二次函数易错点剖析(可打印修改)
二次函数常见错解示例
一、忽略二次项系数不等于0
例1已知二次函数的图象与x 轴有交点，则k 的取值范围263y kx x =-+是（ ）
（A ）k ＜3 (B) k ＜3 且k ≠0 (C) k ≤3 (D) k≤3 且k ≠0错解:选C.由题意,得△=－4 k ×3≥0,解得k ≤3,故选C.
()2
6-错解分析:当k =0时,二次项系数为0,此时原函数不是二次函数.欲求k 的取值范围,须同时满足:①函数是二次函数;②图象与x 轴有交点,上面的解法只注重了△≥0而忽略了二次项系数不等于0的条件.
正解: 选D.由题意,得△=－4 k ×3≥0且k ≠0,即k≤3 且k ≠0,故()26-应选D.
二、忽略隐含条件
例2如图,已知二次函数的图象与y 轴交于点A, 与x 轴正半2y x bx c =++轴交于B,C 两点,且BC ＝2, ＝3,则b 的值为( )
ABC S ?
（A ）-5 (B)4或-4 (C) 4 (D)-4
错解: 选B.依题意BC ＝2, ＝3,得点A(0,3),即c ＝3.又BC ＝2,得方
ABC S ?
程的两根之差为2,,解得b =±4.故
2
0x bx c ++=2-=选B.
错解分析:上面的解法忽略了“抛物线的对称轴x ＝-在y 轴的右侧”这2
b
一隐含条件,正确的解法应是同时考虑-＞0,得b ＜0,∴b =4应舍去,故应选D.
2
b
正解: 选D.
例3 若y 关于x 的函数y =(a -2)x 2-(2a -1)x +a 的图象与坐标轴有两个交点，则a 可取的值是多少？
错解：因为函数y =(a -2)x 2-(2a -1)x +a 的图象与坐标轴有两个交点，而其中与y 轴有一个交点(0,a )，则与x 轴就只有一个交点，所以关于x 的一元二次方程y =(a -2)x 2-(2a -1)x +a 有两个相等的实数根，所以判别式[-(2a -1)]2-4×(a -2)a =0，解得a =-.
1
4
错解分析：本题关于函数的描述是“y 关于x 的函数”，并没有指明是二次函数，所以需要分“y 关于x 的一次函数”和“y 关于x 的二次函数”两种情况进行讨论.
正解：当函数y 是关于x 的一次函数时，a =2,函数的解析式为y =-3x +2，函数图象与y 轴的交点坐标为(0,2)，与x 轴的交点坐标为(,0).所以a =2符23
合题意.
当函数y 是关于x 的二次函数时，函数y =(a -2)x 2-(2a -1)x +a 的图象与y 轴有一个交点(0,a )，与坐标轴共有两个交点，所以与x 轴只有一个交点，则关于x 的一元二次方程y =(a -2)x 2-(2a -1)x +a 有两个相等的实数根，所以判别式
△=[-(2a -1)]2-4×(a -2)a =0，解得a =-.
14
而当a =0时，与y 轴的交点为原点，此时，y =-2x 2+x 与x 轴还有一个交点(,0).
12
综上可得a =2或a =0或a =-.14
三、忽略数形结合思想方法的应用
例4 求二次函数y =+4x +5(-3≤x ≤0)的最大值和最小值.
2x 错解:当x =-3时,y =2; 当x =0时,y =5;所以，-3≤x ≤0时,=2,=5.
y 最小y 最大
错解分析:上面的解法错在忽略了数形结合思想方法的应用,误以为端点的值就是这段函数的最值.解决此类问题,画出函数图象,借助图象的直观性求解即可.
正解:∵y =+4x +5= +1,∴对称轴是直线x =-2,顶点坐标是(-2,1),画2x ()2
+2x 出大致的图象,如图是抛物线位于-3≤x ≤0的一段,显然图象上最高点是C,最低点是顶点B 而不是端点A,所以当-3≤x ≤0时, y 最大值为5, y 最小值为1.
图2
四、求顶点坐标时混淆符号
例5 求二次函数y =-x 2+2x -2的顶点坐标.错解1 用配方法
y =-x 2+2x -2=-(x 2-2x )-2
=-(x 2-2x +1-1)-2
=-(x 2-2x +1) -1=-(x -1) 2 -1
所以二次函数y =-x 2+2x -2的顶点坐标为(-1,-1).
错解2 用公式法 在二次函数y =-x 2+2x -2中，a =-1，b =2，c =-2，
则，
2
122(1)
b a ==-?-22424(1)(2)142(1)b a
c a --?-?-==?-所以二次函数y =-x 2+2x -2的顶点坐标为(-1,1).
错解分析：二次函数y =a (x -h )2+k 的顶点坐标为(h ,k ),即横坐标与配方后完全平方式中的常数项互为相反数，而非相等，也就是说不是(-h ,k ).二次函数y =ax
2+
bx +c (a ≠0)的顶点坐标为(-,)，横坐标前面带“-”，纵坐
2b a
244b ac
a -
标的分子为4ac -b 2,不要与一元二次方程根的判别式b 2-4ac 混淆.另外，把一般式转化为顶点式，常用配方法，如果二次项系数是1，则常数项为一次项系数一半的平方；如果二次项系数不是1，则先提出二次项系数（注意：不能像解方程一样把二次项系数消去），使括号中的二次项系数变为1，再对括号中进行配方.
正解：（1）用配方法
y =-x 2+2x -2=-(x -1) 2 -1
所以二次函数y =-x 2+2x -2的顶点坐标为(1,-1).
（2）用公式法 -，
2
122(1)
b a =-=?-2244(1)(2)2142(1)a
c b a -?-?--==-?-所以二次函数y =-x 2+2x -2的顶点坐标为(1,-1).五、忽视根的判别式的作用例6
已知抛物线y =-x 2
)x +m -3与x 轴有两个交点A ，B ，且
1
2
A ，
B 关于y 轴对称，求此抛物线解析式
.
