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空间直角坐标系中点的坐标

第二章解析几何初步

第3.2节空间直角坐标系中点的坐标

1. 在空间直角坐标系中, 点)3,2,1(P 关于x 轴对称的点的坐标为（）

A ．(-1,2,3)

B ．(1,-2,-3)

C ．(-1, -2, 3)

D ．(-1 ,2, -3)

2．在空间直角坐标系中, 点)1,0,1(A 与点)1,1,2(-B 之间的距离为（）

A ．6

B ． 6

C ．3

D ． 2

3．在空间直角坐标系中, 点)5,4,3(P 关于yoz 平面对称的点的坐标为____________.

4．在空间直角坐标系中,点)2,3,1(-P 在xoz 平面上的射影为'P ，'P 则关于原点的对称点P /的坐标为_____________.

5．点)3,4,1(-P 与点)5,2,3(-Q 的中点坐标是______________.

6．在长方体1111D C B A ABCD -中，若)3,0,5(),0,4,5(),0,0,5(),0,0,0(1A B A D ，则对角线1AC 的长为______________.

7．以)3,4,2(),9,1,4(),6,1,10(C B A -为顶点的三角形的面积为______________.

8．已知点),,21,1(x x x A -- 点),2,1(x x B -, 则A 与B 两点间距离的最小值为____________.

9．已知点)11,2,1(-A ，)3,2,4(B ， )15,,(y x C 三点共线，那么y x ,的值分别是______________.

10. 在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 为正方形，且边长为a 2，棱PD ⊥底面ABCD ，b PD 2=，取各侧棱PD PC PB PA ,,,的中点H G F E ,,,，试建立空间直角坐标系，并写出点H G F E ,,,的坐标．

参考答案：

1.命题意图：本题主要考察关于各坐标轴对称的两点，其坐标分量的关系。其规律为：

),,(),,(1z y x P z y x P x --????→?轴对称关于

),,(),,(1z y x P z y x P y --????→?轴对称关于

),,(),,(1z y x P z y x P z --????→?轴对称关于

答案：B

2.命题意图：本题主要考察空间两点的距离公式：若),,(),,,(222111z y x B z y x A ，则 212212212)()()(z z y y x x AB -+-+-=

答案：A

3. 命题意图：本题主要考察关于各坐标平面对称的两点，其坐标分量的关系。其规律为：

),,(),,(5z y x P z y x P xoy -??????→?对称关于坐标平面

),,(),,(4z y x P z y x P yoz -??????→?对称关于坐标平面

),,(),,(6z y x P z y x P xoz -??????→?对称关于坐标平面

答案：(-3,4,5)

4.命题意图：本题仍然考察空间中点的对称问题。其规律为：

),,(),,(z y x P z y x P ---????→?‘关于原点对称

)0,,(),,(7y x P z y x P xoy ??????→?上的射影在坐标平面

),,0(),,(8z y P z y x P yoz ??????→?上的射影在坐标平面

),0,(),,(9z x P z y x P xoz ??????→?上的射影在坐标平面

答案：(-1, 0, 2)

5. 命题意图：本题主要考察中点坐标公式：若),,(),,,(222111z y x B z y x A ，则线段AB 的中点坐标为)2

,2,2212121z z y y x x +++（答案：(2, 1 , 1);

6.命题意图：本题主要考察空间中点的坐标及两点间距离公式。

解析：1C 的坐标为），，（340，253452221=++=

AC 或由已知可得该长方体从同一顶点出发的棱长分别为3，4，5. 答案：25 7.命题意图：本题主要是两点间距离公式的应用，可以判断某些图形的特征。解析：由两点间的距离公式得27,7,7===AC BC AB , 于是2

