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概率论与数理统计作业及解答

第一次作业

★1. 甲? 乙? 丙三门炮各向同一目标发射一枚炮弹? 设事件A ? B ? C 分别表示甲? 乙? 丙击中目标? 则三门炮最多有一门炮击中目标如何表示. 事件E ?{事件,,A B C 最多有一个发生},则E 的表示为

;E ABC ABC ABC ABC =+++或;AB AC BC =U U 或;AB AC BC =U U

或;AB ACBC =或().ABC ABC ABC ABC =-++

(和A B +即并A B U ,当,A B 互斥即AB φ=时?A B U 常记为A B +?) 2. 设M 件产品中含m 件次品? 计算从中任取两件至少有一件次品的概率.

1M m

M C C --或1122

(21)(1)m M m m M

C C C m M m M M C -+--=- ★3. 从8双不同尺码鞋子中随机取6只? 计算以下事件的概率.

A ?{8只鞋子均不成双},

B ?{恰有2只鞋子成双},

C ?{恰有4只鞋子成双}.

61682616()32()0.2238,143C C P A C ===1414

8726

16()80

()0.5594,143C C C P B C === 22128626

16()30

()0.2098.143

C C C P C C === ★4. 设某批产品共50件? 其中有5件次品? 现从中任取3件? 求? (1)其中无次品的概率? (2)其中恰有一件次品的概率?

(1)34535014190.724.1960C C == (2)21

455350990.2526.392

C C C == 5. 从1～9九个数字中? 任取3个排成一个三位数? 求?

(1)所得三位数为偶数的概率? (2)所得三位数为奇数的概率?

(1){P 三位数为偶数}{P =尾数为偶数4

},9=

(2){P 三位数为奇数}{P =尾数为奇数5

},9

或{P 三位数为奇数}1{P =-三位数为偶数45

}1.99

=-=

6. 某办公室10名员工编号从1到10?任选3人记录其号码?求?(1)最小号码为5的概率?(2)最大号码为5的概率?

记事件A ?{最小号码为5}, B ?{最大号码为5}.

(1) 253101();12C P A C ==(2) 2

43101

().20

C P B C ==

7. 袋中有红、黄、白色球各一个?每次从袋中任取一球?记下颜色后放回?共取球三次? 求下列事件的概率:A ={全红}?B ={颜色全同}?C ={颜色全不同}?D ={颜色不全

同}?E ={无黄色球}?F ={无红色且无黄色球}?G ={全红或全黄}.

311(),327P A ==1()3(),9P B P A ==33333!2(),339A P C ===8

()1(),9

P D P B =-=

3328(),327P E ==311(),327P F ==2

()2().27

P G P A ==

☆.某班n 个男生m 个女生(m ?n ?1)随机排成一列? 计算任意两女生均不相邻的概率.

☆.在[0? 1]线段上任取两点将线段截成三段? 计算三段可组成三角形的概率.

第二次作业

1. 设A ? B 为随机事件? P (A )?? P (B )?? (|)0.85P B A =? 求?(1)(|)P A B ? (2)()P A B ∪? (1) ()()

0.85(|),()0.850.080.068,()10.92

P AB P AB P B A P AB P A ==

==?=-

()()()()()()P AB P A P AB P A P B P AB =-=-+0.920.930.0680.058,=-+=

()0.058

(|)0.83.()10.93

P AB P A B P B =

==-

(2)()()()()P A B P A P B P AB =+-U 0.920.930.8620.988.=+-=

2. 投两颗骰子?已知两颗骰子点数之和为7?求其中有一颗为1点的概率.

记事件A ?{(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1)}, B ?{(1,6),(6,1)}. 21(|).63

P B A ==

★.在1—2000中任取一整数? 求取到的整数既不能被5除尽又不能被7除尽的概率? 记事件A ?{能被5除尽}, B ?{能被7除尽}.

4001(),20005P A =

=取整2000285,7??

=????

28557(),2000400P B ==200057,57??

=?????

57(),2000P AB = ()()1()1()()()P AB P A B P A B P A P B P AB ==-=--+U U

15757

10.686.54002000

=--+=

3. 由长期统计资料得知? 某一地区在4月份下雨(记作事件A )的概率为4/15? 刮风(用B 表示)的概率为7/15? 既刮风又下雨的概率为1/10? 求P (A |B )、P (B |A )、P (A ?B )?

()1/103(|),()7/1514P AB P A B P B ===()1/103

(|),()4/158

P AB P B A P A ===

()()()()P A B P A P B P AB =+-U 47119

.15151030

=+-=

4? 设某光学仪器厂制造的透镜第一次落下时摔破的概率是1/2?若第一次落下未摔破?第二次落下时摔破的概率是7/10?若前二次落下未摔破?第三次落下时摔破的概率是

9/10?试求落下三次而未摔破的概率．

记事件i A ={第i 次落下时摔破}?1,2,3.i =

1231213121793()()(|)(|)111.21010200P A A A P A P A A P A A A ???

???==---= ???????????

5? 设在n 张彩票中有一张奖券?有3个人参加抽奖?分别求出第一、二、三个人摸到奖券概率．

记事件i A ={第i 个人摸到奖券}?1,2,3.i =

由古典概率直接得1231

()()().P A P A P A n ===

或212121111

()()()(|),1n P A P A A P A P A A n n n

-====-

31231213121211

()()()(|)(|).12n n P A P A A A P A P A A P A A A n n n n

--====--

或第一个人中奖概率为11

(),P A n

前两人中奖概率为12122()()(),P A A P A P A n +=+=解得21

(),P A n

前三人中奖概率为1231233()()()(),P A A A P A P A P A n ++=++=解得31

().P A n

6? 甲、乙两人射击? 甲击中的概率为0?8? 乙击中的概率为0?7? 两人同时射击? 假定中靶与否是独立的?求(1)两人都中靶的概率? (2)甲中乙不中的概率? (3)甲不中乙中的概率?

记事件A ={甲中靶}?B ={乙中靶}.

(1) ()()()0.70.70.56,P AB P A P B ==?= (2) ()()()0.80.560.24,P AB P A P AB =-=-= (3) ()()()0.70.560.14.P AB P B P AB =-=-=

★7? 袋中有a 个红球? b 个黑球? 有放回从袋中摸球? 计算以下事件的概率? (1)A ?{在n 次摸球中有k 次摸到红球}? (2)B ?{第k 次首次摸到红球}?

(3)C ?{第r 次摸到红球时恰好摸了k 次球}?

(1) ();()

k n k

k k n

a b a b P A C C a b a b a b --????

== ? ?

+++????

(2) 1

();()k k k

b a ab P B a b a b a b --??

== ?

+++??

(3) 1111

().()

k r

r k r

r r k k k

a b a b P C C C

a b a b a b ------????== ? ?+++????

8?一射手对一目标独立地射击4次? 已知他至少命中一次的概率为80

.81

求该射手射击一次命中目标的概率?

设射击一次命中目标的概率为,1.p q p =-4801121,,1.818133

q q p q =-

===-= 9? 设某种高射炮命中目标的概率为? 问至少需要多少门此种高射炮进行射击才能以的概率命中目标?

(10.6)10.99,n -<-0.40.01,n <由50.40.01024,=60.40.01,<得 6.n ≥ ☆.证明一般加法(容斥)公式

()()()()(1)().n

n n n i i i i j i

j k

i i i i j

i j k

P A P A P A A P A A A P A -===<<<=-+

++-∑∑∑U L

证明只需证分块111,,k k n k i i i i i i A A A A A A +?L L L 只计算1次概率．(1,,n i i L 是1,,n L 的一个排列?1,2,,.k n =L )分块概率重数为

1,,k i i A A L 中任取1个-任取2个1(1)k -++-L 任取k 个?即

121(1)1k k k k k C C C --++-=?L

121(1)(11)0.k k k k k k C C C -+++-=-=L

将,U I 互换可得对偶加法(容斥)公式

()()()()(1)().n

n n i i i i j i

k i i i i j

i j k

P A P A P A A P A A

A P A -===<<<=-+

++-∑∑∑I

U U U L U

☆.证明若A ? B 独立? A ? C 独立? 则A ? B ∪C 独立的充要条件是A ? BC 独立.

证明

(())()()()()P A B C P AB AC P AB P AC P ABC ==+-U U

()()()()()P A P B P A P C P ABC =+- 充分性:?

(())()()()()(),P A B C P A P B P A P C P ABC =+-U 代入()()()P ABC P A P BC = ()(()()())P A P B P C P BC =+-()(),P A P B C =U 即,A B C U 独立. 必要性:?

(())()()P A B C P A P B C =U U ()(()()())P A P B P C P BC =+-

()()()()()()P A P B P A P C P A P BC =+-()()()()()P A P B P A P C P ABC =+- ()()(),P ABC P A P BC =即,A BC 独立.

☆.证明：若三个事件A 、B 、C 独立，则A ∪B 、AB 及A －B 都与C 独立．证明因为

[()]()()()()

()()()()()()()

[()()()()]()()()

P A B C P AC BC P AC P BC P ABC P A P C P B P C P A P B P C P A P B P A P B P C P A B P C ==+-=+-=+-=U U U

[()]()()()()[()()]()()()P AB C P ABC P A P B P C P A P B P C P AB P C ==== [()]()()()()()()()()

[()()]()()()P A B C P AC B P AC P ABC P A P C P A P B P C P A P AB P C P A B P C -=-=-=-=-=-

所以A ∪B 、AB 及A －B 都与C 独立. 第三次作业

1? 在做一道有4个答案的选择题时? 如果学生不知道问题的正确答案时就作随机猜测?

