信息论完整公式

信息论完整公式

信息论是一门研究信息传输与处理的学科，其核心是通过量化信息的度量和处理方法来研究信息的传播和存储。而信息论完整公式是信息论的基石，它提供了计算信息量的数学方法。本文将介绍信息论完整公式的定义、使用以及在实际应用中的重要性。

一、信息论完整公式的定义

信息论完整公式，也称为香农熵公式，是由克劳德·香农在他的著作《通信的数学理论》中提出的。它用于计算信息的平均量，并以比特（bit）作为单位衡量信息的多少。信息论完整公式的数学表达如下：H(X) = -ΣP(x)log2P(x)

其中，H(X)表示随机变量X的熵，P(x)表示随机变量X取值为x的概率。

二、信息论完整公式的应用

1. 信息编码与压缩：信息论完整公式可以用于衡量和评估不同编码方法的效率。通过计算熵，我们可以得到一个编码方案所需要的平均比特数。进一步地，通过对熵进行压缩，可以实现对信息的高效存储和传输。

2. 信道容量：信息论完整公式还可以用于计算信道的容量。信道容量是指信道传输信息的上限，通过计算信道的熵，我们可以了解到在什么样的条件下，信道可以传输的最大信息量。

3. 通信系统设计：信息论完整公式对于设计和优化通信系统也具有

重要意义。通过对信源进行建模、计算熵以及确定编码方案，可以提

高通信系统的传输效率和可靠性。

4. 数据压缩和加密：信息论完整公式在数据压缩和加密领域也有广

泛应用。通过计算数据的熵，可以了解数据的冗余度，并采取相应的

压缩算法。同时，信息论的一些基本原理也可以用于数据加密，保证

数据的安全传输。

三、信息论完整公式的重要性

信息论完整公式是信息论的基础，是我们理解信息量和信息传输的

重要工具。它具有以下重要性：

1. 理论基础：信息论完整公式为信息论提供了数学模型和理论基础，使得信息论有了统一的数学语言，能够量化和研究信息的特性。

2. 应用广泛：信息论完整公式在通信、计算机科学、数据处理等领

域具有广泛的应用。通过应用信息论完整公式，我们能够更好地设计、优化和处理信息系统。

3. 提高传输效率：信息论完整公式的应用可以提高信息的传输效率，通过计算熵并进行压缩，可以减少数据的冗余，提高信息的传输速率。

4. 保证数据安全：信息论完整公式为数据压缩和加密提供了基本原理，通过熵的计算，可以了解数据的特性，进而保证数据的安全传输。

在总结中，信息论完整公式是信息论研究的基石，它的应用广泛且

具有重要性。通过信息论完整公式，我们能够量化和处理信息量，进

而提高传输效率和保证数据安全。信息论完整公式的发展不仅为信息传输与处理提供了理论基础，也为我们更好地理解和应用信息学科提供了指导。通过继续研究和应用信息论完整公式，我们可以进一步推动信息科学的发展。

信息论复习资料

判断30 名词解释4*5 计算3道20分 第一章 1、自信息和互信息P6 公式 2、信道P9 概念 第二章 1、离散平稳信源P18概念 2、离散无记忆信源P19概念 3、时齐马尔可夫信源P20概念 4、自信息P22概念 5、信息熵P25概念 6、信息熵的基本性质P28 1)对称性 2)确定性 3)非负性 4)扩展性 5)可加性 6)强可加性 7)递增性 8)极值性 9)上凸性 7、联合熵条件熵P42公式P43例题 8、马尔克夫信源P54公式P55例题 9、信源剩余度P58 10、熵的相对率信源剩余度P58 11、课后作业：2、4、13、21、22 第三章 1、有记忆信道P73概念 2、二元对称信道BSC P74 3、前向概率、后向概率、先验概率、后验概率P76 4、条件熵信道疑义度、平均互信息P77 5、平均互信息、联合熵、信道疑义度、噪声熵计算公式P78 6、损失熵噪声熵 P79 7、平均互信息的特性P82 1)非负性 2)极值性 3)交互性 4)凸状性 8、信息传输率R P86 9、无噪无损信道P87概念 10、有噪无损信道P88概念 11、对称离散信道 P89概念 12、对称离散信道的信道容量P90公式 张亚威2012/06/20

张亚威 2012/06/21 16、 数据处理定理 P113定理 17、 信道剩余度 P118公式 18、 课后作业：1、 3、 9 第五章 1、 编码：实质上是对信源的原始符号按一定的数学规则进行的一种变换。 2、 等长码 P172概念 3、 等长信源编码定理 P178 4、 编码效率 P180 5、 克拉夫特不等式 P184 6、 香农第一定理 P191 7、 码的剩余度 P194 第六章 1、 最大后验概率准则 最小错误概率准则 P200 2、 最大似然译码准则 P201 3、 费诺不等式 P202 4、 信息传输率（码率） P205 5、 香农第二定理 P215 6、 课后习题 3、 第八章 1、 霍夫曼码 最佳码 P273 2、 费诺码 P279 3、 课后习题 11、 第八章 1、 编码原则 译码原则 P307 2、 定理9.1 P313 3、 分组码的码率 P314公式 4、 课后习题 3、 一、 填空题 1、 在现代通信系统中，信源编码主要用于解决信息传输中的 有效性 ，信道编码主要用于解决信息 传输中的 可靠性 ，加密编码主要用于解决信息传输中的 安全性 。 2、 采用m 进制编码的码字长度为K i ，码字个数为n ，则克劳夫特不等式为11≤∑=-n i K i m ， 它是判断 唯 一可译码存在 的充要条件。 3、 差错控制的基本方式大致可以分为 前向纠错 、 反馈重发 和 混合纠错 。 4、 如果所有码字都配置在二进制码树的叶节点，则该码字为 唯一可译码 。 5、 某离散无记忆信源X ，其符号个数为n ，则当信源符号呈 等概_____分布情况下，信源熵取最大 值___log （n ） 。 6、 信源编码的主要目的是提高有效性，信道编码的主要目的是提高可靠性。 7、 信源的剩余度主要来自两个方面，一是信源符号间的相关性，二是信源符号的统计不均匀性。 8、 三进制信源的最小熵为0，最大熵为32log bit/符号。

