2013中考数学总复习资料《湘教版》

2013数学复习

实数部分

一、实数与数轴

1、数轴：规定了原点、正方向、单位长度的直线称为数轴。原点、正方向、单位长度是数轴的三要素。

2、数轴上的点和实数的对应关系：数轴上的每一个点都表示一个实数，而每一个实数都可以用数轴上的唯一的点来表示。实数和数轴上的点是一一对应的关系。

二、实数大小的比较

1、在数轴上表示两个数，右边的数总比左边的数大。

2、正数大于0；负数小于0；正数大于一切负数；两个负数绝对值大的反而小。

三、实数的运算 1、加法：

（1）同号两数相加，取原来的符号，并把它们的绝对值相加；

（2）异号两数相加，取绝对值大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。可使用加法交换律、结合律。 2、减法：减去一个数等于加上这个数的相反数。 3、乘法：

（1）两数相乘，同号取正，异号取负，并把绝对值相乘。

（2）n 个实数相乘，有一个因数为0，积就为0；若n 个非0的实数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有偶数个时，积为正；当负因数为奇数个时，积为负。 （3）乘法可使用乘法交换律、乘法结合律、乘法分配律。 4、除法：

（1）两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。 （2）除以一个数等于乘以这个数的倒数。

（3）0除以任何数都等于0，0不能做被除数。 5、乘方与开方：乘方与开方互为逆运算。

6、实数的运算顺序：乘方、开方为三级运算，乘、除为二级运算，加、减是一级运算，如果没有括号，在同一级运算中要从左到右依次运算，不同级的运算，先算高级的运算再算低级的运算，有括号的先算括号里的运算。无论何种运算，都要注意先定符号后运算。

四、有效数字和科学记数法

1、科学记数法：设N ＞0，则N= a ×n

10（其中1≤a ＜10，n 为整数）。

2、有效数字：一个近似数，从左边第一个不是0的数，到精确到的数位为止，所有的数字，叫做这个数的有效数字。精确度的形式有两种：（1）精确到那一位；（2）保留几个有效数字。

代数部分 第二章：代数式

基础知识点： 一、代数式

1、代数式：用运算符号把数或表示数的字母连结而成的式子，叫代数式。单独一个数或者一个字母也是代数式。

2、代数式的值：用数值代替代数里的字母，计算后得到的结果叫做代数式的值。

3、代数式的分类：

???

?????

??????

?无理式分式多项式单项式

整式有理式代数式

二、整式的有关概念及运算

1、概念

（1）单项式：像x 、7、y x 2

2，这种数与字母的积叫做单项式。单独一个数或字母也是单项式。 单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数叫做这个单项式的次数。 单项式的系数：单项式中的数字因数叫单项式的系数。 （2）多项式：几个单项式的和叫做多项式。

多项式的项：多项式中每一个单项式都叫多项式的项。一个多项式含有几项，就叫几项式。

多项式的次数：多项式里，次数最高的项的次数，就是这个多项式的次数。不含字母的项叫常数项。

升（降）幂排列：把一个多项式按某一个字母的指数从小（大）到大（小）的顺序排列起来，叫做把多项式按这个字母升（降）幂排列。

（3）同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的项叫做同类项。 2、运算

（1）整式的加减：

合并同类项：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母及字母的指数不变。

去括号法则：括号前面是“+”号，把括号和它前面的“+”号去掉，括号里各项都不变；括号前面是“–”号，把括号和它前面的“–”号去掉，括号里的各项都变号。

添括号法则：括号前面是“+”号，括到括号里的各项都不变；括号前面是“–”号，括到括号里的各项都变号。 整式的加减实际上就是合并同类项，在运算时，如果遇到括号，先去括号，再合并同类项。 （2）整式的乘除：

幂的运算法则：其中m 、n 都是正整数

同底数幂相乘：n

m n

m

a

a a +=?；同底数幂相除：n

m n m a

a a -=÷；幂的乘方：mn n m a a =)(

积的乘方：n n n b a ab =)(。

单项式乘以单项式：用它们系数的积作为积的系数，对于相同的字母，用它们的指数的和作为这个字母的指数；对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。

单项式乘以多项式：就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。

多项式乘以多项式：先用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。

单项除单项式：把系数，同底数幂分别相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有字母，则连同它的指数作为商的一个因式。

多项式除以单项式：把这个多项式的每一项除以这个单项，再把所得的商相加。 乘法公式： 平方差公式：22))((b a b a b a -=-+；

完全平方公式：2222)(b ab a b a ++=+，2222)(b ab a b a +-=-

三、因式分解

1、因式分解概念：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解。

2、常用的因式分解方法：

（1）提取公因式法：)(c b a m mc mb ma ++=++ （2）运用公式法：

平方差公式：))((2

2

b a b a b a -+=-；完全平方公式：2

2

2

)(2b a b ab a ±=+± （3）十字相乘法：))(()(2

b x a x ab x b a x ++=+++

（4）分组分解法：将多项式的项适当分组后能提公因式或运用公式分解。 （5）运用求根公式法：若)0(02

≠=++a c bx ax 的两个根是1x 、2x ，则有：

))((212x x x x a c bx ax --=++

3、因式分解的一般步骤：

（1）如果多项式的各项有公因式，那么先提公因式；

（2）提出公因式或无公因式可提，再考虑可否运用公式或十字相乘法； （3）对二次三项式，应先尝试用十字相乘法分解，不行的再用求根公式法。 （4）最后考虑用分组分解法。 四、分式

1、分式定义：形如

B

A

的式子叫分式，其中A 、B 是整式，且B 中含有字母。 （1）分式无意义：B=0时，分式无意义； B ≠0时，分式有意义。 （2）分式的值为0：A=0，B ≠0时，分式的值等于0。

（3）分式的约分：把一个分式的分子与分母的公因式约去叫做分式的约分。方法是把分子、分母因式分解，再约去公因式。

（4）最简分式：一个分式的分子与分母没有公因式时，叫做最简分式。分式运算的最终结果若是分式，一定要化为最简分式。

（5）通分：把几个异分母的分式分别化成与原来分式相等的同分母分式的过程，叫做分式的通分。 （6）最简公分母：各分式的分母所有因式的最高次幂的积。 （7）有理式：整式和分式统称有理式。 2、分式的基本性质： （1）

)0(的整式是≠??=M M B M A B A ；（2）)0(的整式是≠÷÷=M M

B M A B A （3）分式的变号法则：分式的分子，分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变。

3、分式的运算：

（1）加、减：同分母的分式相加减，分母不变，分子相加减；异分母的分式相加减，先把它们通分成同分母的分式再相加减。

（2）乘：先对各分式的分子、分母因式分解，约分后再分子乘以分子，分母乘以分母。 （3）除：除以一个分式等于乘上它的倒数式。

（4）乘方：分式的乘方就是把分子、分母分别乘方。 五、二次根式

1、二次根式的概念：式子)0(≥a a 叫做二次根式。

（1）最简二次根式：被开方数的因数是整数，因式是整式，被开方数中不含能开得尽方的因式的二次根式叫最简二次根式。

（2）同类二次根式：化为最简二次根式之后，被开方数相同的二次根式，叫做同类二次根式。 （3）分母有理化：把分母中的根号化去叫做分母有理化。

（4）有理化因式：把两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式（常用的有理化因式有：a 与a ；d c b a +与d c b a -）

2、二次根式的性质：

（1） )0()(2

≥=a a a ； （2）??

?<-≥==)

0()

0(2

a a

a a

a a ；

（3）b a ab ?=

（a ≥0，b ≥0）

； （4）)0,0(≥≥=b a b

a b a 3、运算：

（1）二次根式的加减：将各二次根式化为最简二次根式后，合并同类二次根式。 （2）二次根式的乘法：ab b a =?（a ≥0，b ≥0）

。 （3）二次根式的除法：

)0,0(≥≥=

b a b

a

b

a 二次根式运算的最终结果如果是根式，要化成最简二次根式。 例题：

一、因式分解：

1、提公因式法：

例1、)(6)(242

2x y b y x a -+-

分析：先提公因式，后用平方差公式解：略

[规律总结]因式分解本着先提取，后公式等，但应把第一个因式都分解到不能再分解为止，往往需要对分解后的每一个因式进行最后的审查，如果还能分解，应继续分解。

2、十字相乘法：

例2、（1）3652

4

--x x ；（2）12)(4)(2

-+-+y x y x

分析：可看成是2

x 和(x+y)的二次三项式，先用十字相乘法，初步分解。解：略

[规律总结]应用十字相乘法时，注意某一项可是单项的一字母，也可是某个多项式或整式，有时还需要连续用十字相乘法。

3、分组分解法： 例3、222

3

--+x x x

分析：先分组，第一项和第二项一组，第三、第四项一组，后提取，再公式。解：略

[规律总结]对多项式适当分组转化成基本方法因式分组，分组的目的是为了用提公因式，十字相乘法或公式法解题。

二、式的运算

1、巧用公式 例5、计算：2

2)11()11(b

a b a -+---

分析：运用平方差公式因式分解，使分式运算简单化。解：略

[规律总结]抓住三个乘法公式的特征，灵活运用，特别要掌握公式的几种变形，公式的逆用，掌握运用公式的技巧，使运算简便准确。

2、化简求值：

一定要先化到最简再代入求值，注意去括号的法则。

3、分式的计算：

化简分式计算过程中：（1）除法转化为乘法时，要倒转分子、分母；（2）注意负号

4、根式计算

二次根式的性质和运算是中考必考内容，特别是二次根式的化简、求值及性质的运用是中考的主要考查内容。

代数部分

第三章：方程和方程组

基础知识点：

一、方程有关概念

1、方程：含有未知数的等式叫做方程。

2、方程的解：使方程左右两边的值相等的未知数的值叫方程的解，含有一个未知数的方程的解也叫做方程的根。

3、解方程：求方程的解或方判断方程无解的过程叫做解方程。

4、方程的增根：在方程变形时，产生的不适合原方程的根叫做原方程的增根。

二、一元方程 1、一元一次方程

（1）一元一次方程的标准形式：ax+b=0（其中x 是未知数，a 、b 是已知数，a ≠0） （2）一玩一次方程的最简形式：ax=b （其中x 是未知数，a 、b 是已知数，a ≠0）

（3）解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项和系数化为1。 （4）一元一次方程有唯一的一个解。 2、一元二次方程

（1）一元二次方程的一般形式：02

=++c bx ax （其中x 是未知数，a 、b 、c 是已知数，a ≠0） （2）一元二次方程的解法： 直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法

（3）一元二次方程解法的选择顺序是：先特殊后一般，如没有要求，一般不用配方法。 （4）一元二次方程的根的判别式：ac b 42

-=? 当Δ＞0时?方程有两个不相等的实数根； 当Δ=0时?方程有两个相等的实数根； 当Δ< 0时?方程没有实数根，无解； 当Δ≥0时?方程有两个实数根

（5）一元二次方程根与系数的关系：

若21,x x 是一元二次方程02

=++c bx ax 的两个根，那么：a b x x -

=+21，a c x x =?21 （6）以两个数21,x x 为根的一元二次方程（二次项系数为1）是：0)(21212

=++-x x x x x x

三、分式方程

（1）定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程。 （2）分式方程的解法：

一般解法：去分母法，方程两边都乘以最简公分母。 特殊方法：换元法。

（3）检验方法：一般把求得的未知数的值代入最简公分母，使最简公分母不为0的就是原方程的根；使得最简公分母为0的就是原方程的增根，增根必须舍去，也可以把求得的未知数的值代入原方程检验。

四、方程组

1、方程组的解：方程组中各方程的公共解叫做方程组的解。

2、解方程组：求方程组的解或判断方程组无解的过程叫做解方程组

3、一次方程组：

（1）二元一次方程组： 一般形式：??

