王矜奉固体物理习题
晶体的结构
1． 以刚性原子球堆积模型，计算以下各结构的致密度分别为： （1）简立方，
6
π
; （2）体心立方, ;83π （3）面心立方，
;62π （4）六角密积，;62
π （5）金刚石结构，
;16
3
π [解答]
设想晶体是由刚性原子球堆积而成，一个晶胞中刚性原子球占据的体积与晶胞体积的比值称为结构的致密度，
设 n 为一个晶胞中的刚性原子球数,r 表示刚性原子球半径，V 表示晶胞体
积，则致密度ρ=V
r n 3
34π
（1） 对简立方晶体，任一个原子有6个最近邻，若原子以刚性球堆积，
如图1.2所示，中心在1，2，3，4
处的原子球将依次相切，因为
,,433a V r a ==
面1.2 简立方晶胞 晶胞内包含1个原子，所以
ρ=
6
)
(3
3
23
4π
π=
a
a
（2）对体心立方晶体，任一个原子有8个最近邻，若原子刚性球堆积，如
图1.3所示，体心位置O 的原子8个角顶位置的原子球相切，因为晶胞空间对角线的长度为,,433a V r a ==晶胞内包含2个原子，所以
ρ=
ππ8
3)
(
*23
3
4
334=
a a
图1.3 体心立方晶胞
（3）对面心立方晶体，任一个原子有12个最近邻，若原子以刚性球堆积，如图 1.4所示，中心位于角顶的原子与相邻的3个面心原子球相切，因为
3,42a V r a ==，1个晶胞内包含4个原子，所以
ρ=
6
2)
(
*43
3
4
234ππ=
a a .
图1.4面心立方晶胞
（4）对六角密积结构，任一个原子有12个最近邻，若原子以刚性球堆积，如图1。5所示，中心在1的原子与中心在2，3，4的原子相切，中心在5的原子与中心在6，7，8的原子相切，
图 1.5 六角晶胞 图 1.6 正四面体
晶胞内的原子O 与中心在1，3，4，5，7，8处的原子相切，即O 点与中心在5，7，8处的原子分布在正四面体的四个顶上，因为四面体的高
h =2
23
2
32c r a == 晶胞体积 V = 2
22
360sin ca ca =
, 一个晶胞内包含两个原子，所以
ρ=
ππ6
2)(*22
2
3
3
234=
ca a .
（5）对金刚石结构，任一个原子有4个最近邻，若原子以刚性球堆积，如图1.7所示，中心在空间对角线四分之一处的O 原子与中心在1，2，3，4处的原子相切，因为
,83r a =
晶胞体积 3a V =,
图1.7金刚石结构
一个晶胞内包含8个原子，所以
ρ=
163)
83(
*83
3
34ππ=a
a . 2．在立方晶胞中，画出（102），（021），（122-），和（201-
）晶面。 [解答]
图1.8中虚线标出的面即是所求的晶面。
3．如图1.9所示，在六角晶系中，晶面指数常用（hkml ）表示，它们代表一个晶面在基矢的截距分别为
,,,321m a k a h a 在C 轴上的截距为 l
c 证明：m k h -=+求出 O 5522133131,,,A B B A B B A A A A 和A 531A A 四个面的面指数。
图1.9六角晶胞对称画法
[解答]
设 d 是晶面族（hkml ）的面间距， n 是晶面族的单位法矢量，晶面族（hklm ）中最靠近原点的晶面在a c a a ,321 轴上的截距分别为 l c m a k a h a /,/,/,/321 所以有
1a ?n =hd , 2a ?n =kd , 3a ?n =md .
因为
),(323a a a +-=
所以
3a ?)(32a a n +-=?n 。
由上式得到
md =)(kd hd +-. 即
),(k h m +-=
由图可得到： 31'A A O 晶面的面指数为(11-
21) 1331B B A A 面的面指数为(11-
20)
5522A B B A 晶面的面指数为(1-100) 531A A A 晶面的面指数为(0001)
4．设某一晶面族的面间距为 d , 三个基矢 321,,a a a 的末端分别落在离原点的距离为d h 1,d h d h 32,的晶面上，试用反证法证明：321,,h h h 是互质的。 [解答]
设该晶面族的单位法量为 321,,a a a 由已知条件可得
1a ?21,a d h n =?,
2d h n =3a ?,3d h n =
假定321,,h h h 不是互质数，且公约数 1≠p 即
332211,,pk h pk h pk h ===
321,,k k k 是互质的整数，则有
1a ?21,a d pk n =?32,a d pk n =?d pk n 3=
今取离原点最近的晶面上的一个格点，该格点的位置矢量为
,332211a l a l a l r ++=
由于 心定是整数，而且
r ?11a l d n ==?22a l n +?33a l n +?n
于是得到
1332211=++l pk l pk l pk
由上式可得
p
l k l k l k 1332211=
++ 上式左端是整数，右端是分数，显然是不成立的。矛盾的产生是 p 为不等于1的整数的假定。也就是说，p 只能等于1，即321,,h h h 一定是互质数。
5．证明在立方晶体中，晶列[hkl ]与晶面（hkl ）正交，并求晶面(111l k h ) 与晶面(222l k h )的夹角。
[解答]
设d 是为晶面族（hkl ）的面间距 ，n 为法向单位矢量，根据晶面族的定义，晶面族（hkl ）将 a,b, c 分别截为l k h ,, 等份，即
a?n =a cos(a,n )=hd, b?n =b cos(b,n )=kd,
c?n =c cos(c,n )=ld 于是有
n =a d h i +a
d k j +a d l k
=a
d
(h i +k j +l k )
其中,i ,j,k 分别为平行于a,b,c 三个坐标轴的单位矢量，而晶列[hkl ] 的方向矢量为
R =ha i +ka j +la k =a(h i +k j +l k ) 由（1），（2）两式得
n =2a
d R 即n 与R 平行，因此晶列[hkl ]与晶面（hkl ）正交。
对于立方晶系，晶面(111l k h ) 与晶面(222l k h ) 的夹角，就是晶列 R 1
=1h a +1k b +1l c
与晶列
R 2=2h a +2k b +2l c
的夹角，设晶面 (111l k h )与晶面 (122l k h ) 的夹角为 ? 由
R 1?R 2=??cos cos 2222222
21212
121a l k h l k h R R ++++= =221221221a l l a k k a h h ++ 得
})(({
cos 22
22
22
21
21
2
1
2121211l
k h l k h l l k k h h ++++++=-?
6．如图1.10所示，B,C 两点是面心立方晶胞上的两面心。 （1） 求 ABC 面的密勒指数；
（2） 求 AC 晶列的指数，并求相应原胞坐标系中的指数。
图1.10 面心立方晶胞
[解答]
（1） 矢量A B
与矢量C B 的叉乘即是 ABC 面的法矢量
A B =),2(2
1
)(21)(c b a c b b a B O A O -+=+-+=-
),(2
1
)(21)](21[c a c b b a c B O C O C B +=+-++=-=
A B ?).3(4
)(21)2(21c b a a
c a c b a C B --=+?-+=
因为对立方晶系，晶列[hkl ]与晶面族（hkl ）正交，所以ABC 面的密勒指数为(-
131).
（2）).2(2
1
)()](21[c b a b a b a c A O C O C A -+-=+-++=-=
可见 C A
与晶列 (a+b-2c) 平行，因此 AC 晶列的晶列指数为[11-2]. 由《固体物理教程》（1?3）式可得面心立言结构晶胞基矢与原胞基矢的关系
,321a a a a ++-= ,321a a a b +-= 321a a a c -+=
晶列 (a+b-2c) 可化为 (a+b-2c)=-2(3212a a a -+) 由上式可知，AC 晶列在原胞坐标系中的指数为[11-
2]
7．试证面心立方的倒格子是体心立方；体心立方的倒格子是面心立方。 [解答]
设与晶轴a,b,c 平行的单位矢量分别为i,j,k 面心立方正格子的原胞基矢可取为
),(2
1k j a
a +=
).
(2
),(2
32j i a
a j k a
a +=+=
由倒格矢公式
Ω
?=Ω?=Ω?=
]
[2,][2,][2213132321a a b a a b a a b πππ, 可得其倒格矢为
).
(2),(2),(2321k j i a b k j i a b k j i a b -+=+-=++-=
πππ
设与晶轴a,b,c 平行的单位矢量分别为i,j,k ,体心立方正格子的原胞基矢可取为
).
(2),(2),(2321k j i a
a k j i a
a k j i a
a -+=+-=++-=
以上三式与面心立方的倒格基矢相比较，两者只相差一常数公因子， 这说明面心立方的倒格子是体心立方。
将体心立方正格子原胞基矢代入倒格矢公式 .]
[2,][2,][2213132321Ω
?=Ω?=Ω?=
a a
b a a b a a b πππ 则得其倒格子基矢为
).
