高考数学抛物线试题汇编
第三节 抛物线
高考试题
考点一 抛物线的定义和标准方程
1.(2010年陕西卷, 理8)已知抛物线y 2
=2px(p>0)的准线与圆x 2
+y 2
-6x-7=0相切, 则p 的值为( )
(A)
12
(B)1 (C)2 (D)4
解析:圆x 2
+y 2
-6x-7=0化为标准方程为(x-3)2
+y 2
=16, ∴圆心为(3, 0), 半径是4, 抛物线y 2
=2px(p>0)的准线是x=-2
p
, ∴3+
2
p
=4, 又p>0, 解得p=2.故选C. 答案:C
2.(2011年辽宁卷, 理3)已知F 是抛物线y 2
=x 的焦点, A, B 是该抛物线上的两点, |AF|+|BF|=3, 则线段AB 的中点到y 轴的距离为( ) (A)
34
(B)1
(C)
54
(D)
74
解析:∵|AF|+|BF|=x A +x B +12
=3,
∴x A +x B =
52
. ∴线段AB 的中点到y 轴的距离为2
A B
x x +=
5
4
.故选C. 故选C. 答案:C
3.(2020年四川卷, 理8)已知抛物线关于x 轴对称, 它的顶点在坐标原点O, 并且经过点M(2, y 0).若点M 到该抛物线焦点的距离为3, 则|OM|等于( )
(C)4 解析:由题意设抛物线方程为y 2
=2px(p>0), 则M 到焦点的距离为x M +
2p =2+2
p
=3, ∴p=2, ∴y 2
=4x.∴
2
0y =4×2, ∴故选B.
答案:B
4.(2010年上海卷, 理3)动点P 到点F(2, 0)的距离与它到直线x+2=0的距离相等, 则点P 的轨迹方程是 .
解析:由抛物线的定义知, 点P 的轨迹是以F 为焦点, 定直线x+2=0为准线的抛物线, 故其标准方程为y 2
=8x.
答案:y 2
=8x
5.(2020年陕西卷, 理13)如图所示是抛物线形拱桥, 当水面在l 时, 拱顶离水面2 m, 水面宽4 m.水位下降
1 m 后, 水面宽 m.
解析:建立如图所示的平面直角坐标系, 设抛物线方程为
x 2
=-2py(p>0),
则A(2, -2), 将其坐标代入 x 2
=-2py, 得p=1.∴x 2
=-2y.
当水面下降1 m, 得D(x 0, -3)(x 0>0), 将其坐标代入x 2
=-2y 得2
0x =6,
∴x 0, ∴水面宽 m.
答案
6.(2010年浙江卷, 理13)设抛物线y 2
=2px(p>0)的焦点为F, 点A(0, 2), 若线段FA 的中点B 在抛物线上, 则B 到抛物线准线的距离为 .
解析:由已知得B 点的纵坐标为1, 横坐标为
4p , 即B ,14p ?? ???
, 将其代入y 2
=2px 得1=2p ×4p , 解得p=
则B 点到准线的距离为2p +4p =34
答案:
考点二 抛物线的几何性质及其应用
1.(2011年四川卷, 理10)在抛物线y=x 2
+ax-5(a ≠0)上取横坐标为x 1=-4, x 2=2的两点, 过这两点引一条割线, 有平行于该割线的一条直线同时与抛物线和圆5x 2
+5y 2
=36相切, 则抛物线顶点的坐标为( )
(A)(-2, -9) (B)(0, -5) (C)(2, -9) (D)(1, -6)
解析:当x 1=-4时, y 1=11-4a;当x 2=2时, y 2=2a-1, 所以割线的斜率k=
11421
42
a a --+--=a-2.设直线
与抛物线的切点横坐标为x 0, 由y ′=2x+a 得切线斜率为2x 0+a, ∴2x 0+a=a-2, ∴x 0=-1. ∴直线与抛物线的切点坐标为(-1, -a-4), 切线方程为y+a+4=(a-2)(x+1), 即(a-2)x-y-6=0.
圆5x 2
+5y 2
=36的圆心到切线的距离
.即(a-2)2
+1=5. 又a ≠0, ∴a=4, 此时y=x 2
+4x-5=(x+2)2
-9, 顶点坐标为(-2, -9).故选A.
答案:A
2.(2009年四川卷, 理9)已知直线l 1:4x-3y+6=0和直线l 2:x=-1, 抛物线y 2
=4x 上一动点P 到直线l 1和直线l 2的距离之和的最小值是( ) (A)2 (B)3
(C)
115
(D)
3716
解析:如图所示, 动点P 到l 2:x=-1的距离可转化为点P 到点F 的距离.由图可知, 距离和的最小值即F
到直线l 1的距离=2.故选A.
答案:A
3.(2009年福建卷, 理13)过抛物线y 2
=2px(p>0)的焦点F 作倾斜角为45°的直线交抛物线于A 、B 两点, 若线段AB 的长为8, 则p= .
解析:∵F 02p ?? ???，, ∴设AB:y=x-2p , 与y 2=2px 联立, 得x 2
-3px+24p =0.∴x A +x B =3p.
∴|AB|=x A +x B +p=4p=8, 得p=2. 答案:2
4.(2010年大纲全国卷Ⅱ, 理15)已知抛物线C:y 2
=2px(p>0)的准线为l, 过M(1, 0)线与l 相交于点A, 与C 的一个交点为B, 若AM u u u u r =MB u u u r
, 则p= .
解析:如图所示, 由AB ,
知∠α=60°, 又AM u u u u r =MB u u u r
, ∴M 为AB 的中点.
过点B 作BP 垂直准线l 于点P, 则∠ABP=60°, ∴∠BAP=30°. ∴|BP|=
1
2
|AB|=|BM|, ∴M 为焦点, 即2
p
=1, ∴p=2. 答案:2
考点三 直线与抛物线位置关系
1.(2020年大纲全国卷, 理11)已知抛物线C:y 2
=8x 与点M(-2, 2), 过C 的焦点且斜率为k 的直线与C
交于A 、B 两点, 若MA u u u r ·MB u u u r
=0, 则k 等于( )
(A)
12
(D)2
解析:法一 设直线方程为y=k(x-2), A(x 1, y 1)、B(x 2, y 2), 由()2
2,
8,
y k x y x ?=-??
=?? 得k 2x 2
-4(k 2
+2)x+4k 2
=0,
∴x 1+x 2=
()22
42k k
+,
x 1x 2=4,
由MA u u u r ·MB u u u r
=0,
得(x 1+2, y 1-2)·(x 2+2, y 2-2)= (x 1+2)(x 2+2)+[k(x 1-2)-2][k(x 2-2)-2]=0, 代入整理得k 2
-4k+4=0,
解得k=2.故选D.
法二 如图所示, 设F 为焦点, 取AB 中点P, 过A 、B 分别作准线的垂线, 垂足分别为G 、H, 连接MF, MP,
由MA u u u r ·MB u u u r
=0,
知MA ⊥MB, 则|MP|=
12|AB|=1
2
(|AG|+|BH|), 所以MP 为直角梯形BHGA 的中位线, 所以MP ∥AG ∥BH, 所以∠GAM=∠AMP=∠MAP, 又|AG|=|AF|, |AM|=|AM|, 所以△AMG ≌△AMF, 所以∠AFM=∠AGM=90°, 则MF ⊥AB, 所以k=-1MF
k =2.
答案:D
2.(2010年辽宁卷, 理7)设抛物线y 2
=8x 的焦点为F, 准线为l, P 为抛物线上一点, PA ⊥l, A 为垂足, 如果直线AF 的斜率为
那么|PF|等于( )
(B)8
(D)16
解析:如图所示, 直线AF 的方程为
与准线方程x=-2联立得
).
设P(x 0
代入抛物线y 2
=8x,
得8x 0=48, ∴x 0=6, ∴|PF|=x 0+2=8, 选B. 答案:B
3.(2020年安徽卷, 理9)过抛物线y 2
=4x 的焦点F 的直线交该抛物线于A, B 两点, O 为坐标原点.若|AF|=3, 则△AOB 的面积为( )
解析:如图所示, 由题意知, 抛物线的焦点F 的坐标为(1, 0), 又|AF|=3, 由抛物线定义知:点A 到准线x=-1的距离为3,
∴点A 的横坐标为2. 将x=2代入y 2
=4x 得y 2
=8,
由图知点A 的纵坐标
∴
∴直线AF 的方程为
联立直线与抛物线的方程)21,
4,y x y x ?=-??
=??
解之得1,2x y ?
=???=?
或2,
x y =???=??
由图知
B 1,2? ?,
∴S △AOB =
12|OF|·|y A -y B |=12×1×
3
2
故选C.
