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空间立体几何建立直角坐标系

1．[2015·浙江]如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠BAC ＝90°，AB ＝

AC ＝2，A 1A ＝4，A 1在底面ABC 的射影为BC 的中点，D 是 B 1C 1的中点。

(1)证明：A 1D ⊥平面A 1BC ；

(2)求二面角A 1－BD －B 1的平面角的余弦值。

解析：(1)证明：设E 为BC 的中点，连接A 1E ，AE ，DE ，由题意得A 1E ⊥平面ABC ，所以A 1E ⊥AE 。

因为AB ＝AC ，所以AE ⊥BC 。故AE ⊥平面A 1BC 。

由D ，E 分别为B 1C 1，BC 的中点，得DE ∥B 1B 且DE ＝B 1B ，从而DE ∥A 1A 且DE ＝A 1A ，所以A 1AED 为平行四边形。

故A 1D ∥AE 。

又因为AE ⊥平面A 1BC ，所以A 1D ⊥平面A 1BC 。 (2)方法一：作A 1F ⊥BD 且A 1F ∩BD ＝F ，连接B 1F 。

由AE ＝EB ＝2，∠A 1EA ＝∠A 1EB ＝90°，得A 1B ＝A 1A ＝4。

由A 1D ＝B 1D ，A 1B ＝B 1B ，得△A 1DB 与△B 1DB 全等。

由A 1F ⊥BD ，得B 1F ⊥BD ，因此∠A 1FB 1为二面角A 1－BD －B 1的平面角。由A 1D ＝2，A 1B ＝4，∠DA 1B ＝90°，得

BD ＝32，A 1F ＝B 1F ＝43

，

由余弦定理得cos ∠A 1FB 1＝－1

8。

方法二：以CB 的中点E 为原点，分别以射线EA ，EB 为x ，y 轴的正半轴，建立空间直角坐标系E －xyz ，如图所示。

由题意知各点坐标如下：

A 1(0,0，14)，

B (0，2，0)，D (－2，0，14)，B 1(－2， 2，14)。

因此A 1B →

＝(0，2，－14)，BD →＝(－2，－2，14)，DB 1→

＝(0，2，0)。

设平面A 1BD 的法向量为m ＝(x 1，y 1，z 1)，平面B 1BD 的法向量为n ＝(x 2，

y 2，z 2)。

由??? m ·A 1

B →

＝0，m ·BD →

＝0，

即????? 2y 1－14z 1＝0，－2x 1－2y 1＋14z 1＝0，

可取m ＝(0，7，1)。

由???

n ·DB 1

→

＝0，

n ·BD →

＝0，

即?????

2y 2＝0，－2x 2－2y 2＋14z 2＝0，

可取n ＝(7，0,1)。

于是|cos 〈m ，n 〉|＝|m·n ||m |·|n |＝1

。

由题意可知，所求二面角的平面角是钝角，故二面角A 1－BD －B 1的平面角的余弦值为－18

。

2．[2016·兰州模拟]如图，在四棱锥P －ABCD 中，PC ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是直角梯形，AB ⊥AD ，AB ∥CD ，AB ＝2AD ＝2CD ＝2，E 是PB 的中点。

(1)求证：平面EAC ⊥平面PBC ；

(2)若二面角P －AC －E 的余弦值为6

3，求直线PA 与平面EAC 所成角的

正弦值。

解析：(1)证明：∵PC ⊥底面ABCD ，∴PC ⊥AC ，

∵底面ABCD 是直角梯形，且AB ＝2AD ＝2CD ＝2， ∴AC ＝2，BC ＝2。 ∴AB 2＝AC 2＋BC 2，∴AC ⊥BC ， ∵PC ∩BC ＝C ， ∴AC ⊥平面PBC ， ∵AC ?平面EAC ，

∴平面EAC ⊥平面PBC 。

(2)建立如图所示的空间直角坐标系A －xyz 。设PC ＝a ，

则A (0,0,0)，C (1,1,0)，

E ? ??