(2),(2),(2321j i a
b i k a b k i a b +=+=+=
ππ
π
可见体心立方的倒格子是面心立方。 8．六角晶胞的基矢
ck C j a ai b j a ai a =+-=+=
,223,223
求其倒格基矢。 [解答]
晶胞体积为 ][c b a ??=Ω
.2
3)]()223([)223(
2c a ck j a ai j a ai =?+-?+= 其倒格矢为
k c
c
a j a ai j a ai
b a
c j i a c a j a ai ck a c b j i a c a ck j a ai c b a πππππππππ232
)]223()223[(2][2).33
(232
)]223()[(2][2).3
3
(232
)]()223[(2][2222=?
+-?+=Ω?=
+-=
?
+?=Ω
?=
+=
?
?+-=Ω?=
***
9．证明以下结构晶面族的面间距：
（1） 立方晶系:,][2
122
2
-++=l k h a d hkl
（2） 正交晶系:21
])()()[(222-++=c l b k a h d hkl
（3） 六角晶系:21
])()(34[22
22-+++=c l a
hk k h d hkl
（4） 简单单斜:21])cos 2(sin 1[2222222-+-+=b
k ac hl c l a h d hkl
ββ.
[解答]
（1）设沿立方晶系轴a,b,c 的单位矢量分别为i,j,k ,则正格子基矢为
,,,ak c bj b ai a ===
图1.11立方晶胞
倒格子晶矢为
.2,2,2k a c j a b i a a πππ===***
与晶面族(hkl )正交的倒格为
.***++=lc kb ha K hkl
由晶面间距 hkl d 与倒格矢hkl K 的关系式
得，
.
22
2
2
l
k h a d K d hkl hkl
hkl ++=
=
π
（2）对于正交晶系，晶胞基矢c b a ,,相互垂直，但晶格常数.c b a ≠≠设沿晶轴
c b a ,,的单位矢量分别为i,j,k 则正格子基矢为 ,,,ck c bj b ai a ===
图1.12正交晶胞倒
倒格子基矢为
.2,2,2k c c j b b i a a πππ===***
与晶面族 (hkl ) 正交的倒格为
.***++=lc kb ha K hkl
由晶面间距 hkl d 与倒格矢hkl K 的关系式
hkl
hkl K d π
2=
得
21
])()()[(222-++=c
l b k a h d hkl
（2） 对于六角晶系，,120,90, ===≠=γβαc b a 晶面族 (hkl ) 的面间距
图 1.13 六角晶胞
.2222
****
**++=++==lc
kb hk lc
kb ha K d hkl hkl ππ
π
也即
)].(2)(2)(2[4112
222222
2
*********?+?+?+++=
c a hl c b kl b a hk c l b k a h
d hkl
π
由图1.13可得六角晶胞的体积
.2
3120sin sin )(2
22c a c a c a b a a c =
==??=Ω γ 倒格基矢的模
(
)
()(
)
.223sin 22,3423sin 2222
2
c
c
a a
b a
c c a
c
a ac c
b a b a πγ
ππ
πα
ππ=
=Ω
?===
=
Ω
?===*****
倒格基矢的点积
()()(){()()()()[]().38cos cos cos 44]}
[4][422
2
22222
22
22a
c a c c a b a c c b c b a c a c c b b a πγβαππππ=-Ω=??-??Ω
=???Ω=???Ω=?*
*
其中利用了矢量混合的循环关系
()()()B A C A C B C B A ??=??=??
及关系式
()()().B A C C A B C B A ?-?=??
因为()b a ? 矢量平行于 c 所以
()()[]()()[].
04,
042222
=???Ω
=?=???Ω=?***
*
b a a
c c b b a c b c a π
π 将以上诸式代入（1）式得
hkl
d ,3)(4222
222
c
l a hk k h +++=- 即
hkl d =2
122
22])()(34[-+++c l a
hk k h （4）单斜晶系晶胞基矢长度及晶胞基矢间的夹角分别满足c b a ≠≠ 和
90==γα, 90≠β 晶胞体积 βs i n )(a b c a c b =??=Ω 由
a []Ω?=
*c b π2
b []Ω?=*a
c π2 c []Ω
?=*b a π2 得其倒格子基矢长度
a ,sin 2sin 2β
π
βπa abc bc a ==*=*
及 b b
b π2==**
c β
π
sin 2ac c =
*=*
倒格基矢间的点积
()()c b b a a c ???Ω
=?*
*
22
4π
=()()()()[]b b c a c b b a ??-??Ω
22
4π
=β
βγαπ2
22sin )
cos cos (cos 4abc c ab -
因为)(a c ?矢量平行于b 所以
()()[]042
2
=???=
?*
*
a c c
b b a ππ
()()[]b a a c c b ???Ω
=?*
*
22
4π
将以上诸式代入
()()(
)[
]
*******
**?+?+?+++=c a hl c b kl b a hk c l b k a h d a hkl 2224112222222
π
得到
ββββ2
222222222s i n c o s
2s i n s i n 1ac hl c l b k a h d hkl -++= =+???? ??++ac hl c l a h 2sin 122222β22
b k 即 2
122
2
2222c o s 2s i n 1-??
?
??
?+???? ??-+=b k ac hl c l a h d hkl
β
β
10．求晶格常数为 a 的面心立方和体立方晶体晶面族()321h h h 的面间距 [解答]
面心立方正格子的原胞基矢为
a ()k j a
+=21
()i k a
a +=22
()j i a
a +=2
3
由 [][][],2,2,2213132321Ω
?=Ω?=Ω?=
a a
b a a b a a b πππ
可得其倒格基矢为 (),21k j i a b ++-=π
(),22k j i a b +-=π
(),23k j i a
b -+=π
倒格矢
.332211b h b h b h K h ++= 根据《固体物理教程》（1。16）式 ,2321h
h h h K d π
=
得面心立方晶体面族 ()321h h h 的面间距 h
h h h K d π2321= =
()()()
[]
2
123212
3212
32
1
h h h h h h h h
h a
-+++-+++-
体心立方正格子原胞基矢可取为
()k j i a
a ++-=21
()k j i a
a +-=22
()k j i a
a -+=2
3
其倒格子基矢为
()k j a b +=π
21 ()i k a b +=π
22 ()j i a b +=π
23 则晶面族()321h h h 的面间距为 ()()()[]
2
12
212132322321h h h h h h a
K d h h h h +++++==
π
11．试找出体心立方和面心立方结构中，格点最密的面和最密的线。
[解答]
由上题可知，体心立方晶系原胞坐标系中的晶面族 ()321h h h 的面间距 ()
()()
2
212
132
32321h h h h h h a
d h h h +++++=
可以看出，面间距最大的晶面族就是{}001，将该晶面指数代入《固体物理教程》
（1.32）式，得到该晶面族对应的密勒指数为{
}110 面间距最大的晶面上的格点
最密，所以密勒指数 {
}110 晶面族是格点最密的面，格点最密的线一定分布在格点最密的面上，由图1.14虚线标出的(110)晶面容易算出，最密的线上格点的
周期为
图 1.14 体心立方晶胞
2
3a 由上题还知，面心立方晶系原胞坐标系中的晶面族()321h h h 的面间距
()
()()
2
3212
3212
321321h h h h h h h h h a
d h h h -+++-+++-=
可以看出，面间距最大的晶面族是{
}111。由本章第15题可知，对于面心立方晶体，晶面指数 ()321h h h 与晶面指数(hkl )的转换关系为
()()()(){},1321321321h h h h h h h h h p
hkl -++-++-=
将晶面指数 {
}111 代入上式，得到该晶面族对应的密勒指数也为{}111.面间距最大晶面上的格点最密，所以密勒指数{
}111晶面族是格点最密的面,格点最密的线一定分布在格点最密的面上,由图1.15虚线标出的(111) 晶面上的格点容易算出,
最密的线上格点的周期为
2
2a
图1.15面心立方晶胞
12．证明晶面 ()()'3'2
'1321,h h h h h h 及 ()"3"2"1h h h 属于同一晶带的条件 0"3
"2
"1'3'
2'
132
1=h h h h h h h h h
[解答]
设原胞坐标系中的倒格子基矢为,,,321b b b 则晶面()321h h h ，()'3'2
'1h h h 及 ()"3"2"1h h h 的倒格矢分别为
.
