相似三角形的性质和计算方法

相似三角形的性质和计算方法相似三角形是指具有相同形状但大小不同的两个三角形。在几何学中，相似性质是研究三角形和其他多边形的重要概念之一。本文将介绍相似三角形的性质以及计算方法。

一、相似三角形的性质

1. 对应角相等：若两个三角形的三个角对应相等，则它们是相似三角形。

2. 对应边成比例：若两个三角形的对应边的长度成比例，则它们是相似三角形。

基于这两个性质，我们可以得出以下结论：

1. AAA相似定理：若两个三角形的三个角分别相等，则它们是相似三角形。

2. AA相似定理：若两个三角形的两个角分别相等（不一定是对应角），则它们是相似三角形。

3. SSS相似定理：若两个三角形的三个边分别成比例，则它们是相似三角形。

二、相似三角形的计算方法

1. 比例计算法：已知两个相似三角形的一组对应边的长度，可以通过比例计算方法求出未知边的长度。

假设∆ABC和∆XYZ是相似三角形，已知∆ABC中AB和BC两边的长度，以及∆XYZ中XY的长度，求出YZ的长度。我们可以利用比例

计算法如下：

AB/XY = BC/YZ （根据对应边成比例的性质）

则 YZ = (BC * XY) / AB

2. 定角计算法：已知两个相似三角形的一组对应角的度数，可以通

过定角计算方法求出未知角的度数。

假设∆ABC和∆XYZ是相似三角形，已知∆ABC中∠B和∠C的度数，以及∆XYZ中∠X的度数，求出∠Y的度数。我们可以利用定角计算法

如下：

∠B/∠X = ∠C/∠Y （根据对应角相等的性质）

则∠Y = (∠C * ∠X) / ∠B

三、相似三角形的应用

相似三角形的性质和计算方法在实际问题中有广泛应用，例如地图

比例尺的计算、日晷的设计等。

以地图比例尺为例，当我们需要根据实际距离绘制地图时，可以利

用相似三角形的比例计算方法。假设实际距离为d1，地图上对应的距

离为d2，已知实际距离和地图上的距离之比为1:K，可以建立以下相

似三角形的比例方程：

d1/d2 = 1/K

由此可以求出地图上对应距离d2的长度。

在日晷的设计中，也可以利用相似三角形的定角计算方法。根据太

阳的运动规律以及地球的自转，可以确定日晷指针与地平线的夹角，

从而实现时刻的读取。

四、总结

相似三角形是几何学中重要的概念之一，具有广泛的应用。通过对

应角相等以及对应边成比例的性质，我们可以判断两个三角形是否相似，进而应用相似三角形的比例和定角计算方法求解实际问题。

通过本文的介绍，希望读者能够理解相似三角形的性质和计算方法，并在实际问题中应用此知识，提升几何学的应用能力。

相似三角形的性质(经典全面)

一、相似的有关概念 1．相似形 具有相同形状的图形叫做相似形．相似形仅是形状相同，大小不一定相同．相似图形之间的互相变换称为相似变换． 2．相似图形的特性 两个相似图形的对应边成比例，对应角相等． 3．相似比 两个相似图形的对应角相等，对应边成比例． 二、相似三角形的概念 1．相似三角形的定义 对应角相等，对应边成比例的三角形叫做相似三角形． 如图，ABC △与A B C '''△相似，记作ABC A B C '''△∽△，符号∽读作“相似于”． A ' B ' C ' C B A 2．相似比 相似三角形对应边的比叫做相似比．全等三角形的相似比是1．“全等三角形”一定是“相似形”，“相似形”不一定是“全等形”． 三、相似三角形的性质 1．相似三角形的对应角相等 如图，ABC △与A B C '''△相似，则有A A B B C C '''∠=∠∠=∠∠=∠， ，． A ' B ' C ' C B A 2．相似三角形的对应边成比例 如图，ABC △与A B C '''△相似，则有 AB BC AC k A B B C A C ==='''''' （k 为相似比） ． 相似三角形的性质及判定

A ' B ' C ' C B A 3．相似三角形的对应边上的中线，高线和对应角的平分线成比例，都等于相似比． 如图1，ABC △与A B C '''△相似，AM 是ABC △中BC 边上的中线，A M ''是A B C '''△中B C ''边上的 中线，则有AB BC AC AM k A B B C A C A M ==== '''''''' （k 为相似比）． M ' M A ' B ' C 'C B A 图1 如图2，ABC △与A B C '''△相似，AH 是ABC △中BC 边上的高线，A H ''是A B C '''△中B C ''边上的高线，则有AB BC AC AH k A B B C A C A H ==== '''''''' （k 为相似比）． H 'H A B C C 'B 'A ' 图2 如图3，ABC △与A B C '''△相似，AD 是ABC △中BAC ∠的角平分线，A D ''是A B C '''△中B A C '''∠的 角平分线，则有AB BC AC AD k A B B C A C A D ==== '''''''' （k 为相似比）． D ' D A ' B C 'C B A 图3 4．相似三角形周长的比等于相似比． 如图4，ABC △与A B C '''△相似，则有 AB BC AC k A B B C A C ==='''''' （k 为相似比） ．应用比例的等比性质有AB BC AC AB BC AC k A B B C A C A B B C A C ++===='''''''''''' ++．

