人教版九年级数学下册第26章二次函数导学案及课后习题

26.1.1二次函数（第一课时）

教学目标：（1）理解并掌握二次例函数的概念；（2）、能判断一个给定的函数是否为二次例函数（3）、能根据实际问题中的条件确定二次例函数的解析式。

重点：理解二次例函数的概念，能根据已知条件写出函数解析式；

难点：理解二次例函数的概念.。

教学过程：

一．预习检测案

一般地，形如____________________________的函数，叫做二次函数。其中x是________，a是__________，b是___________，c是_____________．

二．合作探究案：

问题1: 正方体的六个面是全等的正方形,如果正方形的棱长为x,表面积为y,写出y与x的关系。

问题2: n边形的对角线数d与边数n之间有怎样的关系?

问题3: 某工厂一种产品现在的年产量是20件,计划今后两年增加产量.如果每年都比上一年的产量增加x倍,

那么两年后这种产品的数量y将随计划所定的x的值而定,y与x之间的关系怎样表示?

问题4：观察以上三个问题所写出来的三个函数关系式有什么特点?

小组交流、讨论得出结论：经化简后都具有的形式。

问题5：什么是二次函数？

形如。

问题6：函数y=ax2+bx+c，当a、b、c满足什么条件时，(1)它是二次函数?

(2)它是一次函数？ (3)它是正比例函数？

例1: 关于x的函数

m

m

x

m

y-

+

=2

)1

(

是二次函数, 求m的值.

注意:二次函数的二次项系数必须是的数。三．达标测评案：1．下列函数中,哪些是二次函数?

(1)y=3x-1 ; (2)y=3x2+2; (3)y=3x3+2x2; (4)y=2x2-2x+1; (5)y=x2-x(1+x); (6)y=x-2+x.

2.若函数y＝(a－1)x2＋2x＋a2－1是二次函数,则( )

A.a＝1

B.a＝±1

C.a≠1

D.a≠－1

3.一定条件下,若物体运动的路段s(米)与时间t(秒)之间的关系为s＝5t2＋2t,则当t＝4秒时,该物体所经过的路程为

A.28米

B.48米

C.68米

D.88米

4.一个长方形的长是宽的2倍,写出这个长方形的面积与宽之间的函数关系式.

5．一个圆柱的高等于底面半径，写出它的表面积Ｓ与半径Ｒ之间的关系式。

6、n支球队参加比赛，每两支之间进行一场比赛。写出比赛的场数m与球队数n之间的关系式。

7、若函数为二次函数，求m的值。

8、已知二次函数y=x2+px+q,当x=1时,函数值为4,当x=2时,函数值为- 5, 求这个二次函数的解析式.

