不等式的若干证明方法

2016届本科毕业论文(设计)

题目：不等式的若干证明方法

学院：数学科学学院

专业班级：数学与应用数学12-1班

学生姓名：高春

指导教师：马昌秀

答辩日期：2016年5 月3日

新疆师范大学教务处

目录

1.引言 (1)

2.证明不等式的常用方法 (2)

2.1比较法 (2)

2.1.1 作差法 (2)

2.1.2作商法 (2)

2.2 分析法 (3)

2.3 综合法 (3)

2.4 反证法 (4)

2.5 放缩法 (5)

2.6 数学归纳法 (5)

2.7换元法 (6)

2.7.1增量换元法.. (6)

2.7.2三角换元法 (6)

2.7.3 比值换元法 (7)

2.8 标准化法 (7)

2.9 公式法 (8)

2.10 分解法 (8)

2.11 构造法 (9)

2.11.1 构造对偶式模型 (9)

2.11.2 构造函数模型 (9)

2.12 借助几何法 (10)

3.利用函数证明不等式 (10)

3.1 极值法 (10)

4.利用著名不等式 (11)

4.1 均值不等式 (11)

4.2 柯西-施瓦茨不等式 (12)

4.3 拉格朗日中值定理 (12)

4.4 赫尔德不等式 (13)

4.5 詹森不等式 (13)

4.6 闵可夫斯基不等式 (14)

4.7 伯努利不等式 (15)

4.8 切比雪夫不等式 (15)

4.9 琴生不等式 (16)

4.10 艾尔多斯—莫迪尔不等式 (16)

4.11 排序不等式定理 (16)

5.小结 ..................................................... 错误！未定义书签。参考文献 . (18)

谢辞 ..................................................... 错误！未定义书签。

不等式的若干证明方法

摘要:不论在初等数学还是高等数学中,不等式都是非常重要的内容,而不等式的证明又是不等式知识的重要组成部分,在本篇文章中,综述了证明不等式的若干方法,从初等数学不等式的证明中经常用到的数学归纳法、反证法、放缩法、换元法、判别式法、函数法、几何法等等,到高等数学不等式的证明中经常利用的中值定理、泰勒公式以及一些著名的不等式,使不等式的证明方法更加的完善,有利于进一步的探讨和研究不等式的证明。

关键词:不等式；不等式证明；常用方法

Some prove inequalities method

Abstract:in both the elementary mathematics and advanced mathematics, the content of the inequality is very important, inequality and the proof is an important part of knowledge, in this article, several methods to prove inequality are reviewed in this paper, from the elementary mathematics inequality analyst frequently used mathematical induction, the reduction to absurdity, zooming method, substitution method and elementary method, function method, geometric method, etc., to the higher mathematics inequality analyst often use of mean value theorem, Taylor formula and some famous inequality, the inequality proof method more perfect, is conducive to further explore and research of inequality proof.

Key words: inequality; Inequality proof; Commonly used method

1.引言

在生活中,虽然不等关系要比相等关系更多的存在于现实世界里,但是人们对于不等式的认识要比等式要迟的多,直到17世纪以后,不等式的理论才逐渐发展起来,成为数学基础理论中的一个重要组成部分。数学不等式的研究最早从欧洲国家开始兴起, 其中有一个较大的研究群体, 它是位于欧洲东部的原南斯拉夫国家,对不等式的研究更是做出了巨大贡献。

在数学不等式理论的发展史上,一共有两个比较重大的事件,它们分别是：切比雪夫在1882 年发表的论文和高德菲·哈罗德·哈代在1928 年任伦敦数学会主席届满时的演讲。哈代、李特尔伍德以及波利亚的著作《Inequalities》的前言中更是对不等式的哲学做出了非常有见地的见解: 一般来讲初等的不等式应该有初等的证明, 证明应该是“内在的”,并且应该给出使等号成立的证明。Fink 说道：人们应该尽量陈述和证明那些不能推广的不等式；哈代也说：“基本的不等式是初等的”。自哈代、李特尔伍德以及波利亚的著作《Inequalities》由Cambridge University Press在1934年开始出版以后, 数学不等式的理论和数学不等式理论应用的研究在数学史上正式开始活跃起来, 成为一门新兴的独立的数学学科, 从此以后不等式便不再是一些零星散乱、孤立的公式综合, 而是逐渐发展成为一套系统的、独立的科学理论。

自20 世纪 70 年代以来 , 按照国际惯例,每四年在德国召开一次关于一

般不等式 ( General Inequalities) 的国际学术会议 , 并且还要出版专门的会议论文集,不等式理论更是 2000 年在意大利召开的第三届世界非线性分析学家大会 (“The ThirdWorld Congress of Nonlinear Analyst s” ( WCNA - 2000) )的主题之一,从这些方面我们可以看出不等式在数学中的重要性。

在研究数学的不等式过程中,有许多的内容都十分有用,如：不等式的性质、不等式的证明方法和不等式的解法,在本文中,就不一一说明了,而主要介绍一些证明不等式的常用方法、利用函数证明不等式的方法和利用一些著名不等式证明不等式的方法,希望通过这些方法的学习,我们可以更好的认识数学中不等式的一些特点,从而开拓我们的数学视野,深化我们对不等式的认识,以便于站在更高的角度来研究数学不等式,让数学不等式理论充满蓬勃生机、兴旺发达。

2.证明不等式的常用方法

2.1比较法

比较法是把不等式两边作商或作差后和1或0做比较的方法 ,常用比较法的有两种：作差法和作商法。

2.1.1 作差法

从不等式两边的差是正数还是负数来判断它们的大小,其理论根据就是:若0a b ->,则a b >；若0a b -<,则a b <.此外,还要特别注意对任何实数,其平方后必不小于零。在运用此方法证不等式时,常常求不等式两端的差,所以这种方法通常也称为求差法。

例 求证:对任何实数,,a b c 成立下述不等式：

222ab bc ac a b c ++≤++.

证明: 利用比较大小的办法,我们求不等式两边式子之差,

因为 222()a b c ab bc ac ++-++

2222221(222)2

a b ab b c bc a c ac =+-++-++- 2221[()()()]02

a b b c c a =-+-+-≥ 所以 222ab bc ac a b c ++≤++.

2.1.2作商法

作商法是把不等式两边做比,然后与1作比较,看比值是大于1还是小于1。 例设+∈R b a ,,求证：()2b

a b a ab b a +≥.

（由于要比较的两式成幂的结构,故结合函数的单调性,故可采用作商比较法来证明.）

证明：作商得：()2222b a a

b b

a b

a b

a b a b a ab b a ---+??? ??=?=,

又由指数函数的性质

当b a =时,12=??? ??-b a b a ；当0>>b a 时,1>b a ,02>-b a ,12>??? ??-b a b a .

当0>>a b 时,10<??? ??<--b

a b a b a .即 ()2b

a b a ab b a +≥.

2.2 分析法

分析法也叫逆推法,就是假定给的不等式是成立的,推测使它成立的条件,用恒等变换和不等式的性质继续推测能使这些条件成立的条件,这样逐步的递推下去,最后得到一个已知成立的不等式的方法,并且让推导过程的每一步又都是可逆的,便证明了原不等式是正确的。对于比较复杂的不等式,往往可以运用这种方法进行思考,从而探索证题的途径。

例 已知0απ<<,证明2sin 2cot 2

αα≤,并讨论当α为何值时等号成立. 证明: 若原不等式2sin 2cot 2

αα≤成立, 则可写成1+cos 2sin 2sin ααα≤,

由于0απ<<,两端乘以正数sin α,则问题化为证明

2sin sin 21cos ααα≤+

但 222sin sin 24sin cos(1cos )4(1cos )cos ααααααα=+=-

4(1cos )(1cos )cos ααα=-+

所以问题又化为证明不等式

(1cos )[4(1cos )cos 1]0ααα+--≤

即 21(1cos )[4(cos )]02

αα+--≤ 这个不等式的正确是显然的,故原不等式成立.