,,
3"32"21"13'
32'21'1332211"'b h b h b h K b h b h b h K b h b h b h K h h h ++=++=++=
当三个晶面共晶带时,它们的交线相互平行,这些交线都垂直于倒格矢h K 'h K "h K 即h K 'h K "h K 位于同一平面上,于是有
()
0"'=??h h h K K K
利用正倒格子的关系
[][][]*
**Ω?=Ω?=Ω?=
213
13221`2,2,2b b b b b b b b a πππ得
()()()
],[22
"1
"
3
'1'
31
"3
"2'3'23
"2
"
1'
2
'11
3"
3'1"1'332"2'3"3'221"1'2"2'1"'a h h h h a h h h h a h h h h b b h h h h b b h h h h b b h h h h K K h h ++Ω=?-+?-+?-==?*π
式中*Ω为倒格原胞体积,于是得到
(). 1
"3
"2
"
1'3'2'
1321"
1"3'
1'
32"3"2'3'2
1"
2"1'
2
'13"'h h h h h h h h h h h h h h h h h h h h h h h h K K K h h h =++=??Ω*
代入(1)式,得
="3
"2
"
1'3'2'132
1h h h h h h 0
13.晶面 ()()'
3'2
'1321,h h h h h h 的交线与晶列 ,332211a l a l a l R l ++=
平行,证明
.,,'
2
'
12
1
3'1'313
2'3'232
1h h h h l h h h h l h h h h l ===
[解答]
与晶面()()'
3'2
'1321,h h h h h h 垂直的倒格矢分别为 ,
,
3'
32'21'1332211'b h b h b h K b h b h b h K h h ++=++=
晶面的交线应同时与h K 和'h K 垂直,即与'h h K K ?平行,而
,221'
313
1'3'2
323'2
'1
2
11
31
'3
1332'3
'2
3221'2
'1
21'??
????++
Ω=?+?+?=?*
a h h h h a h h h h a h h h h
b b h h
h h b b h
h
h h b b h
h
h h K K h h π
式中 ()321b b b ??=Ω* 为倒格原胞体积 ,321,,a a a 为正格原胞基矢
已知晶面()()'
3'2
'1321,h h h h h h 的交线与晶列332211a l a l a l R l ++=平行,即l R 和"'h h K K ?平行,因此321,,l l l 可取为
'
2
'
121
3'1'313
2'3'232
1,,h
h h h l h h h h l h h h h l ===
.
14．今有正格矢 .
,,
3"2"1"3'2'1'321a n a m a l w a n a m a l v na ma la u ++=++=++= 其中n m l ,,; ''',,n m l 及""",,n m l 均为整数,试证w v u ,, 可选作基矢的充分条件是
.1"
'
"'±=n n n
m m m [解答] 解法一:
固体物理原胞的选取方法有无数种,但它们有一个无同的特点,即它们的体积都相等,是晶体的最小重复单元。因此 w v u ,, 可选作基矢的充分条件是，由基矢
w v u ,, 构成的原胞体积一定等于由基矢321,,a a a 构成的原胞体积，即
()()Ω=??=??321a a a w v u 将
3
"2"1"3'2'1'321,,
a n a m a l w a n a m a l v na ma la u ++=++=++= 代入()w v u ??得
()w v u ??
(
)
()(
)
()()()[]
(
)
(
)()
."
'
"'
"'"'"
'"
'
"
'"'"'32"'"'32"'"'21"'"'Ω=Ω
-+Ω-+Ω-=?-+?-+?-?=n n n
m m m l l l n l l
n m m n n m l l m m l n a a n l l n a a m n n m a a l m m l u
将上式代入（1）得
.1"
'
"'
"
'±=n n n
m m m l l l
解法二：
设zw yv xu a ++=1，当w v u ,,为基矢时，z y x ,,应取整数值，将
.
,,3"2"1"3'2'1'321a n a m a l w a n a m a l v na ma la u ++=++=++= 代入zw yv xu a ++=1 得
()()()
.3"'2"'1"'1a zn yn xn a zm ym xm a zl yl xl zw yv xu a ++++++++=++=
由此得方程组???
??=++=++=++001"'"'"'zn yn xn zm ym xm zl yl xl
解方程得
.,0011
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m m m l l l n n m m l
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z n n m m l l y n n m m l l x =??
=
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=
由于z y x ,,的表示式中的三分子的行列式的值均为整数，z y x ,,为整数，因此
w v u ,,可选作基矢的充分条件是
1"
'
"'
"
'±=n n n
m m m l l l 15．对于面心立方晶体，已知晶面族的密勒指数为()hkl ，求对应的原胞坐标中的面指数()321h h h 若已知()321h h h 求对应的密勒指数()hkl 。
[解答]
由《固体物理教程》（1。3）式和（1。4）两式得面心立方晶体原胞坐标系中的倒格基矢321,,b b b 与晶胞坐标系中的倒格基矢***c b a ,,的关系为
()()
()()
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.2,2,2321*********-+=-+=+-=+-=++-=++-=
c b a k j i a b c b a k j i a b c b a k j i a b π
π
π
也即
()()().
212,212,21
2211332b b k a c b b j a b b b i a a +==+==+==
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与晶面族()hkl 垂直的倒格矢
()()()[](),2
1
212
1
332211321321b h b h b h p pK b k h b h l b l k lc kb ha K h h h hkl ++==+++++=
++=***
321h h h K 与晶面族 ()321h h h 正交，因此，若已知晶面族的密勒指数(hkl )则原胞坐标
系中的面指数
()()(){}k h h l l k p
h h h +++=)(1321
其中 p 是()()k h h l l k +++,),(的公约数 同样
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321321321332211321*
*****++==-+++-+++-=++=lc kb ha p K p c h h h b h h h a h h h b h b h b h K hkl h h h
hkl K 与晶面族 (hkl ) 正交，因此，若已知晶面族的面指数 ()321h h h 则晶胞坐标
系中的面指数 (hkl )()()(){},1
321321321'h h h h h h h h h p
-++-++-=
其中 'p 是 ()()()321321321,,h h h h h h h h h -++-++- 的公约数。 16．证明不存在5度旋转对称轴。 [解答]
固体物理课后答案
1.1 如果将等体积球分别排列成下列结构，设x 表示钢球所占体积与总体积之比，证明结构x简单立方π/ 6 ≈0.52 体心立方3π/ 8 ≈0.68 面心立方2π/ 6 ≈0.74六方密排2π/ 6 ≈0.74 金刚石3π/16 ≈0.34 解：设钢球半径为r ，根据不同晶体结构原子球的排列，晶格常数a 与r 的关系不同，分别为：简单立方：a = 2r 金刚石：根据金刚石结构的特点，因为体对角线四分之一处的原子与角上的原子紧贴，因此有
1.3 证明：体心立方晶格的倒格子是面心立方；面心立方晶格的倒格子是体心立方。 证明：体心立方格子的基矢可以写为 面心立方格子的基矢可以写为 根据定义，体心立方晶格的倒格子基矢为 同理 与面心立方晶格基矢对比，正是晶格常数为4π/ a的面心立方的基矢，说明体心立方晶格 的倒格子确实是面心立方。注意，倒格子不是真实空间的几何分布，因此该面心立方只是形式上的，或者说是倒格子空间中的布拉菲格子。根据定义，面心立方的倒格子基矢为 同理 而把以上结果与体心立方基矢比较，这正是晶格常数为4πa的体心立方晶格的基矢。 证明：根据定义，密勒指数为的晶面系中距离原点最近的平面ABC 交于基矢的截距分别为 即为平面的法线
