即要使2
min 2()m tm g a -+≤=
220m tm ?-≥，令()22h t mt m =-+，对所有的[]()1,1,0t h t ∈-≥成立，
只需???≥+-=≥+=-,0
2)1(02)1(2
2m m h m m h 求出m 的取值范围是2,m ≤-≥或m=0,或m 2 题型5 分离常数法
例题4 （1）求函数2331x y x -=
-+的值域．（2）已知函数1
()2
x f x x +=+，求()f x 的值域．
【解析】由题函数的定义域为1
{|}3
x x ≠
2777(31)23222333331313313313
x x y x x x x --+--
-===-+=-+≠--+-+-+- 故函数的值域为2{|}3y y ≠-
（2）【分析】11
()122
x f x x x +==-
++，化简后求值域． 【解析】
11
()122
x f x x x +=
=-
++，又102x ≠+，1
112
x ∴-≠+，即()1f x ≠． 则()f x 的值域为{|1}y y ≠．
变式1 （1）求下列函数的值域：)1(1
3
2≥++=x x x y . （2）求函数321
x
y x -=-的值域． 【解析】y =2x+3x+1
=2+1
x+1，∵x ≥1，2＜2+1
x+1≤2+1
2=5
2
，
∴y =
2x+3
x+1
（x ≥1）的值域为（2，5
2]．
变式2 （1）求下列函数的值域：21
32
x y x -=
+． （2）求函数22594
1x x y x ++=-的值域．
【解析】∵y =2x?13x+2
=
23(3x+2)?73
3x+2
=2
3?
7
3
3x+2
，
∵
73
3x+2
≠0，故y ≠23，故函数y =2x?1
3x+2的值域为：{y |y ≠2
3}，
（2）∵y =5x 2+9x+4x 2?1
=
5(x 2?1)+9x+9
x 2?1
＝5+9
x?1，
又x 2﹣1≠0，即x ≠±1，∴y ≠5且y ≠1
2；∴函数的值域是{y |y ≠5且y ≠1
2}．
变式3 （1）求函数22223x x
y x x -=-+的值域．
（2）求函数2221
()3x f x x -=+的值域．
【解析】y =
x 2?2x+3?3x 2?2x+3
=1?3x 2?2x+3=1?3
(x?1)2+2，
∵（x ﹣1）2+2≥2，∴1
(x?1)2+2∈(0，1
2]，∴y ∈[1
2，1)，所以函数的值域为[?1
2，1)． 【解析】∵f(x)=
2x 2+6?7x +3
=2?7
x +3，又x 2+3≥3，
∴1
x 2+3∈(0，1
3]，即f(x)∈[?1
3，2)．∴函数的值域是[?1
3，2)．
题型6 换元法
例题5 求2y x =函数的值域： 【分析】利用换元法，需要注意x 的取值范围． 【解析】换元法：令t =)0(≥t ，
则22115152222()488y x t t t =+-=-+815
≥，
当14
t =时取等号，故其值域为15[8，)+∞，
变式1 求下列函数的值域．
（1）22y x =- （2）5y x =+ （3）y x =+ （1）【分析】函数y ＝2x ﹣2+√4x ?13可得函数的定义域为[13
4，+∞)．令√4x ?13=t ≥0，解得x =
t 2+134
．转化为关于t 的二次函数的单调性即可得出．
【解析】函数y ＝2x ﹣2+√4x ?13可得函数的定义域为[13
4，+∞)． 令√4x ?13=t ≥0，解得x =t 2+134
．
∴y ＝f （t ）=
t 2+132
?2+t =1
2(t +1)2+4≥f （0）=9
2，
∴函数y ＝2x ﹣2+√4x ?13的值域为[9
2，+∞)．
【解析】由y ＝x +5+√?x 2?2x +4得：y ﹣x ﹣5=√?x 2?2x +4，
故x 2+y 2+25﹣2xy +10x ﹣10y ＝﹣x 2﹣2x +4，即2x 2+（12﹣2y ）x +y 2﹣10y +21＝0， 由△＝（12﹣2y ）2﹣8（y 2﹣10y +21）≥0得：y 2﹣8y +6≤0，解得：y ∈[4?√10，4+√10]， 故函数y ＝x +5+√?x 2?2x +4的值域为[4?√10，4+√10]． （3）换元法（代数换元法）：设t =√1?x ≥0，则x ＝1﹣t 2，
∴原函数可化为y ＝1﹣t 2+4t ＝﹣（t ﹣2）2+5（t ≥0），∴y ≤5，∴原函数值域为（﹣∞，5]． 变式2 求函数()1
42
3x
x f x +=--， []1,1x ∈-的值域..
【解析】第1步，变化函数为二次函数的形式
()1
42
3x
x f x +=--
∴()()32
222
-?-=x
x
x f ，设2x t =，∴()()2
22314f t t t t =--=--
第2步，求出换元后函数的定义域：∵[]1,1x ∈-，∴[]0,2t ∈ 第3步，结合二次函数的性质得出函数的值域：可得 ()[
]
4,3f t ∈--， 综上所述：函数的值域为[]
4,3--.
变式3 已知函数()2
1144log log 5f x x x ??=-+ ??
?，
[]2,4x ∈，求()f x 的最大值及最小值. 【解析】令x
t 4
1log =
∵[]2,4x ∈，x t 4
1log =在定义域递减有14
log 414
log ≤x 14
log ≤2
∴??????--∈21,1t ，∴()419
2152
2+??
? ??-=+-=t t t t f ，??????--∈21,1t
∴当21-=t 时，()f x 取最小值4
23
；当1-=t 时，()f x 取最大值7.
题型7 判别式法
例题6 利用判别式求函数231
x
y x x =-+的值域．
【解析】函数231
x
y x x =
-+，∴当0x =时，0y =；
当0y ≠时，原函数化为2(31)0yx y x y -++=，
∴判别式△＝（3y +1）2﹣4y 2≥0，即5y 2+6y +1≥0；解得y ≤﹣1，或y ≥﹣51
，
综上，函数y 的值域是{y |y ≤﹣1，或y ≥﹣5
1
}．
变式1 求函数的值域：2222
1
x x y x x -+=++．
【解析】判别式法：∵x 2+x +1＞0恒成立，∴函数的定义域为R ． 由y =
2x 2?x+2x 2+x+1
得：（y ﹣2）x 2+（y +1）x +y ﹣2＝0①
①当y ﹣2＝0即y ＝2时，①即3x +0＝0，∴x ＝0∈R ②当y ﹣2≠0即y ≠2时，
∵x ∈R 时方程（y ﹣2）x 2+（y +1）x +y ﹣2＝0恒有实根， ∴△＝（y +1）2﹣4×（y ﹣2）2≥0，∴1≤y ≤5且y ≠2， ∴原函数的值域为[1，5]．
变式2 求函数的值域：22(3)(1)y x x x x =-+÷-+． 【解析】（1）∵函数y =
x 2?x+3x 2?x+1
，定义域为R ，∴当y ＝1时，3＝1不成立；
当y ≠1时，原函数化为（y ﹣1）x 2﹣（y ﹣1）x +y ﹣3＝0， ∴判别式△＝（y ﹣1）2﹣4（y ﹣1）（y ﹣3）≥0， 即（y ﹣1）（3y ﹣11）≤0，解得1≤y ≤113
，但y ≠1，
综上，函数y 的值域是{y |1＜y ≤
113
}
题型8 分段函数法
例题7 求函数的值域：|1||4|y x x =-++．
【解析】数形结合法：23|1||4|5(41)23(1)x x y x x x x x ---??
