立体几何最值

立体几何最值

A、

B、

C、D四点，若AB=CD=2,则四面体ABCD的体积的最大值为

____________2、半径为4的球面上有A,B,C,D四点，且满足ABAC，ACAD,ADAB，则的最大值为____________3、某几何体的一条棱长为，在该几何体的正视图中，这条棱的投影是长为的线段，在该几何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为和的线段，则的最大值为（）

A、

B、

C、4

D、4、在单位正方体ABCD-A的面对角线A上存在一点P使得AP+最短，则AP+的最小值为____________SDCQBAPO5、在正四棱锥S-ABCD中，SO⊥平面ABCD于O，SO=2，底面边长为，点P、Q分别在线段B

D、SC上移动，则P、Q两点的最短距离为（）

A、

B、

C、2

D、

16、如图已知在中，，PA⊥平面ABC，AE⊥PB交PB于E，AF⊥PC于F，当AP=AB=2，，当变化时，三棱锥P-AEF体积的最大值为____________7、（xx?江西）如图，四棱锥P﹣ABCD中，ABCD为矩形，平面PAD⊥平面ABCD．（1）求证：AB⊥PD；（2）若∠BPC=90，PB=，PC=2，问AB为何值时，四棱锥P﹣ABCD的体积最大？并求此时平面BPC与平面DPC夹角的余弦值．8、棱长为的正四面体内切一球，然后再正四面体和该球形成的空隙处各放一个小球，则这些小球的最大半径为__________

立体几何中的截面(解析版)

专题13 立体几何中的截面 【基本知识】 1．截面定义：在立体几何中，截面是指用一个平面去截一个几何体（包括圆柱，圆锥，球，棱柱，棱锥、长方体，正方体等等），得到的平面图形，叫截面。其次，我们要清楚立体图形的截面方式，总共有三种，分别为横截、竖截、斜截。最后，我们要了解每一种立体图形通过上述三种截面方式所得到的截面图有哪些。 2、正六面体的基本斜截面： 3、圆柱体的基本截面：正六面体斜截面是不会出现以下几种图形：直角三角形、钝角三角形、直角梯形、正五边形。 【基本技能】

技能1.结合线、面平行的判定定理与性质性质求截面问题； 技能2.结合线、面垂直的判定定理与性质定理求正方体中截面问题； 技能3.猜想法求最值问题：要灵活运用一些特殊图形与几何体的特征，“动中找静”：如正三角形、正六边形、正三棱锥等； 技能4.建立函数模型求最值问题：①设元②建立二次函数模型③求最值。 例1 一个正方体内接于一个球，过这个球的球心作一平面，则截面图形不可能 ．．． 是（） 分析考虑过球心的平面在转动过中，平面在球的内接正方体上截得的截面不可能是大圆的内接正方形，故选D。 例2 如图，在透明的塑料制成的长方体ABCD-A1B1C1D1容器内灌进一些水，固定容器底面一边BC于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜程度的不同，有下列四个命题： ①水的部分始终呈棱柱状； ②水面EFGH的面积不改变； ③棱A1D1始终与水面EFGH平行； ④当容器倾斜到如图5（2）时，BE·BF是定值； 其中正确的命题序号是______________ A C B D

分析 当长方体容器绕BC 边转动时，盛水部分的几何体始终满足棱柱定义，故①正确；在转动过程中EH//FG ，但EH 与FG 的距离EF 在变，所以水面EFGH 的面积在改变，故②错误；在转动过程中，始终有BC//FG//A 1D 1，所以A 1D 1//面EFGH ，③正确；当容器转动到水部分呈直三棱柱时如图5（2），因为 BC BF BE V ??= 2 1 水是定值，又BC 是定值，所以BE ·BF 是定值，即④正确。所以正确的序号为①③④. 例3 有一容积为1 立方单位的正方体容器ABCD-A 1B 1C 1D 1，在棱AB 、BB 1及对角线B 1C 的中点各有一小孔E 、F 、G ，若此容器可以任意放置，则该容器可装水的最大容积是（ ） A ． 21 B ．87 C ．12 11 D ．4847 分析 本题很容易认为当水面是过E 、F 、G 三点的截面时容器可装水的容积最大图（1），最大值为 8 7 12121211=???- =V 立方单位,这是一种错误的解法，错误原因是对题中“容器是可以任意放置”的理解不够，其实，当水平面调整为图（2）△EB 1C 时容器的容积最大，最大容积为1211 112121311=????-=V ， 故选C 。 例4 正四棱锥P ABCD -的底面正方形边长是3，O 是P 在底面上的射影，6, PO Q =是 AC 上的一点，过Q 且与, PA BD 都平行的截面为五边形EFGHL ，求该截面面积的最大值. C 1 A B C D A 1 D 1 B 1 E G F 图（1） C 1 A B C D A 1 D 1 B 1 E G F 图（2）

高考数学玩转压轴题专题4.4立体几何中最值问题

专题4.4 立体几何中最值问题 一．方法综述 高考试题将趋于关注那些考查学生运用运动变化观点处理问题的题目，而几何问题中的最值与范围类问题，既可以考查学生的空间想象能力，又考查运用运动变化观点处理问题的能力，因此，将是有中等难度的考题．此类问题，可以充分考查图形推理与代数推理，同时往往也需要将问题进行等价转化，比如求一些最值时，向平面几何问题转化，这些常规的降维操作需要备考时加强关注与训练．立体几何中的最值问题一般涉及到距离、面积、体积、角度等四个方面,此类问题多以规则几何体为载体,涉及到几何体的结构特征以及空间线面关系的逻辑推理、空间角与距离的求解等,题目较为综合,解决此类问题一般可从三个方面思考：一是函数法,即利用传统方法或空间向量的坐标运算,建立所求的目标函数,转化为函数的最值问题求解；二是根据几何体的结构特征，变动态为静态，直观判断在什么情况下取得最值；三是将几何体平面化，如利用展开图，在平面几何图中直观求解。 二．解题策略 类型一距离最值问题 AB=，若线段DE上存在点P 【例1】如图，矩形ADFE，矩形CDFG，正方形ABCD两两垂直，且2 ⊥，则边CG长度的最小值为（） 使得GP BP A. 4 B. 43 C. D. 23 【答案】D

