江苏高二文科复习学案+练习15 一次分式函数

学案15 一次分式型函数y =

ax+b

cx+d

(x ∈D) 一、课前准备： 【自主梳理】

1． 一次分函数的定义

我们把形如(0,)cx d

y a ad bc ax b

+=

≠≠+的函数称为一次分函数。 2． 一次分函数的图象和性质

(0,)cx d

y a ad bc ax b

+=

≠≠+ 2.1 图象：其图象如图所示.

2.2定义域：?

?????-≠a b x x ；

2.3 值域：?

?????≠

a c y y ； 2.4 对称中心：??

?

??-

a c a

b ,； 2.5 渐近线方程：b x a =-

和c y a

=； 2.6 单调性：当ad>bc 时，函数在区间(,)b

a

-∞-和(,)b

a

-+∞分别单调递减；当ad

a

-+∞分别单调递增； 【自我检测】 1．函数1

1

1--=x y 的图象是 ．

2．函数31

()1

x f x x -=+的定义域是 ． 3．()10x

y x x

-=

≠的值域是 ． 4．函数21

()3x f x x +=+的单调增区间是 ．

5．函数21

()3

x f x x -=+的对称中心是 ．

6．函数()x

f x x

=

是 函数．（填“奇”“偶”“非奇非偶”） 二、课堂活动： 【例1】填空题：

（1）函数21

()3x f x x -=+（()5,2-∈x ），则()x f 的值域是________． （2）函数21

()3x f x x -=+（())5,2(4,5?--∈x ），则()x f 的值域是________．

（3）已知函数()a x x x f -+=12，若*

∈?N x ，()()5f x f ≥恒成立，则a 的取值范围是 ．

（4）若函数21

()x f x x a

+=+的图象关于直线y ＝x 对称，则实数a ＝ .

【例2】（2004年江苏）设函数)(1)(R x x

x

x f ∈+-

=，区间M=[a ，b](a

【例3】已知函数2()1

ax a

f x x +-=

+，其中a R ∈。

(1)当函数()f x 的图象关于点P(－1，3)成中心对称时，求a 的值及不等式()1f x x >-的解集；

(2)若函数()f x 在(－1,+∞)上单调递减，求a 的取值范围.

课堂小结

高考试题对一次分式函数的考查，主要体现在对一次分式函数图象的识别和性质的应用上。因此，抓住了以上七个方面的内容，也就抓住了解决一次分式函数试题的要害，也就能有效地解决一次分式函数问题。

三、课后作业

1．函数y=

432

-+x x 的值域 ．

2．函数y=432

-+x x （21>

3．函数y=42

-+-x x 的对称中心是 ．

4．函数y=4

2

-+-x x 的单调增区间是 ．

5．已知函数()x f =a x x -+-2，若若*

∈?N x ，()()5f x f ≤恒成立，则a 的取值范围是 ．

6．设曲线11

-+=x x y 在点（3，2）处的切线与直线01=++y ax 垂直，则a= ．

7．若函数2+-=x b x y 在区间()4,+b a ()2-

a ______________．

8．若函数x

x x f 1

)(-=，则函数()()x x f x g -=4的零点是______________．

9．记函数)(x f 的定义域为D ，若存在D x ∈0，使()00x x f =成立，则称以()00,y x 为坐标的点是函数)(x f 的图象上的“稳定点”。若函数()a

x x x f +-=1

3的图象上有且只有两个相异的“稳定点”，求实数a 的取值范围。

10．已知函数()),(1a x x

a a

x x f ≠--+=

（1）证明：对定义域内的所有x ，都有()()022=++-x f x a f 。 （2）当()x f 的定义域为??

?

???++1,21a a 时，求()x f 的值域。

四、纠错分析

答案：【自我检测】1． B 2． {}1-≠x x

3．{}

1-≠y y

4． ()()+∞--∞-,3,3, 5． （-3，2）

例1． （1） ??? ??-89,5 （2）??

?

?????? ??9,21189,53 （3）65<

例2． 分析：函数f （x ）= -(0)11(0)1x x x x x

x x x

?-≥??+=?+?-

其图象如右图所示，由图象可知，y=f （x ）在Ｒ上是连续单调递减函数。而N=｛y|y=f （x ），x

∈M ｝表示函数定义域为Ｍ＝［a ，b ］时其值域为Ｎ。由Ｍ＝Ｎ得解得a=b=0，这与a

点评：本题考查了一次分式函数、分段函数的解析式、单调性和函数的定义域、值域与集合等知识。解题过程是由定义域与值域相等的特性建立方程，考查方程的思想和创新能力。其中，函数大致图象的作出起到了关键作用。

例3 分析：(1)函数2()1

ax a

f x x +-=

+的对称中心为(－1，a)，与P(－1，3)比较得a

＝3。此时31()1x f x x -=+，不等式()1f x x >-，即

3131

1(1)011

x x x x x x -->-?-->++ (3)0(1)(3001

x x x x x x -?

(2)由2()1

ax a

f x x +-=+知x ＝-1为()f x 的一条渐近线，又由一次分函数的性质2.6知，当

且仅当1(2)1a a ?->?，即a<1时，()f x 在(－1,+∞)上单调递减，故a 的范围是{}

1a a <。 三、课后作业 1． 13y y ??≠????

2． ()()2,11,3?- 3． （4，-1）

4． ()()+∞∞-,4,4, 5． 65<

7．

161 8． 2

1

9． 解：由题意：方程

x a

x x =+-1

3，即()0132=+-+x a x 有两个不等于-a 的相异实根， ()()()()?????≠+--+->--=?∴0

130

432

2

a a a a 3115-≠<>?a a a 且或

10． （1）略 （2）()a x x a a x x f --+-=--+=111，()x f 在??

?

