高中数学选择性必修二 4 3 等比数列(精讲)(含答案)

4.3 等比数列

考点一 等比数列基本量计算

【例1】（1）（2020·四川仁寿一中开学考试）在等比数列{}n a 中，126a a +=，33a =，则公比q 的值为（ ）

A ．1

2

-

B ．1

2

-

或1 C ．－1

D ．1

2

-

或－1 （2）（2020·哈密市第十五中学月考）已知各项均为正数的等比数列{}n a 的前4项和为15，且53134a a a =+，则3a =（ ） A ．16

B ．8

C ．4

D ．2

（3）（2020·四川省内江市第六中学开学考试（理））等比数列{}n a 的前n 项和1

31n n S a -=⋅+，则a =（ ）

A ．-1

B ．3

C ．-3

D ．1

【答案】（1）B （2）C （3）C

【解析】（1）由题意112163

a a q a q +=⎧⎨=⎩，解得131a q =⎧⎨=⎩或1

12

12a q =⎧⎪⎨=-⎪⎩

．故选：B ．

【答案】C

（2）设正数的等比数列{a n }的公比为q ，则23111142

111

15,

34a a q a q a q a q a q a ⎧+++=⎨=+⎩， 解得11,2

a q =⎧⎨

=⎩，2

314a a q ∴==，故选C ．

（3）因为数列是等比数列故满足2

2

13a a a ，111a S a ==+ ，232,6.a a a a ==

代入2

213a a a 得到 3.a =- 故答案选C ．

【一隅三反】

1．（2020·石嘴山市第三中学月考）已知{}n a 是等比数列，a 1=2,a 4=1

4

,则公比q =（ ） A ．12

-

B ．-2

C ．2

D ．

12

【答案】D

【解析】∵{}n a 是等比数列，∴3411

1428

a q a ===，∴1

2q =．故选：D ．

2．（2020·黑龙江工农·鹤岗一中高一期末（文））已知数列{}n a 满足11

2

n n a a +=，若48a =，则1a 等于 A ．1 B ．2

C ．64

D ．128

【答案】C

【解析】因为数列{}n a 满足112n n a a +=，所以该数列是以1

2为公比的等比数列，又48a =，所以188

a =，

即164a =；故选C.

3．（2020·合肥市第十一中学高二开学考试）各项都是正数的等比数列{}n a 中，2311

,,2

a a a 成等差数列，则公比q 的值为（ ）

A

B

．

1

2

C

D

【答案】B

【解析】由题得

2231211112,,102a a a a q a a q q q ⨯=+∴=+∴--=

，所以q = 因为{}n a 是各项都是正数的等比数列，所以0q >

，所以2

q =

.故选：B

4．（2020·全国高二月考（文））已知各项均为正数的等比数列{}n a ，且13213,,22a a a 成等差数列，则

4567

a a a a ++的值是（ ） A ． B ．

1

6

C ．

D ．

19

【答案】D

【解析】各项均为正数的等比数列{}n a 的公比设为q ，则q >0， 由1321

3,

,22

a a a 成等差数列，可得31232a a a =+，即211132a q a a q =+， 所以2

230q q --=，解得3q =或1q =-（舍），

所以343445115656232

6711111

9

a a a q a q q q q a a a q a q q q q q q ++++======++++.故选：D. 5．（2020·贵州省思南中学月考）设正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，1010

3020102(21)0S S S -++=，则

公比q 等于（ ） A ．

1

2

B ．

13

C ．

14

D ．2

【答案】A

【解析】因为1010

3020102(21)0S S S -++=，所以()()10

302020102

0S S S S ---=

所以302010

20101

2S S S S -=-，即

10212230101112201

2

a a a q a a a +++==+++ 因为0n a >，所以1

2

q =

故选：A 考点二 等比数列中项性质

【例2】（1）（2020·自贡市田家炳中学开学考试）等比数列{}n a 的各项均为正数，且564718a a a a +=，则

3132310log log log a a a ++

+=（ ）

A ．12

B ．10

C ．8

D ．32log 5+

（2）（2020·河南高二月考）在等比数列{}n a 中，若1358a a a =，则42a a =（ ） A ．2

B ．4

C ．2±

D ．4±

【答案】（1）B （2）B

【解析】（1）由等比数列的性质可得：564756218a a a a a a +==，所以569a a =.

1102938479a a a a a a a a ====⋯=则()5

313231031103log log log log 5log 910a a a a a ++

+===故选

B.

（2）由等比中项的性质可得313538a a a a ==，解得32a =，因此，22

24324a a a ===.故选：B.

【一隅三反】

1．（2020·安徽滁州·期末）在等比数列{}n a 中，315,a a 是方程2680x x -+=的根，则

117

9

a a a = A

． B ．2 C ．1 D ．2-

【答案】A

【解析】由题得315315

6,8a a a a +=⎧⎨=⎩所以2

11798a a a ==，因为3153156080a a a a +=>⎧⎨=>⎩，

所以315990,0,0,a a a a >>∴>∴=所以

1179a a a

==故答案为A 2．（2019·福建高三学业考试）若三个数1，2，m 成等比数列，则实数m =（ ）

A ．8

B ．4

C ．3

D ．2

【答案】B

【解析】因为1,2,m 为等比数列，故

212

m

=即4m =，故选：B. 3．（2020·宁夏二模（理））已知实数1,,9m 成等比数列，则椭圆2

21x y m

+=的离心率为

A B ．2 C 或2 D ．

2

【答案】A

【解析】∵1，m ，9构成一个等比数列，∴m 2=1×9，则m=±3．

当m=3时，圆锥曲线2x m +y 2=1；

当m=﹣3时，圆锥曲线2x m +y 2=1．故选A ． 考点三 等比数列的前n 项和性质

【例3】（2020·赣榆智贤中学月考）已知数列{a n }是等比数列，S n 为其前n 项和，若a 1＋a 2＋a 3=4，a 4＋a 5＋a 6=8，则S 12= A ．40 B ．60 C ．32 D ．50

【答案】B

【解析】由等比数列的性质可知，数列S 3，S 6−S 3，S 9−S 6，S 12−S 9是等比数列，即数列4,8，S 9−S 6，S 12−S 9是等比数列，因此S 12=4＋8＋16＋32=60，选B ． 【一隅三反】

1．（2020·赣榆智贤中学月考）已知{}n a 是各项都为正数的等比数列，n S 是它的前n 项和，若47S =，

821S =，则16S =（ ） A ．48 B ．90

C ．105

D ．106

【答案】C

【解析】由等比数列的性质得4841281612,,,S S S S S S S ---成等比数列，

所以1216127,14,21,S S S --成等比数列，所以121216162128,49,4956,105S S S S -=∴=∴-=∴=.故选：C

2．（2020·渝中·重庆巴蜀中学高一期中）等比数列{} n a 的前n 项和为n S ，若63:3:1S S =，则93:S S =（ ） A ．4:1 B ．6:1

C ．7:1

D ．9:1

【答案】C

【解析】因为数列{} n a 为等比数列，则3S ，63S S -，96S S -成等比数列， 设3S m =，则63S m =，则632S S m

-=，

故633S S S -=96632S S S S -=-，所以96

4S S m -=，得到97S m =，所以9

3

7S S =.故选：C. 3．（2020·眉山市彭山区第一中学高二开学考试）若等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 5＝10，S 10＝30，则S 20＝（ ） A ．80 B ．120

C ．150

D ．180

【答案】C

【解析】因为数列{}n a 是等比数列，故可得510515102015,,,S S S S S S S ---依然成等比数列， 因为51010,30S S ==，故可得10520S S -=，故该数列的首项为10，公比为2，

故可得(

)4

20

101215012

S

-=

=-.故选：C .

