三角形、梯形的中位线

第3章《中心对称图形（一）》易错题集（08）：3.6 三角形、梯

形的中位线

选择题

1．（2010?威海）如图，在△ABC中，D，E分别是边AC，AB的中点，连接BD．若BD 平分∠ABC，则下列结论错误的是（）

A．BC=2BE B．∠A=∠EDA C．BC=2AD D．BD⊥AC

2．（2009?锦州）如图所示，在△ABC中，AB=AC，M，N分别是AB，AC的中点，D，E 为BC上的点，连接DN、EM，若AB=5cm，BC=8cm，DE=4cm，则图中阴影部分的面积为（）

A．1cm2 B．1.5cm2C．2cm2 D．3cm2

3．（2009?绍兴）如图，D，E分别为△ABC的AC，BC边的中点，将此三角形沿DE折叠，使点C落在AB边上的点P处．若∠CDE=48°，则∠APD等于（）

A．42°B．48°C．52°D．58°

4．（2009?衢州）在△ABC中，AB=12，AC=10，BC=9，AD是BC边上的高．将△ABC按如图所示的方式折叠，使点A与点D重合，折痕为EF，则△DEF的周长为（）

A．9.5 B．10.5 C．11 D．15.5

5．（2009?赤峰）将一张三角形纸片沿中位线剪开，拼成一个新的图形，这个新的图形可能是（）

A．三角形B．平行四边形C．矩形 D．正方形

6．（2008?铜仁地区）如图，M是△ABC的边BC的中点，AN平分∠BAC，且BN⊥AN，垂足为N，且AB=6，BC=10，MN=1.5，则△ABC的周长是（）

A．28 B．32 C．18 D．25

7．（2008?随州）如图，点D、E、F分别是△ABC三边的中点，则下列判断错误的是（）

A．四边形AEDF一定是平行四边形

B．若∠A=90°，则四边形AEDF是矩形

C．若AD平分∠A，则四边形AEDF是正方形

D．若AD⊥BC，则四边形AEDF是菱形

8．（2008?嘉兴）如图，△ABC中，已知AB=8，BC=6，CA=4，DE是中位线，则DE=（）

A．4 B．3 C．2 D．1

9．（2008?大庆）如图，将非等腰△ABC的纸片沿DE折叠后，使点A落在BC边上的点F 处．若点D为AB边的中点，则下列结论：①△BDF是等腰三角形；②∠DFE=∠CFE；

③DE是△ABC的中位线，成立的有（）

A．①②B．①③C．②③D．①②③

10．（2007?随州）如图，沿Rt△ABC的中位线DE剪切一刀后，用得到的△ADE和四边形DBCE拼图，下列图形中不一定能拼出的是（）

A．平行四边形B．矩形 C．菱形 D．等腰梯形

11．（2007?娄底）如图，将一张等腰直角三角形纸片沿中位线DE剪开后，可以拼成的四边形是（）

A．矩形或等腰梯形

B．矩形或平行四边形

C．平行四边形或等腰梯形

D．矩形或等腰梯形或平行四边形

12．（2007?贵港）如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，D、E分别是AB、AC的中点，F、G为BC上的两点，FG=3，线段DG，EF的交点为O，当线段FG在线段BC上移动时，三角形FGO的面积与四边ADOE的面积之和恒为定值，则这个定值是（）

A．15 B．12 C．9 D．6

13．（2006?韶关）如图，已知△ABC的周长为1，连接△ABC三边的中点构成第二个三角形，再连接第二个三角形三边的中点构成第三个三角形，…，依此类推，则第10个三角形的周长为（）

A．B．C．D．

14．（2006?杭州）如图，△ABC、△ADE及△EFG都是等边三角形，D和G分别为AC和AE的中点．若AB=4时，则图形ABCDEFG外围的周长是（）

A．12 B．15 C．18 D．21

15．（2006?滨州）如图，DE是△ABC的中位线，M是DE的中点，CM的延长线交AB于点N，则S△DMN：S四边形ANME等于（）

A．1：5 B．1：4 C．2：5 D．2：7

16．（2006?青海）如图DE是△ABC的中位线，F是DE的中点，CF的延长线交AB于点G，则AG：GD等于（）

A．2：1 B．3：1 C．3：2 D．4：3

17．（2003?内蒙古）已知第一个三角形的周长为1，它的三条中位线组成第二个三角形，第二个三角形的三条中位线又组成第三个三角形，以此类推，则第2003个三角形的周长为（）

A．B．C．D．

18．（2008?河南）如图所示，有一张一个角为60°的直角三角形纸片，沿其一条中位线剪开后，不能拼成的四边形是（）

A．邻边不等的矩形B．等腰梯形

C．有一个角是锐角的菱形 D．正方形

19．（2013?德庆县二模）已知△ABC的三边长分别为3cm，4cm，5cm，D，E，F分别为△ABC 各边的中点，则△DEF的周长为（）

A．3cm B．6cm C．12cm D．24cm

20．（2009?漳州自主招生）△ABC的三边长分别为a、b、c，三条中位线组成第一个中点三角形，第一个中点三角形的三条中位线又组成第二个中点三角形，以此类推，求第2009中点三角形的周长为（）

A．B．C．D．

21．如果连接等边三角形各边中点所成的三角形的周长为6，那么该等边三角形的边长为（）

A．2 B．3 C．4 D．9

22．（2008秋?邗江区月考）如图，在钝角△ABC中，点D、E分别是边AC、BC的中点，且DA=DE．有下列结论：①∠1=∠2；②∠1=∠3；③∠B=∠C；④∠B=∠3．其中一定正确的结论有（）个．

A．0 B．1 C．2 D．3

23．（2009秋?开县月考）如图，在△ABC中，D、E、F分别为BC、AC、AB的中点，AH⊥BC

于点H，FD=8cm，则HE的值为（）

A．20cm B．16cm C．12cm D．8cm

24．如图，D，E，F分别为△ABC三边的中点，且AB=AC≠BC，那么△DEF为（）

A．等边三角形B．等腰直角三角形

C．等腰三角形D．不等边三角形

25．（2010?鼓楼区校级模拟）如图，在△ABC中，DE为中位线，则S△ADE：S梯形BCED等于（）

A．B．C．D．

26．（2013?绍兴模拟）如图，△ABC纸片中，AB=BC＞AC，点D是AB边的中点，点E 在边AC上，将纸片沿DE折叠，使点A落在BC边上的点F处．则下列结论成立的个数有（）

①△BDF是等腰直角三角形；②∠DFE=∠CFE；③DE是△ABC的中位线；

④BF+CE=DF+DE．

A．1个B．2个C．3个D．4个

27．（2006?内江）在如图所示的梯形ABCD中，AD∥BC，AD=5，BC=11，①中A1B1是连接两腰中点的线段，易知A1B1=8，②中A1B1，A2B2是连接两腰三等分点且平行于底边的线段，可求出A1B1+A2B2的值…，照此规律下去，③中A1B1，A2B2，…A10B10是连接两腰十一等分点且平行于底边的线段，则A1B1+A2B2+…+A10B10的值为（）

A．50 B．80 C．96 D．100

28．（2001?昆明）平面上A、B两点到直线l的距离分别是和，则线段AB的中点C到直线l的距离是（）

A．3 B．

C．3或D．以上答案都不对

29．（2009春?丽水期末）等腰梯形的高是4，对角线与下底的夹角是45°，则该梯形的中位线是（）

A．4 B．6 C．8 D．10

30．（2005?金华）如图1，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，将△ADE沿线段DE向下折叠，得到图2．下列关于图2的四个结论中，不一定成立的是（）

A．点A落在BC边的中点 B．∠B+∠1+∠C=180°C．△DBA是等腰三角形D．DE∥BC

第3章《中心对称图形（一）》易错题集（08）：3.6 三角

形、梯形的中位线

参考答案与试题解析

选择题

1．（2010?威海）如图，在△ABC中，D，E分别是边AC，AB的中点，连接BD．若BD 平分∠ABC，则下列结论错误的是（）

A．BC=2BE B．∠A=∠EDA C．BC=2AD D．BD⊥AC

【分析】根据D，E分别是边AC，AB的中点，得出DE是△ABC的中位线，所以DE∥BC 且BC=2DE；又BD平分∠ABC，所以∠CDB=∠DBE=∠BDE，所以BE=DE=AE，所以AB=2DE，所以AB=BC，即可得出B、D选项正确．

【解答】解：∵D，E分别是边AC，AB的中点，

∴DE∥BC且BC=2DE，

∵BD平分∠ABC，

∴∠CBD=∠DBE=∠BDE，

∴BE=DE=AE，

∴AB=2DE，BC=2DE=2BE，故A正确；

∴AB=BC，

∴∠A=∠C=∠EDA，故B正确；

C、∵AE=DE，与AD不一定相等，故本选项不一定成立；

D、∵AB=BC，点D是AC的中点，

∴BD⊥AC，故本选项正确．

故选C．

2．（2009?锦州）如图所示，在△ABC中，AB=AC，M，N分别是AB，AC的中点，D，E 为BC上的点，连接DN、EM，若AB=5cm，BC=8cm，DE=4cm，则图中阴影部分的面积为（）

