导数及其应用同步练习题(教师版)
导数及其应用同步练习题
一、选择题 1． 函数2
16x
x
y +=的极大值为（ ） A. 3
B. 4
C. 2
D. 5
【答案】A 【解析】222222
6(1)626(1)
(1)(1)x x x x y x x +-?-'==++,121,1x x =-=,当x=1时，y 取得极大值，极
大值为3y =.
2．函数x y =lnx 的单调递减区间是 （ ）
A.(),1
-∞-e ) B. (),1
+∞-e ) C. （+∞,e ） D. （0，e 1-） 【答案】D 【解析】试题分析：函数定义域()0,+∞，
ln ln 1y x x y x '=∴=+，令0y '<得10x e -<<，所
以减区间为()
10,e -考点：函数单调性点评：判定函数单调性先求定义域，然后由导数小于零求得减区间，由导数大于零求得增区间
3．函数2
2
(2)y x x =-取得最大值时x 的值是（ ） A ．1- B ．1 C ．1± D ．2
【答案】C 【解析】解：因为2
2
3
(2)'444(1)(1)=-∴=-=-+y x x y x x x x x ，可知当y ’>0时，和y ’<0时的解集，进而得到极值，从而得到最值，可知在x=1±时，取得最大值。选C
4． 已知函数)(x f y =，其导函数)('x f y =的图象如下图，则对于函数)(x f y =的描述正确的是（ ）
A. 在)0,(-∞上为减函数
B. 在0=x 处取得最大值
C. 在),4(+∞上为减函数
D. 在2=x 处取得最小值 【答案】C 【解析】由)('x f y =的图象可知f(x)在x=2处取得极小值，在x=0,x=4处取得极大值，在),4(+∞上为减函数.
5．函数3
()33f x x bx b =-+在(0,1)有极小值，则（ ）
A ．01b <<
B ．1b <
C ．0b >
D ．1
2
b <
【答案】A 【解析】试题分析：先对函数f （x ）进行求导，然后令导函数等于0，由题意知在（0，1）必有根，
从而得到b 的围。解：因为函数在（0，1）有极小值，所以极值点在（0，1）上．令f'（x ）=3x 2-3b=0，得x 2
=b ，显然b ＞0，∴x=b ，又∵x ∈（0，1），∴0b 1．∴0＜b ＜1，故选A ．
考点：导数的运用点评：本题主要考查应用导数解决有关极值与参数的围问题 6．函数3
()2f x x ax =+-在区间[1,)+∞是增函数，则实数a 的取值围是（ ） A ．[3,)+∞ B ．[3,)-+∞ C ．(3,)-+∞ D ．(,3)-∞-
【答案】B 【解析】试题分析：根据题意，由于3
()2f x x ax =+-在区间[1,)+∞是增函数，则说明
22'()303f x x a a x =+≥∴≥-区间[1,)+∞是恒成立，则只要a 大于函数的 最大值即可，结合二次函数的性质
可知当x=1时，函数取得最大值-3，因此可知实数a 的取值围是[3,)-+∞，选B.考点：函数的单调性
点评：解决的关键是能够利用导数恒大于等于零来说明函数的单调性，从而利用分离参数的思想来得到结论，属于基础题。
7． 函数93)(2
3-++=x ax x x f ，已知)(x f 在3-=x 时取得极值，则a =（ ）
A.2
B.3
C.4
D.5
【答案】D 【解析】解：对函数求导可得，f ′（x ）=3x 2
+2ax+3∵f （x ）在x=-3时取得极值∴f ′（-3）=0?a=5 故答案为：选D
8．函数x
e x x
f )3()(-=的单调递减区间是( )
A.)2,(-∞
B.)3,0(
C.)4,1(
D.),2(+∞
【答案】A 【解析】解：因为
x x x x f (x)(x 3)e f '(x)e (x 3)e e (x 2)
f '(x)0x 2
=-∴=+-=-∴
因此递减区间为)2,(-∞，选A
9．函数32()6(,)f x ax x x =---∞+∞+在上既有极大值又有极小值，则a 的取值围为（ ） (A)0a > (B)0a < (C)13a > (D)3
1 【解析】解：因为函数32()6(,)f x ax x x =---∞+∞+在上既有极大值又有极小值 所以21 '()321041203 f x ax x a a =-=∴?=->∴< + 10．函数)(x f 的定义域为开区间),(b a ，导函数)(x f '在),(b a 的图象如图所示，则函数)(x f 在开区间),(b a 极值点有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 【答案】C 【解析】解：由导函数图像可知，图像穿过x 轴3次，说明有3个极值点，选C 11．函数)0(3)(3 >+-=a b ax x x f 的极大值为6,极小值为2,则)(x f 的减区间（ ） A. （-1，1） B. （0，1） C. （-1，0） D. （-2，-1） 【答案】：A 【解析】：函数)0(3)(3>+-=a b ax x x f 的极大值为6,极小值为2,则有'2 ()330f x x a =-=， x =可以得到()f x 在(,),-∞+∞为增函数，在(上为减函数，因此x = 值，x = 4b =，1a =，减区间为（-1，1） 12．已知函数5)63()(23+-+-=x a ax x x f 有极大值和极小值，则a 的取值围是（ ） A ．3 【答案】C 【解析】f(x) 有极大值和极小值, 2 ()3236f x x ax a '=-+-则2 443(36)0a a ?=-??-> ，所以a<3或a>6。 二、填空题 13．3 ()31f x x x =-+在[-2,2]上的最大值是 ．【答案】3 【解析】2 ()330,1,1f x x x x '=-=∴=-=, (1)3,(1)1,(2)1,(2)3f f f f -==--=-=.所以最大值为3. 14． 当]1,1[-∈x 时，函数x e x x f 2 )(=的值域是 .【答案】[0,e] 【解析】 22 222()x x x x xe x e x x f x e e --'==,()f x ∴在区间(1,0)-上是减函数，f(x)在区间(1,2)上是增函数， 所以当x=0,f(x)取得最小值0.因为f(-1)=e,f(1)=1 e ,显然最大值为e,所以f(x)的值域为[0,e]. 15．函数y ＝ 13 x 3－ax 2 ＋x －2a 在R 上不是单调函数，，则a 的取值围是________． 【答案】(－∞，－1)∪(1，＋∞)【解析】试题分析：函数导数2 21y x ax '=-+，因为函数在R 上不是单调函数，所以导数值有正有负，即导函数2 21y x ax '=-+与x 轴有两个交点01a ∴?>∴>或1a <- 考点：函数单调性 点评：本题通过函数导数判定函数单调性，在R 上不是单调函数，则存在极值点，即存在导数值大于零和小于零的情况 16．已知函数32 27y x ax bx =+++在1x =-处有极大值，在3x =处有极小值，则a = b = 【答案】3- ；9-【解析】略 17．若函数32 ()4f x x x ax =+--在区间()1,1-恰有一个极值点，则实数a 的取值围为 【答案】[1,5)【解析】解：因为函数32 ()4f x x x ax =+--在区间()1,1-恰有一个极值点，则说明了 2()32=+-‘f x x x a =0在区间()1,1-只有一个实数根，借助于二次函数图像可知实数a 的 取值围为[1,5) 18．函数1)(2 3 +++=mx x x x f 是R 上的单调函数，则m 的取值围是： 【答案】 ),3 1[+∞【解析】略 19．若函数1)(2 3 +-=ax x x g 在区间[]2,1上单调递减，则实数a 的取值围是_____________. 【答案】 3≥a 【解析】 []32?2max ()11,2()320232363 g x x ax g x x ax a x a x a =-+=-≤≥≥=∴≥在上单减，则恒成立，恒成立，即（） 20． 若a ＞0，b ＞0，且函数f(x)＝4x 3 －ax 2 －2bx ＋2在x ＝1处有极值，则ab 的最大值为____________. 【答案】9【解析】解：∵f ′（x ）=12x 2 -2ax-2b ，又因为在x=1处有极值 ∴a+b=6∵a ＞0，b ＞0，∴ab ≤(a+b 2 )2=9，当且仅当a=b=3时取等号，所以ab 的最大值等于9 三、解答题 21．设函数842)(2 3++--=x x x x f 。（Ⅰ）求)(x f 的极大值点与极小值点； （Ⅱ）求)(x f 在区间]0,5[-上的最大值与最小值。 【答案】解：（Ⅰ） 443)(2 +--='x x x f 。令0)(='x f ，解得2,32 21-== x x 。