高二数学 定积分基础练
1. 求原函数
①( )=sin x '; 1( )=
x '; ( )=2x '; 21( )=x
'-; ②( )=n x '; 2( )=x '
; ( )'
; ( )'2. 从如图所示的长方形区域内任取一个点M(x ,y ), 则点M 取自阴影部分的概率为
3. 定积分)(lim )(1
i n i n b a f n a
b dx x f ξ∑?=∞→-=的大小是一个常数
(A) 与f(x )和积分区间[a ,b]有关,与i ξ的取法无关
(B) 与f(x )有关,与区间[a ,b]有以及i ξ的取法无关
(C) 与f(x )以及i ξ的取法有关,与区间[a ,b]无关
(D) 与f(x ),积分区间[a ,b] 以及i ξ的取法无关
7. m =?1
dx e x
与n =?e dx x 11的大小关系是
(A) m >n (B) m <n (C) m =n (D) 无法确定
8. 已知???≤<≤≤-=10,10
1,)(2x x x x f ,则=?-11
)(dx x f
(A) 32 (B)-23 (C) 23 (D) 43 9.由定积分的几何意义和性质可知=?-1
12dx x
(A) 0
(B) 2?-0
1
2dx x
(C)
?
-0
1
2dx x
(D)
?
1
2dx x
11. 若2ln 3)1
2(1+=+?a
dx x x ,则a 的值是
(A)6 (B)4 (C)3 (D)2 12. 曲线y =x 3与直线y =x 所围成图形的面积等于
(A)
?--1
13
)(dx x x (B)
?--1
13)(dx x x
(C)2?-1
3
)(dx x x
(D)2?
--0
1
3)(dx x x
14.
由曲线y =,直线2y x =-及y 轴所围成的图形的面积为
(A) 103 (B)4 (C) 163
(D) 6
6.如图,函数)(x f y =在区间[a ,b ]上,则阴影部分的面积S 为 ( )
A .
?
b
a
dx x f )( B .
?
c
a
dx x f )(-?b
c
dx x f )(
C .―?
c
a
dx x f )(―?b
c
dx x f )( D .―?c
a
dx x f )(+?b
c
dx x f )(
13
dx e e x x ?
-+1
)(= ( )
A .e
e 1
+
B .2e
C .e 2
D .e e 1-
2
4.一变速运动物体的运动速度v (t )=???
??
2t (0≤t ≤1)a t (1≤t ≤2)
b t (2≤t ≤e )
,则该物体在0≤t ≤e 时间段内运动的路
程为(速度单位:m/s ,时间单位:s)______________________.
5、一物体按规律x =bt 3作直线运动,式中x 为时间t 内通过的距离,媒质的阻力正比
于速度的平方.试求物体由x =0运动到x =a 时,阻力所作的功.
15.定积分的几何意义 ①计算dx x ?
--4
4
2
16的大小.②解释(ⅰ)0sin 22
=?-ππxdx ;(ⅱ)
?
?=-20
22
cos 2cos π
ππxdx xdx
16.平面图形面积的计算
①计算由直线y =x -4,曲线y =2x
S.