又22002B G a （，，），（，，），所以2,2,,,2,.2 2ax ax BP x GP x a ???? =--=-- ? ?????u u u r u u u r () 24022ax ax PB PG x x a ?? =-++-= ??? u u u n r u u u r .显然0x ≠且2x ≠.所以22 1642a x x =--. 因为()0,2x ∈，所以(]2 20,1x x -∈.所以当221x x -=， 2a 取得最小值12.所以a 的最小值为23. 故选D. 【指点迷津】利用图形的特点，建立空间直角坐标系，设CG 长度为a 及点P 的坐标，求BP GP u u u r u u u r 与的坐标， 根据两向量垂直，数量积为0，得到函数关系式22 16 42a x x = --，利用函数求其最值。 举一反三 1、如图，在棱长为1的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，点E 、F 分别是棱BC ，CC 1的中点，P 是侧面BCC 1B 1内一点，若A 1P ∥平面AEF ，则线段A 1P 长度的取值范围是_____。 【答案】 3254 2?? ??

立体几何中的最值与动态问题

2 5 立体几何中的最值问题 立体几何主要研究空间中点、线、面之间的位置关系，与空间图形有关的线段、角、体积等最值问题常常在 试题中出现。下面举例说明解决这类问题的常用方法。 一、运用变量的相对性求最值 例1. 在正四棱锥S-ABCD 中，SO⊥平面ABCD 于O，SO=2，底面边长为，点P、Q 分别在线段BD、SC 上移动，则P、Q 两点的最短距离为（） A. B. 5 5 C. 2 D. 1 解析：如图1，由于点P、Q 分别在线段BD、SC 上移动，先让点P 在BD 上固定，Q 在SC 上移动，当 OQ 最小时，PQ 最小。过O 作OQ⊥SC，在Rt△SOC 中，OQ = 中。又P 在BD 上运动，且当P 运动 5 到点O 时，PQ 最小，等于OQ 的长为，也就是异面直线BD 和SC 的公垂线段的长。故选B。 5 图 1 二、定性分析法求最值 例2. 已知平面α//平面β，AB 和CD 是夹在平面α、β之间的两条线段。AB⊥CD，AB=3，直线AB 与平面α成30°角，则线段CD 的长的最小值为。 解析：如图2，过点B 作平面α的垂线，垂足为O，连结AO，则∠BAO=30°。过B 作BE//CD 交平面α 于E，则BE=CD。连结AE，因为AB⊥CD，故AB⊥BE。则在Rt△ABE 中，BE=AB·tan∠BAE≥AB·tan ∠BAO=3·tan30°= 。故CD ≥ 3 。 2 5 2 5 2 5 3

图 2 三、展成平面求最值 例3. 如图3-1，四面体A-BCD 的各面都是锐角三角形，且AB=CD=a，AC=BD=b，AD=BC=c。平面α分别截棱AB、BC、CD、DA 于点P、Q、R、S，则四边形PQRS 的周长的最小值是（） A. 2a B. 2b C. 2c D. a+b+c 图3-1 解析：如图3-2，将四面体的侧面展开成平面图形。由于四面体各侧面均为锐角三角形，且AB=CD，AC=BD， AD=BC，所以，A 与A’、D 与D’在四面体中是同一点，且AD // BC // A' D' ，AB // CD' ，A、C、A’共 线，D、B、D’共线，AA'=DD' = 2BD 。又四边形PQRS 在展开图中变为折线S’PQRS，S’与S 在四面体中是同一点。因而当P、Q、R 在S’S 上时，S ' P +PQ +QR +RS 最小，也就是四边形PQRS 周长最小。又S ' A =SA'，所以最小值L =SS '=DD' = 2BD = 2b 。故选B。 图3-2 四、利用向量求最值 例4. 在棱长为1 的正方体ABCD-EFGH 中，P 是AF 上的动点，则GP+PB 的最小值为。 解析：以A 为坐标原点，分别以AB、AD、AE 所在直线为x，y，z 轴，建立如图 4 所示的空间直角坐标 →→ 系，则B（1，0，0），G（1，1，1）。根据题意设P（x，0，x），则BP=(x-1，0，x)，GP=(x-1，-1，x-1)，那么

高中数学复习提升专题05 立体几何中最值问题(第三篇)(原卷版)

备战2020年高考数学大题精做之解答题题型全覆盖高端精品 第三篇 立体几何 专题05 立体几何中最值问题 类型 对应典例 利用侧面展开图求最值 典例1 利用目标函数求最值 典例2 利用基本不等式求最值 典例3 【典例1】【河南省非凡吉创联盟2020届调研】 如图，AB 是圆柱的直径，PA 是圆柱的母线，3AB =，33PA =，点C 是圆柱底面圆周上的点. （1）求三棱锥P ABC -体积的最大值； （2）若1AC =，D 是线段PB 上靠近点P 的三等分点，点E 是线段PA 上的动点，求CE ED +的最小值. 【典例2】【江西省新余市第四中学2020届月考】 已知梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC =∠BAD =2 π，AB=BC=2AD=4，E 、F 分别是AB 、CD 上的点，EF ∥BC ，AE =x ，G 是BC 的中点．沿EF 将梯形ABCD 翻折，使平面AEFD ⊥平面EBCF ． （1）若以F 、B 、C 、D 为顶点的三棱锥的体积记为()f x ，求()f x 的最大值； （2）当 ()f x 取得最大值时，求二面角D -BF -C 的余弦值． 【典例3】【北京市昌平区2020届模拟】

