点到直线的距离(导学案)

§8.3.3点到直线的距离

1、知识与技能：（1）了解点到直线距离公式的推导；

（2）熟练掌握点到直线的距离公式，会用点到直线距离公式求解两平行线距离.

2、过程与方法：通过观察质疑、引导分析如何求解点到直线的距离，归纳总结出到直 线的距离公式并熟练运用公式求解有关问题.

3

、情感、态度、价值观：体会数形结合的数

学思想的地位和作用；培养学生的数学思 维能力及分析问题和解决问题的能力．

问题引入：

观察图8－16，过点0P 作直线l 的垂线，垂足为Q ，称线段0P Q 的长度为点0P 到直线

l 的距离，记作d ．如何求出一个已知点到一条已知直线的距离呢？

二、新课导学

※学习探究

新知：

可以证明（证明略），点0P 00(,)x y 到直线l ：0Ax By C ++=的距离公式为 8．7）

注意：

应用公式（8.7）时，直线的方程必须是一般式方程．

※知识巩固

图8－16

例6 求点

0(2,3)

-

P到直线

1

2

y x

=-+的距离．

分析求点到直线的距离时，首先要检查直线方程是否为一般式方程，若不是，则应先将直线的方程化为一般式方程，然后利用公式（8.7）进行计算．

解直线方程

1

2

y x

=-+化成一般式方程为

2210

x y

+-=．

由公式（8.6）有

d==．

例7 试求两条平行直线340

x y

+=与3x+

410

y-=之间的距离．

分析由平面几何的知识知道，两条平行线间的距离，是其中一条直线上的任意一个点到另一条直线的距离．为运算方便，尽量选择坐标的数值比较简单的点．解点(0,0)

O是直线340

x y

+=上的点，点O到直线3410

x y

+-=的距离为

1

5

d==,

故这两条平行直线之间的距离为1

5

．

*例8 设△ABC的顶点坐标为(6,3)

A、(0,1)

B-、(1,1)

C-，求三角形的面积S．

分析如图8－17所示，首先求出任意一条边的边长及直线的方程，然后求出这条边上的高，再利用面积公式进行计算．

图8－17

解由点(6,3)

A、(0,1)

B-可得

AB=

直线AB的斜率为

132

063

k

--

==

-

，

直线AB的方程为

2

(1)(0)

3

y x

--=-，

即2330

x y

--=，

又AB边上的高为点C到直线AB的距离

d =．

故三角形面积为

1

8

2S =?=． 试一试：

用其他的边求ABC ?的面积．

※强化练习

1. 根据下列条件求点0P 到直线l 的距离：

（1）0(1,0)P ，直线4310x y -+-=；

（2）0(2,1)P -，直线230x y -=；

（3）0(2,3)P -，直线1322

y x =-.

2. 试求两条平行直线310x y -+=与62x y -

30+=之间的距离．

三、总结提升

※学习小结

（1）本次课学了哪些内容？重点和难点各是什么？

（2）通过本次课的学习，你会解决哪些新问题了？

（3）你是如何进行学习的，在学习方法上有哪些体会？

※当堂检测（时量：5分钟满分：10分）：

1．点(1,2)P -到直线2100x y +-=的距离是（ ）

C 2

D 2．点(1,2)P -到直线20x -=的距离是（ ）

3. 点(,0)P a 到直线25y x =-+，则a =（ ）

A 0

B 5

C 0或5

D 0或-5

4. 两平行直线2430x y -+=与20x y -=

间的距离是（ ）

A 3

B 3

25．点P 在直线40x y +-=上，O 是原点，则OP 的最小值是( )

1. 根据下列条件求点0P 到直线l 的距离：

（1）0(1,1)P -，直线l ：430x y -=；

（2）0(5,2)P -，直线l 0y +-；

（3）0(1,2)P ，直线l ：1322

y x =-.

2. 试求两条平行直线2340x y --=与2x 320y -+=之间的距离．

*继续探索活动探究

(1)读书部分：教材

(2)书面作业：教材习题8.3 A 组（必做）；8.3 B 组（选做）

(3)实践调查：编写一道两条平行直线的距离的问题并求解.

人教A版数学必修二第三章第七课时导学案3.3.2两点间的距离

§ 3.3.2两点间的距离 学习目标 1．掌握直角坐标系两点间距离，用坐标法证明简单的几何问题. 2．通过两点间距离公式的推导，能更充分体会数形结合的优越性. 3．体会事物之间的内在联系，，能用代数方法解决几何问题. 学习过程 一、课前准备 （预习教材P 104~106，找出疑惑之处） 1．直线0mx y m +-=，无论m 取任意实数，它都过点 . 2．若直线111:1l a x b y +=与直线222:1l a x b y +=的交点为(2,1)-，则112a b -= . 3．当k 为何值时，直线3y kx =+过直线2x y -10+=与5y x =+的交点? 二、新课导学 ※ 学习探究 问题1：已知数轴上两点,A B ，怎么求,A B 的距离？ 问题2：怎么求坐标平面上,A B 两点的距离？及,A B 的中点坐标？

新知：已知平面上两点111222(,),(,)P x y P x y ，则21221221)()(||y y x x P P -+-=. 特殊地：(,)P x y 与原点的距离为22||y x OP +=. ※ 典型例题 例1 已知点(8,10),(4,4)A B -, 求线段AB 的长及中点坐标. 变式：已知点(1,2),A B -，在x 轴上求一点，使PA PB =,并求PA 的值. 例2 证明平行四边行四条边的平方和等于两条对角线的平方和. 变式：证明直角三角形斜边上的中点到三个顶点的距离相等.

