平面向量中最值、范围问题

平面向量中的最值、范围问题

一、考情分析

平面向量中的范围、最值问题是热点问题,也是难点问题,此类问题综合性强,体现了知识的交汇组合．其基本题型是根据已知条件求某个变量的范围、最值,比如向量的模、数量积、向量夹角、系数的范围的等,解决思路是建立目标函数的函数解析式,转化为求函数的最值,同时向量兼顾“数”与“形”的双重身份,所以解决平面向量的范围、最值问题的另外一种思路是数形结合． 二、经验分享

1.利用平面向量的数量积可以解决几何中的垂直、夹角、长度等问题,即只需将问题转化为向量形式,用向量的运算来求解.如果能够建立适当的直角坐标系,用向量的坐标运算往往更为简捷.1.平面向量线性运算问题的常见类型及解题策略

2.几何图形中向量的数量积问题是近几年高考的又一热点,作为一类既能考查向量的线性运算、坐标运算、数量积及平面几何知识,又能考查学生的数形结合能力及转化与化归能力的问题,实有其合理之处.解决此类问题的常用方法是：①利用已知条件,结合平面几何知识及向量数量积的基本概念直接求解(较易)；②将条件通过向量的线性运算进行转化,再利用①求解(较难)；③建系,借助向量的坐标运算,此法对解含垂直关系的问题往往有很好效果.

3．坐标是向量代数化的媒介,通过向量的坐标表示可将向量问题转化为代数问题来解决,而坐标的获得通常要借助于直角坐标系. 对于某些平面向量问题, 若能建立适当的直角坐标系,可以使图形中复杂的几何关系转化为简单明朗的代数关系,减少推理过程,有效地降低思维量,起到事半功倍的效果．上面两题都是通过建立坐标系将向量问题转化为函数与不等式问题求解,体现了向量解题的工具性. 三、知识拓展

1．-≤?≤a b a b a b . 2．-≤±≤+a b a b a b 四、题型分析

(一) 平面向量数量积的范围问题

已知两个非零向量a r 和b r ,它们的夹角为θ,cos b θ??s

叫做a r 和b r 的数量积(或内积),记作a b ?r r .即a b ?r r =cos a b θ??r s ,规定00a ?=r r

,数量积的表示一般有三种方法：(1)当已知向量的模和夹角时,可利用

定义法求解,即a b ?r r =cos a b θ??r s

；(2)当已知向量的坐标时,可利用坐标法求解,即若a ＝(x 1,y 1),b ＝

(x 2,y 2),则a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2；（3）运用平面向量基本定理,将数量积的两个向量用基底表示后,再运算． 【例1】在边长为2的等边三角形ABC 中,D 是AB 的中点,E 为线段AC 上一动点,则ED EB ?的取值范

围为

【分析】利用向量的加法或减法法则,将向量,EB ED u u u r u u u r

分别表示,结合已知条件设|AE |x =（02x ≤≤）,

将ED EB ?用变量x 表示,进而转化为二次函数的值域问题．

【点评】将?用某个变量表示,转化为函数的值域问题,其中选择变量要有可操作性．

【小试牛刀】【江苏省盐城中学2018届高三上学期期末】已知ABC ?的周长为6,且,,BC CA AB 成等比数列,则BA BC ?u u u v u u u v

的取值范围是______． 【答案】2795?-???

【解析】因为,,BC CA AB 成等比数列,所以622

a c b

b a

c +-=≤

=

,从而02b <≤,所以()()222222

63cos 32722

b b a

c b BA BC ac B b --+-?====-++u u u v u u u v ,又

()()22

22,,4a c b a c b a c ac b -<∴-<+-<,即2390b b +->,353

2b -<≤,故2795

2BA BC -≤?

(二) 平面向量模的取值范围问题

设(,)a x y =r ,则222a a x y ==+r r ,向量的模可以利用坐标表示,也可以借助“形”,向量的模指的是

有向线段的长度,过可结合平面几何知识求解,尤其注意,如果直接求模不易,可以将向量用基底向量表示再求．

【例2】已知向量,,a b c r r r 满足4,a b ==r r a r 与b r 的夹角为4

π,()()1c a c b -?-=-r r r r

,则c a -r r 的最

大值为 .

【分析】根据已知条件可建立直角坐标系,用坐标表示有关点（向量）,确定变量满足的等式和目标函数的解析式,结合平面几何知识求最值或范围. 【解析】设c OC b OB a OA ===,,；

以OA 所在直线为x,O 为坐标原点建立平面直角坐标系,

4,b ==r a r 与b r 的夹角为4

π,

则A （4,0）,B （2,2）,设C （x,y ）

∵()()1c a c b -?-=-r r r r

,

∴x 2

+y 2

-6x-2y+9=0,

即（x-3）2

+（y-1）2

=1表示以（3,1）为圆心,以1为半径的圆,

c -r r

-【点评】建立直角坐标系的原则是能准确快捷地表示有关向量或点的坐标,正确找到变量间的关系,以及目标函数代表的几何意义是解题关键．

【小试牛刀】【2018届山东省济南高三上学期期末】已知平面上的两个向量OA u u u v 和OB uuu v 满足OA a =u u u v , OB b =u u u v ,且22

1a b +=, 0OA OB ?=u u u v u u u v ,若向量(),R OC OA OB λμλμ=+∈u u u v u u u v u u u v ,且

()()2

2

2

2

21214a b λμ-+-=,则OC u u u v

的最大值为__________．

【答案】

32

【解析】

因为OA a =u u u v , OB b =u u u v ,且22

1a b +=, 0OA

OB ?=u u u v u u u v ,, 1,AB OA OB =⊥,如图,取AB 中点D ,则

()

12OD OA OB =+u u u v u u u v u u u v , 12OD =u u u v , 1122DC OC OD OA OB λμ????∴=-=-+- ? ????

?u u u v u u u v u u u v u u u v u u u

v ,由

()()2

2

2221214a b λμ-+-=可得22

22

11122a b λμ????-+-= ? ?????

22

222

11122DC a b λμ????∴=-+-= ? ????

?u u u v , 1DC ∴=u u u v , C ∴在以D 为圆心, 1为半径的圆上, ∴当

O C ，, D 共线时OC u u u v 最大, OC ∴u u u v 的最大值为312OD +=u u u v ,故答案为3

2

.

(三) 平面向量夹角的取值范围问题

设11(,)a x y =r ,22(,)b x y =r ,且,a b r r 的夹角为θ,则1212222

2

1

1

22

cos a b

a b

x y x y θ?==

?+?+r r

r r ．

【例3】已知向量→

OA 与→

OB 的夹角为θ,→

→

→

→

→

→

→

-====PQ OB t OQ OA t OP OB OA ,)1(,,1,20t 在时取得最

小值,当01

05t <<时,夹角θ的取值范围为________________. 【分析】将PQ u u u r 表示为变量t 的二次函数PQ u u u r

1)cos 42()cos 45(2+--++=t t θθ,转化为求二次函数的最

小值问题,当θ

θ

cos 45cos 210++=

t 时,取最小值,由已知条件0105t <<,得关于夹角θ的不等式,解不等式得解．

【点评】求变量的取值范围、最值,往往要将目标函数用某个变量表示,转化为求函数的最值问题,期间要注

意变量之间的关系,进而得解．

【小试牛刀】已知非零向量,a b r r 满足2a b =r r ,若函数3211().132

f x x a x a bx =+++r r r

在R 上存在极值,

则a r 和b r

夹角的取值范围为

【答案】,3ππ??

???

【解析】()'

2

f x x a x a b =++?r r r

,设a r 和b r 夹角为θ,因为()f x 有极值,所以240a a b ?=-?>r r r ,即24cos 0a a b θ?=-??>r r r ,即1cos 2θ<,所以,3πθπ??∈ ???