错解：因为A 与B 关于y 轴对称，所以抛物线对称轴为y 轴，即直线x =-.
02b a ==解得m =6或m =-6.
当m =6时，方程抛物线解析式为y =-x 2+3.
12
错解分析：抛物线与x 轴有两个交点为A ，B ，等价于：相应的一元二次方程有两个不相等的实数根，所以b 2-4ac >0.如果忽视根的判别式在解题中的作用，就不能排除不符合题意的解，扩大了解的范围，导致错误.
正解：因为A 与B 关于y 轴对称，所以抛物线对称轴为y 轴，即直线x=-
，解得m =6,或者m =-6.2b a 0=当m =6时，抛物线解析式为y =-x 2+3.
12
此时，b 2-4ac =02-4×(-)×3=6>0，方程-x 2+3=0有两个不相等的实数12
12
根，抛物线y =-x 2+3与x 轴有两个交点，符合题意.
12
当m =-6时，方程抛物线解析式为y =-x 2-9.此时，b 2-4ac =02-4× (-)12
12
×(-9)=-18<0，方程-x 2-9=0没有实数根，抛物线y =-x 2-9与x 轴有两个交12
12
点，不符合题意，舍去.
因此所求抛物线解析式为y =-x 2+3.
12
反比例函数二次函数易错题(含答案)
反比例函数二次函数易错题(含答案) 1．如图所示，反比例函数y＝（k≠0，x＞0）的图象经过矩形OABC的对角线AC的中点D．若矩形OABC的面积为8，则k的值为（） A．2 B．2C．D．2 2．已知点P（m，n），Q（a，b）都在反比例函数y＝﹣上，且m＜0＜a，则下列结论一定正确的是（） A．n+b＜0B．n+b＞0C．n＜b D．n＞b 3．如图，矩形ABCD的顶点A，B在x轴的正半轴上，反比例函数y＝在第一象限内的图象经过点D，交BC于点E，若AB＝4，CE＝2BE，，则k的值为（） A．3 B．2C．6 D．12 4．如图，直线y＝x﹣a﹣2与双曲线y＝交于A、B两点，则当线段AB的长度最小时，a的值（） A．0B．﹣1C．﹣2D．2
5．若函数y＝﹣的图象上有三个点（﹣1，y1），（﹣，y2），（，y3），则y1，y2，y3必的大小关系是（） A．y1＜y2＜y3B．y3＜y2＜y1C．y3＜y1＜y2D．y2＜y1＜y3 6．如图，矩形AOBC的面积为4，反比例函数y＝的图象的一支经过矩形对角线的交点P，则k的值是（） A．4B．2C．1D． 7．如图，点A（m，1），B（2，n）在双曲线y＝（k≠0），连接OA，OB．若S△ABO＝8，则k的值是（） A．﹣12B．﹣8C．﹣6D．﹣4 8．已知双曲线y＝经过点矩形ABCD的顶点A、B，矩形边AB：BC＝3：2，且矩形的顶点C在x轴上，点A的纵坐标是点B的纵坐标2倍，BD∥x轴，点D的横坐标是，则k的值为（） A．6B．12C．18D．24
9．如图，在平面直角坐标系中，点A、B分别在第二象限和第一象限，AB与x轴平行，∠AOB＝90°，OA＝3，OB＝4，函数y＝（x＜0）和y＝（x＞0）的图象分别经过点AB，则的值为（） A．B．﹣C．D．﹣ 10．如图，已知点A（0，4），B（1，4），点B在双曲线y＝（k＞0）上，在AB的延长线上取一点C，过C的直线交双曲线于点D，交x轴正半轴于点E，且CD＝DE，则线段CE长度的取值范围是（） A．4≤CE＜4B．4≤CE＜2C．2＜CE＜4D．4＜CE＜2 11．如图，是反比例函数y1＝和y2＝（k1＜k2）在第一象限的图象，直线AB∥x轴，并分别交两条曲于 A、B两点，若S△AOB＝3，则k2﹣k1的值是（） A．8B．6C．4D．2 12．在同一平面直角坐标系中，函数y＝mx+2和y＝（m≠0）的图象大致是（）
二次函数易错题、重点题型汇总
二次函数易错题、重点题型汇总 一、选择题 1、若二次函数52 ++=bx x y 配方后为k x y +-=2 )2(则b 、k 的值分别为（ ） A 0．5 B 0．1 C —4．5 D —4．1 2、在平面直角坐标系中，抛物线y ＝x 2＋2x 与坐标轴的交点的个数是（ ） A.3 B.2 C.1 D.0 3、根据下列表格的对应值： x 3.23 3.24 3.25 3.26 y=ax 2+bx+c -0.6 -0. 2 0. 3 0.9 判断方程ax 2+bx+c-0.4=0（a ≠0,a 、b 、c 为常数）一个解的范围是（ ） Ａ．3＜x ＜3.23 Ｂ．3.23＜x ＜3.24 Ｃ．3.24＜x ＜3.25 Ｄ．3.25＜x ＜3.26 4、已知二次函数c bx ax y ++=2的图象过点A （1，2），B （3，2），C （5，7）．若点M （-2，y 1），N （-1，y 2），K （8，y 3）也在二次函数c bx ax y ++=2的图象上，则下列结论正确的是（ ） A ．y 1＜y 2＜y 3 B ．y 2＜y 1＜y 3 C ．y 3＜y 1＜y 2 D ．y 1＜y 3＜y 2 5、把抛物线y=2x 2 －4x －5绕顶点旋转180o，得到的新抛物线的解析式是（ ） A ．y= －2x 2 －4x －5 B ．y=－2x 2+4x+5 C ．y=－2x 2+4x －9 D ．以上都不对 6、已知二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图所示，下列结论：①a+b+c>0；②a －b+c>0；③abc<0； ④2a+b=0．其中正确的个数为（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 7、函数y=x 2 -2x-2的图象如右图所示，根据其中提供的信息，可求得使y ≥1成立的x 的取值范围是（ ） A ．31≤≤-x B ．31<<-x C ．31>-
二次函数易错点剖析
二次函数常见错解示例 一、忽略二次项系数不等于0 例1已知二次函数263y kx x =-+的图象与x 轴有交点，则k 的取值范围 是（ ） （A ）k ＜3 (B) k ＜3 且k ≠0 (C) k ≤3 (D) k ≤3 且k ≠0 错解:选C.由题意,得△=()2 6-－4 k ×3≥0,解得k ≤3,故选C. 错解分析:当k =0时,二次项系数为0,此时原函数不是二次函数.欲求k 的取值范围,须同时满足:①函数是二次函数;②图象与x 轴有交点,上面的解法只注重了△≥0而忽略了二次项系数不等于0的条件. 正解: 选D.由题意,得△=()26-－4 k ×3≥0且k ≠0,即k ≤3 且k ≠0,故应选D. 二、忽略隐含条件 例2如图,已知二次函数2y x bx c =++的图象与y 轴交于点A, 与x 轴正半轴交于B,C 两点,且BC ＝2,ABC S ? ＝3,则b 的值为( ) （A ）-5 (B)4或-4 (C) 4 (D)-4 错解: 选B.依题意BC ＝2,ABC S ? ＝3,得点A(0,3),即c ＝3.又BC ＝2,得方程 2 0x bx c ++=的两根之差为2,2-=,解得b =±4.故选B. 错解分析:上面的解法忽略了“抛物线的对称轴x ＝-2 b 在y 轴的右侧”这一隐含条件,正确的解法应是同时考虑-2 b ＞0,得b ＜0,∴b =4应舍去,故应选D. 正解: 选D.