如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，H 分别是棱A 1B 1，D 1C 1上的点（点E 与B 1不重合），且EH ∥A 1D 1. 过EH 的平面与棱BB 1，CC 1相交，交点分别为F ，G ． （I ）证明：AD ∥平面EFGH ； （II ） 设AB=2AA 1="2" a .在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1内随机选取一点．记该点取自几何体A 1ABFE -D 1DCGH 内的概率为p ，当点E ，F 分别在棱A 1B 1上运动且满足EF=a 时，求p 的最小值. 【针对训练】 1. 【广东省佛山市第一中学2020届月考】 如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为a ，E F 、分别为AB BC 、上的点，且AE BF x ＝＝． （1）当x 为何值时，三棱锥1B BEF -的体积最大？ （2）求异面直线1A E 与1B F 所成的角的取值范围． 2．【安徽省安庆市2020届模拟】 如图，△ABC 内接于圆O ，AB 是圆O 的直径，四边形DCBE 为平行四边形，DC ⊥平面ABC ，2,3AB EB == （1）求证：DE ⊥平面ADC ； （2）设AC x =，(x)V 表示三棱锥B ACE -的体积，求函数(x)V 的解析式及最大值.

立体几何中的最值问题答案

立体几何中的最值问题 一、线段长度最短或截面周长最小问题 例1. 正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，各棱长均为2，M 为AA 1中点，N 为BC 的中点，则在棱柱的表面上从点M 到点N 的最短距离是多少?并求之. 解析： (1)从侧面到N ，如图1，沿棱柱的侧棱AA 1剪开，并展开，则MN ＝22AN AM +＝22)12(1++＝10 (2)从底面到N 点，沿棱柱的AC 、BC 剪开、展开，如图2. 则MN ＝??-+120cos 222AN AM AN AM ＝2 1 312)3(122???++＝ 34+ ∵34+＜10 ∴min MN ＝34+. 例2.如图，正方形ABCD 、ABEF 的边长都是1,而且平面ABCD 、ABEF 互相垂直。点M 在AC 上移动，点N 在BF 上移动，若CM=BN=a ).20(<

解析：（1）作MP ∥AB 交BC 于点P ，NQ ∥AB 交BE 于点Q ，连接PQ ，依题意可得MP ∥NQ ，且MP=NQ ，即MNQP 是平行四边形。∴MN=PQ,由已知，CM=BN=a,CB=AB=BE=1, ∴2==BF AC , 21,21a BQ a CP = =, 即2 a BQ CP ==, ∴= +-==22)1(BQ CP PQ MN )20(2 1 )22()2 ( )2 1(222<<+- =+- a a a a （2）由（1）知: 2 2 22= = MN a 时，当，的中点时，分别移动到即BF AC N M ,, 2 2的长最小，最小值为 MN (3)取MN 的中点G ，连接AG 、BG ，∵AM=AN,BM=BN ，∴AG ⊥MN,BG ⊥MN ， ∴∠AGB 即为二面角α的平面角。又 4 6 ==BG AG ，所以由余弦定理有 314 6 4621 )46 ()46( cos 22-=? ?-+= α。故所求二面角)3 1 arccos(-=α。 例3. 如图，边长均为a 的正方形ABCD 、ABEF 所在的平面所成的角为)2 0(π θθ<<。点M 在AC 上，点N 在BF 上，若AM=FN ,(1)求 证:MN//面BCE ; (2)求证:MN ⊥AB; A

立体几何中的最值

立体几何最值问题 姓名 立体几何主要研究空间中点、线、面之间的位置关系，与空间图形有关的线段、角、体积等最值问题常常在试题中出现。下面举例说明解决这类问题的常用方法。 一、运用变量的相对性求最值 例1. 在正四棱锥S-ABCD 中，SO ⊥平面ABCD 于O ，SO=2，底面边长为2，点P 、Q 分别在线段BD 、SC 上移动，则P 、Q 两点的最短距离为（ ） A. 5 5 B. 5 5 2 C. 2 D. 1 二、定性分析法求最值 例2. 已知平面α//平面β，AB 和CD 是夹在平面α、β之间的两条线段。AB ⊥CD ，AB=3，直线AB 与平面α成30°角，则线段CD 的长的最小值为______。 三、展成平面求最值 例 3. 如图3-1，四面体A-BCD 的各面都是锐角三角形，且AB=CD=a ，AC=BD=b ，AD=BC=c 。平面α分别截棱AB 、BC 、CD 、DA 于点P 、Q 、R 、S ，则四边形PQRS 的周长的最小值是（ ） A. 2a B. 2b C. 2c D. a+b+c 图3-1 四、利用向量求最值 例4. 在棱长为1的正方体ABCD-EFGH 中，P 是AF 上的动点，则GP+PB 的 最小值为_______。

一、线段长度最短或截面周长最小问题 例1. 正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，各棱长均为2，M 为AA 1中点，N 为BC 的中点，则在棱柱的表面上从点M 到点N 的最短距离是多少?并求之. 例2.如图，正方形ABCD 、ABEF 的边长都是1,而且平面ABCD 、ABEF 互相垂直。点M 在AC 上移动，点N 在BF 上移动，若CM=BN=a ).20(<