．

（四）平面向量系数的取值范围问题

平面向量中涉及系数的范围问题时,要注意利用向量的模、数量积、夹角之间的关系,通过列不等式或等式得系数的不等式,从而求系数的取值范围．

【例4】已知()2,λ=a ,()5,3-=b ,且a 与b 的夹角为锐角,则λ的取值范围是 ．

【分析】a 与b 的夹角为锐角等价于0a b ?>r r ,且a 与b 不共线同向,所以由0a b ?>r r ,得310

<λ,再除去a 与

b 共线同向的情形．

【解析】由于a 与b 的夹角为锐角,0>?∴b a ,且a 与b 不共线同向,由01030>+-?>?λb a ,解得

310<

λ,当向量a 与b 共线时,得65-=λ,得56-=λ,因此λ的取值范围是3

10

<λ且56-≠λ．

【点评】注意向量夹角与三角形内角的区别,向量夹角的范围是[0,]π,而三角形内角范围是(0,)π,向量夹

角是锐角,则cos 0,θ>且cos 1θ≠,而三角形内角为锐角,则cos 0,θ>．

【小试牛刀】【江苏省泰州中学2018届高三10月月考】如图,在ABC ?中, 21,3

AB AC BAC π

==∠=

. （1）求AB BC ?u u u r u u u r

的值；

（2）设点P 在以A 为圆心, AB 为半径的圆弧BC 上运动,且AP x AB y AC =+u u u r u u u r u u u r

,其中,x y R ∈.求xy 的

取值范围.

【解析】（1）()

AB BC AB AC AB ?=?-u u u r u u u r u u u

r u u u r u u u r 213

||122

AB AC AB =?-=--=-u u u r u u u r u u u r .

（2）建立如图所示的平面直角坐标,则()131,0,,22B C ??

- ? ???.

设()2cos ,sin ,0,3P πθθθ??

∈????

,由AP x AB y AC =+u u u r u u u r u u u r , 得()()13cos ,sin 1,0,2x y θθ??=+- ? ???

.所以3

cos ,sin 2y x y θθ=-=. 所以323

cos sin ,sin x y θθθ=+

=. 22323121sin cos sin sin2sin 233363

xy πθθθθθ??=

+=+=-+ ???. 因为270,

,2,3666ππππθθ??

??∈-∈-??????

??, 所以,当26

2

π

π

θ-=

时,即3

π

θ=

时, xy 的最大值为1；

当26

6

π

π

θ-

=-

或726

6π

πθ-

=

即0θ=或23

π

θ=时, xy 的最小值为0.

五、迁移运用

1．【江苏省常州2018届高三上学期期末】在ABC ?中, 5AB =, 7AC =, 3BC =, P 为ABC ?内一点

（含边界）,若满足()14

BP BA BC R λλ=+∈u u u v u u u v u u u v ,则BA BP ?u u u v u u u v

的取值范围为________．

【答案】525,

84??

????

【解析】由余弦定理,得2225371

cos 2532B +-=

=-??,因为P 为ABC ?内一点（含边界）,且满足()14BP BA BC R λλ=+∈u u u v u u u v u u u v ,所以30,4λ??

∈????,则14BA BP BA BA BC λ???=?+ ???

u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v

2

12515525

,

44284

BA BA BC

λλ??

=+?=-∈??

??

u u u v u u u v u u u v

.

2．【江苏省南通市2018届高三上学期第一次调研】如图,已知矩形ABCD的边长2

AB=, 1

AD=.点P, Q分别在边BC, CD上,且45

PAQ?

∠=,则AP AQ

?

u u u v u u u v

的最小值为_________.

【答案】424

-

3．【江苏省如皋市2017--2018学年度高三年级第一学期教学质量调研】已知点P是边长为3

形ABC内切圆上的一点,则PA PB

?

u u u v u u u v

的取值范围为_______.

【答案】[]

3,1

-

【解析】以正三角形ABC的中心为原点,以AB边上的高为y轴建立坐标系,则())

3,1,3,1

A B

---,正三角形ABC内切圆的方程为221

x y

+=,所以可设()

cos,sin

Pαα,则

())

3cos1,3cos1

PA sin PB sin

αααα

=---=--

u u u v u u u v

，，, 22

cos3sin21

PA PB sin

ααα

?=-+++

u u u v u u u v

[]

213,1

sinα

=-∈-,故答案为[]3,1

-.

4．【南京市、盐城市2018届高三年级第一次模拟考试】如图是蜂巢结构图的一部分,正六边形的边长均为1,正六边形的顶点称为“晶格点”．若,,,A B C D 四点均位于图中的“晶格点”处,且,A B 的位置所图所示,

则AB CD ?u u u v u u u v 的最大值为________．

【答案】24

【解析】先建立直角坐标系,由向量投影知AB CD ?u u u v u u u v

取最大值时

()()()390,5,3,0,,,0,022C D A B ??- ? ??? ,即AB CD ?u u u v u u u v ()

39345,3,5242222??=--?--=+= ? ???

5．【江苏省泰州中学2018届高三12月月考】已知单位向量a v , b v

的夹角为120?,那么2a xb -v v （x R ∈）

的最小值是__________． 3

【解析】(

)

()2

2

2

2

2244cos1202413a xb a xb

x x x x x -=

-=+-?=++=++v Q v v v ∴ 2a xb

-v

v 36．【江苏省溧阳市2017-2018学年高三第一学期阶段性调研】扇形AOB 中,弦2AB C =，为劣弧AB u u u r

上

的动点, AB 与OC 交于点P ,则·

OP BP u u u v u u u v

的最小值是_____________________． 【答案】1

4

-

【解析】设弦AB 中点为M,则()

·

OP BP OM MP BP

MP BP ?=+=?u u u v u u u v u u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v

若,MP BP u u u v u u u v 同向,则0OP BP ?>u u u v u u u v ,若,MP BP u u u v u u u v 反向,则0OP BP ?

,

故OP BP ?u u u v u u u v 的最小值在,MP BP u u u v u u u v

反向时取得,

此时1MP BP +=u u u v u u u v ,则： 21

24MP BP OP BP MP BP ??+

??=-?≥-=- ???

u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v , 当且仅当12MP BP ==u u u v u u u v 时取等号,即OP BP ?u u u v u u u v 的最小值是1

4

-.

7．【苏北四市（淮安、宿迁、连云港、徐州）2017届高三上学期期中】已知AB 为圆O 的直径,M 为圆O 的

弦CD 上一动点,8AB =,6CD =,则MA MB ?u u u r u u u r

的取值范围是 ．

【答案】[9,0]- 【解析】

试题分析：22216MA MB MO AO MO ?=-=-u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u u r ,而222[,][7,16]O CD MO d r -∈=u u u u r ,所以MA MB ?u u u r u u u r 的取值范围是[9,0]-

8．【泰州中学2017届高三上学期期中考试】在ABC ?中,()

30AB AC CB -=u u u r u u u r u u u r

g

,则角A 的最大值为_________. 【答案】

6

π

9．【泰州中学2017届高三上学期期中考试】在平面内,定点,,,A B C D 满足

,4DA DB DC DA DB DB DC DC DA =====-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r g g g ,动点,P M 满足2,AP PM MC ==u u u r u u u u r u u u u r ,则BM u u u u r

的最大值是__________.

【答案】321

【解析】

试题分析:设r DC DB DA ===||||||,则4cos cos cos 2

2

2

-===γβαr r r .由题设可知0

120===γβα,

且2282

=?=r r .建立如图所示的平面直角坐标系,则)0,6(),0,6(),23,0(C B A -,由题意点P 在

以A 为圆心的圆上,点M 是线段PC 的中点.故结合图形可知当CP 与圆相切时,BM u u u u r

的值最大,其最大值

是123-.

应填答案1.

10．【2017届甘肃天水一中高三12月月考】已知ABC ?中,过中线AD 的中点E 任作一条直线分别交边

AB ,AC 于M ,N 两点,设AM xAB =u u u u r u u u r ,AN y AC =u u u

r u u u r （0xy ≠）,则4x y +的最小值 ．

【答案】

94

【解析】由已知可得AB x AM AE ME AD AE AD )4

1

(4212-=-=?+==?+=

AC y AB x AM AN MN AC +-=-=+,41,由=+?=+?=--?y x y

x y x x

MN ME 44114141

// 4

9)425(41)45(41)11)(4(41=?+≥++=++y x x y y x x y y x y x . 11．【2017吉林长春五县高二理上学期期末】已知0m >,0n >,向量(),1,3a m =-r 与()1,,2b n =r 垂直,则

mn 的最大值为 ．

【答案】9

【解析】因为向量(),1,3a m =-r 与()1,,2b n =r 垂直,所以60a b m n ?=+-=r r

,即6m n +=,所以

2

92

(

)m n mn +≤＝,当且仅当3m n ==时取等号,所以mn 的最大值为9,故答案为9. 12．【2017河北武邑中学周考】已知直角梯形ABCD 中,BC AD //,ο

90=∠ADC ,2=AD ,1=BC ,P 是

腰DC 上的动点,则3PA PB +u u u r u u u r

的最小值为________.