=-++=-<
)1()
14()4(≥<<--≤x x x ∴5≥y ，∴函数值域为[5，)+∞
变式1 已知函数224,(03)()6,(20)
x x x f x x x x ?-=?+-?()
()0230<≤-<≤x x ，求()f x 的值域．
【解析】f （x ）={x 2?4x =(x ?2)2?40≤x ≤3
x 2+6x =(x +3)2?9?2≤x ≤0
；
∴0≤x ≤3时，f （x ）∈[﹣4，0]；﹣2≤x ≤0时，f （x ）∈[﹣8，0]；∴f （x ）的值域为[﹣8，0]． 变式2 求函数24||3(33)y x x x =---<<的值域． 【解析】0≤x ＜3时，y ＝2x ﹣4x ﹣3＝﹣2x ﹣3，
﹣3＜x ＜0时，y ＝2x +4x ﹣3＝6x ﹣3，∴函数的值域是：（﹣21，﹣3]． 变式3 函数2)2(|1|)(-++=x x x f 的值域为( )。
A 、),0[+∞
B 、),1[+∞
C 、),2[+∞
D 、),3[+∞
【解析】原函数化为??
?
??>-≤<--≤+-=2,1221,31,12)(x x x x x x f ，其图像如图，原函数值域为),3[+∞，选D 。
题型9 反函数法
例题8 函数6
54
3)(++=x x x f 值域为 【解析】设6543++=
x x y ，则4365+=+x y xy ?y y x 5346--=，分母不等于0，即5
3
≠y
即函数)(x f 的值域为),5
3()53
,(+∞-∞ 。
变式1 函数1
1
)(+-=x x e e x f 的值域为
【解析】设1
1
+-=x x e e y ，由原式得011>-+=y y e x ，∴11<<-y ，即函数)(x f 的值域为)1,1(- 变式2 设为，反函数，最大值为 【解析】第一步，先判定函数()222
x x f x +=-在区间[]20，
上是单调递增的；
第二步，求出函数(
)222
x x f x +=-的值域??
????241，； 第三步，根据反函数的性质得出反函数()x f y 1
-=在??
????241，为增函数； ()1
f
x -()222
x x f x -=+
[]0,2x ∈()()1
y f x f x -=+
∴在??
????241，
为增函数；∴最大为()()221
-+f f 4=
题型10 不等式法
例题9 已知，求函数 的最小值.
【解析】第一步，将函数解析式化成()x
a
x x f +
=的形式： 因为25
≥x ，所以02>-x ，所以()()()()()
22122221242542
2-+-=-+-=-+-=x x x x x x x x f ；
()()1y f x f x -=+()()1y f x f x -=+5
2
x ≥245()24x x f x x -+=-
第二步，利用基本不等式求函数最小值：
()()()
()()
1221
222
221
2
2=-?
-≥-+
-=
x x x x x f ，
当且仅当()()22122-=-x x ，即3=x 时等号成立。因为3=x 在定义域内，所以最小值为1.
变式1 已知函数9
()(03)1
f x x x x =+
≤≤+，求()f x 的值域. 【解析】第一步，将函数解析式化成()x a
x x f +=的形式：
因为30≤≤x ，所以01>+x ；所以()()11
9119-+++=++
=x x x x x f ； 第二步，利用基本不等式求函数最小值：
()()()51191211
9
1=-+?
+≥-++
+=x x x x x f ，仅当1
91+=+x x ，即2=x 等号成立。 因为2=x 在定义域内，所以最小值为5. 变式2 求4
52
2++=
x x y 的最小值；
【解析】由题意得，4
144
142
22
2++
+=+++=
x x x x y ，
令()242≥+=t x t ，则t t y 1
+=，
又当2≥t 时，函数t t y 1+=单调递增，∴当2=t 时，y 有最小值，且最小值为2
5
，
故4
522++=
x x y 的最小值是
25
变式3 已知2m >，0n >，3m n +=，则11
2m n
+-的最小值为（ ） A ．3
B ．4
C ．5
D ．6
【解析】因为2m >，0n >，3m n +=，所以21m n -+=，
则
()11112
22224222n m m n m n m n m n
-??+=+-+=++≥+= ?---??， 当且仅当
22n m m n -=-且3m n +=，即51
,22
m n ==时取等号，故选：B.
例题10 求函数1cos 21
cos 2-+=
x x y 的值域
【解析】此为d
x c b
x a y -+=cos cos 型的三角函数求最值问题，分子、分母的三角函数同名、同
角，这类三角函数一般先化为部分分式，再利用三角函数的有界性去解.或者也可先用反解法，再用三角函数的有界性去解. 法一：原函数变形为1cos ,1cos 221≤-+=x x y ，可直接得到：3≥y 或.3
1
≤y
法二：原函数变形为()()
∴≤-+∴≤-+=,1121,1cos ,121cos y y x y y x 3≥y 或.31
≤y
变式1 求函数2
cos 1
sin --=
x x y 的最大值和最小值.
【分析】函数式为分数形式，转化为以函数y 为主元的不等式，在利用正（余）弦有界性。
解析】由已知得1sin 2cos -=-x y x y ，即y x y x 21cos sin -=- 那么，得
y x y 21)sin(12-=+?+? （其中?角的正切值y =?tan ）
所以，1
21)sin(2
+-=
+y y x ?，因为1)sin(≤+?x ，因而有
11
212
≤+-y y
将其化简得到0432
≤-y y ，解得340≤
≤y ，因此，3
4
max =y ，0min =y .
例题11 求函数的值域.
【解析】第1步，将函数解析式转化成两点间的直线的斜率
由题意可得：函数可看成定点()32，
到动点()x x sin ,cos 的斜率 又动点()x x sin ,cos 在单位圆上，所以问题转化为求定点()32，
到单位圆连线斜率的问题。 第2步，根据直线与圆相切得出函数的值域
设直线的方程为()23-=-x k y ，所以032=+--k y kx
因为直线与圆相切，所以1
3212++-=
k k ，所以33
26±=
k ，
所以函数的值域为：???
?
??+-33263
326，
变式1 求函数的值域.
x
x
y cos 2sin 3--=
()f x =x
第2步：求真数的取值范围，进而求出函数的值域：设点(
)11,0,,,,2222P x M N ??- ????，
u
=
=1PM PN MN =-<= 所以()0f x <,所以函数的值域为(),0-∞.
题型13 倒数法
例题12 函数3
2
)(++=
x x x f 的值域为( )。 A 、),0(+∞ B 、),0[+∞ C 、]2
1,0[ D 、]3,2[
【解析】设3
2
++=
x x y ，当2-=x 时，0=y ， 当2-≠x 时，
22
122121≥+++=+++=x x x x y ，∴210≤≤y ，即函数)(x f 的值域为]2
1
,0[，选C 。 题型14 导数法
第1步：利用函数的导数求函数在定义域内的单调性；
第2步：利用函数的图像求出函数的值域．
例题13 已知函数()3
2
f x x ax bx =++在2x =-与2
x =处都取得极值． （1）求函数()f x 的解析式及单调区间； （2）求函数()f x 在区间
3,2的最大值与最小值．
()f x =
【解析】（1）因为32
()f x x ax bx =++，所以()2
'32f x x ax b =++,
因为函数()3
2
f x x ax bx =++在2x =-与1
2
x =
处都取得极值， 所以()212409
4130324f a b a f a b b ?-=-+=?=???????=++= ???=-???'?