因为0απ<<,所以等号成立当且仅当1cos =02α-,解出=3

πα. 2.3 综合法

综合法是利用已经证明过的不等式和不等式的性质,推出所要证明的不等式成立,综合法也是分析法的逆推.对于比较复杂的不等式,如果从已知直接推出结果,往往不易成功,这时,我们便可用逆向思维,由结果去推已知,也许会简单些,因此,在证明题时通常是先用分析法去探索证题的途径,再用综合法叙述证明过

程.综合法证明不等式的逻辑关系是：（已知A ）逐步推演不等式成立的必要条件（结论B ）,符号如下：

12n A B B B B ????????.

例 已知,,a b c 为正实数,用综合法证明

3332222(a +b +c )a (b+c)+b (a+c)+c (a+b)≥.

证明：

222232233322

a>0,b>0a+b>0,(a-b)0

(a+b)(a-b)0

(a -b )(a-b)0

a -a b-a

b +b 0

a +

b ba +ab →≥≥≥≥≥

同理33223322b +c cb +bc ,c +a ac +ca ≥≥,

三同向的不等式的两边相加得到： 3332222222a +2b +2c a b+a c+ab +cb +c a+c b ≥.

2.4 反证法

反证法是从求证结论的反向入手,即假设求证的不等式不成立,然后经过一堆番合乎逻辑的推理,推出与已知条件或其他正确的定理、命题、公式相矛盾的结论,从而否定开始所作的假设,以此断定求证的不等式成立的方法,也就是逆向思维。

例 已知,,,a b c d R ∈,且1,1a b c d ac bd +=+=+>,求证：

,,,a b c d 中至有一个是负数.

证明：假设,,,a b c d 都是非负数,

因为 1a b c d +=+=

所以 ()()1a b c d ++=

又 ()()a b c d ac bc ad bd ac bd ++=+++≥+

所以 1ac bd +≤

这与已知1ac bd +>矛盾.

所以 ,,,a b c d 中至少有一个是负数.

注：对于某些问题,应用直接证法,过程繁杂或不易证明时,可考虑是否可用反证法。

2.5 放缩法

放缩法是把不等式两边通过添加或减少一些项使得到的式子与原式相差不大但可以更好的利用不等式性质的方法。

放缩的技巧：想要证明,先找到一个（或多个）中间变量C,使,选择由A 到C 叫做“放”,由B 到C 叫做“缩”。

例 求证:1111++++212123123n

???

????????????? ≤1111++++1223(1)n n

?????- 111111(1)()++()2231122n n n

=+-+-???--=-< 故原不等式成立.

注：1、不等式放缩法的理论依据,是不等式的传递性,即若则；2、在使用放缩法时,“放”和“缩”都不能过头,要适当；3、放缩法的技巧性比较强,一般用于两边差别比较大的不等式中。

2.6 数学归纳法

数学归纳法,常用于题目中带有n 的题,一般步骤为先假设当1n =和n k =是不等式成立,再证明当1n k =+是不等式成立,则原题得证。

例 求证：111113123224

n n n n +++???+>+++(n 为大于1的自然数). 证明: （1）当2n =时,2117212212

S =+>++； （2）当n k =时,1324k S >

； 下证当1n k =+时,原不等式也成立：

因为

111113123224

k k k k +++???+>+++, 所以

1111111112342(1)1232k k S S k k k k k k k k +??-=+++???+-+++???+ ?+++++++??

B A ≤B

C A ≤≤,

D C ,C B ,B A >>>D A >

111[]212(1)1

k k k =+-+++ 11212(1)

k k =-++ 102(1)(21)k k =

>++ 所以 11324k k S S +>>,即 11324

k S +> 由（1）（2）知原不等式成立.

2.7 换元法

换元法是把原不等式中的项用一些更简便的字母代替掉,用代替后的式子求解后再代回去的方法。

2.7.1 增量换元法

一般的,对称式（任意交换式子中两个字母的位置,式子的大小不变）和给定字母顺序（如a>b>c ）的不等式,常用增量法来换元,换元的目的呢,是通过换元来达到减元,使问题变得简单。

例 已知0x y >>,求证：.。

证明: 由0x y >>,可令(0)x y t t =+>

因为 2y t y t +<++=

所以

故.

2.7.2三角换元法

三角换元是一种很常见的换元方法,多用于条件不等式的证明,在解答类似这些题目时,适当的选择三角函数来进行换元,把代数问题转化为三角问题,然后根据三角函数的性质解决问题。

例 已知22cos ,2sin ,(0,)2x y πααα==∈,求证：11x y +≥.

证明: 22cos ,2sin ,(0,)2

x y π

ααα==∈, 则 221112=cos sin x y αα

++

22221tan 22cot 3tan 2cot 32tan )

3cot 3αα

αα

αααα

=+++=++≥+?=+=+

.

22tan =2cot =x y ααα===当且仅当，即取“”号. 2.7.3 比值换元法

对于题目中有多个等比式的不等式,我们先设一个辅助未知数去表示这个比值,然后将比值代入不等式求解,这就是比值换元法。

例 已知12123y z x +--==,求证：2223414x y z ++≥.

证明: 设12123

y z x k +--===, 于是 x=k+1,y=2k-1,z=3k+2

把以上各式代入222x y z ++得

222x y z ++=222k+1+(2k-1)(32)k ++（）

253314()44141414

k =++≥. 2.8 标准化法

形如n n x x x x x x f s i n s i n s i n ),,,(2121 =的函数,其中π≤

n x x x +++ 21为常数,则i x 之间的值越接近,),,,(21n x x x f 的值越大（或不变）

；当n x x x === 21时,),,,(21n x x x f 取最大值,即

n

x x x x x x x x x f n n n n +++≤= 212121sin sin sin sin ),,,(. 标准化定理：当B A +为常数时,有2

sin sin sin 2B A B A +≤.

例 设C B A ,,为三角形的三内角,求证：812sin 2sin 2sin

≤C B A . 证明: 由标准化定理得,

当C B A ==时,2

12sin 2sin 2sin ===C B A , 取最大值 1sin sin sin 2228

A B C ??=, 故 8

12sin 2sin 2sin ≤C B A . 2.9 公式法

应用一些公式的结论,可以很好的得出一些难以证明的不等式的证明。

例 已知c b a ,,为ABC ?的三边长,求证：

444222222222c b a c b c a b a ++>++.

证明: 由海伦公式))()((c p b p a p p S ABC ---=?,其中)(2

1c b a p ++=. 两边平方,移项整理得

4442222222222)(16c b a c b c a b a S ABC ---++=?,

而0>?ABC S ,

所以 444222222222c b a c b c a b a ++>++.

2.10 分解法

按照规定法则,把一个数或一个式分解为几个数或几个式,使复杂的问题转化为简单易解的基本问题,以便分而治之,各个击破,以更方便快捷的方法解题。

例2≥n ,且N n ∈,求证：)11(131211-+>++++n n n n

. 证明:因为 ??

? ??+++??? ??++??? ??+++=+++++11131121)11(131211n n n n n n n n

n n n n 1134232134232+?=+?????>+++++= .

所以 ).11(131211-+>++++n n n n

2.11 构造法

构造法是通过构造一定的数学模型来解题的方法,所以用这方法的时候,一定要注意模型的选取,之后就会得到独特且有创意的解法。

2.11.1 构造对偶式模型

构造对偶式模型是先构造出和原不等式形式相同结果不同的式子,然后通过之间联系解题的方法。

例 求证：1321

242n n -????<.