设他知道问题的正确答案的概率为p ? 分别就p ?和p ?两种情形求下列事件概率? (1)学生答对该选择题? (2)已知学生答对了选择题?求学生确实知道正确答案的概率? 记事件A ={知道问题正确答案}?B ={答对选择题}. (1) 由全概率公式得()()(|)()(|)P B P A P B A P A P B A =+113,444

p p

p -=+=+ 当0.6p =时?13130.67

()0.7,444410p P B ?=

+=+== 当0.3p =时?13130.319

()0.475.444440

p P B ?=+=+==

(2) 由贝叶斯公式得()4(|),13()1344

P AB p p

P A B p P B p ===++

当0.6p =时?440.66

(|),13130.67p P A B p ?=

==++? 当0.3p =时?440.312

(|).13130.319

p P A B p ?=

==++? 2? 某单位同时装有两种报警系统A 与B ? 当报警系统A 单独使用时? 其有效的概率为? 当报警系统B 单独使用时? 其有效的概率为.在报警系统A 有效的条件下? 报警系统B 有效的概率为.计算以下概率? (1)两种报警系统都有效的概率? (2)在报警系统B 有效的条件下? 报警系统A 有效的概率? (3)两种报警系统都失灵的概率.

()0.7,()0.8,(|)0.84.P A P B P B A === (1) ()()(|)0.70.840.588,P AB P A P B A ==?=

(2) ()0.588

(|)0.735,()0.8

P AB P A B P B =

== (3) ()()1()1()()()P AB P A B P A B P A P B P AB ==-=--+U U

10.70.80.5880.088.=--+=

☆.为防止意外? 在矿内同时设有两种报警系统A 与B ? 每种系统单独使用时? 其有效的概率系统A 为0? 92? 系统B 为? 在A 失灵的条件下? B 有效的概率为?? 求: (1)发生意外时? 两个报警系统至少有一个有效的概率? (2) B 失灵的条件下? A 有效的概率?

3? 设有甲、乙两袋? 甲袋中有n 只白球? m 只红球? 乙袋中有N 只白球? M 只红球? 从甲袋中任取一球放入乙袋? 在从乙袋中任取一球? 问取到白球的概率是多少? 记事件A ={从甲袋中取到白球}?B ={从乙袋中取到白球}. 由全概率公式得

()()(|)()(|)P B P A P B A P A P B A =+

111n N m N

n m N M n m N M +=

++++++().()(1)

n N n m n m N M ++=+++

☆.设有五个袋子? 其中两个袋子? 每袋有2个白球? 3个黑球? 另外两个袋子? 每袋有1个白球? 4个黑球? 还有一个袋子有4个白球? 1个黑球? (1)从五个袋子中任挑一袋? 并

从这袋中任取一球? 求此球为白球的概率? (2)从不同的三个袋中任挑一袋? 并由其中任取一球? 结果是白球? 问这球分别由三个不同的袋子中取出的概率各是多少？

★4? 发报台分别以概率0?6和0?4发出信号 “·” 及 “?”? 由于通信系统受到于扰? 当发出信号 “·” 时? 收报台分别以概率0?8及0?2收到信息 “·” 及 “?”? 又当发出信号 “?” 时? 收报台分别以概率0?9及0?l 收到信号 “?” 及 “·”? 求: (1)收报台收到 “·”的概率?(2)收报台收到“?”的概率?(3)当收报台收到 “·” 时? 发报台确系发出信号 “·” 的概率?(4)收到 “?” 时? 确系发出 “?” 的概率?

记事件B ={收到信号 “·”}?1A ={发出信号 “·”}?2A ={发出信号“?”}. (1) )|()()|()()(2211A B P A P A B P A P B P +=;52.01.04.0)2.01(6.0=?+-?= (2) ()1()10.520.48;P B P B =-=-=

(3) 1111()()(|)(|)()()P A B P A P B A P A B P B P B ==0.60.812

0.923;0.5213?=== (4)2222()()(|)(|)()()

P A B P A P B A P A B P B P B =

0.40.93

0.75.0.484?=== 5? 对以往数据分析结果表明? 当机器调整良好时? 产品合格率为90%? 而机器发生某

一故障时? 产品合格率为30%? 每天早上机器开动时? 机器调整良好的概率为75%? (1)求机器产品合格率?

(2)已知某日早上第一件产品是合格品? 求机器调整良好的概率? 记事件B ={产品合格}?A ={机器调整良好}. (1) 由全概率公式得

()()(|)()(|)P B P A P B A P A P B A =+0.750.90.250.30.75,=?+?=

(2) 由贝叶斯公式得()()(|)(|)()()P AB P A P B A P A B P B P B =

=0.750.9

0.9.0.75

?== ☆.系统(A)? (B)? (C)图如下? 系统(A)? (B)由4个元件组成? 系统(C)由5个元件组成? 每

个元件的可靠性为p ? 即元件正常工作的概率为p ? 试求整个系统的可靠性.

(A) (B) (C) 记事件A ={元件5正常}?B ={系统正常}. (A) 222(|)(1(1)(1))(44),P B A p p p p p =---=-+ (B) 2222(|)1(1)(1)(2),P B A p p p p =---=- (C) 由全概率公式得

()()(|)()(|)P B P A P B A P A P B A =+

2222(44)(1)(2)p p p p p p p =?-++-- 23452252.p p p p =+-+

第四次作业

1? 在15个同型零件中有2个次品? 从中任取3个? 以X 表示取出的次品的个数? 求X 的分布律.

2213

(),0,1,2.k k C C P X k k C -===

☆.经销一批水果? ? 第二天售出的概率是? 每公斤获利5元? 第三天售出的概率是? 每公斤亏损3元? 求经销这批水果每公斤赢利X 的概率分布律和分布函数?

0,3,

(3)(3)0.1,35,()(5)(3)(5)0.10.40.5,58,(8)1,8.x F P X x F x F P X P X x F x <-??-==-=-≤

2? 抛掷一枚不均匀的硬币? 每次出现正面的概率为2/3? 连续抛掷8次? 以X 表示出

现正面的次数? 求X 的分布律.

(8,2/3),X B n p ==:8821(),0,1,,8.33k k

k P X k C k -????

=== ? ?????

3? 一射击运动员的击中靶心的命中率为? 以X 表示他首次击中靶心时累计已射击的次数? 写出X 的分布律? 并计算X 取偶数的概率?

(0.35),X G p =:11()0.350.65,1,2.k k P X k pq k --===?=L

()+()=1,()()=,P X P X P X P X q ??

奇偶偶奇解得0.6513()=

0.394.110.6533

q P X q ==++B 偶 4? 一商业大厅里装有4个同类型的银行刷卡机? 调查表明在任一时刻每个刷卡机使用的概率为?求在同一时刻?

(1)恰有2个刷卡机被使用的概率?(2)至少有3个刷卡机被使用的概率? (3)至多有3个刷卡机被使用的概率?(4)至少有一个刷卡机被使用的概率? 在同一时刻刷卡机被使用的个数(4,0.1).X B n p ==:

(1) 2

224

(2)0.10.90.00486,P X C ==??= (2) 3

344

(3)(3)(4)0.10.90.10.0037,P X P X P X C ≥==+==??+= (3) 4(3)1(4)10.10.9999,P X P X ≤=-==-=

(4)4(1)1(0)10.910.65610.3439.P X P X ≥=-==-=-=

5? 某汽车从起点驶出时有40名乘客? 设沿途共有4个停靠站? 且该车只下不上? 每个

乘客在每个站下车的概率相等? 并且相互独立? 试求? (1)全在终点站下车的概率? (2)至少有2个乘客在终点站下车的概率? (3)该车驶过2个停靠站后乘客人数降为20的概率? 记事件A ={任一乘客在终点站下车}?乘客在终点站下车人数(40,1/4).X B n p ==:

(1) 40

231(40)8.271810,4P X -??

===? ???

(2) 40

140313433(2)1(0)(1)1144434P X P X P X C ??????≥=-=-==--?=-? ? ? ???

????

10.0001340880.999865912.=-=

(3) 记事件B ={任一乘客在后两站下车}?乘客在后两站下车人数(40,1/2).Y B n p ==:

2020

4040

4011(20)0.1268.222C P Y C ????

==== ? ?????

(精确值)

应用斯特林公式!,n

n n e ?

204040

11(20)222C P X C ????

=== ? ?????

240

40!(20!)2=

22040

40202e e ?

?????????

0.1262.=B

其中 1.7724538509.π==

参?贝努利分布的正态近似?

6? 已知瓷器在运输过程中受损的概率是? 有2000件瓷器运到? 求? (1)恰有2个受损的概率? (2)小于2个受损的概率? (3)多于2个受损的概率? (4)至少有1个受损的概率? 受损瓷器件数(2000,0.002),X B n p ==:近似为泊松分布(4).P n p λ=?=

(1) 24

41480.146525,2!P e e --=== (2) 4424150.0915782,1!P e e --??

=+== ???

(3) 4

31211130.761897,P P P e

-=--=-= (4) 4410.981684.P e -=-=

7? 某产品表面上疵点的个数X 服从参数为的泊松分布? 规定表面上疵点的个数不超过

2个为合格品? 求产品的合格品率?

产品合格品率2 1.2 1.2

1.2 1.21

2.920.879487.1!2!P e e --??=+=== ??

? ★8? 设随机变量X 的分布律是

求?X 的分布函数? 以及概率(36),(1),(5),(||5).P X P X P X P X <≤>≤≤ 随机变量X 的分布函数为

0,3,

(3)(3)0.2,35,()(5)(3)(5)0.20.50.7,58,(8)1,8.

x F P X x F x F P X P X x F x <-??-==-=-≤

(36)(5)0.5,P X P X <≤===

(1)(5)(8)0.50.30.8,P X P X P X >==+==+=

(5)(||5)(5)(3)(5)0.20.50.7,P X P X F P X P X ≤=≤===-+==+=

第五次作业

1? 学生完成一道作业的时间X 是一个随机变量(单位? 小时)? 其密度函数是

2,00.5

()0,kx x x f x ?+≤≤=??

其他

试求? (1)系数k ? (2)X 的分布函数? (3)在15分钟内完成一道作业的概率? (4)在10到20分

钟之间完成一道作业的概率? (1) 0.5

0.52320

111(0.5),21,32248k

k F kx xdx x x k ??==+=+=+= ????

