高中数学高考复习：第五章第3讲 等比数列及其前n项和

第3讲 等比数列及其前n 项和

[学生用书P108]

1．等比数列的有关概念 (1)定义

如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零)，那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q 表示，定义的表达式为a n ＋1

a n

＝q (q ≠0，n ∈N *)． (2)等比中项

如果a 、G 、b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项．即：G 2＝ab ． “a ，G ，b 成等比数列”是“G 2＝ab ”的充分不必要条件． 2．等比数列的有关公式 (1)通项公式：a n ＝a 1q n －

1．

(2)前n 项和公式：S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧na 1

，q ＝1，a 1（1－q n ）1－q ＝a 1－a n q 1－q ，q ≠1.

3．等比数列的性质

已知数列{a n }是等比数列，S n 是其前n 项和．(m ，n ，p ，q ，r ，k ∈N *) (1)若m ＋n ＝p ＋q ＝2r ，则a m ·a n ＝a p ·a q ＝a 2r ； (2)数列a m ，a m ＋k ，a m ＋2k ，a m ＋3k ，…仍是等比数列；

(3)数列S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…仍是等比数列(此时{a n }的公比q ≠－1)．

1．辨明三个易误点

(1)由于等比数列的每一项都可能作分母，故每一项均不为0，因此q 也不能为0，但q 可为正数，也可为负数．

(2)由a n ＋1＝qa n ，q ≠0，并不能立即断言{a n }为等比数列，还要验证a 1≠0.

(3)在运用等比数列的前n 项和公式时，必须注意对q ＝1与q ≠1分类讨论，防止因忽略q ＝1这一特殊情形而导致解题失误．

2．等比数列的三种判定方法

(1)定义法：a n ＋1

a n

＝q (q 是不为零的常数，n ∈N *)⇔{a n }是等比数列．

(2)通项公式法：a n ＝cq n －

1(c 、q 均是不为零的常数，n ∈N *)⇔{a n }是等比数列．

(3)等比中项法：a 2n ＋1＝a n ·a n ＋2(a n ·a n ＋1·a n ＋2≠0，n ∈N *

)⇔{a n }是等比数列．

1．已知{a n }是等比数列，a 2＝2，a 5＝1

4，则公比q ＝( )

A ．－1

2

B ．－2

C ．2

D.12

D [解析] 由通项公式及已知得a 1q ＝2①，a 1q 4＝14②，由②÷①得q 3＝18，解得q ＝1

2.

故选D.

2．(2015·高考全国卷Ⅱ)已知等比数列{a n }满足a 1＝3，a 1＋a 3＋a 5＝21，则a 3＋a 5＋a 7

＝( )

A ．21

B ．42

C ．63

D ．84

B [解析] 因为a 1＝3，a 1＋a 3＋a 5＝21，所以3＋3q 2＋3q 4＝21. 所以1＋q 2＋q 4＝7.解得q 2＝2或q 2＝－3(舍去)． 所以a 3＋a 5＋a 7＝q 2(a 1＋a 3＋a 5)＝2×21＝42.故选B.

3.教材习题改编 设等比数列{a n }的前n 项和为S n .若S 2＝3，S 4＝15，则S 6＝( ) A ．31 B ．32 C ．63

D ．64

C [解析] 由等比数列的性质，得(S 4－S 2)2＝S 2·(S 6－S 4)，即122＝3×(S 6－15)，解得S 6＝63.故选C.

4．在等比数列{a n }中，若a 1·a 5＝16，a 4＝8，则a 6＝________． [解析] 由题意得，a 2·a 4＝a 1·a 5＝16，所以a 2＝2， 所以q 2＝a 4

a 2＝4，所以a 6＝a 4q 2＝32.

[答案] 32

5．(2015·高考全国卷Ⅰ)在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝2a n ，S n 为{a n }的前n 项和．若S n

＝126，则n ＝________．

[解析] 因为a 1＝2，a n ＋1＝2a n ，

所以数列{a n }是首项为2，公比为2的等比数列． 又因为S n ＝126，所以2（1－2n ）

1－2＝126，所以n ＝6.

[答案] 6

等比数列的基本运算(高频考点)[学生用书P109]

等比数列的基本运算是高考的常考内容，题型既有选择题、填空题，也有解答题，难度为中、低档题．

高考对等比数列的基本运算的考查常有以下三个命题角度： (1)求首项a 1、公比q 或项数n ； (2)求通项或特定项； (3)求前n 项和．

[典例引领]

(1)已知S 3＝a 2＋10a 1，a 5＝9，则a 1等于( ) A.1

3 B ．－13

C.19

D ．－19

(2)(2015·高考安徽卷)已知数列{a n }是递增的等比数列，a 1＋a 4＝9，a 2a 3＝8，则数列{a n }的前n 项和等于________．

(3)(2016·高考全国卷丙改编)已知各项都为正数的数列{a n }满足a 1＝1，a 2n －(2a n ＋1－1)a n

－2a n ＋1＝0，则a n ＝________．

【解析】 (1)设等比数列{a n }的公比为q ， 由S 3＝a 2＋10a 1，得a 1＋a 2＋a 3＝a 2＋10a 1， 即a 3＝9a 1，q 2＝9， 又a 5＝a 1q 4＝9，所以a 1＝19

.

(2)设等比数列的公比为q ，则有⎩

⎪⎨⎪⎧a 1＋a 1q 3

＝9，

a 21·q 3＝8，

解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，q ＝2或⎩⎪⎨⎪

⎧a 1＝8，

q ＝1

2

.

又{a n }为递增数列，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，

q ＝2，

所以S n ＝1－2n 1－2

＝2n

－1.

(3)由a 2n －(2a n ＋1－1)a n －2a n ＋1＝0得2a n ＋1(a n ＋1)＝a n (a n ＋1)． 因为{a n }的各项都为正数，所以a n ＋1a n ＝12

.

故{a n }是首项为1，公比为12的等比数列，因此a n ＝1

2n －1.

【答案】 (1)C (2)2n －1 (3)1

2

n －1

[题点通关]

角度一 求首项a 1、公比q 或项数n

1．设等比数列{a n }的各项均为正数，其前n 项和为S n ，若a 1＝1，a 3＝4，S k ＝63，则k ＝( )

A ．4

B ．5

C ．6

D ．7

C [解析] 设等比数列{a n }的公比为q ，由已知a 1＝1，a 3＝4，得q 2＝a 3

a 1

＝4.又{a n }

的各项均为正数，

所以q ＝2.而S k ＝1－2k

1－2＝63，

所以2k －1＝63， 解得k ＝6.

角度二 求通项或特定项

2．设S n 为等比数列{a n }的前n 项和．若a 1＝1，且3S 1，2S 2，S 3成等差数列，则a n ＝

________．

[解析] 因为3S 1，2S 2，S 3成等差数列，所以4S 2＝3S 1＋S 3，即4(a 1＋a 2)＝3a 1＋a 1＋a 2

＋a 3.化简，得a 3a 2

＝3，即等比数列{a n }的公比q ＝3，故a n ＝1×3n －1＝3n －

1.

[答案] 3n －

1

角度三 求前n 项和

3．(2016·高考全国卷乙)已知{a n }是公差为3的等差数列，数列{b n }满足b 1＝1，b 2＝1

3，

a n

b n ＋1＋b n ＋1＝nb n .

(1)求{a n }的通项公式； (2)求{b n }的前n 项和．

[解] (1)由已知，a 1b 2＋b 2＝b 1，b 1＝1，b 2＝1

3，得a 1＝2.

所以数列{a n }是首项为2，公差为3的等差数列， 通项公式为a n ＝3n －1.

(2)由(1)和a n b n ＋1＋b n ＋1＝nb n ，得b n ＋1＝b n 3，因此数列{b n }是首项为1，公比为1

3的等比数

列．记{b n }的前n 项和为S n ，则

S n ＝

1－⎝⎛⎭

⎫

13n

1－

13

＝32－1

2×3n －1.

等比数列的判定与证明[学生用书P109]

[典例引领]

(2015·高考广东卷节选)设数列{a n }的前n 项和为S n ，n ∈N *.已知a 1＝1，a 2＝3

2

，

a 3＝5

4

，且当n ≥2时，4S n ＋2＋5S n ＝8S n ＋1＋S n －1.

(1)求a 4的值；

(2)证明：⎩

⎨⎧

⎭

⎬⎫a n ＋1－12a n 为等比数列．

【解】 (1)当n ＝2时，4S 4＋5S 2＝8S 3＋S 1，即4⎝⎛⎭⎫1＋32＋54＋a 4＋5⎝⎛⎭⎫1＋32＝8⎝⎛⎭⎫1＋32＋54＋1，

解得a 4＝7

8

.

