多元函数微分学及其应用归纳总结
第八章 多元函数微分法及其应用
一、多元函数的基本概念
1、平面点集，平面点集的内点、外点、边界点、聚点，多元函数的定义等概念
2、多元函数的极限
?
00(,)(,)
lim (,)x y x y f x y A →=（或0
lim (,)P P f x y A →=）的εδ-定义
? 掌握判定多元函数极限不存在的方法：
（1）令(,)P x y 沿y kx =趋向00(,)P x y ，若极限值与k 有关，则可断言
函数极限不存在；
（2）找两种不同趋近方式，若
00(,)(,)
lim (,)x y x y f x y →存在，但两者不相等，
此时也可断言极限不存在。
? 多元函数的极限的运算法则（包括和差积商，连续函数的和差积商，
等价无穷小替换，夹逼法则等）与一元类似：
例1．用εδ-定义证明
2222
(,)(0,0)
1
lim ()sin
0x y x y x y →+=+
例2（03年期末考试 三、1，5分）当0,0→→x y 时，函数22
2
222
()+++-x y x y x y 的极限是否存在？证明你的结论。
例3 设22
2222,0
(,)0,0xy x y x y f x y x y ?+≠?+=??+=?
，讨论(,)(0,0)
lim (,)x y f x y →是否存在？
例4（07年期末考试 一、2，3分）设222
24
22,0(,)0,0?+≠?+=??+=?
xy x y x y f x y x y ，讨论
(,)(0,0)
lim (,)→x y f x y 是否存在？
例5．求222
(,)(0,0)sin()
lim x y x y x y →+
3、多元函数的连续性0000(,)(,)
lim
(,)(,)x y x y f x y f x y →?
=
? 一切多元初等函数在其定义区域内都是连续的，定义区域是指包含
在定义域内的区域或闭区域。
? 在定义区域内的连续点求极限可用“代入法”
例1． 讨论函数3322
22
22,0(,)0,0x y x y x y f x y x y ?++≠?+=??+=? 在（0，0）处的连续性。
例2． （06年期末考试 十一，4分）试证222
24
22,0(,)0,0?+≠?+=??+=?
xy x y x y f x y x y 在
点(0,0)不连续，但存在一阶偏导数。 例3．求
(,)(1,2)lim
x y x y
xy →+ 例4
．(,)(0,0)lim x y →
4、了解闭区域上商连续函数的性质：有界性，最值定理，介值定理
二、多元函数的偏导数
1、 二元函数(,)z f x y =关于,x y 的一阶偏导数的定义（二元以上类似定义）
如果极限00000
(,)(,)
lim
x f x x y f x y x ?→+?-?存在，则有
00
000
0000000
(,)(,)
(,)lim
x x x
x x y y x x x x y y y y f x x y f x y z
f z f x y x
x
x
=?→=====+?-??=
===???
（相当于把y 看成常数！所以求偏导数本质是求一元函数的导数。）
如果极限00000
(,)(,)
lim
y f x y y f x y y
?→+?-?存在，则有
00
000
0000000
(,)(,)
(,)lim
x x y
y y y y x x x x y y y y f x y y f x y z f z f x y y
y
y
=?→=====+?-??=
===???
对于分段函数，在分界点的偏导数要用定义求。
例1（08年期末考试 一、3，4分）已知222
222
22(),0(,)0,0?-+≠?+=??+=?
x y xy x y x y f x y x y ，
则(0,)=x f y
例2 （06年期末考试 十一，4分）试证222
24
22,0(,)0,0?+≠?+=??+=?
xy x y x y f x y x y 在点(0,0)
不连续，但存在一阶偏导数。
例3 设22
2222
221()sin ,0(,)0,0x y x y x y f x y x y ?++≠?+=??+=?
，求(,),(,)x y f x y f x y 。
例4 设y x z =，求y x z z ,。
例5（03年期末考试，一、2，3分） 设(1)arcsin x u x y y =+-，则u
x
??在(1,2)的值为（ ）。
2、 二元函数(,)z f x y =关于,x y 的高阶偏导数（二元以上类似定义）
, 22(,)xx z z f x y x x x ?????== ?????? 2(,)xy z z
f x y y x x y ?????=
= ??????? 22(,)yy z z f x y y y y ?????== ?????? 2(,)yx z z
f x y x y y x
?????=
= ???????
定理：若两个混合二阶偏导数22,z z x y y x ??????在区域D 内连续，则有22z z
x y y x
??=
????。 例1．设,1
r
u =
222)()()(c z b y a x r -+-+-=，其中c b a ,,为常数，求：2
22222z u
y u x u ??+????＋。 例2．设x
y arctg
e y x z -+=)(2
2，求y
x z ???2。
3、(,)z f x y =在点(,)P x y
偏导数存在?(,)z f x y =在点(,)P x y 连续（07年，04年，02年等）
4、偏导数的几何意义：00(,)x f x y 表示曲线0(,)
z f x y y y =??=?
在点000(,,)P x y z 处的
切线与x 轴正向的夹角。
三、全微分
1、(,)z f x y =在点00(,)P x y 可微分的判定方法 若
(,)(,)(,)lim
0x y z f x y x f x y y
??→?-?-?=，则可判定(,)z f x y =在点
00(,)P x y 可微分。其中00(,)(,)z f x x y y f x y ?=+?+?-
例1．（08年期末考试 十二、6分）证明函数
2222
22
(0(,)0,0?++≠?=?
?+=?x y x y f x y x y 在（0，0）处可微，但偏导数(,)x f x y 在（0，0）处不连续。
例2 （07年期末考试 七、6
分）22
22
0(,)0,0+≠=+=?x y f x y x y ，证明：（1）
函数在（0，0）处偏导数存在；（2）函数在（0，0）处不可微。
2、全微分的计算方法
若(,)z f x y =在00(,)P x y 可微，则有0000(,)(,)x y dz f x y dx f x y dy =+ 其中0000(,),(,)x y f x y f x y 的求法可以结合复合函数或者隐函数求导。 例1（08年期末考试，一，1，4分） 设432=+z x y x ，则(1,2)=dz 例2（07，04年期末考试，二，1，3分）设arctan
(0),=≠y
z x x
求dz 。 例3 （06年期末考试，二、2，3分）设2
=y u x ，则=du
例4 （03年期末考试，二、2，3分）函数22ln()=++u x y z 在点(1,0,1)处的全微分为
例5．设w uy z arcsin +=，x e u =，2
2
y
x x w +=，求函数：对变量y x ,的全
微分dz 。
3、多元函数的全微分与连续，可偏导之间的关系（07年，04年，02年等） ? 一阶偏导数,x y f f 在00(,)P x y 连续?(,)z f x y =在00(,)P x y 可微?