A．1cm2 B．1.5cm2C．2cm2 D．3cm2

【专题】压轴题；整体思想．

【分析】根据题意，易得MN=DE，从而证得△MNO≌△EDO，再进一步求△ODE的高，进一步求出阴影部分的面积．

【解答】解：连接MN，作AF⊥BC于F．

∵AB=AC，

∴BF=CF=BC=×8=4，

在Rt△ABF中，AF==，

∵M、N分别是AB，AC的中点，

∴MN是中位线，即平分三角形的高且MN=8÷2=4，

∴NM=BC=DE，

∴△MNO≌△EDO，O也是ME，ND的中点，

∴阴影三角形的高是AF÷2=1.5÷2=0.75，

∴S阴影=4×0.75÷2=1.5．故选B．

3．（2009?绍兴）如图，D，E分别为△ABC的AC，BC边的中点，将此三角形沿DE折叠，使点C落在AB边上的点P处．若∠CDE=48°，则∠APD等于（）

A．42°B．48°C．52°D．58°

【专题】操作型．

【分析】由翻折可得∠PDE=∠CDE，由中位线定理得DE∥AB，所以∠CDE=∠DAP，进一步可得∠APD=∠CDE．

【解答】解：∵△PED是△CED翻折变换来的，

∴△PED≌△CED，

∴∠CDE=∠EDP=48°，

∵DE是△ABC的中位线，

∴DE∥AB，

∴∠APD=∠CDE=48°，

故选B．

4．（2009?衢州）在△ABC中，AB=12，AC=10，BC=9，AD是BC边上的高．将△ABC按如图所示的方式折叠，使点A与点D重合，折痕为EF，则△DEF的周长为（）

A．9.5 B．10.5 C．11 D．15.5

【专题】压轴题．

【分析】根据折叠图形的对称性，易得△EDF≌△EAF，运用中位线定理可知△AEF的周长等于△ABC周长的一半，进而△DEF的周长可求解．

【解答】解：∵△EDF是△EAF折叠以后形成的图形，

∴△EDF≌△EAF，

∴∠AEF=∠DEF，

∵AD是BC边上的高，

∴EF∥CB，

又∵∠AEF=∠B，

∴∠BDE=∠DEF，

∴∠B=∠BDE，

∴BE=DE，

同理，DF=CF，

∴EF为△ABC的中位线，

∴△DEF的周长为△EAF的周长，即AE+EF+AF=（AB+BC+AC）=（12+10+9）=15.5．故选：D．

5．（2009?赤峰）将一张三角形纸片沿中位线剪开，拼成一个新的图形，这个新的图形可能是（）

A．三角形B．平行四边形C．矩形 D．正方形

【专题】压轴题；操作型．

【分析】可动手画图解答，在拼图时注意将相等的线段拼凑，得出所有可能出现的图形，然后再进行判定．

【解答】解：因为此三角形没说明是特殊三角形，所以沿中位线剪开，拼成一个新的图形，只能可能是平行四边形．

故选B．

6．（2008?铜仁地区）如图，M是△ABC的边BC的中点，AN平分∠BAC，且BN⊥AN，垂足为N，且AB=6，BC=10，MN=1.5，则△ABC的周长是（）

A．28 B．32 C．18 D．25

【专题】压轴题．

【分析】延长线段BN交AC于E，从而构造出全等三角形，（△ABN≌△AEN），进而证明MN是中位线，从而求出CE的长．

【解答】解：延长线段BN交AC于E．

∵AN平分∠BAC，

∴∠BAN=∠EAN，AN=AN，∠ANB=∠ANE=90°，

∴△ABN≌△AEN，

∴AE=AB=6，BN=NE，

又∵M是△ABC的边BC的中点，

∴CE=2MN=2×1.5=3，

∴△ABC的周长是AB+BC+AC=6+10+6+3=25，

故选D．

7．（2008?随州）如图，点D、E、F分别是△ABC三边的中点，则下列判断错误的是（）

A．四边形AEDF一定是平行四边形

B．若∠A=90°，则四边形AEDF是矩形

C．若AD平分∠A，则四边形AEDF是正方形

D．若AD⊥BC，则四边形AEDF是菱形

【分析】一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；有一个角是直角的平行四边形是矩形；对角线互相垂直的平行四边形是菱形．

【解答】解：A、∵点D、E、F分别是△ABC三边的中点，∴DE、DF为△ABC得中位线，

∴ED∥AC，且ED=AC=AF；同理DF∥AB，且DF=AB=AE，

∴四边形AEDF一定是平行四边形，正确．

B、若∠A=90°，则四边形AEDF是矩形，正确；

C、若AD平分∠A，延长AD到M，使DM=AD，连接CM，由于BD=CD，DM=AD，

∠ADB=∠CDB，（SAS）∴△ABD≌△MCD∴CM=AB，又∵∠DAB=∠CAD，

∠DAB=∠CMD，∴∠CMD=∠CAD，∴CA=CM=AB，因AD平分∠A

∴AD⊥BC，则△ABD≌△ACD；AB=AC，AE=AF，

结合（1）四边形AEDF是菱形，因为∠A不一定是直角

∴不能判定四边形AEDF是正方形；

D、若AD⊥BC，则△ABD≌△ACD；AB=AC，AE=AF，结合（1）四边形AEDF是菱形，正确．

故选C．

8．（2008?嘉兴）如图，△ABC中，已知AB=8，BC=6，CA=4，DE是中位线，则DE=（）

A．4 B．3 C．2 D．1

【分析】由D，E分别是边AB，AC的中点，首先判定DE是三角形的中位线，然后根据三角形的中位线定理求得DE的值即可．

【解答】解：∵DE是△ABC的中位线，

∴DE=BC，

∵BC=6，

∴DE=BC=3．

故选B．

9．（2008?大庆）如图，将非等腰△ABC的纸片沿DE折叠后，使点A落在BC边上的点F 处．若点D为AB边的中点，则下列结论：①△BDF是等腰三角形；②∠DFE=∠CFE；

③DE是△ABC的中位线，成立的有（）

A．①②B．①③C．②③D．①②③

【专题】压轴题．

【分析】根据图形可知△DFE是△ADE对折而成，所以两三角形全等，可得AD=DF，而D 是AB中点，故有BD=DF，那么①可证；再利用∠ADF是△BDF的外角，可证∠DFB=∠EDF，那么DE∥BC，即DE是△ABC的中位线，②得证；利用DE∥BC，以及△DFE和△ADE 的对折，可得∠EFC=∠ECF，即△EFC也是等腰三角形，而∠B≠∠C，即∠DFB，∠DFE，∠EFC，不会同时为60°，那么∠DFE≠∠CFE，故②不成立．

【解答】解：由于△DFE是△ADE对折而成，故△DFE≌△ADE，

∴AD=FD，

又∵点D为AB边的中点，

∴AD=BD，

∴BD=DF，即△BDF是等腰三角形，故（1）正确；

由于△DFE是△ADE对折而成，故△DFE≌△ADE，

∴∠ADE=∠FDE，

∵∠ADF=2∠FDE=∠B+∠DFB=2∠DFB，

∴∠FDE=∠DFB，

∴DE∥BC，点E也是AC的中点，故（3）正确；

同理可得△EFC也为等腰三角形，∠C=∠EFC，由于△ABC是非等腰的，

∴∠C≠∠B，也即∠EFC≠∠DFB，

∴∠EFC与∠DFB，∠DFE不都等于60°，

∴②∠DFE=∠CFE就不成立．

故选B．

10．（2007?随州）如图，沿Rt△ABC的中位线DE剪切一刀后，用得到的△ADE和四边形DBCE拼图，下列图形中不一定能拼出的是（）

A．平行四边形B．矩形 C．菱形 D．等腰梯形

【专题】压轴题；操作型．

【分析】可动手拼图，先画出图形再根据已知条件解答．

【解答】解：

如图：①为矩形；②为平行四边形，若∠B=60°时为菱形；③等腰梯形．

故选C．

11．（2007?娄底）如图，将一张等腰直角三角形纸片沿中位线DE剪开后，可以拼成的四边形是（）

A．矩形或等腰梯形

B．矩形或平行四边形

C．平行四边形或等腰梯形

D．矩形或等腰梯形或平行四边形

【分析】能够根据图形的变换：平移，轴对称，旋转三种变换进行拼图．

【解答】解：如图示，

若把△ADE绕点E旋转180°可得矩形；若把△ADE绕点D旋转180°，即可得到平行四边形；若把△ADE向下平移AD个单位长度，再沿BD翻折，即可得到等腰梯形，故选