※动手试试 练1.已知点(1,2),(3,4),(5,0) 是等腰三角形. A B C，求证：ABC 练2.已知点(4,12) A，在x轴上的点P与点A的距离等于13，求点P的坐标. 三、总结提升 ※学习小结 1.坐标法的步骤：①建立适当的平面直角坐标系，用坐标表示有关的量；②进行有关的代数运算；③把代数运算结果“翻译”成几何关系. 学习评价 ※自我评价你完成本节导学案的情况为（）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差

点到直线距离公式的七种推导方法

点到直线距离公式的七种推导方法 湖南省 黄爱民 赵长春 已知点 00(,)P x y 直线:0(0,0)l Ax By C A B ++=≠≠求点P 到直线 l 的距离。（因为特殊直线很容易求距离，这里只讨论一般直线） 一、 定义法 证：根据定义，点P 到直线 l 的距离是点P 到直线 l 的垂线段的长，如图1， 设点P 到直线l 的垂线为 'l ，垂足为Q ，由 'l l ⊥可知 'l 的斜率为 B A ' l ∴的方程：00()B y y x x A -= -与l 联立方程组 解得交点2200002222 ( ,)B x ABy AC A y ABx BC Q A B A B ----++ 222 2 2 0000002222222200002222 2222200000022222222||()()()()()()()()()B x ABy AC A y ABx BC PQ x y A B A B A x ABy AC B y ABx B C A B A B A Ax By C B Ax By C Ax By C A B A B A B ----=-+-++------=+++++++++=+= ++ +|PQ ∴= 二、 函数法 证：点P 到直线 l 上任意一点的距离的最小值就是点P 到直线l 的距离。在l 上取任意点 (,)Q x y 用两点的距离公式有，为了利用条件0Ax By C ++=上式变形一下，配凑系数处理得： 22220022222222000022 0000220000()[()()] ()B ()()B ()[()B()][()B()][()B()](B )(B 0)A B x x y y A x x y y A y y x x A x x y y A y y x x A x x y y Ax y C Ax y C +-+-=-+-+-+-=-+-+-+-≥-+-=++++=≥ 当且仅当00()B A y y x -=-（x ） 时取等号所以最小值就是d = 三、不等式法 证：点P 到直线 l 上任意一点Q (,)x y 的距离的最小值就是点P 到直线l 的距离。由柯西不等式：222222000000()[()()][()B()](B )A B x x y y A x x y y Ax y C +-+-≥-+-=++ B 0,Ax y C ++=≥ 当且仅当00()B A y y x -=-（x ） 时取等号所以最小值就是d =

201x版九年级数学下册 24.2 圆的基本性质 24.2.1 圆的基本性质导学案 沪科版

2019版九年级数学下册 24.2 圆的基本性质 24.2.1 圆 的基本性质导学案 （新版）沪科版 【学习目标】 1．圆的定义、点与圆的位置关系及相关概念． 2. 经历探索圆的定义及相关概念的过程，进一步体会理解研究几何图形的各种方法． 3．培养学生独立探索、相互合作交流的精神． 4. 培养学生实事求是的科学态度和积极参与的主动精神． 【学习重难点】 重点：圆的轴对称性，及相关概念。 难点：圆的相关概念的理解。 【课前预习】 1．圆的半径为r ，直径为R ，则半径与直径的关系为R ＝2r . 2．圆的半径为r ，直径为R ，则圆的周长为2πr ＝πR ，面积为πr 2 ＝14πR 2. 3．在平面内，线段OP 绕它固定的一个端点O 旋转一周，则另一个端点P 所形成的封闭曲线叫做圆．固定的端点O 叫做圆心，线段OP 叫做半径． 4．圆可以被看成：平面内到定点(圆心O)的距离等于定长(半径r )的所有点组成的图形． 5．平面上一点P 与⊙O(半径为r )的位置关系有以下三种情况： (1)点P 在⊙O 上?OP ＝r ； (2)点P 在⊙O 内?OP ＜r ； (3)点P 在⊙O 外?OP ＞r . 6．圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧． 7．连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径． 8．同圆中：(1)半径相等；(2)直径等于半径的2倍． 9．圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每条弧都叫做半圆．大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧． 10．由弦及其所对弧组成的图形叫做弓形． 11．能够重合的两个圆叫做等圆，等圆的半径相等． 12．在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧．

2020年九年级数学上册 24.3 正多边形和圆导学案1 新人教版.doc

2020年九年级数学上册 24.3 正多边形和圆导学案1 新人教版 学习目标： 【知识与技能】 1、通过对正多边形与圆的关系的探索，培养学生观察、猜想、推理、迁移及归纳能力，使学生初步掌握正多边形与圆的关系的定理，进一步向学生渗透“特殊—一般”再“一般—特殊”的唯物辩证法思想。 2、通过日常生活中观察到的正多边形的图案及运用正多边形和等分圆周设计图案培养学生的动手能力，体会图形来源于现实，服务于现实。 【过程与方法】 通过利用等分圆周的的方法，探索正多边形与圆的关系，理解正多边形的中心，半径、中心角、边心距等有关概念，从而渗透归纳、分类讨论等数学思想。 【情感、态度与价值观】 经历观察、发现、探索正多边形与圆的关系的数学活动中，感受到数学来源于生活，又服务于生活，体会到事物之间是互相联系，相互作用的。 【重点】 正多边形的概念与正多边形和圆的关系的定理。 【难点】 对正多边形与圆的关系的探索。 学习过程: 一、自主学习 （一）复习巩固 观察下列图形，你能说出这些图形的特征吗？ 提问：1．等边三角形的边、角各有什么性质？ 2．正方形的边、角各有什么性质？ 3、等边三角形与正方形的边角性质有哪些共同点？ （二）自主探究 1、观察生活中的一些图形，归纳它们的共同特征，引入正多边形的概念 概念：叫做正多边形。（注：相等与相等必须同时成立） 2、提问：矩形是正多边形吗？为什么？ 菱形是正多边形吗？为什么？