(,)z f x y =在00(,)P x y 连续?(,)z f x y =在00(,)P x y 有极限
? (,)z f x y =在00(,)P x y 可微?在00(,)P x y 的一阶偏导数,x y f f 存在 ? (,)z f x y =在00(,)P x y 可微?在00(,)P x y 的方向导数,x y f f 存在
四、多元复合函数求导法则
1
、链式求导法则：变量树状图
法则 (1)(,),(),()z f u v u t v t ?ψ=== dz z du z dv
dt u dt v dt
??=+
??
d z z d u z d v z d
d t u d t v d t d t
ωω???=++
??? (2)(,),(,),(,)z f u v u x y v x y ?ψ===
,z z u z v z z u z v x u x v x y u y v y
??????????=+=+??????????
(3) z f u x y u x y (,,),(,)?==
,z f u f z f u f
x u x x y u y f
????????=+=+????????
例1． （08年期末考试，七，7分）设(,)x
z f x y =，f 具有连续二阶偏导数，
求2,z z x x y
?????。 例2． （08年期末考试，十一，6分）设(,)z z x y =是由方程
22()x y z x y z ?+-=++所确定的函数，其中()x ?可导，求dz 。
z u x
y x y
例3． （07年期末考试，八，7分）设(,)y
z xf xy x =，f 具有连续二阶偏导
数，求2,z z
y y x
?????。
例4． （06年期末考试，一、1，3分）设()y
z xyf x =，()f u 可导，则
z z
x
y x y
??+=??（ ）
。 例5． （04年期末考试，三、1，8分）设(,)G u v 可微，方程(,)0G u v =，其中22,u x yz v y xz =+=+确定了z 是,x y 的二元可微隐函数，试证明
222(2)
(2)4.z z
y xz x yz z xy x y
??-+-=-??。 例6． （03年期末考试，三、2，5分）设(,)u v φ具有连续偏导数，证明方程
(,)0
x yz y xz φ--=所确定的函数(,)z f x y =满足
2()
()1.z z
y xz x yz z x y
??+++=-??。 例7 记2
2
(,)t u f x t x =+，f 具有连续二阶偏导数，求,u u x t
????，222,u u
x x t ?????。
例8 设y x z ln 2=，而v u x =
，v u y -=3，求u z ??和v
z
??。 例9 设2
2)(b a z y e u ax ++=，而x a y sin =，x
b z cos =，则du
dx 。 例10． 设2
2
(,)xy
z f x y e =-，又f 具有连续的二阶偏导数，求2,,z z z
x y x y
???????。
2．一阶全微分形式不变性：
设(,)z f u v =，则不管,u v 是自变量还是中间变量，都有''u v dz f du f dv =+
? 通过全微分求所有的一阶偏导数，有时比链式求导法则显得灵活。 ? 当复合函数中复合的层次较多，结构较为复杂时，用一阶全微分形式不变
性求出一阶偏导数或者全导数比较方便。
例1．设(,,),(,),(),u F x y z z f x y y x ?===其中,,F f ?都可微，求
du dx
。
五、隐函数的求导法则
1、(,)0()F x y y f x =→=，求dy
dx
方法1（直接代公式）：
x y
F dy
dx F =-，其中：(,)x x F F x y =，相当于把F 看成自变量x ，y 的函数而对x 求偏导数。
方法2：直接对方程两边同时关于x 求偏导（记住()y f x =）：
0x x y
y
F dy dy F F dx dx F +=→=- 2
2
2
()()()xx xy
y x yx yy y dy dy F F F F F F d y dx dx dx
F +-+=-
2．(,,)0(,)F x y z z f x y =→=，求
,z z
x y
???? 方法1（直接代公式）：
,y x z z
F F z
z x F y F ??=-=-?? 方法2：直接对方程两边同时关于x （y ）求偏导（记住(,)z f x y =）：
0x x z z
F z z F F dx dx F ??+=→=-，0y y z z F z z
F F dy dy F ??+=→=-
3．(,,,)0(,),,,(,,,)0(,)
F x y u v u u x y u u v v
G x y u v v v x y x y x y ==??????→?
?==??????求， 建议采用直接推导法：即方程两边同时关于x 求偏导，通过解关于未知数
u v x x ????，的二元方程组，得到u v
x x
????，。同理可求得,u v y y ????。
例1．设2),,(yz e z y x f x =，其中),(y x z z =是由0=+++xyz z y x 确定的隐函
数，求)1,1,0(-'
x f 。
例2．设有隐函数(,)0x y F z z =，其中F 的偏导数连续，求,z z
x y
????。
例3．（04年期末考试，三、1，8分）设(,)G u v 可微，方程(,)0G u v =，其中
22,u x yz v y xz =+=+确定了z 是,x y 的二元可微隐函数，试证明
222(2)
(2)4.z z
y xz x yz z xy x y
??-+-=-??
六、多元函数微分学的几何应用
1、空间曲线的切线与法平面方程（三种形式）——参数形式，两柱面交线，两曲面交线
000
000'''000'
''000()
()()()()()()()0()()()()
x x t x x y y z z y y t x t x x y t y y z t z z x t y t z t z z t =?---?
=?==?-+-+-=??=?
切线向量'''000{(),(),()}x t y t z t
00000
0''
00''00()()()()()()()0()1()()()
x x
x x y y z z y y x y y x x x y t y y z t z z z z x y t z t z z x =?---=???=?==?-+-+-=??=??=?
切线向量''00{1,(),()}y x z x
(,,)0()()(,,)0()()
x x
F x y z y y x y y x
G x y z z z x z z x =?==?????=?
??==???=?
切线向量''
00{1,(),()}y x z x 0
00000''00'
'
00()()()()()01
()
()
x x y y z z x x y t y y z t z z y t z t ---?
=
=
?-+-+-=
3、 曲面的切平面与法线方程（两种形式）——隐函数，显示函数
000000
000
000000()()()0(,,)0(,,)(,,)(,,)
x y z x y z F x x F y y F z z F x y z x x y y z z F x y z F x y z F x y z -+-+-=??=?---?==?? 法线向量000000000{(,,),(,,),(,,)}x y z F x y z F x y z F x y z
00000000
00()()()0(,)(,)(,)1
x y x y f x x f y y z z z f x y x x y y z z f x y f x y -+---=??=?---?==?-?
法线向量0000{(,),(,),1}x y f x y f x y -，规定法向量的方向是向上的，即使得它与z 轴的正向所成的角是锐角，在法向量的方向余弦为：
cos f αβγ-=
=
=
例1（08年期末考试，一、2，4分）曲线x a t
y a t z ct cos sin =??=??=?
