高中数学统计与概率习题精选

1、（15广东）已知随机变量X 服从二项分布(),B n p ，若()30E X =，()20D X =，则p = .

2.（14湖北）根据如下样本数据

得到的回归方程为

y bx a =+，则（ ）.A.0,0a b >> B.0,0a b >< C.0,0a b <> D.0,0a b <<

3、（14浙江）随机变量ξ的取值为0,1,2，若()1

05

P ξ==

，()1E ξ=，则()D ξ=________.

4、（16新课标1）某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰，机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元。在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：

以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记X 表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，n 表示购买2台机器的同时购买的易损零件数.

(1)求X 的分布列；(2)若要求P(X≤n)≥0.5，确定n 的最小值；(3)以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在n ＝19与n ＝20之中选其一，应选用哪个？

5、（15山东）已知某批零件的长度误差（单位：毫米）服从正态分布()2

0,3N ，从中随机取一件，其长度误差落在区间

（3,6）内的概率为（ ）（附：若随机变量ξ服从正态分布()2

,N

μσ，则，

。）（A ）4.56% （B ）13.59% （C ）27.18% （D ）31.74%

6、（15湖北）设211(,)X

N μσ，2

22(,)Y N μσ，这两个正态分布密度曲线

如图所示．下列结论中正确的是（ ）

A ．21()()P Y P Y μμ≥≥≥

B ．21()()P X P X σσ≤≤≤

C ．对任意正数t ，()()P X t P Y t ≤≥≤

D ．对任意正数t ，()()P X t P Y t ≥≥≥

7、（14新课标1）从某企业的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方

图：（1）求这500件产品质量指标值的样本平均数x 和样本方差

2s （同一组数据用该区间的中点值作代表）；

（2）由频率分布直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z 服从正态分布()2

,N

μδ，其中μ近似为样本平均数x ，2

δ

近似

为样本方差2

s

（i ）利用该正态分布，求()187.8212.2P

Z <<；

（ii ）某用户从该企业购买了100件这种产品，记X

表示这100件产品中质量指标值位于区间

()187.8,212.2的产品件

数.利用（i ）的结果，求EX .12.2≈.若()2,Z

N μδ，则()0.6826P Z μδμδ-<<+=，

()220.9544P Z μδμδ-<<+=.

8、（15湖南）在如图所示的正方形中随机投掷10000个点，则落入阴影部分（曲线C 为正态分布N(0,1)的密度曲线）的点的个数的估计值为（ ）A.2386 B.2718 C.3413 D.4772

9、（15天津）为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加.现有来自甲协会的运动员3名，其中种子选手2名；乙协会的运动员5名，其中种子选手3名.从这8名运动员中随机选择4人参加比赛。

(I)设A 为事件“选出的4人中恰有2名种子选手，且这2名种子选手来自同一个协会”求事件A 发生的概率；(II)设X 为选出的4人中种子选手的人数，求随机变量X 的分布列和数学期望。

10、（15湖南）某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额商品后即可抽奖，每次抽奖都从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中，各随机摸出1个球，在摸出的2个球中，若都是红球，则获一等奖；若只有1个红球，则获二等奖；若没有红球，则不获奖.（1）求顾客抽奖1次能获奖的概率；（2）若某顾客有3次抽奖机会，记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为X ，求X 的分布列和数学期望.

11、（14福建）为回馈顾客，某商场拟通过摸球兑奖的方式对1000位顾客进行奖励，规定：每位顾客从一个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2个球，球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额.（1）若袋中所装的4个球中有1个所标的面值为50元，其余3个均为10元，求：① 顾客所获的奖励额为60元的概率；② 顾客所获的奖励额的分布列及数学期望；（2）商场对奖励总额的预算是60000元，并规定袋中的4个球只能由标有面值10元和50元的两种球组成，或标有面值20元和40元的两种球组成.为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡，请对袋中的4个球的面值给出一个合适的设计，并说明理由.

12、（14湖北）计划在某水库建一座至多安装3台发电机的水电站，过去50年的水文资料显示，水库年入流量X

(年入流

量：一年内上游来水与库区降水之和，单位：亿立方米）都在40以上.其中，不足80的年份有10年，不低于80且不超过120的年份有35年，超过120的年份有5年.将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率，并假设各年的年入流量相互独立.(1)求未来4年中，至多有1年的年入流量超过120的概率；

(1)水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量限制，并有如下关系； 年入流量X 4080X << 40≦X ≦80 120X > 发电机最多可运行台数

1

2

3

若某台发电机运行，则该台年利润为万元；若某台发电机未运行，则该台年亏损万元，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机多少台？