12，32，a 2，P (1,1，a )， B (0,2,0)。

∴AC →＝(1,1,0)，AE →＝? ????12，32，a 2，AP →＝(1,1，a )，BC →

＝(1，－1,0)。

设平面EAC 的法向量为v ＝(x ，y ，z )，

则???

v ·AC →

＝0，

v ·AE →

＝0，

即?????

x ＋y ＝0，x ＋3y ＋az ＝0，

令x ＝1，则v ＝?

????

1，－1，2a ，

∵BC ⊥平面PAC ，

∴平面PAC 的一个法向量为u ＝BC →

＝(1，－1,0)，设二面角P －AC －E 的大小θ，

则cos θ＝v ·u

|v |·|u |

＝

1×1＋

－1×－1＋0×

2× 2＋

a 2

＝6

，解得a ＝2，

∴直线PA 与平面EAC 所成角的正弦值为

cos 〈v ，AP →〉＝v ·AP →

|v |·|AP →|

＝1×1＋1×－1＋2×13×6＝2

3。

空间向量在立体几何中的应用——夹角的计算习题-详细答案

【巩固练习】一、选择题 1. 设平面内两个向量的坐标分别为（1，2，1），（-1，1，2），则下列向量中是平面的法向量的是( ) A. （-1，-2，5） B. （-1，1，-1） C. （1， 1，1） D. （1，-1，-1） 2. 如图，1111—ABCD A B C D 是正方体，11 11114 A B B E =D F =，则1BE 与1DF 所成角的余弦值是（） A ． 1715 B ． 2 1 C ．17 8 D ． 2 3 3. 如图，111—A B C ABC 是直三棱柱，90BCA ∠=?，点11D F 、分别是1111A B AC 、的中点，若 1BC CA CC ==，则1BD 与1AF 所成角的余弦值是（） A ． 1030 B ． 2 1 C ．15 30 D ． 10 15 4. 若向量(12)λ=a ，，与(212)=-b ，，的夹角的余弦值为8 9 ，则λ=( ) A ．2 B ．2- C ．2-或 255 D ．2或255 - 5. 在三棱锥P ABC －中，AB BC ⊥，1 2 AB=BC=PA ，点O D 、分别是AC PC 、的中点，OP ⊥ 底面ABC ，则直线OD 与平面PBC 所成角的正弦值（） A ． 621 B ． 33 8 C ．60 210 D ． 30210 6.（2015秋湛江校级期末）在正四棱锥S —ABCD 中，O 为顶点在底面内的投影，P 为侧棱SD 的中点，且SO=OD ，则直线BC 与平面PAC 的夹角是（） A ．30° B ．45° C ．60° D ．75° 7. 在三棱锥P ABC －中，AB BC ⊥，1 ==2 AB BC PA ，点O D 、分别是AC PC 、的中点，OP ⊥ 底面ABC ，则直线OD 与平面PBC 所成角的正弦值是（）

空间立体几何建立直角坐标系

空间立体几何建立直角坐标系 1．[2015·浙江]如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠BAC ＝90°，AB ＝ AC ＝2，A 1A ＝4，A 1在底面ABC 的射影为BC 的中点，D 是 B 1C 1的中点。 (1)证明：A 1D ⊥平面A 1BC ； (2)求二面角A 1－BD －B 1的平面角的余弦值。解析：(1)证明：设E 为BC 的中点，连接A 1E ，AE ，DE ，由题意得A 1E ⊥平面ABC ，所以A 1E ⊥AE 。因为AB ＝AC ，所以AE ⊥BC 。故AE ⊥平面A 1BC 。由D ，E 分别为B 1C 1，BC 的中点，得DE ∥B 1B 且DE ＝B 1B ，从而DE ∥A 1A 且DE ＝A 1A ，所以A 1AED 为平行四边形。故A 1D ∥AE 。又因为AE ⊥平面A 1BC ，所以A 1D ⊥平面A 1BC 。 (2)方法一：作A 1F ⊥BD 且A 1F ∩BD ＝F ，连接B 1F 。由AE ＝EB ＝2，∠A 1EA ＝∠A 1EB ＝90°，得A 1B ＝A 1A ＝4。由A 1D ＝B 1D ，A 1B ＝B 1B ，得△A 1DB 与△B 1DB 全等。由A 1F ⊥BD ，得B 1F ⊥BD ，因此∠A 1FB 1为二面角A 1－BD －B 1的平面角。由A 1D ＝2，A 1B ＝4，∠DA 1B ＝90°，得 BD ＝32，A 1F ＝B 1F ＝43 ，由余弦定理得cos ∠A 1FB 1＝－1 8。方法二：以CB 的中点E 为原点，分别以射线EA ，EB 为x ，y 轴的正半轴，建立空间直角坐标系E －xyz ，如图所示。

立体几何--空间的距离.