'，所以函数解析式为： ()32934f x x x x =+-, ()()()293
'3321222
f x x x x x =+
-=-+, 令()1'02f x x >?>或2x <-，()1
'022f x x
所以函数()f x 的单调增区间是()1,2,,2??-∞-+∞ ??? ，单调减区间是12,2?
?- ??
?.
（2）由（1）可知，
所以函数()f x 的极小值为113
216
f ??= ??? ，极大值为()27,f -= 而()()93,2114f f -=
=，所以()()max min 1311,16
f x f x ==-. 【巩固提升】
巩固1 按要求求下列函数的值域：
（1）y ＝3√x ?1（观察法）；（2）y =√?2x 2+3x +2（配方法）； （3）y ＝2﹣x +√3x ?1（换元法）；（4）y =?2x+1x?1
（分离常数法）．
（5）y ＝8÷（x 2﹣4x +5）（判别式法）．
【解析】（1）函数y =3√x ?1的值域为[﹣1，+∞）；
（2）y =√?2x 2+3x +2=√?2(x ?34
)2+258
，∴该函数的值域为[0，√258
]＝[0，5√2
4
]；
（3）令√3x ?1=t ，t ≥0，则x =t 2+13
，
所以：y =2?
t 2+13
+t =?1
3(t ?3
2)2+29
12≤29
12；∴原函数的值域为（﹣∞，29
12]；
（4）y=?2x+1
x?1=?2(x?1)?1
x?1
=?2?1
x?1
；
∵1
x?1≠0，∴?2?1
x?1
≠?2；∴该函数的值域为{y|y≠﹣2}．
（5）∵y=8
x2?4x+5
，定义域为R，∴当y＝0时，不成立；
当y≠0时，原函数可化为yx2﹣4yx+5y﹣8＝0，
∴判别式△＝16y2﹣4y（5y﹣8）≥0，即有y2﹣8y≤0，解得0≤y≤8，但y≠0．综上，函数y的值域是{y|0＜y≤8}．
函数定义域、值域求法总结
函数定义域、值域求法总结 1、函数的定义域是指自变量“x”的取值集合。 2、在同一对应法则作用下，括号整体的取值围相同。 一般地，若已知 f(x)的定义域为[a,b]，求函数f[g(x)]的定义域时，由于分别在两个函数中的x和g(x)受同一个对应法则的作用，从而围相同。因此f[g(x)]的定义域即为满足条件 a≤g(x)≤b的x的取值围。 一般地，若已知 f[g(x)]的定义域为[a,b]，求函数 f(x)的定义域时，由于x 和g(x) 受同一个对应法则的作用, 所以f(x)的定义域即为当a≤x≤b 时，g(x)的取值围。 定义域是X的取值围，g(x)和h(x)受同一个对应法则的影响，所以它们的围相同。 ():f(x),f[g(x)] 题型一已知的定义域求的定义域 () ():f g x,f(x) ?? ?? 题型二已知的定义域求的定义域 ()[] ():f g x,f h(x) ?? ?? 题型三已知的定义域求的定义域 () []()[])x(h f x f x g f→ →
()的定义域 求的定义域已知练习)2(],9,3[log :313-x f x f 一、定义域是函数y=f(x)中的自变量x 的围。 求函数的定义域需要从这几个方面入手： （1）分母不为零 （2）偶次根式的被开方数非负。 （3）对数中的真数部分大于0。 （4）指数、对数的底数大于0，且不等于1 （5）y=tanx 中x ≠k π+π/2；y=cotx 中x ≠k π等等。 ( 6 )0x 中x 0≠ 二、值域是函数y=f(x)中y 的取值围。 常用的求值域的方法： （1）直接法 （2）图象法（数形结合） （3）函数单调性法 （4）配方法 （5）换元法 （包括三角换元） （6）反函数法（逆求法） （7）分离常数法 （8）判别式法 （9）复合函数法 （10）不等式法 （11）平方法等等 这些解题思想与方法贯穿了高中数学的始终。
高中数学-函数定义域、值域求法总结
函数定义域、值域求法总结 一.求函数的定义域需要从这几个方面入手： （1）分母不为零 （2）偶次根式的被开方数非负。 （3）对数中的真数部分大于0。 （4）指数、对数的底数大于0，且不等于1 （5）y=tanx 中x ≠k π+π/2；y=cotx 中x ≠k π等等。 ( 6 )0x 中x 0≠ 二、值域是函数y=f(x)中y 的取值范围。 常用的求值域的方法： （1）直接法 （2）图象法（数形结合） （3）函数单调性法 （4）配方法 （5）换元法 （包括三角换元）（6）反函数法（逆求法） （7）分离常数法 （8）判别式法 （9）复合函数法 （10）不等式法 （11）平方法等等 这些解题思想与方法贯穿了高中数学的始终。 定义域的求法 1、直接定义域问题 例1 求下列函数的定义域： ① 2 1 )(-=x x f ；② 23)(+=x x f ；③ x x x f -+ +=211)( 解：①∵x-2=0，即x=2时，分式 2 1 -x 无意义， 而2≠x 时，分式 21 -x 有意义，∴这个函数的定义域是{}2|≠x x . ②∵3x+2<0，即x<-32 时，根式23+x 无意义， 而023≥+x ，即3 2 -≥x 时，根式23+x 才有意义， ∴这个函数的定义域是{x |3 2 -≥x }.