课后反思：

26.1.2 二次函数y＝ax2的图象与性质（第二课时）

教学目标：

1．知道二次函数的图象是一条抛物线；

2．会画二次函数y＝ax2的图象；

3．掌握二次函数y＝ax2的性质，并会灵活应用．

一．预习检测案：

画二次函数y＝x2的图象．

【提示：画图象的一般步骤：①列表（取几组x、y的对应值；②描点（表中x、y的数值在坐标平面中描点（x，y）；③连线（用平滑曲线）．】

m

m

22

1)x

(m

y-

-

=

列表描点，并连线得出图像

由图象可得二次函数y＝x2的性质：

1．二次函数y＝x2是一条曲线，把这条曲线叫做______________．

2．二次函数y＝x2中，二次函数a＝_______，抛物线y＝x2的图象开口__________．

3．自变量x的取值范围是____________．

4．观察图象，当两点的横坐标互为相反数时，函数y值相等，所描出的各对应点关于________对称，

从而图象关于___________对称．

5．抛物线y＝x2与它的对称轴的交点（，）叫做抛物线y＝x2的_________．

因此，抛物线与对称轴的交点叫做抛物线的_____________．

6．抛物线y＝x2有____________点（填“最高”或“最低”）．

二．合作探究案：

例 1 在同一直角坐标系中，画出函

数y＝

1

2

x2，y＝x2，y＝2x2的图象．

解：列表并填：

y＝x2的图象刚画过，再把它画出来．

归纳：抛物线y＝

1

2

x2，y＝x2，y＝2x2的二次项系数a_______0；顶点都是__________；

对称轴是_________；顶点是抛物线的最_________点（填“高”或“低”）．

例2 请在例1的直角坐标系中画出函数y＝－x2，y＝－

1

2

x2， y＝－2x2的图象．

列表：

归纳：抛物

线y＝－x …－3 －2 －1 0 1 2 3 …

y＝x2……

x …－4 －3 －2 －1 0 1 2 3 4 …

y＝

1

2

x2……

x …－2 －1.5 －1 －0.5 0 0.5 1 1.5 2 …

y＝2x2……

x …-3 -2 -1 0 1 2 3 …

y＝-x2……

x …-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 …

y=－

1

2

x2……

x …－4 －3 －2 －1 0 1 2 3 4 …

y＝－2x2……

x 2，y ＝－12 x 2， y ＝－2x 2

的二次项系数a______0，顶点都是________， 对称轴是___________，顶点是抛

物线的最________点（填“高”或“低”） ．

总结：1．抛物线y ＝ax 2

的性质

2．抛物线y ＝x 2与y ＝－x 2关于________对称，因此，抛物线y ＝ax 2与y ＝－ax 2

关于_______ 对称，开口大小_______________．

3．当a ＞0时，a 越大，抛物线的开口越___________； 当a ＜0时，｜a ｜ 越大，抛物线的开口越_________；

因此，｜a ｜ 越大，抛物线的开口越________，反之，｜a ｜ 越小，抛物线的开口越________．

三．达标测评案： 1．填

表：

2．若二次函数y ＝ax 2

的图象过点（1，－2），则a 的值是___________．

3．二次函数y ＝(m －1)x 2

的图象开口向下，则m____________．

4．如图， ① y ＝ax 2

② y ＝bx 2

③ y ＝cx 2

④ y ＝dx 2

比较a 、b 、c 、d 的大小，用“＞”连接． ___________________________________

5．函数y ＝37 x 2

的图象开口向_______，顶点是__________，对称轴是________，

当x ＝___________时，有最_________值是_________． 6．二次函数y ＝mx

2

2 m 有最低点，则m ＝___________．

7．二次函数y ＝(k ＋1)x 2

的图象如图所示，则k 的取值 范围为___________．

8．写出一个过点（1，2）的函数表达式_________________．

课后反思：

26.1.3二次函数y ＝ax 2

＋k 的图象与性质(第三课时)

教学目标:1.会画二次函数y ＝ax 2

＋k 的图象;2.掌握二次函数y ＝ax 2

＋k 的性质,并会应用; 重点：画形如y=ax 2

与 y=ax 2

+k 的二次函数的图像

难点：用描点法画出二次函数y=ax 2 与y=ax 2

+k 的图象以及探索二次函数性质 教学过程： 一．预习检测案：

在同一直角坐标系中,画出二次函数y ＝x 2

＋1,y ＝x 2

－1的图象.

解:

先列表描点并画图

图象(草图) 开口方向 顶点 对称轴 有最高或最低点 最值

a ＞0

当x ＝____时,y 有最___值,是______. a ＜0

当x ＝____时,y 有最____值,是______.

开口方向

顶点

对称轴 有最高或低点 最值

y ＝23 x 2

当x ＝____时,y 有最_____值,是______. y ＝－8x 2

x … －3 －2 －1 0 1 2 3 … y ＝x 2

＋1 … … y ＝x 2－1

…

…

观察图像得：

2.可以发现,把抛物线y＝x2向______平移______个单位,

就得到抛物线y＝x2＋1;把抛物线y＝x2向_______平移______个单位,

就得到抛物线y＝x2－1.

3.抛物线y＝x2,y＝x2－1与y＝x2＋1的形状_____________.

二．合作探究案：

1. y＝ax2y＝ax2＋k

开口方向

顶点

对称轴

有最高(低)点

最值

a＞0时,当x＝______时,y有最____值为________;

a＜0时,当x＝______时,y有最____值为________.

增减性

2.抛物线y＝2x2向上平移3个单位,就得到抛物线__________________;

抛物线y＝2x2向下平移4个单位,就得到抛物线__________________.

因此,把抛物线y＝ax2向上平移k(k＞0)个单位,就得到抛物线_______________;

把抛物线y＝ax2向下平移m(m＞0)个单位,就得到抛物线_______________.

3.抛物线y＝－3x2与y＝－3x2＋1是通过平移得到的,从而它们的形状__________,

由此可得二次函数y＝ax2与y＝ax2＋k的形状__________________.

三．达标测评案：

1.填表

函数草图开口方向顶点对称轴最值对称轴右侧的增减性y＝3x2

y＝－3x2＋1

y＝－4x2－5

2.将二次函数y＝5x2－3向上平移7个单位后所得到的抛物线解析式为_________________.

3.写出一个顶点坐标为(0,－3),开口方向与抛物线y＝－x2方向相反,形状相同的抛物线解析式____.

4.抛物线y＝－

1

3

x2－2可由抛物线y＝－

1

3

x2＋3向___________平移_________个单位得到的.

6.抛物线y＝4x2－1与y轴的交点坐标为_____________,与x轴的交点坐标为_________.

课后反思：

26.1.3二次函数y＝a(x-h)2的图象与性质（第四课时）

教学目标:会画二次函数y＝a(x-h)2的图象，掌握二次函数y＝a(x-h)2的性质,并要会灵活应用。

一．预习检测案：

画出二次函数y＝－

1

2

(x＋1)2,y－

1

2

(x－1)2的图象,并考虑它们的开口方向.对称轴.顶点以及最值.增减性. 先列表:

描点并画图.

二．合作探究案：

1.观察预习检测案

中所画图象,填表:

1. 开口方向顶点对称轴有最高(低)点最值

y＝x2

y＝x2－1

y＝x2＋1

x …－4 －3 －2 －1 0 1 2 3 4 …

y＝－

1

2

(x＋1)2……

y＝－

1

2

(x－1)2……

2.请在图上把抛物线y ＝－12

x 2

也画上去(草图).