【答案】5

【解析】如图所示,以直线,DA DC 分别为,x y 轴建立平面直角坐标系,则(2,0),(1,),(0,),(0,0)A B a C a D ,

设(0,)(0)P b b a ≤≤,则(2,),(1,)PA b PB a b =-=-u u u r u u u r ,所以3(1,5,34)PA PB a a b +=--u u u r u u u r

,所以

2

325(34)5PA PB a b +=+-≥u u u r u u u r ,所以3PA PB +u u u r u u u r 的最小值为5.

13．【2017学年河北武邑中学周考】在平面直角坐标系中,O 为原点,()0,1-A ,()

3,0B ,()0,3C ,动点D 满

足1CD =u u u r ,则OA OB OD ++u u u r u u u r u u u r

的最大值是________.

【答案】17+

【解析】由题意可得,点D 在以(3,0)C 为圆心的单位圆上,设点D 的坐标为(3cos ,sin )θθ+,则

71OA OB OD OA OB OC CD ++≤+++=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r

．

14．【2017届河北武邑中学高三周考】已知向量()1,1OA =u u u r ,()1,OB a =u u u r ,其中O 为原点,若向量OA u u u r 与OB

uuu r

的夹角在区间0,

12π??

????

内变化,则实数a 的取值范围是 ． 3

3a ≤≤【解析】因为),1(),1,1(a OB OA ==,所以a +=?1；又θcos 122a +?=?,故

)

1(21cos 2a a ++=

θ,注意到]12

,

0[π

θ∈,故]1,42

6[

cos +∈θ,即]1,426[)

1(212+∈++a a ,解之得

333a ≤≤；应填答案333

a ≤≤. 15．【2018届辽宁师范大学附属中学高三上学期期末】直角梯形ABCD 中, CB CD ⊥, AD BC P ,

ABD V 是边长为2的正三角形, P 是平面上的动点, 1CP =u u u v ,设AP AD AB λμ=+u u u v u u u v u u u v

（λ, R μ∈）,则

λμ+的最大值为__________．

【答案】

923

+ 【解析】

以C 为原点, CD uuu v 为x 轴, BC uuu v 所在直线为y 轴,建立直角坐标系, 1,CP =∴u u u Q v

可设

()(()cos ,,3,2,0CP sin AD AB αα==-=-u u u v u u u v u u u v , (,3,AC =-u u u v

(

cos 2,3,AP AC CP sin αα=+=-u u u v u u u v u u u v 因为AP AD AB λμ=+u u u v u u u v u u u v

,所以

(()cos 2,323sin ααλμλ-+=--

3

122{

{

33

1312

2

cos sin cos λαλμαλαμαα=

+--=-?==-+,

)1

3333cos 222λμααα?+=-+-+ 332≤=923+即λμ+的最大值为923+923

+. 16.【2018届湖南师范大学附属中学高三上学期月考】已知向量,a b 夹角为

3

π

, 2b =,对任意x R ∈,有b xa a b +≥-,则()2

a

tb a tb t R -+-

∈的最小值是__________．

【答案】

7 【解析】

向量,a b v

v 夹角为,23

b π=v ,对任意x R ∈,有b xa a b +≥

-v v

v v ,两边平方整理可得

()

22

2220x a ax b a a b +?-?≥v v v v v v ,则()(

)22

24420a b a a a b ?=?+-?≤v v v v v v ,即有()

2

20a a b -?≤v v v ,即

()

0a a b ?-=v v v ,则()

a b a -⊥v v v ,由向量,a b v v 夹角为,23b π=v ,由2cos 3

a a

b a b π=?=??v v

v v v ,即有1a =v ,则

2223a b a b a b -=+-?=v v v

v v v 画出AO a =u u u v v , AB b =u u u v v ,建立平面直角坐标系,如图所示,则

()(1,0,3,A B ()(1,0,3a b ∴=-=-v v

()()

2

2

132

a t

b a tb t t

∴-+-=

-+

v v v v ()

2

2

22113421424

t t

t t t t ??-+=-+-+

= ???

2222

131********t t ??????????-+--++ ? ? ? ? ? ????????????,表示(),0P t 与1313,48M N ?? ????的距离之和的2倍,当,,M P N 共线时,取得最小值2MN ,即有2

2

113

37224848MN ????=-++= ? ? ?????

,故答7

. 17．【2018届江苏省泰州中学高三12月月考】在矩形ABCD 中, 3AB =, 1AD =,若M , N 分别在边

BC , CD 上运动（包括端点,且满足BM CN BC CD

=u u u u v u u u v

u u u v u u u v ,则AM AN ?u u u u v u u u v

的取值范围是__________．

【答案】[1,9]

【解析】分别以AB,AD 为x,y 轴建立直角坐标系,则()()(0,03,0,3,1,0,1A B C D ），（）,设()(3,,,1M b N x ）,

因为BM CN BC CD

=u u u u v u u u v

u u u v u u u v ,所以33x b -= ,则()3=,1,=3,3x AN x AM -?? ???u u u v u u u u v ,

故()8=1033AM AN x x ?+≤≤u u u u v u u u v ,所以8

1193

x ≤+≤,故填[1,9].

18.【2018届安徽省蒙城“五校”联考】在ABC ?中,点D 在线段BC 的延长线上,且12

BC CD =u u u v u u u v

,点O 在

线段CD 上（与点,C D 不重合）,若()1AO xAB x AC =+-u u u v u u u v u u u v

,则x 的取值范围是__________．

【答案】()2,0-

19．【2017届四川双流中学高三训练】已知向量(),2a x =-r ,(),1b y =r

,其中x ,y 都是正实数,若a b ⊥r r ,

则2t x y =+的最小值是___________． 【答案】4

【解析】由a b ⊥r r

,得0=?b a ,即()()21,2,-=?-xy y x ,所以2=xy ．又x ,y 都是正实数,所以

422222=?=?≥+=y x y x t ．当且仅当y x 2=时取得等号,此时2=x ,1=y ,故答案为：4．

20．【2017届江苏南京市盐城高三一模考】在ABC ?中,已知3AB =,3

C π

=,则CA CB ?uu r uu r

的最大值

为 .

【答案】

32

【解析】1cos 2CA CB ba C ab ?==uu r uu r ,由余弦定理得：22

32cos 23

a b ab ab ab ab π=+-≥-=,所以

3

2

CA CB ?≤uu r uu r ,当且仅当a b =时取等号

21．【2017届浙江杭州地区重点中学高三上学期期中】已知△ABC

中,4AB =,2AC =,|(22)|AB AC λλ+-u u u r u u u r

（R λ∈）的最小值为若P 为边AB 上任意一点,则

PB PC ?u u u r u u u r

的最小值是 ．

【答案】94

-

【解析】令()f λ＝22222

|(22)|(22)2(22)AB AC AB AC AB AC λλλλλλ+-=+-+-?u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ＝216λ＋

24(22)λ-＋2(22)8cos A λλ-?＝216[(22cos )(2cos 2)1]A A λλ-+-+,当cos 0A =时,()f λ＝

221116(221)16[2()]822λλλ-+=-+≥,因为>所以2

A π

=,则建立直角坐标

系,(0,0)A ,(4,0),(0,2)B C ,设(,0)P x (04)x <<,则(4,0)PB x =-u u u r ,(,2)PC x =-u u u r ,所以PB PC ?u u u r u u u r

＝(4)x x --＝2(2)4x --；当cos 0A ≠时,()f λ＝21

16[(22cos )()2

A λ--＋

1cos

]2A +≥88cos 12A +=,解得1cos 2A =,所以3

A π

=,则建立直角坐标系,(0,0)A ,(4,0),B C ,

设(,0)P x (04)x <<,则(4,0)PB x =-u u u r ,(1PC x =-u u u r ,所以PB PC ?u u u r u u u r

＝(4)(1)x x --＝259()24x --．综上所述,当52x =时,PB PC ?u u u r u u u r 取得最小值9

4

-．

第一节平面向量的概念及运算性质

第一节平面向量的概念及其线性运算 [知识能否忆起] 一、向量的有关概念 1．向量：既有大小又有方向的量叫向量；向量的大小叫做向量的模． 2．零向量：长度等于0的向量，其方向是任意的． 3．单位向量：长度等于1个单位的向量． 4．平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量共线． 5．相等向量：长度相等且方向相同的向量． 6．相反向量：长度相等且方向相反的向量． 二、向量的线性运算 平行四边形法则 1．定义：实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫向量的数乘，记作λa，它的长度与方向规定如下： ①|λa|＝|λ||a|； ②当λ>0时，λa的方向与a的方向相同；当λ<0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0. 2．运算律：设λ，μ是两个实数，则： ①λ(μa)＝(λμ)a；②(λ＋μ)a＝λ a＋μ a；③λ(a＋b)＝λa＋λb. 四、共线向量定理 向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使得b＝λa.

