分部积分法教案
分部积分法
教学目的：使学生理解分部积分法，掌握分部积分法的一般步骤及其应用。
重点：分部积分法及其应用
难点：在分部积分法中，要恰当的选取U和v
教学方法：讲练法
0回顾
上几节课我们学习了不定积分的求法，要求我们①熟记基本初等函数积分公式表②熟练、一换元积分法(凑微法)③熟练、灵活的运用第二换元积分法。
凑微法：实质是在被积函数中凑出中间变量的微分；
f(x)dx f [ (x)] '(x)dx
f[ (x)]d[ (x)]
令u (x)
f (u)du
F(u) C
F[ (x)] C
第二换元积分法：关键是通过适当的变量替换x (t)，使得难求的积分易求
f (x)dx 令x (t) f[ (t)]'⑴dt
f[ (t)]d (t)
F[ (t)] C
F(x) C
1引入
用我们已经掌握的方法求不定积分x cosxdx
分析：①被积函数为两函数的乘积不是基本的积分公式。
②凑微法失效。x cosx
③第
—
1类换兀积分法
解：不妨设cosx t则x arccost
原方程t arccost 1-dt
更为复杂
-1 t
所以凑微法和第二换元积分法都失效。
反之考虑，两函数乘积的积分不会，但两函数乘积的求导我们会，比如：(假设u、已知: (u v)' u'v uv' 灵活的运用第v为两个函数)
对上式两边积分得：uv u'vdx uv'dx
观察上式发现被积函数也是两函数乘积的形式，注意：uv'dx中v'为导数形式。
故，我们可以尝试来解一下上面的积分。
x cosxdx
先要化的和要求积分的形式一样
x(sin x)'dx
xsi nx x'si nxdx
xsinx cosx C
真是：山重水复疑无路，柳暗花明又一村。通过上面的方法，我们顺利的解决两函数乘积的积分。其实上面的公式正是这一节课要讲述的“分部积分法”。
2公式
2.1定理设函数u u(x)和v v(x)及都具有连续的导数，则有分部积分公式:
uv'dx uv u'vdx (或udv uv vdu)
说明：①两函数的积分等于将其中一个放在d里后，里外相乘减去换位的积分。
②内外积减去换位“积”。
③步骤：a放d中，b、套公式。
2.2例1求不定积分x sinxdx
解：x sin xdx
x sin xdx
xd(cos x)①放d中
xcosx cos xdx②套公式
xcosx sin x C
3 U、V的选取问题
例2求不定积分e x xdx
解：e x xdx
x 1
2、
e d(-x )
2
1 2 x 1 2. x
x e x de
2 2
1 2 x 1 x 2 ,
x e e x dx
2 2
移项得: uv'dx uv u'vdx
容易发现使用分部积分公式后，变得更加复杂了，是我们的公式用错了吗？不妨换个角度看问题：
e x xdx
xde x
x x
xe e dx
x x
xe e C
发现问题解决了，问题出在哪里？观察发现，这两种做法的不同之处在于把谁放在d里，换句话说就是则样选择u和v的问题，由上面的例看出运用分部积分公式时恰当的选择u和v是十分重要的，选对了可以轻松解题，选错了，轻则解题复杂，重则解不出结果。那么应该如何选取u和v的呢？
我们来看一下公式udv uv vdu，要把v放在d中首先要对v积分，所以v要便于积分；而u要进
行求导，所以u便于求导；实际上关键是v，v定了，u怎然定了。所以U、V选取的原则是：v便于积分，u便于求导。
例3求不定积分xln xdx
分析：对于x和Inx来说明显的x便于积分，故选lnx做u
xln xdx
In xd(1x2)
2
1 2
x In x1 2 ,.x d I n x
22
12
In 1
xdx
x x
22
12
In 1
2 亠
—x x—x C
24
实际上在选取v时是相对的，两个函数中更便于积分的做v，我们列出了一个积分从难到易顺序：反、对、幕、三、指；一般在做题的时候我们选取后面的做v.