①抛物线y ＝－12 (x ＋1)2 ,y ＝－12 x 2,y ＝－12 (x －1)2

的形状大小____________.

②把抛物线y ＝－12 x 2向左平移_______个单位,就得到抛物线y ＝－12 (x ＋1)2

;

把抛物线y ＝－12 x 2向右平移_______个单位,就得到抛物线y ＝－12 (x ＋1)2

.

总结知识点：

1. y ＝ax 2

y ＝ax 2

＋k

y ＝a (x-h)2

开口方向 顶点

对称轴

最值

增减性

(对称轴左侧)

2.对于二次函数的图象,只要｜a ｜相等,则它们的形状_________,只是_________不同. 三．达标测评案

1.填表

图象(草图)

开口方向 顶点 对称轴 最值

对称轴右侧的增减

性

y ＝12

x 2

y ＝－5 (x ＋

3)2

y ＝3 (x －3)2

2.抛物线y ＝4 (x －2)2

与y 轴的交点坐标是___________,与x 轴的交点坐标为________. 3.把抛物线y ＝3x 2

向右平移4个单位后,得到的抛物线的表达式为____________________. 4.将抛物线y ＝－13 (x －1)x 2

向右平移2个单位后,得到的抛物线解析式为____________.

5.抛物线y ＝2 (x ＋3)2

的开口___________;顶点坐标为____________;对称轴是_________; 当x ＞－3时,y______________;当x ＝－3时,y 有_______值是_________. 课后反思：

26.1.3二次函数y ＝a(x －h)2

＋k 的图象与性质（第五课时）

教学目标:1.会画二次函数的顶点式y ＝a (x －h)2

＋k 的图象;2.掌握二次函数y ＝a (x －h)2

＋k 的性质;3.会

应用二次函数y ＝a (x －h)2

＋k 的性质解题.

一．预习检测案：画出函数y ＝－12 (x ＋1)2

－1的图象,指出它的开口方向.对称轴及顶点.最值.增减性.

列表:

描点画图： 二．合作探究案

由图象归纳:

1.函数

开口方

向

顶点

对称轴

最值

增减性

y ＝－12

(x ＋1)2

－1

2.把抛物线y ＝－12 x 2向____平移_____个单位,再向____平移_______个单位,就得到抛物线y ＝－12 (x ＋1)

2

－1. 总结知识点：

函数

开口方向

顶点

对称轴

最值

增减性

y ＝－12 (x ＋1)2

y ＝－12

(x －1)2

x

… －4 －3 －2 －1 0 1 2 … y ＝－12

(x ＋1)2

－1

…

…

2.抛物线y ＝a (x －

h)2

＋k 与

y ＝ax 2

形状___________,位置________________. 三．达标测评案

1. y ＝3x 2

y ＝－x 2

＋1

y ＝12

(x ＋2)2 y ＝－4 (x －5)2

－3

开口方向

顶点 对称轴 最值

增减性(对称轴左侧)

2.y ＝6x 2

＋3与y ＝6 (x －1)2

＋10_____________相同,而____________不同. 3.顶点坐标为(－2,3),开口方向和大小与抛物线y ＝12

x 2

相同的解析式为( )

A.y ＝12

(x －2)2

＋3

B.y ＝12 (x ＋2)2－3

C.y ＝12 (x ＋2)2＋3

D.y ＝－12

(x ＋2)2

＋3

4.二次函数y ＝(x －1)2

＋2的最小值为__________________.

5.将抛物线y ＝5(x －1)2

＋3先向左平移2个单位,再向下平移4个单位后,得到抛物线解析式为_____. 6.若抛物线y ＝ax 2

＋k 的顶点在直线y ＝－2上,且x ＝1时,y ＝－3,求a.k 的值.

7.若抛物线y ＝a (x －1)2

＋k 上有一点A(3,5),则点A 关于对称轴对称点A ’的坐标为（ ）。 8.将抛物线y ＝2 (x ＋1)2－3向右平移1个单位,再向上平移3个单位,得抛物线表达式______________. 课后反思：

26.1.4二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象与性质（第六课时）

教学目标:1.配方法求二次函数一般式y ＝ax 2

＋bx ＋c 的顶点坐标.对称轴;

2.熟记二次函数y ＝ax 2

＋bx ＋c 的顶点坐标公式; 3.会画二次函数一般式y ＝ax 2

＋bx ＋c 的图象. 一．预习检测案：

1.求二次函数y ＝12 x 2－6x ＋21的顶点坐标与对称轴.(解:将函数等号右边配方:y ＝12

x 2

－6x ＋21)

2.画二次函数y ＝12 x 2

－6x ＋21的图象.(解:y ＝12

x 2

－6x ＋21配成顶点式为

______________

_________.) 列表:

3.用配方法求抛物线y ＝ax 2

＋bx ＋c(a ≠0)的顶点与对称轴.

