2011高考数学压轴题专题训练
2011高考数学压轴题专题训练--数列（36页WORD ）
第六章 数列
高考题
三、解答题
22.（2009全国卷Ⅰ理）在数列{}n a 中，1111
1,(1)2
n n n n a a a n ++==++ （I ）设n
n a b n
=
，求数列{}n b 的通项公式 （II ）求数列{}n a 的前n 项和n S 分析：（I ）由已知有
1112n n n a a n n +=++11
2
n n n b b +∴-= 利用累差迭加即可求出数列{}n b 的通项公式: 1
122
n n b -=-(*
n N ∈) （II ）由（I ）知1
22n n n a n -=-
, ∴n S =11(2)2n
k k k k -=-∑111(2)2n n
k k k k
k -===-∑∑
而
1
(2)(1)n
k k n n ==+∑,又11
2n
k k k
-=∑
是一个典型的错位相减法模型， 易得
11
12
42
2n
k n k k n --=+=-∑ ∴n S =(1)n n +1242n n -++- 评析：09年高考理科数学全国(一)试题将数列题前置,考查构造新数列和利用错位相减法求前n 项和，一改往年的将数列结合不等式放缩法问题作为押轴题的命题模式。具有让考生和一线教师重视教材和基础知识、基本方法基本技能,重视两纲的导向作用。也可看出命题人在有意识降低难度和求变的良苦用心。
23.（2009北京理）已知数集{}()1212,,
1,2n n A a a a a a a n =≤<<≥具有性质P ；对任意的
(),1i j i j n ≤≤≤，i j a a 与
j i
a a 两数中至少有一个属于A .
（Ⅰ）分别判断数集{}1,3,4与{}1,2,3,6是否具有性质P ，并说明理由；
（Ⅱ）证明：11a =，且
12111
12n
n n
a a a a a a a ---+++=+++； （Ⅲ）证明：当5n =时，12345,,,,a a a a a 成等比数列.
【解析】本题主要考查集合、等比数列的性质，考查运算能力、推理论证能力、分 分类讨论等数学思想方法．本题是数列与不等式的综合题，属于较难层次题.
（Ⅰ）由于34?与4
3
均不属于数集{}1,3,4，∴该数集不具有性质P. 由于661236
12,13,16,23,,,,,,231236
????都属于数集{}1,2,3,6，
∴该数集具有性质P. （Ⅱ）∵{}12,,n A a a a =具有性质P ，∴n n a a 与
n
n
a a 中至少有一个属于A ， 由于121n a a a ≤<<<，∴n n n a a a >，故n n a a A ?.
从而1n
n
a A a =
∈，∴11a =. ∵121n a a a =<<
<， ∴k n n a a a >，故()2,3,,k n a a A k n ?=.
由A 具有性质P 可知
()1,2,3,,n
k
a A k n a ∈=.
又∵
1
21
n n n n
n n a a a a a a a a -<<<
<， ∴
211
211,,,n n n n n n n n a a
a a
a a a a a a a --====， 从而
1211
21
n n n n
n n n n a a
a a a a a a a a a a --=++
+=++++，
∴
12111
12n
n n
a a a a a a a ---+++=+++. （Ⅲ）由（Ⅱ）知，当5n =时，有
552343
,a a a a a a ==，即2
5243
a a a a ==，
∵1251a a a =<<<，∴34245a a a a a >=，∴34a a A ?，
由A 具有性质P 可知
4
3
a A a ∈. 2
243a a a =，得
3423a a A a a =∈，且3221a a a <=，∴34232
a a
a a a ==，
∴
5342
24321
a a a a a a a a a ====，即12345,,,,a a a a a 是首项为1，公比为2a 成等比数列. 24.（2009江苏卷）设{}n a 是公差不为零的等差数列，n S 为其前n 项和，满足
222223457,7a a a a S +=+=。
（1）求数列{}n a 的通项公式及前n 项和n S ； （2）试求所有的正整数m ，使得
1
2
m m m a a a ++为数列{}n a 中的项。 【解析】 本小题主要考查等差数列的通项、求和的有关知识，考查运算和求解的能力。满分14分。 （1）设公差为d ，则2