(2)证明：由4S n ＋2＋5S n ＝8S n ＋1＋S n －1(n ≥2)，得4S n ＋2－4S n ＋1＋S n －S n －1＝4S n ＋1－

4S n (n ≥2)，即4a n ＋2＋a n ＝4a n ＋1(n ≥2)．

因为 4a 3＋a 1＝4×5

4＋1＝6＝4a 2，

所以4a n ＋2＋a n ＝4a n ＋1，

所以a n ＋2－12a n ＋1

a n ＋1－12a n

＝4a n ＋2－2a n ＋14a n ＋1－2a n ＝4a n ＋1－a n －2a n ＋1

4a n ＋1－2a n

＝

2a n ＋1－a n 2（2a n ＋1－a n ）＝1

2

，

所以数列⎩⎨⎧⎭

⎬⎫a n ＋1－12a n 是以a 2－12a 1＝1为首项，1

2为公比的等比数列．

在本例条件下，求数列{a n }的通项公式． [解] 由本例(2)知，a n ＋1－12a n ＝⎝⎛⎭⎫12n －1， 即

a n ＋1⎝⎛⎭

⎫

12n ＋1－a n

⎝⎛⎭⎫12n ＝4. 所以数列⎩

⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a n ⎝⎛⎭⎫12n 是以a 11

2

＝2为首项，4为公差的等差数列，

所以

a n

⎝⎛⎭

⎫12n ＝2＋4(n －1)＝4n －2， 即a n ＝(2n －1)·⎝⎛⎭

⎫12n －1

，

所以数列{a n }的通项公式为a n ＝(2n －1)·⎝⎛⎭

⎫12n －1

.

数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，S n ＋1＝4a n ＋2(n ∈N *)，设b n ＝a n ＋1－

2a n .

(1)求证：{b n }是等比数列；

(2)设c n ＝a n

3n －1

，求证：{c n }是等比数列．

[证明] (1)a n ＋2＝S n ＋2－S n ＋1＝4a n ＋1＋2－4a n －2＝4a n ＋1－4a n .

b n ＋1b n ＝a n ＋2－2a n ＋1a n ＋1－2a n ＝（4a n ＋1－4a n ）－2a n ＋1

a n ＋1－2a n ＝

2a n ＋1－4a n

a n ＋1－2a n

＝2.

因为S 2＝a 1＋a 2＝4a 1＋2，所以a 2＝5. 所以b 1＝a 2－2a 1＝3.

所以数列{b n }是公比为2，首项为3的等比数列． (2)由(1)知b n ＝3·2n －

1＝a n ＋1－2a n ，

所以a n ＋12n －1－a n

2

n －2＝3.

所以数列⎩

⎨⎧⎭

⎬⎫

a n 2n －2是等差数列，公差为3，首项为2.

所以a n

2n －2＝2＋(n －1)×3＝3n －1.

所以a n ＝(3n －1)·2n －

2，所以c n ＝2n －

2.

所以c n ＋1c n ＝2n －

12n －2

＝2.

所以数列{c n }为等比数列．

等比数列的性质[学生用书P110]

[典例引领]

(1)(2017·湖北武汉调研)若等比数列{a n }的各项均为正数，a 1＋2a 2＝3，a 23＝4a 2a 6，

则a 4＝( )

A.3

8 B.245 C.316

D.916

(2)已知各项都是正数的等比数列{a n }，S n 为其前n 项和，且S 10＝10，S 30＝70，那么S 40

＝( )

A ．150

B ．－200

C ．150或－200

D ．400或－50

【解析】 (1)由题意，得a 23＝4a 2a 6＝4a 2

4，所以a 3＝2a 4.

所以q ＝12，又a 1＋2a 2＝a 1＋2a 1q ＝3，所以a 1＝32，a 4＝a 1q 3＝316

.

(2)依题意，数列S 10，S 20－S 10，S 30－S 20，S 40－S 30成等比数列，因此有(S 20－S 10)2＝S 10(S 30

－S 20)，即(S 20－10)2＝10(70－S 20)，故S 20＝－20或S 20＝30；又S 20＞0，因此，S 20＝30，S 20

－S 10＝20，S 40＝70＋80＝150.

【答案】 (1)C

(2)A

等比数列常见性质的应用

等比数列性质的应用可以分为三类：(1)通项公式的变形；(2)等比中项的变形；(3)前n 项和公式的变形．根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口．

[通关练习]

1．(2017·昆明三中、玉溪一中统考)已知等比数列{a n }中，a 1＝1，q ＝2，则T n ＝1a 1a 2＋

1

a 2a 3

＋…＋

1

a n a n ＋1

的结果可化为( ) A ．1－1

4n

B ．1－1

2n

C.2

3⎝⎛⎭

⎫1－14n D.2

3⎝

⎛⎭⎫1－12n C [解析] 依题意，a n ＝2n －

1，1a n a n ＋1＝12n －1·2n ＝122n －1＝12×14n －1， 所以T n ＝12⎣⎡⎦

⎤1－⎝⎛

⎭⎫14n 1－14

＝23⎣⎡⎦

⎤

1－⎝⎛⎭⎫14n ，故选C. 2．(2017·长春调研)在正项等比数列{a n }中，已知a 1a 2a 3＝4，a 4a 5a 6＝12，a n －1a n a n ＋1＝324，则n ＝________．

[解析] 设数列{a n }的公比为q ，由a 1a 2a 3＝4＝a 31q 3与a 4a 5a 6＝12＝a 31q 12，可得q 9＝3，a n －1a n a n ＋1＝a 31q

3n －

3

＝324，因此q 3n －

6＝81＝34＝q 36，所以n ＝14. [答案

] 14

[学生用书

P111]

——分类讨论思想在求数列前n 项和中的应用

(2017·常州模拟)如果有穷数列a 1，a 2，a 3，…，a m (m 为正整数)满足条件a 1＝a m ，

a 2＝a m －1，…，a m ＝a 1，即a i ＝a m －i ＋1(i ＝1，2，…，m )，我们称其为“对称数列”．例如，

数列1，2，3，4，3，2，1与数列a ，b ，c ，c ，b ，a 都是“对称数列”．

(1)设{b n }是8项的“对称数列”，其中b 1，b 2，b 3，b 4是等差数列，且b 1＝1，b 5＝13.依次写出{b n }的每一项；

(2)设{c n }是2m ＋1项的“对称数列”，其中c m ＋1，c m ＋2，…，c 2m ＋1是首项为a ，公比为q 的等比数列，求{c n }的各项和S n .

【解】 (1)设数列b 1，b 2，b 3，b 4的公差为d ，b 4＝b 1＋3d ＝1＋3d . 又因为b 4＝b 5＝13，解得d ＝4，

所以数列{b n }为1，5，9，13，13，9，5，1.

(2)S n ＝c 1＋c 2＋…＋c 2m ＋1＝2(c m ＋1＋c m ＋2＋…＋c 2m ＋1)－c m ＋1＝2a (1＋q ＋q 2＋…＋q m )－a ＝2a ·1－q m ＋

1

1－q

－a (q ≠1)．

而当q ＝1时，S n ＝(2m ＋1)a . 所以S n ＝⎩

⎪⎨⎪⎧（2m ＋1）a ，q ＝1，2a ·1－q m ＋

1

1－q －a ，q ≠1.

(1)本题是新定义型数列问题，在求等比数列{c n }的前n 项和时利用了分

类讨论思想．

(2)分类讨论思想在数列中应用较多，常见的分类讨论有： ①已知S n 与a n 的关系，要分n ＝1，n ≥2两种情况； ②项数的奇、偶数讨论；

③等比数列的单调性的判断与a 1，q 的取值的讨论．

在等差数列{a n }中，已知公差d ＝2，a 2是a 1与a 4的等比中项．

(1)求数列{a n }的通项公式；

(2)设b n ＝a n （n ＋1）2

，记T n ＝－b 1＋b 2－b 3＋b 4－…＋(－1)n b n ，求T n .