4例题讲解
例4求不定积分In xdx
分析：此为一个函数的积分，当然不能使用凑微法、换元法积分，可是不满足两函数乘积，能否用分部积分公式呢？其实只需要将被积函数看作 1 In x即可。
解：
In xdx
In xdx
x I n x xd I n x
x I n x x C
结论：学习数学重要的是记忆、理解公式，更重要的是灵活应用。
例5求不定积分x2e x dx
x
x 2e x dx x 2de
x 2e x 2 xe x dx 再次使用分部积分公式
x 2e x 2 xde x x e 2(xe e dx) 2
X c X X x e 2xe e C
结论：分部积分公式是可以重复使用的。
x
例6求不定积分
e sin xdx
解：
e x sin xdx sin xde x X ?
x .
e sinx
e cos xdx
e sin x e cosx e sin xdx
I
X ? X
I
I e sin x e cosx I 则2I e x sin x e x cosx
1 x x
I - (e x sinx e x cosx) C 2
问题得以解决。故要灵活的处理问题。
5小结
1、 分部积分的公式
解:
好像进入了死胡同，实则不然，令
e x sinxdx I ,则上式变为:
2、U、V的选取
3、灵活的使用公式
x
分部积分的计算方法
§7.2分部积分法与换元积分法 (一) 教学目的：熟练掌握第一、二换元积分法与分部积分法． (二) 教学内容：第一、二换元积分法；分部积分法． ———————————————————————— 如何计算不定积分 ?xdx 2cos ？我们知道， ?+=C x xdx sin cos ，那么是否有 C x xdx +=?2sin 2cos ？显然不对。 计算不定积分，仅有直接积分法还是不行的。如?xdx 2cos 、?xdx ln 、? xdx tan 等积分就不能直接积分，下面探讨其它的计算不定积分的方法。 一、换元积分法 1．凑微分法 定理1（第一换元积分法）若函数)(x u φ=在[a,b]可导，且βφα≤≤)(x ，],[βα∈?u ，有 )()(x f x F ='，则函数)()]([x x f φφ'存在原函数)]([x F φ，即 C x F dx x x f +='?)]([)()]([φφφ **具体应用此定理计算不定积分时，其过程是这样的： ???+====+======'==C x F C u F du u f x d x f dx x x f x u x u )]([)()()()]([)()]([) ()(φφφφφφφ 例7．求 ? +dx x 3 5 分析：我们有公式 ? +=C x dx x 34 3 4 3 ，而上述积分中被积函数根号里面还要加5，不能直接用公式。 为了能用公式计算，进行凑微分： )5(+=x d dx 解： C x C u du u x d x dx x x u x u ++====+=====++=+? ?? +=+=34 53 4 3 5 3 3 )5(4 343)5(55 例8．求? +dx x )85sin( 分析：为了能应用公式计算，进行凑微分：)85(51 += x d dx 解：???+=====++=+udu x d x dx x x u sin 5 1)85()85sin(51 )85sin(85 C x C u x u ++-====+-=+=)85cos(5 1 cos 5185 一般地，在计算积分的时候，有时为了化为能用公式计算，我们常根据需要作下面的凑微分公式： （1）)()(1 )(b ax d b ax f a dx b ax f ++= +
分部积分法word版
