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近世代数学习系列十中英对照

近世代数中英对照学习

一、字母表

atom：原子

automorphism：自同构

binary operation：二元运算

Boolean algebra：布尔代数

bounded lattice：有界格

center of a group：群的中心

closure：封闭

commutative(Abelian) group：可交换群，阿贝尔群commutative(Abelian) semigroup：可交换半群comparable：可比的

complement：补

concatenation：拼接

congruence relation：同余关系

cycle：周期

cyclic group：循环群

cyclic semigroup：循环半群

determinant：行列式

disjoint：不相交

distributive lattice：分配格

entry：元素

epimorphism：满同态

factor group：商群

free semigroup：自由半群

greatest element：最大元

greatest lower bound：最大下界，下确界group：群

homomorphism：同态

idempotent element：等幂元identity：单位元，么元

identity：单位元，么元

inverse：逆元

isomorphism：同构

join：并

kernel：同态核

lattice：格

least element：最小元

least upper bound：最小上界，上确界left coset：左陪集

lower bound：下界

lower semilattice：下半格

main diagonal：主对角线

maximal element：极大元

meet：交

minimal element：极小元

minimal generating set：最小生成集

monomorphism：单同态

normal subgroup：正规子群，不变子群

octic group(group of symmetries of the square)：八阶群，平方对称群

orbit：轨道

order：群的阶，元素的阶

partially ordered set (poset)：偏序集

partition：分割

quotient semigroup：商半群

retract：收缩

retraction map：收缩映射

semigroup with identity, monoid：含么半群，独异点semigroup：半群

semilattice：子半格

string, word：字符串，单词

subgroup：子群

sublattice：子格

subsemigroup：子半群

symmetric group：对称群

total ordering, chain, linear ordering：全序，链，线序

upper bound：上界upper semilattice：上半格

二、本章内容及教学要点：

8.1Partially Ordered Sets Revisited

教学内容：poset，(least)upper bound，greatest element，(greatest)lower bound，least element，maximal(minimal) element，upper(lower) semilattice

8.2Semigroups and Semilattices

教学内容: semigroup，Abelian semigroup，monoid，subsemigroup，free semigroup，minimal generating set，congruence relation，quotient semigroup，semilattice，idempotent element

8.3 Lattices

教学内容：lattice，sublattice，bounded lattice，distributive lattice，Boolean algebra，complement，atom

8.4 Groups

教学内容：group，identity，inverse，commutative(Abelian) group，order，subgroup，cyclic group，left coset

8.5 Groups and Homomorphisms

教学内容：monomorphism，epimorphism，isomorphism，normal subgroup，octic group(group of symmetries of the square)

定理证明及例题解答

三、前言

代数的概念与方法是研究计算机科学和工程的重要数学工具. 众所周知，在许多实际问题的研究中都离不开数学模型，而构造数学模型就要用到某种数学结构，而近世代数研究的中心问题是代数系统的结构：半群、群、格与布尔代数等等. 近世代数的基本概念、方法和结果已成为计算机科学与工程领域中研究人员的基本工具. 在研究形式语言与自动机理论、编码理论、关系数据库理论、抽象数据类型理论中，在描述机器可计算的函数、研究计算复杂性、刻画抽象数据结构、研究程序设计学中的语义学、设计逻辑电路中有着十分广泛的应用.

为什么要研究代数系统？代数是专门研究离散对象的数学，是对符号的操作.它是现代数学的三大支柱之一（另两个为分析与几何）.代数从19世纪以来有惊人的发展，带动了整个数学的现代化.随着信息时代的到来，计算机、信息都是数字（离散化）的，甚至电视机．摄像机、照相机都在数字化.知识经济有人也称为数字经济.这一切的背后的科学基础，就是数学，尤其是专门研究离散对象的代数.代数发端于“用符号代替数”，后来发展到以符号代替各种事物.