二．课堂探究案：

y ＝ax 2

y ＝ax 2＋k y ＝a(x －h)2 y ＝a(x －h)2＋k y ＝ax 2

＋bx ＋c

开口方向

顶点 对称轴 最值

增减性(对称轴左侧)

三.知识点应用

1.求二次函数y ＝ax 2

＋bx ＋c 与x 轴交点(含y ＝0时,则在函数值y ＝0时,x 的值是抛物线与x 轴交点的横坐标).

y ＝ax 2

y ＝ax 2

＋k

y ＝a (x-h)2

y ＝a (x －h)2

＋k

开口方向

顶点 对称轴 最值

增减性(对称轴右侧)

x

… 3 4 5 6 7 8 9 …

y ＝12

x 2

－6x ＋21 …

…

例1 求y ＝x 2

－2x －3与x 轴交点坐标.

2.求二次函数y ＝ax 2

＋bx ＋c 与y 轴交点(含x ＝0时,则y 的值是抛物线与y 轴交点的纵坐标). 例2 求抛物线y ＝x 2－2x －3与y 轴交点坐标. 3.a.b.c 以及△＝b 2

－4ac 对图象的影响.

(1)a 决定:开口方向.形状 (2)c 决定与y 轴的交点为(0,c)

(3)b 与－b 2a

共同决定b 的正负性 (4)△＝b 2

－4ac ??

???<=>轴没有交点与轴有一个交点与轴有两个交点

与x x x 000

例3 如图,由图可得:a_______0,b_______0,c_______0,△______0 例4 已知二次函数y ＝x 2

＋kx ＋9.

① 当k 为何值时,对称轴为y 轴；

②当k 为何值时,抛物线与x 轴有两个交点； ③当k 为何值时,抛物线与x 轴只有一个交点. 四．达标测评案：

1. 用顶点坐标公式和配方法求二次函数y ＝12

x 2

－2－1的顶点坐标.

2.二次函数y ＝2x 2

＋bx ＋c 的顶点坐标是(1,－2),则b ＝________,c ＝_________.

3.已知二次函数y ＝－2x 2

－8x －6,当________时,y 随x 的增大而增大;当x ＝________时,y 有______值是_____.

4.二次函数y ＝－x 2

＋mx 中,当x ＝3时,函数值最大,求其最大值.

5.求抛物线y ＝2x 2－7x －15与x 轴交点坐标__________,与y 轴的交点坐标为_______.

6.抛物线y ＝4x 2

－2x ＋m 的顶点在x 轴上,则m ＝__________.

7.如图:由图可得: a_______0,b_______0,c_______0,△＝b 2

－4ac______0 课后反思：

26.1.5 用待定系数法求二次函数的解析式（第七课时）

教学目标:1.会用待定系数法求二次函数的解析式;2.实际问题中求二次函数解析式. 一．预习检测案：

1.已知二次函数y ＝x 2

＋x ＋m 的图象过点(1,2),则m 的值为________________.

2.已知点A(2,5),B(4,5)是抛物线y ＝4x 2

＋bx ＋c 上的两点,则这条抛物线的对称轴为

_____________________.

3.将抛物线y ＝－(x －1)2

＋3先向右平移1个单位,再向下平移3个单位,则所得抛物线的解析式为___________.

4.抛物线的形状.开口方向都与抛物线y ＝－12 x 2

相同,顶点在(1,－2),则抛物线的解析式为

_______________. 二．合作探究案：

例1 已知抛物线经过点A(－1,0),B(4,5),C(0,－3),求抛物线的解析式.

例2 已知抛物线顶点为(1,－4),且又过点(2,－3).求抛物线的解析式.

例3 已知抛物线与x 轴的两交点为(－1,0)和(3,0),且过点(2,－3).求抛物线的解析式.

归纳:用待定系数法求二次函数的解析式用三种方法: 1.已知抛物线过三点,设一般式为y ＝ax 2

＋bx ＋c. 2.已知抛物线顶点坐标及一点,设顶点式y ＝a(x －h)2

＋k.

3.已知抛物线与x 轴有两个交点(或已知抛物线与x 轴交点的横坐标),

设两根式:y ＝a(x －x 1)(x －x 2) .(其中x 1.x 2是抛物线与x 轴交点的横坐标)

实际问题中求二次函数解析式：

例4 要修建一个圆形喷水池,在池中心竖直安装一根水管,在水管的顶端安一个喷水头,使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m 处达到最高,高度为3m,水柱落地处离池中心3m,水管应多长？ 三．达标检测案：

1.已知二次函数的图象过(0,1).(2,4).(3,10)三点,求这个二次函数的关系式.

2.已知二次函数的图象的顶点坐标为(－2,－3),且图像过点(－3,－2),求这个二次函数的解析式.

3.已知二次函数y ＝ax 2

＋bx ＋c 的图像与x 轴交于A(1,0),B(3,0)两点,与y 轴交于点C(0,3),求二次函数的顶点坐标.

