相似三角形的性质(经典全面)
相似三角形的性质(经典全面)
相似三角形的性质及判定
一、相似的有关概念
相似形是指具有相同形状的图形，但大小不一定相同。相似图形之间的互相变换称为相似变换。
二、相似三角形的概念
相似三角形是指对应角相等，对应边成比例的三角形。用符号XXX表示，例如△ABC∽△A B C。
三、相似三角形的性质
1.对应角相等：如果△ABC与△A B C相似，则有
A A，
B B，
C C。
2.对应边成比例：如果△ABC与△A B C相似，则有AB/BC=AC/A C=BC/B C=k（k为相似比）。
3.对应边上的中线、高线和对应角的平分线成比例，都等于相似比。
例如，如果AM是△ABC中BC边上的中线，A M是△A B C中B C边上的中线，则有AM/A M=k。
如果AH是△ABC中BC边上的高线，A H是
△A B C中B C边上的高线，则有AH/A H=k。
如果AD是△ABC中BAC的角平分线，A D是
△A B C中B A C的角平分线，则有
AD/A D=k。
4.相似三角形周长的比等于相似比。如果△ABC与
△A B C相似，则有AB+BC+AC/
A B+
B C+A C=k。
ABCD
中间观察，比例式中的比AD和BC中的三个字母A，B，C恰为△ABC的顶点；比CD和EF中的三个
EFDC
字母D，E，F恰为△DEF的三个顶点．因此只需证欲证
△ABC∽△DEF．
证明比例中项式或倒数式或复合式的方法，可以运用“三
点定形法”，也可以利用“分离比例中项法”或“
分离倒数式法”或“分离复合式法”．
由于在运用三点定形法时，可能会遇到三点共线或四点中没有相同点的情况，此时可以考虑使用等线、等比或等积进行变换，然后再使用三点定形法来寻找相似三角形。这种方法被称为等量代换法。在证明比例式时，常常会用到中间比。
证明比例中项式通常涉及与公共边有关的相似问题。这类问题的典型模型是射影定理模型，需要熟练掌握和透彻理解其特征和结论。
证明倒数式往往需要先进行变形，将等式的一边化为1，
另一边化为几个比值的形式，然后对比值进行等量代换，进而证明之。
证明复合式比较复杂。通常需要进行等线代换（对线段进行等量代换）、等比代换、等积代换，将复合式转化为基本的比例式或等积式，然后进行证明。
在相似的证明中，常用辅助线的方法是构造平行线段或相似三角形，然后再结合等量代换得到要证明的结论。常见的等量代换包括等线代换、等比代换、等积代换等。
对于题目AD平分∠BAC交BC于D，求证：
DC/AC=BD/BA，可以通过过C作CE∥AD，交BA的延长线于E，证明AC=AE，然后利用AD∥CE，得到
DC/AC=BD/BA的结论。另外，也可以通过过B作AC的平行线，交AD的延长线于E，证明AB=BE，然后得到同样的结论。
在相似的证明中，面积法主要是将面积的比和线段的比进行相互转化来解决问题。常用的面积法基本模型包括三角形面积比、平行四边形面积比和梯形面积比等。
相似证明中的基本模型包括“山字”型。“田字”型和“燕尾”
型等。对于“山字”型，可以通过构造相似三角形和平行线段来证明；对于“田字”型，可以利用平行四边形面积比和梯形面积比来证明；对于“燕尾”型，可以利用三角形面积比和平行线段来证明。
例1】在△ABC中，AC>AB，点D在AC边上。若要使
△ABC∽△ACB，则需要增加的条件是BC∥AD。
例2】在△ABC中，D、E分别在AC、AB上，且AD·AC=AE·AB。则有∠ADE=∠B。
例3】在△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，且
[ABC]=4[BDE]，AC=6.求DE的长度。
例4】直线DE与△ABC的AB边相交于点D，与AC边
相交于点E。能使△ADE与△ABC相似的条件有
①∠AED=∠B；③AE·AC=AD·AB。
例5】在△ABC中，∠ABC=60°，点P是△ABC内一点，使得∠APB=∠XXX∠CPA，PA=8，PC=6.则PB=10.
例6】已知三个边长相等的正方形相邻并排，求
∠EBF+∠XXX。
例7】在△ABC中，.
例8】在△ABC中，BD=CE，DE的延长线交BC的延长线于P。则有AD·BP=AE·CP。
例9】在△ABC的边AB上取一点D，在AC取一点E，使AD=AE，直线DE和BC的延长线相交于P。则有
BP/BD=CP/CE。
例10】在△ABC中，M、N为边BC上的两点，且
BM=MN=NC，一条平行于AC的直线分别交AB、AM和AN 的延长线于点D、E和F。则有EF=3DE。
B、E
n-1
C的中点，则D
n
E
n
a.
例11】已知平行四边形ABCD中，AB a，CD b，EF c，且AB//EF//CD，求证：a/b=c/(a+c)。
例12】如图，平面直角坐标系中，AB线段在y轴上，
BD线段在x轴上，且AB BD，CD BD，垂足分别为B、D，AC和BD相交于点E，EF BD，垂足为F.证明：XXX。
例13】如图，平行四边形ABCD中，XXX，求证：S△
例14】如图，四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，直线l平行于BD，且与AB、DC、BC、AD及AC的延长线
分别相交于点M、N、R、S和P.求证：PM·PN=PR·PS。
例15】已知，如图，四边形ABCD，两组对边延长后交
于E、F，对角线BD∥EF，AC的延长线交EF于G．求证：EG=GF。
例16】已知：P为△ABC的中位线MN上任意一点，BP、CP的延长线分别交对边AC、AB于D、E，求证：
AD/BD+AE/CE=1.
例17】如图所示，ABCDEF是一个凸六边形，P、Q、R
分别是直线BA与EF、FE与CD、DC与AB的交点，S、T、
U分别是BC与ED、DE与AF、FA与CB的交点，如果例18】设P、Q分别是凸四边形ABCD的边BC、AD上
的点，且
例19】如图，△ABC中，BC=a，若D₁、E₁分别是AB、AC的中点，则D₁E₁=a/2；若D₂、E₂分别是D₁B、E₁C
的中点，则D₂E₂=(a/2)+(a/4)=3a/4；若Dₙ、Eₙ分别是
Dₙ₋₁B、Eₙ₋₁C的中点，则DₙEₙ=a/2.
例20：如图所示，三角形ABC被点P分成了三个三角形和三个平行四边形。已知三个三角形的面积分别为S1=1，
S2=1，S3=2.求三角形ABC的面积。
解析：根据平行四边形的性质，可以得到平行四边形AGFP、BEPD、CFPE的面积分别为S1、S2、S3.因此，平行四边形ABCD的面积为S1+S2+S3=4.又因为三角形ABC和平行四边形ABCD的面积之和为2倍的三角形ABC的面积，因此三角形ABC的面积为2.
