(完整版)高三数学高考模拟试题

高三数学高考模拟试题

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）

1．定义集合运算：A ⊙B =｛z ︳z = xy （x+y ），z ∈A ，y ∈B ｝，设集合A=｛0，1｝，B=｛2，3｝，则集合A ⊙B 的所有元素之和为

A ．0

B ．6

C ．12

D ．18

2．设○+是R 上的一个运算, A 是R 的非空子集,若对任意,a b A ∈有a ○+b A ∈,则称A 对运算○+封闭,下列数集对加法、减法、乘法和除法（除数不等于零）四则运算都封闭的是

A ．自然数集

B ．整数集

C ．有理数集

D ．无理数集

3．从集合{1，2，3，…，11}中的任意取两个元素作为椭圆22

221x y m n

+=方程中的m 和n ，则

能组成落在矩形区域(){},|||11,||9B x y x y =<<内的椭圆的个数是

A ．43

B ．72

C ．86

D ．90

4．)(x f 是定义在R 上的以3为周期的偶函数，且0)2(=f ，则方程)(x f =0在区间（0，6）内解的个数的最小值是

A ． 5

B ． 4

C ． 3

D ． 2

5．如果一条直线与一个平面垂直，那么，称此直线与平面构成一个“正交线面对”。在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是

A ．48

B ．18

C ．24

D ．36

6．点P 到点A （

21，0），B （a ，2）及到直线x ＝－2

1

的距离都相等，如果这样的点恰好只有一个，那么a 的值是

A ．

2

1

B ．2

3

C ．21或2

3

D ．－

21或2

1 7．如果二次方程 x 2-px-q=0（p,q ∈N*） 的正根小于3, 那么这样的二次方程有

A ．5个

B ．6个

C ．7个

D ．8个

8．设四棱锥P-ABCD 的底面不是平行四边形, 用平面α去截此四棱锥（如右图）, 使得截面四边形是平行四边形, 则这样的平面 α

A ．不存在

B ．只有1个

C ．恰有4个

D ．有无数多个

9．计算机中常用的十六进制是逢16进1的记数制，采用数字0-9

和字母A-F 共16个记数符号；这些符号与十进制的数的对应关系如下表：

例如，用十六进制表示：E+D=1B ，则A B ?=

A ．6E

B ．72

C ．5F

D ．B0

10．设P 是△ABC 内任意一点，S △ABC 表示△ABC 的面积，λ1＝

ABc PBC S S ??， λ2＝ABC

PCA S S

??，λ3＝ABC

PAB S S ??，定义f （P ）=（λ1, λ, λ3）,若G 是△ABC 的重心，f （Q ）＝（21，31，61

），则

A ．点Q 在△GA

B 内 B ．点Q 在△GB

C 内 C ．点Q 在△GCA 内

D ．点Q 与点G 重合

二、填空题（共6小题，每小题4分，共24分）

11．在平面几何中有如下特性：从角的顶点出发的一条射线上任意一点到角两边的距离之比为定值。类比上述性质，请叙述在立体几何中相应地特性，并画出图形。不必证明。类比性质叙述如下 ：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 12．规定记号“?”表示一种运算，即+∈++=

?R b a b a b a b a 、，．若31=?k ，则函数

()x k x f ?=的值域是＿＿＿＿＿＿＿＿．

13．一个正整数数表如下（表中下一行中的数的个数是上一行中数的个数的2倍）：

则第9行中的第4个数是＿＿＿＿＿＿＿＿ A ．132

B ．255

C ．259

D ．260

14．某保险公司新开设了一项保险业务，若在一年内事件E 发生，该公司要赔偿a 元．设在一年内E 发生的概率为p ，为使公司收益的期望值等于a 的百分之十，公司应要求顾客交保险金为_________________

15．设函数f （x ）的图象与直线x =a ，x =b 及x 轴所围成图形的面积称为函数f （x ）在[a ，b]上的面积，已知函数y ＝s1nn x 在[0，

n π]上的面积为n 2（n ∈N *），（1）y ＝s1n3x 在[0,3

2π

]

上的面积为 ；（2）y ＝s1n （3x －π）＋1在[

3π，3

4π

]上的面积为 ． 16．多面体上，位于同一条棱两端的顶点称为相邻的，如图，正方体的一个顶点A 在平面α内，其余顶点在α的同侧，正方体上与顶点A 相邻的三个顶点到α的距离分别为1，2和4，P 是正方体的其余四个顶点中的一个，则P 到平面α的距离可能是：