(2) 23200,0

1()()217,00.5,2(0.5)1,0.5.

x x F x P X x x xdx x x x F x

=≤=+=+≤

=≥???

(3) 32

11119()2170.140625,442464x F P X x x xdx ??????

=≤=+=+== ? ? ????????

(4) 3

2316111111129217.6336424108

P X F F x xdx ??????????

≤≤=-=+=+= ? ? ? ? ????????????

2? 设连续型随机变量X 服从区间[?a ? a ](a ?0)上的均匀分布? 且已知概率1(1)3

P X >=? 求? (1)常数a ? (2)概率1

()3

P X

(1) 1111(1),3,223a

a P X dx a a a ->====?

(2) 1

3311115

()3.36639

P X dx -??<==+= ????

3? 设某元件的寿命X 服从参数为? 的指数分布? 且已知概率P (X ?50)?e ?4? 试求?(1)参数? 的值? (2)概率P (25?X ?100) ?

补分布()()|,0.x x x

x x S x P X x e dx e e

x θθθθ+∞

--+∞->==-=>?@

(1) 504502

(50)(50),0.08,25

x S P X e dx e e θθθθ+∞---=>=====?

(2) 由()(),,0,rx

r S rx e S x r x θ-==>取50,x =依次令1

,2,2

r =得

12282

(25)(25)(50),(100)(100)(50)S P X S e S P X S e --=>===>==0.0003354563,=

其中 2.7182818284.e B

28(25100)(25)(100)P X P X P X e e --<<=>->=- 0.135334650.00033545630.1349991937.=-=

4? 某种型号灯泡的使用寿命X (小时)服从参数为

800

的指数分布? 求? (1)任取1只灯泡使用时间超过1200小时的概率? (2)任取3只灯泡各使用时间都超过1200小时的概率? (1) 1

31200800

(1200)0.2231301602,P X e

>===

1.6487212707001.= (2) 93

(1200)0.0111089965.P X e

->==

5? 设X ~N (0? 1)? 求? P (X ?0?61)? P (?2?62?X ?1?25)? P (X ?1?34)? P (|X |?2?13)? (1) (0.61)(0.61)0.72907,P X <=Φ=

(2) (2.62 1.25)(1.25)(2.62)(1.25)(2.62)1P X -<<=Φ-Φ-=Φ+Φ-

0.894359956010.88995,=+-=

(3) ( 1.34)1(1.34)10.909880.09012,P X >=-Φ=-= (4)(|| 2.13)22(2.13)220.983410.03318.P X >=-Φ=-?=

6? 飞机从甲地飞到乙地的飞行时间X ~N (4?

)? 设飞机上午10? 10从甲地起飞? 求? (1)飞机下午2? 30以后到达乙地的概率? (2)飞机下午2? 10以前到达乙地的概率? (3)飞机在下午1? 40至2? 20之间到达乙地的概率?

(1) 131331/34111(1)10.841340.15866,331/3P X P X -??????

>=-≤=-Φ=-Φ=-= ? ? ???????

(2) (4)(0)0.5,P X <=Φ=

(3) 72525/647/24261/31/3P X --??????

<<=Φ-Φ ? ? ???????

13122????

=Φ+Φ- ? ?????0.691460.9331910.62465.=+-=

★7? 设某校高三女学生的身高X ~N (162? 25)? 求? (1)从中任取1个女学生? 求其身高超

过165的概率? (2)从中任取1个女学生? 求其身高与162的差的绝对值小于5的概率? (3)从中任取6个女学生? 求其中至少有2个身高超过165的概率?

(1) 162165162(165)0.61(0.6)10.72580.2742,55X P X P --??

>=>==-Φ=-=

???

(2) 162(|162|5)12(1)120.8413410.6827,5X P X P ?-?

-<=<=Φ-=?-= ???

(3) 记事件A ={任一女生身高超过165}? ()(165)0.2742,p P A P X ==>= 随机变量Y :贝努利分布(6,0.2742),B n p ==

56(2)1(0)(1)1(1)(1)0.52257.P Y P Y P Y p C p p ≥=-=-==----=

第六次作业

★1.设随机变量X 的分布律为

(1)求Y ?|X |的分布律? (2)求Y ?X 2?X 的分布律? (1)

(2)

★.定理X 密度为()X f x ,()y g x =严格单调,反函数()x x y =导数连续,则()Y g X =是连续型变量,密度为

(())|()|,()(),

()0,X

Y f x y x y g x y g x f y αβ'=<<=?=??

极小值极大值其它. 证明 1)若()0,x x y ''=>{}{()()}{},Y y g X g x X x ≤=≤=≤

()()(()())()(),Y X F y P Y y P g X g x P X x F x =≤=≤=≤= 两边对y 求导,

()(())(),.Y X f y f x y x y y αβ'=<<

2)若()0,x x y ''=<{}{()()}{},Y y g X g x X x ≤=≤=≥

()()(()())()1(),Y X F y P Y y P g X g x P X x F x =≤=≤=≥=- 两边对y 求导,

()(())(),.Y X f y f x y x y y αβ'=-<<

因此总有()(())|()|,.Y X f y f x y x y y αβ'=<< 或证明

()(),()0,

()()(()())()1(),()0,

X Y X P X x F x g x F y P Y y P g X g x P X x F x g x '≤=>?=≤=≤=?'≥=-

两边对y 求导,

(),()(),

X Y X dF x dx

dx dy

f y dF x dx dx dy ???=??-??

或两边微分

()(),

()()()(),X X Y Y X X

dF x f x dx dF y f y dy dF x f x dx =?==?-=-?

(),()(),X Y X dx f x dy f y dx

f x dy ??=?-??

(())|()|,.X f x y x y y αβ'=<<

2? 设随机变量X 的密度函数是f X (x )? 求下列随机变量函数的密度函数? (1)Y ?tan X ? (2)1

Y X

? (3)Y ?|X |? (1) 反函数()arctan ,x y y ='2

1(),1x y y =

+由连续型随机变量函数的密度公式得 '21()(())|()|(arctan ).1Y X X

f y f x y x y f y y ==

+ 或反函数支()arctan ,i x y i y i π=+为整数，'2

1(),1i x y y =

+ '21()(())|()|(arctan ).1Y X i i

X i i f y f x y x y f i y y π+∞

+∞

=-∞

=++∑

∑

(2) 1,X Y =反函数1,y x y ='211()()().Y X y y X f y f x x f y y

(3) ()()(||)()()()Y X X F y P Y y P X y P y X y F y F y =≤=≤=-≤≤=--? 两边对y 求导得Y 的密度函数为()()(),0.Y X X f y f y f y y =+->

★3? 设随机变量X ~U [?2? 2]? 求Y ?4X 2?1的密度函数?

2()()(41)(115,Y F y P Y y P X y P X y =≤=-≤=≤=-≤≤

两边对y 求导得随机变量Y 的密度为

()115.Y f y y =

-≤≤ 或解

反函数支12()()x y x y ==

'112211()(())|()|(())|()|2(())()115.Y X X X f y f x y x y f x y x y f x y x y y =+==

-≤≤

★4? 设随机变量X 服从参数为1的指数分布? 求Y ?X 2的密度函数(Weibull 分布)? 当0y ≤时, 2Y X =的分布()0Y F y =,当0y >时

2()()()(Y X F y P Y y P X y P X F =≤=≤=≤= 两边对y 求导得

()

Y X

f y f'

()

f y

或

反函数

()()0.

Y X y y

f y f x x y

==>

★5?设随机变量X~N(0? 1)?求(1)Y?e X的密度函数? (2)Y?X2的密度函数(Gamma分布)?

(1) 当0

y≤时, e X

Y=的分布()0

F y=,当0

y>时,

()()(e)(ln)(ln),

F y P Y y P y P X y y

=≤=≤=≤=Φ

因而Y的密度为

''1

()(ln)(ln)(ln)(ln),

f y y y y y

=Φ=

{}2(ln),0,

()

f y

或反函数ln,

X Y

=ln,

x y

='1

()()(ln)

Y y y

f y x x y

={}2(ln),0.

=-> (2)当0

y≤时,()0

F y=;当0

Y>时

()()()((

Y X X

F y P Y y P X y P X F F

=≤=≤=≤=-?

两边对y求导得Y

的密度函数为2

,0,

()

f y

或

反函数支

()()

x y x y

''2

1122

()(())|()|(())|()|,0.

Y X X

f y f x y x y f x y x y y

=+=>

6?设随机变量X的密度函数是2

()

0,1

f x x

?≤

?求Y?ln X的概率密度?

反函数,y

x e

()()(),0.

y y y

Y X y y X

f y f x x f e e e y

===>

第七次作业

☆.将8个球随机地丢入编号为1?2?3?4?5的五个盒子中去?设X为落入1号盒的球的个数?Y为落入2号盒的球的个数?试求X和Y的联合分布律?

1?袋中装有标上号码1? 2? 2的3个球?从中任取一个并且不再放回?然后再从袋中任取一球??以X?Y分别记第一、二次取到球上的号码数?求? (1)(X?Y)的联合分布律(设袋中各球被取机会相等)? (2)X?Y的边缘分布律? (3)X与Y是否独立？

(1)(X?Y)的联合分布律为

(1,1)0,

P X Y

===

(1,2)(2,1)(2,2).

P X Y P X Y P X Y

=========

(2) X?Y的分布律相同?

(1),(2).

P X P X

====

(3) X与Y不独立?

2? 设二维连续型变量(,)X Y 的联合分布函数35(1)(1),,0,

(,)0,.

x y e e x y F x y --?-->=??其它

求(,)X Y 联合密度?

(,)(,),f x y F x y x y ?=??3515,,0,(,)0,.x y e x y f x y --?>=??其它

★3? 设二维随机变量(X ? Y )服从D 上的均匀分布? 其中D 是抛物线y ?x 2和x ?y 2所围成

的区域? 试求它的联合密度函数和边缘分布密度函数? 并判断Y X ,是否独立?