高中数学立体几何中的最值问题、内接外切、球面距离

立体几何中的最值问题、内接外切、球面距离 1. 一条长为2,a b 的三条线段，则ab 的最大值为 A B C ． 52 D ．3 【答案】C 【解析】构造一个长方体，让长为2的线段为体对角线，由题意知2222221,1,3a y b x x y =+=++=，即22222325a b x y +=++=+= ，又2252a b ab =+≥，所以5 2 ab ≤ ，当且仅当a b =时取等号，所以选C. 2. 四棱锥P ABCD -的三视图如右图所示，四棱锥P ABCD -的五个顶点都在一 个球面上，E 、F 分别是棱AB 、CD 的中点，直线EF 被球面所截得的线段长为该球表面积为 A.12p B.24p C.36p D.48p 【答案】A 3. 若三棱锥S ABC -的所有顶点都在球O 的球面上，SA ⊥平面ABC ，SA =1AB =，2AC =， 60BAC ∠=?，则球O 的表面积为 （ ） A ．64π B ．16π C ．12π D ．4π 【答案】B 【解析】因为1AB =，2AC =，60BAC ∠=?，所以2212212cos603BC =+-??= ，所以BC =。所 以90ABC ∠= ，即ABC ?为直角三角形。因为三棱锥S ABC -的所有顶点都在球O 的球面上，所以斜边AC 的中点是截面小圆的圆心'O ，即小圆的半径为122 r AC = =.,因为,OA OS 是半径，所以三角形AOS 为等 腰三角形，过O 作OM SA ⊥,则M 为中点，所以1'22 OO AM SA == ==所以半径

2OA ====，所以球的表面积为2416R ππ=,选B. 4. 已知正四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1的高为323 p ，则A 、B 两点的球面距离为____________. 【答案】 23 π 【解析】因为正四棱柱外接球的体积为 323p ，所以343233 R p p =,即外接球的半径为2R =，所以正四棱柱的体对角线为24R =，设底面边长为x ，则 22 2 )2) 4+=，解得底面边长2x =。所以三角形AOB 为正三角形，所以 3 AOB π ∠= ，所以A 、B 两点的球面距离为 23 3 R π π = . 5. 设A 、B 、C 、D 为球O 上四点，若AB 、AC 、AD 两两互相垂直，且AB AC =2AD =，则A 、D 两点间的球面距离 。 【答案】 23 π 【解析】因为AB 、AC 、AD 两两互相垂直，所以分别以AB 、AC 、AD 为棱构造一个长方体，在长方体的体对角线为 球的直径，所以球的直径24R = ==，所以球半径为2R =,在正三角形AOD 中， 3 AOD π ∠= ，所以A 、D 两点间的球面距离为 23 3 R π π= . 6. 如图，某三棱锥的三视图都是直角边为2的等腰直角三角形，则该三棱锥的外接球的体积是

高三数学立体几何中的最值问题复习

突破立体几何之《立体几何中的最值问题》 考点动向 高考试题将趋于关注那些考查学生运用运动变化观点处理问题的题目，而几何问题中的最值与范围类问题，既可以考查学生的空间想象能力，又考查运用运动变化观点处理问题的能力，因此，将是有中等难度的考题．此类问题，可以充分考查图形推理与代数推理，同时往往也需要将问题进行等价转化，比如求一些最值时，向平面几何问题转化，这些常规的降维操作需要备考时加强关注与训练． 例１如图６－１，在直三棱柱111ABC A B C -中，底面为直角三角形， 1906ACB AC BC CC ∠==== ，，． P 是1BC 上一动点，则1CP PA +的最小值 为 ． 解析 考虑将立体几何问题通过图形变换，转化为平面几何问题解答． 解 连结1A B ，沿1BC 将1CBC △展开与 11A BC △在同一个平面内，如图６－２所示，连1AC ，则1AC 的长度就是所求的最小值．通过计 算可得1190AC C ∠=?，又145BC C ∠=?故11135AC C ∠=?， 由余弦定理可求得1AC =． 例２ 如图６－３，在四棱锥P ABCD -中， PA ⊥底面A B C D ，DAB ∠为直角， 2A B C D A D C D A B ==，∥，E F ，分别为 PC CD ，的中点． （I ）试证：CD ⊥平面BEF ； （II ）设PA k AB = ，且二面角E BD C --的平面角大于30?，求k 的取值范围． 解析 对（I ），可以借助线面垂直的判定定理，或者借助平面的法向量及直线的方向 A 1 A 1 1 图６－１ A C P B 1 A 1 C 1 B 图６－２ C C 图６－３

数学高考题型专题讲解44---立体几何中最值问题

数学高考题型专题讲解44 ---立体几何中最值问题 一．方法综述 高考试题将趋于关注那些考查学生运用运动变化观点处理问题的题目，而几何问题中的最值与范围类问题，既可以考查学生的空间想象能力，又考查运用运动变化观点处理问题的能力，因此，将是有中等难度的考题．此类问题，可以充分考查图形推理与代数推理，同时往往也需要将问题进行等价转化，比如求一些最值时，向平面几何问题转化，这些常规的降维操作需要备考时加强关注与训练． 立体几何中的最值问题一般涉及到距离、面积、体积、角度等四个方面,此类问题多以规则几何体为载体, 涉及到几何体的结构特征以及空间线面关系的逻辑推理、空间角与距离的求解等,题目较为综合,解决此类问题一般可从三个方面思考：一是函数法,即利用传统方法或空间向量的坐标运算,建立所求的目标函数,转化为函数的最值问题求解；二是根据几何体的结构特征，变动态为静态，直观判断在什么情况下取得最值；三是将几何体平面化，如利用展开图，在平面几何图中直观求解. 二．解题策略 类型一距离最值问题 【例1】【河南省焦作市2019届高三三模】在棱长为4的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E、F分别在棱AA1和AB上，且C1E⊥EF，则|AF|的最大值为（） A．B．1 C．D．2 【答案】B 【解析】 以AB，AD，AA1所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系如图所示，则C1（4，4，4），设E（0，0，z），z∈[0，4]，F（x，0，0），x∈[0，4]，则|AF|＝x．＝（4，4，4﹣z），＝（x，0，﹣z）．因为C1E⊥EF，