???++1,21a a 上单调递增，所

以()x f 的值域为[]1,3--。

分式函数

第 1 页 共 4 页 一次分式函数 班级__________姓名____________ ______年____月____日 1、 理解分式函数的概念 2、 掌握一次分式函数的图像画法及性质 【教学过程】 一、知识梳理： 1． 一次分函数的定义 我们把形如(0,)cx d y a ad bc ax b +=≠≠+的函数称为一次分函数。 2． 一次分函数(0,)cx d y a ad bc ax b +=≠≠+的图象和性质 2.1 图象：其图象如图所示. 2.2定义域： ? ?????-≠a b x x ； 2.3 值域：? ?????≠ a c y y ； 2.4 对称中心：??? ? ?- a c a b ,；

2.5 渐近线方程：b x a =- 和c y a =； 2.6 单调性：当ad>bc 时，函数在区间(,)b a -∞-和(,)b a -+∞分别单调递减；当ad

初三数学反比例函数知识点及经典例题

反比例函数知识点及经典例题 一、基础知识 1. 定义：一般地，形如x k y =（k 为常数，o k ≠）的函数称为反比例函数。x k y =还可以写成kx y =1- 2. 反比例函数解析式的特征： ⑴等号左边是函数y ，等号右边是一个分式。分子是不为零的常数k （也叫做比例系数k ），分母中含有自变量x ，且指数为1. ⑵比例系数0≠k ⑶自变量x 的取值为一切非零实数。 ⑷函数y 的取值是一切非零实数。 3. 反比例函数的图像 ⑴图像的画法：描点法 ① 列表（应以O 为中心，沿O 的两边分别取三对或以上互为相反的数） ② 描点（有小到大的顺序） ③ 连线（从左到右光滑的曲线） ⑵反比例函数的图像是双曲线，x k y =（k 为常数，0≠k ）中自变量0≠x ，函数值0≠y ，所以双曲线是不经过原点，断开的两个分支，延伸部分逐渐靠近坐标轴，但是永远不与坐标轴相交。

⑶反比例函数的图像是是轴对称图形（对称轴是x y =或x y -=）。 ⑷反比例函数x k y =（0≠k ）中比例系数k 的几何意义是：过双曲线x k y = （0≠k ）上任意引x 轴y 轴的垂线，所得矩形面积为k 。 4．反比例函数性质如下表： 5. 反比例函数解析式的确定：利用待定系数法（只需一对对应值或图像上一个点的坐标即可求出k ） 6．“反比例关系”与“反比例函数”：成反比例的关系式不一定是反比例函数,但是反 比例函数x k y =中的两个变量必成反比例关系。 7. 反比例函数的应用 二、例题 【例1】如果函数222 -+=k k kx y 的图像是双曲线，且在第二，四象限内，那么的值是多少

附录2(分式函数求值域方法总结)

分式型函数求值域的方法总结 一、形如()ax b f x cx d += + (,0a o b ≠≠)（一次式比一次式）在定义域内求值域。 例1：求21()32 x f x x +=+（2)3x ≠-的值域。 解：242()133()2323()3x f x x x +-=-++=123332 x -+∵1122330,323323x x -≠∴-≠++ ∴其值域为}2/3y y ?≠?? 一般性结论，()ax b f x cx d += + (,0a o b ≠≠)如果定义域为{x /d x c ≠-},则值域}/a y y c ?≠?? 注：本题所用方法即为分离常数法，分离常数之后，分子便不含有x 项，使计算变得简便。 例2：求21()32x f x x += +，()1,2x ∈的值域。 分析：由于此类函数图像可以经过反比列函数图像平移得出，所以解决在给定区间内的值域问题，我们可以画出函数图像，求出其值域。 解：21()32x f x x +=+=123332x -+，是由1 3y x =-向左平移23，向上平移23得出，通过图像观察，其值域为35,58?? ??? 小结：函数关系式是一次式比一次式的时候，我们发现在此类函数的实质是反比例函数通过平时得出的，因此我们可以作出其图像，去求函数的值域。

x 分析：此类函数中，当0a <，函数为单调函数，较简单，在此我们不做讨论，当0a >时， 对函数求导，'2()1,a f x x =-'()0f x > 时，(x ∈-∞? +∞），'()0f x <时， (x ∈?，根据函数单调性，我们可以做出此类函数的大致图像，其我们常 其图像 例3：求4()2,((1,4)f x x x x =+ ∈上的值域。 解：将函数整理成2()2()f x x x =+，根据双钩函数的性质，我们可以判断此函数在单调递减，在)+∞1，4出的函数值，我们可以知道在1处取的最大值，所以其值域为) ?? 三、用双钩函数解决形如2()mx n f x ax bx c +=++（0,0m a ≠≠），2()ax bx c f x mx n ++=+（0,0m a ≠≠）在定义内求值域的问题。 例3：已知0t >，则则函数241t t y t -+=的最小值为_______. 解：24114t t y t t t -+==+-，t o >∴由基本不等式地2y ≥-

高二文科(选修1-1)(教学案)

