高等数学教案--一元函数微分学的应用
高等数学教案—一元函数微分学的应用
课 时 授 课 计 划
第一课时
教学过程及授课内容 教学过程
一、柯西中值定理
定理1（柯西中值定理）如果函数)(x f 与 )(x F 满足下列条件：(1)闭区间
],[b a 上连续；
(2)在开区间),(b a 内可导；
(3))('x F 在),(b a 内的每一点均不为零，那么，在),(b a 内至少有一点ξ，使得
二、洛必达法则
把两个无穷小量之比或两个无穷大量之比的极限称为00型或 ∞
∞
型不定式(也称为
0型或∞∞
型未定型)的极限,洛必达法则就是以导数为工具求不定式的
极限方法．
定理2 (洛必达法则)若(1)0)(lim 0
=→x f x x ，0)(lim 0
=→x g x x ；
(2))(x f 与)(x g 在0x 的某邻域内（点0x 可除外）可导，且0)('≠x g ；
(3)A x g x f x x =''→)
()
(lim
0(A 为有限数，也可为∞+或∞-)，则 A x g x f x g x f x x x x =''=→→)
()
(lim )()(lim
00
证 由于我们要讨论的是函数在点0x 的极限，而极限与函数在点0x 的值无关，所以我们可补充)(x f 与)(x g 在0x 的定义，而对问题的讨论不会发生任何影响。令0)()(00==x g x f ，则)(x f 与)(x g 在点0x 就连续了．在0x 附近任取一点x ，并应用柯西中值定理，得
.f(b)f(a)f (
)F(b)F(a)F ()
ξξ'-='-
)
()
()()()()()()(00ξξg f x g x g x f x f x g x f ''=--= (ξ在x 与0x 之间) . 由于0x x →时，0x ξ→，所以，对上式取极限便得要证的结果，证毕．
注：上述定理对∞→x 时的0
未定型同样适用，对于0x x →或∞→x 时的未定型
∞
∞
，也有相应的法则． 例1 求1
2
3lim 2331+--+-→x x x x x x ．
解 123lim 2331+--+-→x x x x x x =12333lim 221---→x x x x =266lim
1-→x x
x =46=2
3． 例2求x x
x tan cos 1lim
π+→．
解 x
x x tan cos 1lim π+→=x x
x 2πcos 1sin lim -→=0．
例3 求 x x x 1arctan 2
lim -+∞
→π
解 x
x x 1arctan 2
lim -+∞
→π
=221
11
lim
x
x x -+-
+∞
→=22
1lim x x x ++∞→=1．
除未定型
00与∞
∞
之外，还有00,1,0,,0∞∞-∞∞?∞等未定型，这里不一一介绍，有兴趣的同学可参阅相应的书籍，下面就∞-∞未定型再举一例．
例5 求??? ?
?--→x x x x ln 11lim 1． 解 这是∞-∞未定型，通过“通分”将其化为
未定型． x x x x x x x x
x x ln )1()1(ln lim ln 11lim 11---=??? ??--→→x
x x x x x x 1ln 1
ln 1
lim 1-+
-+=→
x x x x ln 11ln lim
1+-=→21
111
lim 21=+=→x
x x
x .
在使用洛必达法则时，应注意如下几点：
(1)每次使用法则前，必须检验是否属于00或∞
∞
未定型，若不是未定型，
就不能使用该法则；
(2)如果有可约因子，或有非零极限值的乘积因子，则可先约去或提出，以简化演算步骤； (3)当(x)
g (x)
f ''lim
不存在(不包括∞的情况)时，并不能断定g(x)
f(x)
lim 也不存在，此时应使用其他方法求极限．
三、课堂练习 思考题 . 习作题
思考题答案
1．法则的三个条件必须同时满足．
2．不一定 （提示：画出一条曲线段，使其上任意一点处切线均不与两
端点连线平行
习作题答案
1．①2; ②1; ③1; ④1-．
2．①1; ②e （提示：利用对数恒等式得)1ln(1
1ln e
)1(,e x x
x x
x x
x x +=+=）．
3．1-． 四、小结
1. 柯西中值定理
2. 洛必达法则
五、布置作业
P86 1.（1）（2）（3）（4）（5）2.
第二课时
教学过程
一、拉格朗日中值定理
定理1 如果函数)(x f 满足下列条件：
（1）在区间],[b a 上连续；（2）在开区间),(b a 内可导，那么，在),(b a 内至少有一点 ξ，使得))(()()(a b f a f b f -'=-ξ如果令a b x a x -==Δ,，则上式为
x ξf x f x x f Δ)(')()Δ(=-+
其中ξ介于x 与x x Δ+之间，如果将ξ表是成)10(Δ<<+=θθx x ξ，上式也可写成 )10(Δ)(')()Δ(<
推论1 如果函数)(x f 在区间),(b a 内满足0)('≡x f ，则在),(b a 内C x f =)(（C 为常数）．证 设21,x x 是区间),(b a 内的任意两点，且21x x <，于是在区间
],[21x x 上函数)(x f 满足拉格朗日中值定理的条件，故得
由于0)(='ξf ，所以0)()(12=-x f x f ，即)()(21x f x f =
因为21,x x 是),(b a 内的任意两点，于是上式表明)(x f 在),(b a 内任意两点的值总是相等的，即)(x f 在),(b a 内是一个常数，证毕．
推论2 如果对),(b a 内任意 x ，均有)()(x g x f '='，则在),(b a 内)(x f 与)(x g 之间只差一个常数，即C x g x f +=)()(（C 为常数）．
证 令)()()(x g x f x F -=，则0)(≡'x F ，由推论1知，)(x F 在),(b a 内为一常数C ，即),(,)()(b a x C x g x f ∈=-，证毕．
三、函数的单调性
如图观察区间],[b a 上的单调递增函数)(x f 的图像，当x 增大时，曲线上任一点处的切线与x 轴正向夹角为锐角，即0)(>'x f （个别点处0)(='x f ），反过来是否也成立呢？我们有如下定理：
212112()()()()(),
f x f x f ξx x x ξx '-=-<<
定理2 设函数)(x f 在],[b a 上连续，在),(b a 内可导，则有 （1）如果在),(b a 内0)(>'x f ，则函数)(x f 在],[b a 上单调增加； （2）如果在),(b a 内0)(<'x f ，则函数)(x f 在 ],[b a 上单调减少． 证 设21,x x 是],[b a 上任意两点,且21x x <，由拉格朗日中值定理有
))()(()()(211212x x x x f x f x f <<-'=-ξξ如果0)(>'x f ，必有
0)(>'ξf ，又012>-x x ，于是有0)()(12>-x f x f ，
即)()(12x f x f >,由于21,x x )(21x x <是],[b a 上任意两点，所以函数)(x f 在],[b a 上单调增加．
同理可证，如果0)(<'x f ，则函数)(x f 在],[b a 上单调减少，证毕．
函数单调区间的确定：
（1）求出使0)(='x f 的点（称这样的点为驻点），
（2）用这些驻点将)(x f 的定义域分成若干个子区间，再在每个子区间上判断函数的单调性.