3、如果一个正多边形有n(n≥3)条边，就叫正边形．等边三角形有三条边叫正角形，正方形有四条边叫正边形． 4、用量角器将一个圆n（n≥3）等分，依次连接各等分点所得的n边形是这个圆的内接正n 边形；圆的内接正n边形将圆n等分； 5、正多边形的外接圆的圆心叫正多边形的。 6、问题：正三角形、正方形、正五边形、正六边形、正八边形中，哪些是轴对称图形？哪些是中心对称图形？哪些既是轴对称图形，又是中心对称图形？如果是轴对称图形，画出它的对称轴；如果是中心对称图形，找出它的对称中心。 问题：正多边形与圆有什么关系呢？什么是正多边形的中心？ 发现：正三角形与正方形都有和，并且为．圆心就是正多边形的 分析：正三角形三个顶点把圆三等分；正方形的四个顶点把圆四等分．要将圆五等分，把等分点顺次连结，可得正五边形．要将圆六等分呢？你知道为什么吗？ 思考：任何一个正多边形既是轴对称图形，又是中心对称图形吗？跟边数有何关系？ 结论：正多边形都是轴对称图形，一个正n边形有条对称轴，每条对称轴都通过正n 边形的；一个正多边形，如果有偶数条边，那么它既是图形，又是图形。 7、用直尺和圆规作出正方形，正六多边形。 8、如何作正八边形正三角形、正十二边形？ （三）、归纳总结： 1、————————————————————————叫正多边形 2、正多边性与圆的关系是—————————————————。 3正多边形的对称性—————————————————————————————（四）自我尝试： 1、已知：如图，五边形ABCDE内接于⊙O，AB=BC=CD=DE=EA． 求证：五边形ABCDE是正五边形．

2016届瑞安五中高二导学案两点间的距离

§ 3.3.2两点间的距离 一、储备 （一）学习目标 1．掌握直角坐标系两点间距离，用坐标法证明简单的几何问题. 2．通过两点间距离公式的推导，能更充分体会数形结合的优越性. 3．体会事物之间的内在联系，，能用代数方法解决几何问题. （二）自主导航 课前准备： （预习教材P 104~ P 106，找出疑惑之处） 1．直线0mx y m +-=，无论m 取任意实数，它都过点 . 2．若直线111:1l a x b y +=与直线222:1l a x b y +=的交点为(2,1)-，则112a b -= . 3．当k 为何值时，直线3y kx =+过直线2x y - 10+=与5y x =+的交点? 二、导学： ※ 学习探究 问题1：已知数轴上两点,A B ，怎么求,A B 的距离？ 问题2：怎么求坐标平面上,A B 两点的距离？及,A B 的中点坐标？ 新知：已知平面上两点111222(,),(,)P x y P x y ，则12PP 特殊地：(,)P x y 与原点的距离为OP

※典型例题 例1 已知点(8,10),(4,4) A B-求线段AB的长及中点坐标. 变式：已知点(1,2), =,并求PA的值. -，在x轴上求一点，使PA PB A B 例2 证明平行四边行四条边的平方和等于两条对角线的平方和.

变式：证明直角三角形斜边上的中点到三个顶点的距离相等. ※动手试试 练1.已知点(1,2),(3,4),(5,0) 是等腰三角形. A B C，求证：ABC 练2.已知点(4,12) A，在x轴上的点P与点A的距离等于13，求点P的坐标.

中职数学基础模块下册《点到直线的距离》word学案

点到直线的距离导学案 【学习目标】 1．理解点到直线距离公式的推导，熟练掌握点到直线的距离公式； 2．会用点到直线距离公式求解两平行线距离； 3．认识事物之间在一定条件下的转化，用联系的观点看问题． 【学习重点与难点】 本节课的重点是点到直线的距离公式，难点是理解公式和应用公式．【教学过程】 一、问题情境 本节课研究的问题是： 点到直线的距离如何作出？点到直线的垂线段长度 在坐标平面内，如何用点的坐标和直线的参数来表示点到直线的距离？ 二、学生活动、建构数学 探究：已知平行四边形ABCD的顶点坐标为A（?1，3），B（3，?2），C（6，?1），D（2，4），如何计算它的面积？ 在前面我们已经研究过两点间的距离公式，所以能够求出平行四边形的一边长来，但是现在的问题是我们还需要求出这边上的高，即点到直线的距离．如何计算点D到直线AB：5x+4y?7=0的距离？ 方法一：求出过点D垂直于AB的直线DE，E为垂足；E即为两直线的交点，可求出；此时可以看到D到直线AB的距离就是DE的长，从而用两点间距 离公式可得． 方法二：过点D分别作x轴，y轴的垂线，从而构成直角三角形，通过点到直线的距离变成直角三角形斜边上的高，可以通过面积相等求得点到直线的 距离． 【说明】：方法一是常规的想法，思路清晰，但是计算量比较大；方法二运用数形结合思想，将点到直线的距离转化为面积的关系. 三、数学理论、数学运用 一般地，对于直线 l：Ax+By+C=0（A≠0，B≠0） 外一点P（x0，y0），过点P作PQ⊥l，垂足为Q. 过点P分别作x轴、y轴的平行线，交l于点M（x1，y0），N（x0，y2）. 由Ax1+By0+C=0，Ax0+By2+C=0，