[解] (1)由题意知(a 1＋d )2＝a 1(a 1＋3d )， 即(a 1＋2)2＝a 1(a 1＋6)， 解得a 1＝2，

所以数列{a n }的通项公式为a n ＝2n . (2)由题意知b n ＝a n （n ＋1）2

＝n (n ＋1)，

所以T n ＝－1×2＋2×3－3×4＋…＋(－1)n n ·(n ＋1)．

因为b n ＋1－b n ＝2(n ＋1)， 可得当n 为偶数时，

T n ＝(－b 1＋b 2)＋(－b 3＋b 4)＋…＋(－b n －1＋b n ) ＝4＋8＋12＋…＋2n ＝n

2（4＋2n ）2＝n （n ＋2）

2

，

当n 为奇数时，T n ＝T n －1＋(－b n )＝（n －1）（n ＋1）2－n (n ＋1)＝－（n ＋1）2

2.

所以T n ＝⎩

⎨⎧－（n ＋1）2

2

，n 为奇数，

n （n ＋2）

2

，n 为偶数.

[学生用书P351(独立成册

)]

1．(2017·太原一模)在单调递减的等比数列{a n }中，若a 3＝1，a 2＋a 4＝5

2，则a 1＝( )

A ．2

B ．4

C. 2

D ．2 2

B [解析] 在等比数列{a n }中，a 2a 4＝a 23＝1，又a 2＋a 4＝5

2，数列{a n }为递减数列，所以a 2＝2，a 4＝12，所以q 2＝a 4a 2＝14

，

所以q ＝12，a 1＝a 2

q

＝4.

2．(2017·宜春中学与新余一中联考)等比数列{a n }中，a 3＝9，前3项和为S 3＝3⎠⎛0

3x 2d x ，

则公比q 的值是( )

A ．1

B ．－12

C ．1或－1

2

D ．－1或－1

2

C [解析] 因为⎠⎛0

3x 2d x ＝13x 3⎪⎪⎪

3

＝9，所以S 3＝3×9＝27，

所以⎩

⎪⎨⎪⎧a 3＝a 1q 2

＝9S 3＝a 1＋a 1q ＋a 1q 2＝27，解得q ＝1或q ＝－12. 3．(2017·安徽安庆二模)数列{a n }满足：a n ＋1＝λa n －1(n ∈N *，λ∈R ，且λ≠0)，若数列

{a n －1}是等比数列，则λ的值等于( )

A ．1

B ．－1 C.12

D ．2

D [解析] 由a n ＋1＝λa n －1，得a n ＋1－1＝λa n －2＝λ⎝⎛⎭⎫a n －2

λ.由于数列{a n －1}是等比数列，所以2

λ

＝1，得λ＝2.

4．(2017·海口市调研测试)设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，a 2－8a 5＝0，则S 8

S 4

的值为

( )

A.12

B.1716 C ．2

D ．17

B [解析] 设{a n }的公比为q ，依题意得a 5a 2＝18＝q 3，因此q ＝1

2.注意到a 5＋a 6＋a 7＋a 8

＝q 4(a 1＋a 2＋a 3＋a 4)，即有S 8－S 4＝q 4S 4，因此S 8＝(q 4＋1)S 4，S 8S 4＝q 4＋1＝17

16

，选B.

5．(2017·莱芜模拟)已知数列{a n }，{b n }满足a 1＝b 1＝3，a n ＋1－a n ＝b n ＋1

b n

＝3，n ∈N *，若

数列{c n }满足c n ＝ban ，则c 2 017＝( )

A ．92 016

B ．272 016

C ．92 017

D ．272 017

D [解析] 由已知条件知{a n }是首项为3，公差为3的等差数列，数列{b n }是首项为3，公比为3的等比数列，

所以a n ＝3n ，b n ＝3n . 又c n ＝ban ＝33n ， 所以c 2 017＝33

×2 017

＝272 017.

6．(2017·广州市五校联考)已知数列{a n }的首项a 1＝2，数列{b n }为等比数列，且b n ＝a n ＋1

a n

，若b 10b 11＝2，则a 21＝( )

A ．29

B ．210

C ．211

D ．212

C [解析] 由b n ＝a n ＋1a n ，且a 1＝2，得b 1＝a 2a 1＝a 22，a 2＝2b 1；b 2＝a 3a 2

，a 3＝a 2b 2＝2b 1b 2；

b 3＝a 4

a 3

，a 4＝a 3b 3＝2b 1b 2b 3；…；a n ＝2b 1b 2b 3…b n －1，所以a 21＝2b 1b 2b 3…b 20，又{b n }为等比

数列，所以a 21＝2(b 1b 20)(b 2b 19)…(b 10b 11)＝2(b 10b 11)10＝211.

7．由正数组成的等比数列{a n }满足a 3a 8＝32，则log 2a 1＋log 2a 2＋…＋log 2a 10＝________． [解析] log 2a 1＋log 2a 2＋…＋log 2a 10 ＝log 2(a 1a 10)·(a 2a 9)·…·(a 5a 6) ＝log 2(a 3a 8)5＝log 2225＝25. [答案] 25

8．已知等比数列{a n }为递增数列，且a 25＝a 10，2(a n ＋a n ＋2)＝5a n ＋1，则数列{a n }的通项公式a n ＝________．

[解析] 设数列{a n }的公比为q ，由a 25＝a 10，得(a 1q 4)2＝a 1·q 9，即a 1＝q .

又由2(a n ＋a n ＋2)＝5a n ＋1，得2q 2－5q ＋2＝0，解得q ＝2⎝⎛⎭⎫q ＝1

2舍去，所以a n ＝a 1·q n －1＝2n .

[答案] 2n

9．已知等比数列{a n }的首项为1，项数是偶数，所有的奇数项之和为85，所有的偶数项之和为170，则这个等比数列的项数为________．

[解析] 由题意得a 1＋a 3＋…＝85，a 2＋a 4＋…＝170， 所以数列{a n }的公比q ＝2，

由数列{a n }的前n 项和公式S n ＝a 1（1－q n ）1－q ，得85＋170＝1－2n

1－2，解得n ＝8.

[答案] 8

10．(2016·高考浙江卷)设数列{a n }的前n 项和为S n .若S 2＝4，a n ＋1＝2S n ＋1，n ∈N *，则a 1＝________，S 5＝________．

[解析] 由于⎩⎪⎨⎪

⎧a 1＋a 2＝4a 2＝2a 1

＋1，解得a 1＝1.由a n ＋1＝S n ＋1－S n ＝2S n ＋1，得S n ＋1＝3S n ＋1，所

以S n ＋1＋12＝3⎝⎛⎭⎫S n ＋12，所以{S n ＋12}是以32为首项，3为公比的等比数列，所以S n ＋12＝32

×3n －1

，即S n ＝3n －1

2，所以S 5＝121.

[答案] 1 121

11．已知等差数列{a n }满足a 2＝2，a 5＝8. (1)求{a n }的通项公式；

(2)各项均为正数的等比数列{b n }中，b 1＝1，b 2＋b 3＝a 4，求{b n }的前n 项和T n .

[解] (1)设等差数列{a n }的公差为d ，

则由已知得⎩

⎪⎨⎪⎧a 1＋d ＝2，

a 1＋4d ＝8，

所以a 1＝0，d ＝2.

所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2n －2.

(2)设等比数列{b n }的公比为q ，则由已知得q ＋q 2＝a 4. 因为a 4＝6，所以q ＝2或q ＝－3. 因为等比数列{b n }的各项均为正数， 所以q ＝2.

所以{b n }的前n 项和T n ＝b 1（1－q n ）1－q ＝1×（1－2n ）1－2

＝2n

－1.

12．(2016·高考全国卷丙)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝1＋λa n ，其中λ≠0. (1)证明{a n }是等比数列，并求其通项公式； (2)若S 5＝31

32

，求λ.

[解] (1)由题意得a 1＝S 1＝1＋λa 1，故λ≠1，a 1＝1

1－λ，a 1

≠0.

由S n ＝1＋λa n ，S n ＋1＝1＋λa n ＋1得a n ＋1＝λa n ＋1－λa n ，即a n ＋1(λ－1)＝λa n .由a 1≠0，λ≠0且λ≠1得a n ≠0，

所以a n ＋1a n ＝λλ－1

.

因此{a n }是首项为11－λ，公比为λλ－1的等比数列，于是a n ＝11－λ⎝ ⎛⎭

⎪⎫λλ－1n －1

.

(2)由(1)得S n ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫λλ－1n

.由S 5

＝3132得1－⎝⎛⎭⎫λλ－15

＝3132，即⎝ ⎛⎭

⎪⎫λλ－15

＝132.

解得λ＝－1.