例3 若y关于x的函数y=(a-2)x2-(2a-1)x+a的图象与坐标轴有两个交点，则a可取的值是多少？ 错解：因为函数y=(a-2)x2-(2a-1)x+a的图象与坐标轴有两个交点，而其中与y轴有一个交点(0,a)，则与x轴就只有一个交点，所以关于x的一元二次方程y=(a-2)x2-(2a-1)x+a有两个相等的实数根，所以判别式 [-(2a-1)]2-4×(a-2)a=0，解得a=-1 4 . 错解分析：本题关于函数的描述是“y关于x的函数”，并没有指明是二次函数，所以需要分“y关于x的一次函数”和“y关于x的二次函数”两种情况进行讨论. 正解：当函数y是关于x的一次函数时，a=2,函数的解析式为y=-3x+2，函 数图象与y轴的交点坐标为(0,2)，与x轴的交点坐标为(2 3 ,0).所以a=2符合题意. 当函数y是关于x的二次函数时，函数y=(a-2)x2-(2a-1)x+a的图象与y轴有一个交点(0,a)，与坐标轴共有两个交点，所以与x轴只有一个交点，则关于x的一元二次方程y=(a-2)x2-(2a-1)x+a有两个相等的实数根，所以判别式 △=[-(2a-1)]2-4×(a-2)a=0，解得a=-1 4 . 而当a=0时，与y轴的交点为原点，此时，y=-2x2+x与x轴还有一个交点 (1 2 ,0). 综上可得a=2或a=0或a=-1 4 . 三、忽略数形结合思想方法的应用 例4 求二次函数y=2x+4x+5(-3≤x≤0)的最大值和最小值. 错解:当x=-3时,y=2; 当x=0时,y=5;所以，-3≤x≤0时,y 最小=2,y 最大 =5. 错解分析:上面的解法错在忽略了数形结合思想方法的应用,误以为端点的值就是这段函数的最值.解决此类问题,画出函数图象,借助图象的直观性求解
中考数学常考易错点：《二次函数》 (1)
二次函数 易错清单 1.二次函数与方程、不等式的联系. 【例1】(2014·湖北孝感)抛物线y=ax2+bx+c的顶点为D(-1,2),与x轴的一个交点A在点(-3,0)和(-2,0)之间,其部分图象如图,则以下结论: ①b2-4ac<0;②a+b+c<0;③c-a=2;④方程ax2+bx+c-2=0有两个相等的实数根. 其中正确结论的个数为(). A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【解析】由抛物线与x轴有两个交点得到b2-4ac>0;由抛物线顶点坐标得到抛物线的对称 轴为直线-1,则根据抛物线的对称性得抛物线与x轴的另一个交点在点(0,0)和(1,0)之间,所以当x=1时,y<0,则a+b+c<0;由抛物线的顶点为D(-1,2)得a-b+c=2,由抛物线 的对称轴为直线=1,得b=2a,所以c-a=2;根据二次函数的最大值问题,当x=-1时,二次函数有最大值为2,即只有x=1时,ax2+bx+c=2,所以说方程ax2+bx+c-2=0有两个相等的实数根. 【答案】∵抛物线与x轴有两个交点, ∴b2-4ac>0,所以①错误. ∵顶点为D(-1,2), ∴抛物线的对称轴为直线x=-1. ∵抛物线与x轴的一个交点A在点(-3,0)和(-2,0)之间, ∴抛物线与x轴的另一个交点在点(0,0)和(1,0)之间. ∴当x=1时,y<0. ∴a+b+c<0,所以②正确.