D．

12．（2007?贵港）如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，D、E分别是AB、AC的中点，F、G为BC上的两点，FG=3，线段DG，EF的交点为O，当线段FG在线段BC上移动时，三角形FGO的面积与四边ADOE的面积之和恒为定值，则这个定值是（）

A．15 B．12 C．9 D．6

【专题】压轴题；动点型．

【分析】连接DE，过A作AH⊥BC于H．由于DE是AB、AC的中点，利用三角形中位线定理可得DE∥BC，并且可知△ADE的高等于AH，再结合等腰三角形三线合一性质，以及勾股定理可求AH，那么△ADE的面积就可求．而所求S△FOG+S四边形

ADOE=S△ADE+S△DOE+S△FOG，又因为△DOE和△FOG的底相等，高之和等于AH的一半，故它们的面积和可求，从而可以得到S△FOG+S四边形ADOE的面积．

【解答】解：如图：连接DE，过A向BC作垂线，H为垂足，

∵△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，

∴DE，AH分别是△ABC的中位线和高，BH=CH=BC=×6=3，

∵AB=AC=5，BC=6，由勾股定理得AH===4，

∴S△ADE=BC?=×3×=3，

设△DOE的高为a，△FOG的高为b，则a+b==2，

∴S△DOE+S△FOG=DE?a+FG?b=×3（a+b）=×3×2=3，

∴三角形FGO的面积与四边ADOE的面积之和恒为定值，则这个定值是

S△ADE+S△DOE+S△FOG=3+3=6．

故选D．

13．（2006?韶关）如图，已知△ABC的周长为1，连接△ABC三边的中点构成第二个三角形，再连接第二个三角形三边的中点构成第三个三角形，…，依此类推，则第10个三角形的周长为（）

A．B．C．D．

【专题】压轴题；规律型．

【分析】根据三角形的中位线定理建立周长之间的关系，按规律求解．

【解答】解：根据三角形中位线定理可得第二个三角形的各边长都等于最大三角形各边的一半，那么第二个三角形的周长=△ABC的周长×=1×=，第三个三角形的周长为=△ABC 的周长××=（）2，第10个三角形的周长=（）9，故选C．

14．（2006?杭州）如图，△ABC、△ADE及△EFG都是等边三角形，D和G分别为AC和AE的中点．若AB=4时，则图形ABCDEFG外围的周长是（）

A．12 B．15 C．18 D．21

【分析】利用平移性质可得图形ABCDEFG外围的周长等于等边三角形△ABC的周长加上AE，GF长，利用三角形中位线长定理可得其余未知线段的长．

【解答】解：∵△ABC、△ADE及△EFG都是等边三角形，D和G分别为AC和AE的中点，AB=AC=BC=4

∴DE=CD=AC=×4=2，EF=GF=AG=DE=×2=1

∴图形ABCDEFG外围的周长是AB+CD+BC+DE+EF+GF+AG=4+2+4+2+1+1+1=15

故选B．

15．（2006?滨州）如图，DE是△ABC的中位线，M是DE的中点，CM的延长线交AB于点N，则S△DMN：S四边形ANME等于（）

A．1：5 B．1：4 C．2：5 D．2：7

【专题】几何综合题；压轴题．

【分析】本题的关键是求出S△DMN，先连接AM，由于DE是△ABC的中位线，那么DE∥BC，且DE=BC，M是DE中点，于是可知，DM=BC，在△BCN中，利用平行线分线段成比例定理的推论，可得DN=BD，即，DN=AD，于是S△DMN=S△ADM，而

S△ADM=S△ADE=S△ABC（可设S△ABC=1），那么S四边形ANME也可求，两者面积比也就可

求．

【解答】解：∵DE是△ABC的中位线，

∴DE∥BC，DE=BC，

若设△ABC的面积是1，根据DE∥BC，得△ADE∽△ABC，

∴S△ADE=，

连接AM，根据题意，得S△ADM=S△ADE=S△ABC=，

∵DE∥BC，DM=BC，

∴DN=BN，

∴DN=BD=AD．

∴S△DNM=S△ADM=，

∴S四边形ANME==，

∴S△DMN：S四边形ANME=：=1：5．

故选A．

16．（2006?青海）如图DE是△ABC的中位线，F是DE的中点，CF的延长线交AB于点G，则AG：GD等于（）

A．2：1 B．3：1 C．3：2 D．4：3

【专题】压轴题．

【分析】过E作EM∥AB与GC交于点M，构造全等三角形把DG转移到和AG有关的中位线处，可得所求线段的比．

【解答】解：过E作EM∥AB与GC交于点M，

∴△EMF≌△DGF，

∴EM=GD，

∵DE是中位线，

∴CE=AC，

又∵EM∥AG，

∴△CME∽△CGA，

∴EM：AG=CE：AC=1：2，

又∵EM=GD，

∴AG：GD=2：1．

故选A．

17．（2003?内蒙古）已知第一个三角形的周长为1，它的三条中位线组成第二个三角形，第二个三角形的三条中位线又组成第三个三角形，以此类推，则第2003个三角形的周长为（）

A．B．C．D．

【专题】压轴题；规律型．

【分析】根据三角形的中位线定理，第一个三角形的周长为1，推导出第二个三角形的周长

，第三个三角形的周长为，然后由前几个三角形的周长，寻找周长之间的规律．

【解答】解：由于三角形的中位线平行于第三边并且等于它的一半，三条中位线组成的三角形的周长是原三角形的周长的一半，以此类推，第2003个三角形的周长为（×××…×）[2002个]=．

故选C．

18．（2008?河南）如图所示，有一张一个角为60°的直角三角形纸片，沿其一条中位线剪开后，不能拼成的四边形是（）

A．邻边不等的矩形B．等腰梯形

C．有一个角是锐角的菱形 D．正方形

【分析】可画出图形，令相等的线段重合，拼出可能出现的图形，然后再根据已知三角形的性质，对拼成的图形进行具体的判定．

【解答】解：如图：此三角形可拼成如图三种形状，

（1）为矩形，∵有一个角为60°，则另一个角为30°，∴此矩形为邻边不等的矩形；

（2）为菱形，有两个角为60°；

（3）为等腰梯形．

故选：D．

19．（2013?德庆县二模）已知△ABC的三边长分别为3cm，4cm，5cm，D，E，F分别为△ABC 各边的中点，则△DEF的周长为（）

A．3cm B．6cm C．12cm D．24cm

【分析】利用三角形中位线定理可知，中点三角形的周长等于原三角形周长的一半，即可求．

【解答】解：∵△ABC的三边长分别为3cm，4cm，5cm，

∵D，E，F分别为△ABC各边的中点，

∴△DEF的各边长分别为△ABC的三边长的一半，

∴△DEF的周长为（3+4+5）=6cm．

故选B．

20．（2009?漳州自主招生）△ABC的三边长分别为a、b、c，三条中位线组成第一个中点三角形，第一个中点三角形的三条中位线又组成第二个中点三角形，以此类推，求第2009中点三角形的周长为（）

A．B．C．D．

【专题】压轴题；规律型．

【分析】由三角形的中位线定理可知，第一个中点三角形的周长是原三角形周长的，即第一个中点三角形的周长是×（a+b+c），第二个中点三角形的周长是（a+b+c），第

三个中点三角形的周长是（a+b+c），

第四个中点三角形的周长是（a+b+c），依照此规律，可以得出第2009个中点三角形的周长．

【解答】解：根据中位线定理，第一个中点三角形的周长是原三角形的；

第二个中点三角形的周长是第一个中点三角形的；

第三个中点三角形的周长是第二个中点三角形的，…

于是，第2009中点三角形的周长为（××××…×）（a+b+c）=．

故选B．

21．如果连接等边三角形各边中点所成的三角形的周长为6，那么该等边三角形的边长为（）

A．2 B．3 C．4 D．9

【分析】根据等边三角形的中位线所围成的三角形仍是等边三角形可求得中位线的长为2，则等边三角形的边长为4．

【解答】解：∵等边三角形的中位线所围成的三角形的周长为6，

∴中位线的长为2，∴等边三角形的边长为4．故选C．

22．（2008秋?邗江区月考）如图，在钝角△ABC中，点D、E分别是边AC、BC的中点，且DA=DE．有下列结论：①∠1=∠2；②∠1=∠3；③∠B=∠C；④∠B=∠3．其中一定正确的结论有（）个．

A．0 B．1 C．2 D．3

【分析】由D、E是AC、AB中点，可知DE是△ABC的中位线，那么DE∥AB，即∠1=∠3，又AD=DE，又可得∠2=∠3，那么可知①②是正确的，有D是AC中点，AD=DE，可证CD=DE，再利用DE∥AB，可得出∠B=∠C．在Rt△AEC中，∠2不一定等于∠C，所以④不正确．