信息论

信息论 信息论是运用概率论与数理统计的方法研究信息、信息熵、通信系统、数据传输、密码学、数据压缩等问题的应用数学学科。信息论将信息的传递作为一种统计现象来考虑，给出了估算通信信道容量的方法。信息传输和信息压缩是信息论研究中的两大领域。这两个方面又由信息传输定理、信源－信道隔离定理相互联系。它主要是研究通讯和控制系统中普遍存在着信息传递的共同规律以及研究最佳解决信息的获限、度量、变换、储存和传递等问题的基础理论。 信息论发展的三个阶段 第一阶段：1948年贝尔研究所的香农在题为《通讯的数学理论》的论文中系统地提出了关于信息的论述，创立了信息论。 第二阶段：20世纪50年代，信息论向各门学科发起冲击；60年代信息论进入一个消化、理解的时期，在已有的基础上进行重大建设的时期。研究重点是信息和信源编码问题。 第三阶段：到70年代，由于数字计算机的广泛应用，通讯系统的能力也有很大提高，如何更有效地利用和处理信息，成为日益迫切的问题。人们越来越认识到信息的重要性，认识到信息可以作为与材料和能源一样的资源而加以充分利用和共享。信息的概念和方法已广泛渗透到各个科学领域，它迫切要求突破申农信息论的狭隘范围，以便使它能成为人类各种活动中所碰到的信息问题的基础理论，从而推动其他许多新兴学科进一步发展。 信息科学和技术在当代迅猛兴起有其逻辑必然和历史必然。信息是信息科学的研究对象。信息的概念可以在两个层次上定义： 本体论意义的信息是事物运动的状态和状态变化的方式，即事物内部结构和外部联系的状态和方式。 认识论意义的信息是认识主体所感知、表达的相应事物的运动状态及其变化方式，包括状态及其变化方式的形式、含义和效用。 这里所说的“事物”泛指一切可能的研究对象，包括外部世界的物质客体，也包括主观世界的精神现象；“运动”泛指一切意义上的变化，包括思维运动和社会运动；“运动状态”指事物运动在空间所展示的性状和态势；“运动方式”是事物运动在时间上表现的过程和规律性。显然，本体论层次的信息具备客观性。认识论层次的信息与认识主体有关，并要求从事物运动状态和变化方式的外在形式（语法信息）、内在含义（语义信息）和效用价值（语用信息）三方面（全信息）来理解所感知到的东西、认识论层次的信息具有主观性。 信息的主要特征和性质表现： 1、信息来源于物质世界，也来源于精神世界。但它既不是物质，也不是能量。 2、信息是普遍存在的，它可以借助于不同的载体和方法在时空中转移、 3、信息具有知识的属性。对于同一事物，不同的观察者所获得的信息量可能不同。 4、在封闭系统中，语法信息的最大可能值不变。语法信息在传递和处理过程中永不增值。 5、信息可消除系统的不确定性，增加其有序性。 信息科学有一套完整的方法体系。这套方法体系包括三个方法和两个准则，信息方法是它的核心。 三个方法：

信息论 复11习

复习 第1章的练习题 1. 请问提高通信系统传输的有效性属于信息论与编码技术的哪部分内容？信源编码 2. 请问提高通信系统传输的可靠性属于信息论与编码技术的哪部分内容？信道编码 3. 请问消息、信号、符号和信息的区别是什么？ 信息是任何随机事件发生所包含的内容。消息包含信息，是信息的载体。符号和信号是携带信息是消息的运载工具。 4. 什么叫样本空间？概率空间？ 所有可能选择的消息的集合称为样本空间。一个样本空间和它的概率测度一起构成一个概率空间。 5. 事件的概率取对数再取负值，这时它代表什么？自信息 6. 对于概率为1的确定事件来说，它含不含信息？对于概率为0的确定事件来说，它含不含信息？不含信息。含有信息。 7. 通信系统的模型由哪三部分组成？编码器和解码器属于哪部分的？ 信源、信道、信宿。编码器分为信道编码器和信源编码器，译码器分为信道译码器和信源译码器。 8. 信息论研究的主要内容是什么？ 信息的测度、信道容量以及信源和信道编码理论等问题。