根据定义，倒格子基矢为 则倒格子原胞的体积为 1.6 对于简单立方晶格，证明密勒指数为(h, k,l)的晶面系，面间距d 满足 其中a 为立方边长。 解：根据倒格子的特点，倒格子 与晶面族(h, k,l)的面间距有如下关系 因此只要先求出倒格，求出其大小即可。 因为倒格子基矢互相正交，因此其大小为 则带入前边的关系式，即得晶面族的面间距。
固体物理题库
一、填空题 第一章 1、某些晶体的物理性质具有各向异性：原因在于晶体中原子排列 （在不同方向上具有不同的周期性） 2.按结构划分，晶体可分为大晶系, 共布喇菲格子? 3、面心立方原胞的体积为；第一布里渊区的体积为。 4、简单立方原胞的体积为；第一布里渊区的体积为。 5.体心立方原胞的体积为；第一布里渊区的体积为。 6、对于立方晶系，有、和三种布喇菲格子。 7、金刚石晶体是格子，由两个的子晶格沿空间对角线位移 1／4 的长度套构而成，晶胞中有个碳原子。 8.原胞是的晶格重复单元。对于布喇菲格子，原胞只包含个原子。 9、晶面有规则、对称配置的固体，具有长程有序特点的固体称为；在凝结过程中不经过结晶（即有序化）的阶段，原子的排列为长程无序的固体称为。 10. 由完全相同的一种原子构成的格子，格子中只有一个原子，称为布喇菲格子。满足关系的b1，b2，b3为基矢，由G h=h1b1+ h2b2+ h3b3构成的格子，称为。由若干个布喇菲格子相套而成的格子，叫做，其原胞中有以上的原子。 11、CsCl晶体是格子，由两个的子晶格沿空间对角线位移 1／2 的长度套构而成。 12、对晶格常数为a的SC晶体,与正格矢R=a i+2a j+2a k正交的倒格子晶面族的 2 面指数为 , 其面间距为。122， a3 13、晶体有确定的熔点，晶体熔化热实际是能量（破坏晶体结构的或者说晶体由晶态转化为非晶态的）
14、一个面心立方晶格单元（晶胞）包含有个面心原子和个顶点原子，其原胞拥有个原子 （3，1，1） 15、晶胞是能够反映晶体的结构单元，在固体物理学中重要的是理解晶胞结构 （晶格的对称性和周期性） 16、根据晶胞对称性，晶体分为晶系；根据晶格特点，晶格分为Bravais格子 （7种，14种） 18、晶格分为简单晶格和复式晶格， NaCI是复式晶格，CsCI是复式晶格 （面心立方，简立方） 19、晶格常数大小为晶胞的边长，利用实验可以测量出的晶格常数（X射线衍射） 20、常用的X射线衍射方法主要有、和转动单晶法 （劳厄法、粉末法） 21、单晶具有规则的几何外形，是的结果和宏观体现 （晶体中原子排列具有周期性） 22、按照原子排列特征，固体分为：、和准晶体 （晶体和非晶体） 23、晶体分为单晶和多晶，单晶是长程有序，具有规则的和物理性质（几何外形、各向异性） 24、金属晶体是典型的多晶，构成多晶的单晶晶粒大小为 m （10－6～10－5） 25、晶体结构的基本特征是原子排列的周期性，原胞是能够反映的最小单元，一个原胞拥有一个原子 （晶格周期性） 26、一个体心立方晶格单元（晶胞）包含有个顶点原子和个体心原子，其原胞拥有个原子
固体物理答案
（1） 共价键结合的特点？共价结合为什么有“饱和性”和“方向性”？ 饱和性和方向性 饱和性：由于共价键只能由为配对的电子形成，故一个原子能与其他原子形成共价键的数目是有限制的。N<4，有n 个共价键；n>=4，有（8-n ）个共价键。其中n 为电子数目。方向性：一个院子与其他原子形成的各个共价键之间有确定的相对取向。 （2） 如何理解电负性可用电离能加亲和能来表征？ 电离能：使原子失去一个电子所必须的能量其中A 为第一电离能，电离能可表征原子对价电子束缚的强弱；亲和势能：中性原子获得电子成为-1价离子时放出的能量，其中B 为释放的能量，也可以表明原子束缚价电子的能力，而电负性是用来表示原子得失电子能力的物理量。故电负性可用电离能加亲和势能来表征。 （3） 引入玻恩-卡门条件的理由是什么？ 在求解原子运动方程是，将一维单原子晶格看做无限长来处理的。这样所有的原子的位置都是等价的，每个原子的振动形式都是一样的。而实际的晶体都是有限的，形成的键不是无穷长的，这样的链两头原子就不能用中间的原子的运动方程来描述。波恩—卡门条件解决上述困难。 （4） 温度一定，一个光学波的声子数目多呢，还是一个声学波的声子数目多？ 对同一振动模式，温度高时的声子数目多呢，还是温度低的声子数目多？ 温度一定，一个声学波的声子数目多。 对于同一个振动模式，温度高的声子数目多。 （5） 长声学格波能否导致离子晶体的宏观极化？ 不能。长声学波代表的是原胞的运动，正负离子相对位移为零。 （6）晶格比热理论中德拜（Debye ）模型在低温下与实验符合的很好，物理原因 是什么？爱因斯坦模型在低温下与实验存在偏差的根源是什么？ 在甚低温下，不仅光学波得不到激发，而且声子能量较大的短声学波也未被激发，得到激发的只是声子能量较小的长声学格波。长声学格波即弹性波。德拜模型只考虑弹性波对热容德贡献。因此，在甚低温下，德拜模型与事实相符，自然与实验相符。 爱因斯坦模型过于简单，假设晶体中各原子都以相同的频率做振动，忽略了各格波对热容贡献的差异，按照爱因斯坦温度的定义可估计出爱因斯坦频率为光学支格波。在低温主要对热容贡献的是长声学支格波。 （7）试解释在晶体中的电子等效为经典粒子时，它的有效质量为什么有正、有负、无穷大值？带顶和带底的电子与晶格的作用各有什么特点？ m F m m l +=* m F m v F m v F l ?+?=??* ])()[(1 ])()[(1电子给予晶格德外力给予电子德晶格给予电子德外力给予电子德－＝＋p p m p p m m p ????=?* 当电子从外场获得的动量大于电子传递给晶格的动量时，有效质量为正； 当电子从外场获得的动量小于电子传递给晶格的动量时，有效质量为负； 当电子从外场获得的动量等于电子传递给晶格的动量时，有效质量为无穷。 （8）为什么温度升高，费米能级反而降低？体积膨胀时，费米能级的变化？ 在温度升高时，费米面以内能量离约范围的能级上的电子被激发到之上约范围的能级。故费米球体积V 增大，又电子总数N 不变，则电子浓度减小，又，则费米半径变小，费米能级也减小。当体积膨胀时，V 增大，同理费米能级减小。 （9）什么是p 型、N 型半导体？试用能带结构解释。
固体物理习题解答
第十一章固体中的元激发 什么是元激发，举出三种元激发，并加以简要说明，以及所满足的统计特性 元激发：能量靠近基态的低激发态与其他激发态相比，情况比较简单，这种低激发态可以看出是独立的基本激发单元的集合，这些基本激发单元称为元激发（准离子）。 分为集体激发的准离子和单粒子激发的准粒子。 声子：晶体中原子振动的简正坐标是一系列格波，格波表示原子的一种集体运动，每个格波的能量取值是量子化的，体系的激发态可以看成是一些独立基本激发单元的集合，激发单元就是声子。声子是玻色型准粒子。 磁振子：铁磁材料在T=0K时基态的原子磁矩完全平行排列，基态附近的低激发态相应于少数自旋取向的反转，由于原子之间的相互耦合，自选反转不会局限在个别原子上，而是在晶体内传播形成自选波，自选波表示自旋系统的集体激发，能量是量子化的，体系激发态可以表示成一些独立基本激发单元的集合，即磁振子。遵循玻色统计。 金属中电子和空穴：系统激发态可以看成电子能量和空穴能量之和。电子和空穴都是单粒子元激发。金属中电子系统的激发态可以看成是电子、空穴准粒子的集合。 半导体中电子空穴对：半导体中电子从价带激发到导带形成电子空穴对。费米型元激发。激子：电子和空穴之间由于库伦作用形成激子。玻色型元激发。 极化激元：离子晶体长光学波与光学波形成的耦合振动模，其元激发称为极化激元。 在相互作用电子系统中可能存在玻色元激发吗？举一例说明 等离激元：电子气相对于正电背景的等离子体振荡，振荡的能量是量子化的，元激发即等离激元。玻色型元激发。 第十二章晶体中的缺陷和扩散 分析说明小角晶界的角度和位错间距关系，写出表达式。 相互有小角度倾斜的两部分晶体之间的小角晶界可以看成是一系列刃位错排列而成， D=b/θ，D是小角晶界位错相隔的距离，θ是两部分倾角，b是原子间距。 简述晶体中位错种类及位错方向和滑移方向的关系，哪种位错对体生长有重要影响。 刃位错：位错方向与晶体局部滑移方向垂直。 螺位错：位错方向与晶体局部位移方向平行。螺位错对晶体生长有重要影响。 简述晶体中主要缺陷类型（至少回答三种） 空位：空位是未被占据的原子位置。晶体中的原子围绕其平衡位置做热振动，原子可能获得较大的能量脱离平衡位置，在晶体中形成一个空位 间隙原子：间隙原子是进入点阵间隙的原子。杂质的半径较小可以在点阵中形成间隙原子，格点上的原子也可能获得能量离开而进入晶格形成间隙原子。 位错：由于晶体局部的滑移或者位移，在一定区域原子的排列是不规则的，这个原子错配的过渡区域就是位错。 解释具有点缺陷的离子晶体的导电机制。 离子晶体中的点缺陷（空位和间隙原子）是带有一定的电荷，正空格点、负空格点、正填隙原子、负填隙原子，原来晶体是电中性的，格点失去一个电子而形成空位，使该处多了一个相反的电荷。在没有外电场时，这些缺陷做无规则的布朗运动，不产生宏观电流，有外电场
固体物理试题库(大全)