22,BC AB AC BC AB +==,所以ABC ?是等腰直角三角形。 24921=?=?BC AB S ABC

空间直角坐标系整理

2．3．1 空间直角坐标系一、教材知识解析 1、空间直角坐标系的定义：从空间某一个定点O 引三条互相垂直且有相同单位长度的数轴，这样就建立了空间直角坐标系O-xyz ，点O 叫做坐标原点，x 轴、y 轴和z 轴叫做坐标轴，这三条坐标轴中每两条确定一个坐标平面，分别称为xOy 平面、yOz 平面和xOz 平面。 2、右手直角坐标系及其画法：（1）定义：在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x 轴的正方向，食指指向y 轴的正方向，若中指指向z 轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系。教材上所指的都是右手直角坐标系。（2）画法：将空间直角坐标系画在纸上时，x 轴与y 轴、x 轴与z 轴均成135°，而z 轴垂直于y 轴，y 轴和z 轴的长度单位相同，x 轴上的单位长度为y 轴（或z 轴）的长度的一半，这样，三条轴上的单位长度在直观上大体相等。 3、空间中点的坐标表示：点在对应数轴上的坐标依次为x 、y 、z ，我们把有序实数组（x ， y ，z ）叫做点A 的坐标，记为A （x ，y ，z ）。二、题型解析：题型1、在空间直角坐标系下作点。例1、在空间直角坐标系中，作出M(4,2,5). 解：法一：依据平移的方法，为了作出M(4,2,5)，可以按如下步骤进行：（1）在x 轴上取横坐标为4的点1M ；（2）将1M 在xoy 平面内沿与y 轴平行的方向向右移动2个单位，得到点2M ；（3）将2M 沿与z 轴平行的方向向上移动5个单位，就可以得到点M （如图）。法二：以O 为一个顶点，构造三条棱长分别为4，2，5的长方体，使此长方体在点O 处的三条棱分别在x 轴的正半轴、y 轴的正半轴、z 轴的正半轴上，则长方体与顶点O 相对的顶点即为所求的点M 。法三：在x 轴上找到横坐标为4的点，过此点作与x 垂直的平面α；在y 轴上找到纵坐标为2 的点，过此点作与y 垂直的平面β；在z 轴上找到竖坐标为5的点，过此点作与z 垂直的平面γ；则平面αβγ,,交于一点，此交点即为所求的点M 的位置。【技巧总结】：（1）若要作出点M 000(,,)x y z 的坐标有两个为0，则此点是坐标轴上的点，可直接在坐标轴上作出此点；（2）若要作出点M 000(,,)x y z 的坐标有且只有一个为0，则此点不在坐标轴上，但在某一坐标平面内，可以按照类似于平面直角坐标系中作点的方法作出此点。（3）若要作出点M 000(,,)x y z 的坐标都不为0，则需要按照一定的步骤作出该点，一般有三种方法：①在x 轴上取横坐标为0x 的点1M ；再将1M 在xoy 平面内沿与y 轴平行的方向向左（00y <）或向右（00y >）平移0||y 个单位，得到点2M ；再将2M 沿与z 轴平