∵抛物线的顶点为D(-1,2), ∴a-b+c=2. ∵抛物线的对称轴为直线=1, ∴b=2a. ∴a-2a+c=2,即c-a=2,所以③正确. ∵当x=-1时,二次函数有最大值为2, 即只有x=1时,ax2+bx+c=2, ∴方程ax2+bx+c-2=0有两个相等的实数根,所以④正确. 故选C. 【误区纠错】本题考查了二次函数的图象与系数的关系:二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图 象为抛物线,当a>0,抛物线开口向上;对称轴为直线-;抛物线与y轴的交点坐标为(0,c);当b2-4ac>0,抛物线与x轴有两个交点;当b2-4ac=0,抛物线与x轴有一个交点;当b2-4ac<0,抛物线与x轴没有交点. 2.用二次函数解决实际问题. 【例2】(2014·江苏泰州)某研究所将某种材料加热到1000℃时停止加热,并立即将材料分为A,B两组,采用不同工艺做降温对比实验,设降温开始后经过x min时,A,B两组材料的温度分别为y A℃,y B℃,y A,y B与x的函数关系式分别为y A=kx+b, (部分图象如图所示),当x=40时,两组材料的温度相同. (1)分别求y A,y B关于x的函数关系式; (2)当A组材料的温度降至120℃时,B组材料的温度是多少? (3)在0 一、二次函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题） 1．（12分）如图所示是隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长是12 m，宽是4 m．按照图中所示的直角坐标系，抛物线可以用y=1 6 -x2+bx+c表示，且抛物线上的点C到OB的水平距离为3 m，到地面OA的距离为 17 2 m. （1）求抛物线的函数关系式，并计算出拱顶D到地面OA的距离； （2）一辆货运汽车载一长方体集装箱后高为6m，宽为4m，如果隧道内设双向车道，那么这辆货车能否安全通过？ （3）在抛物线型拱壁上需要安装两排灯，使它们离地面的高度相等，如果灯离地面的高度不超过8m，那么两排灯的水平距离最小是多少米？ 【答案】（1）抛物线的函数关系式为y= 1 6 -x2+2x+4，拱顶D到地面OA的距离为10 m； (2)两排灯的水平距离最小是3． 【解析】 【详解】 试题分析：根据点B和点C在函数图象上，利用待定系数法求出b和c的值，从而得出函数解析式，根据解析式求出顶点坐标，得出最大值；根据题意得出车最外侧与地面OA的交点为（2,0）（或（10,0）），然后求出当x=2或x=10时y的值，与6进行比较大小，比6大就可以通过，比6小就不能通过；将y=8代入函数，得出x的值，然后进行做差得出最小值． 试题解析：（1）由题知点 17 (0,4),3, 2 B C ?? ? ?? 在抛物线上 所以 4 171 93 26 c b c = ? ? ? =-?++ ?? ，解得 2 4 b c = ? ? = ? ，所以2 1 24 6 y x x =-++ 所以，当6 2 b x a =-=时，10 t y= ≦ 答：2 1 24 6 y x x =-++，拱顶D到地面OA的距离为10米 《二次函数》易错题以及分析 一、选择题（每小题3分，共30分） 1、在下列函数关系式中，（1）22x y -=；（2）2 x x y -=；（3）3)1(22+-=x y ； （4）3 32--=x y ，二次函数有（ ） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 2、若3 2)2(--=m x m y 是二次函数，且开口向上，则m 的值为（ ） A.5± B.5 C. —5 D.0 3、把抛物线2 3x y =向上平移2个单位，向向右平移3个单位，所得的抛物线解析式是（ ） A. 2)3(32-+=x y B. 2)3(32++=x y C. 2)3(32--=x y D. 2)3(32+-=x y 4、下列二次函数的图象与x 轴没有交点的是（ ） A. x x y 932+= B. 322--=x x y C. 442-+-=x x y D. 5422++=x x y 5、已知点（-1，1y ），（2,213y -），（21，3 y ）在函数12632++=x x y 的图象上，则1y 、2y 、3 y 的大小关系是（ ） A.321y y y >> B. 312y y y >> C. 132y y y >> D. 213y y y >> 6、已知抛物线c bx ax y ++=2经过原点和第一、二、 三象限，那么，（ ） A.000>>>c b a ，， B. 000=<>c b a ，， C.000>< 一、二次函数 真题与模拟题分类汇编（难题易错题） 1．如图，在平面直角坐标系xOy 中，A 、B 为x 轴上两点，C 、D 为y 轴上的两点，经 过点A 、C 、B 的抛物线的一部分C 1与经过点A 、D 、B 的抛物线的一部分C 2组合成一条封闭曲线，我们把这条封 闭曲线称为“蛋线”．已知点C 的坐标为（0， ），点M 是抛物线C 2： 2y mx 2mx 3m =--（m ＜0）的顶点． （1）求A 、B 两点的坐标； （2）“蛋线”在第四象限上是否存在一点P ，使得△PBC 的面积最大？若存在，求出△PBC 面积的最大值；若不存在，请说明理由； （3）当△BDM 为直角三角形时，求m 的值． 【答案】（1）A （ ，0）、B （3，0）． （2）存在．S △PBC 最大值为2716 （3）2 m 2 =-或1m =-时，△BDM 为直角三角形． 【解析】 【分析】 （1）在2 y mx 2mx 3m =--中令y=0，即可得到A 、B 两点的坐标． （2）先用待定系数法得到抛物线C 1的解析式，由S △PBC = S △POC + S △BOP –S △BOC 得到△PBC 面积的表达式，根据二次函数最值原理求出最大值． （3）先表示出DM 2，BD 2，MB 2，再分两种情况：①∠BMD=90°时；②∠BDM=90°时，讨论即可求得m 的值． 【详解】 解：（1）令y=0，则2mx 2mx 3m 0--=， ∵m ＜0，∴2x 2x 30--=，解得：1x 1=-，2x 3=． ∴A （ ，0）、B （3，0）． （2）存在．理由如下： ∵设抛物线C 1的表达式为()()y a x 1x 3=+-（a 0≠）， 初中二次函数知识点总结 一、二次函数概念： 1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。 这 里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ， 可以为零．