[小题能否全取] 1．下列命题正确的是( ) A ．不平行的向量一定不相等 B ．平面内的单位向量有且仅有一个 C ．a 与b 是共线向量，b 与c 是平行向量，则a 与c 是方向相同的向量 D ．若a 与b 平行，则b 与a 方向相同或相反 解析：选A 对于B ，单位向量不是仅有一个，故B 错；对于C ，a 与c 的方向也可能相反，故C 错；对于D ，若b ＝0，则b 的方向是任意的，故D 错，综上可知选A. 2.如右图所示，向量a －b 等于( ) A ．－4e 1－2e 2 B ．－2e 1－4e 2 C ．e 1－3e 2 D ．3e 1－e 2 解析：选C 由题图可得a －b ＝BA ＝e 1－3e 2. 3．(教材习题改编)设a ，b 为不共线向量，AB ＝a ＋2b ，BC ＝－4a －b ，CD ＝－5a －3b ，则下列关系式中正确的是( ) A ．AD ＝BC B ．AD ＝2B C C ．A D ＝－BC D ．AD ＝－2BC 解析：选B AD ＝AB ＋BC ＋CD ＝a ＋2b ＋(－4a －b )＋(－5a －3b )＝－8a －2b ＝2(－4a －b )＝2BC . 4．若菱形ABCD 的边长为2，则|AB －CB ＋CD |＝________. 解析：|AB －CB ＋CD |＝|AB ＋BC ＋CD |＝|AD |＝2. 答案：2 5．已知a 与b 是两个不共线向量，且向量a ＋λb 与－(b －3a )共线，则λ＝________. 解析：由题意知a ＋λb ＝k [－(b －3a )]， 所以????? λ＝－k ， 1＝3k ，解得??? k ＝1 3 ，λ＝－13. 答案：－1 3 共线向量定理应用时的注意点 (1)向量共线的充要条件中要注意“a ≠0”，否则λ可能不存在，也可能有无数个． (2)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两 向量共线且有公共点时，才能得出三点共线；另外，利用向量平行证明向量所

平面向量的概念、运算及平面向量基本定理

05—平面向量的概念、运算及平面向量基本定理 突破点(一)平面向量的有关概念 知识点：向量、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、相反向量 考点 平面向量的有关概念 ［典例］⑴设a , b 都是非零向量，下列四个条件中，使 向=而成立的充分条件是( ) A . a =- b B . a // b C . a = 2b D . a // b 且 |a|= |b| ⑵设a o 为单位向量，下列命题中：①若 a 为平面内的某个向量，贝U a = |a| a o ;②若a 与a o 平行，则 a = |a|a o ;③若a 与a o 平行且|a|= 1,则a = a o .假命题的个数是( ) A . o B . 1 C . 2 D . 3 ［解析］⑴因为向量合的方向与向量a 相同，向量￡的方向与向量b 相同，且￡，所以向量a 与 |a| |b| |a| |b| 向量b 方向相同，故可排除选项 A , B , D.当a = 2b 时，a =警=b ，故a = 2b 是耳=g 成立的充分条件. |a| |2b| |b| |a| |b| (2)向量是既有大小又有方向的量， a 与|a|a o 的模相同，但方向不一定相同，故①是假命题；若 a 与a o 平行，则a 与a o 的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时 a =- |a|a o ，故②③也是假命题.综上 所述，假命题的个数是 3. ［答案］(1)C (2)D _ _［易错提醒」_____________ _____________ 厂7i)两个向量不能比较大小，只可以判断它们是否相等，但它们的模可以比较大小 ［…(2)大小与方向是向量的两个要素?j 分别是向量的代数特征与几何特征； (3)向量可以自由平移，任意一组平行向量都可以移到同一直线上. 突破点(二)平面向量的线性运算 1. 向量的线性运算： 加法、减法、数乘 2. 平面向量共线定理： 向量b 与a(a ^ o )共线的充 要条件是有且只有一个实数 人使得b = 1 ［答案］(1)D ⑵1 —…_［方法技巧丄—――――_—_ _―_—_ _―_……_ _―_…_ _―_…_ _―_…_ _―_…「 i 1.平面向量的线性运算技巧： ⑴不含图形的情况：可直接运用相应运算法则求解. ⑵含图形的情况：将它们转化到 ］ 三角形或平行四边形中，充分利用相等向量、相反向量、三角形的中位线等性质，把未知向量用已知向量表示岀来求解. 2?利用平面向量的线性运算求参数的一般思路： (1)没有图形的准确作出图形，确定每一个点的位置. (2)利用平行四 边形法则或三角形法贝U 进行转化丄转化为要求的向量形式._ _ (3) 比较，观察可知所求.__________ 考点二 平面向量共线定理的应用 ［例2Lu 设两个非零向J a 和b 不共鈿 平面向量的线性运算 …uuur …"uLu r 考点一 ~~uuur ----- u uur ［例 1］ (1)在厶 ABC 中，AB = c , AC = b.若点 D 满足 BD = 2 DC 12 5 2 A.3b + 3C B.gC — 3b 2 1 2 1 C.gb — 3c D.gb + 3C uuuu 1 uuur ⑵在△ ABC 中，N 是AC 边上一点且 AN = NC , P 是BN 上一点, 数m 的值是 ______________ . uuur umr ［解析］(1)由题可知BC = AC - uuur + BD = c + 2 1 —c)= 3b + §c,故选 D. uuuu 1 uuur (2)如图，因为AN = 2 NC ，所以 uuur 2 uuuu m AB + 3 AN ?因为B ，P ，N 三点共线, ―uuur ，贝U AD =( ) UULT uuur 2 uuur 若 AP = m AB + 9 AC ，则实 2 uuir 2 uuir uur uuur uuur uuur UULT AB = b — c , '^BD = 2 DC ,「.BD = 3 BC = 3(b — c)，则 AD = AB uuuu 1 uuur AN = 3 AC ，所以 2 所以m +3= 1,则 UULT uuur 2 uuur AP = m AB + 9 AC = 1 m = 3.