高二文科（选修1-1）(电场电流教学案) 一．电荷库仑定律 1．接引雷电下九天 电闪雷鸣是自然界常见的现象，古人认为那是“天神之火”，是天神对罪恶的惩罚，直到1752年，伟大的科学家___________冒着生命危险在美国费城进行了著名的风筝实验，把天电引了下来，发现天电和摩擦产生的电是一样的，才使人类摆脱了对雷电现象的迷信。 2．电荷、元电荷、电荷守恒 (1）自然界中只存在两种电荷：用________摩擦过的________带正电荷，用________摩擦过的________带负电荷。同种电荷相互________，异种电荷相互________。电荷的多少叫做________，用________表示，单位是________，简称________，用符号________表示。 （2）到目前为止，科学实验发现的最小电荷量是电子所带的电荷量。这个最小电荷用_____表示，它的数值为________。实验指出，所有带电物体的电荷量或者等于它，或者是它的整数倍，因此我们把它叫做________。 例题1：保护知识产权，抵制盗版是我们每个公民的责任与义务。盗版书籍影响我们的学习效率甚至会给我们的学习带来隐患。小华有一次不小心购买了盗版的物理参考书，做练习时，他发现有一个关键数字看不清，拿来问老师，如果你是老师，你认为可能是下列几个数字中的那一个（） A．6.2×10-19C B．6.4×10-19C Ｃ．6.6×10-19C Ｄ．6.８×10-19C （3）用________和________的方法都可以使物体带电。无论那种方法都不能________电荷，也不能________电荷，只能使电荷在物体上或物体间发生________，在此过程中，电荷的总量________，这就是电荷守恒定律。 (4)起电的三种方法________、________、________. 3．库伦定律 （1）内容：真空中两个静止________之间的相互作用力，跟它们电荷量的乘积成________，跟它们________________成反比，作用力的方向在它们的________上。 （2）公式：_______________其中k=________________ （3）应用： 例题2：真空中有两个静止的点电荷，它们之间的作用力为F，若它们的带电量都增大为原来的2倍，距离减少为原来的1/2，它们之间的相互作用力变为（） A．F/2 B．FＣ．4F Ｄ．16F 例题3：真空中有两个相距0.1m、带电量相等的点电荷，它们间的静电力的大小为9×10-3N，求每个点电荷所带电荷量是元电荷的多少倍？

八年级下册数学特训数学分式和反比例函数测验

八年级下册数学特训数学分式和反比例函数测验 一、填空题（本题共8个小题，满分24分） 1、37÷34= 。 2、方程x x 527=-的解是 。 3、银原子的直径为0.0003微米,用科学记数表示为____________微米。 4、分式,21x xy y 51,212-的最简公分母为 。 5、对于分式3 92+-x x ，当x__________时，分式无意义。 6、计算=-----n m z m n y n m x _________。 7、已知22)1(--=a x a y 是反比例函数，则a =____ ． 8、计算 22142 a a a -=-- ． 二、选择题（本题共8个小题，满分24分） 9、下列各式：2 b a -，x x 3+，πy +5，()1432+x ，b a b a -+，)(1y x m -中，是分式的共有（ ） （A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个 10、下列函数中，反比例函数是（ ） （A ） 1)1(=-y x （B ） 11+= x y （C ） 21x y = （D ） x y 31-= 11、化简 212293m m +-+的结果是（ ）. （A ）269m m +- (B)23m - (C)23m + （D ）2299 m m +- 12、化简2293m m m --的结果是（ ） （A ）3+m m （B ）3+-m m （C ）3-m m （D ）m m -3 13、已知反比例函数的图像经过点（a ，b ），则它的图像一定也经过（ ） （A ）(－a ,－b ) （B ）(a ,－b ) （C ）(－a ，b ) （D ）（0，0） 14、计算 x x -++1111的正确结果是（ ） （A ）0 （B ）212x x - （C ）212x - （D ）122-x

一次分式函数最值问题

一次分式函数最值问题 Company number：【0089WT-8898YT-W8CCB-BUUT-202108】

拆分函数解析式结构，巧解问题 --------------函数()ax b f x cx d +=+值域（最值）问题的解法 在高中，初学函数之时，我们接触的具体函数并不多。前面我们已经给出了一元二次函数值域（最值）的求法步骤。除此，还有一类()(0)ax b f x c cx d +=≠+函数也很常见，它也是今后解决其他复杂函数值域（最值）问题的基础。此类函数看似生疏，而实际这类函数的图像，就是我们初中学过的反比例函数图像。 此类问题有三种类型，一种是函数式子决定定义域，不额外附加函数定义域；另一种是附加定义域。还有一种是可转化为()(0)ax b f x c cx d += ≠+型的函数，此类随着学习的深入，再行和大家见面。 下面我们以具体实例，说明如何依据函数解析式的结构特征，选择适当的方法步骤解决问题。 【例题1】：求函数21()3 x f x x +=-的值域； 【思路切入】：从函数结构可以得出，函数定义域由分式决定，为 {|3}x x R x ∈≠且，此时，将函数解析式的结构进行拆分变换，不难得出反比例函数结构，如此，得到解法程序： 1、将函数分解为反比例的结构； 2、根据反比例结构特性，或者利用图像，或者利用数式属性得到函数值域。 【解析】：原函数可化为212677()2333 x x f x x x x +-+===+---， 7303 x x ≠≠-且 ，2y ∴≠，函数()f x 值域为{|2}y y R y ∈≠且； 【例题2】：求函数21(),(2,4]1x f x x x -=∈-的值域；

高二学业水平考试物理复习导学案(文科班)

学业水平考试复习 物理 文科班导学案 班级： 姓名：

目录 第一部分：物理必修1、必修2部分 第一章:基础知识 第一课时质点参考系和坐标系、时间和位移 (4) 第二课时运动快慢的描述—速度、实验：用打点计时器测速度 (6) 第三课时速度变化快慢的描述—加速度、 实验：探究小车速度随时间变化的规律 (8) 第四课时匀变速直线运动的速度与时间的关系 (10) 第五课时匀变速直线运动的位移与时间的关系、位移与速度的关系 (11) 第六课时自由落体运动、伽利略对自由落体运动的研究 (12) 第七课时重力基本相互作用 (14) 第八课时弹力 (16) 第九课时摩擦力 (17) 第十课时力的合成与分解、验证平行四边形定则 (18) 第十一课时牛顿第一定律、实验：探究加速度与力、质量的关系 (19) 第十二课时牛顿第二定律、力学单位制、牛顿第三定律 (21) 第十三课时用牛顿运动定律解决问题 (22) 第十四课时曲线运动、质点在平面内的运动、抛体运动的规律 (24) 第十五课时圆周运动、向心加速度 (27) 第十六课时向心力、生活中的圆周运动 (28) 第十七课时行星的运动、太阳与行星间的引力、万有引力定律 (30) 第十八课时万有引力定律的成就、宇宙航行 (31) 第十九课时追寻守恒量、功.......................................................... (33) 第二十课时功率 (34) 第二十一课时重力势能、探究弹性势能的表达式 (35) 第二十二课时探究功与速度变化的关系、动能和动能定理 (36) 第二十三课时机械能守恒定律、验证机械能守恒定律 (37) 第二章：实验题过关 (39)