4．（2020·运城市景胜中学高二开学考试）设{}n a 是等比数列，且1231a a a ++=，234+2a a a +=，则

678a a a ++=（ ）

A ．12

B ．24

C ．30

D ．32

【答案】D

【解析】设等比数列{}n a 的公比为q ，则(

)2

123111a a a a q q

++=++=，

()232234111112a a a a q a q a q a q q q q ++=++=++==，

因此，(

)5

6

7

5

2

5

6781111132a a a a q a q a q a q q q

q

++=++=++==.故选：D.

考点四 等比数列的单调性

【例4】（2020·上海市青浦高级中学高一期末）已知数列{}n a 满足156a =

，()*

11133

n n a a n N +=+∈. （1）求证：数列12n a ⎧⎫

-

⎨⎬⎩⎭

是等比数列； （2）求数列{}n a 的通项公式.

【答案】（1）证明见解析；（2）11

23n n

a =

+. 【解析】（1）()*11133n n a a n N +=+∈，111111111132332362111132222

n n n n n n n n a a a a a a a a +⎛⎫-+---

⎪⎝⎭∴====----， 因此，数列12n a ⎧⎫

-

⎨⎬⎩⎭

是等比数列；

（2）由于115112623a -

=-=，所以，数列12n a ⎧⎫-⎨⎬⎩

⎭是以13为首项，以1

3为公比的等比数列，

1

1111

2333

n n n

a -⎛⎫

∴-=⨯=

⎪

⎝⎭

，因此，1123n n a =+. 【一隅三反】

1．（2020·湖北高一期末）已知{}n a 为等比数列，13527a a a =，24627

8

a a a =，以n T 表示{}n a 的前n 项积，则使得n T 达到最大值的n 是（ ） A ．4 B ．5

C ．6

D ．7

【答案】A

【解析】

{}n a 为等比数列，3135327a a a a ==，3246427

8

a a a a =

=， 33a ∴=，432a =

，4312a q a ∴==，112a =，543

·

14

a a q ==<． 故{}n a 是一个减数列，前4项都大于1，从第五项开始小于1， 以n T 表示{}n a 的前n 项积，则使得n T 达到最大值的n 是4， 故选：A ．

2．（2020·四川成都·高一期末（文））已知单调递减的等比数列{}n a 中，10a >，则该数列的公比q 的取值范围是（ ） A ．1q = B ．0q < C ．1q > D ．01q <<

【答案】D

【解析】因为等比数列{}n a 单调递减，所以0q >，()1

1111110n

n n n n a a a q a q

a q q --+-=-=-<，

因为10a >，所以()1

10n q q --<，

又因为1n ≥，所以1

0,10n q

q ->-<，所以01q <<，故选：D

3．（2020·河北桃城·衡水中学高三月考（理））若{}n a 是公比为(0)q q ≠的等比数列，记n S 为{}n a 的前n 项和，则下列说法正确的是（ ） A ．若{}n a 是递增数列，则10,0a q << B ．若{}n a 是递减数列，则10,01a q ><< C ．若0q >，则4652S S S +>

D ．若1

n n

b a =

，则{}n b 是等比数列 【答案】D

【解析】A 选项中，12,3a q ==，满足{}n a 单调递增，故A 错误； B 选项中，11,2a q =-=，满足{}n a 单调递减，故B 错误；

C 选项中，若11

1,2

a q ==

，则656554,a a S S S S <-<-，故C 错误； D 选项中，

111

(0)n n n n b a q b a q

++==≠，所以{}n b 是等比数列.故D 正确. 故选：D.

4．（2020·宁夏兴庆·银川一中期末）设等比数列{}n a 的公比为q ，其前n 项的积为n T ，并且满足条件11a >，

9910010a a ->，

991001

01

a a -<-．给出下列结论： ①01q <<；②9910110a a ->；③100T 的值是n T 中最大的；④使1n T >成立的最大自然数n 等于198 其中正确的结论是（ ）

A ．①③

B ．①④

C ．②③

D ．②④

【答案】B 【解析】①9910010a a ->，219711a q ∴>，9821()1q a q ∴>．

11a >，0q ∴>．

又

99100101a a -<-，991a ∴>，且1001a <．01q ∴<<，即①正确；

②299101100100·01

a a a a ⎧=⎨<<⎩，9910101a a ∴<<，即9910110a a -<，故②错误； ③由于10099100T T a =，而10001a <<，故有10099T T <，故③错误；

④中9919812198119821979910099100()()()()1T a a a a a a a a a a a =⋯=⋯=>，

199121991199219899101100()()()1T a a a a a a a a a a =⋯=⋯<，故④正确．

∴正确的为①④，

故选：B ．

考点五 证明判断等比数列

【例5】（2020·黑龙江省哈尔滨市双城区兆麟中学）已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，若数列13log n a ⎧⎫⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭

是公差为1-的等差数列，且22a +是13,a a 等差中项.

（1）证明数列{}n a 等比数列；

（2）求数列{}n a 的通项公式.

【答案】（1）证明见解析（2）13-=n n a

【解析】（1）因为数列13log n a ⎧⎫⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭

是公差为1-的等差数列，所以11133log log 1n n a a +-=-， 故113log 1n n a a +=-，所以1

3n n a a +=，所以数列{}n a 是公比为3的等比数列.

（2）因为22a +是13,a a 的等差中项，所以()21322a a a +=+，所以()1112329a a a +=+，

解得11a =，数列{}n a 的通项公式为-13n n a =.