?=+=+2

221

11c y b x a c y b x a （212121,,,,,c c b b a a 不全为0）

解法：代入消远法和加减消元法

解的个数：有唯一的解，或无解，当两个方程相同时有无数的解。 （2）三元一次方程组：

解法：代入消元法和加减消元法

4、二元二次方程组：

（1）定义：由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组以及由两个二元二次方程组成的方程组叫做二元二次方程组。

（2）解法：消元，转化为解一元二次方程，或者降次，转化为二元一次方程组。 考点与命题趋向分析

例题：

一、一元二次方程的解法 1：（1）用直接开方法解；（2）用公式法；（3）用因式分解法 [规律总结]如果一元二次方程形如)0()(2≥=+n n m x ，就可以用直接开方法来解；利用公式法可以解任何一个有解的一元二次方程，运用公式法解一元二次方程时，一定要把方程化成一般形式。 2：（1）；先化为一般形式，再用公式法解；（2）直接可以十字相乘法因式分解后可求解。

[规律总结]对于带字母系数的方程解法和一般的方程没有什么区别，在用公式法时要注意判断△的正负。

二、分式方程的解法： 分析：（1）用去分母的方法；（2）用换元法 解：略

[规律总结]一般的分式方程用去分母法来解，一些具有特殊关系如：有平方关系，倒数关系等的分式方程，可采用换元法来解。

三、根的判别式及根与系数的关系

1[规律总结]对于根的判别式的三种情况要很熟练，还有要特别留意二次项系数不能为0

2 [规律总结]此类题目可以先解出第一方程的两个解，但有时这样又太复杂，用根与系数的关系就比较简单。

三、方程组 1分析：（1）用加减消元法消x 较简单；（2）应该先用加减消元法消去y ，变成二元一次方程组，较易求解。 [规律总结]加减消元法是最常用的消元方法，消元时那个未知数的系数最简单就先消那个未知数。

2 分析：（1）可用代入消远法，也可用根与系数的关系来求解；（2）要先把第一个方程因式分解化成两个二元一次方程，再与第二个方程分别组成两个方程组来解。解：略

[规律总结]对于一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组一般用代入消元法，对于两个二元二次方程组成的方程组，一定要先把其中一个方程因式分解化为两个一次方程再和第二个方程组成两个方程组来求解。

代数部分

第四章：列方程（组）解应用题

知识点：

一、列方程（组）解应用题的一般步骤 1、审题： 2、设未知数；

3、找出相等关系，列方程（组）；

4、解方程（组）；

5、检验，作答；

二、列方程（组）解应用题常见类型题及其等量关系；

1、工程问题

（1）基本工作量的关系：工作量=工作效率×工作时间

（2）常见的等量关系：甲的工作量+乙的工作量=甲、乙合作的工作总量

（3）注意：工程问题常把总工程看作“1”，水池注水问题属于工程问题

2、行程问题

（1）基本量之间的关系：路程=速度×时间 （2）常见等量关系：

相遇问题：甲走的路程+乙走的路程=全路程

追及问题（设甲速度快）：

同时不同地：甲的时间=乙的时间；甲走的路程–乙走的路程=原来甲、乙相距路程

同地不同时：甲的时间=乙的时间–时间差；甲的路程=乙的路程

3、水中航行问题：

顺流速度=船在静水中的速度+水流速度； 逆流速度=船在静水中的速度–水流速度

4、增长率问题：

常见等量关系：增长后的量=原来的量+增长的量；增长的量=原来的量×（1+增长率）；

5、数字问题：

基本量之间的关系：三位数=个位上的数+十位上的数×10+百位上的数×100

三、列方程解应用题的常用方法 1、译式法：

就是将题目中的关键性语言或数量及各数量间的关系译成代数式，然后根据代数之间的内在联系找出等量关系。

2、线示法：

就是用同一直线上的线段表示应用题中的数量关系，然后根据线段长度的内在联系，找出等量关系。

3、列表法：

就是把已知条件和所求的未知量纳入表格，从而找出各种量之间的关系。

4、图示法：

就是利用图表示题中的数量关系，它可以使量与量之间的关系更为直观，这种方法能帮助我们更好地理解题意。

代数部分

第五章：不等式及不等式组

知识点：

一、不等式与不等式的性质

1、不等式：表示不等关系的式子。（表示不等关系的常用符号：≠，＜，＞）。

2、不等式的性质：

（l ）不等式的两边都加上（或减去）同一个数，不等号方向不改变，如a ＞ b ， c 为实数?a ＋c ＞b ＋c

（2）不等式两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号方向不变，如a ＞b ， c ＞0?ac ＞bc 。 （3）不等式两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号方向改变，如a ＞b ，c ＜0?ac ＜bc.

注：在不等式的两边都乘以（或除以）一个实数时，一定要养成好的习惯、就是先确定该数的数性（正数，零，负数）再确定不等号方向是否改变，不能像应用等式的性质那样随便，以防出错。

3、任意两个实数a ，b 的大小关系（三种）：

（1）a – b ＞0? a ＞b （2）a – b=0?a=b

（3）a –b ＜0?a ＜b 4、（1）a ＞b ＞0?

b a >

（2）a ＞b ＞0?2

2b a <

二、不等式（组）的解、解集、解不等式

1、能使一个不等式（组）成立的未知数的一个值叫做这个不等式（组）的一个解。 不等式的所有解的集合，叫做这个不等式的解集。

不等式组中各个不等式的解集的公共部分叫做不等式组的解集。

2．求不等式（组）的解集的过程叫做解不等式（组）。

三、不等式（组）的类型及解法 1、一元一次不等式：

（l ）概念：含有一个未知数并且含未知数的项的次数是一次的不等式，叫做一元一次不等式。

（2）解法：

与解一元一次方程类似，但要特别注意当不等式的两边同乘以（或除以）一个负数时，不等号方向要改变。

2、一元一次不等式组：

（l ）概念：含有相同未知数的几个一元一次不等式所组成的不等式组，叫做一元一次不等式组。

（2）解法：先求出各不等式的解集，再确定解集的公共部分。

注：求不等式组的解集一般借助数轴求解较方便。

例题分析：

方法1：利用不等式的基本性质 1、判断正误：

（1）若a ＞b ，c 为实数，则2ac ＞2

bc ； （2）若2

ac ＞2

bc ，则a ＞b

分析：在（l ）中，若c=0，则2

ac =2

bc ； 在（2）中，因为”＞”，所以。C ≠0，否则应有2

ac =2

bc 故a ＞b 解：略

［规律总结］将不等式正确变形的关键是牢记不等式的三条基本性质，不等式的两边都乘以或除以含有字母的式子时，要对字母进行讨论。

方法2：特殊值法

例2、若a ＜b ＜0，那么下列各式成立的是（ ） A 、

b a 11< B 、ab ＜0 C 、1

a

D 、1>b a

分析：使用直接解法解答常常费时间，又因为答案在一般情况下成立，当然特殊情况也成立，因此采用特殊值法。 解：根据a ＜b ＜0的条件，可取a= –2，b= –l ，代入检验，易知

1>b

a

，所以选D [规律总结］此种方法常用于解选择题，学生知识有限，不能直接解答时使用特殊值法，既快，又能找到符合条件的答案。

方法3：类比法

例3、解下列一元一次不等式，并把解集在数轴上表示出来。 （1）8–2（x ＋2）＜4x –2； （2）3

1

2211--≥--

x x 分析：解一元一次不等式的步骤与解一元一次方程类似，主要步骤有去分母，去括号、移项、合并同类项，把系

数化成1，需要注意的是，不等式的两边同时乘以或除以同一个负数，不等号要改变方向。解：略

[规律总结］解一元一次不等式与解一元一次方程的步骤类似，但要注意当不等式的两边都乘以或除以同一个负数时，不等号的方向必须改变，类比法解题，使学生容易理解新知识和掌握新知识。

方法4：数形结合法

例4、求不等式组：???

??<+-+--≤+13762

1)3(410)8(2x x x x 的非负整数解

分析：

要求一个不等式组的非负整数解，就应先求出不等式组的解集，再从解集中找出其中的非负整数解。解：略

方法5：逆向思考法

例5、已知关于x 的不等式a x a ->-10)2(的解集是x ＞3，求a 的值。

分析：因为关于x 的不等式的解集为x ＞3，与原不等式的不等号同向，所以有a – 2 >0，即原不等式的解集为

210-->

a a x ，

32

10=--a a

解此方程求出a 的值。解：略 [规律总结]此题先解字母不等式，后着眼已知的解集，探求成立的条件，此种类型题都采用逆向思考法来解。

代数部分

第六章：函数及其图像

知识点：

一、平面直角坐标系

1、平面内有公共原点且互相垂直的两条数轴，构成平面直角坐标系。在平面直角坐标系内的点和有序实数对之间建立了—一对应的关系。

2、不同位置点的坐标的特征：

（1）各象限内点的坐标有如下特征： 点P （x, y ）在第一象限?x ＞0，y ＞0； 点P （x, y ）在第二象限?x ＜0，y ＞0； 点P （x, y ）在第三象限?x ＜0，y ＜0； 点P （x, y ）在第四象限?x ＞0，y ＜0。 （2）坐标轴上的点有如下特征：

点P （x, y ）在x 轴上?y 为0，x 为任意实数。 点P （x ，y ）在y 轴上?x 为0，y 为任意实数。 3．点P （x, y ）坐标的几何意义： （1）点P （x, y ）到x 轴的距离是| y |； （2）点P （x, y ）到y 袖的距离是| x |；

（3）点P （x, y ）到原点的距离是2

2y x +

4．关于坐标轴、原点对称的点的坐标的特征： （1）点P （a, b ）关于x 轴的对称点是),(1b a P -； （2）点P （a, b ）关于x 轴的对称点是),(2b a P -；

（3）点P （a, b ）关于原点的对称点是),(3b a P --；

二、函数的概念

1、常量和变量：在某一变化过程中可以取不同数值的量叫做变量；保持数值不变的量叫做常量。

2、函数：一般地，设在某一变化过程中有两个变量x 和y ，如果对于x 的每一个值，y 都有唯一的值与它对应，那么就说x 是自变量，y 是x 的函数。 （1）自变量取值范围的确是：

①解析式是只含有一个自变量的整式的函数，自变量取值范围是全体实数。

②解析式是只含有一个自变量的分式的函数，自变量取值范围是使分母不为0的实数。

③解析式是只含有一个自变量的偶次根式的函数，自变量取值范围是使被开方数非负的实数。 注意：在确定函数中自变量的取值范围时，如果遇到实际问题，还必须使实际问题有意义。 （2）函数值：给自变量在取值范围内的一个值所求得的函数的对应值。 （3）函数的表示方法：①解析法；②列表法；③图像法

（4）由函数的解析式作函数的图像，一般步骤是：①列表；②描点；③连线 三、几种特殊的函数 1、一次函数

直线位置与k ，b 的关系：

（1）k ＞0直线向上的方向与x 轴的正方向所形成的夹角为锐角； （2）k ＜0直线向上的方向与x 轴的正方向所形成的夹角为钝角； （3）b ＞0直线与y 轴交点在x 轴的上方； （4）b ＝0直线过原点；

（5）b ＜0直线与y 轴交点在x 轴的下方； 2、二次函数

抛物线位置与a ，b ，c 的关系：

（1）a 决定抛物线的开口方向??