一、名词解释 1.晶态--晶态固体材料中的原子有规律的周期性排列，或称为长程有序。 2.非晶态--非晶态固体材料中的原子不是长程有序地排列，但在几个原子的范围内保持着有序性，或称为短程有序。 3.准晶--准晶态是介于晶态和非晶态之间的固体材料，其特点是原子有序排列，但不具有平移周期性。 4.单晶--整块晶体内原子排列的规律完全一致的晶体称为单晶体。 5.多晶--由许多取向不同的单晶体颗粒无规则堆积而成的固体材料。 6.理想晶体（完整晶体）--内在结构完全规则的固体，由全同的结构单元在空间无限重复排列而构成。 7.空间点阵（布喇菲点阵）--晶体的内部结构可以概括为是由一些相同的点子在空间有规则地做周期性无限重复排列，这些点子的总体称为空间点阵。 8.节点（阵点）--空间点阵的点子代表着晶体结构中的相同位置，称为节点（阵点）。 9.点阵常数（晶格常数）--惯用元胞棱边的长度。 10.晶面指数—描写布喇菲点阵中晶面方位的一组互质整数。 11.配位数—晶体中和某一原子相邻的原子数。 12.致密度—晶胞内原子所占的体积和晶胞体积之比。 13.原子的电负性—原子得失价电子能力的度量；电负性＝常数（电离能＋亲和能） 14.肖特基缺陷—晶体内格点原子扩散到表面，体内留下空位。 15.费仑克尔缺陷--晶体内格点原子扩散到间隙位置，形成空位－填隙原子对。 16.色心--晶体内能够吸收可见光的点缺陷。 17.F心--离子晶体中一个负离子空位，束缚一个电子形成的点缺陷。 18.V心--离子晶体中一个正离子空位，束缚一个空穴形成的点缺陷。 19.近邻近似--在晶格振动中，只考虑最近邻的原子间的相互作用。 20.Einsten模型--在晶格振动中，假设所有原子独立地以相同频率ωE振动。 21.Debye模型--在晶格振动中，假设晶体为各向同性连续弹性媒质,晶体中只有3支声学波，且ω=vq 。 22.德拜频率ωD──Debye模型中g(ω)的最高频率。 23.爱因斯坦频率ωE──Einsten模型中g(ω)的最可几频率。 24.电子密度分布--温度T时，能量E附近单位能量间隔的电子数。 25.接触电势差--任意两种不同的物质A、B接触时产生电荷转移，并分别在A和B上产生电势V A、V B，这种电势称为接触电势，其差称为接触电势差。 25.BLoch电子费米气--把质量视为有效质量→ m，除碰撞外相互间无互作用，遵守费米分布的 Bloch电子的集合称为BLoch电子费米气。 26.惯用元胞（单胞）：既能反映晶格周期性，又能反映其对称性的结构单元。 27.简谐近似：晶体中粒子相互作用势能泰勒展开式中只取到二阶项的近似。 28.杜隆-伯替定律：高温下固体比热为常数。 29.晶体的对称性：经过某种对称操作后晶体能自身重合的性质。
黄昆版固体物理学课后答案解析答案
《固体物理学》习题解答 黄昆 原著 韩汝琦改编 （陈志远解答，仅供参考） 第一章 晶体结构 1.1、 解：实验表明，很多元素的原子或离子都具有或接近于球形对称结构。因此，可以把这些原子或离子构成的晶体看作是很多刚性球紧密堆积而成。这样，一个单原子的晶体原胞就可以看作是相同的小球按点阵排列堆积起来的。它的空间利用率就是这个晶体原胞所包含的点的数目n 和小球体积V 所得到的小球总体积nV 与晶体原胞体积Vc 之比，即：晶体原胞的空间利用率， Vc nV x = （1）对于简立方结构：（见教材P2图1-1） a=2r ， V= 3 r 3 4π，Vc=a 3，n=1 ∴52.06r 8r 34a r 34x 3 333=π=π=π= （2）对于体心立方：晶胞的体对角线BG=x 3 3 4a r 4a 3=?= n=2, Vc=a 3 ∴68.083)r 3 34(r 342a r 342x 3 3 33≈π=π?=π?= （3）对于面心立方：晶胞面对角线BC=r 22a ,r 4a 2=?= n=4，Vc=a 3 74.062) r 22(r 344a r 344x 3 3 33≈π=π?=π?= （4）对于六角密排：a=2r 晶胞面积：S=62 60sin a a 6S ABO ??=??=2 a 233 晶胞的体积：V=332r 224a 23a 3 8 a 233C S ==?= ? n=1232 1 26112+?+? =6个 74.062r 224r 346x 3 3 ≈π=π?= （5）对于金刚石结构，晶胞的体对角线BG=3 r 8a r 24a 3= ??= n=8, Vc=a 3
固体物理习题解答
《固体物理学》部分习题解答 1.3 证明：体心立方晶格的倒格子是面心立方；面心立方晶格的倒格子是体心立方 。 解 由倒格子定义2311232a a b a a a π?=??v v v v v v 3121232a a b a a a π?=??v v v v v v 12 3123 2a a b a a a π?=??v v v v v v 体心立方格子原胞基矢123(),(),()222a a a a i j k a i j k a i j k =-++=-+=-+v v v v v v v v v v v v 倒格子基矢231123022()()22 a a a a b i j k i j k a a a v ππ?== ?-+?+-??v v v v v v v v v v v v 202()()4 a i j k i j k v π=?-+?+-v v v v v v 2()j k a π=+v v 同理31212322()a a b i k a a a a ππ?== +??v v v v v r r r 32()b i j a π=+v v v 可见由123,,b b b v v v 为基矢构成的格子为面心立方格子 面心立方格子原胞基矢 123()/2 ()/2()/2 a a j k a a k i a a i j =+=+=+v v v v v v v v v 倒格子基矢23 11232a a b a a a π?=??v v v v v v 12()b i j k a π=-++v v v v 同理22()b i j k a π=-+v v v v 32()b i j k a π=-+v v v v 可见由123,,b b b v v v 为基矢构成的格子为体心立方格子 1.4 证明倒格子原胞的体积为0 3 (2)v π，其中0v 为正格子原胞体积 证 倒格子基矢23 11232a a b a a a π?=??v v v v v v 31 21232a a b a a a π?=??v v v v v v 12 31232a a b a a a π?=??v v v v v v 倒格子体积*0 123()v b b b =??v v v
固体物理学题库..doc
一、填空 1.固体按其微结构的有序程度可分为 _______、_______和准晶体。 2.组成粒子在空间中周期性排列，具有长程有序的固体称为 _______；组成粒子在空间中的分布完全无序或仅仅具有短程有序的固体称为 _________。 3.在晶体结构中，所有原子完全等价的晶格称为 ______________；而晶体结构中，存在两种或两种以上不等价的原子或离子的晶格称为 ____________。 4晶体结构的最大配位数是____；具有最大配位数的晶体结构包括 ______________晶体结构和 ______________晶体结构。 5.简单立方结构原子的配位数为 ______；体心立方结构原子的配位数为 ______。6．NaCl 结构中存在 _____个不等价原子，因此它是 _______晶格，它是由氯离子和钠离子各自构成的 ______________格子套构而成的。 7.金刚石结构中存在 ______个不等价原子，因此它是 _________晶格，由两个_____________结构的布拉维格子沿空间对角线位移1/4 的长度套构而成，晶胞中有 _____个碳原子。 8. 以结晶学元胞（单胞）的基矢为坐标轴来表示的晶面指数称为________指数。 9. 满足 a i b j 2 ij 2 ,当i j时 关系的 b1,b 2, b 3为基矢，由0，当 i （ i, j 1,2,3) j时 K h h b h b h构b成的点阵，称为 _______。 1 1 2 2 3 10.晶格常数为 a 的一维单原子链，倒格子基矢的大小为 ________。 11.晶格常数为 a 的面心立方点阵初基元胞的体积为 _______；其第一布里渊区的体积为 _______。 12.晶格常数为 a 的体心立方点阵初基元胞的体积为 _______；其第一布里渊区的体积为 _______。 13.晶格常数为 a 的简立方晶格的 (010)面间距为 ________ 14.体心立方的倒点阵是 ________________点阵，面心立方的倒点阵是 ________________点阵，简单立方的倒点阵是________________。 15.一个二维正方晶格的第一布里渊区形状是 ________________。 16.若简单立方晶格的晶格常数由 a 增大为 2a，则第一布里渊区的体积变为原来的 ___________倍。
固体物理2014题库
