对应边长的平方成比例。如果三角形ABC与三角形DEF是相似的，则 S(ABC)/S(DEF) = (AB/DE)^2 = (BC/EF)^2 = (AC/DF)^2， 其中S(ABC)表示三角形ABC的面积，S(DEF)表示三角形DEF的面积。 5. 定理勾股定理性质 边长成比例的三角形中，对应边长的平方和成比例。如果三角形ABC与三角形DEF是相似的，那么

三角形的相似性质和判定

三角形的相似性质和判定 三角形是几何中最基础的图形之一，具有广泛的应用价值。在研究三角形的性质时，相似性质和判定是我们需要重点关注的内容。本文将介绍三角形的相似性质和判定方法，帮助读者深入理解和应用这一重要概念。 一、相似三角形的定义和特点 相似三角形指的是具有相同形状但可能不相等的三角形。相似三角形的定义可以由以下两个条件来表示： 1. 对应角相等：两个三角形的对应角度相等，即对应角度的度数相同。 2. 对应边成比例：两个三角形的对应边的比例相等，即两边的长度之比相同。 相似三角形具有以下重要的特点： 1. 全等三角形是相似三角形的一个特例，全等三角形的对应边和角都相等。 2. 相似三角形的形状相似，但大小可能不同。 3. 当两个三角形相似时，它们的各个对应角度的度数相等，对应边长的比例相等。 二、相似三角形的判定方法

判定两个三角形是否相似有多种方法，以下是常用的两种判定方法： 1. AA相似定理：如果两个三角形的两个角分别相等，那么这两个 三角形是相似的。这个定理又称为“角-角相似定理”。 2. SSS相似定理：如果两个三角形的三个对应边长之比相等，那么 这两个三角形是相似的。这个定理又称为“边-边-边相似定理”。 需要注意的是，在使用相似三角形判定时，要保证对应角和对应边 是正确对应的，否则可能会得出错误的结论。 三、相似三角形的应用 相似三角形的概念在几何学和实际应用中都有广泛的应用，以下是 一些常见的应用场景： 1.解决实际测量问题：通过观察和测量，我们可以利用相似三角形 的性质来计算无法直接测量的长度和距离。 2.设计和建筑：在建筑和设计领域，相似三角形的概念被广泛用于 绘制和设计建筑物、家具、道路等的比例。 3.地图和导航：地图中的比例尺就是通过相似三角形的概念来确定的。通过相似三角形，我们可以在地图上测量出实际距离。 4.影子和高度测量：在日常生活中，我们可以利用相似三角形的性 质来测量高楼、树木等的高度，以及计算无法直接测量的距离。 总结：

相似三角形的判定和性质

相似三角形的判定和性质 相似三角形是初中数学中非常重要的概念之一。在解决与三角形相关的问题时，正确地判定两个三角形是否相似，以及了解相似三角形的性质，对于我们解题有着重要的指导作用。本文将介绍相似三角形的判定方法和一些重要的性质，希望能帮助中学生和他们的父母更好地理解和应用这一概念。 一、相似三角形的判定 判定两个三角形是否相似，有三种常用的方法：AAA判定法、AA判定法和SAS判定法。 1. AAA判定法 AAA判定法即“全等角对应相等”，即两个三角形的三个角分别相等。如果两 个三角形的三个角分别相等，那么它们一定是相似的。例如，如果一个三角形的三个角分别是60°、50°和70°，另一个三角形的三个角分别是60°、50°和70°，那么 这两个三角形就是相似的。 2. AA判定法 AA判定法即“对应角相等”，即两个三角形的两个角分别相等。如果两个三角 形的两个角分别相等，那么它们可能相似，但还需要进一步判定。例如，如果一个三角形的两个角分别是60°和50°，另一个三角形的两个角分别是60°和50°，那么 这两个三角形可能是相似的，但还需要进一步判定。 3. SAS判定法 SAS判定法即“两边成比例且夹角相等”，即两个三角形的两条边成比例且夹角 相等。如果两个三角形的两边成比例且夹角相等，那么它们一定是相似的。例如，如果一个三角形的两条边分别是5cm和8cm，另一个三角形的两条边分别是10cm 和16cm，并且两个三角形的夹角都是60°，那么这两个三角形就是相似的。