13．(2017·福建模拟)已知等比数列{a n }的各项均为正数且公比大于1，前n 项积为T n ，且a 2a 4＝a 3，则使得T n ＞1的n 的最小值为( )

A ．4

B ．5

C ．6

D ．7

C [解析] 因为{a n }是各项均为正数的等比数列且a 2a 4＝a 3，所以a 23＝a 3，所以a 3＝1.又因为q ＞1，所以a 1＜a 2＜1，a n ＞1(n ＞3)，所以T n ＞T n －1(n ≥4，n ∈N *)，T 1＜1，T 2＝a 1·a 2

＜1，T 3＝a 1·a 2·a 3＝a 1a 2＝T 2＜1，T 4＝a 1a 2a 3a 4＝a 1＜1，T 5＝a 1·a 2·a 3·a 4·a 5＝a 53＝1，T 6＝T 5·a 6＝a 6＞1，故n 的最小值为6，故选C.

14．(2017·北京海淀区高三检测)已知数列{a n }满足a 1＝2且对任意的m ，n ∈N *，都有

a n ＋m

a m

＝a n ，则a 3＝______________________________；{a n }的前n 项和S n ＝________．

[解析] 因为a n ＋m

a m ＝a n ，

所以a n ＋m ＝a n ·a m ，

所以a 3＝a 1＋2＝a 1·a 2＝a 1·a 1·a 1＝23＝8； 令m ＝1，

则有a n ＋1＝a n ·a 1＝2a n ，

所以数列{a n }是首项为a 1＝2，公比q ＝2的等比数列， 所以S n ＝2（1－2n ）1－2＝2n ＋1

－2.

[答案] 8 2n ＋

1－2

15．(2017·云南省第一次统一检测)设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＋a 2＋a 3＝26，S 6＝728.

(1)求数列{a n }的通项公式；

(2)求证：S 2n ＋1－S n S n ＋2＝4×3n .

[解] (1)设等比数列{a n }的公比为q ，由728≠2×26得，S 6≠2S 3，所以q ≠1.

由已知得⎩⎪⎨⎪⎧S 3＝a 1（1－q 3）1－q

＝26

S 6

＝a 1

（1－q 6

）1－q ＝728

，解得⎩

⎪⎨⎪⎧a 1

＝2q ＝3 .

所以数列{a n }的通项公式为a n ＝2×3n －

1.

(2)证明：由(1)可得S n ＝2×（1－3n ）1－3＝3n

－1.

所以S n ＋1＝3n ＋

1－1，S n ＋2＝3n ＋

2－1.

所以S 2n ＋1－S n S n ＋2＝4×3n

.

16．(2017·南昌模拟)已知公比不为1的等比数列{a n }的首项a 1＝12，前n 项和为S n ，且

a 4＋S 4，a 5＋S 5，a 6＋S 6成等差数列．

(1)求等比数列{a n }的通项公式；

(2)对n ∈N *，在a n 与a n ＋1之间插入3n 个数，使这3n ＋2个数成等差数列，记插入的这

3n 个数的和为b n ，求数列{b n }的前n 项和T n .

[解] (1)因为a 4＋S 4，a 5＋S 5，a 6＋S 6成等差数列， 所以a 5＋S 5－a 4－S 4＝a 6＋S 6－a 5－S 5， 即2a 6－3a 5＋a 4＝0， 所以2q 2－3q ＋1＝0， 因为q ≠1， 所以q ＝1

2

，

所以等比数列{a n }的通项公式为a n ＝1

2n .

(2)b n ＝a n ＋a n ＋12·3n

＝34⎝⎛⎭⎫32n

， T n ＝34×32－⎝⎛⎭⎫32n ＋11－3

2

＝94⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫32n －1.

2019-2020年高考数学一轮复习第5章数列第3讲等比数列及其前n项和知能训练轻松闯关理北师大版

2019-2020年高考数学一轮复习第5章数列第3讲等比数列及其前n 项和 知能训练轻松闯关理北师大版 1．已知数列{a n }，则“a n ，a n ＋1，a n ＋2(n ∈N * )成等比数列”是“a 2 n ＋1＝a n a n ＋2”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 解析：选A.显然，n ∈N *，a n ，a n ＋1，a n ＋2成等比数列，则a 2 n ＋1＝a n a n ＋2，反之，则不一定成立，举反例，如数列为1，0，0，0，…. 2．如果数列a 1，a 2a 1，a 3a 2，…，a n a n －1 ，…是首项为1，公比为－2的等比数列，则a 5等于( ) A ．32 B ．64 C ．－32 D ．－64 解析：选A.易知数列a 1，a 2a 1，a 3a 2，a 4a 3，a 5a 4，…， a n a n －1，…的通项为a n a n －1 ＝(－2)n －1 ，故a 5＝a 1·a 2a 1·a 3a 2·a 4a 3·a 5 a 4 ＝1×(－2)×2×(－22)×4＝32. 3．已知数列{a n }满足1＋log 3a n ＝log 3a n ＋1(n ∈N * )且a 2＋a 4＋a 6＝9，则log 13 (a 5＋a 7＋a 9)的值 是( ) A.15 B ．－15 C ．5 D ．－5 解析：选D.由1＋log 3a n ＝log 3a n ＋1(n ∈N * )，得a n ＋1＝3a n ，即数列{a n }是公比为3的等比数列．设 等比数列{a n }的公比为q ，又a 2＋a 4＋a 6＝9，则log 13(a 5＋a 7＋a 9)＝log 13 [q 3 (a 2＋a 4＋a 6)]＝ log 13(33 ×9)＝－5. 4．(xx·莱芜模拟)已知数列{a n }，{b n }满足a 1＝b 1＝3，a n ＋1－a n ＝ b n ＋1 b n ＝3，n ∈N *，若数列{c n }满足c n ＝ba n ，则c 2 016＝( ) A ．92 015 B ．272 015 C ．92 016 D ．272 016 解析：选D.由已知条件知{a n }是首项为3，公差为3的等差数列，数列{b n }是首项为3，公比为3的等比数列， 所以a n ＝3n ，b n ＝3n . 又c n ＝ba n ＝33n ，所以c 2 016＝33×2 016＝272 016 . 5．(xx·开封一模)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＋a n ＝2n (n ∈N * )，则下列数列中一定为等比数列的是( ) A ．{a n } B ．{a n －1} C ．{a n －2} D ．{S n } 解析：选C.由S n ＋a n ＝2n (n ∈N *)，①可得S n －1＋a n －1＝2(n －1)(n ≥2，n ∈N * )，②，①－② 得a n ＝12a n －1＋1(n ≥2，n ∈N *)，所以a n －2＝12 (a n －1－2)(n ≥2，n ∈N * )，且a 1＝1，a 1－2＝－ 1≠0，所以{a n －2}一定是等比数列，故选C. 6．(xx·福州质检)已知等比数列{a n }的前n 项积记为Ⅱn ，若a 3a 4a 8＝8，则Ⅱ9＝( ) A ．512 B ．256 C ．81 D ．16 解析：选 A.由题意可知，a 3a 4a 7q ＝a 3a 7a 4q ＝a 3a 7a 5＝a 3 5＝8，Ⅱ9＝a 1a 2a 3…a 9＝ (a 1a 9)·(a 2a 8)(a 3a 7)(a 4a 6)a 5＝a 95，所以Ⅱ9＝83 ＝512.故选A. 7．(xx·高考广东卷)若三个正数a ，b ，c 成等比数列，其中a ＝5＋26，c ＝5－26，则

2020年高考理科数学一轮总复习：等比数列及其前n项和教师版

2020年高考理科数学一轮总复习 等比数列及其前n 项和 [基础梳理] 1．等比数列的有关概念 (1)定义： ①文字语言：从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数． ②符号语言：a n ＋1 a n ＝q (n ∈N *，q 为非零常数)． (2)等比中项：如果a ，G ，b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项．即：G 是a 与b 的等比中项?a ，G ，b 成等比数列?G 2＝ab (a 、G 、b 不为零)． 2．等比数列的有关公式 (1)通项公式：a n ＝a 1q n －1. (2)前n 项和公式： S n ＝??? na 1，q ＝ 1， a 1(1－q n )1－q ＝a 1－a n q 1－q ，q ≠1. 3．等比数列的性质 (1)通项公式的推广：a n ＝a m ·q n －m (m ，n ∈N *)． (2)对任意的正整数m ，n ，p ，q ，若m ＋n ＝p ＋q ，则a m ·a n ＝a p ·a q . 特别地，若m ＋n ＝2p ，则a m ·a n ＝a 2p . (3)若等比数列前n 项和为S n ，则S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m 仍成等比数列，即(S 2m －S m )2＝S m (S 3m －S 2m )(m ∈N *，公比q ≠－1)． (4)数列{a n }是等比数列，则数列{pa n }(p ≠0，p 是常数)也是等比数列． (5)在等比数列{a n }中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即a n ，a n ＋k ，a n ＋2k ，a n ＋3k ，…为等比数列，公比为q k . 1．(1)在等比数列求和时，要注意q ＝1和q ≠1的讨论． (2)当{a n }是等比数列且q ≠1时，S n ＝a 11－q －a 11－q ·q n ＝A －A ·q n . 2．当项数是偶数时，S 偶＝S 奇·q ；