一、填空 1. 固体按其微结构的有序程度可分为_______、_______和准晶体。 2. 组成粒子在空间中周期性排列，具有长程有序的固体称为_______；组成粒子在空间中的分布完全无序或仅仅具有短程有序的固体称为_________。 3. 在晶体结构中，所有原子完全等价的晶格称为______________；而晶体结构中，存在两种或两种以上不等价的原子或离子的晶格称为____________。 4晶体结构的最大配位数是____；具有最大配位数的晶体结构包括______________晶体结构和______________晶体结构。 5. 简单立方结构原子的配位数为______；体心立方结构原子的配位数为______。 6．NaCl 结构中存在_____个不等价原子，因此它是_______晶格，它是由氯离子和钠离子各自构成的______________格子套构而成的。 7. 金刚石结构中存在______个不等价原子，因此它是_________晶格，由两个_____________结构的布拉维格子沿空间对角线位移1/4的长度套构而成，晶胞中有_____个碳原子。 8. 以结晶学元胞（单胞）的基矢为坐标轴来表示的晶面指数称为________指数。 9. 满足2,2,1,2,3)0i j ij i j a b i j i j ππδ=??===?≠?当时 （，当时 关系的123,,b b b 为基矢，由112233h K hb h b h b =++构成的点阵，称为_______。 10. 晶格常数为a 的一维单原子链，倒格子基矢的大小为________。 11. 晶格常数为a 的面心立方点阵初基元胞的体积为_______；其第一布里渊区的体积为_______。 12. 晶格常数为a 的体心立方点阵初基元胞的体积为_______；其第一布里渊区的体积为_______。 13. 晶格常数为a 的简立方晶格的(010)面间距为________ 14. 体心立方的倒点阵是________________点阵，面心立方的倒点阵是________________点阵，简单立方的倒点阵是________________。 15. 一个二维正方晶格的第一布里渊区形状是________________。 16. 若简单立方晶格的晶格常数由a 增大为2a ，则第一布里渊区的体积变为原来的___________倍。
固体物理课后习题与答案
第一章 金属自由电子气体模型习题及答案 1. 你是如何理解绝对零度时和常温下电子的平均动能十分相近这一点的？ [解答] 自由电子论只考虑电子的动能。在绝对零度时，金属中的自由（价）电子，分布在费米能级及其以下的能级上，即分布在一个费米球内。在常温下，费米球内部离费米面远的状态全被电子占据，这些电子从格波获取的能量不足以使其跃迁到费米面附近或以外的空状态上，能够发生能态跃迁的仅是费米面附近的少数电子,而绝大多数电子的能态不会改变。也就是说，常温下电子的平均动能与绝对零度时的平均动能十分相近。 2. 晶体膨胀时，费米能级如何变化？ [解答] 费米能级 3/222 )3(2πn m E o F = ， 其中n 单位体积内的价电子数目。晶体膨胀时，体积变大，电子数目不变，n 变小，费密能级降低。 3． 为什么温度升高，费米能反而降低？ [解答] 当K T 0≠时，有一半量子态被电子所占据的能级即是费米能级。除了晶体膨胀引起费米能级降低外，温度升高，费米面附近的电子从格波获取的能量就越大，跃迁到费米面以外的电子就越多，原来有一半量子态被电子所占据的能级上的电子就少于一半，有一半量子态被电子所占据的能级必定降低，也就是说，温度生高，费米能反而降低。 4． 为什么价电子的浓度越大，价电子的平均动能就越大？ [解答] 由于绝对零度时和常温下电子的平均动能十分相近，我们讨论绝对零度时电子的平均动能与电子的浓度的关系。 价电子的浓度越大，价电子的平均动能就越大，这是金属中的价电子遵从费米—狄拉克统计分布的必 然结果。在绝对零度时，电子不可能都处于最低能级上，而是在费米球中均匀分布。由式 3/120)3(πn k F =可知，价电子的浓度越大费米球的半径就越大，高能量的电子就越多，价电子的平均动能 就越大。这一点从3 /2220)3(2πn m E F =和3/222)3(10353πn m E E o F ==式看得更清楚。电子的平均动能E 正比于费米能o F E ，而费米能又正比于电子浓度3 2l n 。所以价电子的浓度越大，价电子的平均动能就越大。 5． 两块同种金属，温度不同，接触后，温度未达到相等前，是否存在电势差？为什么？ [解答] 两块同种金属，温度分别为1T 和2T ，且21T T >。在这种情况下，温度为1T 的金属高于费米能o F E 的电子数目，多于温度为2T 的金属高于费米能o F E 的电子数目。两块同种金属接触后，系统的能量要取最小值，温度为1T 的金属高于o F E 的部分电子将流向温度为2T 的金属。温度未达到相等前，这种流动一直持续，期间，温度为1T 的金属失去电子，带正电；温度为2T 的金属得到电子，带负电，两者出现电势差。
固体物理答案
（1） （2） 共价键结合的特点？共价结合为什么有“饱和性”和“方向性”？ 饱和性和方向性 饱和性：由于共价键只能由为配对的电子形成，故一个原子能与其他原子形成共价键的数目是有限制的。N<4，有n 个共价键；n>=4，有（8-n ）个共价键。其中n 为电子数目。方向性：一个院子与其他原子形成的各个共价键之间有确定的相对取向。 （3） 如何理解电负性可用电离能加亲和能来表征？ 电离能：使原子失去一个电子所必须的能量其中A 为第一电离能，电离能可表征原子对价电子束缚的强弱；亲和势能：中性原子获得电子成为-1价离子时放出的能量，其中B 为释放的能量，也可以表明原子束缚价电子的能力，而电负性是用来表示原子得失电子能力的物理量。故电负性可用电离能加亲和势能来表征。 （4） 引入玻恩-卡门条件的理由是什么？ 在求解原子运动方程是，将一维单原子晶格看做无限长来处理的。这样所有的原子的位置都是等价的，每个原子的振动形式都是一样的。而实际的晶体都是有限的，形成的键不是无穷长的，这样的链两头原子就不能用中间的原子的运动方程来描述。波恩—卡门条件解决上述困难。 （5） 温度一定，一个光学波的声子数目多呢，还是一个声学波的声子数目多？ 对同一振动模式，温度高时的声子数目多呢，还是温度低的声子数目多？ 温度一定，一个声学波的声子数目多。 对于同一个振动模式，温度高的声子数目多。 （6） 长声学格波能否导致离子晶体的宏观极化？ 不能。长声学波代表的是原胞的运动，正负离子相对位移为零。 （6）晶格比热理论中德拜（Debye ）模型在低温下与实验符合的很好，物理原因是什么？爱因斯坦模型在低温下与实验存在偏差的根源是什么？ 在甚低温下，不仅光学波得不到激发，而且声子能量较大的短声学波也未被激发，得到激发的只是声子能量较小的长声学格波。长声学格波即弹性波。德拜模型只考虑弹性波对热容德贡献。因此，在甚低温下，德拜模型与事实相符，自然与实验相符。 爱因斯坦模型过于简单，假设晶体中各原子都以相同的频率做振动，忽略了各格波对热容贡献的差异，按照爱因斯坦温度的定义可估计出爱因斯坦频率为光学支格波。在低温主要对热容贡献的是长声学支格波。 （7）试解释在晶体中的电子等效为经典粒子时，它的有效质量为什么有正、有负、无穷大值？带顶和带底的电子与晶格的作用各有什么特点？ m F m F m F l +=* m F m m l ?+?=??* ])()[(1])()[(1电子给予晶格德外力给予电子德晶格给予电子德外力给予电子德－＝＋p p m p p m m p ????=?*当电子从外场获得的动量大于电子传递给晶格的动量时，有效质量为正； 当电子从外场获得的动量小于电子传递给晶格的动量时，有效质量为负； 当电子从外场获得的动量等于电子传递给晶格的动量时，有效质量为无穷。 （8）为什么温度升高，费米能级反而降低？体积膨胀时，费米能级的变化？ 在温度升高时，费米面以内能量离约范围的能级上的电子被激发到之上约范围的能级。故费米球体积V 增大，又电子总数N 不变，则电子浓度减小，
固体物理习题解答
《固体物理学》习题解答 ( 仅供参考) 参加编辑学生 柯宏伟（第一章），李琴（第二章），王雯（第三章），陈志心（第四章），朱燕（第五章），肖骁（第六章），秦丽丽（第七章） 指导教师 黄新堂 华中师范大学物理科学与技术学院2003级
2006年6月 第一章 晶体结构 1. 氯化钠与金刚石型结构是复式格子还是布拉维格子，各自的基元为何？写出 这两种结构的原胞与晶胞基矢，设晶格常数为a 。 解： 氯化钠与金刚石型结构都是复式格子。氯化钠的基元为一个Na +和一个Cl － 组成的正负离子对。金刚石的基元是一个面心立方上的Ｃ原子和一个体对角线上的Ｃ原子组成的Ｃ原子对。 由于NaCl 和金刚石都由面心立方结构套构而成，所以，其元胞基矢都为： 12 3()2()2()2a a a ? =+?? ?=+?? ?=+?? a j k a k i a i j 相应的晶胞基矢都为： ,,.a a a =?? =??=? a i b j c k 2. 六角密集结构可取四个原胞基矢 123,,a a a 与4a ,如图所示。试写出13O A A '、1331A A B B 、2255A B B A 、123456A A A A A A 这四个晶面所属晶面族的 晶面指数()h k l m 。 解： (1)．对于13O A A '面，其在四个原胞基矢 上的截矩分别为：１，１，1 2 -，１。所以， 其晶面指数为()1121。
(2)．对于1331A A B B 面，其在四个原胞基矢上的截矩分别为：１，１，1 2-，∞。 所以，其晶面指数为()1120。 (3)．对于2255A B B A 面，其在四个原胞基矢上的截矩分别为：１，1-，∞，∞。所以，其晶面指数为()1100。 (4)．对于123456A A A A A A 面，其在四个原胞基矢上的截矩分别为：∞，∞，∞，１。所以，其晶面指数为()0001。 3. 如将等体积的硬球堆成下列结构，求证球体可能占据的最大体积与总体积的 比为： 简立方： 6 π ；六角密集：6；金刚石： 。 证明： 由于晶格常数为a ，所以： (1)．构成简立方时，最大球半径为2 m a R = ，每个原胞中占有一个原子， 3 34326m a V a π π??∴== ??? 36 m V a π∴ = (2)．构成体心立方时，体对角线等于４倍的最大球半径，即：4m R ，每个晶胞中占有两个原子， 3 3 422348m V a π??∴=?= ? ??? 32m V a ∴ = (3)．构成面心立方时，面对角线等于４倍的最大球半径，即：4m R ，每个晶胞占有４个原子， 3 3 444346 m V a a π??∴=?= ? ???
