概率论与数理统计作业及解答
概率论与数理统计作业及解答 第一次作业 ★ 1.甲 乙 丙三门炮各向同一目标发射一枚炮弹 设事件A B C 分别表示甲 乙 丙
击中目标 则三门炮最多有一门炮击中目标如何表示. 事件E ｛事件A,B,C 最多有一个发生｝,则E 的表示为 E ABC ABC ABC ABC;或 AB U AC U BC;或 ABUAC uBc ；
或 A B A C B C ；
或 ABC (ABC ABC ABC). (和A B 即并AUB,当A, B 互斥即AB 时AU B 常记为A B ) 2.设M 件产品中含m 件次品 计算从中任取两件至少有一件次品的概率.
1 C M
m 或 C m C m m C m m(2M m 1) C M C M
M (
M 1) ★ 3.从8双不同尺码鞋子中随机取6只 计算以下事件的概率. A ｛8只鞋子均不成双｝, B ｛恰有2只鞋子成双｝, C ｛恰有4只鞋子成双｝.
C 6(C 2)
6 32 C 8C 4(C 2)
4 80
P(A) 5 I ：2丿— 0.2238, P(B) 8 7
严丿 竺
0.5594, C 66 143 G ；
143 C 82CI(C 2)2
30 6 ——0.2098. G ；
143 ★ 4.设某批产品共50件 其中有5件次品 现从中任取3件 求
(1)其中无次品的概率(2)其中恰有一件次品的概率
“'CL 1419 C 45C 5 99
⑴今
---------- 0.724.——0.2526. C 50 1960 ' ' C 50 392
5. 从1?9九个数字中 任取3个排成一个三位数 求 (1)所得三位数为偶数的概率(
2)所得三位数为奇数的概率 4 P ｛尾数为偶数｝-,
P ｛尾数为奇数｝ ￡, 1 P ｛三位数为偶数｝ 1 - 5. 9 9 6. 某办公室10名员工编号从1到10任选3人记录其号码 求(1)最小号码为5的概率 ⑵ 最
大号码为5的概率
记事件A ｛最小号码为5｝, B ｛最大号码为5｝. C 2 1 C 2 1
(1) P(A)話-；
(2) P(B) 4
C 10 12 7. 袋中有红、黄、白色球各一个 每次从袋中任取一球 记下颜色后放回 共取球三次
求下列事件的概率 ：A =｛全红｝ B =｛颜色全同｝ C =｛颜色全不同｝ D =｛颜色不全
P(C) (1) P ｛三位数为偶数 (2) P ｛三位数为奇数 或P ｛三位数为奇
数
C o 20
同｝ E=｛无黄色球｝ F =｛无红色且无黄色球｝ G =｛全红或全黄｝.
1 1 1 A 3 P(A) 4 丄,P(B) 3P(A)丄，卩(0 企
3 27 9 3
3 23
8 1 1 P (E) F 方
P(F) F -HG) 2P(A) 3 -, P(D) 1 P(B)
33 9 9 27. ☆.某班n 个男生m 个女生(m n 1)随机排成一列 计算任意两女生均不相邻的概率. ☆.在［0 1线段上任取两点将线段截成三段 1 4 第二次作业 1.设A B 为随机事件P(A)
(1) 0.85 P(B| A) P(AB) P(A) 计算三段可组成三角形的概率. P (AB) P(A|B) (2) P(AU B) 0.92 P(B) 0.93 鵜,P (A B )
P(A) P(AB) P(A) P(B) ■更翌
0.83. P(B) 1 0.93 P(A) P(B) P (AB) 0.92 P(B|A) 0.85 求(1)P(A|B) (2)P(A U B)
0.85 0.08 0.068, P(AB) 0.92 0.93 0.068 0.058, 0.93 0.862 0.988. 2. 投两颗骰子已知两颗骰子点数之和为 记事件 A ｛(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1)｝ P(B| A)
2 1
^'^63 ★.在1—2000中任取一整数 求取到的整数既不能被 记事件A ｛能被5除尽｝, B ｛能被7除尽｝. 400 1 弟曲
2000 P(A) ---------- ----- 取整—— 2000 5 - P(AB) P(AU B) 1 d 1 57 57 5 400 2000 3. 由长期统计资料得知 表示)的概率为7/15既刮风又下雨的概率为
P(AB) 1/10
3
P(A| B) ' -丿 -------------- —,P(B|A)
P(B) 7/15 14
4 7 P(AUB) P(A) P(B) P (AB) — —
15 15
7求其中有一颗为1点的概率. ,B {(1,6),(6,1)}. 5除尽又不能被7除尽的概率
285, P(B)
285 2000 旦，迴
0 57, P(AB)亠匚
, 400 5 7
2000 P(AU B) 1 P(A) 0.686.
P(B) P (AB)
某一地区在4月份下雨(记作事件A)的概率为4/15刮风(用B 1/10 求 P(A| B)、P(B|A)、P(A B) P (AB) 1/10 P(A) 4/15 1
19
10 3。.
3
8,
1/2若第一次落下未摔破第
9/10
4设某光学仪器厂制造的透镜第一次落下时摔破的概率是 二次落下时摔破的概率是 7/10若前二次落下未摔破第三次落下时摔破的概率是
试求落下三次而未摔破的概率. 记事件A =｛第i 次落下时摔破｝ i 1,2,3. P(AA 2A 3)P (A 1)P(A 2
|
A 1)P(A 3
| A 1A 2) 1丄 2
5设在n 张彩票中有一张奖券 有3个人参加抽奖 概率. 记事件A =｛第i 个人摸到奖券｝ i 1,2,3. 1 P (A 1) P(A 2)
P (A 3)-. n - 一 n 1 1 Pg P(A 2|A 1)
------------------- n n 1 由古典概率直接得 或 P (A 2) P (A 1A 2
)
P(A 3)P WA Z
A)
P(A 1)
P( A 2IA 1) P^lAA) 或 第一个人中奖概率为 1 P(A 1)
-
n 前两人中奖概率为 P(A i 前三人中奖概率为 P(A i 1 Z 1 2 10 10
分别求出第一、 3 200.
二、三个人摸到奖券
2 1 —,解得 P (A?)—, n n
3 1 A A 3) P(A) P(A 2)P(A 3)—,解得 P(A 3)
—. n n A 2) P(A i ) P(A 2)
6甲、乙两人射击 与否是独立的求(1)两人都中靶的概率(2)甲中乙不中的概率(
3)甲不中乙中的概率 记事件A=｛甲中靶｝ B=｛乙中靶｝. (1) P(AB) ⑵ P(AB)
⑶ P (A B )
★ 7 甲击中的概率为0 8乙击中的概率为0 7两人同时射击 假定中靶
P(A) P(B) 0.7 0.7 0.56, (1)A (2) B (3) C (1) P(A) P (AB) 0.8 P(B) P(AB) 0.7 a 个红球b 个黑球
袋中有 ｛在n 次摸球中有k 次摸到红球｝ ｛第k 次首次摸到红球｝
｛
第r 次摸到红球时恰好摸了 k _ n k
Q k
a
C n —
a P(A) P(B)
P(C) b a
k 1
a
? a b
r
a
a b 8 一射手对一目标独立地射击 次命中目标的概率
0.56 0.24, 0.56 0.14.
