一、多选题
1.正方形ABCD 的边长为1,记AB a =,BC b =,AC c =,则下列结论正确的是
( )
A .()
0a b c -?=
B .()
0a b c a +-?= C .()0a c b a --?=
D .2a b c ++=
2.下列说法中正确的是( )
A .对于向量,,a b c ,有()()
a b c a b c ??=??
B .向量()11,2e =-,()25,7e =能作为所在平面内的一组基底
C .设m ,n 为非零向量,则“存在负数λ,使得λ=m n ”是“0m n ?<”的充分而不必要条件
D .在ABC 中,设D 是BC 边上一点,且满足2CD DB =,CD AB AC λμ=+,则
0λμ+=
3.已知,,a b c 是同一平面内的三个向量,下列命题中正确的是( ) A .||||||a b a b ?≤
B .若a b c b ?=?且0b ≠,则a c =
C .两个非零向量a ,b ,若||||||a b a b -=+,则a 与b 共线且反向
D .已知(1,2)a =,(1,1)b =,且a 与a b λ+的夹角为锐角,则实数λ的取值范围是
5,3??-+∞ ???
4.给出下列结论,其中真命题为( ) A .若0a ≠,0a b ?=,则0b =
B .向量a 、b 为不共线的非零向量,则22
()a b a b ?=? C .若非零向量a 、b 满足2
2
2
a b
a b +=+,则a 与b 垂直
D .若向量a 、b 是两个互相垂直的单位向量,则向量a b +与a b -的夹角是2
π
5.在△ABC 中,a ,b ,c 是角A ,B ,C 的对边,已知A =3
π
,a =7,则以下判断正确的是( )
A .△ABC 的外接圆面积是493
π
; B .b cos C +c cos B =7;
C .b +c 可能等于16;
D .作A 关于BC 的对称点A ′,则|AA ′|的最大
值是
6.已知点()4,6A ,33,2B ??- ???
,与向量AB 平行的向量的坐标可以是( ) A .14,33??
???
B .97,2?? ???
C .14,33??
-
- ???
D .(7,9)
7.已知向量a =(2,1),b =(1,﹣1),c =(m ﹣2,﹣n ),其中m ,n 均为正数,且(a b -)∥c ,下列说法正确的是( ) A .a 与b 的夹角为钝角
B .向量a 在b
C .2m +n =4
D .mn 的最大值为2
8.已知向量()1,0a =,()2,2b =,则下列结论正确的是( ) A .()25,4a b += B .2b = C .a 与b 的夹角为45°
D .()
//2a a b +
9.以下关于正弦定理或其变形正确的有( ) A .在ABC 中,a :b :c =sin A :sin B :sin C B .在ABC 中,若sin 2A =sin 2B ,则a =b
C .在ABC 中,若sin A >sin B ,则A >B ,若A >B ,则sin A >sin B 都成立
D .在ABC 中,
sin sin sin +=+a b c
A B C
10.下列结论正确的是( )
A .已知a 是非零向量,b c ≠,若a b a c ?=?,则a ⊥(-b c )
B .向量a ,b 满足|a |=1,|b |=2,a 与b 的夹角为60°,则a 在b 上的投影向量为
12
b C .点P 在△ABC 所在的平面内,满足0PA PB PC ++=,则点P 是△ABC 的外心 D .以(1,1),(2,3),(5,﹣1),(6,1)为顶点的四边形是一个矩形 11.下列关于平面向量的说法中正确的是( )
A .已知A 、
B 、
C 是平面中三点,若,AB AC 不能构成该平面的基底,则A 、B 、C 共线 B .若a b b c ?=?且0b ≠,则a c =
C .若点G 为ΔABC 的重心,则0GA GB GC ++=
D .已知()1
2a =-,,()2,b λ=,若a ,b 的夹角为锐角,则实数λ的取值范围为1λ< 12.下列命题中,正确的是( ) A .在ABC ?中,A B >,sin sin A B ∴> B .在锐角ABC ?中,不等式sin cos A B >恒成立
C .在ABC ?中,若cos cos a A b B =,则ABC ?必是等腰直角三角形
D .在ABC ?中,若060B =,2b ac =,则ABC ?必是等边三角形
13.某人在A 处向正东方向走xkm 后到达B 处,他向右转150°,然后朝新方向走3km 到达C
处,,那么x 的值为( )
A B .23
C .
D .3
14.化简以下各式,结果为0的有( ) A .AB BC CA ++ B .AB AC BD CD -+- C .OA OD AD -+
D .NQ QP MN MP ++-
15.下列命题中正确的是( )
A .对于实数m 和向量,a b ,恒有()m a b ma mb -=-
B .对于实数,m n 和向量a ,恒有()m n a ma na -=-
C .若()ma mb m =∈R ,则有a b =
D .若(,,0)ma na m n a =∈≠R ,则m n =
二、平面向量及其应用选择题
16.已知圆C 的方程为2
2
(1)(1)2x y -+-=,点P 在直线3y x
上,线段AB 为圆C
的直径,则PA PB ?的最小值为() A .2
B .
52
C .3
D .
72
17.已知向量OA 与OB 的夹角为θ,2OA =,1OB =,=OP tOA ,
()1OQ t OB =-,PQ 在t t =0时取得最小值,则当01
05
t <<
时,夹角θ的取值范围为( ) A .0,3π?? ???
B .,32ππ?? ???
C .2,23
ππ??
???
D .20,
3π?? ???