例21：如图所示，梯形ABCD的两条对角线与两底所围成的两个三角形的面积分别为p、q。求梯形ABCD的面积。
解析：由于梯形ABCD的两条对角线相交于点O，因此可以将梯形ABCD分成四个三角形。根据题意，梯形ABCD 可以分成两个全等的三角形AOD和BOC，以及两个全等的三角形AOC和BOD。因此，梯形ABCD的面积为p+q。
例22：如图所示，梯形ABCD中，AD∥BC，两条对角
线AC、BD相交于O，且三角形AOD和BOC的面积之比为1:9.求三角形BOC和三角形DOC的面积之比。
解析：由于三角形AOD和BOC的面积之比为1:9，因此
可以得到三角形AOD的面积为BOC的1/10.又因为三角形AOD和BOC的面积之和等于梯形ABCD的面积，因此三角
形AOC和BOD的面积之和等于梯形ABCD的面积的9/10.由
于三角形AOC和BOD全等，因此它们的面积之和等于梯形ABCD的面积的9/20.因此，三角形BOC和三角形DOC的面
积之比为9:1.
例23：如图所示，已知三角形ABC的高AD所在直线与
高BE所在直线相交于点F。当三角形ABC为锐角三角形且
∠ABC=45°时，过点F作FG∥BC，交直线AB于点G。证明FG+DC=AD。
解析：首先，可以得到三角形ABC和三角形FGB相似，因此FG/BC=GB/AC。又因为三角形ABC和三角形DEC相似，因此DC/BC=EC/AC。将两个比例式相加，可以得到
FG+DC=(GB+EC)×AC/BC。由于GB+EC=AD，因此
FG+DC=AD×AC/BC。因为三角形ABC为锐角三角形，因此
可以得到AC/BC=tan(45°)=1.因此，FG+DC=AD。
例24：如图所示，在三角形ABC中，∠B=60°，
∠A=100°，E为AC的中点，∠DEC=80°，D是BC边上的点，BC=1.求三角形ABC的面积与三角形CDE的面积的两倍的和。
解析：首先，可以得到三角形AED和三角形BEC相似，因此AE/BC=ED/EC。又因为AE=EC，因此可以得到
ED=BC/2=1/2.由于∠DEC=80°，因此可以得到∠CEA=50°。
因此，可以得到∠XXX∠CEA-∠B=50°-60°=-10°。又因为
∠A+∠B+∠C=180°，因此可以得到∠C=120°。因此，三角形ABC的面积为(1/2)×AB×AC×sin(120°)=√3/4.又因为三角形
AED和三角形CED的面积之和等于三角形CDE的面积，因
此三角形CDE的面积为(1/2)×ED×CD×sin(80°)=sin(80°)/4.因此，三角形ABC的面积与三角形CDE的面积的两倍的和为
(√3+sin(80°))/2.
例25：如图所示，平行四边形ABCD中，过点B的直线
顺次与AC、AD及CD的延长线相交于点E、F、G，且BE=5，EF=2.求FG的长度。
解析：由于平行四边形ABCD中，BE=DC，因此可以得
到三角形BEC和三角形DCF相似。因此，
BE/DC=EC/CF=AB/CD。又因为BE=5，AB=CD=BC，因此可
以得到CF=10.又因为EF=2，因此可以得到FG=FC-EC=10-
BC=10-5=5.
注：原题中的图未能提供，因此无法对答案进行验证。
以上答案仅供参考）
例27】
如图，ABCD为一个四边形，对角线AC和BD相交于点O。在AB的延长线上任取一点E，连接OE交BC于点F。已
知AB=a，AD=c，BE=b，求BF的长度。
例28】
如图，矩形ABCD的面积为36.在AB和AD的边上分别
取点E和F，使得AE=3EB，DF=2AF。设DE与CF的交点为O，求三角形FOD的面积。
例29】
如图，已知矩形ABCD中，E为AD的中点，EF垂直于EC，交AB于F，连接FC（AB>AE）。
1）判断三角形AEF与三角形ECF是否相似，若相似，
请证明；若不相似，请说明理由。
2）设AE/BC=k，是否存在这样的k值，使得三角形AEF
与三角形BCF相似？若存在，请证明并求出k值；若不存在，请说明理由。
例30】
如图，梯形ABCD中，EF平行于BC，且梯形AEFD和
梯形EBCF的周长相等。已知AD=3，BC=9，AB=6，CD=4，求EF的长度。
例31】
已知梯形ABCD中，AB//CD，M是AB的中点，AC与MD交于点E，DB与MC交于F。
1）证明XXX。
2）若AB=a，CD=b，求EF的长度。
例32】
如图，梯形ABCD中，AD//BC，AD=a，BC=b，E、F分别是AD和BC的中点，AF交BE于P，CE交DF于Q，求PQ的长度。
例33】
如图，梯形ABCD中，AD//BC，∠A=90°，AB=a，
AD=b，BC=2b（a>b），DE垂直于DC，DE交AB于点E，连接EC。
1）判断三角形DCE与三角形ADE，三角形DCE与三角形BCE是否相似，若相似，请证明。
2）如果不一定相似，请指出a、b满足什么关系时，它们就能相似。
例34】
在三角形ABC中，正方形EFGH的两个顶点E、F在BC 上，另两个顶点G、H分别在AC、AB上，BC=15，BC边上
的高AD=10，求正方形EFGH的面积。
例35：已知直角三角形ABC中，AC=3，BC=4，四边形DEGF为正方形，其中D、E分别在AC、BC上，F、G在AB 上，求正方形的边长。
解：根据勾股定理得AB=5.由于DEGF为正方形，所以
DE=GF，DG=EF。又因为∠C=90°，所以AC、BC是AB的高。因此，S△ABC=(AC×BC)/2=6.由于S△ADF=S△CDE=1，
S△BEG=3，所以S△DEGF=1+1+3=5，因此正方形的面积为5，边长为√5.
例36：已知直角三角形ABC中，AC=5，AB=11，
BC=45，四边形DEGF为正方形，其中D、E分别在AC、BC 上，F、G在AB上，求正方形的边长。
解：根据勾股定理得AB=√(5^2+11^2)=√146.由于DEGF
为正方形，所以DE=GF，DG=EF。又因为∠C=90°，所以AC、BC是AB的高。因此，S△ABC=(AC×BC)/2=112.5.由于
S△ADF=S△CDE=1，S△BEG=3，所以S△DEGF=1+1+3=5，因此正方形的面积为5，边长为√5.
例37：已知直角三角形ABC中，四边形DEGF为正方形，D、E在线段AC、BC上，F、G在AB上，如果
S△ADF=S△CDE=1，S△BEG=3，求△ABC的面积。
解：由于DEGF为正方形，所以DE=GF，XXX。又因为
∠C=90°，所以AC、BC是AB的高。因此，
S△ABC=(AC×BC)/2.设正方形的边长为x，则
S△ADF=S△CDE=x^2/2，S△BEG=3x^2/2.根据
S△ADF=S△CDE=1，得x=√2.因此，S△ABC=(AC×BC)/2=6，△ABC的面积为6.
例38：在直角三角形ABC中，AB=5，BC=3，AC=4，
动点E在AC边上，EF∥AB交BC于F点。
⑴当S△ECF=S四边形EABF时，求CE的长。
解：设CE=x，则AE=4-x，BE=5-x。根据相似三角形的
性质，有EF/AB=CE/AC，即EF=(AB/AC)CE=(5/4)x。又因为
△ECF∥△EAB，所以S△ECF/S△EAB=(EF/AB)^2，即
x^2/16=(5/16)x^2/(25/16)，解得x=5/3.因此，CE=5/3.