1分 ∵)(x f 的单调递增区间)32,2(-，单调递减区间)2,(--∞，) ,32 (+∞。2分 ∴)(x f 的极大值点=x 32 ，极小值点2-=x 。3分 （Ⅱ）列表 x 5- )2,5(-- 2- )0,2(- 0 )(x f ' － 0 ＋ )(x f ↘ 极小值 ↗ 5分 当0=x 时，8)0(=f ，当2-=x 时，0)2(=-f ，当5-=x 时，63)5(=-f 。 ∴在区间]0,5[-上的最大值为63，最小值为0。7分 【解析】本试题主要是考查了函数的极值和最值问题的运用。 （1）先求解导数，然后判定函数的单调性，利用极值的概念可知道饿到第一问的结论。 （2）在第一问的基础上，进一步比较端点值的函数值域极值的大小关系得到最值。 22． 已知函数32y ax bx =+，当1x =时，有极大值3 （1）求函数的解析式；（2）求函数的单调区间； （3）求此函数在[-2，2]上的最大值和最小值。 【答案】（1）2 3 96)(x x x f +-=∴；（2）增区间为)1,0(，减区间为),1(),0,(+∞-∞； (3) 12)(,84)2()(min max -==-=∴x f f x f 【解析】本试题主要是考查了导数在研究函数中极值和最值的问题的运用。 解：（1）bx ax x f 23)(2 ' +=，由题意知3)1(,0)1(' ==f f ………（2分） ???=+=+∴3023b a b a ，解得?? ?=-=9 6b a ，2 396)(x x x f +-=∴ ……………（3分） （2）)1(181818)(2 '--=+-=x x x x x f 当10< >x f ，)(x f ∴的单调递增区间为)1,0( 当10> 又12)2(,84)2(-==-f f ,12)(,84)2()(min max -==-=∴x f f x f 。 ……（10分） 23．已知函数3 ()f x ax bx c =++在1x =处取得极值4c -. (1)求,a b ; (2)设函数()y f x =为R 上的奇函数,求函数()f x 在区间(2,0)-上的极值. 【答案】(1) 2 6a b =??=-? （2）()f x 在1x =-处有极大值 (1)264f -=-+= 无极小值. 【解析】试题分析：∵2 ()3f x ax b '=+ (1)∴(1)4(1)0f c f =-?? '=? ∴430a b c c a b ++=-??+=? ∴2 6 a b =??=-? （2）因为其为奇函数∴3 ()26f x x x =- ∴2 ()666(1)(1)f x x x x '=-=+- 令()0f x '= ∴1x =-或1 ∵(2,0)x ∈- ∴1x =- ∴当(2,1),()0x f x '∈--> (1,0),()0x f x '∈-< ∴()f x 在1x =-处有极大值 (1)264f -=-+= 无极小值. 考点：本题主要考查应用导数研究函数的单调性、极值。 点评：中档题，本题属于导数应用中的基本问题，通过研究导数的正负，明确函数的单调性。判断函数的驻点是何种类型的极值点。 24．已知函数3 2 ()f x x ax bx c =+++在2 3 x =- 与1x =时都取得极值. (1) 求,a b 的值；(2) 求函数()f x 的单调区间. 【答案】解：（1）a=－12，b=－2.（2）递增区间是2(,)3 -∞-与(1,)+∞,递减区间是2 (,1)3- 【解析】第一问，利用函数32 ()f x x ax bx c =+++在23 x =-与1x =时都取得极值.得到两个导数值为零，然 后利用求解后的解析式，代入原式中，研究函数的单调性。令0)(' =x f ，得13 2=-=x x 或 当时0)('>x f ，132>- 2<<-x 解：（1） 3222f (x)x ax bx c f '(x)3x 2ax b 2 f (x)x=-x=13 2124f (-)=0=f (1)=0=3+2a+b=0 3931 a , b 262 2f '(x)3x -x-2=(3x+2)(x-1)8=+++∴=++∴=-=-=在和处取得极值，因此则有 ’-a+b=0且’分 （）分 令0)(' =x f ，得132 =- =x x 或 当时0)(' >x f ，132>- 当时0)(' ………………………10分 所以函数()f x 的递增区间是2(,)3 -∞-与(1,)+∞,递减区间是2 (,1)3-；……………………12分 25．已知函数c bx ax x x f +++=2 3)(，曲线)(x f y =在点x=1处的切线为013=+-y x l ：， 若3 2 = x 时，)(x f y =有极值。（1）求c b a ,,的值； （2）求)(x f y =在]1,3[-上的最大值和最小值。 【答案】函数c bx ax x x f +++=23)(的导函数为'2 ()32f x x ax b =++，曲线)(x f y =在点x=1处的切线为 013=+-y x l ：，则有'(1)323f a b =++=，(1)14f a b c =+++=， 又根据32= x 时，)(x f y =有极值，则有'2222()3()20333 f a b =?+?+=，解得a=2,b=-4,c=5 （2）'2()344(2)(32)0,f x x x x x =+-=+-=22,3x =-，当2(3,2)(,1)3 x ∈--?时，' ()0f x >， 当2(2,)3x ∈-时，' ()0f x <，函数()f x 在2(3,2),(,1)3 --为增函数，在2(2,)3-为减函数，取(2)f -与(1)f 中 的最大值为最大值，(3)f -与2 ()3 f 中的最小值求得最小值， 最大值f(-2)=13, 最小值 f(2/3)=95/27 【解析】略 26．函数f （x ）= 4x 3 +ax 2 +bx+5的图在x=1处的切线方程为12y x =-； （1）求函数f （x ）的解析式；（2）求函数f （x ）在 [—3，1]上的最值. 【答案】（1）f （x ）＝4x 3―3x 2 ―18x ＋5；（2）最小值为－76，最大值为16. 【解析】（1）求出f 1（x ）＝ 12x 2 ＋2ax ＋b ，由 '(1)12 (1)12f f ?=-? =-? 解得a ＝－3 b ＝－18. 求出函数f （x ）的解析式； （2）在（1）的条件下，研究函数f （x ）在 [—3，1]上的单调性，求出其极值与端点值，比较得最值. 解：（1）f 1（x ）＝ 12x 2 ＋2ax ＋b -----------------------------------2 分 ∵y ＝f （x ）在x ＝1处的切线方程为 y ＝－12x ∴???-==-=12)1()1(121f f k 即? ??-=+++-=++125412212b a b a 解得：a ＝－3 b ＝－18 ∴f （x ）＝4x 3―3x 2 ―18x ＋5 ----------------------------------------------5分 （2）∵f 1（x ）＝ 12x 2 －6x －18＝6（x ＋1）（2x －3） 令f 1 （x ）＝0 解得：x ＝－1或x ＝23 ∴ 当x ＜－1或x ＞23 时，f 1 （x ）＞0 当－1＜ x ＜23 时， f 1 （x ）＜0 ----------------------------------------8分 ∵ x ∈[－3，1] ∴ 在[－3，1]上无极小值，有极大值f （－1）＝16 又∵f （－3）＝－76 f （1）＝-12 ∴f （x ）在[－3，1]上的最小值为－76，最大值为16.-------------------------------10分 27．已知1=x 是函数()()2x f x ax e =-的一个极值点．(a ∈R ) （1）求a 的值；（2）求)(x f 在区间[]0,2上的最值. 【答案】（1）1a =. （2）在区间[]0,2上，()f x 的最大值为(2)0f =. 【解析】试题分析：（1）解：'()(2)e x f x ax a =+-， 由已知得0)1('=f ，解得1=a ．当1a =时，()(2)e x f x x =-，在1x =处取得极小值． 所以1a =.（2）由（1）知，()(2)e x f x x =-，'()(1)e x f x x =-. 当)1,0[∈x 时，()()01<-='x e x x f ，)(x f 在区间[]0,1单调递减； 当(]1,2x ∈时，'()(1)0x f x x e =->，)(x f 在区间(]1,2单调递增. 所以在区间[]0,2上，()f x 的最小值为(1)e f =-. 又(0)2f =-，(2)0f =， 所以在区间[]0,2上，()f x 的最大值为(2)0f =. 