任意角的三角函数教案

1.2.1 任意角的三角函数 教学目标 1．知识与技能 (1)掌握任意角的三角函数的定义． (2)已知角α终边上一点，会求角α的各三角函数值． (3)记住三角函数的定义域． 2．过程与方法 (1)通过直角三角形中三角函数定义到单位圆中三角函数定义，最后到直角坐标系中一 般化的三角函数定义，培养学生发现数学规律的思维方法和能力． (2)树立映射观点，正确理解三角函数是以实数为自变量的函数． (3)通过对定义域介绍，提高学生分析、探究、解决问题的能力． 3．情感、态度与价值观 (1)使学生认识到事物之间是有联系的，三角函数就是角度(自变量)与比值(函数值)的 一种联系方式． (2)学习转化的思想，培养学生严谨治学、一丝不苟的科学精神． 重点、难点 教学重点：任意角的正弦、余弦、正切的定义(包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号)． 教学难点：利用角的终边上点的坐标刻画三角函数，三角函数的符号以及三角函数的几何意义． 授课类型：新授课 教学模式：启发、诱导发现教学. 新知探究 一、三角函数的定义： 提出问题 问题①:在初中时我们学了锐角三角函数,你能回忆一下锐角三角函数的定义吗? 问题②:你能用直角坐标系中角的终边上的点的坐标来表示锐角三角函数吗? 学习了弧度制,知道了角的集合与实数集是一一对应的,在此基础上,我们来研究任意角的三角函数.

图1 如图1,设锐角α的顶点与原点O 重合,始边与x 轴的正半轴重合,那么它的终边在第一象限.在α的终边上任取一点P(a,b),它与原点的距离22b a >0.过P 作x 轴的垂线,垂足为M,则线段OM 的长度为a,线段MP 的长度为b. 根据初中学过的三角函数定义,我们有 sinα=OP MP =r b ,cosα=OP OM =r a ,tanα=OP MP =a b . 讨论结果: ①锐角三角函数是以锐角为自变量,边的比值为函数值的三角函数. ②sinα=OP MP =r b ,cosα=OP OM =r a ,tanα=OM MP =a b . 提出问题 问题①:如果改变终边上的点的位置,这三个比值会改变吗?为什么? 问题②:你利用已学知识能否通过取适当点而将上述三角函数的表达式简化? 最后可以发现,由相似三角形的知识,对于确定的角α,这三个比值不会随点P 在α的终边上的位置的改变而改变. 过图形教师引导学生进行对比,学生通过对比发现取到原点的距离为1的点可以使表达式简化. 此时sinα=OP MP =b,cosα=OP OM =a,tanα=OM MP =a b . 在引进弧度制时我们看到,在半径为单位长度的圆中,角α的弧度数的绝对值等于圆心角α所对的弧长(符号由角α的终边的旋转方向决定).在直角坐标系中,我们称以原点O 为圆心,以单位长度为半径的圆为单位圆.这样,上述P 点就是α的终边与单位圆的交点.锐角三角函数可以用单位圆上点的坐标表示. 同样地,我们可以利用单位圆定义任意角的三角函数. 图2 如图2所示,设α是一个任意角,它的终边与单位圆交于点P(x,y),那么: (1)y 叫做α的正弦,记作sinα,即sinα=y; (2)x 叫做α的余弦,记作cosα,即cosα=x; (3)x y 叫做α的正切,记作tanα,即tanα=x y (x≠0). 所以,正弦、余弦、正切都是以角为自变量,以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数,我们将它们统称为三角函数. 值得注意的是:(1)正弦、余弦、正切都是以角为自变量,以比值为函数值的函数.(2)sinα不是sin 与α的乘积,而是一个比值;三角函数的记号是一个整体,离开自变量的“sin”“tan”等是没有意义的. 二、例题讲解

八年级下数学第一次月考试卷(分式,反比例函数)

八年级下数学第一次月考试卷(分式,反比例函数) （时间：120分钟 总分：100分） 一、选择题（每小题4分，共40分） 1． 在式子a 1 ，π　xy 2，23 34a b c ，x ＋　65， 7x ＋8y ，9 x +y 10　中，分式的个数是（ ） A.5 B.4 C.３ D.２ 2. 下列关于分式的判断，正确的是（ ） A .当x =2时， 2 1-+x x 的值为零 B .无论x 为何值， 1 3 2 +x 的值总为正数 C .无论x 为何值，1 3 +x 不可能得整数值 D .当x ≠3时， x x 3 -有意义 3．已知函数x k y = 的图象经过点（2，3），下列说法正确的是（ ） A ．y 随x 的增大而增大 B.函数的图象只在第一象限 C ．当x ＜0时，必有y ＜0 D.点（-2，-3）不在此函数的图象上 4.如图，函数y ＝k （x ＋1）与x k y = （k ＜0）在同一坐标系中，图象只能是下图中的（ ） 5．分式 ||22 x x --的值为零，则x 的值为（ ） A ．0 B ．2 C ．-2 D ．2或-2 6．如果（a-1）0=1成立，则（ ） A ．a ≠1 B ．a=0 C ．a=2 D ．a=0或a=2 7．人体中成熟红细胞的平均直径为0.000 007 7m ，用科学记数法表示为（ ） A ．7.7×10-5m B ．77×10- 6m ； C ．77×10-5m D ．7.7×10- 6m 8．若分式方程 2 31 x x -= 1 m x -有增根，则m 的值为（ ） A ．1 B ．-1 C ．3 D ．-3 9、下列约分正确的是（ ） A 、 3 13 m m m + =+ B 、 2 12 y x y x - =-+ C 、 1 233 69+= +a b a b D 、 ()() y x a b y b a x = -- 10、A 、B 两地相距48千米，一艘轮船从A 地顺流航行至B 地，又立即从B 地逆流返回A 地，共用去9小时，已知水流速度为4千米/时，若设该轮船在静水中的速度为x 千米/时，则可列方程（ ） A 、 94 484 48=-+ +x x B 、 9448448=-+ +x x C 9448=+x D 94 964 96=-+ +x x （1）

