三角形的相似性质与判定

三角形的相似性质与判定

相似三角形是指具有相同形状但大小不同的三角形。在几何学中，

相似三角形具有一些特定的性质和判定方法。本文将介绍三角形的相

似性质及其判定方法，以帮助读者更好地理解和应用这一概念。

一、相似三角形的性质

相似三角形具有以下几个重要的性质：

1. 对应角相等性质：两个三角形如果对应角相等，则它们是相似的。具体来说，如果两个三角形中的对应角分别相等，那么这两个三角形

相似。

2. 对边比例性质：相似三角形的对应边之比是相等的。具体来说，

如果两个三角形中的对应边之比分别相等，那么这两个三角形相似。

这里的对应边可以是任意一对边，包括斜边。例如，在相似三角形

ABC和DEF中，边AB与边DE的比等于边BC与边EF的比，边AC

与边DF的比。

3. 反证法证明：当两个三角形的两组对应边之比分别相等时，可以

推导出它们的对应角相等，从而得出两个三角形相似的结论。

二、相似三角形的判定方法

判定两个三角形是否相似的方法主要有以下几种：

1. AA相似判定：如果两个三角形的两个对应角分别相等，则这两个三角形相似。这是相似三角形中最基本的判定方法之一。例如，如果∠A = ∠D，∠B = ∠E，则三角形ABC与三角形DEF相似。

2. SAS相似判定：如果两个三角形的一个对应角相等，而两个对应边之比相等，则这两个三角形相似。例如，如果∠A = ∠D，AB/DE = AC/DF，则三角形ABC与三角形DEF相似。

3. SSS相似判定：如果两个三角形的三组对应边的比都相等，则这两个三角形相似。例如，如果AB/DE = BC/EF = AC/DF，则三角形ABC与三角形DEF相似。

4. 直角三角形相似判定：两个直角三角形的两个锐角分别相等，则这两个直角三角形相似。这个判定方法利用了直角三角形中锐角的独特性质。

三、应用举例

下面举例说明相似三角形的应用：

例1：已知在△ABC中，∠A = 30°，∠B = 60°，∠C = 90°。若AD 是BC的中线，求AD的长度。

解：首先，根据直角三角形相似判定，可以知道△ABC与△ADB 相似。由于∠B = ∠D，因此这两个三角形相似。根据对边比例性质可得：

AB/AD = BC/BD

BC = AB × 2（中线的性质）

AB/AD = BC/BD = 2

由此可得AD = AB/2 = AB/2 = AB/2 × AB/AB = AB/2 × sin30° = AB/2 × 1/2 = AB/4

所以，AD的长度等于AB的1/4。

例2：已知△ABC与△DEF相似，AB = 10cm，BC = 15cm，AC = 20cm，且DE = 6cm，求EF的长度。

解：根据对边比例性质可得：

AB/DE = BC/EF = AC/DF

代入已知的值可得：

10/6 = 15/EF = 20/DF

由此可得EF = 15 × 6/10 = 9

所以，EF的长度为9cm。

总结：

相似三角形是几何学中重要的概念，具有一些特定的性质和判定方法。通过判定两个三角形的对应角相等或对应边之比相等，可以判断它们是否相似。相似三角形的性质和判定方法在解决几何问题中具有广泛的应用。掌握相似三角形的性质与判定，可以帮助我们更好地理解和解决相关的几何问题。

相似三角形判定与性质

相似三角形专讲 【知识要点】 1．对应角相等，对应边成比例的三角形叫做相似三角形。 2．相似三角形的判定： ①如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。 ②如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，且夹角相等，那么这两个三角形相似。 ③如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似。 3．相似三角形具有下述性质： ①相似三角形对应角相等、对应边成比例； ②相似三角形对应高、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比； ③相似三角形周长的比等于相似比； ④相似三角形面积的比等于相似比的平方。 4．熟悉如图中形如“A ”型，“X ”型，“子母型”等相似三角形。 5.射影定理 AC 2=AD ·BD BC 2=BD ·BA CD 2=AD ·BD 6.位似：如果两个图形不仅相似,而且对应顶点的连线相交于一点,像这样的两个图形叫做 位似图形, 这个点叫做位似中心, 这时的相似比又称为位似比. 【典型例题】 一、选择题（每小题4分，共40分） 1.如图1，在△ABC 中，AB=AC ，∠A=36o，BD 平分∠ABC，DE∥BC，那么在下列三角形中，与△EBD 相似 三角形是（ ）。 A ．△ABC B ．△DAB C ．△ADE D ．△BDC 2．如图2，AB ∥CD ∥EF ，则图中相似三角形的对数为（ ）。 A ．1对 B ．2对 C ．3对 D ．4对 3．如图3，已知在△ABC ，P 为AB 上一点，连结CP ，以下各条件中不能判定△ACP ∽△ABC 的是（ ）。 A ．∠ACP ＝∠ B B ．∠AP C ＝∠ACB C ． AC AP ＝AB AC D ． AC AB ＝CP BC