有放回从袋中摸球 计算以下事件的概率 k 次球｝ k. n k
a b
C n k ( (a ab k1 ； (a b)k ；
k r
C ；；
a r
b k r
(a b)'
4次 已知他至少命中一次的概率为 80.求该射手射击
81
P(ABC) P(A)P(BC),即 A, BC 独立.
☆.证明：若三个事件 A 、B 、C 独立，贝U A U B 、AB 及A — B 都与C 独立. 证明因为
P [(AUB)C] P (ACUBC) P (AC) P (BC) P( ABC) P(A) P(C) P(B) P(C) P(A) P(B) P(C) [P (A) P(B) P(A) P(B)] P(C) P(AUB) P(C)
P [(AB)C] P( ABC) P(A) P(B) P(C) [P (A) P(B)] P(C) P(AB) P(C)
P[(A B)C] P(AC B) P(AC) P (ABC) P(A) P(C) P(A) P(B) P(C) [P(A) P (AB)] P(C) P(A B)P (C)
所以A U B 、AB 及A — B 都与C 独立. 第三次作业
1在做一道有4个答案的选择题时如果学生不知道问题的正确答案时就作随机猜测
设射击一次命中目标的概率为p,q 1 9设某种高射炮命中目标的概率为
0.6 0.99的概率命中目标 (1 0.6)n 1 0.99, 0.4n 0.01,由 0.45
☆.证明一般加法(
容斥)公式 n P (u n
1A) P(A) P (AA j )
i 1 i j
证明 只需证分块A’L AkA^L An ，
排列k 1,2, L ,n.)分块概率重数为 A 「L , A k 中任取1个任取2个 C k Ck L ( 1)k 1C k
1 1 C ： C ： L ( 1)k c ：
(1 1)k 将U,l 互换可得对偶加法(
容斥)公式 n
A
80 1 1 , 2
p .q
1 81 81,q 3,p 1 q 3.
问至少需要多少门此种高射炮进行射击才能以 0.01024, 0.46 0.01,得 n 6. P(AA j A k ) L ( 1)n1 P(l n
i A i ). i j AjL ,A k 只计算1次概率.(i 1,L ,i n 是1,L ,n 的一个
0. P(I M A) P(A) P(AUA j ) i 1 i j ☆.证明若A B 独立A C 独立则A 证明 P (A(BUC)) P(A) P(B) 充分性：
P (A(BUC)) P(A)( P(B) 必要性：
P(A(BUC)) P(A) P(B)
P(ABU AC) P(AB) P(A) P(C) P( ABC) (1)k 1任取k 个即 P(A i UA j UA k ) L i j k B U
C 独立的充要条件是 P( AC) P( ABC) P(ABC),代入 P(ABC) (1)n1 卩口就
). A BC 独立. P(A) P(B) P(A) P(C) P(C) P (BC)) P(A) P(BUC),即 A,BUC 独立. P(A) P(BC) P(A) P(BUC) P(A)( P(B) P(C) P (BC))
P(A) P(C) P (A) P(BC) P(A) P(B) P(A) P(C) P (ABC)
设他知道问题的正确答案的概率为 P 分别就P 0.6和P 0.3两种情形求下列事件概率 (1)学生答对该选择题(2)已知学生答对了选择题求学生确实知道正确答案的概率 记事件A=｛知道问题正确答案｝ B=｛答对选择题｝.
☆.为防止意外 在矿内同时设有两种报警系统 A 与B 每种系统单独使用时 其有效的 概率系统A 为0 92系统B 为0.93在A 失灵的条件下B 有效的概率为0.85求：(1)发 生意外时 两个报警系统至少有一个有效的概率 (2) B 失灵的条件下 A 有效的概率 3设有甲、乙两袋 甲袋中有n 只白球 m 只红球 乙袋中有N 只白球 M 只红球 从甲袋中任取一球放入乙袋 在从乙袋中任取一球 问取到白球的概率是多少 记事件A=｛从甲袋中取到白球｝ B=｛从乙袋中取到白球｝. 由全概率公式得
其中两个袋子
每袋有 还有一个袋子有4个白球1个黑球(1)从五个袋子中任挑一袋 并从
由全概率公式得P(B)
P(A)P(B I A) P(A)P(B |A) 3p 4
1 0.6 时 P(B)-
4 1 0.3 时 P(B)—
4 3p 4 3p
4
1 4 1 4
由贝叶斯公式得 P(A|B)
3 0.6 4
3 0.3 4
P(AB) P(B)
7 10 19 40
P 0.7, 0.475.
4p 1 39’
0.6 时 P(A| B) 0.3 时 P(A| B)
4p 1 3p 4p 1 3p
4 0.6 1 3 0.6 4 0.3 1 3 0.3
1 3p 4 T
6 J
7
12 19.
当报警系统A 单独使用时 某单位同时装有两种报警系统 A 与B
0.70当报警系统B 单独使用时其有效的概率为0.80在报警系统A 有效的条件下报 警系统B 有效的概率为0.84计算以下概率(1)两种报警系统都有效的概率 (2)在报警系 统B 有效的条件下报警系统A 有效的概率(3)两种报警系统都失灵的概率.
P(A) 0.7, P(B) 0.8, P(B|A) 0.84. P(A) P(B|A) 0.7 0.84 0.588,
P (AB) 0.588
-- ---- ----------- 0.735, P(B) 0.8
P(AU B) 1 P(AU B) 1 P(A) P(B) P(AB)
0.8 0.588 0.088.
其有效的概率为
(1) P (AB) ⑵ P(A|B) ⑶
P(AB)
1 0.7
P(B) P(A) P(B|A)
n N 1
P(A) p (B| A)
m N
n N(n m) (n m)(N M 1)
☆.设有五个袋子 个白球4个黑球 2个白球3个黑球 另外两个袋子 每袋有1
这袋中任取一球求此球为白球的概率(2)从不同的三个袋中任挑一袋并由其中任取一球结果是白球问这球分别由三个不同的袋子中取出的概率各是多少？
★ 4发报台分别以概率06和04发出信号“?”及“” 由于通信系统受到于扰当发出信号“?”时收报台分别以概率08及02收到信息“?”及发出信号“”时收报台分别以概率0 9及0l收到信号“”及“ 收报台收到“?”的概率(2)收报台收到“ ”的概率(3)当收报台收到发报台确系发出信号“?”的概率⑷收到“”
记事件B=｛收到信号“ ?” ｝A1=｛发出信号
“
?” ｝A2=｛发出信号
“ ”
(1) P(B) P(A1)P(B|A1)P(A2)P(B|A2)0.6 (1 0.2) 0.4 0.1 0.52;
⑵P(B) 1 P (B) 1 0.52 0.48;
⑶P(A|B) P (AB) P(A1)P(B| A) 0.6 0.8 —0.923;
P (B) P (B) 0.52 13
⑷P(A
2|B)
P(A2B) P(A)P (B|A2)0.4 0.9 30.75.
P(B) P(B) 0.48 4
时确系发出“”
“” 又当
”求:(1)
“ ?”
时的概率
｝.
5对以往数据分析结果表明故障时产品合格率为30%
(1) 求机器产品合格率
(2) 已知某日早上第一件产品是合格品求机器调整良好的概率
记事件B=｛产品合格｝ A=｛机器调整良好｝.