③∵当0201≠-≥+x x 且，即1-≥x 且2≠x 时，根式1+x 和分式x -21 同时有意义， ∴这个函数的定义域是{x |1-≥x 且2≠x } 另解：要使函数有意义，必须： ? ??≠-≥+0201x x ? ???≠-≥21 x x 例2 求下列函数的定义域： ①14)(2 --= x x f ②2 14 3)(2-+--= x x x x f ③= )(x f x 11111++ ④x x x x f -+= 0)1()( ⑤3 7 3132+++-=x x y 解：①要使函数有意义，必须：142 ≥-x 即： 33≤≤-x ∴函数14)(2--= x x f 的定义域为： [3,3-] ②要使函数有意义，必须：???≠-≠-≤≥?? ??≠-+≥--131 40210432x x x x x x x 且或 4133≥-≤<--
函数值域方法大全
值域最值专题 一．知识点 1．函数的值域的定义 在函数y=f(x)中，与自变量x 的值对应的y 的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域。 2．确定函数的值域的原则 ①当函数y=f(x)用表格给出时，函数的值域是指表格中实数y 的集合； ②当函数y=f(x)用图象给出时，函数的值域是指图象在y 轴上的投影所覆盖的实数y 的集合； ③当函数y=f(x)用解析式给出时，函数的值域由函数的定义域及其对应法则唯一确定； ④当函数y=f(x)由实际问题给出时，函数的值域由问题的实际意义确定。 二、基本初等函数的值域 1.一次函数y=ax+b(a0)的定义域为R ，值域为R 2 2.二次函数的定义域为R ， f(x) ax bx c(a 0)22(4ac b)(4ac b)当a>0时，值域为{}；当a<0时，值域为{}。 y|y y|y 4a4ak y (k 0) 3.反比例函数的定义域为{x|x0}，值域为{y|y0}； xx+ 4.y ＝a(a>0且a≠1)的值域是R 5.y ＝logx(a>0且a≠1)的值域是R a 三．当函数y=f(x)用解析式给出时，求函数值域的方法 1.直接法分析：从自变量x 的范围出发，推出y=f(x)的取值范围；（也可以利用常见函数的值域来求） 222x 0,1,2,3y x 2xx 1 1 xy 练习⑴， ⑵3 x y f(x) 2 4 x ⑶ . 答{ y| y2} ⑷ 答{ y| y R 且y -1/2} 2x 52.图象法：当一个函数图象可作时，通过图象可求其值域； 222xy 2x x 1y 2x 4x 103练习⑴（≤≤） ⑵ xx y 1 x x 31f(x) 1 24 ⑶（≤≤） ⑷ 2f f(x) x 6, 2x 4x 6已知(取二者的大的函数值），则 max 3.利用函数的单调性――利用
高中函数值域求法小结
函数值域求法小结 一、观察法（根据函数图象、性质能较容易得出值域(最值)的简单函数） 1、求242-+-=x y 的值域。 由绝对值函数知识及二次函数值域的求法易得： )[)[∞+-∈∞+∈-+-=,2,,024)(2y x x g 所以 2、求函数1 11 y x = ++的值域。 分析：首先由1x +≥0，得1x ++1≥1，然后在求其倒数即得答案。 解： 1x +≥0∴1x ++1≥1，∴０＜ 1 11 x ++≤１，∴函数的值域为（０，１]． 二、配方法（当所给函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时，可利用配方法求值域） 1、求函数][)4,0(422∈+--=x x x y 的值域。 设：)0)((4)(2 ≥+-=x f x x x f 配方得：][)4,0(4)2()(2 ∈+--=x x x f 利用二次函数的 相关知识得][4,0)(∈x f ，从而得出：][2,2-∈y 。 说明：在求解值域(最值)时，遇到分式、根式、对数式等类型时要注意函数本身定义域的限制，本题为：0)(≥x f 。 2、求函数3 42-+-=x x e y 的值域。 解答：此题可以看作是u e y =和342-+-=x x u 两个函数复合而成的函数，对u 配方可得： 1)2(2+--=x u ，得到函数u 的最大值1=u ，再根据u e y =得到y 为增函数且0>y 故 函数3 42-+-=x x e y 的值域为：],0(e y ∈。 3、若,42=+y x 0,0>>y x ，试求y x lg lg +的最大值。 本题可看成一象限动点),(y x p 在直线42=+y x 上滑动时函数xy y x lg lg lg =+的最大值。利用两点(4，0)，(0，2)确定一条直线，作出图象易得： 2 )1(2lg[)]24(lg[lg lg lg ),2,0(),4,0(2+--=-==+∈∈y y y xy y x y x 而，y=1时，y x lg lg +取最大值2lg 。 三、反函数法（分子、分母只含有一次项的函数，也可用于其它易
函数定义域值域求法总结
、函数定义域、值域求法总结
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函数定义域、值域求法总结 1、函数的定义域是指自变量“x ”的取值集合。 2、在同一对应法则作用下，括号内整体的取值范围相同。 一般地，若已知 f(x)的定义域为[a,b]，求函数f[g(x)]的定义域时，由于分别在两个函数中的x 和g(x)受同一个对应法则的作用，从而范围相同。因此f[g(x)]的定义域即为满足条件a ≤g(x)≤b 的x 的取值范围。 一般地，若已知 f[g(x)]的定义域为[a,b]，求函数 f(x)的定义域时，由于x 和g(x) 受同一个对应法则的作用, 所以f(x)的定义域即为当a ≤x≤b 时，g(x)的取值范围。 定义域是X 的取值范围，g(x)和h(x)受同一个对应法则的影响，所以它们的范围相同。 ()的定义域 求的定义域已知练习)2(],9,3[log :313-x f x f 一、定义域是函数y=f(x)中的自变量x 的范围。 求函数的定义域需要从这几个方面入手： （1）分母不为零 ():f (x),f[g(x)]题型一已知的定义域求的定义域 ()():f g x ,f (x)????题型二已知的定义域求的定义域 ()[]():f g x ,f h(x)????题型三已知的定义域求的定义域()[]()[] )x (h f x f x g f →→
（2）偶次根式的被开方数非负。 （3）对数中的真数部分大于0。 （4）指数、对数的底数大于0，且不等于1 （5）y=tanx 中x ≠k π+π/2；y=cotx 中x ≠k π等等。 ( 6 )0x 中x 0≠ 二、值域是函数y=f(x)中y 的取值范围。 常用的求值域的方法： （1）直接法 （2）图象法（数形结合） （3）函数单调性法 （4）配方法 （5）换元法 （包括三角换元） （6）反函数法（逆求法） （7）分离常数法 （8）判别式法 （9）复合函数法 （10）不等式法 （11）平方法等等 这些解题思想与方法贯穿了高中数学的始终。 三、典例解析 1、定义域问题 例1 求下列函数的定义域： ① 21)(-= x x f ；② 23)(+=x x f ；③ x x x f -++=21 1)( 解：①∵x-2=0，即x=2时，分式2 1 -x 无意义， 而2≠x 时，分式21 -x 有意义，∴这个函数的定义域是{}2|≠x x . ②∵3x+2<0，即x<-32 时，根式23+x 无意义， 而023≥+x ，即3 2 -≥x 时，根式23+x 才有意义， ∴这个函数的定义域是{x |3 2 -≥x }. ③∵当0201≠-≥+x x 且，即1-≥x 且2≠x 时，根式1+x 和分式x -21 同时有意义， ∴这个函数的定义域是{x |1-≥x 且2≠x } 另解：要使函数有意义，必须： ???≠-≥+0201x x ? ???≠-≥2 1 x x 例2 求下列函数的定义域： ①14)(2 --= x x f ②214 3)(2-+--=x x x x f ③= )(x f x 11111++ ④x x x x f -+= 0)1()( ⑤3 7 3132+++-= x x y 解：①要使函数有意义，必须：142 ≥-x 即： 33≤≤-x ∴函数14)(2--= x x f 的定义域为： [3,3- ]