⑵当△ECF的周长与四边形EABF的周长相等时，求CE
的长。
解：设CE=x，则AE=4-x，BE=5-x。由于EF∥AB，所
以EF=BC=3.因此，CE+EF+CF+EC=AB+AE+BE+EF，即
2x+3+CF=9.又因为△ECF∥△EAB，所以CF/AB=CE/AC，即CF=(AB/AC)CE=(5/4)x。因此，2x+3+(5/4)x=9，解得x=8/3.因此，CE=8/3.
⑶试问在AB上是否存在点P，使得△EFP为等腰直角三
角形？若不存在，请简要说明理由；若存在，请求出EF的长。
解：在AB上不存在这样的点P。因为△EFP为等腰直角
三角形时，EP=FP，且∠EFP=90°。由于EF∥BC，所以
∠XXX∠BCF，而BCF为锐角，因此∠EFP也是锐角，与直
角矛盾。因此，在AB上不存在这样的点P。
例39：在△ABC中，AD是角A的平分线，求证：XXX。
解：由角平分线定理可得XXX，因此命题成立。
例40：在△ABC中，∠BAC的外角平分线交对边BC的
延长线于D，求证：XXX。
解：由外角平分线定理可得XXX，因此命题成立。
例41：在△ABC中，∠BAC的外角平分线交对边BC的
延长线于D，求证：AD^2=BD×CD-AB×AC。
解：由外角平分线定理可得BD/AD=AB/AC，
CD/AD=AC/AB。因此，BD×CD/AD^2=(AB/AC)×(AC/AB)=1.
又因为BD×CD/AD^2=(BD×CD-AD^2+AD^2)/AD^2，所以
BD×CD-AD^2=AB×AC，即AD^2=BD×CD-AB×AC。因此，
命题成立。
例42：在△ABC中，AD、AE分别为角A的内、外角平分线，M为DE的中点，求证：AB^2=BD×BC+CE×AC。
解：由内角平分线定理可得BD/AD=AB/AC，由外角平分线定理可得XXX。因此，
BD×BC/AB^2=(BD×BC+CE×AC)/AB^2-CE×AC/AB^2=1.又因为BD×BC/AB^2=(BD×BC+CE×AC)/AB^2-CE×AC/AB^2，所以BD×BC+CE×AC=AB^2.因此，命题成立。
例43：在△ABC中，AD、AE分别为角A的内、外角平分线，求证：XXX。
解：由内角平分线定理可得BD/AD=AB/AC，由外角平分线定理可得XXX。因此，
AB/BD+AC/CE=AB/BD+AC/BD×CE/AC=AB/BD+AC/BD×CE/ AB=AB/BD+AC/BD×(AB+BD+AC)/AB=AB/BD+AC/BD+(AB+ AC)/AB=BC/BD+AB/BD+AC/CE=BC/BE。因此，命题成立。
例44：在直角三角形ABC中，∠BAC=120°，AD平分
∠BAC交BC于点D，求证：AD/AB=√3/2.
解：由角平分线定理可得XXX，因此BD=5/2，DC=3/2.
又因为∠BAC=120°，所以S△ABC=(AB×BC)/2=15/2.由于
S△ABD=S△ADC，所以S△ABD=S△BDC=(BD×BC)/2=15/4.
因此，AD/AB=S△ABD/S△ABC=√3/2.因此，命题成立。
例45：已知四边形ABCD，E、F分别为一组对边BC、AD的两点，若AB、DC与EF成等角，求证：∠A+∠C=180°。
解：设∠A=∠FEB=x，∠C=∠EDF=y，则∠B=180°-x-
∠FEB-∠EDF-∠C=180°-x-y。因为AB、DC与EF成等角，
所以∠BAC=∠BDC，即x+y=180°-x-y，解得x+y=90°。因此，∠A+∠C=x+180°-x-y=180°-y=180°-∠CDE=180°-∠AED，即
∠A+∠C=180°。因此，命题成立。
例46】如图所示，已知点A在角XOY的平分线上，过
点A任作一条直线分别交OX、OY于点P、Q。现需证明
OP/OQ是定值，并求出其最小值。
例47】如图所示，直角三角形ABC中，已知AB垂直于AC，AD垂直于BC。现需证明AB^2=BD×BC，
AC^2=CD×BC，AD^2=BD×CD。
例48】如图所示，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相
交于点G，E为AD的中点，连接BE交AC于F，连接FD，
已知∠BFA=90°。现需确定相似的三角形对，其中相似的为
①△BEA与△ACD；②△FED与△DEB；③△CFD与△ABG；
④△ADF与CFB。
例49】如图所示，矩形ABCD中，BE垂直于AC于点F，E恰为CD的中点。现需确定下列式子中成立的是BF^2=AF^2、BF^2>AF^2还是BF^2 例50】如图所示，已知∠BAC=90°，AD垂直于BC于点D，BE垂直于AC于点E，DF垂直于AB于点F，交BE于点G，FD、AC的延长线交于点H。现需证明DF^2=FG×FH。 一、相似的有关概念 1．相似形 具有相同形状的图形叫做相似形．相似形仅是形状相同，大小不一定相同．相似图形之间的互相变换称为相似变换． 2．相似图形的特性 两个相似图形的对应边成比例，对应角相等． 3．相似比 两个相似图形的对应角相等，对应边成比例． 二、相似三角形的概念 1．相似三角形的定义 对应角相等，对应边成比例的三角形叫做相似三角形． 如图，ABC △与A B C '''△相似，记作ABC A B C '''△∽△，符号∽读作“相似于”． A ' B ' C ' C B A 2．相似比 相似三角形对应边的比叫做相似比．全等三角形的相似比是1．“全等三角形”一定是“相似形”，“相似形”不一定是“全等形”． 三、相似三角形的性质 1．相似三角形的对应角相等 如图，ABC △与A B C '''△相似，则有A A B B C C '''∠=∠∠=∠∠=∠，，． A ' B ' C ' C B A 2．相似三角形的对应边成比例 如图，ABC △与A B C '''△相似，则有 AB BC AC k A B B C A C ==='''''' （k 为相似比） ． 相似三角形的性质及判定 A ' B ' C ' C B A 3．相似三角形的对应边上的中线，高线和对应角的平分线成比例，都等于相似比． 如图1，ABC △与A B C '''△相似，AM 是ABC △中BC 边上的中线，A M ''是A B C '''△中B C ''边上的 中线，则有AB BC AC AM k A B B C A C A M ==== '''''''' （k 为相似比）． M ' M A ' B ' C 'C B A 图1 如图2，ABC △与A B C '''△相似，AH 是ABC △中BC 边上的高线，A H ''是A B C '''△中B C ''边上的高线，则有AB BC AC AH k A B B C A C A H ==== ''''''''（k 为相似比）． H 'H A B C C 'B 'A ' 图2 如图3，ABC △与A B C '''△相似，AD 是ABC △中BAC ∠的角平分线，A D ''是A B C '''△中B A C '''∠的 角平分线，则有AB BC AC AD k A B B C A C A D ==== '''''''' （k 为相似比）． D ' D A ' B C 'C B A 图3 4．相似三角形周长的比等于相似比． 如图4，ABC △与A B C '''△相似，则有 AB BC AC k A B B C A C ==='''''' （k 为相似比） ．应用比例的等比性质有AB BC AC AB BC AC k A B B C A C A B B C A C ++===='''''''''''' ++． 