4.3 分部积分法 前面介绍的基本积分法和换元积分法的共同特点是经过适当的变形或变换，将不易计算的不定积分转化为易于计算的另一种不定积分，达到化难为易，化未知为已知的目的． 现在我们介绍另一种求不定积分的方法——分部积分法，用于求两种不同类型函数乘积的不定积分，这是与两个函数乘积的导数法则对应的积分方法． 设函数)(x u u =，)(x v v =具有连续导数，因为两个函数乘积的导数公式为 v u v u uv '+'=')( 或 v u uv v u '-'=')( 于是，对上式两边求不定积分，得 ???'-'='vdx u dx uv dx v u )( 即 ??'-='vdx u uv dx v u （4.3.1） 或 ??-=vdu uv udv (4.3.2) 上述公式叫做分部积分公式． 例如： C e xe dx e xe de x dx xe x x x x x x +-=-==??? 【注】：（1）分部积分法主要用于解决被积函数是两类不同类型函数的乘积的不定积分。如 dx xe x ?，dx x x ?sin ，dx x x ?ln ，dx x e x ?sin 等等。 （2）关键是选择合适的u 和dv ，选取原则： （a ）v 要容易求出。（b ） du v ?比dv u ?容易求出。 例如： x x x x de x e x x d e dx xe ??? -=??? ??=222212 1 21 不合适。 （3）步骤：运用分部积分公式求不定积分?dx x f )(的主要步骤是把被积函数)(x f 分解为两部分因式相乘的形式，其中一部分因式看作ｕ，另一部分因式看作v '，而后套用公式，这样就把求不定积分?'dx v u 的问题转化为求不定积分?'vdx u 的问题． ()dx x f ? ()()dx x v x u ?'= 确定()x u 和() x v '
分部积分法教案
分部积分法 教学目的：使学生理解分部积分法，掌握分部积分法的一般步骤及其应用。 重点：分部积分法及其应用 难点：在分部积分法中，要恰当的选取U和v 教学方法：讲练法 0回顾 上几节课我们学习了不定积分的求法，要求我们①熟记基本初等函数积分公式表②熟练、一换元积分法(凑微法)③熟练、灵活的运用第二换元积分法。 凑微法：实质是在被积函数中凑出中间变量的微分； f(x)dx f [ (x)] '(x)dx f[ (x)]d[ (x)] 令u (x) f (u)du F(u) C F[ (x)] C 第二换元积分法：关键是通过适当的变量替换x (t)，使得难求的积分易求 f (x)dx 令x (t) f[ (t)]'⑴dt f[ (t)]d (t) F[ (t)] C F(x) C 1引入 用我们已经掌握的方法求不定积分x cosxdx 分析：①被积函数为两函数的乘积不是基本的积分公式。 ②凑微法失效。x cosx ③第 — 1类换兀积分法 解：不妨设cosx t则x arccost 原方程t arccost 1-dt 更为复杂 -1 t 所以凑微法和第二换元积分法都失效。 反之考虑，两函数乘积的积分不会，但两函数乘积的求导我们会，比如：(假设u、已知: (u v)' u'v uv' 灵活的运用第v为两个函数)
对上式两边积分得：uv u'vdx uv'dx 观察上式发现被积函数也是两函数乘积的形式，注意：uv'dx中v'为导数形式。 故，我们可以尝试来解一下上面的积分。 x cosxdx 先要化的和要求积分的形式一样 x(sin x)'dx xsi nx x'si nxdx xsinx cosx C 真是：山重水复疑无路，柳暗花明又一村。通过上面的方法，我们顺利的解决两函数乘积的积分。其实上面的公式正是这一节课要讲述的“分部积分法”。 2公式 2.1定理设函数u u(x)和v v(x)及都具有连续的导数，则有分部积分公式: uv'dx uv u'vdx (或udv uv vdu) 说明：①两函数的积分等于将其中一个放在d里后，里外相乘减去换位的积分。 ②内外积减去换位“积”。 ③步骤：a放d中，b、套公式。 2.2例1求不定积分x sinxdx 解：x sin xdx x sin xdx xd(cos x)①放d中 xcosx cos xdx②套公式 xcosx sin x C 3 U、V的选取问题 例2求不定积分e x xdx 解：e x xdx x 1 2、 e d(-x ) 2 1 2 x 1 2. x x e x de 2 2 1 2 x 1 x 2 , x e e x dx 2 2 移项得: uv'dx uv u'vdx
公开课(分部积分法)教案