分布区域面积2

31232

0211,3

33x S x dx x x ??===-= ????

联合密度2

13,1,

(,)0,.

x y f x y S ?=<

边缘X

的密度为22()),01,X x f x dy x x ==<<

边缘Y

的密度为22()),0 1.Y y

f y dy y y ==<<

(,)()(),X Y f x y f x f y ≠?因此X 与Y 不独立.

或(,)f x y 非零密度分布范围不是定义在矩形区域上,因此X 与Y 不独立.

4. 设二维离散型变量),(Y X 联合分布列是

问,p q 取何值时X 与Y

两行成比例1/151/52,1/53/103q p ===解得12

,.1015p q ==

★5.设(,)X Y 的联合密度为2,11,0,

(,)0,.

y Ax e x y f x y -?-<<>=??其它求?(1)常数A ?(2)概率

(0,1);2P X Y <<>(3)边缘概率密度f X (x )? f Y (y )? (4)X 与Y 是否相互独立？

(1) 2220

()(,),11,y y X f x f x y dy Ax e dy Ax e dy Ax x +∞+∞

+∞

--====-<

2112()1,3X f x dx Ax dx A --==

=??3.2

A = (2) 11

2201113(0,1)(0)(1).22216

e P X Y P X P Y x dx e dy -+∞-<<>=<<>==

?? (3) 23

(),11,2X f x x x =-<<

111221113()(,),0.2

y y

y Y f y f x y dx Ax e dx e x dx e y ------====>???

(4)由23,11,0

()()(,),2

0,y

X Y x e x y f x f y f x y -?-<<>??==???其它

得X 与Y 独立. 或

因为2(,),11,0,y f x y Ax e x y -=-<<>可表示为x 的函数与y 的函数的积且分布在

矩形区域上,所以X 与Y 相互独立.由此得(),0;y Y f y e y -=>2(),11,X f x Ax x =-<<

11211

2()1,3X f x dx Ax dx A --===??3.2

A = 1

122

01113(0,1)(0)(1).22216

y e P X Y P X P Y x dx e dy -+∞-<<>=<<>==??

6. 设X 服从均匀分布(0,0.2),U Y 的密度为55,0,

()0,y Y e y f y -?>=??其它.

且,X Y 独立.求?(1)X 的

密度?(2) (,)X Y 的联合密度? (1)X 的密度为()5,00.2,X f x x =≤≤

(2)(,)X Y 的联合密度为525,00.2,0,

(,)0,y e x y f x y -?≤≤>=??其它.

第八次作业

★1? 设随机变量(X ? Y )的联合分布律是

求函数1?X ?Y ? (2) Z 2?min{X ? Y }? (3) Z 3?max{X ? Y }的分布律?

(1) 11(0)(0),6P Z P X Y =====1111

(1)(0,1)(1,0),362

P Z P X Y P X Y ====+===+=

1111(2)(0,2)(1,1),12126P Z P X Y P X Y ====+===+=11

(3)(1,2).6P Z P X Y =====

(2) 2111(1)(1,1)(1,2),1264P Z P X Y P X Y ====+===+=223

(0)1(1).4

P Z P Z ==-==

(3) 31

(0)(0),6

P Z P X Y =====

31117

(1)(0,1)(1,1)(1,0),312612

P Z P X Y P X Y P X Y ====+==+===++=

3111

(2)(0,2)(1,2).1264

P Z P X Y P X Y ====+===+=

2? 设随机变量(X ? Y )的联合分布律是

求函数Z ?X /Y (/1)(1)(1)0.250.250.5,P Z X Y P X Y P X Y =====+==-=+= (/1)1(/1)0.5.P Z X Y P Z X Y ==-=-===

3? 设X 与Y 相互独立? 概率密度分别为220()0

0,x

X e x f x x -?>=?

≤?0()0

y Y e y f y x -?>=?

≤?

试求Z ?X ?Y 的概率密度?

()(,)()()z

Z X Y f z f x z x dx f x f z x dx =-=-??

222(1),0.

z z

x z x z x z z e e dx e e dx e e z --+----===->??

★4? 设X ~U (0? 1)? Y ~E (1)? 且X 与Y 独立? 求函数Z ?X ?Y 的密度函数?

,01,0,

(,)0,y e x y f x y -?<<>=?

?其它,

当01z <≤时?

()(,)()()z

Z X Y f z f x z x dx f x f z x dx

=-=-??0

z z z x z x

z x e dx e e -+-+-====-?

当1z >时?

()(,)()().z

z x

z x z z Z X Y x f z f x z x dx f x f z x dx e

dx e

e e -+-+--==-=-===-???

因此

11,01,(),1,0,.z z z

Z e z f z e e z ---?-≤≤?=->???

其它

★5? 设随机变量(X ? Y )的概率密度为()

01,0(,)10

x y e x y f x y e -+-??<<<<+∞=?-??其它

(1)求边缘概率密度f X (x )? f Y (y )? (2)求函数U ?max (X , Y )的分布函数? (3)求函数V ?min (X ,

Y )的分布函数?

(1) 1,01,()10,x X e x f x e --?<

=-???

其它.

,0,()0,y

Y e y f y -?>=?

?其它. (2) 11000,0,

1()(),01,111,1x x

x x X X x e e F x f x dx dx x e e x ----≤??-?===<

??.min{,1}1

0,0,1,01x x e x e --≤??=?->?-?. 0,0,

()1,0Y y

y F y e y -≤?=?->?.

(1),01,()()()11,1x U X Y x e x F x F x F x e

e x ---?-<

. min{,1}1

(1)(1),0.1x x e e x e

-----=>- (3) 11

1,0,()1(),01,10,1x X X x e e

S x F x x e x ---≤??-?-=<

min{,1}1

1,0,,01x x e e x e

---≤??

=?->?-?. 1,0,

()1(),0Y Y y y S y F y e y -≤?-=?>?@.

112111

()11,01,()1()()111,1x x x x

V X Y e e e e e e x F x S x S x e e

x ---------?---+-=<

. 1min{,1}11

1,01x x x e e e x e

--------+=>-. 6? 设某种型号的电子管的寿命(以小时计)近似地服从N (160? 202)分布? 随机地选取4只求其中没有一只寿命小于180小时的概率?

随机变量2(160,20),X N :180160(180)(1)0.84134,20P X -??

≤=Φ=Φ= ???

没有一只寿命小于180小时的概率为

444(180)(1(1))(10.84134)0.00063368.P X >=-Φ=-=

第九次作业

★1. 设离散型随机变量X 具有概率分布律

试求? E (X )? E (X 2?5)? E (|X |)?

20.110.210.320.130.10.4,i i i

EX x p ==-?-?+?+?+?=∑

2222222(2)0.1(1)0.210.320.130.1 2.2,i i i

EX x p ==-?+-?+?+?+?=∑

22(5)57.2,E X EX +=+=

||||20.110.210.320.130.1 1.2.i i i

E X x p ==?+?+?+?+?=∑

2. 设随机变量X 的概率密度为0 0,

() 01, 1.

x x f x x x Ae x -?≤?=<≤??>?求? (1)常数A ? (2)X 的数学期望?

(1) 1100111(),2x f x dx xdx Ae dx Ae +∞

+∞

--==+=

,2e A =

(2) 12100114

()2.2323

x e e EX xf x dx x dx xe dx e +∞+∞--==+=+?=???

★3. 设球的直径D 在[a ? b ]上均匀分布?试求? (1)球的表面积的数学期望(表面积2D π)?

(2)球的体积的数学期望(体积316

D π)?

(1) 22

22()();3b

a x E D ED dx a a

b b b a π

πππ===++-? (2) 333

22()().66

24b a x E D ED dx a b a b b a ππππ??===++ ?-??? ★4. 设二维离散型随机变量(X ? Y )的联合分布律为

求E (X )? E (Y )? E (XY )?

2(0.10.050.050.1)2(0.10.150.050.1)i i i

EX x p ==-?++++?+++∑g

20.320.350.1,=-?+?=

1(0.10.050.1)2(0.050.15)j j j

EY y p ==?+++?+∑g

3(0.050.10.05)4(0.10.20.05) 2.65,+?+++?++=

,()i j i j i

E XY x y p =∑∑

2(10.120.0530.0540.01)2(10.120.1530.0540.05)

=-??+?+?+?+??+?+?+? 1.5 1.50.=-+=

★5. 设随机变量X 和Y 独立? 且具有概率密度为2,01,

()0,X x x f x <

1.y Y e y f y y --?>=?≤?

(1)求(25)E X Y +? (2)求2()E X Y ?

(1) 1

2002

()2,3

X EX xf x dx x dx ===??

3(1)1

14()3,3

y Y EY yf y dy ye dy +∞

+∞--===?

或随机变量1Z Y =-:指数分布(3),E 14

1,,33

EZ EY EY =-==

(25)25258.33

E X Y EX EY +=+=?+?=

(2) 1122

3001()2,2X EX x f x dx x dx ===??由X 和Y 独立得22142().233

E X Y EX EY ==?=

第十次作业

1. 设离散型随机变量X 的分布列为

试求? (1) D (X )? (2) D (?3(1) 20.110.210.320.130.10.4,i i i

EX x p ==-?-?+?+?+?=∑

2222222(2)0.1(1)0.210.320.130.1 2.2,i i i

EX x p ==-?+-?+?+?+?=∑

2222.20.4 2.04.DX EX E X =-=-= (2) 2(32)(3)9 2.0418.36.D X DX -+=-=?=

★2. 设随机变量X 具有概率密度为22,02,

()0,Ax x x f x ?+<<=??其他，

试求? (1)常数A ? (2)E (X )? (3) D (X )? (4) D (2X ?3) ?

(1) 22081()(2)4,3f x dx Ax x dx A +∞-∞==+=+??解得9

.8A =-

(2) 22095

()(2).86

EX xf x dx x x x dx +∞-∞==-+=??

(3) 2

2222094()(2),85EX x f x dx x x x dx +∞

-∞==-+=??2

224519

.56180

DX EX E X ??=-=-= ???