(高二数学空间直角坐标系教学教材

(高二数学空间直角坐标系

宁师中学“自主参与学习法”数学学科导学稿（学生版）编号SXBx2-2-3 主编人:余奎审稿人：高二数学组定稿日：协编人：高二数学备课组使用人：课题：2.3.1 空间直角坐标系考纲解读学习内容学习目标高考考点考查题型空间坐标系；空间距离1.明确空间直角坐标系是如何建立；明确空间中的任意一点如何表示； 2 能够在空间直角坐标系中求出点的坐标。 1.空间坐标系 2.空间距离选择，填空题、解答题中分支问题问题1:空间直角坐标系 (1)定义:以空间中两两垂直且相交于一点O的三条直线分别为x轴、y轴、z轴.这时就说建立了空间直角坐标系Oxyz,其中点O叫作坐标,x轴、y轴、z轴叫作坐标轴.通过每两个坐标轴的平面叫作坐标平面,分别称为xOy平面、yOz 平面、zOx平面. (2)画法:在平面上画空间直角坐标系Oxyz时,一般使∠xOy=45°或 135°,∠yOz=90°. (3)坐标:设点M为空间的一个定点,过点M分别作垂直于x轴、y轴和z轴的平面,依次交x轴、y轴和z轴于点P、Q和R.设点P、Q和R在x轴、y轴和z轴上的坐标分别为x、y和z,那么点M就和有序实数组(x,y,z)是一一对应的关系,有序实数组(x,y,z)叫作点M在此空间直角坐标系中的坐标,记作M(x,y,z),其中x叫作点M的横坐标,y叫作点M的纵坐标,z叫作点M的竖坐标. (4)说明:本书建立的坐标系都是右手直角坐标系,即在空间直角坐标系中,让右手拇指指向x轴的正方向,食指指向y轴的正方向,如果中指指向z轴的正方向,则称这个坐标系为右手直角坐标系. 问题2：（1）平面直角坐标系的建立方法，点的坐标的确定过程、表示方法？ (2)．一个点在平面怎么表示？在空间呢？二、课内探究探究一：确定空间内点的坐标例1.如图,在长方体ABCD—A1B1C1D1 中,AD=3,AB=5,AA1=4, 建立适当的直角坐标系,写出此长方体各顶点的坐标. 变式1.如图,在正方体ABCD-A'B'C'D'中,E,F,G分别是BB',D'B',DB的中点,棱长为1,求E,F点的坐标. 探究二：关于一些对称点的坐标求法 (,,) P x y z关于坐标平面xoy对称的点； (,,) P x y z关于坐标平面yoz对称的点； (,,) P x y z关于坐标平面xoz对称的点； (,,) P x y z关于x轴对称的点； (,,) P x y z关于y对轴称的点； (,,) P x y z关于z轴对称的点；三、课后练习 1. 关于空间直角坐标系叙述正确的是（）. A．(,,) P x y z中,, x y z的位置是可以互换的 B．空间直角坐标系中的点与一个三元有序数组是一种一一对应的关系 C．空间直角坐标系中的三条坐标轴把空间分为八个部分 D．某点在不同的空间直角坐标系中的坐标位置可以相同 2. 已知点(3,1,4) A--，则点A关于原点的对称点的坐标为（）. A．(1,3,4) --B．(4,1,3) --C．(3,1,4) -D．(4,1,3) - 3.已知ABC ?的三个顶点坐标分别为(2,3,1),(4,1,2),(6,3,7) A B C -，则ABC ?的重心坐标为 . 4.在空间直角坐标系中，给定点(1,2,3) M-，求它分别关于坐标平面，坐标轴和原点的对称点的坐标. 四、课后反思

空间立体几何建立直角坐标系

空间立体几何建立直角坐标系 1．[2015·浙江]如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠BAC ＝90°，AB ＝ AC ＝2，A 1A ＝4，A 1在底面ABC 的射影为BC 的中点，D 是 B 1C 1的中点。 (1)证明：A 1D ⊥平面A 1BC ； (2)求二面角A 1－BD －B 1的平面角的余弦值。解析：(1)证明：设E 为BC 的中点，连接A 1E ，AE ，DE ，由题意得A 1E ⊥平面ABC ，所以A 1E ⊥AE 。因为AB ＝AC ，所以AE ⊥BC 。故AE ⊥平面A 1BC 。由D ，E 分别为B 1C 1，BC 的中点，得DE ∥B 1B 且DE ＝B 1B ，从而DE ∥A 1A 且DE ＝A 1A ，所以A 1AED 为平行四边形。故A 1D ∥AE 。又因为AE ⊥平面A 1BC ，所以A 1D ⊥平面A 1BC 。 (2)方法一：作A 1F ⊥BD 且A 1F ∩BD ＝F ，连接B 1F 。由AE ＝EB ＝2，∠A 1EA ＝∠A 1EB ＝90°，得A 1B ＝A 1A ＝4。由A 1D ＝B 1D ，A 1B ＝B 1B ，得△A 1DB 与△B 1DB 全等。由A 1F ⊥BD ，得B 1F ⊥BD ，因此∠A 1FB 1为二面角A 1－BD －B 1的平面角。由A 1D ＝2，A 1B ＝4，∠DA 1B ＝90°，得 BD ＝32，A 1F ＝B 1F ＝43 ，由余弦定理得cos ∠A 1FB 1＝－1 8。方法二：以CB 的中点E 为原点，分别以射线EA ，EB 为x ，y 轴的正半轴，建立空间直角坐标系E －xyz ，如图所示。