例 讨论函数323)(x x x f -=的单调性．
解 因为323)(x x x f -=, 所以)2(336)('2x x x x x f -=-=,令0)(='x f 得驻点：01=x ，22=x ,用它们将)(x f 的定义区间),(+∞-∞分成三个部分区间：
)0,(-∞，)2,0(，),2(+∞.当)0,(-∞∈x 时，有0)(<'x f ；当)2,0(∈x 时0)(>'x f ;
当),2(+∞∈x 时，0)(<'x f ，因此，由定理2知，函数)(x f 在区间)0,(-∞与),2(+∞上单调减少，在区间)2,0(单调增加．
四、课堂练习 思考题 . 习作题
思考题答案 1．不一定成立．
2．①罗尔定理
???←??→?特例
推广拉格朗日中值定理;
②不一定成立;
③在（1，2），（2，3），（3，4）内分别存在一个根．
3．提示：对罗尔中值定理，画出一条曲线存在水平切线，且至少破坏定理的某一条件．
习作题答案
单增区间()0,∞-; 单减区间()+∞,0． 五、小结
1. 拉格朗日中值定理
2. 两个重要推论
3. 两个重要推论
六、布置作业
P86 3 4 5 6
第三课时
教学过程
一、函数的极值
定义：设函数)(x f 在0x 的某邻域内有定义,且对此邻域内任一点)(0x x x ≠，均有)()(0x f x f <，则称)(0x f 是函数)(x f 的一个极大值；同样，如果对此邻域内任一点)(0x x x ≠，均有)()(0x f x f >,则称)(0x f 是函数)(x f 的一个极小值。函数的极大值与极小值统称为函数的极值．使函数取得极值的点0x ，称为极值点。观察可导函数在取得极值处切线特征，可以看出,可导函数在取得极值处的切线是水平的，即极值点0x 处,必有0)(0='x f ,于是有下面的定理．
定理1(极值的必要条件)设)(0x f 在点0x 处具有导数,且在点0x 取得极值 ,那么0)(0='x f ．
证 只证)(0x f 是极大值的情形．由假设，)(0x f '存在,所以
0000)
()(lim )()(lim )(00
x x x f x f x x x f x f x f x x x x --=--='-
+
→→,
因为)(0x f 是)(x f 的一个极大值,所以对于0x 的某邻域内的一切 x ,只要0x x ≠,恒有)()(0x f x f <．因此,当0x x >时, 有
0)
()(0
0<--x x x f x f 于是,有
0)()(lim 0
x x x f x f x x --+
→≤0，
当0x x <时，
0)
()(00>--x x x f x f ，所以0
0)
()(lim 0x x x f x f x x ---
→≥0，从而得到
0)(0='x f ．类似可证)(0x f 为极小值情形，证毕．
函数极值点特征：对于可导函数由定理1知，可导函数)(x f 的极值点必是
)(x f 的驻点．反过来,驻点却不一定是)(x f 的极值点．如0=x 是函数3)(x x f =的
驻点，但不是其极值点．对于连续函数，它的极值点还可能是使导数不存在的，称这种点为尖点．例如，x x f =)(，但0=x 处导数不存在,但是，0=x
是它的
极小值点。
定理2（极值的第一充分条件）设)(x f 在点0x 连续，在点0x 的某一空
心邻域内可导．当x 由小增大经过0x 时，如果 (1))(x f '由正变负，那么0x 是极大值点；(2))(x f '由负变正，那么0x 是极小值点；(3))(x f '不变号，那么0x 不是极值点
证 （1）由假设知，)(x f 在0x 的左侧邻近单调增加，即当0x x <时，
)()(0x f x f <；在0x 的右侧邻近单调减少，即当0x x >时，)()(0x f x f <。因此0
x 是)(x f 的极大值点，)(0x f 是)(x f 的极大值．
类似可以证明（2）．
（3）由假设，当x 在0x 的某个邻域)(0x x ≠内取值时，)0(0)(<>'x f ，所以，在这个邻域内是单调增加（减少）的，因此0x 不是极值点，证毕．
定理3（极值的第二充分条件）设)(x f 在点0x 处具有二阶导数，且0)(0='x f ，
0)(≠''x f ．
（1）如果0)(0<''x f ,则)(x f 在点0x 取得极大值； （2）如果0)(0>''x f ,则)(x f 在点0x 取得极小值． 证
（１）由于0)(0<''x f ,所以0)
(')('lim
)(0
000
<--=''→x x x f x f x f x x ，所以，在0
x 的某邻域内必有
0)
()(0
0<-'-'x x x f x f ，)(0x x ≠，因为0)(='x f ，所以有
0)
(0
<-'x x x f )(0x x ≠。从而知道，当0x x <时，0)(>'x f ；当0x x >时，0)(<'x f ，由定理2知)(0x f 为)(x f 的极大值．类似地可证明（２），证毕。
例1 求函数x x x x f 96)(23+-=的极值.
解一 因为96)(23+-=x x x f 的定义域为(+∞∞-,),且
)3)(1(39123)(2--=+-='x x x x x f ,令0)(='x f ，得驻点11=x ,32=x ，在)
1,(-∞内，0)(>'x f ，在)3,1(内，0)(<'x f ,故由定理2知，4)1(=f 为函数)(x f 的极大值．
解二 因为x x x x f 96)(23+-=的定义域为),(+∞-∞，且
9123)(2+-='x x x f ,126)(-=''x x f ．
令0)(='x f ,得驻点11=x ,32=x ．又因为06)1(<-=''f ,所以，4)1(=f 为极大值．06)3(>=''f ,所以0)3(=f 为极小值．
例2 求函数3
2)1(2)(--=x x f 的极值．
解 因为3
2)1(2)(--=x x f 的定义域为),(+∞-∞,且)(x f 在),(+∞-∞上连续，所以
13
13
2
2()(1)
(1)
3
3(1)
f x x x x --'=--=
≠-
1=x 时,)(x f '不存在,所以1=x 为)(x f 的可能极值点．
在)1,(-∞内,0)(>'x f ;在),1(+∞内,0)(<'x f ,由定理2知)(x f 在1=x 处取得极大值2)1(=f ．
二、函数的最值
对于闭区间],[b a 上的连续函数)(x f 由最值存在定理知一定存在着最大值和最小值．显然，函数在闭区间],[b a 上的最大值和最小值只能在区间),(b a 内的极值点和区间端点处达到．因此可得求闭区间],[b a 上的连续函数)(x f 的最值步骤为：（1）求出一切可能的极值点(包括驻点和尖点)和端点处的函数值，（2）比较这些函数值的大小，最大的值为函数的最大值，最小的值为函数的最小值．
例3 求函数x x x x f 1232)(23-+=在]4,3[-上的最大值和最小值．
解 因为 在x x x x f 1232)(23-+=在]4,3[-上连续，所以在该区间上存在着最大值和最小值．又因为
)1)(2(61266)(2-+=-+='x x x x x f ,
令0)(='x f ,得驻点21-=x ,12=x ,由于
20)2(=-f ,7)1(-=f ,9)3(=-f ,128)4(=f ．
比较各值可得函数)(x f 的最大值为128)4(=f ,最小值为7)1(-=f ．
对于实际问题的最值，往往根据问题的性质就可断定函数)(x f 在定义
区间的内部确有最大值或最小值．理论上可以证明：若实际问题断定)(x f 在其定义区间内部（不是端点处）存在最大值（或最小值），且0)(='x f 在定义区间内只有一个根0x ,那么，可断定)(x f 在点0x 取得相应的最大值（最小值）． 例4 有一块宽为a 2的长方形铁皮，将宽的两个边缘向上折起，做成一个开口水槽，其横截面为矩形，高为x ,问高x 取何值时水槽的流量最大(下图所示为水槽的横截面）？
解 设两边各折起x ,则横截面积为
)(2)(x a x x S -=)0(a x <<
这样，问题归结为：当x 为何值时，)(x S 取得最大值．由于x a x S 42)(-='，所以令0)(='x S ,得)(x S 的惟一驻点2
a x =
．又因为铁皮两边折的过大或过小，其横截面积都会变小，因此，该实际问题存在着最大截面积．所以，)(x S 的最大值在2a x =
处取得，即当2
a
x =时，水槽的流量最大． 例5 铁路线上AB 的距离为100km ，工厂C 距A 处为20km ，AC 垂直于AB ,要在AB 线上选定一点D 向工厂修筑一条公路，已知铁路与公路每km 货运费之比为3：5，问D 选在何处，才能使从B 到C 的运费最少?
解 设x AD =(km),则x DB -=100，2220x CD +=。由于铁路每km 货物运费与公路每km 货物运费之比为3：5，因此，不妨设铁路上每km 运费为k 3，则公路上每km 运费为k 5，并设从B 到C 点需要的总运费为y ，则
)100(320522x k x k y -++= 0(≤x ≤)100.
由此可见，x 过大或过小，总运费y 均不会变小，故有一个合适的x 使总运费y 达到最小值．又因为
???