专题10、平面向量中的范围和最值问题

专题十、平面向量中的最值和范围问题 平面向量中的最值和范围问题， 是一个热点问题，也是难点问题，这类试题的基本类型是根 据给出的条件求某个量的最值、范围，如：向量的模、数量积、夹角及向量的系数.解决这类问 题的一般思路是建立求解目标的函数关系， 通过函数的值域解决问题， 同时，平面向量兼具“数” 与“形”的双重身份，解决平面向量最值、范围问题的另一个基本思想是数形结合. 考点1、向量的模的范围 例1、⑴已知直角梯形ABCD 中，AD //BC , ADC 90°,AD 2,BC 1,P 是腰DC 上的 动点，贝U PA 3PB 的最小值为 ______________ . 120 °贝U 的取值范围是 _________________ 变式：已知平面向量a, B 满足| | | | 1，且a 与 的夹角为120 ，则 |(1 t) 2t |(t R)的取值范围是 ______________________ ; 小结1、模的范围或最值常见方法：①通过 |了|2=；2转化为实数问题；②数形结合；③坐标法. 考点2、向量夹角的范围 例 2、已知 O )B = (2,0), OC = (2,2), CA = (Q2cos a,返 in ",贝 UO )A 与 Ofe 夹角的取值范围是( ) n n n 5 n n 5 n 5 n n A.初 3 B. 4 / C. H ，匚 D. 石，2 小结2、夹角范围问题的常见方法：①公式法；②数形结合法；③坐标法. (2) ( 2011辽宁卷理) 若a,b, c 均为单位向量，且a b 0, (a c)(b c) 最大值为( ) (3) ( 2010浙江卷理) A. 2- 1 卜 F B . 1 C. 2 D . 2 )满足 1，且与-的夹角为

高中数学解题方法系列：平面向量最值问题的4种方法

高中数学解题方法系列：平面向量最值问题的4种方法 平面向量中的最值问题多以考查向量的基本概念、基本运算和性质为主，解决此类问题要注意正确运用相关知识，合理转化。 一、利用函数思想方法求解 例1、给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为.如图所示，点C 在以 O 为圆心的圆弧上变动.若其中 ,则的最大值是________. 分析：寻求刻画C 点变化的变量，建立目标x y +与此变量的函数关系是解决最值问题的 常用途径。 解：设AOC θ∠=，以点O 为原点，OA 为x 轴建立直角坐标系，则(1,0)A ，13(,)2B -，(cos ,sin )C θθ。 Q 13(cos ,sin )(1,0)(,)2x y θθ∴=+-即 cos 23sin y x y θθ?-=????= cos 3sin 2sin()6x y πθθθ∴+=+=+2(0)3 πθ≤≤。 因此，当3 π θ=时，取最大值2。 例2、已知(1,7),(5,1),(2,1),OA OB OP ===u u u r u u u r u u u r 点Q 为射线OP 上的一个动点，当QA QB u u u r u u u r g 取最小值时，求.OQ u u u r 分析：因为点Q 在射线OP 上，向量OQ uuu r 与OP uuu r 同向，故可以得到关于OQ uuu r 坐标的一个 关系式，再根据QA QB u u u r u u u r g 取最小值求.OQ u u u r 解：设(2,),(0)OQ xOP x x x ==≥u u u r u u u r ，则(12,7),(52,1)QA x x QB x x =--=--u u u r u u u r OA u u u r OB uuu r 120o AB u u u v ,OC xOA yOB =+u u u r u u u r u u u r ,x y R ∈x y +,OC xOA yOB =+u u u r u u u r u u u r x y +图 1 1

平面向量中的最值问题浅析

平面向量中的最值问题浅析 耿素兰山西平定二中(045200 ) 平面向量中的最值问题多以考查向量的基本概念、 基本运算和性质为主， 解决此类问题 要注意正确运用相关知识，合理转化。 一、利用函数思想方法求解 uuu uuu 例1、给定两个长度为1的平面向量OA 和OB ，它们的夹角为120o .如图所示，点C 在以O uuv uur uuu uuu 为圆心的圆弧 AB 上变动.若OC xOA yOB,其中 y 的最大值是 C 点变化的变量，建立目标 x y 与此变量的函数关系是解决最值问题的 常用途径。 ，以点O 为原点，OA 为x 轴建立直角坐标系，则A(1,0)，B(丄，一3)， 2 2 C(cos ,sin ) uuur 取最小值时，求 OQ. uuu uuiu uuu 分析：因为点 Q 在射线OP 上，向量OQ 与OP 同向，故可以得到关于 OQ 坐标的一个 uju uuu uur 关系式，再根据QAgQB 取最小值求OQ. 分析：寻求刻画 解:设 AOC umr Q OC uuu xOA uuu yOB, (cos ,sin x 上 2 、3y 2 cos sin 因此，当 cos .3sin 2sin( 評 3) 。 3时，x y 取最大值 uuu UJU 例 2、已知 OA (1,7), OB 2。 uur (5,1),OP (2,1),点Q 为射线OP 上的一个动点，当QAgQB uuu uuu 即 1 心)y( ^,

uur 解：设OQ uuu xOP uuu (2x,x),(x 0)，则 QA uuu (1 2x,7 x),QB (5 2x,1 x)

专题二 培优点9 平面向量数量积的最值问题

培优点9 平面向量数量积的最值问题 平面向量部分，数量积是最重要的概念，求解平面向量数量积的最值、范围问题要深刻理解数量积的意义，从不同角度对数量积进行转化． 例 (1)已知AB →⊥AC →，|AB →|＝1t ，|AC →|＝t ，若点P 是△ABC 所在平面内的一点，且AP →＝AB →|AB →|＋4AC → |AC →|，则PB →·PC → 的最大值等于( ) A ．13 B ．15 C ．19 D ．21 答案 A 解析 建立如图所示的平面直角坐标系，则B ????1t ，0，C (0，t )，AB →＝????1t ，0，AC →＝(0，t )， AP →＝AB →|AB →|＋4AC →| AC →|＝t ????1t ，0＋4t (0，t )＝(1,4)，∴P (1,4)， PB →·PC →＝????1t －1，－4· (－1，t －4) ＝17－????1t ＋4t ≤17－21t ·4t ＝13， 当且仅当t ＝12 时等号成立． ∴PB →·PC →的最大值等于13. (2)如图，已知P 是半径为2，圆心角为π3 的一段圆弧AB 上的一点，若AB →＝2BC →，则PC →·P A →的最小值为________． 答案 5－213 解析 以圆心为坐标原点，平行于AB 的直径所在直线为x 轴，AB 的垂直平分线所在的直线为y 轴，建立平面直角坐标系(图略)，则A (－1，3)，C (2，3)，

设P (2cos θ，2sin θ)????π3≤θ≤2π3， 则PC →·P A →＝(2－2cos θ，3－2sin θ)·(－1－2cos θ，3－2sin θ)＝5－2cos θ－43sin θ＝5－213sin(θ＋φ)， 其中0

平面向量的基本概念

平面向量得实际背景及基本概念 1、向量得概念：我们把既有大小又有方向得量叫向量。 ２、数量得概念:只有大小没有方向得量叫做数量。 数量与向量得区别： 数量只有大小,就就是一个代数量,可以进行代数运算、比较大小; 向量有方向，大小，双重性，不能比较大小、 3.有向线段:带有方向得线段叫做有向线段。 4.有向线段得三要素:起点,大小,方向 ５、有向线段与向量得区别; （1)相同点:都有大小与方向 (2）不同点:①有向线段有起点,方向与长度，只要起点不同就就就是不同得有向线段 比如：上面两个有向线段就就是不同得有向线段。 ②向量只有大小与方向,并且就就是可以平移得,比如：在①中得两个有向线 段表示相同(等)得向量。 ③向量就就是用有向线段来表示得,可以认为向量就就是由多个有向线段连接而成 6、向量得表示方法: ①用有向线段表示； ②用字母a 、b (黑体,印刷用)等表示; ③用有向线段得起点与终点字母:; ７、向量得模:向量得大小(长度)称为向量得模,记作｜|、 8、零向量、单位向量概念： 长度为零得向量称为零向量,记为:0。长度为1得向量称为单位向量。 ９、平行向量定义: ①方向相同或相反得非零向量叫平行向量;②我们规定0与任一向量平行、即:0 ∥a 。 说明：(1)综合①、②才就就是平行向量得完整定义； (2)向量ａ、ｂ、c 平行,记作ａ∥b ∥c 、 １0、相等向量 长度相等且方向相同得向量叫相等向量、 说明:(1）向量ａ与ｂ相等，记作a ＝b ;(２)零向量与零向量相等; (３)任意两个相等得非零向量,都可用同一条有向线段来表示,并且与有．． A(起点) B (终点) a

平面向量中的线性问题专题(附答案)

平面向量中的线性问题 题型一 平面向量的线性运算及应用 例1 (1)(2015·课标全国Ⅰ)设D 为△ABC 所在平面内一点，BC →＝3CD → ，则( ) A.AD → ＝－13AB →＋43AC → B.AD →＝13AB →－43AC → C.AD →＝43AB →＋13 AC → D.AD →＝43AB →－13 AC → (2)如图所示，在△ABC 中，D ，F 分别是AB ，AC 的中点，BF 与CD 交于点O ，设AB →＝a ，AC → ＝b ，试用a ，b 表示向量AO → . (3)OA →＝λOB →＋μOC → (λ，μ为实数)，若A 、B 、C 三点共线，则λ＋μ＝1. 变式训练1 (1)如图，两块全等的直角边长为1的等腰直角三角形拼在一起，若AD →＝λAB → ＋kAC → ，则λ＋k 等于( ) A.1＋ 2 B.2－ 2 C.2 D.2＋2 (2)在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝2CD ，M ，N 分别为CD ，BC 的中点，若AB →＝λAM →＋μAN → ，则λ＋μ＝________.