222
2543
a a a a -=-，由性质得43433()()d a a d a a -+=+，因为0d ≠，所以4
30a a +=，即1250a d +=，又由77S =得176
772
a d ?+
=，解得15a =-，2d =,
(2)
（方法一）12
m m m a a a ++=(27)(25)
23m m m ---,设23m t -=，
则
12
m m m a a a ++=
(4)(2)
86t t t t t --=+-, 所以t 为8的约数
（方法二）因为
1222222
(4)(2)8
6m m m m m m m m a a a a a a a a +++++++--==-+为数列{}n a 中的项，
故
m+2
8 a 为整数，又由（1）知：2m a +为奇数，所以2231,1,2m a m m +=-=±=即
经检验，符合题意的正整数只有2m =。
25（2009江苏卷）对于正整数n ≥2，用n T 表示关于x 的一元二次方程2
20x ax b ++=有实数根的有序数组(,)a b 的组数，其中{},1,2,
,a b n ∈（a 和b 可以相等）
；对于随机选取的{}
,1,2,,a b n ∈（a 和b 可以相等），记n P 为关于x 的一元二次方程2
20x ax b ++=有实数根的概率。 （1）求2n T 和2n P ；
（2）求证：对任意正整数n ≥2，有1
1n P n
>-
. 【解析】 [必做题]本小题主要考查概率的基本知识和记数原理，考查探究能力。满分10分。
26.（2009山东卷理)等比数列{n a }的前n 项和为n S ， 已知对任意的n N +
∈ ，点(,)n n S ，均在函数(0x y b r b =+>且1,,b b r ≠均为常数)的图像上. （1）求r 的值；
（11）当b=2时，记 22(log 1)()n n b a n N +=+∈ 证明：对任意的n N +
∈ ，不等式
1212111
·······1n n
b b b n b b b +++>+成立 解:因为对任意的n N +
∈,点(,)n n S ，均在函数(0x y b r b =+>且1,,b b r ≠均为常数的图像上.所以
得n n S b r =+,当1n =时,11a S b r ==+,当2
n ≥时,1111()(1)n n n n n n n n a S S b r b r b b b b ----=-=+-+=-=-,又因为{n a }为等比数列,所以1r =-,公比为b ,1(1)n n a b b -=-
（2）当b=2时，11(1)2n n n a b b --=-=, 1222(log 1)2(log 21)2n n n b a n -=+=+= 则
1212n n b n b n ++=,所以1212111
35721
(246)
2n n b b b n b b b n
++++=??
下面用数学归纳法证明不等式
1212111
35721
(1246)
2n n b b b n n b b b n
++++=??>+成立. ① 当1n =时,左边=
32,右边=2,因为3
22
>,所以不等式成立. ② 假设当n k =时不等式成立,即
1212111
35721
(1246)
2k k b b b k k b b b k
++++=??>+成立.则当1n k =+时,左边=
1121211111
3572123
(246)
222
k k k k b b b b k k b b b b k k ++++++++=????
?
+ 2223(23)4(1)4(1)11
1(1)1(1)1224(1)4(1)4(1)
k k k k k k k k k k k ++++++>+?===+++>++++++
所以当1n k =+时,不等式也成立. 由①、②可得不等式恒成立.
【命题立意】:本题主要考查了等比数列的定义,通项公式,以及已知n S 求n a 的基本题型,并运用数学归纳法证明与自然数有关的命题,以及放缩法证明不等式. 27.（2009广东卷理）知曲线22:20(1,2,)n C x nx y n -+==．从点(1,0)P -向曲线n C 引斜率
为(0)n n k k >的切线n l ，切点为(,)n n n P x y ． （1）求数列{}{}n n x y 与的通项公式； （2）证明：1352112sin 1n n n n n
x x
x x x x x y --???