高中数学求函数值域的方法十三种审批稿
高中数学求函数值域的 方法十三种 TPMK standardization office【 TPMK5AB- TPMK08- TPMK2C- TPMK18】
高中数学：求函数值域的十三种方法 一、观察法（☆ ） 二、配方法（☆） 三、分离常数法（☆） 四、反函数法（☆） 五、判别式法（☆） 六、换元法（☆☆☆） 七、函数有界性 八、函数单调性法（☆） 九、图像法（数型结合法）（☆） 十、基本不等式法 十一、利用向量不等式 十二、 十三、一一映射法 十四、 多 种 方 法 综 合 运 用 一、观察法：从自变量x 的范围出发，推出()y f x =的取值范围。 【例1】 求函数1y =的值域。 11≥， ∴函数1y =的值域为[1,)+∞。 【例2】求函数 x 1 y = 的值域。 【解析】∵0x ≠ ∴0 x 1≠ 显然函数的值域是： ),0()0,(+∞-∞ 【例3】已知函数()112--=x y ，{}2,1,0,1-∈x ，求函数的值域。
【解析】因为{}2,1,0,1- =f f，()1 1- f所以： = 2 0= f，()()0 ∈ 3 x，而()()3 -f = 1= {}3,0,1- ∈ y 注意：求函数的值域时，不能忽视定义域，如果该题的定义域为R x∈，则函数的值域为{}1 y。 y ≥ |- 二．配方法：配方法式求“二次函数类”值域的基本方法。形如2 =++的 F x af x bf x c ()()() 函数的值域问题，均可使用配方法。 【例1】求函数225,[1,2] y x x x =-+∈-的值域。 【解析】将函数配方得：∵由二次函数的性质可知：当x=1 ∈[-1,2]时，，当时，故函数的值域是：[4，8] 【变式】已知，求函数的最值。 【解析】由已知，可得，即函数是定义在区间上的二次函数。将二次函数配方得，其对称轴方程，顶点坐标，且图象开口向上。显然其顶点横坐标不在区间内，如图2所示。函数的最小值为，最大值为。 图2
函数值域方法
函数值域方法汇总 一．单调性法 例1．求函数x 53x y ---= 的值域 例2．求函数11--+=x x y 的值域 例3．求函数x x y -+-=53的值域 解一： 例4．已知函数.2]2,0[34)(2的值，求实数上有最大值在区间a x ax x f -+= 解：（1）当0=a 时，舍去；,2324)2(≠-?=f （2）当↑??- =?上在时，对称轴方程为]2,0[)(02 0x f a x a 舍去,04 3 254)2(?-=?=+=?a a f ； （3）当时， 0?a 02 ?-=a x 对称轴方程为， ①]1,(]0,1[1]2,0[2--∞∈?-∈?∈-a a a 154 2384)2(-?-=?=--=-?a a a a f ，舍去 ②122-???-a a ↑?上在]2,0[)(x f 4 3-=?a 纵上，4 3 -=a 例5.求|1||3||2|-+-+-=x x x y 的值域 例6.求|2||4||1||3|-+-+-+-=x x x x y 的值域
【点评】求函数)(||||||2121n n x x x x x x x x x y ???-++-+-= 的最值时，①n 为奇数时， 取得最小值；时，当y x x n 2 1+=②取得最小值。 时，为偶数时，当y x x x n n n ],[1 22 +∈ 例7.求函数的值域|2|6|1|3|3|---+-=x x x y 例8.求函数的值域|1|2|3|6|2|3|4|-+---+-=x x x x y 【点评】求函数的最值时)(||||||)(212211n n n x x x x x a x x a x x a x f ???-++-+-= ， ，无最大值； 时，当)}(,),(),(min{)(0)1(21min 1n i n i x f x f x f x f a =?∑= ； ，时，当)}(,),(),(max{)}(,),(),(min{)(0)2(21max 21min 1n n i n i x f x f x f y x f x f x f x f a ===∑= ，无最小值。 时，当)}(,),(),(max{)(0)3(21max 1 n i n i x f x f x f x f a =?∑= 例9.已知函数f （x ）对任意实数x ，y ，均有f （x ＋y ）＝f （x ）＋f （y ），且当x ＞0时，f （x ）＞0， f （－1）＝－2，求f （x ）在区间[－2，1]上的值域。 解：0)0()0()0()00(=?+=+f f f f 为奇函数则令)()()()()()(,x f x f x f x f x f x x f x y ?-=-?-+=--= )()()()()(0)(0,121112121221x f x f x f x f x x f x x f x x x x ???+-??-??-?则令 上单调递增在R x f )(? 422)1()1()11()2(-=--=-+-=--=-f f f f ,2)1()1(=--=f f [-4,2][-2,1])(上的值域为在x f ?
2017最新函数解析式求法和值域求法总结及练习题
2[()]()()f f x af x b a ax b b a x ab b =+=++=++ 函 数 解 析 式 的 七 种 求 法 一、 待定系数法：在已知函数解析式的构造时，可用待定系数法． 例1 设)(x f 是一次函数，且34)]([+=x x f f ，求)(x f ． 解：设b ax x f +=)()0(≠a ，则 ∴???=+=342b ab a ， ∴??????=-===3 212b a b a 或 ． 32)(12)(+-=+=∴x x f x x f 或 ． 二、 配凑法：已知复合函数[()]f g x 的表达式，求()f x 的解析式，[()]f g x 的表达式 容易配成()g x 的运算形式时，常用配凑法．但要注意所求函数()f x 的定义域不是原 复合函数的定义域，而是()g x 的值域． 例2 已知221)1 (x x x x f +=+ )0(>x ，求 ()f x 的解析式．
解：2)1()1(2-+=+x x x x f Θ， 21≥+x x ， 2)(2-=∴x x f )2(≥x ． 三、换元法：已知复合函数[()]f g x 的表达式时，还可以用换元法求()f x 的解析式．与配 凑法一样，要注意所换元的定义域的变化． 例3 已知x x x f 2)1(+=+，求)1(+x f ． 解：令1+=x t ，则1≥t ，2)1(-=t x ． Q x x x f 2)1(+=+， ∴,1)1(2)1()(22-=-+-=t t t t f 1)(2-=∴x x f )1(≥x ， x x x x f 21)1()1(22+=-+=+∴ )0(≥x ． 四、代入法：求已知函数关于某点或者某条直线的对称函数时，一般用代入法． 例4已知：函数)(2 x g y x x y =+=与的图象关于点)3,2(-对称，求)(x g 的解析式． 解：设),(y x M 为)(x g y =上任一点，且),(y x M '''为),(y x M 关于点)3,2(-的对称点． 则 ?????=+'-=+'32 22y y x x ，解得：???-='--='y y x x 64 ， Θ点),(y x M '''在)(x g y =上 ， x x y '+'='∴2． 把???-='--='y y x x 64代入得：)4()4(62--+--=-x x y ． 整理得672---=x x y ， ∴67)(2---=x x x g ． 五、构造方程组法：若已知的函数关系较为抽象简约，则可以对变量进行置换，设法构造 方程组，通过解方程组求得函数解析式． 例5 设,)1(2)()(x x f x f x f =-满足求)(x f ． 解 Θx x f x f =-)1 (2)( ① 显然,0≠x 将x 换成 x 1，得：x x f x f 1)(2)1(=- ② 解① ②联立的方程组，得：x x x f 323)(--=． 六、赋值法：当题中所给变量较多，且含有“任意”等条件时，往往可以对具有“任意性” 的变量进行赋值，使问题具体化、简单化，从而求得解析式． 例7 已知：1)0(=f ，对于任意实数x 、y ，等式)12()()(+--=-y x y x f y x f 恒成立， 求)(x f ．