在点(a,0,0)的切线方程
例2（08年期末考试，十、7分）在曲面z x y 22
122
=+上求出切平面，使得切平面与平面x y z 42210.---=平行。
例3（07年期末考试，二、5，3分）曲面z z e xy 23-+=在点(1,2,0)处的法线
方程。
例4（07年期末考试，十、8分）在第一卦限内作椭圆x y z a b c
222
2221++=的切平
面，使该切平面与三个坐标平面围成的四面体的体积最小，求切点的坐标。 例5（06年期末考试，二、3，3分）曲面xyz z a 333-=在点(0,a,-a)处的切平面方程。
例6（04年期末考试，三、3，7分）在球面x y z 2229++=上求一点，使得过该点的切平面与已知平面x y z 220+-=平行。
例7. 在曲线t x =，22t y =，33t z =上求点，使该点处曲线的切线平行平面
1478=-+z y x 。
例8设),(y x f 具有一阶连续偏导数，且02
2≠+y x f f ，对任意实数t 有),(),(y x tf ty tx f =，试证明曲面),(y x f z =上任意一点),,(000z y x 处的法线与直线
00z z
y y x x ==相垂直。
例9 由曲线223212
x y z ?+=?=?绕y 轴旋转一周得到的旋转面在点（0处
指向外侧的单位法向量，
七、方向导数与梯度
1、方向导数的概念和计算公式
(,)z f x y =在(,)P x y 沿l 方向的方向导数为：
① 设'(,)P x x y y +?+?为l 上一点，则
'00()()(,)(,)
lim lim
f f P f P f x x y y f x y l ρρρρ
→→?-+?+?-==? ② 设l 的方向余弦为：{cos ,cos }l αβ=，则
cos cos f f f l x y
αβ???=+??? 可微?方向导数存在，但方向导数存在与偏导数存在之间没有确定的关系
2、梯度的概念和计算公式
(,)z f x y =在(,)P x y 沿什么方向的方向导数最大？ 沿梯度方向{,}
P
f f G x y
??=??的方向导数最大，最大值为梯度的
模
||G =
例1．求函数2
2
2
),,(z y x z y x f -+=在点)5,4,3(0P 沿曲线?
?
?=+=-+22222225
22z y x z y x 在点0P 处的切线方向的方向导数。
例2．求函数3
2
),(y x y x f =在点（2，1）沿方向j i l
+=的方向导数
例3．设函数(,)y z f x y xe ==，（1）求出f 在点P （2，0）处沿P 到Q （1/2，2）方向的变化率；（2）f 在P （2，0）沿什么方向具有最大的增长率，最大增长率为多少？
例4 （08年期末考试，一、4，4分）函数z x y 22=+在点P 0(1,2)处沿从P 0(1,2)
到点P 1(2,2+方向的方向导数。
例5（07年期末考试，二、4，3分）函数z x xy y 22=-+在点(1,1)-处沿方向
l {2,1}
=的方向导数。
例6（06年期末考试，四、7分）函数u x y z z 2223=++-在点M 0(1,1,2)-处的梯度及沿梯度方向的方向导数。
八、多元函数的极值及其求法
1、掌握极值的必要条件、充分条件
2、掌握求极值的一般步骤
3、掌握求条件极值的一般方法——拉格朗日乘数法 例1．求函数3322(,)339f x y x y x y x =-++-的极值。
例2（04年期末考试，三、3，6分）．设长方体过同一顶点的三条棱长之和为3a ，问这三条棱长各取什么值时，长方体的表面积最大？
例3． 求旋转抛物面22z x y =+与平面22x y z +-=之间的最短距离。 例4 （08年期末考试，六、7分）求u x y z 22=-+在约束x y z 2221++=下的最大值和最小值。
例5（07年期末考试，十、8分）在第一卦限内作椭球x y z a b c
222
2221++=的切平
面，使该切平面与三个坐标平面围成的四面体的体积最小，求切点的坐标。 例6（06年期末考试，五、8分）做一个容积为1立方米的有盖圆柱形桶，问尺寸应如何，才能使用料最省？
例7（03年期末考试，八、10分）求曲线x xy y x y 2222120+++--=上距原点最近和最远的点。
一元函数微分学教案
第二章 一元函数微分学 一、 导数 （一）、导数概念 1、导数的定义： 设函数)(x f y =在点0x 的某个邻域内有定义，当自变量在点0x 处取得改变量x ?时，函数)(x f 取得相应的改变量，)()(00x f x x f y -?+=?，如果当0→?x 时，x y ??的极限存在，即x y x ??→?0lim x x f x x f x ?-?+=→?)()(lim 000存在，则此极限值为函数)(x f 在点0x 的导数，可记作)(0x f '或|0x x y ='或|0x x dx dy =或|0 )(x x dx x df = 2、根据定义求导数的步骤（即三步曲） ①求改变量)()(x f x x f y -?+=? ②算比值 x y ??x x f x x f ?-?+=)()( ③取极限x y x f y x ??='='→?0lim )(x x f x x f x ?-?+=→?)()(lim 0 例1：根据定义求2 x y =在点3=x 处的导数。 解：223)3(-?+=?x y 2)(6x x ?+?= x x y ?+=??6 6)6(lim lim 0 0=?+=??→?→?x x y x x 3、导数定义的几种不同表达形式 ①x x x x x f x x f x f x ?+=??-?+='→?00000) ()(lim )(令 ②000)()(lim )(0x x x f x f x f x x --='→ 时 ＝当0)()(lim )(0000x x x f x f x f x ??-='→? ③x f x f f x )0()(lim )0(0-='→ 4、左右导数的定义： 如果当)0(0-+→?→?x x 时，x y ??的极限存在，则称此极限为)(x f 在点0x 为右导数（左
一元函数微分学典型例题
一元函数微分学典型例题 1. 有关左右极限题 求极限??? ?????+++→x x sin e e lim x x x 41 012 ● 根据左右极限求极限， ● 极限x x e lim 1 →， x x sin lim x 0 →，x tan lim x 2 π→，x cot lim x 0→，x cot arc lim x 0→，x arctan lim x 1 0→都不存在， ● A )x (f lim A )x (f lim )x (f lim x x x =?==∞ →-∞ →+∞ → ● 【 1 】 2. 利用两个重要极限公式求1∞ 型极限 x sin x ) x (lim 20 31+→ ● 0→)x (?，e )) x (lim() x (=+??1 1 ● A )x (f lim =0→)x (?，A )x (f ) x (e ])) x (lim[(=+??11 ● 【 6e 】 3. 等价无穷小量及利用等价代换求极限 当0x + → (A) 1- (B) ln (C) 1. (D) 1-. ● 等价无穷小定义：如果1=α β lim ，则称β与α失等价无穷小，记为α∽β， ● 0→x 时，（1）n x x a x a x x x x x x x x x e x x x x x n x x ≈ -+≈-≈-+≈-≈---+≈-≈+≈≈≈≈111112 1 16111112 3 ln )(cos sin )ln(arctan tan sin αα