相似三角形的判定和性质

儒洋教育学科教师辅导讲义 一．知识梳理【相似三角形的判定】 要点1：相似三角形的判定定理（相似三角形与全等三角形判定方法的联系） 要点2：常见的相似三角形的解题思路： （1）、深刻理解并掌握“平行截比例”、“平行截相似”、“比例出平行”等平行与相似的关系； （2）、增强识图能力，能够从已知图形中找出全部相似三角形，从中列出所需比例式； （3）、确定“中间比”，“中间积”，方法是找到两组有联系的比例式或两对相似三角形； （4）、准确完成等积式与比例式的互化，并可以依据图形变化比例式； （5）、没有平行怎么办？运用相似三角形的判定定理，或添加平行线； （6）、一对相似三角形可写出一个连比例，应择需而用或同时运用； （7）、添辅助线要能够达到“一线两相似”，“一线两比例”并能与其它知识兼顾，这是辅助线特征“一举两得”在相似形中的体现； （8）、熟悉下图中形如“A”型，“X”型，“子母型”等相似三角形

例题讲解： 例1：基础训练 1. 如图,BD 、CE 是△ABC 的两条高，BD 、CE 相交于O ，则下列结论不正确的是（ ） （A ）△ADE∽△ABC （B ）△DOE∽△COB （C ）△BOE∽△C OD （D ）△BOE∽△BDE 2. 如图，O 是△ABC 的重心,29cm S ABC =?,则BCO S ?= . 3. 如图在矩形ABCD 中,AB=2,CB=1,E 是DC 上一点,∠DAE=∠BAC，则EC 的长为 . 图 相关练习： 1. D 、E 分别在△ABC 的边BA 、BC 上，BD=1.5，DA=0.5，BE?BC=3，∠A+∠B=?135 则∠BDE= 度. 2. 如图，Rt△ABC 中,∠ACB=?90，点E 是BC 的延长线的一点,EF⊥AB 于F,∠CGB=∠A.求证：CG?BE=EG?BG. 3．△ABC 是等边三角形,D 、B 、C 、E 在一条直线上,∠DAE=?120，已知BD=1，CE=3，,求等边三角形的边长.

相似的性质和判定

三角形相似的判定和性质1 一、知识梳理： 1、相似的判定： ①如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。（两角对应相等，两个三角形相似。） ②如果两个三角形的两组对应边成比例，并且对应的夹角相等，那么这两个三角形相似。（两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似。） ③如果两个三角形的三组对应边成比例，那么这两个三角形相似。（三边对应成比例，两个三角形相似。） ④如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。（斜边与直角边对应成比例，两个直角三角形相似。） ⑤两个三角形三边对应平行，则两个三角形相似。（三边对应平行，两个三角形相似。） ⑥如果两个三角形全等，那么这两个三角形相似（相似比为1：1）（全等三角形相似）。 2、相似的性质： ①相似三角形的对应角相等；相似三角形的对应边成比例。 ②相似三角形的周长比，对应高线的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比。 ③相似三角形的面积比等于相似比的平方，相似比等于面积比的算术平方根。 3、推论： 推论一：顶角或底角相等的两个等腰三角形相似。 推论二：腰和底对应成比例的两个等腰三角形相似。 推论三：有一个锐角相等的两个直角三角形相似。 推论四：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形都相似。 推论五：如果一个三角形的两边和三角形任意一边上的中线与另一个三角形的对应部分成比例，那么这两个三角形相似。 4、射影定理： 射影定理：直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上 射影的比例中项。每一条直角边是这条直角边在斜边上的射 影和斜边的比例中项。①CD2＝AD·BD；②AC2＝AD·AB； ③BC2＝BD·AB 二、相似的基本图形： （一）平行线型 如图，若DE∥BC,则△ADE∽△ABC,形象地说图为“A”型或“X”型,故称之为平行线型的基本图形. 例1、如图,在平行四边形ABCD中,E是AB延长线上一点,连结DE交AC于G，交BC于F,则

相似三角形的判定和性质

相似三角形的判定与性质 一、知识回顾 1、相似三角形的判定： （1）如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。 （2）平行于三角形一边的直线与其它两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。 （3）如果两个三角形的两组对应边的比相等，且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似（4）如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似。 2、相似三角形的性质 （1）对应边的比相等，对应角相等。 （2）相似三角形的周长比等于相似比。 （3）相似三角形的面积比等于相似比的平方。 （4）相似三角形的对应边上的高、中线、角平分线的比等于相似比。 二、典型例题 例1：如图，已知直线AB：y=4/3 x+b交x轴于点A（-3，0），交y轴于点B，过点B作 BC⊥AB交x轴于点C． （1）试证明：△ABC∽△AOB； （2）求△ABC的周长． 例2：如图，一次函数y=kx+b的图象经过点A（-1，0）和点（1，4）交y轴于点B． （1）求一次函数解析式和B点坐标． （2）过B点的另一直线1与直线AB垂直，且交X轴正半轴于点P，求点P的坐标． （3）点M（0，a）为y轴正半轴上的动点，点N（b，O）为X轴正半轴上的动点，当直线MN⊥直线AB时，求a：b的值．