【解答】解：由题意可证明△ADE、△DEC、△ABC都是等腰三角形，△AEC是直角三角形，则结论正确的是①②③．

故选D．

23．（2009秋?开县月考）如图，在△ABC中，D、E、F分别为BC、AC、AB的中点，AH⊥BC

于点H，FD=8cm，则HE的值为（）

A．20cm B．16cm C．12cm D．8cm

【分析】先根据三角形中位线定理求出AC的长，再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答．

【解答】解：∵D、F是BC、AB的中点，

∴AC=2FD=2×8=16cm，

∵E是AC的中点，AH⊥BC于点H，

∴EH=AC=8cm．

故选D．

24．如图，D，E，F分别为△ABC三边的中点，且AB=AC≠BC，那么△DEF为（）

三角形中位线定理 知识讲解

三角形中位线定理 【学习目标】 1. 理解三角形的中位线的概念，掌握三角形的中位线定理． 2. 掌握中点四边形的形成规律. 【要点梳理】 要点一、三角形的中位线 1．连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线. 2．定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半. 要点诠释：（1）三角形有三条中位线，每一条与第三边都有相应的位置关系与数量关系. （2）三角形的三条中位线把原三角形分成可全等的4个小三角形.因而每个 小三角形的周长为原三角形周长的1 2 ，每个小三角形的面积为原三角形 面积的1 4 . （3）三角形的中位线不同于三角形的中线. 要点二、顺次连接特殊的平行四边形各边中点得到的四边形的形状 （1）顺次连接平行四边形各边中点得到的四边形是平行四边形. （2）顺次连接矩形各边中点得到的四边形是菱形. （3）顺次连接菱形各边中点得到的四边形是矩形. （4）顺次连接正方形各边中点得到的四边形是正方形. 要点诠释：新四边形由原四边形各边中点顺次连接而成. （1）若原四边形的对角线互相垂直，则新四边形是矩形. （2）若原四边形的对角线相等，则新四边形是菱形. （3）若原四边形的对角线垂直且相等，则新四边形是正方形. 【典型例题】 类型一、三角形的中位线 1、（优质试题?北京）如图，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，AC=AD，M，N分别为AC，CD的中点，连接BM，MN，BN． （1）求证：BM=MN； （2）∠BAD=60°，AC平分∠BAD，AC=2，求BN的长． 【思路点拨】（1）根据三角形中位线定理得MN=AD，根据直角三角形斜边中线定理得BM=AC，由此即可证明．

三角形、梯形的中位线

第3章《中心对称图形（一）》易错题集（08）：3.6 三角形、梯 形的中位线 选择题 1．（2010?威海）如图，在△ABC中，D，E分别是边AC，AB的中点，连接BD．若BD 平分∠ABC，则下列结论错误的是（） A．BC=2BE B．∠A=∠EDA C．BC=2AD D．BD⊥AC 2．（2009?锦州）如图所示，在△ABC中，AB=AC，M，N分别是AB，AC的中点，D，E 为BC上的点，连接DN、EM，若AB=5cm，BC=8cm，DE=4cm，则图中阴影部分的面积为（） A．1cm2 B．1.5cm2C．2cm2 D．3cm2 3．（2009?绍兴）如图，D，E分别为△ABC的AC，BC边的中点，将此三角形沿DE折叠，使点C落在AB边上的点P处．若∠CDE=48°，则∠APD等于（） A．42°B．48°C．52°D．58° 4．（2009?衢州）在△ABC中，AB=12，AC=10，BC=9，AD是BC边上的高．将△ABC按如图所示的方式折叠，使点A与点D重合，折痕为EF，则△DEF的周长为（） A．9.5 B．10.5 C．11 D．15.5 5．（2009?赤峰）将一张三角形纸片沿中位线剪开，拼成一个新的图形，这个新的图形可能是（）

A．三角形B．平行四边形C．矩形 D．正方形 6．（2008?铜仁地区）如图，M是△ABC的边BC的中点，AN平分∠BAC，且BN⊥AN，垂足为N，且AB=6，BC=10，MN=1.5，则△ABC的周长是（） A．28 B．32 C．18 D．25 7．（2008?随州）如图，点D、E、F分别是△ABC三边的中点，则下列判断错误的是（） A．四边形AEDF一定是平行四边形 B．若∠A=90°，则四边形AEDF是矩形 C．若AD平分∠A，则四边形AEDF是正方形 D．若AD⊥BC，则四边形AEDF是菱形 8．（2008?嘉兴）如图，△ABC中，已知AB=8，BC=6，CA=4，DE是中位线，则DE=（） A．4 B．3 C．2 D．1 9．（2008?大庆）如图，将非等腰△ABC的纸片沿DE折叠后，使点A落在BC边上的点F 处．若点D为AB边的中点，则下列结论：①△BDF是等腰三角形；②∠DFE=∠CFE； ③DE是△ABC的中位线，成立的有（） A．①②B．①③C．②③D．①②③ 10．（2007?随州）如图，沿Rt△ABC的中位线DE剪切一刀后，用得到的△ADE和四边形DBCE拼图，下列图形中不一定能拼出的是（）

三角形的中位线

三角形的中位线（一） 一、教学目的和要求 使学生了解三角形中位线的定义，掌握三角形中位线性质定理的证明和应用。 通过定理的证明进一步培养学生的逻辑推理能力。 二、教学重点和难点 重点：掌握三角形中位线定义，及性质定理的证明。 难点：证题中正确添加辅助线。 三、教学过程 （一）复习、引入 提问： 1、平行线等分线段定理的内容 2、叙述定理的两个推论（画图示意） 练习：见图1 AD 是ABC ?中BC 边上的中线，E 为AD 的中点，连结BE 并延长交AC 于F ，若AF=2，求AC 的长。 A B D C 图1 过D 点作BF 的平行线交AC 于M ，因为BD=DC ，AE=ED ，利用平行线等分线段定理推论2，可得AF=FM=MC ，所以AC=6。 如果我们将平行线等分线段定理推论2的条件、结论交换一下，是否成立？ 已知：D 、E 是ABC ?中AB 、AC 边的中点，则DE//BC 。这就是我们今天将要研究的课题。 （二）新课 定义：连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。 DE 叫做ABC ?的中位线。 注意： 1. 中位线是线段，它的端点是三角形两边的中点。 2. 中位线与中线都是三角形的重要线段，它们端点位置不同，是两个不同的概念。 每个三角形有三条中位线。 下面我们研究三角形的中位线与第三边的数量及位置关系。 三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半。 已知：如图2，ABC ?中，AD=DB ，AE=EC 求证：BC DE BC DE 2 1,//=

图2 分析：证明一条线段是第二条线段的一半，可将第一条线段倍长，证明等于第二条线段；也可将第二条线段取中点，证明其一半等于第一条线段。这里我们用第一种方法。 证明：延长DE到F使EF=DE，连结CF 在中 四边形DBCF是平行四边形。 DE//BC 小结：到目前为止，在我们学过的定理中，结论存在一条线段等于另一条线段一半的有哪些？ 1. 直角三角形中，角所对直角边等于斜边的一半。 2. 直角三角形中，斜边的中线等于斜边的一半。 3. 三角形中位线定理。 例1已知：如图3，中，，D、E、F分别是BC、AB、CA边的中点，求证：AD=EF C D F A E B 图3 分析：要证AD=EF，我们先要结合图形认识线段AD、EF在图形的位置就会很容易找到解决问题的方法。 AD是斜边BC的中线，所以，EF是的中位线，所以。

沪教版八年级数学-三角形梯形的中位线-学生版讲义

三角形、梯形的中位线 知识精要 一、三角形的中位线 1）、三角形的中位线定义： 在△ABC 中①、BC AB F E 、为、 的中点 ②、∵M 、N 分别是BC 、AC 的中点 ∴线段EF 是 △ABC 的 ∴ 线段MN 是△ABC 的 2）、三角形有 条中位线，它们构成的三角形叫 。 3）、三角形的中位线定理： 4）、在△ABC 中，AB =3，BC =5，CA =7，顺次连结三边中点得△DEF 的周长为___ ______. 5）、在△ABC 中，D 、E 、F 分别 为AB 、BC 、CA 的中点，△DEF 的周长为10，则△ABC 的周长是 6）、三角形的三条中位线的长分别是3，4，5，则这个三角形的周长是_ 结论：中点三角形的周长等于原三角形的 . 7）、一个三角形的面积是40，则它的中点三角形的面积是__ 结论：中点三角形的面积是原三角形面积的_ 二、中点四边形 1、定义：顺次连接四边形各边中点的四边形叫 2、中点四边形的形状与原四边形的对角线数量和位置有关 1）、原四边形的对角线相等时，中点四边形是 ； 2）、原四边形的对角线垂直时，中点四边形是 ； 3）、原四边形的对角线既相等又垂直时，中点四边形是 ； 4）、原四边形的对角线既不相等又不垂直时，中点四边形是 。 5）、任意四边形的中点四边形是 ；菱形的中点四边形是 ； 矩形、等腰梯形的中点四边形是 ；正方形的中点四边形是 。 三、梯形中位线 1、定义：联结梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线。