相似三角形的性质及判定方法相似三角形是指具有相同形状但可能不同大小的两个或多个三角形。在几何学中，相似三角形具有一些特定的性质和判定方法。本文将探 讨相似三角形的性质以及如何判定两个三角形是否相似。 一、相似三角形的性质 1. 对应角相等性质：如果两个三角形的对应角相等，那么它们是相 似的。具体而言，如果两个三角形的对应角分别相等，则它们是相似的。记为AA相似性质。 2. 对应边的比例性质：如果两个三角形的两对对应边的比例相等， 那么它们是相似的。具体而言，如果两个三角形的对应边所对应的长 度比例相等，则它们是相似的。记为SSS相似性质。 3. 角和对边的比例性质：如果两个三角形的对应角相等且对应边的 长度比例相等，那么它们是相似的。具体而言，如果两个三角形的对 应角相等且对应边的长度比例相等，则它们是相似的。记为SAS相似 性质。 二、相似三角形的判定方法 1. AA判定法：如果两个三角形的两个角分别相等，则它们一定是 相似的。即，如果两个三角形的两个角分别相等，则它们的第三个角 也必然相等，从而满足AA相似性质。 2. SSS判定法：如果两个三角形的三对对应边的长度比例相等，则它们一定是相似的。即，如果两个三角形的三对对应边的长度比例相等，则它们满足SSS相似性质。 3. SAS判定法：如果两个三角形的一个对应角相等，且对应边的长度比例相等，则它们一定是相似的。即，如果两个三角形的一个对应角相等，且对应边的长度比例相等，则它们满足SAS相似性质。 三、实例分析 为了更好地理解相似三角形的判定方法，我们来看一个实例。 已知三角形ABC和三角形DEF，已知∠A=∠D，∠B=∠E，且 AB/DE = BC/EF = CA/FD，我们需要判定这两个三角形是否相似。 根据给定条件可知，∠A=∠D，∠B=∠E，且BC/EF = CA/FD。 根据SAS判定法，如果对应角相等且对应边的长度比例相等，则两个三角形相似。 由此得出结论，三角形ABC和三角形DEF是相似的。 四、应用案例 相似三角形的性质及判定方法在很多几何问题中有广泛的应用。例如，在实际测量中，当我们只能测量到三角形的一些角度和边长时，可以通过相似三角形的性质来计算其他未知部分的长度。此外，在建筑、地理、工程等领域，相似三角形也有着重要的应用。 结语： 相似三角形的性质 相似三角形是初中数学中的一个重要概念，它在几何学中有着广泛的应用。相 似三角形是指具有相同形状但大小不同的三角形。在实际问题中，我们经常需要利用相似三角形来解决各种测量和计算问题。本文将介绍相似三角形的性质，并通过实例说明其应用。 一、相似三角形的定义和判定 相似三角形的定义是指具有相同形状但大小不同的三角形。两个三角形相似的 条件是它们对应的角相等，并且对应边的比例相等。具体而言，如果两个三角形的对应角相等，并且对应边的比例相等，那么这两个三角形就是相似的。 例如，我们可以考虑一个等腰三角形ABC和一个等腰三角形DEF，它们的顶 角和底边的比例相等。根据相似三角形的定义，我们可以得出这两个三角形是相似的。 二、1. 相似三角形的对应角相等 相似三角形的对应角相等是相似性的基本性质之一。这意味着如果两个三角形 相似，它们的对应角一定相等。例如，如果两个三角形的一个角分别为45°和45°，那么它们就是相似的。 2. 相似三角形的对应边比例相等 相似三角形的对应边比例相等是相似性的另一个重要性质。这意味着如果两个 三角形相似，它们的对应边的比例一定相等。例如，如果一个三角形的两条边的比例为2:3，而另一个三角形的对应边的比例也为2:3，那么这两个三角形就是相似的。 3. 相似三角形的周长比例相等 相似三角形的周长比例相等是相似性的一个重要推论。这意味着如果两个三角 形相似，它们的周长的比例一定相等。例如，如果一个三角形的周长为10厘米， 而另一个三角形的周长为15厘米，那么这两个三角形的周长比例为10:15，即2:3。 三、相似三角形的应用 相似三角形在实际问题中有着广泛的应用。下面通过几个实例来说明相似三角 形的应用。 1. 测量高度 假设我们想要测量一座高楼的高度，但是无法直接测量。我们可以利用相似三 角形的性质来解决这个问题。首先，在地面上选择一个合适的位置，测量自己与高楼之间的距离。然后，测量自己与地面上的一个物体之间的距离，如一个杆子的高度。通过相似三角形的性质，我们可以建立一个比例关系，从而计算出高楼的高度。 2. 计算距离 假设我们想要计算两座建筑物之间的距离，但是无法直接测量。我们可以利用 相似三角形的性质来解决这个问题。首先，在地面上选择一个合适的位置，测量自己与两座建筑物之间的距离。然后，测量自己与其中一座建筑物之间的距离。通过相似三角形的性质，我们可以建立一个比例关系，从而计算出两座建筑物之间的距离。 3. 解决比例问题 相似三角形的性质可以应用于解决各种比例问题。例如，如果一个三角形的两 条边的比例为2:3，而另一个三角形的对应边的比例为3:4，我们可以利用相似三 角形的性质建立一个比例关系，从而计算出其他边的比例。 总结： 相似三角形的判定与性质 一、知识回顾 1、相似三角形的判定： （1）如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。 （2）平行于三角形一边的直线与其它两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。 （3）如果两个三角形的两组对应边的比相等，且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似（4）如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似。 2、相似三角形的性质 （1）对应边的比相等，对应角相等。 （2）相似三角形的周长比等于相似比。 （3）相似三角形的面积比等于相似比的平方。 （4）相似三角形的对应边上的高、中线、角平分线的比等于相似比。 二、典型例题 例1：如图，已知直线AB：y=4/3 x+b交x轴于点A（-3，0），交y轴于点B，过点B作 BC⊥AB交x轴于点C． （1）试证明：△ABC∽△AOB； （2）求△ABC的周长． 例2：如图，一次函数y=kx+b的图象经过点A（-1，0）和点（1，4）交y轴于点B． （1）求一次函数解析式和B点坐标． （2）过B点的另一直线1与直线AB垂直，且交X轴正半轴于点P，求点P的坐标． （3）点M（0，a）为y轴正半轴上的动点，点N（b，O）为X轴正半轴上的动点，当直线MN⊥直线AB时，求a：b的值． 例3：（2000·陕西）如图，在矩形ABCD 中，EF 是BD 的垂直平分线，已知BD=20，EF=15，求矩形ABCD 的周长． 例4：（2010·攀枝花）如图所示，在△ABC 中，BC ＞AC ，点D 在BC 上，且DC=AC ，∠ACB 的平分线CF 交AD 于点F ．点E 是AB 的中点，连接EF ． （1）求证：EF∥BC； （2）若△ABD 的面积是6，求四边形BDFE 的面积． 例题 (1)两个相似三角形的面积比为21:s s ，与它们对应高之比21:h h 之间的关系为_______ (2)如图，已知DE ∥BC ，CD 和BE 相交于O ，若16:9:=??COB ABC S S ，则AD:DB=_________ B C D E A O (2)题图 (4)题图 B G F E D A C (5)题图 C A ’ D D ’ C ’ B ’ B A 相似三角形性质 知识精要 一、相似三角形的性质 1、(定义):相似三角形的对应角相等，对应边成比例。 2、性质定理1:相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比。 