例3：（2000·陕西）如图，在矩形ABCD 中，EF 是BD 的垂直平分线，已知BD=20，EF=15，求矩形ABCD 的周长． 例4：（2010·攀枝花）如图所示，在△ABC 中，BC ＞AC ，点D 在BC 上，且DC=AC ，∠ACB 的平分线CF 交AD 于点F ．点E 是AB 的中点，连接EF ． （1）求证：EF∥BC； （2）若△ABD 的面积是6，求四边形BDFE 的面积． 例题 (1)两个相似三角形的面积比为21:s s ，与它们对应高之比21:h h 之间的关系为_______ (2)如图，已知DE ∥BC ，CD 和BE 相交于O ，若16:9:=??COB ABC S S ，则AD:DB=_________ B C D E A O (2)题图 (4)题图 B G F E D A C (5)题图 C A ’ D D ’ C ’ B ’ B A

相似三角形的性质与判定

相似三角形的性质与判定 相似三角形是初中数学中一个重要的概念，理解相似三角形的性质 和判定方法对于解题和应用数学非常有帮助。本文将介绍相似三角形 的性质，并讨论如何判定两个三角形是否相似。 一、相似三角形的性质 1. 边长比例：两个三角形相似的充分必要条件是它们对应边长之比 相等。设两个三角形分别为ABC和DEF，若满足以下条件，则可判断 它们为相似三角形： AB/DE = BC/EF = AC/DF 2. 角度相等：两个三角形相似的另一个重要性质是它们对应角度相等。即若三角形ABC和DEF满足以下条件，则可以判断它们为相似三角形： ∠A = ∠D, ∠B = ∠E, ∠C = ∠F 3. 高度比例：相似三角形的高度之比等于对应边长之比。假设ABC 和DEF为相似三角形，且BC和EF为对应边，h1和h2为它们的高度，则有以下关系： h1/h2 = BC/EF 二、相似三角形的判定方法

1. AA（角-角）判定法：若两个三角形的两个角相等，则这两个三 角形相似。即若∠A = ∠D，∠B = ∠E，可判断三角形ABC与DEF相似。 2. SAS（边-角-边）判定法：若两个三角形的两个对应边的比例相等，并且这两个边夹角相等，则这两个三角形相似。假设AB/DE = BC/EF，∠B = ∠E，可判断三角形ABC与DEF相似。 3. SSS（边-边-边）判定法：若两个三角形的三个对应边的比例相等，则这两个三角形相似。即若AB/DE = BC/EF = AC/DF，可判断三角形ABC与DEF相似。 三、相似三角形的应用 1. 测量高度：利用相似三角形的性质，可以测量高度。例如，根据 两个相似三角形的高度比例，可以利用已知的高度和对应的边长，求 解未知高度的长度。 2. 图形放缩：相似三角形的性质使得我们能够进行图形的缩放。通 过改变相似三角形的边长比例，可以将图形按照一定的比例进行放大 或缩小。 3. 建模与设计：相似三角形的应用还可以用于建模和设计。例如， 在设计模型中，可以利用相似三角形的概念，按照一定的比例来缩放 和调整图形的形状。 在数学学习和实际应用中，相似三角形是一个基础而重要的概念。 通过理解相似三角形的性质和掌握判定方法，我们能够更好地解决与

相似三角形的性质

相似三角形的性质 相似三角形是指两个三角形的对应角度相等，并且对应 边的比例相等的三角形。在几何学中，相似三角形具有一些重要的性质和特点，本文将对相似三角形的性质进行详细解析。在讨论相似三角形的性质之前，首先需要明确相似三角形的定义和判定条件。 一、相似三角形的定义 相似三角形的定义是指两个三角形的对应角度相等，并且对应边的比例相等。对于两个三角形ABC和DEF来说，若满足以下条件，则称两个三角形相似： 1. ∠A = ∠D，∠B = ∠E，∠C = ∠F； 2. |\frac{AB}{DE}| = |\frac{BC}{EF}| = |\frac{AC}{DF}|。 二、相似三角形的判定条件 判定两个三角形是否相似有以下几种方法： 1. AA相似判定法：如果两个三角形的两个角分别相等，则两 个三角形相似。即若∠A = ∠D，∠B = ∠E 或∠A = ∠E， ∠B = ∠D，或者∠B = ∠D，∠C = ∠E 或∠B = ∠E，∠C = ∠D，则两个三角形相似。 2. AAA相似判定法：如果两个三角形的三个角分别相等，则 两个三角形相似。即若∠A = ∠D，∠B = ∠E，∠C = ∠F， 则两个三角形相似。 3. 相似比例判定法：如果两个三角形的对应边的比例相等， 则两个三角形相似。即|\frac{AB}{DE}| = |\frac{BC}{EF}| = |\frac{AC}{DF}|。

