卷积傅里叶变换拉普拉斯变换

什么是卷积、傅里叶变换、拉普拉斯变换？

先说"卷积有什么用"这个问题。(有人抢答，"卷积"是为了学习"信号与系统"这门课的后续章节而存在的。我大吼一声，把他拖出去枪毙！)

讲一个故事:

张三刚刚应聘到了一个电子产品公司做测试人员，他没有学过"信号与系统"这门课程。一天，他拿到了一个产品，开发人员告诉他，产品有一个输入端，有一个输出端，有限的输入信号只会产生有限的输出。

然后，经理让张三测试当输入sin(t)(t<1秒)信号的时候(有信号发生器)，该产品输出什么样的波形。张三照做了，画了一个波形图。

"很好！"经理说。然后经理给了张三一叠A4纸: "这里有几千种信号，都用公式说明了，输入信号的持续时间也是确定的。你分别测试以下我们产品的输出波形是什么吧！"

这下张三懵了，他在心理想"上帝，帮帮我把，我怎么画出这些波形图呢?"

于是上帝出现了: "张三，你只要做一次测试，就能用数学的方法，画出所有输入波形对应的输出波形"。

上帝接着说:"给产品一个脉冲信号，能量是1焦耳，输出的波形图画出来！"

张三照办了，"然后呢?"

上帝又说，"对于某个输入波形，你想象把它微分成无数个小的脉冲，输入给产品，叠加出来的结果就是你的输出波形。你可以想象这些小脉冲排着队进入你的产品，每个产生一个小的输出，你画出时序图的时候，输入信号的波形好像是反过来进入系统的。"

张三领悟了:" 哦，输出的结果就积分出来啦！感谢上帝。这个方法叫什么名字呢?"

上帝说:"叫卷积！"

从此，张三的工作轻松多了。每次经理让他测试一些信号的输出结果，张三都只需要在A4纸上做微积分就是提交任务了！

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张三愉快地工作着，直到有一天，平静的生活被打破。

经理拿来了一个小的电子设备，接到示波器上面，对张三说: "看，这个小设备产生的波形根本没法用一个简单的函数来说明，而且，它连续不断的发出信号！不过幸好，这个连续信号是每隔一段时间就重复一次的。张三，你来测试以下，连到我们的设备上，会产生什么输出波形！"

张三摆摆手:"输入信号是无限时长的，难道我要测试无限长的时间才能得到一个稳定的，重复的波形输出吗?"

经理怒了:"反正你给我搞定，否则炒鱿鱼！"

张三心想:"这次输入信号连公式都给出来，一个很混乱的波形；时间又是无限长的，卷积也不行了，怎么办呢?"

及时地，上帝又出现了:"把混乱的时间域信号映射到另外一个数学域上面，计算完成以后再映射回来"

"宇宙的每一个原子都在旋转和震荡，你可以把时间信号看成若干个震荡叠加的效果，也就是若干个可以确定的，有固定频率特性的东西。"

"我给你一个数学函数f，时间域无限的输入信号在f域有限的。时间域波形混乱的输入信号在f域是整齐的容易看清楚的。这样你就可以计算了"

"同时，时间域的卷积在f域是简单的相乘关系，我可以证明给你看看"

"计算完有限的程序以后，取f(-1)反变换回时间域，你就得到了一个输出波形，剩下的就是你的数学计算了！"

张三谢过了上帝，保住了他的工作。后来他知道了，f域的变换有一个名字，叫做傅里叶，什么什么... ...

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再后来，公司开发了一种新的电子产品，输出信号是无限时间长度的。这次，张三开始学拉普拉斯了......

实验八 利用快速傅里叶变换(FFT)实现快速卷积(精选、)

实验八 利用FFT 实现快速卷积 一、 实验目的 （1） 通过这一实验，加深理解FFT 在实现数字滤波（或快速卷积）中的重要作用，更好的利用FFT 进行数字信号处理。 （2） 进一步掌握循环卷积和线性卷积两者之间的关系。 二、 实验原理与方法 数字滤波器根据系统的单位脉冲响应h(n)是有限长还是无限长可分为有限长单位脉冲响应（Finite Impulse Response ）系统（简记为FIR 系统）和无限长单位脉冲响应（Infinite Impulse Response ）系统（简记为IIR 系统）。 对于FIR 滤波器来说，除了可以通过数字网络来实现外，也可以通过FFT 的变换来实现。 一个信号序列x(n)通过FIR 滤波器时，其输出应该是x(n)与h(n)的卷积： ∑+∞ -∞ =-= =m m n h m x n h n x n y )()()(*)()( 或 ∑+∞ -∞ =-= =m m n x m h n x n h n y ) ()()(*)()( 当h(n)是一个有限长序列，即h(n)是FIR 滤波器，且10-≤≤N n 时 ∑-=-=1 0) ()()(N m m n x m h n y 在数字网络（见图6.1）类的FIR 滤波器中，普遍使用的横截型结构（见下图6.2 图6.1 滤波器的数字网络实现方法 图6.2 FIR 滤波器横截型结构 y(n) y(n) -1-1-1-1