3、性质定理2:相似三角形的周长比等于相似比。 4、性质定理3:相似三角形的面积比等于相似比的平方。 二、相似三角形的应用 例题讲解: 例题:地图比例尺为1:2000，一块多边形地区在地图上周长为50cm，面积为100cm2，实际周长为1000 m，实际面积为40000m2。 变式:东海大桥全长32.5千米，如果东海大桥在某张地图上的长为6.5厘米，那么该地图上距离与实际距离的比为( )。 A.1:5000000 B.1:500000 C.1:50000 D.1:5000 答案：B 例题:(1)两个相似三角形的面积之比为9:16，它们的对应高之比为3:4 。 (2)两个相似三角形的相似比为1:3，则它们的周长比为1:3 ，面积比为1:9 。 变式:(1)两个相似三角形面积之比是1:3，则他们对应边上的高之比为( )。 (A).1:3 (B) 3:1 (C) 1:3(D) 1:9 (2)两个相似三角形的相似比是2:3，面积相差30厘米2，则它们的面积之和是( )。 (A)150厘米2(B) 65厘米2(C) 45厘米2(D) 78厘米2 答案：(1) C (2)D 。 例题:如图，已知DE//BC ，AD:DB=2:3，那么S △ADE :S △ECB = 4:15 。 变式:如图，在 ABCD 中，AC 与DE 交于点F ，AE:EB=1:2，S △AEF =6cm 2，则S △CDF 的值为( )。 A.12cm 2 B.15cm 2 C.24cm 2 D.54cm 2 答案：D 。 例题:如图，已知梯形ABCD 中，AD//BC ，AD:BC=3:5， 求: (1)S △AOD :S △BOC 的值；(2)S △AOB :S △AOD 的值. 答案:(1)9:25 (2)5:3。 变式:在△ABC 中,DE//BC,DC 与BE 交于点O ，若BCED S 四边形=8ADE S ，且 1DOE S =，求四边形BCED 的面积。 答案: 19 ADE ABC S S =； ∴13DE OE BC OB ==；∵1 3OE OB =；∴ 1 3 ODE OBD S S =； 3OBD S = 。 同理，3OEC S =； ∴ 1 9 DOE OBC S S = ；∴9OBC S =；16BCED S =四边形 例题:如果两个相似三角形对应高的比为5:4，那么这两个相似三角形对应中线的比为( B )。 (A)4:5 (B)5:4 (C)25:16 (D)16:25 变式:(1)两个相似三角形对应中线之比为1:2,又两个三角形面积之和是129平方厘米，则两个三角形的面积分别为____________。 (2)如图，DE 是△ABC 的中位线，CE 、AD 相交于点G ，那么:ACG EDG S S =____________。 相似三角形的性质 相似三角形是初中数学重要的概念之一，它们有着特定的性质和应用。在本文中，我们将探讨相似三角形的定义、性质以及应用。 一、相似三角形的定义 相似三角形指的是具有相同形状但大小不同的三角形。两个三角形相似的条件是：它们对应角度相等，或者它们的对应边比例相等。基于这个定义，我们可以得出以下相似三角形的性质和定理。 二、相似三角形的性质 1. AA相似定理：如果两个三角形的对应角度相等，那么它们是相似的。 2. SSS相似定理：如果两个三角形的对应边比例相等，那么它们是相似的。 3. SAS相似定理：如果两个三角形的一个内角相等，且对应边比例相等，那么它们是相似的。 4. 相似三角形中，对应边的比例关系是恒定的，我们可以表示为a/b = c/d = e/f。其中，a、b、c、d、e、f分别表示两个相似三角形的对应边。 5. 相似三角形的高、中线和角平分线也成比例。 三、相似三角形的应用 1. 测量无法直接获得的长度：我们可以利用相似三角形的性质，通过已知长度和已知角度的三角形推导出其他长度的值。例如，可以利用相似三角形的边比例关系来测量高楼的高度。 2. 解决间接测量问题：相似三角形的性质也可以应用于间接测量问题。例如，当我们无法直接测量河流宽度时，可以通过测量自己位置与河对岸某一点之间的距离及角度，运用相似三角形的理论来计算出河流的宽度。 3. 几何证明：相似三角形的性质在几何证明中也起到重要的作用。通过利用相似三角形的角等性质和边比例关系，可以简化、解决一些几何问题。 4. 模型建立：相似三角形的性质也可以应用于模型建立。例如，制作比例模型时，可以根据相似三角形的比例关系来设计模型的尺寸。 四、相似三角形的推论 基于相似三角形的性质和定理，我们还可以得出一些推论。 1. 正弦定理的推论：当两个角相等时，一般使用正弦定理来求解三角形的边长。但是，当角等于30°、60°或90°时，我们可以运用相似三角形的性质，通过已知边长求解其他边长。 2. 勾股定理的推论：利用相似三角形的性质，我们可以通过已知直角三角形的某一边长求解其他边长。 3. 角平分线的推论：当一条角平分线将三角形划分为两个相似三角形时，可以利用相似三角形的性质来解决该问题。 相似三角形的性质与判定 相似三角形是指具有相同形状但尺寸不同的两个三角形。在几何学中，相似的三角形有着许多有趣的性质和特点。本文将介绍相似三角形的性质和判定方法。 一、相似三角形的性质 1. 相似三角形的对应角相等。如果两个三角形的对应角分别相等，则它们是相似的。例如，若∠A = ∠D，∠B = ∠E，∠C = ∠F，则三角形ABC相似于DEF。 2. 相似三角形的对应边成比例。如果两个三角形的对应边长之比相等，则它们是相似的。例如，若AB/DE = BC/EF = AC/DF，则三角形ABC相似于DEF。 3. 相似三角形的周长比例等于任意一边长的比例。如果两个三角形相似，则它们的周长之比等于任意一边的比例。例如，若三角形ABC 相似于DEF，则AB+BC+AC/DE+EF+DF = AB/DE = BC/EF = AC/DF。 4. 相似三角形的面积比例等于边长比例的平方。如果两个三角形相似，则它们的面积之比等于对应边长比例的平方。例如，若三角形ABC相似于DEF，则△ABC的面积/△DEF的面积 = (AB/DE)² = (BC/EF)² = (AC/DF)²。 二、相似三角形的判定方法 1. AA判定法：若两个三角形的两对角分别相等，则它们是相似的。例如，如果∠A = ∠D，∠B = ∠E，则三角形ABC相似于DEF。 2. SAS判定法：若两个三角形的一个角相等，两边成比例，则它们 是相似的。例如，如果∠A = ∠D，AB/DE = AC/DF，则三角形ABC 相似于DEF。 3. SSS判定法：若两个三角形的三边成比例，则它们是相似的。例如，如果AB/DE = BC/EF = AC/DF，则三角形ABC相似于DEF。 4. 直角三角形的判定法：若两个直角三角形的斜边和直角边成比例，则它们是相似的。例如，若∠C = ∠F = 90°，AB/DE = AC/DF，则三角形ABC相似于DEF。 三、示例问题 1. 已知三角形ABC中，∠A = 30°，∠B = 60°，边AC的长度为 6cm，边BC的长度为√3cm。求三角形ABC与一个边长为2cm的等边 三角形是否相似。 根据已知条件，可以计算出边AB的长度为2√3cm，而等边三角形 的三边长度均为2cm，因此边长比例为AB/DE = 2√3/2 = √3/1 = √3，而 角度比例为∠A = 30°与∠D = 60°，∠B = 60°与∠E = 60°，∠C = 90°与 ∠F = 60°，因此根据AA判定法，三角形ABC与等边三角形DEF相似。 2. 