固体物理习题12
固体物理补充习题 晶体的结构 1. 写出NaCl 和CsCl 的结构类型。 2.分别指出简单立方、体心立方和面心立方晶体的倒格子点阵的结构类型。 3 .画出下列晶体的惯用元胞和布拉菲格子，写出它们的初基元胞基矢表达式，指明各晶体的结构及两种元胞中的原子个数。 (1) 氯化钾 （2）氯化钛 （3）硅 （4）砷化镓 （5）钽酸锂（6）铍 解： 基矢表示式参见教材（1－5）、（1－6）、（1－7）式。 4.对于六角密积结构，初基元胞基矢为 . 求其倒格子基矢，并判断倒格子也是六角的。 倒空间 ↑→ j i i (B) 晶胞体积为
其倒格矢为 晶体的结合 1. 晶体的结合能, 晶体的内能, 原子间的相互作用势能有何区别 自由粒子结合成晶体过程中释放出的能量, 或者把晶体拆散成一个个自由粒子所需要的能量, 称为晶体的结合能. 原子的动能与原子间的相互作用势能之和为晶体的内能. 在0K 时, 原子还存在零点振动能. 但零点振动能与原子间的相互作用势能的绝对值相比小得多. 所以, 在0K 时原子间的相互作用势能的绝对值近似等于晶体的结合能. 2.共价结合为什么有 “饱和性”和 “方向性”? 设N 为一个原子的价电子数目, 对于IV A 、V A 、VI A 、VII A 族元素，价电子壳层一共有8个量子态, 最多能接纳(8- N )个电子, 形成(8- N )个共价键. 这就是共价结合的 “饱和性”. 共价键的形成只在特定的方向上, 这些方向是配对电子波函数的对称轴方向, 在这个方向上交迭的电子云密度最大. 这就是共价结合的 “方向性”. 3．已知某晶体两相邻原子间的互作用能可表示成 n m r b r a r U + - =)( (1) 求出晶体平衡时两原子间的距离； (2) 平衡时的二原子间的结合能； (3) 若取m=2,n=10,两原子间的平衡距离为3?,仅考虑二原子间互作用则离解能为4ev ，计算 a 及 b 的值； （4） 若把互作用势中排斥项b/r n 改用玻恩－梅叶表达式λexp(-r/p),并认为在平衡时对互作 用势能具有相同的贡献，求n 和p 间的关系。 解：(1)平衡时 01 1 =-=??----n m r b n r a m r r u 得 am bn r m n =-0 m n am bn r -=1)(0 (2)平衡时 把r 0表示式代入u(r)
固体物理经典复习题及答案(供参考)
一、简答题 1.理想晶体 答：内在结构完全规则的固体是理想晶体，它是由全同的结构单元在空间 无限重复排列而构成的。 2.晶体的解理性 答：晶体常具有沿某些确定方位的晶面劈裂的性质，这称为晶体的解理性。 3.配位数 答: 晶体中和某一粒子最近邻的原子数。 4.致密度 答：晶胞内原子所占的体积和晶胞体积之比。 5.空间点阵(布喇菲点阵) 答：空间点阵(布喇菲点阵)：晶体的内部结构可以概括为是由一些相同的 点子在空间有规则地做周期性无限重复排列，这些点子的总体称为空间点阵(布喇菲点阵)，即平移矢量123d 、d 、h h h d 中123,,n n n 取整数时所对应的点的排列。空间点阵是晶体结构周期性的数学抽象。 6.基元 答：组成晶体的最小基本单元，它可以由几个原子(离子)组成，整个晶体 可以看成是基元的周期性重复排列而构成。 7.格点(结点) 答: 空间点阵中的点子代表着结构中相同的位置，称为结点。 8.固体物理学原胞 答：固体物理学原胞是晶格中的最小重复单元，它反映了晶格的周期性。 取一结点为顶点，由此点向最近邻的三个结点作三个不共面的矢量，以此三个矢量为边作的平行六面体即固体物理学原胞。固体物理学原胞的结点都处在顶角位置上，原胞内部及面上都没有结点，每个固体物理学原胞平均含有一个结点。 9.结晶学原胞 答：使三个基矢的方向尽可能的沿空间对称轴的方向，以这样三个基矢为 边作的平行六面体称为结晶学原胞，结晶学原胞反映了晶体的对称性，
它的体积是固体物理学原胞体积的整数倍,V=n Ω，其中n 是结晶学原胞所包含的结点数, Ω是固体物理学原胞的体积。 10.布喇菲原胞 答：使三个基矢的方向尽可能的沿空间对称轴的方向，以这样三个基矢为 边作的平行六面体称为布喇菲原胞，结晶学原胞反映了晶体的对称性，它的体积是固体物理学原胞体积的整数倍,V=n Ω,其中n 是结晶学原胞所包含的结点数, Ω是固体物理学原胞的体积 11.维格纳-赛兹原胞(W-S 原胞) 答：以某一阵点为原点，原点与其它阵点连线的中垂面(或中垂线) 将空间 划分成各个区域。围绕原点的最小闭合区域为维格纳-赛兹原胞。 一个维格纳-赛兹原胞平均包含一个结点,其体积等于固体物理学原胞的体积。 12. 简单晶格 答：当基元只含一个原子时，每个原子的周围情况完全相同，格点就代表 该原子，这种晶体结构就称为简单格子或Bravais 格子。 13.复式格子 答：当基元包含2 个或2 个以上的原子时，各基元中相应的原子组成与格 点相同的网格，这些格子相互错开一定距离套构在一起，这类晶体结构叫做复式格子。显然，复式格子是由若干相同结构的子晶格相互位移套构而成。 14.晶面指数 答：描写晶面方位的一组数称为晶面指数。设基矢123,,a a a r u u r u u r ，末端分别落 在离原点距离为123d 、d 、h h h d 的晶面上，123、、h h h 为整数，d 为晶面间距，可以证明123、、h h h 必是互质的整数，称123、、h h h 3为晶面指数，记为()123h h h 。用结晶学原胞基矢坐标系表示的晶面指数称为密勒指数。 15.倒格子(倒易点阵)
固体物理学答案(朱建国版)
固体物理学·习题指导配合《固体物理学（朱建国等编著）》使用 2019年9月25日
第1章晶体结构 (1) 第2章晶体的结合 (12) 第3章晶格振动和晶体的热学性质 (20) 第4章晶体缺陷 (33) 第5章金属电子论 (37)
第1章 晶体结构 1.1 有许多金属即可形成体心立方结构，也可以形成面心立方结构。从一种结构转变为另一种结构时体积变化很小.设体积的变化可以忽略，并以R f 和R b 代表面心立方和体心立方结构中最近邻原子间的距离，试问R f /R b 等于 多少？ 答：由题意已知，面心、体心立方结构同一棱边相邻原子的距离相等，都设为a ： 对于面心立方，处于 面心的原子与顶角原子的距离为：R f = 22 a 对于体心立方，处于体心的原子与顶角原子的距离为：R b = 32 a 那么， Rf Rb =23a a =63 1.2 晶面指数为（123）的晶面ABC 是离原点O 最近的晶面，OA 、OB 和OC 分别与基失a 1， a 2和a 3重合，除O 点外，OA ，OB 和OC 上是否有格点？若ABC 面的指数为（234），情况又如何？ 答：晶面族（123）截a 1,a 2,a 3分别为1,2,3等份，ABC 面是离原点O 最近的晶面，OA 的长度等于a 1的长度，OB 的长度等于a 2长度的1/2，OC 的长度等于a 3长度的1/3，所以只有A 点是格点。若ABC 面的指数为（234）的晶面族，则A 、B 和C 都不是格点。 1.3 二维布拉维点阵只有5种，试列举并画图表示之。 答：二维布拉维点阵只有五种类型，两晶轴b a 、，夹角?，如下表所示。 序号 晶系 基矢长度与夹角 关系 布拉维晶胞类型 所属点群 1 斜方 任意2 ,π ?≠ b a 、 简单斜方（图中1所示） 1，2 2 正方 2,π ?= =b a 简单正方（图中2所示） 4，4mm 3 六角 32,π ?==b a 简单六角（图中3所示） 3，3m ，6，6mm 4 长方 2 ,π ?= ≠b a 简单长方（图中4所示） 有心长方（图中5所示） 1mm ，2mm 1 简单斜方 2 简单正方 3 简单六角