(新课标)高考数学一轮总复习 第五章 数列 5-3 等比数列及其前n项和课时规范练 文(含解析)新人

5-3 等比数列及其前n 项和课时规X 练 A 组 基础对点练 1．已知等比数列{a n }满足a 1＝3，a 1＋a 3＋a 5＝21，则a 3＋a 5＋a 7＝( B ) A ．21 B.42 C ．63 D.84 2．(2018·某某质检)在等比数列{a n }中，a 2＝2，a 5＝16，则a 6＝( C ) A ．14 B.28 C ．32 D.64 3．(2017·某某摸底考试)已知数列{a n }为等比数列，a 5＝1，a 9＝81，则a 7＝( B ) A ．9或－9 B.9 C ．27或－27 D.27 解析：∵数列{a n }为等比数列，且a 5＝1，a 9＝81， ∴a 2 7＝a 5a 9＝1×81＝81， ∴a 7＝±9. 当a 7＝－9时，a 2 6＝1×(－9)＝－9不成立，舍去． ∴a 7＝9.故选B. 4．(2018·某某调研测试)已知等差数列{a n }的公差为2，且a 4是a 2与a 8的等比中项，则{a n }的通项公式a n ＝( B ) A ．－2n B.2n C ．2n －1 D.2n ＋1 解析：由题意，得a 2a 8＝a 2 4，又a n ＝a 1＋2(n －1)，所以(a 1＋2)(a 1＋14)＝(a 1＋6)2 ，解得a 1＝2，所以a n ＝2n .故选B. 5．在等比数列{a n }中，S n 表示前n 项和，若a 3＝2S 2＋1，a 4＝2S 3＋1，则公比q 等于( D ) A ．－3 B.－1 C ．1 D.3 解析：在等比数列{a n }中， ∵a 3＝2S 2＋1，a 4＝2S 3＋1， ∴a 4－a 3＝2S 3＋1－(2S 2＋1)＝2(S 3－S 2)＝2a 3， ∴a 4＝3a 3， ∴q ＝a 4 a 3 ＝3.故选D.

2021高考数学人教版一轮复习练习：第五章 第3节 等比数列及其前n项和

多维层次练30 [A 级 基础巩固] 1．(2020·郴州一模)在数列{a n }中，满足a 1＝2，a 2n ＝a n －1·a n ＋1(n ≥2， n ∈N *)，S n 为{a n }的前n 项和，若a 6＝64，则S 7的值为( ) A ．126 B ．256 C ．255 D ．254 解析：数列{a n }中，满足a 2n ＝a n －1a n ＋1(n ≥2)，则数列{a n }为等比数 列，设其公比为q ，又由a 1＝2，a 6＝64，得q 5 ＝a 6a 1＝32，则q ＝2，则S 7＝a 1（1－27）1－2 ＝28－2＝254. 答案：D 2．(2020·惠州联考)已知数列{a n }为等差数列，且2a 1，2，2a 6成等比数列，则{a n }前6项的和为( ) A ．15 B.212 C ．6 D ．3 解析：由2a 1，2，2a 6成等比数列，可得4＝2a 1·2a 6＝2a 1＋a 6， 即a 1＋a 6＝2，又数列{a n }为等差数列， 所以{a n }前6项的和为12 ×6(a 1＋a 6)＝6. 答案：C 3．已知数列{a n }为正项等比数列，a 2＝2，a 3＝2a 1，则a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n a n ＋1＝( )

A ．(2＋2)[1－(2)n ] B ．(2＋2)[(2)n －1] C.2(2n －1) D.2(1－2n ) 解析：由{a n }为正项等比数列，且a 2＝2，a 3＝2a 1，可得a 1＝1，公比q ＝2，所以数列{a n a n ＋1}是以2为首项，2为公比的等比数列， 则a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n a n ＋1＝2（1－2n ）1－2＝2(2n －1)． 答案：C 4．(2020·衡阳一模)在等比数列{a n }中，a 1a 3＝a 4＝4，则a 6的所有可能值构成的集合是( ) A ．{6} B ．{－8，8} C ．{－8} D ．{8} 解析：因为a 1a 3＝a 22＝4，a 4＝4，所以a 2＝2，所以q 2＝a 4a 2 ＝2，所以a 6＝a 2q 4＝2×4＝8，故a 6的所有可能值构成的集合是{8}． 答案：D 5．已知各项均为正数的等比数列{a n }中，a 4与a 14的等比中项为22，则2a 7＋a 11的最小值为( ) A ．16 B ．8 C ．2 2 D ．4 解析：因为a 4与a 14的等比中项为22， 所以a 4·a 14＝a 7·a 11＝(22)2＝8， 所以2a 7＋a 11≥22a 7a 11＝22×8＝8， 所以2a 7＋a 11的最小值为8.

高中数学高考复习：第五章第3讲 等比数列及其前n项和

第3讲 等比数列及其前n 项和 [学生用书P108] 1．等比数列的有关概念 (1)定义 如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零)，那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q 表示，定义的表达式为a n ＋1 a n ＝q (q ≠0，n ∈N *)． (2)等比中项 如果a 、G 、b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项．即：G 2＝ab ． “a ，G ，b 成等比数列”是“G 2＝ab ”的充分不必要条件． 2．等比数列的有关公式 (1)通项公式：a n ＝a 1q n － 1． (2)前n 项和公式：S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧na 1 ，q ＝1，a 1（1－q n ）1－q ＝a 1－a n q 1－q ，q ≠1. 3．等比数列的性质 已知数列{a n }是等比数列，S n 是其前n 项和．(m ，n ，p ，q ，r ，k ∈N *) (1)若m ＋n ＝p ＋q ＝2r ，则a m ·a n ＝a p ·a q ＝a 2r ； (2)数列a m ，a m ＋k ，a m ＋2k ，a m ＋3k ，…仍是等比数列； (3)数列S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…仍是等比数列(此时{a n }的公比q ≠－1)． 1．辨明三个易误点 (1)由于等比数列的每一项都可能作分母，故每一项均不为0，因此q 也不能为0，但q 可为正数，也可为负数． (2)由a n ＋1＝qa n ，q ≠0，并不能立即断言{a n }为等比数列，还要验证a 1≠0. (3)在运用等比数列的前n 项和公式时，必须注意对q ＝1与q ≠1分类讨论，防止因忽略q ＝1这一特殊情形而导致解题失误．

2020版高考数学一轮复习教案- 第5章 第3节 等比数列及其前n项和

第三节等比数列及其前n项和 [考纲传真] 1.理解等比数列的概念.2.掌握等比数列的通项公式与前n 项和公式.3.能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用等比数列的有关知识解决相应的问题.4.了解等比数列与指数函数的关系． 1．等比数列的有关概念 (1)定义：如果一个数列从第2 项起，每一项与它的前一项的比等 于同一个常数(不为零)，那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫 a n＋1 做等比数列的公比，通常用字母q 表示，定义的表达式为＝q(n∈N*，q为 a n 非零常数)． (2)等比中项：如果a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项．即G是a与b的等比中项?a，G，b成等比数列?G2＝ab. 2．等比数列的通项公式与前n项和公式 (1)通项公式：a n＝a1q n－1. (2)前n项和公式： S n＝Error! 3．等比数列的常用性质 (1)通项公式的推广：a n＝a m·q n－m(n，m∈N*)． (2)若m＋n＝p＋q＝2k(m，n，p，q，k∈N*)，则a m·a n＝a p·a q＝a2k. 1 (3)若数列{a n}，{b n}(项数相同)是等比数列，则{λa n}，{ ，{a2n}， a n} a n {a n·b n}，{ (λ≠0)仍然是等比数列． b n} (4)在等比数列{a n}中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即a n，a n＋k，a n＋2k，a n＋3k，…为等比数列，公比为q k. (5)当q≠－1 时，数列S m，S2m－S m，S3m－S2m，…成等比数列．

[常用结论] 1．“G2＝ab”是“a，G，b成等比数列”的必要不充分条件． 2．若q≠0，q≠1，则S n＝k－kq n(k≠0)是数列{a n}成等比数列的充要条件，a1 此时k＝. 1－q [基础自测] 1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)满足a n＋1＝qa n(n∈N*，q为常数)的数列{a n}为等比数列．() (2)G为a，b的等比中项?G2＝ab. () (3)若{a n}为等比数列，b n＝a2n－1＋a2n，则数列{b n}也是等比数列．() a1－a n (4)数列{a n}的通项公式是a n＝a n，则其前n项和为S n＝.() 1－a [答案](1)×(2)×(3)×(4)× 2．(教材改编)等比数列{a n}中，a3＝12，a4＝18，则a6 等于() 81 A．27B．36 C. D．54 2 a4 18 3 3 81 C[公比q＝＝＝，则a6＝a4q2＝18×2＝.] a3 12 2 2 (2 ) 3．(教材改编)在9 与243 中间插入两个数，使它们同这两个数成等比数列，则这两个数为__________． 27,81[设该数列的公比为q，由题意知， 243＝9×q3，q3＝27，∴q＝3. ∴插入的两个数分别为9×3＝27,27×3＝81.] 5 4．在单调递减的等比数列{a n}中，若a3＝1，a2＋a4＝，则a1＝________. 2 4[由题意知Error! 1 5 消去a1 得＋q＝， q 2 1 解得q＝或q＝2.