证明：设1321242n A n -=????,2423521

n B n =????+ 由于12342122345221n n n n -<

因此A

21A A B n

+,即A < 故原不等式成立.

2.11.2 构造函数模型

我们都知道,函数是学习数学的一条主线,一些本身没有明显函数关系的问题, 通过类比、联想、归纳、转化等数学方法便可以合理的构造成函数模型, 从而解决问题。

例 已知++=αβγπ,证明2222cos 2cos 2cos x y z xy yz xz αβγ++≥++.

证明: 考虑函数222()2cos 2cos 2cos f x x y z xy yz xz αβγ=++---

=2222(cos cos )2cos x y z x y z yz αββ-+++-,

因为 222=4(cos cos )4(2cos )y z y z yz αγβ?+-+-

24(sin sin )0y z αγ=--≤.

又2x 的系数大于零,所以()f x 的值恒大于或等于零,

所以2222cos 2cos 2cos x y z xy yz xz αβγ++≥++.

2.12 借助几何法

利用数形关系,掌握代数(三角)与几何的知识和方法,把一部分代数(或三角)不等式转化为几何问题,例如运用“两点间以连接这两点的直线段为最短的连线”、“三角形两边之和大于第三边”、“三角形大角对大边”等几何结论,证明不等式往往会比较方便,反之有些几何不等式也可以转化为代数或三角问题,迅速得到证明。

例 已知a 是一个小于1的正数,证明

证明: 作边长为1的正方形ABCD ,并用,EF GH 将他划分为

四个矩形,使,AE a AG b ==,

则可根据三角形中两边之和大于第三边的道理,

得到,OA OC AC BO OD BD +≥+≥,

（1≥

（2≥

⑴+⑵ 即得

≥3.利用函数证明不等式

3.1极值法

对于像()f x A ≥（或()f x A ≤）（在区间I 上）这样的不等式,极值法的关键是证明函数()f x （在区间Ⅰ上）有唯一的极小值并且极小值大于等于A(或有唯一的极大值且极大值小于等于A),做法也比较简单。

例 证明不等式1111x bx -≤+-,其中0,0x b ≥>.

证明: 令11()

11f x x bx =

-+-,记A =即要证()f x A ≤,由于()f x A ≤,由于()f x 在[0,]+∞上连续可导,

且有 '2222111()(1)(1)(1)(1)(1)

b f x bx x bx x bx -=-+=-++++

所以()f x 在[0,]+∞

上有唯一确定的驻点x =,并且由极值的第一充分条件可得,()f x

在x =取得的唯一极大值也是最大值,于是()f x 在[0,]+∞上有最大值,

并且最大值为f A ==,

故()f x A ≤=,

即

1111x bx -≤+-. 4.利用著名不等式

4.1 均值不等式

已知,a b 正数,

则：2

112a b a b +≤≤≤+这个不等式串沟通了调和平均数 、几何平均数、算术平均数、平方平均数的关系,用这个不等式可以方便的解决很多求范围与证明问题。

例 已知,a b ,c 是正实数,且1a b c ++=,求证：111(1)(1)(1)8a b c

---≥. 分析:不等式右边的值是8,左边是3个差不多的式子相乘,容易想到,对左边3个因式分别使用均值不等式,可以得到3个2连乘,

又111a b c a a a a

-+-==≥,由此变形可入手。 证明：因为,,a b c 是正实数,1a b c ++=,

所以

111a b c a a a a

-+-==≥ 同理

11b -

≥11c -≥上述三个不等式两边均为正,分别相乘,得

:

111(1)(1)(1)a b c ---≥

当且仅当1a=b=c=3

时取等号. 4.2 柯西-施瓦茨不等式

柯西-施瓦茨不等式[8]

222[()()]()()b b b

a a a f x g x dx f x dx g x dx ≤????

例 设()f x 在区间[,]a b 上连续,且()0f x >,证明

21()()()b b a a f x dx dx b a f x ?≥-?

? 证明:由柯西-施瓦茨不等式,得

222()

b b a a a dx dx ≤????

因为 22()()a b a =-? 所以 21()()()

b b a a f x dx dx b a f x ?≥-??. 4.3 拉格朗日中值定理

拉格朗日公式[6]：

若函数()f x 满足下列条件:

（1）在[,]a b 上连续,

（2）在(,)a b 内可导;

则在开区间(,)a b 内至少存在一点c ,使得：

()()()()f b f a f c b a -=-

例 证明，当0a b <<时：22arctan arctan 11b a b a b a b a --<-<++.

证明: 当0a b <<时,函数()arctan f x x =在[,]a b 上连续,在(,)a b 内可导,且

21()1f x x

=+,由拉格朗日定理得: ()()()(),(,)f b f a f c b a c a b -=-∈,

即 21arctan arctan (),1b a b a a c b c -=-<<+,

而 2221()111b a b a b a b c a --<-<+++,

有

22arctan arctan 11b a b a b a b a --<-<++, 则不等式成立.

4.4 赫尔德不等式

设(1,2,,,1,2,,)ij a i n j m =???=???是正实数,(1,2,,)j a j m =??? 是正实数,且121m a a a ++???+=,则121212121111()()()n

m n n n n a a a a a a i i in i i im i i i i a a a a a a ====???≥???∑∑∑∑[9]

例 已知,,a b c R +∈,且22229a b c +=,求证：

2c c a b

+≥证明: 利用赫尔德不等式,得

2222()()()]c c c c c a b a b c b +++

23≥ 3(21)=+

即 229()27c c a b

+≥

所以 2c c a b +≥4.5 詹森不等式

若()f x 为[,]a b 上凹函数,则对1[,]x a b ?∈,0i λ>(1,2,3,,)i n =???,11n

i i λ==∑

有11()()n n

i i i i i i f x f x λλ==≥∑∑.

例 不等式3()a b c

a b c abc a b c ++≤,其中,,a b c 均为正数.

证明: 设()ln f x x x =,0x >,

由()f x 的一阶和二阶导数

'()ln 1f x x =+,1''()f x x

= 可见()ln f x x x =,在0x >时为严格凸函数,

依Jensen 不等式有：

1()[()()()]33

a b c f f a f b f c ++≤ 从而1ln (ln ln ln )333

a b c a b c a a b b c c ++++≤++ 即 ()3

abc a b c a b c a b c ++≤

3a b c ++≤

所以 .

4.6 闵可夫斯基不等式

设1212,,...,,,,...,n n a a a b b b 是两组实数,0,1k k ?≠ ,则

111111()()(

),(1)

n n n k k k k k k i i i i i i i a b b k ===????+≤+? ???????∑∑∑ 111111()()(),(01)n n n k

k k k k k i i i i i a b a b k ===????+≥+?? ???????∑∑∑

当且仅当1212...n n

a a a

b b b ===时等号成立. 闵可夫斯基不等式是用某种长度度量下的三角形不等式,当2,2k n ==时得平面上的三角形不等式：

上图给出了对上式的一个直观理解。 若记()()1212,,,a a a b b b == ,则上式为a b a b +≤+ .

4.7伯努利不等式

（1）设1,1,2,...,,2i x i n n ?-=?,且同号,则2x ++()()()12111...11n x x x x +++?+...n x +.

（2）设1x ?-,则:

（ⅰ）当01α??时,有()11x x α

α+≤+；

（ⅱ）当1α?或0α?时,有()11x x αα+≥+,上两式当且仅当0x =时等号成立. 4.8切比雪夫不等式

（1）若1212...,...n n a a a b b b ≤≤≤≤≤≤,则

()11221...n n a b a b a b n +++≥()12122(...)...n n a a a b b b n

++++++; （2）若1212...,...n n a a a b b b ≤≤≤≥≥≥,则

()()121211222

(...)...1...n n n n a a a b b b a b a b a b n n +++++++++≤. 下面给出一个2n =时的契比雪夫不等式的直观理解.