②由两条曲线y =x 2,y =1
4x 2与直线y =1围成平面区域的面积是________
定积分测试题及答案 班级: 姓名: 分数: 一、选择题:(每小题5分) 1.0=?( ) A.0 B.1 C.π D 4π 2(2010·山东日照模考)a =??02x d x ,b =??02e x d x ,c =??02sin x d x ,则a 、b 、c 的大小关系是( ) A .a 8.函数F (x )=??0 x t (t -4)d t 在[-1,5]上( ) A .有最大值0,无最小值 B .有最大值0和最小值-323 C .有最小值-323,无最大值 D .既无最大值也无最小值 9.已知等差数列{a n }的前n 项和S n =2n 2+n ,函数f (x )=??1 x 1t d t ,若f (x ) 第六章 定积分的应用 习题 6-2 (A) 1. 求下列函数与 x 轴所围部分的面积: ] 3,0[,86)1(2+-=x x y ] 3,0[, 2)2(2x x y -= 2. 求下列各图中阴影部分的面积: 1. 图 6-1 3.求由下列各曲线围成的图形的面积: ; 1,)1(===-x e y e y x x 与 ; )0(ln ,ln ,0ln )2(>>====a b b y a y x x y 与 ;0,2)3(2==-=y x y x x y 与 ; )1(,2)4(22--==x y x y ;0,2)1(4)5(2=-=-=y x y x y 与 ; 2,)6(2x y x y x y ===与 ; )0(2sin ,sin 2)7(π≤≤==x x y x y ; 8,2 )8(222 (两部分都要计算)=+=y x x y 4.的图形的面积。 所围成与直线求由曲线e x e x y x y ====-,,0ln 1 5.的面积。处的切线所围成的图形和及其在点求抛物线)0,3()3,0(342--+-=x x y 6.的面积。处的法线所围成的图形及其在点求抛物线),2 (22p p px y = 7.形的面积。与两坐标轴所围成的图求曲线a y x =+ 8.所围图形的面积。求椭圆 12 2 2 2 =+ b y a x 9.。与横轴所围图形的面积(的一拱求由摆线)20)cos 1(),sin (π≤≤-=-=t t a y t t a x 10.轴之间的图形的面积。的切线的左方及下方与由该曲线过原点求位于曲线x e y x = 11.求由下列各方程表示的曲线围成的图形的面积: ;)0(sin 2)1(>=a a θρ ; )0()cos 2(2)2(>+=a a θρ ; 2cos 2)3(2(双纽线)θρ= 抛物体的体积。 轴旋转,计算所得旋转 所围成的图形绕及直线把抛物线x x x x ax y )0(4.12002>== 体的体积。 旋转轴旋转,计算所得两个轴及所围成的图形,分别绕由y x y x x y 0,2,.133=== 14.求下列已知曲线所围成的图形,按指定的轴旋转所产生的旋转体的体积: ;,0,,0)1(轴绕与x y a x x a x ch a y ==== ;,2sin )2(轴绕与x x y x y π = = ; ,)2 0(cos sin )3(轴绕与x x x y x y π ≤≤== ; 0,2,ln )4(轴绕与y y x x y === ;0,2)5(2轴绕与y y x y x x y ==-= ; , 16)5()6(22轴绕y y x =+- 。产生的旋转体的体积旋转 轴绕轴所围的图形处的切线和及其在求由抛物线x x x y )2,0()1(4.152-= 积。轴旋转所得旋转体的体所围图形绕求x y x y x 2223,4.16≥ ≤+ 求其体积。 , 图面都是等边三角形为底,垂直于长轴的截一立体以椭圆)26(125 100.1722 -≤+y x 1.求 导:(1)函数 y= 2cos x x 的导数为 -------------------------------------------------------- (2)y =ln(x +2)-------------------------------------;(3)y =(1+sin x )2------------------------ ---------------------- (4)y =3x 2+x cos x ------------------------------------ ;(5)y =x 2cos(2x -π 3 )---------------------------------------- . (6)已知y =ln 3x e x ,则y ′|x =1=________. 2.设1ln )(2+=x x f ,则=)2('f ( ). (A).5 4 (B).5 2 (C).5 1 (D). 5 3 3.已知函数d cx bx ax x f +++=23)(的图象与x 轴有三个不同交点 )0,(),0,0(1x ,)0,(2x ,且)(x f 在1x =-,2=x 时取得极值,则21x x ?的值为 ( ) (A).4 (B).5 (C).-6 (D).不确定 34.()34([0,1])1()1 () ()0 ()1 2 f x x x x A B C D =-∈-函数的最大值是( ) 5.设底面为等边三角形的直棱柱的体积为V ,则其表面积最小时, 底面边长为( ). (A).3V (B).32V (C).34V (D).32V 6.由抛物线x y 22=与直线4-=x y 所围成的图形的面积是( ). (A).18 (B). 