● 当0→)x (?时，)x (sin ?∽)x (?，11-+n )x (?∽ n ) x (?∽∽ ● 【 B 】 4. 利用单调有界准则求极限 设数列{}n x 满足n n x sin x ,x =<<+110π。证明：极限n n x lim ∞→存在，计算1 1n x n n n x x lim ??? ? ??+∞→ ● 利用单调有界准则球数列或者函数极限的步骤：1。证明数列或函数单调；2。证明 数列或函数是有界；3。等式取极限求出极限。 ● 定理单调有界数列必有极限还可以叙述为单调递减有下界数列必有极限，或单调递 增有上界数列必有极限。 ● 61 1 2 -→=?? ? ??e x x sin lim x x ● 【 0；6 1- e 】 5. 判断函数连续与否以及利用函数的连续性解题 设函数f (x )在x =0处连续，下列命题错误的是： (A) 若0()lim x f x x →存在，则f (0)=0. (B) 若0()() lim x f x f x x →+-存在，则f (0)=0. (C) 若0()lim x f x x →存在，则(0)f '存在. (D) 若0()() lim x f x f x x →-- 存在，则(0)f '存 在 【 】 ● 若()()00 x f x f lim x x =→，则称函数()x f 在点0x 处连续。 ● 左连续右连续则连续。 ● 分段函数的分段点不一定是函数的间断点。 ● 判断函数在某点是否连续的步骤：求函数在该点的极限；求函数在该点的函数值；判断 二者是否相等，相等则连续，否则间断。 6．导数的定义式相关题目 设函数 ()x f 在 x=0某领域内有一阶连续导数，且 ()()0 000≠'≠f ,f 。若 ()()()02f h bf h af -+在0→h 时是比h 高阶的无穷小，试确定a, b. ● 函数在某一点导数的定义： ()()()x x f x x f lim x y lim x f x x ??????000 00-+=='→→ ()()()()()0 0000 00 x x x f x f lim h x f h x f lim x f x x h --=-+='→→
多元函数微分学知识点梳理
第九章 多元函数微分学 内容复习 一、基本概念 1、知道：多元函数的一些基本概念（n 维空间，n 元函数，二重极限，连续等）；理解：偏导数；全微分. 2、重要定理 （1）二元函数中，可导、连续、可微三者的关系 偏导数连续?可微???函数偏导数存在 ?连续 （2）（二元函数）极值的必要、充分条件 二、基本计算 （一） 偏导数的计算 1、 偏导数值的计算（计算),(00y x f x '） （1）先代后求法 ),(00y x f x '＝0),(0x x y x f dx d = （2）先求后代法（),(00y x f x '＝00),(y y x x x y x f =='） （3）定义法（),(00y x f x '＝x y x f y x x f x ?-?+→?),(),(lim 00000）（分段函数在分段点处的偏导数） 2、偏导函数的计算（计算(,)x f x y '） （1） 简单的多元初等函数——将其他自变量固定，转化为一元函数求导 （2） 复杂的多元初等函数——多元复合函数求导的链式法则（画树形图，写求导公式） （3） 隐函数求导 求方程0),,(=z y x F 确定的隐函数),(y x f z =的一阶导数,z z x y ???? ,,,(),,y x z z F F z z x y z x F y F x y x y z ''???=-=-?''????? 公式法：（地位平等）直接法：方程两边同时对或求导（地位不平等） 注：若求隐函数的二阶导数，在一阶导数的基础上，用直接法求。 3、高阶导数的计算 注意记号表示，以及求导顺序 （二） 全微分的计算 1、 叠加原理
用MATLAB算多元函数积分
用MATLAB 计算多元函数的积分 三重积分的计算最终是化成累次积分来完成的，因此只要能正确的得出各累次积分的积分限，便可在MA TLAB 中通过多次使用int 命令来求得计算结果。但三重积分的积分域Ω是一个三维空间区域，当其形状较复杂时，要确定各累次积分的积分限会遇到一定困难，此时，可以借助MATLAB 的三维绘图命令，先在屏幕上绘出Ω的三维立体图，然后执行命令 rotate3d on ↙ 便可拖动鼠标使Ω的图形在屏幕上作任意的三维旋转，并且可用下述命令将Ω的图形向三个坐标平面进行投影： view(0,0),向XOZ 平面投影； view(90,0),向YOZ 平面投影； view(0,90),向XOY 平面投影. 综合运用上述方法，一般应能正确得出各累次积分的积分限。 例11.6.1计算zdv Ω ???，其中Ω是由圆锥曲面222z x y =+与平面z=1围成的闭区域 解 首先用MA TLAB 来绘制Ω的三维图形，画圆锥曲面的命令可以是： syms x y z ↙ z=sqrt(x^2+y^2); ↙ ezsurf(z,[-1.5,1.5]) ↙ 画第二个曲面之前，为保持先画的图形不会被清除，需要执行命令 hold on ↙ 然后用下述命令就可以将平面z=1与圆锥面的图形画在一个图形窗口内： [x1,y1]=meshgrid(-1.5:1/4:1.5); ↙ z1=ones(size(x1)); ↙ surf(x1,y1,z1) ↙ 于是得到Ω的三维图形如图:
由该图很容易将原三重积分化成累次积分： 111zdv dy -Ω=???? 于是可用下述命令求解此三重积分： clear all ↙ syms x y z ↙ f=z; ↙ f1=int(f,z.,sqrt(x^2+ y^2),1); ↙ f2=int(f1,x,-sqrt(1- y^2), sqrt(1- y^2)); ↙ int(f2,y,-1,1) ↙ ans= 1/4*pi 计算结果为4 π 对于第一类曲线积分和第一类曲面积分，其计算都归结为求解特定形式的定积分和二重积分，因此可完全类似的使用int 命令进行计算，并可用diff 命令求解中间所需的各偏导数。 例11.6.2用MATLAB 求解教材例11.3.1 解 求解过程如下 syms a b t ↙ x=a*cos(t); ↙ y=a*sin(t); ↙ z=b*t; ↙ f=x^2 +y^2+z^2; ↙ xt=diff(x,t); ↙ yt=diff(y,t); ↙ zt=diff(z,t); ↙ int(f*sqrt(xt^2 +yt^2+zt^2),t,0,2*pi) ↙ ans= 2/3*( a^2 +b^2)^1/2*a^2*pi+8/3*( a^2 +b^2)^1/2*b^2*pi^3 对此结果可用factor 命令进行合并化简： factor （ans ） ans= 2/3*( a^2 +b^2)^1/2*pi*(3* a^2 +4*b^2*pi^2) 例11.6.3用MATLAB 求解教材例11.4.1 解 求解过程如下 syms x y z1 z2↙ f= x^2 +y^2; ↙ z1=sqrt(x^2 +y^2); ↙ z2=1; ↙ z1x=diff(z1,x); ↙ z1y=diff(z1,y); ↙ z2x=diff(z2,x); ↙ z2y=diff(z2,y); ↙
一元函数微分学习题