应用FFT 实现数字滤波器实际上就是用FFT 来快速计算有限长度列间的线性卷积。 粗略地说，这种方法就是先将输入信号x(n)通过FFT 变换为它的频谱采样 值X(k)，然后再和FIR 滤波器的频响采样值H(k)相乘，H(k)可事先存放在存储器中，最后再将乘积H(k)X(k)通过快速傅里叶变换（简称IFFT ）还原为时域序列，即得到输出y(n)如图6.3所示。 图6.3 数字滤波器的快速傅里叶变换实现方法 现以FFT 求有限长序列间的卷积及求有限长度列与较长序列间的卷积为例来讨论FFT 的快速卷积方法。 （1） 序列)(n x 和)(n h 的列长差不多。设)(n x 的列长为1N ，)(n h 的列长为2N ，要求 )()(n x n y =N ∑-=-==1 ) ()()(*)()(N r r n h r x n h n x n h 用FFT 完成这一卷积的具体步骤如下： i. 为使两有限长序列的线性卷积可用其循环卷积代替而不发生混叠，必须选择循环卷积长度121-+≥N N N ，若采用基2-FFT 完成卷积运 算，要求m N 2=（m 为整数）。 ii. 用补零方法使)(n x ，)(n h 变成列长为N 的序列。 ?? ?-≤≤-≤≤=10 10)()(11N n N N n n x n x ?? ?-≤≤-≤≤=10 1 0)()(22N n N N n n h n h iii. 用FFT 计算)(),(n h n x 的N 点离散傅里叶变换 )()(k X n x FFT ??→? )()(k H n h FFT ??→? iv. 做)(k X 和)(k H 乘积，)()()(k H k X k Y ?= v. 用FFT 计算)(k Y 的离散傅里叶反变换得 y(n)

傅里叶变换性质证明

傅里叶变换性质证明 Company number：【0089WT-8898YT-W8CCB-BUUT-202108】

傅里叶变换的性质 2.6.1线性 若信号和的傅里叶变换分别为和， 则对于任意的常数a和b，有 将其推广，若,则 其中为常数，n为正整数。

由傅里叶变换的定义式很容易证明线性性质. 显然傅里叶变换也是一种线性运算，在第一章我们已经知道了，线性有两个含义：均匀性和叠加性。均匀性表明，若信号乘以常数a，则信号的傅里叶变换也乘以相同的常数a，即 叠加性表明，几个信号之和的傅里叶变换等于各个信号的傅里叶变换之和 ? 2.6.2 反褶与共轭性 设f(t)的傅里叶变换为，下面我们来讨论信号反褶、共轭以及既反褶又共轭后，新信号的傅里叶变换。

（1）反褶 f(-t)是f(t)的反褶，其傅里叶变换为 （2）共轭 （3）既反褶又共轭 本性质还可利用前两条性质来证明： 设g(t)=f(-t)，h(t)=g*(t)，则 在上面三条性质的证明中，并没有特别指明f(t)是实函数还是复函数，因此,无论f(t)为实信号还是复信号，其傅里叶变换都满足下面三条性质2.6.3 奇偶虚实性 已知f(t)的傅里叶变换为。在一般情况下，是复函数，因此可以把它表示成模与相位或者实部与虚部两部分，即 ? 根据定义，上式还可以写成 下面根据f(t)的虚实性来讨论F()的虚实性。 (1) f(t)为实函数对比式(2-33)与(2-34)，由FT的唯一性可得 （）f(t)是实的偶函数，即f(t)=f(-t)

X()的积分项是奇函数，而奇函数在对称区间内的积分为零，故 这时X()=0，于是 可见，若f(t)是实偶函数，则F()也是实偶函数，即 左边反褶，右边共轭 （）f(t)是实的奇函数，即-f(t)=f(-t) R()的积分项是奇函数，而奇函数在对称区间内的积分为零，故 这时R()=0，于是 可见，若f(t)是实奇函数，则F()是虚奇函数，即 左边反褶，右边共轭 有了上面这两条性质，下面我们来看看一般实信号（即可能既不是偶信号，又不是奇信号，反正不清楚，或者说是没有必要关心信号的奇偶特性）的FT频谱特点。 2.6.4对称性

傅里叶变换性质证明

傅里叶变换的性质 2.6.1线性 若信号和的傅里叶变换分别为和， 则对于任意的常数a和b，有 将其推广，若,则 其中为常数，n为正整数。 由傅里叶变换的定义式很容易证明线性性质. 显然傅里叶变换也是一种线性运算，在第一章我们已经知道了，线性有两个含义：均匀性和叠加性。均匀性表明，若信号乘以常数a，则信号的傅里叶变换也乘以相同的常数a，即

叠加性表明，几个信号之和的傅里叶变换等于各个信号的傅里叶变换之和 2.6.2 反褶与共轭性 设f(t)的傅里叶变换为，下面我们来讨论信号反褶、共轭以及既反褶又共轭后，新信号的傅里叶变换。 （1）反褶 f(-t)是f(t)的反褶，其傅里叶变换为 （2）共轭 （3）既反褶又共轭

本性质还可利用前两条性质来证明： 设g(t)=f(-t)，h(t)=g*(t)，则 在上面三条性质的证明中，并没有特别指明f(t)是实函数还是复函数，因此,无论f(t)为实信号还是复信号，其傅里叶变换都满足下面三条性质 2.6.3 奇偶虚实性 已知f(t)的傅里叶变换为。在一般情况下，是复函数，因此可以把它表示成模与相位或者实部与虚部两部分，即 根据定义，上式还可以写成 下面根据f(t)的虚实性来讨论F()的虚实性。

(1) f(t)为实函数 对比式(2-33)与(2-34)，由FT的唯一性可得 （）f(t)是实的偶函数，即f(t)=f(-t) X()的积分项是奇函数，而奇函数在对称区间内的积分为零，故 这时X()=0，于是 可见，若f(t)是实偶函数，则F()也是实偶函数，即 左边反褶，右边共轭 （）f(t)是实的奇函数，即-f(t)=f(-t) R()的积分项是奇函数，而奇函数在对称区间内的积分为零，故 这时R()=0，于是 可见，若f(t)是实奇函数，则F()是虚奇函数，即 左边反褶，右边共轭 有了上面这两条性质，下面我们来看看一般实信号（即可能既不是偶信号，又不是奇信号，反正不清楚，或者说是没有必要关心信号的奇偶特性）的FT频谱特点。 2.6.4对称性 傅里叶变换与傅里叶反变换之间存在着对称关系，称为傅里叶变换的对称性质。若已知