已知三角形ABC与三角形DEF相似，AB = 20cm，BC = 30cm，DE = 10cm，DF = 15cm，求EF的长度。 三角形的相似性质与判定 相似三角形是指具有相同形状但大小不同的三角形。在几何学中， 相似三角形具有一些特定的性质和判定方法。本文将介绍三角形的相 似性质及其判定方法，以帮助读者更好地理解和应用这一概念。 一、相似三角形的性质 相似三角形具有以下几个重要的性质： 1. 对应角相等性质：两个三角形如果对应角相等，则它们是相似的。具体来说，如果两个三角形中的对应角分别相等，那么这两个三角形 相似。 2. 对边比例性质：相似三角形的对应边之比是相等的。具体来说， 如果两个三角形中的对应边之比分别相等，那么这两个三角形相似。 这里的对应边可以是任意一对边，包括斜边。例如，在相似三角形 ABC和DEF中，边AB与边DE的比等于边BC与边EF的比，边AC 与边DF的比。 3. 反证法证明：当两个三角形的两组对应边之比分别相等时，可以 推导出它们的对应角相等，从而得出两个三角形相似的结论。 二、相似三角形的判定方法 判定两个三角形是否相似的方法主要有以下几种： 1. AA相似判定：如果两个三角形的两个对应角分别相等，则这两个三角形相似。这是相似三角形中最基本的判定方法之一。例如，如果∠A = ∠D，∠B = ∠E，则三角形ABC与三角形DEF相似。 2. SAS相似判定：如果两个三角形的一个对应角相等，而两个对应边之比相等，则这两个三角形相似。例如，如果∠A = ∠D，AB/DE = AC/DF，则三角形ABC与三角形DEF相似。 3. SSS相似判定：如果两个三角形的三组对应边的比都相等，则这两个三角形相似。例如，如果AB/DE = BC/EF = AC/DF，则三角形ABC与三角形DEF相似。 4. 直角三角形相似判定：两个直角三角形的两个锐角分别相等，则这两个直角三角形相似。这个判定方法利用了直角三角形中锐角的独特性质。 三、应用举例 下面举例说明相似三角形的应用： 例1：已知在△ABC中，∠A = 30°，∠B = 60°，∠C = 90°。若AD 是BC的中线，求AD的长度。 解：首先，根据直角三角形相似判定，可以知道△ABC与△ADB 相似。由于∠B = ∠D，因此这两个三角形相似。根据对边比例性质可得： AB/AD = BC/BD 相似三角形的性质(经典全面) 相似三角形的性质及判定 一、相似的有关概念 相似形是指具有相同形状的图形，但大小不一定相同。相似图形之间的互相变换称为相似变换。 二、相似三角形的概念 相似三角形是指对应角相等，对应边成比例的三角形。用符号XXX表示，例如△ABC∽△A B C。 三、相似三角形的性质 1.对应角相等：如果△ABC与△A B C相似，则有 A A， B B， C C。 2.对应边成比例：如果△ABC与△A B C相似，则有AB/BC=AC/A C=BC/B C=k（k为相似比）。 3.对应边上的中线、高线和对应角的平分线成比例，都等于相似比。 例如，如果AM是△ABC中BC边上的中线，A M是△A B C中B C边上的中线，则有AM/A M=k。 如果AH是△ABC中BC边上的高线，A H是 △A B C中B C边上的高线，则有AH/A H=k。 如果AD是△ABC中BAC的角平分线，A D是 △A B C中B A C的角平分线，则有 AD/A D=k。 4.相似三角形周长的比等于相似比。如果△ABC与 △A B C相似，则有AB+BC+AC/ A B+ B C+A C=k。 ABCD 中间观察，比例式中的比AD和BC中的三个字母A，B，C恰为△ABC的顶点；比CD和EF中的三个 EFDC 字母D，E，F恰为△DEF的三个顶点．因此只需证欲证 △ABC∽△DEF． 证明比例中项式或倒数式或复合式的方法，可以运用“三 点定形法”，也可以利用“分离比例中项法”或“ 分离倒数式法”或“分离复合式法”． 由于在运用三点定形法时，可能会遇到三点共线或四点中没有相同点的情况，此时可以考虑使用等线、等比或等积进行变换，然后再使用三点定形法来寻找相似三角形。这种方法被称为等量代换法。在证明比例式时，常常会用到中间比。 证明比例中项式通常涉及与公共边有关的相似问题。这类问题的典型模型是射影定理模型，需要熟练掌握和透彻理解其特征和结论。 证明倒数式往往需要先进行变形，将等式的一边化为1， 另一边化为几个比值的形式，然后对比值进行等量代换，进而证明之。 相似三角形性质总结 相似三角形是指具有相同形状但尺寸不同的两个或多个三角形。在几何学中，相似三角形具有一系列特定的性质。本文将对相似三角形的性质进行总结，以便读者更好地理解和应用。 1. AAA相似性质 当两个三角形的对应角度相等时，它们是相似的。这是最基本的相似性质，也被称为AAA相似性质。 2. AA相似性质 当两个三角形的两个对应角度相等，并且一个对应边成比例时，它们是相似的。这种相似性质称为AA相似性质。 3. SSS相似性质 当两个三角形的对应边成比例时，它们是相似的。这种相似性质称为SSS相似性质。 4. SAS相似性质 当两个三角形的一个角相等，两个对应边成比例，并且第三边也成比例时，它们是相似的。这种相似性质称为SAS相似性质。 5. 相似三角形的对应边比例性质 对于两个相似三角形ABC和DEF，它们的对应边的比例相等，即AB/DE = AC/DF = BC/EF。这是相似三角形的一个重要性质，可以用于求解未知边长的问题。 6. 相似三角形的高线比例性质 对于两个相似三角形ABC和DEF，它们的高线（从顶角到对边的 垂线）也成相同比例，即h₁/h₂ = AB/DE = AC/DF = BC/EF。这个性 质对于计算两个相似三角形高线之间的比例十分有用。 7. 相似三角形的周长比例性质 对于两个相似三角形ABC和DEF，它们的周长的比例也相等，即AB+BC+AC / DE+EF+DF = AB/DE = AC/DF = BC/EF。 8. 相似三角形的面积比例性质 对于两个相似三角形ABC和DEF，它们的面积的比例等于边长的 比例的平方，即S(ABC) / S(DEF) = (AB/DE)² = (AC/DF)² = (BC/EF)²。 相似三角形的性质为我们解决各种几何问题提供了一种有效的方法。通过运用相似三角形的性质，我们可以计算未知边长、角度和面积， 解决实际生活和数学问题。在实际应用中，相似三角形的性质广泛用 于地理测量、航空导航、建筑设计等领域。 总之，相似三角形具有一系列重要的性质，如AAA相似性质、AA 相似性质、SSS相似性质、SAS相似性质等，这些性质可以帮助我们 判断和应用相似三角形。通过对这些性质的深入理解和灵活运用，我 们可以更好地解决与相似三角形相关的问题。 三角形的相似性质 相似三角形是数学中一个重要的概念，描述了具有相似形状但大小不一的三角形之间的关系。相似性质广泛应用于几何学、物理学等领域，在实际问题的解决中起着重要的作用。本文将介绍三角形的相似性质的定义、判定定理以及相关的性质和应用。 一、相似三角形的定义 相似三角形指的是形状相似但大小不一的三角形。两个三角形相似的条件是：对应角相等且对应边成比例。即如果两个三角形的三个角分别相等，且对应边的比值相等，则这两个三角形相似。 二、相似三角形的判定定理 判定两个三角形是否相似的定理有以下几种： 1. AA相似定理（角-角相似定理）：如果两个三角形的两个角分别相等，则这两个三角形相似。 2. SAS相似定理（边-角-边相似定理）：如果两个三角形的一个角相等，并且两个角的两边分别成比例，则这两个三角形相似。 3. SSS相似定理（边-边-边相似定理）：如果两个三角形的三边分别成比例，则这两个三角形相似。 