在一个非空集合上，确定了某些运算以及这些运算满足的规律，于是该非空集合中的元素就说是有了一种代数结构.现实世界中可以有许多具体的不相同的代数系统. 但事实上，不同的代数系统可以有一些共同的性质. 正因为此，我们要研究抽象的代数系统，并假设它具有某一类具体代数系统共同拥有的性质.任何在这个抽象系统中成立的结论，均可适用于那一类代数系统中的任何一个.

代数学历史悠久. 代数的发展可分成两个阶段. 19世纪这前的代数称为古典代数，19世纪至今的代数称为近世代数（抽象代数）.

远在古希腊时期，人们就知道可以用符号代表所解问题中的未知数，并且这些符号可以像数一样进行运算，直到获得问题的解.古典代数的基本研究对象是方程，它是以讨论方程的解法为中心. 在古典代数中，每一个符号代表的总是一个数，但这个数可以是整数也可以是实数. 古典代数的主要目标是用代数运算解一元多次方程. 它成功地解决了一元二次、一元三次和一元四次方程的求解问题.

19世纪初，人们逐渐认识到，符号不仅可以代表数，而且可以代表任何事物. 在这种思想认识的支配下，人们开始将任意集合上所进行的代数运算作为研究的对象，从而出现了近世代数体系和方法.

19世纪30年代，在寻找一元五次方程根式求解方法的过程中，年青的法国数学家伽罗瓦(E. Galois)首次得出了群的概念—用置换群的方法彻底证明了高于四次的代数方程的根式不可解性. 起初他的奇思妙想和巧妙方法虽然并不被当时人接受和理解，却发展出了一门新的学科—抽象代数学.

抽象代数学的研究对象是抽象的，它不是以某一具体事物为研究对象，而是以一大类具有共同性质的事物为研究对象. 因此其研究成果适用于这一类事物中的每一个，从而收到事半功倍之效.

抽象代数学的主要内容是研究各种各样的代数系统.它把一些形式上很不相同的代数系统，用统一的方法描述、研究和推理，从而得到反映出它们共性的一些本质的结论，然后再把这些结论应用到具体的代数系统中. 从而抽象产生了广泛的应用.

抽象代数学在计算机中有着十分重要的应用. 100多年来，随着科学的发展，抽象代数越来越显示出它在数学的各个分支、物理学、化学、力学、生物学等科学领域的重要作用. 抽象代数的概念和方法也是研究计算科学的重要数学工具.有经验和成熟的计算科学家都知道，除了数理逻辑外，对计算科学最有用的数学分支学就是代数，特别是抽象代数. 抽象代数是关于运算的学问，是关于计算规则的学问.

在许多实际问题的研究中都离不开数学模型，而构造数学模型就要用到某种数学结构，而抽象代数研究的中心问题就是一种很重要的数学结构—代数系统：半群、群、格与布尔代数等等. 计算科学的研究也离不开抽象代数的应用：半群理论在自动机理论和形式语言中发挥了重要作用；有限域理论是编码理论的数学基础，在通讯中起过重要的作用；至于格和布尔代数则更不用说了，是电子线路设计、电子计算机硬件设计和通讯系统设计的重要工具.另外描述机器可计算的函数、研究算术计算的复杂性、刻画抽象数据结构、描述作为程序设计基础的形式语义学，都需要抽象代数知识.

这一章我们将介绍近世代数中最基本的代数系统：群和半群，它们在计算学

科中有十分广泛的应用：半群在形式语言和自动机理论中有着重要的应用，群则可应用于编码理论之中.

四、中英对照

8.1 Partially Ordered Sets Revisited

定义8.1.1 A relation R on A is a partial ordering(偏序) if it is reflexive, antisymmetric, and transitive.If the relation R on A is a partial ordering, then (A,R) is a partially ordered set or poset (偏序集)with ordering R.

由于集合中的偏序关系是Z，R上的“≤”、“≥”的推广，故常用“≤”表示一般的偏序关系，偏序集用(A, ≤)表示. Note that the symbol ≤ is being used to denote the distinct partial orders.

定义8.1.2Two elements a and b of the partially ordered set (S,≤) are comparable if either a≤b or b≤a. If every two elements of a poset (S, ≤) are comparable,then ≤ is a total ordering.