专题6.3等比数列及其前n项和(2021年高考数学一轮复习专题)

专题 等比数列及其前n 项和 一、题型全归纳 题型一 等比数列基本量的运算 【题型要点】1．等比数列的有关概念 (1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零)，那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q 表示，定义的表达式为a n ＋1 a n ＝q (q ≠0，n ∈N *)． (2)等比中项 如果a 、G 、b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项．即：G 是a 与b 的等比中项?G 2＝ab ． “a ，G ，b 成等比数列”是“G 是a 与b 的等比中项”的充分不必要条件． 2．等比数列的有关公式 (1)通项公式：a n ＝a 1q n － 1． (2)前n 项和公式：S n ＝???? ?na 1，q ＝1，a 1（1－q n ）1－q ＝a 1－a n q 1－q ，q ≠1. 3.解决等比数列有关问题的2种常用思想 4．等比数列的基本运算方法 (1)等比数列可以由首项a 1和公比q 确定，所有关于等比数列的计算和证明，都可围绕a 1和q 进行． (2)对于等比数列问题，一般给出两个条件，就可以通过列方程(组)求出a 1，q .如果再给出第三个条件就可以完成a 1，n ，q ，a n ，S n 的“知三求二”问题． 例1】记S n 为等比数列{a n }的前n 项和．若a 1＝1，S 3＝3 4，则S 4＝ ． 【答案】5 8 . 【解析】通解：设等比数列{a n }的公比为q ，由a 1＝1及S 3＝3 4，易知q ≠1.把a 1＝1代入S 3＝a 1（1－q 3）1－q ＝34，

得1＋q ＋q 2 ＝34，解得q ＝－12，所以S 4＝a 1（1－q 4）1－q ＝?? ? ????????????? ???21--121--114＝58. 优解一：设等比数列{a n }的公比为q ，因为S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝a 1(1＋q ＋q 2)＝34，a 1＝1，所以1＋q ＋q 2＝3 4，解 得q ＝－12，所以a 4＝a 1·q 3＝3 2 1-?? ? ??＝－18，所以S 4＝S 3＋a 4＝34＋??? ??81-＝58. 优解二：设等比数列{a n }的公比为q ，由题意易知q ≠1.设数列{a n }的前n 项和S n ＝A (1－q n )(其中A 为常数)，则a 1＝S 1＝A (1－q )＝1 ①，S 3＝A (1－q 3)＝34 ②，由①②可得A ＝23，q ＝－1 2 . 所以S 4＝2 3×??? ???? ??? ? ???421--11＝58. 【例2】(2020·福州市质量检测)等比数列{a n }的各项均为正实数，其前n 项和为S n .若a 3＝4，a 2a 6＝64，则S 5＝( ) A ．32 B ．31 C ．64 D ．63 【解析】：通解：设首项为a 1，公比为q ，因为a n ＞0，所以q ＞0，由条件得?????a 1·q 2＝4，a 1q ·a 1q 5＝64，解得? ????a 1＝1， q ＝2，所 以S 5＝31，故选B. 优解：设首项为a 1，公比为q ，因为a n ＞0，所以q ＞0，由a 2a 6＝a 24＝64，a 3＝4，得q ＝2，a 1＝1， 所以S 5＝31，故选B. 题型二 等比数列的判定与证明 【题型要点】等比数列的判定方法 (1)定义法：若a n ＋1a n ＝q (q 为非零常数，n ∈N *)或a n a n －1 ＝q (q 为非零常数且n ≥2，n ∈N *)，则{a n }是等比数列． (2)等比中项公式法：若数列{a n }中，a n ≠0且a 2n ＋1＝a n ·a n ＋2(n ∈N * )，则数列{a n }是等比数列． (3)通项公式法：若数列通项公式可写成a n ＝c ·q n (c ，q 均是不为0的常数，n ∈N *)，则{a n }是等比数列． (4)前n 项和公式法：若数列{a n }的前n 项和S n ＝k ·q n －k (k 为常数且k ≠0，q ≠0,1)，则{a n }是等比数列． 【易错提醒】：(1)前两种方法是判定等比数列的常用方法，常用于证明；后两种方法常用于选择题、填空题中的判定． (2)若要判定一个数列不是等比数列，则只需判定存在连续三项不成等比数列即可．

专题5.3 等比数列及其前n项和-2020届高考数学一轮复习学霸提分秘籍(原卷版)

第五篇 数列及其应用 专题5.03 等比数列及其前n 项和 【考试要求】 1.理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前n 项和公式； 2.能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用有关知识解决相应的问题； 3.体会等比数列与指数函数的关系. 【知识梳理】 1.等比数列的概念 (1)如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个非零常数，那么这个数列叫做等比数列. 数学语言表达式：a n a n －1 ＝q (n ≥2，q 为非零常数). (2)如果三个数a ，G ，b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项，其中G ＝±ab . 2.等比数列的通项公式及前n 项和公式 (1)若等比数列{a n }的首项为a 1，公比是q ，则其通项公式为a n ＝a 1q n － 1； 通项公式的推广：a n ＝a m q n － m . (2)等比数列的前n 项和公式：当q ＝1时，S n ＝na 1；当q ≠1时，S n ＝a 1（1－q n ） 1－q ＝a 1－a n q 1－q . 3.等比数列的性质 已知{a n }是等比数列，S n 是数列{a n }的前n 项和. (1)若k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N *)，则有a k ·a l ＝a m ·a n . (2)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即a k ， a k ＋m ，a k ＋2m ，…仍是等比数列，公比为q m . (3)当q ≠－1，或q ＝－1且n 为奇数时，S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n ，…仍成等比数列，其公比为q n . 【微点提醒】 1.若数列{a n }为等比数列，则数列{c ·a n }(c ≠0)，{|a n |}，{a 2n }，???? ??1a n 也是等比数列. 2.由a n ＋1＝qa n ，q ≠0，并不能立即断言{a n }为等比数列，还要验证a 1≠0. 3.在运用等比数列的前n 项和公式时，必须注意对q ＝1与q ≠1分类讨论，防止因忽略q ＝1这一特殊情形而导致解题失误. 【疑误辨析】

2021版新高考数学一轮复习讲义：第五章第三讲 等比数列及其前n项和 (含解析)

第三讲 等比数列及其前n 项和 ZHI SHI SHU LI SHUANG JI ZI CE 知识梳理·双基自测 知识梳理 知识点一 等比数列的概念 (1)等比数列的定义 如果一个数列__从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零)__，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的__公比__，通常用字母__q __表示． 符号语言：__a n ＋1a n ＝q __(n ∈N *，q 为非零常数)． (2)等比中项：如果a ，G ，b 成等比数列，那么__G __叫做a 与b 的等比中项．即：G 是a 与b 的等比中项?a ，G ，b 成等比数列?G 2＝__ab __. 注意：任意两数的等差中项都唯一存在；但只有两个数满足ab >0时，a 、b 才有等比中项，且有互为相反数的两个． 知识点二 等比数列的有关公式 (1)通项公式：a n ＝__a 1q n － 1__＝__a m q n － m __. (2)前n 项和公式：S n ＝???? ? __na 1__，q ＝1，__a 1(1－q n )1－q __(＝__a 1－a n q 1－q __)，q ≠1. 知识点三 等比数列的主要性质 设数列{a n }是等比数列，S n 是其前n 项和． (1)若m ＋n ＝p ＋q ，则a m a n ＝a p a q ，其中m ，n ，p ，q ∈N *，特别地，若2s ＝p ＋r ，则a p a r ＝a 2s ，其中p ，s ，r ∈N * . (2)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…仍是等比数列，公比为q m (k ，m ∈N *)． (3)若数列{a n }，{b n }是两个项数相同的等比数列，则数列{ba n }，{pa n ·qb n }和{pa n qb n }(其中b ， p ，q 是非零常数)也是等比数列． (4)当q ≠－1或q ＝－1且k 为奇数时，S k ，S 2k －S k ，S 3k －S 2k ，…是等比数列．当q ＝－1且k 为偶数时，S k ，S 2k －S k ，S 3k －S 2k ，…不是等比数列． (5)等比数列{a n }的单调性 ①满足????? a 1>0，q >1或? ???? a 1<0，0