第二部分 一元函数微分学 [选择题] 容易题 1—39，中等题40—106，难题107—135。 1．设函数)(x f y =在点0x 处可导，)()(00x f h x f y -+=?，则当0→h 时，必有( ) (A) y d 是h 的同价无穷小量. (B) y y d -?是h 的同阶无穷小量。 (C) y d 是比h 高阶的无穷小量. (D) y y d -?是比h 高阶的无穷小量. 答D 2．已知)(x f 是定义在),(+∞-∞上的一个偶函数，且当0
)(x f 的（ ） （A ）间断点。 （B ）连续而不可导的点。 （C ）可导的点，且0)0(='f 。 （D ）可导的点，但0)0(≠'f 。 答C 6．设函数f(x)定义在[a ，b]上，判断何者正确？（ ） （A ）f （x ）可导，则f （x ）连续 （B ）f （x ）不可导，则f （x ）不连续 （C ）f （x ）连续，则f （x ）可导 （D ）f （x ）不连续，则f （x ）可导 答A 7．设可微函数f(x)定义在[a ，b]上，],[0b a x ∈点的导数的几何意义是：（ ） （A ）0x 点的切向量 （B ）0x 点的法向量 （C ）0x 点的切线的斜率 （D ）0x 点的法线的斜率 答C 8．设可微函数f(x)定义在[a ，b]上，],[0b a x ∈点的函数微分的几何意义是：（ ） （A ）0x 点的自向量的增量 （B ）0x 点的函数值的增量 （C ）0x 点上割线值与函数值的差的极限 （D ）没意义 答C 9．x x f = )(，其定义域是0≥x ，其导数的定义域是（ ） （A ）0≥x
多元函数微分学及其应用归纳总结
第八章 多元函数微分法及其应用 一、多元函数的基本概念 1、平面点集，平面点集的内点、外点、边界点、聚点，多元函数的定义等概念 2、多元函数的极限 ? 00(,)(,) lim (,)x y x y f x y A →=（或0 lim (,)P P f x y A →=）的εδ-定义 ? 掌握判定多元函数极限不存在的方法： （1）令(,)P x y 沿y kx =趋向00(,)P x y ，若极限值与k 有关，则可断言 函数极限不存在； （2）找两种不同趋近方式，若 00(,)(,) lim (,)x y x y f x y →存在，但两者不相等， 此时也可断言极限不存在。 ? 多元函数的极限的运算法则（包括和差积商，连续函数的和差积商， 等价无穷小替换，夹逼法则等）与一元类似： 例1．用εδ-定义证明 2222 (,)(0,0) 1 lim ()sin 0x y x y x y →+=+ 例2（03年期末考试 三、1，5分）当0,0→→x y 时，函数22 2 222 ()+++-x y x y x y 的极限是否存在？证明你的结论。 例3 设22 2222,0 (,)0,0xy x y x y f x y x y ?+≠?+=??+=? ，讨论(,)(0,0) lim (,)x y f x y →是否存在？ 例4（07年期末考试 一、2，3分）设222 24 22,0(,)0,0?+≠?+=??+=? xy x y x y f x y x y ，讨论 (,)(0,0) lim (,)→x y f x y 是否存在？
例5．求222 (,)(0,0)sin() lim x y x y x y →+ 3、多元函数的连续性0000(,)(,) lim (,)(,)x y x y f x y f x y →? = ? 一切多元初等函数在其定义区域内都是连续的，定义区域是指包含 在定义域内的区域或闭区域。 ? 在定义区域内的连续点求极限可用“代入法” 例1． 讨论函数3322 22 22,0(,)0,0x y x y x y f x y x y ?++≠?+=??+=? 在（0，0）处的连续性。 例2． （06年期末考试 十一，4分）试证222 24 22,0(,)0,0?+≠?+=??+=? xy x y x y f x y x y 在 点(0,0)不连续，但存在一阶偏导数。 例3．求 (,)(1,2)lim x y x y xy →+ 例4 ．(,)(0,0)lim x y → 4、了解闭区域上商连续函数的性质：有界性，最值定理，介值定理 二、多元函数的偏导数 1、 二元函数(,)z f x y =关于,x y 的一阶偏导数的定义（二元以上类似定义） 如果极限00000 (,)(,) lim x f x x y f x y x ?→+?-?存在，则有 00 000 0000000 (,)(,) (,)lim x x x x x y y x x x x y y y y f x x y f x y z f z f x y x x x =?→=====+?-??= ===??? （相当于把y 看成常数！所以求偏导数本质是求一元函数的导数。）
数学考研：一元函数微分学的知识点和常考题型
数学考研：一元函数微分学的知识点和常考题型 【大纲内容】 导数和微分的概念 导数的几何意义和物理意义(数三经济意义) 函数的可导性与连续性之间的关系 平面曲线的切线和法线 导数和微分的四则运算基本初等函数的导数 复合函数、反函数、隐函数以及参数方程所确定的函数(数三不要求)的微分法 高阶导数 一阶微分形式的不变性 微分中值定理 洛必达法则 函数单调性的判别 函数的极值 函数图形的凹凸性、拐点及渐近线 函数图形的描绘 函数的最大值和最小值 弧微分、曲率的概念、曲率圆与曲率半径(数三不要求) 【大纲要求】 1.理解导数和微分的概念，理解导数与微分的关系，理解导数的几何意义，会求平面曲线的切线方程和法线方程，了解导数的物理意义(数三经济意义)，会用导数描述一些物理量，理解函数的可导性与连续性之间的关系。 2.掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，掌握基本初等函数的导数公式。了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性，会求函数的微分。 3.了解高阶导数的概念，会求简单函数的高阶导数。 4.会求分段函数的导数，会求隐函数和由参数方程所确定的函数(数三不要求)以及反函数的导数。
5.理解并会用罗尔(Rolle)定理、拉格朗日(Lagrange)中值定理和泰勒(Taylor)定理(数三了解)，了解并会用柯西(Cauchy)中值定理。 6.掌握用洛必达法则求未定式极限的方法。 7.理解函数的极值概念，掌握用导数判断函数的单调性和求函数极值的方法，掌握函数最大值和最小值的求法及其应用。 9.了解曲率、曲率圆与曲率半径的概念，会计算曲率和曲率半径。(数三不要求) 【常考题型】 1.导数概念; 2.求给定函数的导数或微分(包括高阶导数)隐函数和由参数方程确定的函数求导; 3.函数的单调性和极值; 4.曲线的凹凸性与拐点; 5.利用微分中值定理证明有关命题和不等式或讨论方程在给定区间内的根的个数; 6.利用洛必达法则求极限; 7.几何、物理、经济等方面的最大值、最小值应用题。解这类问题，主要是确定目标函数和约束条件，判定所讨论区间。
2多元函数积分学.docx