相似三角形的判定和性质

相似三角形的判定与性质 一、知识回顾 1、相似三角形的判定： （1）如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。 （2）平行于三角形一边的直线与其它两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。 （3）如果两个三角形的两组对应边的比相等，且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似（4）如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似。 2、相似三角形的性质 （1）对应边的比相等，对应角相等。 （2）相似三角形的周长比等于相似比。 （3）相似三角形的面积比等于相似比的平方。 （4）相似三角形的对应边上的高、中线、角平分线的比等于相似比。 二、典型例题 例1：如图，已知直线AB：y=4/3 x+b交x轴于点A（-3，0），交y轴于点B，过点B作 BC⊥AB交x轴于点C． （1）试证明：△ABC∽△AOB； （2）求△ABC的周长． 例2：如图，一次函数y=kx+b的图象经过点A（-1，0）和点（1，4）交y轴于点B． （1）求一次函数解析式和B点坐标． （2）过B点的另一直线1与直线AB垂直，且交X轴正半轴于点P，求点P的坐标． （3）点M（0，a）为y轴正半轴上的动点，点N（b，O）为X轴正半轴上的动点，当直线MN⊥直线AB时，求a：b的值．

例3：（2000·陕西）如图，在矩形ABCD 中，EF 是BD 的垂直平分线，已知BD=20，EF=15，求矩形ABCD 的周长． 例4：（2010·攀枝花）如图所示，在△ABC 中，BC ＞AC ，点D 在BC 上，且DC=AC ，∠ACB 的平分线CF 交AD 于点F ．点E 是AB 的中点，连接EF ． （1）求证：EF∥BC； （2）若△ABD 的面积是6，求四边形BDFE 的面积． 例题 (1)两个相似三角形的面积比为21:s s ，与它们对应高之比21:h h 之间的关系为_______ (2)如图，已知DE ∥BC ，CD 和BE 相交于O ，若16:9:=??COB ABC S S ，则AD:DB=_________ B C D E A O (2)题图 (4)题图 B G F E D A C (5)题图 C A ’ D D ’ C ’ B ’ B A

相似三角形的性质

相似三角形的性质 相似三角形是指两个三角形的对应角度相等，并且对应 边的比例相等的三角形。在几何学中，相似三角形具有一些重要的性质和特点，本文将对相似三角形的性质进行详细解析。在讨论相似三角形的性质之前，首先需要明确相似三角形的定义和判定条件。 一、相似三角形的定义 相似三角形的定义是指两个三角形的对应角度相等，并且对应边的比例相等。对于两个三角形ABC和DEF来说，若满足以下条件，则称两个三角形相似： 1. ∠A = ∠D，∠B = ∠E，∠C = ∠F； 2. |\frac{AB}{DE}| = |\frac{BC}{EF}| = |\frac{AC}{DF}|。 二、相似三角形的判定条件 判定两个三角形是否相似有以下几种方法： 1. AA相似判定法：如果两个三角形的两个角分别相等，则两 个三角形相似。即若∠A = ∠D，∠B = ∠E 或∠A = ∠E， ∠B = ∠D，或者∠B = ∠D，∠C = ∠E 或∠B = ∠E，∠C = ∠D，则两个三角形相似。 2. AAA相似判定法：如果两个三角形的三个角分别相等，则 两个三角形相似。即若∠A = ∠D，∠B = ∠E，∠C = ∠F， 则两个三角形相似。 3. 相似比例判定法：如果两个三角形的对应边的比例相等， 则两个三角形相似。即|\frac{AB}{DE}| = |\frac{BC}{EF}| = |\frac{AC}{DF}|。

三、相似三角形性质 1. 对应角度相等：相似三角形的对应角度相等，即∠A = ∠D，∠B = ∠E，∠C = ∠F。这是相似三角形的基本性质，也是相似三角形的判定条件之一。 2. 对应边比例相等：相似三角形的对应边的比例相等，即 |\frac{AB}{DE}| = |\frac{BC}{EF}| = |\frac{AC}{DF}|。 这是相似三角形的另一个基本性质，也是相似三角形的判定条件之一。 3. 边对边既比例又平行：相似三角形的对应边不仅比例相等，还平行。即AB ∥ DE，BC ∥ EF，AC ∥ DF。这是相似三角 形的重要性质之一，也是相似三角形的判定条件之一。 4. 高度对边的比例相等：相似三角形的高度与对应边的比例 相等。若有ABC ∼ DEF，且AD和DF分别为它们的高度，则 有|\frac{AD}{DF}| = |\frac{BC}{EF}|。这个性质对于计算 相似三角形的边长很有用。 5. 面积比例等于边长比例的平方：相似三角形的面积之间的 比例等于边长之间比例的平方。如果有ABC ∼ DEF，且S1和 S2分别为它们的面积，则有|\frac{S1}{S2}| = (\frac{AB}{DE})^2 = (\frac{BC}{EF})^2 = (\frac{AC}{DF})^2。这个性质对于计算相似三角形的面积很 有用。 6. 相似三角形的比例定理：在相似三角形ABC和DEF中，有 以下比例成立： a. AB/DE = BC/EF = CA/FD：即三角形ABC的三条边与三 角形DEF的对应边之间的比例相等。 b. AB/AC = DE/DF，BC/AC = EF/DF：即三角形ABC的两条边与三角形DEF的对应边之间的比例相等。