? ??-+='340052
x x
k y 令0='y ,
即
30
-=，得15=x 为函数y 在其定义域内的惟一驻点，故
知y 在15=x 处取得最小值，即D 点应选在距A 为15km 处，运费最少． 三、课堂练习 思考题 习作题
思考题答案 1．略．
2．驻点或导数不存在的点． 习作题答案
1．极大值4，极小值0，最大值200，最小值50-．
B
2．
4
5．
四、小结
1. 函数的极值
2. 函数的最值
五、布置作业
P86 8 9 10
第四课时
教学过程
一、曲线的凹向及其判别法
定义1 若在某区间),(b a 内曲线段总位于其上任意一点处切线的上方，则称曲线段在),(b a 内是向上凹的（简称上凹，也称凹的）；若曲线段总位于其上任一点处切线的下方，则称该曲线段),(b a 内是向下凹的（简称下凹，也称凸的）．
从图可以看出曲线段AB 是下凹的；曲线段BC 是上凹的
定理1 设函数 y =)(x f 在开区间),(b a 内具有二阶导数
(1)若在),(b a 内0)(>''x f ,则曲线)(x f y =在),(b a 内是向上凹的； (2)若在),(b a 内0)(<''x f ,则曲线)(x f y =在),(b a 上是向下凹的。 若把定理1中的区间改为无穷区间，结论仍然成立．
y
O
b
例1 判定曲线x y ln =的凹向． 解 函数x y ln =的定义域为),0(+∞,x y 1
=',21x
y -='',当0>x 时，0<''y ，故曲线x y ln =在),0(+∞内是向下凹的． 二、拐点及其求法
定义2 若连续曲线y =)(x f 上的点P 是曲线向上凹与向下凹的分界点，则称
P 是曲线)(x f y =的拐点．
由于拐点是曲线凹向的分界点，所以拐点左右两侧近旁)(x f ''必然异号．因此，曲线拐点的横坐标0x ，只可能是使0)(=''x f 的点或)(x f ''不存在的点．从而可得求),(b a 内连续函数 y =)(x f 拐点的步骤：
(1)先求出)(x f ''，找出在),(b a 内使0)(=''x f 的点和)(x f ''不存在的点； (2)用上述各点按照从小到大依次将),(b a 分成小区间,再在每个小区间上考察)(x f ''的符号；
(2)用上述各点按照从小到大依次将),(b a 分成小区间,再在每个小区间上考察)(x f ''的符号；
例2 曲线3x y =的定义域为),(+∞-∞，画其草图（下页图） 解 因为3x y =的定义域为),(+∞-∞，且23x y ='，x y 6='',
令0=''y ，得0=x ．用0=x 将),(+∞-∞分成两个小区间：)0,(-∞和),0(+∞。 当)0,(-∞∈x 时，0<''y ，曲线3x y =下凹． 当),0(+∞∈x 时，0>''y ，曲线3x y =上凹．
所以，点)0,0(为曲线3x y =的拐点．
三、曲线的渐近线
定义 3 若曲线C 上动点P 沿着曲线无限地远离原点时，点P 与某一固定直线L 的距离趋于零，则称直线L 为曲线C 的渐近线．（见下图） 1．斜渐近线
定理2 若)(x f 满足： (1) k x
x f x =∞
→)
(lim
； (2) b kx x f x =-→∞
])([lim ，
则曲线y =)(x f 有斜渐近线b kx y +=
例3 求曲线322
3
-+=x x x y 的渐近线．
解 令3
2)(2
3
-+=x x x x f ,因为
132lim )(lim 22
=-+==∞→∞→x x x x
x f k x x ,
2)32(lim ])([lim 2
3
-=--+=-=∞→∞→x x x x kx x f b x x ,
故得曲线的渐近线方程为2-=x y ． 2．铅直渐近线
定义 4 若当C x →时（有时仅当+→C x 或-→C x ），∞→)(x f 则称直线C x =为曲线)(x f y =的铅直渐近线（也叫垂直渐近线）
（其中C 为常数）． 由于)
1)(3(32323-+=
-+=x x x x x x y 所以当3-→x 和1→x 时，有∞→y ，所以曲线3
22
3
-+=x x x y 有两条铅直渐近线3-=x 和1=x
3．水平渐近线
定义5 若当∞→x 时，C x f →)(则称曲线)(x f y =有水平渐近线C y =。 例 当∞→x 时，有2
x e -,所以0=y 为曲线2
e x y -=的水平渐近线。
kx b
+
四、函数作图的一般步骤
(1)确定函数的定义域及值域； (2)考察函数的周期性与奇偶性；
(3)确定函数的单增、单减区间、极值点、凹凸区间及其拐点； (4)考察渐近线；
(5)考察与坐标轴的交点．
最后，根据上面几方面的讨论画出函数的图像．
例4 描绘函数x
y x
+=1e 的图像．
解 函数x
x f y +==1e )(x
的定义域为1-≠x 的全体实数，且当1- 0)( 图像在x 轴上方． 由于∞=-→)(lim 1 x f x ，所以1-=x 为曲线)(x f y =的铅直渐近线．又因为 01e lim =+-∞→x x x ，所以，0=y 为该曲线的水平渐近线． 因为2 )1(e x x y x += '，3 2) 1() 1(e x x y x ++=''，令0='y ,得,0=x 又1-=x 时，y ''不存在．用0=x ,1-=x 将定义区间分开，并进行讨论如下： (5)令 0ln =x x ，得1x = 为曲线与x 轴交点的横坐标． (6)根据上述讨论画出曲线 五、课堂练习 思考题. 习作题 思考题答案 1．①不可能; ②不一定． 2．提示：一阶导数的正负反映曲线的升降，二阶导数的正负反映曲线的上凹与下凹． 习作题答案 1．[]1,0t 上上凹，[]21,t t 上下凹，))(,(11t f t 为拐点． 2．①43,x x ; ②21,x x ． 3．凹区间),21(+∞-; 凸区间)21,(--∞; 拐点)665 ,21(-． 4．y =0, x =1, x =2． 六、小结 1. 曲线的凹向及其判别法 2. 拐点及其求法 3. 曲线的渐近线 4. 函数作图的一般步骤 七、布置作业 P87 15 16 17 第五课时 教学过程 一、本章提要 1. 基本概念 瞬时速度，切线，导数，变化率，加速度，高阶导数，线性主部，微分．未定型,极值点,驻点,尖点,可能极值点,极值,最值,曲率,上凹,下凹,拐点,渐近线,水平渐近线,铅直渐近线． 2. 基本公式 基本导数表，求导法则，微分公式，微分法则，微分近似公式． 3. 基本方法 ⑴ 利用导数定义求导数； ⑵ 利用导数公式与求导法则求导数； ⑶ 利用复合函数求导法则求导数； ⑷ 隐含数微分法； ⑸ 参数方程微分法； ⑹ 对数求导法； ⑺ 利用微分运算法则求微分或导数． （8）.用洛必达法则求未定型的极限； （9）.函数单调性的判定； （10）.单调区间的求法； （11） 可能极值点的求法与极大值（或极小值）的求法； （12） 连续函数在闭区间上的最大值及最小值的求法； （13） 求实际问题的最大（或最小）值的方法； （14） 曲线的凹向及拐点的求法； （15） 曲线的渐近线的求法； （16） 一元函数图像的描绘方法． 二、要点解析 问题1 从瞬时速度出发论述导数的实际意义，并列举一些常见变化率. 解析 对于作变速直线运动的质点，若位移变量s 与时间变量t 之间的函数关 系为)(t s s =，当t 从t 变化到t t ?+时，在间隔t ?内的平均速度为t t s t t s ?-?+) ()(， 此式只反映了在t 点附近速度变化的快慢程度，即为t 时刻速度的近似代替量，欲使其过渡到精确值，必须使0→?t ，即t 时刻瞬时速度为 t t s t t s t v t ?-?+=→?) ()(lim )(0，也即瞬时速度反映函数)(t s s =在t 时刻函数的变化率（导数），所以导数的实际意义表示函数在此点变化的快慢程度． 常见的变化率： ⑴ 曲线)(x f y =的切线斜率x y d d 是纵坐标y 对横坐标x 的变化率，这是导数 的几何 意义； ⑵ 电流强度t Q d d 是电荷Q 对时间t 的变化率； ⑶ 线密度l m d d 是质量m 对长度l 的变化率； ⑷ 比热容θ Q d d 是热量Q 对温度θ的变化率， 以及人口出生率，经济增长率，化学反应速度等等． 问题2 讨论函数的可导性及如何求函数的导数？ 解析 1. 我们知道，函数的连续性只是可导性的必要条件． 函数)(x f 在点 0x 处可导的充分必要条件是左导数)('0x f -与右导数)('0x f +存在并且相等，即 )(')(')('000x f x f x f +-== 因此，要判定一个函数在某点是否可导，可先检查函数在该点是否连续，如果不连续，就一定不可导，如果连续，再用下面两种方法判定： ⑴ 直接用定义； ⑵ 求左、右导数看其是否存在而且相等． 