2021版九年级数学下册 24.2 圆的基本性质 24.2.4 圆的基本性质导学案 (全国通用版)沪

（全国通用版）沪科版 的基本性质导学案（全国通用版）沪科版 【学习目标】 1．经历不在同一条直线上的三点确定一个圆的探索过程。 2．了解不在同一条直线上的三点确定一个圆，以及过不在同一条直线上的三个点作圆的方法。了解三角形的外接圆，三角形的外心等概念。 3.进一步体会解决数学问题的策略。 【学习重难点】 重点：（1）不在同一条直线上的三个点确定一个圆。（2）三角形的外接圆、外心。 难点：形成解决问题的一些基本策略，体验解决问题策略的多样性，发展实践能力与创新精神。 【课前预习】 1、圆的定义：_______________________________________________________。 2、圆的位置由________决定，圆的大小由__________决定。 思考：要作一个圆的关键是什么？怎样确定圆心和半径？要确定一个圆需几个条件?过几点可以确定一个圆呢？ 【课堂探究】 1.如图，已知点A，经过点A画圆，能画多少个？ 结论：经过一点能作__________个圆。 2.如图，经过两个点A、B是否可以作圆？如果 能作，可以作几个？ 分析：经过两个已知点A、B所作的圆的圆心在怎样的 直线上? 因为这两点A、B在要作的圆上， 所以它们到这个圆的圆心的距离要，并且 都等于这个圆的，因此要作过这两点的圆 就是要找到这两点的距离相等的点作为圆心， 而这样的点应在这两点连线的上，而半径即为这条直线上的到点A或点B的距离。A． ．B （图2）

（全国通用版）沪科版总结：经过两点能作_________个圆，这些圆的圆心在________________。 3.如图，作圆，使它经过已知点A、B、C，（A、B、C 三点不在同一条直线上），你能经过这三点作一个圆吗？ 假设经过A、B、C三点的⊙O存在 （1）圆心O到A、B、C三点距离_______（填“相等”或”不相等”）。（2）连结AB、BC，过O点分别作直线MN⊥AB，EF⊥BC， 则MN是AB的_______ ；EF是BC的_______。 （3）AB、BC的中垂线的交点O到A、B、C的距离_______ 。 所以，所要作的圆的圆心O即为_______ 和_______的交点，半径为 点O 到的距离。 总结：不在同一直线上的三点只能作________个圆。 即：不在同一直线上的三个点______________。 三、画一画：（自主完成） 已知：不在同一直线上的三点A、B、C,求作：⊙O使它经过点A、B、C。 思考：经过三点一定能够作圆吗? 经过如下在同一直线上的三点能不能作圆?为什么? 通过以上探究过程，总结自己发现的结论： 四、课堂自主归纳： 观察这个圆与的顶点的关系，得出：．A ．B ．C （图3）

模板式导学案正多边形和圆

模板式导学案（正多边形和圆） 学校科目课题课型教师班级小组学生时间编号 一、学习目标 1、学习目标：（1）、知道正多边形的概念、正多边形和圆的关系；正多边形的中心、半径、边心距、中心角等概念 （2）、会通过等分圆心角的方法等分圆周，画出所需的正多边形； （3）、能够用直尺和圆规作图，作出一些特殊的正多边形；思考：任何一个正多边形既是轴对称图形，又是中心对称图形吗？跟边数有何关系？ 结论：正多边形都是轴对称图形，一个正n边形有条对称轴，每条对称轴都通过正n边形的；一个正多边形，如果有偶数条边，那么它既是轴对称图形，又是中心对称图形。 思考：如何作正八边形正三角形、正十二边形？ 二、展示预设 观察下列图形，你能说出这些图形的特征吗？ 提问：1．等边三角形的边、角各有什么性质？ 2．正方形的边、角各有什么性质？对学群学本组疑问四、1：已知：如图，五边形ABCDE内接于⊙O， AB=BC=CD=DE=EA． 求证：五边形ABCDE是正五边形． 拓展2：各内角都相等的圆内接多边形是否为正多边形？ 总结提升（固定环节） 三、学习内容（议一议） 活动一：什么是正多边形？ 活动二用量角器作正多边形，探索正多边形与圆的内在联系 1、用量角器将一个圆n（n≥3）等分，依次连接各等分点所得的n边形是这个圆的内接正n边形；圆的内接正n边形将圆n等分； 2、正多边形的外接圆的圆心叫正多边形的中心。 活动三探索正多边形的对称性 问题：正三角形、正方形、正五边形、正六边形、正八边形中，哪些是轴对称图形？哪些是中心对称图形？哪些既是轴对称图形，又是中心对称图形？如果是轴对称图形，画出它的对称轴；如果是中心对称图形，找出它的对称中心。 问题：正多边形与圆有什么关系呢？什么是正多边形的中心？ 发现：正三角形与正方形都有内切圆和外接圆，并且为同心圆．圆心就是正五、达标测试 1、正方形ABCD的外接圆圆心O叫做正方形ABCD的______． 2、正方形ABCD的内切圆⊙O的半径OE叫做正方形ABCD的______． 3、若正六边形的边长为1，那么正六边形的中心角是______度，半径是______，边心距是______，它的每一个内角是______． 4、正n边形的一个外角度数与它的______角的度数相等．