二次函数的定义域是全体实数． 2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征： ⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2． ⑵ a b c ， ，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项． 二、二次函数的基本形式 1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质： a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。 2. 2y ax c =+的性质： 上加下减。 3. ()2 y a x h =-的性质： 左加右减。 4. ()2 y a x h k =-+的性质： 三、二次函数图象的平移 1. 平移步骤： 方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2 y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下： 2. 平移规律 在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”． 概括成八个字“左加右减，上加下减”． 方法二： ⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成 m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2） ⑵c bx ax y ++=2沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成 c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2） 四、二次函数()2 y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较 从解析式上看，()2 y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即2 2424b ac b y a x a a -? ?=++ ?? ?，其中2424b ac b h k a a -=-= ，． 五、二次函数2y ax bx c =++图象的画法 五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定其开口方向、 对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ， 、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）. 画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点. 浙教版数学九年级上《二次函数》单元测试卷 （时间：60分钟 分值：100分 出卷人：历山中学 景祝君 班级：_________ 姓名：_________ 一、选择题（每小题3分，共30分） 1、在下列函数关系式中，（1）2 2x y -=；（2）2 x x y -=；（3）3)1(22 +-=x y ； （4）332 --=x y ，二次函数有（ ） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【答案】D 【解析】二次函数的一般式为c bx ax y ++=2 （0≠a ），4个均为二次函数，故选D. 【易错点】本题考查二次函数的定义和一般式，属容易题，但学生对二次函数解析式的常见形式把握不够，还是出现把（3）不当二次函数来处理.. 2、若3 2 )2(--=m x m y 是二次函数，且开口向上，则m 的值为（ ） A.5± B. 5 C. — 5 D.0 【答案】C 【解析】二次函数的“二次”体现为自变量的最高次数为2次，因此32 -m =2，且2-m 0≠， 故选C. 【易错点】考查二次函数的定义，属容易题，学生容易得出32 -m =2，但会忽略2-m 0≠， 说明对二次函数的“二次”定义理解不透彻. 3、把抛物线2 3x y =向上平移2个单位，向向右平移3个单位，所得的抛物线解析式是（ ） A. 2)3(32 -+=x y B. 2)3(32 ++=x y C. 2)3(32 --=x y D. 2)3(32 +-=x y 【答案】D 【解析】由二次函数的平移规律即可得出答案，故选D. 【易错点】考查二次函数的平移规律，属容易题，但学生过分强调死记硬背，不数形结合， 二次函数易错题汇编附答案 一、选择题 1．若二次函数y ＝x 2﹣2x+2在自变量x 满足m≤x≤m+1时的最小值为6，则m 的值为（ ） A ．5,5,15,12-+- B ．5,51-+ C ．1 D ．5,15-- 【答案】B 【解析】 【分析】 由抛物线解析式确定出其对称轴为x=1，分m ＞1或m+1＜1两种情况，分别确定出其最小值，由最小值为6，则可得到关于m 的方程，可求得m 的值． 【详解】 ∵y ＝x 2﹣2x+2＝（x ﹣1）2+1， ∴抛物线开口向上，对称轴为x ＝1， 当m ＞1时，可知当自变量x 满足m≤x≤m+1时，y 随x 的增大而增大， ∴当x ＝m 时，y 有最小值， ∴m 2﹣2m+2＝6，解得m ＝1+5或m ＝1﹣5（舍去）， 当m+1＜1时，可知当自变量x 满足m≤x≤m+1时，y 随x 的增大而减小， ∴当x ＝m+1时，y 有最小值， ∴（m+1）2﹣2（m+1）+2＝6，解得m ＝5（舍去）或m ＝﹣5， 综上可知m 的值为1+5或﹣5． 故选B ． 【点睛】 本题主要考查二次函数的性质，用m 表示出其最小值是解题的关键． 2．已知二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的图象如图，则下列4个结论：①abc ＜0；②2a +b ＝0；③4a +2b +c ＞0；④b 2﹣4ac ＞0；其中正确的结论的个数是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 【答案】D 【解析】 【分析】 根据二次函数y ＝ax 2+bx +c 系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y 轴的交点抛物线与x 轴交点的个数确定解答． 【中考数学】 二次函数 易错清单 1.二次函数与方程、不等式的联系. 