三、相似三角形性质 1. 对应角度相等：相似三角形的对应角度相等，即∠A = ∠D，∠B = ∠E，∠C = ∠F。这是相似三角形的基本性质，也是相似三角形的判定条件之一。 2. 对应边比例相等：相似三角形的对应边的比例相等，即 |\frac{AB}{DE}| = |\frac{BC}{EF}| = |\frac{AC}{DF}|。 这是相似三角形的另一个基本性质，也是相似三角形的判定条件之一。 3. 边对边既比例又平行：相似三角形的对应边不仅比例相等，还平行。即AB ∥ DE，BC ∥ EF，AC ∥ DF。这是相似三角 形的重要性质之一，也是相似三角形的判定条件之一。 4. 高度对边的比例相等：相似三角形的高度与对应边的比例 相等。若有ABC ∼ DEF，且AD和DF分别为它们的高度，则 有|\frac{AD}{DF}| = |\frac{BC}{EF}|。这个性质对于计算 相似三角形的边长很有用。 5. 面积比例等于边长比例的平方：相似三角形的面积之间的 比例等于边长之间比例的平方。如果有ABC ∼ DEF，且S1和 S2分别为它们的面积，则有|\frac{S1}{S2}| = (\frac{AB}{DE})^2 = (\frac{BC}{EF})^2 = (\frac{AC}{DF})^2。这个性质对于计算相似三角形的面积很 有用。 6. 相似三角形的比例定理：在相似三角形ABC和DEF中，有 以下比例成立： a. AB/DE = BC/EF = CA/FD：即三角形ABC的三条边与三 角形DEF的对应边之间的比例相等。 b. AB/AC = DE/DF，BC/AC = EF/DF：即三角形ABC的两条边与三角形DEF的对应边之间的比例相等。

相似三角形的性质与判定

相似三角形的性质与判定 相似三角形是指具有相同形状但尺寸不同的两个三角形。在几何学中，相似的三角形有着许多有趣的性质和特点。本文将介绍相似三角形的性质和判定方法。 一、相似三角形的性质 1. 相似三角形的对应角相等。如果两个三角形的对应角分别相等，则它们是相似的。例如，若∠A = ∠D，∠B = ∠E，∠C = ∠F，则三角形ABC相似于DEF。 2. 相似三角形的对应边成比例。如果两个三角形的对应边长之比相等，则它们是相似的。例如，若AB/DE = BC/EF = AC/DF，则三角形ABC相似于DEF。 3. 相似三角形的周长比例等于任意一边长的比例。如果两个三角形相似，则它们的周长之比等于任意一边的比例。例如，若三角形ABC 相似于DEF，则AB+BC+AC/DE+EF+DF = AB/DE = BC/EF = AC/DF。 4. 相似三角形的面积比例等于边长比例的平方。如果两个三角形相似，则它们的面积之比等于对应边长比例的平方。例如，若三角形ABC相似于DEF，则△ABC的面积/△DEF的面积 = (AB/DE)² = (BC/EF)² = (AC/DF)²。 二、相似三角形的判定方法

1. AA判定法：若两个三角形的两对角分别相等，则它们是相似的。例如，如果∠A = ∠D，∠B = ∠E，则三角形ABC相似于DEF。 2. SAS判定法：若两个三角形的一个角相等，两边成比例，则它们 是相似的。例如，如果∠A = ∠D，AB/DE = AC/DF，则三角形ABC 相似于DEF。 3. SSS判定法：若两个三角形的三边成比例，则它们是相似的。例如，如果AB/DE = BC/EF = AC/DF，则三角形ABC相似于DEF。 4. 直角三角形的判定法：若两个直角三角形的斜边和直角边成比例，则它们是相似的。例如，若∠C = ∠F = 90°，AB/DE = AC/DF，则三角形ABC相似于DEF。 三、示例问题 1. 已知三角形ABC中，∠A = 30°，∠B = 60°，边AC的长度为 6cm，边BC的长度为√3cm。求三角形ABC与一个边长为2cm的等边 三角形是否相似。 根据已知条件，可以计算出边AB的长度为2√3cm，而等边三角形 的三边长度均为2cm，因此边长比例为AB/DE = 2√3/2 = √3/1 = √3，而 角度比例为∠A = 30°与∠D = 60°，∠B = 60°与∠E = 60°，∠C = 90°与 ∠F = 60°，因此根据AA判定法，三角形ABC与等边三角形DEF相似。 2. 已知三角形ABC与三角形DEF相似，AB = 20cm，BC = 30cm，DE = 10cm，DF = 15cm，求EF的长度。

相似三角形的判定总结+题型分析(带答案)