2013-2014学年高一下学期数学活动单学案：(29)点到直线的距离 2

重 点: 点到直 线的距离公式及应用. 难 点: 点到直线的距离公式的推导 过 程: 活动一： 1.平面上两点P 1(x 1 , y 1) , P 2(x 2 , y 2)之间的距离公式为P 1P 2=_____________________ . 2.①P 1(x 1 , y 2) , P 2(x 2 , y 2)，线段P 1P 2的中点是M(x 0 , y 0), 则x 0=_______ , y 0=_________. ②△ABC 中， A(x 1 , y 1) , B(x 2 , y 2) , C(x 3 , y 3), 若△ABC 重心是G(x 0 , y 0) , 则x 0=__________ , y 0=___________ 3. 已知点M(－1,2), 点N(8,10), 光线通过M 点被直线l :x －y －1=0反射后过点N,光线从点M 到点N 的路程为 . 4. 如图，点D(1,4)到直线l :3x －4y+1=0的距离 为 . 活动二： 已知l : Ax+By+C=0 (A 、B 不同时为0), P(x 0 , y 0), 则P 到l 的距离为d= . 说明: (1)公式成立的前提需把直线l 方程写成 式; (2)公式推导过程中利用了等价转换, 数形结合的思想方法, 且推导方法不惟一; (3)当点P(x 0 , y 0)在直线l 上时, 公式仍然成立; (4)P(x 0 , y 0)到直线x=a 的距离为________ ； P(x 0 , y 0)到直线y=b 的距离为_________ . 三.数学应用 例1.求点P(－1 , 2)到下列直线的距离: (1) 2x+y －10=0 ___________ (2) y=2x ___________ (3) 3x=2 ___________ (4) y=3 ___________ 变式：已知2x+y －10=0 _____________ . 例2.已知直线l 经过点P(5 , 10) , 且原点到它的距离为 5 , 求直线l 的方程. l :3x －4y+1=0

人教版-数学-九年级上册- 正多边形和圆(1) 导学案2

24.3 正多边形和圆（1） 学习目标： 1.了解正多边形和圆的关系。 2.了解正多边形的中心、半径、边心距、中心角等概念。 3.能运用正多边形的知识解决圆的有关计算问题。 重点： 1. 探索正多边形与圆的关系 2.运用正多边形的半径、中心角、弦心距、?边长之间的关系进行计算． 难点：探索正多边形与圆的关系。 学习过程： 一、知识频道 忆一忆（知识回顾） 请同学们思考下面两个问题． 1、什么叫正多边形？举出两三个正多边形的实例。 2、正多边形是轴对称图形吗？若是，其对称轴有几条？ 是中心对称图形吗？若是对称中心是哪一点？ 归纳： 1、正多边形的概念中，强调两个条件：①相等，②相等。 2、正多边形是对称图形；当时，?正多边形也是对称图形，对 称轴是对称中心是 . 做一做 （1）将一个圆分成五等份，依次连接各分点得到一个五边形，这个五边形是正五边形吗? 如果是请你证明这个结论。 （2）如果将一个圆分成n等份，依次连接各分点得到一个n边形，这个n边形一定是正n 边形吗？ 总一总：正多边形的有关概念

（1）中心：一个正多边形的叫做正多边形的中心. （2）半径：正多边形叫做正多边形的半径. （3）中心角：正多边形叫做正多边形的中心角. （4）边心距：到的距离叫做正多边形的边心距. 正多边形和圆的关系 （5）只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以作出这个圆的，这个圆就是这个正多边形的 （6）正多边形都有个外接圆，反之，圆有个内接正多边形. 正多边形的计算： (7)正n边形的半径和边心距把正n边形分成个全等的直角三角形 由正多边形和圆的关系可知，正n边形的中心角为度；它的每个内角是度；每个外角是度。 二方法频道 1.正多边形和圆的关系： 例1.已知五边形ABCDE内接于⊙O，∠AOB=∠BOC=COD=∠DOE=72°.求证：五边形ABCDE 是正五边形。 E 分析：要证明某多边形是正五边形，必须从两方面进行证明：1.各角，2.各边，而证明角相等和边相等又往往借助于。 证明：∵∠AOB=∠BOC=COD=∠DOE=72°， ∴∠EOA=360°- ＝ . ∴∠AOB=∠BOC=COD=∠DOE=∠EOA, ∴ = = = = ∴AB=BC=CD=DE=EA 弧BCE=弧CDA=3 , ∴∠BAE=∠ABC,

苏教版数学高一学案必修二练习2.1.6点到直线的距离

2.1.6点到直线的距离 一、基础过关 1．已知点(a,1)到直线x－y＋1＝0的距离为1，则a的值为________． 2．点P(x，y)在直线x＋y－4＝0上，O是原点，则|OP|的最小值是________． 3．到直线3x－4y－1＝0的距离为2的直线方程为______________． 4．P、Q分别为3x＋4y－12＝0与6x＋8y＋5＝0上任一点，则PQ的最小值为________．5．已知直线3x＋2y－3＝0和6x＋my＋1＝0互相平行，则它们之间的距离是________．6．过点A(2,1)的所有直线中，距离原点最远的直线方程为______________． 7．△ABC的三个顶点是A(－1,4)，B(－2，－1)，C(2，3)． (1)求BC边的高所在直线的方程； (2)求△ABC的面积S. 8．如图，已知直线l1：x＋y－1＝0，现将直线l1向上平移到直线l2的位置，若l2、l1和坐标轴围成的梯形面积为4，求l2的方程． 二、能力提升 9．两平行直线l1，l2分别过点P(－1,3)，Q(2，－1)，它们分别绕P、Q旋转，但始终保持平行，则l1，l2之间的距离的取值范围是________． 10．直线7x＋3y－21＝0上到两坐标轴距离相等的点的个数为________． 11．若直线m被两平行线l1：x－y＋1＝0与l2：x－y＋3＝0所截得的线段的长为22，则m 的倾斜角可以是________．(写出所有正确答案的序号) ①15°②30°③45°④60°⑤75° 12．已知直线l1与l2的方程分别为7x＋8y＋9＝0,7x＋8y－3＝0.直线l平行于l1，直线l与l1的距离为d1，与l2的距离为d2，且d1∶d2＝1∶2，求直线l的方程． 三、探究与拓展 13．等腰直角三角形ABC的直角顶点C和顶点B都在直线2x＋3y－6＝0上，顶点A的坐标是(1，－2)．求边AB、AC所在的直线方程．