2021届高考数学(理)考点复习：等比数列及其前n项和(含解析)

2021届高考数学（理）考点复习 等比数列及其前n 项和 1．等比数列的有关概念 (1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零)，那么这个数列叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q 表示，定义的表达式为a n ＋1 a n ＝q (n ∈N *， q 为非零常数)． (2)等比中项：如果a ，G ，b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项．即G 是a 与b 的等比中项?a ，G ，b 成等比数列?G 2＝ab . 2．等比数列的有关公式 (1)通项公式：a n ＝a 1q n － 1. (2)前n 项和公式： S n ＝???? ? na 1(q ＝1)，a 1(1－q n )1－q ＝a 1－a n q 1－q (q ≠1). 3．等比数列的常用性质 (1)通项公式的推广：a n ＝a m ·q n －m (n ，m ∈N *)． (2)若m ＋n ＝p ＋q ＝2k (m ，n ，p ，q ，k ∈N *)，则a m ·a n ＝a p ·a q ＝a 2k . (3)若数列{a n }，{b n }(项数相同)是等比数列，则{λa n }，???? ??1a n ，{a 2n }，{a n · b n }，???? ?? a n b n (λ≠0)仍然是等比数列． (4)在等比数列{a n }中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即a n ，a n ＋k ，a n ＋2k ，a n ＋3k ，…为等比数列，公比为q k . 4．在等比数列{a n }中，若S n 为其前n 项和，则S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 也成等比数列(n 为偶数且q ＝－1除外)． 概念方法微思考 1．将一个等比数列的各项取倒数，所得的数列还是一个等比数列吗？若是，这两个等比数列的公比有何关系？ 提示 仍然是一个等比数列，这两个数列的公比互为倒数． 2．任意两个实数都有等比中项吗？ 提示 不是．只有同号的两个非零实数才有等比中项．

2020版高考数学大一轮复习第五章数列第3节等比数列及其前n项和理解析版新人教A版

第3节 等比数列及其前n 项和 考试要求 1.理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前n 项和公式；2.能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用有关知识解决相应的问题；3.体会等比数列与指数函数的关系. 知 识 梳 理 1.等比数列的概念 (1)如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个非零常数，那么这个数列叫做等比数列. 数学语言表达式： a n a n －1 ＝q (n ≥2，q 为非零常数). (2)如果三个数a ，G ，b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项，其中G ＝±ab . 2.等比数列的通项公式及前n 项和公式 (1)若等比数列{a n }的首项为a 1，公比是q ，则其通项公式为a n ＝a 1q n －1 ； 通项公式的推广：a n ＝a m q n －m . (2)等比数列的前n 项和公式：当q ＝1时，S n ＝na 1；当q ≠1时，S n ＝a 1（1－q n ） 1－q ＝a 1－a n q 1－q . 3.等比数列的性质 已知{a n }是等比数列，S n 是数列{a n }的前n 项和. (1)若k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N * )，则有a k ·a l ＝a m ·a n . (2)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即a k ， a k ＋m ，a k ＋2m ，…仍是等比数列，公比为q m . (3)当q ≠－1，或q ＝－1且n 为奇数时，S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n ，…仍成等比数列，其公比为 q n . [微点提醒] 1.若数列{a n }为等比数列，则数列{c ·a n }(c ≠0)，{|a n |}，{a 2 n }，⎩⎨⎧⎭ ⎬⎫ 1a n 也是等比数列. 2.由a n ＋1＝qa n ，q ≠0，并不能立即断言{a n }为等比数列，还要验证a 1≠0. 3.在运用等比数列的前n 项和公式时，必须注意对q ＝1与q ≠1分类讨论，防止因忽略q ＝1这一特殊情形而导致解题失误. 基 础 自 测 1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)

第03讲 等比数列及其前n项和 (精讲)(解析版)-2023年高考数学一轮复习

第03讲 等比数列及其前n 项和 (精讲） 目录 第一部分：知识点精准记忆 第二部分：课前自我评估测试 第三部分：典型例题剖析 题型一：等比数列基本量的运算 题型二：等比数列的判断与证明 题型三：等比数列的性质及其综合应用 角度1：等比数列的性质 角度2：等比数列与等差数列的综合问题 第四部分：高考真题感悟 1.等比数列的概念 (1)等比数列的定义 一般地，如果一个数列从2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q (0q ≠)表示．数学语 言表达：1 (2)n n a q n a -=≥，q 为常数，0q ≠. (2)等比中项 如果a ，G ，b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项．即：G 是a 与b 的等比中项⇔a ，G ，b 成等比数列⇔2G ab =. 2.等比数列的有关公式 (1)若等比数列{}n a 的首项为1a ，公比是q ，则其通项公式为1 1 n n a a q -=；可推广为

n m n m a a q -=. (2)等比数列的前n 项和公式：当1q =时，1n S na =；当1q ≠时， 11(1)11n n n a a q a q S q q --==--. 3.等比数列的性质 设数列{}n a 是等比数列，n S 是其前n 项和． (1)若m n p q +=+，则m n p q a a a a =，其中,,,m n p q N * ∈.特别地，若2m n p +=，则2m n p a a a =，其中,,m n p N * ∈. (2)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即k a ，k m a +，2k m a +，…仍是等比数 列，公比为m q (,k m N * ∈)． (3)若数列{}n a ，{}n b 是两个项数相同的等比数列，则数列{}n ba ，{}n n pa qb ⋅和{}n n pa qb (其中b ，p ，q 是非零常数)也是等比数列． 1．（2022·宁夏·平罗中学高一期中（理））已知2、x 、8成等比数列，则x 的值为（ ） A ．4 B ．4- C ．4± D ．5 【答案】C 解：因为2、x 、8成等比数列， 所以228x =⨯，解得4x =±； 故选：C 2．（2022·辽宁·辽师大附中高二阶段练习）已知一个蜂巢里有1只蜜蜂，第1天，它飞出去找回了4个伙伴；第2天，5只蜜蜂飞出去，各自找回了4个伙伴，……按照这个规律继续下去，第20天所有的蜜蜂都归巢后，蜂巢中一共有蜜蜂（ ） A ．420 只 B ．520 只 C ． 2055 4-只 D ． 21443 -只 【答案】B 第一天一共有5只蜜蜂，第二天一共有2555⨯=只蜜蜂，…… 按照这个规律每天的蜜蜂数构成以为5首项，公比为5的等比数列

高三一轮复习资料 第3节等比数列及其前n项和

第3节等比数列及其前n项和 基础打磨 1.(2020届广州十校高三质检)已知等比数列{a n}的前n项和为S n,S3=3a1+a2,则S4 S2 =(). A.2 B.3 C.4 D.5 2.(2020届河南八市重点高中测评)在等比数列{a n}中,a1+a3=1,a5+a7+a9+a11=20,则a1=(). A.1 6B.1 3 C.2 D.4 3.(2020届广东高三适应性考试)已知各项均为正数的等差数列{a n}的公差为2,等比数列{b n}的公比为-2,则(). A.b a n -b a n-1 =4 B.b a n b a n-1 =4 C.b a n -b a n-1 =-4 D.b a n b a n-1 =-4 4.(2020届河北廊坊期中联合调研)在等比数列{a n}中,a2,a16是方程x2+6x+2=0的两个根,则a2a16 a9 的值为(). A.-√6或√6 B.-√2 C.√2 D.√2或-√2 5.(2020届辽宁重点高中第四次模拟)在等比数列{a n}中,a1a2=1,a3a6=9,则a2a4=(). A.3 B.±3 C.√3 D.±√3 6.(2020届湖南益阳高三模拟)已知等比数列{a n}的前n项和为S n,若1 a1+1 a2 +1 a3 =2,a2=2,则S3=(). A.10 B.7 C.8 D.4 7.(2020届山东临沂三模)已知在等比数列{a n}中,a3=7,前三项和S3=21,则公比q的值为(). A.1 B.-1 2C.1或-1 2 D.-1或1 2 8.(2020届北京海淀二模)已知公比为2的等比数列{a n},若a1+a2=3,则a3+a4的值为. 9.(2020届拉萨高三模拟)记S n为数列{a n}的前n项和,若S2=3,a n+1=S n+1(n∈N*),则通项公式a n= . 能力拔高 10.(2020届安徽高三第二次质检)已知数列{a n}为等比数列,则“a1