相似三角形的性质和计算方法

相似三角形的性质和计算方法相似三角形是指具有相同形状但大小不同的两个三角形。在几何学中，相似性质是研究三角形和其他多边形的重要概念之一。本文将介绍相似三角形的性质以及计算方法。 一、相似三角形的性质 1. 对应角相等：若两个三角形的三个角对应相等，则它们是相似三角形。 2. 对应边成比例：若两个三角形的对应边的长度成比例，则它们是相似三角形。 基于这两个性质，我们可以得出以下结论： 1. AAA相似定理：若两个三角形的三个角分别相等，则它们是相似三角形。 2. AA相似定理：若两个三角形的两个角分别相等（不一定是对应角），则它们是相似三角形。 3. SSS相似定理：若两个三角形的三个边分别成比例，则它们是相似三角形。 二、相似三角形的计算方法 1. 比例计算法：已知两个相似三角形的一组对应边的长度，可以通过比例计算方法求出未知边的长度。

假设∆ABC和∆XYZ是相似三角形，已知∆ABC中AB和BC两边的长度，以及∆XYZ中XY的长度，求出YZ的长度。我们可以利用比例 计算法如下： AB/XY = BC/YZ （根据对应边成比例的性质） 则 YZ = (BC * XY) / AB 2. 定角计算法：已知两个相似三角形的一组对应角的度数，可以通 过定角计算方法求出未知角的度数。 假设∆ABC和∆XYZ是相似三角形，已知∆ABC中∠B和∠C的度数，以及∆XYZ中∠X的度数，求出∠Y的度数。我们可以利用定角计算法 如下： ∠B/∠X = ∠C/∠Y （根据对应角相等的性质） 则∠Y = (∠C * ∠X) / ∠B 三、相似三角形的应用 相似三角形的性质和计算方法在实际问题中有广泛应用，例如地图 比例尺的计算、日晷的设计等。 以地图比例尺为例，当我们需要根据实际距离绘制地图时，可以利 用相似三角形的比例计算方法。假设实际距离为d1，地图上对应的距 离为d2，已知实际距离和地图上的距离之比为1:K，可以建立以下相 似三角形的比例方程： d1/d2 = 1/K

相似三角形的性质(经典全面)

相似三角形的性质(经典全面) 相似三角形的性质及判定 一、相似的有关概念 相似形是指具有相同形状的图形，但大小不一定相同。相似图形之间的互相变换称为相似变换。 二、相似三角形的概念 相似三角形是指对应角相等，对应边成比例的三角形。用符号XXX表示，例如△ABC∽△A B C。 三、相似三角形的性质 1.对应角相等：如果△ABC与△A B C相似，则有 A A， B B， C C。

2.对应边成比例：如果△ABC与△A B C相似，则有AB/BC=AC/A C=BC/B C=k（k为相似比）。 3.对应边上的中线、高线和对应角的平分线成比例，都等于相似比。 例如，如果AM是△ABC中BC边上的中线，A M是△A B C中B C边上的中线，则有AM/A M=k。 如果AH是△ABC中BC边上的高线，A H是 △A B C中B C边上的高线，则有AH/A H=k。 如果AD是△ABC中BAC的角平分线，A D是 △A B C中B A C的角平分线，则有 AD/A D=k。 4.相似三角形周长的比等于相似比。如果△ABC与 △A B C相似，则有AB+BC+AC/ A B+ B C+A C=k。 ABCD

中间观察，比例式中的比AD和BC中的三个字母A，B，C恰为△ABC的顶点；比CD和EF中的三个 EFDC 字母D，E，F恰为△DEF的三个顶点．因此只需证欲证 △ABC∽△DEF． 证明比例中项式或倒数式或复合式的方法，可以运用“三 点定形法”，也可以利用“分离比例中项法”或“ 分离倒数式法”或“分离复合式法”． 由于在运用三点定形法时，可能会遇到三点共线或四点中没有相同点的情况，此时可以考虑使用等线、等比或等积进行变换，然后再使用三点定形法来寻找相似三角形。这种方法被称为等量代换法。在证明比例式时，常常会用到中间比。 证明比例中项式通常涉及与公共边有关的相似问题。这类问题的典型模型是射影定理模型，需要熟练掌握和透彻理解其特征和结论。 证明倒数式往往需要先进行变形，将等式的一边化为1， 另一边化为几个比值的形式，然后对比值进行等量代换，进而证明之。

三角形的相似性质

三角形的相似性质 三角形是几何学中最基本的形状之一，具有许多有趣而重要的性质。其中之一就是三角形的相似性质，它在解决几何问题中起着重要的作用。本文将介绍三角形相似性质的定义、判定方法以及一些常见的应用。 一、相似三角形的定义 相似是几何学中的一个重要概念，两个形状如果形状相似、但大小 不同，我们就称它们为相似形状。对于三角形来说，相似的定义是： 如果两个三角形的对应角度相等，而对应边的比例相等，则这两个三 角形是相似的。简记为∆ABC ∼ ∆XYZ，其中∆表示三角形，ABC和XYZ分别是两个相似三角形的顶点。 二、相似三角形的判定方法 有几种方法可以判定两个三角形是否相似，常用的方法包括以下几种。 1. AA判定法（角-角判定法） 当两个三角形的两个角分别相等时，这两个三角形是相似的。也就 是说，如果∆ABC的角A等于∆XYZ的角X，且∆ABC的角B等于 ∆XYZ的角Y，那么∆ABC ∼ ∆XYZ。 2. SAS判定法（边-角-边判定法）