所以，即：z2+4x﹣4z＝0，x＝z﹣． 当z＝2时，x取得最大值为1．|AF|的最大值为1． 故选：B． 【指点迷津】建立空间直角坐标系，求出坐标，利用C 1E⊥EF，求出|AF|满足的关系式，然后求出最大值即可．利用向量法得到|AF|的关系式是解题的关键，故选D. 【举一反三】 1、【江西省吉安市2019届高三上学期期末】若某几何体的三视图如图所示，则该几何体的最长棱的棱长为 A．B．C．D． 【答案】A 【解析】 解：根据三视图知，该几何体是一个正四棱锥，画出图形如图所示；

最新立体几何中最值问题资料

立体几何中最值问题求解策略 立体几何中最值问题令许多学生无从下手，本文试做一归纳总结，供同学们复习时参考。策略一转化为求函数最值 例1 已知正方形ABCD、ABEF所在平面互相垂直， ,M为线段AC上一 动点，当M在什么位置时，M到直线BF的距离最短？ 分析：本题是求点到线距离最值问题，实际上就是求异面直线AC、BF间距离。可用代数中求最值的方法来解决。 解：作MH⊥AB于H,作HN⊥BF于N ,易知MH⊥平面ABEF. 由三垂线定理可知，MN⊥BF. 设AM=x,则 MH=AH= 2 2 x ,HN= 2 HB= 1 1 2 x - 则MN2=MH2+HN2=22 11 (1) 22 x x +-=2 322 () 433 x-+ 所以当AM= 2 3 时，MN有最小值 3 策略二借助均值不等式求最值 例2 求半径为R的球内接正三棱锥体积的最大值。 解：如右图所示，设正三棱锥高 1 O A=h, 底面边长为a 由正三棱锥性质可知 1 O B= 3 a，又知OA=OB=R 则在Rt ABC ?中，222 )() 3 a R h R =-- ∴23(2) a h R h =- ∴ V=22 13 (2) 3 a h R h =-=3(2) 22 h h R h - 3 2 22 3 h h R h ?? ++- ? ≤ ? ? ?? 3(当且仅当2 2 h R h =-，即 4 3 h R =时，取等号) ∴正三棱锥体积最大值为3R

策略三 借助最小角定理建立不等关系 例3 l β?--是直二面角，,,A B A β∈?∈，B 不在l 上，设AB 与,β?成的角分别是12,θθ，求 12θθ+的最大值。 解析：如图所示，过A 作L 垂线，垂足为C,易知AC β⊥ 过B 作L 垂线，垂足为D,易知BD ⊥?.所以2,ABC θ∠= 1BAD θ∠=，在Rt ABD ?中，12 2 ABD DAB π π θ∠=-∠= - 由最小角定理可知212 2 BAD π π θθ<-∠= -，所以122 π θθ+< 。 当D 、C 重合时，122 π θθ+= 。所以最大值为 2 π。 策略四 借助侧面展开图求最短路径 例4 长方体1111ABCD A B C D -中，AB=6,BC=5,14,CC =一只蚂蚁从1A 沿长方体表面到达C 处，求蚂蚁爬过的最短距离。 解：如左图所示,蚂蚁爬过的路径有三种，可由侧面展开的结果 比较而求得最值。 1.1 AC =、 = 2 1 AC == 2 3 1 AC == 显然第3种距离最短 。 3 策略五 利用极限思想

高考以立体几何为背景的新颖问题

立体几何为背景的新颖问题 以立体几何为背景的新颖问题常见的有折叠问题，与函数图象相结合问题、最值问题，探索性问题等. 对探索、开放、存在型问题的考查，探索性试题使问题具有不确定性、探究性和开放性，对学生的能力要求较高，有利于考查学生的探究能力以及思维的创造性，是新课程下高考命题改革的重要方向之一；开放性问题，一般将平面几何问题类比推广到立体几何的中，不过并非所有平面几何中的性质都可以类比推广到立体几何中，这需要具有较好的基础知识和敏锐的洞察力;对折叠、展开问题的考查，图形的折叠与展开问题（三视图问题可看作是特殊的图形变换）蕴涵了“二维——三维——二维”的维数升降变化，求解时须对变化前后的图形作“同中求异、异中求同”的思辩，考查空间想象能力和分析辨别能力，是立几解答题的重要题型. 【例1】（2020?全国二模）我国古代劳动人民在筑城、筑堤、挖沟、挖渠、建仓、建囤等工程中，积累了丰富的经验，总结出了一套有关体积、容积计算的方法，这些方法以实际问题的形式被收入我国古代数学名著《九章算术》中．《九章算术商功》：“斜解立方，得两堑堵．斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑．阳马居二，鳖臑居一，不易之率也．合两鳖臑三而一，验之以棊，其形露矣．”下图解释了这段话中由一个长方体，得到“堑堵”、“阳马”、“鳖臑”的过程．已知堑堵的内切球（与各面均相切）半径为1，则鳖臑的体积最小值为() A．2B．6+C．2+D．1+ 解：已知可得，堑堵的内切球直径恰为堑堵的边长a，则2 a=． 易知，截面的内切圆与堑堵内切球最大的圆全等，设内切圆半径为r，则1 r=．如图可知，

根据三角形面积公式可得：11 (22bc r b c =+，则222b c bc +=+， 0b >，0c >，222224b c b c bc ∴+b c =时取等号． 24bc bc ∴+，即220-．解得：022<-或22+． 又内切圆半径1r b =<，r c <，∴1>．∴22+，即642bc +． ∴鳖臑的体积为1 1142 23233 V a bc bc ==+ ．故选：C ． 【例2】（2020?3月份模拟） 111ABC A B C -中，ABC ?的边长为2，D 为棱11B C 的中点，若一只蚂蚁从点A 沿表面爬向点D ，则蚂蚁爬行的最短距离为( ) A ．3 B ． C ． D ．2 解：如图： 当按图①走时，DE = ；13 222 AE =-=；3AD ===； 当按图②走时，DE =；213AE =+=；AD 故蚂蚁爬行的最短距离为：3；故选：A ． 【例3】（2019?全国三模）如图，直角梯形ABCD ，//AB CD ，90ABC ∠=?，2CD =，1AB BC ==，E 是边CD 中点，ADE ?沿AE 翻折成四棱锥D ABCE '-，则点C 到平面ABD '距离的最大值为( ) A ． 1 2 B C D ．1 解：直角梯形ABCD ，//AB CD ，90ABC ∠=?，2CD =，1AB BC ==，