【一隅三反】

1．（2020·玉龙纳西族自治县田家炳民族中学高一月考）数列0,0,0,...,0,...（ ）

A ．既不是等差数列又不是等比数列

B ．是等比数列但不是等差数列

C ．既是等差数列又是等比数列

D ．是等差数列但不是等比数列

【答案】D

【解析】数列0,0,0,...,0,...是无穷数列，从第二项开始起，每一项与它前一项的差都等于常数0，符合等差数列的定义，所以数列0,0,0,...,0,...是等差数列，根据等比数列的定义可知，等比数列中不含有为0的项，所以数列0,0,0,...,0,...不是等比数列，故选D. 2．（2020·山东省泰安第二中学高三月考）已知数列{}n a 是等比数列，那么下列数列一定是等比数列的是（ ）

A ．1{}n

a B ．22log ()n a C ．1{}n n a a ++ D ．12{}n n n a a a ++++

【答案】AD 【解析】1n a =时，22log ()0n a =，数列22{log ()}n a 不一定是等比数列，

1q =-时，10n n a a ++=，数列1{}n n a a ++不一定是等比数列，

由等比数列的定义知1{}n a 和12{}n n n a a a ++++都是等比数列． 故选AD ．

3．（2020·浙江金华·期中）已知数列{}n a 满足11a =，()121n n na n a +=+．设n n a b n

=． （1）证明：数列{}n b 为等比数列； （2）求{}n a 的通项公式．

【答案】（1）详见解析；（2）12n n a n -=⋅． 【解析】（1）()121n n na n a +=+，n n a b n =，由条件可得121n n a a n n +=+，即12n n b b +=，又111b a ==， 所以{}n b 是首项为1，公比为2的等比数列． （2）由（1）可得12n n b -=，12n n a n -=，所以12n n a n -=⋅．

高中数学选择性必修二 4 3 等比数列(精讲)(含答案)

4.3 等比数列

考点一 等比数列基本量计算 【例1】（1）（2020·四川仁寿一中开学考试）在等比数列{}n a 中，126a a +=，33a =，则公比q 的值为（ ） A ．1 2 - B ．1 2 - 或1 C ．－1 D ．1 2 - 或－1 （2）（2020·哈密市第十五中学月考）已知各项均为正数的等比数列{}n a 的前4项和为15，且53134a a a =+，则3a =（ ） A ．16 B ．8 C ．4 D ．2 （3）（2020·四川省内江市第六中学开学考试（理））等比数列{}n a 的前n 项和1 31n n S a -=⋅+，则a =（ ） A ．-1 B ．3 C ．-3 D ．1 【答案】（1）B （2）C （3）C 【解析】（1）由题意112163 a a q a q +=⎧⎨=⎩，解得131a q =⎧⎨=⎩或1 12 12a q =⎧⎪⎨=-⎪⎩ ．故选：B ． 【答案】C （2）设正数的等比数列{a n }的公比为q ，则23111142 111 15, 34a a q a q a q a q a q a ⎧+++=⎨=+⎩， 解得11,2 a q =⎧⎨ =⎩，2 314a a q ∴==，故选C ． （3）因为数列是等比数列故满足2 2 13a a a ，111a S a ==+ ，232,6.a a a a == 代入2 213a a a 得到 3.a =- 故答案选C ． 【一隅三反】

1．（2020·石嘴山市第三中学月考）已知{}n a 是等比数列，a 1=2,a 4=1 4 ,则公比q =（ ） A ．12 - B ．-2 C ．2 D ． 12 【答案】D 【解析】∵{}n a 是等比数列，∴3411 1428 a q a ===，∴1 2q =．故选：D ． 2．（2020·黑龙江工农·鹤岗一中高一期末（文））已知数列{}n a 满足11 2 n n a a +=，若48a =，则1a 等于 A ．1 B ．2 C ．64 D ．128 【答案】C 【解析】因为数列{}n a 满足112n n a a +=，所以该数列是以1 2为公比的等比数列，又48a =，所以188 a =， 即164a =；故选C. 3．（2020·合肥市第十一中学高二开学考试）各项都是正数的等比数列{}n a 中，2311 ,,2 a a a 成等差数列，则公比q 的值为（ ） A B ． 1 2 C D 【答案】B 【解析】由题得 2231211112,,102a a a a q a a q q q ⨯=+∴=+∴--= ，所以q = 因为{}n a 是各项都是正数的等比数列，所以0q > ，所以2 q = .故选：B

高中数学选择性必修二 4 3 1 1等比数列的概念和通项公式(知识梳理+例题+变式+练习)(含答案)

4.3.1.1等比数列的概念和通项公式 知识点一 等比数列的概念 (1)文字语言：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q(q ≠0)表示． (2)符号语言：a n ＋1 a n ＝q (q 为常数，n ∈N *) 【重点总结】 (1)由等比数列的定义知，数列除末项外的每一项都可能作分母，故每一项均不为0，因此公比也不为0，由此可知，若数列中有“0”项存在，则该数列不可能是等比数列． (2)“从第2项起”是因为首项没有“前一项”，同时注意公比是每一项与其前一项之比，前后次序不能颠倒． (3)定义中的“同一个常数”是定义的核心之一，一定不能把“同”字省略． 要点二 等比中项 如果在a 与b 中间插入一个数G ，使a ，G ，b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项． 【重点总结】 (1)若G 是a 与b 的等比中项，则G a ＝b G ，所以G 2＝ab ，G ＝±ab. (2)与“任意两个实数a ，b 都有唯一的等差中项A ＝a ＋b 2 ”不同，只有当a 、b 同号时a 、b 才有等比中项， 并且有两个等比中项，分别是ab 与－ab ；当a ，b 异号时没有等比中项． (3)在一个等比数列中，从第2项起，每一项(有穷数列的末项除外)都是它的前一项与后一项的等比中项． 要点三 等比数列的通项公式 设等比数列{a n }的公比为q ，则这个等比数列的通项公式是a n ＝1 1n a q (a 1，q ≠0且n ∈N *)． 【重点总结】 (1)已知首项a 1和公比q ，可以确定一个等比数列． (2)在公式a n ＝a 1q n －1 中，有a n ，a 1，q ，n 四个量，已知其中任意三个量，可以求得第四个量，其中a 1，q 为 两个基本量． (3)对于等比数列{a n }，若q<0，则{a n }中正负项间隔出现，如数列1，－2,4，－8,16，…；若q>0，则数列{a n }各项同号．从而等比数列奇数项必同号；偶数项也同号． 【基础自测】 1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)若一个数列为{a n }，且满足a n a n －1 ＝q (n ≥2，q 为不等于0的常数)，则这个数列是等比数列．( ) (2)在等比数列{a n }中，若已知任意两项的值，则可以求出首项、公比和数列任一项的值．( ) (3)G 为a ，b 的等比中项⇔G 2＝ab .( ) (4)若一个数列从第二项开始，每一项都是它前后两项的等比中项，则这个数列是等比数列．( ) 【答案】（1）√（2）√（3）×（4）× 2．(多选题)下列数列不是等比数列的是( ) A ．2,22,3×22，… B.1a ，1a 2，1 a 3，…

高中数学选择性必修二 4 3 1 2等比数列的性质及应用(知识梳理+例题+变式+练习)(含答案)