当然，也可以不先检查连续性而直接用两种方法判定，但对于不连续函数，先 检查连续性往往比较方便． 2. 由于在科学技术和工程中所遇到的函数大多是初等函数．因此，我们把求初等函数的导数作为求导的重点．先是根据导数的定义，求出了几个基本初等函数——幂函数、正弦函数、余弦函数、对数函数与指数函数的导数．然后再用定义推出了几个主要的求导法则—求导的四则运算法则、复合函数的求导法则与反函数的求导法则． 借助于这些法则和上述的几个基本初等函数的导数公式，求出了其余的基本初等函数的导数公式．在此基础上解决了基本初等函数的求导问题．下面是我们解决这个问题的思路： 还需指出的是关于分段函数在分界点的求导问题． 例如，有一定义于 ),(+∞-∞的函数 ?? ?+∞<<ψ≤<∞-?=, ),(, ),()(x a x a x x x f 其中)(x ?与)(x ψ分别在区间a x ≤<∞-与+∞< ⑴ a x <<∞-时，由于)()(x x f ?=，所以)(')('x x f ?=； ⑵ +∞< ⑶ 在a x =的左、右邻域，由于)(x f 要从两个不同的表达式)(x ?与)(x ψ去计值，所以求)('a f 必须先用左、右导数的定义求)('a f -与)('a f +．如果它们都存在而且相等，那么)('a f +=)('a f -=)('a f ．在这里特别注意求左、右导数要按 照定义 x a x a x a f x a f a f x x ?-?+=?-?+=- - →?→?-) ()(lim )()(lim )('00??， x a x a x a f x a f a f x x ?-?+=?-?+=+ +→?→?+) ()(lim )()(lim )('00ψψ． 我们不要因为当a x ≤<∞-时，)()(x x f ?=而认为)(')('a a f ?=. 在 a x <<∞-时，)(')('x x f ?=是对的，这在上面已经说过但不能误认为)('a ?就是 )('a f ，有时)('a f 可能不存在，如下例所示： 证明函数 ?????≤>=1 ,1,1 )(2x x x x x f ， 在1=x 处的导数不存在． 因为 2)2(lim 1 )1(lim )1()1(lim )1('0200=?+=?-?+=?-?+=---→?→?→?-x x x x f x f f x x x ， 1)11(lim 1 11 lim )1()1(lim )1('000-=?+-=?-?+=?-?+=+++→?→?→?+x x x x f x f f x x x ， 所以)1('f 不存在． 问题3 为什么说复合函数求导法是函数求导的核心？复合函数求导法的关键 是什么？ 解析 复合函数求导法是函数求导的核心在于：利用复合函数求导法可以解决复合函数的求导问题，而且还是隐含数求导法、对数求导法、参数方程求导法等的基础． 复合函数求导法的关键是：将一个比较复杂的函数分解成几个比较简单的函数的复合形式. 在分解过程中关键是正确的设置中间变量，就是由表及里一步步地设置中间变量，使分解后的函数成为基本初等函数或易于求导的初等函数，最后逐一求导． 求导时要分清是对中间变量还是对自变量求导，对中间变量求导后，切记要乘以该中间变量对下一个中间变量（或自变量）的导数．当熟练掌握该方法后，函数分解过程可不必写出． 问题4 如何根据曲线的几何形状及导数的几何意义记忆曲线凹向的判别法则？ 解析 掌握曲线的凹向判定准则关键是要掌握二阶导数''f x () 的符号与曲线凹向的具体联系．为此, y 12 一元函数微分学典型例题 1. 有关左右极限题 求极限??? ?????+++→x x sin e e lim x x x 41 012 ● 根据左右极限求极限， ● 极限x x e lim 1 →， x x sin lim x 0 →，x tan lim x 2 π→，x cot lim x 0→，x cot arc lim x 0→，x arctan lim x 1 0→都不存在， ● A )x (f lim A )x (f lim )x (f lim x x x =?==∞ →-∞ →+∞ → ● 【 1 】 2. 利用两个重要极限公式求1∞ 型极限 x sin x ) x (lim 20 31+→ ● 0→)x (?，e )) x (lim() x (=+??1 1 ● A )x (f lim =0→)x (?，A )x (f ) x (e ])) x (lim[(=+??11 ● 【 6e 】 3. 等价无穷小量及利用等价代换求极限 当0x + → (A) 1- (B) ln (C) 1. (D) 1-. ● 等价无穷小定义：如果1=α β lim ，则称β与α失等价无穷小，记为α∽β， ● 0→x 时，（1）n x x a x a x x x x x x x x x e x x x x x n x x ≈ -+≈-≈-+≈-≈---+≈-≈+≈≈≈≈111112 1 16111112 3 ln )(cos sin )ln(arctan tan sin αα ● 当0→)x (?时，)x (sin ?∽)x (?，11-+n )x (?∽ n ) x (?∽∽ ● 【 B 】 4. 利用单调有界准则求极限 设数列{}n x 满足n n x sin x ,x =<<+110π。证明：极限n n x lim ∞→存在，计算1 1n x n n n x x lim ??? ? ??+∞→ ● 利用单调有界准则球数列或者函数极限的步骤：1。证明数列或函数单调；2。证明 数列或函数是有界；3。等式取极限求出极限。 ● 定理单调有界数列必有极限还可以叙述为单调递减有下界数列必有极限，或单调递 增有上界数列必有极限。 ● 61 1 2 -→=?? ? ??e x x sin lim x x ● 【 0；6 1- e 】 5. 判断函数连续与否以及利用函数的连续性解题 设函数f (x )在x =0处连续，下列命题错误的是： (A) 若0()lim x f x x →存在，则f (0)=0. (B) 若0()() lim x f x f x x →+-存在，则f (0)=0. (C) 若0()lim x f x x →存在，则(0)f '存在. (D) 若0()() lim x f x f x x →-- 存在，则(0)f '存 在 【 】 ● 若()()00 x f x f lim x x =→，则称函数()x f 在点0x 处连续。 ● 左连续右连续则连续。 ● 分段函数的分段点不一定是函数的间断点。 ● 判断函数在某点是否连续的步骤：求函数在该点的极限；求函数在该点的函数值；判断 二者是否相等，相等则连续，否则间断。 6．导数的定义式相关题目 设函数 ()x f 在 x=0某领域内有一阶连续导数，且 ()()0 000≠'≠f ,f 。若 ()()()02f h bf h af -+在0→h 时是比h 高阶的无穷小，试确定a, b. ● 函数在某一点导数的定义： ()()()x x f x x f lim x y lim x f x x ??????000 00-+=='→→ ()()()()()0 0000 00 x x x f x f lim h x f h x f lim x f x x h --=-+='→→ 第二章 一元函数微分学 一、 导数 （一）、导数概念 1、导数的定义： 设函数)(x f y =在点0x 的某个邻域内有定义，当自变量在点0x 处取得改变量x ?时，函数)(x f 取得相应的改变量，)()(00x f x x f y -?+=?，如果当0→?x 时，x y ??的极限存在，即x y x ??→?0lim x x f x x f x ?-?+=→?)()(lim 000存在，则此极限值为函数)(x f 在点0x 的导数，可记作)(0x f '或|0x x y ='或|0x x dx dy =或|0 )(x x dx x df = 2、根据定义求导数的步骤（即三步曲） ①求改变量)()(x f x x f y -?+=? ②算比值 x y ??x x f x x f ?-?+=)()( ③取极限x y x f y x ??='='→?0lim )(x x f x x f x ?-?+=→?)()(lim 0 例1：根据定义求2 x y =在点3=x 处的导数。 解：223)3(-?+=?x y 2)(6x x ?+?= x x y ?+=??6 6)6(lim lim 0 0=?+=??→?→?x x y x x 3、导数定义的几种不同表达形式 ①x x x x x f x x f x f x ?+=??-?