相似三角形 定义：如果两个三角形中，三角对应相等，三边对应成比例，那么这两个三角形叫做相似三角形。 几种特殊三角形的相似关系：两个全等三角形一定相似。 两个等腰直角三角形一定相似。 两个等边三角形一定相似。 两个直角三角形和两个等腰三角形不一定相似。 补充：对于多边形而言，所有圆相似；所有正多边形相似(如正四边形、正五边形等等)； 性质：两个相似三角形中，对应角相等、对应边成比例。 相似比：两个相似三角形的对应边的比，叫做这两个三角形的相似比。 如△ABC与△DEF相似，记作△ABC∽△DEF。相似比为k。 判定： ①定义法：对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似。 ②相似的预备定理：平行于三角形一边的直线和其它两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。 三角形相似的判定定理： 判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．简述为：两角对应相等，两三角形相似．(此定理用的最多) 判定定理2：如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似． 判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似．简述为：三边对应成比例，两三角形相似． 直角三角形相似判定定理: 1)斜边与一条直角边对应成比例的两直角三角形相似。 2)直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原直角三角形相似，并且分成的两个直角三角形也相似。 补充一：直角三角形中的相似问题： 斜边的高分直角三角形所成的两个直角三角形与原直角三角形相似. 射影定理：CD2=AD·BD，AC2=AD·AB，BC2=BD·BA (在直角三角形的计算和证明中有广泛的应用). 补充二：三角形相似的判定定理推论 推论一：顶角或底角相等的两个等腰三角形相似。

三角形的相似性质

三角形的相似性质 三角形是几何学中基本的图形之一，它具有许多重要的性质和特点。其中之一就是相似性质，即两个或多个三角形在形状上相似的特征。 相似性质在数学和实际应用中都具有重要的意义。本文将探讨三角形 的相似性质，以及它在几何学和实际生活中的应用。 一、相似三角形的定义和判定 相似三角形指的是两个或多个三角形在形状上相似的特征。相似的 三角形具有以下两个重要条件： 1. 对应角相等：两个三角形的对应角相等，即两个三角形的对应角 是相等的。 2. 对应边成比例：两个三角形的对应边成比例，即两个三角形每一 对相对边的长度之比相等。 判定两个三角形是否相似，可以使用以下方法： 1. 角-角-角相似判定：如果两个三角形的三个内角分别相等（即对 应角相等），则这两个三角形是相似的。 2. 角-边-角相似判定：如果两个三角形的两个内角和一条对应边的 夹角分别相等，则这两个三角形是相似的。 3. 边-边-边相似判定：如果两个三角形的三条边的长度成比例（即 对应边成比例），则这两个三角形是相似的。 二、相似三角形的性质

相似三角形具有许多特点和性质，其中一些重要性质如下： 1. 对应角相等：相似三角形的对应角相等，即它们所有对应的内角都相等。 2. 对应边成比例：相似三角形的对应边成比例，即它们每一对相对边的长度之比相等。 3. 高度成比例：相似三角形的高度成比例，即它们每一对相对高度的长度之比相等。 4. 面积成比例：相似三角形的面积成比例，即它们的面积之比等于边长之比的平方。 5. 周长成比例：相似三角形的周长成比例，即它们每一对相对边的长度之比等于周长之比。 三、相似性质在几何学中的应用 相似性质在几何学中具有广泛的应用。以下是一些常见的应用： 1. 长度比：利用相似三角形的性质，可以求解未知长度。通过已知的相似三角形，我们可以利用对应边成比例的特点，建立等式求解未知长度。 2. 重心比例：重心是三角形内部的一个点，它与三角形的三个顶点的连线平分三角形的面积。在相似三角形中，重心的位置与三角形的顶点成比例。

相似三角形的性质及判定知识点总结+经典题型总结

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板块 考试要求 A 级要求 B 级要求 C 级要求 相似三角形 了解相似三角形 掌握相似三角形的概念，判定及性质，以及掌握相关的模型 会运用相似三角形相关的知识解决有关问题 一、相似的有关概念 1．相似形 具有相同形状的图形叫做相似形．相似形仅是形状相同，大小不一定相同．相似图形之间的互相变换称为相似变换． 2．相似图形的特性 两个相似图形的对应边成比例，对应角相等． 3．相似比 两个相似图形的对应角相等，对应边成比例． 二、相似三角形的概念 1．相似三角形的定义 对应角相等，对应边成比例的三角形叫做相似三角形． 如图，ABC △与A B C '''△相似，记作ABC A B C '''△∽△，符号∽读作“相似于”． A ' B ' C ' C B A 2．相似比 相似三角形对应边的比叫做相似比．全等三角形的相似比是1．“全等三角形”一定是“相似形”，“相似形”不一定是“全等形”． 三、相似三角形的性质 1．相似三角形的对应角相等 知识点睛 中考要求 相似三角形的性质及判定