4.3.1.2等比数列的性质及应用 要点一 等比数列的常用性质 (1)通项公式的推广：a n ＝a m ·q n －m (m ，n ∈N *) (2)若p ＋q ＝s ＋t (p 、q 、s 、t ∈N *)，则a p ·a q ＝s t a a 【重点总结】 (1)在已知等比数列{a n }中任一项a m 及公比q 的前提下，可以利用a n ＝a m q n －m 求等比数列中任意项a n ； (2)已知等比数列{a n }中的a m 和a n 两项，就可以使用a n a m ＝q n － m 求公比，其中m 可大于n ，也可小于n. 要点二 等比数列的单调性 已知等比数列{a n }的首项为a 1，公比为q ，则 (1)当⎩⎪⎨⎪⎧ a 1>0q >1或⎩⎪⎨⎪⎧ a 1<00001 时，等比数列{a n }为递减数列； (3)当q=1时，等比数列{a n }为常数列(这个常数列中各项均不等于0)； (4)当1<1时，等比数列{a n }为摆动数列． 【重点总结】 由等比数列的通项公式可知，公比影响数列各项的符号：一般地，q>0时，等比数列各项的符号相同；q<0时，等比数列各项的符号正负交替． 要点三 等比数列的其它性质 若{a n }是公比为q 的等比数列，则 (1)若m ，p ，n (m ，n ，p ∈N *)成等差数列，则a m ，a p ，a n 成等比数列； (2)数列{λa n }(λ≠0)，⎩⎨⎧⎭ ⎬⎫1a n ，{a 2n }都是等比数列，且公比分别是q ，1q ，q 2. (3)若{b n }是公比为p 的等比数列，则{a n b n }与⎩⎨⎧⎭ ⎬⎫a n b n 也都是等比数列，公比分别为pq 和q p . (4)在数列{a n }中，每隔k (k ∈N *)项取出一项，按原来的顺序排列，所得数列仍为等比数列，且公比为q k ＋ 1. (5)在数列{a n }中，连续相邻k 项的和(或积)构成公比为q k (或qk 2)的等比数列． 【重点总结】 若数列{a n }是各项都为正数的等比数列，则数列{lg a n }是公差为lg q 的等差数列； 若数列{b n }是等差数列，公差为d ，则数列{cb n }是以c d (c>0且c ≠1)为公比的等比数列． 【基础自测】 1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)有穷等比数列中，与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的积．( ) (2)当q >1时，{a n }为递增数列．( )

高中数学选择性必修二 4 3 1等比数列的概念 -A基础练(含答案)

4.3.1等比数列的概念 (1) -A 基础练 一、选择题 1．（2021·全国高二课时练）以下条件中，能判定数列是等比数列的有（ ） ①数列1，2，6，18，…； ②数列{}n a 中，已知2 12a a =，32 2a a =；③常数列a ，a ，…，a ，…；④数列{}n a 中，1 (0)n n a q q a +=≠，其中*n N ∈. A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 【答案】A 【详解】①中，数列不符合等比数列的定义，故不是等比数列； ②中，前3项是等比数列，多于3项时，无法判定，故不能判定是等比数列； ③中，当0a =时，不是等比数列；④中，数列符合等比数列的定义，是等比数列.故选：A. 2．（2021· 全国高二课时练）2 与2+ ） A ．1 B ．1- C ．2 D ．1-或1 【答案】D 【详解】 由题意可设2 与2+m ， 则2(21m =-+=，解得1m =-或1m =.故选：D. 3．（2021·福建莆田一中高二期末）已知{}n a 中，11a =，11 2 n n a a +=，则数列{}n a 的通项公式是（ ） A ．2n a n = B ．1 2n a n = C ．1 12n n a -= D ．2 1n a n = 【答案】C 【详解】解:因为{}n a 中，11a =，11 2n n a a +=,所以数列{}n a 是首项为11a =,公比12 q =的等比数列,

设通项公式为: 1 1n n a a q -=,所以1 1 11 122 n n n a --⎛⎫=⨯= ⎪⎝⎭ .故选:C 4．（2021·山西师大附中高二期末）已知公差0d ≠的等差数列{}n a 满足11a =，且2a ，42a -，6a 成等比数列，若正整数m ，n 满足10m n -=，则m n a a -=（ ） A ．10 B ．20 C ．30 D ．5或40 【答案】C 【详解】由题知()2 4262a a a -=，因为{}n a 为等差数列，所以()()()2 31115d d d -=++，又0d ≠， 则3d =，从而()30m n a a m n d -=-=.故选：C ． 5．（多选题）（2021·江苏淮安市高二期末）下列选项中，不是．． {}n a 成等比数列的充要条件是（ ）． A ．1n n a a q +=⋅（q 为常数） B ．1 1n n a a q -=（q 为常数） C ．2 120n n n a a a ++=⋅≠ D ．1n a +=【答案】ABD 【详解】解：对于A. 1n n a a q +=⋅当,00n q a ==时，等式成立，此时不是等比数列，故错误； 对于B. 1 1n n a a q -=当100,q a ==时，等式成立，此时不是等比数列，故错误； 对于C. 根据等比数列等比中项可以判定此数列为等比数列，故正确；对于 D. 1n a +=120,0,0n n n a a a ++===时，等式成立，此时不是等比数列，故错误；故选：ABD. 6．（多选题）（2020·湖南郴州高二期末）关于递增等比数列{}n a ，下列说法不正确．．． 的是（ ） A ．10a > B ．1q > C ． 1 1n n a a +< D ．当10a >时，1q > 【答案】ABC

高中数学选择性必修二 4 3 1第一课时等比数列的概念及通项公式(含答案)

4．3.1 第一课时 等比数列的概念及通项公式 [A 级 基础巩固] 1．已知等比数列{a n }的公比为正数，且a 3a 9＝2a 25，a 2＝1，则a 1＝( ) A.12 B ．2 C. 2 D ． 22 解析：选D 设数列{a n }的公比为q ，则q >0.由已知，得a 1q 2·a 1q 8＝2(a 1q 4)2，即q 2＝2.又q >0，所以q ＝2， 所以a 1＝a 2q ＝12＝22 ，故选D. 2．已知等比数列{a n }的各项均为正数，公比q ≠1，k a 1a 2…a k ＝a 11，则k ＝( ) A ．12 B ．15 C ．18 D ．21 解析：选D k a 1a 2…a k ＝a 1q 1231k k ++++(-) ＝a 1q 12k -＝a 1q 10，∵a 1>0，q ≠1，∴k －12 ＝10，∴k ＝21，故选D. 3．已知数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1＝3a n ＋2，则a 2 019＝( ) A ．32 019＋1 B ．32 019－1 C ．32 019－2 D ．32 019＋2 解析：选B ∵a n ＋1＝3a n ＋2，∴a n ＋1＋1＝3(a n ＋1)．∵a 1＋1＝3，∴数列{a n ＋1}是首项，公比均为3的等比数列， ∴a n ＋1＝3n ，即a n ＝3n －1，∴a 2 019＝32 019－1.故选B. 4．各项都是正数的等比数列{a n }中，a 2，12a 3，a 1成等差数列，则a 3＋a 4a 4＋a 5 的值为( ) A.5＋12 D ． 5－12