?<
<+. 解：（1）设直线n l ：)1(+=x k y n ，联立0222=+-y nx x 得0)22()1(2
2
2
2
=+-++n n n k x n k x k ，
则0)1(4)22(2
222=+--=?n n n k k n k ，∴1
2+=
n n k n （1
2+-
n n 舍去）
22
2
2
2
)1(1+=+=n n k k x n n n
，即1+=n n x n ，∴112)1(++=+=n n n x k y n n n （2）证明：∵
1
21
1
11111+=++
+-
=+-n n n n n
x x n
n 1
21
12125331212432112531+=
+-??????<-??????=
???????-n n n n n x x x x n ∴n
n
n x x x x x x +-<
???????-1112531
由于
n
n n n
x x n y x +-=
+=11121
，可令函数x x x f sin 2)(-=，则x x f cos 21)('-=，令0)('=x f ，得2
2
cos =
x ，给定区间)4,0(π，则有0)(' ∴0)0()(= 在)4 ,0(π 恒成立，又4 311210π <≤+< n ， 则有 121 sin 2121+<+n n ，即n n n n y x x x sin 211<+-. 28（2009安徽卷理）首项为正数的数列{}n a 满足2 11(3),.4 n n a a n N ++= +∈ （I ）证明：若1a 为奇数，则对一切2,n n a ≥都是奇数； （II ）若对一切n N +∈都有1n n a a +>，求1a 的取值范围. 解：本小题主要考查数列、数学归纳法和不等式的有关知识，考查推理论证、抽象概括、运算求解和探究能力，考查学生是否具有审慎思维的习惯和一定的数学视野。本小题满分13分。 解：（I ）已知1a 是奇数，假设21k a m =-是奇数，其中m 为正整数， 则由递推关系得213 (1)14 k k a a m m ++==-+是奇数。 根据数学归纳法，对任何n N +∈，n a 都是奇数。 （II ）（方法一）由11 (1)(3)4 n n n n a a a a +-= --知，1n n a a +>当且仅当1n a <或3n a >。 另一方面，若01,k a <<则113014k a ++<<=；若3k a >，则2133 3.4 k a ++>= 根据数学归纳法，1101,01,;33,.n n a a n N a a n N ++<?>?∈ 综合所述，对一切n N +∈都有1n n a a +>的充要条件是101a <<或13a >。 （方法二）由21213 ,4a a a +=>得211430,a a -+>于是101a <<或13a >。 22111133()() ,444 n n n n n n n n a a a a a a a a ---++++--=-= 因为2113 0,,4 n n a a a ++>=所以所有的n a 均大于0，因此1n n a a +-与1n n a a --同号。 根据数学归纳法，n N +?∈，1n n a a +-与21a a -同号。 因此，对一切n N +∈都有1n n a a +>的充要条件是101a <<或13a >。 29.（2009江西卷理）各项均为正数的数列{}n a ，12,a a a b ==，且对满足m n p q +=+的正整数 ,,,m n p q 都有 .(1)(1)(1)(1) p q m n m n p q a a a a a a a a ++=++++ （1）当14 ,25 a b = =时，求通项;n a （2）证明：对任意a ，存在与a 有关的常数λ，使得对于每个正整数n ，都有 1 .n a λλ ≤≤ 解：（1）由 (1)(1)(1)(1) p q m n m n p q a a a a a a a a ++= ++++得 121 121.(1)(1)(1)(1) n n n n a a a a a a a a --++=++++将1214,25a a ==代入化简得 1121 .2 n n n a a a --+= + 所以 1 1 111,131n n n n a a a a ----=?++ 故数列1{ }1n n a a -+为等比数列，从而 11,13 n n n a a -=+即31 .31n n n a -=+ 可验证，31 31 n n n a -=+满足题设条件. (2) 由题设 (1)(1) m n m n a a a a +++的值仅与m n +有关,记为,m n b +则 111.(1)(1)(1)(1) n n n n n a a a a b a a a a +++= =++++ 考察函数 ()(0)(1)(1) a x f x x a x += >++,则在定义域上有 1 , 111 ()(),12,011a a f x g a a a a a ?>?+??≥==???< 故对* n N ∈， 1()n b g a +≥恒成立. 又 22 2()(1) n n n a b g a a = ≥+, 注意到1 0()2 g a <≤ ,解上式得 1()12()1()12()() ,()()1()12() n g a g a g a g a g a a g a g a g a g a ----+-=≤≤-+- 取1()12()() g a g a g a λ-+-= ,即有 1 .n a λλ≤≤. 30. (2009湖北卷理)已知数列{}n a 的前n 项和1 1 ()22 n n n S a -=--+（n 为正整数）。 （Ⅰ）令2n n n b a =，求证数列{}n b 是等差数列，并求数列{}n a 的通项公式； (Ⅱ）令1n n n c a n +=，12........n n T c c c =+++试比较n T 与521 n n +的大小，并予以证明。 