①3； ②4； ③5； ④6； ⑤7 以上结论正确的为______________。（写出所有正确结论的编号．．）

三、解答题（共4小题，10+12+12+12=46，共46分） 17．（本题满分10分）

设函数)0π( )2sin()(<<-+=??x x f 。y=f （x ）图像的一条对称轴是直线8

π

=x ． （1）求?；

（2）求函数)(x f y =的单调增区间；

（3）证明直线025=+-c y x 于函数)(x f y =的图像不相切． 18．（本题12分）

某人玩硬币走跳棋的游戏，已知硬币出现正、反面的概率都是

2

1

．棋盘上标有第0站、第1站、第2站、……、第100站．一枚棋子开始在第0站，棋手每掷一次硬币，棋子向前跳动一次，若掷出正面，棋子向前跳一站；若掷出反面，则棋子向前跳两站，直到棋子跳到第99站（胜利大本营）或第100站（失败大本营）时，该游戏结束．设棋子跳到第n 站的概率为n P ．

（1）求P 0，P l ，P 2； （2）求证:)(2

1

211-----

=-n n n n P P P P （3）求玩该游戏获胜的概率．

A

B

C

D

A 1

B 1

C 1

D 1

第16题图

α

19．（本题12分）

如图，直线l 1：)0(>=k kx y 与直线l 2：kx y -=之间的阴影区域（不含边界）记为W ，其左半部分记为W 1，右半部分记为W 2．

（1）分别用不等式组表示W 1和W 2；

（2）若区域W 中的动点P （x ，y ）到l 1，l 2的距离之积等于d 2，求点P 的轨迹C 的方程； （3）设不过原点O 的直线l 与（2）中的曲线C 相交于M 1，M 2两点，且与l 1，l 2分别交于M 3，M 4两点．求证△OM 1M 2的重心与△OM 3M 4的重心重合．

20．（本题12分）

设x 轴、y 轴正方向上的单位向量分别是i ρ、j ρ，坐标平面上点n A 、n B )(*

N n ∈分别满

足下列两个条件：①1OA j

=u u u r r 且1+n n A A ＝i ＋j ；②i OB 31=且1+n n B B ＝2()33

n i ?r

。 （1）求n OA 及n OB 的坐标；

（2）若四边形11++n n n n A B B A 的面积是n a ，求n a )(*

N n ∈的表达式；

（3）对于（2）中的n a ，是否存在最小的自然数M ，对一切)(*

N n ∈都有n a ＜M 成立？若存在，求M ；若不存在，说明理由．

参考答案

一、选择题（每题3分，共30分）

1．D 提示：当x ＝0时，z ＝0，当x ＝1，y ＝2时，z ＝6，当x ＝1，y ＝3时，z ＝12，故所有元素之和为18，选D

2．C 提示： A 中1－2＝－1不是自然数，即自然数集不满足条件；B 中1÷2＝0．5不是

整数，即整数集不满足条件；C 中有理数集满足条件；D 2=不是无理数，即无理数集不满足条件，故选择答案C 。

3．B 提示：根据题意，m 是不大于10的正整数、n 是不大于8的正整数。但是当m n

=时22

221x y m n

+=是圆而不是椭圆。先确定n ，n 有8种可能，对每一个确定的n ，

m 有1019-=种可能。故满足条件的椭圆有8972?=个。选B

4．D 提示：由题意至少可得f （0）=f （2）=f （-2）=f （3）=f （-3）=f （-5）=f （5）=f （1）=f （4）=0,即在区间（0，6）内f （x ）=0的解的个数的最小值是5,选（D ）

5．D 提示：正方体中，一个面有四条棱与之垂直，六个面，共构成24个“正交线面对”；而正方体的六个对角截面中，每个对角面又有两条面对角线与之垂直，共构成12个“正交线面对”，所以共有36个“正交线面对”；选D 。