答案:C
4.(2009年天津卷, 理9)设抛物线y 2
=2x 的焦点为F, 过点
, 0)的直线与抛物线相交于A, B 两点, 与抛物线的准线相交于点C, |BF|=2, 则△BCF 与△ACF 的面积之比
BCF
CF
S S △△A 等于( ) (A)
45
(B)
23
(C)
47
(D)
12
解析:如图所示, 设过点
的直线方程为
), 代入y 2
=2x 并整理, 得k 2x 2
k 2
+2)x+3k 2
=0,
设A(x 1, y 1), B(x 2, y 2), 则x 1+x 2
, x 1x 2=3, 因为|BF|=2, 所以|BB ′|=2, ∴x 2=2-12=3
2, 从而x 1=
2
3
x =2. 设点F 到直线AC 的距离为d,
则BCF CF S S △△A =1
212BC d
AC d ??=BC BB AC
AA '='=2122
+=45. 故选A. 答案:A
5.(2009年大纲全国卷Ⅱ, 理9)已知直线y=k(x+2)(k>0)与抛物线C:y 2
=8x 相交于A 、B 两点, F 为C 的焦点, 若|FA|=2|FB|, 则k 等于( )
(A)
13
(B)
3
(C)
23
(D)
3
解析:将y=k(x+2)代入y 2
=8x, 得 k 2x 2
+(4k 2
-8)x+4k 2
=0.
设交点的横坐标分别为x A , x B , 则x A +x B =
2
8k -4, ①
x A ·x B =4.
又|FA|=x A +2, |FB|=x B +2, |FA|=2|FB|, ∴2x B +4=x A +2. ∴x A =2x B +2.②
∴将②代入①得x B =2
83k -2,
x A =
2
163k -4+2=
2
163k -2.
故x A ·x B =228162233k k ????
--
???????
=4. 解之得k 2
=
89.
而k>0, ∴k=3
, 满足Δ>0.故选D.
答案:D
6.(2020年安徽卷, 理13)已知直线y=a 交抛物线y=x 2
于A, B 两点.若该抛物线上存在点C, 使得∠ACB 为直角, 则a 的取值范围为 .
解析:设直线y=a 与y 轴交于点M, 抛物线y=x 2
上要存在C 点, 使得∠ACB 为直角, 只要以|AB|为直径的
圆与抛物线y=x 2
有交点即可, 也就是使|AM|≤|MO|, a(a>0), 所以a ≥1. 答案:[1, +∞)
7.(2020年重庆卷, 理14)过抛物线y 2
=2x 的焦点F 作直线交抛物线于A, B 两点, 若|AB|=2512
, |AF|<|BF|, 则|AF|= .
解析:由于y 2
=2x 的焦点坐标为1,02?? ???, 设AB 所在直线的方程为y=k 12x ??- ???, A(x 1, y 1), B(x 2, y 2),
x 1 12x ??- ?? ?=2x, ∴k 2x 2 -(k 2 +2)x+2 4 k =0. ∴x 1x 2= 14 . 而x 1+x 2+p=x 1+x 2+1=25 12 , ∴x 1+x 2= 1312 . ∴x 1=13, x 2=34. ∴|AF|=x 1+2p =13+12=5 6 . 答案: 56 8.(2010年重庆卷, 理14)已知以F 为焦点的抛物线y 2 =4x 上的两点A 、B 满足AF u u u r =3FB u u u r , 则弦AB 的中 点到准线的距离为 . 解析:F 的坐标为(1, 0). 设A(x 1, y 1), B(x 2, y 2), ∵AF u u u r =3FB u u u r , ∴(1-x 1, -y 1)=3(x 2-1, y 2), ∴1-x 1=3x 2-3, 且-y 1=3y 2, 即x 1+3x 2=4, y 1=-3y 2. 设直线AB 的方程为y=k(x-1), AB 中点为P(x 0, y 0). 由()24,1, y x y k x ?=??=-??得ky 2-4y-4k=0. ∴y 1y 2=-4. ∴21y =12, 22y = 4 3 . ∴x 1=3, x 2=1 3. ∴x 0= 122x x +=5 3 . ∴中点P 到准线x=-1的距离d=53-(-1)= 8 3 . 答案: 8 3 9.(2020年辽宁卷, 理15)已知P, Q 为抛物线x 2 =2y 上两点, 点P, Q 的横坐标分别为4, -2, 过P, Q 分别作抛物线的切线, 两切线交于点A, 则点A 的纵坐标为 . 解析:y= 12 x 2 , y ′=x, 由题意P(4, 8), k 1=y ′|x=4=4, 切线为y=4x-8, Q(-2, 2), k 2=y ′|x=-2=-2, 切线为y=-2x-2. 由48,22y x y x =-??=--?得A(1, -4). 答案:-4 10.(2020年北京卷, 理12)在直角坐标系xOy 中, 直线l 过抛物线y 2 =4x 的焦点F, 且与该抛物线相交于A, B 两点, 其中点A 在x 轴上方, 若直线l 的倾斜角为60°, 则△OAF 的面积为 . 解析:∵抛物线y 2 =4x, ∴焦点F 的坐标为(1, 0). 又∵直线l 倾斜角为60°, ∴直线方程为 (x-1). 联立方程)2 1,4,y x y x ?-??=?? 解得111,3x y ?=????=?? 或22 3,x y =???=?? 由已知得A 的坐标为 ∴S △OAF = 12|OF|·|y A |=1 2 ×1× 答案 11.(2020年新课标全国卷, 理20)设抛物线C:x 2 =2py(p>0)的焦点为F, 准线为l, A 为C 上一点, 已知以F 为圆心, FA 为半径的圆F 交l 于B, D 两点. (1)若∠BFD=90°, △ABD 的面积为求p 的值及圆F 的方程; (2)若A, B, F 三点在同一直线m 上, 直线n 与m 平行, 且n 与C 只有一个公共点, 求坐标原点到m, n 距离的比值. 解:(1)由已知可得△BFD 为等腰直角三角形, |BD|=2p, 圆F 的半径又点A 到l 的距离 而S △ABD ∴1 2 |BD|· 即 1 2 ×2p ∴p=-2(舍去)或p=2, ∴圆F 的方程为x 2 +(y-1)2 =8. (2)∵A 、B 、F 三点在同一直线m 上, 所以AB 为圆F 的直径, ∠ADB=90°. 又由抛物线定义知|AD|=|FA|= 1 2 |AB|, ∴∠ABD=30°, m 的斜率为 当m , 可设n 方程为 代入x 2 =2py 得x 2 px-2pb=0, 由于n 与C 只有一个公共点, 故Δ=43 p 2 +8pb=0 ∴b=- 6 p , 又∵m 的截距b 1= 2p , 1b b =3, ∴坐标原点到m 、n 距离的比值为3. 当m 的斜率为, 由图形对称性知, 坐标原点到m 、n 的距离之比仍为3. 12.(2020年广东卷, 理20)已知抛物线C 的顶点为原点, 其焦点F(0, c)(c>0)到直线l:x-y-2=0的距 , 设P 为直线l 上的点, 过点P 作抛物线C 的两条切线PA, PB, 其中A, B 为切点. (1)求抛物线C 的方程; (2)当点P(x 0, y 0)为直线l 上的定点时, 求直线AB 的方程; (3)当点P 在直线l 上移动时, 求|AF|·|BF|的最小值. 解:(1)依题意, 设抛物线C 的方程为x 2 =4cy, , 结合c>0, 解得c=1.所以抛物线C 的方程为x 2 =4y. (2)抛物线C 的方程为x 2 =4y, 即y= 14x 2, 求导得y ′=12 x. 设A(x 1, y 1), B(x 2, y 2)（其中y 1=214x , y 2=2 2 4 x ）, 则切线PA, PB 的斜率分别为12x 1, 1 2 x 2. 所以切线PA 的方程为y-y 1= 1 2 x (x-x 1), 即y=12x x-2 12x +y 1, 即x 1x-2y-2y 1=0. 同理, 可得切线PB 的方程为x 2x-2y-2y 2=0. 因为切线PA, PB 均过点P(x 0, y 0), 所以x 1x 0-2y 0-2y 1=0, x 2x 0-2y 0-2y 2=0. 所以(x 1, y 1), (x 2, y 2)为方程x 0x-2y 0-2y=0的两组解. 所以直线AB 的方程为x 0x-2y 0-2y=0. (3)由抛物线定义可知|AF|=y 1+1, |BF|=y 2+1, 所以|AF|·|BF|=(y 1+1)(y 2+1)=y 1y 2+(y 1+y 2)+1. 联立方程002220, 4,x x y y x y --=???=?? 消去x 整理得y 2 +(2y 0-20x )y+2 0y =0, 由根与系数的关系可得y 1+y 2=20x -2y 0, y 1y 2=20y , 所以|AF|·|BF|=y 1y 2+(y 1+y 2)+1=20y +20x -2y 0+1. 又点P(x 0, y 0)在直线l 上, 所以x 0=y 0+2. 所以20y +20x -2y 0+1=220y +2y 0+5=2（y 0+ 12）2+9 2 . 所以当y 0=- 12时, |AF|·|BF|取得最小值, 且最小值为9 2 . 13.(2020年湖南卷, 理21)过抛物线E:x 2 =2py(p>0)的焦点F 作斜率分别为k 1, k 2的两条不同直线l 1, l 2, 且k 1+k 2=2, l 1与E 相交于点A, B, l 2与E 相交于点C, D, 以AB, CD 为直径的圆M, 圆N(M, N 为圆心)的公共弦所在直线记为l. (1)若k 1>0, k 2>0, 证明:FM u u u u r ·FN u u u r <2p 2 ; (2)若点M 到直线l 求抛物线E 的方程. 解:(1)由题意知, 抛物线E 的焦点为F 02p ?? ??? ，, 直线l 1的方程为y=k 1x+ 2 p . 由12,22p Y k x x py ? =+???=? 得x 2 -2pk 1x-p 2 =0. 