18.在ABC ?中,a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边,若
sin cos sin a b c
A B B
===ABC ?的面积为( )
A .2
B .4
C
D .
19.在三角形ABC 中,若三个内角,,A B C 的对边分别是,,a b c ,1a =,c =45B =?,则sin C 的值等于( )
A .
441
B .
45
C .
425
D .
41
20.如图,测量河对岸的塔高AB 时,选与塔底B 在同一水平面内的两个测点C 与D .现测
得15BCD ∠=?,45BDC ∠=?,CD =,并在点C 测得塔顶A 的仰角为30,则塔高AB 为( )
A .302m
B .203m
C .60m
D .20m
21.如图,在ABC 中,60,23,3C BC AC ?===,点D 在边BC 上,且
27
sin 7
BAD ∠=
,则CD 等于( )
A .
23
B .
3 C .
33
2
D .
43
22.已知20a b =≠,且关于x 的方程2
0x a x a b ++?=有实根,则a 与b 的夹角的
取值范围是( )
A .06,π??????
B .,3ππ??????
C .2,33ππ??????
D .,6ππ??????
23.如图,ADC 是等边三角形,ABC 是等腰直角三角形,90ACB ∠?=,BD 与
AC 交于E 点.若2AB =,则AE 的长为( )
A 62
B .
1
(62)2
C 62
D .
1
(62)2
24.已知ABC 所在平面内的一点P 满足20PA PB PC ++=,则
::PAB PAC PBC S S S =△△△( )
A .1∶2∶3
B .1∶2∶1
C .2∶1∶1
D .1∶1∶2
25.已知1a =,3b =,且向量a 与b 的夹角为60?,则2a b -=( ) A .7
B .3
C .11
D .19
26.ABC 中,a ,b ,c 分别为A ∠,B ,C ∠的对边,如果a ,b ,c 成等差数列,
30B ∠=?,ABC 的面积为3
2
,那么b 等于( )
A .
13
+ B .13+
C .
23
+ D .23+
27.已知向量()
2
2cos ,3m x =,()1,sin2n x =,设函数()f x m n =?,则下列关于函数
()y f x =的性质的描述正确的是( )
A .关于直线12
x π
=对称
B .关于点5,012π??
???
对称 C .周期为2π
D .()y f x =在,03π??
-
???
上是增函数 28.设(),1A a ,()2,1B -,()4,5C 为坐标平面上三点,O 为坐标原点,若OA 与OB 在
OC 方向上的投影相同,则a =( )
A .12
-
B .
12
C .-2
D .2
29.若两个非零向量a ,b 满足2a b a b b +=-=,则向量a b +与a 的夹角为( ) A .
3
π B .
23
π C .
56
π D .
6
π 30.已知D ,E ,F 分别是△ABC 的边BC ,CA ,AB 的中点,且BC a CA b ==,,AB c =,
则①AD =-b -
12a ;②BE =a +12b ;③CF =-12a +1
2
b ;④AD +BE +CF =0.其中正确的等式的个数为( ) A .1 B .2 C .3 D .4 31.如图所示,矩形ABCD 的对角线相交于点O ,E 为AO 的中点,若
(),DE AB AD R λμλμ=+∈,则λμ?等于( )
A .316
-
B .
316
C .
12
D .12
-
32.在ABC ?中,2,2,120,,AC AB BAC AE AB AF AC λμ==∠===,M 为线段EF 的中点,若1AM =,则λμ+的最大值为( ) A .
73
B .
27
3
C .2
D .
21 33.已知1a b ==,1
2
a b ?=
,(),1c m m =-,(),1d n n =-(m ,n R ∈).存在a ,b ,对于任意实数m ,n ,不等式a c b d T -+-≥恒成立,则实数T 的取值范围为
( ) A .(
,32?-∞+?
B .)
32,?++∞?
C .(
,32?-∞-?
D .)
32,?-+∞?
34.如图,在直角梯形ABCD 中,22AB AD DC ==,E 为BC 边上一点,
BC 3EC =,F 为AE 的中点,则BF =( )
A .21
33AB AD - B .
12
33AB AD - C .21
33
AB AD -+ D .12
33
AB AD -
+ 35.已知ABC 的面积为30,且12
cos 13
A =,则A
B A
C ?等于( ) A .72
B .144
C .150
D .300
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一、多选题 1.ABC 【分析】
作出图形,利用平面向量加、减法法则与正方形的性质可判断A 、B 选项的正误;利用平面向量的减法法则与向量的数乘运算可判断C 选项的正误;利用平面向量的加法法则可判断D 选项的正误. 【详解 解析:ABC
【分析】
作出图形,利用平面向量加、减法法则与正方形的性质可判断A 、B 选项的正误;利用平面向量的减法法则与向量的数乘运算可判断C 选项的正误;利用平面向量的加法法则可判断D 选项的正误. 【详解】 如下图所示:
对于A 选项,四边形ABCD 为正方形,则BD AC ⊥,
a b AB BC AB AD DB -=-=-=,()
0a b c DB AC ∴-?=?=,A 选项正确;
对于B 选项,0a b c AB BC AC AC AC +-=+-=-=,则()
00a b c a a +-?=?=,B 选项正确;
对于C 选项,a c AB AC CB -=-=,则0a c b CB BC --=-=,则
()0a c b a --?=,C 选项正确;
对于D 选项,2a b c c ++=,222a b c c ∴++==,D 选项错误. 故选:ABC. 【点睛】
本题考查平面向量相关命题正误的判断,同时也考查了平面向量加、减法法则以及平面向量数量积的应用,考查计算能力,属于中等题.