6．D 提示：（思路一）点P 在抛物线y 2=2x 上，设P （22y ,y ）,则有（22y +21

）2=（

2

2

y －a ）2+（y －2）2,化简得（

21－a ）y 2－4y+a 2+4

15=0, 当a =21时, 符合题意；当a≠21

时，?=0,有3

a －22a +415a +817=0,（ a +21）（a 2－a +4

17）=0, a =－21

。选D ．

（思路二） 由题意有点P 在抛物线y 2=2x 上，B 在直线y=2上,当a=－2

1

时,B 为直线y=2与准线的交点，符合题意；当a=2

1

时，B 为直线y=2与抛物线通径的交点，也符合题意，故选D ．答案：D

7．C 提示：由 △=p 2+4q>0,-q<0, 知方程的根为一正一负．设 f （x ）=x 2-px-q ，则 f （3）=32-3p-q>0, 即 3p+q<9．由于p,q ∈N*，所以 p=1,q≤5 或p=2,q≤2．于是共有7组（p,q ）符合题意．故选C ．

8．D 提示：设四棱锥的两组不相邻的侧面的交线为 m 、n, 直线 m 、n 确定了一个平面

β．作与 β 平行的平面 α, 与四棱锥的各个侧面相截，则截得的四边形必为平行四边形．而这样的平面 α 有无数多个．故选D ． 答案：D

9．A 提示：∵A=10,B=11,又A×B=10×11=110=16×6+14,∴在16进制中A×B=6E,∴选（A ） 10．A 提示：由题f （p ）=).,,(321λλλ若G 为)3

1

,31,31()(=?G f ，ABC 则的重心． 而)6

1,31,21()(=Q f 与之比较知。中在GAB Q ?。故选A 。 二、填空题

11．（下列答案中任一即可，答案不唯一）

（1）从二面角的棱出发的一个半平面内任意一点到二面角的两个面的的距离之比为定值。

（2）从二面角的棱上一点出发的一条射线上任意一点到二面角的两个面的的距离之比为定值。

（3）在空间，从角的顶点出发的一条射线上任意一点到角两边的距离之比为定值。 （4）在空间，射线OD 上任意一点P 到射线OA 、OB 、OC 的距离之比不变。 （5）在空间，射线OD 上任意一点P 到平面AOB 、BOC 、COA 的距离之比不变。 12．()∞+,1 提示：由31=?k 得

311=++?k k ，解得k=1，所以f （x ）

=)0(1>++x x x ，f （x ）在（0，＋∞）内是增函数，故f （x ）＞1，即f （x ）的值域为()∞+,1 13．259 提示：第1行第1个数为1＝0

2，第2行第1个数为2＝1

2，第3行第1个数为4＝2

2，…，第9行第1个数为1

92

-＝256，所以第9行第4个数为256＋3＝259。

14．（0．1+p ）a 提示：设保险公司要求顾客交x 元保险金，若以ξ表示公司每年的收益额，则ξ是一个随机变量，其分布列为：

+（x －a ）·p =x －ap ． 为使公司收益的期望值等于a 的百分之十，

只需E ξ=0．1a ，即x －ap =0．1a ， 故可得x =（0．1+p ）a ． 即顾客交的保险金为（0．1+p ）a 时，可使公司期望获益10%a ． 15．

32,34+π 提示：由题意得：y=s1n3x 在]320[π，上的面积为3

4

232=?，

1)3sin(+-=πx y 在]3

43[ππ，上的图象为一个半周期结合图象分析其面积为π+32

。

A

γ β

α

O P B

16．①③④⑤ 提示：如图，B 、D 、A 1到平面α的距离分别为1、2、4，则D 、A 1的中点到平面α的距离为3，所以D 1到平面α的距离为6；B 、A 1的中点到平面α的距离为5

2

，所以B 1到平面α的距离为5；则D 、B 的中点到平面α的距离为3

2

，所以C 到平面α的距离为3；C 、A 1的中点到平面α的距离为7

2

，所以C 1到平面α的距离为7；而P 为C 、C 1、B 1、D 1中的一点，所以选①③④⑤。

三、解答题 17．（1）∵8

π

=

x 是函数y=f （x ）的图象的对称轴，

∴1)8

2sin(±=+?