设A, B 两点的坐标分别为(x 1, y 1), (x 2, y 2), 则x 1, x 2是上述方程的两个实数根, 从而x 1+x 2=2pk 1, y 1+y 2=k 1(x 1+x 2)+p=2p 21k +p. 所以点M 的坐标为（pk 1, p 21k +2 p ）, FM u u u u r =(pk 1, p 21k ). 同理可得点N 的坐标为(pk 2, p 22k + 2 p ), FN u u u r =(pk 2, p 22k ), 于是FM u u u u r ·FN u u u r =p 2(k 1k 2+21k 22k ). 因为k 1+k 2=2, k 1>0, k 2>0, k 1≠k 2, 所以0 =1. 故FM u u u u r ·FN u u u r . (2)由抛物线的定义得|FA|=y 1+2 p , |FB|=y 2+ 2 p , 所以|AB|=y 1+y 2+p=2p 21k +2p, 从而圆M 的半径r 1=p 21k +p. 故圆M 的方程为(x-pk 1)2 +(y-p 21k -2 p )2=(p 21k +p)2 , 化简得x 2 +y 2 -2pk 1x-p(221k +1)y-34 p 2 =0. 同理可得圆N 的方程为x 2 +y 2 -2pk 2x-p(222k +1)y- 34 p 2 =0. 于是圆M, 圆N 的公共弦所在直线l 的方程为(k 2-k 1)x+(22k -21k )y=0. 又k 2-k 1≠0, k 1+k 2=2, 则l 的方程为x+2y=0. 因为p>0, 所以点M 到直线l 的距离为 2 117248p k ????++?? ??? 故当k 1=- 1 4 时, d 由题设 , 解得p=8. 故所求的抛物线E 的方程为x 2 =16y. 14.(2020年陕西卷, 理20)已知动圆过定点A(4, 0), 且在y 轴上截得弦MN 的长为8. (1)求动圆圆心的轨迹C 的方程; (2)已知点B(-1, 0), 设不垂直于x 轴的直线l 与轨迹C 交于不同的两点P, Q, 若x 轴是∠PBQ 的角平分线, 证明直线l 过定点. (1)解:如图所示, 设动圆圆心O 1(x, y), 由题意, |O 1A|=|O 1M|, 当O 1不在y 轴上时, 过O 1作O 1H ⊥MN 交MN 于H, 则H 是MN 的中点, ∴|O 1 又|O 1 化简得y 2 =8x(x ≠0). 又当O 1在y 轴上时, O 1与O 重合, 点O 1的坐标(0, 0)也满足方程y 2 =8x, ∴动圆圆心的轨迹C 的方程为y 2 =8x. (2)证明:由题意, 设直线l 的方程为y=kx+b(k ≠0), P(x 1, y 1), Q(x 2, y 2), 将y=kx+b 代入y 2 =8x 中, 得k 2 x 2 +(2bk-8)x+b 2 =0, 其中Δ=-32kb+64>0. 由根与系数的关系得, x 1+x 2= 2 82bk k -, ① x 1x 2= 2 2 b k , ② 因为x 轴是∠PBQ 的角平分线, 所以 111y x +=-221 y x +, 即y 1(x 2+1)+y 2(x 1+1)=0, (kx 1+b)(x 2+1)+(kx 2+b)(x 1+1)=0, 2kx 1x 2+(b+k)(x 1+x 2)+2b=0, ③ 将①②代入③, 得2kb 2 +(k+b)(8-2bk)+2k 2 b=0, ∴k=-b, 此时Δ>0, ∴直线l 的方程为y=k(x-1), ∴直线l 过定点(1, 0). 15. (2020年辽宁卷, 理20)如图, 抛物线C 1:x 2 =4y, C 2:x 2 =-2py(p>0).点M(x 0, y 0)在抛物线C 2上, 过 M 作C 1的切线, 切点A, B(M 为原点O 时, A, B 重合于O).当x 0, 切线MA 的斜率为-1 2 . (1)求p 的值; (2)当M 在C 2上运动时, 求线段AB 中点N 的轨迹方程(A, B 重合于O 时, 中点为O). 解:(1)因为抛物线C 1:x 2 =4y 上任意一点(x, y)的切线斜率为y ′=2x , 且切线MA 的斜率为-1 2 , 所以A 点坐标为(-1, 14), 故切线MA 的方程为y=-12(x+1)+ 1 4 . 因为点0)在切线MA 及抛物线C 2上, 于是 y 0=- 1214 , ① y 0=- ( 2 12p -.② 由①②得p=2. (2)设N(x, y), A(x 1, 214x ), B(x 2, 2 2 4x ), x 1≠x 2, 由N 为线段AB 中点知x=122x x +, ③ y=22 128 x x +.④ 切线MA, MB 的方程为 y=12 x (x-x 1)+ 214x .⑤ y=22 x (x-x 2)+ 2 24x .⑥ 由⑤⑥得MA, MB 的交点M(x 0, y 0)的坐标为 x 0= 122x x +, y 0=124 x x . 因为点M(x 0, y 0)在C 2上, 即2 0x =-4y 0, 所以x1x2=- 22 12 6 x x + .⑦ 由③④⑦得x2=4 3 y, x≠0. 当x1=x2时, A, B重合于原点O, AB中点N为O, 坐标满足x2=4 3 y. 因此线段AB中点N的轨迹方程为x2=4 3 y. 模拟试题 考点一抛物线的定义和标准方程及其应用 1.(2020福建厦门高三上质检)已知F是抛物线y2=4x的焦点, P是圆x2+y2-8x-8y+31=0上的动点, 则|FP|的最小值是( ) (A)3 (B)4 (C)5 (D)6 解析:圆x2+y2-8x-8y+31=0的圆心C坐标为(4, 4), 半径为1, ∵|PF|≥|CF|-1, ∴当P、C、F三点共线时, |PF|取到最小值, 由y2=4x知F(1, 0), ∴|PF|min故选B. 答案:B 2.(2020山东潍坊一模)已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点F与双曲线 2 4 x - 2 5 y =1的右焦点重合, 抛物线的 准线与x轴的交点为K, 点A在抛物线上且则A点的横坐标为( ) (B)3 (D)4 解析:由 2 4 x - 2 5 y =1得c2=4+5=9. ∴双曲线右焦点为(3, 0), ∴抛物线焦点坐标为(3, 0), 抛物线方程为y2=12x. 设d为点A(x0, y0)到准线的距离, 由抛物线定义知d=|AF|=x0+3, 由题意得|y0|=x0+3, 代入抛物线方程得(x0+3)2=12x0, 解得x0=3.故选B. 答案:B 考点二抛物线几何性质的应用 1.(2020云南师大附中高三高考适应性月考卷)在直角坐标系xOy中, 有一定点A(2, 1), 若线段OA的垂直平分线过抛物线y2=2px(p>0)的焦点, 则该抛物线的准线方程是. 解析:线段OA的斜率k=1 2 , 中点坐标为 1 1, 2 ?? ? ?? . 所以线段OA 的垂直平分线的方程是y-1 2 =-2(x-1), 令y=0得到x= 54 . 即抛物线的焦点为5,04?? ??? . 所以该抛物线的准线方程为x=-5 4 . 答案:x=- 54 2.(2020云南省昆明一中高三第二次高中新课程双基检测)已知点A(4, 4)在抛物线y 2 =px(p>0)上, 该抛物线的焦点为F, 过点A 作直线l:x=-4 p 的垂线, 垂足为M, 则∠MAF 的平分线所在直线的方程为 . 解析:点A 在抛物线上, 所以16=4p, 所以p=4, 所以抛物线的焦点为F(1, 0), 准线方程为x=-1, 垂足M(-1, 4), 由抛物线的定义得|AF|=|AM|, 所以∠MAF 的平分线所在的直线就是线段MF 的垂直平分线, k MF = 4011---=-2, 所以∠MAF 的平分线所在的直线方程为y-4= 1 2 (x-4), 即x-2y+4=0. 答案:x-2y+4=0 考点三 直线与抛物线的位置关系 1.(2020河南郑州高三第一次质量预测)已知抛物线x 2 =4y 上有一条长为6的动弦AB, 则AB 中点到x 轴的最短距离为( ) (A) 34 (B) 32 (C)1 (D)2 解析:易知, AB 的斜率存在, 设AB 方程为y=kx+b. 由2 ,4y kx b x y =+??=? 得x 2 -4kx-4b=0. 设A(x 1, y 1), B(x 2, y 2), 则x 1, x 2是上述方程的两个根, ∴x 1+x 2=4k, x 1·x 2=-4b, 又|AB|=6, 化简得b= () 29 41k +-k 2 , 设AB 中点为M(x 0, y 0), 则y 0= 122y y +=122 kx b kx b +++=()122k x x ++b =2k 2 + () 2 9 41k +-k 2 =k 2 + ()2941k +=(k 2 +1)+ () 29 41k +-1 ≥2× 3 2 -1=2. 当且仅当k 2 +1= () 2 9 41k +, 即k 2 = 1 2 时, y 0 取到最小值2.故选D. 答案:D 2.(2020北京市东城区高三上学期期末)已知抛物线y 2 =2px(p>0)的焦点F 与双曲线22 179x y - =的右焦点重 合, 抛物线的准线与x 轴的交点为K, 点A 在抛物线上且则△AFK 的面积为( ) (A)4 (B)8 (C)16 (D)32 解析:双曲线的右焦点为(4, 0), 抛物线的焦点为02p ?? ??? ，, 所以 2 p =4, 即p=8. 所以抛物线方程为y 2 =16x, 焦点F(4, 0), 准线方程为x=-4, 即K(-4, 0), 设A(x, y), 由于 ∴|y|=x+4, 又y 2 =16x, ∴(x+4)2 =16x, 即x=4. ∴A(4, ±8), S △AFK = 1 2 ×8×|y|=32.故选D. 答案:D 3.(2020北京海淀高三上期末)已知E(2, 2)是抛物线C:y 2 =2px 上一点, 经过点(2, 0)的直线l 与抛物线C 交于A, B 两点(不同于点E), 直线EA, EB 分别交直线x=-2于点M, N. (1)求抛物线方程及其焦点坐标; (2)已知O 为原点, 求证:∠MON 为定值. 