考点：本题主要考查导数的应用，利用导数研究函数的单调性、最值。 点评：中档题，导数的应用是高考必考容，思路往往比较明确根据导数值的正负，确定函数的单调性。 最值点不多是极值点或区间端点。 28．已知函数1)(--=ax e x f x ，()R a ∈.(1)当2=a 时,求)(x f 的单调区间与最值； (2)若)(x f 在定义域R 单调递增，求a 的取值围． 【答案】(1) 2=a 时，函数)(x f 的单调增区间是()+∞,2ln ，递减区间为()2ln ,∞- (2) a 的取值围为(]0,∞-． 【解析】 试题分析：解:(1) 当2=a 时，12)(--=x e x f x ，∴2)(-='x e x f . 令0)(>'x f ，即02>-x e ，解得：2ln >x ； 令0)(<'x f ，即02<-x e ，解得：2ln ∴)(x f 在2ln =x 时取得极小值，亦为最小值，即2ln 21)2(ln -=f ． ∴当2=a 时，函数)(x f 的单调增区间是()+∞,2ln ，递减区间为()2ln ,∞- )(x f 的最小值为:2ln 21- (2)∵1)(--=ax e x f x ， ∴a e x f x -=')(. ∵)(x f 在R 上单调递增， ∴0)(≥-='a e x f x 恒成立， 即x e a ≤，R x ∈恒成立． ∵R x ∈时，()+∞∈,0x e ，∴0≤a .即a 的取值围为(]0,∞-． 考点：导数在函数的运用。 点评：解决该试题的关键是能根据导数的符号，判定函数单调性，进而确定出极值。同时能根据函数递增，则说明导数大于等于零，解决参数围，属于中档题。 29．已知函数3 221()(1)(,)3 f x x ax a x b a b R = -+-+∈， 其图象在点（1，(1)f ）处的切线方程为30.x y +-=（1）求a ，b 的值；（2）求函数()f x 的单调区间，并求出()f x 在区间[—2，4]上的最大值。 【答案】（1）A=-1 b= 3 8（2）8【解析】试题分析：解：（1）()122 2/-+-=a ax x x f ，由题意得。 1121)1(2/-=-+-=a a f 得：A=-1 b=3 8 （2）0)(2 / =-=x x x f 得：x=1或x=0，有列表得，213 8 0)(====）（）（，）（极小值极大值f x f f x f 而f （-2）=-4，f （4）=8，所以，f （x ）的最大值为8 考点：函数的求导运算；函数的导数与单调性的关系；函数的导数与最值的关系 点评：求函数的单调区间急最值，有多种求法。但本题函数是次数较高，只能用导数求解。 30． 已知：函数)0(ln )(2 2 >-+=x c bx x ax x f 在1=x 处取得极值c --3，其中c b a ,,为常数. （1）试确定b a ,的值；（2）讨论函数)(x f 的单调区间； （3）若对任意0>x ，不等式2 2)(c x f -≥恒成立，求c 的取值围. 【答案】（Ⅰ）6=a （Ⅱ）)(x f 的单调递减区间为)1,0(，而)(x f 的单调递增区间为),1(+∞. （Ⅲ）),2 3 []1,(+∞--∞ 【解析】(I)由f(1)的值，及(1)0f '=可建立关于a,b 的方程，求出a,b 的值. (2)由()f x '大于（小）零，确定函数的单调增（减）区间. （3）在(2)的基础上，求出f(x)的最小值，根据f(x)m i n 22c ≥-，解关于c 的不等式即可. （Ⅰ）由题意知c f --=3)1(，因此c c b --=-3，从而3-=b . 又对)(x f 求导得x ax x ax x f 6ln 2)('-+= 由题意0)1('=f ，因此02=+b a ，解得6=a （Ⅱ）由（Ⅰ）知x x x f ln 12)(=.令0)('=x f ，解得1=x . x )1,0( 1 ),1(+∞ )('x f － 0 ＋ )(x f ↘ 极小值)1(f ↗ 因此)(x f 的单调递减区间为)1,0(，而)(x f 的单调递增区间为),1(+∞. （Ⅲ）由（Ⅱ）知，)(x f 在1=x 处取得极小值c f --=3)1(，此极小值也是最小值.要使)0(2)(2 >-≥x c x f 恒成立，只需2 23c c -≥--. 即0322 ≥--c c ，从而0)1)(32(≥+-c c . 解得23≥ c 或1-≤c .所以c 的取值围为),2 3 []1,(+∞--∞ 31．已知函数()x bx ax x f 622 3 -+=在1±=x 处取得极值。 （1）讨论()1f 和()1-f 是函数()x f 的极大值还是极小值. （2）求函数()x f 在2-=x 处的切线方程.(3)求函数()x f 在区间[]2,3--上的最值. 【答案】（1）()1f 为极小值，()1-f 为极大值；（2）3218+=x y （3）()4)2(max =-=f x f ； ()()363min -=-=f x f 【解析】 ()()()32`2`22266266260 1,0 626062666 11f x ax bx x f x ax bx a b a b a b f x ax bx x x x =+-∴=+-+-=?±?==?--=? =+-=-><在x=1处取得极值,当时，导数为正，当-1<时，导数为负，f(-1)为极小值; 当x<-1时，导数为正，f(1)为极大值； （2）函数()x f 在2-=x 处()()`23 26(2)618,264f f x x x -=--==-=-点纵标为，点斜式得出方程； （3） 23x x =-=-由（1）得：当x<-1时，导数为正，原函数为增函数，所以当时区最大值，最小值。 32．已知函数3 2 ()3,f x x ax x a R =-+∈.（Ⅰ）若函数()f x 是R 上的单调递增函数，数的a 的取值围； （Ⅱ）若3x =是()f x 的一个极值点，求()f x 在R 上的极大值与极小值. 【答案】（1）33a -≤≤；（2）()f x 的极大值为3 2 1 11113()()5()3;333327 f =-?+?= ()f x 的极小值为(3)353339.f =-?+?=- 【解析】本试题主要考查了导数在研究函数中的运用。第一问中，利用函数()f x 是R 上的单调递增函数，则导数恒大于等于零，分离参数法求解参数a 的取值围。第二问中，3x =是()f x 的一个极值点，()'30f =，即 273230a +-?=，解得5a =。这时()2'3103f x x x =-+，利用导数符号判定单调性。 解：（Ⅰ）解：因为()3 2 3f x x ax x =-+为在R 上的单调递增函数， 则()2 '323f x x ax =-+≥0对于x ∈R 恒成立， 所以2 4490a ?=-?≤，解得33a -≤≤. ………………………………3分 （Ⅱ）()2 '323f x x ax =-+， 因为当3x =时有极值，所以()'30f =，即273230a +-?=， 解得5a =. …………………5分 这时()2'3103f x x x =-+， 令()2'31030f x x x =-+=，得11 3 x = 或23x =. ………………………………6分 当x 变化时，'(),()f x f x 随x 的变化情况如下表所示： ………………………………………………10分 由表可知：()f x 的极大值为3 2 111113()()5()3;333327 f =-?+? = ()f x 的极小值为32(3)353339.f =-?+?=- …………………………………12分 33．已知函数4 4 ()ln (0)f x ax x bx c x =+->（e=2.71828…是自然对数的底数）. 在1x =处取得极值3c --，其中a b ，为常数． （Ⅰ）试确定a b ，的值；（Ⅱ）求函数()f x 的单调区间； （Ⅲ）若对任意0x >，不等式2 ()2f x c -≥恒成立，求c 的取值围． 【答案】（I ）由题意知(1)3f c =--，因此3b c c -=--，从而3b =-． 又对()f x 求导得34 31 ()4ln 4f x ax x ax bx x '=++3(4ln 4)x a x a b =++． 由题意(1)0f '=，因此40a b +=，解得12a =． （II ）由（I ）知3 ()48ln f x x x '=（0x >），令()0f x '=，解得1x =． 当01x <<时，()0f x '<，此时()f x 为减函数；当1x >时，()0f x '>，此时()f x 为增函数． 因此()f x 的单调递减区间为(01)，，而()f x 的单调递增区间为(1)+，∞ ． （III ）由（II ）知，()f x 在1x =处取得极小值(1)3f c =--，此极小值也是最小值，要使2 ()2f x c -≥（0x >） 恒成立，只需232c c ---≥．