解（I ）在1 1()22 n n n S a -=--+中，令n=1，可得1112n S a a =--+=，即112a = 当2n ≥时，21111111 ()2()22 n n n n n n n n n S a a S S a a ------=--+∴=-=-++， ， 11n 111 2a (),212 n n n n n a a a ----∴=+=+n 即2. 112,1,n 21n n n n n n b a b b b --=∴=+≥-=n 即当时，b . 又1121,b a ==∴数列}{ n b 是首项和公差均为1的等差数列. 于是1(1)12,2 n n n n n n b n n a a =+-?==∴=. (II)由（I ）得11 (1)()2 n n n n c a n n += =+，所以 231111 23()4()(1)()2222 n n T n =?+?+?+++K 2341111112()3()4()(1)()22222 n n T n +=?+?+?+++K 由①-②得231 111111()()()(1)()22222n n n T n +=++++-+K 111 11[1()] 133421(1)()1222123 32 n n n n n n n n T -++-+=+-+=--+∴=- 535(3)(221) 3212212(21) n n n n n n n n n T n n n ++---=--= +++ 于是确定521 n n T n +与 的大小关系等价于比较221n n +与的大小 由23452211;2221;2231;2241;225; 可猜想当322 1.n n n ≥>+时， 证明如下： 证法1：（1）当n=3时，由上验算显示成立。 （2）假设1n k =+时12222(21)422(1)1(21)2(1)1k k k k k k k +=>+=+=+++->++g 所以当1n k =+时猜想也成立 综合（1）（2）可知 ，对一切3n ≥的正整数，都有22 1.n n >+ 证法2：当3n ≥时 01210112(11)2221n n n n n n n n n n n n n n n C C C C C C C C C n n --=+=+++++≥+++=+>+K 综上所述，当1,2n =时521n n T n < +，当3n ≥时521 n n T n >+ 31.（2009四川卷文）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，对任意的正整数n ，都有51n n a S =+成立，记 *4()1n n n a b n N a += ∈-。 （I ）求数列{}n a 与数列{}n b 的通项公式； （II ）设数列{}n b 的前n 项和为n R ，是否存在正整数k ，使得4n R k ≥成立？若存在，找出一个正整数k ；若不存在，请说明理由； （III ）记* 221()n n n c b b n N - =-∈，设数列{}n c 的前n 项和为n T ，求证：对任意正整数n 都有3 2 n T <； 解（I ）当1=n 时，1111 51,4 =+∴=-a S a 又 1151,51++=+=+n n n n a S a S 1111 5,4 即 +++∴-==-n n n n n a a a a a ∴数列{}n a 是首项为114=- a ，公比为1 4=-q 的等比数列， ∴1()4 =-n n a ，*14()4()11()4 +-= ∈--n n n b n N …………………………………3分 （II ）不存在正整数k ，使得4n R k ≥成立。 证明：由（I ）知14()5441(4)11()4 +-==+----n n n n b 2122125 5520151640 8888.(4)1(4)1161164(161)(164) --?-+=++=+-=-<-----+-+k k k k k k k k k b b ∴当n 为偶数时，设2()n m m N *=∈ ∴1234212()()()84n m m R b b b b b b m n -=++++ ++<= 当n 为奇数时，设21()n m m N *=-∈ ∴1234232221()()()8(1)4844n m m m R b b b b b b b m m n ---=++++ +++<-+=-= ∴对于一切的正整数n ，都有4n R k < ∴不存在正整数k ，使得4n R k ≥成立。 …………………………………8分 （III ）由5 4(4)1 n n b =+ --得 212221225515161516151615 4141(161)(164)(16)3164(16)16n n n n n n n n n n n n n n c b b --???=+=+==<= -+-++?-又122134 3,,33 b b c == ∴=， 当1=n 时，13 2T <， 当2n ≥时， 2 223211[1()]41114161625()25131616 163116 14693162513482116 n n n T --< +?+++=+? -<+?=<- 32.（2009湖南卷文）对于数列{}n u ,若存在常数M ＞0,对任意的* n N ∈，恒有 1121n n n n u u u u u u M +--+-++-≤, 则称数列{}n u 为B -数列. （Ⅰ）首项为1，公比为1 2 - 的等比数列是否为B-数列？请说明理由; （Ⅱ）设n S 是数列{}n x 的前n 项和.给出下列两组判断： A 组：①数列{}n x 是B-数列, ②数列{}n x 不是B-数列; B 组：③数列{}n S 是B-数列, ④数列{}n S 不是B-数列. 请以其中一组中的一个论断为条件，另一组中的一个论断为结论组成一个命题. 