+='→?00000) ()(lim )(令 ②000)()(lim )(0x x x f x f x f x x --='→ 时 ＝当0)()(lim )(0000x x x f x f x f x ??-='→? ③x f x f f x )0()(lim )0(0-='→ 4、左右导数的定义： 如果当)0(0-+→?→?x x 时，x y ??的极限存在，则称此极限为)(x f 在点0x 为右导数（左 《高等数学》授课教案 第一讲高等数学学习介绍、函数 了解新数学认识观，掌握基本初等函数的图像及性质；熟练复合函 数的分解。 >函数概念、性质（分段函数）—>基本初等函数—> >初等函数—>例子（定义域、函数的分解与复合、分段函数的图像） 授课提要： 前言：本讲首先是《高等数学》的学习介绍，其次是对中学学过的函数进行复习总结（函数本质上是指变量间相依关系的数学模型，是事物普遍联系的定量反映。高等数学主要以函数作为研究对象，因此必须对函数的概念、图像及性质有深刻的理解）。 一、新教程序言 1、为什么要重视数学学习 （1）文化基础——数学是一种文化，它的准确性、严格性、应用广泛性，是现代社会文明的重要思维特征，是促进社会物质文明和精神文明的重要力量； （2）开发大脑——数学是思维训练的体操，对于训练和开发我们的大脑（左脑）有全面的作用； （3）知识技术——数学知识是学习自然科学和社会科学的基础，是我们生活和工作的一种能力和技术； （4）智慧开发——数学学习的目的是培养人的思维能力，这种能力为人的一生提供持续发展的动力。 2、对数学的新认识 （1）新数学观——数学是一门特殊的科学，它为自然科学和社会科学提供思想和方法，是推动人类进步的重要力量； （2）新数学教育观——数学教育（学习）的目的：数学精神和数学思想方法，培养人的科学文化素质，包括发展人的思维能力和创新能力。 （3）新数学素质教育观——数学教育（学习）的意义：通过“数学素质”而培养人的“一般素质”。[见教材“序言”] 二、函数概念 1、函数定义：变量间的一种对应关系（单值对应）。 （用变化的观点定义函数），记：)(x f y =（说明表达式的含义） (1)定义域：自变量的取值集合（D ）。 (2)值 域：函数值的集合，即}),({D x x f y y ∈=。 例1、求函数)1ln(2x y -=的定义域？ 2、函数的图像：设函数)(x f y =的定义域为D ，则点集}),(),{(D x x f y y x ∈= 就构成函数的图像。 例如：熟悉基本初等函数的图像。 3、分段函数：对自变量的不同取值围，函数用不同的表达式。 例如：符号函数、狄立克莱函数、取整函数等。 分段函数的定义域：不同自变量取值围的并集。 例2、作函数???≥<=0,20 ,)(2x x x x x f 的图像？ 例3、求函数???-<≥=?)1(),0(),1(0 10 )(2f f f x x x x f 的定义域及函数值，， 四：设y=f(u),u=g(x)，且与x 对应的u 使y=f(u)有意义，则y=f[g(x)]是x 的复合函数，u 称为中间变量。 (1)并非任意几个函数都能构成复合函数。 如：2,ln x u u y -==就不能构成复合函数。 (2)复合函数的定义域：各个复合体定义域的交集。 (3)复合函数的分解从外到进行；复合时，则直接代入消去中间变量即可。 例5、设?))(()),((,2)(,)(2x f g x g f x g x x f x 求== 例6、指出下列函数由哪些基本初等函数（或简单函数）构成？ (1))ln(sin 2x y = (2) x e y 2-= (3) x y 2arctan 1+= 五、初等函数：由基本初等函数经有限次复合、四则运算而成的函数，且用一 1）一般分段函数都不是初等函数，但x y =是初等函数； （2）初等函数的一般形成方式：复合运算、四则运算。 1、 确定一个函数需要有哪几个基本要素？ [定义域、对应法则] 22.2 二次函数与一元二次方程 第1课时二次函数与一元二次方程文档设计者： 设计时间：文档类型： 文库精品文档，欢迎下载使用。Word精品文档，可以编辑修改，放心下载 教学目标 1.经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程,体会方程与函数之间的联系. 2.经历用图像法求一元二次方程的近似根的过程,获得用图象法求方程近似根的体验与方法. 3.理解二次函数的图象和与横轴的交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系,理解方程何时有两个不等实根、两个相等实根和没有实根. 4.进一步发展学生的估算能力,体会数形结合思想. 教学重难点 理解一元二次方程与函数的关系. 教学过程与方法 1.自主阅读课本(10分钟) 2.交流互动(10分钟) 知识点一:二次函数与一元二次方程之间的关系 抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴的位 置关系一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)根 的情况b 2-4ac的值 有两个公共点有两个不相等的实数根b2-4ac>0 只有一个公共点有两个相等的实数根b2-4ac=0无公共点无实数根b2-4ac<0 知识点三:求方程的近似解 3.课堂练习(11分钟) 习题22.2第2题(1)、(2). 4.拓展性练习(11分钟) (1)已知二次函数y=-x2+4x+k的部分图象如图所示,则关于x的方程-x2+4x+k=0的两根为x1=-1,x2=5 . (2)抛物线y=-x2+2kx+2与x轴交点的个数为( C ) A.0 B.1 C.2 D.以上都不对 (3)下表是满足二次函数y=ax2+bx+c的五组数据,x1是方程ax2+bx+c=0的一个解,则下列 x 1.6 1.8 2.0 2.2 2.4 y-0.80-0.54-0.200.220.72 A.1.6 高等数学教案—一元函数微分学的应用 课 时 授 课 计 划 第一课时 教学过程及授课内容 教学过程 一、柯西中值定理 定理1（柯西中值定理）如果函数)(x f 与 )(x F 满足下列条件：(1)闭区间 ],[b a 上连续； (2)在开区间),(b a 内可导； (3))('x F 在),(b a 内的每一点均不为零，那么，在),(b a 内至少有一点ξ，使得 二、洛必达法则 把两个无穷小量之比或两个无穷大量之比的极限称为00型或 ∞ ∞ 型不定式(也称为 0型或∞∞ 型未定型)的极限,洛必达法则就是以导数为工具求不定式的 极限方法． 定理2 (洛必达法则)若(1)0)(lim 0 =→x f x x ，0)(lim 0 =→x g x x ； (2))(x f 与)(x g 在0x 的某邻域内（点0x 可除外）可导，且0)('≠x g ； (3)A x g x f x x =''→) () (lim 0(A 为有限数，也可为∞+或∞-)，则 A x g x f x g x f x x x x =''=→→) () (lim )()(lim 00 证 由于我们要讨论的是函数在点0x 的极限，而极限与函数在点0x 的值无关，所以我们可补充)(x f 与)(x g 在0x 的定义，而对问题的讨论不会发生任何影响。令0)()(00==x g x f ，则)(x f 与)(x g 在点0x 就连续了．在0x 附近任取一点x ，并应用柯西中值定理，得 .f(b)f(a)f ( )F(b)F(a)F () ξξ'-='- ) () ()()()()()()(00ξξg f x g x g x f x f x g x f ''=--= (ξ在x 与0x 之间) . 由于0x x →时，0x ξ→，所以，对上式取极限便得要证的结果，证毕． 注：上述定理对∞→x 时的0 未定型同样适用，对于0x x →或∞→x 时的未定型 ∞ ∞ ，也有相应的法则． 例1 求1 2 3lim 2331+--+-→x x x x x x ． 解 123lim 2331+--+-→x x x x x x =12333lim 221---→x x x x =266lim 1-→x x x =46=2 3． 例2求x x x tan cos 1lim π+→． 解 x x x tan cos 1lim π+→=x x x 2πcos 1sin lim -→=0． 例3 求 x x x 1arctan 2 lim -+∞ →π 解 x x x 1arctan 2 lim -+∞ →π =221 11 lim x x x -+- +∞ →=22 1lim x x x ++∞→=1． 