??开口向下

开口向上00a a

（2）c 决定抛物线与y 轴交点的位置：

c>0?图像与y 轴交点在x 轴上方；c=0?图像过原点；c<0?图像与y 轴交点在x 轴下方；

（3）a ，b 决定抛物线对称轴的位置：a ，b 同号，对称轴在y 轴左侧；b ＝0，对称轴是y 轴； a ，b 异号。对称轴在y 轴右侧；

3、反比例函数：

4、正比例函数与反比例函数的对照表：

代数部分

第七章：统计初步

知识点：

一、总体和样本：

在统计时，我们把所要考察的对象的全体叫做总体，其中每一考察对象叫做个体。从总体中抽取的一部分个体叫做总体的一个样本，样本中个体的数目叫做样本容量。

二、反映数据集中趋势的特征数 1、平均数

（1）n x x x x ,,,,321 的平均数，)(1

21n x x x n

x +++=

（2）加权平均数：如果n 个数据中，1x 出现1f 次，2x 出现2f 次，……，k x 出现k f 次

（这里n f f f k =+++ 21），则)(1

2211k k f x f x f x n

x +++=

（3）平均数的简化计算：

当一组数据n x x x x ,,,,321 中各数据的数值较大，并且都与常数a 接近时，设a x a x a x a x n ----,,,,321 的平均数为'x 则：a x x +='。

2、中位数：将一组数据接从小到大的顺序排列，处在最中间位置上的数据叫做这组数据的中位数，如果数据的个数为偶数中位数就是处在中间位置上两个数据的平均数。

3、众数：在一组数据中，出现次数最多的数据叫做这组数据的众数。一组数据的众数可能不止一个。

三、反映数据波动大小的特征数： 1、方差：

（l ）n x x x x ,,,,321 的方差， n

x x x x x x S n 2

22212

)()()(-++-+-=

（2）简化计算公式：22

22212

x n x x x S n -+++= （n x x x x ,,,,321 为较小的整数时用这个公式要比较方便）

（3）记n x x x x ,,,,321 的方差为2S ，设a 为常数，a x a x a x a x n ----,,,,321 的方差为2`S ，则2S =2

`S 。

注：当n x x x x ,,,,321 各数据较大而常数a 较接近时，用该法计算方差较简便。

2、标准差：方差（2

S ）的算术平方根叫做标准差（S ）。

注：通常由方差求标准差。

四、频率分布 1、有关概念

（1）分组：将一组数据按照统一的标准分成若干组称为分组，当数据在100个以内时，通常分成5－12组。 （2）频数：每个小组内的数据的个数叫做该组的频数。各个小组的频数之和等于数据总数n 。 （3）频率：每个小组的频数与数据总数n 的比值叫做这一小组的频率，各小组频率之和为l 。 （4）频率分布表：将一组数据的分组及各组相应的频数、频率所列成的表格叫做频率分布表。

（5）频率分布直方图：将频率分布表中的结果，绘制成的，以数据的各分点为横坐标，以频率除以组距为纵坐标的直方图，叫做频率分布直方图。

图中每个小长方形的高等于该组的频率除以组距。

每个小长方形的面积等于该组的频率。

所有小长方形的面积之和等于各组频率之和等于1。

样本的频率分布反映样本中各数据的个数分别占样本容量n 的比例的大小，总体分布反映总体中各组数据的个数分别在总体中所占比例的大小，一般是用样本的频率分布去估计总体的频率分布。

2、研究频率分布的方法；得到一数据的频率分布和方法，通常是先整理数据，后画出频率分布直方图，其步骤是：

（1）计算最大值与最小值的差； （2）决定组距与组数； （3）决定分点； （4）列领率分布表； （5）绘频率分布直方图。

［规律总结］求平均数有三种方法，即当所给数据比较分散时，一般用平均数的概念来求；著所给数据较大且都在某一数a 上下波动时，通常采用简化公式；若所给教据重复出现时，通常采用加权平均数公式来计算。

[规律总结］明确方差或标准差是衡量一组数据的波动的大小的，恰当选用方差的三个计算公式，应抓住三个公式的特征，根据题中数据的特点选用计算公式。

[规律总结］要掌握获得一组数据的频率分布的五大步骤，掌握整理数据的步骤和方法。会对数据进行合理的分组。

几何部分

第一章：线段、角、相交线、平行线

知识点：

一、直线：直线是几何中不加定义的基本概念，直线的两大特征是“直”和“向两方无限延伸”。

二、直线的性质：经过两点有一条直线，并且只有一条直线，直线的这条性质是以公理的形式给出的，可简述为：过两点有且只有一条直线，两直线相交，只有一个交点。

三、射线：

1、射线的定义：直线上一点和它们的一旁的部分叫做射线。

2．射线的特征：“向一方无限延伸，它有一个端点。”

四、线段：

1、线段的定义：直线上两点和它之间的部分叫做线段，这两点叫做线段的端点。

2、线段的性质（公理）：所有连接两点的线中，线段最短。

五、线段的中点：

1、定义如图1一1中，点B 把线段AC 分成两条相等的线段，点B 叫做线段图1－1AC 的中点。

2、表示法：

∵AB ＝BC

∴点 B 为 AC 的中点 或∵ AB ＝

2

1

MAC ∴点 B 为AC 的中点，或∵AC ＝2AB ，∴点B 为AC 的中点 反之也成立

∵点 B 为AC 的中点，∴AB ＝BC 或∵点B 为AC 的中点， ∴AB=

2

1AC 或∵点B 为AC 的中点， ∴AC=2BC

六、角

1、角的两种定义：一种是有公共端点的两条射线所组成的图形叫做角。 要弄清定义中的两个重点

①角是由两条射线组成的图形；

错误！未找到引用源。这两条射线必须有一个公共端点。另一种是一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个

位置所形成的图形。可以看出在起始位置的射线与终止位置的射线就形成了一个角。 2．角的平分线定义：一条射线把一个角分成两个相等的角，

这条射线叫做这个角的平分线。表示法有三种：如图1—2 （1）∠AOC ＝∠BOC

（2）∠AOB ＝2∠AOC ＝ 2∠COB

（3）∠AOC ＝∠COB=

2

1

∠AOB

七、角的度量：度量角的大小，可用“度”作为度量单位。把一个圆周分成360等份，每一份叫做一度的角。

1度=60分；1分=60秒。

八、角的分类：

（1）锐角：小于直角的角叫做锐角 （2）直角：平角的一半叫做直角 （3）钝角：大于直角而小于平角的角

（4）平角：把一条射线，绕着它的端点顺着一个方向旋转，当终止位置和起始位置成一直线时，所成的角叫做平角。

（5）周角：把一条射线，绕着它的端点顺着一个方向旋转，当终边和始边重合时，所成的角叫做周角。

（6）周角、平角、直角的关系是： l 周角=2平角=4直角=360°

九、相关的角：

1、对顶角：一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，这两个角叫做对顶角。

2、互为补角：如果两个角的和是一个平角，这两个角做互为补角。

3、互为余角：如果两个角的和是一个直角，这两个角叫做互为余角。

4、邻补角：有公共顶点，一条公共边，另两条边互为反向延长线的两个角做互为邻补角。

注意：

互余、互补是指两个角的数量关系，与两个角的位置无关，而互为邻补角则要求两个角有特殊的位置关系。

十、角的性质

1、对顶角相等。

2、同角或等角的余角相等。

3、同角或等角的补角相等。

十一、相交线

1、斜线：两条直线相交不成直角时，其中一条直线叫做另一条直线的斜线。它们的交点叫做斜足。

2、两条直线互相垂直：当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直。

3、垂线：当两条直线互相垂直时，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足。

4、垂线的性质

（l ）过一点有且只有一条直线与己知直线垂直。

（2）直线外一点与直线上各点连结的所有线段中，垂线段最短。简单说：垂线段最短。

十二、距离

1、两点的距离：连结两点的线段的长度叫做两点的距离。

2、从直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离。

3、两条平行线的距离：两条直线平行，从一条直线上的任意一点向另一条直线引垂线，垂线段的长度，叫做两条平行线的距离。

说明：点到直线的距离和平行线的距离实际上是两个特殊点之间的距离，它们与点到直线的垂线段是分不开的。

十三、平行线

1、定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。

2、平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。

3、平行公理的推论：如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。

说明：也可以说两条射线或两条线段平行，这实际上是指它们所在的直线平行。

4、平行线的判定：

（1）同位角相等，两直线平行。

（2）内错角相等，两直线平行。

（3）同旁内角互补，两直线平行。

5、平行线的性质

（1）两直线平行，同位角相等。

（2）两直线平行，内错角相等。

（3）两直线平行，同旁内角互补。

说明：要证明两条直线平行，用判定公理（或定理）在已知条件中有两条直线平行时，则应用性质定理。

6、如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，那么这两个角相等或互补。

注意：当角的两边平行且方向相同（或相反）时，这两个角相等。当角的两边平行且一边方向相同另一方向相反时，这两个角互补。

几何部分

第二章：三角形

知识点：

一、关于三角形的一些概念

由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。

组成三角形的线段叫三角形的边；相邻两边的公共端点叫三角形的顶点；相邻两边所组成的角叫三角形的内角，简称三角形的角。

1、三角形的角平分线。

三角形的角平分线是一条线段（顶点与内角平分线和对边交线间的距离）

2、三角形的中线

三角形的中线也是一条线段（顶点到对边中点间的距离）

3．三角形的高

三角形的高线也是一条线段（顶点到对边的距离）

注意：三角形的中线和角平分线都在三角形内。

如图2－l，AD、BE、CF都是么ABC的角平分线，它们都在△ABC内

如图2－2，AD、BE、CF都是△ABC的中线，它们都在△ABC内

而图2－3，说明高线不一定在△ABC内，

图2—3—（1） 图2—3—（2） 图2－3一（3）

图2－3—（1），中三条高线都在△ ABC 内， 图2－3－（2），中高线CD 在△ABC 内，而高线AC 与BC 是三角形的边；

图2－3一（3），中高线BE 在△ABC 内，而高线AD 、CF 在△ABC 外。

4、三角形三条边的关系

三角形三边都不相等，叫不等边三角形；有两条边相等的叫等腰三角形；三边都相等的则叫等边三角形。 等腰三角形中，相等的两条边叫腰，另一边叫底边，腰和底边的夹角叫底角，两腰的夹角叫项角。 三角形按边相等关系来分类：

三角形?

?

?

?????等边三角形三角形底边和腰不相等的等腰

等腰三角形不等边三角形三角形 用集合表示，见图2

－4

三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。 推论三角形两边的差小于第三边。

不符合定理的三条线段，不能组成三角形的三边。

例如三条线段长分别为5，6，1人因为5＋6＜12，所以这三条线段，不能作为三角形的三边。

三、三角形的内角和

定理三角形三个内角的和等于180°

由定理可知，三角形的二个角已知，那么第三角可以由定理求得。

如已知△ABC 的两个角为∠A ＝90°，∠B ＝40°，则∠C ＝180°–90°–40°＝50°

由定理可以知道，三角形的三个内角中，只可能有一个内角是直角或钝角。

推论1：直角三角形的两个锐角互余。 三角形按角分类：

??

?