卷积傅里叶变换拉普拉斯变换

什么是卷积、傅里叶变换、拉普拉斯变换？ 先说"卷积有什么用"这个问题。(有人抢答，"卷积"是为了学习"信号与系统"这门课的后续章节而存在的。我大吼一声，把他拖出去枪毙！) 讲一个故事: 张三刚刚应聘到了一个电子产品公司做测试人员，他没有学过"信号与系统"这门课程。一天，他拿到了一个产品，开发人员告诉他，产品有一个输入端，有一个输出端，有限的输入信号只会产生有限的输出。 然后，经理让张三测试当输入sin(t)(t<1秒)信号的时候(有信号发生器)，该产品输出什么样的波形。张三照做了，画了一个波形图。 "很好！"经理说。然后经理给了张三一叠A4纸: "这里有几千种信号，都用公式说明了，输入信号的持续时间也是确定的。你分别测试以下我们产品的输出波形是什么吧！" 这下张三懵了，他在心理想"上帝，帮帮我把，我怎么画出这些波形图呢?" 于是上帝出现了: "张三，你只要做一次测试，就能用数学的方法，画出所有输入波形对应的输出波形"。 上帝接着说:"给产品一个脉冲信号，能量是1焦耳，输出的波形图画出来！" 张三照办了，"然后呢?" 上帝又说，"对于某个输入波形，你想象把它微分成无数个小的脉冲，输入给产品，叠加出来的结果就是你的输出波形。你可以想象这些小脉冲排着队进入你的产品，每个产生一个小的输出，你画出时序图的时候，输入信号的波形好像是反过来进入系统的。" 张三领悟了:" 哦，输出的结果就积分出来啦！感谢上帝。这个方法叫什么名字呢?" 上帝说:"叫卷积！" 从此，张三的工作轻松多了。每次经理让他测试一些信号的输出结果，张三都只需要在A4纸上做微积分就是提交任务了！ ---------------------------------------- 张三愉快地工作着，直到有一天，平静的生活被打破。

卷积定理验证实验

信息与通信工程学 院实验报告 课程名称:数字信号处理 实验题目:卷积定理 指导教师: 班级: 学号: 学生姓名: 一、实验目的与任务 通过本实验,验证卷积定理,掌握利用DFT 与FFT 计算线性卷积的方法。 二、实验原理 时域圆周卷积在频域上相当于两序列DFT 的相乘,因而可以采用FFT 的算法来计算圆周卷积,当满足121-+≥N N L 时,线性卷积等于圆周卷积,因此可利用FFT 计算线性卷积。 三、实验内容及步骤 1. 给定离散信号)(n x 与)(n h ,用图解法求出两者的线性卷积与圆周卷积; 2. 编写程序计算线性卷积与圆周卷积; 3. 比较不同列长时的圆周卷积与线性卷积的结果,分析原因。 三、实验数据及程序代码 给定两个序列[][]1,6,0,5,0,3,4,2,4,3,1,6,0,5,0,3,4,2X Y ==,点数N=18,分别用conv()函数与FFT 与IFFT 计算卷积。代码如下: clc;clear; x = [1 6 0 5 0 3 4 2 4 3]; %原始序列 y = [1 6 0 5 0 3 4 2]; N = length(x) + length(y); %两序列的长度与 z=conv(x,y); %直接计算线性卷积 %利用 FFT 计算 % %手动补零 % x1 = [x zeros(1,N-length(x))]; %利用对序列 x 补零点 % y1 = [y zeros(1,N-length(y))]; %利用对序列 x 补零点 X = fft(x , N); %对两序列分别求 FFT Y = fft(y, N); Z = X 、*Y; %对两序列的 FFT 相乘并求 IFFT z1=ifft(Z); figure('numbertitle','off','name','1605034243刘桢'); subplot(221),stem(x);axis([1 N -inf inf]);title('序列 x'); subplot(222),stem(y);axis([1 N -inf inf]);title('序列 y'); subplot(223),stem(z);axis([1 N -inf inf]);title('直接卷积'); subplot(224),stem(z1);axis([1 N -inf inf]);title('N=18 点的圆周卷积'); 成绩

傅里叶变换的性质

§3–4傅里叶变换的性质 设f(t) ←→F(jω)，f1(t) ←→F1(jω)，f2(t) ←→F2(jω)；α、α1、α2为实数， 则有如下性质： 一、线性：α1 f1(t) + α2 f2(t)←→α1F1(jω) + α2 F2(jω) 二、对称性：F(jt)←→2πf(-ω) 证明： 将上式中的t换为ω，将原有的ω换为t， 或： ， 即：F(jt)←→2π f(-ω) P.67例3-3：已知 ， 再令 ==> ←→2πG(-ω) 三、尺度变换： (α≠0的实数) 可见信号持续时间与占有频带成反比(此性质易由积分变量代换证得)。 推论(折叠性)：f(-t) ←→F(-jω) 四、时移性： (此性质易由傅氏变换的定义证得) 推论(同时具有尺度变换与时移)： P.69-70例3-4请大家浏览。