4.如图,在△ABC 中,∠B ＝90°,AB ＝12mm,BC ＝24mm,动点P 从点A 开始沿边AB 向B 以2mm/s 的速度移动,动点Q 从点B 开始沿边BC 向C 以4mm/s 的速度移动,如果P.Q 分别从A.B 同时出发,那么△PBQ 的面积S 随出发时间t 如何变化？写出函数关系式及t 的取值范围.

课后反思：

26.2 用函数的观点看一元二次方程（第八课时）

教学目标:1.知道二次函数与一元二次方程的关系.2.会用一元二次方程ax 2

＋bx ＋c ＝0根的判别式△＝b 2

－4ac 判断二次函数y ＝ax 2

＋bx ＋c 与x 轴的公共点的个数. 一．预习检测案：

1.问题:如图,以40m/s 的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时,球的飞行路线将是一条抛物线.如果不考虑空气阻力,球的飞行高度h(单位:m)与飞行时间t(单位:s)之间具有关系h ＝20t －5t 2

. 考虑以下问题:(1)球的飞行高度能否达到15m ？如能,需要多少飞行时间？ (2)球的飞行高度能否达到20m ？如能,需要多少飞行时间？ (3)球的飞行高度能否达到20.5m ？为什么？ (4)球从飞出到落地要用多少时间？

2.观察图象:

(1)二次函数y ＝x 2＋x －2的图象与x 轴有____个交点,则一元二次方程x 2

＋x －2＝0的根的判别式△＝_______0;

(2)二次函数y ＝x 2

－6x ＋9的图像与x 轴有_ __个交点,则一元二次方程x 2

－6x ＋9＝0的根的判别式△＝_____0;

(3)二次函数y ＝x 2

－x ＋1的图象与x 轴________公共点,则一元二次方程x 2

－x ＋1＝0的根的判别式△

_______0.

二．合作探究案：

1.已知二次函数y ＝－x 2

＋4x 的函数值为3,求自变量x 的值,可以看作解一元二次方程__________________.反之,解一元二次方程－x 2＋4x ＝3又可以看作已知二次函数__________________的函数值为3的自变量x 的值.

一般地:已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的函数值为m,求自变量x 的值,可以看作解一元二次方程ax 2

＋bx ＋c ＝m.反之,解一元二次方程ax 2

＋bx ＋c ＝m 又可以看作已知二次函数y ＝ax 2

＋bx ＋c 的值为m 的自变量x 的值. 2.二次函数y ＝ax 2

＋bx ＋c 与x 轴的位置关系:一元二次方程ax 2

＋bx ＋c ＝0的根的判别式△＝b 2

－4ac.

(1)当△＝b 2

－4ac ＞0时

抛物线y ＝ax 2

＋bx ＋c 与x 轴有两个交点;

(2)当△＝b 2

－4ac ＝0时 抛物线y ＝ax 2

＋bx ＋c 与x 轴只有一个交点; (3)当△＝b 2

－4ac ＜0时 抛物线y ＝ax 2

＋bx ＋c 与x 轴没有公共点. 八.课后训练

1.已知抛物线y ＝x 2

－2kx ＋9的顶点在x 轴上,则k ＝____________.

2.已知抛物线y ＝kx 2＋2x －1与坐标轴有三个交点,则k 的取值范围___________.

3.已知函数y ＝ax 2

＋bx ＋c(a,b,c 为常数,且a ≠0)的图象如图所示,则关于x 的方程ax 2

＋bx ＋c －4＝0的根的情况是(

A.有两个不相等的正实数根

B.有两个异号实数根

C.有两个相等实数根

D.无实数根

4.如图为二次函数y ＝ax 2

＋bx ＋c 的图象,在下列说法中:

①ac ＜0;②方程ax 2

＋bx ＋c ＝0的根是x 1＝－1,x 2＝3;③a ＋b ＋c ＞0;

④当x ＞1时,y 随x 的增大而增大.正确的说法有__________________(把正确的序号都填在横线上).

Q

P

C

B

A

课后反思：

26.3. 实际问题与二次函数-1（第九课时）

教学目标：

几何问题中应用二次函数的最值． 一．预习检测案：

1．抛物线y ＝－(x ＋1)2

＋2中，当x ＝___________时，y 有_______值是__________．

2．抛物线y ＝12

x 2

－x ＋1中，当x ＝___________时，y 有_______值是__________．

3．抛物线y ＝ax 2

＋bx ＋c （a ≠0）中，当x ＝___________时，y 有_______值是__________． 二．合作探究案：（P22的探究）

用总长为60m 的篱笆围成矩形场地，矩形面积S 随矩形一边长l 的变化而变化，当l 是多少时，场地的面积S 最大？

三．达标测评案：

1．已知直角三角形两条直角边的和等于8，两条直角边各为多少时，这个直角三角形的面积最大，最大值是多少？

2．从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h （单位：m ）与小球运动时间t （单位：s ）之间的关系式