如图所示,在矩形OPAQ 中,12a a ≤,12b b ≤,很显然的有,阴影部分矩形的面

不等式证明的基本方法

'、教学目的 1、掌握绝对值的三角不等式； 2、掌握不等式证明的基本方法 、知识分析 定理1 若a，b为实数，贝当且仅当ab>0时，等号成 几何说明：（1）当ab>0时，它们落在原点的同一边，此时a 与一b的距离等于它们到原点距离之和。 （2）如果ab<0，则a，b分别落在原点两边，a与—b的距离严格小于a与b到原点距离之和（下图为ab<0, a>0, b<0的情况，ab<0的其他情况可作类似解释）。 |a —b|表示a—b与原点的距离，也表示a到b之间的距离。 定理2 设a，b，c为实数，贝等号成立，即b落在a，c之间 推论1 推论2 ［不等式证明的基本方法］ 1、比较法是证明不等式的一种最基本的方法，也是一种常用的方法，基本不等式就是用比较法证得的。 比较法有差值、比值两种形式，但比值法必须考虑正负。 比较法证不等式有作差（商）、变形、判断三个步骤，变形的主要方向是因式分解、配方，判断过程必须详细叙述。 如果作差后的式子可以整理为关于某一个变量的二次式，则可考虑用到

判别式法证 2、所谓综合法，就是从题设条件和已经证明过的基本不等式出发，不断用必要条件替换前面的不等式，直至推出要证明的结论，可简称为“由因导果”，在使用综合法证明不等式时，要注意基本不等式的应用。 所谓分析法，就是从所要证明的不等式出发，不断地用充分条件替换前面的不等式，或者是显然成立的不等式，可简称“执果索因”，在使用分析法证明不等式时，习惯上用“”表述。 综合法和分析法是两种思路截然相反的证明方法，其中分析法既可以寻找解题思路，如果表述清楚，也是一个完整的证明过程．注意综合法与分析法的联合运用。 3、反证法：从否定结论出发，经过逻辑推理，导出矛盾，证实结论的否定是 错误的，从而肯定原结论是正确的证明方法。 4、放缩法：欲证A> B,可通过适当放大或缩小，借助一个或多个中间量，使得，，再利用传递性，达到证明的目的．这种方法叫做放缩法。 典型例题】 例1已知函数，设a、b€ R,且a^b,求证： 思路：本题证法较多,下面用分析法和放缩法给出两个证明： 证明： 证法一： ① 当ab< —1时，式①显然成立； 当ab>—1时，式①② b,A式②成立。故原不等式成立。 证法二：当a=—b 时，原不等式显然成立； 当a M— b 时, ???原不等式成立。

高中数学不等式的几种常见证明方法(县二等奖)

高中数学不等式的几种常见证明方法 摘 要：不等式是中学数学的重要知识，考察学生对不等式理论熟练掌握的程度也是衡量学生数学水平的重要方面，同时，不等式也是高中数学的基础，因此，在每年的数学高考题中，有关不等式的相关题目都有所出现，本文介绍了几种不等式的证明方法，并举例进一步加强对各种不等式的理解. 关键字：不等式；数学归纳法；均值；柯西不等式 一、比较法 所谓比较法，就是通过两个实数a 与b 的差或商的符号（范围）确定a 与b 大小关系的方法，即通过“0a b ->，0a b -=，0a b -<；或1a b >，1a b =，1a b <”来确定a ，b 大小关系的方法，前者为作差法，后者为作商法. 例 1 设,x y R ∈，求证：224224x y x y ++≥+. 证明： 224224x y x y ++-- ＝2221441x x y y -++-+ ＝22(1)(21)x y -+- 因为 2(1)0x -≥， 2(21)0y -≥ ∴ 22(1)(21)0x y -+-≥ ∴2242240x y x y ++--≥ ∴224224x y x y ++≥+ 例 2 已知：a ＞b ＞c ＞0, 求证：222a b c a b c ??＞b c a c b c a b c +++??. 证明：222a b c b c a c b c a b c a b c +++????＝222a b c b a c c b c a b c ------?? ＞222a b c b a c c b c c c c ------??

＝0c ＝1 222a b c b c a c b c a b c a b c +++??∴??＞1 ∴222a b c a b c ??＞b c a c b c a b c +++?? 二、分析法 分析法：从求证的不等式出发，分析这个不等式成立的充分条件，把证明这个不等式的问题转化为证明这些条件是否具备的问题，如果能够肯定这些条件都已具备，那么就可以判定所证的不等式成立. 例 3 求证3< 证明： 960+>> 5456<成立运用分析法时，需积累一些解题经验，总结一些常规思路，这样可以克服无目的的乱写，从而加强针对性，较快地探明解题的途径. 三、综合法 从已知或证明过的不等式出发，根据不等式的性质及公理推导出欲证的不等式，这种证明方法叫做综合法. 例 4 已知,a b R +∈，1a b +=，求证：221125()()2 a b a b +++≥ 证明：∵ 1a b += ∴ 1=22222()22()a b a b ab a b +=++≤+ ∴ 221 2 a b +≥

不等式证明的常用基本方法

证明不等式的基本方法 导学目标：1.了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法.2.会用比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法证明比较简单的不等式． [自主梳理] 1.三个正数的算术—几何平均不等式：如果a ，b ，c>0，那么_________________________，当且仅当a ＝b ＝c 时等号成立． 2.基本不等式(基本不等式的推广)：对于n 个正数a 1，a 2，…，a n ，它们的算术平均不小于它们的几何平均，即a 1＋a 2＋…＋a n n ≥n a 1·a 2·…·a n ，当且仅当__________________时等号成立． 3.证明不等式的常用五种方法 (1)比较法：比较法是证明不等式最基本的方法，具体有作差比较和作商比较两种，其基本思想是______与0比较大小或______与1比较大小． (2)综合法：从已知条件出发，利用定义、______、______、性质等，经过一系列的推理、论证而得出命题成立，这种证明方法叫综合法．也叫顺推证法或由因导果法． (3)分析法：从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的________条件，直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实(定义 、公理或已证明的定理、性质等)，从而得出要证的命题成立为止，这种证明方法叫分析法．也叫逆推证法或执果索因法． (4)反证法 ①反证法的定义 先假设要证的命题不成立，以此为出发点，结合已知条件，应用公理、定义、定理、性质等，进行正确的推理，得到和命题的条件(或已证明的定理、性质、明显成立的事实等)矛盾的结论，以说明假设不正确，从而证明原命题成立，我们把它称为反证法． ②反证法的特点 先假设原命题不成立，再在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以是与已知条件矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、事实等矛盾． (5)放缩法 ①定义：证明不等式时，通过把不等式中的某些部分的值________或________，简化不等式，从而达到证明的目的，我们把这种方法称为放缩法． ②思路：分析观察证明式的特点，适当放大或缩小是证题关键． 题型一 用比差法与比商法证明不等式 1.设t ＝a ＋2b ，s ＝a ＋b 2＋1，则s 与t 的大小关系是( A ) ≥t >t ≤t 0;②a 2+b 2≥2(a -b-1);③a 2+3ab>2b 2;④,其中所 有恒成立的不等式序号是 ② . ②【解析】①a=0时不成立;②∵a 2+b 2-2(a-b-1)=(a-1)2+(b+1)2≥0,成立;③a=b=0时不成立;④a=2,b=1时不成立,故恒成立的只有②.