(1)由全概率公式得
P(B) P(A) P(B|A) P(A) P(B|A)
⑵由贝叶斯公式得P(A|B) △色P (B)
当机器调整良好时
每天早上机器开动时
产品合格率为90%而机器发生某一机
器调整良好的概率为75%
0.75 0.9 0.25 0.3 0.75,
P(A)P(B| A) 0.75 0.9 盹P(B)
0.75 ..
(C)
☆.系统(A) (B) (C)图如下系统(A) (B)由4个元件组成系统(C)由5个元件组成每个
(A) (B)
记事件A=｛元件5正常｝ B=｛系统正常｝.
(A) P(B|A) (1 (1
(B) P(B| A) 1 (1
(C) 由全概率公式得
P(B) P(A) P(B|A) p P2(4 4p p2) 2p2 2p3
5p4 第四次作业
p)(1
p2)(1
P))2
P2)
2 2
P (4 4 P P ),
2— 2,
P (2 P ),
P(A)P(B| A)
(1 P)P 2(2 P2)
2p5.
1在15个同型零件中有2个次品 从中任取3个 以X 表示取出的次品的个数 求X 的 分布律.
☆.经销一批水果 第一天售出的概率是0.5每公斤获利8元 第二天售出的概率是0.4 每公斤获利5元 第三天售出的概率是0.1每公斤亏损3元 求经销这批水果每公斤赢 利X 的概率分布律和分布函数
每次出现正面的概率为2/3连续抛掷8次 以X 表示出现4 一商业大厅里装有4个同类型的银行刷卡机 调查表明在任
一时刻每个刷卡机使用的
概率为0.1求在同一时刻
(1)恰有2个刷卡机被使用的概率(2)至少有3个刷卡机被使用的概率 (3)至多有3个刷卡机被使用的概率(4)至少有一个刷卡机被使用的概率
在同一时刻刷卡机被使用的个数 X : B(n 4, p 0.1).
(1) P(X 2) C ： 0.12 0.92
0.00486,
⑵ P(X 3) P(X 3) P(X 4)
C 3
0.13
0.9 0.14
0.0037
⑶ P(X 3) 1 P(X 4)
1 0.14 0.9999,
⑷P(X 1) 1 P(X 0)
1 0.94
1 0.6561
0.3439.
5某汽车从起点驶出时有40名乘客 设沿途共有4个停靠站 且该车只下不上 每个乘 客在每
个站下车的概率相等并且相互独立试求(1)全在终点站下车的概率(2)至少有
P(X k)
Q
2 k
C 2C 13
3
,
k
0,1,2. 0,x
F( 3) F(x) ' ) F(5)
F(8)
3,
P(X P(X 1,x 8.
3) 0.1, 3x5,
3) P(X 5)
0.1 0.4 0.5,5 x 8, 2抛掷一枚不均匀的硬币 正面的次数求X 的分布律.
_
k X : B(n 8, P 2/3), P(X k) C 8
8 k
1
-,k 0,1L ,8.
3
3 一射击运动员的击中靶心的命中率为 次数 写出的分布律 并计算X 取偶数的概率
pq k 1
0.35 0.65k 1,k 1,2L .
k
2 3 0.35以X 表示他首次击中靶心时累计已射击的 X : G(p 0.35), P(X k)
P(X 奇)+P(X 偶)=1, P(X 奇)=P^,
q
解得P(X 偶)=丄-0^
1 q 1 0.65 13 —B
0.394. 33
概率论与数理统计第4章作业题解
第四章作业题解 4.1 甲、乙两台机床生产同一种零件, 在一天内生产的次品数分别记为 X 和 Y . 已知 ,X Y 的概率分布如下表所示: 如果两台机床的产量相同, 问哪台机床生产的零件的质量较好？ 解： 11.032.023.014.00)(=?+?+?+?=X E 9.0032.025.013.00)(=?+?+?+?=Y E 因为 )()(Y E X E >，即乙机床的平均次品数比甲机床少，所以乙机床生产的零件质量较好。 4.2 袋中有 5 个球, 编号为1,2,3,4,5, 现从中任意抽取3 个球, 用X 表示取出的3 个球中的 最大编号，求E (X ). 解：X 的可能取值为3,4,5. 因为1.01011)3(35 == = =C X P ；3.010 3)4(35 2 3== = =C C X P ； 6.010 6)5(3 5 24=== =C C X P 所以 5.46.053.041.03)(=?+?+?=X E 4.3 设随机变量X 的概率分布1 {}(0,1,2,),(1) k k a P X k k a +===+ 其中0a >是个常 数，求()E X 解: 1 1 2 1 1 1 ()(1) (1) (1) k k k k k k a a a E X k k a a a -∞ ∞ +-=== = +++∑∑ ，下面求幂级数11 k k k x ∞ -=∑的和函数， 易知幂级数的收敛半径为1=R ，于是有 1 2 1 1 1()( ),1,1(1) k k k k x k x x x x x ∞ ∞ -==''=== <--∑ ∑
(完整版)概率论与数理统计课后习题答案
·1· 习 题 一 1．写出下列随机试验的样本空间及下列事件中的样本点： （1）掷一颗骰子，记录出现的点数. A =‘出现奇数点’； （2）将一颗骰子掷两次，记录出现点数. A =‘两次点数之和为10’，B =‘第一次的点数，比第二次的点数大2’； （3）一个口袋中有5只外形完全相同的球，编号分别为1,2,3,4,5；从中同时取出3只球，观察其结果，A =‘球的最小号码为1’； （4）将,a b 两个球，随机地放入到甲、乙、丙三个盒子中去，观察放球情况，A =‘甲盒中至少有一球’； （5）记录在一段时间内，通过某桥的汽车流量，A =‘通过汽车不足5台’，B =‘通过的汽车不少于3台’。 解 （1）123456{,,,,,}S e e e e e e =其中i e =‘出现i 点’ 1,2,,6i =L ， 135{,,}A e e e =。 （2）{(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6)S = (2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6) (3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6) (4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6) (5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6) (6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)}； {(4,6),(5,5),(6,4)}A =； {(3,1),(4,2),(5,3),(6,4)}B =。 （ 3 ） {(1,2,3),(2,3,4),(3,4,5),(1,3,4),(1,4,5),(1,2,4),(1,2,5) S = (2,3,5),(2,4,5),(1,3,5)} {(1,2,3),(1,2,4),(1,2,5),(1,3,4),(1,3,5),(1,4,5)}A = （ 4 ） {(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),(,,), S ab ab ab a b a b b a =--------- (,,),(,,,),(,,)}b a a b b a ---，其中‘-’表示空盒； {(,,),(,,),(,,),(,,),(,,)}A ab a b a b b a b a =------。 （5）{0,1,2,},{0,1,2,3,4},{3,4,}S A B ===L L 。 2．设,,A B C 是随机试验E 的三个事件，试用,,A B C 表示下列事件：