即2 230c c --≥，从而(23)(1)0c c -+≥， 解得32c ≥ 或1c -≤．所以c 的取值围为3(1]2??-∞-+∞???? ，， 34．设函数c bx ax x x f 8332)(2 3 +++=在1=x 及2=x 时取得极值． （Ⅰ）求a 、b 的值；（Ⅱ）若对于任意的[]3,0∈x ，都有2 )(c x f <成立，求c 的取值围 【答案】（Ⅰ）2 ()663f x x ax b '=++， 因为函数()f x 在1x =及2x =取得极值，则有(1)0f '=，(2)0f '=． 即6630241230a b a b ++=?? ++=?，． 解得3a =-，4b =．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，32 ()29128f x x x x c =-++， 2()618126(1)(2)f x x x x x '=-+=--． 当(01)x ∈，时，()0f x '>；当(12)x ∈，时，()0f x '<； 当(23)x ∈，时，()0f x '>．所以，当1x =时，()f x 取得极大值(1)58f c =+，又(0)8f c =，(3)98f c =+．则当[]03x ∈，时，()f x 的最大值为(3)98f c =+．因为对于任意的[]03x ∈，，有2 ()f x c <恒成立，所以 298c c +<，解得 1c <-或9c >，因此c 的取值围为(1)(9)-∞-+∞，，． 第二部分 导数、微分及其导数的应用 知识汇总 一、求导数方法 1.利用定义求导数 2.导数的四则运算法则 3.复合函数的求导法则 若)(u f y =与)(x u φ=均可导，则[])(x f y φ=也可导，且dx du du dy dx dy ? = 即 [])()(x x f y φφ'?'=' 4.反函数的求导法则 若)(x f y =与)(y x φ=互为反函数，且)(y φ单调、可导，则 )(1)(y x f φ'= '，即dy dx dx dy 1 = 5.隐函数求导法 求由方程0),(=y x F 确定的隐函数 )(x f y =的导数dx dy 。只需将方程0),(=y x F 两边同时对x 求导（注意其中变量y 是x 的函数），然后解出 dx dy 即可。 6.对数求导法 对数求导法是先取对数，然后按隐函数求导数的方法来求导数。对数求导法主要解决两类函数的求导数问题： (1)幂指数函数y=)()(x v x u ；(2)由若干个因子的乘积或商的显函数，如 y= 3 4 )3(52)2)(1(---++x x x x x ,3 ) 2)(53() 32)(1(--+-=x x x x y ,5 5 2 2 5 +-=x x y 等等。 7.由参数方程所确定函数的求导法则 设由参数方程 ? ? ?==)() (t y t x ?φ ),(βα∈t 确定的函数为y=f(x)，其中)(),(t t ?φ 可导，且)(t φ'≠0，则y=f(x)可导，且 dt dx dt dy t t dx dy =''=)()(φ? 8.求高阶导数的方法 二、求导数公式 1.基本初等函数求导公式 (1) 0)(='C (2) 1 )(-='μμμx x (3) x x cos )(sin =' (4) x x sin )(cos -=' (5) x x 2 sec )(tan =' (6) x x 2csc )(cot -=' (7) x x x tan sec )(sec =' (8) x x x cot csc )(csc -=' (9) a a a x x ln )(=' (10) (e )e x x '= (11) a x x a ln 1 )(log = ' (12) x x 1)(ln = '， (13) 211)(arcsin x x -= ' (14) 211)(arccos x x -- =' (15) 21(arctan )1x x '= + (16) 21(arccot )1x x '=- + 2.常见函数的高阶导数 (1) n n x n x -+-?-?-?=αα αααα)1()2()1()() ( (2) x n x e e =) () ( (3) ()()ln x n x n a a a = (4) () (sin ) sin 2n x x n π? ?=+? ??? (5) ??? ? ??+=2cos )(cos )(πn x x n (6) () 1 (1)!ln()(1) ()n n n n a x a x --+=-+ (7) 1 )() (!)1()1(++-=+n n n n b ax a n b ax 第十二章 导数及其应用 【知识图解】 【方法点拨】 导数的应用极其广泛，是研究函数性质、证明不等式、研究曲线的切线和解决一些实际问题的有力工具，也是提出问题、分析问题和进行理性思维训练的良好素材。同时，导数是初等数学与高等数学紧密衔接的重要内容，体现了高等数学思想及方法。 1．重视导数的实际背景。导数概念本身有着丰富的实际意义，对导数概念的深刻理解应该从这些实际背景出发，如平均变化率、瞬时变化率和瞬时速度、加速度等。这为我们解决实际问题提供了新的工具，应深刻理解并灵活运用。 2．深刻理解导数概念。概念是根本，是所有性质的基础，有些问题可以直接用定义解决。在理解定义时，要注意“函数()f x 在点0x 处的导数0()f x '”与“函数()f x 在开区间(,)a b 内的导数()f x '”之间的区别与联系。 3．强化导数在函数问题中的应用意识。导数为我们研究函数的性质，如函数的单调性、极值与最值等，提供了一般性的方法。 4．重视“数形结合”的渗透，强调“几何直观”。在对导数和定积分的认识和理解中，在研究函数的导数与单调性、极值、最值的关系等问题时，应从数值、图象等多个方面，尤其是几何直观加以理解，增强数形结合的思维意识。 5．加强“导数”的实践应用。导数作为一个有力的工具，在解决科技、经济、生产和生活中的问题，尤其是最优化问题中得到广泛的应用。 6．（理科用）理解和体会“定积分”的实践应用。定积分也是解决实际问题（主要是几何和物理问题） 的有力工具，如可以用定积分求一些平面图形的面积、旋转体的体积、变速直线运动的路程和变力作的功等，逐步体验微积分基本定理。 第1课 导数的概念及运算 【考点导读】 1.了解导数概念的某些实际背景(如瞬时速度、加速度、光滑曲线切线的斜率等)； 2.掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义；理解导函数的概念; 3.熟记基本导数公式； 4.掌握两个函数和、差、积、商的求导法则; 5.了解复合函数的求导法则.会求某些简单函数的导数.（理科） 【基础练习】 1．设函数f （x ）在x =x 0处可导,则0lim →h h x f h x f )()(00-+与x 0,h 的关系是 仅与x 0有关而与h 无关 。 2．一点沿直线运动，如果由始点起经过t 秒后的距离为t t t t s 873 741234-+-= ，那么速度为零的时刻是 1，2，4秒末。 3．已知)1()('23f x x x f +=, 则=)2('f 0 。 4．已知),(,cos 1sin ππ-∈+=x x x y ,则当2'=y 时,=x 3 2π±。 5．（1）已知a x x a x f =)(,则=)1('f 2ln a a a +。 （2）（理科）设函数5()ln(23)f x x =-，则f ′1 ()3 ＝15-。 6．已知两曲线ax x y +=3和c bx x y ++=2都经过点P （1,2），且在点P 处有公切线，试求a,b,c 值。 解：因为点P （1,2）在曲线ax x y +=3上，1=∴a 函数ax x y +=3和c bx x y ++=2的导数分别为a x y +='23和b x y +='2，且在点P 处有公切数 b a +?=+?∴12132，得b=2 又由c +?+=12122，得1-=c 【范例导析】 例1． 电流强度是单位时间内通过导体的电量的大小。从时刻0t =开始的t 秒内，通过导体的电量（单位：库仑）可由公式2 23q t t =+表示。 （1） 求第5秒内时的电流强度； （2） 什么时刻电流强度达到63安培（即库仑/秒）？ 分析：为了求得各时刻的电流强度，类似求瞬时速度一样，先求平均电流强度，然后再用平均电流强度逼近瞬时电流强度。 解：（1）从时刻0t 到时刻0t t + 通过导体的这一横截面的电量为： 导数及其应用高考题精选 1.（2010·海南高考·理科T3）曲线2 x y x = +在点()1,1--处的切线方程为（） （A ）21y x =+（B ）21y x =-（C ）23y x =--（D ）22y x =-- 【命题立意】本题主要考查导数的几何意义，以及熟练运用导数的运算法则进行求解. 