高二物理文科会考复习学案2

文科物理会考复习学案2-力 文科物理会考复习学案（2） 力 编稿教师：李志强 1. 理解的力的概念：力的作用是相互的，一个力必然有施力物体和受力物体。 2. 了解重力、弹力、摩擦力的基本性质。 3. 能使用胡克定律解决简单弹簧伸长或压缩问题。 4. 能对放置在斜面上的物体进行受力分析。 1．重力：mg G=（ 2 r GM g∝，↓ ↑g r,，在地球两极g最大，在赤道g最小） 2. 弹力: x k F? = 3. 滑动摩擦力 N F F? =μ；静摩擦力F静:0～F max ,用力的平衡观点来分析 4．合力： 2 1 2 1 F F F F F+ ≤ ≤ - 合 1所示的装置通过实验探究，得到 了在弹性限度内弹簧的弹力与弹簧伸长量的关系． 下列说法中能反映正确探究结果的是 A．弹簧的弹力与弹簧的伸长量成正比 B．弹簧的弹力与弹簧的伸长量成反比 C．弹簧的弹力与弹簧的伸长量的平方成正比 D．弹簧的弹力与弹簧的伸长量的平方成反比 【练习】一根弹簧原长10cm，挂上重2N的砝码时，伸长1cm，这根弹簧挂上重8N的物体时，它的 长度为(弹簧的形变是弹性形变) ( ) A.4cm B.14cm C.15cm D.44cm 【例2】关于重力的方向，下列说法中正确的是( ) A.重力的方向总是向下的 B.重力的方向总是垂直向下的 C.重力的方向总是竖直向下的 D.重力的方向总是跟支持重物的支持面垂直的 【例3】下列说法中，正确的是( ) A.力的产生离不开施力物体，但可以没有受力物体 B.没有施力物体和受力物体，力照样可以独立存在 C.有的物体自己就有一个力，这个力不是另外的物体施加的 D.力不能离开施力物体和受力物体而独立存在 【练习】关于作用力和反作用力，下列说法正确的是( ) A.作用力反作用力作用在不同物体上 B.地球对重物的作用力大于重物对地球的作用力 C.作用力和反作用力的大小有时相等有时不相等 D.作用力反作用力同时产生、同时消失 【例4】在力的合成中，合力与分力的大小关系是( ) A.合力一定大于每一个分力 B.合力一定至少大于其中一个分力 C.合力一定至少小于其中一个分力 D.合力可能比两个分力都小，也可能比两个分力都大 【练习】有两个大小分别为 3N和4N的作用力，它们合力的大小可能是( ) A.0 B.10N C.5N D.1N 【例5】一辆汽车停在水平地面上，一个人用力水平推车，但车仍然静止，表明 ( ) A.推力越大，静摩擦力越小 B.推力越大，静摩擦力越大，推力与静摩擦力平衡 C.推力大小变化时，静摩擦力大小不变 D.推力小于静摩擦力 【例6】如图2所示，小物块静止在固定的斜面上它受到重力、支持力 和力的作用．请在图中画出小物块所受各力的示意图． 【练习】有四位同学把斜面对重物的支持力3N，分别画成如图所示的四种情况，其 【例7】在水平地面上，行李箱受到绳子拉力F的作用，若拉力F与 水平方向的夹角为θ，则拉力F沿水平方向的分力F1= ，沿竖 直方向的分力F2= . 2013-2014学年上学期 x0 x1 图1 图2

高中数学任意角的三角函数教案

§1.2.1 任意角的三角函数 教学目标 <一> 知识目标 1、掌握任意角的三角函数的定义。 2、已知角α终边上一点,会求角α的各三角函数值。 3、记住三角函数的定义域和诱导公式（一）。 <二> 能力目标 1、理解并掌握任意角的三角函数的定义。 2、树立映射观点，正确理解三角函数是以实数为自变量的函数。 3、通过对定义域，三角函数值的符号，诱导公式一的推导，提高学生分析、探究、解决问题的能力。 <三> 德育目标 1、使学生认识到事物之间是有联系的，三角函数就是角度（自变量）与比值（函数值）的一种联系方式。 2、学习转化的思想，培养学生严谨治学、一丝不苟的科学精神。 教学重难点 任意角的正弦、余弦、正切的定义 （包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号），以及这三种函数的第一组诱导公式。 教学过程 问题1：你能回忆一下初中里学过的锐角三角函数（正弦，余弦，正切）的定义吗？ 锐角三角函数定义

问题2：在终边上移动点P的位置,这三个比值会改变吗? 在直角坐标系中,以原点O为圆心,以单位长度为半径的圆叫单位圆 即：锐角三角函数可以用单位圆上的点的坐标来表示 推广: 我们也可以利用单位圆定义任意角三角函数(正弦,余弦,正切) 任意角的三角函数定义: 设α是一个任意角,它的终边与单位圆交于点P(x,y)，则: 正弦,余弦,正切都是以角为自变量,以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数. (由于角的集合与实数集之间可以建立一一对应关系,因此三角函数可以看成是自变量为实数的函数.)