是h ＝30t －5t 2

．小球运动的时间是多少时，小球最高？小球运动中的最大高度是多少？

3．如图，四边形的两条对角线AC 、BD 互相垂直，AC ＋BD ＝10，当AC 、BD 的长是多少时，四边形ABCD

的面积最大？

4．一块三角形废料如图所示，∠A ＝30°，∠C ＝90°，AB ＝12．用这块废料剪出一个长方形CDEF ，其

中，点D 、E 、F 分别在AC 、AB 、BC 上．要使剪出的长方形CDEF 面积最大，点E 应造在何处？

5. 如图，点E 、F 、G 、H 分别位于正方形ABCD 的四条边上，四边形EFGH 也是正方形．当

点E 位于何处时，正方形EFGH 的面积最小？

课后反思：

26.3 实际问题与二次函数-2（第十课时）

教学目标：

1．懂得商品经济等问题中的相等关系的寻找方法； 2．会应用二次函数的性质解决问题． 一．预习检测案：

1.二次函数y=a(x-h)2

+k 的图象是一条 ,它的对称轴是 ,顶点坐标是 .

2.二次函数y=ax 2

+bx+c 的图象是一条 ,它的对称轴是 ,顶点坐标是 .

当a>0时,抛物线开口向 ,有最 点,函数有最 值,是 ； 当 a<0时,抛物线开口向 ,有最 点,函数有最 值,是 。

3.二次函数y=2(x-3) 2+5的对称轴是 ,顶点坐标是 。当x= 时,y 的最 值

D

C

B

A

F E D C B A H

G F

E D C B A

是。

4.二次函数y=2x2-8x+9的对称轴是 ,顶点坐标是 .当x= 时,函数有最值,是。

三、合作探究案：

某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件．已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？

分析：调整价格包括涨价和降价两种情况，用怎样的等量关系呢？

解：（1）设每件涨价x元，则每星期少卖_________件，实际卖出_________件，设商品的利润为y元．（2）设每件降价x元，则每星期多卖_________件，实际卖出__________件．

四、达标测评案：

1．某种商品每件的进价为30元，在某段时间内若以每件x元出售，可卖出（100－x）件，应如何定价才能使利润最大？

2．蔬菜基地种植某种蔬菜，由市场行情分析知，1月份至6月份这种蔬菜的上市时间x（月份）与市场售价P（元/千克）的关系如下表：

上市时间x/（月份） 1 2 3 4 5 6

市场售价P（元/千克）10.5 9 7.5 6 4.5 3

这种蔬菜每千克的种植成本y（元/千克）与上市时间x（月份）满足一个函数关系，这个函数的图象是抛物线的一段（如图）．

（1）写出上表中表示的市场售价P（元/千克）关于上市时间x（月份）的函数关系式；

（2）若图中抛物线过A、B、C三点，写出抛物线对应的函数关系式；

（3）由以上信息分析，哪个月上市出售这种蔬菜每千克的收益最大？最大值为多少？

（收益＝市场售价－种植成本）

3. 某宾馆客房部有60个房间供游客居住，当每个房间的定价为每天200元时，房间可以住满．当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空间．对有游客入住的房间，宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用．设每个房间每天的定介增加x元，求：

（1）房间每天入住量y（间）关于x（元）的函数关系式；

（2）该宾馆每天的房间收费z（元）关于x（元）的函数关系式；

（3）该宾馆客房部每天的利润w（元）关于x（元）的函数关系式，当每个房间的定价为多少元时，w有最大值？最大值是多少？

26.3 实际问题与二次函数-3（第十一课时）

教学目标：

1．会建立直角坐标系解决实际问题；

2．会解决桥洞水面宽度问题．3. 会解决磁道问题.

一．预习检测案：

1．以抛物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为y轴建立直角坐标系时，可设这条抛物线的关系式为___________________________________．

2．拱桥呈抛物线形，其函数关系式为y＝－

1

4

x2，当拱桥下水位线在AB位置时，水面宽为12m，这时水面离桥拱顶端的高度h是（）

A．3m B．2 6 m C．4 3 m D．9m

3.有一抛物线拱桥，已知水位线在AB位置时，水面的宽为4 6 米，水位上升4米，就达到警戒线CD，

这时水面宽为4 3 米．若洪水到来时，水位以每小时0.5米的速度上升，则水过警戒线后几小时淹没到拱桥顶端M处？

二．合作探究案：

探究并解决：课本P24 探究2，探究3

P

B C Q A 三、达标测评案：

1．一座拱桥的轮廓是抛物线（如图①所示），拱高6m ，跨度20m ，相邻两支柱间的距离均为5m ．

（1）将抛物线放在所给的直角坐标系中（如图②所示），其关系式y ＝ax 2

＋c 的形式，请根据所给的

数据求出a 、c 的值；

（2）求支柱MN 的长度；

（3）拱桥下地平面是双向行车道（正中间是一条宽2m 的隔离带），其中的一条行车道能否并排行驶

宽2m ，高3m 的三辆汽车（汽车间的间隔忽略不计）？请说说你的理由．

2．如图，有一座抛物线形拱桥，在正常水位时水面AB 的宽为20m ，如果水位上升3m 时，水面CD 的宽

是10m ．

（1）建立如图所示的直角坐标系，求此抛物线的解析式．

（2）现有一辆载有救援物资的货车从甲地出发需经过此桥开往乙地，已知甲地距此桥280km （桥长

忽略不计）．货车正以每小时40km 的速度开往乙地，当行驶1h 时，忽然接到紧急通知：前方连降暴雨，造成水位以每小0.25m 的速度持续上涨（货车接到通知时水位在CD 处，当水位达到桥拱最高点O 时，禁止车辆通行）．试问：如果货车按原来速度行驶，能否安全通过此桥？若能，请说明理由．若不能，要使货车安全通过此桥，速度应超过每小时多少千米？