C.1－52 D ．5＋12或1－52 解析：选B 设{a n }的公比为q (q >0，q ≠1)，根据题意可知a 3＝a 2＋a 1，∴q 2－q －1＝0，解得q ＝ 5＋12或q ＝1－52(舍去)，则a 3＋a 4a 4＋a 5＝1q ＝5－12.故选B. 5．等比数列{a n }的公比为q ，且|q |≠1，a 1＝－1，若a m ＝a 1·a 2·a 3·a 4·a 5，则m 等于( ) A ．9 B ．10 C ．11 D ．12 解析：选C ∵a 1·a 2·a 3·a 4·a 5＝a 1·a 1q ·a 1q 2·a 1q 3·a 1q 4＝a 51·q 10＝－q 10，a m ＝a 1q m －1＝－q m －1， ∴－q 10＝－q m － 1，∴10＝m －1，∴m ＝11. 6．若数列{a n }的前n 项和为S n ，且a n ＝2S n －3，则{a n }的通项公式是________． 解析：由a n ＝2S n －3得a n －1＝2S n －1－3(n ≥2)，两式相减得a n －a n －1＝2a n (n ≥2)， ∴a n ＝－a n －1(n ≥2)，a n a n －1 ＝－1(n ≥2)． 故{a n }是公比为－1的等比数列， 令n ＝1得a 1＝2a 1－3，∴a 1＝3， 故a n ＝3·(－1)n －1. 答案：a n ＝3·(－1)n －1 7．已知等比数列{a n }中，a 3＝3，a 10＝384，则a 4＝________. 解析：设公比为q ，则a 1q 2＝3，a 1q 9＝384， 所以q 7＝128，q ＝2，故a 4＝a 3q ＝3×2＝6. 答案：6 8．设等差数列{a n }的公差d 不为0，a 1＝9d ，若a k 是a 1与a 2k 的等比中项，则k ＝________. 解析：∵a n ＝(n ＋8)d ，又∵a 2k ＝a 1·a 2k ，∴[(k ＋8)d ]2＝9d ·(2k ＋8)d ，解得k ＝－2(舍去)或k ＝4. 答案：4

高中数学选择性必修二 4 3 1等比数列的概念 新 -A基础练(含答案)

4.3.1等比数列的概念 (2) -A 基础练 一、选择题 1．（2021·天津和平区·耀华中学高二期末）已知等比数列{}n a 中， 24a =-，51 2 a =，则公比q =（ ） A ．2- B ．12 - C ． 12 D ．2 【答案】B 【详解】 352a a q =，即 3142q =-，解得1 2 q =-.故选：B. 2．（2021·河南信阳市高二期末）“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得 到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于若第一个单音的频率为f ，则第六个单音的频率为（ ） A ． B ． C D 【答案】B 【详解】由题意知，十三个单音的频率构成等比数列{}n a ，公比为∴第六个单音的频率 561a a q =⋅=.故选：B. 3．（2021·南昌市新建区二中高二期末）若数列{}n a 是公比为4的等比数列，且12a =，则数列 {}2log n a 是（ ） A ．公差为2的等差数列 B ．公差为lg 2的等差数列 C ．公比为2的等比数列 D ．公比为lg 2的等比数列 【答案】A 【详解】因为数列{}n a 是公比为4的等比数列，且12a =，

所以121242n n n a --=⨯=， ，22212 o 1l g log 2n n a n -==-， 所以数列{}2log n a 是公差为2的等差数列，故选A. 4．（2021·安徽宣城市高二期末）在等比数列{}n a 中，12345a a a a +++=，233a a =-，则 1234 1111 a a a a +++=（ ） A ． 35 B ．53 - C ． 53 D ． 35 【答案】B 【详解】解：23 1412341423 1111a a a a a a a a a a a a +++++=+⋅⋅．∵在等比数列{}n a 中，14233a a a a ⋅=⋅=-， 所以 12341111a a a a +++12342353 a a a a a a +++==-⋅．故选：B ． 5．（多选题）（2021·江苏连云港市高二期末）据美国学者詹姆斯·马丁的测算，近十年，人类知识总量已达到每三年翻一番，到2020年甚至要达到每73天翻一番的空前速度．因此，基础教育的任务已不是教会一切人一切知识，而是让一切人学会学习．已知2000年底，人类知识总量为a ，假如从2000年底到2009年底是每三年翻一番，从2009年底到2019年底是每一年翻一番，2020年（按365天计算）是每73天翻一番，则下列说法正确的是（ ）． A ．2006年底人类知识总量是2a B ．2009年底人类知识总量是8a C ．2019年底人类知识总量是132a D ．2020年底人类知识总量是182a 【答案】BCD 【详解】2000年到2006年每三年翻一番，则总共翻了 2006-2000 =23 番. 2000年底，人类知识总量为a ，则2006年底，人类知识总量为224a a ⋅=，故A 错. 2000年到2009年每三年翻一番，则总共翻了 2009-2000 =33 番.

高中数学4-3等比数列4-3-2等比数列的前n项和公式课后提能训练新人教A版选择性必修第二册

第四章 4.3 4.3.2 A 级——基础过关练 1．数列{2 n －1 }的前10项和为( ) A ．211 －1 B ．1－211 C ．210 －1 D ．1－210 【答案】C 【解析】数列{2n －1 }为等比数列，首项为1，公比为2，故其前10项和为 S 10＝1－2101－2 ＝210 －1. 2．设等比数列{a n }的公比q ＝12，前n 项和为S n ，则S 4 a 4的值为( ) A ．15 B ．18 C ．21 D ．24 【答案】A 【解析】∵S 4＝a 1(1－q 4)1－q ，a 4＝a 1q 3 ，∴S 4a 4＝1－q 4q 3(1－q ) ＝15. 3．(2021年衡水模拟)有这样一道题目：“戴氏善屠，日益功倍．初日屠五两，今三十日屠讫，向共屠几何？”其意思为：“有一个姓戴的人善于屠肉，每一天屠完的肉是前一天的2倍，第一天屠了5两肉，共屠了30天，问一共屠了多少两肉？”在这个问题中，该屠夫前5天所屠肉的总两数为( ) A ．35 B ．75 C ．155 D ．315 【答案】C 【解析】由题意可得该屠夫每天屠的肉成等比数列，记首项为a 1，公比为 q ，前n 项和为S n ，则a 1＝5，q ＝2，∴前5天所屠肉的总两数为S 5＝a 1(1－q 5)1－q ＝ 5×(1－25) 1－2 ＝155. 4．(2022年临汾期末)已知S n 是等比数列{a n }的前n 项和，若S 2＝1，S 4＝3，则S 6＝( ) A ．6 B ．7 C ．8 D ．9 【答案】B 【解析】根据题意，等比数列{a n }中，有(S 4－S 2)2 ＝S 2×(S 6－S 4)，即(3－1)2 ＝(S 6－3)×1，解得S 6＝7.故选B ． 5．(2022年安徽开学)已知正项数列{a n }满足：∀m ，n ∈N * ，a m ·a n ＝a m ＋n ，若a 4＝4，则数列{a 2n }的前2022项和为( )