证明不等式的几种方法

证明不等式的几种方法 淮安市吴承恩中学 严永飞 223200 摘要：不等式证明是中学数学的重要内容,证明方法多种多样.通常所用的公式法、放缩法只能解决一些较简单的问题,对于较难的问题则束手无策.本文给出了几种特殊方法.如倒数变换法、构建模型法、逆用等比数列求和公式等方法,使解题容易,新颖独特. 关键词：不等式，公式法，构建模型法 前言 证明不等式是中学数学的重要内容之一,内容抽象，难懂，证明方法更是变化多端.通常所用的一些方法如公式法、放缩法只能解决一些较简单的问题,较难的问题则无法解决.本文给出了几种特殊方法.如倒数变换法、构建模型法、逆用等比数列求和公式等方法. 这里所举的几种证明不等式的特殊方法看似巧妙,但如果认真思考,广泛联系,学以致用,一定能使问题得到很好的解决. 1 运用倒数变换证明不等式 这里所说倒数变换是根据具体的题目要求把不等式的部分进行倒数变换，通过化简后使不等式变得简单，更好更快的解决证明问题. 例1 设+∈R z y x ,,,且xyz =1 求证：)(13z y x ++)(13z x y ++)(13y x z +≥2 3 分析 如果先通分再去分母，则不等式将变得很复杂. 令A x =-1,B y =-1 ,C z =-1 ,则+∈R C B A ,,且1=ABC . 欲证不等式可化为 C B A +2+A C B +2+B A C +2≥23（*） 事实上,a 2+22b λ≥ab λ2 (+∈R b a ,,λ), 而当b >0时, a 2/b ≥b a 22λλ-. （*）式左边≥A λ2-2λ(C B +)+ B λ2-2λ(C A +)+C λ2-2λ(A B +) = λ2(λ-1)(C B A ++) ≥λ6(λ-1)3ABC = λ6(λ-1). 令λ=21时,C B A +2+A C B +2+ B A C +2 ≥6×21×(1-21)=23 得证. (这里用到二元平均不等式的变形和三元平均不等式.) 例 2 已知z y x ,,>0,n 为大于1的正整数，且n n x x +1+n n y y +1+n n z z +1=1 求证：n x x +1+n y y +1+n z z +1≤n n 12-

高等数学中不等式的证明方法

高等数学中不等式的证明方法 摘要：各种不等式就是各种形式的数量和变量之间的相互比较关系或制约关系，因此， 不等式很自然地成为分析数学与离散数学诸分支学科中极为重要的工具，而且早已成为 专门的研究对象。高等数学中存在大量的不等式证明，本文主要介绍不等式证明的几种 方法，运用四种通法，利用导数研究函数的单调性，极值或最值以及积分中值定理来解 决不等式证明的问题。我们可以通过这些方法解决有关的问题，培养我们的创新精神， 创新思维，使一些较难的题目简单化、方便化。 关键词：高等数学；不等式；极值；单调性；积分中值定理 Abstract: A variety of inequality is the various forms of high-volume and variable comparison between the relationship or constraints. Therefore, Inequality is natural to be a very important tool in Analysis of discrete mathematics and various bran（https://www.sodocs.net/doc/5d18699278.html, 毕业论文参考网原创论文）ches of mathematics .It has been a special study.Today there are a large number of inequalities in higher mathematics .This paper introduces the following methods about Proof of Inequality ,such as the using of several general methods, researching monotone function by derivative, using extreme or the most value and Integral Mean Value Theorem . We can resolve the problems identified through these methods. It can bring up our innovative spirit and thinking and some difficult topics may be more easy and Convenient , Keyword: Higher Mathematics; Inequality; Extreme value Monotonicity; Integral Mean Value Theorem 文章来自：全刊杂志赏析网(https://www.sodocs.net/doc/5d18699278.html,) 原文地址： https://www.sodocs.net/doc/5d18699278.html,/article/16be7113-df3a-4524-a9c3-4ba707524e72.htm 【摘要】不等式证明是高等数学学习中的一个重要内容，通过解答考研数学中出现的 不等式试题，对一些常用的不等式证明方法进行总结。 【关键词】不等式；中值定理；泰勒公式；辅助函数；柯西 施瓦茨；凹凸性 在高等数学的学习过程当中，一个重点和难点就是不等式的证明，大多数学生在遇到不 等式证明问题不知到如何下手，实际上在许多不等式问题都存在一题多解，针对不等式的证 明，以考研试题为例，总结了几种证明不等式的方法，即中值定理法、辅助函数法、泰勒公

高中不等式的证明方法

不等式的证明方法 不等式的证明是高中数学的一个难点，证明方法多种多样，近几年高考出现较为形式较为活跃，证明中经常需与函数、数列的知识综合应用，灵活的掌握运用各种方法是学好这部分知识的一个前提，下面我们将证明中常见的几种方法作一列举。 注意ab b a 22 2 ≥+的变式应用。常用2 222b a b a +≥ + (其中+ ∈R b a ,)来解决有关根式不等式的问题。 一、比较法 比较法是证明不等式最基本的方法，有做差比较和作商比较两种基本途径。 1、已知a,b,c 均为正数，求证： a c c b b a c b a ++ +++≥++1 11212121 证明：∵a,b 均为正数， ∴ 0) (4)(44)()(14141)(2 ≥+=+-+++=+-+-b a ab b a ab ab b a a b a b b a b a b a 同理 0)(41 4141)(2 ≥+= +-+-c b bc c b c b c b ，0) (414141)(2 ≥+=+-+-c a ac a c a c a c 三式相加，可得 01 11212121≥+-+-+-++a c c b b a c b a ∴a c c b b a c b a ++ +++≥++111212121 二、综合法 综合法是依据题设条件与基本不等式的性质等，运用不等式的变换，从已知条件推出所要证明的结论。 2、a 、b 、),0(∞+∈c ，1=++c b a ，求证： 31222≥ ++c b a 证：2 222)(1)(3c b a c b a ++=≥++?∴ 2222)()(3c b a c b a ++-++0 )()()(222222222222≥-+-+-=---++=a c c b b a ca bc ab c b a 3、设a 、b 、c 是互不相等的正数，求证：)(4 4 4 c b a abc c b a ++>++ 证 ： ∵ 2 2442b a b a >+ 2 2442c b c b >+ 2 2442a c a c >+∴ 222222444a c c b b a c b a ++>++ ∵ c ab c b b a c b b a 2 2222222222=?>+同理：a bc a c c b 222222>+ b ca b a a c 222222>+ ∴ )(222222c b a abc a c c b b a ++>++ 4、 知a,b,c R ∈，求证: )(22 2 2 2 2 2 c b a a c c b b a ++≥++ ++ + 证明：∵ ) (2 2 2 2 2 2 2 2)(22b a b a b a b a ab ab +≥++≥+∴≥+

不等式证明的基本方法

绝对值的三角不等式；不等式证明的基本方法 一、教学目的 1、掌握绝对值的三角不等式； 2、掌握不等式证明的基本方法 二、知识分析 定理1 若a，b为实数，则，当且仅当ab≥0时，等号成立。 几何说明：（1）当ab>0时，它们落在原点的同一边，此时a与－b的距离等于它们到原点距离之和。 （2）如果ab<0，则a，b分别落在原点两边，a与－b的距离严格小于a与b到原点距离之和（下图为ab<0，a>0，b<0的情况，ab<0的其他情况可作类似解释）。 |a－b|表示a－b与原点的距离，也表示a到b之间的距离。 定理2 设a，b，c为实数，则，等号成立 ，即b落在a，c之间。 推论1