练习26.1（一）

1．一个圆柱的高等于底面半径，写出它的表面积S 与半径r 之间的关系式。

2.n 支球队参加比赛,每两队之间进行一场比赛.写出比赛的场次数m 与球队数n 之间的关系式. (二)

在同一直角坐标系中,画出下列二次函数的图象:y=221x ,22

12+=x y ,y=221

2-x .观察三条抛物

线的相互关系,并分别指出它们的开口方向、对称轴及顶点。你能说出抛物线k x y +=22

1

的开口

方向、对称轴及顶点吗？它与抛物线22

1

x y =有什么关系？

（三）

在同一直角坐标系中,画出下列二次函数的图象: 222)2(2

1

,)2(21,21-=+==

x y x y x y 观察三条抛物线的相互关系,并分别指出它们的开口方向、对称轴及顶点。 （四）

说出下列抛物线的开口方向、对称轴及顶点：(1)y=2(x+3)2+5;(2)y =－3(x －1)2－2; (3) y=4(x －

3)2+7;(4) y =－5(x+2)2－6 (五)

1.写出下列抛物线的开口方向、对称轴及顶点坐标.当x 为何值时y 的值最小(大)?

(1)y=3x 2+2x;(2)y =－x 2－2x;(3)y=－2x 2+8x －8;(4)342

1

2+-=x x y

2. 已知直角三角形两条直角边的和等于8,两条直角边各为多少时,这个直角三角形的面积最大,最大值是多少? 习题

26.1复习巩固

1. 一个长方形的长是宽的2倍,写出这个长方形的面积与宽之间的函数关系式.

2. 某种商品的价格是2元,准备进行两次降价.如果每次降价的百分率都是x,经过两次降价后的价格y(单位:元)随每次降价的百分率x 的变化而变化,y 与x 之间的关系可以用怎样的函数来表示?

3. 在同一直角坐标系中画出下列函数的图象:y=3x 2,y =－3x 2,y=3

1

x 2.

4. 分别写出抛物线y=4x 2与24

1

x y -=的开口方向、对称轴及顶点.

5. 分别在同一直角坐标系内,描出下列二次函数的图象,并写出对称轴及顶点:

(1)y=31x 2+3, y=31x 2－2;(2)2)2(41+-=x y ,2)1(41

--=x y

(3)y=21(x+2)2－2, y=2

1

(x －1)2+2.

6. 先确定下列抛物线的开口方向、对称轴及顶点(用公式),再描点画图:

(1)y=－3x 2+12x －3; (2)y=4x 2－24x+26; (3)y=2x 2+8x －6; (4)y=122

1

2--x x

综合运用 7. 如图,在三角形ABC 中,∠B=90°,AB=1.2㎝,BC=2.4㎝,动点P 从

点A 开始沿边AB 向B 以2㎜/s 的速度移动,动点Q 从点B 开始沿边BC 向C 以4㎜/s 的速度移动,如果P,Q 分别从A,B 同时出发,那么△PBQ 的面积S 随出发时间t 如何变化?写出函数关系式及t 的取值范围.

8. 一辆汽车的行驶距离s(单位:m)与行驶时间t(单位:s)的函数关系式是s=9t+22

1

t ,经过12s

汽车行驶了多远?行使380m 需要多少时间? 图①

B D A

C D

C

A

E

F

B

C D

H E

F

G C

B A E G

F D 9. 从地面竖直向上抛出一小球.小球的高度h(单位:m)与小球运动时间t(单位:s)之间的函数关系式是h=30t －5t 2.小球运动的时间是多少时,小球最高?小球运动中的最大高度是多少? 10.如图,四边形的两条对角线AC,BD 互相垂直,AC+BD=10,当AC,BD 的长是多少时,

四边形ABCD 的面积最大?

拓广探索

11.钢球从斜面顶端由静止开始沿斜面滚下,速度每秒增加1.5m/s. (1)写出滚动的距离s(单位:m)与滚动的时间t(单位:s)之间的关系式.(提示:本题中,距离=平均速度v ×时间t, v =

2

0t

v v +,其中,0v 是开始时的速度,t v 是t 秒时的速度) (2)如果斜面的长是1.5m,从斜面顶端滚到底端用多长时间?

12.填空:

(1)已知函数y=2(x+1)2+1,当x<______时y 随x 的增大而减小, 当x>_____时y 随x 的增大而增大, 当x=_____时y 最_____.