固体物理经典复习题及标准答案
固体物理经典复习题及答案
————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期： 2
1 一、简答题 1.理想晶体 答：内在结构完全规则的固体是理想晶体，它是由全同的结构单元在空 间无限重复排列而构成的。 2.晶体的解理性 答：晶体常具有沿某些确定方位的晶面劈裂的性质，这称为晶体的解理性。 3.配位数 答: 晶体中和某一粒子最近邻的原子数。 4.致密度 答：晶胞内原子所占的体积和晶胞体积之比。 5.空间点阵(布喇菲点阵) 答：空间点阵(布喇菲点阵)：晶体的内部结构可以概括为是由一些相同 的点子在空间有规则地做周期性无限重复排列，这些点子的总体称为空间点阵(布喇菲点阵)，即平移矢量123d 、d 、h h h d 中123,,n n n 取整数时所对应的点的排列。空间点阵是晶体结构周期性的数学抽象。 6.基元 答：组成晶体的最小基本单元，它可以由几个原子(离子)组成，整个晶 体可以看成是基元的周期性重复排列而构成。 7.格点(结点) 答: 空间点阵中的点子代表着结构中相同的位置，称为结点。 8.固体物理学原胞 答：固体物理学原胞是晶格中的最小重复单元，它反映了晶格的周期性。 取一结点为顶点，由此点向最近邻的三个结点作三个不共面的矢量，以此三个矢量为边作的平行六面体即固体物理学原胞。固体物理学原胞的结点都处在顶角位置上，原胞内部及面上都没有结点，每个固体物理学原胞平均含有一个结点。 9.结晶学原胞 答：使三个基矢的方向尽可能的沿空间对称轴的方向，以这样三个基矢
固体物理概念答案
1． 基元，点阵，原胞，晶胞，布拉菲格子，简单格子，复式格子。 基元：在具体的晶体中，每个粒子都是在空间重复排列的最小单元； 点阵：晶体结构的显著特征就是粒子排列的周期性，这种周期性的阵列称为点阵； 原胞：只考虑点阵周期性的最小重复性单元； 晶胞：同时计及周期性与对称性的尽可能小的重复单元； 布拉菲格子：是矢量Rn=mA1+nA2+lA3全部端点的集合，A1，A2，A3分别为格点到邻近三个不共面格点的矢量； 简单格子：每个基元中只有一个原子或离子的晶体； 复式格子：每个基元中包含一个以上的原子或离子的晶体； 2． 晶体的宏观基本对称操作，点群，螺旋轴，滑移面，空间群。 宏观基本对称操作：1、2、3、4、6、i 、m 、4， 点群：元素为宏观对称操作的群 螺旋轴：n 度螺旋轴是绕轴旋转2/n π与沿转轴方向平移T t j n =的复合操作 滑移面：对某一平面作镜像反映后再沿平行于镜面的某方向平移该方向周期的一半的复合操作 空间群：保持晶体不变的所有对称操作 3． 晶向指数，晶面指数，密勒指数，面间距，配位数，密堆积。 晶向（列）指数：布拉菲格子中所有格点均可看作分列在一系列平行直线族上，取一个格点沿晶向到邻近格点的位移基失由互质的（l1/l2/l3）表示； 晶面指数：布拉菲格子中所有格点均可看作分列在一系列平行平面族上，取原胞基失为坐标轴取离原点最近晶面与三个基失上的截距的倒数由互质的（h1/h2/h3）表示； 密勒指数：晶胞基失的坐标系下的晶面指数； 配位数：晶体中每个原子（离子）周围的最近邻离子数称之为该晶体的配位数； 面间距：晶面族中相邻平面的间距； 密堆积：空间内最大密度将原子球堆砌起来仍有周期性的堆砌结构； 4． 倒易点阵，倒格子原胞，布里渊区。 倒易点阵：有一系列在倒空间周期性排列的点-倒格点构成。倒格点的位置可由倒格子基矢表示，倒格子基矢由…确定 倒格子原胞：倒空间的周期性重复单元（区域），每个单元包含一个倒格点 布里渊区：在倒格子中如以某个倒格点作为原点，画出所有倒格矢的垂直平分面，可得到倒格子的魏格纳塞茨原胞，即第一布里渊区 5． 布拉格方程，劳厄方程，几何结构因子。 劳厄方程0(s s )m m R S λ?-= 布拉格方程2sin hkl d m θλ=
固体物理题目总汇
填空题 1、根据固体材料中原子排列的方式可以将固体材料分为晶体、非晶体 和准晶体。 2、晶体结构=点阵+ 基元。 3、晶体的比热包括晶格比热和电子比热。 4、结晶学中，属于立方晶系的布拉维晶胞有简单立方、体心立方 和面心立方三种。 5、密堆结构有两种：六方密堆积和立方密堆积。 6、原子电负性在一个周期内由左到右不断升高，周期表由上到下，负电性逐渐降低。 7、限定波矢q的取值范围在第一布里渊区 8、金属的未满能带叫价带或导带。 1、人们利用X射线衍射测定晶体结构。 3、晶体的热学性质，如比热、热膨胀和热传导等就与晶格振动密切有关。 4、声子是一种准粒子，不具有通常意义下的动量，常把?q称为声子 的准动量。 5、根据晶体缺陷在空间延伸的线度晶体缺陷可分为点缺陷~线缺陷、面缺陷和体缺陷。 6、V心是F心的反型体。 1、晶体的基本结构单元称为基元。 2、面心立方晶胞的晶格常数为a，其倒格子原胞的体积等于32 3/a3。 3、布拉维空间点阵共有14 种，归为7种晶系。 5、一维双原子链的色散关系中频率较低的一支叫声学支（声频支），它很像单原子链中的声学支，；频率较高的一支则叫光学支（光频支）。 6、面缺陷有堆垛层错、小角晶界和晶粒间界三种主要形式。 8、一般情况下晶体电子的近似质量是张量，自由电子的惯性质量是标量。 9、对复式晶格，格波可分为声学波和光学波。
1、体心立方结构的第一布里渊区是菱形十二面 体。 2、已知某晶体的基矢取为1a 、2a 、3a ，某一晶面在三个基矢上的截距分别 为3，2，-1，则该晶面的晶面指数为()623 3、倒格矢体现了晶面的面间距 和 法向。 8、晶体中的载流子是 电子 和 空穴 。 2、正格子原胞体积Ω与倒格子原胞体积*Ω之积为 ()3 2π 3、金刚石晶体的基元含有 2 个原子，其晶胞含有 8 个碳原 子。 6、准晶是介于周期性晶体 和非晶玻璃之间的一种新的固体物质形态。 8、晶格振动的简化模型主要有爱因斯坦模型和德拜模型。 1、面心立方结构的第一布里渊区是 十四面 体。 2、代表基元中的几何点称为格点。 4、布里渊区的边界由倒格矢 的垂直平分面构成。 5、由于碱金属电离能低和卤素原子 亲和能高，这两种原子很容易形成离子 键。 6、声子和光子一样，是 玻色 子；声子的数目和 温度 密切相关。 7、在CH 4分子中，C 原子的 2s 和 2p 轨道组合成新的4个 sp 3 杂化轨道。 9、能量愈低的能带愈 窄 ，能量愈高的能带愈 宽。 10、三维简立方结构晶格点阵的基失ai a =1，aj a =2，ak a =3，原胞体积 为3a ，对应的倒格子基矢为i a b π21=，j a b π22=，，，k a b π23=。 3、元素周期表中第IV 族元素C 、Si 、Ge 、Sn 的晶体是 共价 晶体的典型 代表。 5、热缺陷有两种形式即 肖特基 缺陷和 弗兰克尔 缺陷。 6、立方晶系的[hkl]晶向与(hkl)晶面 垂直。 7、由于原子的s 态能级和p 态能级相距较近时 1 个s 电子和 3个p 电子 的轨道混合，形成一种sp 3杂化轨道。