2.BCD 【分析】
.向量数量积不满足结合律进行判断 .判断两个向量是否共线即可 .结合向量数量积与夹角关系进行判断 .根据向量线性运算进行判断 【详解】
解:.向量数量积不满足结合律,故错误, .,
解析:BCD 【分析】
A .向量数量积不满足结合律进行判断
B .判断两个向量是否共线即可
C .结合向量数量积与夹角关系进行判断
D .根据向量线性运算进行判断 【详解】
解:A .向量数量积不满足结合律,故A 错误,
B .
12
57
-≠,∴向量1(1,2)e =-,2(5,7)e =不共线,能作为所在平面内的一组基底,故B 正确,
C .存在负数λ,使得m n λ=,则m 与n 反向共线,夹角为180?,此时0m n <成立,
当0m n <成立时,则m 与n 夹角满足90180θ?,则m 与n 不一定反向共线,即“存在负数λ,使得m n λ=”是“0m n <”的充分而不必要条件成立,故C 正确,
D .由23CD CB =得22
33CD AB AC =-,
则23λ=,23
μ=-,则22
033λμ+=-=,故D 正确
故正确的是BCD ,
故选:BCD . 【点睛】
本题主要考查向量的有关概念和运算,结合向量数量积,以及向量运算性质是解决本题的关键,属于中档题.
3.AC 【分析】
根据平面向量数量积定义可判断A ;由向量垂直时乘积为0,可判断B ;利用向量数量积的运算律,化简可判断C ;根据向量数量积的坐标关系,可判断D. 【详解】
对于A ,由平面向量数量积定义可知
解析:AC 【分析】
根据平面向量数量积定义可判断A ;由向量垂直时乘积为0,可判断B ;利用向量数量积的运算律,化简可判断C ;根据向量数量积的坐标关系,可判断D. 【详解】
对于A ,由平面向量数量积定义可知cos ,a b a b a b ?=,则||||||a b a b ?≤,所以A 正确,
对于B ,当a 与c 都和b 垂直时,a 与c 的方向不一定相同,大小不一定相等,所以B 错误,
对于C ,两个非零向量a ,b ,若||||||a b a b -=+,可得22()(||||)a b a b -=+,即
22||||a b a b -?=,cos 1θ=-,
则两个向量的夹角为π,则a 与b 共线且反向,故C 正确; 对于D ,已知(1,2)a =,(1,1)b =且a 与a b λ+的夹角为锐角, 可得()0a a b λ?+>即2||0a a b λ+?>可得530λ+>,解得53
λ>-
, 当a 与a b λ+的夹角为0时,(1,2)a b λλλ+=++,所以2220λλλ+=+?= 所以a 与a b λ+的夹角为锐角时5
3
λ>-且0λ≠,故D 错误; 故选:AC. 【点睛】
本题考查了平面向量数量积定义的应用,向量共线及向量数量积的坐标表示,属于中档题.
4.CD 【分析】
对于A 由条件推出或,判断该命题是假命题;对于B 由条件推出,判断该命题是假命题;对于C 由条件判断与垂直,判断该命题是真命题;对于D 由条件推出向量与的夹角是,所以该命题是真命题. 【详解
解析:CD 【分析】
对于A 由条件推出0b =或a b ⊥,判断该命题是假命题;对于B 由条件推出
(
)
()()
2
2
2
a b
a b ?≠?,判断该命题是假命题;对于C 由条件判断a 与b 垂直,判断该命题
是真命题;对于D 由条件推出向量a b +与a b -的夹角是2
π
,所以该命题是真命题. 【详解】
对于A ,若0a ≠,0a b ?=,则0b =或a b ⊥,所以该命题是假命题; 对于B ,()()
2
2
2
2
2cos cos a b
a b a b αα?==,而()()
2
2
2
2
a b
a b ?=,
由于a 、b 为不共线的非零向量,所以2
cos 1α≠,所以()()()2
2
2
a b a b ?≠?,
所以该命题是假命题;
对于C ,若非零向量a 、b 满足2
2
2
a b
a b +=+,22222a b a b a b ++?=+,所以
0a b ?=,则a 与b 垂直,所以该命题是真命题;
对于D ,以a 与b 为邻边作平行四边形是正方形,则a b +和a b -所在的对角线互相垂直,所以向量a b +与a b -的夹角是2
π
,所以该命题是真命题. 故选:CD. 【点睛】
本题考查平面向量的线性运算与数量积运算、向量垂直的判断,是基础题.
5.ABD 【分析】
根据题目可知,利用正弦定理与三角恒等变换逐个分析即可判断每个选项的正误. 【详解】
对于A ,设的外接圆半径为,根据正弦定理,可得,所以的外接圆面积是,故A 正确;
对于B ,根据正弦定
解析:ABD 【分析】
根据题目可知,利用正弦定理与三角恒等变换逐个分析即可判断每个选项的正误. 【详解】
对于A ,设ABC 的外接圆半径为R ,根据正弦定理
2sin a R A =,可得R =ABC 的外接圆面积是249
3
S R ππ==
,故A 正确; 对于B ,根据正弦定理,利用边化角的方法,结合A B C π++=,可将原式化为
2sin cos 2sin cos 2sin()2sin R B C R C B R B C R A a +=+==,故B 正确.
对于C ,22(sin sin )2[sin sin(
)]3
b c R B C R B B π
+=+=+-
114(cos )14sin()223
B B B π=+=+
14b c ∴+≤,故C 错误.