二、相似三角形的性质 了解相似三角形的性质，可以帮助我们更好地解决与三角形相关的问题。 1. 边长比例性质 相似三角形的对应边长之比相等。即如果两个三角形相似，那么它们的对应边 长之比相等。例如，如果两个三角形ABC和DEF相似，那么 AB/DE=BC/EF=AC/DF。 2. 高度比例性质 相似三角形的对应高度之比相等。即如果两个三角形相似，那么它们的对应高 度之比相等。例如，如果两个三角形ABC和DEF相似，那么 h₁/h₂=h₃/h₄=h₅/h₆，其中h₁、h₂、h₃、h₄、h₅、h₆分别为三角形ABC和DEF的对应高度。 3. 面积比例性质 相似三角形的面积之比等于边长之比的平方。即如果两个三角形相似，那么它 们的面积之比等于边长之比的平方。例如，如果两个三角形ABC和DEF相似，那 么S₁/S₂=(AB/DE)²=(BC/EF)²=(AC/DF)²，其中S₁、S₂分别为三角形ABC和 DEF的面积。 三、应用举例 相似三角形的判定和性质在解决与三角形相关的问题时非常有用。例如，当我 们需要求解一个难题时，可以先判定是否存在相似三角形，然后利用相似三角形的性质解题。 举个例子，假设我们需要求解一个三角形ABC的高度，但是这个三角形的高 度很难直接测量。我们可以先找到一个相似三角形DEF，且DEF的高度易于测量。

三角形的相似性质与判定

三角形的相似性质与判定 三角形是几何中的基本形状之一，它具有许多重要的性质和特点。其中一项重要的性质就是相似性质。相似性质指的是两个或多个三角形具有相似的形状，但大小可能不同。本文将探讨三角形的相似性质以及相似三角形的判定方法。 一、相似三角形的定义 两个三角形相似的定义是：如果两个三角形的对应角度相等，并且对应边成比例，那么这两个三角形就是相似的。换句话说，如果两个三角形的三个内角分别相等，且对应边的长度比为一个常数，那么它们是相似的。 二、相似三角形的性质 相似三角形具有许多重要的性质，这些性质有助于我们进一步研究和应用三角形的知识： 1. 边长比例性质：在相似三角形中，对应边的长度比是相等的。比如说，如果一个三角形ABC与另一个三角形DEF相似，那么AB与DE的比、AC与DF的比、BC与EF的比都是相等的。 2. 角度对应性质：在相似三角形中，对应的角度是相等的。也就是说，如果两个三角形相似，那么它们的三个角分别相等。

3. 高度比例性质：在相似三角形中，对应的高度（或称作高线）之比等于对应边长之比。换句话说，如果一个三角形的两条边与另一个相似三角形的两条边成比例，那么它们的高度也是成比例的。 三、相似三角形的判定方法 判定两个三角形是否相似有多种方法，这里介绍其中两种常用的方法： 1. 三边比较法：如果两个三角形的三条边对应成比例，那么它们是相似的。这种方法可通过确定三条边的长度，并计算它们的比例来判断。 2. 角度比较法：如果两个三角形的三个内角对应相等，那么它们是相似的。这种方法可通过测量三个内角的大小，并比较它们的关系来判断。 值得注意的是，如果两个三角形仅满足其中一种判定条件，那它们并不一定是相似的。相似性质需要同时满足对应边成比例和对应角相等这两个条件。 结论： 三角形的相似性质与判定对于解决几何问题和应用数学都具有重要的意义。通过理解相似性质，我们可以推导出许多有关三角形的重要结论，并应用于实际问题中。在实际应用中，我们需要根据已知条件来判断两个三角形相似，进而利用相似的性质和定理解决问题。 总结：