求函数值域 、 周期的方法总结(适合高一)
求函数值域 、 周期的方法总结（适合高一） 求值域 一、直接法：（从自变量x 的范围出发，推出()y f x =的取值范围）例1．求函数2+=x y 的值域。 二、配方法（是求二次函数值域的基本方法，如2()()()F x af x bf x c =++的函数的值域问题，均可使用配方法）例2．求函数242y x x =-++（[1,1]x ∈-）的值域。 三、分离常数法（分子、分母是一次函数得有理函数，可用分离常数法，此类问题一般也可以利用反函数法）例3．求函数125 x y x -=+的值域。 四、换元法（运用代数代换，将所给函数化成值域容易确定的另一函数，从而求得原函 数的值域，如y ax b =+a 、b 、c 、d 均为常数，且0a ≠）的函数常用此法 求解。例4．求函数2y x = 五、函数的单调性法（确定函数在定义域（或某个定义域的子集）上的单调性，求出函数的值域，形如求函数()0>+=k x k x y 的值域（k x <<0时为减函数；k x >时为 增函数））例5．求函数y x = 六、利用有界性(利用某些函数有界性求得原函数的值域)例6求函数2211 x y x -=+的值域。 七、数型结合法（函数图像是掌握函数的重要手段，利用数形结合的方法，根据函数图像求得函数值域，是一种求值域的重要方法）例7．求函数11-++=x x y 的值域。 除此之外，还有反函数法（即利用函数和它的反函数的定义域与值域的关系，通过求反函数的定义域而得到原函数的值域）和判别式法（即把函数转化成关于x 的二次方程()0,=y x F ，通过方程有实根，0≥?，从而求得原函数的值域，需熟练掌握一元二次不等式的解法），在今后的学习中，会具体讲述。 周期 一．定义：若T 为非零常数，对于定义域内的任一x ，使)()(x f T x f =+恒成立 则f (x )叫做周期函数，T 叫做这个函数的一个周期。 二．重要结论 1、()()f x f x a =+，则()y f x =是以T a =为周期的周期函数； 2、 若函数y=f(x)满足f(x+a)=-f(x)(a>0),则f(x)为周期函数且2a 是它的一个周期。 3、 若函数()()f x a f x a +=-，则()x f 是以2T a =为周期的周期函数
函数定义域、值域求法的总结
函数定义域、值域求法总结 一、定义域是函数()y f x =中的自变量x 的范围。 求函数的定义域需要从这几个方面入手： （1）分母不为零 （2）偶次根式的被开方数非负。 （3）对数中的真数部分大于0。 （4）指数、对数的底数大于0，且不等于1 （5）y=tanx 中x ≠k π+π/2；y=cotx 中x ≠k π等等。 ( 6 )0x 中x 0≠ 二、值域是函数()y f x =中y 的取值范围。 常用的求值域的方法： （1）直接法 （2）图象法（数形结合） （3）函数单调性法 （4）配方法 （5）换元法 （包括三角换元） （6）反函数法（逆求法） （7）分离常数法 （8）判别式法 （9）复合函数法 （10）不等式法 （11）平方法等等 这些解题思想与方法贯穿了高中数学的始终。 三、典例解析 1、定义域问题 例1 求下列函数的定义域： ① 21)(-= x x f ；② 23)(+=x x f ；③ x x x f -++=21 1)( 解：①∵x-2=0，即x=2时，分式2 1 -x 无意义， 而2≠x 时，分式21 -x 有意义，∴这个函数的定义域是{}2|≠x x . ②∵3x+2<0，即x<-32 时，根式23+x 无意义， 而023≥+x ，即3 2 -≥x 时，根式23+x 才有意义， ∴这个函数的定义域是{x |3 2 -≥x }. ③∵当0201≠-≥+x x 且，即1-≥x 且2≠x 时，根式1+x 和分式x -21 同时有意义， ∴这个函数的定义域是{x |1-≥x 且2≠x } 另解：要使函数有意义，必须： ? ??≠-≥+020 1x x ? ???≠-≥21x x 例2 求下列函数的定义域： ①14)(2 --= x x f ②2 14 3)(2-+--= x x x x f
求函数定义域和值域方法和典型题归纳
<一>求函数定义域、值域方法和典型题归纳 一、基础知识整合 1.函数的定义：设集合A 和B 是非空数集，按照某一确定的对应关系f ，使得集合A 中任意一个数x,在集合B 中都有唯一确定的数f(x)与之对应。则称f:为A 到B 的一个函数。 2.由定义可知：确定一个函数的主要因素是①确定的对应关系（f ）,②集合A 的取值范围。由这两个条件就决定了f(x)的取值范围③{y|y=f(x),x ∈A}。 3.定义域：由于定义域是决定函数的重要因素，所以必须明白定义域指的是： （1）自变量放在一起构成的集合，成为定义域。 （2）数学表示：注意一定是用集合表示的范围才能是定义域，特殊的一个个的数时用“列举法”；一般表示范围时用集合的“描述法”或“区间”来表示。 4.值域：是由定义域和对应关系（f ）共同作用的结果，是个被动变量，所以求值域时一定注意求的是定义域范围内的函数值的范围。 （1）明白值域是在定义域A 内求出函数值构成的集合：{y|y=f(x),x ∈A}。 （2）明白定义中集合B 是包括值域，但是值域不一定为集合B 。 二、求函数定义域 （一）求函数定义域的情形和方法总结 1已知函数解析式时：只需要使得函数表达式中的所有式子有意义。 （1）常见要是满足有意义的情况简总： ①表达式中出现分式时：分母一定满足不为0； ②表达式中出现根号时：开奇次方时，根号下可以为任意实数；开偶次方时，根号下满足大于或等于0（非负数）。 ③表达式中出现指数时：当指数为0时，底数一定不能为0. ④根号与分式结合，根号开偶次方在分母上时：根号下大于0. ⑤表达式中出现指数函数形式时：底数和指数都含有x ，必须满足指数底数大于0且不等于1.（0<底数<1;底数>1） ⑥表达式中出现对数函数形式时：自变量只出现在真数上时，只需满足真数上所有式子大于0，且式子本身有意义即可；自变量同时出现在底数和真数上时，要同时满足真数大于0，底数要大于0且不等于 1. （2 ()log (1)x f x x =-） 注：（1）出现任何情形都是要注意，让所有的式子同时有意义，及最后求的是所有式子解集的交集。 （2）求定义域时，尽量不要对函数解析式进行变形，以免发生变化。(形
高中函数值域的12种解法(含练习题)
高中函数值域的12种求法 一、观察法 通过对函数定义域、性质的观察，结合函数的解析式，求得函数的值域。 例1求函数y＝3＋√(2－3x) 的值域。 点拨：根据算术平方根的性质，先求出√(2－3x) 的值域。 解：由算术平方根的性质，知√(2－3x)≥0， 故3＋√(2－3x)≥3。 ∴函数的知域为[3，＋∞]。 点评：算术平方根具有双重非负性，即：（1）被开方数的非负性，（2）值的非负性。本题通过直接观察算术平方根的性质而获解，这种方法对于一类函数的值域的求法，简捷明了，不失为一种巧法。 练习：求函数y＝[x](0≤x≤5)的值域。（答案：值域为：｛0，1，2，3，4，5｝） 二、反函数法 当函数的反函数存在时，则其反函数的定义域就是原函数的值域。 例2求函数y＝(x＋1)/(x＋2)的值域。 点拨：先求出原函数的反函数，再求出其定义域。 解：显然函数y＝(x＋1)/(x＋2)的反函数为:x＝(1－2y)/（y－1）,其定义域为y≠1的实数,故函数y的值域为｛y∣y≠1,y∈R｝。 点评：利用反函数法求原函数的定义域的前提条件是原函数存在反函数。这种方法体现逆向思维的思想，是数学解题的重要方法之一。