解:(1)∵点E(2, 2)在抛物线y 2 =2px 上, ∴4=2p ×2, ∴p=1. ∴抛物线方程为y 2 =2x, 焦点坐标为1,02?? ??? . (2)显然, 直线l 斜率存在, 且不为0. 设l 斜率为k, 则l 方程为y=k(x-2). 由()2 2, 2. y k x y x ?=-?? =?? 得ky 2 -2y-4k=0, 设A 211,2y y ?? ???, B 222,2y y ?? ??? . 则y 1+y 2=2 k , y 1 ·y 2 =-4. ∵k EA = 121222y y --=12 12 42 y y --=122y +. ∴EA 方程为y-2= 12 2 y +(x-2). 令x=-2, 得y=2- 182y +=11242 y y -+. ∴M 11242, 2y y ?? -- ?+??. 同理可求得N 22242, 2y y ?? -- ?+? ? . ∴OM u u u u r ·ON u u u r =11242,2y y ??-- ?+??·22242,2y y ?? -- ?+?? =4+ ()() ()() 1212242422y y y y --++ =4+()()12121212481624 y y y y y y y y -+++++ =0 ∴OM u u u u r ⊥ON u u u r . 即∠MON=90°, ∴∠MON 为定值. 综合检测 1.(2020东北三校第二次联考)若抛物线y 2 =2px(p>0)上一点P 到焦点和抛物线的对称轴的距离分别为10和6, 则p 的值为( ) (A)2 (B)18 (C)2或18 (D)4或16 解析:设P(x 0 , y 0 ), 则002 0010,26,2,p x y y px ? +=?? =??=?? ∴36=2p 102p ?? - ??? , 即p 2 -20p+36=0. 解得p=2或18.故选C. 答案:C 3.(2020陕西五校联考)设动点P(x, y)(x ≥0)到定点F 1,02?? ??? 的距离比到y 轴的距离大 12.记点P 的轨 迹为曲线C. (1)求点P 的轨迹方程; (2)设圆M 过A(1, 0), 且圆心M 在P 的轨迹上, BD 是圆M 在y 轴上截得的弦, 当M 运动时弦长BD 是否为定值?说明理由; (3)过F 1,02?? ??? 作互相垂直的两直线交曲线C 于G 、H 、R 、S, 求四边形GRHS 面积的最小值. 解:(1)由题意知, 所求动点P(x, y)的轨迹为以F 1,02?? ??? 为焦点, 直线l:x=-12为准线的抛物线, 其 方程为y 2 =2x. (2)是定值.解法如下:设圆心M 2,2a a ?? ??? , 半径 圆的方程为2 22a x ?? - ? ??+(y-a)2 =a 2 +2 212a ?? - ? ?? , 令x=0, 得B(0, 1+a), D(0, -1+a), ∴BD=2, 即弦长BD 为定值. (3)设过F 的直线GH 的方程为y=k 12x ?? - ??? , G(x 1 , y 1 ), H(x 2 , y 2 ), 由21, 22, y k x y x ???=-? ?? ???=? 得k 2x 2 -(k 2 +2)x+24k =0, ∴x 1+x 2=1+2 2k , x 1x 2=14 , ∴ =2+ 2 2k , 同理得|RS|=2+2k 2 . S 四边形GRHS = 21222k ??+ ???(2+2k 2 )=22 212k k ??++ ??? ≥8(当且仅当k=±1时取等号). ∴四边形GRHS 面积的最小值为8. 2.(2020洛阳二模)已知抛物线y 2 =4x 的焦点为F, 过F 的直线与该抛物线相交于A(x 1, y 1)、B(x 2, y 2)两点, 则 21y +22y 的最小值是( ) (A)4 (B)8 (C)12 (D)16 解析:抛物线的准线方程为x=-1, ∴|AF|=x 1+1, |BF|=x 2+1, ∴ 21y +2 2y =4x 1 +4x 2 =4(|AF|+|BF|)-8=4|AB|-8. ∵|AB|的最小值为4(当AB ⊥x 轴时取得), ∴ 21y +22y 的最小值为8.故选B. 答案:B 最全高考数学统计专题解析版【真题】 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN 第十一章统计、统计案例 第一部分六年高考荟萃 2013年高考题 1 ．（2013年高考陕西卷（理））某单位有840名职工, 现采用系统抽样方法, 抽取 42人做问卷调查, 将840人按1, 2, , 840随机编号, 则抽取的42人中, 编号 落入区间[481, 720]的人数为（）A．11 B．12 C．13 D．14 2 ．（2013年普通高等学校招生统一考试安徽数学（理）试题（纯WORD版））某班级有 50名学生,其中有30名男生和20名女生,随机询问了该班五名男生和五名 女生在某次数学测验中的成绩,五名男生的成绩分别为86,94,88,92,90,五名 女生的成绩分别为88,93,93,88,93.下列说法一定正确的是（）A．这种抽样方法是一种分层抽样 B．这种抽样方法是一种系统抽样 C．这五名男生成绩的方差大于这五名女生成绩的方差 D．该班级男生成绩的平均数小于该班女生成绩的平均数 3 ．（2013年普通高等学校招生统一考试福建数学（理）试题（纯WORD版））某校从高 一年级学生中随机抽取部分学生,将他们的模块测试成绩分为6组:[40,50), [50,60), [60,70), [70,80), [80,90), [90,100)加以统计,得到如图所示的频率分布 直方图,已知高一年级共有学生600名,据此估计,该模块测试成绩不少于60 分的学生人数为（）A．588 B．480 C．450 D．120 4 ．（2013年高考江西卷（理））总体有编号为01,02,…,19,20的20个个体组成。利用下 面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字 7816 6572 0802 6314 0702 4369 9728 0198 3204 9234 4935 8200 3623 4869 6938 7481 ）A．08 B．07 C．02 D．01 5．（2013年高考上海卷（理））盒子中装有编号为1,2,3,4,5,6,7,8,9的九个球,从中任意取出两个,则这两个球的编号之积为偶数的概率是 ___________(结果用最简分数表示) 目录 目录-------------------------------------------------------------------------------------------------1抛物线大题专练（一）--------------------------------------------------------------------------------2抛物线大题专练（二）--------------------------------------------------------------------------------5抛物线大题专练（三）--------------------------------------------------------------------------------8抛物线大题专练---------------------------------------------------------------------------------------11参考答案与试题解析---------------------------------------------------------------------------------11 抛物线大题专练（一） 1．已知抛物线C的方程为x2=2py，设点M（x0，1）（x0＞0）在抛物线C上，且它到抛物线C的准线距离为； （1）求抛物线C的方程； （2）过点M作倾斜角互补的两条直线分别交抛物线C于A（x1，y1），B（x2，y2）两点（M、A、B三点互不相同）， 求当∠MAB为钝角时，点A的纵坐标y1的取值范围． 2．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y2=2px（p＞0）的准线方程为x=﹣，过点M（0，﹣2）作抛物线的切 线MA，切点为A（异于点O）．直线l过点M与抛物线交于两点B，C，与直线OA交于点N． （1）求抛物线的方程； （2）试问：的值是否为定值？若是，求出定值；若不是，说明理由． 统计和统计案例 1.该部分常考内容：样本数字特征的计算、各种统计图表、线性回归方程、独立性检验等；有时也会在知识交汇点处命题，如概率和统计交汇等. 2.从考查形式上来看，大部分为选择题、填空题，重在考查基础知识、基本技能，有时在知识交汇点处命题，也会出现解答题，都属于中低档题． 1． 随机抽样 (1)简单随机抽样特点为从总体中逐个抽取，适用范围：总体中的个体较少． (2)系统抽样特点是将总体均分成几部分，按事先确定的规则在各部分中抽取，适用范围：总体中的个体数较多． (3)分层抽样特点是将总体分成几层，分层进行抽取，适用范围：总体由差异明显的几部分组成． 2． 常用的统计图表 (1)频率分布直方图 ①小长方形的面积＝组距× 频率 组距 ＝频率； ②各小长方形的面积之和等于1； ③小长方形的高＝频率组距，所有小长方形的高的和为1 组距. (2)茎叶图 在样本数据较少时，用茎叶图表示数据的效果较好． 3． 