当两个三角形的两个边的比例相等，且夹角(顶点角)相等时，这两 个三角形是相似的。也就是说，如果∆ABC的边AB与∆XYZ的边XY 的比例等于边BC与边YZ的比例，且∆ABC的角A等于∆XYZ的角X，那么∆ABC ∼ ∆XYZ。 3. SSS判定法（边-边-边判定法） 当两个三角形的三个边的比例相等时，这两个三角形是相似的。也 就是说，如果∆ABC的边AB与∆XYZ的边XY的比例等于边BC与边YZ的比例，且边AC与边XZ的比例相等，那么∆ABC ∼ ∆XYZ。 通过以上判定方法，我们可以分辨两个三角形是否相似。相似三角 形具有相似的形状，但它们的大小可以不同。 三、相似三角形的应用 相似三角形的性质在几何学的应用中起着重要的作用。下面列举了 一些常见的相似三角形的应用。 1. 测量高度 在实际测量中，我们常常利用相似三角形的性质测量无法直接测量 的高度。以测量高楼的高度为例，通过观察地面上的两个点和建筑物 的角度，我们可以构建一个相似三角形。然后，根据相似三角形的边 长比例关系，计算出建筑物的实际高度。 2. 计算距离

三角形的相似性质

三角形的相似性质 相似三角形是数学中一个重要的概念，描述了具有相似形状但大小不一的三角形之间的关系。相似性质广泛应用于几何学、物理学等领域，在实际问题的解决中起着重要的作用。本文将介绍三角形的相似性质的定义、判定定理以及相关的性质和应用。 一、相似三角形的定义 相似三角形指的是形状相似但大小不一的三角形。两个三角形相似的条件是：对应角相等且对应边成比例。即如果两个三角形的三个角分别相等，且对应边的比值相等，则这两个三角形相似。 二、相似三角形的判定定理 判定两个三角形是否相似的定理有以下几种： 1. AA相似定理（角-角相似定理）：如果两个三角形的两个角分别相等，则这两个三角形相似。 2. SAS相似定理（边-角-边相似定理）：如果两个三角形的一个角相等，并且两个角的两边分别成比例，则这两个三角形相似。 3. SSS相似定理（边-边-边相似定理）：如果两个三角形的三边分别成比例，则这两个三角形相似。 三、相似三角形的性质 相似三角形具有以下性质：

1. 角对应性质：相似三角形的对应角相等。 2. 边对应性质：相似三角形的对应边成比例。 3. 高度对应性质：相似三角形的对应高度成比例。 4. 中位线对应性质：相似三角形的对应中位线成比例。 5. 角平分线的对应性质：相似三角形的对应角平分线成比例。 四、相似三角形的应用 相似三角形在实际问题的求解中有着广泛的应用，以下是一些例子： 1. 测量高处的高度：通过测量一个人站立位置的高度和距离，可以 利用相似三角形的性质计算出高处物体的高度。 2. 图像的放缩：图像的放大和缩小可以用相似三角形的性质来说明。放大或缩小时，对应点之间的距离成比例。 3. 计算无法直接测量的距离：利用相似三角形的性质，可以通过测 量已知距离的两个点的影子长度，计算出无法直接测量的点的距离。 4. 相似图形的图像构造：通过相似三角形的性质，可以根据已知图 形的相似关系构造新的相似图形。 五、总结 相似三角形是数学中重要的概念之一，通过对三角形的角和边的比 值关系进行研究，可以得出相似三角形之间的性质和判定定理。相似 三角形的应用广泛，有助于解决实际问题及深入理解几何学的相关知

相似三角形的求法

相似三角形的求法 相似三角形是指两个三角形的对应角相等，并且对应边的比值相等。在几何学中，求解相似三角形的方法有很多种，下面将介绍其中的几种常用方法。 方法一：边长比值法 对于两个相似三角形，可以通过比较它们的对应边的长度来确定它们的相似关系。假设有两个相似三角形ABC和DEF，已知它们的对应边的长度分别为AB、DE、BC、EF和AC、DF。根据相似三角形的定义，我们可以得到以下比例关系： AB/DE = BC/EF = AC/DF 通过已知条件和比例关系，我们可以利用代数方法求解未知边的长度。 方法二：角度比值法 除了比较边长之外，我们还可以通过比较两个三角形的对应角的大小来确定它们的相似关系。假设有两个相似三角形ABC和DEF，已知它们的对应角分别为∠A、∠D、∠B、∠E和∠C、∠F。根据相似三角形的定义，我们可以得到以下比例关系： ∠A/∠D = ∠B/∠E = ∠C/∠F 通过已知条件和比例关系，我们可以利用代数方法求解未知角的大小。