对于D ,设A 到直线BC 的距离为d ,根据面积公式可得
11
sin 22
ad bc A =,即sin bc A
d a
=
,再根据①中的结论,可得d =D 正确. 故选:ABD. 【点睛】 本题是考查三角恒等变换与解三角形结合的综合题,解题时应熟练掌握运用三角函数的性质、诱导公式以及正余弦定理、面积公式等.
6.ABC 【分析】
先求出向量的坐标,然后由向量平行的条件对选项进行逐一判断即可. 【详解】 由点,,则
选项A . ,所以A 选项正确.
选项B. ,所以B 选项正确.
选项C . ,所以C 选
解析:ABC
【分析】
先求出向量AB 的坐标,然后由向量平行的条件对选项进行逐一判断即可.
【详解】
由点()4,6A ,33,2B ?
?- ???,则972,AB ??=-- ???
选项A . 91473023
??-?--?= ???,所以A 选项正确. 选项B. 9977022??-?--?= ???
,所以B 选项正确. 选项C . ()91473023????-?---
?-= ? ????? ,所以C 选项正确. 选项D. 979702??-?--
?≠ ???
,所以选项D 不正确 故选:ABC
【点睛】 本题考查根据点的坐标求向量的坐标,根据向量的坐标判断向量是否平行,属于基础题.
7.CD
【分析】
对于A ,利用平面向量的数量积运算判断;
对于B ,利用平面向量的投影定义判断;对于C ,利用()∥判断;对于D ,利用C 的结论,2m+n=4,结合基本不等式判断.
【详解】
对于A ,向量(
解析:CD
【分析】
对于A ,利用平面向量的数量积运算判断; 对于B ,利用平面向量的投影定义判断;对于C ,利用(a b -)∥c 判断;对于D ,利用C 的结论,2m +n =4,结合基本不等式判断.
【详解】
对于A ,向量a =(2,1),b =(1,﹣1),则2110a b ?=-=>,则,a b 的夹角为锐角,错误;
对于B ,向量a =(2,1),b =(1,﹣1),则向量a 在b 方向上的投影为22
a b b ?=,错
误;
对于C ,向量a =(2,1),b =(1,﹣1),则a b -= (1,2),若(a b -)∥c ,则(﹣n )=2(m ﹣2),变形可得2m +n =4,正确;
对于D ,由C 的结论,2m +n =4,而m ,n 均为正数,则有mn 12= (2m ?n )12
≤ (
22
m n +)2=2,即mn 的最大值为2,正确; 故选:CD.
【点睛】 本题主要考查平面向量的数量积运算以及基本不等式的应用,属于基础题.
8.AC
【分析】
利用向量线性的坐标运算可判断A ;利用向量模的坐标求法可判断B ;利用向量数量积的坐标运算可判断C ;利用向量共线的坐标表示即可求解.
【详解】
由向量,,
则,故A 正确;
,故B 错误;
解析:AC
【分析】
利用向量线性的坐标运算可判断A ;利用向量模的坐标求法可判断B ;利用向量数量积的坐标运算可判断C ;利用向量共线的坐标表示即可求解.
【详解】
由向量()1,0a =,()2,2b =,
则()()()21,022,25,4a b +=+=,故A 正确;
222b =+=,故B 错误;
2cos ,21a b a b a b ?<>===?+,
又[],0,a b π<>∈,所以a 与b 的夹角为45°,故C 正确;
由()1,0a =,()25,4a b +=,140540?-?=≠,故D 错误.
故选:AC
【点睛】
本题考查了向量的坐标运算,考查了基本运算能力,属于基础题.
9.ACD
【分析】
对于A ,由正弦定理得a :b :c =sinA :sinB :sinC ,故该选项正确;
对于B ,由题得A =B 或2A+2B =π,即得a =b 或a2+b2=c2,故该选项错误; 对于C ,在ABC 中
解析:ACD
【分析】
对于A ,由正弦定理得a :b :c =sin A :sin B :sin C ,故该选项正确;
对于B ,由题得A =B 或2A +2B =π,即得a =b 或a 2+b 2=c 2,故该选项错误;
对于C ,在ABC 中,由正弦定理可得A >B 是sin A >sin B 的充要条件,故该选项正确; 对于D ,由正弦定理可得右边=
2sin 2sin 2sin sin R B R C R B C
+=+=左边,故该选项正确. 【详解】 对于A ,由正弦定理
2sin sin sin a b c R A B C
===,可得a :b :c =2R sin A :2R sin B :2R sin C =sin A :sin B :sin C ,故该选项正确;
对于B ,由sin2A =sin2B ,可得A =B 或2A +2B =π,即A =B 或A +B =2
π,∴a =b 或a 2+b 2
=c 2,故该选项错误; 对于C ,在ABC 中,由正弦定理可得sin A >sin B ?a >b ?A >B ,因此A >B 是sin A >sin B 的充要条件,故该选项正确;
对于D ,由正弦定理
2sin sin sin a b c R A B C
===,可得右边=2sin 2sin 2sin sin sin sin b c R B R C R B C B C
++==++=左边,故该选项正确. 故选:ACD.
【点睛】 本题主要考查正弦定理及其变形,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
10.ABD
【分析】
利用平面向量的数量积运算,结合向量的线性运算,对每个选项进行逐一分析,即可容易判断选择.