所以三角函数可以记为: 我们把角X的正弦、余弦、正切统称为三角函数 问题3:如何求α角的三角函数值? 求α角的三角函数值即求α终边与单位圆交点的纵、横坐标或坐标的比值。例1： 解： 例2： 事实上: 三角函数也可定义为: 设α是一个任意角,它的终边经过点P(x,y),则

分式和反比例函数易错题

第十六章分式和第十七章反比例函数试题选解 1.分式 1 4+m 表示一个整数时，字母m 可以取的整数值共有 个. 2.当x 时，分式2142x x +-的值是负数. 3.下列分式变形正确的是（ ） A.y x =22y x B.n m n m +-=))(()(2 n m n m n m -+-=222)(n m n m -- C.1212+--x x x =11-x D.a b =2a ab 4.在分式 ab b a 2-中，字母a,b 值分别扩大为原来的2倍，则分式的值（ ） A.扩大为原来的2倍 B.不变 C.缩小为原来的21 D. 缩小为原来的41 5.若a=32，则12 73222+---a a a a 的值等于 . 6.当a=21时，代数式12 -a a -111---a a 的值为 . 7.某人的上山的速度为m 千米/时，下山的速度为n 千米/时，则他上下山的平均速度为 . 8.解分式方程 x x 1--13-x x +1=0，如果设x x 1-= y,将原方程化为关于y 的整式方程为 . 9.若分式方程a x a x =-+1 有增根，则a 的值为 ；若该方程无解，则a 的值为 . 10.当x = 时，2x-3与3 45+x 互为倒数. 11.分式m x x +-212，若不论x 取何值分式总有意义，则m 的取值范围是 12.a b b a a 222 ?÷ = ； n m n m mn 2923=-? ；b a b a ab ab a +=--+)(2222 13.若分式方程3 13+=-+x x x a 的解是负数，则a 的取值范围是 . 14.已知211=-y x ，则y xy x y xy x ---+2252的值为 . 15已知 21)2)(1(32++-=+--x B x A x x x ，则A= ,B= . 16.当a = 时，分式1 22++a a a 的值为0；若分式21+x ，12-x x 的和等于2，则x = . 17.若（m-n ）x=m 2-n 2的解是x=m+n 则m 与n 的关系是 .

求分式函数值域的几种方法-精品

求分式函数值域的几种方法-精品 2020-12-12 【关键字】情况、方法、条件、领域、问题、难点、良好、沟通、发现、掌握、研究、特点、关键、理想、思想、需要、途径、重点、反映、检验、化解、分析、树立、解决、方向 摘要：在高中数学教学、乃至高中毕业会考题和高考中，经常遇到求分式函数值域的问 题.关于分式函数的值域的求法，是高中数学教学中的一个难点.通过对分式函数的研究总结了求其值域的常见几种方法：配方法，反函数法，判别式法，单调性法，换元法（根式代换、三角代换等），不等式法，方程法，斜率法等. 关键词：分式函数 值域 方法. 1 引言 求分式函数值域是函数值域问题中的一个重要内容，它不仅是一个难点、重点，而且是解决函数最值问题的一个重要工具．关于求函数值域与最值的方法也是多种多样的，归纳起来，常用的方法有：配方法，反函数法，判别式法，单调性法，换元法（根式代换、三角代换等），不等式法，方程法，斜率法等.本文就中学阶段出现的各种类型的分式函数值域问题运用以上初等方法进行分析． 2 求分式函数值域的常见方法 2.1 用配方法求分式函数的值域 如果分式函数变形后可以转化为2 122 a y b a x b x c =+++的形式则我们可以将它的分母配方，用直接法求得函数的值域. 例1 求2 1 231 y x x =-+的值域. 解：2 131248y x = ? ?-- ?? ?， 因为2 31248x ? ?-- ?? ?≥18-， 所以函数的值域为：(],8-∞-∪()0,+∞.

例2 求函数221 x x y x x -=-+的值域. 解：2 1 11 y x x -= +-+， 因为2 2112x x x ? ?-+=- ?? ?34+≥34， 所以34- ≤21 01 x x -<-+， 故函数的值域为1,13?? -???? . 先配方后再用直接法求值域的时候，要注意自变量的取值范围.取“=”的条件. 2.2 利用判别式法求分式函数的值域 我们知道若()200,,ax bx c a a b R ++=≠∈有实根，则24b ac ?=-≥0常常利用这一结论来求分式函数的值域. 例1 求2234 34 x x y x x -+=++的值域. 解：将函数变形为()()()2133440y x y x y -+++-=①， 当1y ≠时①式是一个关于x 的一元二次方程. 因为x 可以是任意实数， 所以?≥0， 即()()()334144y y y +---7507y y =-+-≥0， 解得， 17 ≤ y ≤1或1y <≤7， 又当1y =时，0x =， 故函数的值域为1,77?? ???? . 例2 函数22 21 x bx c y x ++=+的值域为[]1,3，求b ，c 的值. 解：化为()20y x bx y c --+-=， ⑴当2y ≠时()()42x R b y y c ∈??=---≥0， ?()224428y c y c b -++-≥0，