立体几何经典难题汇编

立体几何难题汇编1 1. 在正方体的顶点中任意选择4个顶点，对于由这4个顶点构成的各种几何形体的以下判断中，所有正确的结论个数是（） ①能构成矩形； ②能构成不是矩形的平行四边形； ③能构成每个面都是等边三角形的四面体； ④能构成每个面都是直角三角形的四面体； ⑤能构成三个面为全等的等腰直角三角形，一个面为等边三角形的四面体． A．2 B．3 C．4 D．5 【考点】命题的真假判断与应用． 【专题】证明题． 【分析】画出图形，分类找出所有情况即可． 【解答】解：作出正方体： 在正方体的顶点中任意选择4个顶点，对于由这4个顶点构成的各种几何形体z只能有以下四种情况： ①任意一个侧面和对角面皆为矩形，所以正确； ③四面体A 1-BC1D是每个面都是等边三角形的四面体，所以正确； ④四面体B 1-ABD 的每个面都是直角三角形，所以正确； ⑤四面体A 1-ABD 的三个面都是等腰直角三角形，第四个面A1BD是等边三角 形． 由以上可知：不能构成不是矩形的平行四边形，故②不正确． 综上可知：正确的结论个数是4． 故选C． 【点评】全面了解正方体中的任意四个顶点构成的四面体和平面四边形是解题的关键．

【解答】 解：作BE ⊥AD 于E ，连接CE ，则AD ⊥平面BEC ，所以CE ⊥AD ， 由题设，B 与C 都是在以AD 为焦点的椭圆上， 且BE 、CE 都垂直于焦距AD ， AB+BD=AC+CD=2a ，显然△ABD ≌△ACD ，所以BE=CE ． 取BC 中点F ，∴EF ⊥BC ，EF ⊥AD ，要求四面体ABCD 的体积的最大值， 因为AD 是定值，只需三角形EBC 的面积最大，因为BC 是定值，所以只需EF 最大即可， 当△ABD 是等腰直角三角形时几何体的体积最大，∵AB+BD=AC+CD=2a ， ∴AB=a ，所以EB= EF= 所以几何体的体积为： ． 故答案为： 【点评】本题考查棱柱、棱锥、棱台的体积，考查空间想象能力，逻辑推理能 力以及计算能力． 4. 如图，直线l ⊥平面α，垂足为O ，已知在直角三角形ABC 中，BC=1，AC=2， AB= ．该直角三角形在空间做符合以下条件的自由运动：（1）A ∈l ， （2）C ∈α．则B 、O 两点间的最大距离为 _________. 22.a c -22 1.a c --2222112*21*2* 1. 323a c c c a c --=--222 1. 3c a c --5

重难点突破：立体几何中最值问题全梳理

重难点突破：立体几何中最值问题全梳理 模块一、题型梳理 题型一 空间角的最值问题 例题1： 如图，四边形和均为正方形，它们所在的平面互相垂直，动点在线段上， 分别为的中点．设异面直线与所成的角为，则的最大值为_________． 【解析】AB 为x 轴，AD 为y 轴，AQ 为z 轴建立坐标系，设正方形边长为2． cos θ= 令[]()0,2)f m m = ∈ ，()f m '= []0,2,()0m f m '∈∴<，max 2()(0)5f m f == ，即max 2cos 5 θ= ABCD ADPQ M PQ ,E F ,AB BC EM AF θθ cos

例题2： 正四棱柱1111ABCD A B C D -中，4AB = ，1AA =.若M 是侧面11BCC B 内的动点，且AM MC ⊥，则1A M 与平面11BCC B 所成角的正切值的最大值为___________. 【分析】如图，以D 为原点建立空间直角坐标系，设点(),4,M m n ，由AM MC ⊥得()2 224m n -+=， 证明11A MB 为1A M 与平面11BCC B 所成角，令22cos ,2sin m n θθ=+=，用三角函数表示出 11tan A MB ∠，求解三角函数的最大值得到结果. 【解析】如图，以D 为原点建立空间直角坐标系， 设点(),4,M m n ，则()( )(14,0,0,0,4,0,4,4,A C B ()(),0,,4,4,CM m n AM m n ∴==-，又AM MC ⊥，得2240,AM CM m m n ?=-+=即 () 2 224m n -+=；又11A B ⊥平面11BCC B ，11A MB ∴∠为1A M 与平面11BCC B 所成角， 令[] 22cos ,2sin ,0,m n θθθπ=+=∈， 11111tan ∴∠= =A B A MB B M = = ，∴当3 π θ=时，11tan A MB ∠最大，即1A M 与平面11BCC B 所成角的正切值的最大值为2.故答案为：2 【小结】本题主要考查了立体几何中的动点问题，考查了直线与平面所成角的计算.对于这类题，一般是建立空间直角坐标，在动点坐标内引入参数，将最值问题转化为函数的最值问题求解，考查了学生的运算求解能力和直观想象能力.