用样本的数字特征估计总体的数字特征 (1)众数、中位数、平均数 数字特征 样本数据 频率分布直方图 众数 出现次数最多的数据 取最高的小长方形底边中点的横坐标 中位数 将数据按大小依次排列，处在最 中间位置的一个数据(或最中间两个数据的平均数) 把频率分布直方图划分左右两个面积相等的分界线和x 轴交点的横坐标 平均数 样本数据的算术平均数 每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和 (2)方差：s 2＝n [(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n －x )2 ]． 标准差： s ＝ 1n [ x 1－x 2 ＋x 2－x 2 ＋…＋x n －x 2 ]. 4． 变量的相关性和最小二乘法 (1)相关关系的概念、正相关和负相关、相关系数． (2)最小二乘法：对于给定的一组样本数据(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )，通过求Q ＝ i ＝1 n (y i －a －bx i )2 最小时，得到线性回归方程y ^ ＝b ^ x ＋a ^ 的方法叫做最小二乘法． 5． 独立性检验 对于取值分别是{x 1，x 2}和{y 1，y 2}的分类变量X 和Y ，其样本频数列联表是： y 1 y 2 总计 x 1 a b a ＋b x 2 c d c ＋d 总计 a ＋c b ＋d n 则K 2 ＝ n ad －bc 2a ＋b c ＋ d a ＋c b ＋d (其中n ＝a ＋b ＋c ＋d 为样本容量). 考点一 抽样方法 例1 (2012·山东)采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查，为此将他们随机编号为1,2，…，960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9.抽到的32人中，编号落入区间[1,450]的人做问卷A ，编号落入区间[451,750]的人做问卷B ，其余的人做问卷C .则抽到的人中，做问卷B 的人数为 ( ) A ．7 B ．9 C ．10 D ．15 答案 C 分析 由系统抽样的特点知：抽取号码的间隔为 960 32 ＝30，抽取的号码依次为9,39,69，…，939.落入区间[451,750]的有459,489，…，729，这些数构成首项为459，公差为30的等差数列，设有n 项，显然有729＝459＋(n －1)×30，解得n ＝10.所以做问卷B 的有10人． 在系统抽样的过程中，要注意分段间隔，需要抽取几个个体，样本就需要分 成几个组，则分段间隔即为N n (N 为样本容量)，首先确定在第一组中抽取的个体的号码数，再从后面的每组中按规则抽取每个个体．解决此类题目的关键是深刻理解各种抽样 1.【2015·新课标II】某公司为了解用户对其产品的满意度，从A，B两地区分别随机调查了20个用户，得到用户对产品的满意度评分如下： A地区：62 73 81 92 95 85 74 64 53 76 78 86 95 66 97 78 88 82 76 89 B地区：73 83 62 51 91 46 53 73 64 82 93 48 65 81 74 56 54 76 65 79 （Ⅰ）根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图，并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度（不要求计算出具体值，得出结论即可）； 价结果相互独立．根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求C的概率． 2.【2015·福建】某银行规定，一张银行卡若在一天内出现3次密码尝试错误，该银行卡将被锁定，小王到银行取钱时，发现自己忘记了银行卡的密码，但是可以确定该银行卡的正确密码是他常用的6个密码之一，小王决定从中不重复地随机选择1个进行尝试.若密码正确，则结束尝试；否则继续尝试，直至该银行卡被锁定. (Ⅰ)求当天小王的该银行卡被锁定的概率； (Ⅱ)设当天小王用该银行卡尝试密码次数为X，求X的分布列和数学期望． 3.【2015·山东】若n是一个三位正整数，且n的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字，则称n为“三位递增数”（如137,359,567等）.在某次数学趣味活动中，每位参加者需从所有的“三位递增数”中随机抽取1个数，且只能抽取一次.得分规则如下：若抽取的“三位递增数”的三个数字之积不能被5整除，参加者得0分；若能被5整除，但不能被10 分；若能被10整除，得1分. 整除，得1 （I）写出所有个位数字是5的“三位递增数” ； （II）若甲参加活动，求甲得分X的分布列和数学期望EX. 4.【2015·安徽】已知2件次品和3件正品放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束. （Ⅰ）求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率； （Ⅱ）已知每检测一件产品需要费用100元，设X表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所 需要的检测费用（单位：元），求X的分布列和均值（数学期望）. 抛物线 平面内与一个定点F 和一条定直线l(F ?l)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.点F 叫做抛物线的焦点，直线l 叫做抛物线的准线. 2.抛物线的标准方程与几何性质 标准方程 y 2＝2px (p>0) y 2＝－2px(p>0) x 2＝2py(p>0) x 2＝－2py(p>0) p 的几何意义：焦点F 到准线l 的距离 & 图形 顶点 O(0,0) 对称轴 y ＝0 x ＝0 $ 焦点 F ????p 2，0 F ??? ?－p 2，0 F ? ???0，p 2 F ??? ?0，－p 2 离心率 e ＝1 准线方程 x ＝－p 2 x ＝p 2 。 y ＝－p 2 y ＝p 2 范围 x ≥0，y ∈R x ≤0，y ∈R y ≥0，x ∈R y ≤0，x ∈R 开口方向 向右 向左 - 向上 向下 题型一 抛物线的定义及应用 例1 已知抛物线y 2＝2x 的焦点是F ，点P 是抛物线上的动点，又有点A(3,2)，求|PA|＋|PF|的最小值，并求出取最小值时点P 的坐标. 》 变式练习 1.已知点P是抛物线y2＝2x上的一个动点，则点P到点(0,2)的距离与点P到该抛物线准线的距离之和的最小值为() 题型二抛物线的标准方程和几何性质 例2抛物线的顶点在原点，对称轴为y轴，它与圆x2＋y2＝9相交，公共弦MN的长为25，求该抛物线的方程，并写出它的焦点坐标与准线方程. * 变式练习 2.设斜率为2的直线l过抛物线y2＝ax(a≠0)的焦点F，且和y轴交于点A.若△OAF(O为坐标原点)的面积为4，则抛物线方程为() ＝±4x ＝±8x ＝4x ＝8x 变式练习 3.已知点A(2,0)，抛物线C：x2＝4y的焦点为F，射线FA与抛物线C相交于点M，与其准线相交于点N，则|FM|∶|MN|等于() ∶ 5 ∶2 ∶ 5 ∶3 题型三抛物线焦点弦的性质 … 例3设抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，经过点F的直线交抛物线于A、B两点，点C在抛物线的准线上，且BC∥x轴.证明：直线AC经过原点O. ： （四十五） 抛 物 线 [小题对点练——点点落实] 对点练(一) 抛物线的定义及其应用 1．已知AB 是抛物线y 2＝8x 的一条焦点弦，|AB |＝16，则AB 中点C 的横坐标是( ) A ．3 B ．4 C ．6 D ．8 解析：选C 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝16，又p ＝4，所以x 1＋x 2 ＝12，所以点C 的横坐标是 x 1＋x 2 2 ＝6. 2．设抛物线y 2＝－12x 上一点P 到y 轴的距离是1，则点P 到该抛物线焦点的距离是( ) A ．3 B ．4 C ．7 D ．13 解析：选B 依题意，点P 到该抛物线的焦点的距离等于点P 到其准线x ＝3的距离，即等于3＋1＝4. 3．若抛物线y 2＝2x 上一点P 到准线的距离等于它到顶点的距离，则点P 的坐标为( ) A.????1 4，±22 B.????1 4，±1 C.????1 2 ，±22 D.??? ?12，±1 解析：选A 设抛物线的顶点为O ，焦点为F ，P (x P ，y P )，由抛物线的定义知，点P 到准线的距离即为点P 到焦点的距离，所以|PO |＝|PF |，过点P 作PM ⊥OF 于点M (图略)，则M 为OF 的中点，所以x P ＝14，代入y 2＝2x ，得y P ＝±22，所以P ????1 4 ，±22. 4．已知抛物线y 2 ＝2px 的焦点F 与双曲线x 27－y 2 9 ＝1的右焦点重合，抛物线的准线与x 轴的交点为K ，点A 在抛物线上，且|AK |＝2|AF |，则△AFK 的面积为( ) A ．4 B ．8 C ．16 D ．32 解析：选D 由题可知抛物线焦点坐标为F (4,0)．过点A 作直线AA ′垂直于抛物线的准线，垂足为A ′，根据抛物线定义知，|AA ′|＝|AF |，在△AA ′K 中，|AK |＝2|AA ′|，故∠KAA ′＝45°，所以直线AK 的倾斜角为45°，直线AK 的方程为y ＝x ＋4，代入抛物 §10.2统计及统计案例 考纲解读 分析解读 从近几年的高考试题来看,本部分在高考中的考查点如下:1.主要考查分层抽样的定义,频率分布直方图,平均数、方差的计算,识图能力及借助概率知识分析、解决问题的能力;2.在频率分布直方图中,注意小矩形的高=频率/组距,小矩形的面积为频率,所有小矩形的面积之和为1;3.分析两个变量间的相关关系,通过独立性检验判断两个变量是否相关.