推论2 ［不等式证明的基本方法］ 1、比较法是证明不等式的一种最基本的方法，也是一种常用的方法，基本不等式就是用比较法证得的。 比较法有差值、比值两种形式，但比值法必须考虑正负。 比较法证不等式有作差（商）、变形、判断三个步骤，变形的主要方向是因式分解、配方，判断过程必须详细叙述。 如果作差后的式子可以整理为关于某一个变量的二次式，则可考虑用到判别式法证。 2、所谓综合法，就是从题设条件和已经证明过的基本不等式出发，不断用必要条件替换前面的不等式，直至推出要证明的结论，可简称为“由因导果”，在使用综合法证明不等式时，要注意基本不等式的应用。 所谓分析法，就是从所要证明的不等式出发，不断地用充分条件替换前面的不等式，或者是显然成立的不等式，可简称“执果索因”，在使用分析法证明不等式时，习惯上用“”表述。 综合法和分析法是两种思路截然相反的证明方法，其中分析法既可以寻找解题思路，如果表述清楚，也是一个完整的证明过程．注意综合法与分析法的联合运用。 3、反证法：从否定结论出发，经过逻辑推理，导出矛盾，证实结论的否定是错误的，从而肯定原结论是正确的证明方法。 4、放缩法：欲证A≥B，可通过适当放大或缩小，借助一个或多个中间量，使得，，再利用传递性，达到证明的目的．这种方法叫做放缩法。 【典型例题】 例1、已知函数，设a、b∈R，且a≠b，求证：

证明不等式的几种常用方法

证明不等式的几种常用方法 证明不等式除了教材中介绍的三种常用方法，即比较法、综合法和分析法外，在不等式证明中，不仅要用比较法、综合法和分析法，根据有些不等式的结构，恰当地运用反证法、换元法或放缩法还可以化难为易．下面几种方法在证明不等式时也经常使用． 一、反证法 如果从正面直接证明，有些问题确实相当困难，容易陷入多个元素的重围之中，而难以自拔，此时可考虑用间接法予以证明，反证法就是间接法的一种．这就是最“没办法”的时候往往又“最有办法”，所谓的“正难则反”就是这个道理． 反证法是利用互为逆否的命题具有等价性来进行证明的，在使用反证法时，必须在假设中罗列出各种与原命题相异的结论，缺少任何一种可能，则反证法都是不完全的． 用反证法证题的实质就是从否定结论入手，经过一系列的逻辑推理，导出矛盾，从而说明原结论正确．例如要证明不等式A＞B，先假设A≤B，然后根据题设及不等式的性质，推出矛盾，从而否定假设，即A≤B不成立，而肯定A＞B成立．对于要证明的结论中含有“至多”、“至少”、“均是”、“不都”、“任何”、“唯一”等特征字眼的不等式，若正面难以找到解题的突破口，可转换视角，用反证法往往立见奇效． 例1 设a、b、c、d均为正数，求证：下列三个不等式：①a＋b＜c＋d； ②(a＋b)(c＋d)＜ab＋cd；③(a＋b)cd＜ab(c＋d)中至少有一个不正确． 反证法：假设不等式①、②、③都成立，因为a、b、c、d都是正数，所以

不等式①与不等式②相乘，得：(a ＋b)2＜ab ＋cd ，④ 由不等式③得(a ＋b)cd ＜ab(c ＋d)≤( 2 b a +)2 ·(c ＋d)， ∵a ＋b ＞0，∴4cd ＜(a ＋b)(c ＋d)， 综合不等式②，得4cd ＜ab ＋cd ， ∴3cd ＜ab ，即cd ＜31 ab ． 由不等式④，得(a ＋b)2＜ab ＋cd ＜ 34ab ，即a 2＋b 2＜－3 2 ab ，显然矛盾． ∴不等式①、②、③中至少有一个不正确． 例2 已知a ＋b ＋c ＞0，ab ＋bc ＋ca ＞0，abc ＞0，求证：a ＞0，b ＞0， c ＞0． 证明：反证法 由abc ＞0知a ≠0，假设a ＜0，则bc ＜0， 又∵a ＋b ＋c ＞0，∴b ＋c ＞－a ＞0，即a(b ＋c)＜0， 从而ab ＋bc ＋ca = a(b ＋c)＋bc ＜0，与已知矛盾． ∴假设不成立，从而a ＞0， 同理可证b ＞0，c ＞0． 例3 若p ＞0，q ＞0，p 3＋q 3= 2，求证：p ＋q ≤2． 证明：反证法 假设p ＋q ＞2，则(p ＋q)3＞8，即p 3＋q 3＋3pq (p ＋q)＞8， ∵p 3＋q 3= 2，∴pq (p ＋q)＞2． 故pq (p ＋q)＞2 = p 3＋q 3= (p ＋q)( p 2－pq ＋q 2)， 又p ＞0，q ＞0 ? p ＋q ＞0， ∴pq ＞p 2－pq ＋q 2，即(p －q)2 ＜0，矛盾．

经典不等式证明的基本方法

不等式和绝对值不等式 一、不等式 1、不等式的基本性质： ①、对称性： 传递性：_________ ②、 ，a+c ＞b+c ③、a ＞b ， ， 那么ac ＞bc ； a ＞b ， ，那么ac ＜bc ④、a ＞b ＞0， 那么，ac ＞bd ⑤、a>b>0，那么a n >b n .（条件 ） ⑥、 a ＞b ＞0 那么 （条件 ） 2、基本不等式 定理1 如果a, b ∈R, 那么 a 2+b 2≥2ab. 当且仅当a=b 时等号成立。 定理2（基本不等式） 如果a ，b>0，那么 当且仅当a=b 时，等号成立。即两个正数的算术平均不小于它们的几何平均。 结论：已知x, y 都是正数。（1）如果积xy 是定值p ，那么当x=y 时，和x+y 有最小值 ； （2）如果和x+y 是定值s ，那么当x=y 时，积xy 有最大值 小结：理解并熟练掌握基本不等式及其应用，特别要注意利用基本不等式求最值时， 一 定要满足“一正二定三相等”的条件。 3、三个正数的算术-几何平均不等式 二、绝对值不等式 1、绝对值三角不等式 实数a 的绝对值|a|的几何意义是表示数轴上坐标为a 的点A 到原点的距离： a b b a c a c b b a >?>>,R c b a ∈>,0>c 0> d c 2,≥∈n N n 2,≥∈n N n 2 a b +≥2 1 4 s 3 ,,3a b c a b c R a b c +++∈≥==定理如果，那么当且仅当时，等号成立。 即：三个正数的算术平均不小于它们的几何平均。2122,,,,n n n a a a a a n a a ++≥=== 11把基本不等式推广到一般情形：对于n 个正数a 它们的算术平均不小于它们的几何平均，即： 当且仅当a 时，等号成立。

北师大版数学高二-选修4-5 第二节 不等式证明的基本方法例题

选修4-5 第二节 不等式证明的基本方法例题 1．已知a 、b 、x 、y 均为正实数，且1a >1 b ，x >y . 求证： x x ＋a > y y ＋b . 证明：∵ x x ＋a － y y ＋b ＝ bx －ay x ＋a y ＋b ， 又1a >1 b ，且a 、b 均为正实数， ∴b >a >0. 又x >y >0， ∴bx >ay . ∴ bx －ay x ＋a y ＋b >0，即x x ＋a >y y ＋b . 2．已知a ，b ，c 均为正数，证明：a 2＋b 2＋c 2 ＋(1a ＋1b ＋1c )2≥63，并确定a ，b ，c 为何值时，等号成立． 证明：法一：因为a ，b ，c 均为正数，由平均值不等式得 a 2＋ b 2＋ c 2 ≥3(abc )23 ，① 1 a ＋1 b ＋1 c ≥3(abc )1 3-，② 所以(1 a ＋1 b ＋1c )2 ≥9(abc ) 2 3-. 故a 2 ＋b 2 ＋c 2 ＋(1a ＋1b ＋1 c )2 ≥3(abc ) 23 ＋ 9(abc ) 23 - . 又3(abc ) 23 ＋9(abc ) 23 -≥227＝63，③ 所以原不等式成立． 当且仅当a ＝b ＝c 时，①式和②式等号成立．当且仅当3(abc ) 23 ＝9(abc ) 23 - 时，③式 等号成立． 即当且仅当a ＝b ＝c ＝314 时，原式等号成立． 法二：因为a ，b ，c 均为正数，由基本不等式得