【详解】
对:因为,又,故可得,
故,故选项正确;
对:因为||=1,||=2,与的夹角为
解析:ABD
【分析】
利用平面向量的数量积运算,结合向量的线性运算,对每个选项进行逐一分析,即可容易
判断选择.
【详解】
对A :因为()a b c a b a c ?-=?-?,又a b a c ?=?,故可得()0a b c ?-=, 故()a b c ⊥-,故A 选项正确;
对B :因为|a |=1,|b |=2,a 与b 的夹角为60°,故可得1212
a b ?=?=. 故a 在b 上的投影向量为12a b b b b ??? ?= ???
,故B 选项正确; 对C :点P 在△ABC 所在的平面内,满足0PA PB PC ++=,则点P 为三角形ABC 的重心,
故C 选项错误;
对D :不妨设()()()()1,1,2,3,6,1,5,1A B C D -, 则()()()1,24,25,0AB AD AC +=+-==,故四边形ABCD 是平行四边形; 又()14220AB AD ?=?+?-=,则AB AD ⊥,故四边形ABCD 是矩形.
故D 选项正确;
综上所述,正确的有:ABD .
故选:ABD .
【点睛】
本题考查向量数量积的运算,向量的坐标运算,向量垂直的转化,属综合中档题.
11.AC
【分析】
根据平面向量基本定理判断A ;由数量积的性质可判断;由向量的中点表示和三角形的重心性质可判断,由数量积及平面向量共线定理判断D .
【详解】
解:因为不能构成该平面的基底,所以,又有公共
解析:AC
【分析】
根据平面向量基本定理判断A ;由数量积的性质可判断B ;由向量的中点表示和三角形的重心性质可判断C ,由数量积及平面向量共线定理判断D .
【详解】
解:因为,AB AC 不能构成该平面的基底,所以//AB AC ,又,AB AC 有公共点A ,所以A 、B 、C 共线,即A 正确;
由平面向量的数量积可知,若a b b c =,则||||cos ,||||cos ,a b a b b c b c <>=<>,所以||cos ,||cos ,a a b c b c <>=<>,无法得到a c =,即B 不正确;
设线段AB 的中点为M ,若点G 为ABC ?的重心,则2GA GB GM +=,而
2GC GM =-,所以0GA GB GC ++=,即C 正确;
()12a =-,,()2,b λ=,若a ,b 的夹角为锐角,则220a b λ=?->解得1λ<,且a 与b 不能共线,即4λ≠-,所以()
(),44,1λ∈-∞--,故D 错误;
故选:AC .
【点睛】
本题考查向量共线定理和向量数量积的性质和向量的加减运算,属于中档题. 12.ABD
【分析】
对于选项在中,由正弦定理可得,即可判断出正误;对于选项在锐角中,由,可得,即可判断出正误;对于选项在中,由,利用正弦定理可得:,得到或即可判断出正误;对于选项在中,利用余弦定理可得
解析:ABD
【分析】
对于选项A 在ABC ?中,由正弦定理可得sin sin A B a b A B >?>?>,即可判断出正误;对于选项B 在锐角ABC ?中,由022A B π
π
>>->,可得
sin sin()cos 2A B B π
>-=,即可判断出正误;对于选项C 在ABC ?中,由cos cos a A b B =,利用正弦定理可得:sin 2sin 2A B =,得到22A B =或
222A B π=-即可判断出正误;对于选项D 在ABC ?中,利用余弦定理可得:2222cos b a c ac B =+-,代入已知可得a c =,又60B =?,即可得到ABC ?的形状,即可判断出正误.
【详解】
对于A ,由A B >,可得:a b >,利用正弦定理可得:sin sin A B >,正确; 对于B ,在锐角ABC ?中,A ,(0,)2B π
∈,
2A B π
+>,∴022A B π
π
>>->,
sin sin()cos 2
A B B π
∴>-=,因此不等式sin cos A B >恒成立,正确; 对于C ,在ABC ?中,由cos cos a A b B =,利用正弦定理可得:sin cos sin cos A A B B =,
sin 2sin 2A B ∴=, A ,(0,)B π∈,
22A B ∴=或222A B π=-,
A B ∴=或2A B π
+=,
ABC ?∴是等腰三角形或直角三角形,因此是假命题,C 错误.
对于D ,由于060B =,2b ac =,由余弦定理可得:222b ac a c ac ==+-,
可得2()0a c -=,解得a c =,可得60A C B ===?,故正确.
故选:ABD .
【点睛】
本题考查正弦定理与余弦定理及三角形边角关系,主要涉及的考点是三角形内角的诱导公式的应用,同时考查正弦定理进行边角转化,属于中等题.
13.AB
【分析】
由余弦定理得,化简即得解.
【详解】
由题意得,由余弦定理得,
解得或.
故选:AB.
【点睛】
本题主要考查余弦定理的实际应用,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 解析:AB
【分析】 由余弦定理得293cos306x x
?
+-=,化简即得解. 【详解】 由题意得30ABC ?∠=,由余弦定理得293cos306x x ?
+-=,
解得x =x
故选:AB.
【点睛】
本题主要考查余弦定理的实际应用,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 14.ABCD
【分析】
根据向量的线性运算逐个选项求解即可.
【详解】
;
;
;
.
故选:ABCD
【点睛】
本题主要考查了向量的线性运算,属于基础题型.
解析:ABCD
【分析】
根据向量的线性运算逐个选项求解即可.