立体几何中的轨迹和最值问题

立体几何中轨迹和最值问题 高三数学组 梅向平 2011、11、30 在立体几何中，某些点、线、面依一定的规则运动，构成各式各样的轨迹，探求空间轨迹与求平面轨迹类似，应注意几何条件，善于基本轨迹转化。对于较为复杂的轨迹，常常要分段考虑，注意特定情况下的动点的位置，然后对任意情形加以分析判定，也可转化为平面问题。对每一道轨迹命题必须特别注意轨迹的纯粹性与完备性。 立体几何中的最值问题一般是指有关距离的最值、角的最值或面积的最值的问题。其一般方法有： 1、 几何法：通过证明或几何作图，确定图形中取得最值的特殊位置，再计算它的值； 2、 代数方法：分析给定图形中的数量关系，选取适当的自变量及目标函数，确定函数解析式，利用函数的单调性、有界性，以及不等式的均 值定理等，求出最值。 一、轨迹问题 【例1】 如图，在正四棱锥S －ABCD 中，E 是BC 的中点，P 点在侧面△SCD 内及其边界上运动，并且总是保持PE ⊥AC .则动点P 的轨迹与△SCD 组成的相关图形最有可能的是 ( ) 解析：如图，分别取CD 、SC 的中点F 、G ，连结EF 、EG 、FG 、BD .设AC 与BD 的交点为O ，连结SO ，则动点P 的轨迹是△SCD 的中位线FG 。由正四棱锥可得SB ⊥AC ，EF ⊥AC .又∵EG ∥SB ∴EG ⊥AC ∴AC ⊥平面EFG ， ∵P ∈FG ，E ∈平面EFG ， ∴AC ⊥PE . 另解：本题可用排除法快速求解。B 中P 在D 点这个特殊位置，显然不满足PE ⊥AC ； C 中P 点所在的轨迹与C D 平行，它与CF 成π 4 角，显然不满足PE ⊥AC ；D 于中P 点所在 的轨迹与CD 平行，它与CF 所成的角为锐角，显然也不满足PE ⊥AC 。 评析：动点轨迹问题是较为新颖的一种创新命题形式，它重点体现了在解析几何与立体几何的知识交汇处设计图形。不但考查了立体几何点线面之间的位置关系，而且又能巧妙地考查求轨迹的基本方法，是表现最为活跃的一种创新题型。这类立体几何中的相关轨迹问题，如“线线垂直”问题，很在程度上是找与定直线垂直的平面，而平面间的交线往往就是动点轨迹。 【例2】 (1)如图，在正四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 、F 、G 、H 分别是CC 1、C 1D 1、 DD 1、DC 的中点，N 是BC 的中点，点M 在四边形EFGH 及其内部运动，则M 满足 时，有MN ∥平面B 1BDD 1. (2) 正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，P 在侧面BCC 1B 1及其边界上运动，且总保持AP ⊥BD 1，则动点P 的轨迹是 线段B 1C . (3) 正方体ABCD —A 1B 111A 1B 1，BC 上的动点，且A 1E =BF ，P 为EF 的中点，则点P 的轨迹是 线段MN (M 、N 分别为前右两面的中心). (4) 已知正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为1，在正方体的侧面BCC 1B 1上到点A 距离为23 3 的点的集合形成一条曲线，那么这条曲线的形状是 ，它的长度是 . 若将“在正方体的侧面BCC 1B 1上到点A 距离为23 3 的点的集合”改为“在正方体表面上 与点A 距离为23 3 的点的集合” 那么这条曲线的形状又是 ，它的长度又是 . 【例3】 (1)在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，P 是侧面BB 1C 1C 内一动点，若P 到直线BC 与直线C 1D 1的距离相等，则动点P 的轨 迹所在的曲线是 ( D ) A ． A 直线 B ．圆 C ．双曲线 D ．抛物线 变式：若将“P 到直线BC 与直线C 1D 1的距离相等”改为“P 到直线BC 与直线C 1D 1的距离之比为1：2(或2：1)”， 则动点P 的轨 迹所在的曲线是 椭圆 (双曲线). (2)平面α的斜线AB 交α于点B ，过定点A 的动直线l 与AB 垂 直，且交α于点C ，则动点C 的轨迹是 (A ) A .一条直线 B ．一个圆 C ．一个椭圆 D ．双曲线的一支 解：设l 与l '是其中的两条任意的直线，则这两条直线确定一个平面，且斜线AB 垂直这个平面，由过平面外一点有且只有一个平面与已知直线垂直可知过定点A 与AB 垂直所有直线都在这个平面 内，故动点C 都在这个平面与平面α的交线上，故选A . (3)已知正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为1，M 在棱AB 上，且AM =1 3 ，点P 到直线A 1D 1的距离与点P 到点M 的距离的平方差 为1，则点P 的轨迹为 抛物线 . (4)已知正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为3，长为2的线段MN 点一个端点M 在DD 1上运动，另一个端点N 在底面ABCD 上 运动，则MN 的中点P 的轨迹与正方体的面所围成的几何体的体积为 π6 . 【例4】 若三棱锥A -BCD 的侧面ABC 内一动点P 到底面BCD 的距离与到棱AB 的距离相等，则动点P 的轨迹与△ABC 组成图形可能是：( D ) 1 A C C 1 A E C C 1 A A 1 A 1 (1) (2) (3) (4) D A ． B ． C ． D ． C C 1 A l A B C α A B C D D 1 C 1 B 1 A 1 M P A B C D D 1 C 1 B 1 A 1 M N 3 3 2 3