概率论与数理统计习题集及答案
* 《概率论与数理统计》作业集及答案 第1章 概率论的基本概念 §1 .1 随机试验及随机事件 1. (1) 一枚硬币连丢3次，观察正面H ﹑反面T 出现的情形. 样本空间是：S= ； (2) 一枚硬币连丢3次，观察出现正面的次数. 样本空间是：S= ； 2.(1) 丢一颗骰子. A ：出现奇数点，则A= ；B ：数点大于2，则B= . (2) 一枚硬币连丢2次， A ：第一次出现正面，则A= ； B ：两次出现同一面，则= ； C ：至少有一次出现正面，则C= . ? §1 .2 随机事件的运算 1. 设A 、B 、C 为三事件，用A 、B 、C 的运算关系表示下列各事件： (1)A 、B 、C 都不发生表示为： .(2)A 与B 都发生,而C 不发生表示为： . (3)A 与B 都不发生,而C 发生表示为： .(4)A 、B 、C 中最多二个发生表示为： . (5)A 、B 、C 中至少二个发生表示为： .(6)A 、B 、C 中不多于一个发生表示为： . 2. 设}42:{},31:{},50:{≤<=≤<=≤≤=x B x x A x x S ：则 （1）=?B A ，（2）=AB ，（3）=B A ， （4）B A ?= ，（5）B A = 。 \ §1 .3 概率的定义和性质 1. 已知6.0)(,5.0)(,8.0)(===?B P A P B A P ，则 (1) =)(AB P , (2)()(B A P )= , (3))(B A P ?= . 2. 已知,3.0)(,7.0)(==AB P A P 则)(B A P = . §1 .4 古典概型 1. 某班有30个同学,其中8个女同学, 随机地选10个,求:(1)正好有2个女同学的概率, (2)最多有2个女同学的概率,(3) 至少有2个女同学的概率. 2. 将3个不同的球随机地投入到4个盒子中,求有三个盒子各一球的概率. — §1 .5 条件概率与乘法公式 1．丢甲、乙两颗均匀的骰子，已知点数之和为7, 则其中一颗为1的概率是 。 2. 已知,2/1)|(,3/1)|(,4/1)(===B A P A B P A P 则=?)(B A P 。 §1 .6 全概率公式 1. 有10个签，其中2个“中”，第一人随机地抽一个签，不放回，第二人再随机地抽一个 签，说明两人抽“中‘的概率相同。
概率论与数理统计第三章课后习题答案
习题三 1.将一硬币抛掷三次，以X 表示在三次中出现正面的次数，以Y 表示三次中出现正面次数与 出现反面次数之差的绝对值.试写出X 和Y 的联合分布律. 【解】X 和Y 的联合分布律如表： 222??222 ??= 2.盒子里装有3只黑球、2只红球、2只白球，在其中任取4只球，以X 表示取到黑球的只数，以Y 表示取到红球的只数.求X 和Y 的联合分布律. 【解】X 和Y 的联合分布律如表： 324 C 35= 32 4 C 35= 322 4 C 35= 11322 4 C C 12C 35=132 4 C 2C 35 = 21322 4 C C 6C 35 = 2324 C 3 C 35 = 3.设二维随机变量（X ，Y ）的联合分布函数为 F （x ，y ）=?????≤ ≤≤≤., 020,20,sin sin 其他ππy x y x 求二维随机变量（X ，Y ）在长方形域? ?? ? ??≤<≤<36,40πππy x 内的概率. 【解】如图πππ {0,}(3.2)463 P X Y <≤ <≤公式 ππππππ(,)(,)(0,)(0,)434636 F F F F --+
ππππππ sin sin sin sin sin0sin sin0sin 434636 2 (31). 4 =--+ =- 题3图 说明：也可先求出密度函数，再求概率。 4.设随机变量（X，Y）的分布密度 f（x，y）= ? ? ?> > + - . ,0 ,0 ,0 ,)4 3( 其他 y x A y x e 求：（1）常数A； （2）随机变量（X，Y）的分布函数； （3）P{0≤X<1，0≤Y<2}. 【解】（1）由-(34) 00 (,)d d e d d1 12 x y A f x y x y A x y +∞+∞+∞+∞ + -∞-∞ === ???? 得A=12 （2）由定义，有 (,)(,)d d y x F x y f u v u v -∞-∞ =?? (34)34 00 12e d d(1e)(1e)0,0, 0, 0, y y u v x y u v y x -+-- ??-->> ? == ?? ? ?? ?? 其他 (3) {01,02} P X Y ≤<≤< 12(34)38 00 {01,02} 12e d d(1e)(1e)0.9499. x y P X Y x y -+-- =<≤<≤ ==--≈ ?? 5.设随机变量（X，Y）的概率密度为 f（x，y）= ? ? ?< < < < - - . ,0 ,4 2,2 ), 6( 其他 y x y x k
概率论与数理统计练习题
概率论与数理统计练习题 一、填空题 1、设A 、B 为随机事件，且P (A)=，P (B)=，P (B A)=，则P (A+B)=__ __。 2、θθθ是常数21? ,?的两个 无偏 估计量，若)? ()?(21θθD D <，则称1?θ比2?θ有效。 3、设A 、B 为随机事件，且P (A )=, P (B )=, P (A ∪B )=，则P (B A )=。 4. 设随机变量X 服从[0,2]上的均匀分布，Y =2X +1，则D (Y )= 4/3 。 5. 设随机变量X 的概率密度是： ?? ?<<=其他 103)(2 x x x f ，且{}784 .0=≥αX P ，则α= 。 6. 已知随机向量（X ，Y ）的联合密度函数 ?????≤≤≤≤=其他 , 010,20, 2 3 ),(2y x xy y x f ，则 E (Y )= 3/4 。 7. 若随机变量X ～N (1，4)，Y ～N (2，9)，且X 与Y 相互独立。设Z ＝X －Y ＋3，则Z ～ N (2, 13) 。 * 8. 设A ，B 为随机事件，且P (A)=，P (A －B)=，则=?)(B A P 。 9. 设随机变量X ~ N (1, 4)，已知Φ=，Φ=，则{}=<2X P 。 10. 随机变量X 的概率密度函数1 22 1 )(-+-= x x e x f π ，则E (X )= 1 。 11. 已知随机向量（X ，Y ）的联合密度函数 ?? ?≤≤≤≤=其他 , 010,20, ),(y x xy y x f ，则 E (X )= 4/3 。 12. 设A ，B 为随机事件，且P (A)=, P (AB)= P (B A ), 则P (B )= 。 13. 设随机变量),(~2σμN X ，其密度函数6 4 4261)(+-- = x x e x f π ，则μ= 2 。 14. 设随机变量X 的数学期望EX 和方差DX >0都存在，令DX EX X Y /)(-=，则D Y= 1 。 15. 随机变量X 与Y 相互独立，且D (X )=4，D (Y )=2，则D (3X －2Y )＝ 44。 16. 三个人独立地向某一目标进行射击，已知各人能击中的概率分别为3 1 ,41,51，则目标能被击中 的概率是3/5 。 17. 设随机变量X ～N (2，2σ)，且P {2 < X <4}＝，则P {X < 0}＝ 。 ！ 18. 设随机变量X 的概率分布为5.0)3(,3.0)2(,2.0)1(======X P X P X P ，则X 的期望
概率论与数理统计课后习题答案
