2017年高考数学分类题库12

考点20 数系的扩充与复数的引入

一、选择题

1.(2017·全国乙卷理科·T3)设有下面四个命题

p1:若复数z满足错误!未找到引用源。∈R,则z∈R;

p2:若复数z满足z2∈R,则z∈R;

p3:若复数z1,z2满足z1z2∈R,则z1=错误!未找到引用源。;

p4:若复数z∈R,则错误!未找到引用源。∈R.

其中的真命题为()

A.p1,p3

B.p1,p4

C.p2,p3

D.p2,p4

【命题意图】主要考查复数的运算及性质,突出考查考生的分析和判断能力.

【解析】选B.p1:设z=a+bi(a,b∈R),则错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。∈R,得到b=0,所以z∈R.故p1正确;

p2:若z2=-1,满足z2∈R,而z=i,不满足z∈R,故p2不正确;

p3:若z1=1,z2=2,则z1z2=2,满足z1z2∈R,而它们实部不相等,不是共轭复数,故p3不正确; p4:实数的共轭复数是它本身,也是实数,故p4正确.故选B.

2.(2017·全国乙卷文科·T3)下列各式的运算结果为纯虚数的是()

A.i(1+i)2

B.i2(1-i)

C.(1+i)2

D.i(1+i)

【命题意图】本题主要考查复数的概念及复数的基本运算.

【解析】选C.由(1+i)2=2i为纯虚数知选C.

3.(2017·北京高考文科·T2)同(2017·北京高考理科·T2)若复数(1-i)(a+i)在复平面内对应的点在第二象限,则实数a的取值范围是()

A.(-∞,1)

B.(-∞,-1)

C.(1,+∞)

D.(-1,+∞)

【命题意图】本题主要考查复数的乘法运算.意在培养学生的计算能力与数形结合能力.【解析】选B.(1-i)(a+i)=a+i-ai-i2=a+1+(1-a)i,

因为该复数对应的点在第二象限,

所以错误!未找到引用源。

10

10

a

a

+<

?

?

->

?

a<-1.

【答题技巧】利用复数的几何意义求字母范围的技巧,先运算出复数的代数形式,再利用复数所在的象限,判断实部与虚部的范围.

4.(2017·全国丙卷·理科·T2)设复数z满足(1+i)z=2i,则∣z∣=()

A.错误!未找到引用源。

B.错误!未找到引用源。

C.错误!未找到引用源。

D.2

【命题意图】本题考查复数的运算及复数求模,考查学生的计算能力.

【解析】选C.由题意知:z=错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。=i+1,

则|z|=错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。.

5.(2017·全国甲卷理科·T1)错误!未找到引用源。=()

A.1+2i

B.1-2i

C.2+i

D.2-i

【命题意图】有关复数的除法与乘法的运算,意在考查学生的运算能力以及分母实数化的转化.

【解析】选D.3i

1i

+

+

=

(3i)(1i)

2

+-

=2-i.

6.(2017·全国甲卷文·T2)(1+i)(2+i)=()

A.1-i

B.1+3i

C.3+i

D.3+3i

【命题意图】复数的基本运算,意在考查学生的运算能力.

【解析】选B.由题意(1+i)(2+i)=2+3i+i2=1+3i.

7.(2017·全国丙卷·文科·T2)复平面内表示复数z=i(-2+i)的点位于()

A.第一象限

B.第二象限

C.第三象限

D.第四象限

【命题意图】本题考查复数的运算.

【解析】选C.由题意知:z=-1-2i.

8.(2017·北京高考理科·T2)若复数(1-i)(a+i)在复平面内对应的点在第二象限,则实数a的取值范围是()

A.(-∞,1)

B.(-∞,-1)

C.(1,+∞)

D.(-1,+∞)

【命题意图】本题主要考查复数的乘法运算.意在培养学生的计算能力与数形结合能力.【解析】选B.(1-i)(a+i)=a+i-ai-i2=a+1+(1-a)i,因为该复数对应的点在第二象限,所以错误!未找到引用源。所以a<-1.

【答题技巧】利用复数的几何意义求字母范围的技巧,先运算出复数的代数形式,再利用复数所在的象限,判断实部与虚部的范围.

9.(2017·山东高考理科·T2)已知a∈R,i是虚数单位,若·z=4,则a=()

A.1或-1

B.错误!未找到引用源。或-错误!未找到引用源。

C.-错误!未找到引用源。

D.错误!未找到引用源。

【命题意图】本题考查复数的有关概念与复数的运算,意在考查考生的运算求解能力、转化与化归的能力.

【解析】选A.因为z=a+所以z=a-i,

则z·错误!未找到引用源。=(a+错误!未找到引用源。i)(a-错误!未找到引用源。i)=a2+3=4,解得a=1或-1.

【光速解题】选A.z ·z =|z|2=a 2+3=4,所以a=1或-1.

10.(2017·山东高考文科·T2)已知i 是虚数单位,若复数满足zi=1+i,则z 2= ( )

A.-2i

B.2i

C.-2

D.2

【命题意图】本题考查复数的运算,意在考查考生的运算求解能力.

【解析】选A.z=

1i i +=()21i i i

+=1-i,则z 2=(1-i)2=1-2i+i 2=-2i. 二、填空题

11.(2017·天津高考理科·T9)同(2017·天津高考文科·T9)已知a ∈R ,i 为虚数单位,若错误!未找到引用源。为实数,则a 的值为 .

【命题意图】考查复数的实部、虚部.

【解析】错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。

-错误!未找到引用源。i 为实数,

则错误!未找到引用源。=0,a=-2.

答案:-2

【光速解题】抛开常规解法,要使2a i i -+为实数,只有将“错误!未找到引用源。”中分母约去,使化简后的式子不含“i ”,因此分子必须“含有”分母,即分子为-(2+i),所以a=-2.在这种思维的支配下,应该一眼看出答案来!

12.(2017·江苏高考·T2)已知复数z=(1+i)(1+2i),其中i 是虚数单位,则z 的模是 .

【命题意图】考查复数的基本运算.

【解析】()()112112z i i i i =++=++==故答案为错误!未找到引用源。. 答案:错误!未找到引用源。

【反思总结】对于复数的四则运算,要切实掌握其运算技巧和常规思路,如(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i,(a,b,c,d ∈R ).其次要熟悉复数相关基本概念,如复数

a+bi(a,b∈R)的实部为a、虚部为b、模为错误!未找到引用源。、对应点为(a,b)、共轭复数为a-bi.

13.(2017·浙江高考·T12)已知a,b∈R,(a+bi)2=3+4i(i是虚数单位)则a2+b2=,ab=.

【命题意图】本题主要考查复数的四则运算问题.

【解析】由(a+bi)2=3+4i可知错误!未找到引用源。解得a2=4,b2=1,所以a2+b2=5.

答案:5 2

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