五、频移性：

(此性质易由傅氏变换的定义证得) π.70例3-5请大家浏览。 频移性的重要应用——调制定理： 欧拉公式 ? 例如门信号的调制：

显然，当ω0足够大时，就可使原频谱密度函数被向左、右复制时几乎不失真。 六、时域卷积： f1(t)* f2(t) ←→F1(jω)F2(jω) 证明： 时域卷积的重要应用——求零状态响应的频域法： 时域：yf(t) = f(t)* h(t) ==> 频域：Y f(jω) = F(jω)H(jω) 七、频域卷积：f1(t). f2(t) ←→1/2π[F1(jω)*F2(jω)] 八、时域微分性：df(t)/dt←→ jωF(jω) (其证明请自学P.72-73有关内容) 推论: 条件： 例如：d(t) ←→1 ==>δ'(t) ←→jω 九、时域积分性：

傅里叶变换性质证明

2.6 傅里叶变换的性质 2.6.1线性 若信号和的傅里叶变换分别为和， 则对于任意的常数a和b，有 将其推广，若,则 其中为常数，n为正整数。 由傅里叶变换的定义式很容易证明线性性质. 显然傅里叶变换也是一种线性运算，在第一章我们已经知道了，线性有两个含义：均匀性和叠加性。均匀性表明，若信号乘以常数a，则信号的傅里叶变换也乘以相同的常数a，即 叠加性表明，几个信号之和的傅里叶变换等于各个信号的傅里叶变换之和 2.6.2 反褶与共轭性 设f(t)的傅里叶变换为，下面我们来讨论信号反褶、共轭以及既反褶又共轭后，新信号的傅里叶变换。 （1）反褶

f(-t)是f(t)的反褶，其傅里叶变换为 （2）共轭 （3）既反褶又共轭 本性质还可利用前两条性质来证明： 设g(t)=f(-t)，h(t)=g*(t)，则 在上面三条性质的证明中，并没有特别指明f(t)是实函数还是复函数，因此,无论f(t)为实信号还是复信号，其傅里叶变换都满足下面三条性质

2.6.3 奇偶虚实性 已知f(t)的傅里叶变换为。在一般情况下，是复函数，因此可以把它表示成模与相位或者实部与虚部两部分，即 根据定义，上式还可以写成 下面根据f(t)的虚实性来讨论F()的虚实性。 (1) f(t)为实函数 对比式(2-33)与(2-34)，由FT的唯一性可得 （1.1）f(t)是实的偶函数，即f(t)=f(-t) X()的积分项是奇函数，而奇函数在对称区间内的积分为零，故这时X()=0，于是 可见，若f(t)是实偶函数，则F()也是实偶函数，即 左边反褶，右边共轭 （ 1.2）f(t)是实的奇函数，即-f(t)=f(-t) R()的积分项是奇函数，而奇函数在对称区间内的积分为零，故这时R()=0，于是

傅里叶变换和拉普拉斯变换的性质及应用

1.前言 1.1背景 利用变换可简化运算，比如对数变换，极坐标变换等。 类似的，变换也存在于工程，技术领域，它就是积分变换。 积分变换的使用，可以使求解微分方程的过程得到简化， 比如乘积可以转化为卷积。什么是积分变换呢？即为利用 含参变量积分，把一个属于A函数类的函数转化属于B函 数类的一个函数。傅里叶变换和拉普拉斯变换是两种重要 积分变换。分析信号的一种方法是傅立叶变换，傅里叶变换能 够分析信号的成分，也能够利用成分合成信号。可以当做信号 的成分的波形有很多，例如锯齿波，正弦波，方波等等。傅立 叶变换是利用正弦波来作为信号的成分。 拉普拉斯变换最早由法国数学家天文学家 Pierre Simon Laplace （拉普拉斯）（1749-1827）在他的与概率论相关科学研究 中引入，在他的一些基本的关于拉普拉斯变换的结果写在 他的著名作品《概率分析理论》之中。即使在19世纪初， 拉普拉斯变换已经发现，但是关于拉普拉斯变换的相关研 究却一直没什么太大进展，直至一个英国数学家，物理学 家，同时也是一位电气工程师的Oliver Heaviside奥利 弗·亥维赛（1850-1925）在电学相关问题之中引入了算 子运算，而且得到了不少方法与结果，对于解决现实问题 很有好处，这才引起了数学家对算子理论的严格化的兴 趣。之后才创立了现代算子理论。算子理论最初的理论依 据就是拉普拉斯变换的相关理论，拉普拉斯变换相关理论 的继续发展也是得益于算理理论的更进一步发展。这篇文 章就是针对傅里叶变换和拉普拉斯变换的相关定义，相关 性质，以及相关应用做一下简要讨论，并且分析傅里叶变 换和拉普拉斯变换的区别与联系。 1.2预备知识

傅里叶变换的基本性质.

傅里叶变换的基本性质（一） 傅里叶变换建立了时间函数和频谱函数之间转换关系。在实际信号分析中，经常 需要对信号的时域和频域之间的对应关系及转换规律有一个清楚而深入的理解。 因此有必要讨论傅里叶变换的基本性质，并说明其应用。 一、线性 傅里叶变换是一种线性运算。若-'1 ' 一 1 一八 餐丄I 则 嗽（0 +罰⑷ G 迅（j 由）+ 碍（Jtu ） （3-55） 其中a 和b 均为常数，它的证明只需根据傅里叶变换的定义即可得出。 例3-6利用傅里叶变换的线性性质求单位阶跃信号的频谱函数 ，； 「" 由式（3-55）得 =侔7(/)}=-屛1} + - (sgn( /)}=丄 K 刼罠珂 + 丄用2 二足飢也)+ — 2 2 2 2 JtD J QJ 、对称性 （3-56） 则」 将上式中变量少换为x ，积分结果不变，即 证明因为 fC ）二丄「EQ 讣叫田 N J 2^(i) = f F(J 噪叫 a 2^(-1)=「F(j 嫌小咕 J —TO