高考数学第 5.3 等比数列及其前n项和

等比数列及其前n 项和 (45分钟 100分) 一、选择题(每题5分,共40分) 1.(2021·黄冈模拟)公比为2的等比数列{a n }的各项都是正数,且a 4a 10=16,那么a 6=( ) B.2 2.(2021·襄阳模拟)记等比数列{a n }的前n 项和为S n ,假设a 1=1 2,S 2=2,那么S 4=( ) B.6 3.(2021·天门模拟)在各项均为正数的等比数列{a n }中,a 3=√2-1,a 5=√2+1,那么a 32 +2a 2a 6+a 3a 7=( ) B.6 √2 4.(2021·新课标全国卷Ⅰ)设首项为1,公比为2 3的等比数列{a n }的前n 项和为S n ,那么( ) =2a n -1 =3a n -2 =4-3a n =3-2a n 5.已知等比数列{a n }的公比为q,前n 项和为S n ,且S 3,S 9,S 6成等差数列,则q 3等于 ( ) 或12 或-12 12 6.设{a n }是首项大于零的等比数列,那么“a 1

设a n =g(n)-g(n-1)(n ∈N *),那么数列{a n }为( ) A.等差数列 B.等比数列 C.递增数列 D.递减数列 二、填空题(每题5分,共20分) 9.(2021·广东高考)设数列{a n }是首项为1,公比为-2的等比数列,那么a 1+|a 2|+a 3+|a 4|= . 10.(2021·辽宁高考)已知等比数列{a n }是递增数列,S n 是{a n }的前n 项和.假设a 1,a 3是方程x 2-5x+4=0的两个根,那么S 6= . 11.等比数列{a n }的首项a 1=-1,前n 项和为S n ,假设S 10S 5=31 32 ,那么公比q= . 12.(能力挑战题)(2021·孝感模拟)已知等比数列{a n }的各项都为正数,且当n ≥3时,a 4a 2n-4=102n ,那么数列lga 1,2lga 2,22lga 3,23lga 4,…,2n-1lga n ,…的前n 项和S n 等于________. 三、解答题(13题12分,14～15题各14分) 13.在数列{a n }中,a 1=2,a n+1=a n +cn(c 是常数,n=1,2,3,…),且a 1,a 2,a 3成公比不为1的等比数列. (1)求c 的值. (2)求{a n }的通项公式. 14.已知数列{a n }的前n 项和为S n ,且S n =4a n -3(n ∈N *). (1)证明:数列{a n }是等比数列. (2)假设数列{b n }知足b n+1=a n +b n (n ∈N *),且b 1=2,求数列{b n }的通项公式. 15.(能力挑战题)(2021·湖北高考)已知S n 是等比数列{a n }的前n 项和,S 4,S 2,S 3成等差数列,且a 2+a 3+a 4=-18. (1)求数列{a n }的通项公式. (2)是不是存在正整数n,使得S n ≥2021?假设存在,求出符合条件的所有n 的集合;假设不存在,说明理由.

高考数学复习等比数列及其前n项和理含解析

高考数学复习核心素养提升练三十 等比数列及其前n项和 (30分钟60分) 一、选择题(每小题5分,共25分) 1.等比数列{a n}的前n项和为S n.已知S3=a2+10a1,a5=9,则a1= ( ) A. B.- C. D.- 【解析】选C.由题知公比q≠1, 则S3==a1q+10a1,得q2=9, 又a5=a1q4=9,则a1=. 【变式备选】 设S n为等比数列{a n}的前n项和,已知3S3=a4-2,3S2=a3-2,则公比q=( ) A.3 B.4 C.5 D.6 【解析】选B.由题意知,q≠1, 则, 两式相减可得=q3-q2, 即=1,所以q=4. 2.数列{a n}满足:a n+1=λa n-1(n∈N*,λ∈R且λ≠0),若数列{a n-1}是等比数列,则λ的值等于 ( )

A.1 B.-1 C. D.2 【解析】选D.由a n+1=λa n-1,得a n+1-1=λa n-2=λ.由于数列{a n-1}是等比数列,所以 =1,得λ=2. 3.(2017·全国卷Ⅱ)我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题:“远望巍巍塔七层,红光点点倍加增,共灯三百八十一,请问尖头几盏灯?”意思是:一座7层塔共挂了381盏灯,且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍,则塔的顶层共有灯( ) A.1盏 B.3盏 C.5盏 D.9盏 【解析】选 B.塔的顶层共有灯x盏,则各层的灯数构成一个公比为2的等比数列,由 =381可得x=3. 4.已知数列{a n}的前n项和为S n,若S n=2a n-4,n∈N*,则a n= ( ) A.2n+1 B.2n C.2n-1 D.2n-2 【解析】选A.因为a n+1=S n+1-S n =2a n+1-4-(2a n-4),所以a n+1=2a n, 因为a1=2a1-4,所以a1=4, 所以数列{a n}是以4为首项,2为公比的等比数列,所以a n=4·2n-1=2n+1. 5.已知三角形的三边构成等比数列,它们的公比为q,则q的一个可能值为( ) A. B. C. D. 【解析】选C.设三角形的三边分别为a,aq,aq2, 其中q>0.则由三角形三边不等关系知: 当q>1时.a+aq>a·q2 即q2-q-1<0 所以

2020版高考人教A版文科数学一轮复习文档：第五章 第三节 等 比 数 列 Word版含答案

2020版高考数学（文）总复习 第三节 等 比 数 列 2019考纲考题考情 1．等比数列的有关概念 (1)定义： ①文字语言：从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数(非零)。 ②符号语言：a n ＋1 a n ＝q (n ∈N *，q 为非零常数)。 (2)等比中项：如果a ，G ，b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项。即：G 是a 与b 的等比中项⇔a ，G ，b 成等比数列⇒G 2＝ab 。 2．等比数列的有关公式 (1)通项公式：a n ＝a 1q n － 1。 (2)前n 项和公式：S n ＝⎩⎪⎨⎪ ⎧ na 1，q ＝1，a 1(1－q n )1－q ＝a 1－a n q 1－q ，q ≠1。 3．等比数列的性质 (1)通项公式的推广：a n ＝a m ·q n － m (m ，n ∈N *)。 (2)对任意的正整数m ，n ，p ，q ，若m ＋n ＝p ＋q ，则a m ·a n

＝a p ·a q 。(等积性) 特别地，若m ＋n ＝2p ，则a m ·a n ＝a 2p 。 (3)若等比数列前n 项和为S n ，则S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m 仍成等比数列，即(S 2m －S m )2＝S m (S 3m －S 2m )(m ∈N *，公比q ≠－1)。 (4)数列{a n }是等比数列，则数列{pa n }(p ≠0，p 是常数)也是等比数列。 (5)在等比数列{a n }中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即a n ，a n ＋k ，a n ＋2k ，a n ＋3k ，…为等比数列，公比为q k 。 (6)若⎩⎪⎨ ⎪⎧ a 1>0， q >1或⎩ ⎪⎨ ⎪⎧ a 1<0， 00，01则等比数列{a n }递减。 1．若数列{a n }为等比数列，则数列{c ·a n }(c ≠0)，{|a n |}，{a 2n }， ⎩⎨⎧⎭ ⎬⎫ 1a n 也是等比数列。 2．由a n ＋1＝qa n ，q ≠0，并不能立即断言{a n }为等比数列，还要验证a 1≠0。 3．在运用等比数列的前n 项和公式时，必须注意对q ＝1与q ≠1分类讨论，防止因忽略q ＝1这一特殊情形而导致解题失误。 一、走进教材 1．(必修5P 54A 组T 8改编)在3与192中间插入两个数，使它们同这两个数成等比数列，则这两个数为________。 解析 设该数列的公比为q ，由题意知，192＝3×q 3，q 3＝64，所以q ＝4。所以插入的两个数分别为3×4＝12,12×4＝48。