题型二 平面向量的坐标运算 例2 (1)(2015·江苏)已知向量a ＝(2,1)，b ＝(1，－2)，若m a ＋n b ＝(9，－8)(m ，n ∈R )，则m －n 的值为________. (2)平面内给定三个向量a ＝(3,2)，b ＝(－1,2)，c ＝(4,1)，请解答下列问题： ①求满足a ＝m b ＋n c 的实数m ，n ； ②若(a ＋k c )∥(2b －a )，求实数k ； ③若d 满足(d －c )∥(a ＋b )，且|d －c |＝5，求d . 变式训练2 (1)(2014·湖南)在平面直角坐标系中，O 为原点，A (－1,0)，B (0，3)，C (3,0)，动点D 满足|CD →|＝1，则|OA →＋OB →＋OD → |的最大值是________. (2)已知向量OA →＝(3，－4)，OB →＝(6，－3)，OC → ＝(5－m ，－3－m )，若点A 、B 、C 能构成三角形，则实数m 满足的条件是________. 高考题型精练 1.(2015·四川)设向量a ＝(2,4)与向量b ＝(x,6)共线，则实数x 等于( ) A.2 B.3 C.4 D.6 2.(2015·安徽)△ABC 是边长为2的等边三角形，已知向量a ，b 满足AB →＝2a ，AC →＝2a ＋b ，则下列结论正确的是( ) A.|b |＝1 B.a ⊥b C.a ·b ＝1 D.(4a ＋b )⊥BC → 3.已知A (－3,0)，B (0,2)，O 为坐标原点，点C 在∠AOB 内，|OC |＝22，且∠AOC ＝π4，设OC → ＝ λOA →＋OB → (λ∈R )，则λ的值为( ) A.1 B.13 C.12 D.2 3 4.(2014·课标全国Ⅰ)设D ，E ，F 分别为△ABC 的三边BC ，CA ，AB 的中点，则EB →＋FC → 等于( )

高中数学必修4平面向量典型例题及提高题

平面向量 【基本概念与公式】 【任何时候写向量时都要带箭头】 1.向量：既有大小又有方向的量。记作：AB 或a 。 2.向量的模：向量的大小（或长度），记作：||AB 或||a 。 3.单位向量：长度为1的向量。若e 是单位向量，则||1e =。 4.零向量：长度为0的向量。记作：0。【0方向是任意的，且与任意向量平行】 5.平行向量（共线向量）：方向相同或相反的向量。 6.相等向量：长度和方向都相同的向量。 7.相反向量：长度相等，方向相反的向量。AB BA =-。 8.三角形法则： AB BC AC +=；AB BC CD DE AE +++=；AB AC CB -=（指向被减数） 9.平行四边形法则： 以,a b 为临边的平行四边形的两条对角线分别为a b +，a b -。 10.共线定理：//a b a b λ=?。当0λ>时，a b 与同向；当0λ<时，a b 与反向。 11.基底：任意不共线的两个向量称为一组基底。 12.向量的模：若(,)a x y =，则2||a x y = +2 2||a a =，2||()a b a b +=+ 13.数量积与夹角公式：||||cos a b a b θ?=?； cos |||| a b a b θ?= ? 14.平行与垂直：1221//a b a b x y x y λ?=?=；121200a b a b x x y y ⊥??=?+= 题型1.基本概念判断正误： （1）若a 与b 共线， b 与c 共线，则a 与c 共线。 （2）若ma mb =，则a b =。 （3）若ma na =，则m n =。 （4）若a 与b 不共线，则a 与b 都不是零向量。 （5）若||||a b a b ?=?，则//a b 。 （6）若||||a b a b +=-，则a b ⊥。 题型2.向量的加减运算

运用坐标法解决平面向量的最值问题

运用坐标法解决平面向量的最值问题 发表时间：2013-04-22T16:02:45.093Z 来源：《中学课程辅导·教学研究》2013年第7期供稿作者：卫保新[导读] 在原题目中没有给出相应的图形，在画出的常规图形也难以使学生联想出到建立直角坐标系。 卫保新 摘要：本文通过对三个数学例题的简要分析，简要谈了应如何运用坐标法解决平面向量的最值问题，并提出了笔者的一些体会。关键词：坐标法；平面向量；最值问题 在平面向量中，解决有关最大、最小值问题是高考命题中一个比较常见的热点问题，题目主要考查平面向量的数量积、向量的模、向量的基本运算等重要知识点。解题的方法除了运用数量积的定义，也可运用数量积的坐标运算。知识综合运用三角、不等式、函数等内容。解题的思想体现了数形结合、等价转换、函数与方程等思想方法。在高考和平时的课堂教学中，学生解题过程时很难联想到引入直角坐标系、运用坐标建立函数模型、不等式模型解决问题。 那么，如何建立适当的直角坐标系呢？一是抓住题中直接或间接的垂直关系；二是抓住题中定量与不定量的关系；三是抓住是否有利于图形写出方程的简单化；四是抓住点的坐标更容易写出；五是所建立的直角坐标系不影响求解的结论。 下面用具体例子说明建立直角坐标系、运用坐标法解决平面向量最值问题(以下的解法仅给出坐标法说明，原标准方法在此不再列出) 说明：在例1中原题中没有给出图形，学生在解决问题时虽然能作出图形，由于点P的不确定性，所以学生不容易联想到建立直角坐标系把问题代数化，在P点的选择技巧上，由于圆外一点均可作出圆的两条切线，并且无论点P位于何处，总可以以PO为x轴或y轴建立适当的直角坐标系。本题运用了重要的知识点——平均值不等式求最值。

平面向量中的最值问题浅析

平面向量中的最值问题浅析 耿素兰 山西平定二中（045200） 平面向量中的最值问题多以考查向量的基本概念、基本运算和性质为主，解决此类问题要注意正确运用相关知识，合理转化。 一、利用函数思想方法求解 例1、给定两个长度为1的平面向量OA 和OB ，它们的夹角为120o .如图所示，点C 在以O 为圆心的圆弧AB 上变动.若,OC xOA yOB =+ 其中 ,x y R ∈,则x y +的最大值是________. 分析：寻求刻画C 点变化的变量，建立目标x y + 与此变量的函数关系是解决最值问题的常用途径。 解：设AOC θ∠=，以点O 为原点，OA 为x 轴建立直角坐标系，则(1,0)A ，1(, )22 B -，(cos ,sin ) C θθ。 ,OC xOA yOB =+ 1(cos ,sin )(1,0)(2x y θθ∴=+-即 cos 2sin y x θθ?-=?? = cos 2sin()6x y πθθθ∴+=+=+2(0)3 π θ≤≤。 因此，当3 π θ= 时，x y +取最大值2。 例2、已知(1,7),(5,1),(2,1),OA OB OP === 点Q 为射线OP 上的一个动点，当 QA QB 取最小值时，求.OQ 分析：因为点Q 在射线OP 上，向量OQ 与OP 同向，故可以得到关于OQ 坐标的一个 关系式，再根据QA QB 取最小值求.OQ 解：设(2,),(0)OQ xOP x x x ==≥ ，则(12,7),(52,1)QA x x QB x x =--=-- 图 1