」一 再将t用夕代之，上述关系依然成立，即 2戒（―型）-[ Jr-CD 最后再将x用t代替，则得—Lm—? ” 所以,fl- —■-'■ ■■* 证毕 若八」是一个偶函数，即-'二丿■，相应有-，："J，则式（3-56） 尺〔血—2对'（创）C3-57） 成为 可见，傅里叶变换之间存在着对称关系，即信号波形与信号频谱函数的波形有着互相置换的关系，其幅度之比为常数二丁。式中的-兰表示频谱函数坐标轴必须正负对调。例如：/（0 =郭）一S）=l FS）= 1一2才㈣=2斶眄 例3-7若信号；二的傅里叶变换为 < r 72 G3> r <2 试求。 解将中的"换成t,并考虑;-"；1为兰的实函数，有 M |r|G 戈 0 |t|>r/2 该信号的傅里叶变换由式（3-54）可知为 頁恥）卜2氓旳（号）

图像处理与傅里叶变换原理与运用

图像处理与傅里叶变换 1背景 傅里叶变换是一个非常复杂的理论，我们在图像处理中集中关注于其傅里叶离散变换离散傅立叶变换(Discrete Fourier Transform) 。 1.1离散傅立叶变换 图象是由灰度（RGB ）组成的二维离散数据矩阵，则对它进行傅立叶变换是离散的傅立叶变换。 对图像数据f(x,y)（x=0,1,… ,Ｍ-1； y=0,1,… ,N-1）。则其离散傅立叶变换定义可表示为： 式中，u=0,1,…, M-1;v= 0,1,…, N-1 其逆变换为 式中，x=0,1,…, M-1;y= 0,1,…, N-1 在图象处理中，一般总是选择方形数据，即Ｍ＝Ｎ 影像f(x,y)的振幅谱或傅立叶频谱： 相位谱： 能量谱（功率谱） ) 1(2exp ),(1),(101 ∑∑ -=-=????? ???? ??+-= M x N y N vy M ux i y x f MN v u F π) 2(2exp ),(1),(101 ∑∑ -=-=????? ???? ??+= M u N v N vy M ux i v u F MN y x f π) ,(),(),(2 2 v u I v u R v u F +=[] ),(/),(),(v u R v u I arctg v u =?) ,(),(),(),(222v u I v u R v u F v u E +==

1.2快速傅里叶变化 可分离性的优点是二维的傅立叶变换或逆变换由两个连续的一维傅立叶变换变换来实现，对于一个影像f(x,y)，可以先沿着其每一列求一维傅立叶变换，再对其每一行再求一维变换 正变化 逆变换 由于二维的傅立叶变换具有可分离性，故只讨论一维快速傅立叶变换。 正变换 逆变换 由于计算机进行运算的时间主要取决于所用的乘法的次数。 按照上式进行一维离散由空间域向频率域傅立叶变换时，对于N 个F ∑ ∑∑∑ -=-=-=-=? ???? ? ?????? ? = ?? ???? +=1 1 0101 )(2exp ),(1 )(2exp ),(1 )(2exp ),(1),(N v N u N u N v N vy i v u F N N ux i v u F N N vy ux i v u F NN y x f πππ∑ -=?? ? ???-= 1 2exp )(1)(N x N ux i x f N u F π∑ ∑ ∑∑ -=-=-=-=? ???? ? -?????? ? -= ?? ???? +-= 1 1 101 )(2exp ),(1 )( 2exp ),(1 )(2exp ),(1),(N y N x N x N y N vy i y x f N N ux i y x f N N vy ux i y x f NN v u F πππ∑ -=?? ????= 1 2exp )(1)(N u N ux i u F N x f π

傅里叶变换的基本性质 (2)

3-5 傅里叶变换的基本性质 傅里叶变换建立了时间函数和频谱函数之间转换关系。在实际信号分析中，经常需 要对信号的时域和频域之间的对应关系及转换规律有一个清楚而深入的理解。因此有必要讨论傅里叶变换的基本性质，并说明其应用。 一、 线性 傅里叶变换是一种线性运算。若 则 其中a 和b 均为常数，它的证明只需根据傅里叶变换的定义即可得出。 例3-6 利用傅里叶变换的线性性质求单位阶跃信号的频谱函数)(ωj F 。 解 因 由式(3-55)得 二、对称性 若 证明 因为 有 将上式中变量ω换为x ，积分结果不变，即 再将t 用ω代之，上述关系依然成立，即 最后再将x 用t 代替，则得 所以 证毕 若)(t f 是一个偶函数，即)()(t f t f =-，相应有)()(ωωf f =-，则式(3-56)成为 可见，傅里叶变换之间存在着对称关系，即信号波形与信号频谱函数的波形有着互相置换的关系，其幅度之比为常数π2。式中的ω-表示频谱函数坐标轴必须正负对调。例如

例3-7 若信号)(t f 的傅里叶变换为 试求)(t f 。 解 将)(ωj F 中的ω换成t ，并考虑)(ωj F 为ω的实函数，有 该信号的傅里叶变换由式(3-54)可知为 根据对称性 故 再将)(ω-f 中的ω-换成t ，则得 )(t f 为抽样函数，其波形和频谱如图3-20所示。 三、折叠性 若 则 四、尺度变换性 观看动画 若 则 证明 因a ＞0，由 令at x =，则adt dx =，代入前式，可得 函数)(at f 表示)(t f 沿时间轴压缩(或时间尺度扩展) a 倍，而 ) (a j F ω 则表示 )(ωj F 沿频率轴扩展(或频率尺度压缩) a 倍。 该性质反映了信号的持续时间与其占有频带成反比，信号持续时间压缩的倍数恰好等于占有频带的展宽倍数，反之亦然。 例3-8 已知 ,求频谱函数)(ωj F 。 解 前面已讨论了