高二数学人教A版选择性必修第二册第四章4.3.2等比数列前n项和公式的应用-同步练习及解析答案

高中数学人教A 版（新教材）选择性必修第二册4.3.2 第2课时 等比数列前n 项和公式的应用 一、选择题 1．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且4a 1，2a 2，a 3成等差数列．若a 1＝1，则S 4等于( ) A ．7 B ．8 C ．15 D ．16 2．设{a n }是由正数组成的等比数列，S n 为其前n 项和．已知a 2a 4＝1，S 3＝7，则S 5等于( ) A ．152 B ．314 C ．334 D ．172 3．设各项都是正数的等比数列{a n }，S n 为其前n 项和，且S 10＝10，S 30＝70，那么S 40等于( ) A ．150 B ．－200 C ．150或－200 D ．400 4．设数列{x n }满足log 2x n ＋1＝1＋log 2x n (n ∈N *)，且x 1＋x 2＋…＋x 10＝10 ，记{x n }的前n 项和为S n ，则S 20等于( ) A ．1 025 B ．1 024 C ．10 250 D ．20 240 5．已知公差d ≠0的等差数列{a n } 满足a 1＝1，且a 2，a 4－2，a 6成等比数列，若正整数m ，n 满足m －n ＝10，则a m －a n ＝( ) A ．30 B ．20 C ．10 D ．5或40 6．(多选题)已知S n 是公比为q 的等比数列{a n }的前n 项和，若q ≠1，m ∈N *，则下列说法正确的是( ) A ．S 2m S m ＝a 2m a m ＋1 B ．若S 6 S 3 ＝9，则q ＝2 C ．若S 2m S m ＝9，a 2m a m ＝5m ＋1m －1，则m ＝3，q ＝2 D ．若a 6 a 3 ＝9，则q ＝3 7．在各项都为正数的数列{a n }中，首项a 1＝2，且点(a 2n ，a 2 n －1)在直线x －9y ＝0上，则数列 {a n }的前n 项和S n 等于( ) A ．3n －1 B ．1－(－3)n 2 C ．1＋3n 2 D ．3n 2＋n 2 二、填空题

高中数学选择性必修二 专题4 3 等比数列(A卷基础篇)(含答案)

专题4. 3等比数列（A 卷基础篇）（人教A 版第二册,浙江专用） 参考答案与试题解析 第Ⅰ卷（选择题） 一．选择题（共10小题，满分50分，每小题5分） 1．（2020·新疆巴音郭楞蒙古自治州·高一期末）各项均为正数的等比数列{}n a 中，11a =，54a =，则3a =（ ） A ．2 B ．-2 C D ． 【答案】A 【解析】 因为各项均为正数的等比数列{}n a 中，11a =，54a =，所以2 3 154a a a =⨯=，所以32a =（负值舍去） 故选：A. 2．（2020·成都市实验外国语学校（西区）高一期中）等比数列{}n a 中，已知12a =，416a =，数列{}n a 的公比为（ ）. A ． 1 2 B ．2- C ．2 D ．12 - 【答案】C 【解析】 数列{}n a 是等比数列，则1 1n n a a q -=⋅，（q 为数列{}n a 的公比），则3341162a a q q =⋅⇒=⋅，解得2q . 故选：C. 3．（2020·山东省济南回民中学高二期中）在等比数列{}n a 中，11a =，2q ，则数列的前5项和等于（ ） A ．31 B ．32 C ．63 D ．64 【答案】A 【解析】 因为等比数列{}n a 中，11a =，2q ，所以数列的前5项和( )()5 5 151******** a q S q -⨯-= ==--， 故选：A . 4．（2020·全国高二课时练习）2与2+ ） A ．1 B ．1- C ．2 D ．1-或1

【解析】 由题意可设2 与2+m ， 则2(21m =-+=，解得1m =-或1m =. 故选：D. 5．（2020·江阴市华士高级中学高二期中）我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：“一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯多少？”现有类似问题：一座5层塔共挂了363盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的3倍，则塔的中间一层共有灯（ ） A ．3盏 B ．9盏 C ．27盏 D ．81盏 【答案】C 【解析】 根据题意，设塔的底层共有x 盏灯，则每层灯的数目构成以x 为首项， 1 3 为公比的等比数列， 则有51(1) 3363 113 x S ⨯- = =-， 解可得：243x =， 所以中间一层共有灯2 1 243()273 ⨯=盏. 故选：C 6．（2020·江苏省锡山高级中学高二月考）在等比数列{}n a 中，首项11 ,2a =11,,232 n q a ==则项数n 为（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 【答案】C 【解析】 由题意可得等比数列通项5 111122n n n a a q -⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，则5n = 故选：C 7．（2020·江苏南通市·高二期中）已知1，a ，x ，b ，16这五个实数成等比数列，则x 的值为（ ） A ．4 B ．－4 C ．±4 D ．不确定

高中数学选择性必修二 4 3 2 等比数列的前n项和(含答案)

课时同步练 4.3.2 等比数列的前n 项和（1） 一、单选题 1．等比数列的公比为2，且前四项之和等于1，则其前八项之和等于（ ） A ．15 B ．21 C ．19 D ．17 【答案】D 【解析】由已知得12341a a a a +++=， 则12345678a a a a a a a a +++++++ ()412341234a a a a a a a a q =+++++++ 41217=+=. 故选D. 2．若a ，4，3a 为等差数列的连续三项，则0129a a a a +++⋯+的值为（ ） A ．2047 B ．1062 C ．1023 D ．531 【答案】C 【解析】∵ a ，4，3a 为等差数列的连续三项 ∴a +3a =4a =2×4， 解得a =2， 故0 1 2 9 a a a a +++⋯+=20+21+22+…+29=10 12 102312 -=-．

3．已知等比数列｛a n ｝的公比q = 1 2 ，且a 1+a 3+a 5+…+a 99=60，则a 1+a 2+a 3+a 4+…+a 100等于（ ） A ．100 B ．90 C ．60 D ．40 【答案】B 【解析】∵1359960a a a a +++ +=， ∴246100135991 1 ()603022 a a a a a a a a ++++= ++++=⨯=， ∴1234100306090a a a a a +++++=+=. 故选B. 4．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝1，a 5＋a 6＋a 7＋a 8＝2，S n ＝15，则项数n 为（ ） A ．12 B ．14 C ．15 D ．16 【答案】D 【解析】 5678 1234 a a a a a a a a ++++++＝q 4＝2， 由a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝1， 得a 1(1＋q ＋q 2＋q 3)＝1， 即a 1·4 11q q --＝1，∴a 1＝q －1， 又S n ＝15，即 ( )111n a q q --＝15， ∴q n ＝16， 又∵q 4＝2，

高中数学选择性必修二 精讲精炼 4 等比列(精讲)(含答案)

4.3 等比数列(精讲)

考点一 等比数列的判断或证明 【例1-1】(2021·全国高二专题练习)下面四个数列中，一定是等比数列的是( ) A ．q ，2q ，4q ，6q B ．q ，q 2，q 3，q 4 C ．q ，2q ，4q ，8q D ．1q ，21q ，31q ，41q 【答案】D 【解析】对于A 、B 、C ： 当q ＝0时不是等比数列，故A 、B 、C 错误； 对于D ：由题意可得0q ≠，且符合等比数列的定义，公比是1 q ，故D 正确，故选：D 【例1-2】(2021·全国高二课时练习)已知数列{}n a 满足11a =，22a =，且1123n n n a a a +-=+ (2,)n n N *≥∈，设1n n n b a a +=+()n *∈N ，求证{}n b 是等比数列 【答案】证明见解析 【解析】证明：因为1123n n n a a a +-=+(2,)n n N *≥∈， 所以 ()11111 33n n n n n n n n n n a a b a a b a a a a -+---++===++，又因为1213b a a =+=， 所以{}n b 是以首项为3，公比为3的等比数列.