a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ac. 所以a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ac，① 同理1 a2＋ 1 b2 ＋ 1 c2 ≥ 1 ab ＋ 1 bc ＋ 1 ac ，② 故a2＋b2＋c2＋(1 a ＋ 1 b ＋ 1 c )2≥ab＋bc＋ac＋ 3 1 ab ＋3 1 bc ＋3 1 ac ≥6 3.③ 所以原不等式成立． 当且仅当a＝b＝c时，①式和②式等号成立，当且仅当a＝b＝c，(ab)2＝(bc)2＝(ac)2＝3时，③式等号成立． 即当且仅当a＝b＝c＝31 4时，原式等号成立． 3．(2012·豫南九校联考)已知x，y均为正数，且x＞y，求证：2x＋1 x2－2xy＋y2 ≥2y ＋3. 解：因为x＞0，y＞0，x－y＞0， 2x＋ 1 x2－2xy＋y2 －2y＝2(x－y)＋ 1 x－y2 ＝(x－y)＋(x－y)＋ 1 x－y2 ≥33 x－y2 1 x－y2 ＝3， 所以2x＋ 1 x2－2xy＋y2 ≥2y＋3. 4．已知正实数a，b，c满足 1 a ＋ 2 b ＋ 3 c ＝1，求证：a＋ b 2 ＋ c 3 ≥9.证明：因为a，b，c均为正实数， 所以 1 a ＋ 2 b ＋ 3 c ≥3 31 a · 2 b · 3 c .同理可证： a＋ b 2 ＋ c 3 ≥3 3 a· b 2 · c 3 . 所以(a＋ b 2 ＋ c 3 )( 1 a ＋ 2 b ＋ 3 c )≥ 3 3 a· b 2 · c 3 ·3 31 a · 2 b · 3 c ＝9. 因为 1 a ＋ 2 b ＋ 3 c ＝1，所以a＋ b 2 ＋ c 3 ≥9， 当且仅当a＝3，b＝6，c＝9时，等号成立．

证明不等式的种方法

证明不等式的13种方法 咸阳师范学院基础教育课程研究中心安振平 不等式证明无论在高考、竞赛，还是其它类型的考试里，出现频率都是比较高，证明难度也是比较大的.因此，有必要总结证明不等式的基本方法，为读者提供学习时的参考资料.笔者选题的标准是题目优美、简明，其证明方法基本并兼顾巧妙. 1．排序方法 对问题的里的变量不妨排出大小顺序，有时便于获得不等式的证明. 例1已知,,0a b c ≥，且1a b c ++=，求证： ()22229 1. a b c abc +++≥2．增量方法 在变量之间增设一个增量，通过增量换元的方法，便于问题的变形和处理.例2设,,a b c R + ∈，试证：2222 a b c a b c a b b c c a ++++≥+++.3．齐次化法 利用题设条件，或者其它变形手段，把原不等式转换为齐次不等式. 例3设,,0,1x y z x y z ≥++=，求证： 2222222221.16 x y y z z x x y z +++≤4．切线方法 通过研究函数在特殊点处的切线，利用切线段代替曲线段，来建立局部不等式.例4已知正数,,x y z 满足3x y z ++=，求证： 323235 x y +≤++.. 5．调整方法 局部固定，逐步调整，探究多元最值，便能获得不等式的证明. 例5已知,,a b c 为非负实数，且1a b c ++=，求证：13.4 ab bc ca abc ++-≤ 6．抽屉原理

在桌上有3个苹果，要把这3个苹果放到2个抽屉里，无论怎样放，我们会发现至少会有一个抽屉里面放2个苹果.这一简单的现象，就是人们所说的“抽屉原理”.巧用抽屉原理，证明某些不等式，能起到比较神奇的效果. 例6（《数学通报》2010年9期1872题）证明：在任意13个实数中，一定能找到两个实数,x y ，使得0.3.10.3x y x ->+7．坐标方法 构造点坐标，应用解析几何的知识和方法证明不等式. 例7已知a b c R ∈、、，a 、b 不全为零，求证： ()()()22 22222 22.a b ac a b bc a b c a b +++++≥+++8．复数方法 构造复数，应用复数模的性质，可以快速证明一些无理不等式. 例8（数学问题1613，2006，5）设,,,0,a b c R λ+ ∈≥求证：9．向量方法 构造向量，把不等式的证明纳入到向量的知识系统当中去. 例9已知正数,,a b c 满足1a b c ++=，求证： 4 ≤. 10．放缩方法 不等式的证明，关键在于恒等变形过程中的有效放大、或者缩小技巧,放和缩应当恰到好处. 例10已知数列{}n a 中，首项132 a = ，且对任意*1,n n N >∈，均有 11n n a a +=++()211332.42 n n n a -+<

证明不等式的基本方法(20200920095256)

12. 4 证明不等式的基本方法 T 懈不评式证明的基車方诜：比较法,综合建、井析媒 ttMK MMM ■■座用它们证明一些简 厲的不等式. Kiff <年斋号悄况来看.本讲尼岛号血埶的一个热点一 fO 灿讪卜将芸号僧：：1；与躺碓不零式结, 证 期不等式:2>M 破立，探索性问題结合,ttaAMML 厲中档題團L E 基础知识过关 ［知识梳理］ 1. 证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法. 2. 三个正数的算术-几何平均不等式 (1) 定理：如果a , b , c € R +那么a + ?+1需辰，当且仅当a = b = c 时，等号 a + b + c Q 成立.即三个正数的算术平均 3 不小于它们的几何平均Vabc. (2) 基本不等式的推广 对于n 个正数a i , a 2, , , a ，它们的算术平均数不小于它们的几何平均数, 即a 〔 + 汁‘ + 》^a 1a 2,—，当且仅当 a 1 = a 2 =, = a n 时，等号成立. n 3. 柯西不等式 (1)设 a , b , c , d 均为实数，则(a 2 + b 2)(c 2 + d 2)>(ac + bd)2，当且仅当 ad = bc 时等号成立. f n 「n J 「n ' ⑵若a i, b(i € N *)为实数，贝则 18 15 A l^a b i 2,当且仅当 I "八=1丿 T =1丿 (当a i = 0时，约定b i = 0, i = 1,2, , , n)时等号成立. (3) 柯西不等式的向量形式：设 a B 为平面上的两个向量，则|如3》|a ? (3当 且仅当a, 3共线时等号成立. 善纲解谨 君向预测 b^_ b2_ a 1 a 2 b n =a ；

证明不等式的基本方法-比较法

第二讲证明不等式的基本方法 课题：第01课时不等式的证明方法之一：比较法 一．教学目标 （一）知识目标 （1）了解不等式的证明方法——比较法的基本思想； （2）会用比较法证明不等式，熟练并灵活地选择作差或作商法来证明不等式；（3）明确用比较法证明不等式的依据，以及“转化”的数学思想。 （二）能力目标 （1）培养学生将实际问题转化为数学问题的能力； （2）培养学生观察、比较、抽象、概括的能力； （3）训练学生思维的灵活性。 （三）德育目标 （1）激发学习的内在动机； （2）养成良好的学习习惯。 二．教学的重难点及教学设计 （一）教学重点 不等式证明比较法的基本思想,用作差、作商达到比较大小的目的 （二）教学难点 借助与0或1比较大小转化的数学思想，证明不等式的依据和用途 （三）教学设计要点 1.情境设计 用糖水加糖更甜，实际是糖的质量分数增大这个生活常识设置问题情境，激发学生学习动机，通过将实际问题转化为不等式大小的比较，引入新课。 2.教学内容的处理 （1）补充一系列不同种类的用作差、作商等比较法证明不等式的例题。 （2）补充一组证明不等式的变式练习。 （3）在作业中补充何时该用作差法，何时用作商法的习题，帮助同学们更好地理解比较法。 3.教学方法 独立探究，合作交流与教师引导相结合。 三．教具准备 水杯、水、白糖、调羹、粉笔等 四．教学过程 (一)、新课学习： 1.作差比较法的依据： a b a >b ? > - a a =b b - ? = a a