、选择题 1.正方形ABCD边长为2, E、F分别是AB和CD的中点，将正方形沿面角（如图），M为矩形AEFD内一点，如果/ MBE= / MBC , MB和平面BCF 1 值为1，那么点M至?线EF的距离为（ 2 D.- 2 2 .三棱柱ABC—A1B1C1 中，AA i=1 , AB =4, BC= 3 , / ABC=90 °，设平面 ABC的交线为I，则A1C1与I的距离为（）二、填空题 4.如右上图，ABCD与ABEF均是正方形，如果二面角E—AB—C的度数为30°，那么EF与平面ABCD的距离为三、解答题（1）求证：平面A1BC1 //平面ACD1；立体几何--空间的距离 EF折成直二所成角的正切 B.1 A i BC i与平面 A J10 B. TH C.2.6 D.2.4 3.如左下图，空间四点A、B、C、D中，每两点所连线段的长都等于a，动点P在线段AB上，动点Q在线段CD上，则P与Q的最短距离为 5.在长方体如图:

(2)求(1)中两个平行平面间的距离; ⑶求点B i到平面A i BC i的距离. 6.已知正四棱柱ABCD —A i B i C i D i，点E在棱D i D上，截面EAC // D i B且面EAC与底面ABCD所成的角为45° ,AB=a,求: (i)截面EAC的面积; ⑵异面直线A i B i与AC之间的距离; ⑶三棱锥B i —EAC的体积. 7?如图，已知三棱柱A i B i C i —ABC的底面是边长为2的正三角形, AC均成45°角，且A i E丄B i B于E, A i F丄CC i于F. (i)求点A到平面B i BCC i的距离; ⑵当AA i多长时，点A i到平面ABC与平面B i BCC i的距离相等. &如图，在梯形ABCD 中，AD // BC,/ ABC = —,AB= 2 2 / ADC=arccos—75 ,PA丄面ABCD 且PA=a. 5 (i)求异面直线AD与PC间的距离; (2)在线段AD上是否存在一点F,使点A到平面PCF的距离为亨【空间的距离参考答案】一、i.解析：过点M作MM '丄EF,则MM '丄平面BCF ?// MBE= / MBC ??? BM '为/ EBC为角平分线, ￡■ 侧棱A i A与AB 、 i -AD=a, 3

利用空间向量解立体几何(完整版)

向量法解立体几何引言立体几何的计算和证明常常涉及到二大问题：一是位置关系，它主要包括线线垂直，线面垂直，线线平行，线面平行；二是度量问题，它主要包括点到线、点到面的距离，线线、线面所成角，面面所成角等。教材上讲的比较多的主要是用向量证明线线、线面垂直及计算线线角，而如何用向量证明线面平行，计算点到平面的距离、线面角及面面角的例题不多，给老师对这部分内容的教学及学生解有关这部分内容的题目造成一定的困难，下面主要就这几方面问题谈一下自己的想法，起到一个抛砖引玉的作用。一、基本工具 1.数量积： cos a b a b θ?= 2.射影公式：向量a 在b 上的射影为 a b b ? 3.直线0Ax By C ++=的法向量为 (),A B ，方向向量为 (),B A - 4.平面的法向量（略）二、用向量法解空间位置关系 1.平行关系线线平行?两线的方向向量平行线面平行?线的方向向量与面的法向量垂直面面平行?两面的法向量平行 2.垂直关系

