四川省宜宾市第四中学校2019_2020学年高二数学下学期第四学月考试试题理

四川省宜宾市第四中学校2019-2020学年高二数学下学期第四学月考

试试题理

第I 卷选择题（60分）

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的。

1．已知复数z 满足()212z i i +=-，则复数z 的虚部为A．i

-B．1

-C．i

D．1

2．命题“[1,),x ?∈+∞210x x +-≥”的否定形式是A．(,1)x ?∈-∞，使得210x x +-

x x +-≥D．[1)x ?∈+∞，使得210

x x +-<3．如图是当σ取三个不同值σ1,σ2,σ3时的三种正态曲线,那么σ1,σ2,σ3的大小关系是A．σ1>1>σ2>σ3>0B．0<σ1<σ2<1<σ3C．σ1>σ2>σ3>0

D．0<σ1<σ2=1<σ3

4．双曲线22

1169

x y -

=上P 点到左焦点的距离是6，则P 到右焦点的距离是A．12B．14C．16D．18

5．某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用新工艺把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本y （元）与月处理量x （吨）之间的函数关系可近似地表示为2

1200800002

y x x =-+，为使每吨的平均处理成本最低，该单位每月处理量应为A．200吨

B．300吨

C．400吨

D．600吨

6．有甲、乙两个班级进行数学考试，按照大于等于85分为优秀，85分以下为非优秀统计成绩，得到如下所示的列联表：

优秀非优秀总计

甲班10b

乙班c 30

总计105

已知在全部105人中随机抽取1人，成绩优秀的概率为27

，则下列说法正确的是

参考公式：()

()()()()

2

2n ad bc K a b c d a c b d -=

++++附表：

P (K 2≥k )0.050

0.0100.001

k 3.841 6.63510.828

A．列联表中c 的值为30，b 的值为35B．列联表中c 的值为15，b 的值为50

C．根据列联表中的数据，若按95%的可靠性要求，能认为“成绩与班级有关系”D．根据列联表中的数据，若按95%的可靠性要求，不能认为“成绩与班级有关系”

7．“a =

”是“函数())f x ax =为奇函数”的

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条

件

8．圆22

24

4205

x y x y ++-+

=上的点到直线340x y +=的距离的最大值是

A．

35

B．

15

C．

25

+D．

25

9．在直角坐标平面内，由曲线1xy

=，y x =，和3x =所围成的封闭图形的面积为

A．

1

ln 32

+B．4ln 3

-C．1ln 3

+D．2ln 3

-10．某科研小组有20个不同的科研项目，每年至少完成一项。有下列两种完成所有科研项目的计划：

A 计划：第一年完成5项，从第一年开始，每年完成的项目不得少于次年，直到全部完成为止；

B 计划：第一年完成项数不限，从第一年开始，每年完成的项目不得少于次年，恰好5年完成所有项目。

那么，按照A 计划和B 计划所安排的科研项目不同完成顺序的方案数量A．按照A 计划完成的方案数量多B．按照B 计划完成的方案数量多C．按照两个计划完成的方案数量一样多

D．无法判断哪一种计划的方案数量多

11．设A ，B 是抛物线24y x =上两点，抛物线的准线与x 轴交于点N ，已知弦AB 的中点M 的横坐标为3，记直线AB 和MN 的斜率分别为1k 和2k ，则2

2

12k k +的最小值为

A．B．2

D．1

12．对于三次函数()()3

2

0f x ax bx cx d a =+++≠，给出定义：设()'f x 是函数()y f x =的导数，()''f x 是()'f x 的导数，若方程()''0f x =有实数解0x ，则称点()()

00,x f x 为函数()y f x =的“拐点”．某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．设函数()32115

33212

g x x x x =

-+-，则122014201520152015g g g ??????

+++= ? ? ???????

A．2014

B．2013

C．

20152

D．1007

第II 卷非选择题（90分）

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．若函数()3

2

f x x ax x b =+++在1x =处取得极值，则实数a =______．

14．有甲、乙两台机床生产某种零件，甲获得正品乙不是正品的概率为1

4

，乙获得正品甲不是正品的概率为

1

6

，且每台获得正品的概率均大于12，则甲乙同时生产这种零件，至少一台

获得正品的概率是____.

15．光线通过一块玻璃，其强度要失掉原来的

1

10，要使通过玻璃的光线强度为原来的12

以下，至少需要重叠这样的玻璃板的块数为__________．（lg 20.3010=，lg30.4771=）16．已知点()4,0A ，抛物线C ：22y px =（04p <<）的准线为l ，点P 在C 上，作PH l ⊥于H ，且PH PA =，120APH ∠=?，则p =__________．

三．解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知函数()3

213

f x x ax bx =

-+（,a b R ∈），()()021f f ''==.（1）求曲线()y f x =在点()()

3,3f 处的切线方程；

（2）若函数()()4g x f x x =-，[]

3,2x ∈-，求()g x 的单调区间和最小值.