高二文科地理学案

使用导读 本书属于学法类课程辅导读物，全书各个栏目三设置贯穿华附在线独特的“CTPR”理念于整个学习过程之中，按照“设立合理阶段性学习目标——制定可操作的学习计划——按照计划自主选课学习—--反思调整计划和目标”四个环节达成高效学习的设想。 了解教师的【教学目标】，制定自己的【学习目标】，并充分利用在线学习的优势，预设学习过程中反复播放和快进播放学习内容。根据教师实际【课堂精讲】环节中的内容，调整自己的学习计划，通过【随堂检测】和【课后巩固】环节发现学习中的漏洞，重新审视学习目标制定过程中的问题。对于不明白的内容进行重新播放听讲等学习行为的纠正反思，进而填写【目标反思】栏目的表格。 希望每一位同学们都可以拥有一个非常愉悦的30分钟爱学之旅！ 30分钟 【教学目标】学习目标具有导向功能、激励功能、调控功能。目标的制定要明确，具有可检测性，使本节内容的当堂检测题能与之对应。数量以3-4个为宜，可将涉及的重、难点以及易错、易混、易漏等内容作出标注，以便引起学生高度重视。尽可能用“能记住”、“能说出”、“会运用”、“解决”等可检测的明确用语。在每一个具体的教学目标后面，老师要预先设定讲解时长（例如“三角函数的概念”3分钟）。 30分钟 【学习目标】学生根据老师的教学目标来填写自己的预期学习目标。在预习时，根据老师的教学目标，划分自己学习时的最大困难、最重要的、不用看的和最可能有疑问的几种目标或知识点，以期在学习过程中更加精准的进行理解和分析。这个目标将在课后进行梳理和总结。 【课堂精讲】根据学法课的要求，按照学生学情和学科特点，将学法或思维能力分别作为精讲要点，一一讲解。以图让孩子在思维方法、学习技巧上得到提高。涉及相关知识，可以作为讲解思维或学法的载体。 1、学法精讲：衔接课程特点，注重学习方法、思维策略引导描述，引导学生领会理解。 2、例题精讲：精选相关例题解读，加强学生对知识点的掌握能力，建议围绕学海导航经典文案/例题等解读、练习，注明出处及标注视频内容名称。 【随堂检测】是学案导学的一个重要组成部分，是知识形成技能的一种基本的活动方式，是学生自我评价学习效果的手段，是培养良好的学习习惯不可缺少的环节。因此学习能力检测设计要有针对性，要做到目的明确，层次分明，重点突出，形式新颖。学习能力检测的途径是多方面的，既可通过完成练习和解决具体问题去反馈检测，也可通过学生对自己思维过程的表述去检查和了解，还可通过相互交流学习体会去了解。学习能力检测题的设计一般分为知识掌握、能力提高和延伸拓展三个层次。视频课堂上演练的习题或活动环节，试题后呼应视频内容名称。 【课后巩固】结合典型例题引导学生自主学习、独立思考，进一步理解知识点之间的衔接，从而将零散的知识点串成线、形成面，构建完整的知识网络。学生通过巩固性的练习，进一步消化视频课程的内容，从而达到熟练掌握的目的。 【目标反思】学生通过听课（看视频），反思自己的预期学习目标，区分达到和未达到，并分析未达到原因，寻找解决办法。

《任意角的三角函数一》 教案苏教版

数学：1.2.1《任意角的三角函数（一）》教案（苏教版必修4） 第 3 课时：§1.2.1 任意角的三角函数（一） 【三维目标】： 一、知识与技能 1.掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义； 2.掌握正弦、余弦、正切函数的定义域和这三种函数的值在各象限的符号。 3.树立映射观点，正确理解三角函数是以实数为自变量的函数； 二、过程与方法 1.通过网络载体，利用几何画板的直观演示，培养学生主动探索、善于发现的创新意识和创新精神； 2.在学习过程中通过相互讨论培养学生的团结协作精神； 3.通过学生积极参与知识的"发现"与"形成"的过程，培养合情猜测的能力，从中感悟数学概念的严谨性与科学性。 三、情感、态度与价值观 1.使学生认识到事物之间是有联系的，三角函数就是角度（自变量）与比值（函数值）的一种联系方式； 2.学习转化的思想，培养学生严谨治学、一丝不苟的科学精神；

3.让学生在任意角三角函数概念的形成过程中，体会函数思想，体会数形结合思想。 【教学重点与难点】： 重点：任意角三角函数的定义（包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号）。 难点：任意角的三角函数概念的建构过程 【学法与教学用具】： 1. 学法： 2. 教学用具：多媒体、实物投影仪. 3. 教学模式：启发、诱导发现教学. 【授课类型】：新授课 【课时安排】：1课时 【教学思路】： 一、创设情景，揭示课题 用与用坐标均可表示圆周上点，那么，这两种表示有什么内在的联系？确切地说， ● 用怎样的数学模型刻画与之间的关系？ 二、研探新知 1.三角函数的定义 【提问】：初中锐角的三角函数是如何定义的？ 在平面直角坐标系中，设的终边上任意一点的坐标是，它与原点的距离是。当为锐角时，过作轴，垂足为，在中，,,

反比例、分式函数

反比例函数、一次分式函数 班级__________姓名____________ ______年____月____日 1、 理解分式函数的概念 2、 掌握一次分式函数的图像画法及性质 3、 掌握反比例函数的性质 【教学过程】 一、 知识梳理： 2、 一次分函数的定义 我们把形如(0,)cx d y a ad bc ax b +=≠≠+的函数称为一次分函数。 4、 一次分函数(0,)cx d y a ad bc ax b +=≠≠+的图象和性质 图象：其图象如图所示.