2.多元函数积分学 K考试内容》（数学一） 二重积分、三重积分的概念及性质二重积分与三重积分的计算和应用两类曲线积分的概念、性质及计算两类曲线积分的关系格林公式平面曲线积分与路径无关的条件己知全微分求原函数两类曲面积分的概念、性质及计算两类曲面积分的关系高斯公式斯托克斯公式散度、旋度的概念及计算曲线积分和曲面积分的应用 K考试要求》（数学一） 1 ?理解二重积分、三重积分的概念，了解重积分的性质，了解二重积分的中值定理。 2.掌握二重积分的计算方法（直角坐标、极坐标），会计算三重积分（直角坐标、柱面坐标、球面坐标）。 3?理解两类曲线积分的概念，了解两类曲线积分的性质及两类曲线积分的关系。 4.掌握计算两类曲线积分的方法。 5.掌握格林公式并会运用平面曲线积分与路径元关的条件，会求全微分的原函数。 6.了解两类曲面积分的概念、性质及两类曲面积分的关系，掌握计算两类曲面积分的方法。会用高斯公式、斯托克斯公式计算曲面、曲线积分。 7.了解散度与旋度的概念，并会计算。 8.会用重积分、曲线积分及曲面积分求一些几何量与物理量（平面图形的面积、体积、曲面面积、弧长、质量、重心、转动惯量、引力、功及流量等）。 K考试要求』（数学二） 1.了解二重积分的概念及性质，掌握二重积分的计算方法（直角坐标、极坐标）。 K考试要求》（数学三） 1.了解二重积分的概念及性质，掌握二重积分的计算方法（直角坐标、极坐标）。 2.了解无界区域上较简单的广义二重积分及其计算。 K考试要求》（数学四） 同数学三
2.多元函数积分学 K知识点概述H 2. 1二重积分 基本概念：定义、基本性质 计算方法：直角坐标法（x型简单区域；y型简单区域）极坐标法（r型简单区 域；&型简单区域）一般变换法 几何应用：面积、曲顶柱体体积物理应用：质量、质心、转动惯量 2. 2三重积分 基本概念：定义、基本性质 计算方法：直角坐标法：x型简单区域；y型简单区域；z型简单区域 投影法（先定积分后二重积分） 截面法（先二重积分后定积分）柱坐标法；球坐标法；一般变换法 儿何应用：体积物理应用：质量、质心、转动惯量、引力 2. 3曲线积分 第一类曲线积分 基本概念：定义、基本性质 计算方法：参数化法 儿何应用：弧长 物理应用：质量、质心、转动惯量、引力 第二类曲线积分 基本概念：定义、基本性质计算方法：参数化法 曲线积分基本定理（曲线积分与路径无关的条件（平面情形，空间情形）； 全微分的原函数；场论基本概念与计算格林公式（平面曲线积分）；斯托克 斯公式（空间曲线积分）物理应用：功，环流量，通量第一类曲线积分与第二类曲线积分的联系
一元函数微分学综合练习题 (1)
第二章 综合练习题 一、 填空题 1. 若21lim 11x x x b x →∞??+-+= ?+?? ，则b =________. 2. 若当0x →时，1cos x -与2sin 2x a 是等价无穷小，则a =________. 3. 函数21()1ln f x x = -的连续区间为________. 4. 函数2()ln |1| x f x x -=-的无穷间断点为________. 5. 若21sin ,0,(),0, x x f x x a x x ?>?=??+?…在R 上连续，则a =________. 6. 函数()sin x f x x =在R 上的第一类间断点为________. 7 当x → 时，1 1x e -是无穷小量 8 设21,10(), 012,12x x f x x x x x ?--≤
一元函数微分学练习题(答案)
一元函数微分学练习题答案 一、计算下列极限： 1．93 25 235lim 222-=-+=-+→x x x 2．01)3(3)3(13lim 2 2223=+-=+-→x x x 3．x x x 11lim --→) 11(lim )11()11)(11(lim 00+--=+-+---=→→x x x x x x x x x 21 1 011 1 11lim -=+--= +--=→x x 4．0111 111lim )1)(1()1(lim 112lim 1212 21=--+-=-+=-++=-++-→-→-→x x x x x x x x x x x 5．21 )23()124(lim 2324lim 202230=++-=++-→→x x x x x x x x x x x x 6．x t x t x t x x t x t x t x t t t 2)2(lim ) )((lim )(lim 00220-=--=--+-=--→→→ 7．0001001311 1lim 13lim 4 2322 42=+-+=+-+ =+-+∞ →∞→x x x x x x x x x x 8．943)3(2) 13()31()12(lim )13()31()12(lim 10 82108 210 108822=-?=---=---=∞→∞→x x x x x x x x x x x 原式 9．2)211(lim 22 11)211(1lim )21...41211(lim =-=-- =++++∞→∞→∞→n n n n n n 10．21 2lim 02tan lim 3sin lim )2tan 3sin (lim 0000=+=+=+ →→→→x x x x x x x x x x x x x x 11．01 sin lim 20=→x x x （无穷小的性质）
多元函数微分学总结
多元函数微分学总结内部编号：（YUUT-TBBY-MMUT-URRUY-UOOY-DBUYI-0128）
`第八章多元函数微分学 基本知识点要求 1.理解多元函数的概念，理解二元函数的几何意义. 2.了解二元函数的极限与连续的概念以及有界闭区域上连续函数的性质。 3.理解多元函数偏导数和全微分的概念，会求全微分，了解全微分存在的必要条件和充分条件，了解全微分形式的不变性。 4.理解方向导数与梯度的概念，并掌握其计算方法. 5.熟练掌握多元复合函数一阶、二阶偏导数的求法. 6.了解隐函数存在定理，熟练掌握多元隐函数偏导数的求法. 7.了解空间曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线的概念，熟练掌握它们的方程的求法。 8.了解二元函数的二阶泰勒公式. 9.理解多元函数极值和条件极值的概念，掌握多元函数极值存在的必要条件，掌握二元函数极值存在的充分条件，并会求二元函数的极值，会用拉格朗日乘数法求条件极值，会求简单多元函数的最大值和最小值，并会解决一些简单的应用问题。 基本题型及解题思路分析 题型1 与多元函数极限、连续、偏导数和可微的概念及其之间的关系有关的题 1.二元函数的极限与连续的概念及二元函数极限的计算。 （1）基本概念
①二元函数极限的定义：设()(,)f P f x y =的定义域为D ,000(,)P x y 是D 的聚点.若?常数A ，对于?0ε>，总?0δ>，使得当0(,)(,)P x y D U P δ∈时，都有 ()(,)f P A f x y A ε-=-<成立，则称A 为函数(,)f x y 当00(,)(,)x y x y →时的极限，记 作 000 (,)(,) lim (,)lim ()x y x y P P f x y A f P A →→==或。 ②二元函数的连续：设()(,)f P f x y =的定义域为D ,000(,)P x y 为D 的聚点，且 0P D ∈.若 0000(,)(,) lim (,)(,)x y x y f x y f x y →=，则称(,)f x y 在点000(,)P x y 连续。 （2）关于二元函数极限的解题思路 注意：在二元函数0 lim ()P P f P A →=存在的定义中，0P P →方式任意，正是由于这 一点致使二元函数有与一元函数不一样的性态，在学习过程中注意比较、总结和体会二者之间的不同。 ① 证明二元函数的极限不存在：若0P P 以两种不同的方式趋于时，()f P 的极 限不同，则0 lim ()P P f P →一定不存在（见例1）。 ②求二元函数的极限：可以应用一元函数求极限方法中的适用部分求二元 函数的极限，比如：极限的局部有界性、局部保号性、四则运算法则、夹逼准则、两个重要的极限、变量代换法则、等价无穷小代换、分子分母有理化、无穷小量与有界变量的乘积仍为无穷小量、连续性等（见例2） 例1证明：2 24(,)xy f x y x y =+在原点0,0（）的极限不存在。 【分析】观察分子、分母中变量,x y 的各次幂的特点，可考虑选择路径 2x ky =。 证明： 22 24242442000lim (,)lim lim 1y y y x ky x ky xy ky k f x y x y k y y k →→→=====+++， k ∴不同，极限值就不同，故 (,)(0,0) lim (,)x y f x y →不存在。