线线垂直（共面与异面）?两线的方向向量垂直线面垂直?线与面的法向量平行面面垂直?两面的法向量垂直三、用向量法解空间距离 1.点点距离点()111,,P x y z 与()222,,Q x y z 的距离为(PQ x =2.点线距离求点()00,P x y 到直线:l 0Ax By C ++=的距离：方法：在直线上取一点(),Q x y ，则向量PQ 在法向量 (),n A B =上的射影PQ n n ?= 即为点P 到l 的距离. 3.点面距离求点()00,P x y 到平面α的距离：方法：在平面α上去一点(),Q x y ，得向量PQ ，计算平面α的法向量n ，计算PQ 在α上的射影，即为点P 到面α的距离. 四、用向量法解空间角 1.线线夹角（共面与异面）线线夹角?两线的方向向量的夹角或夹角的补角 2.线面夹角求线面夹角的步骤：

利用空间向量解立体几何完整版

向量法解立体几何立体几何的计算和证明常常涉及到二大问题：一是位置关系，它主要包括线线垂直，线面垂直，线线平行，线面平行；二是度量问题，它主要包括点到线、点到面的距离，线线、线面所成角，面面所成角等。一、基本工具 1.数量积： cos a b a b θ?= 2.射影公式：向量a 在b 上的射影为 a b b ? 3.直线0Ax By C ++=的法向量为 (),A B ，方向向量为 (),B A - 4.平面的法向量（略）二、用向量法解空间位置关系 1.平行关系线线平行?两线的方向向量平行线面平行?线的方向向量与面的法向量垂直面面平行?两面的法向量平行 2.垂直关系线线垂直（共面与异面）?两线的方向向量垂直线面垂直?线与面的法向量平行面面垂直?两面的法向量垂直三、用向量法解空间距离 1.点点距离

点()111,,P x y z 与()222,,Q x y z 的距离为PQ =u u u r 2.点线距离求点()00,P x y 到直线:l 0Ax By C ++=的距离：方法：在直线上取一点(),Q x y ，则向量PQ u u u r 在法向量(),n A B =上的射影 PQ n n ?u u u r = 即为点P 到l 的距离. 3.点面距离求点()00,P x y 到平面α的距离：方法：在平面α上去一点(),Q x y ，得向量PQ u u u r ，计算平面α的法向量n ，计算PQ u u u r 在α上的射影，即为点P 到面α的距离. 四、用向量法解空间角 1.线线夹角（共面与异面）线线夹角?两线的方向向量的夹角或夹角的补角 2.线面夹角求线面夹角的步骤： ① 先求线的方向向量与面的法向量的夹角，若为锐角角即可，若为钝角，则取其补角； ②再求其余角，即是线面的夹角. 3.面面夹角（二面角）若两面的法向量一进一出，则二面角等于两法向量的夹角；法

建立空间直角坐标系-解立体几何题

建立空间直角坐标系，解立体几何高考题立体几何重点、热点：求线段的长度、求点到平面的距离、求直线与平面所成的夹角、求两异面直线的夹角、求二面角、证明平行关系和垂直关系等．常用公式： 1 、求线段的长度： 222z y x AB ++==()()()2 12212212z z y y x x -+-+-= 2、求P 点到平面α的距离： PN = ，（N 为垂足，M 为斜足，为平面α的法向量） 3、求直线l 与平面α所成的角：|||||sin |n PM ?= θ，(l PM ?,α∈M ,为α的法向量) 4、求两异面直线AB 与CD 的夹角：cos = θ 5、求二面角的平面角θ：|||||cos |21n n ?= θ，（ 1n ，2n 为二面角的两个面的法向量） 6、求二面角的平面角θ：S S 射影 = θ cos ，（射影面积法） 7、求法向量：①找；②求：设, 为平面α内的任意两个向量，)1,,(y x =为α的法向量，则由方程组?????=?=?0 n b n a ，可求得法向量．

高中新教材9(B)引入了空间向量坐标运算这一内容，使得空间立体几何的平行﹑垂直﹑角﹑距离等问题避免了传统方法中进行大量繁琐的定性分析，只需建立空间直角坐标系进行定量分析，使问题得到了大大的简化。而用向量坐标运算的关键是建立一个适当的空间直角坐标系。一﹑直接建系。当图形中有互相垂直且相交于一点的三条直线时，可以利用这三条直线直接建系。例1. (2002年全国高考题)如图，正方形ABCD ﹑ABEF 的边长都是1，而且平面ABCD ﹑ABEF 互相垂直。点M 在AC 上移动，点N 在BF 上移动，若CM=BN=a （20<