2 2 (12)(52)(7)(1) 520125(2)8 QA QB x x x x x x x ∴=--+--=-+=-- ∴当2x =时，QA QB 取最小值-8，此时(4,2).OQ = 二、利用向量的数量积n m n m ?≤?求最值 例3、ABC ?三边长为a 、b 、c ，以A 为圆心,r 为半径作圆,PQ 为直径，试判断P 、Q 在什么位置时，BP CQ 有最大值。 分析：用已知向量表示未知向量，然后用数量积的性质求解。 解：,AB BP AP AC CQ AQ AP +=+==- 2 2 2 ()() () BP CQ AP AB AP AC r AB AC AP AB AC r AB AC AP CB AB AC AP CB r ∴=---=-++-=-++≤+- 当且仅当AP 与CB 同向时，BP CQ 有最大值。 三、利用向量模的性质a b a b a b -≤+≤+ 求解 例4：已知2,(cos ,sin ),a b b θθ-== 求a 的最大值与最小值。 分析：注意到()a a b b =-+ ，考虑用向量模的性质求解。 解：由条件知1b = 。 设a b c -= ，则a =b c + ， c b c b c b -≤+≤+ ， ∴13a ≤≤ 。 所以当b 与c 同向时，a 取最大值3；当b 与c 反向时，a 取最小值1。 四、利用几何意义，数形结合求解 例5、如图，已知正六边形123456PP P P P P ，下列向量的数量积中最大的是 （A ）1213PP PP ? （B ）1214PP PP ? （C ）1215PP PP ? （D ）1216PP PP ? 分析：平面向量数量积121(1,2,3,4,5,6)i PP PP i = 的几何意义为121i PP PP 等于12PP 的长度与 图 2 图3

20、平面向量中的最值问题

与平面向量有关的定值最值问题 1、如图，直角梯形ABCD 中，AD ⊥AB, AB//DC , AB=4,AD=DC=2,设点N 是DC 边的中点， 点M 是梯形ABCD 内或边界上的一个动点，则AM AN ? 的最大值是 A 、4 B 、6 C 、8 D 、10 2、如图，点M 为扇形AOB 的弧的四等分点，动点D C ,分别在线段OB OA ,上， 且.BD OC =若1=OA ，120AOB ? ∠=，则||||+的最小是 ． 3．在ABC ?中，D 是BC 边上一点，3BD DC =，若P 是线段AD 边上一动点，且2AD =，则)3(PC PB PA +?的最小值为 ． 4．已知圆O 的方程为22 2 =+y x ，PA,PB 为该圆的两条切线，A ，B 为两切点，则PB PA ?的最小值为 A ．246+- B ．246-- C ．248+- D ．248-- 5 、已知点(P 与椭圆22 13 x y +=，且,A B 是过原点的直线l 与椭圆的交点，记m PA PB =? ，则m 的最小值是 . 6．过圆4)2(22=++y x 上一点P 向圆1)2(2 2=-+y x 引两条切线，切点分别为A ．B ，则?的 取值范围 ． 7．动点P （x ，y ）满足1, 25,3,y x y x y ≥?? +≤??+≥? 点Q 为（1，－1），O 为坐标原点，||OP OP OQ λ=? ，则λ的取 值范围是 A ．[55- - B ．[]55 C ．[]55- D ．[55 - 8．已知M ，N 为平面区域360 y 200x y x x --≤?? -+≥??≥? 内的两个动点，向量(1,3)a = ，则?的最大值是____． 9、设点A 在圆122=+y x 内，点)0,(t B ，O 为坐标原点，若集合{ }|C +={ } 9|),(2 2≤+?y x y x ， 则实数t 的最大值为 ． 10．若点O 和点F 分别为椭圆22 143 x y +=的中心和左焦点，点P 为椭圆上任意一点，则OP FP ? 的最大 值为 ． 11、已知两个单位向量b a ,满足：0)()(,0=-?-=?c b c a b a ，则||c 的最大值为 A.1 B.2 C.3 D.2 12、已知点),(y x P 在由不等式组?? ? ??≥-≤--≤-+010103x y x y x 确定的平面区域内，O 为坐标原点，点A （-1,2），则 AOP OP ∠?cos ||的最大值是 A ．55- B ．553 C ．０ D ．5 13．平面向量,a b 满足：4=? 3=- 的最大值与最小值的和是 . 14.已知ABC ? 中，4,AB AC BC ===点P 为BC 边所在直线上的一个动点，则()AP AB AC ?+ 满足 A.最大值为16 B.最小值为4 C.为定值8 D.与P 的位置有关

平面向量的概念练习(学生版)

1、下列说法正确的是（ ） A 、数量可以比较大小，向量也可以比较大小. B 、方向不同的向量不能比较大小，但同向的可以比较大小. C 、向量的大小与方向有关. D 、向量的模可以比较大小. 2、给出下列六个命题： ①两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同； ②若||||a b =，则a b =； ③若AB DC =，则四边形ABCD 是平行四边形； ④平行四边形ABCD 中，一定有AB DC =； ⑤若m n =，n k =，则m k =； ⑥a b ，b c ，则a c . 其中不正确的命题的个数为（ ） A 、2个 B 、3个 C 、4个 D 、5个 3、设O 是正方形ABCD 的中心，则向量,,,AO BO OC OD 是（ ） A 、相等的向量 B 、平行的向量 C 、有相同起点的向量 D 、模相等的向量 4、判断下列各命题的真假： （1）向量AB 的长度与向量BA 的长度相等； （2）向量a 与向量b 平行，则a 与b 的方向相同或相反； （3）两个有共同起点的而且相等的向量，其终点必相同； （4）两个有共同终点的向量，一定是共线向量； （5）向量AB 和向量CD 是共线向量，则点A 、B 、C 、D 必在同一条直线上； （6）有向线段就是向量，向量就是有向线段. 其中假命题的个数为（ ） A 、2个 B 、3个 C 、4个 D 、5个 5、若a 为任一非零向量，b 为模为1的向量，下列各式：①|a |＞|b | ②a ∥b ③|a |＞0 ④|b |＝±1，其中正确的是（ ） A 、①④ B 、③ C 、①②③ D 、②③

6、下列命中，正确的是（ ） A 、|a |＝|b |?a ＝b B 、|a |＞|b |?a ＞b C 、a ＝b ?a ∥b D 、｜a ｜＝0?a ＝0 7、下列物理量：①质量 ②速度 ③位移 ④力 ⑤加速度 ⑥路程，其中是向量的有（ ） A 、2个 B 、3个 C 、4个 D 、5个 8、平行向量是否一定方向相同？ 9、不相等的向量是否一定不平行？ 10、与零向量相等的向量必定是什么向量？ 11、与任意向量都平行的向量是什么向量？ 12、若两个向量在同一直线上，则这两个向量一定是什么向量？ 14、如图所示，四边形ABCD 为正方形，△BCE 为等腰直角三角形， （1）找出图中与AB 共线的向量； （2）找出图中与AB 相等的向量； （3）找出图中与｜AB ｜相等的向量； （4）找出图中与EC 相等的向量. A B E C D

平面向量的解题技巧

第四讲平面向量的解题技巧 【命题趋向】由2007年高考题分析可知： 1．这部分内容高考中所占分数一般在10分左右． 2．题目类型为一个选择或填空题，一个与其他知识综合的解答题． 3．考查内容以向量的概念、运算、数量积和模的运算为主． 【考点透视】“平面向量”是高中新课程新增加的内容之一，高考每年都考，题型主要有选择题、填空题，也可以与其他知识相结合在解答题中出现，试题多以低、中档题为主． 透析高考试题，知命题热点为： 1．向量的概念，几何表示，向量的加法、减法，实数与向量的积． 2．平面向量的坐标运算，平面向量的数量积及其几何意义． 3．两非零向量平行、垂直的充要条件． 4．图形平移、线段的定比分点坐标公式． 5．由于向量具有“数”与“形”双重身份，加之向量的工具性作用，向量经常与数列、三角、解析几何、立体几何等知识相结合，综合解决三角函数的化简、求值及三角形中的有关问题，处理有关长度、夹角、垂直与平行等问题以及圆锥曲线中的典型问题等． 6．利用化归思想处理共线、平行、垂直问题向向量的坐标运算方面转化，向量模的运算转化为向量的运算等；利用数形结合思想将几何问题代数化，通过代数运算解决几何问题． 【例题解析】 1. 向量的概念，向量的基本运算 (1)理解向量的概念，掌握向量的几何意义，了解共线向量的概念. (2)掌握向量的加法和减法. (3)掌握实数与向量的积，理解两个向量共线的充要条件. (4)了解平面向量的基本定理，理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算. (5)掌握平面向量的数量积及其几何意义,了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题, 掌握向量垂直的条件. (6)掌握平面两点间的距离公式. 例1（2007年北京卷理）已知O是ABC △所在平面内一点，D为BC边中点，且2OA OB OC ++=0，那么（）Ａ．AO OD =Ｄ．2AO OD AO OD = AO OD =Ｂ．2 =Ｃ．3