2、梯形中位线定理： 热身练习 1．若三角形三条中位线长分别是3cm 、4cm 、5cm ，则这个三角形的面积是 cm 2。 2．梯形的上底长为6，下底长为10，则由中位线所分得的两个梯形的面积之比为 ． 3. 梯形的两条对角线的中点的连线长为7，上底长为8，则下底长为 ． 4. 若等腰梯形的腰长是5cm ，中位线是6cm ，则它的周长是 cm ． 5. 已知等腰梯形的上、下底长分别为 2cm 和6cm ，且它的两条对角线互相垂直，则这个梯形的面积为 cm 2． 6. 已知三角形三边长分别为a 、b 、c ，它的三条中位线组成一个新的三角形，这个新三角形的三条中位线又组成一个小三角形，这个小三角形的三条中位线又组成一个新小三角形，则最小的三角形的周长是( ) A. (a+b+c) B. (a+b+c) C. (a+b+c) D. (a+b+c) 7．若等腰梯形较长的底等于对角线，较短的底等于高，则较短的底和较长的底的长的长度之比是 （ ） A.1:2 B. 2:3 C.4:1 D. 3:5 8．直角梯形中，上底和斜腰长均为a ，且斜腰和下底的夹角是60°，则梯形中位线长为（ ） A. B. a C. D. 都不对 9．在梯形ABCD 中，AB//CD ，DC ：AB=1：2，E 、F 分别是两腰BC 、AD 的中点，则 （ ） A. 1：4 B. 1：3 C. 1：2 D. 3：4 10. 如图，在直角梯形ABCD 中，点O 为CD 的中点，AD ∥BC,试判断OA 与OB 的关系？ （10题图） （11题图） 11. 如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，点E 是AB 中点，连结EC 、ED 、CE ⊥DE ，CD 、AD 与BC 三条线段之间有什么样的数量关系？请说明理由． 精解名题 例1．已知：如图所示，Rt △ABC 中，∠=ACB D E 90°，、分别为AB 、BC 的中点，点F 在AC 的延长线上，∠=∠FEC B 。

三角形的中位线

第十八章平行四边形 18.1.2 平行四边形的判定 第3课时三角形的中位线 学习目标：1.理解三角形中位线的概念，掌握三角形的中位线定理； 2.能利用三角形的中位线定理解决有关证明和计算问题. 重点：理解三角形中位线的概念，掌握三角形的中位线定理. 难点：能利用三角形的中位线定理解决有关证明和计算问题. 一、知识回顾 1.平行四边形的性质和判定有哪些？ 边：①AB∥CD,AD____BC ②AB=CD,AD____BC 平行四边形ABCD ③AB∥CD,AB_____CD 角：∠BAD____∠BCD，∠ ABC____∠ADC 对角线：AO____CO,DO____BO 一、要点探究 探究点1：三角形的中位线定理 概念学习三角形中位线：连接三角形两边中点的线段. 如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，连接DE. 则线段DE就称为△ABC的中位线. 想一想 1.一个三角形有几条中位线？你能在△ABC中画出它所有 的中位线吗？ 2.三角形的中位线与中线有什么区别？ 猜一猜如图，DE是△ABC的中位线，DE与BC有怎样的位置关系，又有 怎样的数量关系？ 猜想：三角形的中位线________三角形的第三边且 ________第三边的________． 量一量度量一下你手中的三角形，看看是否有同样的结论？ 证一证如图，在△ABC中，点D,E分别是AB,AC边的中点. 1 . 2 DE BC DE BC 求证：∥， 分析： 课堂探究 自主学习 教学备注 学生在课前 完成自主学 习部分 配套PPT讲 授 1.情景引入 （见幻灯片 3-4） 2.探究点1新 知讲授 （见幻灯片 5-18） 性质 判定 教学备注 2.探究点1新 知讲授 （见幻灯片 5-18）倍长DE至F DF与AC互相平分 构造全等 三角形 角、边 相等 平行四 边形 线段相 等、平行

三角形 梯形的中位线精典例题

三角形梯形的中位线精典例题 10.三角形、梯形的中位线 知识考点： 掌握三角形、梯形的中位线定理，并会用它们进行有关的论证和计算。 精典例题： 【例1】如图，梯形ABCD中，AD∥BC，M是腰AB的中点，且AD＋BC＝DC。求证：MD⊥MC。 分析：遇到腰上中点的问题构造梯形中位线可证明，也可以因为腰上有中点，延长DM与CB的延长线交于E点进行证明。 ADACDMNQPEGFBCBDMC例1图 AB 例2图问题图 【例2】如图，△ABC的三边长分别为AB＝14，BC＝16，AC＝26，P为∠A的平分线AD上一点，且BP⊥AD，M为BC 的中点，求PM的长。 分析：∠A的平分线与BP边上的垂线互相重合，通过作辅助线延长BP交AC于点Q，△ABP≌△AQP知AB＝AQ＝14，又知M是BC的中点，所以PM是△BQC的中位线，于是本题得以解决。

答案：PM＝6 探索与创新： 【问题一】 E、F为凸四边形ABCD的一组对边AD、BC 的中点，若EF＝ 1(AB?CD)，2问：ABCD为什么四边形？请说明理。 分析与结论：如图，利用三角形和梯形的中位线定理，连结AC，取AC的中点G，连EG、FG，则EG∥ 111CD，FG∥AB，∴EG＋FG＝(AB?CD)，即EG＋FG＝EF，则222G点在EF上，EF∥CD，EF∥AB，故AB∥CD。 若AD∥BC，则凸四边形ABCD为平行四边形；若AD不平行于BC，则凸四边形ABCD为梯形。 评注：利用中位线构造出 11CD、AB，其关键是连AC，并取其中点G。 22跟踪训练： 一、填空题： 1、三角形各边长为5、9、12，则连结各边中点所构成的三角形的周长是。 2、一个等腰梯形的周长为100cm，如果它的中位线与腰长相等，它的高为20cm，那么这个 梯形的面积是。 3、若梯形中位线被它的两条对角线分成三等分，则梯形的两底之比为。

三角形中位线中的常见辅助线-)

三角形中位线中的常见辅助线知识梳理 知识点一中点 一、与中点有关的概念 三角形中线的定义：三角形顶点和对边中点的连线 等腰三角形底边的中线三线合一(底边的中线、顶角的角平分线、底边的高重合) 三角形中位线定义：连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线． 三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边并且等于它的一半． 中位线判定定理：经过三角形一边中点且平行于另一边的直线必平分第三边． 直角三角形斜边中线：直角三角形斜边中线等于斜边一半 斜边中线判定：若三角性一边上的中线等于该边的一半，则这个三角形是直角三角形 二、与中点有关的辅助线 方法一：倍长中线 解读：凡是出现中线或类似中线的线段，都可以考虑倍长中线，倍长中线的目的可以旋转等长度的线段，从而达到将条件进行转化的目的。 方法二：构造中位线 解读：凡是出现中点，或多个中点，都可以考虑取另一边中点，或延长三角形一边，从而达到构造三角形中位线的目的。 方法三：构造三线合一 解读：只要出现等腰三角形，或共顶点等线段，就需要考虑构造三线合一，从而找到突破口 其他位置的也要能看出 方法四：构造斜边中线 解读：只要出现直角三角形，或直角，则考虑连接斜边中线段，第一可以出现三条等线段，第二可以出现两个等腰三角形，从而转化线段关系。 其他位置的也要能看出

常见考点

构造三角形中位线 考点说明：①凡是出现中点，或多个中点，都可以考虑取四边形对角线中点、等腰三角形底边中点、直角 三角形斜边中点或其他线段中点; ②延长三角形一边，从而达到构造三角形中位线的目的。 “题中有中点，莫忘中位线”．与此很相近的几何思想是“题中有中线，莫忘加倍延”，这两个是常用几何思想，但注意倍长中线的主要目的是通过构造三角形全等将分散的条件集中起来．平移也有类似作用． 典型例题 【例1】 已知：AD 是ABC △的中线，AE 是ABD △的中线，且AB BD =，求证：2AC AE =． 举一反三 1. 如右下图，在ABC ?中，若2B C ∠=∠，AD BC ⊥，E 为BC 边的中点．求证：2AB DE =． 2. 在ABC ?中，90ACB ∠=?，12 AC BC = ，以BC 为底作等腰直角BCD ?，E 是CD 的中点，求证：AE EB ⊥且AE BE =． 【例2】 已知四边形ABCD 的对角线AC BD =，E 、F 分别是AD 、BC 的中点，连结EF 分别交AC 、BD 于M 、N ，求证：AMN BNM =∠∠． 举一反三 1. 已知四边形ABCD 中，AC BD <，E F 、分别是AD BC 、的中点，EF 交AC 于M ；EF 交BD 于N ，AC 和BD 交于G 点．求证：GMN GNM ∠>∠． 2. 已知：在ABC ?中，BC AC >，动点D 绕ABC ?的顶点A 逆时针旋转，且AD BC =，连结DC ．过AB 、DC 的中点E 、F 作直线，直线EF 与直线AD 、BC 分别相交于点M 、N ． （1）如图1，当点D 旋转到BC 的延长线上时，点N 恰好与点F 重合，取AC 的中点H ，连结HE 、HF ，求证： AMF BNE ∠=∠ （2）当点D 旋转到图2中的位置时，AMF ∠与BNE ∠有何数量关系？请证明． 【例3】 如图，在五边形ABCDE 中，90ABC AED ∠=∠=?，BAC EAD ∠=∠，F 为CD 的中点．求证： BF EF =． 举一反三 1.如图所示，在三角形ABC 中，D 为AB 的中点，分别延长CA 、CB 到点E 、F ，使DE=DF ．过E 、 F 分别作直线CA 、CB 的垂线，相交于点P ，设线段PA 、PB 的中点分别为M 、N ．求证： （1）DEM FDN ??≌； （2）PAE PBF ∠=∠．