【思路点拨】先求出导函数，解出斜率，然后根据点斜式求出切线方程. 【规范解答】选 A.因为22 (2) y x '= +，所以，在点()1,1--处的切线斜率12 2 2(12)x k y =-' == =-+，所以，切线方程为12(1)y x +=+，即21y x =+，故选A. 2.（2010·山东高考文科·Ｔ8）已知某生产厂家的年利润y （单位：万元） 与年产量x （单位：万件）的函数关系式为3 1812343 y x x =-+-，则使该生产厂 家获得最大年利润的年产量为（） (A)13万件(B)11万件 (C)9万件(D)7万件 【命题立意】本题考查利用导数解决生活中的优化问题，考查了考生的分析问题解决问题能力和运算求解能力. 【思路点拨】利用导数求函数的最值. 【规范解答】选C ，2'81y x =-+,令0y '=得9x =或9x =-（舍去），当9x <时'0y >；当9x >时'0y <，故当9x =时函数有极大值，也是最大值，故选C. 3.（2010·山东高考理科·Ｔ7）由曲线y=2 x ,y=3 x 围成的封闭图形面积为（） （A ） 1 12 (B)14 (C)13 (D) 712 【命题立意】本题考查定积分的基础知识，由定积分求曲线围成封闭图形的 导数及其应用 【考纲说明】 1、了解导数概念的某些实际背景（如瞬时速度，加速度，光滑曲线切线的斜率等）；掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义；理解导函数的概念。 2、熟记八个基本导数公式；掌握两个函数和、差、积、商的求导法则，了解复合函数的求导法则，会求某些简单函数的导数。 3、理解可导函数的单调性与其导数的关系；了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件(导数在极值点两侧异号)；会求一些实际问题(一般指单峰函数)的最大值和最小值。 【知识梳理】 一、导数的概念 函数y=f(x),如果自变量x 在x 0处有增量x ?，那么函数y 相应地有增量y ?=f （x 0+x ?）－f （x 0），比值x y ??叫做函数y=f （x ）在x 0到x 0+x ?之间的平均变化率，即x y ??=x x f x x f ?-?+)()(00。如果当0→?x 时，x y ??有极限，我们 就说函数y=f(x)在点x 0处可导，并把这个极限叫做f （x ）在点x 0处的导数，记作f’（x 0）或y’|0x x =。 即f （x 0）=0lim →?x x y ??=0lim →?x x x f x x f ?-?+)()(00。 说明： （1）函数f （x ）在点x 0处可导，是指0→?x 时，x y ??有极限。如果x y ??不存在极限，就说函数在点x 0处不可导， 或说无导数。 （2）x ?是自变量x 在x 0处的改变量，0≠?x 时，而y ?是函数值的改变量，可以是零。 由导数的定义可知，求函数y=f （x ）在点x 0处的导数的步骤： （1）求函数的增量y ?=f （x 0+x ?）－f （x 0）； （2）求平均变化率x y ??=x x f x x f ?-?+) ()(00； （3）取极限，得导数f’(x 0)=x y x ??→?0lim 。 二、导数的几何意义 函数y=f （x ）在点x 0处的导数的几何意义是曲线y=f （x ）在点p （x 0，f （x 0））处的切线的斜率。也就是说，曲线y=f （x ）在点p （x 0，f （x 0））处的切线的斜率是f’（x 0）。相应地，切线方程为y －y 0=f/（x 0）（x －x 0）。 三、几种常见函数的导数 ①0;C '= ②() 1;n n x nx -'= ③(sin )cos x x '=; ④(cos )sin x x '=-; ⑤();x x e e '=⑥()ln x x a a a ' =; ⑦ ()1ln x x '= ; ⑧()1 l g log a a o x e x '=. 四、两个函数的和、差、积的求导法则 法则1：两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数的和(或差)， 即： ( .)' ''v u v u ±=± 法则2：两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘以第二个函数,加上第一个函数乘以第二个函数的导数， 即： .)('''uv v u uv += 若C 为常数,则' ''''0)(Cu Cu Cu u C Cu =+=+=.即常数与函数的积的导数等于常数乘以函数的导数： .)(''Cu Cu = 法则3：两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，再除以分母的平方： ? ?? ??v u ‘=2' 'v uv v u -（v ≠0）。 形如y=f [x (?])的函数称为复合函数。复合函数求导步骤：分解——求导——回代。法则：y ＇|x = y ＇|u ·u ＇|x 五、导数应用 1、单调区间： 一般地，设函数)(x f y =在某个区间可导， 第13讲 函数与导数之导数及其应用 一． 基础知识回顾 1．函数的平均变化率：一般地，已知函数y ＝f (x )，x 0，x 1是其定义域内不同的两点，记Δx ＝x 1－x 0，Δy ＝y 1－y 0＝f (x 1)－f (x 0)＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)，则当Δx ≠0时，商00()() f x x f x x +-△△＝Δy Δx 称作函数y ＝f (x )在区间[x 0，x 0＋Δx ](或[x 0＋Δx ，x 0])的平均变化率． 2．函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数：(1)定义：函数y ＝f (x)在点x 0处的瞬时变化率0lim x y x →△△△通常称为f (x )在x ＝x 0处的导数，并记作f ′(x 0)，即00'()lim x y f x x →=△△△． (2)几何意义：函数f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是过曲线y ＝f (x )上点(x 0，f (x 0))的 切线的斜率．导函数y ＝f ′(x )的值域即为切线斜率的取值范围． 3．函数f (x )的导函数：如果函数y ＝f (x )在开区间(a ，b )内每一点都是可导的，就说f (x )在开 区间(a ，b )内可导，其导数也是开区间(a ，b )内的函数，又称作f (x )的导函数，记作y ′或f ′(x)． 4．基本初等函数的导数公式表（右表） 5．导数运算法则 (1)[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x ) ； (2)[f (x )g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )； (3)????f (x )g (x )′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )[g (x )]2 [g (x )≠0]． 5．导数和函数单调性的关系：(1)若 f ′(x )>0在(a ，b )上恒成立，则f (x )在(a ，b )上是增函数，f ′(x )>0的解集与定义域的交集的对应区间为增区间；(2)若f ′(x )<0在(a ，b )上恒成立，则f (x )在(a ， b )上是减函数，f ′(x )<0的解集与定义域的交集的对应区间为减区间(3)若在(a ，b )上， f ′(x )≥0，且f ′(x )在(a ，b )的任何子区间内都不恒等于零?f (x )在(a ，b )上为增函数，若在 (a ，b )上，f ′(x )≤0，且f ′(x )在(a ，b )的任何子区间内都不恒等于零?f (x )在(a ，b )上为减函 数． 6．函数的极值：(1)判断f (x 0)是极值的方法：一般地，当函数f (x )在点x 0处连续时，① 如果在x 0附近的左侧f ′(x )>0，右侧f ′(x )<0，那么f (x 0)是极大值；②如果在x 0附近的左侧f ′(x )<0，右侧f ′(x )>0，那么f (x 0)是极小值．(2)求可导函数极值的步骤①求f ′(x )；②求 方程f ′(x )＝0的根；③检查f ′(x )在方程f ′(x )＝0的根左右值的符号．如果左正右负，那 么f (x )在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f (x )在这个根处取得极小值． 