知识讲解空间直角坐标系基础

空间直角坐标系【学习目标】通过具体情境，感受建立空间直角坐标系的必要性，了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标系刻画点的位置.通过表示特殊长方体(所有棱分别与坐标轴平行)顶点的坐标，探索并得出空间两点间的距离公式. 【要点梳理】要点一、空间直角坐标系 1.空间直角坐标系从空间某一定点O 引三条互相垂直且有相同单位长度的数轴，这样就建立了空间直角坐标系Oxyz ，点O 叫做坐标原点，x 轴、y 轴、z 轴叫做坐标轴，这三条坐标轴中每两条确定一个坐标平面，分别是xOy 平面、yOz 平面、zOx 平面. 2.右手直角坐标系在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x 轴的正方向，食指指向y 轴的正方向，如果中指指向z 轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系. 3.空间点的坐标空间一点A 的坐标可以用有序数组(x ，y ，z)来表示，有序数组(x ，y ，z)叫做点A 的坐标，记作A(x ，y ，z)，其中x 叫做点A 的横坐标，y 叫做点A 的纵坐标，z 叫做点A 的竖坐标. 要点二、空间直角坐标系中点的坐标 1.空间直角坐标系中点的坐标的求法通过该点，作两条轴所确定平面的平行平面，此平面交另一轴于一点，交点在这条轴上的坐标就是已知点相应的一个坐标. 特殊点的坐标：原点()0,0,0；,,x y z 轴上的点的坐标分别为()()(),0,0,0,,0,0,0,x y z ；坐标平面,,xOy yOz xOz 上的点的坐标分别为()()(),,0,0,,,,0,x y y z x z .

2.空间直角坐标系中对称点的坐标在空间直角坐标系中，点(),,P x y z ，则有点P 关于原点的对称点是()1,,P x y z ---；点P 关于横轴(x 轴)的对称点是()2,,P x y z --；点P 关于纵轴(y 轴)的对称点是()3,,P x y z --；点P 关于竖轴(z 轴)的对称点是()4,,P x y z --；点P 关于坐标平面xOy 的对称点是()5,,P x y z -；点P 关于坐标平面yOz 的对称点是()6,,P x y z -；点P 关于坐标平面xOz 的对称点是()7,,P x y z -. 要点三、空间两点间距离公式 1.空间两点间距离公式空间中有两点()()111222,,,,,A x y z B x y z ，则此两点间的距离 ||d AB == 特别地，点(),,A x y z 与原点间的距离公式为OA = 2.空间线段中点坐标空间中有两点()()111222,,,,,A x y z B x y z ，则线段AB 的中点C 的坐标为121212,,222x x y y z z +++?? ???. 【典型例题】类型一：空间坐标系例1．在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是BB 1、D 1B 1的中点，棱长为1，建立空间直角坐标系，求点E 、F 的坐标。【答案】11,0,2E ? ? ???，11,,122F ?? ??? 【解析】法一：如图，以A 为坐标原点，以AB ，AD ，AA 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空