判断所给命题的真假，并证明你的结论； (Ⅲ)若数列{}n a 是B-数列，证明：数列2 {}n a 也是B-数列。 解: （Ⅰ）设满足题设的等比数列为{}n a ,则1 1 () 2 n n a -=-.于是 12211131 ()()(), 2.2222 n n n n n a a n -----=---=?≥ 1121||||||n n n n a a a a a a +--+-+ +- = 2 n 311112222???++++????-1（）（）=n 131 3.2? ??- 2 - 的等比数列是B-数列 . （Ⅱ）命题1：若数列{}n x 是B-数列，则数列{}n S 是B-数列.此命题为假命题. 事实上设n x =1，* n N ∈，易知数列{}n x 是B-数列，但n S =n ， 1121||||||n n n n S S S S S S n +--+-+ +-=. 由n 的任意性知，数列{}n S 不是B-数列。 命题2：若数列{}n S 是B-数列，则数列{}n x 不是B-数列。此命题为真命题。 事实上，因为数列{}n S 是B-数列，所以存在正数M ，对任意的* n N ∈，有 1121||||||n n n n S S S S S S M +--+-++-≤, 即12||||||n n x x x M +++ +≤.于是1121n n n n x x x x x x +--+-++- 112112222n n n x x x x x M x +-≤+++ ++≤+, 所以数列{}n x 是B-数列。 （注：按题中要求组成其它命题解答时，仿上述解法） (Ⅲ)若数列{}n a 是B-数列，则存在正数M ，对任意的,n N ?∈有 1121n n n n a a a a a a M +--+-+ +-≤. 因为112211n n n n n a a a a a a a a ---=-++++-+ 1122111n n n n a a a a a a a M a ---≤-+-+ +-+≤+. 记1K M a =+，则有22 111()()n n n n n n a a a a a a +++-=+- 111()2n n n n n n a a a a K a a +++≤+-≤-. 因此222222 1121...2n n n n a a a a a a KM +--+-++-≤. 故数列{} 2 n a 是B-数列. 33. (2009陕西卷理) 已知数列{}n x 满足， *1111,21n n x x n N x ∈+＋’＝ ＝. ()I 猜想数列{}n x 的单调性，并证明你的结论； （Ⅱ)证明：1 112 |()65 n n n x x -+-|≤。 证明（1）由1n+1244n 112513 213821 x x x x x x = ==+== +及得， 由246x x x >>猜想：数列{}2n x 是递减数列 下面用数学归纳法证明： （1）当n=1时，已证命题成立 （2）假设当n=k 时命题成立，即222k k x x +> 易知20k x >，那么232122242123212311 11(1)(1) k k k k k k k k x x x x x x x x ++++++++--= -= ++++ = 222 22122230(1)(1)(1)(1) k k k k k k x x x x x x ++++->++++ 即2(1)2(1)2k k x x +++> 也就是说，当n=k+1时命题也成立，结合（1）和（2）知，命题成立 （2）当n=1时，1211 6 n n x x x x +-=-= ，结论成立 当2n ≥时，易知11111 01,12,12 n n n n x x x x ---<<∴+<= >+ 111115 (1)(1)(1)(1)212 n n n n n x x x x x ----∴++=+ +=+≥+ 111111 11(1)(1) n n n n n n n n x x x x x x x x -+---∴-= -= ++++ 2 n-111221 n-1222555 1265n n n n x x x x x x ---≤ -≤-≤≤-=（）（）（） 34.（2009四川卷文）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，对任意的正整数n ，都有51n n a S =+成立，记 *4()1n n n a b n N a += ∈- （I ）求数列{}n a 与数列{}n b 的通项公式； （II ）设数列{}n b 的前n 项和为n R ，是否存在正整数k ，使得4n R k ≥成立？若存在，找出一个正整数k ；若不存在，请说明理由； （III ）记* 221()n n n c b b n N -=-∈， 设数列{}n c 的前n 项和为n T ，求证：对任意正整数n 都有3 2 n T <； 解（I ）当1=n 时，1111 51,4 =+∴=-a S a 又 1151,51++=+=+n n n n a S a S 1111 5,4 即 +++∴-==-n n n n n a a a a a ∴数列{}n a 是首项为114=- a ，公比为1 4=-q 的等比数列， ∴1()4 =-n n a ，*14()4()11()4 +-=∈--n n n b n N …………………………………3分 （II ）不存在正整数k ，使得4n R k ≥成立。 证明：由（I ）知14()5441(4)11()4 +-==+----n n n n b 2122125 5520151640 8888.(4)1(4)1161164(161)(164) --?-+=++=+-=-<-----+-+k k k k k k k k k b b ∴当n 为偶数时，设2()n m m N *=∈ ∴1234212()()()84n m m R b b b b b b m n -=++++ ++<= 当n 为奇数时，设21()n m m N *=-∈ ∴1234232221()()()8(1)4844n m m m R b b b b b b b m m n ---=++++ +++<-+=-= ∴对于一切的正整数n ，都有4n R k < ∴不存在正整数k ，使得4n R k ≥成立。 …………………………………8分 （III ）由5 4(4)1 n n b =+ --得 21222122 5515161516151615 4141(161)(164)(16)3164(16)16 n n n n n n n n n n n n n n c b b --???=+=+==<=-+-++?-又122134 3,,33 b b c == ∴=， 当1=n 时，13 2T <， 当2n ≥时， 2 223211[1()]4111416 1625()25131616 163116 14693162513482116 n n n T --< +?+++=+?-<+?=<- …………………………………14分 35.（2009天津卷理）已知等差数列{n a }的公差为d （d ≠0），等比数列{n b }的公比为q （q>1）。设 n s =11a b +22a b …..+ n n a b ,n T =11a b -22a b +…..+(-11)n - n n a b ,n ∈N + (I) 若1a =1b = 1，d=2，q=3，求 3S 的值； (II) 若1b =1，证明（1-q ）2n S -（1+q ）2n T =22 2(1)1n dq q q --，n ∈N + ； (Ⅲ) 若正数n 满足2≤n ≤q ，设1212,,...,,,...,12...n n k k k l l l 和是，，，n 的两个不同的排列， 12112...n k k k n c a b a b a b =+++， 12212...n l l l n c a b a b a b =+++ 证明 12 c c ≠。 本小题主要考查等差数列的通项公式、等比数列的通项公式与前n 项和公式等基础知识，考查运算能力，推理论证能力及综合分析和解决问题的能力的能力，满分14分。 （Ⅰ）解：由题设，可得1*21,3,n n n a n b n N -=-=∈ 所以，311223311335955S a b a b a b =++=?+?+?= （Ⅱ）证明：由题设可得1n n b q -=则 22121232.....,n n n S a a q a q a q -=++++ ① 23212123423 21 22242.....,2(...) n n n n n n n T a a q a q a q a q S T a q a q a q --=-+-+--=++- ② ① 式减去②式，得 ① 式加上②式，得 2222213212(....)n n n n S T a a q a q --+=+++ ③ ② 式两边同乘q ，得 321221321()2(....)n n n n q S T a q a q a q --+=+++ 所以， 222222(1)(1)()()n n n n n n q S q T S T q S T --+=--+ 3212* 2 2() 2(1),1n n d q q q dq q n N q -=+++-=∈-K (Ⅲ)证明：11221212()()()n n k l k l k l n c c a a b a a b a a b -=-+-++-K 11112211()()()n n n k l db k l db q k l db q -=-+-++-K 因为10,0,d b ≠≠所以 112 11221 ()()()n n n c c k l k l q k l q db --=-+-++-K （1） 若n n k l ≠，取i=n （2） 若n n k l =，取i 满足i i k l ≠且,1j j k l i j n =+≤≤ 由（1）,(2)及题设知，1i n <≤且 2112 1122111 ()()()()i i i i i i c c k l k l q k l q k l q db -----=-+-+-+-K ① 当i i k l <时，得1,1,1,2,3.....1i i i i k l q n k l q i i -≤-≥-≤-=-由，得 即111k l q -≤-，22()(1)k l q q q -≤-…，2211()(1)i i i i k l q q q -----≤- 又11(),i i i i k l q q ---≤-所以 121 1211(1)(1)(1)(1) 1i i i c c q q q q q q q q db q -----=-+-+--=--K 因此12120,c c c c -≠≠即 ② 当i i k l >同理可得12 1 1c c db -<-，因此12c c ≠ 综上，12c c ≠ 36.（2009四川卷理）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，对任意的正整数n ，都有51n n a S =+成立，记 *4()1n n n a b n N a += ∈-。 （I ）求数列{}n b 的通项公式； （II ）记* 221()n n n c b b n N -=-∈， 设数列{}n c 的前n 项和为n T ，求证：对任意正整数n 都有3 2 n T <； （III ）设数列{}n b 的前n 项和为n R 。已知正实数λ满足：对任意正整数,n n R n λ≤恒成立，求λ的最小值。 本小题主要考查数列、不等式等基础知识、考查化归思想、分类整合思想，以及推理论证、分析与解决问题的能力。 