18．(12分)某企业有A ，B 两个分厂生产某种产品，规定该产品的某项质量指标值不低于130的为优质品.分别从A ，B 两厂中各随机抽取100件产品统计其质量指标值，得到如下频率分布直方图：

（1）填写22?列联表，并根据列联表判断有多大的把握认为这两个分厂的产品质量有差异？

优质品非优质品合计

A

B

合计

（2）（i）从B 分厂所抽取的100件产品中，利用分层抽样的方法抽取10件产品，再从这10件产品中随机抽取2件，已知抽到一件产品是优质品的条件下，求抽取的两件产品都是优质品的概率；

（ii）将频率视为概率，从B 分厂中随机抽取10件该产品，记抽到优质品的件数为x ，求x 的数学期望.

附：22

()()()()()

n ad bc K a b c d a c b d -=++++，n a b c d =+++.

()

2P K k >0.1000.0500.0250.0100.001

k

2.706

3.841 5.024 6.63510.828

19．（12分）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，2AC BC ==，D 为棱1CC 的中点，

11AB A B O ?=.

（1）证明：1//C O 平面ABD ；

（2）设二面角D AB C --

的正切值为2

，AC BC ⊥，12A E EB = ，求

异面直线1C O 与CE 所成角的余弦值.

20．（12分）已知直线2

:220(1)l x ay a a --=>，椭圆2

2122:1,,x C y F F a

+=分别为椭圆的

左、右焦点.

(1)当直线l 过右焦点2F 时，求椭圆C 的标准方程；

(2)设直线l 与椭圆C 交于,A B 两点，O 为坐标原点，且2,2.AG GO BH HO ==

，若点O 在

以线段GH 为直径的圆内，求实数a 的取值范围.21．（12分）已知函数()ln 1()f x a x x a =-+∈R （1）求函数()f x 的单调区间；

（2）当0a <时，对任意的()1212,(0,1],x x x x ∈<，都有()()1212114f x f x x x ??

-<- ???

，求实数a 的取值范围.

（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。

22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10

分）

在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为11x m m

y m m ?

=+????=-

??

（m 为参数），以坐标原点O 为极点，

x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l

sin cos 0.

θρθ--=（1）求曲线C 和直线l 的直角坐标系方程；

（2）已知()0,1P 直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，求11

PA PB

+的值.23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）已知函数()|2||1|f x x x =++-．

（1）求证：()3f x ≥；

（2）求不等式2()f x x ≥的解集．

2020年春四川省宜宾市第四中学高二第四学月考试

理科数学参考答案

1．B

2．B 3．D 4．B

5．C

6．C

7．A

8．C

9．A

10．C

11．D

12．A

13．2-14．

1112

15．616．

85

17．（1）因为()2

2f x x ax b =-+'，由()()021f f ''==即1{441b a b =-+=，得1

{1

a b ==，

则()f x 的解析式为()3

213

f x x x x =

-+，即有()33f =，()34f '=所以所求切线方程为490x y --=.

（2）∵()32133

g x x x x =--，∴()223g x x x =--'，由()2

230g x x x =-->'，得1x <-或3x >，

由()2230g x x x =--<'，得13x -<<，∵[]

3,2x ∈-，

∴()g x 的单调增区间为[]3,1--，减区间为(]

1,2-，∵()()223923

g g -=-<=-，∴()g x 的最小值为9-.

18．（1）A 分厂的质量指标值的众数的估计值为

()1

1101201152

+=，设A 分厂的质量指标值的中位数的估计值为x ，则

()0.180.231100.0300.5x ++-?=，解得113x =．

（2）22?列联表：

由列联表可知2K 的观测值为：

()

()()()()

2

2

n ad bc K a b c d a c b d -=

++++()2

200580952072

10.286 6.63510010025175

7

??-?=

=

≈>???，所以有99%的把握认为两个分厂的产品质量有差异．

（3）（i）依题意，B 厂的100个样本产品利用分层抽样的方法抽出10件产品中，优质品有2件，非优质品有8件，

设“从这10件产品中随机抽取2件，已知抽到一件产品是优质品”为事件M ，“从这10件产品中随机抽取2件，抽取的两件产品都是优质品”为事件N ，则

22211

2281

(|)17

C P N M C C C ==+，所以已知抽到一件产品是优质品的条件下，抽取的两件产品都是优质品的概率是

1

17

．（ii）用频率估计概率，从B 分厂所有产品中任取一件产品是优质品的概率为0.20，所以随机变量X 服从二项分布，即()~10,0.20X B ，则()100.202E X =?=．19．：（1）证明：取AB 的中点F ，连接OF ，DF ，∵侧面11ABB A 为平行四边形，∴O 为1AB 的中点，∴11//

2OF BB ，又111

//2

C D BB ，∴1//OF C D ，

∴四边形1OFDC 为平行四边形，则1//C O DF .