9. 编码技术研究的主要内容是什么？信源编码和信道编码。 第2章的练习题 1. 在通信系统中，消息发出的源头叫什么？信源 2. 若信源的样本空间为X=[a,b,c]，其对应的概率为 p(x)=[0.1,0.3,0.6]，请写出该信源的数学模型。 3. 研究信息的基础理论是：函数、统计学、算术、曲线？ 4. 这个概率空间p(x)=[0.1,0.4,0.3,0.1]和q(x)=[0.1,0.4,0.3,0.21]正确吗？为什么？不正确。概率和不为1 5. 自信息的数学期望代表什么？信息熵 6. 在信源输出前，信息熵H(X)表示什么？信源的平均不确定性 7. 在信源输出后，信息熵H(X)表示什么？ 每个消息提供的平均信息量 8. 考虑一个信源概率为{0.3,0.25,0.2,0.15,0.1}的DMS，求信源的的H(X)。（DMS：离散无记忆信源） H(x)=0.3log(0.3)+0.25log(0.25)+0.2log(0.2)+0.15log(0.15)+0.1log( 0.1)=… 9. 离散无记忆信源所发出的各个符号之间是a。 （a）独立的，（b）有关的，（c）有统计关联性，（d）符号序列之间没有关系。 10. 平稳信源的特点是，它输出的序列的统计特性其条件概率与时间起点无关，只与关联长度N有关。

信息论知识点

信息的主要特性：普遍性、可度量性、相对独立性、可传输性、可存储性、可共享性、时效性 通信系统对信息传输的要求：①有效性——传输的每一条消息携带尽可能多的信息量或单位时间内传输尽可能多的信息量②可靠性——信源提供的消息经传输后，尽可能准确、不失真地被信宿接受并再现③保密性 信源的分类:一方面分为离散信源和连续信源，另一方面分为无记忆信源和有记忆信源。 消息中所包含的不确定性的成分才是信息，因此，不确定性的成分越大，或者说出现的概率越小，信息量就越大。 离散信源输出xi 所包含的信息量用I(xi)来表示并将其称为xi 的自信息量，xi 的自信息量的定义式为：I(x ) = -log 2 p(xi ) 自信息量的性质：①I(xi)是随机量；②I(xi)是非负值；③I(xi)是p(xi)的单调递减函数。 必然发生的事件不存在任何不确定性，故不含有任何信息量。联合自信息量：I(xi yj) = - log2 p(xi yj) 条件自信息量:I(xi/yj) = -log2 p(xi/yj ) 在已知yj 的条件下，发生xi 所带来的信息量。 I(yj/xi) = -log2 p(yj/xi ) 在已知xi 的条件下，发生yj 所带来的信息量。 联合自信息量与条件自信息量关系：I(xi yj)=I(xi/yj)+I(yj)=I(yj/xi)+I(xi) 自信息量反映的是一个随机事件出现某种结果所包含的信息量，自信息量具有随机变量的性质。 单符号离散信源的信息熵：将离散信源所有自信息量的数学期望用H(X)来表示并称其为信源的信息熵，也叫香农熵，信息熵的定义为：H(X)= E[I(xi)]= ∑=n 1i p(xi)I(xi)= -∑=n 1i p(xi)log2 p(xi) 信息熵的单位是比特/符号(bit/symbol)。信息熵是从整体出发对一个离散信源信息量的度量。H(X)反映信源每发出一条消息所提供的平均信息量，不反映信源发出某条特定消息的信息量一般情况下，H(X)不等于每接收一条消息所获得的平均信息量。 信息熵H(X)的性质和定理：①非负性；②严格上凸性；lnx ≤x- 1 ③最大信息熵定理H(X)≤log2 n lnx ≤x- 1单符号离散信源中各消息等概率出现时，具有最大熵；④对称性H(X)=H[p(x1),p(x2)…,p(xn)]= -∑=n 1i p(xi)log2 p(xi)与信源的总体结构有关而不在乎个别消息的 概率，与消息的取值无关；⑤确定性：H(0,1)=0；⑥扩展性 ⑦可加性H(XY)=H(X)+H(Y/X)=H(Y)+H(X/Y) N 维信息熵的链式法则 ；⑧极值性H(X/Y)≤H(X);H(Y/X)≤H(Y) 如果信源每次发出的消息都是单一符号，而这些符号的取值是有限或可数的，则称这种信源为单符号离散信源。如果信源每次发出的消息都是有限或可数的符号序列，而这些符号都取值于同一个有限或可数的集合，则称这种信源为多符号离散信源。 N 维离散平稳信源的熵率(平均符号熵) ）Ｈ（Ｘ）ＸＸＨ（ＸＮ１＝１ Ｎ２１Ｎ２１≤??)X X X (H N 当N →∞时，平均符号熵取极限值，称之为极限熵，用H ∞表示，即 可以证明， 极限熵H ∞存在且 离散无记忆信源X 的N 次扩展信源的熵就是单符号离散信源X 的熵的N 倍：H(N X )=NH(X) )()(1)(H N X H X H N X N N == 该信源的极限熵为 如果离散平稳信源发出的符号只与前面已经发出的m(