方法三：高度比值法 在某些情况下，我们可以利用两个相似三角形的高度比值来求解未知边的长度。假设有两个相似三角形ABC和DEF，已知它们的对应高分别为h1和h2。根据相似三角形的定义，我们可以得到以下比例关系： h1/h2 = AB/DE = BC/EF = AC/DF 通过已知条件和比例关系，我们可以利用代数方法求解未知边的长度。 方法四：三角函数法 在某些情况下，我们可以利用三角函数来求解相似三角形的边长。假设有两个相似三角形ABC和DEF，已知它们的对应角分别为∠A、∠D、∠B、∠E和∠C、∠F。根据三角函数的定义，我们可以得到以下比例关系： sin∠A/sin∠D = sin∠B/sin∠E = sin∠C/sin∠F 通过已知条件和比例关系，我们可以利用三角函数的性质求解未知边的长度。 以上是几种常用的求解相似三角形的方法，它们都可以通过已知条件和比例关系来求解未知边的长度或角的大小。在实际应用中，根据具体问题的不同，选择合适的方法来求解相似三角形是非常重要的。通过灵活运用这些方法，我们可以更好地理解和应用相似三角形的性质，解决实际问题。

相似三角形的性质

相似三角形的性质 相似三角形是指对应角相等且对应边成比例的两个三角形。在几何 学中，相似三角形有一些重要的性质。本文将详细介绍相似三角形的 性质，包括比例关系、角度关系以及面积关系。 一、比例关系 1. 边比例关系：设两个相似三角形分别为△ABC和△DEF，若它们 的对应边AB、BC、AC和DE、EF、DF满足比例关系： AB/DE = BC/EF = AC/DF = k （k为常数） 则称两个三角形的边为成比例边，比例因子为k。这表明两个相 似三角形的对应边长度之比是相等的。 2. 角度比例关系：两个相似三角形的对应角度相等。设∠A = ∠D，∠B = ∠E，∠C = ∠F，则称△ABC与△DEF为相似三角形。 根据角度对应的边比例关系，我们可以得到以下重要的比例关系： AB/DE = BC/EF = AC/DF = k (边比例关系) ∠A/∠D = ∠B/∠E = ∠C/∠F (角度比例关系) 二、角度关系 1. 对应角相等：已知两个相似三角形△ABC和△DEF，它们的对应 角分别为∠A、∠B、∠C和∠D、∠E、∠F。根据相似三角形的定义，我们可以得到

∠A = ∠D ∠B = ∠E ∠C = ∠F 这意味着两个相似三角形的对应角是相等的。 2. 内角之和：两个相似三角形的内角之和相等。设∠A + ∠B + ∠C = ∠D + ∠E + ∠F = 180°，这意味着两个相似三角形的内角之和相等，都等于180°。 三、面积关系 1. 面积比例关系：设两个相似三角形的比例因子为k，那么它们的 面积之比等于边长之比的平方，即 面积(△ABC)/面积(△DEF) = (AB/DE)^2 = (BC/EF)^2 = (AC/DF)^2 = k^2 这意味着两个相似三角形的面积之比等于边长之比的平方。 2. 高比例关系：两个相似三角形的相应高之比等于边长之比，即 高(△ABC)/高(△DEF) = AB/DE = BC/EF = AC/DF 这表明两个相似三角形的相应高之比等于边长之比。 综上所述，相似三角形具有边比例关系、角度比例关系以及面积关系。这些性质在解决几何问题时有重要的应用价值，可以简化计算步骤，提高解题效率。在实际生活中，相似三角形的性质也有许多应用，

相似三角形的判定+性质+经典例题分析

相似形（一） 一、比例性质 1.基本性质: bc ad d c b a =⇔=（两外项的积等于两内项积） 2.反比性质： c d a b d c b a =⇔= (把比的前项、后项交换) 3.合比性质： d d c b b a d c b a ±=±⇒=（分子加（减）分母,分母不变） ． 4.等比性质：（分子分母分别相加，比值不变.） 如果 )0(≠++++====n f d b n m f e d c b a ，那么 b a n f d b m e c a =++++++++ ． 谈重点：(1)此性质的证明运用了“设k 法” ，这种方法是有关比例计算，变形中一种常用方法． (2)应用等比性质时，要考虑到分母是否为零． (3)可利用分式性质将连等式的每一个比的前项与后项同时乘以一个数，再利用等比性质也成立． 5.黄金分割： ○1内容 ○2尺规作图作一条线段的黄金分割点 经典例题回顾： 例题1．已知a 、b 、c 是非零实数，且 k c b a d d a b c d c a b d c b a =++=++=++=++，求k 的值.