【一隅三反】 1(2021·全国高二课时练习)若数列{}n a 是等比数列，则下列数列一定是等比数列的是( )． A ．{}lg n a B ．{}1n a + C ．1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭ D ． 【答案】C 【解析】因为数列{}n a 是等比数列，所以1 1n n a a q -=， 对于A ， 111lg lg lg lg lg (1)lg n n a a n q a a n q ++=+-不一定是常数，故A 不一定是等比数列； 对于B ，{1}n a +可能有项为零，故B 不一定是等比数列； 对于C ，利用等比数列的定义，可知1n a ⎧⎫ ⎨⎬⎩⎭ 的公比是数列{}n a 公比的倒数，故C 项一定是等比数列； 对于D ，当0q <时，数列{}n a D 项不符合题意； 故选C. 2．(2021·全国高二课时练习)设数列{}n a 为公比不为1-的等比数列，则下面四个数列：①{} 3 n a ；①{}n pa (p 为非零常数)；①{}1n n a a +；①{}1n n a a ++其中是等比数列的有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 【答案】D 【解析】设数列{}n a 的公比为q ，则 1 n n a q a +=， 对于①，因为3 33 113n n n n a a q a a ++⎛⎫== ⎪⎝⎭ 是常数，所以{} 3n a 是等比数列； 对于①，因为11 n n n n pa a q pa a ++==是常数，所以{}n pa 是等比数列； 对于①，因为 2122 1n n n n n n a a a q a a a ++++==是常数，所以{}1n n a a +是等比数列； 对于①，因为 ()11211 n n n n n n n n q a a a a q a a a a +++++++==++是常数，所以{}1n n a a ++是等比数列； 所以①①①①都是等比数列，所以等比数列有4个， 故选：D. 3．(2021·玉溪第二中学高二月考(理))已知数列{}n a ，11a =，n N +∀∈，121n n a a +=+.

高中数学选择性必修二 4 3 等比数列尖子生同步培优题典(含答案)

2020-2021年高二数学选择性必修二尖子生同步培优题典 4.2 等比数列 解析版 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 注意事项：本卷共16小题，6道单选题，3道多选题，3道填空题，4道解答题。 一、单选题 1．已知n S 是数列{}n a 的前n 项和，( )* 3log n S n n N =∈，则数列{}n a 是（ ） A ．公比为3的等比数列 B ．公差为3的等差数列 C ．公比为 1 3 的等比数列 D ．既非等差数列，也非等比数列 【答案】D 【解析】 【分析】 由3log n S n =得3n n S =，然后利用n a 与n S 的关系即可求出n a 【详解】 因为3log n S n =，所以3n n S = 所以当1n =时，113a S == 2n ≥时，11 13323n n n n n n a S S ---=-=-=⋅ 所以1 3,123,2 n n n a n -=⎧=⎨ ⋅≥⎩ 故数列{}n a 既非等差数列，也非等比数列 故选：D 【点睛】 要注意由n S 求n a 要分两步：1. 1n =时11a S =，2. 2n ≥时1n n n a S S -=-. 2．已知n S 是等比数列{}n a 的前n 项和，若存在*m N ∈，满足228m m S S =，2221 2 m m a m a m +=-，则数列{}n a 的公比为（ ） A ． 1 2 B ． 13 C ．2 D ．3 【答案】D 【解析】

【分析】 先判断1q ≠，由 228m m S S =，利用等比数列求和公式可得27m q =，结合2221 2 m m a m a m +=-可得3m =，从而根据327q =可得结果. 【详解】 设等比数列公比为q 当1q =时， 2228m m S S =≠，不符合题意， 当1q ≠时， () () 21211128,12811m m m m m a q S q q S q a q --=∴⋅=+=--， 得27m q =，又 2221221 ,22 m m m a m m q a m m ++=∴=--， 由 221 272 m m +=-，得3m =， 327,3q q ∴=∴=，故选D. 【点睛】 本题主要考查等比数列的通项公式与求和公式的应用，意在考查对基本公式的掌握与应用，考查了分类讨论思想的应用，属于中档题.解有关等比数列求和的题的过程中，如果公比是参数一定要讨论 1q ≠与1q =两种情况，这是易错点. 3．音乐与数学有着密切的联系，我国春秋时期有个著名的“三分损益法”：以“宫”为基本音，“宫”经过一次“损”，频率变为原来的 3 2，得到“微”，“微”经过一次“益”，频率变为原来的34 ，得到“商”…… 依此规律损益交替变化，获得了“宫”“微”“商”“羽”“角”五个音阶.据此可推得（ ） A ．“商”“羽”“角”的频率成公比为 3 4 的等比数列 B ．“宫”“微”“商”的频率成公比为 3 2 的等比数列 C ．“宫”“商”“角”的频率成公比为 9 8 的等比数列 D ．“角”“商”“宫”的频率成公比为1 2 的等比数列 【答案】C 【解析】 【分析】

高中数学选择性必修二 4 3 2 1等比数列的前n项和(知识梳理+例题+变式+练习)(含答案)