3 38 (C). 3 16 (D).16 7.曲线3x y =在点)0)(,(3≠a a a 处的切线与x 轴、直线a x =所围成的三角形的面积为6 1,则=a _________ 。 8.已知抛物线2y x bx c =++在点(12),处的切线与直线20x y ++=垂直,求函数2y x bx c =++的最值. 9.已知函数x bx ax x f 3)(23-+=在1±=x 处取得极值.(1)讨论)1(f 和 )1(-f 是函数)(x f 的极大值还是极小值;(2)过点)16,0(A 作曲线 )(x f y =的切线,求此切线方程. 定积分典型例题20例答案 例1 求2 1lim n n →∞L . 分析 将这类问题转化为定积分主要是确定被积函数和积分上下限.若对题目中被积函数难以想到,可采取如下方法:先对区间[0,1]n 等分写出积分和,再与所求极限相比较来找出被积函数与积分上下限. 解 将区间[0,1]n 等分,则每个小区间长为1i x n ?=,然后把2111 n n n =?的一个因子1n 乘 入和式中各项.于是将所求极限转化为求定积分.即 21lim n n →∞+L =1lim n n →∞+L =34 = ?. 例2 0 ? =_________. 解法1 由定积分的几何意义知,0 ?等于上半圆周22(1)1x y -+= (0y ≥) 与x 轴所围成的图形的面积.故0 ? = 2 π . 解法2 本题也可直接用换元法求解.令1x -=sin t (2 2 t π π - ≤≤ ),则 ? =2 2 tdt ππ- ? =2tdt =220 2cos tdt π ?= 2 π 例3 (1)若2 2 ()x t x f x e dt -=?,则()f x '=___;(2)若0 ()()x f x xf t dt =?,求()f x '=___. 分析 这是求变限函数导数的问题,利用下面的公式即可 () () ()[()]()[()]()v x u x d f t dt f v x v x f u x u x dx ''=-?. 解 (1)()f x '=42 2x x xe e ---; (2) 由于在被积函数中x 不是积分变量,故可提到积分号外即0()()x f x x f t dt =?,则 可得 ()f x '=0()()x f t dt xf x +?. 例4 设()f x 连续,且31 ()x f t dt x -=?,则(26)f =_________. 解 对等式310 ()x f t dt x -=? 两边关于x 求导得 32(1)31f x x -?=, 故321(1)3f x x -= ,令3126x -=得3x =,所以1(26)27 f =. 不定积分练习题 2 11sin )_________ 2 x d x -=?一、选择题、填空题:、( 2 2()(ln )_______x e f x x f x dx =?、若是的原函数,则: 3sin (ln )______x d x =?、 2 2 2 4()(tan )sec _________; 5(1,1)________; 6'()(),'()_________;1() 7(),_________;1 8()arcsin ,______() x x x e f x f x xd x d x y x x F x f x f a x b d x f e f x d x c d x x e xf x d x x c d x f x --===+== +==+=?? ??? ? ? 、已知是的一个原函数,则、在积分曲线族 中,过点的积分曲线是、则、设则、设 则____; 9'(ln )1,()________; 10()(,)(,)()______;()()()()11()sin sin ,()______; 12'()(),'()(),()_____()() ()() ()(f x x f x f x a b a b f x A B C D xf x d x x x xd x f x F x f x x f x f x d x A F x B x C x κ??=+== - = ===???、则、若在内连续,则在内必有导函数必有原函数必有界 必有极限 、若 则、若则)()()()c D F x x c ?+++ 13()[()]() ()[()]()() ()() () ()()d A d f x dx f x B f x dx f x dx d x C df x f x D df x f x c === = +????、下列各式中正确的是: (ln )14(),_______ 11() ()ln () () ln x f x f x e dx x A c B x c C c D x c x x -==++-+-+? 、设则: 第4章不定积分 习题4-1 1.求下列不定积分: 知识点:直接积分法的练习——求不定积分的基本方法。 思路分析:利用不定积分的运算性质和基本积分公式,直接求出不定积分! ★(1) 思路: 被积函数52 x - =,由积分表中的公式(2)可解。 解: 53 2 2 23x dx x C -- ==-+? ★(2)dx ? 思路:根据不定积分的线性性质,将被积函数分为两项,分别积分。 解:1 14111 33322 23 ()2 4dx x x dx x dx x dx x x C - - =-=-=-+???? ★(3)2 2x x dx +? () 思路:根据不定积分的线性性质,将被积函数分为两项,分别积分。 解:2 2 3 2122ln 23 x x x x dx dx x dx x C +=+=++? ??