在一个偏序集中，往往有一些特殊元素需要加以注意和研究：

定义8.1.3Let (A, ≤) be a poset and B a nonempty subset of A. An element a in A is called an upper bound of B(B的上界)if b≤a for all b in B. The element a is called a least upper bound(B 的上确界) of B if (1) a is an upper bound of B and (2) any other upper bound a1of B, if exists, then a≤a1.An element a in B is called a greatest element(B的最大元) of B if x≤a for all x in B.

An element a in A is called a lower bound of B(B的下界)if a≤b for all b in B. The element a is called a greatest lower bound(B的下确界) of B if (1) a is a lower bound of B and (2) any other lower bound a1 of B, if exists, then a1≤a. An element a in B is called a least element(B的最小元) of B if a≤x for all x in B.定义8.1.4Let (A, ≤) be a poset and B a nonempty subset of A. An element a in B is called a maximal element of B(B的极大元)

if for every element b of B, a≤b implies a=b. An element a in B is called a minimal element of B(B的极小元)if for every e lement b of B, b≤a implies a=b.

例8.1.1 Let A be the poset of nonnegative real numbers with the usual partial order ≤.Then 0 is a minimal element of A. There are no maximal element of A. The poset Z with the usual partial order ≤ has no minimal elements a nd no maximal elements.

例8.1.2 Let A={a,b,c}. Then in the poset (P(A),?), the empty set Φis a least element of A, and the set A is a greatest element of A.

例8.1.3 设A=P({a，b，c})，偏序关系为集合的包含关系“?”，B={{b，c}，{a，c}}，则B的上界为{a，b，c}，下界为{c}，Ф；最大(小)元不存在，极大(小)元都是{b，c}，{a，c}.

例8.1.4 设A={2，3，4，6，7，8，12}，A上的偏序关系为|(整除关系)；B={8，12}，C={2，4，12}，则

B无上界，下界为2，4；最大(小)元无，极大(小)元8，12；

C的上界12，下界为2；最大元为12，最小元为2，极大元12，极小元为2.

定理8.1.1 Let A be a finite nonempty p oset with partial order ≤. Then A has at least one maximal element and at least one minimal element.

定理8.1.2 A poset has at most one greatest element and at most one least element.

定理8.1.3 Let (A, ≤) be a poset. Then a nonempty subset B of A has at most one lub and at most glb.(设(A, ≤)为偏序集，Φ≠B?A. 若B有上(下)确界，则它们是惟一的)

证明定理8.1.3

定义8.1.5 A poset A for which all two-element subsets have a least upper bound in A is called an upper semilattice(上半格).

In an upper semilattice A, we can define a binary operation ∨(+) as a∨b=lub{a,b}. Then (A, ∨) is an algebraic structure.定义8.1.6 A poset A for which all two-element subsets have a greatest lower bound in A is called an lower semilattice(下半格).

In a lower semilattice A, we can define a binary operation ∧(〃) as a∧b=glb{a,b}. Then (A, ∧) is an algebraic structure.

定理8.1.4

(a)Let A be a n upper semilattice. Then for all a,b,c∈A, a∨(b∨c)=(a∨b)∨c, a∨a=a and a∨b=b∨a.

(b) Let A be a lower semilattice.Then for all a,b,c∈A, a∧(b∧c)=(a∧b)∧c, a∧a=a and a∧b=b∧a.

ASSIGNMENTS：

PP209-210：6，8，9，10，11，12，30，32

8.2Semigroups and Semilattices

定义8.2.1 A binary operation(二元运算)on the set S is a function f: S×S→S.

A binary operation exhibits the property of closure wherein the result of the operation on two members a and b of S is also a member of S.

定义8.2.2 A set S with a binary operation﹡on S such that for all a,b and c in S, (a﹡b)﹡c=a﹡(b﹡c) is called a semigroup(半群) and is denoted by (S,﹡) of simply S if the operation is understood.

设(S,﹡)是一个代数结构. 若﹡是一个可结合的二元运算，即：?a，b，c∈S，(a﹡b)﹡c=a﹡(b﹡c)，则称(S,﹡)为半群.