第 2 页 共 4 页 定义域：_________________；值域：____________________； 对称中心：___________________；渐近线方程：______________________； 单调性：当ad>bc 时，函数在区间(,)b a -∞-和(,)b a -+∞分别单调递减；当ad

分式函数求值域

分式型函数求值域的方法探讨 在教学中，笔者常常遇到一类函数求值域问题，此类函数是以分式函数形式出现，有一次式比一次式，二次式比一次式，一次式比二次式，二次式比二次，现在对这类问题进行探讨。 一、形如d cx b ax x f ++= )((0,≠≠b o a )（一次式比一次式）在定义域内求值域。 例1：求2 312)(++=x x x f （)32-≠x 的值域。 解：23134)32(3)32(2)(+--++=x x x x f =233132+-x 32233132,02331≠+-∴≠+-x x ∴其值域为}? ??≠32/y y 一般性结论，d cx b ax x f ++=)((0,≠≠b o a )如果定义域为{/x c d x -≠},则值域 }? ??≠c a y y / 例2：求2 312)(++=x x x f ，()2,1∈x 的值域。 分析：由于此类函数图像可以经过反比列函数图像平移得出，所以解决在给定区间内的值域问题，我们可以画出函数图像，求出其值域。 解：2312)(++=x x x f =233132+-x ，是由x y 31 -=向左平移32，向上平移32得出，通过图像观察，其值域为?? ? ??85,53 小结：函数关系式是一次式比一次式的时候，我们发现在此类函数的实质是反比例函数通过平时得出的，因此我们可以作出其图像，去求函数的值域。

二、形如求x a x x f + =)(（)0≠a 的值域。 分析：此类函数中，当0a 时， 对函数求导，,1)(2'x a x f -=0)('>x f 时，),(a x -∞∈?+∞,a ），0)('，则则函数241t t y t -+=的最小值为_______. 解：41142-+=+-=t t t t t y ，∴>o t 由基本不等式地2-≥y

苏教版数学高一-【苏州市高二文科复习参考资料】学案练习7__函数的单调性

学案7 函数的单调性 一、课前准备： 【自主梳理】 1． 函数单调性的定义： （1） 一般地，设函数()y f x =的定义域为A ，区间I A ?． 如果对于区间I 内的任意两个值1,2x x ，当12x x <时，都有_______________,那么就说 ()y f x =在区间I 上是单调增函数，I 称为()y f x =的___________________． 如果对于区间I 内的任意两个值1,2x x ，当12x x <时，都有_______________,那么就说 ()y f x =在区间I 上是单调减函数，I 称为()y f x =的___________________． （2） 如果函数()y f x =在区间I 上是单调增函数或单调减函数，那么就说()y f x =在区 间I 上具有___________性，单调增区间或单调减区间统称为____________________． 2.复合函数的单调性： 对于函数()(),y f u u g x ==和如果当(,)(,),()x a b u m n u g x ∈∈=时，且在区间 (,)a b 上和()y f u =在区间(,)m n 上同时具有单调性，则复合函数[()]y f g x =在区间(,)a b 上具有__________，并且具有这样的规律：___________________________． 3.求函数单调区间或证明函数单调性的方法： （1）______________； (2)____________________； (3)__________________ ． 【自我检测】 1.函数(,)y kx b k b =+是常数在R 上是减函数，则k 的取值范围是___________． 2.函数2 ()1f x x =-在(0,)+∞上是_____函数（填“增”或“减”）． 3.函数1 2y x = +的单调区间是_____________________． 4.函数()y f x =在定义域R 上是单调减函数，且(1)(2)f a f a +>，则实数a 的取值范围是________________________． 5.已知函数()f x 在区间(0,)+∞上是增函数，则2 3(1)()4 f a a f -+与的大小关系是_______ ． 6.函数()f x ___________________．

任意角的三角函数教学设计

《任意角的三角函数》第一课时教学设计 会宁县第二中学数学教研组曹蕊 一、教学内容分析 本节课是三角函数这一章里最重要的一节课，它是本章的基础，主要是从通过问题引导学生自主探究任意角的三角函数的生成过程，从而很好理解任意角的三角函数的定义。在《课程标准》中：三角函数是基本初等函数，它是描述周期现象的重要数学模型，在数学和其他领域中具有重要的作用。《课程标准》还要求我们借助单位圆去理解任意角的三角函数（正弦、余弦、正切）的定义。二、学生情况分析 本课时研究的是任意角的三角函数，学生在初中阶段曾经研究过锐角三角函数，其研究范围是锐角；其研究方法是几何的，没有坐标系的参与；其研究目的是为解直角三角形服务。以上三点都是与本课时不同的，因此在教学过程中要发展学生的已有认知经验，发挥其正迁移。 三、教学目标 知识与技能目标:借助单位圆理解任意角的三角函数（正弦、余弦、正切）的定义；能根据任意角的三角函数的定义求出具体的角的各三角函数值；能根据定义探究出三角函数值在各个象限的符号。 方法与过程目标:在定义的学习及概念同化和精致的过程中培养学生类比、分析以及研究问题的能力。 情感态度与价值观: 在定义的学习过程中渗透数形结合的思想。 四、教学重、难点分析： 重点：理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义。 难点：引导学生将任意角的三角函数的定义同化，帮助学生真正理解定义。 五、教学方法与策略： 教学中注意用新课程理念处理教材，采用学生自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学，师生互动，教师发挥组织者、引导者、合作者的作用，引导学生主体参与、揭示本质、经历过程. 根据本节课内容、高一学生认知特点，本节课采用“启发探索、讲练结合”的方法组织教学. 六、教具、教学媒体准备： 为了加强学生对三角函数定义的理解，帮助学生克服在理解定义过程中可能遇到的障碍，本节课准备在计算机的支持下，利用几何画板动态地研究任意角与其终边和单位圆交点坐标的关系，构建有利于学生建立概念的“多元联系表示”的教学情境，使学生能够更好地数形结合地进行思维． 七、教学过程 （一）教学情景 1．复习锐角三角函数的定义 问题1：在初中，我们已经学过锐角三角函数．如图1（课件中）在直角△POM中，∠M是直角，那么根据锐角三角函数的定义，∠O的正弦、余弦和正切分别是什么？