() ★(4) 3)x dx - 思路:根据不定积分的线性性质,将被积函数分为两项,分别积分。 解: 3153 22 222 3)325 x dx x dx x dx x x C -=-=-+?? ★★(5)422 331 1 x x dx x +++? 思路:观察到422 223311311 x x x x x ++=+++后,根据不定积分的线性性质,将被积函数分项, 分别积分。 解:4223 2233113arctan 11x x dx x dx dx x x C x x ++=+=++++??? ★★(6)2 2 1x dx x +? 思路:注意到22222 111 1111x x x x x +-==-+++,根据不定积分的线性性质,将被积函数分项,分别积分。 解:2221arctan .11x dx dx dx x x C x x =-=-+++??? 注:容易看出(5)(6)两题的解题思路是一致的。一般地,如果被积函数为一个有理的假分式, 通常先将其分解为一个整式加上或减去一个真分式的形式,再分项积分。 ★(7)x dx x x x ? 34134 (- +-)2 思路:分项积分。 解:3411 342x dx xdx dx x dx x dx x x x x --=-+-?????34134(- +-)2 223134 ln ||.423 x x x x C --=--++ ★ (8)23( 1dx x -+? 思路:分项积分。 解 :2231( 323arctan 2arcsin .11dx dx x x C x x =-=-+++? ? ★★ (9) 思路 =? 111 7248 8 x x ++==,直接积分。 解 : 715 8 88 .15x dx x C ==+? ★★(10) 221 (1)dx x x +? 思路:裂项分项积分。 解: 222222 111111 ()arctan .(1)11dx dx dx dx x C x x x x x x x =-=-=--++++???? ★(11)21 1 x x e dx e --? 解:21(1)(1) (1).11 x x x x x x x e e e dx dx e dx e x C e e --+==+=++--??? ★★(12)3x x e dx ? 1.4定积分与微积分基本定理练习题及答案 1.(2011·一中月考)求曲线y =x2与y =x 所围成图形的面积,其中正确的是( ) A .S =??01(x2-x)dx B .S =??01(x -x2)dx C .S =??01(y2-y)dy D .S =??01(y -y)dy [答案] B [分析] 根据定积分的几何意义,确定积分上、下限和被积函数. [解读] 两函数图象的交点坐标是(0,0),(1,1),故积分上限是1,下限是0,由于在[0,1]上,x ≥x2,故函数y =x2与y =x 所围成图形的面积S =??0 1(x -x2)dx. 2.(2010·日照模考)a =??02xdx ,b =??02exdx ,c =??02sinxdx ,则a 、b 、c 的大小关系是 ( ) A .a 定积分典型例题 例1 求21lim n n →∞L . 分析 将这类问题转化为定积分主要是确定被积函数和积分上下限.若对题目中被积函数难以想到,可采取如下方法:先对区间[0,1]n 等分写出积分和,再与所求极限相比较来找出被积函数与积分上下限. 解 将区间[0,1]n 等分,则每个小区间长为1i x n ?=,然后把2111n n n =?的一个因子1 n 乘 入和式中各项.于是将所求极限转化为求定积分.即 21lim n n →∞L =1lim n n →∞+L =34 =?. 例2 ? =_________. 解法1 由定积分的几何意义知,0 ?等于上半圆周22(1)1x y -+= (0y ≥) 与x 轴所围成的图形的面积.故0 ? = 2 π . 解法2 本题也可直接用换元法求解.令1x -=sin t (2 2 t π π - ≤≤ ),则 ? =2 2 tdt ππ- ? =2tdt =220 2cos tdt π ?= 2 π 例3 比较1 2 x e dx ?,2 1 2 x e dx ?,1 2 (1)x dx +?. 分析 对于定积分的大小比较,可以先算出定积分的值再比较大小,而在无法求出积分值时则只能利用定积分的性质通过比较被积函数之间的大小来确定积分值的大小. 解法1 在[1,2]上,有2 x x e e ≤.而令()(1)x f x e x =-+,则()1x f x e '=-.当0x >时,()0f x '>,()f x 在(0,)+∞上单调递增,从而()(0)f x f >,可知在[1,2]上,有1x e x >+.又 1 22 1 ()()f x dx f x dx =-? ?,从而有2 111 2 2 2 (1)x x x dx e dx e dx +>>???. 解法2 在[1,2]上,有2 x x e e ≤.由泰勒中值定理2 12! x e e x x ξ=++得1x e x >+.注意到 1 2 2 1 ()()f x dx f x dx =-? ?.因此 2 1 11 2 2 2 (1)x x x dx e dx e dx +>>? ??. 例4 估计定积分2 2x x e dx -?的值. 分析 要估计定积分的值, 关键在于确定被积函数在积分区间上的最大值与最小值.高等数学定积分应用习题答案
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