(4) 21919

(23)24.18045

D X DX -==?=

★3. 设二维随机变量(,)X Y 联合概率密度为2,01,01,

(,)0,x y x y f x y --<<<

试求? (1),X Y 的协方差和相关系数A ? (2)(21).D X Y -+

(1) 103

()(,)(2),01,2

X f x f x y dy x y dy x x +∞-∞==--=-<

由,x y 的对称性3

(),0 1.2

Y f y y y =-<<

035(),212X EX xf x dx x x dx EY +∞

-∞??

==-== ????

? 12222031(),24X EX x f x dx x x dx EY +∞-∞??

==-== ?????

1511

,412144

DX EX E X DY ??=-=-== ???

001

()(,)(2),6

E XY xyf x y dydx xy x y dydx +∞

+∞

-∞

==--=??

? 因此

151

(,)(),612144

Cov X Y E XY EXEY ??=-=-=- ???

,1.11X Y ρ==-

(2) 由随机变量和的方差公式()2(,)D X Y DX DX Cov X Y +=++得

(21)(2)()2(2,)

D X Y D X D Y Cov X Y -+=+-+-

2259

2(1)22(1)(,).144

DX DY Cov X Y =+-+??-?=

★4. 设二维随机变量(,)X Y 具有联合分布律

试求,,,EX DX EY (1) X 的分布列为

由变量X 分布对称得0,EX =或10.4500.4510.450,i i i

EX x p ==-?+?+?=g

22222(1)0.4500.4510.450.9,i i i

EX x p ==-?+?+?=∑g 220.9.DX EX E X =-=

(2) Y 的分布列为

(,)X Y 取值关于原点中心对称

由变量Y 分布对称得0,EY =或20.20.250.2520.20,j j i

EY y p ==-?-++?=∑g

222222

(2)0.2(1)0.2510.2520.2 2.1,j j i

EY y p ==-?+-?+?+?=∑g

22 2.1.DY EY E Y =-=

概率论与数理统计期末复习资料(学生)

概率论与数理统计期末复习资料一填空 1．设A ，B 为两个随机事件，若A 发生必然导致B 发生，且P (A )=0.6，则P (AB ) =______． 2．设随机事件A 与B 相互独立，且P (A )=0.7，P (A -B )=0.3，则P (B ) = ______． 3．己知10件产品中有2件次品，从该产品中任意取3件，则恰好取到一件次品的概率等于______． 4．已知某地区的人群吸烟的概率是0.2，不吸烟的概率是0.8，若吸烟使人患某种疾病的概率为0.008，不吸烟使人患该种疾病的概率是0.001，则该人群患这种疾病的概率等于______． 5．设连续型随机变量X 的概率密度为? ??≤≤=,,0; 10,1)(其他x x f 则当10≤≤x 时，X 的分布函数F (x )= ______． 6．设随机变量X ～N (1，32 )，则P{-2≤ X ≤4}=______．(附：)1(Φ=0.8413) 7．设二维随机变量(X ，Y )的分布律为则P {X <1,Y 2≤}=______． 8．设随机变量X 的期望E (X )=2，方差D (X )=4，随机变量Y 的期望E (Y )=4，方差D (Y )=9，又E (XY )=10，则X ，Y 的相关系数ρ= ______． 9．设随机变量X 服从二项分布)3 1,3(B ，则E (X 2 )= ______． 10．中心极限定理证明了在很一般条件下，无论随机变量Xi 服从什么分布，当n →∞时，∑=n i i X 1 的极限分布是 _________________ 11．设总体X ～N (1，4)，x 1，x 2，…，x 10为来自该总体的样本，∑== 10 110 1 i i x x ，则)(x D = ______.· 12．设总体X ～N (0，1)，x 1，x 2，…，x 5为来自该总体的样本，则 ∑=5 1 2i i x 服从自由度为______ 的2χ分布． 15．对假设检验问题H 0：μ=μ0，H 1：μ≠μ0，若给定显著水平0.05，则该检验犯第一类错误的概率为______． 16．设A ，B 为两个随机事件，且A 与B 相互独立，P （A ）=0.3，P （B ）=0.4，则P （A B ）=__________. 17．盒中有4个棋子，其中2个白子，2个黑子，今有1人随机地从盒中取出2个棋子，则这2个棋子颜色相同的概率为_________. 18．设随机变量X 的概率密度?? ???≤≤=,,0; 10 ,A )(2其他x x x f 则常数A=_________.

概率论与数理统计第4章作业题解

第四章作业题解 4.1 甲、乙两台机床生产同一种零件, 在一天内生产的次品数分别记为 X 和 Y . 已知 ,X Y 的概率分布如下表所示: 如果两台机床的产量相同, 问哪台机床生产的零件的质量较好？解： 11.032.023.014.00)(=?+?+?+?=X E 9.0032.025.013.00)(=?+?+?+?=Y E 因为 )()(Y E X E >，即乙机床的平均次品数比甲机床少，所以乙机床生产的零件质量较好。 4.2 袋中有 5 个球, 编号为1,2,3,4,5, 现从中任意抽取3 个球, 用X 表示取出的3 个球中的最大编号，求E (X ). 解：X 的可能取值为3,4,5. 因为1.01011)3(35 == = =C X P ；3.010 3)4(35 2 3== = =C C X P ； 6.010 6)5(3 5 24=== =C C X P 所以 5.46.053.041.03)(=?+?+?=X E 4.3 设随机变量X 的概率分布1 {}(0,1,2,),(1) k k a P X k k a +===+ 其中0a >是个常数，求()E X 解: 1 1 2 1 1 1 ()(1) (1) (1) k k k k k k a a a E X k k a a a -∞ ∞ +-=== = +++∑∑ ，下面求幂级数11 k k k x ∞ -=∑的和函数，易知幂级数的收敛半径为1=R ，于是有 1 2 1 1 1()( ),1,1(1) k k k k x k x x x x x ∞ ∞ -==''=== <--∑ ∑

(完整版)概率论与数理统计课后习题答案

·1· 习题一 1．写出下列随机试验的样本空间及下列事件中的样本点：（1）掷一颗骰子，记录出现的点数. A =‘出现奇数点’；（2）将一颗骰子掷两次，记录出现点数. A =‘两次点数之和为10’，B =‘第一次的点数，比第二次的点数大2’；（3）一个口袋中有5只外形完全相同的球，编号分别为1,2,3,4,5；从中同时取出3只球，观察其结果，A =‘球的最小号码为1’；（4）将,a b 两个球，随机地放入到甲、乙、丙三个盒子中去，观察放球情况，A =‘甲盒中至少有一球’；（5）记录在一段时间内，通过某桥的汽车流量，A =‘通过汽车不足5台’，B =‘通过的汽车不少于3台’。解（1）123456{,,,,,}S e e e e e e =其中i e =‘出现i 点’ 1,2,,6i =L ， 135{,,}A e e e =。（2）{(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6)S = (2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6) (3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6) (4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6) (5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6) (6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)}； {(4,6),(5,5),(6,4)}A =； {(3,1),(4,2),(5,3),(6,4)}B =。（ 3 ） {(1,2,3),(2,3,4),(3,4,5),(1,3,4),(1,4,5),(1,2,4),(1,2,5) S = (2,3,5),(2,4,5),(1,3,5)} {(1,2,3),(1,2,4),(1,2,5),(1,3,4),(1,3,5),(1,4,5)}A = （ 4 ） {(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),(,,), S ab ab ab a b a b b a =--------- (,,),(,,,),(,,)}b a a b b a ---，其中‘-’表示空盒； {(,,),(,,),(,,),(,,),(,,)}A ab a b a b b a b a =------。（5）{0,1,2,},{0,1,2,3,4},{3,4,}S A B ===L L 。 2．设,,A B C 是随机试验E 的三个事件，试用,,A B C 表示下列事件：

《概率论与数理统计》期末考试试题及解答

一、填空题（每小题3分，共15分） 1．设事件B A ,仅发生一个的概率为0.3，且5.0)()(=+B P A P ，则B A ,至少有一个不发生的概率为__________. 答案：0.3 解： 3.0)(=+B A B A P 即 )(25.0)()()()()()(3.0AB P AB P B P AB P A P B A P B A P -=-+-=+= 所以 1.0)(=AB P 9.0)(1)()(=-==AB P AB P B A P . 2．设随机变量X 服从泊松分布，且)2(4)1(==≤X P X P ，则==)3(X P ______. 答案： 161-e 解答： λλ λ λλ---= =+==+==≤e X P e e X P X P X P 2 )2(, )1()0()1(2 由 )2(4)1(==≤X P X P 知 λλλ λλ---=+e e e 22 即 0122 =--λλ 解得 1=λ，故 16 1)3(-= =e X P 3．设随机变量X 在区间)2,0(上服从均匀分布，则随机变量2 X Y =在区间)4,0(内的概率密度为=)(y f Y _________. 答案： 04,()()0,. Y Y X y f y F y f <<'===? 其它解答：设Y 的分布函数为(),Y F y X 的分布函数为()X F x ，密度为()X f x 则 2 ()()())))Y X X F y P Y y P X y y y y y =≤=≤ =≤- - 因为~(0,2)X U ，所以(0X F = ，即()Y X F y F = 故

概率论与数理统计第三章课后习题答案

习题三 1.将一硬币抛掷三次，以X 表示在三次中出现正面的次数，以Y 表示三次中出现正面次数与出现反面次数之差的绝对值.试写出X 和Y 的联合分布律. 【解】X 和Y 的联合分布律如表： 222??222 ??= 2.盒子里装有3只黑球、2只红球、2只白球，在其中任取4只球，以X 表示取到黑球的只数，以Y 表示取到红球的只数.求X 和Y 的联合分布律. 【解】X 和Y 的联合分布律如表： 324 C 35= 32 4 C 35= 322 4 C 35= 11322 4 C C 12C 35=132 4 C 2C 35 = 21322 4 C C 6C 35 = 2324 C 3 C 35 = 3.设二维随机变量（X ，Y ）的联合分布函数为 F （x ，y ）=?????≤ ≤≤≤., 020,20,sin sin 其他ππy x y x 求二维随机变量（X ，Y ）在长方形域? ?? ? ??≤<≤<36,40πππy x 内的概率. 【解】如图πππ {0,}(3.2)463 P X Y <≤ <≤公式 ππππππ(,)(,)(0,)(0,)434636 F F F F --+