13、（13课标2）经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出1t 该产品获利润500元，未售出的产品，每1t 亏损300元。根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如右图所示。经销商为下一个销售季度购进了130t 该农产品。以x （单位：t ，100≤x ≤150）表示下一个

销售季度内的市场需求量，T （元）表示下一个销售季度内经销该农产品的利润． （1）将T 表示为x 的函数。（2）根据直方图估计利润T 不少于57000元的概率；

（3）在直方图的需求量分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个值，需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率（例如：若x )110,100[∈,则取x=105，且x=105的概率等于需求量落入[100，110]，求T 的数学期望．

14、（12课标）在一组样本数据（x 1，y 1），（x 2，y 2），…，（x n ，y n ）（n≥2，x 1，x 2，…，x n 不全相等）的散点图中，若所有样本点（x i ，y i ）（i=1，2，…，n ）都在直线y=2x+1上，则这组样本数据的样本相关系数为

14、（15新课标1）某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x （单位：千元）对年销售量y （单位：

t ）和年利润z （单位：千元）的影响，对近8年的年宣传费i x 和年销售量

i y （i =1,2，···，8）数据作了初步处理，

得到下面的散点图及一些统计量的值.

x

y

w

8

2

1

()

i

i x x =-∑

8

2

1

()

i

i w w =-∑

81()()i

i

i x x y y =--∑ 8

1

()()i i

i w w y

y =--∑

46.6

563

6.8

289.8 1.6 1469 108.8

表中i i w x =，w

=

1

8

8

1

i

i w

=∑

（Ⅰ）根据散点图判断，y=a +bx 与y =c +d x 哪一个适宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）

（Ⅱ）根据（Ⅰ）的判断结果及表中数据，建立y 关于x 的回归方程；

（Ⅲ）已知这种产品的年利率z 与x 、y 的关系为z =0.2y -x.根据（Ⅱ）的结果回答下列问题： (ⅰ)年宣传费x =49时，年销售量及年利润的预报值是多少？ (ⅱ)年宣传费x 为何值时，年利润的预报值最大？

附：对于一组数据11(,)u v ,22(,)u v ，……，(,)n n u v ,其回归线v

u αβ=+的斜率和截距的最小二乘估计分别为：

1

2

1

()()

=

()

n

i

i

i n

i

i u u v v u u β==---∑∑，=v u αβ-

15、（14新课标2）某地区2007年至2013年农村居民家庭纯收入

y （单位：千元）的数据如下表：

年份 2007 2008 2009 2010 2011

2012 2013

年份代号t 1

2 3 4 5 6 7

人均纯收入

y

2.9

3.3 3.6

4.4 4.8

5.2 5.9

（1）求

y t （2）利用（1）中的回归方程，分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入.

附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：()()

()

1

2

1

n

i

i

i n

i i t t y y b t t ==--=

-∑∑，??a

y bt

=-.

16、(14安徽)某高校共有15000人，其中男生10500人，女生4500人，为调查该校学生每周平均体育运动时间的情况，采用分层抽样的方法，收集300位学生每周平均体育运动时间的样本数据（单位：小时） （1）应收集多少位女生样本数据？

（2）根据这300个样本数据，得到学生每周平均体育运动时间的频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间为：[0，2]，（2，4]，（4，6]，（6，8]，（8，10]，（10，12].估计该校学生每周平均体育运动时间超过4个小时的概率．

（3）在样本数据中，有60位女生的每周平均体育运动时间超过4个小时.请完成每周平均体育运动时间与性别的列联表，并判断是否有95%的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”. P(K 2

≥k 0) 0.10 0.05 0.010 0.005 k 0

2.706

3.841

6.635

7.879

12.（2014 陕西理 19）（本小题满分12分）

在一块耕地上种植一种作物，每季种植成本为1000元，此作物的市场价格和这块地上的产量具有随机性，且互不影响，其具体情况如下表：

（1）设

X 表示在这块地上种植1季此作物的利润，求X

的分布列；

（2）若在这块地上连续3季种植此作物，求这3季中至少有2季的利润不少于2000元的概率. 若()2,Z N μδ，则()0.6826P Z μδμδ-<<+=，()220.9544P Z μδμδ-<<+=.

17.【2015高考新课标2，理18】（本题满分12分） 某公司为了解用户对其产品的满意度，从

A ，

B 两地区分别随机调查了20个用户，得到用户对产品的满意度评分如下：

A 地区：62 73 81 92 95 85 74 64 53 76 78 86 95 66 97 78 88 82 76 89

B 地区：73 83 62 51 91 46 53 73 64 82 93 48 65 81 74 56 54 76 65 79

（Ⅰ）根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图，并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度（不要求计算出具体值，得出结论即可）；

（Ⅱ）根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个等级：

A 地区

B 地区

4 5 6 7 8 9

据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求C的概率．