定义8.2.3Let (S,﹡) be a semigroup. If a﹡b=b﹡a for all a,b in S, then (S,﹡) is called a(commutative) Abelian semigroup(可交换半群，阿贝尔半群). If there is an element 1 in (S,﹡) such that 1﹡a=a﹡1=a for all a in S, then 1 is called the identity(单位元，么元) of (S,﹡) and (S,﹡) is called a semigroup with identity or a monoid(含么半群，独异点).

例8.2.1 (Z,+)，(Z,×)都是半群；(Z,－)不是半群；设A为任一集合，则(P(A),∪)，(P(A),∩)都是半群. (Z,+)，(Z,×)，(P(A),∪)，(P(A),∩)都是可交换半群. (Z,+)，(Z,×)都是含么半群，么元分别是0和1. (P(A),∪)，(P(A),∩)也都是含么半群，么元分别是Φ和A.

定义8.2.4Let (S,﹡) be a semigroup and T be a nonempty subset of S.If ﹡is a binary operation on T, then T is a subsemigroup(子半群) of S.

(T, ﹡) is a subsemigroup of (S, ﹡) if and only if T is a nonempty subset of S and for every a, b∈T, a﹡b∈T.

例8.2.2 ({所有偶数},+)是(Z，+)的子半群.

例8.2.3 Let S be the set of all functions from a nonempty set A to itself with the binary operation composition of functions. Then S is a semigroup and the identity function I:A→A, defined by I(a)=a for all a∈A, is the identity of A so that S is a monoid.

例8.2.4 设A是有限个符号组成的集合，称为字母表，A上的串就是A 中有限个字母组成的有序集合，空串记为 .A*表示A上的串集合，A*上的连接运算定义为α,β∈A*，α β=αβ，则(A*, )是一个含么半群，称为由A上的自由半群(The free semigroup on the alphabet A).

例8.2.5 Let Z n={[0],[1],[2],…,[n-1]} be the set of integers modulo n. Then (Z n,+) and (Z n,〃) are both commutative monoid.

定义8.2.5Let (S,﹡) be a semigroup and a be a element of S. Define a n recursively by a1=a and a n=a﹡a n-1 for n>1.

Obviously, a k﹡a m=a k+m for all integers k,m>0.

定义8.2.6Let (S,﹡) be a semigroup and a be a element of S. Let the set ={a n:n>0}={a,a2,a3,…}.Then is a subsemigroup of S. It is called the cyclic semigroup generated by a(由a生成的循环子半群).

定理8.2.1 Let (S,﹡) be a semigroup and a1,a2,…,a k∈S.Let A={a1,a2,…,a k} and A*= be the set consisiting of all finite products of a1,a2,…,a k.Then A* is a semigroup. Furthermore, A* is the smallest semigroup of S containing A.

定义8.2.7The semigroup A* is called the semigroup generated by A. If for every proper subset B of A, B*≠A*, then A is called a minimal generating set of A*(最小生成集).

定义8.2.8Let (S,﹡) and (T,〃) be semigroups and f:S→T be a function such that f(a﹡b)=f(a)〃f(b) for all a,b in S. The function f is called a homomorphism from S to T (从S到T的同态映射).定理8.2.2 Let (S,﹡) and (T,〃) be semigroups and f:S→T be a homomorphism from S to T.

(a) If S1 is a subsemigroup of S, then f(S1) is a subsemigroup of T.

(b) If T1 is a subsemigroup of T, then f-1(T1) is a subsemigroup of S.

定义8.2.9Let (S,﹡) be a semigroup and R be an equivalence relation on S. If R has the property that if aRb and cRd then (a ﹡c)R(b﹡d) for all a,b,c,d ∈S, Then R is called a congruence relation(同余关系).

定理8.2.3 The equivalence classes of a congruence relation R on a semigroup （S,﹡) form a semigroup under the binary operation 。defined by [a] 。[b]=[a﹡b].

定义8.2.10The semigroup formed by a congruence relation R on a semigroup (S,﹡) is called the quotient semigroup(商半群) and is denoted by S/R.