?????钝角三角形锐角三角形

斜三角形

直角三角形三角形 用集合表示，见图

三角形一边与另一边的延长线组成的角，叫三角形的外角。 推论2：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。 推论3：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。 例如图2—6中

∠1 ＞∠3；∠1=∠3＋∠4；∠5＞∠3＋∠8；∠5＝∠3＋∠7＋∠8；

∠2＞∠8；∠2＝∠7＋∠8；∠4＞∠9；∠4＝∠9＋∠10等等。

四、全等三角形

能够完全重合的两个图形叫全等形。

两个全等三角形重合时，互相重合的顶点叫对应顶点，互相重合的边叫对应边，互相重合的角叫对应角。

全等用符号“≌”表示

△ABC≌△A `B`C`表示A和A`，B和B`，C和C`是对应点。

全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等。

如图2—7，△ABC≌△A `B`C`，则有A、B、C的对应点A`、B`、C`；AB、BC、CA的对应边是A`B`、B`C`、C`A`。

∠A，∠B，∠C的对应角是∠A`、∠B`、∠C`。

∴AB＝A`B`，BC＝B`C`，CA＝C`A`；∠A＝∠A`，∠ B＝∠B`，∠C＝∠C`

五、全等三角形的判定

1、边角边公理：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可以简写成―边角边‖或―SAS‖）

注意：一定要是两边夹角，而不能是边边角。

2、角边角公理：有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可以简写成―角边角―或―ASA‖）

3、推论有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成―角角边’域―AAS‖）

4、边边边公理有三边对应相等的两个三角形全等（可以简写成―边边边‖或―SSS‖）

由边边边公理可知，三角形的重要性质：三角形的稳定性。

除了上面的判定定理外，―边边角‖或―角角角‖都不能保证两个三角形全等。

5、直角三角形全等的判定：斜边、直角边公理有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成―斜边，直角边‖或―HL‖）

六、角的平分线

定理1、在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。

定理2、一个角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上。

由定理1、2可知：角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合。

可以证明三角形内存在一个点，它到三角形的三边的距离相等这个点就是三角形的三条角平分线的交点（交于一点）

命题：

在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互为逆命题，如果把其中的一个做原命题，那么另一个叫它的逆命题。

如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫互逆定理，其中一个叫另一个的逆定理。

例如：―两直线平行，同位角相等‖和“同位角相等，两直线平行‖是互逆定理。

一个定理不一定有逆定理，例如定理：“对顶角相等‖就没逆定理，因为―相等的角是对顶角‖这是一个假命颗。

七、基本作图

限定用直尺和圆规来画图，称为尺规作网＿

最基本、最常用的尺规作图．通常称为基本作图，例如做一条线段等于己知线段。

1、作一个角等于已知角：作法是使三角形全等（SSS），从而得到对应角相等；

2、平分已知角：作法仍是使三角形全等（SSS）．从而得到对应角相等。

3、经过一点作已知直线的垂线：

（1）若点在已知直线上，可看作是平分已知角平角；

（2）若点在已知直线外，

可用类似平分已知角的方法去做：已知点 C为圆心，适当长为半径作弧交已知真线于A、B两点，再以A、B为圆心，用相同的长为半径分别作弧交于D点，连结CD即为所求垂线。

4、作线段的垂直平分线：

线段的垂直平分线也叫中垂线。

做法的实质仍是全等三角形（SSS）。

也可以用这个方法作线段的中点。

八、作图题举例

重要解决求作三角形的问题

1、已知两边一夹角，求作三角形

2、已知底边上的高，求作等腰三角形

九、等腰三角形的性质定理

等腰三角形的性质定理：等腰三角形的两个底角相等（简写成―等边对等角‖）

推论1：等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边，就是说：等腰三角形的顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。

推论2：等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°

例如：等腰三角形底边中线上的任一点到两腰的距离相等，因为等腰三角形底边中线就是顶角的角平分线、而角平分线上的点到角的两边距离相等n

十、等腰三角形的判定

定理：如果一个三角形有两个角相，那这两个角所对的两条边也相等。（简写成―等角对等动‖）。 推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形

推论2：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形

推论3：在直角三角形中，如果一个锐角等于3O °，那么它所对的直角边等于斜边的一半。

十一、线段的垂直平分线

定理：线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等

逆定理：和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。

就是说：线段的垂直平分线可以看作是和线段两个端点距离相等的所有点的集合。

十二、轴对称和轴对称图形

把一个图形沿着某一条直线折叠二如果能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线轴对称，两个图形中的对应点叫关于这条直线的对称点，这条直线叫对称轴。

两个图形关于直线对称也叫轴对称。

定理1：关于某条直线对称的两个图形是全等形。

定理2：如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线。

定理3：两个图形关于某条直线对称，如果它们的对应线段或延长相交。那么交点在对称轴上。 逆定理：如果两个图形的对应点连线被一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称。

如果一个图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线就是对称轴。

例如：等腰三角形顶角的分角线就具有上面所述的特点，所以等腰三角形顶角的分角线是等腰三角形的一条对称轴，而等腰三角形是轴对称图形。

十三、勾股定理

勾股定理：直角三角形两直角边a 、b 的平方和等于斜边c 的平方：c b a =+2

2

勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a 、b 、c 有下面关系： 2

2

2

c b a =+

那么这个三角形是直角三角形

几何部分 第三章：四边形

知识点：

一、多边形

1、多边形：由一些线段首尾顺次连结组成的图形，叫做多边形。

2、多边形的边：组成多边形的各条线段叫做多边形的边。

3、多边形的顶点：多边形每相邻两边的公共端点叫做多边形的顶点。

4、多边形的对角线：连结多边形不相邻的两个顶点的线段叫做多边形的对角线。

5、多边形的周长：多边形各边的长度和叫做多边形的周长。

6、凸多边形：把多边形的任何一条边向两方延长，如果多边形的其他各边都在延长线所得直线的问旁，这样的多边形叫凸多边形。

说明：一个多边形至少要有三条边，有三条边的叫做三角形；有四条边的叫做四边形；有几条边的叫做几边形。今后所说的多边形，如果不特别声明，都是指凸多边形。

7、多边形的角：多边形相邻两边所组成的角叫做多边形的内角，简称多边形的角。

8、多边形的外角：多边形的角的一边与另一边的反向延长线所组成的角叫做多边形的外角。

注意：多边形的外角也就是与它有公共顶点的内角的邻补角。 9、n 边形的对角线共有

)3(2

1

n n 条。 说明：利用上述公式，可以由一个多边形的边数计算出它的对角线的条数，也可以由一个多边形的对角线的条数求出它的边数。

10、多边形内角和定理：n 边形内角和等于（n －2）180°。 11、多边形内角和定理的推论：n 边形的外角和等于360°。 说明：多边形的外角和是一个常数（与边数无关），利用它解决有关计算题比利用多边形内角和公式及对角线求法公式简单。无论用哪个公式解决有关计算，都要与解方程联系起 来，掌握计算方法。

二、平行四边形

1、平行四边形：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。

2、平行四边形性质定理1：平行四边形的对角相等。

3、平行四边形性质定理2：平行四边形的对边相等。

4、平行四边形性质定理2推论：夹在平行线间的平行线段相等。

5、平行四边形性质定理3：平行四边形的对角线互相平分。

6、平行四边形判定定理1：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。

7、平行四边形判定定理2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形。

8、平行四边形判定定理3：对角线互相平分的四边形是平行四边形。

9、平行四边形判定定理4：两组对角分别相等的四边形是平行四边形。 说明：（1）平行四边形的定义、性质和判定是研究特殊平行四边形的基础。同时又是证明线段相等，角相等或两条直线互相平行的重要方法。

（2）平行四边形的定义即是平行四边形的一个性质，又是平行四边形的一个判定方法。

三、矩形

矩形是特殊的平行四边形，从运动变化的观点来看，当平行四边形的一个内角变为90°时，其它的边、角位置也都随之变化。因此矩形的性质是在平行四边形的基础上扩充的。

1、矩形：有一个角是直角的平行四边形叫做短形（通常也叫做长方形）

2、矩形性质定理1：矩形的四个角都是直角。 3．矩形性质定理2：矩形的对角线相等。

4、矩形判定定理1：有三个角是直角的四边形是矩形。

说明：因为四边形的内角和等于360度，已知有三个角都是直角，那么第四个角必定是直角。 5、矩形判定定理2：对角线相等的平行四边形是矩形。 说明：要判定四边形是矩形的方法是：

法一：先证明出是平行四边形，再证出有一个直角（这是用定义证明）

法二：先证明出是平行四边形，再证出对角线相等（这是判定定理1） 法三：只需证出三个角都是直角。（这是判定定理2） 四、菱形

菱形也是特殊的平行四边形，当平行四边形的两个邻边发生变化时，即当两个邻边相等时，平行四边形变成了菱形。 1、菱形：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。 2、菱形的性质1：菱形的四条边相等。

3、菱形的性质2：菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角。

4、菱形判定定理1：四边都相等的四边形是菱形。

5、菱形判定定理2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形。 说明：要判定四边形是菱形的方法是：

法一：先证出四边形是平行四边形，再证出有一组邻边相等。（这就是定义证明）。 法二：先证出四边形是平行四边形，再证出对角线互相垂直。（这是判定定理2）

法三：只需证出四边都相等。（这是判定定理1） （五）正方形

正方形是特殊的平行四边形，当邻边和内角同时运动时，又能使平行四边形的一个内角为直角且邻边相等，这样就形成了正方形。

1、正方形：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。

2、正方形性质定理1：正方形的四个角都是直角，四条边都相等。

3、正方形性质定理2：正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角。

4、正方形判定定理互：两条对角线互相垂直的矩形是正方形。

5、正方形判定定理2：两条对角线相等的菱形是正方形。

注意：要判定四边形是正方形的方法有

方法一：第一步证出有一组邻边相等；第二步证出有一个角是直角；第三步证出是平行四边形。（这是用定义证明）方法二：第一步证出对角线互相垂直；第二步证出是矩形。（这是判定定理1）

方法三：第一步证出对角线相等；第二步证出是菱形。（这是判定定理2）

六、梯形

1、梯形：一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形。

2、梯形的底：梯形中平行的两边叫做梯形的底（通常把较短的底叫做上底，较长的边叫做下底）

3、梯形的腰：梯形中不平行的两边叫做梯形的腰。

4、梯形的高：梯形有两底的距离叫做梯形的高。

5、直角梯形：一腰垂直于底的梯形叫做直角梯形。

6、等腰梯形：两腰相等的梯形叫做等腰梯形。

7、等腰梯形性质定理1：等腰梯形在同一底上的两个角相等。

8、等腰梯形性质定理2：等腰梯形的两条对角线相等。

9、等腰梯形的判定定理l。：在同一个底上钩两个角相等的梯形是等腰梯形。

10、等腰梯形的判定定理2：对角线相等的梯形是等腰梯形。

研究等腰梯形常用的方法有：化为一个等腰三角形和一个平行四边形；或两个全等的直角三角形和一矩形；或作对角线的平行线交下底的延长线于一点；或延长两腰交于一点。

七、中位线

1、三角形的中位线连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。

说明：三角形的中位线与三角形的中线不同。

2、梯形的中位线：连结梯形两腰中点的线段叫做梯形中位线。

3、三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。

4、梯形中位线定理：梯形中位线平行于两底，并且等于两底和的一半。

八、多边形的面积

说明：多边形的面积常用的求法有：

（1）将任意一个平面图形划分为若干部分再通过求部分的面积的和，求出原来图形的面积这种方法叫做分割法。如图3－l，作六边形的最长的一条对角线，从其它各顶点向这条对角线引垂线，把六边形分成四个直角三角形和两个直角梯形，计算它们的面积再相加。

（2）将一个平面图形的某一部分割下来移放在另一个适当的位置上，从而改变原来图形的形状。利用计算变形后的图形的面积来求原图形的面积的这种方法。叫做割补法。——

（3）将一个平面图形通过拼补某一图形，使它变为另一个图形，利用新的图形减去所补充图形的面积，来求出原来图形面积的这种方法叫做拼凑法。

注意：两个图形全等，它们的面积相等。等底等高的三角面积相等。一个图形的面积等于它的各部分面积的和。

几何部分

第四章：相似形

知识点：

一、比例线段

1、比：选用同一长度单位量得两条线段。a、b的长度分别是m、n，

那么就说这两条线段的比是a ：b ＝m ：n （或

n

m b a =） 2、比的前项，比的后项：两条线段的比a ：b 中。a 叫做比的前项，b 叫做比的后项。 说明：求两条线段的比时，对这两条线段要用同一单位长度。 3、比例：两个比相等的式子叫做比例，如d

c b a = 4、比例外项：在比例

d c

b a =（或a ：b ＝

c ：

d ）中a 、d 叫做比例外项。 5、比例内项：在比例d c

b a =（或a ：b ＝

c ：

d ）中b 、c 叫做比例内项。

6、第四比例项：在比例d

c

b a =（或a ：b ＝

c ：

d ）中，d 叫a 、b 、c 的第四比例项。

7、比例中项：如果比例中两个比例内项相等，即比例为a

b

b a =

（或a:b=b:c 时，我们把b 叫做a 和d 的比例中项。）

8、比例线段：在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，

那么，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段。

9、比例的基本性质：如果a ：b ＝c ：d 那么ad ＝bc 逆命题也成立，即如果ad ＝bc ，那么a ：b ＝c ：d

10、比例的基本性质推论：如果a ：b=b ：d 那么b 2=ad ，逆定理是如果b 2=ad 那么a ：b=b ：c 。说明：两个论是比积相等的式子叫做等积式。比例的基本性质及推例式与等积式互化的理论依据。