《高职数学》公开课教案 课题：§ 4.4 分部积分法 课型：讲授 教学目的、要求：理解分部积分法的思想方法，正确选取u 、dv ，熟练掌握分部 积分法公式 教学重点、难点：分部积分法及其应用,恰当选取u 、dv 教学内容： 一、分部积分法 设函数u =u (x )及v =v (x )具有连续导数. 那么, 两个函数乘积的导数公式为 '+'='uv u (uv)v 移项得 v '-'='u (uv)uv 对这个等式两边求不定积分, 得 ??'-='v d x u uv dx v u , 或??-=vdu uv udv ,称为不定积分的分部积分公式。 二、例题 例1 C e xe dx e xe xde dx xe x x x x x x +-=-==??? 例2 ???-==xdx x x x xd xdx x sin sin sin cos C x x x ++=c o s s i n . 利用这个公式的关键在于选取适当的u 和dv 选取的一般原则:1.v 容易求得(凑微分法); 2.u vd ?比?udv 容易求. 例3求 ?dx e x x 2 解： x x de x dx e x ? ?=22 C e xe e x dx e xe e x dx xe e x dx e e x x x x x x x x x x x ++-=--=-=-=???22) (222222 2
例4求 ?xdx x arctan 解： ??= 2arctan 2 1arctan xdx xdx x [][] C x x x x dx x x x dx x x x x x d x x x ++-=?? ????+--=??????+-=-=???arctan arctan 2 1)111(arctan 211arctan 21arctan arctan 2122222222 例5 34434411111ln ln ()ln ln 444416 x x xd x x x x dx x x x C ==-=-+蝌? 分部积分法的使用技巧 (1)被积函数是两个不同类型函数的乘积； (2)u 的选取按“反、对、幂、三、指”顺序。 例6求xdx e x sin ?. 解 因为???-==x d e x e xde xdx e x x x x sin sin sin sin ??-=-=x x x x x d e x e x d x e x e c o s s i n c o s s i n ?+-=x d e x e x e x x x c o s c o s s i n ?--=xdx e x e x e x x x sin cos sin , 所以 C x x e xdx e x x +-= ?)cos (sin 21sin . 练习: (1) (2)xdx x ln 2? 例7 求 ?dx e x 解： 令 t x =，则 2t x =，tdt dx 2=，因此 []C x e C e te dt te tdt e dx e x t t t t x +-=+-===???)1(2 2 2 2
换元积分法与分部积分法
8.2 换元积分法与分部积分法（4时） 【教学目的】熟练掌握换元积分法和分步积分法。 【教学重点】换元积分法和分步积分法。 【教学难点】灵活运用换元积分法和分步积分法。 【教学过程】 一 换元积分法 由复合函数求导法，可以导出换元积分法． 定理8．4(换元积分法) 设g(u )在[]βα,上有定义，)(x u ?=在[]b a ,上可导，且 []b a x x ,,)(∈≤≤β?α，并记 [].,),())(()(b a x x x g x f ∈'=?? (i)若)(u g 在[]βα,上存在原函数)(u G ，则)(x f 在[]b a ,上也存在原函数 C x G x F x F +=))(()(),(?，即 ???='=du u g dx x x g dx x f )()())(()(?? .))(()(C x G C u G +=+? (ii) 又若[],,,0)(b a x x ∈≠'?则上述命题(i)可逆，即当)(x f 在[]b a ,上存在原函数F(x )时，g(u )在[βα,]上也存在原函数G(u )，且G(u )=C u F +-))((1 ?，即 ???='=dx x f dx x x g du u g )()())(()(??． .))(()(1 C u F C x F +=+=-? 证 （i ） 用复合函数求导法进行验证： )())(())((x x G x G dx d ???''= ).()())((x f x x g ='?? 所以)(x f 以))((x G ?为其原函数，(1)式成立． ( ii ) 在0)(≠'x ?的条件下，)(x u ?=存在反函数)(1 u x -=?，且 .) (1) (1u x x du dx -='= ?? 于是又能验证（2）式成立： ) (1)()(1)())((1x x f x x F u F du d ???'?='?'=-