∵1C O ?平面ABD ，DF ?平面ABD ，∴1//C O 平面ABD .（2）解：过C 作CH AB ⊥于H ，连接DH ，则DHC ∠即为二面角D AB C --的平面角.

∵CH =

，tan 2

CD DHC CH ∠=

=

，∴1CD =.以C 为原点，建立空间直角坐标系C xyz -，如图所示，则()10,0,2C ，()0,2,0B ，()0,0,1D ，

()12,0,2A ，

则()1,1,1O ，11222,,3333BE BA ??==- ??? ，242,,333CE BE BC ??

=-= ??? .

∵()11,1,1C O =-

，∴1114

3cos ,3C O CE

C O CE C O CE

?==?

，∴异面直线1C O 与CE

所成角的余弦值为

3

.20．解：(1)由已知可得直线l 与x 轴的交点坐标2(,0)2

a ，所以22a

c =①，

又2

2

1a c -=②，由①②解得2

2a =，2

1c =，所以椭圆C 的方程为2

212

x y +=．

(2)设()11,A x y ，()22,B x y ，

由222

2

220,1,x ay a x y a ?--=??+=?

?得223428440a y a y a a ++-=，由()

()2

3

24264448416+1280a a a a a a ?=-?-?=>，又1a >

，解得1a <<①，

由根与系数关系，得3122482a a y y a +=-=-，42212244

88

a a a y y a --==

由2AG GO = ，2BH HO = 可得11,33x y G ?? ???，22,33x y H ?? ???

，()()2

2

12

12

2||9

9

x x y y GH --=+，

设M 是GH 的中点，则1212,6

6x x y y M ++??

???，

由已知可得12MO GH <，即()()2222

12121212166499x x y y x x y y ++++????

+<+ ? ???

????????

??，整理得12120x x y y +<，

又()234

22121212124222224

a y y a y y a

ay a ay a x x +++++=?=

，所以()234

1212124204

a y y a y y a y y ++++<，

所以(

)

()2

3

412124420a y y a

y y a ++++<，

即()22

344442082a a a a a -??

+?+?-+< ???

，即240a -<，所以22a -<<②，综上所述，由①②得a 的取值范围为12a <<．

21．（1）定义域为(0,)+∞，()1a a x f x x x

'

-=

-=，当0a 时，()0f x '<，所以()f x 在(0,)+∞上单调递减；

当0a >时，由()0f x '<解得x a >，由()0f x '>解得0x a <<，

即()f x 在(0,)a 上单调递增，在(,)a +∞上单调递减.

综上所述，当0a 时，()f x 的单调减区间为(0,)+∞，无增区间；

当0a >时，()f x 的单调增区间为(0,)a ，减区间为(,)

a +∞（2）()()1212114f x f x x x ??

-<-

???

，即()()121244f x f x x x -<-，

令4

()()g x f x x

=-

，则可知函数()g x 在(0,1]上单调递增，所以2244()()10a g x f x x x x

''=+

=-+ 在(0,1]上恒成立，即4a x x - 在(0,1]上恒成立，只需max 4a x x ?

?- ??

? ，而函数4y x x =-在(0,1]单调递增，

所以max

4143a x x ?

?

-

=-=- ??

? ，综上所述，实数a 的取值范围为[3,0)-.22．（1）由题知2x y m +=，2x y m -=，消去m 有22

22

4144

x y x y -=?-=，

即曲线2

2

144x y

C :-=

，因为sin cos 0

cos 0sin x x y θρθρθ

ρθ

--==?--??=?

，

即直线0x l --=；

（2）易知点()0,1P 在直线l 上，且直线l 的倾斜角为

6

π，则直线l

的参数方程为2112x t y t ?=????=+??

（t 为参数），因为直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，

所以有2

22

3111450222t t t ????-+=?--= ? ? ??

???

，解得11t =

，2t =，

根据参数的几何意义有11PA t =

，21PB t ==+,

有12t t +=，1210t t ?=

，

1212121111105

PA PB t t t t t t +=?+=+==.23．（1）证明：()()()21213f x x x x x =++-≥+--=．

（2）()21,2,

3,21,21,1,

x x f x x x x --≤-??

=-<

所以22,21,x x x ≤-??--≥?或221,3,x x -<

1,21,x x x ≥??+≥?

解得1x ≤≤+

{|1x x ≤≤+．