信息论基础 课后习题答案

信息论基础课后习题答案 问题1 问题：信息论的基本目标是什么？ 答案：信息论的基本目标是研究信息的传递、存储和处理 的基本原理和方法。主要关注如何量化信息的量和质，并通过定义信息熵、条件熵、互信息等概念来描述信息的特性和性质。 问题2 问题：列举一些常见的信息论应用领域。 答案：一些常见的信息论应用领域包括： •通信领域：信息论为通信系统的性能分析和设计提 供了基础方法，例如信道编码和调制调制等。 •数据压缩领域：信息论为数据压缩算法的研究和实 现提供了理论依据，例如无损压缩和有损压缩等。

•隐私保护领域：信息论用于度量隐私保护方案的安 全性和隐私泄露的程度，在隐私保护和数据共享中起着重 要作用。 •机器学习领域：信息论被应用于机器学习中的特征 选择、集成学习和模型评估等任务中，提供了许多有用的 数学工具和概念。 •生物信息学领域：信息论被应用于分析DNA序列、蛋白质序列和生物网络等生物数据，发现其中的模式和规 律。 问题3 问题：信息熵是什么？如何计算信息熵？ 答案：信息熵是衡量一个随机变量的不确定性或信息量的 度量值。信息熵越大，表示随机变量的不确定性越高，每个可能的取值都相对等可能发生；反之，信息熵越小，表示随机变量的不确定性越低，某些取值较为集中或者出现的概率较大。 信息熵的计算公式如下所示： H(X) = -Σ P(x) * log2(P(x))

其中，H(X) 表示随机变量 X 的信息熵，P(x) 表示随机变量X 取值为 x 的概率。 问题4 问题：条件熵是什么？如何计算条件熵？ 答案：条件熵是在给定其他随机变量的条件下，一个随机变量的不确定性或信息量的度量。条件熵基于条件概率定义，用于描述一个随机变量在给定其他相关随机变量的条件下的信息量。 条件熵的计算公式如下所示： H(Y|X) = -Σ P(x, y) * log2(P(y|x)) 其中，H(Y|X) 表示随机变量 Y 在给定随机变量 X 的条件下的条件熵，P(x, y) 表示随机变量 X 取值为 x 且随机变量 Y 取值为 y 的概率，P(y|x) 表示随机变量 Y 在给定随机变量 X 取值为x 的条件下取值为 y 的概率。 问题5 问题：互信息是什么？如何计算互信息？

信息论

摘要: 信息是自从人类出现以来就存在于这个世界上了，天地万物，飞禽走兽，以及人类的生存方式都离不开信息的产生和传播。人类每时每刻都在不停的接受信息，传播信息，以及利用信息。而信息理论的提出却远远落后于信息的出现，它是在近代才被提出来而形成一套完整的理论体系。信息论是信息科学的主要理论基础之一，它是在长期通信工程实践和理论基础上发展起来的。是应用概率论、随机过程和数理统计和近代代数等方法，来研究信息的存储、传输和处理中一般规律的学科。信息论的主要基本理论包括：信息的定义和度量；各类离散信源和连续信源的信息熵；有记忆、无记忆离散和连续信道的信道容量；无失真信源编码定理。它的主要目的是提高通信系统的可靠性、有效性和安全性，以便达到系统的最优化。编码理论与信息论紧密关联，它以信息论基本原理为理论依据，研究编码和译码的理论知识和实现方法。 关键字：信息信息论主要基本理论信息度量编码 信息论是运用概率论与数理统计的方法研究信息、信息熵、通信系统、数据传输、密码学、数据压缩等问题的应用数学科学，是将信息的传递作为一种统计现象，同时它也给出了估算通信信道容量的方法。它从诞生到今天，已经五十多年的历史了，是29世纪40年代后期从长期通讯实践中经过抽象、概括、提高而逐步总结出来的，现在已经成为一门独立的理论科学。 本书系统地介绍了香农信息论的基本内容及其应用，即信息的度量、信道容量以及信源和信道编码理论等问题。全书共分九章，其中第1章主要介绍了信息的概念，信息论研究的对象、目的和内容，信息论的形成及发展。第2章详细地介绍了各类离散信源的信息度量、信源熵及其性质。第3章主要介绍了离散信源输出信息的有效表示问题，即离散信源的无失真编码问题，主要包括离散无记忆信源的等长和变长编码定理，离散平稳信源和马尔可夫信源的编码定理以及典型的变长码的编码方法。第4章主要介绍了信道的数学模型和分类、信道传输的平均互信息、信道容量的概念及其各种计算方法。第5章主要介绍了有噪信道的编码问题，包括译码规则、编码方法等对信息在信道传输的影响以及在有噪信道中实现信息可靠传输的有噪信道编码定理。第6章主要介绍了信息率失真理论的基本内容，侧重讨论离散无记忆信源，包括信源的失真测度，信息率失真函数及其计算、限失真信源编码定理。第7章主要介绍了连续信源和波形信源的统计特性及其信息度量、连续信源的信息率失真函数。第8章主要介绍了连续信道和波形信道的信息传输率、信道容量，连续信道编码定理。第9章主要介绍了网络信息理论的一些基本结论，包括网络信道的分类、相关信源编码和多源接入信道等，但是这些内容只适合以电路交换为基础的网络通信系统，不适合以分组交换为基础的网络通信系统。通过这九章内容的介绍，希望能为读者提供比较全面、系统的信息论知识。 大家都知道数学是解决信息检索和自然语言处理的最好工具，它能非常清晰地描述这些领域的实际问题并且给出漂亮的解决办法。其实早在几十年前，数学家兼信息论的祖师爷香农就提出了用数学的办法处理自然语言的想法。遗憾的是当时的计算机条件根本无法满足大量信息处理的需要，所以他这个想法当时并没有被人们重视。但是到了七十年代初，尤其是有了大规模集成电路的快速计算机后，香农的梦想才得以实现。 首先成功利用数学方法解决自然语言处理问题的是语音和语言处理大师贾里尼克。当时贾里尼克在 IBM公司做学术休假，领导了一批杰出的科学家利用大型计算机来处理人类语言问题。统计语言模型就是在那个时候提出的。 给大家举个例子：在很多涉及到自然语言处理的领域，如机器翻译、语音识别、印刷体或手写体识别、拼写纠错、汉字输入和文献查询中，我们都需要知道一个文字序列是否能构成一个大家能理解的句子，显示给使用者。对这个问题，我们可以用一个简单的统计模型来解决这个问题。如果 S 表示一连串特定顺序排列的词 w1， w2，…， wn ，换句话说，S 可以表示某一个由一连串特定顺序排练的词而组成的一个有意义的句子。现在，机器对语言