【例1】抛物线y=ax2+bx+c的顶点为D(-1,2),与x轴的一个交点A在点(-3,0)和(-2,0)之间,其部分图象如图,则以下结论: ①b2-4ac<0;②a+b+c<0;③c-a=2;④方程ax2+bx+c-2=0有两个相等的实数根. . 其中正确结论的个数为() C.3个 D.4个 【解析】由抛物线与x轴有两个交点得到b2-4ac>0;由抛物线顶点坐标得到抛物线的对称 轴为直线-1,则根据抛物线的对称性得抛物线与x轴的另一个交点在点(0,0)和(1,0)之间,所以当x=1时,y<0,则a+b+c<0;由抛物线的顶点为D(-1,2)得a-b+c=2,由抛物线的对称轴为直线=1,得b=2a,所以c-a=2;根据二次函数的最大值问题,当x=-1时,二次函数有最大值为2,即只有x=1时,ax2+bx+c=2,所以说方程ax2+bx+c-2=0有两个相等的实数根. 【答案】∵抛物线与x轴有两个交点, ∴b2-4ac>0,所以①错误. ∵顶点为D(-1,2), ∴抛物线的对称轴为直线x=-1. ∵抛物线与x轴的一个交点A在点(-3,0)和(-2,0)之间, ∴抛物线与x轴的另一个交点在点(0,0)和(1,0)之间. ∴当x=1时,y<0. ∴a+b+c<0,所以②正确. ∵抛物线的顶点为D (-1,2), ∴a-b+c=2. ∵抛物线的对称轴为直线 =1, ∴b=2a. ∴a-2a+c=2,即c-a=2,所以③正确.∵当x=-1时,二次函数有最大值为2, 即只有x=1时,ax 2+bx+c=2, ∴方程ax 2+bx+c-2=0有两个相等的实数根,所以④正确. 故选C . 【误区纠错】本题考查了二次函数的图象与系数的关系:二次函数y=ax 2+bx+c (a ≠0)的图象为抛物线,当a>0,抛物线开口向上;对称轴为直线 -;抛物线与y 轴的交点坐标为(0,c );当 b 2-4ac>0,抛物线与 x 轴有两个交点;当 b 2-4ac=0,抛物线与 x 轴有一个交点;当b 2-4ac<0,抛物线与x 轴没有交点. 2. 用二次函数解决实际问题. 【例 2】 某研究所将某种材料加热到 1000℃时停止加热,并立即将材料分为A ,B 两组,采用不同工艺做降温对比实验,设降温开始后经过x min 时,A ,B 两组材料的温 度分别为y A ℃,y B ℃,y A ,y B 与x 的函数关系式分别为y A =kx+b , (部分图 象如图所示),当x=40时,两组材料的温度相同. (1)分别求y A ,y B 关于x 的函数关系式; (2)当A 组材料的温度降至120℃时,B 组材料的温度是多少? (3)在0 一、选择题（每小题3分，共30分） 1、在下列函数关系式中，（1）22x y -=；（2）2x x y -=；（3）3)1(22+-=x y ； （4）332--=x y ，二次函数有（ ） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 2、若32)2(--=m x m y 是二次函数，且开口向上，则m 的值为（ ） A.5± B.5 C. —5 D.0 3、把抛物线23x y =向上平移2个单位，向向右平移3个单位，所得的抛物线解析式是（ ） A. 2)3(32-+=x y B. 2)3(32++=x y C. 2)3(32--=x y D. 2)3(32+-=x y 4、下列二次函数的图象与x 轴没有交点的是（ ） A. x x y 932+= B. 322--=x x y C. 442-+-=x x y D. 5422++=x x y 5、已知点（-1，1y ），（2,21 3y -），（2 1，3y ）在函数12632++=x x y 的图象上，则1y 、2y 、3y 的大小关系是（ ） A.321y y y >> B. 312y y y >> C. 132y y y >> D. 213y y y >> 6、已知抛物线c bx ax y ++=2 经过原点和第一、二、三象限，那么，（ ） A.000>>>c b a ，， B. 000=<>c b a ，， C.000>< 中考数学二次函数(大题培优易错难题)附详细答案 一、二次函数 1．如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与一直线相交于A（1，0）、C（﹣2，3）两点，与y 轴交于点N，其顶点为D． （1）求抛物线及直线AC的函数关系式； （2）若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，求△APC的面积的最大值及此时点P 的坐标； （3）在对称轴上是否存在一点M，使△ANM的周长最小．若存在，请求出M点的坐标和△ANM周长的最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）y＝﹣x2﹣2x+3；y＝﹣x+1；（2）当x＝﹣1 2 时，△APC的面积取最大值， 最大值为27 8 ，此时点P的坐标为（﹣ 1 2 ， 15 4 ）；（3）在对称轴上存在一点M（﹣1， 2），使△ANM的周长最小，△ANM周长的最小值为10 2 【解析】 【分析】 （1）根据点A，C的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线及直线AC的函数关系式；（2）过点P作PE∥y轴交x轴于点E，交直线AC于点F，过点C作CQ∥y轴交x轴于点Q，设点P的坐标为（x，﹣x2﹣2x+3）（﹣2＜x＜1），则点E的坐标为（x，0），点F的坐标为（x，﹣x+1），进而可得出PF的值，由点C的坐标可得出点Q的坐标，进而可得 出AQ的值，利用三角形的面积公式可得出S△APC＝﹣3 2 x2﹣ 3 2 x+3，再利用二次函数的性 质，即可解决最值问题；（3）利用二次函数图象上点的坐标特征可得出点N的坐标，利用配方法可找出抛物线的对称轴，由点C，N的坐标可得出点C，N关于抛物线的对称轴对称，令直线AC与抛物线的对称轴的交点为点M，则此时△ANM周长取最小值，再利用一次函数图象上点的坐标特征求出点M的坐标，以及利用两点间的距离公式结合三角形的周长公式求出△ANM周长的最小值即可得出结论． 【详解】 （1）将A（1，0），C（﹣2，3）代入y＝﹣x2+bx+c，得： 初中数学二次函数易错题汇编含答案 一、选择题 1．如图，矩形ABCD 中，AB =8，AD =4，E 为边AD 上一个动点，连接BE ，取BE 的中点G ，点G 绕点E 逆时针旋转90°得到点F ，连接CF ，则△CEF 面积的最小值是（ ） A ．16 B ．15 C ．12 D ．