高考数学压轴题突破之立体几何五种动态问题和解题绝招

2018年高考数学压轴题突破140之立体几何五种动态问题和解题绝招 中高考数学名师张芙华?2018-01-2906:14:27 2018年高考数学压轴题突破140之立体几何五种动态问题和解题绝招一．方法综述 立体几何的动态问题是高考的热点，问题中的“不确定性”与“动感性”元素往往成为学生思考与求解问题的思维障碍，使考题的破解更具策略性、挑战性与创新性。一般立体动态问题形成的原因有动点变化、平面图形的翻折、几何体的平移和旋转以及投影与截面问题，由此引发的常见题型为动点轨迹、角度与距离的计算、面积与体积的计算、探索性问题以及有关几何量的最值求解等。此类题的求解并没有一定的模式与固定的套路可以沿用，很多学生一筹莫展，无法形成清晰的分析思路，导致该题成为学生的易失分点。究其原因，是因为学生缺乏相关学科素养和解决问题的策略造成的。 动态立体几何题在变化过程中总蕴含着某些不变的因素，因此要认真分析其变化特点，寻找不变的静态因素，从静态因素中，找到解决问题的突破口。求解动态范围的选择、填空题，有时应把这类动态的变化过程充分地展现出来，通过动态思维，观察它的变化规律，找到两个极端位置，即用特殊法求解范围。对于探究存在问题或动态范围（最值）问题，用定性分析比较难或繁时，可以引进参数，把动态问题划归为静态问题。具体地，可通过构建方程、函数或不等式等进行定量计算，以算促证。 二．解题策略

类型一立体几何中动态问题中的角度问题 【指点迷津】空间的角的问题，一种方法，代数法，只要便于建立空间直角坐标系均可建立空间直角坐标系，然后利用公式求解；另一种方法，几何法，几何问题要结合图形分析何时取得最大（小）值。当点M在P处时，EM与AF所成角为直角，此时余弦值为0（最小），当M点向左移动时，EM与AF所成角逐渐变小时，点M到达点Q时，角最小，余弦值最大。 类型二立体几何中动态问题中的距离问题 【指点迷津】求两点间的距离或其最值。一种方法，可建立坐标系，设点的坐标，用两点间距离公式写出距离，转化为求函数的最值问题；另一种方法，几何法，根据几何图形的特点，寻找那两点间的距离最大（小），求其值。 类型三立体几何中动态问题中的面积、体积问题 【指点迷津】求几何体体积的最值，先观察几何图形三棱锥，其底面的面积为不变的几何量，求点P到平面BCD的距离的最大值，选择公式，可求最值。 类型四立体几何中动态问题中的轨迹问题 类型五?立体几何中动态问题中的翻折、旋转问题

最新立体几何中的轨迹问题(总结+讲义+练习)

立体几何中的轨迹问题 在立体几何中，某些点、线、面依一定的规则运动，构成各式各样的轨迹，探求空间轨迹与求平面轨迹类似，应注意几何条件，善于基本轨迹转化．对于较为复杂的轨迹，常常要分段考虑，注意特定情况下的动点的位置，然后对任意情形加以分析判定，也可转化为平面问题．对每一道轨迹命题必须特别注意轨迹的纯粹性与完备性． 立体几何中的最值问题一般是指有关距离的最值、角的最值或面积的最值的问题．其一般方法有： 1、 几何法：通过证明或几何作图，确定图形中取得最值的特殊位置，再计算它的值； 2、 代数方法：分析给定图形中的数量关系，选取适当的自变量及目标函数，确定函数解析式，利用函数的单调性、有界性，以及不等式的均值定理等，求出最值． 轨迹问题 【例1】 如图，在正四棱锥S －ABCD 中，E 是BC 的中点，P 点在侧面△SCD 内及其边界上运动，并且总是保持PE ⊥AC ．则动点P 的轨迹与△SCD 组成的相关图形最有可能的是 ( ) 解析：如图，分别取CD 、SC 的中点F 、G ，连结EF 、EG 、FG 、BD ．设AC 与BD 的交点为O ，连结SO ，则动点P 的轨迹是△SCD 的中位线FG ．由正四棱锥可得SB ⊥AC ，EF ⊥AC ．又∵EG ∥SB ∴EG ⊥AC ∴AC ⊥平面EFG ， ∵P ∈FG ，E ∈平面EFG ， ∴AC ⊥PE ． 另解：本题可用排除法快速求解．B 中P 在D 点这个特殊位置，显然不满足PE ⊥AC ；C 中P 点所在的轨 迹与CD 平行，它与CF 成π 4 角，显然不满足PE ⊥AC ；D 于中P 点所在的轨迹与CD 平行，它与CF 所成的角为 锐角，显然也不满足PE ⊥AC ． 评析：动点轨迹问题是较为新颖的一种创新命题形式，它重点体现了在解析几何与立体几何的知识交汇处设计图形．不但考查了立体几何点线面之间的位置关系，而且又能巧妙地考查求轨迹的基本方法，是表现最为活跃的一种创新题型．这类立体几何中的相关轨迹问题，如“线线垂直”问题，很在程度上是找与定直线垂直的平面，而平面间的交线往往就是动点轨迹． 【例2】 (1)如图，在正四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 、F 、G 、H 分别是CC 1、C 1D 1、DD 1、DC 的中点，N 是BC 的中点，点M 在四边形EFGH 及其内部运动，则M 满足 时，有MN ∥平面B 1BDD 1． (2) 正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，P 在侧面BCC 1B 1及其边界上运动，且总保持AP ⊥BD 1，则动点P 的轨迹是 线段B 1C ． (3) 正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是棱A 1B 1，BC 上的动点，且A 1E =BF ，P 为EF 的中点，则点P 的轨迹是 线段MN (M 、N 分别为前右两面的中心)． (4) 已知正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为1，在正方体的侧面BCC 1B 1上到点A 距离为23 3 的点的集合形成 一条曲线，那么这条曲线的形状是 ，它的长度是 ． 若将“在正方体的侧面BCC 1B 1上到点A 距离为23 3 的点的集合”改为“在正方体表面上与点A 距离为23 3 的点 的集合” 那么这条曲线的形状又是 ，它的长度又是 ． 1 A C C 1 A E C C 1 A A B 1 A 1 (1) (2) (3) (4) D D A ． B ． C ． D ． A