(2)已知函数y=—2x 2+x —4,当x<______时y 随x 的增大而增大, 当x>_____时y 随x 的增大而减小, 当x=_____时y 最_____. 习题26.2 复习巩固

1. 已知函数y=3x 2—4x+1.(1)画出函数的图象;(2)观察图象,当x 取哪些值时,函数值为0?

2. 用函数的图象求下列方程的解:(1)x 2—3x+2=0 (2)—x 2+6x —9=0 (3)x 2+x+2=0 (4)4—x —x 2=0 综合运用

3. 如图,一名男生推铅球,铅球行进高度y 与水平距离x 之间的关系是

3

5321212++-=x x y

(1)画出函数的图象;(2)观察图象,指出铅球推出的距离.

4. 抛物线与x 轴的公共点是(-1,0),(3,0),求这条抛物线的对称轴. 拓广探索

5. 画出函数y=x 2-2x-3的图象,利用图象回答:(1)方程x 2-2x-3=0的解是什么;(2)x 取什么值时,函数值大于0;(3) x 取什么值时,函数值小于0;

6. 下列情形时,如果a>0,抛物线y=ax 2+bx+c 的顶点在什么位置?

(1)方程ax 2

+bx+c=0有两个不等的实数根; (2)方程ax 2+bx+c=0有两个相等的实数根; (3)方程ax 2+bx+c=0无实数根; 如果a<0呢?

习题26.3 复习巩固

1．下列抛物线有最高点或最低点吗？如果有，写出这些点的坐标（用公式）：

（1）y=－4x 2+3x; (2)y=3x 2

+x+6

2.某种商品每件的进价为30元，在某段时间内若以每件x 元出售，可卖出（200-x ）件，应如

何定价才能使利润最大？

3．飞机着陆后滑行的距离s （单位：m ）与滑行的时间t(单位：s)的函数关系式是

s=60t-1.5t 2.飞机着陆后滑行多远才能停下来？

综合运用

4．一块三角形废料如图所示，∠A=30°，∠C=90°，AB=12，用这快废料剪出一个长方形CDEF ，其中，点D ，E ，F 分别在AC ，AB ，BC 上，要使剪出的长方形CDEF 面积最大，点E 应选在何处？ 5．如图，点E 、F 、G 、H 分别位于正方形ABCD 的四条边上，四边形EFGH 也是正方形.当点E 位

于何处时,正方形EFGH 的面积最小? 6.某宾馆有50个房间供游客居住,当每个房间的定价为每天180元时,房间会全部住满.当每个房间的定价每增加10元时,就会有一个房间空闲.如果游

客居住房间,宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用.房价定为多少时,宾馆利润最大? 拓广探索

7. 如图, 厂门的上方是一段抛物线,抛物线的顶点离地面的高度是3.8m,一辆装满货物的卡车,宽为1.6m,高为2.6m,要求卡车的上端与门的距离不小于0.2m,这辆卡车能否通过厂门?

8. 分别用定长为L 的线段围成矩形和圆,哪种图形的面积大?为什么?

复习题26 复习巩固 1.如图,正方形ABCD 的边长是4,E 是AB 上一点,F 是AD 的延长线上一点,BE=DF.四边形AEGF 是矩形,则矩形AEGF 的面积y 随BE 的长x 的变化而变化,y 与x 之间的函数关系式可以用怎样的函数来表示?

2.某商场第1年销售计算机5000台,如果每年的销售量比上一年增加相同

的百分率x,写出第3年的销售量y 与每年增加的百分率x 之间的函数关系式. 3.选择题 在抛物线y=x 2-4x-4上的一个点是( )

(A)(4,4) (B)(3,-1) (C)(-2,-8) (D)(4

7

,21--)

4.先确定下列抛物线的开口方向、对称轴及顶点坐标(用公式),再描点画图:

(1)y=x 2-2x-3 (2)y=1+6x-x 2 (3)y=12212+-x x (4)y=44

1

2-+-x x

5.汽车刹车后行使的距离s(单位:m)与行使的时间t(单位:s)的函数关系式是s=15t-6t 2,汽车刹车后到停下来前进了多远? 综合运用

6.用一段长为30m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园,墙长为18m,这个矩形的长,宽各为多少时,菜园的面积最大,最大限面积是多少?

7.一个滑雪者从85m 长的山坡滑下,滑行的距离s(单位:m)与滑行时间t(单位:s)的函数关系式是s=1.8t+0.064t 2.他通过这段山坡需要多长时间?

8.已知矩形的周长为36cm ,矩形绕它的一条边旋转形成一个圆柱,矩形的长,宽各为多少时,旋转形成的圆柱的侧面积最大?

9.在周长为定植p 的扇形中,半径是多少时扇形的面积最大?

10.对某条线路的长度进行n 次测量,得到n 个结果x 1x 2,…,x n .如果用x 作为这条线路长度的近似值,当x 取什么值时,(x-x 1)2+(x-x 2)2+,,…+(x-x n )2最小?