【详解】
0AB BC CA AC CA ++=+=;
()()0AB AC BD CD AB BD AC CD AD AD -+-=+-+=-=;
()0OA OD AD OA AD OD OD OD -+=+-=-=;
0NQ QP MN MP NP PM MN NM NM ++-=++=-=.
故选:ABCD
【点睛】
本题主要考查了向量的线性运算,属于基础题型.
15.ABD
【详解】
解:对于:对于实数和向量、,根据向量的数乘满足分配律,故恒有:,故正确.
对于:对于实数,和向量,根据向量的数乘运算律,恒有,故 正确. 对于:若,当 时,无法得到,故不正确.
对
解析:ABD
【详解】
解:对于A :对于实数m 和向量a 、b ,根据向量的数乘满足分配律,故恒有:()m a b ma mb -=-,故A 正确.
对于B :对于实数m ,n 和向量a ,根据向量的数乘运算律,恒有()m n a ma na -=-,故 B 正确.
对于C :若()ma mb m =∈R ,当 0m =时,无法得到a b =,故C 不正确. 对于D :若(,,0)ma na m n a =∈≠R ,则m n =成立,故D 正确.
故选:ABD .
【点睛】
本题考查相等的向量,相反的向量的定义,向量的数乘法则以及其几何意义,注意考虑零向量的情况.
二、平面向量及其应用选择题
16.B
【分析】
将PA PB ?转化为2||2PC -,利用圆心到直线的距离求得||PC 的取值范围求得PA PB ?的最小值.
【详解】
()()()()
PA PB PC CA PC CB PC CA PC CA ?=+?+=+?-2
222||||||22
PC CA PC =-=-≥-52=.故选B. 【点睛】
本小题主要考查向量的线性运算,考查点到直线距离公式,考查化归与转化的数学思想方法,属于中档题.
17.C
【解析】
【分析】 根据向量的数量积运算和向量的线性表示可得,
()()22254cos 24cos 1PQ PQ t t θθ==+-++,根据二次函数的最值可得出
012cos 54cos t θθ
+=
+,再由0105t <<,可求得夹角θ的取值范围. 【详解】 因为2cos OA OB θ?=,()1PQ OQ OP t OB tOA =-=--,
()()22254cos 24cos 1PQ PQ t t θθ==+-++,
∵PQ 在t t =0时取得最小值,所以012cos 54cos t θθ
+=+,又0105t <<,则12cos 1054cos 5
θθ+<
<+,得1cos 02θ-<<,∵0θπ≤≤, 所以223
ππθ<<, 故选:C.
【点睛】 本题考查向量的数量积运算和向量的线性表示,以及二次函数的最值和分式不等式的求解,关键在于由向量的模的平方等于向量的平方,得到关于角度的三角函数的不等式,属于中档题.
18.A
【分析】
首先由条件和正弦定理判断ABC 是等腰直角三角形,由三角形的性质可知直角三角形的外接圆的圆心在斜边的中点,所以由ABC 外接圆的半径可求得三角形的边长,再求面积.
【详解】 由正弦定理可知
2sin sin sin a b c r A B C ===
已知sin cos sin a b c A B B
===sin cos B B =和sin sin C B =, 所以45B =,45C =,所以ABC 是等腰直角三角形,
由条件可知ABC
,即等腰直角三角形的斜边长为
所以122
ABC S =?=. 故选:A
【点睛】
本题考查正弦定理判断三角形形状,重点考查直角三角形和外接圆的性质,属于基础题型. 19.B
【分析】
在三角形ABC 中,根据1a =
,c =45B =?,利用余弦定理求得边b ,再利用正弦定理
sin sin b c B C
=求解. 【详解】 在三角形ABC 中, 1a =
,c =45B =?,
由余弦定理得:2222cos b a c ac B =+-,
13221252=+-??=, 所以5b =, 由正弦定理得:sin sin b c B C
=,
所以2sin 42sin 55
c B C b ===,
故选:B
【点睛】
本题主要考查余弦定理和正弦定理的应用,所以考查了运算求解的能力,属于中档题. 20.D
【分析】
由正弦定理确定BC 的长,再tan30AB BC 求出AB .
【详解】 15BCD ∠=?,45BDC ∠=?
120CBD
由正弦定理得:sin120sin 45
BC 302sin 45
203sin120BC 3tan 3020320AB
BC
故选D 【点睛】
本题是正弦定理的实际应用,关键是利用正弦定理求出BC ,属于基础题.
21.A
【分析】
首先根据余弦定理求AB ,再判断ABC 的内角,并在ABD △和ADC 中,分别用正弦定理表示
AD ,建立方程求DC 的值.
【详解】
AB =
3=
=,
222cos 22AB BC AC B AB BC +-∴===?, 又因为角B 是三角形的内角,所以6B π
=,
90BAC ∴∠=,
sin 7BAD ∠
=,cos 7
BAD ∴
∠==, sin cos 7
DAC BAD ∴∠=∠=, 在ABD △中,由正弦定理可得sin sin BD B AD BAD ?=
∠, 在ADC 中,由正弦定理可得sin sin DC
C A
D DAC
?=∠,
(
)1DC DC
?=,解得:DC =. 故选:A
【点睛】
本题考查正余弦定理解三角形,重点考查数形结合,转化与化归,推理能力,属于中档题型.