分部积分法顺序口诀
不便于进行换元的组合分成两部份进行积分，其原理是函数四则运算的求导法则的逆用。 根据组成积分函数的基本函数将积分顺序整理为口诀：“反对幂三指”。分别代指五类基本函数：反三角函数、对数函数、幂函数、三角函数、指数函数的积分次序。 5 本词条无参考资料, 欢迎各位编辑词条，额外获取5个金币。 基本信息 中文名称 分布积分法 外文名称 Integration by parts 目录 1定义 2应用 折叠编辑本段定义
不便于进行换元的组合分成两部份进行积 分部积分法 分部积分法 分，其原理是函数四则运算的求导法则的逆用。根据组成积分函数的基本函数将积分顺序整理为口诀：“反对幂三指”。分别代指五类基本函数：反三角函数、对数函数、幂函数、三角函数、指数函数的积分次序。 折叠编辑本段应用 在不定积分上的应用 具体操作如：根据“反对幂三指”先后顺序，前者为u，后者为v（例：被积函数由幂函数和三角函数组 分部积分法 分部积分法 成则按口诀先积三角函数（即：按公式∫udv = uv - ∫vdu + c把幂函数看成U，三角函数看成V，））。原公式：(uv)'=u'v+uv'求导公式：d(uv)/dx = (du/dx)v + u(dv/dx) 写成全微分形式就成为：d(uv) = vdu + udv
移项后，成为：udv = d(uv) -vdu 两边积分得到：∫udv = uv - ∫vdu 例：∫xcosxdx = xsinx - ∫sinxdx从这个例子中，就可以体会出分部积分法的应用。 在定积分上的应用 与不定积分的分部积分法一样，可得∫b/a u(x)v'（x）dx=[∫u(x)v'（x）dx]b/a =[u(x)v(x) - ∫v(x)u'(x)dx]b/a =[u(x)-v(x)]b/a- ∫b/a v(x)u'(x)dx 简记作∫b/a uv'dx=[uv]b/a-∫b/a u'vdx 或∫b/a udv=[uv]b/a-∫b/a vdu 例如∫1/0arcsin xdx=[xarcsinx]1/0-∫1/0 xdarcsinx从这个例子中就可以看到在定积分上是如何应用的。
定积分换元法与分部积分法习题教学文稿
定积分换元法与分部积分法习题
1 ?计算下列定积 分: ⑴ g 3)dx； 【解法 一】 应用牛顿-莱布尼兹公式 【解法二】 化到 sin( x 3 )dx sin(x 3 3 [cos( 应用定积分换元法 于是有 dx ； 2(11 5x)3； 【解法一】应用牛顿 u，则dx du ， sin(x )dx 3 3 [cos 3 -莱布尼兹公式 1 dx 2(11 5x)31 (1 1 2 【解法二】应用定积分换元法 令11 5x u， 变化到16,于是有 1 dx 3 2(11 5x) 3)d(x 3)cos(x 3) cos(—一)] [ cos 3 3 3 当x从3单调变化到 4 2 3sinudu 3 (cos3)] 3 5x) 3d(11 1^(11 5 1 1)2 cosu 4 3 2 3 5x) 1(11 2 (11 5 2)2] 则dx 1du， 5 (cos )] 。 3 2 时，u从3单调变 [cos4 3 cos2] 3 5x) 2 1( 12 1) 10 162 51 512 当x从2单调变化到1时，u从1单调 16 u 1 3du 1 5 2 16 1 1o（卡1）誥。
⑶ 0%in cos 1 2 3 d ； 【解法一】应用牛顿-莱布尼兹公式 1 4 4 [cos cos 0] 4 2 【解法二】应用定积分换元法 单调变化到0,于是有 ⑷ o (1 sin 3 )d ； 由于1是独立的，易于分离出去独立积分，于是问题成为对 sin 3 d 的积分, 这是正、余弦的奇数次幕的积分，其一般方法是应用第一换元法，先分出一次 式以便作凑微分： sin d d cos ，余下的sin 2 1 cos 2 ，这样得到的 1 -cos 3 1] 令cos u ， sin du ， 单调变化到 2时，u 从1 2 sin cos 3 :u 3du 0u 3 du (1 cos 2 )d cos 便为变量代换做好了准备。 具体的变换方式有如下两种: 【解法一】 应用牛顿-莱布尼兹公式 3 0 (1 sin )d 1d °sin 2 sin d 0 o (1 cos 2 )d cos (cos (cos cos0) 1 (cos 3 3 cos 3 0) 【解法二】 应用定积分换元法 1) 1(1 1) 2 ? 3 2 sin cos d 2 3 2 cos dcos 1 4 cos 4 【解】被积式为(1 sin 3 )d ，不属于三角函数的基本可积形式，须进行变换。