三、相似三角形的性质 相似三角形具有以下性质： 1. 角对应性质：相似三角形的对应角相等。 2. 边对应性质：相似三角形的对应边成比例。 3. 高度对应性质：相似三角形的对应高度成比例。 4. 中位线对应性质：相似三角形的对应中位线成比例。 5. 角平分线的对应性质：相似三角形的对应角平分线成比例。 四、相似三角形的应用 相似三角形在实际问题的求解中有着广泛的应用，以下是一些例子： 1. 测量高处的高度：通过测量一个人站立位置的高度和距离，可以 利用相似三角形的性质计算出高处物体的高度。 2. 图像的放缩：图像的放大和缩小可以用相似三角形的性质来说明。放大或缩小时，对应点之间的距离成比例。 3. 计算无法直接测量的距离：利用相似三角形的性质，可以通过测 量已知距离的两个点的影子长度，计算出无法直接测量的点的距离。 4. 相似图形的图像构造：通过相似三角形的性质，可以根据已知图 形的相似关系构造新的相似图形。 五、总结 相似三角形是数学中重要的概念之一，通过对三角形的角和边的比 值关系进行研究，可以得出相似三角形之间的性质和判定定理。相似 三角形的应用广泛，有助于解决实际问题及深入理解几何学的相关知 相似三角形的性质 相似三角形是指对应角相等且对应边成比例的两个三角形。在几何 学中，相似三角形有一些重要的性质。本文将详细介绍相似三角形的 性质，包括比例关系、角度关系以及面积关系。 一、比例关系 1. 边比例关系：设两个相似三角形分别为△ABC和△DEF，若它们 的对应边AB、BC、AC和DE、EF、DF满足比例关系： AB/DE = BC/EF = AC/DF = k （k为常数） 则称两个三角形的边为成比例边，比例因子为k。这表明两个相 似三角形的对应边长度之比是相等的。 2. 角度比例关系：两个相似三角形的对应角度相等。设∠A = ∠D，∠B = ∠E，∠C = ∠F，则称△ABC与△DEF为相似三角形。 根据角度对应的边比例关系，我们可以得到以下重要的比例关系： AB/DE = BC/EF = AC/DF = k (边比例关系) ∠A/∠D = ∠B/∠E = ∠C/∠F (角度比例关系) 二、角度关系 1. 对应角相等：已知两个相似三角形△ABC和△DEF，它们的对应 角分别为∠A、∠B、∠C和∠D、∠E、∠F。根据相似三角形的定义，我们可以得到 ∠A = ∠D ∠B = ∠E ∠C = ∠F 这意味着两个相似三角形的对应角是相等的。 2. 内角之和：两个相似三角形的内角之和相等。设∠A + ∠B + ∠C = ∠D + ∠E + ∠F = 180°，这意味着两个相似三角形的内角之和相等，都等于180°。 三、面积关系 1. 面积比例关系：设两个相似三角形的比例因子为k，那么它们的 面积之比等于边长之比的平方，即 面积(△ABC)/面积(△DEF) = (AB/DE)^2 = (BC/EF)^2 = (AC/DF)^2 = k^2 这意味着两个相似三角形的面积之比等于边长之比的平方。 2. 高比例关系：两个相似三角形的相应高之比等于边长之比，即 高(△ABC)/高(△DEF) = AB/DE = BC/EF = AC/DF 这表明两个相似三角形的相应高之比等于边长之比。 综上所述，相似三角形具有边比例关系、角度比例关系以及面积关系。这些性质在解决几何问题时有重要的应用价值，可以简化计算步骤，提高解题效率。在实际生活中，相似三角形的性质也有许多应用， 相似三角形的性质 相似三角形是几何学中一个重要的概念，它们具有一些独特的性质和特点。在本篇文章中，我们将深入探讨相似三角形的性质，并介绍一些相关的定理和应用。 一、比例性质 相似三角形的首要性质是比例性质。两个三角形相似的条件之一是它们各个对应顶点的角度相等，另一个重要条件是它们对应的边长成比例。具体而言，如果两个三角形的对应边长之比相等，那么它们就是相似三角形。这一性质可以用以下比例关系表达： $$\frac{AB}{DE} = \frac{BC}{EF} = \frac{AC}{DF}$$ 其中，AB、BC、AC分别是一个三角形的三边的长度，DE、EF、DF分别是另一个相似三角形的对应边的长度。 二、边长比例的重要性质 边长比例是相似三角形中一个非常重要的性质，它具有一些独特的特点： 1. 任意两边之比相等 在相似三角形中，任意两边的长度比都是相等的。例如，在三角形ABC和三角形DEF中，我们有以下关系： $$\frac{AB}{DE} = \frac{BC}{EF} = \frac{AC}{DF}$$ 2. 任意一边与其他边的长度比相等 对于相似三角形中的一条边，它与其他两条边之比都是相等的。例如，在三角形ABC和三角形DEF中，我们有以下关系：$$\frac{AB}{BC} = \frac{DE}{EF} = \frac{DF}{AC}$$ 3. 相似三角形的边长比例唯一 如果两个三角形的边长比例相等，那么它们一定是相似的。这是因为边长比例包含了相似三角形的全部信息，只有这些比例相等，两个三角形的形状才会完全一致。 三、角度对应的性质 除了边长比例之外，相似三角形还有一些角度对应的性质： 1. 对应角相等 在相似三角形中，对应的角是相等的。例如，在三角形ABC和三角形DEF中，我们有以下关系： $$\angle A = \angle D, \angle B = \angle E, \angle C = \angle F$$ 2. 对角相等的必要条件 如果两个三角形的对应角相等，那么它们一定是相似的。这是因为角度包含了三角形的形状信息，只有角度相等，两个三角形的形状才会完全一致。 四、相似三角形的应用 相似形（一） 一、比例性质 1.基本性质： bc ad d c b a =⇔=(两外项的积等于两内项积） 2。反比性质： c d a b d c b a =⇔= （把比的前项、后项交换） 3。合比性质： d d c b b a d c b a ±=±⇒=（分子加(减）分母，分母不变） ． 4。等比性质:（分子分母分别相加，比值不变.） 如果 )0(≠++++====n f d b n m f e d c b a ,那么 b a n f d b m e c a =++++++++ ． 谈重点：(1）此性质的证明运用了“设k 法” ，这种方法是有关比例计算，变形中一种常用方法． (2)应用等比性质时，要考虑到分母是否为零． (3)可利用分式性质将连等式的每一个比的前项与后项同时乘以一个数，再利用等比性质也成立． 5。黄金分割： 错误!内容 错误!尺规作图作一条线段的黄金分割点 经典例题回顾： 例题1．已知a 、b 、c 是非零实数，且 k c b a d d a b c d c a b d c b a =++=++=++=++,求k 的值。 例题2．已知 111 x y x y +=+，求y x x y +的值。 概念： 谈重点： ⑴相似图形强调图形形状相同，与它们的位置、颜色、大小无关． ⑵相似图形不仅仅指平面图形，也包括立体图形相似的情况． ⑶我们可以这样理解相似形：两个图形相似，其中一个图形可以看作是由另一个图形放大或缩小得到的． ⑷若两个图形形状与大小都相同，这时是相似图形的一种特例-—全等形． ①定理:三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例,如图：l 1∥l 2∥l 3。 则，，，…AB BC DE EF AB AC DE DF BC AC EF DF === ②推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例。 ③定理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。 