ππππππ sin sin sin sin sin0sin sin0sin 434636 2 (31). 4 =--+ =- 题3图说明：也可先求出密度函数，再求概率。 4.设随机变量（X，Y）的分布密度 f（x，y）= ? ? ?> > + - . ,0 ,0 ,0 ,)4 3( 其他 y x A y x e 求：（1）常数A；（2）随机变量（X，Y）的分布函数；（3）P{0≤X<1，0≤Y<2}. 【解】（1）由-(34) 00 (,)d d e d d1 12 x y A f x y x y A x y +∞+∞+∞+∞ + -∞-∞ === ???? 得A=12 （2）由定义，有 (,)(,)d d y x F x y f u v u v -∞-∞ =?? (34)34 00 12e d d(1e)(1e)0,0, 0, 0, y y u v x y u v y x -+-- ??-->> ? == ?? ? ?? ?? 其他 (3) {01,02} P X Y ≤<≤< 12(34)38 00 {01,02} 12e d d(1e)(1e)0.9499. x y P X Y x y -+-- =<≤<≤ ==--≈ ?? 5.设随机变量（X，Y）的概率密度为 f（x，y）= ? ? ?< < < < - - . ,0 ,4 2,2 ), 6( 其他 y x y x k

概率论与数理统计期末总结

第1章概率论的基本概念 1.1 随机试验称满足以下三个条件的试验为随机试验：（1）在相同条件下可以重复进行；（2）每次试验的结果不止一个，并且能事先明确所有的可能结果；（3）进行试验之前，不能确定哪个结果出现。 1.2 样本点样本空间随机事件随机试验的每一个可能结果称为一个样本点，也称为基本事件。样本点的全体所构成的集合称为样本空间，也称为必然事件。必然事件在每次试验中必然发生。随机试验的样本空间不一定唯一。在同一试验中，试验的目的不同时，样本空间往往是不同的。所以应从试验的目的出发确定样本空间。样本空间的子集称为随机事件，简称事件。在每次试验中必不发生的事件为不可能事件。 1.3 事件的关系及运算（1）包含关系 B A ?，即事件A 发生，导致事件B 发生；（2）相等关系 B A =，即B A ?且A B ?；（3）和事件（也叫并事件） B A C ?=，即事件A 与事件B 至少有一个发生；（4）积事件（也叫交事件） B A AB C ?==，即事件A 与事件B 同时发生；（5）差事件 AB A B A C -=-=，即事件A 发生，同时，事件B 不发生；（6）互斥事件（也叫互不相容事件） A 、 B 满足φ=AB ，即事件A 与事件B 不同时发生；（7）对立事件（也叫逆事件） A A -Ω=，即φ=Ω=?A A A A ,。

1.4 事件的运算律（1）交换律 BA AB A B B A =?=?,；（2）结合律 ()()()()C AB BC A C B A C B A =??=??,；（3）分配律 ()()()()()()C A B A BC A AC AB C B A ??=??=?,；（4）幂等律 A AA A A A ==?, ；（5）差化积 B A AB A B A =-=-；（6）反演律（也叫德·摩根律）B A AB B A B A B A B A ?==?=?=?,。 1.5 概率的公理化定义设E 是随机试验，Ω为样本空间，对于Ω中的每一个事件A ，赋予一个实数P （A ），称之为A 的概率，P （A ）满足：（1）1)(0≤≤A P ；（2）1)(=ΩP ；（3）若事件，，，，n A A A 21两两互不相容，则有 () ++++=????)()()(2121n n A P A P A P A A A P 。 1.6 概率的性质（1）0)(=φP ；（2）若事件n A A A ，，， 21两两不互相容，则())()()(2121n n A P A P A P A A A P +++=??? ；（3）)(1)(A P A P -=；（4）)()()(AB P B P A B P -=-。特别地，若B A ?，则)()(),()()(B P A P A P B P A B P ≤-=-；（5）)()()()(AB P B P A P B A P -+=?。

概率论与数理统计第二版_课后答案_科学出版社_参考答案_

习题2参考答案 X 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 P 1/36 1/18 1/12 1/9 5/36 1/6 5/36 1/9 1/12 1/18 1/36 解：根据 1)(0 ==∑∞ =k k X P ，得10 =∑∞ =-k k ae ，即111 1 =---e ae 。故 1-=e a 解：用X 表示甲在两次投篮中所投中的次数，X~B(2, 用Y 表示乙在两次投篮中所投中的次数, Y~B(2, (1)两人投中的次数相同 P{X=Y}= P{X=0,Y=0}+ P{X=1,Y=1} +P{X=2,Y=2}= 1 1 2 2 020********* 2222220.70.30.40.60.70.30.40.60.70.30.40.60.3124C C C C C C ?+?+?=(2)甲比乙投中的次数多 P{X>Y}= P{X=1,Y=0}+ P{X=2,Y=0} +P{X=2,Y=1}= 1 2 2 1 110220022011222222 0.70.30.40.60.70.30.40.60.70.30.40.60.5628C C C C C C ?+?+?=解:（1）P{1≤X ≤3}= P{X=1}+ P{X=2}+ P{X=3}=12321515155 ++= (2)P{

解：（1）P{X=2,4,6,…}=246211112222k +++L =11[1()] 14 41314 k k lim →∞-=- （2）P{X ≥3}=1―P{X<3}=1―P{X=1}- P{X=2}=111 1244 --= 解：设i A 表示第i 次取出的是次品，X 的所有可能取值为0，1，2 12341213124123{0}{}()(|)(|)(|)P X P A A A A P A P A A P A A A P A A A A ====18171615122019181719 ???= 1123412342341234{1}{}{}{}{} 2181716182171618182161817162322019181720191817201918172019181795 P X P A A A A P A A A A P A A A A P A A A A ==+++=???+???+???+???= 12323 {2}1{0}{1}1199595 P X P X P X ==-=-==- -= 解：(1)设X 表示4次独立试验中A 发生的次数，则X~B(4, 34 314044(3)(3)(4)0.40.60.40.60.1792P X P X P X C C ≥==+==+= (2)设Y 表示5次独立试验中A 发生的次数，则Y~B(5, 3 4 5 324150555(3)(3)(4)(5)0.40.60.40.60.40.60.31744P X P X P X P X C C C ≥==+=+==++= （1）X ～P(λ)=P ×3)= P 0 1.51.5{0}0! P X e -=== 1.5 e - （2）X ～P(λ)=P ×4)= P(2) 0122 222{2}1{0}{1}1130!1! P X P X P X e e e ---≥=-=-==--=-

(完整word版)概率论与数理统计期末试卷及答案

一、选择题 (本大题分5小题, 每小题4分, 共20分) (1)设A 、B 互不相容，且P(A)>0，P(B)>0，则必有( ) (A)0)(>A B P (B))()(A P B A P = (C)0)(=B A P (D))()()(B P A P AB P = (2)将3粒黄豆随机地放入4个杯子，则杯子中盛黄豆最多为一粒的概率为（） 3311() () () ()32 8 168 A B C D (3)),4,(~2 μN X ),5,(~2 μN Y }5{},4{21+≥=-≤=μμY P p X P p ，则( ) (A)对任意实数21,p p =μ （B ）对任意实数21,p p <μ (C)只对μ的个别值，才有21p p = （D ）对任意实数μ，都有21p p > (4)设随机变量X 的密度函数为)(x f ，且),()(x f x f =-)(x F 是X 的分布函数，则对任意实数a 成立的是( ) （A ）? - =-a dx x f a F 0 )(1)( （B ）?-= -a dx x f a F 0 )(21)( （C ）)()(a F a F =- （D ）1)(2)(-=-a F a F (5)已知1250,,,X X X L 为来自总体()2,4X N :的样本，记50 11,50i i X X ==∑ 则 50 21 1()4i i X X =-∑服从分布为( ) （A ）4(2, )50N (B) 2 (,4)50 N （C ）()250χ (D) ()249χ 二、填空题 (本大题5小题, 每小题4分, 共20分) (1) 4.0)(=A P ,3.0)(=B P ,4.0)(=?B A P ,则___________)(=B A P (2) 设随机变量X 有密度? ??<<=其它01 0,4)(3x x x f , 则使)()(a X P a X P <=> 的常数a = (3) 设随机变量),2(~2 σN X ，若3.0}40{=<

概率论与数理统计教程习题(第二章随机变量及其分布)(1)答案

概率论与数理统计练习题系专业班姓名学号第六章随机变量数字特征一．填空题 1. 若随机变量X 的概率函数为 1 .03.03.01.02.04 3211p X -，则 =≤)2(X P ；=>)3(X P ；=>=)04(X X P . 2. 若随机变量X 服从泊松分布)3(P ，则=≥)2(X P 8006.0413 ≈--e . 3. 若随机变量X 的概率函数为).4,3,2,1(,2)(=?==-k c k X P k 则=c 15 16 . 4．设A ,B 为两个随机事件，且A 与B 相互独立，P (A )=，P (B )=,则()P AB =____________.（） 5．设事件A 、B 互不相容，已知()0.4=P A ，()0.5=P B ，则()=P AB 6．盒中有4个棋子，其中2个白子，2个黑子，今有1人随机地从盒中取出2个棋子，则这2个棋子颜色相同的概率为____________.（ 13 ） 7．设随机变量X 服从[0,1]上的均匀分布，则()E X ＝____________.（ 12 ） 8．设随机变量X 服从参数为3的泊松分布，则概率密度函数为 __. （k 3 3(=,0,1,2k! P X k e k -==L ）） 9．某种电器使用寿命X （单位：小时）服从参数为1 40000 λ=的指数分布，则此种电器的平均使用寿命为____________小时.（40000） 10在3男生2女生中任取3人，用X 表示取到女生人数，则X 的概率函数为 11.若随机变量X 的概率密度为)(,1)(2 +∞<<-∞+= x x a x f ，则=a π1 ；=>)0(X P ；==)0(X P 0 . 12.若随机变量)1,1(~-U X ，则X 的概率密度为 1 (1,1) ()2 x f x ?∈-? =???其它