香农和信息论

香农和信息论 克劳德·香农(Claude Elwood Shannon)1916年4月30日诞生于美国密执安州，他生长在一个有良好教育的环境，香农的祖父是一位农场主兼发明家，发明过洗衣机和许多农业机械，祖父的发明创造对香农影响很大。此外，香农的家庭与大发明家爱迪生还有远亲关系。在童年时代，香农还喜欢组装无线电收音机、练习莫尔斯电报码、研究密码学等等。他有许多爱好，另人难以置信是香农可以熟练地玩一套杂技，他能骑着独轮车手里来回抛着三个球在贝尔实验室的大厅里骑来骑去。他发明过有两个座位的独轮车，并使该独轮车好象偏离地心似的，骑在上面忽高忽低，像鸭子行走一样。香农的一生都迷恋于平衡与控制稳定性。他设计并建造了下棋机器、迷宫老鼠、杂耍器械以及智力阅读机等，下国际象棋的机器包括用3个指头能抓起棋子的手臂、蜂鸣器以及简单的记录装置。这些活动表明香农有十分的好奇心和探索精神。香农有一句名言是：“我感到奇妙的是事物何以集成一体。” 1936年香农在密执安大学获得数学与电气工程学士学位；1938年香农写出论文《继电器与开关电路的符号分析》，当时他就发现电话交换电路与布尔代数之间具有类似性，即把布尔代数的“真”与“假”和电路系统的“开”与“关”对应起来，并可用1和0表示。随后又证明布尔代数的逻辑运算，可以通过继电器电路来实现，明确地给出了实现加、减、乘、除等运算的电子电路的设计方法，他在实践中进一步证明，可以采用能实现布尔代数运算的继电器或电子元件来制造计算机。他奠定了数字电路的理论基础，并使计算机具有逻辑功能，从而使计算机既能用于数值计算，又具有各种非数值应用功能，使得以后的计算机在几乎任何领域中都得到了广泛的应用。 1941年他加入贝尔实验室数学部，工作到1972年。1956年他成为MIT（麻省理工学院）客座教授，并于1958年成为终生教授，1978年成为名誉教授。香农博士于2001年2月26日去世，享年84岁。 香农还对信息进行了系统的研究，并成为信息论的创始人。香农的大部分时间都是在贝尔实验室和MIT度过的。经过8年的努力，从1948年6月到10月，香农在《贝尔系统技术杂志》上连载发表了影响深远的论文《通讯的数学原理》。“通信的根本问题是报文的再生，在某一点与另外选择的一点上报文应该精确地或者近似地重现”。这是香农在这篇论文中的一句名言。正是沿着这一思路他应用数理统计的方法来研究通信系统，从而创立了影响深远的信息论。1949年，香农又在该杂志上发表了另一著名论文《噪声下的通信》。香农解决了过去许多悬而未决的问题，阐明了通信的基本问题，给出了通信系统的模型，即信息源、发送者、信道、接收者、信息宿；提出了信息量的数学表达式，并解决了信道容量、信源统计特性、信源编码、信道编码等一系列基本技术问题。这两篇论文成为了信息论的基础性理论著作。 香农信息论的重要特征是熵(entropy)的概念，他证明熵(entropy)与信息内容的不确定程度有等价关系。而所谓熵原来是一个物理名词,表示用温度除热量所得的商,标志热量转化为功的程度；在科学技术上泛指某些物质系统状态的一种量度，信息也有度量问题，这就是被称为信息熵。香农的伟大贡献在于能利用概率分布的理论给出“熵”的严格定义，根据香农的定义，确定必发生的事件如“太阳从东边升起”与确定不发生的事件如“太阳从西边升起”，其熵都是零。信息熵大，意味着事件的不确定性也大；只有当发生与不发生的概率相同时，事件的熵才达到极大。这样我们就能很好理解香农对信息的定义即：“信息是有秩序的量度，是人们对事物了解的不确定性的消除或减少”。信息的度量反映了人们对于信息的定量认识，原则上是信息量与不确定性消除程度有关，消除多少不确定性，就获得多少信息