解：（Ⅰ）当1n =时，1111 51,4 a a a =+∴=- 又 1151,51n n n n a a a a ++=+=+Q 1111 5,4 n n n n n a a a a a +++∴-==-即 ∴数列{}n a 成等比数列，其首项114a =-，公比是1 4 q =- 1 ()4n n a ∴=- 14()411()4 n n n b +-∴= --……………………………………..3分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知5 4(4)1 n n b =+ -- 2212215525164141(161)(164)n n n n n n n n c b b --?∴=-=+=-+-+ = 222516251625 (16)3164)(16)16n n n n n n ??<= +?- 又1211343,,33b b c == ∴= 当13 12n T =<时， 当234111 225()3161616 n n n T ≥<+?+++K 时， 1 2211[1()]416162513116 146931625 (713482116) n --=+? -<+?=<-分 （Ⅲ）由（Ⅰ）知5 4(4)1 n n b =+ -- 一方面，已知n R n λ≤恒成立，取n 为大于1的奇数时，设*21()n k k N =+∈ 则1221n k R b b b +=+++K 123211111 45()41414141k n +=+?-+-+-+-++K K 1 2322111111 45[()()]4141414141 k k n +=+?-+-++-+-+-+K K >41n - 41,41n n R n n λλ∴≥>-->-即（）对一切大于1的奇数n 恒成立 4,41n λλ∴≥->-否则，（）只对满足1 4n λ < -的正奇数n 成立，矛盾。 另一方面，当4λ=时，对一切的正整数n 都有4n R n ≤ 事实上，对任意的正整数k ，有 2122125 5 8(4)1(4)1n n k k b b --+=+ + ---- 520 8(16)1(16)4 k k =+ --+ 151640 88(161)(164) k k k ?-=-<-+ ∴当n 为偶数时，设*2()n m m N =∈ 则1234212()()()n m m R b b b b b b -=++++++K <84m n = 当n 为奇数时，设*21()n m m N =-∈ 则1234232221()()()n m m m R b b b b b b b ---=+++++++K <8(1)4844m m n -+=-= ∴对一切的正整数n ，都有4n R n ≤ 综上所述，正实数λ的最小值为4………………………….14分 37.（上海卷理）已知{}n a 是公差为d 的等差数列，{}n b 是公比为q 的等比数列。 （1） 若31n a n =+，是否存在*m k N ∈、，有1?m m k a a a ++=说明理由； （2） 找出所有数列{}n a 和{}n b ，使对一切* n N ∈, 1 n n n a b a +=,并说明理由； （3） 若115,4,3,a d b q ====试确定所有的p ，使数列{}n a 中存在某个连续p 项的和是数列 {}n b 中的一项，请证明。 [解法一]（1）由1m m k a a a ++=，得6531m k +=+， ．．．．．．2分 整理后，可得4 23 k m -= ，m 、k ∈N *，∴2k m -为整数， ∴不存在m 、k ∈N *，使等式成立。 ．．．．．．5分 （2）若 1n n a b a +=，即1111(1)n a nd b q a n d -+=+-， （*） （ⅰ）若0,d =则111n n b q b -==。 当{n a }为非零常数列，{n b }为恒等于1的常数列，满足要求。 ．．．．．．7分 （ⅱ）若0d ≠，（*）式等号左边取极限得11 lim 1(1)n a nd a n d →∞+=+-， （*）式等号右边的极限只有当1q =时，才能等于1。此时等号左边是常数，0d ∴=，矛盾。 综上所述，只有当{n a }为非零常数列，{n b }为恒等于1的常数列，满足要求。．．．．．．10分 绝密★启用前 2017年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 本试卷5页，23小题，满分150分。考试用时120分钟。 注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。用2B 铅笔将 试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。 4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。 1．已知集合A ={x |x <1}，B ={x |31x <}，则 A ．{|0}A B x x =U D ．A B =?I 2．如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是 A ．14 B ．π8 C ． 12 D ． π4 3．设有下面四个命题 1p ：若复数z 满足1 z ∈R ，则z ∈R ； 2p ：若复数z 满足2z ∈R ，则z ∈R ； 3p ：若复数12,z z 满足12z z ∈R ，则12z z =； 1、（本小题满分14分） 已知函数． （1）当时，如果函数仅有一个零点，求实数的取值范围； （2）当时，试比较与的大小； （3）求证：（）． 2、设函数，其中为常数． （Ⅰ）当时，判断函数在定义域上的单调性； （Ⅱ）若函数的有极值点，求的取值范围及的极值点； （Ⅲ）当且时，求证：． 3、在平面直角坐标系中，已知椭圆.如图所示，斜率为且不过原 点的直线交椭圆于，两点，线段的中点为，射线交椭圆于点，交直 线于点. （Ⅰ）求的最小值； （Ⅱ）若?，（i）求证：直线过定点； （ii ）试问点，能否关于轴对称？若能，求出 此时 的外接圆方程；若不能，请说明理由. 二、计算题 （每空？ 分，共？ 