概率论与数理统计第四版课后习题答案

概率论与数理统计课后习题答案第七章参数估计 1．[一] 随机地取8只活塞环，测得它们的直径为（以mm 计） 74.001 74.005 74.003 74.001 74.000 73.998 74.006 74.002 求总体均值μ及方差σ2的矩估计，并求样本方差S 2。解：μ，σ2 的矩估计是 61 22 106)(1?,002.74?-=?=-===∑n i i x X n X σμ 621086.6-?=S 。 2．[二]设X 1，X 1，…，X n 为准总体的一个样本。求下列各总体的密度函数或分布律中的未知参数的矩估计量。（1）? ??>=+-其它,0,)()1(c x x c θx f θθ 其中c >0为已知，θ>1，θ为未知参数。（2）?? ???≤≤=-.,01 0,)(1其它x x θx f θ 其中θ>0，θ为未知参数。（5）()p p m x p p x X P x m x m x ,10,,,2,1,0,)1()(<<=-==- 为未知参数。解：（1）X c θc θc c θdx x c θdx x xf X E θθc θ θ =--=-== =+-∞+-∞+∞ -? ? 1 ,11)()(1令，得c X X θ-= （2）,1)()(10 += = = ? ? ∞+∞ -θθdx x θdx x xf X E θ 2 )1(,1 X X θX θθ-==+得令（5）E (X ) = mp 令mp = X ，解得m X p =? 3．[三]求上题中各未知参数的极大似然估计值和估计量。解：（1）似然函数 1211 )()()(+-=== ∏θn θ n n n i i x x x c θ x f θL 0ln ln )(ln ,ln )1(ln )ln()(ln 1 1 =- +=-++=∑∑ ==n i i n i i x c n n θθ d θL d x θc θn θn θL

天津理工大学概率论与数理统计同步练习册标准答案详解

天津理工大学概率论与数理统计同步练习册答案详解

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第一章随机变量习题一 1、写出下列随机试验的样本空间 (1)同时掷三颗骰子，记录三颗骰子点数之和 Ω= { }1843,,,Λ (2)生产产品直到有10件正品为止，记录生产产品的总件数 Ω= { }Λ,,1110 (3)对某工厂出厂的产品进行检验，合格的记上“正品”，不合格的记上“次品”，如连续查出2个次品就停止，或检查4个产品就停止检查，记录检查的结果。用“0”表示次品，用“1”表示正品。 Ω={111111101101011110111010110001100101010010000,,,,,,,,,,,} (4)在单位圆内任意取一点，记录它的坐标 Ω= }|),{(122<+y x y x (5)将一尺长的木棍折成三段，观察各段的长度 Ω=},,,|),,{(1000=++>>>z y x z y x z y x 其中z y x ,,分别表示第一、二、三段的长度 (6 ) .10只产品中有3只次品，每次从其中取一只(取后不放回) ，直到将3只次品都取出，写出抽取次数的基本空间U = “在 ( 6 ) 中，改写有放回抽取” 写出抽取次数的基本空间U = 解: ( 1 ) U = { e3 ， e4 ，… e10 。} 其中 ei 表示 “ 抽取 i 次 ” 的事件。 i = 3、 4、 …、 10 ( 2 ) U = { e3 ， e4 ，… } 其中 ei 表示 “ 抽取 i 次 ” 的事件。 i = 3、 4、 … 2、互不相容事件与对立事件的区别何在？说出下列各对事件的关系 (1)δ<-||a x 与δ≥-||a x 互不相容 (2)20>x 与20≤x 对立事件 (3)20>x 与18x 与22≤x 相容事件 (5)20个产品全是合格品与20个产品中只有一个废品互不相容 (6)20个产品全是合格品与20个产品中至少有一个废品对立事件

概率论与数理统计期末考试卷答案

《概率论与数理统计》试卷A （考试时间：90分钟；考试形式：闭卷）（注意：请将答案填写在答题专用纸上，并注明题号。答案填写在试卷和草稿纸上无效）一、单项选择题(本大题共20小题，每小题2分，共40分) 1、A ，B 为二事件，则A B = U () A 、A B B 、A B C 、A B D 、A B U 2、设A ，B ，C 表示三个事件，则A B C 表示( ) A 、A ， B ， C 中有一个发生 B 、A ，B ，C 中恰有两个发生 C 、A ，B ，C 中不多于一个发生 D 、A ，B ，C 都不发生 3、A 、B 为两事件，若()0.8P A B =U ，()0.2P A =，()0.4P B =，则( )成立 A 、()0.32P A B = B 、()0.2P A B = C 、()0.4P B A -= D 、()0.48P B A = 4、设A ，B 为任二事件，则( ) A 、()()()P A B P A P B -=- B 、()()()P A B P A P B =+U C 、()()()P AB P A P B = D 、()()()P A P AB P AB =+ 5、设事件A 与B 相互独立，则下列说法错误的是() A 、A 与 B 独立 B 、A 与B 独立 C 、()()()P AB P A P B = D 、A 与B 一定互斥 6、设离散型随机变量X 的分布列为其分布函数为()F x ，则(3)F =() A 、0 B 、0.3 C 、0.8 D 、1 7、设离散型随机变量X 的密度函数为4,[0,1] ()0, cx x f x ?∈=??其它，则常数c = () A 、 15 B 、1 4 C 、4 D 、5

概率论与数理统计课后习题答案

习题1.1解答 1. 将一枚均匀的硬币抛两次，事件C B A ,,分别表示“第一次出现正面”，“两次出现同一面”，“至少有一次出现正面”。试写出样本空间及事件C B A ,,中的样本点。解：{=Ω(正，正)，（正，反），（反，正），（反，反）} {=A (正，正)，（正，反）}；{=B （正，正），（反，反）} {=C (正，正)，（正，反），（反，正）} 2. 在掷两颗骰子的试验中，事件D C B A ,,,分别表示“点数之和为偶数”，“点数之和小于5”，“点数相等”，“至少有一颗骰子的点数为3”。试写出样本空间及事件D C B A BC C A B A AB ---+,,,,中的样本点。解：{})6,6(,),2,6(),1,6(,),6,2(,),2,2(),1,2(),6,1(,),2,1(),1,1( =Ω； {})1,3(),2,2(),3,1(),1,1(=AB ； {})1,2(),2,1(),6,6(),4,6(),2,6(,),5,1(),3,1(),1,1( =+B A ； Φ=C A ；{})2,2(),1,1(=BC ； {})4,6(),2,6(),1,5(),6,4(),2,4(),6,2(),4,2(),5,1(=---D C B A 3. 以C B A ,,分别表示某城市居民订阅日报、晚报和体育报。试用C B A ,,表示以下事件：（1）只订阅日报；（2）只订日报和晚报；（3）只订一种报；（4）正好订两种报；（5）至少订阅一种报；（6）不订阅任何报；（7）至多订阅一种报；（8）三种报纸都订阅；（9）三种报纸不全订阅。解：（1）C B A ；（2）C AB ；（3）C B A C B A C B A ++；（4）BC A C B A C AB ++; （5）C B A ++；（6）C B A ；（7）C B A C B A C B A C B A +++或C B C A B A ++ （8）ABC ；（9）C B A ++ 4. 甲、乙、丙三人各射击一次，事件321,,A A A 分别表示甲、乙、丙射中。试说明下列事件所表示的结果：2A , 32A A +, 21A A , 21A A +, 321A A A , 313221A A A A A A ++. 解：甲未击中；乙和丙至少一人击中；甲和乙至多有一人击中或甲和乙至少有一人未击中；甲和乙都未击中；甲和乙击中而丙未击中；甲、乙、丙三人至少有两人击中。 5. 设事件C B A ,,满足Φ≠ABC ，试把下列事件表示为一些互不相容的事件的和：C B A ++，C AB +，AC B -. 解：如图：

《概率论与数理统计》浙江大学第四版课后习题答案

概率论与数理统计习题答案第四版盛骤 (浙江大学) 浙大第四版（高等教育出版社）第一章概率论的基本概念 1.[一] 写出下列随机试验的样本空间（1）记录一个小班一次数学考试的平均分数（充以百分制记分）（[一] 1） ??? ????=n n n n o S 1001, ，n 表小班人数（3）生产产品直到得到10件正品，记录生产产品的总件数。（[一] 2） S={10，11，12，………，n ，………} （4）对某工厂出厂的产品进行检查，合格的盖上“正品”，不合格的盖上“次品”，如连续查出二个次品就停止检查，或检查4个产品就停止检查，记录检查的结果。查出合格品记为“1”，查出次品记为“0”，连续出现两个“0”就停止检查，或查满4次才停止检查。（[一] (3)） S={00，100，0100，0101，1010，0110，1100，0111，1011，1101，1110，1111，} 2.[二] 设A ，B ，C 为三事件，用A ，B ，C 的运算关系表示下列事件。（1）A 发生，B 与C 不发生。表示为： C B A 或A － (AB+AC )或A － (B ∪C ) （2）A ，B 都发生，而C 不发生。表示为： C AB 或AB －ABC 或AB －C