平面向量中的最值问题0

平面向量中的最值问题 1．求向量的模的最值或取值范围． 2．求平面向量的夹角的最值或取值范围． 3．求平面向量数量积的最值或取值范围． 【复习指导】 本讲复习时，应结合平面向量数量积的定义及其几何意义，将有关的量表示出来，代数或几何方法求解最值与取值范围． 基础梳理 求最值的方法小结 ㈠．几何方法 ⑴．平面几何方法： 两点之间线段最短、点到直线的距离最短、与圆有关的最值 ⑵．解析几何方法 利用截距、斜率、两点之间的距离等几何意义求最值； 先求轨迹，后求最值 ㈡．代数方法 ⑴．函数方法： 首先分析要求的量的变化和什么因素有关，从而选定变量，建立函数关系式，利用函数有关知识求解最值问题，另外有些问题需结合导数知识求解； ⑵．利用基本不等式求解； ⑶．利用三角函数求解． 双基自测 ㈠．求模的最值或范围

1．平几法求最值 【例1】已知向量OA 和OB 的夹角为3 π ，||4,||1OA OB ==，若点M 在直线OB 上，则||OA OM - 的最小值为________．练习1．⑴．(11全国大纲)设向量,,a b c 满足1||||1,,,602 a b a b a c b c ==?=-<-->=，则||c 的 最大值等于________． 【思路点拨】本题按照题目要求构造出如右图所示的几何图形，然后分析观察不难得到当线段AC 为直径时，||c 最大． 解：如图，构造,,,120AB a AD b AC c BAD ===∠=， 60BCD ∠=，所以,,,A B C D 四点共圆，分析可知当线段AC 为 直径时，||c 最大，最大值为2． ⑵．已知向量,||1a e e ≠=，对任意t R ∈，恒有||||a te a e -≥-，则下列结论正确的是________． ①a e ⊥ ②．()a a e ⊥- ③．()e a e ⊥- ④．()()a e a e +⊥- 解法一：由||||a te a e -≥-知，2 2 ||||a te a e -≥-，即222||2||21a ta e t a a e -?+≥-?+，化简得， 22(1)1t a e t -?≤-，当1t ≤时，即212a e t ?≥+≤恒成立，故1a e ?≥；当1t >时，即212a e t ?≤+>，故1a e ?≤．故1a e ?=，故③成立． 解法二：22(1)1t a e t -?≤-，即2 2210t a et a e -?+?-≥任意t R ∈恒成立，故24()a e ?=?- 840a e ?+≤，即1a e ?=，故③成立． 解法三：由几何意义可知，在所有的向量a te -中，以a e -的模最小，故()e a e ⊥-． 【例2】(08浙江)已知,a b 是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c 满足：()()0a c b c -?-=，则||c 的最大值是___________． 解法一：由()()0a c b c -?-=可得，2||()||||cos c a b c a b c θ=+?=+(其中θ为a b +与c 的夹 角)，即||()||cos c a b c a b θθ=+?=+≤,故||c 的最大值是2． 解法二：作四边形OABC ，设,,OA a OB b OC c ===，则由已知得，90,90AOB ACB ∠=∠=，

平面向量中的最值范围(偏难 带答案)

平面向量中的最值范围（偏难 带答案） 1、设A ，B ，C 是半径为1的圆O 上的三点，且OA ―→⊥OB ―→，则(OC ―→－OA ―→)·(OC ―→－OB ―→ )的最大值是( ) A ．1＋2 B.1－ 2 C.2－1 D ．1 解答：如图，作出OD ―→，使得OA ―→＋OB ―→＝OD ―→，(OC ―→－OA ―→)·(OC ―→－OB ―→)＝OC ―→2－OA ―→·OC ―→－OB ―→·OC ―→＋OA ―→·OB ―→＝1－(OA ―→＋OB ―→)·OC ―→＝1－OD ―→·OC ―→，由图可知，当点C 在OD 的反向延长线与圆O 的交点处时，OD ―→·OC ―→取得最小值，最小值为－2，此时(OC ―→－OA ―→)·(OC ―→－OB ―→)取得最大值，最大值为1＋2，故选A. 2、如图，在平面四边形ABCD 中，AB ⊥BC ，AD ⊥CD ，∠BAD ＝120°，AB ＝AD ＝1.若点E 为边CD 上的动 点，则AE ―→·BE ―→的最小值为( ) A.21 16 B.32 C.2516 D ．3 解答：如图，以D 为坐标原点建立平面直角坐标系，连接AC . 由题意知∠CAD ＝∠CAB ＝60°， ∠ACD ＝∠ACB ＝30°， 则D (0,0)，A (1,0)，B ??? ?32，32，C (0，3)．设E (0，y )(0≤y ≤3)， 则AE ―→＝(－1，y )，BE ―→＝????－32，y －32，∴AE ―→·BE ―→＝32＋y 2－32y ＝????y －342＋21 16， ∴当y ＝34时，AE ―→·BE ―→有最小值2116 . 选A 3、已知a ，b ，e 是平面向量，e 是单位向量，若非零向量a 与e 的夹角为π 3，向量b 满足b 2－4e ·b ＋3＝0，则 |a －b |的最小值是( ) A.3－1 B.3＋1 C ．2 D ．2－ 3 3解答∵b 2－4e ·b ＋3＝0，∴(b －2e )2＝1，∴|b －2e |＝1. 如图所示，把a ，b ，e 的起点作为公共点O ，以O 为原点，向量e 所在直线为x 轴，则b 的终点在以点(2,0)为圆心，半径为1的圆上，|a －b |就是线段AB 的长度． 要求|AB |的最小值，就是求圆上动点到定直线的距离的最小值，也就是圆心M 到直线OA 的距离减去圆的半径长，因此|a －b |的最小值为3－1.

向量有关概念

．向量有关概念： 1．向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别。向量常用有向线段来表示，注意不能说向量就是有向线段，为什么？（向量可以平移）。 2．零向量：长度为0的向量叫零向量，记作：，注意零向量的方向是任意的； 3．单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量(与共线的单位 向量是)； 4．相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性； 5．平行向量（也叫共线向量）：方向相同或相反的非零向量、叫做平行向量，记作：∥，规定零向量和任何向量平行。 提醒： ①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等； ②两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线, 但两 条直线平行不包含两条直线重合； ③平行向量无传递性！（因为有)； ④三点共线共线； 6．相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量。的相反向量是－。二．向量的表示方法： 1．几何表示法：用带箭头的有向线段表示，如，注意起点在前，终点在后；2．符号表示法：用一个小写的英文字母来表示，如，，等；

3．坐标表示法：在平面内建立直角坐标系，以与轴、轴方向相同的两个单位向量，为基底，则平面内的任一向量可表示为，称 为向量的坐标，＝叫做向量的坐标表示。如果向量的起点在原点，那么向量的坐标与向量的终点坐标相同。 三．平面向量的基本定理：如果e1和e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任一向量a，有且只有一对实数、，使a=e1＋e2。 四．实数与向量的积：实数与向量的积是一个向量，记作，它的长度和 方向规定如下：当>0时，的方向与的方向相同， 当<0时，的方向与的方向相反，当＝0时，，注意：≠0。 五．平面向量的数量积： 1．两个向量的夹角：对于非零向量，，作， 称为向量，的夹角，当＝0时，，同向，当＝时，， 反向，当＝时，，垂直。 2．平面向量的数量积：如果两个非零向量，，它们的夹角为，我们把 数量叫做与的数量积（或内积或点积），记作：，即＝ 。规定：零向量与任一向量的数量积是0，注意数量积是一个实数，不再是一个向量。 3．在上的投影为，它是一个实数，但不一定大于0。 4．的几何意义：数量积等于的模与在上的投影的积。 5．向量数量积的性质：设两个非零向量，，其夹角为，则：