本节内容在高考中分值为17分左右,属中档题. (1)根据频率分布直方图可知,样本中分数不小于70的频率为(0.02+0.04)×10=0.6, 所以样本中分数小于70的频率为1-0.6=0.4. 所以从总体的400名学生中随机抽取一人,其分数小于70的概率估计为0.4. (2)根据题意,样本中分数不小于50的频率为(0.01+0.02+0.04+0.02)×10=0.9, 分数在区间[40,50)内的人数为100-100×0.9-5=5. 所以总体中分数在区间[40,50)内的人数估计为400× =20. (3)由题意可知,样本中分数不小于70的学生人数为(0.02+0.04)×10×100=60, 所以样本中分数不小于70的男生人数为60× =30. 所以样本中的男生人数为30×2=60,女生人数为100-60=40,男生和女生人数的比例为60∶40=3∶2. 所以根据分层抽样原理,总体中男生和女生人数的比例估计为3∶2. 五年高考 考点一 抽样方法 1.(2015北京,4,5分)某校老年、中年和青年教师的人数见下表.采用分层抽样的方法调查教师的身体状况,在抽取的样本中,青年教师有320人,则该样本中的老年教师人数为( ) 高考复习专题之：概率与统计 一、概率：随机事件A 的概率是频率的稳定值，反之，频率是概率的近似值. １．随机事件A 的概率0()1P A ≤≤，其中当()1P A =时称为必然事件；当()0P A =时称为不可能事件P(A)=0； 注：求随机概率的三种方法： （一）枚举法 例1如图1所示，有一电路AB 是由图示的开关控制，闭合a ，b ，c ， d ， e 五个开关中的任意两个开关，使电路形成通路．则使电路形成通 路的概率是 ． 分析：要计算使电路形成通路的概率，列举出闭合五个开关中的任意 两个可能出现的结果总数，从中找出能使电路形成通路的结果数，根据概率的意义计算即可。 解：闭合五个开关中的两个，可能出现的结果数有10种，分别是a b 、a c 、a d 、a e 、bc 、bd 、be 、cd 、ce 、de ，其中能形成通路的有6种，所以p(通路)= 106=5 3 评注:枚举法是求概率的一种重要方法,这种方法一般应用于可能出现的结果比较少的事件的概率计算. （二）树形图法 例2小刚和小明两位同学玩一种游戏．游戏规则为：两人各执“象、虎、鼠”三张牌，同时各出一张牌定胜负，其中象胜虎、虎胜鼠、鼠胜象，若两人所出牌相同，则为平局．例如，小刚出象牌，小明出虎牌，则小刚胜；又如， 两人同时出象牌，则两人平局．如果用A 、B 、C 分别表示小刚的象、虎、鼠三张牌，用A 1、B 1、C 1分别表示小明 的象、虎、鼠三张牌，那么一次出牌小刚胜小明的概率是多少？ 分析：为了清楚地看出小亮胜小刚的概率，可用树状图列出所有可能出现的结果，并从中找出小刚胜小明可能出现的结果数。 解：画树状图如图树状图。由树状图（树形图）或列表可知，可能出现的结果有9种，而且每种结果出现的可能性相同，其中小刚胜小明的结果有3种．所以P （一次出牌小刚胜小明）= 31 点评:当一事件要涉及两个或更多的因素时，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通过画树形图的方法来计算概率 （三）列表法 例3将图中的三张扑克牌背面朝上放在桌面上，从中随机摸出两张，并用这两张扑克牌上的数字组成一个两位数．请你用画树形（状）图或列表的方法求：（1）组成的两位数是偶数的概率；（2）组成的两位数是6的倍数的概率． 分析：本题可通过列表的方法，列出所有可能组成的两位数的可能情况，然后再找出组成的两位数是偶数的可能情况和组成两位数 抛物线经典结论和例题 方程 1. 直线与抛物线的位置关系 直线 ，抛物线 ， ，消y 得： （1）当k=0时，直线l 与抛物线的对称轴平行，有一个交点； （2）当k ≠0时， Δ＞0，直线l 与抛物线相交，两个不同交点； Δ=0， 直线l 与抛物线相切，一个切点； Δ＜0，直线l 与抛物线相离，无公共点。 （3）若直线与抛物线只有一个公共点,则直线与抛物线必相切吗?（不一定） 2. 关于直线与抛物线的位置关系问题常用处理方法 直线l ：b kx y += 抛物线 ，)0(φp ① 联立方程法： ???=+=px y b kx y 22 ?0)(2222=+-+b x p kb x k 设交点坐标为),(11y x A ,),(22y x B ，则有0φ?,以及2121,x x x x +，还可进一步求出 b x x k b kx b kx y y 2)(212121++=+++=+， 2212122121)())((b x x kb x x k b kx b kx y y +++=++= 在涉及弦长，中点，对称，面积等问题时，常用此法，比如 a. 相交弦AB 的弦长 2122122124)(11x x x x k x x k AB -++=-+=a k ?+=2 1 或 2122122124)(1111y y y y k y y k AB -++=-+ =a k ?+=2 1 b. 中点),(00y x M , 2210x x x += ， 2 2 10y y y += ② 点差法： 设交点坐标为),(11y x A ，),(22y x B ，代入抛物线方程，得 1212px y = 22 22px y = 将两式相减，可得 )(2))((212121x x p y y y y -=+-所以 2 121212y y p x x y y += -- a. 在涉及斜率问题时，2 12y y p k AB += b. 在涉及中点轨迹问题时，设线段AB 的中点为),(00y x M ， 021*******y p y p y y p x x y y ==+=--，即0y p k AB =， 同理，对于抛物线)0(22≠=p py x ，若直线l 与抛物线相交于B A 、两点，点 ),(00y x M 是弦AB 的中点，则有p x p x p x x k AB 0 021222==+= （注意能用这个公式的条件：1）直线与抛物线有两个不同的交点，2）直线的斜率存在，且不等于零） 一、抛物线的定义及其应用 专题10.2 统计与统计案例 一、填空题：请把答案直接填写在答题卡相应的位置．．．．．．．． 上(共10题，每小题6分，共计60分)． 1.交通部门对某路段公路上行驶的汽车速度实施监控，从速度在 的汽车中抽取150辆进行分析，得到数据的频率分布直方图如图所示，则速度在 以下的汽车有辆． ） 【答案】75 2.某校高一年级有学生人，高二年级有学生人，现采用分层抽样的方法从全校学生中抽出人，其中从高一年级学生中抽出人，则从高三年级学生中抽取的人数为 ▲ . 【答案】17 【解析】高一高二人数之比为10:9，因此高二抽出的人数为18人，高三抽出的人数为55-20-18=17人 3.若一组样本数据9，8，x ，10，11的平均数为10，则该组样本数据的方差为▲． 【答案】2 【解析】由题意得，因此方差为 4.某校共有教师200人，男学生800人，女学生600人，现用分层抽样的方法从所有师生中抽取一个容量为的样本，已知从男学生中抽取的人数为100人，那么 ▲ ． 【答案】200 【解析】男学生占全校总人数，那么 5.从某校高三年级随机抽取一个班，对该班50名学生的高校招生体检表中的视力情况进行统计，其频率分布直方图如图所示。若某高校A 专业对视力的要求在0.9以上，则该班学生中能报A 专业的人数为. 【答案】20 【解析】根据频率分布直方图，得视力在0.9以上的频率为（1.00+0.75+0.25）×0.2=0.4， ∴该班学生中能报A专业的人数为50×0.4=20. 6.某单位200名职工的年龄分布情况如图，现要从中抽取40名职工作样本．用系统抽样法，将全体职工随机按1～200编号，并按编号顺序平均分为40组(1～5号，6～10号，…，196～200号)．若第5组抽出的号码为22，则第8组抽出的号码应是________．若用分层抽样方法，则40岁以下年龄段应抽取________人． 【答案】37，20 7.下图是2014年在怀化市举行的演讲比赛，七位评委为第一位演讲者打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数与方差分别为. 【答案】， 【解析】去掉一个最高分和一个最低分之后，剩余的五个数据依次是、、、、，平均数为 第三节 抛物线 高考试题 考点一 抛物线的定义和标准方程 1.(2010年陕西卷,理8)已知抛物线y 2 =2px(p>0)的准线与圆x 2 +y 2 -6x-7=0相切,则p 的值为( ) (A) 12 (B)1 (C)2 (D)4 解析:圆x 2 +y 2 -6x-7=0化为标准方程为(x-3)2 +y 2 =16,∴圆心为(3,0),半径是4, 抛物线y 2 =2px(p>0)的准线是x=-2 p , ∴3+ 2 p =4, 又p>0,解得p=2.故选C. 答案:C 2.(2011年辽宁卷,理3)已知F 是抛物线y 2 =x 的焦点,A,B 是该抛物线上的两点,|AF|+|BF|=3,则线段AB 的中点到y 轴的距离为( ) (A) 34 (B)1 (C) 54 (D) 74 解析:∵|AF|+|BF|=x A +x B +12 =3, ∴x A +x B = 52 . ∴线段AB 的中点到y 轴的距离为2 A B x x += 54 .故选C. 故选C. 答案:C 3.(2012年四川卷,理8)已知抛物线关于x 轴对称,它的顶点在坐标原点O,并且经过点M(2,y 0).若点M 到该抛物线焦点的距离为3,则|OM|等于( ) (C)4 解析:由题意设抛物线方程为y 2 =2px(p>0),则M 到焦点的距离为x M + 2p =2+2 p =3,∴p=2,∴y 2 =4x.∴ 2 y =4×2,∴故选B. 答案:B 4.(2010年上海卷,理3)动点P 到点F(2,0)的距离与它到直线x+2=0的距离相等,则点P 的轨迹方程是 . 解析:由抛物线的定义知,点P 的轨迹是以F 为焦点,定直线x+2=0为准线的抛物线,故其标准方程为y 2 =8x. 