换元积分法与分部积分法
换元积分法与分部积分法Newly compiled on November 23, 2020
换元积分法与分部积分法（4时） 【教学目的】熟练掌握换元积分法和分步积分法。 【教学重点】换元积分法和分步积分法。 【教学难点】灵活运用换元积分法和分步积分法。 【教学过程】 一 换元积分法 由复合函数求导法，可以导出换元积分法． 定理8．4(换元积分法) 设g(u )在[]βα,上有定义，)(x u ?=在[]b a ,上可导，且[]b a x x ,,)(∈≤≤β?α，并记 (i)若)(u g 在[]βα,上存在原函数)(u G ，则)(x f 在[]b a ,上也存在原函数 C x G x F x F +=))(()(),(?，即 (ii) 又若[],,,0)(b a x x ∈≠'?则上述命题(i)可逆，即当)(x f 在[]b a ,上存在原函数F(x )时，g(u )在[βα,]上也存在原函数G(u )，且G(u )=C u F +-))((1?，即 ???='=dx x f dx x x g du u g )()())(()(??． 证 （i ） 用复合函数求导法进行验证： 所以)(x f 以))((x G ?为其原函数，(1)式成立． ( ii ) 在0)(≠'x ?的条件下，)(x u ?=存在反函数)(1u x -=?，且 于是又能验证（2）式成立： )())((u g x g ==?． 口 上述换元积分法中的公式(1)与(2)反映了正、逆两种换元方式，习惯上分别称为第一换元积分法和第二换元积分法(公式(1)与(2)分别称为第一换元公式与第二换元公式)．
分部积分法顺序口诀
分部积分法顺序口诀 微积分中的一类积分办法：对于那些由两个不同函数组成的被积函数，不便于进行换元的组合分成两部份进行积分，其原理是函数四则运算的求导法则的逆用。 根据组成积分函数的基本函数将积分顺序整理为口诀：“反对幂三指”。分别代指五类基本函数：反三角函数、对数函数、幂函数、三角函数、指数函数的积分次序。 定义 微积分中的一类积分办法：对于那些由两个不同函数组成的被积函数，不便于进行换元的组合分成两部份进行积 分部积分法 分，其原理是函数四则运算的求导法则的逆用。根据组成积分函数的基本函数将积分顺序整理为口诀：“反对幂三指”。分别代指五类基本函数：反三角函数、对数函数、幂函数、三角函数、指数函数的积分次序。 应用 在不定积分上的应用 具体操作如：根据“反对幂三指”先后顺序，前者为u，后者为v（例：被积函数由幂函数和三角函数组分部积分法成则按口诀先积三角函数（即：按公
式∫udv = uv - ∫vdu + c把幂函数看成U，三角函数看成V，））。原公式：(uv)'=u'v+uv'求导公式：d(uv)/dx = (du/dx)v + u(dv/dx) 写成全微分形式就成为：d(uv) = vdu + udv 移项后，成为：udv = d(uv) -vdu 两边积分得到：∫udv = uv - ∫vdu 例：∫xcosxdx = xsinx - ∫sinxdx从这个例子中，就可以体会出分部积分法的应用。 在定积分上的应用 与不定积分的分部积分法一样，可得∫b/a u(x)v'（x）dx=[∫u(x)v'（x）dx]b/a =[u(x)v(x) - ∫v(x)u'(x)dx]b/a =[u(x)-v(x)]b/a- ∫b/a v(x)u'(x)dx 简记作∫b/a uv'dx=[uv]b/a-∫b/a u'vdx 或∫b/a udv=[uv]b/a-∫b/a vdu 例如∫1/0arcsin xdx=[xarcsinx]1/0-∫1/0 xdarcsinx从这个例子中就可以看到在定积分上是如何应用的。