第一章 事件与概率 1．写出下列随机试验的样本空间。 （1）记录一个班级一次概率统计考试的平均分数 （设以百分制记分）。 （2）同时掷三颗骰子，记录三颗骰子点数之和。 （3）生产产品直到有10件正品为止，记录生产产 品的总件数。 （4）对某工厂出厂的产品进行检查，合格的记上 “正品”，不合格的记上“次品”，如连续查出2个次品 就停止检查，或检查4个产品就停止检查，记录检查的 结果。 （5）在单位正方形内任意取一点，记录它的坐标。 （6）实测某种型号灯泡的寿命。 解（1）},100,,1,0{n i n i ==Ω其中n 为班级人数。 （2）}18,,4,3{ =Ω。 （3）},11,10{ =Ω。 （4）=Ω{00，100，0100，0101，0110，1100， 1010，1011，0111，1101，0111，1111}，其中 0表示次品，1表示正品。 （5）=Ω{(x,y)| 0 （2）A 与B 都发生，而C 不发生。 （3）A ，B ，C 中至少有一个发生。 （4）A ，B ，C 都发生。 （5）A ，B ，C 都不发生。 （6）A ，B ，C 中不多于一个发生。 （7）A ，B ，C 至少有一个不发生。 （8）A ，B ，C 中至少有两个发生。 解 （1）C B A ，（2）C AB ，（3）C B A ++，（4）ABC ， （5）C B A ， （6）C B C A B A ++或 C B A C B A C B A C B A +++， （7）C B A ++， （8）BC AC AB ++或 ABC BC A C B A C AB ??? 3．指出下列命题中哪些成立，哪些不成立，并作 图说明。 （1）B B A B A =（2）AB B A = （3）AB B A B =?则若,（4）若 A B B A ??则, （5）C B A C B A = （6）若Φ=AB 且A C ?， 习题2参考答案 X 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 P 1/36 1/18 1/12 1/9 5/36 1/6 5/36 1/9 1/12 1/18 1/36 解：根据 1)(0 ==∑∞ =k k X P ，得10 =∑∞ =-k k ae ，即111 1 =---e ae 。 故 1-=e a 解：用X 表示甲在两次投篮中所投中的次数，X~B(2, 用Y 表示乙在两次投篮中所投中的次数, Y~B(2, (1)两人投中的次数相同 P{X=Y}= P{X=0,Y=0}+ P{X=1,Y=1} +P{X=2,Y=2}= 1 1 2 2 020********* 2222220.70.30.40.60.70.30.40.60.70.30.40.60.3124C C C C C C ?+?+?=(2)甲比乙投中的次数多 P{X>Y}= P{X=1,Y=0}+ P{X=2,Y=0} +P{X=2,Y=1}= 1 2 2 1 110220022011222222 0.70.30.40.60.70.30.40.60.70.30.40.60.5628C C C C C C ?+?+?=解:（1）P{1≤X ≤3}= P{X=1}+ P{X=2}+ P{X=3}=12321515155 ++= (2)P{ 解：（1）P{X=2,4,6,…}=246211112222k +++L =11[1()] 14 41314 k k lim →∞-=- （2）P{X ≥3}=1―P{X<3}=1―P{X=1}- P{X=2}=111 1244 --= 解：设i A 表示第i 次取出的是次品，X 的所有可能取值为0，1，2 12341213124123{0}{}()(|)(|)(|)P X P A A A A P A P A A P A A A P A A A A ====18171615122019181719 ???= 1123412342341234{1}{}{}{}{} 2181716182171618182161817162322019181720191817201918172019181795 P X P A A A A P A A A A P A A A A P A A A A ==+++=???+???+???+???= 12323 {2}1{0}{1}1199595 P X P X P X ==-=-==- -= 解：(1)设X 表示4次独立试验中A 发生的次数，则X~B(4, 34 314044(3)(3)(4)0.40.60.40.60.1792P X P X P X C C ≥==+==+= (2)设Y 表示5次独立试验中A 发生的次数，则Y~B(5, 3 4 5 324150555(3)(3)(4)(5)0.40.60.40.60.40.60.31744P X P X P X P X C C C ≥==+=+==++= （1）X ～P(λ)=P ×3)= P 0 1.51.5{0}0! P X e -=== 1.5 e - （2）X ～P(λ)=P ×4)= P(2) 0122 222{2}1{0}{1}1130!1! P X P X P X e e e ---≥=-=-==--=- 第一阶段在线作业 第1题 您的答案:B 题目分数：0.５ 此题得分：0.5 批注：对立不是独立。两个集合互补。第２题 您的答案:D 题目分数：0．5 此题得分:0.5 批注:A发生，必然导致和事件发生。第３题 您的答案：B 题目分数:0.5 此题得分:0.５ 批注：分布函数的取值最大为1,最小为0. 第4题 您的答案:A 题目分数:０.５ 此题得分:0.5 批注：密度函数在【-1，1】区间积分。第5题 您的答案：Ａ 题目分数:0.5 此题得分：0.5 批注：A答案，包括了ＢC两种情况。 第６题 您的答案：A 题目分数:0.5 此题得分：0．5 批注:古典概型,等可能概型,16种总共的投法。第7题 您的答案:C 题目分数:0.5 此题得分:0.5 批注:几何概型,前两次没有命中，且第三次命中,三次相互独立,概率相乘。 第８题 您的答案:D 题目分数:０.5 此题得分：0.5 批注：利用随机变量单调性函数的概率密度求解公式公式。中间有反函数求导数，加绝对值。第9题 您的答案：C 题目分数：0.５ 此题得分:0.5 批注：利用概率密度的性质，概率密度在相应范围上的积分值为1.验证四个区间。 第10题 您的答案：B 题目分数:０.5 此题得分:0.5 批注：利用分布函数的性质，包括分布函数的值域[0，1]当自变量趋向无穷时，分布函数取值应该是1.排除答案。 第1１题 您的答案:C 题目分数:0.5 此题得分：0．5 批注：利用上分位点的定义。 第12题 您的答案：B 题目分数：0.5 此题得分：0.５ 批注：利用和事件的公式,还有概率小于等于1.P（AB)小于等于P（C）。第13题 习题 1. 写出下列随机试验的样本空间: (1) 掷两颗骰子,观察两颗骰子出现的点数. (2) 从正整数中任取一个数,观察取出数的个位数. (3) 连续抛一枚硬币,直到出现正面时为止. (4) 对某工厂出厂的产品进行检查,如连续检查出两个次品,则停止检查,或 检查四个产品就停止检查,记录检查的结果. (5) 在单位圆内任意取一点,记录它的坐标. 解:(1){(,)|1,2,,6,1,2, ,6}i j i j Ω===; (2){|0,1, ,9}i i Ω==; (3)Ω={(正), (反, 正), (反, 反, 正), (反, 反, 反, 正), … }; (4)Ω={(次, 次), (次, 正, 正, 正), (次, 正, 正, 次), (次, 正, 次, 次), (次, 正, 次,正), (正, 次, 次), (正, 次, 正, 正), (正, 次, 正, 次)}; (5)22{(,)|,,1}x y x R y R x y Ω=∈∈+≤. 