除未定型 00与∞ ∞ 之外，还有00,1,0,,0∞∞-∞∞?∞等未定型，这里不一一介绍，有兴趣的同学可参阅相应的书籍，下面就∞-∞未定型再举一例． 例5 求??? ? ?--→x x x x ln 11lim 1． 解 这是∞-∞未定型，通过“通分”将其化为 未定型． x x x x x x x x x x ln )1()1(ln lim ln 11lim 11---=??? ??--→→x x x x x x x 1ln 1 ln 1 lim 1-+ -+=→ 高等数学教案 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN 高等数学教案 教 学 过 程 §1 函数 一、 集合与区间 1. 集合概念 集合(简称集): 集合是指具有某种特定性质的事物的总体. 用A , B , C ….等表示. 元素: 组成集合的事物称为集合的元素. a 是集合M 的元素表示为a M . 集合的表示: 列举法: 把集合的全体元素一一列举出来. 例如A {a , b , c , d , e , f , g }. 描述法: 若集合M 是由元素具有某种性质P 的元素x 的全体所组成, 则M 可表示为 A {a 1, a 2, , a n }, M {x | x 具有性质P }. 例如M {(x , y )| x , y 为实数, x 2y 21}. 几个数集: N 表示所有自然数构成的集合, 称为自然数集. N {0, 1, 2, , n , }. N {1, 2, , n , }. R 表示所有实数构成的集合, 称为实数集. Z 表示所有整数构成的集合, 称为整数集. Z {, n , , 2, 1, 0, 1, 2, , n , }. Q 表示所有有理数构成的集合, 称为有理数集. },|{互质与且q p q Z p q p +∈∈=N Q 子集: 若x A , 则必有x B , 则称A 是B 的子集, 记为A B (读作A 包含于B )或B A . 如果集合A 与集合B 互为子集, A B 且B A , 则称集合A 与集合B 相等, 记作A B . 若A B 且A B , 则称A 是B 的真子集, 记作A ≠?B . 例如, N ≠?Z ≠?Q ≠?R. 不含任何元素的集合称为空集, 记作. 规定空集是任何集合的子集. 2. 集合的运算 设A 、B 是两个集合, 由所有属于A 或者属于B 的元素组成的集合称为A 与B 的并集(简称并), 记作A B , 即 A B {x |x A 或x B }. 设A 、B 是两个集合, 由所有既属于A 又属于B 的元素组成的集合称为A 与B 的交集(简称交), 记作A B , 即 A B {x |x A 且x B }. 设A 、B 是两个集合, 由所有属于A 而不属于B 的元素组成的集合称为A 与B 的差集(简称差), 记作A \B , 即 A \ B {x |x A 且x B }. 如果我们研究某个问题限定在一个大的集合I 中进行, 所研究的其他集合A 都是I 的子集. 此时, 我们称集合I 为全集或基本集. 称I\A 为A 的余集或补集, 记作A C . 集合运算的法则: 设A 、B 、C 为任意三个集合, 则 (1)交换律A B B A , A B B A ; (2)结合律 (A B )C A (B C ), (A B )C A (B C ); 第二部分 一元函数微分学 [选择题] 容易题 1—39，中等题40—106，难题107—135。 1．设函数)(x f y =在点0x 处可导，)()(00x f h x f y -+=?，则当0→h 时，必有( ) (A) y d 是h 的同价无穷小量. (B) y y d -?是h 的同阶无穷小量。 (C) y d 是比h 高阶的无穷小量. (D) y y d -?是比h 高阶的无穷小量. 答D 2．已知)(x f 是定义在),(+∞-∞上的一个偶函数，且当0 )(x f 的（ ） （A ）间断点。 （B ）连续而不可导的点。 （C ）可导的点，且0)0(='f 。 （D ）可导的点，但0)0(≠'f 。 答C 6．设函数f(x)定义在[a ，b]上，判断何者正确？（ ） （A ）f （x ）可导，则f （x ）连续 （B ）f （x ）不可导，则f （x ）不连续 （C ）f （x ）连续，则f （x ）可导 （D ）f （x ）不连续，则f （x ）可导 答A 7．设可微函数f(x)定义在[a ，b]上，],[0b a x ∈点的导数的几何意义是：（ ） （A ）0x 点的切向量 （B ）0x 点的法向量 （C ）0x 点的切线的斜率 （D ）0x 点的法线的斜率 答C 8．设可微函数f(x)定义在[a ，b]上，],[0b a x ∈点的函数微分的几何意义是：（ ） （A ）0x 点的自向量的增量 （B ）0x 点的函数值的增量 （C ）0x 点上割线值与函数值的差的极限 （D ）没意义 答C 9．x x f = )(，其定义域是0≥x ，其导数的定义域是（ ） （A ）0≥x 课题：一元二次函数、方程和不等式（衔接课） 一、教学设计 1.教学内容解析 在现行人民教育出版社A版高中数学教材中，“一元二次不等式的解法”这一部分内容安排在《必修5》的第三章第二节，学生高二时才学习，导致高一学生在学习《必修1》的“集合”、“函数”等内容时，有一定的障碍，达不到一定的深度，初高中数学内容衔接不连贯，对于这一部分内容，老师普遍认为应调整到《必修1》之前，或是安排在《必修1》的“集合”之后，“函数”之前比较好. 本节课的产生正是基于以上原因，但它并不是一节“一元二次不等式的解法”的新知课，也不是一节复习课，而是一节衔接课，以一元二次函数、一元二次方程与一元二次不等式（后面称三个“二次”）三者之间的关系及其应用为核心内容，特别是用函数的观点来处理方程与不等式问题，引导学生感悟高中阶段数学课程的特征，适应高中阶段的数学学习，为高中数学课程的学习作学习心理、学习方式和知识技能等方面的准备，帮助学生完成初高中数学学习的过渡. 三个“二次”是初中三个“一次”（一元一次函数、一元一次方程与一元一次不等式）在知识上的延伸和发展，它是函数、方程、不等式问题的基础和核心，在高中数学中，许多问题的解决都会直接或间接用到三个“二次”.如，解析几何中解决直线与二次曲线位置关系问题，导数中导函数为二次函数时的许多问题等，同时，此部分内容又是培养函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想以及等价转化思想的极好素材，本节课的地位和作用主要体现在它的基础性和工具性方面. 根据以上分析，本节课的教学重点确定为 教学重点：一元二次函数、一元二次方程与一元二次不等式三者之间的关系及应用. 2.学生学情诊断 本节课的授课对象为华中师大一附中高一平行班学生，华中师大一附中是湖北省示范高中，学生基础很好，一般而言，学生已经掌握了一次函数、二次函数的图象与性质，简单的一元二次不等式的解法，能利用函数图象解决简单的方程和不等式问题. 但是，当所研究的问题中含有参数或者综合性较强、或者运算较复杂的时候，学生往往不能正确理解题意，不能准确地利用三个“二次”之间的内在联系进行合理转化，不善于分类讨论，不善于归纳总结，对函数、方程、不等式的处理方法不够完整，没有形成基本的规律. 教学难点：含参数的二次方程、不等式，如何利用三个“二次”之间的关系进行等价转化处理，为今后处理其它类型的函数、方程、不等式问题提供范式. 3.教学目标设置 (1)理解一元二次函数、一元二次方程及一元二次不等式三者之间的关系； (2)能够用二次函数的观点处理二次方程和二次不等式问题，感悟函数的重要性以及数学知识之间的关联性； (3)引导学生感悟高中阶段数学课程的特征，适应高中阶段的数学学习，能够在本主题的学习中，逐步提升数学抽象、逻辑推理、几何直观和数学运算等核心素养. 4.教学策略分析 本课作为初高中内容和方法上的“衔接课”，有其重要特点：一不能靠单纯的复习；二不宜上成新课；三，必须展示基本的套路，而又不可能一次到位；四，需要立足于函数、圆 数学考研：一元函数微分学的知识点和常考题型 【大纲内容】 导数和微分的概念 导数的几何意义和物理意义(数三经济意义) 函数的可导性与连续性之间的关系 平面曲线的切线和法线 导数和微分的四则运算基本初等函数的导数 复合函数、反函数、隐函数以及参数方程所确定的函数(数三不要求)的微分法 高阶导数 一阶微分形式的不变性 微分中值定理 洛必达法则 函数单调性的判别 函数的极值 函数图形的凹凸性、拐点及渐近线 函数图形的描绘 函数的最大值和最小值 弧微分、曲率的概念、曲率圆与曲率半径(数三不要求) 【大纲要求】 1.