错误!推论：如果一条直线平行于三角形的一条边，截其它两边(或其延长线），那么所截得的三角形与原 一、相似的有关概念 1．相似形 具有相同形状的图形叫做相似形．相似形仅是形状相同,大小不一定相同.相似图形之间的互相变换称为相似变换． ２．相似图形的特性 两个相似图形的对应边成比例，对应角相等. ３．相似比 两个相似图形的对应角相等,对应边成比例. 二、相似三角形的概念 1.相似三角形的定义 对应角相等，对应边成比例的三角形叫做相似三角形. 如图,ABC △与A B C '''△相似，记作ABC A B C '''△∽△,符号∽读作“相似于”. A ' B ' C ' C B A 2．相似比 相似三角形对应边的比叫做相似比．全等三角形的相似比是１.“全等三角形”一定是“相似形”，“相似形”不一定是“全等形”． 三、相似三角形的性质 1.相似三角形的对应角相等 如图,ABC △与A B C '''△相似,则有A A B B C C '''∠=∠∠=∠∠=∠，，． A ' B ' C ' C B A 2．相似三角形的对应边成比例 如图，ABC △与A B C '''△相似,则有 AB BC AC k A B B C A C ==='''''' (k 为相似比） ． 相似三角形的性质及判定 A ' B ' C ' C B A ３．相似三角形的对应边上的中线，高线和对应角的平分线成比例,都等于相似比． 如图1,ABC △与A B C '''△相似，AM 是ABC △中BC 边上的中线,A M ''是A B C '''△中B C ''边上的中 线,则有AB BC AC AM k A B B C A C A M ==== '''''''' (k 为相似比）. M ' M A ' B ' C 'C B A 图1 如图２,ABC △与A B C '''△相似，AH 是ABC △中BC 边上的高线,A H ''是A B C '''△中B C ''边上的高线，则有AB BC AC AH k A B B C A C A H ==== '''''''' （k 为相似比)． H 'H A B C C 'B 'A ' 图2 如图３,ABC △与A B C '''△相似,AD 是ABC △中BAC ∠的角平分线，A D ''是A B C '''△中B A C '''∠的角 平分线，则有AB BC AC AD k A B B C A C A D ==== ''''''''(k 为相似比)． D ' D A ' B C 'C B A 图３ 4．相似三角形周长的比等于相似比． 如图4，ABC △与A B C '''△相似，则有 AB BC AC k A B B C A C ==='''''' (k 为相似比） ．应用比例的等比性质有AB BC AC AB BC AC k A B B C A C A B B C A C ++===='''''''''''' ++. 相似三角形的判定： （1）如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似； （2）平行于三角形一边的直线和三角形其他两边相交，所构成的三角形和原三角形相似； （3）如果两个三角形的两条对应边之比相等，并且对应的夹角相等，那么这两个三角形相似； （4）如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似。 如图，已知∠1=∠2，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC ∽△ADE 的是（ ） A ． AE AC AD AB = B ．DE BC AD AB = C ．∠B=∠D D ．∠C=∠AED 如图，在正方形ABCD 中，E 是BC 的中点，F 是CD 上一点，且CF=14CD ，下列结论：①∠BAE=30°，②△ABE ∽△AEF ，③AE ⊥EF ，④△ADF ∽△ECF ．其中正确的个数为 A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 如图，在△ABC 中．∠ACB=90°，CD ⊥AB 于点D ，则图中相似三角形共有 A ．1对 B ．2对 C ．3对 D ．4对 在△ABC 中，∠B=25°，AD 是BC 边上的高，并且AD 2=BD ·DC ，则∠BCA 的度数为_____ 如图，已知直线a∥b∥c，直线m、n与直线a、b、c分别交于点A、C、E、B、D、F，AC=4，CE=6，BD=3，则BF=（） A．7 B．7.5 C．8 D．8.5 如图，∠BAD=∠C，DE⊥AB于E，AF⊥BC于F，若BD=6，AB=8，则DE：AF= 学习《图形的相似》后，我们可以借助探索两个直角三角形全等的条件所获得经验，继续探索两个直角三角形相似的条件。 （1）“对与两个直角三角形，满足一边一锐角对应相等，或两直角边对应相等，两个直角三角形全等”。类似地，你可以等到：“满足，或，两个直角三角形相似”。（2）“满足斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等”，类似地你可以得到“满足的两个直角三角形相似”。请结合下列所给图形，写出已知，并完成说理过程。已知：如图，。 试说明Rt△ABC∽Rt△A’B’C’. 如图，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，四边形ACDE是平行四边形，连接CE交AD于点F，连接BD交CE于点G，连接BE．下列结论中： ①CE=BD；②△ADC是等腰直角三角形；③∠ADB=∠AEB；④CD•AE=EF•CG； 一定正确的结论有 相似形（一） 板块一、课前回顾 一、比例性质 1.基本性质: bc ad d c b a =⇔=（两外项的积等于两内项积） 2.反比性质：c d a b d c b a =⇔= (把比的前项、后项交换) 3.合比性质： d d c b b a d c b a ±= ±⇒=（分子加（减）分母,分母不变） ． 4.等比性质：（分子分母分别相加，比值不变.） 如果 )0(≠++++====n f d b n m f e d c b a ΛΛ，那么 b a n f d b m e c a =++++++++ΛΛ． 谈重点：(1)此性质的证明运用了“设k 法” ，这种方法是有关比例计算，变形中一种常用方法． (2)应用等比性质时，要考虑到分母是否为零． (3)可利用分式性质将连等式的每一个比的前项与后项同时乘以一个数，再利用等比性质也成立． 5.黄金分割： ○ 1内容 ○2尺规作图作一条线段的黄金分割点 经典例题回顾： 例题1．已知a 、b 、c 是非零实数，且 k c b a d d a b c d c a b d c b a =++=++=++=++，求k 的值. 例题2．已知 111 x y x y +=+，求y x x y +的值。 板块二、新课讲解 知识点一、相似形的概念 概念：具有相同形状的图形叫相似图形． 谈重点： ⑴相似图形强调图形形状相同，与它们的位置、颜色、大小无关． ⑵相似图形不仅仅指平面图形，也包括立体图形相似的情况． ⑶我们可以这样理解相似形：两个图形相似，其中一个图形可以看作是由另一个图形放大或缩小得到的． ⑷若两个图形形状与大小都相同，这时是相似图形的一种特例——全等形． 知识点二、平行线分线段成比例定理相似三角形的性质(经典全面)
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