多元函数微分学及其应用
第8章 多元函数微分学及其应用 参考解答 1、设22 , y f x y x y x ??+=- ??? ，求(),f x y ，(),f x y xy -。 解：()()()()2 21, 1y y x y x f x y x y x y x y x y y x x y x - -??+=+-=+=+ ?+? ? + ，故得 ()2 1,1y f x y x y -=+，()()21,1xy f x y xy x y xy --=-+ 2、求下列各极限： 2242222 2220000 cos sin 1(1) lim lim lim sin 204x r r y x y r r x y r θθθ→→→→===+ 注意：在利用极坐标变换cos , sin x r y r θθ==来求极限时，θ也是变量。本题中，0r →时，2r 为无穷小量，而2 sin 2θ为有界变量，故所求极限为零。 ()00sin sin (2) lim lim 1x t y a xy t xy t →→→== 3、证明极限2 2400 lim x y xy x y →→+不存在。 证明：当2 y kx =时，()2242,1xy k f x y x y k ==++，故2 22420 lim 1y kx x xy k x y k =→=++与k 有关。可见，(),x y 沿不同的路径趋于()0,0时，函数极限不同，故极限不存在。（两路径判别法） 4、讨论下列函数在()0,0点处的连续性： （1）()()()222222 22 ln , 0 ,0, 0 x y x y x y f x y x y ?+++≠?=?+=?? 解： ()() ()()() ()()()2 222,0,0,0,0 lim ,lim ln lim ln 00,0x y x y t f x y x y x y t t f →→→= ++=== 故原函数在()0,0点处连续。
第八讲 多元函数积分学知识点
第八讲 多元函数积分学知识点 一、二重积分的概念、性质 1、 ∑??=→?=n i i i i d D f dxdy y x f 1 0),(lim ),(δηξ ，几何意义：代表由),(y x f ，D 围成的曲顶柱体体积。 2、性质： （1）=??D dxdy y x kf ),(??D dxdy y x f k ),( （2）[]??+D dxdy y x g y x f ),(),(= ??D dxdy y x f ),(+??D dxdy y x g ),( （3）、D d x d y D =?? （4）21D D D +=,??D dxdy y x f ),(=??1),(D dxdy y x f +??2 ),(D dxdy y x f (5)若),(),(y x g y x f ≤，则≤??D dxdy y x f ),(??D dxdy y x g ),( （6）若,),(M y x f m ≤≤则MD dxdy y x f mD D ≤≤??),( (7)设),(y x f 在区域D 上连续，则至少存在一点D ∈),(ηξ，使=??D dxdy y x f ),(D f ),(ηξ 二、计算 （1） D:)()(,21x y x b x a ??≤≤≤≤ ????=) ()(21),(),(x x b a D dy y x f dx dxdy y x f ?? （2） D ：)()(,21y x y d y c ??≤≤≤≤， ????=) ()(21),(),(x x d c D dy y x f dy dxdy y x f ?? 技巧：“谁”的范围最容易确定就先确定“谁”的范围，然后通过划水平线和 垂直线的方法确定另一个变量的范围 （3）极坐标下：θθθrdrd dxdy r y r x ===,sin ,cos ????=) (0)sin ,cos ( ),(θβαθθθr D rdr r r f d dxdy y x f 三、曲线积分 1、第一型曲线积分的计算 （1）若积分路径为L ：b x a x y ≤≤=),(φ，则
多元函数积分学
多元函数积分学总结 多元函数积分学是一元函数积分学的拓展与延伸，包括二重积分、三重积分、曲线积分、曲面积分。 几何意义：曲顶柱体的体积 性质：线性性质、可加性、单调性、估值性质、中值定理 计算方式：x 型、y 型、极坐标（2 2 y x +） 常见计算类型： ① 选择积分顺序：能积分、少分块 ② 交换积分顺序：确定积分区域→交换积分顺序→开始积分 ③ 利用对称性简化计算：要兼备被积函数和积分区域两个方面，不可误用。 ④ 极坐标系下的二重积分的定限：极点在积分区域内（特殊：与x 轴相切、与y 轴相切）、极点不在积分区域内 ⑤ 其他：利用几何意义、含绝对值时先去绝对值、分段函数、概率积分 了解“积不出来函数”：dx x ?)cos(2、dx e x ? -2 、dx x ? ln 1、dx x x ?sin 概率积分例题展示 证明 2 2 π = ? ∞ +-dx e x 证：令=)(x f 2 x e - ① 易证)()(x f x f -=?)(x f 为偶函数? 2 12 = ? +∞ -dx e x dx e x 2 ? +∞ ∞ -- （奇偶对称性、轮换对称性、周期性→简化计算） ② 已知dx e x ? -2 为“积不出来函数”，所以改变我们所求目标函数dx e x 2 ?+∞ ∞ --的形式 令= w dx e x 2 ? +∞ - 4 1 2 =w ? dx e x 2 ? +∞ ∞ -- 4 1= dxdx e x x ? ?+∞ ∞ -+-+∞ ∞ -) (22 （了解“积不出来函数”，增强目标意识，适当转化目标函数形式）
③ 令其中一个x 变成y ，构造2 2 y x + 2 w 4 1 = dxdy e y x ? ?+∞ ∞ -+-+∞∞ -) (22 ④ 将θcos r x =，θsin r y =带入上一步的2 w 易得),0(+∞∈r ，)2,0(π∈θ 2 w =θdrd e r r ? ?-+∞ ?π 20 2 41 = ?? +∞ -?π20 2 θd dr e r r 20 2 12 1 2dr e r ?=? +∞ -π 2021212 lim dr e b r b ?=?-+∞ →π )1(2121 2lim --=-+∞ →b b e π π4 1==?w 2π 即220π=?∞+-dx e x 成立 （极坐标系?直角坐标系，选择合适的积分次序将二重积分?二次积分，了解广义定积分） （此类积分为概率积分 b dt e b dx e t bx π 2110 2 2 ? ? ∞ +-∞ +-= = ）
一元函数微分学知识点