第一部分:平面向量的概念及线性运算 欧阳光明(2021.03.07) 一.基础知识自主学习 1.向量的有关概念 名称定义备注 向量既有又有的量;向量的大小叫做向量 的(或称) 平面向量是自由向量 零向量长度为的向量;其方向是任意的记作0 单位向量长度等于的 向量 非零向量a的单位向量为± a |a| 平行向量方向或的非零向量 0与任一向量或共线共线向量的非零向量又叫做共线向量 相等向量长度且方向的向量两向量只有相等或不等,不能比 较大小 相反向量长度且方向的向量0的相反向量为0 2.向量的线性运算 向量运算定义法则(或几何 意义) 运算律 加法求两个向量和的运算(1)交换律: a+b=b+a. (2)结合律: (a+b)+c=a+(b+c). 减法求a与b的相反向量-b 的和的运算叫做a与b 的差 法则 a-b=a+(-b) 数乘求实数λ与向量a的积的 运算 (1)|λa|=|λ||a|. (2)当λ>0时,λa的方向与a的方向; 当λ<0时,λa的方向与a的方向;当λ =0时,λa=0. λ(μa)=λμa; (λ+μ)a=λa+μa; λ(a+b)=λa+λb. 向量a(a≠0)与b共线的条件是存在唯一一个实数λ,使得b=λa. 二.难点正本疑点清源 1.向量的两要素 向量具有大小和方向两个要素.用有向线段表示向量时,与有向线段起点的位置没有关系.同向且等长的有向线
段都表示同一向量.或者说长度相等、方向相同的向量是相等的.向量只有相等或不等,而没有谁大谁小之说,即向量不能比较大小. 2.向量平行与直线平行的区别 向量平行包括向量共线(或重合)的情况,而直线平行不包括共线的情况.因而要利用向量平行证明向量所在直线平行,必须说明这两条直线不重合. 三.基础自测 1.化简OP →-QP →+MS →-MQ → 的结果等于________. 2.下列命题:①平行向量一定相等;②不相等的向量一定不平行;③平行于同一个向量的两个向量是共线向量; ④相等向量一定共线.其中不正确命题的序号是_______. 3.在△ABC 中,AB →=c ,AC →=b.若点D 满足BD →=2DC →,则AD → =________(用b 、c 表示). 4.如图,向量a -b 等于() A .-4e1-2e2 B .-2e1-4e2 C .e1-3e2 D .3e1-e2 5.已知向量a ,b ,且AB →=a +2b ,BC →=-5a +6b ,CD → =7a -2b ,则一定共线的三点是 () A .A 、B 、DB .A 、B 、C C .B 、C 、DD .A 、C 、D 四.题型分类深度剖析 题型一 平面向量的有关概念 例1 给出下列命题: ①若|a|=|b|,则a =b ;②若A ,B ,C ,D 是不共线的四点,则AB →=DC → 是四边形ABCD 为平行四边形的充要条件;③若a =b ,b =c ,则a =c ;④a =b 的充要条件是|a|=|b|且a ∥b ;⑤若a ∥b ,b ∥c ,则a ∥c.其中正确的序号是________. 变式训练1 判断下列命题是否正确,不正确的请说明理由. (1)若向量a 与b 同向,且|a|=|b|,则a>b ; (2)若|a|=|b|,则a 与b 的长度相等且方向相同或相反; (3)若|a|=|b|,且a 与b 方向相同,则a =b ; (4)由于零向量的方向不确定,故零向量不与任意向量平行; (5)若向量a 与向量b 平行,则向量a 与b 的方向相同或相反; (6)若向量AB →与向量CD → 是共线向量,则A ,B ,C ,D 四点在一条直线上; (7)起点不同,但方向相同且模相等的几个向量是相等向量; (8)任一向量与它的相反向量不相等 题型二 平面向量的线性运算 例2 如图,以向量OA →=a ,OB →=b 为边作?OADB ,BM →=13BC →,CN →=13 CD →,用a 、b 表示OM →、ON →、MN → . 变式训练2 △ABC 中,AD →=23 AB →,DE ∥BC 交AC 于E ,BC 边上的中线AM 交DE 于N.设AB →=a ,AC → =b ,用a 、b 表示向 量AE →、BC →、DE →、DN →、AM →、AN →. 题型三 平面向量的共线问题 例3 设e1,e2是两个不共线向量,已知AB →=2e1-8e2,CB →=e1+3e2,CD → =2e1-e2. (1)求证:A 、B 、D 三点共线; (2)若BF → =3e1-ke2,且B 、D 、F 三点共线,求k 的值.