如图，ABC △与A B C '''△相似，则有A A B B C C '''∠=∠∠=∠∠=∠，，． A ' B ' C ' C B A 2．相似三角形的对应边成比例 ABC △与A B C '''△相似，则有 AB BC AC k A B B C A C ==='''''' （k 为相似比）． 3．相似三角形的对应边上的中线，高线和对应角的平分线成比例，都等于相似比． 如图1，ABC △与A B C '''△相似，AM 是ABC △中BC 边上的中线，A M ''是A B C '''△中B C ''边上的中线，则有 AB BC AC AM k A B B C A C A M ==== '''''''' （k 为相似比）． M ' M A ' B ' C 'C B A 图1 如图2，ABC △与A B C '''△相似，AH 是ABC △中BC 边上的高线，A H ''是A B C '''△中B C ''边上的高线，则有 AB BC AC AH k A B B C A C A H ==== '''''''' （k 为相似比）． H 'H A B C C 'B 'A ' 图2 如图3，ABC △与A B C '''△相似，AD 是ABC △中BAC ∠的角平分线，A D ''是A B C '''△中B A C '''∠的角平分线，则有 AB BC AC AD k A B B C A C A D ==== ''''''''（k 为相似比）． D ' D A ' B C 'C B A 图3 4．相似三角形周长的比等于相似比．

相似三角形的判定与性质

相似三角形的判定与性质 在几何学中，三角形是一个基本的图形，而相似三角形则是其中一个重要的概念。相似三角形是指具有相同形状但可能不同大小的三角形。在本文中，我们将探讨相似三角形的判定方法以及其性质。 一、相似三角形的判定方法 1. AA相似定理 AA相似定理又被称为“角-角-相似定理”，是判定两个三角形相似的一种方法。当两个三角形的对应角度相等时，它们是相似的。 例如，若在两个三角形ABC和DEF中，∠A = ∠D，∠B = ∠E，那么我们可以得出结论这两个三角形相似。 2. SAS相似定理 SAS相似定理是指当两个三角形有一对相等的角，并且对应边的比例相等时，它们是相似的。 假设在两个三角形ABC和DEF中，∠A = ∠D，∆ABC和∆DEF的边AB与DE的比例等于边AC与DF的比例，那么我们可以确定这两个三角形相似。 3. SSS相似定理 SSS相似定理是指当两个三角形的对应边的比例相等时，它们是相似的。

例如，如果在两个三角形ABC和DEF中，边AB与边DE的比例 等于边BC与边EF的比例，同时边AC与边DF的比例也相等，那么 我们可以判定这两个三角形相似。 二、相似三角形的性质 1. 对应角相等 相似三角形的一个重要性质是它们的对应角度相等。如果两个三角 形是相似的，它们的对应角度一定相等。 在相似三角形ABC和DEF中，∠A = ∠D，∠B = ∠E，∠C = ∠F。 2. 边比例相等 相似三角形的另一个性质是它们的对应边的比例相等。如果两个三 角形是相似的，那么它们的对应边的比例相等。 例如，在相似三角形ABC和DEF中，边AB与边DE的比例等于 边BC与边EF的比例，边AC与边DF的比例也相等。 3. 高度比例相等 如果两个三角形是相似的，那么它们的对应高度的比例等于对应边 的比例。 假设在相似三角形ABC和DEF中，边AB与边DE的比例等于边 BC与边EF的比例，那么三角形ABC的高度与三角形DEF的高度的 比例也相等。 4. 面积比例相等

(完整版)相似三角形的判定+性质+经典例题分析

相似形（一） 一、比例性质 1.基本性质： bc ad d c b a =⇔=(两外项的积等于两内项积） 2。反比性质： c d a b d c b a =⇔= （把比的前项、后项交换） 3。合比性质： d d c b b a d c b a ±=±⇒=（分子加(减）分母，分母不变） ． 4。等比性质:（分子分母分别相加，比值不变.） 如果 )0(≠++++====n f d b n m f e d c b a ,那么 b a n f d b m e c a =++++++++ ． 谈重点：(1）此性质的证明运用了“设k 法” ，这种方法是有关比例计算，变形中一种常用方法． (2)应用等比性质时，要考虑到分母是否为零． (3)可利用分式性质将连等式的每一个比的前项与后项同时乘以一个数，再利用等比性质也成立． 5。黄金分割： 错误!内容 错误!尺规作图作一条线段的黄金分割点 经典例题回顾： 例题1．已知a 、b 、c 是非零实数，且 k c b a d d a b c d c a b d c b a =++=++=++=++,求k 的值。

例题2．已知 111 x y x y +=+，求y x x y +的值。 概念： 谈重点： ⑴相似图形强调图形形状相同，与它们的位置、颜色、大小无关． ⑵相似图形不仅仅指平面图形，也包括立体图形相似的情况． ⑶我们可以这样理解相似形：两个图形相似，其中一个图形可以看作是由另一个图形放大或缩小得到的． ⑷若两个图形形状与大小都相同，这时是相似图形的一种特例-—全等形． ①定理:三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例,如图：l 1∥l 2∥l 3。 则，，，…AB BC DE EF AB AC DE DF BC AC EF DF === ②推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例。 ③定理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。 错误!推论：如果一条直线平行于三角形的一条边，截其它两边(或其延长线），那么所截得的三角形与原