贝叶斯公式在信息论中的应用

贝叶斯公式在信息论中的应用 在现代数学中，贝叶斯公式是一项非常重要的数学工具。它应用广泛，从自然科学到人文科学，都可以发现它的应用。其中，贝叶斯公 式在信息论中的应用是非常广泛的。 信息论是研究信息传输的一门学科。在信息论中，我们需要考虑如何 用最少的数据传输信息，并使得接收者能够准确地了解信息的内容。 而贝叶斯公式提供了一种判断在不确定情况下一个事件的概率的方法。 首先，我们需要了解贝叶斯公式的基本含义。在贝叶斯公式中，我们 需要知道两个基本概念：我们已知的先验概率和我们得到的新信息。 在得到新信息后，我们需要通过条件概率来推断新情况发生的概率， 并对原来的先验概率作出修正。具体而言，我们可以用以下公式来表 示贝叶斯公式： P(A|B) = P(B|A) * P(A) / P(B) 其中，P(A|B)表示在得到B的情况下，A事件的概率；P(B|A)表示在A 已经发生的情况下，B事件的概率；P(A)表示事件A的先验概率；P(B)表示事件B的概率。可以看到，贝叶斯公式的核心在于用新信息来修 正原先的先验概率。 在信息论中，我们可以借鉴贝叶斯公式的思想，来解决信息传输的问题。具体而言，在信息传输中，我们需要寻找一种最优的编码方式，

以使得信息传输的效率最大化。而贝叶斯公式提供了一种判断信息编码效率的方法。 我们可以将信息编码的效率看做一个事件的概率，而信息的长度则可以看做事件的样本值。在得到新的信息后，我们就可以用贝叶斯公式来更新我们对信息编码效率的先验概率，并修正我们对信息编码的认识。 具体而言，我们可以根据传输的信息来计算信息的熵，也就是信息的不确定度。信息的熵越小，就表明信息的不确定度越小，而信息的效率就越高。而贝叶斯公式提供了一种基于新信息来更新熵的方法。我们可以用新信息的概率来更新我们对于信息编码效率的先验概率，并计算出新的信息熵。 此外，在信息论中，我们还可以使用贝叶斯公式来解决特征提取的问题。在机器学习中，特征提取是一个重要的步骤，它可以将原始数据转换为一组具有更好表达能力的特征，从而提高模型的准确性。 特征提取方法通常基于某种先验知识，而贝叶斯公式提供了一种计算先验知识的方法。我们可以使用现有特征来计算其它未知特征发生的概率，然后用贝叶斯公式来更新我们对于未知特征的先验概率，并计算出新的特征。 总之，贝叶斯公式在信息论中的应用十分广泛。它可以帮助我们解决

信息论复习笔记

信息论复习笔记(总23页) -本页仅作为预览文档封面，使用时请删除本页-

1. 绪论 信息论回答了通信的两个最基本问题: （1）数据压缩的极限； （2）信道传输速率的极限； 信息、消息和信号 消息：信息的載體（能被感知和理解、進行傳遞和獲取）信息：事物運動狀態或存在方式的不確定性的描述（香 農） 先驗概率：P(a i) 自信息：I(a i)=log[P-1(a i)]；（信息接收的不確定性） 互信息：I(a i;b i)= log[P-1(a i)]- log[P-1(a i|b i)]; （信息接收的多少度量） （若信道無干擾，則互信息等於自信息等於0） 優點：明確的數學模型、定量計算； 缺點：有適用範圍； 信號； 通信系统的模型

通信系统的基本要求:有效、可靠、保密、认证 2. 离散信源及其信息测度 ﹣离散信源的定义：輸出信息數有限、每次只輸出一個； ﹣自信息的定义及物理意义 事件發生前：事件發生的不確定性； 事件發生后：時間含有的信息量； 信息熵的定义及物理意义,信息熵的基本性质 定義：自信息的數學期望（ H(X)= -∑[ P(a i)logP(a i) ] ） 信源的總體信息測度 （1）每個消息所提供的平均信息量； （2）信源輸出前，信源的平均不確定性； 性質：（1）對稱性；（2）確定性； （3）非負性；（4）擴展性（可拆開）； （5）可加性；[ H(XY)=H(X)+H(Y) ] （6）強可加性；[ H(XY)=H(X)+H(Y|X) ] （7）遞增性； （8）極值性; [ H(p1,p2,p3…,p q)≤H(q-1,,…, q-1)= logq ] 等概率分佈信源的平均不確定性最大，稱為最大離散熵定理； —离散无记忆信源的扩展信源 —扩展信源的熵 H(X) = NH(X) —离散平稳信源：联合概率分布与时间起点无关； 熵：联合熵 H(X1X2)=∑∑P(a i a j)logP(a i a j) 条件熵 H(X2|X1)=-∑∑P(a i a j)logP(a i|a j) 关系：H(X1X2)=H(X1)+H(X2|X1) 熵率:离散平稳信源的极限熵 = limH(X N|X1X2…X N-1) —马尔可夫信源:某一时刻的输出只与此刻信源所处的状态有关而与以前的状态及以前的输出符号都无关；

信息论重点-(新)