卷积定理验证实验

信息与通信工程学院实验报告 课程名称：数字信号处理 实验题目：卷积定理 指导教师： 班级： 学号： 学生姓名： 一、实验目的和任务 通过本实验，验证卷积定理，掌握利用DFT 和FFT 计算线性卷积的方法。 二、实验原理 时域圆周卷积在频域上相当于两序列DFT 的相乘，因而可以采用FFT 的算法来计算圆周卷积，当满足121-+≥N N L 时，线性卷积等于圆周卷积，因此可利用FFT 计算线性卷积。 三、实验内容及步骤 1. 给定离散信号)(n x 和)(n h ，用图解法求出两者的线性卷积和圆周卷积； 2. 编写程序计算线性卷积和圆周卷积； 3. 比较不同列长时的圆周卷积与线性卷积的结果，分析原因。 三、实验数据及程序代码 给定两个序列[][]1,6,0,5,0,3,4,2,4,3,1,6,0,5,0,3,4,2X Y ==， 点数N=18，分别用conv()函数和FFT 与IFFT 计算卷积。代码如下： clc;clear; x = [1 6 0 5 0 3 4 2 4 3]; %原始序列 y = [1 6 0 5 0 3 4 2]; N = length(x) + length(y); %两序列的长度和 z=conv(x,y); %直接计算线性卷积 %利用 FFT 计算 % %手动补零 % x1 = [x zeros(1,N-length(x))]; %利用对序列 x 补零点 % y1 = [y zeros(1,N-length(y))]; %利用对序列 x 补零点 X = fft(x , N); %对两序列分别求 FFT Y = fft(y, N); Z = X.*Y; %对两序列的 FFT 相乘并求 IFFT

二维傅里叶变换变换、性质和频域滤波

实验三二维傅里叶变换变换、性质和频域滤波 一、实验目的 1、了解图像傅里叶变换的物理意义； 2、掌握频域滤波原理； 3、熟悉傅里叶变换的基本性质； 4、熟练掌握FFT的变换方法及应用； 5、通过实验了解二维频谱的分布特点； 二、实验平台 计算机和Matlab语言环境 三、实验内容 1、数字图像二维傅里叶变换及其对数显示 2、频域滤波器处理图像 3、二维傅里叶变换的性质(比例变换性、旋转、可分性) 四、实验步骤 1、二维傅里叶变换的性质 1> 二维傅里叶变换 构造一幅图像，在64×64的黑色背景中产生一个5个白条纹，对其进行傅里叶变换 f = zeros(64,64); for j=1:5 f(:,j*10:j*10+1)=1; end F=fft2(f);Fc=fftshift(F); subplot(1,2,1),imshow(f,[ ]);title('原始图像'); subplot(1,2,2),imshow(abs(Fc),[ ]);title('图像傅里叶变换'); 2> 比例变换性 将图像扩大到原来的2倍后对其进行傅里叶变换，观察图像与原始图像的差异、频谱的差异 fresize=imresize(f,2); fresize=fresize(31:94,31:94);

Fresize=fft2(fresize);Fc1=fftshift(Fresize); subplot(1,2,1),imshow(fresize,[ ]);title('图像扩大2倍'); subplot(1,2,2),imshow(abs(Fc1),[ ]);title('图像扩大2倍后傅里叶'); 3> 旋转 将图像旋转45度后对其进行傅里叶变换，观察图像与原始图像的差异、频谱的差异 frotate=imrotate(f,45);%图像旋转 Frotate=fft2(frotate);Fc2=fftshift(Frotate);%图像旋转后做傅里叶变换subplot(1,2,1),imshow(frotate,[ ]);title('图像旋转'); subplot(1,2,2),imshow(abs(Fc2),[ ]);title('图像旋转后傅里叶'); 4> 可分性 首先沿着图像的每一行计算一维变换，然后沿着中间结果的每一列计算一维变换，以此计算二维傅里叶 for i=1:64 fft_row(i,:)=fft(f(i,:));%沿着图像的每一行计算一维变换 end for j=1:64 fft_col(:,j)=fft(fft_row(:,j));%沿着中间结果的每一列计算一维变换 end Fc3=fftshift(fft_col); figure,imshow(abs(Fc3),[ ]);title('两次fft');

快速傅里叶变换与卷积

#include #include #include #define N 1000 /*定义复数类型*/ typedef struct{ double real; double img; }complex; complex x[N], *W; /*输入序列,变换核*/ int size_x=0; /*输入序列的大小，在本程序中仅限2的次幂*/ double PI; /*圆周率*/ void fft(); /*快速傅里叶变换*/ void initW(); /*初始化变换核*/ void change(); /*变址*/ void add(complex ,complex ,complex *); /*复数加法*/ void mul(complex ,complex ,complex *); /*复数乘法*/ void sub(complex ,complex ,complex *); /*复数减法*/ void output(); int main(){ int i; /*输出结果*/ system("cls"); PI=atan(1)*4; printf("Please input the size of x:\n"); scanf("%d",&size_x); printf("Please input the data in x[N]:\n"); for(i=0;i