11 【答案】B 【解析】 【分析】 过点F 作AD 的垂线交AD 的延长线于点H ，则△FEH ∽△EBA ，设AE=x ，可得出△CEF 面积与x 的函数关系式，再根据二次函数图象的性质求得最小值． 【详解】 解：过点F 作AD 的垂线交AD 的延长线于点H ， ∵∠A=∠H=90°，∠FEB=90°， ∴∠FEH=90°-∠BEA=∠EBA ， ∴△FEH ∽△EBA ， ∴ ,HF HE EF AE AB BE == G Q 为BE 的中点， 1 ,2 FE GE BE ∴== ∴ 1 ,2 HF HE EF AE AB BE === 设AE=x ， ∵AB 8,4,AD == ∴HF 1 ,4,2 x EH = = ,DH AE x ∴== CEF DHFC CED EHF S S S S ???∴=+- 11111(8)8(4)422222x x x x =++?--?? 2 141644 x x x x = +--- 2 116,4 x x = -+ ∴当 1 2 124 x -=- =? 时，△CEF 面积的最小值1421615.4=?-+= 故选：B ． 【点睛】 本题通过构造K 形图，考查了相似三角形的判定与性质．建立△CEF 面积与AE 长度的函数关系式是解题的关键． 2．抛物线y ＝-x 2+bx +3的对称轴为直线x ＝-1．若关于x 的一元二次方程-x 2+bx +3﹣t ＝0（t 为实数）在﹣2＜x ＜3的范围内有实数根，则t 的取值范围是（ ） A ．-12＜t ≤3 B ．-12＜t ＜4 C ．-12＜t ≤4 D ．-12＜t ＜3 【答案】C 【解析】 【分析】 根据给出的对称轴求出函数解析式为y ＝－x 2?2x ＋3，将一元二次方程－x 2＋bx ＋3?t ＝0的实数根看做是y ＝－x 2?2x ＋3与函数y ＝t 的交点，再由﹣2＜x ＜3确定y 的取值范围即可求解. 【详解】 解：∵y ＝－x 2＋bx ＋3的对称轴为直线x ＝－1， ∴b ＝?2， ∴y ＝－x 2?2x ＋3， ∴一元二次方程－x 2＋bx ＋3?t ＝0的实数根可以看做是y ＝－x 2?2x ＋3与函数y ＝t 的交点， ∵当x ＝?1时，y ＝4；当x ＝3时，y ＝－12， ∴函数y ＝－x 2?2x ＋3在﹣2＜x ＜3的范围内－12＜y≤4， ∴－12＜t≤4， 故选：C ． 【点睛】 本题考查二次函数的图象及性质，能够将方程的实数根问题转化为二次函数与直线的交点问题是解题关键． 新初中数学二次函数易错题汇编及答案 一、选择题 1．若二次函数22y ax ax c =-+的图象经过点（﹣1，0），则方程220ax ax c -+=的解为（ ） A ．13x =-，21x =- B ．11x =，23x = C ．11x =-，23x = D ．13x =-，21x = 【答案】C 【解析】 【分析】 【详解】 ∵二次函数22y ax ax c =-+的图象经过点（﹣1，0），∴方程220ax ax c -+=一定有 一个解为：x=﹣1，∵抛物线的对称轴为：直线x=1，∴二次函数22y ax ax c =-+的图象与x 轴的另一个交点为：（3，0），∴方程220ax ax c -+=的解为：11x =-，23x =． 故选C ． 考点：抛物线与x 轴的交点． 2．在同一平面直角坐标系中，函数y=ax 2+bx 与y=bx+a 的图象可能是（ ） A ． B ． C ． D ． 【答案】C 【解析】 试题解析：A 、对于直线y=bx+a 来说，由图象可以判断，a ＞0，b ＞0；而对于抛物线y=ax 2+bx 来说，对称轴x=﹣2b a ＜0，应在y 轴的左侧，故不合题意，图形错误． B 、对于直线y=bx+a 来说，由图象可以判断，a ＜0，b ＜0；而对于抛物线y=ax 2+bx 来说，图象应开口向下，故不合题意，图形错误． C 、对于直线y=bx+a 来说，由图象可以判断，a ＜0，b ＞0；而对于抛物线y=ax 2+bx 来说，图象开口向下，对称轴x=﹣2b a 位于y 轴的右侧，故符合题意， D 、对于直线y=bx+a 来说，由图象可以判断，a ＞0，b ＞0；而对于抛物线y=ax 2+bx 来说，图象开口向下，a ＜0，故不合题意，图形错误． 故选C ． 考点：二次函数的图象；一次函数的图象． 3．要将抛物线2y x =平移后得到抛物线223y x x =++，下列平移方法正确的是（ ） A ．向左平移1个单位，再向上平移2个单位 B ．向左平移1个单位，再向下平移2个单位 C ．向右平移1个单位，再向上平移2个单位 D ．向右平移1个单位，再向下平移2个单位 【答案】A 【解析】 【分析】 原抛物线顶点坐标为（0，0），平移后抛物线顶点坐标为（-1，2），由此确定平移办法． 【详解】 y=x 2+2x+3=（x+1）2+2，该抛物线的顶点坐标是（-1，2），抛物线y=x 2的顶点坐标是（0，0）， 则平移的方法可以是：将抛物线y=x 2向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度． 故选：A ． 【点睛】 此题考查二次函数图象与几何变换．解题关键是将抛物线的平移问题转化为顶点的平移，寻找平移方法． 4．一次函数y=ax+b 与反比例函数y=c x 在同一平面直角坐标系中的图象如左图所示，则二次函数y=ax 2+bx+c 的图象可能是() A ． B ． C ． 函数的纠错笔记 易错点一：求定义域忽视细节致误。 例题1：（1 ）求函数0 ()f x =的定义域。 （2 ）求函数y = 错因分析：（1）忘了分析0的0次无意义，导致在定义域中多了解；（2）把看成是真数减2，即由得真数且，所以，另外出现忽略真数大于零的错误：如由，得。 正解分析： （1）由函数解析式有意义知256010||0x x x x x ?-+≥?-≠??+>? 得3210x x x x ≥≤??≠??>?或即0132x x x <<≥≤或或 故函数的定义域是()(][)0,11,23,+∞ （2）由12log 200 x x -≥????>?，解得104x <≤所以函数定义域是10,4?? ???。 误区分析：求函数定义域，关键是依据含变量的代数式有意义来列出相应的不等式求解，如开偶次方根，被开方数一定非负；对数式中的真数是正数；涉及到对数或指数不等式的求解，应依据单调性来处理。 变式练习： 已知函数()f x 的定义域为(),a b ，求函数(31)(31)f x f x -++的定义域。 错因分析：理解错()f x 的定义域与(31)(31)f x f x -++的定义域之间的关系，致使(31)f x -函数的定义域由31a x b <-<得，函数(31)f x +的定义域由31a x b <-<得，这样得到的定义域就是()31,31a b +-。 