4.3.2.1等比数列的前n 项和 要点一 等比数列的前n 项和公式 【重点总结】 (1)等比数列前n 项和公式分q ＝1与q ≠1两种情况，因此当公比未知时，要对公比进行分类讨论． (2)q ≠1时，公式S n ＝a 1(1 －q n )1 －q 与S n ＝a 1 －a n q 1 －q 是等价的，利用a n ＝a 1q n － 1可以实现它们之间的相互转化． 当已知a 1，q 与n 时，用S n ＝a 1(1 －q n ) 1 －q 较方便； 当已知a 1，q 与a n 时，用S n ＝a 1 －a n q 1 －q 较方便． 要点二 等比数列前n 项和的性质 (1)当q ＝1时，S n S m ＝n m ；当q ≠±1时，S n S m ＝11n m q q -- . (2)S n ＋m ＝S m ＋m q S n ＝S n ＋n q S m . (3)设S 偶与S 奇分别是偶数项的和与奇数项的和．若项数为2n ，则S 偶S 奇＝q ；若项数为2n ＋1，则S 奇－a 1 S 偶＝q. (4)当q ≠－1时，连续m 项的和(如S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…)仍组成等比数列(公比为m q ，m ≥2)，注意：这连续m 项的和必须非零才能成立． 【笔记小结】 (1)当q ＝ －1且k 为偶数时，S k ，S 2k －S k ，S 3k －S 2k ，…不是等比数列； (2)当q ≠ －1时，或q ＝ －1且k 为奇数时，S k ，S 2k －S k ，S 3k －S 2k ，…是等比数列． (3)若{a n }是公比为q 的等比数列，则：①前n 项积T n ＝a n 1q -12 n n ()；②连续m 项的积仍为等比数列，即T m ，T 2m T m ， T 3m T 2m ，…是等比数列，公比为qm 2. 【基础自测】 1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)求等比数列{a n }的前n 项和时可直接套用公式S n ＝a 1(1－q n ) 1－q 来求．( )

高中数学选择性必修二 专题4 3 等比数列(含答案)同步培优专练

专题4.3 等比数列 知识储备 知识点一 等比数列的概念 思考1 观察下列4个数列，归纳它们的共同特点. ①1,2,4,8,16，…； ②1， 12，14，18，116 ，…； ③1,1,1,1，…； ④－1,1，－1,1，… 【答案】从第2项起，每项与它的前一项的比是同一个常数. 思考2 类比等差数列，归纳出等比数列的概念和特点. (1)文字定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数，那么这个数列叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q 表示(q ≠0). (2)递推公式形式的定义 1n n a a -＝q (n >1).(或1n n a a +＝q ，n ∈N *) (3)等比数列各项均不能为0；故只有非零常数列才是等比数列. 知识点二 等比中项的概念 思考1 在2,8之间插入一个数，使之成等比数列.这样的实数有几个？ 【答案】设这个数为G .则 8 2G G =，G 2＝16，G ＝±4.这样的数有2个. 思考2 对比等差中项与等比中项的异同，完成表格 知识点三 等比数列的通项公式

思考 类比等差数列通项公式的推导过程，推导首项为a 1，公比为q 的等比数列的通项公式. 【答案】根据等比数列的定义得： 21a a ＝q ，32a a ＝q ，43a a ＝q ，…，1 n n a a -＝q (n ≥2). 将上面n －1个等式的左、右两边分别相乘， 得 21a a ·32a a ·43a a ·…·1n n a a -＝q n －1，化简得1 n a a ＝q n －1，即a n ＝a 1q n － 1(n ≥2). 当n ＝1时，上面的等式也成立. ∴a n ＝a 1q n － 1(n ∈N *). 知识点四 等比数列通项公式的推广 思考1 我们曾经把等差数列的通项公式做过如下变形： a n ＝a 1＋(n －1)d ＝a m ＋(n －m )d . 等比数列也有类似变形吗？ 【答案】在等比数列中，由通项公式a n ＝a 1q n －1 ，得n m a a ＝111 1n m a q a q --＝q n －m ，所以a n ＝a m ·q n － m (n ，m ∈N *). 思考2 我们知道等差数列的通项公式可以变形为a n ＝dn ＋a 1－d ，其单调性由公差的正负确定；你能用等比数列的通项公式研究其单调性吗？ 【答案】设等比数列{a n }的首项为a 1，公比为q . 则a n ＋1－a n ＝a 1q n －a 1q n － 1＝a 1q n － 1(q －1)，差的正负由a 1，q ，q －1的正负共同决定. 当101a q >⎧⎨ >⎩或10 01a q <⎧⎨<<⎩ 时，{a n }是递增数列； 当101a q <⎧⎨>⎩或1001a q >⎧⎨<<⎩ 时，{a n }是递减数列； q ＜0时，{a n }是摆动数列， q ＝1时，{a n }是常数列. 知识点五 由等比数列衍生的等比数列 思考1 等比数列{a n }的前4项为1,2,4,8，下列判断正确的是： (1){3a n }是等比数列； (2){3＋a n }是等比数列； (3){ 1 n a }是等比数列；(4){a 2n }是等比数列. 【答案】由定义可判断出(1)，(3)，(4)正确. 思考2 试把思考1推广到一般的等比数列. 【答案】(1)在等比数列{a n }中按序号从小到大取出若干项：ak 1，ak 2，ak 3，…，ak n ，…，若k 1，k 2，k 3，…，k n ，…成等差数列，那么ak 1，ak 2，ak 3，…，ak n ，…是等比数列.

高中数学选择性必修二 4 3 2 2等比数列前n项和公式(知识梳理+例题+变式+练习)(含答案)

4.3.2.2等比数列的前n 项和公式 要点 等比数列前n 项和公式与函数的关系 等比数列前n 项和公式S n ＝a 1(1－q n ) 1－q ， 变形为：S n ＝ 11a q - q n －11 a q -. 【重点总结】 S n 是关于n 的一个指数式与一个常数的差构成的，而指数式的系数与常数项互为相反数；求解时，常设S n ＝Aq n －A(A ≠0)，用待定系数法． 1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)对于公比q ≠1的等比数列{a n }的前n 项和公式，其q n 的系数与常数项互为相反数．( ) (2)数列{a n }的前n 项和为S n ＝a n ＋b (a ≠0，a ≠1)，则数列{a n }一定是等比数列．( ) (3)数列{a n }为等比数列，则S 4，S 8－S 4，S 12－S 8成等比数列．( ) (4)若某数列的前n 项和公式为S n ＝－aq n ＋a (a ≠0，q ≠0且q ≠1，n ∈N *)，则此数列一定是等比数列．( ) 【答案】（1）√（2）×（3）×（4）√ 2．若等比数列{a n }中，前n 项和S n ＝3n ＋a ，则a 等于( ) A ．－4 B ．－2 C ．0 D ．－1 【答案】D 【解析】∵a 1＝S 1＝3＋a ，a 2＝S 2－S 1＝6， a 3＝S 3－S 2＝18. 由a 1·a 3＝a 22得(3＋a )·18＝62 ∴a ＝－1.故选D. 3．已知a ，b ，c 成等比数列，如果a ，x ，b 和b ，y ，c 都成等差数列，则a x ＋c y ＝( ) A ．1 B ．2 C.18 D.1316 【答案】B 【解析】(特值法)：设a ，b ，c 分别为2,4,8. 则x ＝a ＋b 2＝3，y ＝b ＋c 2＝6∴a x ＋c y ＝23＋86 ＝2.故选B. 4．一座七层的塔，每层所点的灯的盏数都等于上面一层的2倍，一共点381盏灯，则底层所点灯的盏数是________． 【答案】192 【解析】设最下面一层灯的盏数为a 1，则公比q ＝1 2，n ＝7，由a 1⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫1271－1 2 ＝381，解得a 1＝192. 题型一 等比数列前n 项和公式的函数特征的应用