卷积定理

数字信号处理实验报告 实验二：卷积定理 班级：10051041 姓名： 学号：

一、实验目的 通过本实验，验证卷积定理，掌握利用DFT和FFT计算线性卷积的方法。二、实验原理 时域圆周卷积在频域上相当于两序列DFT的相乘，因而可以采用FFT的算 法来计算圆周卷积，当满足 121 L N N ≥+-时，线性卷积等于圆周卷积，因此可利用FFT计算线性卷积。 三、实验内容和步骤 1．给定离散信号() x n和() h n，用图解法求出两者的线性卷积和圆周卷积；2．编写程序计算线性卷积和圆周卷积； 3．比较不同列长时的圆周卷积与线性卷积的结果，分析原因。 四、实验设备 计算机、Matlab软件 五、实验程序 1相同列长 %实验二:卷积定理 %褚耀欣 x=[1 1 0 1 3]; %原始序列 y=[3 0 0 1 3]; %直接计算圆周卷积或线性卷积 z=conv(x,y); figure(1),subplot(311),stem(x);axis([1 9 0 4]); subplot(312),stem(y);axis([1 9 0 4]); subplot(313),stem(z);axis([1 9 0 30]); %利用FFT计算 N=10;%N=8时 x1=[x zeros(1,N-length(x))]; y1=[y zeros(1,N-length(y))];

X1=fft(x1); Y1=fft(y1); Z1=X1.*Y1; z1=ifft(Z1); figure(2), subplot(321),stem(x1); subplot(322),stem(real(X1)); subplot(323),stem(y1); subplot(324),stem(real(X1)); subplot(325),stem(z1); subplot(326),stem(real(Z1)); N=5;%N=5时 x2=[x zeros(1,N-length(x))]; y2=[y zeros(1,N-length(y))]; X2=fft(x2); Y2=fft(y2); Z2=X2.*Y2; z2=ifft(Z2); figure(3), subplot(321),stem(x2); subplot(322),stem(real(X2)); subplot(323),stem(y2); subplot(324),stem(real(X2)); subplot(325),stem(z2); subplot(326),stem(real(Z2));

卷积与傅里叶变换攻略

Only for DM07 大家都知道，傅里叶和卷积之间变换和证明的题目是图像处理中最难的一块，我这里写一下我的心得以及收集的一些例题。 首先第一个问题，定义公式太多，而且又很复杂。其实呢，真正有用的公式只有4个。 课本里的公式只是同一个公式在离散空间、连续空间、一维空间、二维空间的不同应用。我们理解哪一个？只要理解离散二维空间中的傅里叶变换公式： 很多人又奇怪了，为什么有的公式里有三角函数？其实是因为应用了一个欧拉代换，朝姐姐讲到这个代换的时候总是一句话带过，还真以为我们高中学过了。 也就是说，有了上面三个公式，我们就可以在所有傅里叶定义之间切换，但是实际做证明题的时候也只需要这三个公式。 接着记住，傅里叶只有一个性质——平移性质。期中考最后一题我就是因为当时还没认识到这个性质的使用。 上面那个0是属于x的，x0，这是一维的，找不到二维的公式，但因为XY方向是无关的，所以如果同时移动x和y方向只要将再乘多一个上去。注意这里j的符号，以及将x替换为y，M替换为N，u替换为v。

最后的最后还要知道一个大前提，那就是卷积定理，证明一般从它开始。 漏了一个常用的傅里叶变换——二阶二维拉普拉斯算子变换，虽然可以通过以上公式推导，但是记住它可以节省较多的时间。 课本210页要折起来，全部公式都在里面。 期中试题最重要，这里做多一遍： 1．设仅利用像素点（x，y）的4-近邻像素（不用点（x，y））组成一个低通滤波器。 （1）给出它在频域的等价滤波器H（u，v）; （2）证明所得结果确实是一个低通滤波器。 已知：f(x,y)*h(x,y) = 1/4[f(x-1,y) + f(x+1,y) + f(x,y+1) + f(x,y-1)] F(u,v)*H(u,v) = 1/4[F(u,v)e j2πu/M +F(u,v) e-j2πu/M +F(u,v) e-j2πv/N+F(u,v) e j2πv/N] =F(u,v)*1/4[cos(2πu/M)+j*sin(2πu/M)+ cos(2πu/M)-j*sin(2πu/M)+ cos(2πv/N)+j*sin(2πv/N)+ cos(2πv/N)-j*sin(2πv/N)] =F(u,v)*1/4[2 cos(2πu/M)+2 cos(2πv/N)] =F(u,v)*1/2[cos(2πu/M)+ cos(2πv/N)] 等式两边同除以F(u,v)，得H(u,v)= 1/2[cos(2πu/M)+ cos(2πv/N)] 可见，当u=v=0，即取中心点时，H（u，v）取最大值1，所以是低通滤波器。

卷积证明及研究卷积在时域-频域信号中的应用

研究卷积在时域-频域信号中的应用 卷积定义：若已知函数()1f t ，()2f t ，称积分()()12d f f t τττ+∞-∞ -?为函数()1f t ，()2f t 的卷积，记为()()12f t f t *，即 ()()()()1212d f t f t f f t τττ+∞ -∞*=-? 卷积积分是一种数学方法，它是沟通时域-频域的一个桥梁，在信号与系统的理论研究中占有重要的地位。在很多情况下，卷积积分的计算比较困难，但是根据卷积的特性可以将卷积积分变成乘法运算，从而使信号分析人工化。变成的乘法运算即 若 ()(f)x t X ? ()(f)y t Y ? 则()()(f)Y(f)x t y t X *?，()()(f)Y(f)x t y t X ?* ※现给出卷积定理在时域-频域中应用的证明 ()()()()1212d f t f t f f t τττ+∞ -∞*=-? 上式两边进行傅里叶变换，有 ()()()()j 1212d e d F t f t f t f f t t ωτττ+∞+∞--∞-∞??=???*-???? ? ?? 交换积分次序 ()()()()j 1212e d d F t f t f t f f t t ωτττ+∞ +∞--∞-∞=???*-?????? ???