正解分析：由3131a x b a x b <-此时，函数的定义域为11,33a b +-?? ??? 。 误区分析：复合函数中定义域的求法：在复合函数中，外层函数的定义域是由内层函数决定的，即已知[]()f g x 的定义域为(),a b ，求()f x 的定义域方法是利用a x b <<，求得()g x 的范围即为函数()f x 的定义域。而已知()f x 的定义域(),a b ，求函数[]()f g x 的定义域， 龙源期刊网 https://www.sodocs.net/doc/aa9404135.html, 盘点二次函数易错点 作者：张茂 来源：《数学金刊·初中版》2008年第04期 二次函数是初中学习的重点和难点，考题分值大都占总分值的10％左右. 由于二次函数知识对初中生而言难度本身就比较大，所以此类考点一般都以选择题、填空题的最后两题，或解答题的压轴题的形式出现. 一般情况下，填空题和选择题中的二次函数考题主要考查二次函数的基础知识和基本解题技能，如二次函数的意义及其三种表示法、二次函数的图象与系数的关系等. 解答题中的二次函数的考题则综合性较强，考查的知识面广，主要考查方向有：（1）和实际生活相结合的最大（小）值问题；（2）结合动点计算几何图形的长度和面积的考题；（3）和其他函数相结合的考题；（4）其它类型. 易错点扫描 1. 把握不好抛物线与表达式的关系，从而出错. 主要表现为以下几点： （1）据抛物线的特征，判断y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的系数a、b、c的符号容易混淆； （2）关于二次函数的增减性和抛物线的对称性的题，由于同一个二次函数的增减性也要以抛物线对称轴为分界线进行分类讨论，相对难度较大，有的同学容易出现错误，还有就是“关于抛物线的对称轴对称”的抛物线上的点的特征，有的同学则把握不好； （3）由抛物线的平移造成表达式变化的题，也是同学们经常出错的地方. 求二次函数的表达式的方法很多，可以设成一般式y＝ax2＋bx＋c（a≠0），顶点式y＝a （x－h）2＋k（a≠0）和交点式y＝a（x－x1）（x－x2）（a≠0）. 2. 许多同学因为不能灵活地选择求二次函数表达式的方式，导致解答费时费力，还容易出错. 3. 忽视自变量的实际取值范围而出错. 在利用二次函数知识解决生活中的“最大利润”和几何图形的最大面积等问题时，利用二次函数表达式求抛物线的顶点坐标来解决问题成了部分同学的思维定式，却很少考虑这些最大（小）值是否符合实际情况和题目要求，导致出错. （易错题精选）初中数学二次函数难题汇编附答案 一、选择题 1．抛物线y ＝ax 2+bx+c 的顶点为(﹣1，3)，与x 轴的交点A 在点(﹣3，0)和(﹣2，0)之间，其部分图象如图，则以下结论，其中正确结论的个数为( ) ①若点P(﹣3，m)，Q(3，n)在抛物线上，则m ＜n ； ②c ＝a+3； ③a+b+c ＜0； ④方程ax 2+bx+c ＝3有两个相等的实数根． A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 【答案】C 【解析】 试题分析：由抛物线与x 轴有两个交点，可知b 2-4ac ＞0，所以①错误； 由抛物线的顶点为D （-1，2），可知抛物线的对称轴为直线x=-1，然后由抛物线与x 轴的一个交点A 在点（-3，0）和（-2，0）之间，可知抛物线与x 轴的另一个交点在点（0，0）和（1，0）之间，因此当x=1时，y ＜0，即a+b+c ＜0，所以②正确； 由抛物线的顶点为D （-1，2），可知a-b+c=2，然后由抛物线的对称轴为直线x=2b a -=-1，可得b=2a ，因此a-2a+c=2，即c-a=2，所以③正确； 由于当x=-1时，二次函数有最大值为2，即只有x=-1时，ax 2+bx+c=2，因此方程ax2+bx+c-2=0有两个相等的实数根，所以④正确． 故选C ． 考点：二次函数的图像与性质 2．二次函数y ＝2ax bx c ++（a ≠0）图象如图所示，下列结论：①abc ＞0；②2a b +＝0；③当m ≠1时，+a b ＞2am bm +；④a b c -+＞0；⑤若211ax bx +＝2 22ax bx +， 且1x ≠2x ，则12x x +＝2．其中正确的有（ ） 石家庄市精英中学数学 二次函数易错题（Word版含答案）一、初三数学二次函数易错题压轴题（难） 1．已知，抛物线y＝- 1 2 x2 +bx+c交y轴于点C（0,2），经过点Q（2,2）.直线y＝x+4分别交x轴、y轴于点B、A． （1）直接填写抛物线的解析式________； （2）如图1，点P为抛物线上一动点（不与点C重合），PO交抛物线于M，PC交AB于N，连MN. 求证：MN∥y轴； （3）如图,2，过点A的直线交抛物线于D、E，QD、QE分别交y轴于G、H.求证：CG ?CH 为定值. 【答案】（1）2 1 2 2 y x x =-++；（2）见详解；（3）见详解． 【解析】 【分析】 （1）把点C、D代入y＝- 1 2 x2 +bx+c求解即可； （2）分别设PM、PC的解析式，由于PM、PC与抛物线的交点分别为：M、N.，分别求出M、N的代数式即可求解； （3）先设G、H的坐标，列出QG、GH的解析式，得出与抛物线的交点D、E的横坐标，再列出直线AE的解析式，算出它与抛物线横坐标的交点方程.运用韦达定理即可求证．【详解】 详解：（1）∵y＝- 1 2 x2 +bx+c过点C（0,2），点Q（2,2）， ∴ 2 1 222 2 2 b c c ? -?++ ? ? ?= ? ＝ , 解得：1 2b c =??=? . ∴y=- 12 x 2 +x+2； （2） 设直线PM 的解析式为：y=mx ，直线PC 的解析式为：y=kx+2 由2 2122y kx y x x =+?? ?=-++?? 得 12 x 2 +（k-1）x=0, 解得：120,22x x k ==-， x p =22p x k =- 由2 1=22y mx y x x =???-++?? 得 12 x 2 +(m-1)x-2=0， ∴124b x x a ?=- =- 即x p?x m =-4， ∴x m =4p x -=21 k -. 由24y kx y x =+??=+? 得x N = 2 1 k -=x M , ∴MN ∥y 轴. （3）设G （0，m ）,H （0，n ）. 设直线QG 的解析式为y kx m =+， 将点()2,2Q 代入y kx m =+ 得22k m =+人教中考数学二次函数(大题培优 易错 难题)及详细答案
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