7．函数的最值：(1)函数f (x )在[a ，b ]上必有最值的条件如果函数y ＝f (x )的图象在区间[a ，b ] 上连续，那么它必有最大值和最小值．(2)求函数y ＝f (x )在[a ，b ]上的最大值与最小值的步骤： ①求函数y ＝f (x )在(a ，b )内的极值；②将函数y ＝f (x )的各极值与端点值比较，其中最大的一 个是最大值，最小的一个是最小值． 二．典例精析 探究点一：导数的运算 例1：求下列函数的导数： (1)y ＝(1－x )? ???1＋1x ； (2)y ＝ln x x ；(3)y ＝x e x ； (4)y ＝tan x . 解：(1)∵y ＝(1－x )????1＋1x ＝1x －x ＝1122x x --，∴y ′＝11 22()'()'x x --＝31 221122x x ----. 《导数及其应用》经典题型总结 一、知识网络结构 题型一 求函数的导数及导数的几何意义 考 点一 导数的概念，物理意义的应用 例 1．(1)设函数()f x 在 2x =处可 导，且(2)f '=， 求 0(2)(2) lim 2h f h f h h →+--； (2)已知()(1)(2) (2008)f x x x x x =+++，求(0)f '. 考点二 导数的几何意义的应用 例2: 已知抛物线y=ax 2+bx+c 通过点P(1，1)，且在点Q(2，-1)处与直线y=x-3相切，求实数a 、b 、c 的值 例3：已知曲线y=.3 43 13+x (1)求曲线在（2，4）处的切线方程;(2)求曲线过点（2，4）的切线方程. 题型二 函数单调性的应用 考点一 利用导函数的信息判断f(x)的大致形状 例1 如果函数y ＝f(x)的图象如图，那么导函数y ＝f(x)的图象可能是( ) 考点二 求函数的单调区间及逆向应用 例1 求函数522 4 +-=x x y 的单调区间.（不含参函数求单调区间） 例2 已知函数f (x )＝1 2x 2＋a ln x (a ∈R ，a ≠0)，求f (x )的单调区间．（含参函数求单调区间） 练习：求函数x a x x f + =)(的单调区间。 例3 若函数f(x)＝x 3 －ax 2 ＋1在(0,2)内单调递减，求实数a 的取值范围．（单调性的逆向应用） 练习1：已知函数0],1,0(,2)(3 >∈-=a x x ax x f ，若)(x f 在]1,0(上是增函数，求a 的取值范围。 2. 设a>0,函数ax x x f -=3 )(在（1，+∞）上是单调递增函数，求实数a 的取值范围。 导 数 导数的概念 导数的运算 导数的应用 导数的几何意义、物理意义 函数的单调性 函数的极值 函数的最值 常见函数的导数 导数的运算法则 （数学选修1-1）第一章 导数及其应用 [提高训练C 组]及答案 一、选择题 1．若()sin cos f x x α=-,则'()f α等于（ ） A ．sin α B ．cos α C ．sin cos αα+ D ．2sin α 2．若函数2()f x x bx c =++的图象的顶点在第四象限，则函数'()f x 的图象是（ ） 3．已知函数1)(23--+-=x ax x x f 在),(+∞-∞上是单调函数,则实数a 的 取值范围是（ ） A ．),3[]3,(+∞--∞ B ．]3,3[- C ．),3()3,(+∞--∞ D ．)3,3(- 4．对于R 上可导的任意函数()f x ，若满足'(1)()0x f x -≥，则必有（ ） A ． (0)(2)2(1)f f f +< B. (0)(2)2(1)f f f +≤ C. (0)(2)2(1)f f f +≥ D. (0)(2)2(1)f f f +> 5．若曲线4 y x =的一条切线l 与直线480x y +-=垂直，则l 的方程为（ ） A ．430x y --= B ．450x y +-= C ．430x y -+= D ．430x y ++= 6．函数)(x f 的定义域为开区间),(b a ，导函数)(x f '在),(b a 内的图象如图所示， 则函数)(x f 在开区间),(b a 内有极小值点（ A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 二、填空题 1．若函数()()2 f x x x c =-在2x =处有极大值，则常数c 的值为_________； 2．函数x x y sin 2+=的单调增区间为 。 3．设函数())(0)f x ??π=+<<，若()()f x f x '+为奇函数，则?=__________ 4．设3 2 1()252 f x x x x =- -+，当]2,1[-∈x 时，()f x m <恒成立，则实数m 的 取值范围为 。 5．对正整数n ，设曲线)1(x x y n -=在2x =处的切线与y 轴交点的纵坐标为n a ，则 数列1n a n ?? ? ?+?? 的前n 项和的公式是 三、解答题 1．求函数3(1cos 2)y x =+的导数。 2．求函数y = 3．已知函数3 2 ()f x x ax bx c =+++在2 3 x =-与1x =时都取得极值 (1)求,a b 的值与函数()f x 的单调区间 (2)若对[1,2]x ∈-，不等式2()f x c <恒成立，求c 的取值范围。 4．已知23()log x ax b f x x ++=,(0,)x ∈+∞，是否存在实数a b 、,使)(x f 同时满足下列 两个条件：（1）)(x f 在(0,1)上是减函数，在[)1,+∞上是增函数；（2）)(x f 的最小值是1，若存在，求出a b 、，若不存在，说明理由. （数学选修1-1）第一章 导数及其应用 [提高训练C 组] 一、选择题 1．A ' ' ()sin ,()sin f x x f αα== 导数及其应用 1、函数的平均变化率为 = ??=??x f x y x x f x x f x x x f x f ?-?+=--)()()()(111 212 注1：其中x ?是自变量的改变量，可正，可负，可零。 注2：函数的平均变化率可以看作是物体运动的平均速度。 2、导函数的概念:函数在0x x =处的瞬时变化率是 ，则称函数在点处可导，并把这个极限叫做在处的导数，记作或，即= . 3.函数的平均变化率的几何意义是割线的斜率；函数的导数的几何意义是切线的斜率。 4导数的背景（1）切线的斜率；（2）瞬时速度；（3）边际成本。 )(x f y =x x f x x f x y x x ?-?+=??→?→?)()(lim lim 0000)(x f y =0x )(x f y =0x )(0'x f 0|'x x y =)(0'x f x x f x x f x y x x ?-?+=??→?→?)()(lim lim 0000 6、常见的导数和定积分运算公式:若()f x ，()g x 均可导（可积），则有： 7.用导数求函数单调区间的步骤:①求函数f (x )的导数'()f x ②令'()f x >0,解不等式，得x 的范围就是递增区间.③令'()f x <0,解不等式，得x 的范围，就是递减区间；[注]：求单调区间之前一定要先看原函数的定义域。 8.求可导函数f (x )的极值的步骤：(1)确定函数的定义域。(2) 求函数f (x )的导数 '()f x (3)求方程'()f x =0的根(4) 用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区 间分成若干小开区间，并列成表格，检查/()f x 在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f (x )在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f (x )在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么f (x )在这个根处无极值 9.利用导数求函数的最值的步骤:求)(x f 在[]b a ,上的最大值与最小值的步骤如下： ⑴求)(x f 在[]b a ,上的极值；⑵将)(x f 的各极值与(),()f a f b 比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值。[注]：实际问题的开区间唯一极值点就是所求的最值点； 数学选修2-2导数及其应用知识点必记 1．函数的平均变化率是什么？ 答：平均变化率为 = ??=??x f x y x x f x x f x x x f x f ?-?+=--)()()()(111212 注1：其中x ?是自变量的改变量，可正，可负，可零。 注2：函数的平均变化率可以看作是物体运动的平均速度。 2、导函数的概念是什么？ 