练习：求函数y＝(10x＋10-x)/(10x－10-x)的值域。（答案：函数的值域为｛y∣y＜－1或y ＞1｝） 三、配方法 当所给函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时,可以利用配方法求函数值域。 例3：求函数y＝√(－x2＋x＋2)的值域。 点拨：将被开方数配方成完全平方数，利用二次函数的最值求。 解：由－x2＋x＋2≥0,可知函数的定义域为x∈[－1，2]。此时－x2＋x＋2＝－(x－1/2)2＋9/4∈[0，9/4]， ∴0≤√(－x2＋x＋2)≤3/2,函数的值域是[0，3/2]。 点评：求函数的值域不但要重视对应关系的应用,而且要特别注意定义域对值域的制约作用。配方法是数学的一种重要的思想方法。 练习：求函数y＝2x－5＋√(15－4x)的值域。（答案:值域为{y∣y≤3}） 四、判别式法 若可化为关于某变量的二次方程的分式函数或无理函数,可用判别式法求函数的值域。 例4求函数y＝(2x2－2x＋3)/(x2－x＋1)的值域。 点拨：将原函数转化为自变量的二次方程，应用二次方程根的判别式，从而确定出原函数的值域。 解：将上式化为（y－2）x2－(y－2)x＋(y－3)＝0（＊） 当y≠2时,由Δ＝(y－2)2－4（y－2）(y－3)≥0，解得：2＜x≤10/3 当y＝2时,方程(＊)无解。∴函数的值域为2＜y≤10/3。 点评：把函数关系化为二次方程F(x,y)＝0，由于方程有实数解，故其判别式为非负数，可
函数值域求法总结及练习题
函 数 值 域 求 法 1．重难点归纳． (1)求函数的值域． 此类问题主要利用求函数值域的常用方法 配方法、分离变量法、单调性法、图像法、换元法、不等式法等 无论用什么方法求函数的值域，都必须考虑函数的定义域． (2)函数的综合性题目． 此类问题主要考查函数值域、单调性、奇偶性、反函数等一些基本知识相结合的题目 此类问题要求考生具备较高的数学思维能力和综合分析能力以及较强的运算能力 在今后的命题趋势中综合性题型仍会成为热点和重点，并可以逐渐加强． (3)运用函数的值域解决实际问题． 2．值域的概念和常见函数的值域． 函数的值域取决于定义域和对应法则，不论采用什么方法球函数的值域均应考虑其定义域． 常见函数的值域： 一次函数()0y kx b k =+≠的值域为R ． 二次函数()2 0y ax bx c a =++≠，当0a >时的值域为24,4ac b a ?? -+∞???? ， 当0a <时的值域为24,4ac b a ?? --∞ ?? ?． 反比例函数()0k y k x =≠的值域为{}0y R y ∈≠． 指数函数()01x y a a a =>≠且的值域为{}0y y >． 对数函数()log 01a y x a a =>≠且的值域为R ． 正，余弦函数的值域为[]1,1-，正，余切函数的值域为R ． 3．求函数值域（最值）的常用方法． 一、观察法（根据函数图象、性质能较容易得出值域(最值)的简单函数） 1、求242-+-=x y 的值域． 2、求函数 y =的值域．
二、配方法（当所给函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时，可利用配方法求值域） 1、求函数][)4,0(422∈+--=x x x y 的值域． 2、若,42=+y x 0,0>>y x ，试求xy 的最大值。 三、反表示法（分子、分母只含有一次项的函数，也可用于其它易反解出自变量的函数类型） 对于存在反函数且易于求得其反函数的函数，可以利用“原函数的定义域和值域分别为其反函数的值域和定义域”这一性质，先求出其反函数，进而通过求其反函数的定义域的方法求原函数的值域。 1、求函数1 2+= x x y 的值域． 2、求函数224 1 x y x +=-的值域． 四、判别式法（分子、分母中含有二次项的函数类型，此函数经过变形后可以化为 0)()()(2=++y C x y B x y A 的形式，再利用判别式加以判断） 1、求函数3 27 4222++-+=x x x x y 的值域． 解：由于本题的分子、分母均为关于x 的二次形式，因此可以考虑使用判别式法，将原 函数变形为：7423222-+=++x x y xy y x 整理得：073)2(2)2(2=++-+-y x y x y 当2≠y 时，上式可以看成关于x 的二次方程，该方程的x 范围应该满足 032)(2≠++=x x x f ，即R x ∈此时方程有实根即△0≥， △[2 92(2)]4(2)(37)0[,2]2 y y y y =---+≥?∈-． 注意：判别式法解出值域后一定要将端点值（本题是2 9 ,2- ==y y ）代回方程检验． 将29,2-==y y 分别代入检验得2=y 不符合方程，所以)2,2 9 [-∈y ．
高中数学求函数值域的解题方法总结(16种)
求函数值域的解题方法总结（16种） 在具体求某个函数的值域时，首先要仔细、认真观察其题型特征，然后再选择恰当的方法，一般优先考虑直接法，函数单调性法和基本不等式法，然后才考虑用其他各种特殊方法。 一、观察法： 通过对函数定义域、性质的观察，结合函数的解析式，求得函数的值域。 例:求函数()x 323y -+=的值域。 点拨：根据算术平方根的性质，先求出 ()x 3-2的值域。 解：由算术平方根的性质知()0x 3-2≥，故()3x 3-23≥+。 点评:算术平方根具有双重非负性，即：（1）、被开方数的非负性，（2）、值的非负性。本题通过直接观察算术平方根的性质而获解，这种方法对于一类函数的值域的求法，简捷明了，不失为一种巧发。 练习：求函数()5x 0x y ≤≤=的值域。（答案：{}5,4,3,2,1,0） 二、反函数法： 当函数的反函数存在时，则其反函数的定义域就是原函数的值域。 例：求函数2 x 1x y ++=的值域。 点拨:先求出原函数的反函数，再求出其定义域。 解：显然函数2 x 1x y ++=的反函数为：y y --=112x ，其定义域为1y ≠的实数，故函数y 的值域为{}R y 1,y |y ∈≠。 点评:利用反函数法求原函数的定义域的前提条件是原函数存在反函数。这种方法体现逆向思维的思想，是数学解题的重要方法之一。 练习:求函数x -x -x x 10101010y ++=的值域。（答案：{}1y 1-y |y 或）。 三、配方法： 当所给函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时，可利用配方法求函数的值域。 例：求函数() 2x x -y 2++=的值域。 点拨:将被开方数配方成平方数，利用二次函数的值求。 解：由02x x -2≥++可知函数的定义域为{}2x 1-|x ≤≤。此时2x x -2++=
高中数学求函数值域的类题型和种方法
高中数学求函数值域的类 题型和种方法 Last updated on the afternoon of January 3, 2021
求函数值域的 7类题型和16种方法 一、函数值域基本知识 1．定义：在函数()y f x =中，与自变量x 的值对应的因变量y 的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域（或函数值的集合）。 2．确定函数的值域的原则 ①当函数()y f x =用表格给出时，函数的值域是指表格中实数y 的集合； ②当函数()y f x =用图象给出时，函数的值域是指图象在y 轴上的投影所覆盖的实数y 的集合； ③当函数()y f x =用解析式给出时，函数的值域由函数的定义域及其对应法则唯一确定； ④当函数()y f x =由实际问题给出时，函数的值域由问题的实际意义确定。 二、常见函数的值域，这是求其他复杂函数值域的基础。 函数的值域取决于定义域和对应法则，不论采用什么方法球函数的值域均应考虑其定义域。 一般地，常见函数的值域： 1.一次函数()0y kx b k =+≠的值域为R. 2.二次函数()2 0y ax bx c a =++≠，当0a >时的值域为24,4ac b a ?? -+∞?? ?? ，当0a <时的值域为24,4ac b a ?? --∞ ???.， 3.反比例函数()0k y k x = ≠的值域为{}0y R y ∈≠. 4.指数函数()01x y a a a =>≠且的值域为{}0y y >. 5.对数函数()log 01a y x a a =>≠且的值域为R.