11、合比性质：如果

d c b a =，那么d d c b b a +=+ 12．等比性质：如果n m d c b a === ，（0≠+++m d b ），那么

b

a

n d b m c a =++++++ 说明：应用等比性质解题时常采用设已知条件为k ，这种方法思路单一，方法简单不易出错。

13、黄金分割把一条线段分成两条线段，使较长的线段是原线段与较小的线段的比例中项，叫做把这条线段黄金分割。

说明：把一条线段黄金分割的点，叫做这条线段的黄金分割点，在线段AB 上截取这条线段的

2

1

5-倍得到点C ，则点C 就是AB 的黄金分割点。 二、平行线分线段成比例

1、平行线等分线段定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其它直线上截得的线段也相等。 格式：如果直线L 1∥L 2∥L 3， AB ＝ BC ， 那么：A 1B 1＝B 1C 1，如图4－l

说明：由此定理可知推论1和推论2

推论1：经过梯形一腰的中点与底平行的直线必平分另一腰。

格式：如果梯形ABCD ，AD ∥BC ，AE ＝EB ，EF ∥AD ，那么DF=FC

推论2：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边。

格式，如果△ABC 中，D 是AB 的中点，DE ∥BC ，那么AE ＝EC ，如图4—3 2、平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。 说明：平行线等分线段定理是平行线分线段成比问定理的特殊情况。

3．平行线分线段成比例定理的推论：平行于三角形一边的直线截其它两边，所得的对应线段成比例。

说明1：平行线分线段成比例定理可用形象的语言来表达。如图4—4

说明2：图4－4的三种图形中这些成比例线段的位置关系依然存在。

4、三角形一边的平行线的判定定理。如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。

5、三角形一边的平行线的判定定理：平行于三角形的一边，并且和其它两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例。

6、线段的内分点：在一条线段上的一个点，将线段分成两条线段，这个点叫做这条线段的内分点。

7、线段的外分点：在一条线段的延长线上的点，有时也叫做这条线段的外分点。

说明：外分点分线段所得的两条线段，也就是这个点分别和线段的两个端点确定的线段。

三、相似三角形

1、相似三角形：两个对应角相等，对应边成比例的三角形叫做相似三角形。

说明：证两个三角形相似时和证两个三角形全等一样，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上，这样便于找出相似三角形的对应角和对应边。

2、相似比：相似三角形对应边的比k，叫做相似比（或叫做相似系数）。

3、相似三角形的基本定理：平分于三角形一边的直线和其它两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似。

说明：这个定理反映了相似三角形的存在性，所以有的书把它叫做相似三角形的存在定理，它是证明三角形相似的判定定理的理论基础。

4、三角形相似的判定定理：

（1）判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么就两个三角形相似。可简单说成：两角对应相等，两三角形相似。

（2）判定定理2：如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似，可简单说成：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似。

（3）判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似，可简单说成：三边对应成比例，两三角形相似。

（4）直角三角形相似的判定定理如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。

说明：以上四个判定定理不难证明，以下判定三角形相似的命题是正确的，在解题时，也可以用它们来判定两个三角形的相似。

第一：顶角（或底角）相等的两个等腰三角形相似。

第二：腰和底对应成比例的两个等腰三角形相似。

第三：有一个锐角相等的两个直角三角形相似。

第四：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似。

第五：如果一个三角形的两边和其中一边上的中线与另一个三角形的两边和其中一边上的中线对应成比例，那么这两个三角形．相似。

2018湖南长沙市中考数学试卷及答案解析

2018年长沙市初中学业水平考试卷 数学 一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合要求的，请在答题卡中填涂符合题意的选项，本大题共12个小题，每小题3分，共36分） 1.（2018湖南长沙，1题，3分）-2的相反数是（ ） A.-2 B. 12- C.2 D.12 【答案】C 2.（2018湖南长沙，2题，3分）据统计，2017年长沙市地区生产总值约为10200亿元，经济总量迈入“万亿俱乐部”，数据10200用科学记数法表示为（ ） A.0.102×105 B.10.2×103 C.1.02×104 D.1.02×103 【答案】C 3.（2018湖南长沙，3题，3分）下列计算正确的是（ ） Aa 2+a 3=a 5 B.32221-= C.(x 2)3=x 5 D.m 5÷m 3=m 2 【答案】D 4.（2018湖南长沙，4题，3分）下列长度的三条线段，能组成三角形的是（ ） A.4cm,5cm,9cm B.8cm,8cm,15cm C.5cm,5cm,10cm D.6cm,7cm,14cm 【答案】B 5.（2018湖南长沙，5题，3分）下列四个图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） 【答案】A 6.（2018湖南长沙，6题，3分）不等式组 的解集在数轴上表示正确的是（ ） 【答案】C 7.（2018湖南长沙，7题，3分）将下列左侧的平面图形绕轴l 旋转一周，可以得到的立体图形是（ ） 【答案】D 8.（2018湖南长沙，8题，3分）下列说法正确的是（ ） A.任意掷一枚质地均匀的硬币10次，一定有5次正面向上 B.天气预报说“明天的降水概率为40%”，表示明天有40%的时间都在降雨 C.“篮球队员在罚球线上投篮一次，投中”为随机事件 D.“a 是实数，|a|≥0”是不可能事件 【答案】C 9.（2018湖南长沙，9题，3分）估计10+1的值（ ） X+2>0 2x -4≤0

2013年云南中考数学试题及解析

云南省八地市2013年中考数学试卷 一、选择题（本大题共8小题，每小题只有一个正确选项，每小题3分，满分24分） 1．（3分）（2013?云南）﹣6的绝对值是（） A．﹣6 B．6C．±6 D． 2．（3分）（2013?云南）下列运算，结果正确的是（） A．m6÷m3=m2B．3mn2?m2n=3m3n3C．（m+n）2=m2+n2D．2mn+3mn=5m2n2 3．（3分）（2013?云南）图为某个几何体的三视图，则该几何体是（） A．B．C．D． 4．（3分）（2013?云南）2012年中央财政安排农村义务教育营养膳食补助资金共150.5亿元，150.5亿元用科学记数法表示为（） A．1.505×109元B．1.505×1010元C．0.1505×1011元D．15.05×109元5．（3分）（2013?云南）如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，下列结论正确的是（） A．S?ABCD=4S △AOB B．A C=BD C．A C⊥BD D．?ABCD是轴对称图形 6．（3分）（2013?云南）已知⊙O1的半径是3cm，⊙2的半径是2cm，O1O2=cm，则两圆的位置关系是（） A．相离B．外切C．相交D．内切 7．（3分）（2013?云南）要使分式的值为0，你认为x可取得数是（） A．9B．±3 C．﹣3 D．3 8．（3分）（2013?云南）若ab＞0，则一次函数y=ax+b和反比例函数y=在同一坐标系数中的大致图象是（）

A． B．C．D． 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，满分18分） 9．（3分）（2013?云南）25的算术平方根是． 10．（3分）（2013?云南）分解因式：x3﹣4x=． 11．（3分）（2013?云南）在函数中，自变量x的取值范围是． 12．（3分）（2013?云南）已知扇形的面积为2π，半径为3，则该扇形的弧长为（结果保留π）． 13．（3分）（2013?云南）如图，已知AB∥CD，AB=AC，∠ABC=68°，则∠ACD=． 14．（3分）（2013?云南）下面是按一定规律排列的一列数：，，，，…那么第n 个数是． 三、解答题（本大题共9个小题，满分58分） 15．（4分）（2013?云南）计算：sin30°+（﹣1）0+（）﹣2﹣． 16．（5分）（2013?云南）如图，点B在AE上，点D在AC上，AB=AD．请你添加一个适当的条件，使△ABC≌△ADE（只能添加一个）． （1）你添加的条件是． （2）添加条件后，请说明△ABC≌△ADE的理由． 17．（6分）（2013?云南）如图，下列网格中，每个小正方形的边长都是1，图中“鱼”的各个顶点都在格点上． （1）把“鱼”向右平移5个单位长度，并画出平移后的图形． （2）写出A、B、C三点平移后的对应点A′、B′、C′的坐标．

湖南中考数学复习资料湘教版

2017年中考数学总复习资料 代数部分 第一章：实数 基础知识点： 一、实数的分类： ?????? ???????????????????????????????????????无限不循环小数负无理数正无理数无理数数有限小数或无限循环小负分数正分数分数负整数零正整数整数有理数实数 1、有理数：任何一个有理数总可以写成q p 的形式，其中p 、q 是互质的整数，这是有理数的重要特征。 2、无理数：初中遇到的无理数有三种：开不尽的方根，如2、34；特定结构的不限环无限小数，如……；特定意义的数，如π、45sin °等。 3、判断一个实数的数性不能仅凭表面上的感觉，往往要经过整理化简后才下结论。 二、实数中的几个概念 1、相反数：只有符号不同的两个数叫做互为相反数。 （1）实数a 的相反数是 -a ； （2）a 和b 互为相反数?a+b=0 2、倒数： （1）实数a （a ≠0）的倒数是a 1；（2）a 和b 互为倒数?1=ab ；（3）注意0没有倒数 3、绝对值： （1）一个数a 的绝对值有以下三种情况： ?????-==0,0, 00,πφa a a a a a （2）实数的绝对值是一个非负数，从数轴上看，一个实数的绝对值，就是数轴上表示这个数的点到原点的距离。

（3）去掉绝对值符号（化简）必须要对绝对值符号里面的实数进行数性（正、负）确认，再去掉绝对值符号。 4、n次方根 （1）平方根，算术平方根：设a≥0，称a 叫a的平方根，a叫a的算术平方根。 （2）正数的平方根有两个，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根。 （3）立方根：3a叫实数a的立方根。 （4）一个正数有一个正的立方根；0的立方根是0；一个负数有一个负的立方根。 三、实数与数轴 1、数轴：规定了原点、正方向、单位长度的直线称为数轴。原点、正方向、单位长度是数轴的三要素。 2、数轴上的点和实数的对应关系：数轴上的每一个点都表示一个实数，而每一个实数都可以用数轴上的唯一的点来表示。实数和数轴上的点是一一对应的关系。 四、实数大小的比较 1、在数轴上表示两个数，右边的数总比左边的数大。 2、正数大于0；负数小于0；正数大于一切负数；两个负数绝对值大的反而小。 五、实数的运算 1、加法： （1）同号两数相加，取原来的符号，并把它们的绝对值相加；（2）异号两数相加，取绝对值大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。可使用加法交换律、结合律。 2、减法： 减去一个数等于加上这个数的相反数。 3、乘法： （1）两数相乘，同号取正，异号取负，并把绝对值相乘。（2）n个实数相乘，有一个因数为0，积就为0；若n个非0的实数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有偶数个

2013年中考数学试题(含答案)

2014 年中考数学试题 一、选择题（本大题共 10 小题,每小题 3 分,共 30 分） 1、2的值等于 （ ） A 、2 B 、-2 C 、2 D 、2 2、函数31+-= x y 中，自变量x 的取值范围是 （ ） A 、1>x B 、1≥x C 、1≤x D 、1≠x 3、方程 03 12=--x x 的解为 （ ） A 、2=x B 、2-=x C 、3=x D 、3-=x 4、已知一组数据：15,13,15,16,17,16,14,15，则这组数据的极差与众数分别是 （ ） A 、4,15 B 、3,15 C 、4,16 D 、3,16 5、下列说法中正确的是 （ ） A 、两直线被第三条直线所截得的同位角相等 B 、两直线被第三条直线所截得的同旁内角互补 C 、两平行线被第三条直线所截得的同位角的平分线互相垂直 D 、两平行线被第三条直线所截得的同旁内角的平分线互相垂直 20. 已知圆柱的底面半径为 3cm ，母线长为 5cm ，则圆柱的侧面积是 （ ） A 、30cm 2 B 、30πcm 2 C 、15cm 2 D 、15πcm 2 7、如图，A 、B 、C 是⊙O 上的三点，且∠ABC=70°，则∠AOC 的度数是 （ ） A 、35° B 、140° C 、70° D 、70°或 140° 8、如图，梯形 ABCD 中，AD ∥BC ，对角线 A C 、BD 相交于 O ，AD=1，BC=4，则△AOD 与△BOC 的面 积比等于 （ ） A 、 21 B 、41 C 、81 D 、16 1 1、如图，平行四边形 A BCD 中，AB ：BC=3：2，∠DAB=60°，E 在 A B 上，且 A E ：EB=1：2，F 是BC 的中点，过 D 分别作 D P ⊥AF 于 P ，DQ ⊥CE 于 Q ，则 D P ∶DQ 等于 （ ） A 、3:4 B 、3：52 C 、13：62 D 、32：13 10、已知点 A （0，0），B （0，4），C （3，t +4），D （3，t ）. 记 N （t ）为□ABCD 内部（不含边界） 第7题图 第8题图 第9题图