第一章 函数与极限 1. 函数 会求函数的定义域，对应法则； 几种特殊的函数（复合函数、初等函数等）； 函数的几种特性（有界性、单调性、周期性、奇偶性） 2. 极限 （1）概念 无穷小与无穷大的概念及性质； 无穷小的比较方法；（高阶、低阶、同阶、等价） 函数的连续与间断点的判断 （2）计算 函数的极限计算方法（对照极限计算例题，熟悉每个方法的应用条件） 极限的四则运算法则 利用无穷小与无穷大互为倒数的关系； 利用无穷小与有界函数的乘积仍为无穷小的性质； 消去零因子法； 无穷小因子分出法； 根式转移法； 利用左右极限求分段函数极限； 利用等价无穷小代换（熟记常用的等价无穷小）； 利用连续函数的性质； 洛必达法则（掌握洛必达法则的应用条件及方法）； ∞∞或00型，) ()(lim )()(lim x g x f x g x f ''= 两个重要极限（理解两个重要极限的特点）；1sin lim 0=→x x x ，1)()(sin lim 0)(=??→?x x x e x x x =+→10)1(lim ，e x x x =+∞→)11(lim ， 一般地，0)(lim =?x ，∞=ψ)(lim x ，)()(lim )())(1lim(x x x e x ψ?ψ=?+ 3 函数的连续 连续性的判断、间断点及其分类 第二章 导数与微分 1 导数 （1）导数的概念：增量比的极限；导数定义式的多样性，会据此求一些函数的极限。 导数的几何意义：曲线上某点的切线的斜率 （2）导数的计算：
基本初等函数求导公式； 导数的四则运算法则；（注意函数积、商的求导法则） 复合函数求导法则（注意复合函数一层层的复合结构，不能漏层） 隐函数求导法则（a ：两边对x 求导，注意y 是x 的函数；b ：两边同时求微分；） 高阶导数 2 微分 函数微分的定义，dx x f dy x x )(00'== 第三章 导数的应用 洛必达法则（函数极限的计算） 函数的单调性与极值，最值、凹凸性与拐点的求法
多元函数微分学及其应用
《高等数学》课程学习指导与讨论题 第五章多元函数微分学及其应用 在理论研究和实际应用中，经常遇到具有两个或两个以上自变量取值为数量或向量的函数，就是多元数量值函数与多元向量值函数，统称为多元函数，本章研究多元函数微分学的基本概念、理论和方法以及它们的应用，包括多元函数的极限与连续性。导数(方向导数，偏导数与梯度)与全微分等基本概念，多元函数微分法、极值问题以及多元函数微分学的一些几何应用。多元函数微分学中的基本概念、理论和方法是一元函数相应概念、理论和方法的推广和发展，因此它们之间既有相同之处，又有许多本质上的不同，同学们在学习这部分内容的时候，既要注意它们的相同点和互相联系，更要注意它们之间的不同点，善于将它们进行比较，研究推广到多元函数之后出现的新情况和新问题以及为什么会出现这些差异，有能力的同学还应注意推广的方法，以提高自己分析和解决问题的能力。 本章教学实施方案(总计30学时) 讲课：24学时分 1.n维Enclid空间中点集的初步知识（2学时）2.多元函数的极限与连续性(2学时) 3.多元数量值函数的导数与微分(7学时) 4．多元函数的Taylor公式与极值问题(4学时)；5．多元向量值函数的导数与微分(3学时)；6．多元函数微分学的几何应用(3学时) 7.空间曲线的曲率与挠率（3学时）。 习题课：4学时 1.多元函数极限、连续、偏导数与全微分（2学时）；2.多元函数的极值与多元微分在几何中的应用（2学时）。 讨论课：2学时多元函数极限、连续、偏导数、方向导数、梯度、全微分的概念及联系；；多元函数在极值问题中与几何方面的应用。 第一节 n维Enclid空间中点集的初步知识 一、教学内容与重点 n R中点列的极限与点集的初步知识。 二、教学要求 1. 理解n维欧氏空间n R中点列极限的概念及性质，了解它们与一维空间中
多元函数积分学(上)
重积分测验题 一、选择题（每小题4分） 1、设??????+=+=+= D D D dxdy y x I dxdy y x I dxdy y x I )(,)(,)ln(322 1，其中D 是由直线 1,2 1 ,0,0=+= +==y x y x y x 所围成的区域，则321,,I I I 的大小顺序为_________. A 、123I I I << B 、321I I I << C 、231I I I << D 、213I I I << 2、设?? =1 21 sin y dx x dy I ，则I 等于___________. A 、 )1cos 1(2 1 - B 、1cos 1- C 、1sin 1+ D 、积不出来 3、设 ,),(),(10 10 ? ???-=x D dy y x f dx dxdy y x f 则改变其积分次序后应为_________. A 、 ?? -1 10 ),(dx y x f dy x B 、? ?-x dx y x f dy 101 ),( C 、 ?? 1 1 ),(dx y x f dy D 、? ?-y dx y x f dy 10 1 ),( 4、设0,:22221≥≤++Ωz R z y x 及0,0,0,:22222≥≥≥≤++Ωz y x R z y x 则___. A 、??????ΩΩ=2 1 4xdv xdv B 、??????ΩΩ=2 1 4ydv ydv C 、 ??????ΩΩ=2 1 4zdv zdv D 、??????ΩΩ=2 1 4xyzdv xyzdv 5、 Ω是由曲面1,0,,22===+=z y x y y x z 在第一卦限所围成的区域，),,(z y x f 在Ω 上连续，则 ???Ω dv z y x f ),,(=__________. A 、 ?? ? +-1 11 2 2 2 ),,(y x y y dz z y x f dx dy B 、?? ? +-1 12 20 2 2 2 ),,(y x x x dz z y x f dy dx C 、 ?? ? +-1 12 2 2 2 2 ),,(y x y y dz z y x f dx dy D 、???+1 10 2 2 ),,(y x y dz z y x f dx dy 二、填空题（每小题4分） 1、由二重积分的几何意义得到 =??≤+1 43 22y x d σ 2、二重积分 ?? D xydxdy 的值为__________,其中.10,0:2 ≤≤≤≤x x y D
第八章多元函数微分法及其应用.doc
第八章多元函数微分法及其应用 一、内容提要 多元函数微分法是一元两数微分法的推广，有许多相似之处，学习时应 注意对比，搞清界同. 1. 基本概念与定理 设函数U = f(P),点P 可以是1,2,3,…丿维的.当n>2时,称此函数为多 ① 二元函数z = /(X, y)在儿何上表示空间一张曲面. ② 二元函数z = /(x,y)在点心(巾,儿)处的极限、连续、偏导数、全 微分的定义及关系. 极限 lim f(x,y) = A ： V^>0,3t> >0,当 X->X0 .v->yo ()< p = J(_r_x ())2 +(y _y ())2 < 6时，有 I f(x, y) - A \0 Ay 二阶偏导数. 类似,可定义三阶以上的偏导数. _ 可微 若全增量A< = f(x 0 + 心,y ()+ Ay) - f(x 0,y 0)町表示为 Az = AAx + BAy + o(p),其中 q 二 J (心尸 +(2\)护， 则称z = f (x, y)在点P 0(x 0,y 0)可微.而AAx + BAy 为函数z = f (x, y)在点 P ()(w )，y ())的全微分，记 作 dA. . =AAx + B^y 定理1若函数z = /(x,y)的二阶混合偏导数f xy (x,y)及 /vx (x,y)在区域D 内连续，贝I 」在该区域内(x, y) = /VA .(x,y) ? 偏导 高阶偏导 —阶偏导数f x (x, y), fy (x, y)的偏导数，称为函数f (x, y)的 a? = /.u-UoO=￡ dydx 空、 dx )