答案:y 2 =8x 5.(2012年陕西卷,理13)如图所示是抛物线形拱桥,当水面在l 时,拱顶离水面2 m,水面宽4 m.水位下降 1 m 后,水面宽 m. 高考数学统计与统计案例1．小吴一星期的总开支分布如图 1 所示，一星期的食品开支如图 2 所示，则小吴一星期的鸡蛋开支占总开支的百分比为() A．1%B．2%C．3%D．5% C[ 由图 1 所示，食品开支占总开支的 30%，由图 2 所示，鸡蛋开支占食 品开支的30 ＝ 1 ， 30＋40＋100＋80＋ 50 10 1 ∴鸡蛋开支占总开支的百分比为30%×10＝3%.故选 C.] 2．(2019 德·州模拟 )某人到甲、乙两市各7 个小区调查空置房情况，调查得到的小区空置房的套数绘成了如图所示的茎叶图，则调查中甲市空置房套数的中位数与乙市空置房套数的中位数之差为() A．4B． 3C．2D．1 B[ 由茎叶图可以看出甲、乙两市的空置房的套数的中位数分别是79,76，因此其差是 79－ 76＝3，故选 B.] 3．某工厂对一批新产品的长度(单位： mm)进行检测，如图是检测结果的频 率分布直方，据此估批品的中位数() A．20B． 25C．22.5D．22.75 C[ 品的中位数出在概率是 0.5 的地方 . 自左至右各小矩形面依次 0.1,0.2,0.4，??，中位数是 x，由 0.1＋0.2＋0.08 ·(x－20)＝0.5，得 x＝ 22.5， 故 C.] 4．(2019 ·三明模 )在某次高中数学中，随机抽取 90 名考生，其分数如所示，若所得分数的平均数，众数，中位数分 a， b， c， a，b，c 的大 小关系 () A．b 11 12 13 3 5 7 2 2 4 6 9 1 5 5 7 图1 统计与概率专题 一、知识点 1、随机抽样：系统抽样、简单随机抽样、分层抽样 1、用简单随机抽样从100名学生（男生25人）中抽选20人进行评教，某男生被抽到的概率是( ) A ． 1001 B ．251 C ．5 1 D ． 5 1 2、为了解1200名学生对学校教改试验的意见，打算从中抽取一个容量为30的样本，考虑采用系统抽样，则分段的间隔k 为( ) A ．40 B ．30 C ．20 D ．12 3、某单位有职工160人，其中业务员有104人，管理人员32人，后勤服务人员24人，现用分层抽样法从中抽取一容量为20的样本，则抽取管理人员( ) A ．3人 B ．4人 C ．7人 D ．12人 2、古典概型与几何概型 1、一枚硬币连掷3次，只有一次出现正面的概率是( ) A ．83 B ．32 C ．31 D ．4 1 2、如图所示，在正方形区域任意投掷一枚钉子，假设区域内每一点被投中的可能性相等，那么钉子投进阴影区域的概率为____________． 3、线性回归方程 用最小二乘法求线性回归方程系数公式1 2 211 ???n i i i n i x y nx y b a y bx x nx ==-==--∑∑，． 二、巩固练习 1、随机抽取某中学12位高三同学，调查他们春节期间购书费用（单位：元），获得数据的茎叶图如图1， 这12位同学购书的平均费用是（ ） A.125元 B.5.125元 C.126元 D.5.126元 2、200辆汽车通过某一段公路时的时速频率分布直方图如图所示，时速在[50,60) 的汽车大约有（ ） A .30辆 B . 40辆 C .60辆 D .80辆 3、某校有高级教师26人，中级教师104人，其他教师若干人．为了了解该校教师 的工资收入情况，若按分层抽样从该校的所有教师中抽取56人进行调查，已知从其 他教师中共抽取了16人，则该校共有教师 ______人． 4、执行下边的程序框图，若0.8p =，则输出的n = ． 0.04 0.030.020.01频率 组距时速8070605040开始 10n S ==， S p 专题突破练20 统计与统计案例 1.(2019四川成都二模,理18)为了让税收政策更好地为社会发展服务,国家在修订《中华人民共和国个人所得税法》之后,发布了《个人所得税专项附加扣除暂行办法》,明确“专项附加扣除”就 是子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息、住房租金、赡养老人等费用,并公布了相应的定额扣除标准,决定自2019年1月1日起施行.某企业为了调查内部职员对新个税方案的满意程度与年龄的关系,通过问卷调查,整理数据得如下2×2列联表: (1)根据列联表,能否有99%的把握认为满意程度与年龄有关? (2)为了帮助年龄在40岁以下的未购房的8名员工解决实际困难,该企业拟按员工贡献积分x(单位:分)给予相应的住房补贴y(单位:元),现有两种补贴方案,方案甲:y=1 000+700x;方案 乙:y=已知这8名员工的贡献积分为2分,3分,6分,7分,7分,11分,12分,12分,将采用方案甲比采用方案乙获得更多补贴的员工记为“A类员工”.为了解员工对补贴方案的认可度,现从这8名员工中随机抽取4名进行面谈,求恰好抽到3名“A类员工”的概率. 附:K2=-,其中n=a+b+c+d. 参考数据: 2.下图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额y(单位:亿元)的折线图. 为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额,建立了y与时间变量t的两个线性回归模型.根据2000年至2016年的数据(时间变量t的值依次为 … 7 建立模型①;=-30.4+13.5t;根据2010年至2016年的数据(时间变量t的值依次为 … 7 建立模型②:=99+17.5t. (1)分别利用这两个模型,求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值; (2)你认为用哪个模型得到的预测值更可靠?并说明理由. 2021年新高考数学总复习第九章《平面解析几何》 抛物线 1．抛物线的概念 平面内与一个定点F 和一条定直线l (l 不经过点F )的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F 叫做抛物线的焦点，直线l 叫做抛物线的准线． 2．抛物线的标准方程与几何性质 标准方程 y 2＝2px (p >0) y 2＝－2px (p >0) x 2＝2py (p >0) x 2＝－2py (p >0) p 的几何意义：焦点F 到准线l 的距离 图形 顶点坐标 O (0,0) 对称轴 x 轴 y 轴 焦点坐标 F ????p 2，0 F ??? ?－p 2，0 F ????0，p 2 F ????0，－p 2 离心率 e ＝1 准线方程 x ＝－p 2 x ＝p 2 y ＝－p 2 y ＝p 2 范围 x ≥0，y ∈R x ≤0，y ∈R y ≥0，x ∈R y ≤0，x ∈R 开口方向 向右 向左 向上 向下 概念方法微思考 1．若抛物线定义中定点F 在定直线l 上时，动点的轨迹是什么图形？ 提示 过点F 且与l 垂直的直线． 2．直线与抛物线只有一个交点是直线与抛物线相切的什么条件？ 提示 直线与抛物线的对称轴平行时，只有一个交点，但不是相切，所以直线与抛物线只有一个交点是直线与抛物线相切的必要不充分条件． 题组一 思考辨析 1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹一定是抛物线．( × ) (2)方程y ＝ax 2(a ≠0)表示的曲线是焦点在x 轴上的抛物线，且其焦点坐标是???? a 4，0，准线方程是x ＝－a 4 .( × ) (3)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形．( × ) (4)AB 为抛物线 y 2＝2px (p >0)的过焦点 F ????p 2，0的弦，若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1x 2＝p 2 4 ，y 1y 2＝－p 2，弦长|AB |＝x 1＋x 2＋p .( √ ) (5)过抛物线的焦点与抛物线对称轴垂直的直线被抛物线截得的线段叫做抛物线的通径，那么抛物线x 2＝－2ay (a >0)的通径长为2a .( √ ) 题组二 教材改编 2．过抛物线y 2＝4x 的焦点的直线l 交抛物线于P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)两点，如果x 1＋x 2＝6，则|PQ |等于( ) A ．9 B ．8 C ．7 D ．6 答案 B 解析 抛物线y 2＝4x 的焦点为F (1,0)，准线方程为x ＝－1.根据题意可得，|PQ |＝|PF |＋|QF |＝x 1＋1＋x 2＋1＝x 1＋x 2＋2＝8. 3．已知抛物线的顶点是原点，对称轴为坐标轴，并且经过点P (－2，－4)，则该抛物线的标准方程为____________________． 答案 y 2＝－8x 或x 2＝－y 解析 设抛物线方程为y 2＝mx (m ≠0)或x 2＝my (m ≠0)． 将P (－2，－4)代入，分别得方程为y 2＝－8x 或x 2＝－y . 4．若抛物线y 2＝4x 的准线为l ，P 是抛物线上任意一点，则P 到准线l 的距离与P 到直线3x ＋4y ＋7＝0的距离之和的最小值是( ) 2017年高考数学—概率统计（解答+答案） 1.（17全国1理19．（12分）） 为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸（单位：cm ）．