湖南省长沙市中考数学试卷(WORD解析版)

2014年湖南省长沙市中考数学试卷一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1．1 2 的倒数是（） A．2 B．－2 C．1 2 D．－ 1 2 2．下列几何体中，主视图、左视图、俯视图完全相同的是（） A．圆锥B．六棱柱C．球D．四棱锥3．（3分）（2014·长沙）一组数据3，3，4，2，8的中位数和平均数分别是（） A．3和3 B．3和4 C．4和3 D．4和4 4．（3分）（2014·长沙）平行四边形的对角线一定具有的性质是（） A．相等B．互相平分C．互相垂直D．互相垂直且相等5．（3分）（2014·长沙）下列计算正确的是（） A =B．()224 ab ab =C．236 a a a +=D．34 a a a ?= 6．（3分）（2014·长沙）如图，C、D是线段AB上的两点，且D是线段AC的中点，若10cm AB=，4cm BC=，则AD的长为（） D C B A A．2cm B．3cm C．4cm D．6cm 7．（3分）（2014·长沙）一个关于x的一元一次不等式组的解集在数轴上的表示如图，则该不等式组的解集是（） A．1 x>B．1 x≥C．3 x>D．3 x≥ 8．（3分）（2014·长沙）如图，已知菱形ABCD的边长为2，60 DAB ∠=?，则对角线BD的长是（） 60° D C B A A．1 B C．2 D． 9．（3分）（2014·长沙）下列四个圆形图案中，分别以它们所在圆的圆心为旋转中心，顺时针旋转120°后，能与原图形完全重合的是（）

D. C. B. A. 10．（3分）（2014·长沙）函数 a y x =与() 20 y ax a =≠在同一平面直角坐标系中的图象可能是（） A. B. C. D. 二、填空题（共8小题，每小题3分，共24分） 11．（3分）（2014·长沙）如图，直线a b ∥，直线c分别与a b ，相交，若170 ∠=?，则2 ∠=__________度． b a c 2 1 3 1 2 c a b 12．（3分）（201·长沙）抛物线()2 325 y x =-+的顶点坐标是__________． 13．（3分）（2014·长沙）如图，A、B、C是O上的三点，100 A B ∠?=?，则ACB ∠=__________度． 14．（3分）（2014·长沙）已知关于x的一元二次方程2 2340 x kx -+=的一个根是1，则k=__________．15．（3分）（2014·长沙）100件外观相同的产品中有5件不合格，现从中任意抽取1件进行检测，抽到不合格产品的概率是__________． 16．（3分）（2014·长沙）如图，在ABC △中，DE BC ∥， 2 3 DE BC =，ADE △的面积是8，则ABC △ 面积为__________．

2013年中考数学试题

数学试题 第1页（共4页） 2013年十堰市初中毕业生学业考试 数学试题 注意事项： 1．本卷共有4页，共有25小题，满分120分，考试时限120分钟． 2．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡指定的位置，并认真核对条形码上的准考证号和姓名，在答题卡规定的位置贴好条形码． 3．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交． 一、选择题：（本题有10个小题，每小题3分，共30分） 下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确选项的字母填涂在答题卡中相应的格子内． 1．2-的值等于（ ） A ．2 B ．1 2- C ．12 D ．－2 2．如图，AB ∥CD ，CE 平分∠BCD ，∠DCE =18°，则∠B 等于（ A ．18° B ．36° C ．45° D ．54° 3．下列运算中，正确的是（ ） A ．235a a a += B ．6 3 2a a a ? C ．426()a a = D ．235a a a = 4．用两块完全相同的长方体摆放成如图所示的几何体，这个几何体的左视图是（ ） 5．已知关于x 的一元二次方程x 2+2x －a =0有两个相等的实数根，则a 的值是（ ） A ．4 B ．－4 C ．1 D ．－1 6．如图，将△ABC 沿直线DE 折叠后，使得点B 与点A 重合，已知 AC =5cm ，△ADC 的周长为17cm ，则BC 的长为（ ） A ．7cm B ．10cm C ．12cm D ．22cm 7．如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB=DC=3，AD=5，∠C=60°，则下底BC 的长为（ ） A ．8 B ．9 C ．10 D ．11 A ． B ． C ． D ． 第6题 B 第2题 第7题 正面

中考数学总复习资料大全(精华版)

中考数学总复习资料大全 第一章 实数 ★重点★ 实数的有关概念及性质，实数的运算 ☆内容提要☆ 一、 重要概念 1．数的分类及概念 数系表： 说明：“分类”的原则：1）相称（不重、不漏） 2）有标准 2．非负数：正实数与零的统称。（表为：x ≥0） 常见的非负数有： 性质：若干个非负数的和为0，则每个非负担数均为0。 3．倒数： ①定义及表示法 ②性质：A.a ≠1/a （a ≠±1）;B.1/a 中，a ≠0;C.0＜a ＜1时1/a ＞1;a ＞1时，1/a ＜1;D.积为1。 4．相反数： ①定义及表示法 ②性质：A.a ≠0时，a ≠-a;B.a 与-a 在数轴上的位置;C.和为0,商为-1。 5．数轴：①定义（“三要素”） ②作用：A.直观地比较实数的大小;B.明确体现绝对值意义;C.建立点与实数的一一对应关系。 6．奇数、偶数、质数、合数（正整数—自然数） 定义及表示： 奇数：2n-1 偶数：2n （n 为自然数） 7．绝对值：①定义（两种）： 代数定义： 实数 无理数(无限不循环小数) 正分数 负分数 正整数 0 负整数 (有限或无限循环性数) 整数 分数 正无理数 负无理数 0 实数 负数 整数 分数 无理数 有理数 正数 整数 分数 无理数 有理数 │a │ 2 a a (a ≥0) (a 为一切实数) a(a≥0) -a(a<0) │a │=

几何定义：数a 的绝对值顶的几何意义是实数a 在数轴上所对应的点到原点的距离。 ②│a │≥0,符号“││”是“非负数”的标志;③数a 的绝对值只有一个;④处理任何类型的题目，只要其中有“││”出现，其关键一步是去掉“││”符号。 二、 实数的运算 1． 运算法则（加、减、乘、除、乘方、开方） 2． 运算定律（五个—加法[乘法]交换律、结合律;[乘法对加法的]分配律） 3． 运算顺序：A.高级运算到低级运算;B.（同级运算）从“左”到“右”（如5÷5 1×5）;C.(有括号时)由“小”到“中”到“大”。 三、 应用举例（略） 附：典型例题 1． 已知：a 、b 、x 在数轴上的位置如下图，求证：│x-a │+│x-b │=b-a. 2.已知：a-b=-2且ab<0，（a ≠0，b ≠0），判断a 、b 的符号。 第二章代数式 ★重点★代数式的有关概念及性质，代数式的运算 ☆内容提要☆ 一、 重要概念 分类： 1.代数式与有理式 用运算符号把数或表示数的字母连结而成的式子，叫做代数式。单独 的一个数或字母也是代数式。 整式和分式统称为有理式。 2.整式和分式 含有加、减、乘、除、乘方运算的代数式叫做有理式。 没有除法运算或虽有除法运算但除式中不含有字母的有理式叫做整式。 有除法运算并且除式中含有字母的有理式叫做分式。 3.单项式与多项式 没有加减运算的整式叫做单项式。（数字与字母的积—包括单独的一个数或字母） 几个单项式的和，叫做多项式。 说明：①根据除式中有否字母，将整式和分式区别开;根据整式中有否加减运算，把单项式、多项式区分开。②进行代数式分类时，是以所给的代数式为对象，而非以变形后的代数式为对象。划分代数式类别时，是从外形来看。如， x x 2=x,2x =│x │等。 4.系数与指数 区别与联系：①从位置上看;②从表示的意义上看 5.同类项及其合并 条件：①字母相同;②相同字母的指数相同 合并依据：乘法分配律 6.根式 表示方根的代数式叫做根式。 a x b 单项式 多项式 整式 分式样 有理式 无理式 代数式

2013年中考数学压轴题技巧

中考数学压轴题解题技巧 1 2013年中考数学冲击波__考前纠错必备 23 中考数学压轴题解题技巧 数学综压轴题是为考察考生综合运用知识的能力而设计的，集中体现知识的综合性和方法的综合性，多数为函数型综合题和几何型综合题。 函数型综合题：是给定直角坐标系和几何图形，先求函数的解析式，再进行图形的研究，求点的坐标或研究图形的某些性质。求已知函数的解析式主要方法是待定系数法，关键是求点的坐标，而求点的坐标基本方法是几何法（图形法）和代数法（解析法）。 几何型综合题：是先给定几何图形，根据已知条件进行计算，然后有动点（或动线段）运动，对应产生线段、面积等的变化，求对应的（未知）函数的解析式，求函数的自变量的取值范围，最后根据所求的函数关系进行探索研究。一般有：在什么条件下图形是等腰三角形、直角三角形，四边形是平行四边形、菱形、梯形等，或探索两个三角形满足什么条件相似等，或探究线段之间的数量、位置关系等，或探索面积之间满足一定关系时求x的值等，或直线（圆）与圆的相切时求自变量的值等。求未知函数解析式的关键是列出包含自变量和因变量之间的等量关系（即列出含有x、y的方程），变形写成y＝f（x）的形式。找等量关系的途径在初中主要有利用勾股定理、平行线截得比例线段、三角形相似、面积相等方法。求函数的自变量的取值范围主要是寻找图形的特殊位置（极端位置）和根据解析式求解。而最后的探索问题千变万化，但少不了对图形的分析和研究，用几何和代数的方法求出x的值。 解中考压轴题技能：中考压轴题大多是以坐标系为桥梁，运用数形结合思想，通过建立点与数即坐标之间的对应关系，一方面可用代数方法研究几何图形的性质，另一方面又可借助几何直观，得到某些代数问题的解答。关键是掌握几种常用的数学思想方法。 一是运用函数与方程思想。以直线或抛物线知识为载体，列（解）方程或方程组求其解析式、研究其性质。 二是运用分类讨论的思想。对问题的条件或结论的多变性进行考察和探究。 三是运用转化的数学的思想。由已知向未知，由复杂向简单的转换。中考压轴题它是对考生综合能力的一个全面考察，所涉及的知识面广，所使用的数学思想方法也较全面。因此，可把压轴题分离为相对独立而又单一的知识或方法组块去思考和探究。 解中考压轴题技能技巧： 一是对自身数学学习状况做一个完整的全面的认识。根据自己的情况考试的时候重心定位准确，防止“捡芝麻丢西瓜”。所以，在心中一定要给压轴题或几个“难点”一个时间上的限制，如果超过你设置的上限，必须要停止，回头认真检查前面的题，尽量要保证选择、填空万无一失，前面的解答题尽可能的检查一遍。 二是解数学压轴题做一问是一问。第一问对绝大多数同学来说，不是问题；如果第一小问不会解，切忌不可轻易放弃第二小问。过程会多少写多少，因为数学解答题是按步骤给分的，写上去的东西必须要规范，字迹要工整，布局要合理；过程会写多少写多少，但是不要说废话，计算中尽量回避非必求成分；尽量多用几何知识，少用代数计算，尽量用三角函数，少在直角三角形中使用相似三角形的性质。 三是解数学压轴题一般可以分为三个步骤。认真审题，理解题意、探究解题思路、正确解答。审题要全