答：函数)(x f y =在0x x =处的瞬时变化率是x x f x x f x y x x ?-?+=??→?→?)()(lim lim 0000，则称函数)(x f y =在点0x 处可导，并把这个极限叫做)(x f y =在0x 处的导数，记作)(0'x f 或0|'x x y =，即)(0'x f =x x f x x f x y x x ?-?+=??→?→?)()(lim lim 0000. 3.平均变化率和导数的几何意义是什么？ 答：函数的平均变化率的几何意义是割线的斜率；函数的导数的几何意义是切线的斜率。 4导数的背景是什么？ 答：（1）切线的斜率；（2）瞬时速度；（3）边际成本。 5、常见的函数导数和积分公式有哪些？ 函数 导函数 不定积分 y c = 'y =0 ———————— n y x =()*n N ∈ 1'n y nx -= 1 1n n x x dx n +=+? x y a =()0,1a a >≠ 'ln x y a a = ln x x a a dx a =? x y e = 'x y e = x x e dx e =? log a y x =()0,1,0a a x >≠> 1 'ln y x a = ———————— ln y x = 1'y x = 1 ln dx x x =? sin y x = 'cos y x = cos sin xdx x =? cos y x = 'sin y x =- sin cos xdx x =-? 6、常见的导数和定积分运算公式有哪些？ 2012-2017 年高考文科数学真题汇编：导数及应用老师版 学科教师辅导教案 学员姓名年级高三辅导科目数学 授课老师课时数2h 第次课授课日期及时段2018 年月日： —： 历年高考试题汇编（文）——导数及应用 1．（2014 大纲理）曲线y xe x 1在点（1,1）处切线的斜率等于（ C ） A ．2e B．e C．2D．1 2.(2014 新标 2 理) 设曲线 y=ax-ln(x+1) 在点 (0,0)处的切线方程为 y=2x，则 a= （ D ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 3.( 2013 浙江文 ) 已知函数 y＝f(x)的图象是下列四个图 象之一，且其导函数 y＝f′(x)的图象如右图所示，则该函数的图象是 ( B ) 4．（2012 陕西文）设函数 f（x）= 2x +lnx 则（ D ）A ．x= 1为 f(x) 的极大值点B．x= 1为 f(x) 的极小值点 C．x=2 为 f(x) 的极大值点D．x=2 为 f(x) 的极小值点 5.(2014 新标 2 文) 函数f (x)在x x0 处导数存在，若p : f ( x0 )0 ： q : x x0是 f ( x) 的极值点，则 A ．p是q的充分必要条件 B. p是q的充分条件，但不是 q 的必要条件 C. p是q的必要条件，但不是q的充分条件 D. p既不是 q 的充分条件，也不是 q 的必要条件 【答案】 C 6．（2012 广东理）曲线y x3 x 3 在点 1,3 处的切线方程为 ___________________. 【答案】 2x-y+1=0 7．（2013 广东理）若曲线y kx ln x 在点 (1,k) 处的切线平行于 x 轴，则k 【答案】 -1 8．（2013 广东文）若曲线y ax2 ln x 在点 (1,a) 处的切线平行于 x 轴，则 a ． 【答案】1 2 9 ． ( 2014 广东文 ) 曲线y 5 e x 3 在点 (0, 2) 处的切线方程为. 高二文科数学《变化率与导数及导数应用》专练（十） 一、选择题 1. 设函数f （x ）存在导数且满足 ，则曲线y=f （x ）在 点（2，f （2））处的切线斜率为（ ） A ．﹣1 B ．﹣2 C ．1 D ．2 2. 函数()1x f x e =-的图像与x 轴相交于点P ，则曲线在点P 处的切线的方程为 ( ) A ．1y e x =-?+ B ．1y x =-+ C ． y x =- D ． y e x =-? 3. 曲线)0(1 )(3>-=x x x x f 上一动点))(,(00x f x P 处的切线斜率的最小值为（） A ．3 B ．3 C. 32 D ．6 4. 设P 为曲线2:23C y x x =++上的点，且曲线C 在点P 处的切线的倾斜角的取值范围为0,4π?????? ，则点P 的横坐标的取值范围为（） A ．[]0,1 B ．[]1,0- C ．11,2??--??? ? D ．1,12?????? 5. 已知23 ()1(1)(1)(1)(1)n f x x x x x =+++++++ ++，则(0)f '=（ ）． A ．n B ．1n - C ．(1)2 n n -D ．1 (1)2n n + 6. 曲线y=2lnx 上的点到直线2x ﹣y+3=0的最短距离为（ ） A ． B ．2 C ．3 D ．2 7. 过点(0,8)作曲线32()69f x x x x =-+的切线，则这样的切线条数为（） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 8. 数列{a n }满足a n+2=2a n+1﹣a n ，且a 2014，a 2016是函数f （x ）= +6x ﹣1的极值点，则log 2（a 2000+a 2012+a 2018+a 2030）的值是（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 导数及其应用大题精选 姓名____________班级___________学号____________分数______________ 1 ．已知函数)0()(>++ =a c x b ax x f 的图象在点(1,)1(f )处的切线方程为1-=x y . (1)用a 表示出c b ,; (2)若x x f ln )(≥在[1,+∞)上恒成立,求a 的取值范围. 2 ．已知2 ()I 若()f x 在x=1处取得极值,求a 的值; ()II 求()f x 的单调区间; (Ⅲ)若()f x 的最小值为1,求a 的取值范围 . 4 ．已知函数 ()ln f x x x =. (Ⅰ)求()f x 的单调区间; (Ⅱ) 当1k ≤时,求证:()1f x kx ≥-恒成立. 5 ．已知函数()ln a f x x x =- ,其中a ∈R . (Ⅰ)当2a =时,求函数()f x 的图象在点(1,(1))f 处的切线方程; (Ⅱ)如果对于任意(1,)x ∈+∞,都有()2f x x >-+,求a 的取值范围. 6 ．已知函数 2()4ln f x ax x =-,a ∈R . (Ⅰ)当1 2 a = 时,求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程; (Ⅱ)讨论()f x 的单调性. 7 ．已知函数 ()e (1)x f x x =+. (Ⅰ)求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程; (Ⅱ)若对于任意的(,0)x ∈-∞,都有()f x k >,求k 的取值范围. 8 ．已知函数 a ax x x f 23)(3+-=,)(R a ∈. (Ⅰ) 求)(x f 的单调区间; (Ⅱ)曲线)(x f y =与x 轴有且只有一个公共点,求a 的取值范围. 9 ．已知函数 22()2ln (0)f x x a x a =->. (Ⅰ)若()f x 在1x =处取得极值,求实数a 的值; (Ⅱ)求函数()f x 的单调区间; (Ⅲ)若()f x 在[1]e ， 上没有零点,求实数a 的取值范围. 10．已知曲线 ()x f x ax e =-(0)a >. (Ⅰ)求曲线在点(0,(0)f )处的切线; (Ⅱ)若存在实数0x 使得0()0f x ≥,求a 的取值范围. 《导数及其应用》 一、知识网络结构 题型一 求函数の导数及导数の几何意义 考点一 导数の概念，物理意义の应用 例1．(1)设函数()f x 在2x =处可导，且(2)1f '=，求0(2)(2)lim 2h f h f h h →+--； (2)已知()(1)(2)(2008)f x x x x x =+++，求(0)f '. 考点二 导数の几何意义の应用 例2: 已知抛物线y=ax 2+bx+c 通过点P(1，1)，且在点Q(2，-1)处与直线y=x-3相切，求实数a 、b 、c の值 例3：已知曲线y=.3 4313+x (1)求曲线在（2，4）处の切线方程;(2)求曲线过点（2，4）の切线方程. 