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布2 (,)N μσ． （1）假设生产状态正常，记X 表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在(3,3)μσμσ-+之外的零件数，求(1)P X ≥及X 的数学期望； （2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在(3,3)μσμσ-+之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查． （ⅰ）试说明上述监控生产过程方法的合理性； （ⅱ）下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸： 0.212≈，其中i x 为抽取的第i 个零件的尺寸，1,2,,16i =???． 用样本平均数x 作为μ的估计值?μ ，用样本标准差s 作为σ的估计值?σ，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除????(3,3)μ σμσ-+之外的数据，用剩下的数据估计μ和σ（精确到0.01）． 附：若随机变量Z 服从正态分布2 (,)N μσ，则(33)0.997 4P Z μσμσ-<<+=， 160.997 40.959 2=0.09≈． 2.（17全国1文19．（12分）） 为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每隔30 min 从该生产线上随机抽取一个零件，并测量其尺寸（单位：cm ）．下面是检验员在一天内依次抽取的16个零件的尺寸： 经计算得16119.9716i i x x ===∑，0.212 s ==≈，18.439≈，16 1 ()(8.5) 2.78i i x x i =--=-∑， 其中i x 为抽取的第i 个零件的尺寸，1,2,,16i =???． （1）求(,)i x i (1,2,,16)i =???的相关系数r ，并回答是否可以认为这一天生产的零件尺 寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小（若||0.25r <，则可以认为零件的尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小）． （2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在(3,3)x s x s -+之外的零件，就认为这条 生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查． （ⅰ）从这一天抽检的结果看，是否需对当天的生产过程进行检查？ （ⅱ）在(3,3)x s x s -+之外的数据称为离群值，试剔除离群值，估计这条生产 线当天生产的零件尺寸的均值与标准差．（精确到0.01） 附：样本(,)i i x y (1,2,,)i n =???的相关系数()() n i i x x y y r --= ∑， 0.09≈． 高考数学-抛物线 抛 物 线 ) 0(22>=p px y )0(22>-=p px y ) 0(22>=p py x )0(22>-=p py x 定义 平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点F 叫做抛物线的焦点，直线l 叫做抛物线的准线。 {MF M =点M 到直线l 的距离} 范围 0,x y R ≥∈ 0,x y R ≤∈ ,0x R y ∈≥ ,0x R y ∈≤ 对称性 关于x 轴对称 关于y 轴对称 焦点 (2 p ,0) (2 p - ,0) (0, 2 p ) (0,2 p - ) 焦点在对称轴上 顶点 (0,0)O 离心率 e =1 准线 方程 2 p x - = 2 p x = 2 p y - = 2 p y = 准线与焦点位于顶点两侧且到顶点的距离相等。 顶点到准线的距离 2 p 焦点到准线的距离 p 焦半径 11(,)A x y 12 p AF x =+ 12 p AF x =-+ 12 p AF y =+ 12 p AF y =-+ 1. 直线 ，抛物线 ， ，消y 得： （1）当k=0时，直线l 与抛物线的对称轴平行，有一个交点； （2）当k ≠0时， Δ＞0，直线l 与抛物线相交，有两不同交点； Δ=0， 直线l 与抛物线相切，有一个切点； Δ＜0，直线l 与抛物线相离，无公共点。 x y O l F x y O l F l F x y O x y O l F （3）若直线与抛物线只有一个公共点,则直线与抛物线必相切吗?（不一定） 2. 关于直线与抛物线的位置关系问题常用处理方法 直线l ：b kx y += 抛物线 ，)0(φp ① 联立方程法： ???=+=px y b kx y 22 ?0)(2222=+-+b x p kb x k 设交点坐标为),(11y x A ,),(22y x B ，则有0φ?,以及2121,x x x x +，还可进一步求出 b x x k b kx b kx y y 2)(212121++=+++=+，2212122121)())((b x x kb x x k b kx b kx y y +++=++= 在涉及弦长，中点，对称，面积等问题时，常用此法，比如 a. 相交弦AB 的弦长 2 12 212 212 4)(11x x x x k x x k AB -++=-+=a k ? +=2 1 或 212 2122124)(1111y y y y k y y k AB -++=-+ =a k ?+=2 1 b. 中点坐标 ),(00y x M , 2210x x x += ， 2 2 10y y y += ② 点差法： 设交点坐标为),(11y x A ，),(22y x B ，代入抛物线方程，得 12 12px y = 22 22px y = 将两式相减，可得 )(2))((212121x x p y y y y -=+- 2 121212y y p x x y y += -- a. 在涉及斜率问题时，2 12y y p k AB += b. 在涉及中点轨迹问题时，设线段AB 的中点 为),(00y x M ， 021*******y p y p y y p x x y y ==+=--， 即0 y p k AB = ， 同理，对于抛物线)0(22≠=p py x ，若直线l 与抛物线相交于B A 、两点，点),(00y x M 是弦AB 的中点，则有p x p x p x x k AB 0 021222==+= （注意能用这个公式的条件：1）直线与抛物线有两个不同的交点，2）直线的斜率存在，且不等于零） 高考数学试题分类汇编 圆锥曲线 一． 选择题： 1.（福建卷11)又曲线22 221x y a b ==（a ＞0,b ＞0）的两个焦点为F 1、 F 2,若P 为其上一点，且|PF 1|=2|PF 2|,则双曲线离心率的取值范围为B A.(1,3) B.(]1,3 C.(3,+∞) D.[)3,+∞ 2.（海南卷11）已知点P 在抛物线y 2 = 4x 上，那么点P 到点Q （2， －1）的距离及点P 到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P 的坐标为（ A ） A. （41，－1） B. （4 1，1） C. （1，2） D. （1，－2） 3.(湖北卷10)如图所示，“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点P 轨进入以月球球心F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在P 点第二次变轨进入仍以F 为一个焦点 的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行，最终卫星在P 点第三次变轨进入以F 为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月飞行，若用12c 和22c 分别表示椭轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用12a 和22a 分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴的长，给出下列式子： ①1122a c a c +=+; ②1122a c a c -=-; ③1212c a a c >; ④11 c a ＜ 2 2 c a . 其中正确式子的序号是B A. ①③ B. ②③ C. ①④ D. ②④ 4.（湖南卷8）若双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）上横坐标为32 a 的点 到右焦点的距离大于它到左准线的距离，则双曲线离心率的取值范围是( B ) A.(1,2) B.(2,+∞) C.(1,5) D. (5,+∞) 5.（江西卷7）已知1F 、2F 是椭圆的两个焦点，满足120MF MF ?=的点M 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是C A ．(0,1) B ．1 (0,]2 C ． D ． 6.（辽宁卷10）已知点P 是抛物线22y x =上的一个动点，则点P 到点（0，2）的距离及P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为（ A ） A B ．3 C D ．9 2 7.（全国二9）设1a >，则双曲线22 22 1(1)x y a a - =+的离心率e 的取值范围是（ B ） A ． B ． C ．(25)， D ．(2 8.（山东卷(10)设椭圆C 1的离心率为 13 5 ，焦点在X 轴上且长轴长为26.若曲线C 2上的点到椭圆C 1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8， A B C D -最全高考数学统计专题解析版【真题】
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