2017年湖南省长沙市中考数学试卷与答案

2017年长沙市初中毕业学业水平考试 数学试卷 一、选择题： 1．下列实数中，为有理数的是（ ）A ．3B ．πC ．32 D ．12．下列计算正确的是（） A ．532=+ B ．222a a a =+ C ．xy x y x +=+)1( D ．6 32)(mn mn =3．据国家旅游局统计，2017年端午小长假全国各大景点共接待游客约为82600000人次，数据82600000用科学记数法表示为（） A ．610826.0? B ．71026.8? C ．6106.82? D ．810 26.8?4．在下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（） 5．一个三角形三个内角的度数之比为1：2：3，则这个三角形一定是（） A ．锐角三角形 B ．之直角三角形 C ．钝角三角形 D ．等腰直角三角形 6．下列说法正确的是（） A ．检测某批次灯泡的使用寿命，适宜用全面调查 B ．可能性是1%的事件在一次试验中一定不会发生 C ．数据3，5，4，1，2-的中位数是4 D ．“367人中有2人同月同日生”为必然事件 7．某几何体的三视图如图所示，因此几何体是（） A ．长方形 B ．圆柱 C ．球 D ．正三棱柱8．抛物线4)3(22+-=x y 的顶点坐标是（） A ．)4,3( B ．)4,3(- C ．)4,3(- D ．) 4,2(9．如图，已知直线b a //，直线c 分别与b a ,相交，01101=∠，则2∠的度数为（）

A ．060 B ．070 C ．080 D ．0 11010．如图，菱形ABCD 的对角线BD AC ,的长分别为cm cm 8,6，则这个菱形的周长为（） A ．cm 5 B ．cm 10 C ．cm 14 D ．cm 2011．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一段记载：“三百七十八里关，初健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关．”其大意是，有人要去某关口，路程378里，第一天健步行走，第二天起，由于脚痛，每天走的路程都为前一天的一半，一共走了六天才到达目的地，则此人第六天走的路程为（） A ．24里 B ．12里 C ．6里 D ．3里 12．如图，将正方形ABCD 折叠，使顶点A 与CD 边上的一点H 重合（H 不与端点D C ,重合），折痕交AD 于点E ，交BC 于点F ，边AB 折叠后与边BC 交于点G ，设正方形ABCD 的周长为m ，CHG ?的周长为n ，则 m n 的值为（）A ．22 B ．21 C ．215- D ．随H 点位置的变化而变化 二、填空题 13．分解因式：= ++2422a a ．14．方程组???=-=+3 31y x y x 的解是 ．15．如图，AB 为⊙O 的直径，弦AB CD ⊥于点E ，已知1,6==EB CD ，则⊙O 的半径为．

2013年中考数学压轴题专项练习

2013年中考数学压轴题专项练习 1，观察下列一组等式： 1 1×2＝1－ 1 2 ， 1 2×3 ＝ 1 2 － 1 3 ， 1 3×4 ＝ 1 3 － 1 4 ，…． 解答下列问题： 将以上三个等式两边分别相加得： 1 1×2＋ 1 2×3 ＋ 1 3×4 ＝1－ 1 2 ＋ 1 2 － 1 3 ＋ 1 3 － 1 4 ． (1)对于任意的正整数n： 1 n(n＋1) ＝． 【证】 (2)计算： 1 1×2 ＋ 1 2×3 ＋ 1 3×4 ＋…＋ 1 2011×2012 ＝． 【解】 (3)已知m为正整数化简： 1 1×3＋ 1 3×5 ＋ 1 5×7 ＋…＋ 1 (2m－1)(2m＋1) ＝． 2、在△ABC中，AB＝AC，D是线段BC的延长线上一点，以AD为一边在AD的右侧 ．．作△ADE，使AE＝AD，∠DAE＝∠BAC，连接CE． (1)如图1，点D在线段BC的延长线上移动，若∠BAC＝30°，则∠DCE＝． (2)设∠BAC＝α，∠DCE＝β： ①如图1，当点D在线段BC的延长线上移动时，α与β之间有何的数量关系？请说 明理由； ②当点D在直线BC上(不与B、C重合)移动时，α与β之间有何的数量关系？请直 接写出你的结论． A B C D E B C B C A A 备用图备用图

3、某商业公司为指导某种应季商品的生产和销售，对三月份至七月份该商品的售价和生产进行了调研，结果如下：一件商品的售价M(元)与时间t(月)的关系可用一条线段上的点来表示(如图甲)，一件商品的成本Q(元)与时间t(月)的关系可用一条抛物线上的点来表示，其中6月份成本最高(如图乙)． 根据图象提供的信息解答下面问题： (1)一件商品在3月份出售时的利润是多少元?(利润＝售价－成本) (2)求出图(乙)中表示的一件商品的成本Q(元)与时间t(月)之间的函数关系式； (3)你能求出3月份至7月份一件商品的利润W(元)与时间t(月)之间的函数关系式吗? 若该公司能在一个月内售出此种商品30000件，请你计算该公司在一个月内最少获利多少元? 4、阅读下列材料： 我们知道|x|的几何意义是在数轴上数x对应的点与原点的距离；即，也就是说，|x|表示在数轴上数x与数0对应点之间的距离； 这个结论可以推广为表示在数轴上，对应点之间的距离； 例1:解方程，容易看出，在数轴下与原点距离为2点的对应数为±2，即该方程的解为x=±2 例2:解不等式▏x-1▏＞2，如图，在数轴上找出▏x-1▏=2的解，即到1的距离为2的点对应的数为－1、3，则▏x-1▏＞2的解为x<－1或x>3

2018年湖南省长沙市中考数学试卷

2018年湖南省长沙市中考数学试卷 一、选择题（在下列各题的四个选项中,只有一项是符合要求的,请在答题卡中填涂符合题意的选项,本大题共12个小题,每小题3分,共36分) 1．（3.00分）（2018?长沙）﹣2的相反数是（） A．﹣2 B．﹣ C．2 D． 2．（3.00分）（2018?长沙）据统计，2017年长沙市地区生产总值约为10200亿元，经济总量迈入“万亿俱乐部”，数据10200用科学记数法表示为（）A．0.102×105B．10.2×103C．1.02×104D．1.02×103 3．（3.00分）（2018?长沙）下列计算正确的是（） A．a2+a3=a5 B．3 C．（x2）3=x5D．m5÷m3=m2 4．（3.00分）（2018?长沙）下列长度的三条线段，能组成三角形的是（）A．4cm，5cm，9cm B．8cm，8cm，15cm C．5cm，5cm，10cm D．6cm，7cm，14cm 5．（3.00分）（2018?长沙）下列四个图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（） A．B．C．D． 6．（3.00分）（2018?长沙）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（） A．B． C．D． 7．（3.00分）将下列如图的平面图形绕轴l旋转一周，可以得到的立体图形是（）

A．B．C．D． 8．（3.00分）（2018?长沙）下列说法正确的是（） A．任意掷一枚质地均匀的硬币10次，一定有5次正面向上 B．天气预报说“明天的降水概率为40%”，表示明天有40%的时间都在降雨C．“篮球队员在罚球线上投篮一次，投中”为随机事件 D．“a是实数，|a|≥0”是不可能事件 9．（3.00分）（2018?长沙）估计+1的值是（） A．在2和3之间B．在3和4之间C．在4和5之间D．在5和6之间10．（3.00分）（2018?长沙）小明家、食堂、图书馆在同一条直线上，小明从家去食堂吃早餐，接着去图书馆读报，然后回家，如图反映了这个过程中，小明离家的距离y与时间x之间的对应关系．根据图象，下列说法正确的是（） A．小明吃早餐用了25min B．小明读报用了30min C．食堂到图书馆的距离为0.8km D．小明从图书馆回家的速度为0.8km/min 11．（3.00分）（2018?长沙）我国南宋著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载有这样一道题：“问有沙田一块，有三斜，其中小斜五里，中斜十二里，大斜十三里，欲知为田几何？”这道题讲的是：有一块三角形沙田，三条边长分别

2013年广州市中考数学试卷及答案(解析版)

2013年广州市初中毕业生学业考试 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题： 1.（2013年广州市）比0大的数是（ ） A -1 B 1 2- C 0 D 1 分析：比0 的大的数一定是正数，结合选项即可得出答案 解：4个选项中只有D 选项大于0．故选D ． 点评：本题考查了有理数的大小比较，注意掌握大于0的数一定是正数 2.（2013年广州市）图1所示的几何体的主视图是（ ） （A ） (B) (C) (D)正面 分析：找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中． 解：从几何体的正面看可得图形． 故选：A ． 点评：从几何体的正面看可得图形． 故选：A ．． 3.（2013年广州市）在6×6方格中，将图2—①中的图形N 平移后位置如图2—②所示，则图形N 的平移方法中，正确的是（ ） A 向下移动1格 B 向上移动1格 C 向上移动2格 D 向下移动2格 分析：根据题意，结合图形，由平移的概念求解 解：观察图形可知：从图1到图2，可以将图形N 向下移动2格．故选D ． 点评：本题考查平移的基本概念及平移规律，是比较简单的几何图形变换．关键是要观察比较平移前后图形的位置． 4.（2013年广州市）计算： () 2 3m n 的结果是（ ） A 6 m n B 62 m n C 52 m n D 32 m n

分析：根据幂的乘方的性质和积的乘方的性质进行计算即可 解：（m 3n ）2=m 6n 2 ．故选：B ． 点评：此题考查了幂的乘方，积的乘方，理清指数的变化是解题的关键，是一道基础题 5、（2013年广州市）为了解中学生获取资讯的主要渠道，设置“A ：报纸，B ：电视，C ：网络，D ：身边的人，E ：其他”五个选项（五项中必选且只能选一项）的调查问卷，先随机抽取50名中学生进行该问卷调查，根据调查的结果绘制条形图如图3，该调查的方式是（ ），图3中的a 的值是（ ） A 全面调查，26 B 全面调查，24 C 抽样调查，26 D 抽样调查，24 分析：根据关键语句“先随机抽取50名中学生进行该问卷调查，”可得该调查方式是抽样调查，调查的样本容量为50，故6+10+6+a+4=50，解即可 解：该调查方式是抽样调查，a=50﹣6﹣10﹣6﹣4=24，故选：D ． 点评：此题主要考查了条形统计图，以及抽样调查，关键是读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据 6.（2013年广州市）已知两数x,y 之和是10，x 比y 的3倍大2，则下面所列方程组正确的是（ ） A 1032x y y x +=??=+? B 1032x y y x +=??=-? C 1032x y x y +=??=+? D 1032x y x y +=??=-? 分析：根据等量关系为：两数x ，y 之和是10；x 比y 的3倍大2，列出方程组即可 解：根据题意列方程组，得： ．故选：C ． 点评：此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，要注意抓住题目中的一些关键性词语“x 比y 的3倍大2”，找出等量关系，列出方程组是解题关键． 7.（2013年广州市）实数a 在数轴上的位置如图4所示，则 2.5 a -=（ ） A 2.5a - B 2.5a - C 2.5a + D 2.5a -- 分析：首先观察数轴，可得a ＜2.5，然后由绝对值的性质，可得|a ﹣2.5|=﹣（a ﹣2.5），则可求得答案 解：如图可得：a ＜2.5，即a ﹣2.5＜0，则|a ﹣2.5|=﹣（a ﹣2.5）=2.5﹣a ．故选B ． 点评：此题考查了利用数轴比较实数的大小及绝对值的定义等知识．此题比较简单，注意数轴上的任意两个数，右边的数总比左边的数大． 8.（2013年广州市）若代数式1x x -有意义，则实数x 的取值范围是（ ） A 1x ≠ B 0x ≥ C 0x > D 01x x ≥≠且 分析：根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于0，分母不等于0，可以求出x 的范围 解：根据题意得： ，解得：x≥0且x ≠1．故选D ． 点评：本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数 9.（2013年广州市）若5200k +<，则关于x 的一元二次方程2 40x x k +-=的根的情况是（ ） A 没有实数根 B 有两个相等的实数根 C 有两个不相等的实数根 D 无法判断 分析：根据已知不等式求出k 的范围，进而判断出根的判别式的值的正负，即可得到方程解的情况 解：∵5k+20＜0，即k ＜﹣4，∴△=16+4k ＜0，则方程没有实数根．故选A 点评：此题考查了一元二次方程根的判别式，根的判别式的值大于0，方程有两个不相等的实数根；根的判别式的值等于0，方程有两个相等的实数根；根的判别式的值小于0，方程没有实数根． 10.（2013年广州市）如图5，四边形ABCD 是梯形，AD∥BC ，CA 是BCD ∠的平分线，且 ,4,6,AB AC AB AD ⊥==则tan B =（ ）