平面向量测试题 一、选择题: 1。已知ABCD 为矩形,E 是DC 的中点,且?→?AB =→a ,?→?AD =→b ,则?→ ?BE =( ) (A ) →b +→a 2 1 (B ) →b -→a 2 1 (C ) →a +→b 2 1 (D ) →a -→ b 2 1 2.已知B 是线段AC 的中点,则下列各式正确的是( ) (A ) ?→?AB =-?→?BC (B ) ?→?AC =?→?BC 2 1 (C ) ?→?BA =?→?BC (D ) ?→?BC =?→ ?AC 2 1 3.已知ABCDEF 是正六边形,且?→?AB =→a ,?→?AE =→b ,则?→ ?BC =( ) (A ) )(2 1→→-b a (B ) )(2 1 →→-a b (C ) →a +→b 2 1 (D ) )(2 1→ →+b a 4.设→a ,→b 为不共线向量,?→?AB =→a +2→b ,?→?BC =-4→a -→b ,?→ ?CD = -5→ a -3→ b ,则下列关系式中正确的是 ( ) (A )?→?AD =?→?BC (B )?→?AD =2?→ ?BC (C )?→?AD =-?→ ?BC (D )?→?AD =-2?→ ?BC 5.将图形F 按→ a =(h,k )(其中h>0,k>0)平移,就是将图形F ( ) (A ) 向x 轴正方向平移h 个单位,同时向y 轴正方向平移k 个单位。 (B ) 向x 轴负方向平移h 个单位,同时向y 轴正方向平移k 个单位。 (C ) 向x 轴负方向平移h 个单位,同时向y 轴负方向平移k 个单位。 (D ) 向x 轴正方向平移h 个单位,同时向y 轴负方向平移k 个单位。 6.已知→a =()1,2 1,→ b =(), 2 22 3- ,下列各式正确的是( ) (A ) 2 2?? ? ??=??? ??→ →b a (B ) →a ·→b =1 (C ) →a =→b (D ) →a 与→b 平行 7.设→ 1e 与→ 2e 是不共线的非零向量,且k → 1e +→ 2e 与→ 1e +k → 2e 共线,则k 的值是( ) (A ) 1 (B ) -1 (C ) 1± (D ) 任意不为零的实数 8.在四边形ABCD 中,?→?AB =?→?DC ,且?→?AC ·?→ ?BD =0,则四边形ABCD 是( ) (A ) 矩形 (B ) 菱形 (C ) 直角梯形 (D ) 等腰梯形 9.已知M (-2,7)、N (10,-2),点P 是线段MN 上的点,且?→ ?PN =-2?→ ?PM ,则P 点的坐标为( ) (A ) (-14,16)(B ) (22,-11)(C ) (6,1) (D ) (2,4)
高中数学必修4之平面向量 知识点归纳 一.向量的基本概念与基本运算 1向量的概念: ①向量:既有大小又有方向的量向量一般用c b a ,,……来表示,或用有向线段的起点与终 点的大写字母表示,如:AB u u u r 几何表示法 AB u u u r ,a ;坐标表示法),(y x yj xi a 向 量的大小即向量的模(长度),记作|AB u u u r |即向量的大小,记作|a | 向量不能比较大小,但向量的模可以比较大小. ②零向量:长度为0的向量,记为0 ,其方向是任意的, 0 与任意向量平行零向量a =0 |a |=0 由于0r 的方向是任意的,且规定0r 平行于任何向量,故在有关向量平行(共线) 的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件.(注意与0的区别) ③单位向量:模为1个单位长度的向量 向量0a 为单位向量 |0a |=1 ④平行向量(共线向量):方向相同或相反的非零向量任意一组平行向量都可以移到同一直 线上方向相同或相反的向量,称为平行向量记作a ∥b 由于向量可以进行任意的平移(即自 由向量),平行向量总可以平移到同一直线上,故平行向量也称为共线向量 数学中研究的向量是自由向量,只有大小、方向两个要素,起点可以任意选取,现在必须区分清楚共线向量中的“共线”与几何中的“共线”、的含义,要理解好平行向量中的“平行”与几何中的“平行”是不一样的. ⑤相等向量:长度相等且方向相同的向量相等向量经过平移后总可以重合,记为b a 大 小相等,方向相同 ),(),(2211y x y x 2 12 1y y x x 2向量加法 求两个向量和的运算叫做向量的加法 设,AB a BC b u u u r u u u r r r ,则a +b r =AB BC u u u r u u u r =AC u u u r (1)a a a 00;(2)向量加法满足交换律与结合律; 向量加法有“三角形法则”与“平行四边形法则”: (1)用平行四边形法则时,两个已知向量是要共始点的,和向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线,而差向量是另一条对角线,方向是从减向量指向被减向量 (2) 三角形法则的特点是“首尾相接”,由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和;差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点 当两个向量的起点公共时,用平行四边形法则;当两向量是首尾连接时,用三角形法
平面向量 【基本概念与公式】 【任何时候写向量时都要带箭头】 1.向量:既有大小又有方向的量。记作:AB 或a 。 2.向量的模:向量的大小(或长度),记作:||AB 或||a 。 3.单位向量:长度为1的向量。若e 是单位向量,则||1e =。 4.零向量:长度为0的向量。记作:0。【0方向是任意的,且与任意向量平行】 5.平行向量(共线向量):方向相同或相反的向量。 6.相等向量:长度和方向都相同的向量。 7.相反向量:长度相等,方向相反的向量。AB BA =-。 8.三角形法则: AB BC AC +=;AB BC CD DE AE +++=;AB AC CB -=(指向被减数) 9.平行四边形法则: 以,a b 为临边的平行四边形的两条对角线分别为a b +,a b -。 10.共线定理://a b a b λ=?。当0λ>时,a b 与同向;当0λ<时,a b 与反向。 11.基底:任意不共线的两个向量称为一组基底。 12.向量的模:若(,)a x y =,则2||a x y =+,22||a a =,2||()a b a b +=+ 13.数量积与夹角公式:||||cos a b a b θ?=?; cos ||||a b a b θ?= ? 14.平行与垂直:1221//a b a b x y x y λ?=?=;121200a b a b x x y y ⊥??=?+= 题型1.基本概念判断正误: (1)共线向量就是在同一条直线上的向量。 (2)若两个向量不相等,则它们的终点不可能是同一点。 (3)与已知向量共线的单位向量是唯一的。 (4)四边形ABCD 是平行四边形的条件是AB CD =。 (5)若AB CD =,则A 、B 、C 、D 四点构成平行四边形。 (6)若a 与b 共线, b 与c 共线,则a 与c 共线。 (7)若ma mb =,则a b =。