相似三角形的判定方法

(一)相似三角形 1、定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形，叫做相似三角形． ①当一个三角形的三个角与另一个(或几个)三角形的三个角对应相等，且三条对应边的比相等时，这两个(或几个)三角形叫做相似三角形，即定义中的两个条件，缺一不可； ②相似三角形的特征：形状一样，但大小不一定相等； ③相似三角形的定义，可得相似三角形的基本性质：对应角相等，对应边成比例． 2、相似三角形对应边的比叫做相似比． ①全等三角形一定是相似三角形，其相似比k=1．所以全等三角形是相似三角形的特例．其区别在于全等要求对应边相等，而相似要求对应边成比例． ②相似比具有顺序性．例如△ABC∽△A′B′C′的对应边的比，即相似比为k，则△A′B′C′∽△ ABC的相似比，当它们全等时，才有k=k′=1． ③相似比是一个重要概念，后继学习时出现的频率较高，其实质它是将一个图形放大或缩小的倍数，这一点借助相似三角形可观察得出． 3、如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，那么这两个多边形叫做相似多边形． 4、相似三角形的预备定理：平行于三角形的一条边直线，截其它两边所在的直线，截得的三角形与原三角形相似． ①定理的基本图形有三种情况，如图其符号语言： ∵DE∥BC，∴△ABC∽△ADE； （双A型） ②这个定理是用相似三角形定义推导出来的三角形相似的判定定理．它不但本身有着广泛的应用，同时也是证明相似三角形三个判定定理的基础，故把它称为“预备定理”； ③有了预备定理后，在解题时不但要想到“见平行，想比例”，还要想到“见平行，想相似”． (二)相似三角形的判定 1、相似三角形的判定： 判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。可简单说成：两角对应相等，两三角形相似。 例1、已知：如图，∠1=∠2=∠3，求证：△ABC∽△ADE．

相似三角形的判定方法

<一>相似三角形 1、定义：对应角相等,对应边成比例的两个三角形,叫做相似三角形． ①当一个三角形的三个角与另一个<或几个>三角形的三个角对应相等,且三条对应边的比相等时,这两个<或几个>三角形叫做相似三角形,即定义中的两个条件,缺一不可； ②相似三角形的特征：形状一样,但大小不一定相等； ③相似三角形的定义,可得相似三角形的基本性质：对应角相等,对应边成比例． 2、相似三角形对应边的比叫做相似比． ①全等三角形一定是相似三角形,其相似比k=1．所以全等三角形是相似三角形的特例．其区别在于全等要求对应边相等,而相似要求对应边成比例． ②相似比具有顺序性．例如△ABC ∽△A′B′C′的对应边的比,即相似比为k,则△A′B′C′∽△ABC 的相似比,当它们全等时,才有k=k′=1． ③相似比是一个重要概念,后继学习时出现的频率较高,其实质它是将一个图形放大或缩小的倍数,这一点借助相似三角形可观察得出． 3、如果两个边数相同的多边形的对应角相等,对应边成比例,那么这两个多边形叫做相似多边形． 4、相似三角形的预备定理：平行于三角形的一条边直线,截其它两边所在的直线,截得的三角形与原三角形相似． ①定理的基本图形有三种情况,如图其符号语言： ∵DE ∥BC,∴△ABC ∽△ADE ； 〔双A 型 ②这个定理是用相似三角形定义推导出来的三角形相似的判定定理．它不但本身有着广泛的应用,同时也是证明相似三角形三个判定定理的基础,故把它称为"预备定理"； ③有了预备定理后,在解题时不但要想到 "见平行,想比例",还要想到"见平行,想相似"． <二>相似三角形的判定 1、相似三角形的判定： 判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似。可简单说成：两角对应相等,两三角形相似。 例1、已知：如图,∠1=∠2=∠3,求证：△ABC ∽△ADE ． 例2、如图,E 、F 分别是△ABC 的边BC 上的点,DE ∥AB,DF ∥AC , 求证：△ABC ∽△DEF. 判定定理2：如果三角形的两组对应边的比相等,并且相应的夹角相等,那么这两个三角形相似。 简单说成：两边对应成比例且夹角相等,两三角形相似． 例1、△ABC 中,点D 在AB 上,如果AC 2=AD •AB,那么△ACD 与△ABC 相似吗？说说你的理由． 例2、如图,点C 、D 在线段AB 上,△PCD 是等边三角形。 〔1当AC 、CD 、DB 满足怎样的关系时,△ACP ∽△PDB ？ A B C D E F 第4题