2021年初中数学竞赛辅导讲义及习题解答 第 8讲 圆的基本性质

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青岛版3.7正多边形与圆1导学案

3.7 正多边形和圆（第一课时） 一、教学目标 1. 了解正多边形的中心、半径、边心距、中心角等概念，了解正多边形与圆的关系。 2. 探索正多边形的性质，能利用正多边形的性质进行有关的计算。 二、自学指导： 1、把一个圆分成相等的n 段弧后作出的这个圆的内接多边形是正多边形吗？你会证明吗？（2）正n 边形的对称性如何？ 2、正n 边形的一个内角的度数是多少？中心角呢？正多边形的中心角与外角的大小有什么关系？ 注：自学时间为5分钟，5分钟后比谁能更准确快速地完成检测题。 三、检测题： 1、矩形是正多边形吗？菱形呢？正方形呢？为什么？ 2、如图，o 的内接正六边形ABCDEF 中，OP BC ⊥于点 则这个正六边形的中心为 ；它的半径为 ； 中心角是∠ ，是 度；边心距为 。 思考1：正多边形的中心、半径、中心角、边心距的定义是什么？ 讨论1：正n 边形的一个内角的度数是多少？中心角呢？正多边形的中心角与外角的大小有什么关系？（3n ≥） 讨论2：正n 边形的对称性如何？（3n ≥） (3)如图:在O 中，AB BC CD DE EF AF =====,六边形ABCDEF 是O 的内接六边形，求证：六边形ABCDEF 是正六边形. D A

思考2： 1、各边相等的圆内接多边形是正多边形吗？各角相等的圆内接多边形呢？如果是，请说明为什么，如果不是，举出反例. 例：一个正六边形花坛的半径为R ，求花坛的边长a ，周长p 和面积s 。. 四、巩固练习 1、下面的命题是真命题吗？如果不是，请举出一个反例。 （1）正多边形的对称轴是经过正多边形的顶点和中心的直线。 （2）边数为偶数的正多边形，既是轴对称图形又是中心对称图形。 （3）既是轴对称图形又是中心对称图形的多边形是正多边形。 （4）有一个外接圆和一个内切圆的多边形是正多边形。 2、正六边形ABCDEF 的顶点都在以原点为圆心、以2为半径的圆上，点B 在y 轴正半轴上，求六边形ABCDEF 各顶点的坐标。 五、课堂小结： 1.基础知识： 2.基本技能： 3.基本活动经验： 4.基本数学思想 八、布置作业 配套练习册 九、教学反思 D A

重庆市大学城第一中学校人教版高中数学必修二导学案：第三章第三节两点间的距离

第三章第三节两点间的距离 三维目标 1．理解平面内两点间的距离公式的推导过程； 2．掌握两点间距离公式及其简单应用； 3．会用坐标法证明一些简单的几何问题. ________________________________________________________________________________ 目标三导 学做思1 问题1.在坐标轴上，两点A 、B 之间的距离 AB 是如何计算的？ 问题2.平面直角坐标系下两点(1,1x y )、(2,2x y )，如何求、两点之间的距离12PP ？ 问题3.请尝试用两点间的距离公式完成下列各题： （1）求(2,1),(5,1)A B -两点之间的距离. （2）若(,5)(0,10)17,?A a B a -与间的距离是 则值为多少 （3）已知点A (3,6)，在x 轴上的点P 与点A 的距离等于10，求点P 的坐标. A B

PP= 问题4.请从向量的角度证明两点间的距离公式 12 【学做思2】 =，并求出PA的值. 1. 已知点A(-1,2),B(2,),在x轴上求一点P,使得PA PB 【思考】结合图象，本题还有没有其它的解法呢？ 2.证明平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和. 【方法总结】 【变式】已知△ABD和△BCE是在直线AC同侧的两个等边三角形，用坐标法证明|AE|＝|CD|.

达标检测 1. △ABC三个顶点的坐标分别为A(－4，－4)、B(2,2)、C(4，－2)，则三角形AB边上的中 线长为( ) A.26 B.65 C.29 D.13 2. 直线的倾斜角为30°，且过点B(0,1)，直线交x轴于点A，则|OA|、|AB|的值分别为( ) A．1,2 B.3，2 C．1，3D. 3 3 ，2 3. 已知A(1,2)，B(5，－2)，在x轴上有一点P(x,0)满足|PA|＝|PB|，在y轴上有一点Q(0， y)，它在线段AB的垂直平分线上，则(x，y)为( ) A．(3，－3) B．(3,3)C．(－3,3) D．(－3，－3) 4. 光线从点A(－3,5)射到x轴上，经反射后经过点B(2,10)，则光线从A到B的距离是( ) A．52B．25C．510D．10 5 5. 已知AO是△ABC的边BC的中线，证明|AB|2＋|AC|2＝2(|AO|2＋|OC|2)．