近五年徐州中考数学压轴题

27．（10分）（2013?徐州）为增强公民的节约意识，合理利用天然气资源，某市自1月1日起对市区民用管道天然气价格进行调整，实行阶梯式气价，调整后的收费价格如表所示： 每月用气量单价（元/m3） 不超出75m3的部分 2.5 超出75m3不超出125m3的部分a 超出125m3的部分a+0.25 （1）若甲用户3月份的用气量为60m3，则应缴费_________元； （2）若调价后每月支出的燃气费为y（元），每月的用气量为x（m3），y与x之间的关系如图所示，求a的值及y与x之间的函数关系式； （3）在（2）的条件下，若乙用户2、3月份共用1气175m3（3月份用气量低于2月份用气量），共缴费455元，乙用户2、3月份的用气量各是多少？ 28．（10分）（2013?徐州）如图，二次函数y=x2+bx﹣的图象与x轴交于点A（﹣3，0）和点B，以AB为边 在x轴上方作正方形ABCD，点P是x轴上一动点，连接DP，过点P作DP的垂线与y轴交于点E． （1）请直接写出点D的坐标：_________； （2）当点P在线段AO（点P不与A、O重合）上运动至何处时，线段OE的长有最大值，求出这个最大值；（3）是否存在这样的点P，使△PED是等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标及此时△PED与正方形ABCD 重叠部分的面积；若不存在，请说明理由． 27．（本小题8分） 如图1，A、B、C、D为矩形的四个顶点，AD=4cm，AB=dcm。动点E、F分别从点D、B出发，点E以1 cm/s 的速度沿边DA向点A移动，点F以1 cm/s的速度沿边BC向点C移动，点F移动到点C时，两点同时停止移动。以EF为边作正方形EFGH，点F出发xs时，正方形EFGH的面积为ycm2。已知y与x的函数图象是抛物 线 的一部分，如图2所示。 请根据图中信息，解答下列问题： （1）自变量x的取值范围是； （2）d= ，m= ，n= ；

深圳市2013年中考数学试题独立试题

2013年深圳市中考数学试卷 说明：1、答题前，请将姓名、考生号、考场、试室号和座位号用规定的笔写在答题卡指定的位 置上，将条形码粘贴好。 2、全卷分二部分，第一部分为选择题，第二部分为非选择题，共 4页。考试时间90分钟，满分100分。 3、本卷试题，考生必须在答题卡上按规定作答；凡在试卷、草稿纸上作答的，其答案一律 无效。答题卡必须保持清洁，不能折叠。 4、考试结束，请将本试卷和答题卡一并交回 第一部分 选择题 （本部分共12小题，每小题3分，共36分，每小题给出4个选项，其中只有一个是正确的） 1.－3的绝对值是（ ） A.3 B.-3 C.-31 D.3 1 2.下列计算正确的是（ ） A.2 2 2 )(b a b a +=+ B.2 2 )ab (ab = C.5 2 3)(a a = D.32a a a =? 3.某活动中，共募得捐款32000000元，将32000000用科学记数法表示为（ ） A.81032.0? B.6102.3? C.7102.3? D.61032? 4.如下图，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（ ） 5.某校有21名同学们参加某比赛，预赛成绩各不同，要取前11名参加决赛，小颖已经知道了自己的成绩，她想知道自己能否进入决赛，只需要再知道这21名同学成绩的（ ） A.最高分 B.中位数 C.极差 D.平均数 6.分式2 42+-x x 的值为0，则（ ） A.x =-2 B.x =2± C.x =2 D.x =0 7.在平面直角坐标系中，点P （－20，a ）与点Q （b ，13）关于原点对称，则b a +的值为（ ） A.33 B.-33 C.-7 D.7 8.小朱要到距家1500米的学校上学，一天，小朱出发10分钟后，小朱的爸爸立即去追小朱，且在距离学校60米的地方追上了他。已知爸爸比小朱的速度快100米/分，求小朱的速度。若设小朱速度是x 米/分，则根据题意所列方程正确的是（ ） A. 1014401001440=--x x B. 101001440 1440++=x x C. 1010014401440+-=x x D. 1014401001440=-+x x 9.如图1，有一张一个角为30°，最小边长为2的直角三角形纸片，沿图中所示的中位线剪开后， 将两部分拼成一个四边形，所得四边形的周长是（ ） A.8或32 B.10或324+ C.10或32 D.8或324+ 10.下列命题是真命题的有（ ） ①对顶角相等；②两直线平行，内错角相等；③两个锐角对应相等的两个直 角三角形全等；④有三个角是直角的四边形是矩形；⑤平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧。 A..1个 B.2个 C.3个 D.4个

湖南中考数学复习各地区2018-2020年模拟试题分类(长沙专版)(5)——二次函数(含解析)

湖南中考数学复习各地区2018-2020年模拟试题分类（长沙专版）（5）—— 二次函数 一．选择题（共19小题） 1．（2020?雨花区校级三模）已知抛物线L ：y ＝ax 2﹣2ax +5（a ≠0）的顶点为A ，抛物线M 与抛物线L 关于B （2，0）成中心对称，若抛物线M 经过点A ，则a 的值为（ ） A ．﹣2 B ．5 2 C ．﹣5 D ．5 3 2．（2020?天心区模拟）已知抛物线y ＝ax 2 +2ax ﹣b （a ≠0），它关于点（0，12）对称的抛物线为y 1，其顶点为A 1；关于点（0，22）对称的抛物线为y 2，其顶点为A 2；…；关于点（0，n 2）对称的抛物线为y n ，其顶点为A n …（n 为正整数）．则A 2020A 2021的长为（ ） A ．2020 B ．2021 C ．8080 D ．8082 3．（2020?雨花区校级二模）二次函数y ＝ax 2 +bx +c （a ≠0）的大致图象如图所示，顶点坐标为（﹣2，﹣9a ），下列结论：①abc ＞0；①4a +2b +c ＞0；①9a ﹣b +c ＝0；①若方程a （x +5）（x ﹣1）＝﹣1有两个根x 1和x 2，且x 1＜x 2，则﹣5＜x 1＜x 2＜1；①若方程|ax 2+bx +c |＝1有四个根，则这四个根的和为﹣8．其中正确的结论有（ ）个 A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 4．（2020?雨花区校级一模）对于函数y ＝x 2 ﹣2|x |﹣3，下列说法正确的有（ ）个①图象关于y 轴对称；①有最小值﹣4；①当方程x 2﹣2|x |﹣3＝m 有两个不相等的实数根时，m ＞﹣3；①直线y ＝x +b 与y ＝x 2﹣2|x |﹣3的图象有三个交点时，?13 4 ＜b ≤﹣3． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 5．（2020?岳麓区校级一模）已知抛物线y ＝ax 2 +bx +c （a ＞0）与直线y ＝k （x ﹣1）?k 2 4，无论k 取任何实 数，此抛物线与直线都只有一个公共点．那么，抛物线的解析式是（ ） A ．y ＝x 2 B ．y ＝x 2﹣2x C ．y ＝x 2﹣2x +1 D ．y ＝2x 2﹣4x +2 6．（2020?雨花区模拟）已知二次函数y ＝ax 2+bx +c 自变量x 与函数值y 之间满足下列数量关系： x 2 4 5 y 0.38 0.38 6 则（a +b +c ）（ ?k +√k 2?4kk 2k + ?k ?√k 2?4kk 2k ）值为（ ） A ．24 B ．36 C ．6 D ．4 7．（2020?天心区模拟）二次函数y ＝ax 2 +bx +c （a ，b ，c 是常数，a ≠0）的自变量x 与函数值y 的部分对应值如下表，且当x =?1 2时，与其对应的函数值y ＞0，有下列结论：（1）abc ＞0；（2）﹣2和3是关于x 的方程ax 2+bx +c ＝t 的两个根；（3）0＜m +n ＜ 20 3 ，其中，正确结论的个数是（ ） x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 … y ＝ax 2+bx +c … t m ﹣2 ﹣2 n … A ．3 B ．2 C ．1 D ．0 8．（2020?雨花区校级模拟）将二次函数y ＝ax 2 的图象先向下平移2个单位，再向右平移3个单位，截x 轴所得的线段长为4，则a ＝（ ）

2013中考数学压轴题(含答案)

1、如图12，已知直线12y x =与双曲线(0)k y k x =>交于A B ，两点，且点A 的横坐标为4． （1）求k 的值； （2）若双曲线(0)k y k x =>上一点C 的纵坐标为8，求A O C △的面积； （3）过原点O 的另一条直线l 交双曲线(0)k y k x =>于P Q ，两 点（P 点在第一象限），若由点A B P Q ，，，为顶点组成的四边形面 积为24，求点P 的坐标． 解：(1)∵点A 横坐标为4 , ∴当 x = 4时，y = 2 . ∴ 点A 的坐标为（ 4，2 ）. ∵ 点A 是直线 与双曲线 （k>0）的交点 , ∴ k = 4 ×2 = 8 . (2) 解法一：如图12-1， ∵ 点C 在双曲线上，y = 8时，x = 1 ∴ 点C 的坐标为 ( 1, 8 ) . 过点A 、C 分别做x 轴、y 轴的垂线，垂足为M 、N ，得矩形DMON . S 矩形ONDM = 32 ， S △ONC = 4 ， S △CDA = 9， S △OAM = 4 . S △AOC = S 矩形ONDM - S △ONC - S △CDA - S △OAM = 32 - 4 - 9 - 4 = 15 . 解法二：如图12-2， 过点 C 、A 分别做x 轴的垂线，垂足为E 、F ， ∵ 点C 在双曲线8 y x =上，当y = 8时，x = 1 . ∴ 点C 的坐标为 ( 1, 8 ). 图12 O x A y B x y 21x y 8=

∵ 点C 、A 都在双曲线8 y x =上 , ∴ S △COE = S △AOF = 4 。 ∴ S △COE + S 梯形CEFA = S △COA + S △AOF . ∴ S △COA = S 梯形CEFA . ∵ S 梯形CEFA = 1 2 ×（2+8）×3 = 15 , ∴ S △COA = 15 . （3）∵ 反比例函数图象是关于原点O 的中心对称图形 , ∴ OP=OQ ，OA=OB . ∴ 四边形APBQ 是平行四边形 . ∴ S △POA = S 平行四边形APBQ = ×24 = 6 . 设点P 的横坐标为m （m > 0且4m ≠）, 得P ( m , ) . 过点P 、A 分别做x 轴的垂线，垂足为E 、F ， ∵ 点P 、A 在双曲线上，∴S △POE = S △AOF = 4 . 若0＜m ＜4，如图12-3， ∵ S △POE + S 梯形PEFA = S △POA + S △AOF , ∴ S 梯形PEFA = S △POA = 6 . ∴ 1 8 (2)(4)62m m +?-=. 41 41 m 8