2. 在掷两颗骰子的试验中写出下列事件的集合表示: (1) A =”出现的点数之和为偶数”. (2) B =”出现的点数之和为奇数, 但没有骰子出现1点”. (3) C =”至少掷出一个2点”. (4) D =”两颗骰子出现的点数相同”. 解: (1) {(1,1),(1,3),(1,5),(2,2),(2,4),(2,6),(3,1),(3,3),(3,5),A = {(4,2),(4,4),(4,6),(5,1),(5,3),(5,5),(6,2),(6,4),(6,6)}=; (2){(2,3),(2,5),(3,2),(3,4),(3,6),(4,3),(4,5),(5,2),(5,4),(5,6),(6,3),(6,5)}B =; (3){(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(1,2),(3,2),(4,2),(5,2),(6,2)}C =; (4){(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6)}D =. 3. 设,,A B C 是三个事件,试用,,A B C 来表示下列事件: 概率论与数理统计课后习题答案 第七章参数估计 1．[一] 随机地取8只活塞环，测得它们的直径为（以mm 计） 74.001 74.005 74.003 74.001 74.000 73.998 74.006 74.002 求总体均值μ及方差σ2的矩估计，并求样本方差S 2。 解：μ，σ2 的矩估计是 61 22 106)(1?,002.74?-=?=-===∑n i i x X n X σμ 621086.6-?=S 。 2．[二]设X 1，X 1，…，X n 为准总体的一个样本。求下列各总体的密度函数或分布律中的未知参数的矩估计量。 （1）? ??>=+-其它,0,)()1(c x x c θx f θθ 其中c >0为已知，θ>1，θ为未知参数。 （2）?? ???≤≤=-.,01 0,)(1其它x x θx f θ 其中θ>0，θ为未知参数。 （5）()p p m x p p x X P x m x m x ,10,,,2,1,0,)1()(<<=-==- 为未知参数。 解：（1）X c θc θc c θdx x c θdx x xf X E θθc θ θ =--=-== =+-∞+-∞+∞ -? ? 1 ,11)()(1令， 得c X X θ-= （2）,1)()(10 += = = ? ? ∞+∞ -θθdx x θdx x xf X E θ 2 )1(,1 X X θX θθ-==+得令 （5）E (X ) = mp 令mp = X ， 解得m X p =? 3．[三]求上题中各未知参数的极大似然估计值和估计量。 解：（1）似然函数 1211 )()()(+-=== ∏θn θ n n n i i x x x c θ x f θL 0ln ln )(ln ,ln )1(ln )ln()(ln 1 1 =- +=-++=∑∑ ==n i i n i i x c n n θθ d θL d x θc θn θn θL 天津理工大学概率论与数理统计同步练习册答案详解 ————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期： 2 第一章 随机变量 习题一 1、写出下列随机试验的样本空间 (1)同时掷三颗骰子，记录三颗骰子点数之和 Ω= { }1843,,,Λ (2)生产产品直到有10件正品为止，记录生产产品的总件数 Ω= { }Λ,,1110 (3)对某工厂出厂的产品进行检验，合格的记上“正品”，不合格的记上“次品”， 如连续查出2个次品就停止，或检查4个产品就停止检查，记录检查的结果。用“0”表示次品，用“1”表示正品。 Ω={111111101101011110111010110001100101010010000,,,,,,,,,,,} (4)在单位圆内任意取一点，记录它的坐标 Ω= }|),{(122<+y x y x (5)将一尺长的木棍折成三段，观察各段的长度 Ω=},,,|),,{(1000=++>>>z y x z y x z y x 其中z y x ,,分别表示第一、二、三段的长度 (6 ) .10只产品中有3只次品 ，每次从其中取一只(取后不放回) ，直到将3只次品都取出 ， 写出抽取次数的基本空间U = “在 ( 6 ) 中 ，改写有放回抽取” 写出抽取次数的基本空间U = 解: ( 1 ) U = { e3 ， e4 ，… e10 。} 其 中 ei 表 示 “ 抽 取 i 次 ” 的 事 件 。 i = 3、 4、 …、 10 ( 2 ) U = { e3 ， e4 ，… } 其 中 ei 表 示 “ 抽 取 i 次 ” 的 事 件 。 i = 3、 4、 … 2、互不相容事件与对立事件的区别何在？说出下列各对事件的关系 (1)δ<-||a x 与δ≥-||a x 互不相容 (2)20>x 与20≤x 对立事件 (3)20>x 与18 第一章随机事件及其概率 1. 写出下列随机试验的样本空间： （1）同时掷两颗骰子，记录两颗骰子的点数之和； （2）在单位圆内任意一点，记录它的坐标； （3）10件产品中有三件是次品，每次从其中取一件，取后不放回，直到三件次品都取出为止，记录抽取的次数； （4）测量一汽车通过给定点的速度. 解所求的样本空间如下 （1）S= {2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12} （2）S= {(x, y)| x2+y2<1} （3）S= {3，4，5，6，7，8，9，10} （4）S= {v |v>0} 2. 设A、B、C为三个事件，用A、B、C的运算关系表示下列事件： （1）A发生，B和C不发生； （2）A与B都发生，而C不发生； （3）A、B、C都发生； （4）A、B、C都不发生； （5）A、B、C不都发生； （6）A、B、C至少有一个发生； （7）A、B、C不多于一个发生； （8）A、B、C至少有两个发生. 解所求的事件表示如下 3．在某小学的学生中任选一名，若事件A表示被选学生是男生，事件B表示该生是三年级学生，事件C表示该学生是运动员，则 （1）事件AB表示什么？ （2）在什么条件下ABC=C成立？ ?是正确的？ （3）在什么条件下关系式C B （4）在什么条件下A B =成立？ 解所求的事件表示如下 （1）事件AB表示该生是三年级男生，但不是运动员. （2）当全校运动员都是三年级男生时，ABC=C成立. ?是正确的. （3）当全校运动员都是三年级学生时，关系式C B （4）当全校女生都在三年级，并且三年级学生都是女生时，A B =成立. 4．设P (A )＝，P (A －B )＝，试求()P AB 解 由于 A ?B = A – AB , P (A )= 所以 P (A ?B ) = P (A ?AB ) = P (A )??P (AB ) = , 所以 P (AB )=, 故 ()P AB = 1? = . 5. 对事件A 、B 和C ，已知P(A) = P(B)＝P(C)＝1 4 ，P(AB) = P(CB) = 0, P(AC)= 1 8 求A 、B 、C 中至少有一个发生的概率. 解 由于,()0,?=ABC AB P AB 故P(ABC) = 0 则P(A+B+C) = P(A)+P(B)+P(C) –P(AB) –P(BC) –P(AC)+P(ABC) 6. 设盒中有α只红球和b 只白球，现从中随机地取出两只球，试求下列事件的概率： A ＝{两球颜色相同}， B ＝{两球颜色不同}. 