(完整版)相似三角形的判定+性质+经典例题分析

相似形（一） 一、比例性质 1.基本性质： bc ad d c b a =⇔=(两外项的积等于两内项积） 2。反比性质： c d a b d c b a =⇔= （把比的前项、后项交换） 3。合比性质： d d c b b a d c b a ±=±⇒=（分子加(减）分母，分母不变） ． 4。等比性质:（分子分母分别相加，比值不变.） 如果 )0(≠++++====n f d b n m f e d c b a ,那么 b a n f d b m e c a =++++++++ ． 谈重点：(1）此性质的证明运用了“设k 法” ，这种方法是有关比例计算，变形中一种常用方法． (2)应用等比性质时，要考虑到分母是否为零． (3)可利用分式性质将连等式的每一个比的前项与后项同时乘以一个数，再利用等比性质也成立． 5。黄金分割： 错误!内容 错误!尺规作图作一条线段的黄金分割点 经典例题回顾： 例题1．已知a 、b 、c 是非零实数，且 k c b a d d a b c d c a b d c b a =++=++=++=++,求k 的值。

例题2．已知 111 x y x y +=+，求y x x y +的值。 概念： 谈重点： ⑴相似图形强调图形形状相同，与它们的位置、颜色、大小无关． ⑵相似图形不仅仅指平面图形，也包括立体图形相似的情况． ⑶我们可以这样理解相似形：两个图形相似，其中一个图形可以看作是由另一个图形放大或缩小得到的． ⑷若两个图形形状与大小都相同，这时是相似图形的一种特例-—全等形． ①定理:三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例,如图：l 1∥l 2∥l 3。 则，，，…AB BC DE EF AB AC DE DF BC AC EF DF === ②推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例。 ③定理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。 错误!推论：如果一条直线平行于三角形的一条边，截其它两边(或其延长线），那么所截得的三角形与原

相似三角形的判定和性质

A ' B ' C ' C B A A ' B ' C ' C B A 相似三角形的性质和判定 一、相似的有关概念 1．相似形 具有相同形状的图形叫做相似形．相似形仅是形状相同，大小不一定相同．相似图形之间的互相变换称为相似变换． 2．相似图形的特性 两个相似图形的对应边成比例，对应角相等． 3．相似比 两个相似图形的对应角相等，对应边成比例． 二、相似三角形的概念 1．相似三角形的定义 对应角相等，对应边成比例的三角形叫做相似三角形． 如图，ABC △与A B C '''△相似，记作ABC A B C '''△∽△，符号∽读作“相似于”。 2．相似比 相似三角形对应边的比叫做相似比．全等三角形的相似比是1．“全等三角形”一定是“相似形”，“相似形”不一定是“全等形”。 三、相似三角形的性质 1．相似三角形的对应角相等 如图，ABC △与A B C '''△相似，则有A A B B C C '''∠=∠∠=∠∠=∠，，． 2．相似三角形的对应边成比例 如图，ABC △与A B C '''△相似，则有 AB BC AC k A B B C A C ==='''''' （k 为相似比） 。 3．相似三角形的对应边上的中线，高线和对应角的平分线成比例，都等于相似比。 如图1，ABC △与A B C '''△相似，AM 是ABC △中BC 边上的中线，A M ''是A B C '''△中B C ''边上的 中线，则有AB BC AC AM k A B B C A C A M ==== '''''''' （k 为相似比）． M ' M A ' B ' C ' C B A 图（1） H 'H A B C C ' B 'A ' 图（2） D ' D A ' B ' C ' C B A 图（3）