相似三角形的性质及判定知识点总结+经典题型总结

板块 考试要求 A 级要求 B 级要求 C 级要求 相似三角形 了解相似三角形 掌握相似三角形的概念，判定及性质，以及掌 握相关的模型 会运用相似三角形相关的知识解决有关问题 一、相似的有关概念 1．相似形 具有相同形状的图形叫做相似形．相似形仅是形状相同，大小不一定相同．相似图形之间的互相变换称为相似变换． 2．相似图形的特性 两个相似图形的对应边成比例，对应角相等． 3．相似比 两个相似图形的对应角相等，对应边成比例． 二、相似三角形的概念 1．相似三角形的定义 对应角相等，对应边成比例的三角形叫做相似三角形． 如图，ABC △与A B C '''△相似，记作ABC A B C '''△∽△，符号∽读作“相似于”． A ' B ' C ' C B A 2．相似比 相似三角形对应边的比叫做相似比．全等三角形的相似比是1．“全等三角形”一定是“相似形”，“相似形”不一定是“全等形”． 三、相似三角形的性质 1．相似三角形的对应角相等 如图，ABC △与A B C '''△相似，则有A A B B C C '''∠=∠∠=∠∠=∠，，． 知识点睛 中考要求 相似三角形的性质及判定

A ' B ' C ' C B A 2．相似三角形的对应边成比例 ABC △与A B C '''△相似，则有 AB BC AC k A B B C A C ===''''''（k 为相似比） ． 3．相似三角形的对应边上的中线，高线和对应角的平分线成比例，都等于相似比． 如图1，ABC △与A B C '''△相似，AM 是ABC △中BC 边上的中线，A M ''是A B C '''△中B C ''边上的中线， 则有AB BC AC AM k A B B C A C A M ==== '''''''' （k 为相似比）． M ' M A ' B ' C 'C B A 图1 如图2，ABC △与A B C '''△相似，AH 是ABC △中BC 边上的高线，A H ''是A B C '''△中B C ''边上的高线，则有AB BC AC AH k A B B C A C A H ==== '''''''' （k 为相似比）． H 'H A B C C 'B 'A ' 图2 如图3，ABC △与A B C '''△相似，AD 是ABC △中BAC ∠的角平分线，A D ''是A B C '''△中B A C '''∠的角平 分线，则有AB BC AC AD k A B B C A C A D ==== '''''''' （k 为相似比）． D ' D A ' B ' C B A 图3 4．相似三角形周长的比等于相似比． 如图4，ABC △与A B C '''△相似，则有 AB BC AC k A B B C A C ===''''''（k 为相似比） ．应用比例的等比性质有AB BC AC AB BC AC k A B B C A C A B B C A C ++===='''''''''''' ++．

相似三角形的判定+性质+经典例题分析

相似形（一） 一、比例性质 1.基本性质: bc ad d c b a =⇔=（两外项的积等于两内项积） 2.反比性质： c d a b d c b a =⇔= (把比的前项、后项交换) 3.合比性质： d d c b b a d c b a ±=±⇒=（分子加（减）分母,分母不变） ． 4.等比性质：（分子分母分别相加，比值不变.） 如果 )0(≠++++====n f d b n m f e d c b a ，那么 b a n f d b m e c a =++++++++ ． 谈重点：(1)此性质的证明运用了“设k 法” ，这种方法是有关比例计算，变形中一种常用方法． (2)应用等比性质时，要考虑到分母是否为零． (3)可利用分式性质将连等式的每一个比的前项与后项同时乘以一个数，再利用等比性质也成立． 5.黄金分割： ○1内容 ○2尺规作图作一条线段的黄金分割点 经典例题回顾： 例题1．已知a 、b 、c 是非零实数，且 k c b a d d a b c d c a b d c b a =++=++=++=++，求k 的值.

例题2．已知 111 x y x y +=+，求y x x y +的值。 概念： 谈重点： ⑴相似图形强调图形形状相同，与它们的位置、颜色、大小无关． ⑵相似图形不仅仅指平面图形，也包括立体图形相似的情况． ⑶我们可以这样理解相似形：两个图形相似，其中一个图形可以看作是由另一个图形放大或缩小得到的． ⑷若两个图形形状与大小都相同，这时是相似图形的一种特例——全等形． ①定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例，如图：l 1∥l 2∥l 3。 则，，，…AB BC DE EF AB AC DE DF BC AC EF DF === ②推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例。 ③定理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。

相似三角形的性质与判定讲义

相似三角形的性质与判定讲义 【知识点拨】 一、相似三角形性质 (1)相似三角形对应角相等，对应边成比例. ⑵ 相似三角形对应高的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比. (3)相似三角形周长的比等于相似比. ⑷ 相似三角形面积的比等于相似比的平方. (5)相似三角形性质可用来证明线段成比例、角相等，也可用来计算周长、边长等 二、相似三角形的等价关系 (1)反身性：对于任一ABC有ABC s ABC . (3)传递性：若ABC s A'B'C，且A'B'C s ABC，则ABC s ABC ⑵ 对称性：若ABC s A'B'C'，贝V A'B'C's ABC . 三、三角形相似的判定方法 1、定义法：对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似. 2、平行法：平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似. 3、判定定理1:如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似•简述为：两角对应相等，两三角形相似. 4、判定定理2:如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似•简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似. 5、判定定理3:如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似•简述为：三边对应成比例，两三角形相似. 6、判定直角三角形相似的方法: (1)以上各种判定均适用. (2)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，