1．消息定义 信息的通俗概念:消息就是信息,用文字、符号、数据、语言、音符、图片、图像等能够被人们感觉器官所感知的形式，把客观物质运动和主观思维活动的状态表达出来，就成为消息，消息中包含信息,消息是信息的载体。 信号是表示消息的物理量，包括电信号、光信号等。信号中携带着消息，信号是消息的载体。 信息的狭义概念（香农信息)：信息是对事物运动状态或存在方式的不确定性的描述。 信息的广义概念 信息是认识主体（人、生物、机器)所感受的和表达的事物运动的状态 和运动状态变化的方式。 ➢ 语法信息(语法信息是指信息存在和运动的状态与方式.） ➢ 语义信息（语义信息是指信宿接收和理解的信息的内容。） ➢ 语用信息(语用信息是指信息内容对信宿的有用性。） 2．狭义信息论、广义信息论。 狭义信息论：信息论是在信息可以量度的基础上，对如何有效，可靠地传递信息进行研究的科学.它涉及信息量度,信息特性，信息传输速率，信道容量,干扰对信息传输的影响等方面的知识。 广义信息论：信息是物质的普遍属性,所谓物质系统的信息是指它所属的物理系统在同一切其他物质系统全面相互作用（或联系）过程中，以质、能和波动的形式所呈现的结构、状态和历史。包含通信的全部统计问题的研究，除了香农信息论之外，还包括信号设计,噪声理论，信号的检测与估值等. 3。自信息 互信息 定义 性质及物理意义 自信息量： ()log ()i x i I x P x =- 是无量纲的，一般根据对数的底来定义单位：当对数底为2时，自信息量的单位为比特;对数底为e 时,其单位为奈特;对数底为10时，其单位为哈特自信息量性质：I （x i ）是随机量；I(x i ）是非负值；I(x i ）是P （x i )的单调递减函数. 自信息物理意义： 1。事件发生前描述该事件发生的不确定性的大小 2.事件发生后表示该事件所含有（提供）的信息量 互信息量: 互信息量的性质：1) 互信息的对称性 2) 互信息可为零 3) 互信息可为正值或负值 4) 任何两个事件之间的互信息不可能大于其中任一事件的自信息 互信息物理意义： 1。表示事件 yj 出现前后关于事件xi 的不确定性减少的量 2.事件 yj 出现以后信宿获得的关于事件 xi 的信息量 4。平均自信息性质 平均互信息性质 平均自信息（信息熵/信源熵/香农熵/无条件熵/熵函数/熵）： (;)()(|)i j i i j I x y I x I x y =-log ()log (|)(1,2,,;1,2,,)i i j p x p x y i n j m =-+=⋯=⋯(|)log ()i j i p x y p x =1 ()[()][log ()]()log ()n i i i i i H X E I x E p x p x p x ===-=-∑

老师整理的信息论知识点

Chp02知识点：自信息量： 1） )(log )(i i x p x I -= 2）对数采用的底不同，自信息量的单位不同。 2----比特（bit ）、e----奈特（nat ）、10----哈特（Hart ） 3）物理意义：事件i x 发生以前，表示事件i x 发生的不确定性的大小；事件i x 发生以后，表示事件i x 所含有或所能提供的信息量。 平均自信息量（信息熵）： 1）)(log )()]([)(1i q i i i x p x p x I E x H ∑=-== 2）对数采用的底不同，平均自信息量的单位不同。 2----比特/符号、e----奈特/符号、10----哈特/符号。 3）物理意义：对信源的整体的不确定性的统计描述。 表示信源输出前，信源的平均不确定性；信源输出后每个消息或符号所提供的平均信息量。 4）信息熵的基本性质：对称性、确定性、非负性、扩展性、连续性、递推性、极值性、上凸性。 互信息： 1）) ()|(log )|()();(i j i j i i j i x p y x p y x I x I y x I =-= 2）含义：已知事件j y 后所消除的关于事件i x 的不确定性，对

信息的传递起到了定量表示。 平均互信息：1）定义： 2）性质： 联合熵和条件熵： 各类熵之间的关系： 数据处理定理：

Chp03知识点： 依据不同标准信源的分类： 离散单符号信源： 1）概率空间表示： 2）信息熵：)(log )()]([)(1 i q i i i x p x p x I E x H ∑=-==，表示离散单符号信 源的平均不确定性。 离散多符号信源：用平均符号熵和极限熵来描述离散多符号信源的平均不确定性。 平均符号熵：)...(1 )(21N N X X X H N X H = 极限熵（熵率）：)(lim )(X H X H N N ∞ >-∞= （1）离散平稳信源（各维联合概率分布均与时间起点无关的信源。） （2）离散无记忆信源：信源各消息符号彼此互不相关。 ①最简单的二进制信源：01()X p x p q ⎡⎤⎡⎤ =⎢⎥⎢⎥ ⎣ ⎦⎣⎦，信源输出符号只有两个：“0”和“1”。 ②离散无记忆信源的N 次扩展：若信源符号有q 个，其N 次扩展后的信源符号共有q N 个。 离散无记忆信源X 的N 次扩展信源X N 的熵： () () ()()()12121 01,(1,2, ,);1 r r r i i i a a a X p a p a p a P p a i r p a =⎡⎤ ⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣ ⎦≤≤==∑