分） 4 、设函数 的图象在点处的切线的斜率 为 ，且函数为偶函数．若函数 满足下列条件：①；② 对一切实数 ，不等式恒成立． （Ⅰ）求函数的表达式； （Ⅱ）求证： ． 5 、已知函数： （1 ）讨论函数的单调性； （2） 若函数 的图像在点 处的切线的倾斜角为，问：在什么范围取值 时，函数 在区间上总存在极值？ (3)求证：． 6、已知函数=，. (Ⅰ)求函数在区间上的值域； （Ⅱ）是否存在实数，对任意给定的，在区间上都存在两个不同的， 使得成立.若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由； （Ⅲ）给出如下定义：对于函数图象上任意不同的两点，如果对 于函数图象上的点（其中总能使得 成立，则称函数具备性质“”，试判断函数是不是具 备性质“”，并说明理由. 7、已知函数 （Ⅰ）若函数是定义域上的单调函数，求实数的最小值； （Ⅱ）方程有两个不同的实数解，求实数的取值范围； （Ⅲ）在函数的图象上是否存在不同两点，线段的中点的横坐标 为，有成立？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 8、已知函数： ⑴讨论函数的单调性； 高考数学压轴题含答案 RUSER redacted on the night of December 17,2020 【例 1】已知12,F F 为椭圆 2 2 221(0)x y a b a b +=>>的左、右焦点，以原点O 为圆心，半焦距为半径的圆与椭圆相交于四个点，设位于y 轴右侧的两个交点为B A ,，若1ABF ?为等边三角形，则椭圆的离心率为（ ） 1 1 C. 1 2 【课堂笔记】 【规律总结】 ............................................................................................................................................................................................................ 【例2】已知函数 x x x x ax x f ln ln )(2 -- +=有三个不同的零点321,,x x x （其中321x x x <<），则 211)ln 1(x x -)ln 1)(ln 1(3 322 x x x x --的值为 （ ） A ．a -1 B ．1-a C ．1- D ．1 【课堂笔记】 【规律总结】 【例3】已知函数()2h x x ax b =++在 ()0,1上有两个不同的零点，记 {}()( )min ,m m n m n n m n ≤??=?>??，则 ()(){}min 0,1h h 的取值范围 为 . 【课堂笔记】 【规律总结】 ........................................................................................................................................................................................................... 【例4】下表是一个由2n 个正数组成的数 表，用ij a 表示第i 行第j 个数(),,i j N ∈已知数表中第一列各数从上到下依次构成等差数列，每一行各数从左到右依次构成等比数列，且公比都相等.已知 113161351,9,48.a a a a =+== （1）求1n a 和4n a ； （2）设 ()() ()() 4144121n n n n n n a b a n N a a += +-∈--，求数列{}n b 的前n 项和n S . 【例5】在平面直角坐标系中动点() ,P x y 到圆()2 2 :11F x y +-=的圆心F 的距离比 它到直线2y =-的距离小1. （1）求动点P 的轨迹方程； 高考理科数学压轴题 (21)(本小题满分 12 分)已知椭圆 C 的中心在坐标原点 ,焦点在 x 轴上,椭圆 C 上的点到焦点 的距离的最大值为 3,最小值为 1. (I) 求椭圆 C 的标准方程 ; (II) 若直线l : y kx m 与椭圆 C 相交于 A,B 两点(A,B 不是左右顶点 ),且以 AB 为直径的圆 过椭 圆 C 的右顶点 .求证 :直线 l 过定点 ,并求出该定点的坐标 . (22)(本小题满分 14分)设函数 f(x) x 2 bln(x 1),其中 b 0. 1 (I) 当 b 时 ,判断函数 f (x) 在定义域上的单调性 ; 2 (II)求函数 f (x)的极值点 ; 1 1 1 (III) 证明对任意的正整数 n ,不等式 ln( 1) 2 3 都成立 . n n n 22 xy (21)解： (I) 由题意设椭圆的标准方程为 2 2 1(a b 0) ab 2 a c 3,a c 1，a 2,c 1, b 2 3 22 x 2 y 2 1. 43 Q 以AB 为直径的圆过椭圆的右顶点 D(2,0), k AD k BD 1， y kx m (II)设 A(x 1, y 1),B(x 2,y 2)， 由 2 x 2 y 得 1 4 3 2 2 2 (3 4k 2 )x 2 8mkx 4(m 2 3) 2 2 2 64m 2 k 2 16( 3 4k 2)( 2 m 3) 0， 22 3 4k 2 m 2 0 8mk 2 ,x 1 x 2 2 4(m 2 3) 3 4k 2 y 1 y 2 2 (kx 1 m) (kx 2 m) k x 1x 2 mk(x 1 x 2) m 2 3(m 2 4k 2) 3 4k 22017年高考全国1卷理科数学试题和答案解析
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