那么这两个直角三角形相似. (3)直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似. 直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。 公式Rt △KBC中，/ BAC=90°,AD是斜边BC上的高，则有射影定理如下： 2 2 2 (1)( AD) =BDDC, ( 2)( AB) =BD BC ,( 3)( AC) =CDBC。 【例题精讲】： 1、如图DE//BC, AB=5 , AC=10 , DB=AE，求AE 的长。 2、已知，如图，在ABC中，G为重心，GE//AB，求匹的值 CD A 3、如图，已知四边形ABCD是平行四边形，FC 54cm, CE 27cm，

相似三角形的判定方法

（一）相似三角形 1、定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形，叫做相似三角形. ①当一个三角形的三个角与另一个（或几个）三角形的三个角对应相等，且三条对应边的比相等时，这两个（或几个）三角形叫做相似三角形，即定义中的两个条件，缺一不可； ②相似三角形的特征：形状一样，但大小不一定相等； ③相似三角形的定义，可得相似三角形的基本性质：对应角相等，对应边成比例. 2、相似三角形对应边的比叫做相似比. ①全等三角形一定是相似三角形，其相似比k=1.所以全等三角形是相似三角形的特例.其区别在于全等要求对应边相等，而相似要求对应边成比例. ②相似比具有顺序性.例如△ABC s^A’BC的对应边的比，即相似比为k,则△A‘B‘C's ^ = - △ ABC的相似比尢，当它们全等时，才有k=k'=1. ③相似比是一个重要概念，后继学习时出现的频率较高，其实质它是将一个图形放大或缩小的倍数，这一点借助相似三角形可观察得出. 3、如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，那么这两个多边形叫做相似多边形. 4、相似三角形的预备定理：平行于三角形的一条边直线，截其它两边所在的直线，截得的三角形与原三角形相似. ①定理的基本图形有三种情况，如图其符号语言： •.•DE〃BC,MABCMADE； ②这个定理是用相似三角形定义推导出来的三角形相似的判定定理.它不但本身有着广泛的应用，同时也是证明相似三角形三个判定定理的基础，故把它称为'预备定理”； ③有了预备定理后，在解题时不但要想到“见平行，想比例”，还要想到“见平行，想相似”. （二）相似三角形的判定 1、相似三角形的判定： 判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。可简单说成：两角对应相等，两三角形相似。 例1、已知：如图，N1=N2=N3,求证：△ABC S^ADE. A

相似三角形的性质及判定知识点总结+经典题型总结(学生版)

中考要求 板块 考试要求 A级要求B级要求C级要求 相似三角形了解相似三角形 掌握相似三角形的概念，判定及性质，以及掌握相 关的模型 会运用相似三角形相关的 知识解决有关问题 、相似的有关概念 1 •相似形 具有相同形状的图形叫做相似形•相似形仅是形状相同，大小不一定相同•相似图形之间的互相变换称为相似变换. 2 •相似图形的特性 两个相似图形的对应边成比例，对应角相等. 3. 相似比 两个相似图形的对应角相等，对应边成比例. 、相似三角形的概念 1. 相似三角形的定义 对应角相等，对应边成比例的三角形叫做相似三角形. 如图，△ ABC与厶ABC相似，记作△ ABC ABC ,符号s读作相似于” 2•相似比 相似三角形对应边的比叫做相似比.全等三角形的相似比是1.全等三角形”一定是相似形” 相似形”不一定是全等形” 、相似三角形的性质 1.相似三角形的对应角相等 如图，△ ABC与厶ABC相似，则有• A=・A B=.BC=C 相似三角形的性质及判定

A 2 •相似三角形的对应边成比例 △ ABC 与△ A BC 相似，则有-AB BC AC =k （ k 为相似比） AB BC‘ AC 3•相似三角形的对应边上的中线，高线和对应角的平分线成比例，都等于相似比. 如图1，△ ABC 与厶ABC •相似，AM 是厶ABC 中BC 边上的中线， AM •是△ ABC 中BC •边上的中线, 则有2AB BC AC =k 空（k 为相似比）. AB BC" AC AMT 图2 如图3, △ ABC 与厶ABC 相似，AD 是厶ABC 中.BAC 的角平分线， A D •是△ A B C 冲.BA C 的角平 分线，则有二匹二旦=k =竺（k 为相似比）. AB" BC" A C ' AD* 4. 相似三角形周长的比等于相似比. 如图4, △ ABC 与厶ABC 相似，则有二-BC 二竺二k （ k 为相似比）.应用比例的等比性质有 A B B C A "C " AB BC AC AB BC AC ----- = ------- = ------- = -------------------------- =k . AB BC AC AB BC AC k 如图2, △ ABC 与厶ABC ■相似, 则有存卸存k 唏 AH 是△ ABC 中BC 边上的高线, （k 为相似比）. 图1 AH ■是 △ ABC ■中 B C 边上的高 线，