三角形的中位线经典练习题及其答案

三角形的中位线练习题及其答案 1．连结三角形___________的线段叫做三角形的中位线． 2．三角形的中位线______于第三边，并且等于_______． 3．一个三角形的中位线有_________条． 4.如图△ABC 中，D 、E 分别是AB 、 AC 的中点，则线段CD 是△ABC 的＿＿＿， 线段DE 是△ABC ＿＿＿＿＿＿＿ 5、如图，D 、E 、F 分别是△ABC 各边的中点 （1）如果EF ＝4cm ，那么BC ＝＿＿cm 如果AB ＝10cm ，那么DF ＝＿＿＿cm （2）中线AD 与中位线EF 的关系是＿＿＿ 6．如图1所示，EF 是△ABC 的中位线，若BC=8cm ，则EF=_______cm ． (1) (2) (3) (4) 7．三角形的三边长分别是3cm ，5cm ，6cm ，则连结三边中点所围成的三角形的周长是_________cm ． 8．在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=?5，?BC=?12，?则连结两条直角边中点的线段长为_______． 9．若三角形的三条中位线长分别为2cm ，3cm ，4cm ，则原三角形的周长为（ ） A ．4.5cm B ．18cm C ．9cm D ．36cm 10．如图2所示，A ，B 两点分别位于一个池塘的两端，小聪想用绳子测量A ，B 间的距离，但绳子不够长，一位同学帮他想了一个主意：先在地上取一个可以直接到达A ，B 的点C ，找到AC ，BC 的中点D ，E ，并且测出DE 的长为10m ，则A ，B 间的距离为（ ） A ．15m B ．25m C ．30m D ．20m 11．已知△ABC 的周长为1，连结△ABC 的三边中点构成第二个三角形，?再连结第二个三角形的三边中点构成第三个三角形，依此类推，第2010个三角形的周长是（ ） A 、 20081 B 、20091 C 、220081 D 、2 20091 12．如图3所示，已知四边形ABCD ，R ，P 分别是DC ，BC 上的点，E ，F 分别是AP ，RP 的中点，当点P 在BC 上 从点B 向点C 移动而点R 不动时， 那么下列结论成立的是（ ） A ．线段EF 的长逐渐增大 B ．线段EF 的长逐渐减少 C ．线段EF 的长不变 D ．线段EF 的长不能确定 13．如图4,在△ABC 中，E ，D ，F 分别是AB ，BC ，CA 的中点，AB=6，AC=4，则四边形AEDF?的周长是（ ） A ．10 B ．20 C ．30 D ．40 14．如图所示，□ ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，AE=EB ，求证：OE ∥BC ．

三角形的中位线经典习题类型大全

第 1 页 共 2 页 1 三角形的中位线综合练习题 姓名 例1如图1，在△ABC 中，AC>AB ，M 为BC 的中点．AD 是∠BAC 的平分线，若CF ⊥AD 交AD 的延长线于F .求证： ()1 2MF AC AB = - . F E D C B A 图1 图2 图3 图4 图5 例2. 如图2，在四边形ABCD 中，E 、F 分别为AC 、BD 的中点，则EF 与AB +CD 的关系是 ( ) A .2EF AB CD =+ B. 2EF AB CD >+ C. 2EF AB CD <+ D. 不确定 例3. 如图5，AB ∥CD ，E 、F 分别是BC 、AD 的中点，且AB=a ,CD=b ，则EF 的长为 . 4．在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=?5，?BC=?12，?则连结两条直角边中点的线段长为_______． 5．若三角形的三条中位线长分别为2cm ，3cm ，4cm ，则原三角形的周长为（ ） A ．4.5cm B ．18cm C ．9cm D ．36cm 6．已知△ABC 的周长为1，连结△ABC 的三边中点构成第二个三角形，?再连结第二个三角形的三边中点构成第三个三角形，依此类推，第2010个三角形的周长是（ ） A 、 20081 B 、20091 C 、220081 D 、2 20091 7．如图4所示，已知四边形ABCD ，R ，P 分别是DC ，BC 上的点，E ，F 分别是AP ，RP 的中点，当点P 在BC 上从 点B 向点C 移动而点R 不动时， 那么下列结论成立的是（ ） A ．线段EF 的长逐渐增大 B ．线段EF 的长逐渐减少 C ．线段EF 的长不变 D ．线段EF 的长不能确定 8．如图5,在△ABC 中， E ，D ， F 分别是AB ，BC ，CA 的中点，AB=6，AC=4，则四边形AEDF?的周长是（ ） A ．10 B ．20 C ．30 D ．40 9.顺次连接一个四边形的各边中点，得到一个菱形，这个四边形一定是（ ） A.平行四边形 B.菱形 C 、矩形 D.对角线相等的四边形 10.已知：如图，DE 是△ABC 的中位线，AF 是BC 边上的中线， 求证：DE 与AF 互相平分 11．如图所示，在△ABC 中，点D 在BC 上且CD=CA ，CF 平分∠ACB ，AE=EB ，求证：EF= 1 2 BD ． 12．如图所示，已知在□ABCD 中，E ，F 分别是AD ，BC 的中点，求证：MN ∥BC ． 13.如图，点E ，F ，G ，H 分别是CD ，BC ，AB ，DA 的中点。 求证：四边形EFGH 是平行四边形。 F E D B H G F E D C B A

22.6 三角形梯形的中位线(2)

课题：22.6（2）梯形的中位线 教学目标 1、理解梯形的中位线概念； 2、经历探索梯形中位线性质的过程，体会转化的思想方法； 3、掌握梯形的中位线的性质定理，能运用梯形中位线定理进行计算和论证．教学重点及难点 重点：掌握梯形中位线定理，并能应用定理进行计算和证明； 难点：识图，认识梯形中位线的性质． 教学过程设计 一、情景引入 1、温故知新 （1）结合图形，讲出三角形中位线定义及其性质； 几何语言：因为……，所以……． （2）习题评析 ①联结三角形各边中点得到的三角形，它的周长为原三角形周长的， 面积为原三角形面积的； ②三角形的一条中位线分原三角形所成的一个小三角形与一个梯形的面积 比是； ③以等腰梯形两底的中点及两对角线的中点为顶点的四边形是； ④顺次联结对角线互相垂直的四边形各边中点所成的四边形是． 2、思考：什么是梯形的中位线？梯形中位线有什么性质？ 二、学习新课 1、概念辨析 （1）梯形中位线定义：联结梯形两腰的中点的线段叫做梯形的中位线． 如图，已知点E、F分别是梯形的腰AB、CD中点，则EF为梯形ABCD的 中位线． 探讨1：如何添加辅助线 探讨2：如何利用中点条件添加辅助线？

探讨3：能否运用三角形的中位线定理得出梯形的中位线定理？ （3）结论1 梯形中位线定理：梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半． （4）结论2 梯形面积公式：梯形面积＝中位线×高． 2、例题分析 例 1 如图，一把梯子每一横档都互相平行，高度相等，已知最上面两条横档的长度分别为6、7，那么下面几根横档的长度分别为多少？ 【分析】利用梯形中位线定理可以先得出第三条边，其余的就 迎刃而解了． 例2 如图，在梯形ABCD 中，AD//BC ，E 为AB 的中点，AD+BC=DC ． 求证：DE ⊥EC ． 【分析】利用梯形中位线定理解题，即可考虑添加中位线． 由已知条件，联想到利用梯形ABCD 的中位线，并且可知中位线的长是DC 的一半；又梯形中位线与上、下底平行，于是可以从几对等角中获得结论． B B 另外，也有一种常用的添加辅助线方法，可以探讨是否可行． 3、问题拓展 当梯形的上底收缩为一点时，梯形成为三角形．因此可以说，三角形中位线定理是梯形中位线定理的特殊情况． 三、巩固练习 1、联结三角形各边中点得到的三角形，它的周长为原三角形周长的 ；面积为原三角形面积的 ． 2、三角形的一条中位线分原三角形所成的一个小三角形与一个梯形的面积比 ．