不等式证明的基本方法

不等式证明的基本方法 LELE was finally revised on the morning of December 16, 2020

绝对值的三角不等式；不等式证明的基本方法 一、教学目的 1、掌握绝对值的三角不等式； 2、掌握不等式证明的基本方法 二、知识分析 定理1 若a，b为实数，则，当且仅当ab≥0时，等号成立。 几何说明：（1）当ab>0时，它们落在原点的同一边，此时a与－b的距离等于它们到原点距离之和。 （2）如果ab<0，则a，b分别落在原点两边，a与－b的距离严格小于a与b到原点距离之和（下图为ab<0，a>0，b<0的情况，ab<0的其他情况可作类似解释）。 |a－b|表示a－b与原点的距离，也表示a到b之间的距离。 定理2 设a，b，c为实数，则，等号成立 ，即b落在a，c之间。 推论1 推论2 ［不等式证明的基本方法］

1、比较法是证明不等式的一种最基本的方法，也是一种常用的方法，基本不等式就是用比较法证得的。 比较法有差值、比值两种形式，但比值法必须考虑正负。 比较法证不等式有作差（商）、变形、判断三个步骤，变形的主要方向是因式分解、配方，判断过程必须详细叙述。 如果作差后的式子可以整理为关于某一个变量的二次式，则可考虑用到判别式法证。 2、所谓综合法，就是从题设条件和已经证明过的基本不等式出发，不断用必要条件替换前面的不等式，直至推出要证明的结论，可简称为“由因导果”，在使用综合法证明不等式时，要注意基本不等式的应用。 所谓分析法，就是从所要证明的不等式出发，不断地用充分条件替换前面的不等式，或者是显然成立的不等式，可简称“执果索因”，在使用分析法证明不等式时，习惯上用“”表述。 综合法和分析法是两种思路截然相反的证明方法，其中分析法既可以寻找解题思路，如果表述清楚，也是一个完整的证明过程．注意综合法与分析法的联合运用。 3、反证法：从否定结论出发，经过逻辑推理，导出矛盾，证实结论的否定是错误的，从而肯定原结论是正确的证明方法。 4、放缩法：欲证A≥B，可通过适当放大或缩小，借助一个或多个中间量， 使得，，再利用传递性，达到证明的目的．这种方法叫做放缩法。 【典型例题】 例1、已知函数，设a、b∈R，且a≠b，求证： 思路：本题证法较多，下面用分析法和放缩法给出两个证明： 证明： 证法一：

不等式的常见证明方法

不等式常见的三种证明方法 渠县中学 刘业毅 一用基本不等式证明 设c b a ,,都是正数。求证：.c b a c ab b ac a bc ++≥++ 证明：.22c b ac a bc b ac a bc =?≥+ .22b c ab a bc c ab a bc =?≥+ .22a c ab b ac c ab b ac =?≥+ ).(2)(2c b a c ab b ac a bc ++≥++ .c b a c ab b ac a bc ++≥++ 点评：可用综合法分析乘积形式运用不等式可以转化为所求。 思维训练：设c b a ,,都是正数。求证： .222c b a c b a a c b ++≥++ 二 放缩法证明不等式 已知，对于任意的n 为正整数，求证： 1+221+321+K +n 21<4 7 分析：通过变形将数列{n 21 }放缩为可求数列。 解：Θ n 21=n n ?1<)1(1-n n =11-n —n 1（n ≥2） ∴1+221+321+K +n 21<1+2 21+231?+341?+K +)1(1-n n =1+ 41+(21—31+31—41+K +11-n —n 1) =45+21—n 1 =47—n 1 点评：放缩为可求和数列或公式是高考重要思想方法。 思维训练：设c b a ,,都是正数，a+b>c,求证：a a +1+b b +1>c c +1

三 构造函数法证明 证明不等式3ln 3121112ln <+++++0有不等式x x 11ln - ≥，如果令x=k k 1+，则有111ln +>+k k k ，如果令x=1+k k ，则k k k ->+11ln ，即k k k k 1ln )1ln(11<-+<+，然后叠加不等式即可。 解：设函数x x x x f ln 1)(+-=，则易证0)(≥x f ，即不等式x x 11ln -≥对于x>0恒成立， 令x=k k 1+，则有111ln +>+k k k ，令x=1+k k ，则k k k ->+11ln ，即k k k 11ln <+成立。从而有k k k k 1ln )1ln(11<-+<+。 在不等式k k k 11ln <+中，分别令,3,,2,1n n n k K ++=得到一系列不等式相加为 )13ln()2ln()2ln()1ln(312111++++-+++->+++++n n n n n n n K K 即n n n 312111+++++K >113ln ++n n 2ln 1 22ln =++≥n n 在不等式1 11ln +>+k k k 中，分别令k=n,n+1,K 3n-1,并把所得的不等式相加，得 n n n 312111+++++K <3ln 3ln 3ln )1ln()1ln(ln ==++-++-n n n n n n K 即不等式3ln 3121112ln <+++++

不等式的几种证明方法及简单应用

本科毕业论文 不等式的几种证明方法及简单应用 姓名 院系数学与计算机科学学院 专业数学与应用数学 班级 学号 指导教师 答辩日期 成绩

及简单应用 不等式的几种证明方法 摘要 我们在数学的学习过程中,不等式很重要. 其中不等式的证明方法在不等式基础理论中非常重要.文中总结了部分证明不等式的常用方法：作差法、分析法、作商法、综合法、反证法、数学归纳法、放缩法等，和不等式的证明经常会利用函数极值、拉格朗日中值定理等，以及部分著名不等式，比如：均值不等式、柯西不等式等.进而使不等式证明方法变的更加的多样化，研究不等式证明、探索不等式的证明使不等式证明更加完善. 【关键词】：不等式，常用方法，函数，著名不等式

Method and application of several simple proof of inequality Abstract We are in the proces of learning mathamatics, inequallty is very importent which method Inequality Inequality Basic theory is very importent paper sumnarizes the common methods section proves inequallty: for differemce method, analysis, For Law, and Inequality synthesis method, contradiction, mathematical inductian, scaling methed often benefit With function extreme, Lagrange mean value theoren, as well as same well-knawn inequallties, such as: mean inequality, Ceuchy inequallty, eta. and thus make inequality proof becames more divorse, researah inequallty praved prabe Proof cable inequality makes inequality proved to be more perfect. 【Key Words】:inequality, the commonly used method, function, famous inequaliti es

证明数列不等式的常用放缩方法技巧(含答案)

证明数列不等式的常用放缩方法技巧 证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下几种： ⑴添加或舍去一些项，如： a a >+12； n n n >+)1( ⑵将分子或分母放大（或缩小） ⑶利用基本不等式，如：4lg 16lg 15lg )2 5lg 3lg ( 5lg 3lg 2 =<=+n n n n (5)利用常用结论： Ⅰ. 的放缩 Ⅱ. 2 1k 的放缩(1) ： 2111(1)(1) k k k k k <<+-（程度大） Ⅲ. 21k 的放缩(2)：2 2 111111()1(1)(1)211 k k k k k k < ==+-+--+（程度小） Ⅳ. 2 1k 的放缩(3)：2214112()412121k k k k <=+--+（程度更小） Ⅴ. 分式放缩还可利用真（假）分数的性质:)0,0(>>>++>m a b m a m b a b 和)0,0(>>>++