例题2．已知 111 x y x y +=+，求y x x y +的值。 概念： 谈重点： ⑴相似图形强调图形形状相同，与它们的位置、颜色、大小无关． ⑵相似图形不仅仅指平面图形，也包括立体图形相似的情况． ⑶我们可以这样理解相似形：两个图形相似，其中一个图形可以看作是由另一个图形放大或缩小得到的． ⑷若两个图形形状与大小都相同，这时是相似图形的一种特例——全等形． ①定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例，如图：l 1∥l 2∥l 3。 则，，，…AB BC DE EF AB AC DE DF BC AC EF DF === ②推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例。 ③定理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。

相似三角形的性质与判定讲义

相似三角形的性质与判定讲义 【知识点拨】 一、相似三角形性质 (1)相似三角形对应角相等，对应边成比例. ⑵ 相似三角形对应高的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比. (3)相似三角形周长的比等于相似比. ⑷ 相似三角形面积的比等于相似比的平方. (5)相似三角形性质可用来证明线段成比例、角相等，也可用来计算周长、边长等 二、相似三角形的等价关系 (1)反身性：对于任一ABC有ABC s ABC . (3)传递性：若ABC s A'B'C，且A'B'C s ABC，则ABC s ABC ⑵ 对称性：若ABC s A'B'C'，贝V A'B'C's ABC . 三、三角形相似的判定方法 1、定义法：对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似. 2、平行法：平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似. 3、判定定理1:如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似•简述为：两角对应相等，两三角形相似. 4、判定定理2:如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似•简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似. 5、判定定理3:如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似•简述为：三边对应成比例，两三角形相似. 6、判定直角三角形相似的方法: (1)以上各种判定均适用. (2)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，

那么这两个直角三角形相似. (3)直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似. 直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。 公式Rt △KBC中，/ BAC=90°,AD是斜边BC上的高，则有射影定理如下： 2 2 2 (1)( AD) =BDDC, ( 2)( AB) =BD BC ,( 3)( AC) =CDBC。 【例题精讲】： 1、如图DE//BC, AB=5 , AC=10 , DB=AE，求AE 的长。 2、已知，如图，在ABC中，G为重心，GE//AB，求匹的值 CD A 3、如图，已知四边形ABCD是平行四边形，FC 54cm, CE 27cm，

相似三角形的性质(经典全面)

一、相似的有关概念 1．相似形 具有相同形状的图形叫做相似形．相似形仅是形状相同,大小不一定相同.相似图形之间的互相变换称为相似变换． ２．相似图形的特性 两个相似图形的对应边成比例，对应角相等. ３．相似比 两个相似图形的对应角相等,对应边成比例. 二、相似三角形的概念 1.相似三角形的定义 对应角相等，对应边成比例的三角形叫做相似三角形. 如图,ABC △与A B C '''△相似，记作ABC A B C '''△∽△,符号∽读作“相似于”. A ' B ' C ' C B A 2．相似比 相似三角形对应边的比叫做相似比．全等三角形的相似比是１.“全等三角形”一定是“相似形”，“相似形”不一定是“全等形”． 三、相似三角形的性质 1.相似三角形的对应角相等 如图,ABC △与A B C '''△相似,则有A A B B C C '''∠=∠∠=∠∠=∠，，． A ' B ' C ' C B A 2．相似三角形的对应边成比例 如图，ABC △与A B C '''△相似,则有 AB BC AC k A B B C A C ==='''''' (k 为相似比） ． 相似三角形的性质及判定

A ' B ' C ' C B A ３．相似三角形的对应边上的中线，高线和对应角的平分线成比例,都等于相似比． 如图1,ABC △与A B C '''△相似，AM 是ABC △中BC 边上的中线,A M ''是A B C '''△中B C ''边上的中 线,则有AB BC AC AM k A B B C A C A M ==== '''''''' (k 为相似比）. M ' M A ' B ' C 'C B A 图1 如图２,ABC △与A B C '''△相似，AH 是ABC △中BC 边上的高线,A H ''是A B C '''△中B C ''边上的高线，则有AB BC AC AH k A B B C A C A H ==== '''''''' （k 为相似比)． H 'H A B C C 'B 'A ' 图2 如图３,ABC △与A B C '''△相似,AD 是ABC △中BAC ∠的角平分线，A D ''是A B C '''△中B A C '''∠的角 平分线，则有AB BC AC AD k A B B C A C A D ==== ''''''''(k 为相似比)． D ' D A ' B C 'C B A 图３ 4．相似三角形周长的比等于相似比． 如图4，ABC △与A B C '''△相似，则有 AB BC AC k A B B C A C ==='''''' (k 为相似比） ．应用比例的等比性质有AB BC AC AB BC AC k A B B C A C A B B C A C ++===='''''''''''' ++.

三角形的相似性与边长的计算

三角形的相似性与边长的计算在几何学中，三角形是研究最为广泛的形状之一。而在研究三角形 的过程中，相似性是一个重要的概念，它不仅能够帮助我们理解三角 形之间的关系，还能够用于计算三角形边长。本文将详细介绍三角形 的相似性和相关的边长计算方法。 一、三角形的相似性 相似性是指两个或多个物体在形状上相似的性质。对于三角形而言，当两个三角形的对应角度相等时，我们可以说它们是相似的。根据三 角形相似性的基本定理，如果两个三角形的对应角度相等，那么它们 的对应边长之比也相等。 具体而言，假设有两个三角形ABC和DEF，它们的对应角度分别 是∠A、∠B、∠C和∠D、∠E、∠F。根据相似性定理，如果 ∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F，那么存在一个常数k，使得AB/DE = BC/EF = AC/DF = k 这个常数k被称为相似比例因子，它表示了两个相似三角形的边长 之比。 二、相似三角形边长的计算方法 了解了相似性的概念后，我们可以利用相似三角形的边长之比来计 算未知边长。 1. 已知两个相似三角形的对应边长之比