理解导数和微分的概念，理解导数与微分的关系，理解导数的几何意义，会求平面曲线的切线方程和法线方程，了解导数的物理意义(数三经济意义)，会用导数描述一些物理量，理解函数的可导性与连续性之间的关系。 2.掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，掌握基本初等函数的导数公式。了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性，会求函数的微分。 3.了解高阶导数的概念，会求简单函数的高阶导数。 4.会求分段函数的导数，会求隐函数和由参数方程所确定的函数(数三不要求)以及反函数的导数。 5.理解并会用罗尔(Rolle)定理、拉格朗日(Lagrange)中值定理和泰勒(Taylor)定理(数三了解)，了解并会用柯西(Cauchy)中值定理。 6.掌握用洛必达法则求未定式极限的方法。 7.理解函数的极值概念，掌握用导数判断函数的单调性和求函数极值的方法，掌握函数最大值和最小值的求法及其应用。 9.了解曲率、曲率圆与曲率半径的概念，会计算曲率和曲率半径。(数三不要求) 【常考题型】 1.导数概念; 2.求给定函数的导数或微分(包括高阶导数)隐函数和由参数方程确定的函数求导; 3.函数的单调性和极值; 4.曲线的凹凸性与拐点; 5.利用微分中值定理证明有关命题和不等式或讨论方程在给定区间内的根的个数; 6.利用洛必达法则求极限; 7.几何、物理、经济等方面的最大值、最小值应用题。解这类问题，主要是确定目标函数和约束条件，判定所讨论区间。 个性化教学辅导 设纵坐标为k ，则横坐标是k c bx ax =++2 的两个实数根. （5）一次函数()0≠+=k n kx y 的图像l 与二次函数()02 ≠++=a c bx ax y 的图像G 的交点，由 方程组 c bx ax y n kx y ++=+=2 的解的数目来确定：①方程组有两组不同的解时?l 与G 有两个交 点; ②方程组只有一组解时?l 与G 只有一个交点；③方程组无解时?l 与G 没有交点. （6）抛物线与x 轴两交点之间的距离：若抛物线c bx ax y ++=2 与x 轴两交点为 ()()0021，，，x B x A ，由于1x 、2x 是方程02=++c bx ax 的两个根，故 a c x x a b x x = ?-=+2121,()()a a ac b a c a b x x x x x x x x AB ?=-=-?? ? ??-=--= -= -=44422 212 212 2121 课 后 作 业 １.抛物线y ＝x 2 ＋2x －2的顶点坐标是 （ ） A.（2，－2） B.（1，－2） C.（1，－3） D.（－1，－3） ２.已知二次函数c bx ax y ++=2的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ） Ａ．ab ＞0，c ＞0 Ｂ．ab ＞0，c ＜0 Ｃ．ab ＜0，c ＞0 Ｄ．ab ＜0，c ＜0 C A E F B D 第２,３题图 第4题图 ３.二次函数c bx ax y ＋＋＝2 的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ） A ．a ＞0，b ＜0，c ＞0 B ．a ＜0，b ＜0，c ＞0 C ．a ＜0，b ＞0，c ＜0 D ．a ＜0，b ＞0，c ＞0 一元函数积分学的应用 一元函数积分学研究的是研究函数的整体性态，一元函数积分的本质是计算函数中分划的参数趋于零时的极限。 一元积分主要分为不定积分 ?dx x f )(和定积分? b a dx x f )(。化为函数 图像具体来说，不定积分是已知导数求原函数，也就是说，把f(x)积分，不一定能得到F(x)，因为F(x)+C 的导数也是f(x)（C 是任意常数）。所以f(x)积分的结果有无数个，是不确定的。而定积分就是求函数f(X)在区间[a,b]中图线下包围的面积，可以说是不定积分在给定区间的具体数值化。因为积分在其它方面应用时一般都有明确的区间，所以本文主要研究定积分的各种应用。 积分的应用十分巧妙便捷，能解决许多不直观、不规则的或是变化类型的问题。故其主要应用在数学上的几何问题和物理上的各种变量问题和公式的证明以及解决一些实际生活问题。 微元法建立积分表达式 在应用微积分于实际问题时，首先要建立积分表达式，一般情况下，只要具备都是给定区间上的非均匀连续分布的量和都具有对区间的可加性这两个条件就都可以用定积分来描述（以下的讨论都是建立在这两个条件下，因此不再提示此条件）。 而建立积分表达式的方法我们一般用微元法。其分为两个步骤：（1）任意分割区间[]b a ,为若干子区间，任取一个子区间[]dx x x +,，求Q 在该区间上局部量的Q ?的近似值dx x f dQ )(=；（2）以dx x f )(为被积式，在],[b a 上作积分即得总量Q 的精确值 ??==b a b a dx x f dQ Q )(。（分割，近似，求和，取极限） 在实际应用中，通过在子区间],[dx x x +上以“匀”代“非匀”或者把子区间],[dx x x +近似看成一点，用乘法所求得的近似值就可以作为Q ?所需要的近似值，即为所寻求的积分微元dx x f dQ )(= 。 定积分在几何中的应用 在几何中，定积分主要应用于平面图形的面积、平面曲线的弧长、已知平行截面面积函数的立体体积、旋转体的侧面积。下面我们来分类讨论： 一、 平面图形的面积 求图形面积是定积分最基本的应用，因为定积分的几何意义就是在给定区间内函数曲线与x 轴所围成图形的面积。而求面积时会出现两种情况：直角坐标情形和极坐标情形。 1、直角坐标情形 在求简单曲边图形（能让函数图像与之重合）的面时只要建立合适的直角坐标系，再使用微元法建立积分表达式，运用微积分基本公式计算定积分，便可求出平面图形的面积。如设曲 y O 第九章多元函数微分法及其应用 【教学目标与要求】 1、理解多元函数的概念和二元函数的几何意义。 2、了解二元函数的极限与连续性的概念，以及有界闭区域上的连续函数的性质。 3、理解多元函数偏导数和全微分的概念，会求全微分，了解全微分存在的必要条件和充分条件， 了解全微分形式的不变性。 4、理解方向导数与梯度的概念并掌握其计算方法。 5、掌握多元复合函数偏导数的求法。 6、会求隐函数（包括由方程组确定的隐函数）的偏导数。 7、了解曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线的概念，会求它们的方程。 8、了解二元函数的二阶泰勒公式。 9、理解多元函数极值和条件极值的概念，掌握多元函数极值存在的必要条件，了解二元函数极值存在的充分条件，会求二元函数的极值，会用拉格郎日乘数法求条件极值，会求简多元函数的最大值和最小值，并会解决一些简单的应用问题。 【教学重点】 1、二元函数的极限与连续性； 2、函数的偏导数和全微分； 3、方向导数与梯度的概念及其计算； 4、多元复合函数偏导数； 5、隐函数的偏导数；多元函数极值和条件极值的求法； 6、曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线； 【教学难点】 1、二元函数的极限与连续性的概念； 2、全微分形式的不变性； 3、复合函数偏导数的求法； 4、二元函数的二阶泰勒公式； 5、隐函数（包括由方程组确定的隐函数）的偏导数； 6、拉格郎日乘数法，多元函数的最大值和最小值。 【教学课时分配】 (18学时) 第1 次课§１第2 次课§2 第3 次课§3 第4 次课§4 第5次课§5 第6次课§6 第7次课§7 第8次课§8 第9次课习题课 【参考书】 [1]同济大学数学系.《高等数学（下）》，第五版.高等教育出版社. [2] 同济大学数学系.《高等数学学习辅导与习题选解》，第六版.高等教育出版社. [3] 同济大学数学系.《高等数学习题全解指南（下）》，第六版.高等教育出版社 第二章 综合练习题 一、 填空题 1. 若21lim 11x x x b x →∞??+-+= ?+?? ，则b =________. 2. 若当0x →时，1cos x -与2sin 2x a 是等价无穷小，则a =________. 3. 函数21()1ln f x x = -的连续区间为________. 4. 函数2()ln |1| x f x x -=-的无穷间断点为________. 5. 若21sin ,0,(),0, x x f x x a x x ?>?=??+?…在R 上连续，则a =________. 6. 函数()sin x f x x =在R 上的第一类间断点为________. 