空间直角坐标系练习题含详细答案

空间直角坐标系（11月21日）一、选择题 1、有下列叙述： ①在空间直角坐标系中，在ox轴上的点的坐标一定是（0，b，c）； ②在空间直角坐标系中，在yoz平面上的点的坐标一定是（0，b，c）； ③在空间直角坐标系中，在oz轴上的点的坐标可记作（0，0，c）； ④在空间直角坐标系中，在xoz平面上的点的坐标是（a，0，c）。其中正确的个数是（C ） A、1 B、2 C、3 D、4 2、已知点A（-3，1，4），则点A关于原点的对称点的坐标为（C ） A、（1，-3，-4） B、（-4，1，-3） C、（3，-1，4） D、（4，-1，3） 3、已知点A（-3，1，-4），点A关于x轴的对称点的坐标为（A ） A、（-3，-1，4） B、（-3，-1，-4） C、（3，1，4） D、（3，-1，-4） 4、点（1，1，1）关于z轴的对称点为（A ） A、（-1，-1，1） B、（1，-1，-1） C、（-1，1，-1） D、（-1，-1，-1） 5、点（2，3，4）关于xoz平面的对称点为（C ） A、（2，3，-4） B、（-2，3，4） C、（2，-3，4） D、（-2，-3，4） 6、点P(2,0,3)在空间直角坐标系中的位置是在(C) A．y轴上B．xOy平面上C．xOz平面上D．x轴上 7、以正方体ABCD—A1B1C1D1的棱AB、AD、AA1所在的直线为坐标轴建立空间直角坐标系，且正方体的棱长为一个单位长度，则棱CC1中点坐标为（C ） A、（1 2 ，1，1）B、（1， 1 2 ，1）C、（1，1， 1 2 ）D、（ 1 2 ， 1 2 ，1） 8、点P( 2 2， 3 3，－ 6 6)到原点的距离是(B) A.30 6B．1 C. 33 6 D. 35 6 9、点M(4，－3,5)到x轴的距离为(B) A．4 B.34 C．5 2 D.41 10、在空间直角坐标系中，点P(1，2，3)，过点P作平面xOy的垂线PQ，垂足为Q，则Q的坐标为(D) A．(0，2，0) B．(0，2，3) C．(1,0，3) D．(1，2，0) 11、点M(－2,1,2)在x轴上的射影的坐标为(B) A．(－2,0,2) B．(－2,0,0) C．(0,1,2) D．(－2,1,0) 12、在长方体ABCD－A1B1C1D1中，若D(0,0,0)，A(4,0,0)，B(4,2,0)，A1(4,0,3)，则对角线AC1的长为(B) A．9 B.29 C．5 D．2 6 二、填空题 1、在空间直角坐标系中, 点P的坐标为(1, 3 2，),过点P作yOz平面的垂线PQ, 则垂足Q 的坐标是________________． 2、已知A(x, 5-x, 2x-1)、B（1，x+2，2-x），当|AB|取最小值时x的值为_______________． 3、已知空间三点的坐标为A(1,5,-2)、B（2，4，1）、C（p，3，q+2），若A、B、C三点共线，则p =_________，q=__________． 4、已知点A(-2, 3, 4), 在y轴上求一点B , 使|AB|=7 , 则点B的坐标为________________．

圆的方程及空间直角坐标系(讲义及答案)

X 的方程及空间直角坐标系(讲义) >知识点睛一、圆的方程 1. 圆的标准方程： ______________________ , 圆心： ________, 半径：________. 2. 圆的一般方程：圆心：二、位置关系的判断 (1) 点与圆由两点间的距离公式计算点到圆心的距离"，比较"，r 大小. ① 已知点Vo)与圆的标准方程(x-a}\(y'-b)-=r, 则计算矿二 _________________ ，比较沪，尸大小. ② 已知点P(xo, yo)与圆的一般方程X- + y- +Dx + Ey + F = 0 , 则计算 _____________________ ,与0比较大小. (2) 直线与圆 ① 利用点到直线的距离公式求圆心到直线的距离"，比较 ",r 大小. ② 联立直线与圆方程，得到一元二次方程，根△判断： 'A 0,直线与圆相交 (3)圆与圆利用两点间的距离公式求圆心距d,结合两圆半径和〃的关系判断. 三、常见思考角度 1. 直线与圆位置关系常见考査角度 (1)过定点求圆的切线方程 ① 判断该点与圆的位置关系(若点在圆内，则无切线). ② 根据切线的性质求切线方程. 若点在圆上，则利用切线垂直于过切点的半径求切线方程：若点在圆外，则分别讨论 ___________________ ,设点斜式利用〃二r 建方程求解.[gl