解 由题意，基本事件总数为2a b A +，有利于A 的事件数为2 2a b A A +，有利于B 的事件数为111111 2a b b a a b A A A A A A +=, 则 2 2 11 2 22()()a b a b a b a b A A A A P A P B A A +++== 习题五 1.一颗骰子连续掷4次，点数总和记为X .估计P {10 【解】令1,,0,i i X ?? ?若第个产品是合格品其他情形. 而至少要生产n 件，则i =1,2,…,n ,且 X 1，X 2，…，X n 独立同分布，p =P {X i =1}=. 现要求n ,使得 1 {0.760.84}0.9.n i i X P n =≤ ≤≥∑ 即 0.80.9n i X n P -≤≤≥∑ 由中心极限定理得 0.9,Φ-Φ≥ 整理得0.95,Φ≥?? 查表 1.64,10≥ n ≥, 故取n =269. 3. 某车间有同型号机床200部，每部机床开动的概率为，假定各机床开动与否互不影响，开动时每部机床消耗电能15个单位.问至少供应多少单位电能 才可以95%的概率保证不致因供电不足而影响生产. 【解】要确定最低的供应的电能量，应先确定此车间同时开动的机床数目最大值m ，而m 要满足200部机床中同时开动的机床数目不超过m 的概率为95%, 福州大学概率论与数理统计课后习题答案 高等教育出版社 习题1.1解答 1. 将一枚均匀的硬币抛两次，事件C B A ,,分别表示“第一次出现正面”，“两次出现同一面”，“至少有一次出现正面”。试写出样本空间及事件C B A ,,中的样本点。 解：{=Ω(正，正)，（正，反），（反，正），（反，反）} {=A (正，正)，（正，反）}；{=B （正，正），（反，反）} {=C (正，正)，（正，反），（反，正）} 2. 在掷两颗骰子的试验中，事件D C B A ,,,分别表示“点数之和为偶数”，“点数 之和小于5”，“点数相等”，“至少有一颗骰子的点数为3”。试写出样本空间及事件D C B A BC C A B A AB ---+,,,,中的样本点。 解：{})6,6(,),2,6(),1,6(,),6,2(,),2,2(),1,2(),6,1(,),2,1(),1,1( =Ω； {})1,3(),2,2(),3,1(),1,1(=AB ； {})1,2(),2,1(),6,6(),4,6(),2,6(,),5,1(),3,1(),1,1( =+B A ； Φ=C A ；{})2,2(),1,1(=BC ； {})4,6(),2,6(),1,5(),6,4(),2,4(),6,2(),4,2(),5,1(=---D C B A 3. 以C B A ,,分别表示某城市居民订阅日报、晚报和体育报。试用C B A ,,表示以下 事件： （1）只订阅日报； （2）只订日报和晚报； （3）只订一种报； （4）正好订两种报； （5）至少订阅一种报； （6）不订阅任何报； （7）至多订阅一种报； （8）三种报纸都订阅； （9）三种报纸不全订阅。 解：（1）C B A ； （2）C AB ； （3）C B A C B A C B A ++； （4）BC A C B A C AB ++; （5）C B A ++； （6）C B A ； （7）C B A C B A C B A C B A +++或C B C A B A ++ （8）ABC ； （9）C B A ++ 4. 甲、乙、丙三人各射击一次，事件321,,A A A 分别表示甲、乙、丙射中。试说明下列事件所表示的结果：2A , 32A A +, 21A A , 21A A +, 321A A A , 313221A A A A A A ++. 解：甲未击中；乙和丙至少一人击中；甲和乙至多有一人击中或甲和乙至少有一人未击中；甲和乙都未击中；甲和乙击中而丙未击中；甲、乙、丙三人至少有两人击中。 5. 设事件C B A ,,满足Φ≠ABC ，试把下列事件表示为一些互不相容的事件的和： C B A ++，C AB +，AC B -. 习题1.1解答 1. 将一枚均匀的硬币抛两次，事件C B A ,,分别表示“第一次出现正面”，“两次出现同一面”，“至少有一次出现正面”。试写出样本空间及事件C B A ,,中的样本点。 解：{=Ω(正，正)，（正，反），（反，正），（反，反）} {=A (正，正)，（正，反）}；{=B （正，正），（反，反）} {=C (正，正)，（正，反），（反，正）} 2. 在掷两颗骰子的试验中，事件D C B A ,,,分别表示“点数之和为偶数”，“点数之和小于5”，“点数相等”，“至少有一颗骰子的点数为3”。试写出样本空间及事件D C B A BC C A B A AB ---+,,,,中的样本点。 解：{})6,6(,),2,6(),1,6(,),6,2(,),2,2(),1,2(),6,1(,),2,1(),1,1( =Ω； {})1,3(),2,2(),3,1(),1,1(=AB ； {})1,2(),2,1(),6,6(),4,6(),2,6(,),5,1(),3,1(),1,1( =+B A ； Φ=C A ；{})2,2(),1,1(=BC ； {})4,6(),2,6(),1,5(),6,4(),2,4(),6,2(),4,2(),5,1(=---D C B A 3. 以C B A ,,分别表示某城市居民订阅日报、晚报和体育报。试用C B A ,,表示以下事件： （1）只订阅日报； （2）只订日报和晚报； （3）只订一种报； （4）正好订两种报； （5）至少订阅一种报； （6）不订阅任何报； （7）至多订阅一种报； （8）三种报纸都订阅； （9）三种报纸不全订阅。 解：（1）C B A ； （2）C AB ； （3）C B A C B A C B A ++； （4）BC A C B A C AB ++; （5）C B A ++； （6）C B A ； （7）C B A C B A C B A C B A +++或C B C A B A ++ （8）ABC ； （9）C B A ++ 4. 甲、乙、丙三人各射击一次，事件321,,A A A 分别表示甲、乙、丙射中。试说明下列事件所表示的结果：2A , 32A A +, 21A A , 21A A +, 321A A A , 313221A A A A A A ++. 解：甲未击中；乙和丙至少一人击中；甲和乙至多有一人击中或甲和乙至少有一人未击中；甲和乙都未击中；甲和乙击中而丙未击中；甲、乙、丙三人至少有两人击中。 5. 设事件C B A ,,满足Φ≠ABC ，试把下列事件表示为一些互不相容的事件的和：C B A ++，C AB +，AC B -. 解：如图： 概率论与数理统计复习题--带答案 ;第一章 一、填空题 1.若事件A?B且P（A）=0.5, P(B) =0.2 , 则P(A －B)=（0.3 ）。 2.甲、乙各自同时向一敌机炮击，已知甲击中敌 机的概率为0.7，乙击中敌机的概率为0.8．求 敌机被击中的概率为（0.94 ）。 3.设Ａ、Ｂ、Ｃ为三个事件，则事件Ａ，Ｂ，Ｃ中 不少于二个发生可表示为（AB AC BC ++）。 4.三台机器相互独立运转，设第一，第二，第三 台机器不发生故障的概率依次为0.9，0.8，0.7，则这三台机器中至少有一台发生故障的概率 为（0.496 ）。 5.某人进行射击，每次命中的概率为０.6 独立 射击４次，则击中二次的概率为 （ 0.3456 ）。 6.设Ａ、Ｂ、Ｃ为三个事件，则事件Ａ，Ｂ与Ｃ都 不发生可表示为（ABC）。 7.设Ａ、Ｂ、Ｃ为三个事件，则事件Ａ，Ｂ，Ｃ中 不多于一个发生可表示为（AB AC BC I I）； 8.