当已知两个三角形的对应边长之比时，可以通过建立比例关系来计 算未知边长。假设有两个相似三角形ABC和DEF，已知AB/DE = BC/EF = AC/DF = k。如果已知AB的长度为a，那么可以通过以下比 例关系计算出DE的长度： DE = a/k 同样地，我们也可以计算出EF的长度为a/k，DF的长度为a*k。 2. 利用三角形的性质计算未知边长 除了已知对应边长之比的情况外，我们还可以利用三角形的某些性 质来计算未知边长。例如，已知两个三角形ABC和DEF为相似三角形，而且已知∠A=∠D，∠B=∠E。此时，我们可以利用正弦定理、余弦定理等公式来计算出未知边长。 正弦定理的公式为： a/sin(∠A) = b/sin(∠B) = c/sin(∠C) 在相似三角形中，对应的角度相等，所以可以利用这个定理来计算 相似三角形的边长。 三、应用实例 现在，我们通过一个具体的实例来应用上述的方法。 假设有一个已知三角形ABC，其中∠A=30°，∠B=60°。现在需要 计算边AC的长度。

相似三角形的性质和计算方法

相似三角形的性质和计算方法相似三角形是初中数学中重要的概念之一，它在几何图形的相似性质和计算中起着重要的作用。本文将介绍相似三角形的性质和计算方法，以帮助读者更好地理解和应用该知识。 一、相似三角形的定义与性质 相似三角形的定义如下：若两个三角形的对应角相等，则它们是相似三角形。相似三角形具有以下性质： 1. 边长比例关系：相似三角形的对应边的长度比相等。例如，若两个三角形ABC和DEF相似，即∠A = ∠D，∠B = ∠E，∠C = ∠F， 则边长比例关系为AB/DE = BC/EF = AC/DF。 2. 高度比例关系：相似三角形的对应高度的长度比相等。三角形的高度可以理解为从顶点到对边的垂直距离。如果三角形ABC和DEF相似，则对应高度的长度比相等，即h1/h2 = h2/h2 = h3/h3。 3. 面积比例关系：相似三角形的面积比等于边长比的平方。假设三角形ABC和DEF相似，则它们的面积比为S(ABC)/S(DEF) = (AB/DE)²= (BC/EF)² = (AC/DF)²。 二、相似三角形的计算方法 1. 已知两个相似三角形的边长比，可以计算出它们的面积比。根据面积比例关系，已知边长比为m:n，则面积比为(m/n)²。例如，若两个相似三角形的边长比为3:4，则它们的面积比为(3/4)² = 9/16。

2. 通过已知的相似三角形的面积和一个相应角的度数，可以计算其 他未知边长的长度。首先，计算已知三角形的一个边长与对应边上的 高度，然后通过面积求得未知边对应的高度，进而计算未知边的长度。 3. 利用三角形的边长比例关系，可以解决一些实际问题。例如，已 知一根柱子和每天斜射进来的太阳光线的角度，可以通过相似三角形 的边长比例关系计算出柱子的高度。 三、相似三角形的应用举例 1. 测量高建筑物：当无法直接测量高建筑物时，可以通过测量阴影 的长度和角度，利用相似三角形的原理计算出建筑物的高度。 2. 制作地图：地图绘制中需要保持物体比例，利用相似三角形的边 长比例关系可以实现地图的缩放。 3. 解决日常问题：比如通过测量身高和影子长度的比例，可以推算 出高楼上的建筑物的高度，或者用相似三角形的知识解决角度测量问 题等。 相似三角形作为数学中的重要概念，不仅有着广泛的应用，而且在 进一步学习几何和三角函数等数学知识时也扮演着重要的角色。通过 理解相似三角形的性质和计算方法，我们能够更好地处理相关问题， 培养几何思维和解决实际问题的能力。 总结起来，本文介绍了相似三角形的性质和计算方法，并举例说明 了它在实际问题中的应用。相信读者对相似三角形有了更深入的理解，

相似三角形的计算方法总结

相似三角形的计算方法总结相似三角形是指具有相同形状但不一定相等的三角形。在现实生活和数学中，相似三角形在几何学、物理学、地理学等领域中有着广泛的应用。正确计算相似三角形的关键是了解和应用相似三角形的计算方法。本文将总结相似三角形的计算方法，帮助读者更好地理解和应用相似三角形。 一、相似三角形的定义和性质 相似三角形的定义：如果两个三角形的对应角相等，并且对应边成比例，则这两个三角形是相似的。 相似三角形的性质： 1. 相似三角形的对应角相等； 2. 相似三角形的对应边成比例； 3. 相似三角形的对应边比例相等。 二、相似三角形的计算方法 1. 根据相似三角形的性质，我们可以得到两个重要的计算公式： a. 边比例公式：设相似三角形ABC和DEF的对应边分别为a, b, c 和d, e, f，则有a/d = b/e = c/f。

b. 面积比例公式：设相似三角形ABC和DEF的对应边分别为a, b, c和d, e, f，对应高分别为h1和h2，则有面积比例为S1/S2 = (a/d)^2 = (b/e)^2 = (c/f)^2 = (h1/h2)^2。 2. 根据给定的条件和已知的边长比例，我们可以通过相似三角形的 计算方法求解未知边长。这包括以下几种方法： a. 已知两个相似三角形的边长比例和其中一个三角形的某个边长，求解另一个三角形的对应边长。根据边比例公式，我们可以得到未知 边长的计算公式。 b. 已知两个相似三角形的边长比例和其中一个三角形的面积，求 解另一个三角形的面积。根据面积比例公式，我们可以通过已知面积 和边长比例计算未知三角形的面积。 3. 在应用相似三角形计算方法时，我们需要注意以下几点： a. 保持单位一致性：在计算中，要确保所使用的单位一致，避免 混淆和计算错误。 b. 使用已知条件：根据问题的已知条件，选择合适的相似三角形 计算方法。 c. 检查结果：计算完成后，要检查结果是否符合实际情况，是否 满足相似三角形的性质。 三、相似三角形的应用举例