三角形的中位线知识、方法总结

三角形的中位线济宁附中李涛 1.定义 三角形中位线定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线． 如图：DE是△ABC的中位线。 符号语言 说明：（1）一个三角形有3条中位线 （2）定义有双重性：即是性质，也是判定 （3）注意与三角形中线的区别：要把三角形的中位线与三角形的中线区分开．三角形中线是连结一顶点和它对边的中点，而三角形中位线是连结三角 形两边中点的并且与底边平行且等于底边一半的的线段． 2.三角形中位线性质定理 定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半 符号语言：（重点，书上记了） 说明：（1）作用：证明平行关系，倍分关系；转移线段，转移角。 （2）常用辅助线：见中点，构造中位线。 （3）分离基本图形：全等，平行四边形 证明（转化思想，常用辅助线） 证明1： 如图，延长DE 到F，使EF=DE ，连结CF.-------（中线加倍，构造全等） ∵DE=EF ∠AED=∠CEF AE=EC ∴△ADE ≌△CFE（SAS） ∴AD=FC ∠A=∠ECF ∴AB∥FC 又∵AD=DB ∴BD∥CF，BD=CF ∴四边形BCFD是平行四边形

∴DE∥BC 且DE=1/2BC 证明2： 如图，延长DE 到F，使EF=DE ，连结CF、DC、AF ∵AE=CE DE=EF ∴四边形ADCF为平行四边形 ∴AD∥CF,AD=CF ∵AD=BD ∴BD∥CF,BD=CF ∴四边形BCFD为平行四边形 ∴BC∥DF,BC=DF ∴DE∥BC 且DE=1/2BC 中位线的应用： （1）中点三角形 定义：中点三角形就是把一个三角形的三边中点顺次 连接起来的一个新三角形. 性质：（1）这个新三角形的各个边长分别是原来三角形三 边长的一半且分别平行，角的度数与原三角形分别相等，4个三角形都全等（2）中点三角形周长是原三角形的周长一半。 （3）中点三角形面积是原三角形面积的四分之一。 补充：中点三角形与原三角形不仅相似，而且位似。 （2）中点四边形 定义：依次连接任意四边形各边中点所得的四边形称为中点四边形。 中点四边形的形状与原四边形的对角线的数量和位置关系有关。 性质（1）不管原四边形的形状怎样改变，中点四边形的形状始终是 平行四边形。 证明：连接AC,BD-----------（连对角线，构造中位线） ∵E,H,G,F是边AB,AD,DC,BC中点 ∴EH,GF是△ABD,BCD的中位线 ∴EH=1/2BD,GF=1/2BD,EH//BD,GF//BD ∴EH平行等于GF ∴EFGH是平行四边形

(完整版)三角形的中位线练习题含答案

三角形的中位线练习题三角形中位线定义： . 符号语言：在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点, 则：线段DE是△ABC的__ __， 三不同点：①三角形中位线的两个端点都是三角形边的中点。 ②三角形中线只有一个端点是边的中点，另一端点是三角形一个顶点。 相同点：都是一条线段，都有三条。 三角形中位线定理： . 符号语言表述：∵DE是△ABC的中位线（或AD=BD,AE=CE) ∴DE//21BC 练习 1．连结三角形___________的线段叫做三角形的中位线． 2．三角形的中位线______于第三边，并且等于_______． 3．一个三角形的中位线有_________条． 4.如图△ABC中，D、E分别是AB、 AC的中点，则线段CD是△ABC的＿＿＿， 线段DE是△ABC＿＿＿＿＿＿＿ 5、如图，D、E、F分别是△ABC各边的中点 （1）如果EF＝4cm，那么BC＝＿＿cm 如果AB＝10cm，那么DF＝＿＿＿cm （2）中线AD与中位线EF的关系是＿＿＿ 6．如图1所示，EF是△ABC的中位线，若BC=8cm，则EF=_______cm． (1) (2) (3) (4) 7．三角形的三边长分别是3cm，5cm，6cm，则连结三边中点所围成的三角形的周长是_________cm． 8．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=?5，?BC=?12，?则连结两条直角边中点的线段长为_______． 9．若三角形的三条中位线长分别为2cm，3cm，4cm，则原三角形的周长为（） A．4.5cm B．18cm C．9cm D．36cm 10．如图2所示，A，B两点分别位于一个池塘的两端，小聪想用绳子测量A，B间的距离，但绳子不够长，一位 E D B E D

三角形梯形中位线定理教师版

三角形、梯形中位线定理应用练习课 一、复习题组 1．知识要点 A 1，三角形中位线性质定理的条件是，(1) 如图结论是； DE三角形中位线判定定理的条件是，CB结 论是。1）（图AD如图2，梯形中位线性质定理的条件是，(2) 结论是；EF梯形中位线判定定理的条件是， CB 2 结论是。（图）2．基本方法三角形、梯形中位线定理不仅反映了线段的相等关系，也反映了线段间的倍半关系。此外，证明线 段相等或倍半关系还有其他方法，你能指出一些其他的常用方法吗？全等三角形对应边相等； (1) (2) 等角对等边，等腰三角形“三线合一”性质；线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等；(3) 角平分线上的点到角的两边距离相等；(4) (5) 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；30°角所对的直角边等于斜边的一半；(6) 直角三角形中，(7) 平行四边形（包括矩形、菱形、正方形）的性质；(8) 等腰梯形的两腰相等，两条对角线相等。 二、基本题组 1．顺次连结四边形各边中点所得的四边形是；．顺次连结平行四边形各边中点所得的四边形是；2 ．顺次连结矩形各边中点所得的四边形是；3 4．顺次连结菱形各边中点所得的四边形是；5．顺次连结正方形各边中点所得的四边形是；．顺次连结梯形各边中点所得的四边形是。6 7．顺次连结直角梯形各边中点所得的四边形是。8．顺次连结等腰梯形各边中点所得的四边形是。1 / 8 ．顺次连结对角线的四边形各边中点所得的四边形是菱形；9 ．顺次连结对角线的四边形各边中点所得的四边形是矩形；10 11．顺次连结对角线的四边形各边中点所得的四边形是正方形。

系统小结，深刻理解 的周长比为，面积比为。各边的中点，则△DEF与△ABCD、E、F是△ABC 12．已知，AC的四等分点，BC=28的四等分点，D'、E'、F' 是13．如图3，在△ABC中，D、E、F是AB FF' = EE' =，。则DD'=，边的三等分点，若BC=18，边的三等分点，D'、E' 是AC 14．如图4，在△ABC中，D、E是AB ，EE' =。则DD'= CD于是AB的三等分点，EE' // FF' // BC，分别交．如图155，在梯形ABCD中，AD//BC，E、F FF' = 。AD=10，则EE' =， E'、F'。若BC=28，A AADDD' EDED'E'E'FEFF'E'F'CCCBBB（图5）） （图4） 3 （图．直角三角形斜边上的中线与连结两直角边中点的线段的关系是（）16 D．垂直平分且相等．相等且平分B．相等且垂直C．垂直平分 A ）17．以等腰梯形两底中点和两条对角线中点为顶点的四边形是（．正方形．矩形C．菱形 D B A．平行四边形、教练题组三 □E为边作AD、AC，ACED，以，在梯形例1．已知：如图6ABCD中，AB//CD EB的延长线交于F。DC FCD求证：EF = FB。1 〖注〗本题先由学生讨论，拓宽证题思路，再补充、归纳；BA）6 2 〖注〗本题证法较多，关键是如何添加辅助线，主要方法如下。（图 2 / 8

中考几何之三角形梯形的中位线

中考数学一轮复习之三角形、梯形的中位线 知识考点： 掌握三角形、梯形的中位线定理，并会用它们进行有关的论证和计算。 精典例题： 【例1】如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，M 是腰AB 的中点，且AD ＋BC ＝DC 。求证：MD ⊥MC 。 分析：遇到腰上中点的问题构造梯形中位线可证明，也可以因为腰上有中点，延长DM 与CB 的延长线交于E 点进行证明。 例1图 N M D C B A 【例2】如图，△ABC 的三边长分别为AB ＝14，BC ＝16，AC ＝26，P 为∠A 的平分线AD 上一点，且BP ⊥AD ，M 为BC 的中点，求PM 的长。 例2图 Q P M D C B A 分析：∠A 的平分线与BP 边上的垂线互相重合，通过作辅助线延长BP 交AC 于点Q ，由△ABP ≌△AQP 知AB ＝AQ ＝14，又知M 是BC 的中点，所以PM 是△BQC 的中位线，于是本题得以解决。 答案：PM ＝6