?π

，∴

Z k k ∈+

=+,2

4

π

π?π

，

∵0<

3π?-=。 （2）由（1）知43π?-

=，因此)432sin(π-=x y 。 由题意得Z k k x k ∈+≤-≤-,2

243222π

ππππ，

所以函数)432sin(π-=x y 的单调增区间为Z k k k ∈++],8

5,8[π

πππ。

（3）证明：∵｜/

y ｜=|（/))432sin(π-x |=|)4

32cos(2π-x |≤2 所以曲线y=f （x ）的切线的斜率取值范围是[-2,2]， 而直线5x -2y+c ＝0的斜率为

2

5

＞2， 所以直线5x-2y+c ＝0与函数)4

32sin(π

-

=x y 的图象不相切。 18．（1）依题意，得 P 0=1，P 1=21，2

1

21212?+=P ．

（2）依题意，棋子跳到第n 站（2≤n≤99）有两种可能：

第一种，棋子先到第n-2站，又掷出反面，其概率为

221

-n P ； 第二种，棋子先到第n-1站，又掷出正面，其概率为12

1

-n P

∴212

1

21--+=n n n P P P

∴2112112

1

212121------+-=-+=-n n n n n n n P P P P P P P

即)992)(2

1

21(211≤≤-

-=----n P P P P n n n n （3）由（2）可知数列{1--n n P P }（1≤n≤99）是首项为2

101-=-P P 公比为21

的等比数

列，于是有

)()()()(9899231201099P P P P P P P P P P -++-+-+-+=Λ

=])2

1

(1[32)

21()3

1()21()21

(1100993

2

-=-++-+-+-+Λ 因此，玩该游戏获胜的概率为])2

1(1[32100

-．

19．（1）12{(,)|,0},{(,)|,0}.W x y kx y kx x W x y kx y kx x =<<-<=-<<>

（2）直线

1:0,l kx y -=直线2:0l kx y +=,2,d = 即2222

2

||.1

k x y d k -=+ 由(,),P x y W ∈知2

2

2

0,k x y ->所以2222

2

,1

k x y d k -=+ 即22222

(1)0.k x y k d --+=

所以动点P 的轨迹方程为2

2

2

2

2

(1)0.k x y k d --+= （3）当直线l 与x 轴垂直时,可设直线l 的方程为(0).x a a =≠

由于直线l 、曲线C 关于x 轴对称,且1l 与2l 关于x 轴对称, 于是1234,M M M M 的中点坐标都为(,0)a , 所以1234,OM M OM M ??的重心坐标都为2(

,0)3

a

,即它们的重心重合． 当直线l 与x 轴不垂直时,设直线l 的方程为(0).y mx n n =+≠

由22222(1)0k x y k d y mx n

?--+=?=+?,得222222()20.k m x mnx n k d ----= 由直线 l 与曲线C 有两个不同交点,可知

220k m -≠,且2222222(2)4()()0.mn k m n k d d =+-?++>V

设12,M M 的坐标分别为1122(,),(,).x y x y 则

12121222

2,()2.mn

x x y y m x x n k m +=

+=++-

设34,M M 的坐标分别为3344(,),(,).x y x y 由34,,y kx y kx n n

x x y mx n y mx n k m k m ==-??-==?

?=+=+-+??

及得

从而341222

2.mn

x x x x k m +=

=+-

所以34341212()2()2,y y m x x n m x x n y y +=++=++=+ 所以

3434

12120000,.3333

x x y y x x y y ++++++++== 于是12OM M ?的重心与34OM M ?的重心也重合．

20．（1）1121n n n

OA OA A A A A -=+++u u u u r u u u r u u u u r u u u u u u r L (1)()(1)(1,)j n i j n i nj n n =+-+=-+=-r r r r r

1121n n n OB OB B B B B -=+++u u u u r u u u r u u u u r u u u u u u r L 121222

3()3()3()3333n i i i i -=+?+?++?r r r r L

2

1()23399(),02313

n n i -??=?=-? ???-r

． （2）1111212

[109()](1)[109()]2323

n n n n n n n PA B PA B a S S n n +++=-=

-??+--??△△ 12

5(2)()3

n n -=+-?，

（3）1

122

[53(2)()

][53(1)()]3

3

n n n n a a n n -+-=+-?-+-?

112223()[(2)(1)()](4)()333

n n n n n --=?---?=-?

∴120a a -<，230a a -<，340a a -<，450a a -=，560a a ->，670a a ->，

等

即在数列{}n a 中，458

59

a a ==+

是数列的最大项， 所以存在最小的自然数6M =，对一切)(*

N n ∈都有n a ＜M 成立．