相似三角形的性质与计算

相似三角形的性质与计算 相似三角形是指具有相同形状但可能不同的大小的两个或多个三角形。在数学中，相似三角形是一个重要的概念，它涉及到三角形的性质和计算。本文将介绍相似三角形的性质以及计算方法。 一、相似三角形的性质 相似三角形有几个重要的性质，下面我们逐一介绍。 1. 对应角相等性质 如果两个三角形的对应角相等，那么它们是相似三角形。对应角指的是两个三角形中相对应的角。例如，如果三角形ABC和三角形DEF 的角A等于角D，角B等于角E，角C等于角F，那么这两个三角形是相似的。 2. 边长成比例性质 如果两个三角形的对应边长成比例，那么它们是相似三角形。边长成比例指的是两个三角形中相对应的边长之间的比值相等。例如，如果三角形ABC和三角形DEF满足AB/DE = BC/EF = AC/DF，那么这两个三角形是相似的。 3. 比例性质 如果两个三角形的一个角等于另一个三角形的一个角，而且两个三角形的对边成比例，那么它们是相似三角形。这被称为三角形的第一个比例性质。

4. 正弦定理和余弦定理 正弦定理和余弦定理也适用于相似三角形。正弦定理表达式为 a/sinA = b/sinB = c/sinC，其中a、b、c为三角形的边长，A、B、C为三角形的对应角。余弦定理表达式为c² = a² + b² - 2ab*cosC。 二、相似三角形的计算 在计算相似三角形时，我们常常需要求解未知的边长或角度。下面介绍几个常用的计算方法。 1. 边长比例计算 如果我们知道两个相似三角形的某两边的长度比，我们可以通过边长比例计算出其他边的长度。例如，如果相似三角形ABC和相似三角形DEF满足AB/DE = BC/EF = AC/DF = k，我们可以通过已知的边长来求解未知边长。假设我们已知AB的长度为a，则DE的长度为a/k，BC的长度为ka，EF的长度为ka/k=a，AC的长度为√3a等等。 2. 角度比例计算 如果我们知道两个相似三角形的某一个角度比，我们可以通过角度比例计算出其他角度的度数。例如，如果相似三角形ABC和相似三角形DEF满足角A的度数为x°，角D的度数为y°，那么角B的度数为(x°+y°)，角E的度数为(180°-x°-y°)，角C的度数为z°，角F的度数为(180°-x°-y°)。 3. 海伦公式求面积

相似三角形的判定+性质+经典例题分析

相似形（一） 一、比例性质 1.基本性质: bc ad d c b a =⇔=（两外项的积等于两内项积） 2.反比性质： c d a b d c b a =⇔= (把比的前项、后项交换) 3.合比性质： d d c b b a d c b a ±= ±⇒=（分子加（减）分母,分母不变） ． 4.等比性质：（分子分母分别相加，比值不变.） 如果 )0(≠++++====n f d b n m f e d c b a ΛΛ，那么 b a n f d b m e c a =++++++++ΛΛ． 谈重点：(1)此性质的证明运用了“设k 法” ，这种方法是有关比例计算，变形中一种常用方法． (2)应用等比性质时，要考虑到分母是否为零． (3)可利用分式性质将连等式的每一个比的前项与后项同时乘以一个数，再利用等比性质也成立． 5.黄金分割： ○1内容 ○2尺规作图作一条线段的黄金分割点 经典例题回顾： 例题1．已知a 、b 、c 是非零实数，且 k c b a d d a b c d c a b d c b a =++=++=++=++，求k 的值. 例题2．已知 111 x y x y +=+，求y x x y +的值。

概念： 谈重点： ⑴相似图形强调图形形状相同，与它们的位置、颜色、大小无关． ⑵相似图形不仅仅指平面图形，也包括立体图形相似的情况． ⑶我们可以这样理解相似形：两个图形相似，其中一个图形可以看作是由另一个图形放大或缩小得到的． ⑷若两个图形形状与大小都相同，这时是相似图形的一种特例——全等形． ①定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例，如图：l 1∥l 2∥l 3。 则，，，…AB BC DE EF AB AC DE DF BC AC EF DF === ②推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例。 ③定理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。 ○4推论：如果一条直线平行于三角形的一条边，截其它两边(或其延长线)，那么所截得的三角形与原三角形相似．推论○ 4的基本图形有三种情况，如图其符号语言：∵DE ∥BC ，∴△ABC ∽△ADE ； 判定定理1：两角对应相等，两三角形相似． 符号语言： 拓展延伸：（1）有一组锐角对应相等的两个直角三角形相似。