导 数 导数的概念 导数的运算 导数的应用 导数的几何意义、物理意义 函数的单调性 函数的极值 函数的最值 常见函数的导数 导数的运算法则 题型二 函数单调性の应用 考点一 利用导函数の信息判断f(x)の大致形状 例1 如果函数y ＝f(x)の图象如图，那么导函数y ＝f(x)の图象可能是( ) 考点二 求函数の单调区间及逆向应用 例2 已知函数f (x )＝12x 2＋a ln x (a ∈R ，a ≠0)，求f (x )の单调区间．（含参函数求单调区间） 例3 若函数f(x)＝x 3－ax 2＋1在(0,2)内单调递减，求实数a の取值范围．（单调性の逆向应用） 练习1：已知函数0],1,0(,2)(3>∈-=a x x ax x f ，若)(x f 在]1,0(上是增函数，求a の取值范围。 2. 设a>0,函数ax x x f -=3)(在（1，+∞）上存在单调递减区间，求实数a の取值范围。 3. 已知函数f (x )＝ax 3＋3x 2-x+1在R 上为减函数，求实数a の取值范围。 例3 已知x>1，证明x>ln(1＋x)．（证明不等式） 证明方法总结： 题型三 函数の极值与最值 例1 （1）求)f(x)＝ln x ＋1x の极值（不含参函数求极值） （2）求函数[]2,2,14)(2-∈+=x x x x f の最大值与最小值。（不含参求最值） 例2 设a>0，求函数f(x)＝x 2＋a x (x>1)の单调区间，并且如果有极值时，求出极值. （ 含参函数求极值） 导数的应用 二、典型例题 题型一 未定式及其逆问题的求解 例1、求下列极限（∞∞）： （1）0ln tan 2lim ln tan 3x x x +→ （2）0lim ln x x x +→ （3）arctan lim (1)x x x a x x a a x →∞->+ （4）ln(1)lim an n e n →∞+ （1）解：原式2'2002cot 2sec 22tan 3lim lim 13cot 3sec 33tan 2L H x x x x x x x x ++ →→===． （2）解：原式1'ln 1 lim lim 0t x L H t t t t t =→+∞→+∞-==-=． （3）提示：arctan 1()arctan lim lim 11() x x x x x x a x x x a x a x x a →+∞→+∞--==++； arctan ()arctan lim lim ()12 x x x x x x a x x a x x a x a x π →-∞→-∞--==++． （4）提示：0a ≤，原式0=；0a >，原式ln(1) lim an n an e a n -→∞++==（不能用'L H ）． 注：ln (1),ln ,(1),ln()(1),ln ,,,x x x x x x x a b a x x a x ββαββα><+>无限增大之速渐快； ln (1),ln ,(1),ln()(1),ln ,,,!,n n n n n n n a b a n n a n n ββαββα><+>无限增大之速渐快． 例2、求下列极限（0 000,,1,,0∞ ?∞∞-∞∞，）： （1）4301 sin sin lim tan x x x x x x →-+；（2）20(1)ln(1)lim 1 x x x x x e →-++-；（3）01lim(cot )1x x x e →--； （4）21lim[ln(1)]x x x x →∞-+；（5）2arctan lim ()x x x π→+∞；（6）101lim()x kx n x k e n →=∑； （7）2122lim()x x x a →∞+． （1）提示：原式3300 32000tan ~sin 11cos 1 lim lim sin lim 36 x x x x x x x x x x x x →→→--+==． （2）提示：解：原式2200 '2001~(1)ln(1)ln(1)1 lim lim 22x L H x x e x x x x x x x →→--++-+===-． （3）提示：原式2'20001tan 1tan sec 1 lim lim lim (1)tan 22x x x L H x x x x e x e x e x e x x x →→→-----====-． （4）提示：原式1'20ln(1)1 lim 2 t x L H t t t t =→-+==． （5）提示：原式22 2 2 ln arctan arctan 12[(1)]2 lim 1lim lim 111x x x x x x x x x e e e e ππ π π∞ →+∞ →+∞ →+∞ -+- -====（令 2 arctan 1x t π -=）． （6）提示：原式1 1 00 11 ln( ) 11 1lim 1'lim lim 2 n n kx kx n kx k k x x x k e n e n n ke L H n x x e e e e ∞==→→→=-+∑∑ ∑ ====． （7）提示：原式0 ∞=22222ln()2() 'lim lim 21x x x a x x a L H x x e e →∞→∞++==． 注1 ：对1n =，不能直接使用L’H 法则，先求0 1lim 1x x x ∞→+∞ =，而0 00 lim 1x x x + →=． 精品文档 《导数及其应用》经典题型总结 、知识网络结构 题型一求函数的导数及导数的几何意义 考点一导数的概念，物理意义的应用 考点二导数的几何意义的应用 例2:已知抛物线y=ax 2+bx+c 通过点P(1 , 1)，且在点Q(2, -1)处与直线y=x-3相切，求实数a 、b 、 c 的值 例3:已知曲线已。|(1)求曲线在(2,勺处的切线方程；(2)求曲线过点(2,4)的切线方程 题型二函数单调性的应用 例1. (1)设函数f(x)在x 2处可导，且 (2)已知 f(x) x(x 1)(x 2)L (x 1 ，求h 叫 f(2 h) f(2 h) 2h 2008)，求 f (0). 考点一利用导函数的信息判断f(x)的大致形状 例1如果函数y = f(x)的图象如图，那么导函数y = f(x)的图象可能是() 例2已知函数f(x) = ；x2+ a l n x(a€ R, 0)，求f(x)的单调区间.(含参函数求单调区间) a 练习：求函数f(x) x 的单调区间。 x 例3若函数f(x) = x3—ax2+ 1在(0,2)内单调递减，求实数a的取值范围.(单调性的逆向应用) 练习1：已知函数f(x) 2ax x3,x (0,1], a 0，若f (x)在(0,1]上是增函数，求a的取值范围。 2. 设a>0,函数f (x) x3 ax在(1, +s)上是单调递增函数，求实数a的取值范围。 3 2 3. 已知函数f(x) = ax + 3x -x+1在R上为减函数，求实数a的取值范围。 总结：已知函数y f (x)在(a,b)上的单调性，求参数的取值范围方法： 1 、利用集合间的包含关系 2 、转化为恒成立问题(即f/(x) 0或f/(x) 0 )(分离参数) 3 、利用二次方程根的分布(数形结合) 一、是非题： １． 函 数 ()x f 在 []b a , 上 连 续 ，且()()b f a f =，则 至 少 存 在 一 点 ()b a ,∈ξ，使()0=ξ'f ． 错误 ∵不满足罗尔定理的条件。 ２．若函数()x f 在0x 的某邻域内处处可微，且()00='x f ，则函数()x f 必在0x 处取得 极值． 错误 ∵驻点不一定是极值点，如：3 x y =，0=x 是其驻点，但不是极值点。 ３．若函数()x f 在0x 处取得极值，则曲线()x f y =在点()()00,x f x 处必有平 行 于x 轴 的切线． 错误 ∵曲线3 x y =在0=x 点有平行于x 轴的切线，但0=x 不是极值点。 ４．函数x x y sin +=在()+∞∞-,内无极值． 正确 ∵0cos 1≥+='x y ，函数x x y sin +=在()+∞∞-,内单调增，无极值。 ５．若函数()x f 在()b a ,内具有二阶导数，且()()0,0>''<'x f x f ，则曲线()x f y =在()b a ,内单调减少且是向上凹． 正确 二、填空： １．设()x bx x a x f ++=2 ln （b a ,为常数）在2,121==x x 处有极值，则=a （ 23 - ），=b （ 16 - ）． ∵()12++= 'bx x a x f ，当2,121==x x 时， 012=++b a ，0142 =++b a ，解之得6 1,32- =- =b a ２．函数()()1ln 2 +=x x f 的极值点是（ 0=x ）． ∵()x x x f 2112 ?+= '，令()0='x f ，得0=x 。又0>x ，()0>'x f ； 0高考数学 导数及其应用的典型例题
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