（3）A ，B ，C 中至少有一个发生表示为：A+B+C （4）A ，B ，C 都发生，表示为：ABC （5）A ，B ，C 都不发生，表示为：C B A 或S － (A+B+C)或C B A ?? （6）A ，B ，C 中不多于一个发生，即A ，B ，C 中至少有两个同时不发生相当于C A C B B A ,,中至少有一个发生。故表示为：C A C B B A ++。（7）A ，B ，C 中不多于二个发生。相当于：C B A ,,中至少有一个发生。故表示为：ABC C B A 或++ （8）A ，B ，C 中至少有二个发生。相当于：AB ，BC ，AC 中至少有一个发生。故表示为：AB +BC +AC 6.[三] 设A ，B 是两事件且P (A )=0.6，P (B )=0. 7. 问(1)在什么条件下P (AB )取到最大值，最大值是多少？（2）在什么条件下P (AB )取到最小值，最小值是多少？解：由P (A ) = 0.6，P (B ) = 0.7即知AB ≠φ，（否则AB = φ依互斥事件加法定理， P (A ∪B )=P (A )+P (B )=0.6+0.7=1.3>1与P (A ∪B )≤1矛盾）. 从而由加法定理得 P (AB )=P (A )+P (B )－P (A ∪B ) (*) （1）从0≤P (AB )≤P (A )知，当AB =A ，即A ∩B 时P (AB )取到最大值，最大值为 P (AB )=P (A )=0.6，（2）从(*)式知，当A ∪B=S 时，P (AB )取最小值，最小值为 P (AB )=0.6+0.7－1=0.3 。 7.[四] 设A ，B ，C 是三事件，且0)()(,4 1 )()()(=== ==BC P AB P C P B P A P ，8 1 )(= AC P . 求A ，B ，C 至少有一个发生的概率。解：P (A ，B ，C 至少有一个发生)=P (A +B +C )= P (A )+ P (B )+ P (C )－P (AB )－P (BC )

概率论与数理统计期末考试试题及答案

《概率论与数理统计》期末考试试题(A) 专业、班级: 姓名: 学号: 十二总成绩、单项选择题(每题3分共18分) 1. D 2 . A 3 . B 4 . A 5 . (1) (2)设随机变量X其概率分布为X -1 0 1 2 P 则 P{X 1.5}() (A) (B) 1 (C) 0 (D) 设事件A与A同时发生必导致事件A发生，则下列结论正确的是( (A) P (A) P(A I A2) (B) P(A) P(A i) P(A2) (C) P(A) P(A1 A2) (D) P(A) P(A i) P(A2) 设随机变量X~N( 3, 1), Y ?N(2, 1),且X 与Y相互独 7,贝y z~(). (A) N(0, 5); (B) N(0, 3); (C) N(0, 46); (D) N(0, 54).

(5)设 X1X2, 未知，贝U( n (A) X i2 i 1 ,X n为正态总体N(, )是一个统计量。 (B) (C) X (D) (6)设样本X i,X2, 为H o： (A)U (C) 2)的一个简单随机样本，其中2, ,X n来自总体X ~ N( 0( 0已知) (n 1)S2 2 二、填空题(每空3分 xe x 1. P(B) 2. f(x) 0 (1) 如果P(A) 0, P(B) H1 ： (B) (D) 共15分) 0, P(A B) 设随机变量X的分布函数为 F(x) 则X的密度函数f(x) 3e P(A) n (X i ) i 1 2), 2未知。统计假设则所用统计量为( 3 . 1 4. 则P(BA) 0, 1 (1 x)e x, x 0, 0. n (X i 1 P(X 设总体X和丫相互独立，且都服从N(0,1) , X1,X2, 样本，丫1,丫2, Y9是来自总体丫的样本，则统计量服从分布(要求给出自由度)。t(9 ) 2) )2 X9是来自总体X的 X1 U肩

概率论与数理统计教程(魏宗舒)第七章答案

. 第七章假设检验设总体2(,)N ξμσ~，其中参数μ，2σ为未知，试指出下面统计假设中哪些是简单假设，哪些是复合假设：（1）0:0,1H μσ==；（2）0:0,1H μσ=>；（3）0:3,1H μσ<=；（4）0:03H μ<<；（5）0:0H μ=. 解：（1）是简单假设，其余位复合假设设1225,,,ξξξL 取自正态总体(,9)N μ，其中参数μ未知，x 是子样均值，如对检验问题0010:,:H H μμμμ=≠取检验的拒绝域：12250{(,,,):||}c x x x x c μ=-≥L ，试决定常数c ，使检验的显着性水平为解：因为(,9)N ξμ~，故9 (,)25 N ξμ~ 在0H 成立的条件下， 000 53(||)(||)53 521()0.05 3c P c P c ξμξμ-≥=-≥? ?=-Φ=??? ? 55( )0.975,1.9633 c c Φ==，所以c =。设子样1225,,,ξξξL 取自正态总体2 (,)N μσ，20σ已知，对假设检验0010:,:H H μμμμ=>，取临界域12n 0{(,,,):|}c x x x c ξ=>L ，（1）求此检验犯第一类错误概率为α时，犯第二类错误的概率β，并讨论它们之间的关系；（2）设0μ=，20σ=，α=，n=9，求μ=时不犯第二类错误的概率。解：（1）在0H 成立的条件下，2 00(, )n N σξμ~，此时 00000()P c P ξαξ=≥=

10 αμ-= ，由此式解出010c αμμ-= + 在1H 成立的条件下，2 0(, )n N σξμ~，此时 1010 10 ()(P c P αξβξμ-=<==Φ=Φ=Φ- 由此可知，当α增加时，1αμ-减小，从而β减小；反之当α减少时，则β增加。（2）不犯第二类错误的概率为 10 0.9511(0.650.51(3) 0.2 1(0.605)(0.605)0.7274αβμμ--=-Φ-=-Φ- =-Φ-=Φ= 设一个单一观测的ξ子样取自分布密度函数为()f x 的母体，对()f x 考虑统计假设： 0011101 201 :():()00x x x H f x H f x ≤≤≤≤??==? ??? 其他其他试求一个检验函数使犯第一，二类错误的概率满足2min αβ+=，并求其最小值。解设检验函数为 1()0x c x φ∈?=?? 其他（c 为检验的拒绝域）

概率论与数理统计第四版-课后习题答案_盛骤__浙江大学

完全版概率论与数理统计习题答案第四版盛骤 (浙江大学) 浙大第四版（高等教育出版社）第一章概率论的基本概念 1.[一] 写出下列随机试验的样本空间（1）记录一个小班一次数学考试的平均分数（充以百分制记分）（[一] 1） ??? ????=n n n n o S 1001, ，n 表小班人数（3）生产产品直到得到10件正品，记录生产产品的总件数。（[一] 2） S={10，11，12，………，n ，………} （4）对某工厂出厂的产品进行检查，合格的盖上“正品”，不合格的盖上“次品”，如连续查出二个次品就停止检查，或检查4个产品就停止检查，记录检查的结果。查出合格品记为“1”，查出次品记为“0”，连续出现两个“0”就停止检查，或查满4次才停止检查。（[一] (3)） S={00，100，0100，0101，1010，0110，1100，0111，1011，1101，1110，1111，} 2.[二] 设A ，B ，C 为三事件，用A ，B ，C 的运算关系表示下列事件。（1）A 发生，B 与C 不发生。表示为： C B A 或A － (AB+AC )或A － (B ∪C ) （2）A ，B 都发生，而C 不发生。表示为： C AB 或AB －ABC 或AB －C

《概率论与数理统计》袁荫棠中国人民大学出版社课后答案概率论第一章

概论论与数理统计习题参考解答习题一 8.掷3枚硬币,求出现3个正面的概率. 解:设事件A ={出现3个正面} 基本事件总数n =23,有利于A 的基本事件数n A =1,即A 为一基本事件, 则.125.08 121)(3====n n A P A 9.10把钥匙中有3把能打开门,今任取两把,求能打开门的概率. 解:设事件A ={能打开门},则为不能打开门 A 基本事件总数,有利于的基本事件数,210C n =A 27C n A =467.0157910212167)(21027==××?××==C C A P 因此,.533.0467.01(1)(=?=?=A P A P 10.一部四卷的文集随便放在书架上,问恰好各卷自左向右或自右向左的卷号为1,2,3,4的概率是多少?解:设A ={能打开门},基本事件总数,2412344=×××==P n 有利于A 的基本事件数为,2=A n 因此,.0833.012 1)(===n n A P A 11.100个产品中有3个次品,任取5个,求其次品数分别为0,1,2,3的概率. 解:设A i 为取到i 个次品,i =0,1,2,3, 基本事件总数,有利于A i 的基本事件数为5100C n =3 ,2,1,0,5973==?i C C n i i i 则w w w .k h d a w .c o m 课后答案网

00006.098 33512196979697989910054321)(006.0983359532195969739697989910054321)(138.098 33209495432194959697396979899100543213)(856.033 4920314719969798991009394959697)(5100297335100 39723225100 49711510059700=××==××?××××××××====××= ×××××?××××××××====×××=×××××××?××××××××=×===××××=××××××××===C C n n A P C C C n n A P C C n n A P C C n n A P 12.N 个产品中有N 1个次品,从中任取n 个(1≤n ≤N 1≤N ),求其中有k (k ≤n )个次品的概率.解:设A k 为有k 个次品的概率,k =0,1,2,…,n ,基本事件总数,有利于事件A k 的基本事件数,k =0,1,2,…,n ,n N C m =k n N N k N k C C m ??=11因此,n k C C C m m A P n N k n N N k N k k ,,1,0,)(11?===??13.一个袋内有5个红球,3个白球,2个黑球,计算任取3个球恰为一红,一白,一黑的概率.解:设A 为任取三个球恰为一红一白一黑的事件, 则基本事件总数,有利于A 的基本事件数为, 310C n =121315C C C n A =则25.04 12358910321)(310121315==×××××××===C C C C n n A P A 14.两封信随机地投入四个邮筒,求前两个邮筒内没有信的概率以及第一个邮筒内只有一封信的概率.解:设A 为前两个邮筒没有信的事件,B 为第一个邮筒内只有一封信的事件,则基本事件总数,1644=×=n 有利于A 的基本事件数,422=×=A n 有利于B 的基本事件数, 632=×=B n 则25.041164)(====n n A P A .375.083166)(====n n B P B w w w .k h d a w .c o m 课后答案网

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