()()j j ()12e e d()d t t f f t t ωωτττττ+∞ +∞----∞-∞??=--???? ??根据时移特性，上式的中括号内的积分就是()2f t 的傅里叶变换，即 ()()()j 1212F e F ()d t f t f t f ωτωτ+∞--∞*=????? ()j 21F ()e d t f ωωττ+∞--∞=? 同理，上式中的积分就是()1f t 的傅里叶变换，即 ()()122112F F ()F ()F ()F ()f t f t ωωωω*==???? 因此， ()()1212F ()F ()f t f t ωω*? 总结：时域中的信号卷积，对应着频域乘积；而时域中的信号乘积，对应着频域卷积，即 若 ()(f)x t X ? ()(f)y t Y ? 则()()(f)Y(f)x t y t X *?，()()(f)Y(f)x t y t X ?*

(整理)小波变换与傅里叶变换.

百度空间 | 百度首页 | 登录 在狂风中摇曳 我的学习BLOG 主页博客相册个人档案好友 查看文章 [转]小波变换与傅里叶变换 2009-09-22 09:59 如果有人问我，如果傅里叶变换没有学好（深入理解概念），是否能学好小波。答案是否定的。如果有人还问我，如果第一代小波变换没学好，能否学好第二代小波变换。答案依然是否定的。但若你问我，没学好傅里叶变换，能否操作（编程）小波变换，或是没学好第一代小波，能否操作二代小波变换，答案是肯定的。 一、一、基的概念 我们要明确的是基的概念。两者都是基，信号都可以分成无穷多个他们的和（叠加）。而展开系数就是基与信号之间的内积，更通俗的说是投影。展开系数大的，说明信号和基，是足够相似的。这也就是相似性检测的思想。但我们必须明确的是，傅里叶是0-2pi标准正交基，而小波是-inf到inf之间的基。因此，小波在实轴上是紧的。而傅里叶的基（正弦或余弦），与此相反。而小波能不能成为Reisz基，或标准稳定的正交基，还有其它的限制条件。此外，两者相似的还有就是PARSEVAL定理。（时频能量守恒）。

二、二、离散化的处理 傅里叶变换，是一种数学的精妙描述。但计算机实现，却是一步步把时域和频域离散化而来的。第一步，时域离散化，我们得到离散时间傅里叶变换（DTFT），频谱被周期化；第二步，再将频域离散化，我们得到离散周期傅里叶级数（DFS），时域进一步被周期化。第三步，考虑到周期离散化的时域和频域，我们只取一个周期研究，也就是众所周知的离散傅里叶变换（DFT）。这里说一句，DFT是没有物理意义的，它只是我们研究的需要。借此，计算机的处理才成为可能。 下面我们谈谈小波。所有满足容许性条件（从-INF到+INF积分为零）的函数，都可以成为小波。小波作为尺度膨胀和空间移位的一组函数也就诞生了。但连续取值的尺度因子和平移因子，在时域计算量和频域的混叠来说，都是极为不便的。用更为专业的俗语，叫再生核。 也就是，对于任何一个尺度a和平移因子b的小波，和原信号内积，所得到的小波系数，都可以表示成，在a，b附近生成的小波，投影后小波系数的线性组合。这就叫冗余性。这时的连续小波是与正交基毫无关系的东西，它顶多也只能作为一种积分变换或基。但它的显微镜特点和相似性检测能力，已经显现出来了。为了进一步更好的将连续小波变换离散化，以下步骤是一种有效方法。第一步，尺度离散化。 一般只将a二进离散化，此时b是任意的。这样小波被称为二进小波。 第二步，离散b。怎么离散化呢？b取多少才合适呢？于是，叫小波采样定理的东西，就这样诞生了。也就是小波平移的最小距离（采样间隔），应该大于二倍小波基的最高频率（好像类似，记不清了）。所以

信号与系统 各种公式性质证明

第一章 绪论 1、证明：)(1 )(t a at δδ=，利用结论?∞ ∞ -dt t )(δ ?∞ ∞ -dt at )(δ计算 利用换元法，令ττ τd a dt t at 1 1 = ?= ?=，则： )(1)()(1)(t a at dt t a dt at δδδδ=?= ??∞ ∞ -∞ ∞ - 此证明的物理意义层面的解释，因为)(t δ表示的是强度为“1”的一个冲激函数，即是此函数包含的面积为“1”，但是持续时间无穷小，瞬间量值无穷大的一个物理量。而)(at δ是对 )(t δ函数的尺度变换，其函数持续时间变化为原来的 a 1 倍，但是量值大小不变，所以相当于冲激强度变为原来的 a 1倍，所以可以表示为)(1 )(t a at δδ=。 2、证明)(1 )(00a t t a t at -= -δδ 设??∞∞-∞∞--=-dt a t t a dt t at )([)(00δδ 令? ??∞ ∞ -∞∞-∞∞-= =-?=?-=ττδττδδττd a d a dt a t t a d dt a t t )(1 )()([00 )(1 )()(1 )([00000a t t a t at dt a t t a dt a t t a d dt a t t -=-?- = -?=?- =? ?∞ ∞ -∞∞-δδδδττ 3、证明)(1||1)()(1||1)() ()(' ' t a a at t a a at n n n δδδδ= = 先证明)(1||1)(' ' t a a at δδ= ，利用冲激函数的广义函数定义证明。 dt t t a a dt t t a a dt t t t t a a dt t t a a dt t t a a dt t at a t at a dt t at a dt t at ? ? ??????∞ ∞-∞ ∞ -∞∞-∞ ∞-∞∞-∞∞-∞∞-∞ ∞-∞ ∞-∞ ∞-== ???? ??--=-=-=-==)()('1 1)()('11)()(')()(11)(')(11)(')(11)(')(1)()](1[)()]'(1[)()(' ?δ?δ?δ?δ?δ?δ?δ?δ?δ?δ