探索与创新： 【问题一】 E 、F 为凸四边形ABCD 的一组对边AD 、BC 的中点，若EF ＝)(2 1 CD AB +，问：ABCD 为什么四边形？请说明理由。 问题图 G F E D C B A 分析与结论：如图，利用三角形和梯形的中位线定理，连结AC ，取AC 的中点G ，连EG 、FG ，则EG ∥ 21CD ，FG ∥21AB ，∴EG ＋FG ＝)(2 1 CD AB +，即EG ＋FG ＝EF ，则G 点在EF 上，EF ∥CD ，EF ∥AB ，故AB ∥CD 。 （1）若AD ∥BC ，则凸四边形ABCD 为平行四边形； （2）若AD 不平行于BC ，则凸四边形ABCD 为梯形。 评注：利用中位线构造出21CD 、2 1 AB ，其关键是连AC ，并取其中点G 。

三角形、梯形中位线定理教师版

三角形、梯形中位线定理应用练习课、复习题组 1知识要点 (1)如图1，三角形中位线性质定理的条件是 结论是三角形中位线判定定理的条件是结论是 (2)如图2，梯形中位线性质定理的条件是_ 结论是_ 梯形中位线判定定理的条件是_ 结论是_ 2.基本方法 三角形、梯形中位线定理不仅反映了线段的相等关系，也反映了线段间的倍半关系。此外，证明线段相等或倍半关系还有其他方法，你能指出一些其他的常用方法吗？ (1)全等三角形对应边相等； (2)等角对等边，等腰三角形“三线合一”性质； (3)线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等； ⑷ 角平分线上的点到角的两边距离相等； (5)直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半； (6)直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半; (7)平行四边形(包括矩形、菱形、正方形)的性质； (8)等腰梯形的两腰相等，两条对角线相等。 二、基本题组 1.__________________________________________________ 顺次连结四边形各边中点所得的四边形是_________________________________________ ； 2.顺次连结平行四边形各边中点所得的四边形是 _____________________ 3._________________________________________________ 顺次连结矩形各边中点所得的四边形是___________________________________________ ； 4._________________________________________________ 顺次连结菱形各边中点所得的四边形是___________________________________________ ； 5.__________________________________________________ 顺次连结正方形各边中点所得的四边形是_________________________________________ ； 6._________________________________________________ 顺次连结梯形各边中点所得的四边形是___________________________________________ 。（图1

三角形梯形中位线

重点讲解 (三角形梯形中位线) 知识归纳知识结构重难点分析 解题思想释疑解难学法建议 知识归纳 1．三角形的中位线 定义：连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线． 定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半． 作用：从位置关系看，可以证两直线平行；从数量关系看，可以证线段的相等或倍分．2．梯形的中位线 定义：连结梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线． 定理：梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半． 作用：可以证明两直线平行；可以证明一条线段是另两条线段的和． 3．梯形的面积等于中位线与高的积．． 返回 知识结构 本节首先给出了中位线的概念，在中位线概念的基础上又给出三角形的中位线和梯形中位线两个概念，并对中位线的性质进行证明（运用同一法证明三角形中位线性质和添加辅助线转化成三角形中位线问题证明梯形中位线性质）以及应用． 返回 重难点分析 本节的重点是中位线定理.三角形中位线定理和梯形中位线定理不但给出了三角形或梯形中线段的位置关系，而且给出了线段的数量关系，为平面几何中证明线段平行和线段相等提供了新的思路. 本节的难点是中位线定理的证明.中位线定理的证明教材中采用了同一法，同一法学生初次接触，思维上不容易理解，而其他证明方法都需要添加2条或2条以上的辅助线，添加的目的性和必要性，同以前遇到的情况对比有一定的难度. 返回 解题思想 1．注意区别三角形中位线与中线，避免概念混淆. 2．学会构造全等三角形证明三角形和梯形的中位线定理.

3．灵活运用三角形中位线定理和梯形中位线定理证明求解几何问题. 返回 释疑解难 1．三角形中位线定理的证明方法的关键 三角形中位线定理的证明方法关键在于添加辅助线．其证明方法很多，除教科书上的方法以外，还可用下面的方法来证明： ①如图所示，延长中位线DE至F，使，连结CF，则，有AD FC，所以FC BD，则四边形BCFD是平行四边形，DF BC，因为，所以DE． ②如图所示，延长DE至F，使，连结CF、DC、AF，则四边形ADCF为平行四边形，有AD CF，所以FC BD，那么四边形BCFD为平行四边形，DF BC，因为，所以DE． ③如图所示，过C作交DE的延长线于F，则，有FC AD，

三角形的中位线经典练习题及其答案

第二讲三角形的中位线 1?连结三角形____________ 的线段叫做三角形的中位线. 2?三角形的中位线_______ 于第三边，并且等于_____ 3?一个三角形的中位线有__________ 条. 4.如图△ ABC中，D E分别是AB AC的中点，则线段CD>^ ABC的________ , 线段。丘是厶ABC ____________ 5、如图，D E、F分别是△ ABC各边的中点 （1）如果EF= 4cm,那么BC= ____ cm 如果AB= 10cm,那么DF= ________ cm （2） ________________________________ 中线AD与中位 线EF的关系是____________________________ 7 .三角形的三边长分别是3cm 5cm, 6cm,则连结三边中点所围成的三角形的周长是 _______________ cm. 8.在Rt △ ABC中，/ C=90° , AC=?5 ?BC=?12, ?则连结两条直角边中点的线段长为____________ . 9 .若三角形的三条中位线长分别为2cm, 3cm, 4cm,则原三角形的周长为（） A . 4.5cm B . 18cm C . 9cm D . 36cm 10?如图2所示，A, B两点分别位于一个池塘的两端，小聪想用绳子测量A, B间的距离，但绳子不够长，一位同学帮他想了一个主意：先在地上取一个可以直接到达A, B的点C,找到AC, BC的中点D, E,并且测出DE 的长为10m,则A, B间的距离为（） A . 15m B . 25m C . 30m D . 20m 11.已知△ ABC的周长为1,连结△ ABC的三边中点构成第二个三角形, 三个 三角形，依此类推，第 14.如图所示，口 ABCD的对角线AC, BD相交于点O, AE=EB求证：OE// BC. 6 .如图1所示 C ?再连结第二个三角形的三边中点构成第 2010个三角形的周长是 1 2008 1 2009 12.如图3所示，已知四边形ABCD R, P分别是DC 1 ~2008 2 BC上的 从点B向点C移动而点R不动时, A .线段EF的长逐渐增大C .线段EF 的长不变 D 13.如图4,在厶ABC中, E, D, A . 10 B . 20 C E, ) 1 、~2009 2 那么下列结论成立的是（ B .线段EF的长逐渐减少 .线段EF的长不能确定 F分别是AB, BC CA的中点，AB=6, AC=4,则四边形AEDF?勺周长是（） .30 D . 40

三角形、梯形的中位线

苏科版八年级(上)数学期中复习教学案(11) 三角形、梯形的中位线 一、知识点： 1、三角形的中位线： ⑴连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线． 区别三角形的中位线与三角形的中线。 ⑵三角形中位线的性质 三角形的中位线平行于第三边并且等于它的一半． 2、梯形的中位线： ⑴连结梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线。 注意：中位线是两腰中点的连线，而不是两底中点的连线。 ⑵梯形中位线的性质 梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半。 二、举例： 例1：如图，在四边形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、、DA 的中点。四边形EFGH 是平行四边形吗？为什么？ 例2：如图，矩形ABCD 的对角线相交于点O ，点E 、F 、G 、H 分别是OA 、OB 、OC 、DO 的中点，四边形EFGH 是矩形吗？为什么？ 例3：已知：如图，AD 是△ABC 的中线，E 、G 分别是AB 、AC 的中点，GF ∥AD 交ED 的延长线于点F 。 ⑴猜想：EF 与AC 有怎样的关系？ ⑵试证明你的猜想。 F C B A H G F E o D C B A

例4：已知在△ABC 中，∠B=2∠C ，AD ⊥BC 于D ，M 为BC 的中点。试说明DM = 2 1 AB 例5：等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，EF 为中位线，EF=18，AC ⊥AB ，∠B=60°，求梯形ABCD 的周长及面积。 例6、已知：如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC=90°，E 是梯形外一点，且AE=BE ，F 是CD 的中点。试说明：EF ∥BC 。 例7：如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，M 、N 分别是两条对角线BD 、AC 的中点，试说明：MN ∥BC 且MN ＝ 2 1 (BC －AD)。 例8：已知：如图，四边形ABCD 为等腰梯形，AD ∥BC ，AC 、BD 相交于点O ，点P 、Q 、R 分别为AO 、BO 、CD 的中点，且∠AOD ＝60°。试判断ΔPQR 的形状，并说明理由？ B C M D B A N C A O B D Q P R