7 当x → 时，1 1x e -是无穷小量 8 设21,10(), 012,12x x f x x x x x ?--≤ 2.5.1二次函数与一元二次方程教学设计 教学目标： 1.经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体会方程与函数之间的联系，理解二次函数与x轴交点的个数与一元二次方程的根的关系，理解何时方程有两个不等的实根、两个相等的实根和没有实根. 2.经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，培养学生的探索能力和创新精神，通 过观察二次函数与x轴交点的个数，讨论一元二次方程的根的情况，进一步培养学生的数形结合思想.通过学生共同观察和讨论，培养合作交流意识 3.经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体验数学活动充满着探索与创造，感受 数学的严谨性以及数学结论的确定性，具有初步的创新精神和实践能力 教学重点： 理解何时方程有两个不等的实根、两个相等的实根和没有实根；理解一元二次方程的根就 是二次函数与y二h交点的横坐标. 教学难点： 探索方程与函数之间的联系的过程；理解二次函数与x轴交点的个数与一元二次方程的根 的个数之间的关系. 教法与学法指导： 在教学中，为了更好地体现在课堂教学中“教师为主导，学生为主体”的教学关系和“以人为本，以学定教”的教学理念，在本节课的教学过程中，我将紧紧围绕教师组织一一启发引导，学生探究一一交流发现，组织开展教学活动 教学准备：多媒体课件 教学过程： 一、设问题情境，弓I入新课 【师】我们已学过一元一次方程kx ? b = 0（k = 0）和一次函数y二kx ? b（ k = 0）的关系， 你还记得吗？处理方式：学生交流后回答. 【师】现在我们学习了一元二次方程ax+ bx （0（a0和二次函数 2 y=ax + b x（ c 0 ）它们之间是否也存在一定的关系呢？（学生可进行猜测）今天这 节课我们就来探索他们之间的关系?（教师板书课题） 设计意图：这一环节主要是激发学生的求知欲望，使学生通过解决问题，让学生有种成就 感.同时也可使学生养成一个主动思考和善于思考的学习习惯 二、活动探究 探究一：二次函数与一元二次方程的内在联系 （多媒体展示） 第八章 多元函数微分法及其应用 第一讲 多元函数的基本概念 授课题目： §8.1多元函数的基本概念 教学目的与要求： 1、理解多元函数的概念． 2、了解二元函数的极限与连续性的概念，以及有界闭区域上连续函数的性质． 教学重点与难点： 重点：多元函数的概念、二元函数的极限和连续的概念． 讲授内容： 一、平面点集 n 维空间 1、平面点集 平面上一切点的集合称为二维空间, 记为R 2 即 R 2=R ?R={(x , y )：x , y ∈R } 坐标平面上具有某种性质P 的点的集合, 称为平面点集，记作 E ={(x , y )：(x , y )具有性质P }. 例如，平面上以原点为中心、r 为半径的圆内所有点的集合是 C ={(x , y )：x 2+y 2 如果不需要强调邻域的半径δ, 则用U (P 0)表示点P 0的某个邻域, 点P 0的去心邻域记作)(0P U ．. 点与点集之间的关系： 任意一点P ∈R 2与任意一个点集E ?R 2之间必有以下三种关系中的一种： （1）内点：如果存在点P 的某一邻域U (P ), 使得U (P )?E , 则称P 为E 的内点． （2）外点：如果存在点P 的某个邻域U (P ), 使得U (P )?E =?, 则称P 为E 的外点． （3）边界点：如果点P 的任一邻域内既有属于E 的点, 也有不属于E 的点, 则称P 点为E 的边点． E 的边界点的全体, 称为E 的边界, 记作?E ． E 的内点必属于E ; E 的外点必定不属于E ; 而E 的边界点可能属于E , 也可能不属于E ． （4）聚点：如果对于任意给定的δ>0, 点P 的去心邻域),(δP U 内总有E 中的点, 则称P 是E 的聚点． 由聚点的定义可知, 点集E 的聚点P 本身, 可以属于E , 也可能不属于E ． 例如, 设平面点集E ={(x , y )|1 第一章：函数、极限与连续 教学目的与要求 1.解函数的概念，掌握函数的表示方法，并会建立简单应用问题中的函数关系式。 2.解函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性。 3.理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念。 4.掌握基本初等函数的性质及其图形。 5.理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念，以及极限存在与左、右极限之间的关系。 6.掌握极限的性质及四则运算法则。 7.了解极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法。 8.理解无穷小、无穷大的概念，掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小求极限。 9.理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型。 10.了解连续函数的性质和初等函数的连续性，了解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质。 所需学时：18学时（包括：6学时讲授与2学时习题） 第一节：集合与函数 一般地我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫集合（简称集）。集合具有确定性（给定集合的元素必须是确定的）和互异性（给定集合中的元素是互不相同的）。比如“身材较高的人”不能构成集合，因为它的元素不是确定的。 我们通常用大字拉丁字母A、B、C、……表示集合，用小写拉丁字母a、b、c……表示集合中的元素。如果a是集合A 中的元素，就说a属于A，记作：a∈A，否则就说a不属于A，记作：a?A。 ⑴、全体非负整数组成的集合叫做非负整数集（或自然数集）。记作N ⑵、所有正整数组成的集合叫做正整数集。记作N+或N+。 ⑶、全体整数组成的集合叫做整数集。记作Z。 ⑷、全体有理数组成的集合叫做有理数集。记作Q。 ⑸、全体实数组成的集合叫做实数集。记作R。 集合的表示方法 ⑴、列举法：把集合的元素一一列举出来，并用“｛｝”括起来表示集合 ⑵、描述法：用集合所有元素的共同特征来表示集合。 集合间的基本关系 ⑴、子集：一般地，对于两个集合A、B，如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素，我们就说A、B有包含关系，称集合A为集合B的子集，记作A?B（或B?A）。。 ⑵相等：如何集合A是集合B的子集，且集合B是集合A的子集，此时集合A中的元素与集合B中的元素完全一样，因此集合A与集合B相等，记作A＝B。 ⑶、真子集：如何集合A是集合B的子集，但存在一个元素属于B但不属于A，我们称集合A是集合B的真子集。 ⑷、空集：我们把不含任何元素的集合叫做空集。记作?，并规定，空集是任何集合的子集。 ⑸、由上述集合之间的基本关系，可以得到下面的结论： ①、任何一个集合是它本身的子集。即A?A ②、对于集合A、B、C，如果A是B的子集，B是C的子集，则A是C的子集。 ③、我们可以把相等的集合叫做“等集”，这样的话子集包括“真子集”和“等集”。 集合的基本运算 ⑴、并集：一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合称为A与B的并集。记作A∪B。（在求并集时，它们的公共元素在并集中只能出现一次。） 即A∪B＝｛x|x∈A，或x∈B｝。 ⑵、交集：一般地，由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合称为A与B的交集。记作A∩B。一元函数微分学典型例题
一元函数微分学教案
《高等数学》教案
22.2 二次函数与一元二次方程 两课时 优秀教案
高等数学教案--一元函数微分学的应用
高等数学教案
一元函数微分学习题
高中数学《一元二次函数方程和不等式》公开课优秀教学设计
数学考研：一元函数微分学的知识点和常考题型
九年级数学一元二次函数教案
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第九章多元函数微分法及其应用教案
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