信息论复习知识点

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1、平均自信息为 表示信源的平均不确定度，也表示平均每个信源消息所提供的信息量。 平均互信息 表示从Y获得的关于每个X的平均信息量，也表示发X前后Y的平均不确定性减少的量，还表示通信前后整个系统不确定性减少的量。 2、最大离散熵定理为：离散无记忆信源，等概率分布时熵最大。 3、最大熵值为。 4、通信系统模型如下： 5、香农公式为为保证足够大的信道容量，可采用（1）用频带换信噪比；（2）用信噪比换频带。 6、只要，当N足够长时，一定存在一种无失真编码。 7、当R＜C时，只要码长足够长，一定能找到一种编码方法和译码规则，使译码错误概率无穷小。 8、在认识论层次上研究信息的时候，必须同时考虑到形式、含义和效用三个方面的因素。 9、1948年，美国数学家香农发表了题为“通信的数学理论”的长篇论文， 从而创立了信息论。 按照信息的性质，可以把信息分成语法信息、语义信息和语用信息。 按照信息的地位，可以把信息分成客观信息和主观信息。 人们研究信息论的目的是为了高效、可靠、安全地交换和利用各种各样的信息。 信息的可度量性是建立信息论的基础。 统计度量是信息度量最常用的方法。 熵是香农信息论最基本最重要的概念。 事物的不确定度是用时间统计发生概率的对数来描述的。 10、单符号离散信源一般用随机变量描述，而多符号离散信源一般用随机矢量描述。

11、一个随机事件发生某一结果后所带来的信息量称为自信息量，定义为 其发生概率对数的负值 。 12、自信息量的单位一般有 比特、奈特和哈特 。 13、必然事件的自信息是 0 。 14、不可能事件的自信息量是 ∞ 。 15、两个相互独立的随机变量的联合自信息量等于 两个自信息量之和 。 16、数据处理定理：当消息经过多级处理后，随着处理器数目的增多，输入消息与输出消息之间的平均互信息量 趋于变小 。 17、离散平稳无记忆信源X 的N 次扩展信源的熵等于离散信源X 的熵的 N 倍 。 18、离散平稳有记忆信源的极限熵，=∞H )/(lim 121-∞→N N N X X X X H 。 19、对于n 元m 阶马尔可夫信源，其状态空间共有 nm 个不同的状态。 20、一维连续随即变量X 在[a ，b]区间内均匀分布时，其信源熵为 log2（b-a ） 。 21、平均功率为P 的高斯分布的连续信源，其信源熵，Hc （X ）=eP π2log 212。 22、对于限峰值功率的N 维连续信源，当概率密度 均匀分布 时连续信源熵具有最大值。 23、对于限平均功率的一维连续信源，当概率密度 高斯分布 时，信源熵有最大值。 24、对于均值为0，平均功率受限的连续信源，信源的冗余度决定于平均功率的限定值P 和信源的熵功率P 之比 。 25、若一离散无记忆信源的信源熵H （X ）等于2.5，对信源进行等长的无失真二进制编码，则编码长度至少为 3 。 26、m 元长度为ki ，i=1，2，···n 的异前置码存在的充要条件是：∑=-≤n i k i m 11。 27、若把掷骰子的结果作为一离散信源，则其信源熵为 log26 。 28、同时掷两个正常的骰子，各面呈现的概率都为1/6，则“3和5同时出现”这件事的自信息量是 log218（1+2 log23）。 29、若一维随即变量X 的取值区间是[0，∞]，其概率密度函数为 0≥x ，m 是X 的数学期望，则X 的信源熵=)(X H C me 2log 。 30、一副充分洗乱的扑克牌（52张），从中任意抽取1张，然后放回，若把这一过程看作离散无记忆信源，则其信源熵为 52log 2 。

信息论复习知识点

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1、平均自信息为 表示信源的平均不确定度，也表示平均每个信源消息所提供的信息量。 平均互信息 表示从Y获得的关于每个X的平均信息量，也表示发X前后Y的平均不确定性减少的量，还表示通信前后整个系统不确定性减少的量。 2、最大离散熵定理为：离散无记忆信源，等概率分布时熵最大。 3、最大熵值为。 4、通信系统模型如下： 5、香农公式为为保证足够大的信道容量，可采用（1）用频带换信噪比；（2）用信噪比换频带。 6、只要，当N足够长时，一定存在一种无失真编码。 7、当R＜C时，只要码长足够长，一定能找到一种编码方法和译码规则，使译码错误概率无穷小。 8、在认识论层次上研究信息的时候，必须同时考虑到形式、含义和效用三个方面的因素。 9、1948年，美国数学家香农发表了题为“通信的数学理论”的长篇论文，从而创立了信息论。 按照信息的性质，可以把信息分成语法信息、语义信息和语用信息。 按照信息的地位，可以把信息分成客观信息和主观信息。 人们研究信息论的目的是为了高效、可靠、安全地交换和利用各种各样的信息。 信息的可度量性是建立信息论的基础。 统计度量是信息度量最常用的方法。 熵是香农信息论最基本最重要的概念。 事物的不确定度是用时间统计发生概率的对数来描述的。 10、单符号离散信源一般用随机变量描述，而多符号离散信源一般用随机矢量描述。

11、一个随机事件发生某一结果后所带来的信息量称为自信息量，定义为其发生概率对数的负值。