点到直线距离公式的七种推导方法

如对您有帮助，请购买打赏，谢谢您！ 点到直线距离公式的七种推导方法 湖南省 黄爱民 赵长春 已知点 00(,)P x y 直线:0(0,0)l Ax By C A B ++=≠≠求点P 到直线 l 的距离。（因为特殊直线很容易求距离，这里只讨论一般直线） 一、 定义法 证：根据定义，点P 到直线 l 的距离是点P 到直线 l 的垂线段的长，如图1， 设点P 到直线l 的垂线为 'l ，垂足为Q ，由 'l l ⊥可知 'l 的斜率为 B A 'l ∴的方程：00()B y y x x A -= -与l 联立方程组 解得交点2200002222 ( ,)B x ABy AC A y ABx BC Q A B A B ----++ 二、 函数法 证：点P 到直线 l 上任意一点的距离的最小值就是点P 到直线l 的距离。在l 上取任意点 (,)Q x y 用两点的距离公式有，为了利用条件0Ax By C ++=上式变形一下，配凑系数处理得： 当且仅当00()B A y y x -=-（x ） 时取等号所以最小值就是d = 三、不等式法 证：点P 到直线 l 上任意一点Q (,)x y 的距离的最小值就是点P 到直线l 的距离。由柯西不 等式：222222 000000()[()()][()B()](B )A B x x y y A x x y y Ax y C +-+-≥-+-=++ 当且仅当00()B A y y x -=-（x ） 时取等号所以最小值就是d = 四、转化法 证：设直线 l 的倾斜角为 α过点P 作PM ∥ y 轴交l 于M 11(,) x y 显然 10 x x =所以 1A x y b +=- 00 0|||||| A x C A x B y C P M y B B +++∴=+ = 易得∠MPQ ＝ α（图2）或∠MPQ ＝0180α-（图3） 在 两 种 情 况 下 都 有 2 2 2 2 tan tan A MPQ B α∠==所以 cos MPQ ∠= = 五、三角形法 证：P 作PM ∥ y 轴交l 于M ，过点P 作PN ∥ x 轴交l 于N （图4） 由解法三知00||| |Ax By C PM B ++=；同理得 00||||Ax By C PN A ++= 在Rt △MPN 中，PQ 是斜边上的高 六、参数方程法 证：过点00(,)P x y 作直线 0'0cos :sin x x t l y y t θ θ =+?? =+?交直线l 于点Q 。(如图1) 由直线参数方程的几何意义知||||t PQ =，将 'l 代入 l 得 x

上海市金山区山阳镇九年级数学下册24.2圆的基本性质24.2.1圆的基本性质导学案新版沪科版

上海市金山区山阳镇九年级数学下册24.2圆的基本性质24.2.1 圆的基本性质导学案新版沪科版 24.2.1圆的基本性质 【学习目标】 1．圆的定义、点与圆的位置关系及相关概念． 2. 经历探索圆的定义及相关概念的过程，进一步体会理解研究几何图形的各种方法． 3．培养学生独立探索、相互合作交流的精神． 4. 培养学生实事求是的科学态度和积极参与的主动精神． 【学习重难点】 重点：圆的轴对称性，及相关概念。 难点：圆的相关概念的理解。 【课前预习】 1．圆的半径为r ，直径为R ，则半径与直径的关系为R ＝2r . 2．圆的半径为r ，直径为R ，则圆的周长为2πr ＝πR ，面积为πr 2＝14πR 2. 3．在平面内，线段OP 绕它固定的一个端点O 旋转一周，则另一个端点P 所形成的封闭曲线叫做圆．固定的端点O 叫做圆心，线段OP 叫做半径． 4．圆可以被看成：平面内到定点(圆心O)的距离等于定长(半径r )的所有点组成的图形． 5．平面上一点P 与⊙O(半径为r )的位置关系有以下三种情况： (1)点P 在⊙O 上?OP ＝r ； (2)点P 在⊙O 内?OP ＜r ； (3)点P 在⊙O 外?OP ＞r . 6．圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧． 7．连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径． 8．同圆中：(1)半径相等；(2)直径等于半径的2倍． 9．圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每条弧都叫做半圆．大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧． 10．由弦及其所对弧组成的图形叫做弓形． 11．能够重合的两个圆叫做等圆，等圆的半径相等． 12．在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧． 【课堂探究】

《4.3.2空间两点间的距离公式》导学案

4.3.2空间两点间的距离公式 一、学习目标 1. 理解空间两点间距离公式的推导过程和方法. 2. 掌握空间两点间的距离公式及其简单应用. 二、学习方法指引 1. 预习课本136-137页，做138页练习. 2. 重点：空间两点间的距离公式及应用. 3. 难点：空间两点间距离公式的推导. 三、基础知识再现 1. 空间两点间的距离公式 空间中两点),,(1111z y x P ，),,(3222z y x P 之间的距离是=21P P . 说明：空间两点间的距离公式是平面上两点间距离公式的推广，平面上两点间的距离公式又可看成是空间两点间的距离公式的特例. 2. 用空间两点间距离公式时要注意坐标差是对应的21x x -，21y y -，21z z -，因为有平方，故减数和被减数的位置可以互换. 3. 空间两点间距离的求法 （1）建立适当的空间直角坐标系. （2）在空间直角坐标系中写出点的坐标. （3）用空间两点间距离公式求距离. 4. 在空间直角坐标系中，任意一个三元一次方程0=+++D Cz By Ax （C B A ,,不能同时为零）都表示一个平面，反过来，任意一个平面的方程都是一个三元一次方程.对于特殊的三元一次方程：

a x=表示平行于yOz面的平面，且与yOz面的距离为a. b y=表示平行于xOz面的平面，且与xOz面的距离为b. c z=表示平行于xOy面的平面，且与xOy面的距离为c. ,0 ,0= = =z y x分别表示yOz，xOz，xOy三个坐标平面. 5. 空间两点间距离公式的推导方法 剖析：（1）先看简单的情形：设空间直角坐标系中点) ,,(z y x P，求点P到原点O的距离. 如图所示，设点P在xOy平面上的射影是B， 则点B坐标是(,,0) x y，在xOy 平面上有OB=. 在直角三角形OBP中，根据勾股定理，得 OP= 因为BP z = ，所以OP= 这说明，在空间直角坐标系Oxyz中，任意一点 (,,) P x y z与原点之间的距离是OP= （2）下面再看一般的情况：如图所示，设点 1111 (,,) P x y z，2222 (,,) P x y z是空间任意两点，且两点在xOy平面上的射影分别为, M N，那么, M N的坐标为 11 (,,0) M x y， 22 (,,0) N x y. 在xOy平面上，MN= 过点 1 P作 2 P N的垂线，垂足为H，则 11 MP z =， 22 NP z =，所以 212 HP z z =-. 在直角三角形 12 PHP中， 1 PH MN ==