6.正，余弦函数的值域为[]1,1-，正，余切函数的值域为R. 三、求解函数值域的7种题型 题型一：一次函数()0y ax b a =+≠的值域（最值） 1、一次函数：()0y ax b a =+≠当其定义域为R ，其值域为R ； 2、一次函数()0y ax b a =+≠在区间[],m n 上的最值，只需分别求出()(),f m f n ，并比较它们的大小即可。若区间的形式为(],n -∞或[),m +∞等时，需结合函数图像来确定函数的值域。 题型二：二次函数)0()(2≠++=a c bx ax x f 的值域（最值） 1、二次函数)0()(2≠++=a c bx ax x f ，当其定义域为R 时，其值域为 ()()22 4 044 04ac b y a a ac b y a a ?-≥>???-?≤时，()2b f a -是函数的最小值，最大值为(),()f m f n 中 较大者；当0a <时，()2b f a -是函数的最大值，最大值为 (),()f m f n 中较小者。 （2）若[],2b m n a - ?,只需比较(),()f m f n 的大小即可决定函数的最大（小）值。 特别提醒： ①若给定区间不是闭区间，则可能得不到最大（小）值； ②若给定的区间形式是[)(]()(),,,,,,,a b a b +∞-∞+∞-∞等时，要结合图像来确函数的值域； ③当顶点横坐标是字母时，则应根据其对应区间特别是区间两端点的位置关系进行讨论。 例1：已知()22f x x --的定义域为[)3,-+∞，则()f x 的定义域为(],1-∞。 例2：已知()211f x x -=+，且()3,4x ∈-，则()f x 的值域为()1,17。 题型三：一次分式函数的值域 1、反比例函数)0(≠= k x k y 的定义域为{}0x x ≠，值域为{}0y y ≠ 2、形如：cx d y ax b +=+的值域：
函数值域求法十一种
函数值域求法十一种 1. 直接观察法 对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。 例1. 求函数x 1y = 的值域。 解：∵0x ≠ ∴0x 1≠ 显然函数的值域是：),0()0,(+∞-∞ 例2. 求函数x 3y - =的值域。 解：∵0x ≥ 3x 3,0x ≤-≤-∴ 故函数的值域是：]3,[-∞ 2. 配方法 配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。 例3. 求函数]2,1[x ,5x 2x y 2 -∈+-=的值域。 解：将函数配方得： 4)1x (y 2 +-= ∵]2,1[x -∈ 由二次函数的性质可知：当x=1时，4y min =，当1x -=时，8y max = 故函数的值域是：[4，8] 3. 判别式法 例4. 求函数 22x 1x x 1y +++= 的值域。 解：原函数化为关于x 的一元二次方程 0x )1y (x )1y (2=-+- （1）当1y ≠时，R x ∈ 0)1y )(1y (4)1(2≥----=? 解得：23y 2 1≤ ≤
（2）当y=1时，0x =，而? ?????∈23,211 故函数的值域为? ?????23,21 例5. 求函数) x 2(x x y -+ =的值域。 解：两边平方整理得： 0y x )1y (2x 22 2=++-（1） ∵R x ∈ ∴ 0y 8)1y (42 ≥-+=? 解得：21y 21+≤≤- 但此时的函数的定义域由0)x 2(x ≥-，得2x 0≤≤ 由0≥?，仅保证关于x 的方程： 0y x )1y (2x 222=++-在实数集R 有实根，而不能确保其实根在区间[0，2]上，即不能确保方程（1）有实根，由 0 ≥?求出的围可能比y 的实际围大，故不能确定此函数的值域为? ?? ???23,21。 可以采取如下方法进一步确定原函数的值域。 ∵2x 0≤≤ )x 2(x x y ≥-+=∴ 21y ,0y min + ==∴代入方程（1） 解得：] 2,0[2 2 222x 41∈-+= 即当 22222x 41-+= 时， 原函数的值域为：]21,0[+ 注：由判别式法来判断函数的值域时，若原函数的定义域不是实数集时，应综合函数的定义域，将扩大的部分剔除。 4. 反函数法 直接求函数的值域困难时，可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值域。 例6. 求函数6x 54 x 3++值域。 解：由原函数式可得： 3 y 5y 64x --=
函数值域求法大全定稿版
函数值域求法大全 HUA system office room 【HUA16H-TTMS2A-HUAS8Q8-HUAH1688】
函数值域求法十一种 在函数的三要素中，定义域和值域起决定作用，而值域是由定义域和对应法则共同确定。研究函数的值域，不但要重视对应法则的作用，而且还要特别重视定义域对值域的制约作用。确定函数的值域是研究函数不可缺少的重要一环。对于如何求函数的值域，是学生感到头痛的问题，它所涉及到的知识面广，方法灵活多样，在高考中经常出现，占有一定的地位，若方法运用适当，就能起到简化运算过程，避繁就简，事半功倍的作用。本文就函数值域求法归纳如下，供参考。 1. 直接观察法 对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。 例1. 求函数 x 1 y =的值域。 解：∵0x ≠ ∴0x 1≠ 显然函数的值域是：),0()0,(+∞-∞ 例2. 求函数x 3y -=的值域。 解：∵0x ≥ 故函数的值域是：]3,[-∞ 2. 配方法 配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。 例3. 求函数 ]2,1[x ,5x 2x y 2-∈+-=的值域。 解：将函数配方得： 4)1x (y 2+-=
∵]2,1[x -∈ 由二次函数的性质可知：当x=1时，4y min =，当1x -=时，8y max = 故函数的值域是：[4，8] 3. 判别式法 例4. 求函数 22 x 1x x 1y +++=的值域。 解：原函数化为关于x 的一元二次方程 （1）当1y ≠时，R x ∈ 解得：23y 2 1≤≤ （2）当y=1时，0x =，而??????∈23,211 故函数的值域为????? ?23,21 例5. 求函数)x 2(x x y -+=的值域。 解：两边平方整理得： 0y x )1y (2x 222=++-（1） ∵R x ∈ ∴0y 8)1y (42≥-+=? 解得：21y 21+≤≤- 但此时的函数的定义域由0)x 2(x ≥-，得2x 0≤≤