（2）直线与圆相交求弦长结合垂径定理和勾股定理，半径长厂圆心到直线的距离丛弦长/满足关系式：厂2=〃2+（_厂 2 2. 圆与圆位置关系常见考査角度（1）两圆相交求公共弦所在直线方程设圆G ：x2+y2 + DrV + Ej + F| = 0, C2：x2+b+0x + E* + F2 = O,则公共弦所在直线的方程为（0 — D? ）x + （E] — ￡*2） y + F[—尸2 = 0 - （2）两圆相交求公共弦长求出公共弦所在直线方程及其中一圆圆心到公共弦的距离，垂径定理、勾股定理结合求弦长. 四、轨迹方程在平面直角坐标系中，点M 的轨迹方程是指点M 的坐标（X, y ）满足的关系式. 五、空间直角坐标系Ovvz （右手直角坐标系）如图1, 0点叫做坐标原点，牙轴、y 轴、2轴叫做坐标轴.通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为xOy 平面、yOz 平面、zOx 平面. zn 六、空间直角坐标系中点的坐标如图2,过点M 分别作垂直于X 轴，y 轴和Z 轴的平面，依次交X 轴，y 轴和Z 轴于点P, e 和设点P, Q 和R 在牙轴，y 轴和Z 轴上的坐标分别是X, y 和Z,那么点M 对应唯 —确定的有序实数组U ，y,刀. 有序实数组馆）* 201做点M 在此空间直角坐标系中的坐标，记作MS ，y, z ）.其中X 叫做点M 的 __________ , y 叫做点 M 的 __________ , Z 叫做点M 的 __________ . -1 -- B? 1 "Z C' A ' C >1 \ >1 0 X

建立空间直角坐标系-解立体几何题

建立空间直角坐标系，解立体几何高考题立体几何重点、热点：求线段的长度、求点到平面的距离、求直线与平面所成的夹角、求两异面直线的夹角、求二面角、证明平行关系和垂直关系等．常用公式： 1 、求线段的长度： 222z y x AB ++==()()()2 12212212z z y y x x -+-+-= 2、求P 点到平面α的距离： PN = ，（N 为垂足，M 为斜足，为平面α的法向量） 3、求直线l 与平面α所成的角：|||||sin |n PM ?= θ，(l PM ?,α∈M ,为α的法向量) 4、求两异面直线AB 与CD 的夹角：cos = θ 5、求二面角的平面角θ：|||||cos |21n n ?= θ，（ 1n ，2n 为二面角的两个面的法向量） 6、求二面角的平面角θ：S S 射影 = θ cos ，（射影面积法） 7、求法向量：①找；②求：设, 为平面α内的任意两个向量，)1,,(y x =为α的法向量，则由方程组?????=?=?0 n b n a ，可求得法向量．

高中新教材9(B)引入了空间向量坐标运算这一内容，使得空间立体几何的平行﹑垂直﹑角﹑距离等问题避免了传统方法中进行大量繁琐的定性分析，只需建立空间直角坐标系进行定量分析，使问题得到了大大的简化。而用向量坐标运算的关键是建立一个适当的空间直角坐标系。一﹑直接建系。当图形中有互相垂直且相交于一点的三条直线时，可以利用这三条直线直接建系。例1. (2002年全国高考题)如图，正方形ABCD ﹑ABEF 的边长都是1，而且平面ABCD ﹑ABEF 互相垂直。点M 在AC 上移动，点N 在BF 上移动，若CM=BN=a （20<