新人教版九年级数学上册 第24章：圆的复习学案1(无答案)

新人教版九年级数学上册圆复习导学案1 学习目标：1.掌握圆的基本性质、点与圆的位置关系、直线与圆的位置关系、切线的性质 与判定以及与圆有关的计算。2.会用圆的知识解决问题 重点、难点：综合应用圆的知识解决问题 知识梳理 (一)与圆有关的性质 1.垂径定理及推论 垂径定理： 推理形式： 推论： 2.圆心角、弧、弦之间的关系 圆心角的定义：顶点在 的角叫做圆心角。 定理：在 中，两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量 ， 它们所对应的其余各组量也分别 。 推理形式：在⊙O 中，∵AOB A OB ∠=∠'', ∴AB ______A B '',AB ______A B ''. 3.圆周角定理及推论 圆周角定义：顶点在 并且两边都和圆 的角叫圆周角 圆周角定理：一条弧 。 推论：(1)同弧或等弧 。 (2)半圆（或直径）所对 ， 90°的圆周角所对的弦 。 推理形式： 。 (3)圆内接四边形的性质： 。 （二）与圆有关的位置关系 1．（1）点与圆的位置关系 设⊙O 的半径为r ，点P 到圆心的距离OP=d ，则有 ①点P 在圆内?d r ；②点P 在圆上?d r ； ③点P 在圆外?d r ． （2）直线和圆的位置关系（在图中画出） 设⊙O 的半径为r ，直线l 到圆心的距离OP=d ，则有 ①直线与圆相交?d r ； ②直线与圆相切?d r ；③直线与圆 ?d r ． A B M O C A′ B′o A B O o B c

L 2.三角形的外接圆与内切圆 (1)作出△ABC 的外接圆和△DEF 的内切圆 叫三角形的外心,它是三角形 的交点， 它到三角形 的距离相等； 叫三角形的内心 它是三角形 的交点；它到三角形 的距离相等. 3.切线的判定与性质 （1）切线的判定定理： 。 ①如图，已知直线l 经过⊙O 上点A ，如何证直线l 是⊙O 的切线 ②如图，若没有指明直线l 经过⊙O 上一点，如何证直线l 是⊙O 的切线 (2)切线的性质定理： 。 推理形式： 。 （3）切线长定义： 切线长定理： 。 推理形式： 。 三、与圆有关的计算 1.正多边形和圆 我们把一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形 的 ，外接圆的半径叫做正多边形的 ， 正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的 ， 中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的 。 正n 边形的中心角等于 度. 设正多边形的半径为R,边长为a ，边心距为r,三者的关系： ， 正n 边形的周长L= ，面积S= 2.弧长与扇形面积计算 设⊙O 的半径为R ，圆心角为n °，则 弧长公式： l = 扇形面积公式：S 扇形= = 3.圆锥：设圆锥的母线长为l ，底面半径为r ，高为h ，圆锥侧面展开图扇形的圆周角 为n °，则有： （1）l 、r 、h 之间的关系： （2）圆锥的侧面积s= （3）圆锥的全面积s= L A B P O B C O B O A

2019版九年级数学下册 27.4 正多边形和圆导学案(新版)华东师大版

2019版九年级数学下册 27.4 正多边形和圆导学案（新版）华东师大版学习内容正多边形和圆 学习目标1、了解正多边形和圆的关系。 2、掌握正多边形的半径、边长、边心距、中心角之间关系。 3、会利用正多边形的特征，画简单常见的正多边形。 学习重点掌握正多边形的半径、边长、边心距、中心角之间关系，画简单常见的正多边形。 学习难点探索正多边形和圆的关系。 导学过程复备栏【温故互查】 1.什么叫正多边形？ 2.举出两三个正多边形的实例（图片演示）。正多边形具有轴对称、?中心对称 吗？其对称轴有几条，对称中心是哪一点？ 【设问导读】 认真看P62-63的内容，思考： 1、由P65“图27.4.2”和“图27.4.3”可得： 任何每个正多边形都有个外接圆、个内切圆，圆心是的交 点； 外接圆的半径R是圆心到的距离。 内切圆的半径r是圆心到的距离。 思考：正n边形共有多少条对称轴？ 2、正多边形的外接圆（或内切圆）的圆心叫正多边形的 外接圆（或内切圆）的半径叫正多边形的 正多边形的每一条边所对的圆心角叫正多边形的，等于 度 中心到正多边形的一边的距离叫正多边形的 .即圆的半 径。 3.思考：正多边形的半径R、正多边形的中心角n、边长a、?正多边的 边心距r之间的有什么关系？ 【自学检测】F D E C B A O M

1.正六边形的一个内角的度数是_________; 中心角的度数是___________; 2.有一个亭子它的地基是半径为4m 的正六边形，求地基的周长和面积(精确到0.1平方米) 【巩固训练】 3.请模仿P66“例题”，利用尺规作图，作出圆的内接正方形和内接正六边形。 并说明理由。（等弧对等角，等弧对等弦） 【拓展延伸】 1.如图所示, 已知正六边形ABCDEF 的边长为2厘米,分别以每个顶点为圆心, 以1厘米为半径作弧, 求这些弧所围成的图形(阴影部分)面积.(精确到0.1平方厘米). 欢迎您的下载，资料仅供参考！ ● A B C D E F