若事件A与事件B相互独立，且P（A）=0.5, P(B) =0.2 , 则P(A|B)=（0.5 ）； 9.甲、乙各自同时向一敌机炮击，已知甲击中敌机 的概率为0.6，乙击中敌机的概率为0.5．求敌机被击中的概率为（0.8 ）； 10.若事件A与事件B互不相容，且P（A）=0.5, P(B) =0.2 , 则P(B A-)=（0.5 ） 11.三台机器相互独立运转，设第一，第二，第三 台机器不发生故障的概率依次为0.8，0.8，0.7，则这三台机器中最多有一台发生故障的概率为（0.864 ）。 12.若事件A?B且P（A）=0.5, P(B) =0.2 , 则 P(B A)=（0.3 ）; 13.若事件A与事件B互不相容，且P（A）=0.5, P(B) =0.2 , 则P(B A)=（0.5 ） 14.Ａ、Ｂ为两互斥事件，则A B= U（S ）15.Ａ、Ｂ、Ｃ表示三个事件，则Ａ、Ｂ、Ｃ恰 有一个发生可表示为 （ABC ABC ABC ++） 16.若()0.4 P AB A B= U P AB=0.1则(|) P B=，() P A=，()0.2 （ 0.2 ） 17.Ａ、Ｂ为两互斥事件，则AB=（S ） 18.保险箱的号码锁定若由四位数字组成，则一次 ）。 就能打开保险箱的概率为（1 10000 《概率论与数理统计》作业集及答案 概率论与数理统计习题答案 第四版 盛骤 (浙江大学) 浙大第四版（高等教育出版社） 第一章 概率论的基本概念 1.[一] 写出下列随机试验的样本空间 （1）记录一个小班一次数学考试的平均分数（充以百分制记分）（[一] 1） ??? ????=n n n n o S 1001, ，n 表小班人数 （3）生产产品直到得到10件正品，记录生产产品的总件数。（[一] 2） S={10，11，12，………，n ，………} （4）对某工厂出厂的产品进行检查，合格的盖上“正品”，不合格的盖上“次品”，如连续查出二个次品就停止检查，或检查4个产品就停止检查，记录检查的结果。 查出合格品记为“1”，查出次品记为“0”，连续出现两个“0”就停止检查，或查满4次才停止检查。 （[一] (3)） S={00，100，0100，0101，1010，0110，1100，0111，1011，1101，1110，1111，} 2.[二] 设A ，B ，C 为三事件，用A ，B ，C 的运算关系表示下列事件。 （1）A 发生，B 与C 不发生。 表示为： C B A 或A － (AB+AC )或A － (B ∪C ) （2）A ，B 都发生，而C 不发生。 表示为： C AB 或AB －ABC 或AB －C （3）A ，B ，C 中至少有一个发生 表示为：A+B+C （4）A ，B ，C 都发生， 表示为：ABC （5）A ，B ，C 都不发生， 表示为：C B A 或S － (A+B+C)或C B A ?? （6）A ，B ，C 中不多于一个发生，即A ，B ，C 中至少有两个同时不发生 相当于C A C B B A ,,中至少有一个发生。故 表示为：C A C B B A ++。 （7）A ，B ，C 中不多于二个发生。 相当于：C B A ,,中至少有一个发生。故 表示为：ABC C B A 或++ （8）A ，B ，C 中至少有二个发生。 相当于：AB ，BC ，AC 中至少有一个发生。故 表示为：AB +BC +AC 6.[三] 设A ，B 是两事件且P (A )=0.6，P (B )=0. 7. 问(1)在什么条件下P (AB )取到最大值，最大值是多少？（2）在什么条件下P (AB )取到最小值，最小值是多少？ 解：由P (A ) = 0.6，P (B ) = 0.7即知AB ≠φ，（否则AB = φ依互斥事件加法定理， P (A ∪B )=P (A )+P (B )=0.6+0.7=1.3>1与P (A ∪B )≤1矛盾）. 从而由加法定理得 P (AB )=P (A )+P (B )－P (A ∪B ) (*) （1）从0≤P (AB )≤P (A )知，当AB =A ，即A ∩B 时P (AB )取到最大值，最大值为 P (AB )=P (A )=0.6， （2）从(*)式知，当A ∪B=S 时，P (AB )取最小值，最小值为 P (AB )=0.6+0.7－1=0.3 。 7.[四] 设A ，B ，C 是三事件，且0)()(,4 1 )()()(=== ==BC P AB P C P B P A P ，8 1 )(= AC P . 求A ，B ，C 至少有一个发生的概率。 解：P (A ，B ，C 至少有一个发生)=P (A +B +C )= P (A )+ P (B )+ P (C )－P (AB )－P (BC )概率论与数理统计第二版_课后答案_科学出版社_参考答案_
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第 1 章 概率论的基本概念
§1 .1 随机试验及随机事件 1. (1) 一枚硬币连丢 3 次，观察正面 H﹑反面 T 出现的情形. 样本空间是：S=
(2) 一枚硬币连丢 3 次，观察出现正面的次数. 样本空间是：S= 2.(1) 丢一颗骰子. A：出现奇数点，则 A= ；B：数点大于 2，则 B= (2) 一枚硬币连丢 2 次， A：第一次出现正面，则 A= ； B：两次出现同一面，则= ； C：至少有一次出现正面，则 C= ；b5E2RGbCAP ；p1EanqFDPw .DXDiTa9E3d .
§1 .2 随机事件的运算
1. 设 A、B、C 为三事件，用 A、B、C 的运算关系表示下列各事件： (1)A、B、C 都不发生表示为： .(2)A 与 B 都发生,而 C 不发生表示为： .RTCrpUDGiT (3)A 与 B 都不发生,而 C 发生表示为： .(4)A、B、C 中最多二个发生表示为： .5PCzVD7HxA (5)A、B、C 中至少二个发生表示为： .(6)A、B、C 中不多于一个发生表示为： .jLBHrnAILg 2. 设 S ? {x : 0 ? x ? 5}, A ? {x : 1 ? x ? 3}, B ? {x : 2 ?? 4}：则 （1） A ? B ? （4） A ? B = ， （2） AB ? ， （5） A B = ， （3） A B ? 。 ，
xHAQX74J0X
§1 .3 概率的定义和性质
1. 已知 P( A ? B) ? 0.8, P( A) ? 0.5, P( B) ? 0.6 ，则 (1) P( AB) ? , (2)( P( A B) )= 则 P( AB) = , (3) P( A ? B) = . .LDAYtRyKfE
2. 已知 P( A) ? 0.7, P( AB) ? 0.3,
§1 .4 古典概型
1. 某班有 30 个同学,其中 8 个女同学, 随机地选 10 个,求:(1)正好有 2 个女同学的概率, (2)最多有 2 个女同学的概率,(3) 至少有 2 个女同学的概率. 2. 将 3 个不同的球随机地投入到 4 个盒子中,求有三个盒子各一球的概率.
§1 .5 条件概率与乘法公式
1．丢甲、乙两颗均匀的骰子，已知点数之和为 7, 则其中一颗为 1 的概率是 2. 已知 P( A) ? 1 / 4, P( B | A) ? 1 / 3, P( A | B) ? 1 / 2, 则 P( A ? B) ? 。 。
§1 .6 全概率公式
1.
有 10 个签，其中 2 个“中” ，第一人随机地抽一个签，不放回，第二人再随机地抽一个签，说明两人 抽“中‘的概率相同。Zzz6ZB2Ltk 1 / 19《概率论与数理统计》浙江大学第四版课后习题答案
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